新华教育高中部数学同步人教A版必修四第一章三角函数-三角函数的图象与性质基础训练
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质(第1课时)教学课件 新人教A版必修4
=sin x,x∈[2kπ,2(k+1)π],k∈Z且k≠0的图象与函数y=sin
x,x∈[0,2π]的图象形状完全一致.因此将y=sin x,x∈[0,2π] 的图象向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)就可得到 函数y=sin x,x∈R 的图象.
高中数学 第一章 三角函数 三角 的图象与性质(第 课时)教学课
人教 版必修
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睛,பைடு நூலகம்
看看远处,要保护好眼睛哦~站起来动一动,久坐对 哦~
解析:对②,y=cos(-x)=cos x,y=cos |x|=cos x,故 其图象相同;对④,y=cos(-x)=cos x,故其图象关于y轴对 称,由作图可知①③均不正确.
正弦函数、余弦函数的图象
函数
y=sin x
y=cos x
图象
图象 画法
五点法
关键 _(_0_,_0_)_,π2,1,(_π_,__0__), 五点 32π,-1,_(_2_π_,__0)
五点法
_(_0_,1__) _,π2,0,(_π__,__-__1__) _, 32π,0,_(2__π_,__1)
答案:②④
用“五点法”作三角函数图象
用“五点法”作出下列函数的简图: (1)y=-sin x(0≤x≤2π); (2)y=1+cos x(0≤x≤2π). 思路点拨: 列表 → 描点 → 连线成图
解:利用“五点法”作图.
(1)列表:
x
0
π 2
π
3π 2
2π
sin x
0
1
0 -1 0
-sin x 0 -1 0
高一数学人教A版必修4第一章1.4三角函数的图象与性质4课时课件(共15)
其实,
y
y= -cosx的图象是
1
将 y=cosx 的图象
o
关于x轴对称地翻
-1
折后得到的.
y=cosx
2p x y= -cosx
练习: (补充)
1. 在0~2p 内画出下列函数的图象:
(1) y = 2sin x;
(2) y = 2cos x-1.
练习: (课本34页) 第 1、2 题.
练习: (补充)
期吗? 因为对一切实数都有
Asin(wx+j) =Asin(wx+j +2p)
∴y=Asin(wx+j)的周期是 当 w<0 时, 周期为
同理可得余弦也如此.
即 y=Asin(wx+j), y=Acos(wx+j) 的周期是
练习: (课本36页) 第 1、2 题.
练习: (课本36页)
1. 等式 sin(30+120) = sin30 是否成立? 如 果这个等式成立, 能否说120是正弦函数的一个周 期? 为什么?
2
的图象. 通过视察两条曲线, 说出它们的异同.
提示: 可用列表、描点、连线的方法,
可用三角函数线的方法, 可用五点法,
也可用计算机画图象.
练习: (课本34页)
1. 用多种方法在同一直角坐标系中, 画出函数
y = sinx, x[0, 2p],
y = cosx,
x[
-
p
2
,
3p ]
2
的图象. 通过视察两条曲线, 说出它们的异同.
1
o
p
2p x
习题 1.4 A组
1. 画出下列函数的简图:
人教版高中数学高一A版必修4知识导航 1.4三角函数的图象与性质
1.4 三角函数的图象与性质知识梳理1.正弦函数、正切函数的图象都可借助单位圆中的三角函数线作出.2.正弦曲线与余弦曲线的关系我们知道y=cosx=sin(2π+x)(x ∈R ),由此可知,余弦函数y=cosx 的图象与正弦函数y=sin(2π+x)(x ∈R)的图象相同,于是把正弦曲线向左平移2π个单位就可得到余弦函数的图象.3.一般地,对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T 叫做这个函数的周期.知识导学要学好本节内容,可借助一定的实例展现正弦函数的图象,对这类函数图象有一个直观的了解.利用单位圆中的正弦线画出y=sinx 在一个周期内的图象,再经平移得出y=sinx (x ∈R )的图象,然后利用诱导公式经过平移变换得出y=cosx 的图象.从观察图象上的关键点,体会“五点法”画简图的方法.借助图象的支持来学习正、余弦函数性质.通过展示三角函数具有f(x+T)=f(x)的特征,由此引入函数周期性,体会周期性是三角函数的重要性质.对于正切函数,可以先认识其性质,再画图象,为此在图象产生后,可以反过过来利用图象观察性质. 疑难突破1.为什么y=sinx 不在[0,2π]上考查单调性,而选用[2π-,23π]? 剖析:因为在[0,2π]上y=sinx 的增区间有两部分,表达起来不集中,而在一个周期[2π-,23π]上,单调增减区间都分别只有一个,所以表达正弦函数所有单调区间时相对简单些.2.除原点外正弦函数y=sinx 图象还有没有其他的对称中心?剖析:将y轴左移或右移π个单位,2π个单位,3π个单位,…即kπ(k ∈Z )个单位,正弦函数图象的对称中心也可以是点(π,0),点(2π,0),…,点(kπ,0)(k ∈Z ).由此可知正弦函数图象有无数个对称中心(kπ,0)(k ∈Z ). 它们是图象与x 轴的交点,亦即图象和其平衡位置的交点,可以看出正弦函数图象也具有轴对称性.所有的对称轴为x=kπ+2π(k ∈Z ),它们是过图象的最高或最低点而与x 轴垂直的直线.3.如何理解三角函数图象的五点法作图?剖析:y=sinx,x ∈[0,2π]的图象上有五点起决定作用,它们是(0,0)(2π,1),(π,0),(23π,-1),(2π,0)描出这五点后,其图象的形状基本上就确定了.(0,1)(2π,0),(π,-1),(23π,0),(2π,1)这五点描出后,余弦函数y=cosx ,x ∈[0,2π]的图象的形状也就基本上确定了,因此可以用五点法作余弦函数y=cosx 图象,如图1-4-1:图1-4-1所以,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个点,然后再用平滑的曲线将它们连接起来,就得到在相应区间内正弦函数、余弦函数的简图,这种方法叫五点法.注意:(1)五点法是我们画三角函数图象的基本方法,要切实掌握好,与五点法作图有关的问题曾出现在历届高考试题中.(2)作图象时,函数自变量要用弧度制,这样自变量与函数值均为实数,因此,在x 轴、y 轴上可以统一单位,作出的图象正规,利于应用. 4.如何理解正弦、余弦、正切函数的性质?剖析:(1)正弦、余弦、正切函数的性质都能从其图象上得到体现,所以熟练掌握函数图象是理解性质的关键,而性质反过来又可帮助我们正确地作出函数的图象,因此图象与性质相辅相承,图象是性质的载体,性质又决定了图象的特征. (2)正切函数y=tanx,x ∈(kπ2π-,kπ+2π)(k ∈Z )是单调增函数,但不能说函数在其定义域内是单调函数.(3)正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高或最低点,即此时的正弦值、余弦值为最大值或最小值.(4)正弦曲线、余弦曲线、正切曲线的对称中心一定分别过正弦曲线、余弦曲线、正切曲线与x 轴的交点,即此时的正弦值、余弦值为0.正切曲线的对称中心有两类:一类是曲线与x 轴的交点,此时正切值为0;另一类是对称轴与x 轴的交点,此时正切函数无意义. 5.如何理解周期函数?剖析:(1)周期函数的定义应对定义域中的每一个x 值来说,只有个别的x 值或只差个别的x 值满足f(x+T)=f(x)或不满足都不能说T 是y=f(x)的周期;例如:sin(4π+2π)=sin 4π,但是sin(3π+2π)≠sin 3π. 就是说2π不能对x 在定义域内的每一个值都有sin(x+2π)=sinx ,因此2π不是y=sinx 的周期. (2)从等式f(x+T)=f(x)来看,应强调的是自变量x 本身加的常数才是周期,如f(2x+T)=f(2x),T 不是周期,而应写成f(2x+T)=f [2(x+2T )]=f(2x),则2T是y=f(x)的周期. (3)对于周期函数来说,如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就称它为最小正周期,今后提到的三角函数的周期,如未特别指明,一般都是指它的最小正周期. (4)并不是所有周期函数都存在最小正周期,例如,常数函数f(x)=C (C 为常数)(x ∈R ),当x 为定义域内的任何值时,函数值都是C ,即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x 都有f(x+T)=C ,因此f(x)是周期函数,由于T 可以是任意不为零的常数,而正数集合中没有最小者,所以f(x)没有最小正周期. 再如函数D(x)=⎩⎨⎧).(0),(1为无理数时当为有理数时当x x设r 是任意一个有理数,那么当x 是有理数时,x+r 也是有理数,当x 是无理数时,x+r 也是无理数,D(x)与D(x+r)或者等于1或者等于0,因此在两种情况下,都有D(x+r)=D(x),所以D(x)是周期函数,r 是D(x)的周期,由于r 可以是任一有理数而正有理数集合中没有最小者,所以D(x)没有最小正周期.(5)“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式,即对定义域内的每一个值都成立,T 是非零常数,周期T 是使函数值重复出现的自变量x 的增加值.(6)周期函数的周期不只一个,若T 是周期,则kT(k ∈N +)一定也是周期.(7)在周期函数y=f(x)中,T 是周期,若x 是定义域内的一个值,则x+kT 也一定属于定义域,因此周期函数的定义域一定是无限集,而且定义域一定无上界或者无下界.。
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质(第2课时)教学课件 新人教A版必修4
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质(第2课时)教学 课件 新人教A版必修4
第一章 三角函数
1.4 三角函数的图象与性质
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
1.了解周期函数与最小正周期的意义.(难点、 易错点)
2.了解三角函数的周期性和奇偶性.(重点)
3.会求函数的周期和判断三角函数的奇偶 性.(重点)
【即时演练】
若f(x+1)=-f(x),试判断函数f(x)是否是周 期函数.
解:∵f(x+1)=-f(x),
∴f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f(x+1)=f(x).
∴f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期函数,且2是它的一个周期.
谢谢观看!
结束语
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与 性质(第2课时)教学课件 新人教A版必修4
【纠错提升】 利用定义判断周期函数
(1)要判断一个函数为周期函数,一要看定义域, 即对任意x∈I,有x+T∈I;二是对任意x∈I, 有f(x)=f(x+T).要说明一个函数不是周期函数 或者不是以T为周期的函数,只要举一反例即 可.
(2)求三角函数周期之前,要尽量将函数化为同 名同角三角函数,且函数的最高次数为1.
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角 的图象与性质(第2课时)教学课 同学们,下课休息人十教分A钟版。必现修在是4 休息时间
休息一下眼睛,
看看远处,要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
【互动探究】
本题(2)中函数改为y=cos |x|,则其周期又是 什么?
解:由诱导公式得y=cos |x|=cos x. 所以其周期T=2π.
(3)函数应满足 1+sin x≠0,
人教A版数学必修四1.4 三角函数的图象与性质 .doc
1.4 三角函数的图象与性质 一、知识导引 主要内容:理解利用正弦线画出正弦曲线,借助正弦曲线与余弦曲线的内在联系,通过图象变换得出余弦曲线。
会用“五点法”作正、余弦函数的简图。
能借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质(周期性、奇偶性、单调性、最大值和最小值等)。
能借助正切线讨论正切函数的性质(周期性、奇偶性、单调性、值域等),理解利用正切线画出正切曲线。
能从图象变换的观点画函数图象,用变量代换的观点讨论函数的性质。
数形结合的思想方法贯穿了本节内容的始终,要熟练把握三角函数图象的形状特征,并能在图象直观下研究函数的性质,再根据性质进一步地认识函数的图象。
重点难点:重点:正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质,深化研究函数性质的思想方法。
难点:正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换以及周期函数、(最小正)周期的意义。
注意问题:1.“五点法”作图的关键在于抓好三角函数中的两个最值点,三个平衡位置(点)2.对周期函数与周期定义中的“当x 取定义域内每一个值时”,要特别注意“每一个值”的要求。
3.正切曲线是被相互平行的直线Z k k x ∈+=,2ππ所隔开的无穷多支曲线组成的,正切曲线的对称中心为(2πk ,0),k ∈Z 典型例题:例1.画出下列函数的简图。
(1)1sin -=x y (2)x y 2sin 1-= 分析:作函数图象的常用方法有“五点法”和“图象变换法”(平移、对称等)。
解答:(1) 方法一:按五个关键点列表:x 0 2π π 23π π2x sin 0 1 01- 01sin -x1- 01- 2-1-方法二:可先用“五点法”画x y sin =(]2,0[π∈x )的图象(如上图中的虚线图),再将其向下平移一个单位可得到1sin -=x y (]2,0[π∈x )的图象。
(2)方法一:|cos |sin 12x x y =-=2222,cos ππππ+≤≤-k x k x (Z k ∈)即 =y23222,cos ππππ+<<+-k x k x (Z k ∈) 图象如图方法二:可先用“五点法”画x y cos =(]2,0[π∈x )的图象,再利用周期性拓展到R x ∈情形,保留图象在x 轴上方部分,将图象在x 轴下方部分作关于x 轴的对称图形可得。
人教版A版高中数学必修4:三角函数的图像和性质(1)
最高点: ( ,1)
2
最低点:
(
3 2
,1)
与x轴的交点: (0,0) ( ,0) (2 ,0)
在精度要求不高的情况下,我们可以利用这5个点画出函数 的简图,一般把这种画图方法叫“五点法”。
正弦函数画图的“五点法”
(0,0)、( , 1)、( ,0)、( 3 ,-1)、 (2 ,0)
y cos x x [0, 2 ]
1-
-
-1
o
63
2 5 36
7 6
4 3
2 3 5 11
3
6
x
-1 -
2
2
在函数 y cos x, x [0, 2 ] 的图象上,起关键作用的点有:
最高点: (0,1) (2 ,1)
最低点: ( , 1)
与x轴的交点: ( , 0) (3 , 0)
2
2
学以致用
例1 画出函数y=1+sinx,x[0, 2]的简图:
x
0
sinx 0
1 1+sinx y
2
1
o
2
-1
3
2
221源自0-102
1
0
1
步骤:
y=1+sinx,x[0, 2]
1.列表 2.描点
3.连线
2
3
2
x
2 y=sinx,x[0, 2]
学以致用
例2 画出函数y= - cosx,x[0, 2]的简图:
0
2
-1
余弦函数
3
2
2
2
x
向左平移
人教版高一数学 A版 必修4 教学课件:第一章 《1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》
终边重合,也具有周而复始的变化规律,为定量描述这种变 化规律,需引入一个新的数学概念——函数周期性.
探究点一 周期函数的定义
思考1 观察正弦函数图象知,正弦曲线每相隔2π个单位重复出 现其理论依据是什么?
答 诱导公式sin(x+2kπ)=sin x(k∈Z)当自变量x的值增加2π的
公式得,sin(-x)=-sin x,cos(-x)=cos x均对一切x∈R恒成
立.
例1 求下列三角函数的周期.
(1)y=3cos x,x∈R; 解 ∵3cos(x+2π)=3cos x, ∴自变量x只要并且至少要增加到x+2π, 函数y=3cos x,x∈R的值才能重复出现, 所以,函数y=3cos x,x∈R的周期是2π.
∴f(-x)=lg[1-sin(-x)]-lg[1+sin(-x)]
=lg(1+sin x)-lg(1-sin x)=-f(x). ∴f(x)为奇函数.
1+sin x-cos2x
(3)f(x)=
.
1+sin x
解 ∵1+sin x≠0,∴sin x≠-1,
∴x∈R 且 x≠2kπ-π2,k∈Z.
∵定义域不关于原点对称,
(2)y=sin 2x,x∈R;
解 ∵sin(2x+2π)=sin2(x+π)=sin 2x, ∴自变量x只要并且至少要增加到x+π, 函数y=sin 2x,x∈R的值才能重复出现, 所以,函数y=sin 2x,x∈R的周期是π.
(3)y=2sin12x-π6,x∈R. 解 ∵2sin12x+4π-π6=2sin12x-π6+2π=2sin12x-π6,
第一章 三角函数
§1.4 三角函数的图象与性质
人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.4 三角函数的图象与性质课件
-
(-o12 ,0)
( 2 ,0)
2
( ,-1)
3
线
4
5 6 x
新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质 (一)关于定义域 例1.求下列函数的定义域:
1) y lg sin x
2) y 2 cos3x
新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质
(二)关于周期性 1.周期性的定义
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值时,都有
f(x+T)=f(x)
那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.
注意:如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小的正数,那么这个最小正数 就叫做f(x)的最小正周期.
新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质 2.求函数的周期 例2.求下列函数的周期:
1) y 3cos x 2) y sin 2x
1.列表 2.描点 3.连线
3
2
x
2 y=sinx,x[0, 2]
正弦、余弦函数的图象
(2) 画出函数y= - cosx,x[0, 2]的简图:
x
0
2
3
2
2
cosx 1
0
-1
0
1
- cosx -1
0
1
0
-1
y
y=cosx,x[0, 2]
1
o
2
2
3
2
x
2
-1
y= - cosx,x[0, 2]
例2.用五点法作函数 y 2cos(x ), x [0, 2 ] 的简图.
1) y 2 cos 2x
2) y sin x 1
1.4.3 正切函数 的图象和性质
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.3 正切函数的性质与图像习题课件 新人教A版必修4
(2)y=|tanx|=t-antxa,nx,x∈x[∈kπ(,kπkπ-+π2π,2 )kπ(]k(∈kZ∈)Z.).
可作出其图像(如图),由图像知函数 y=|tanx|的单调递减区 π
间 为 (k π - 2 , k π ](k∈Z) , 单 调 递 增 区 间 为 [k π , k π + π 2 )(k∈Z).
π 是[0,+∞);单调递增区间是[kπ,kπ+ 2 )(k∈Z);周期 T=
π.
课后巩固
1.函数
y=ta1nx(-π4
π <x< 4
)的值域是(
)
A.[-1,1]
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-∞,1]
D.[-1,+∞)
答案 B
2.函数 y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在区间(π2 ,3π2 )内的图 像大致是( )
π
⇒kπ-
x≠kπ+ 2 (k∈Z)
2
<x<kπ+
3
,
π
π
∴定义域为(kπ- 2 ,kπ+ 3 )(k∈Z),值域为 R.
题型二 正切函数的奇偶性 例 2 判断下列函数的奇偶性: (1)y=tanx(-π4 ≤x<π4 ); (2)y=xtan2x+x4; (3)y=sinx+tanx.
【思路分析】 先分别求出各个函数的定义域,看是否关于原点
思考题 4 作出函数 y=tanx+|tanx|的图像,并求其定义 域、值域、单调区间及最小正周期.
【解析】 y=tanx+|tanx|= 2tanx,tanx≥0,且x≠kπ+π2 ,k∈Z. 0,tanx<0,且x≠kπ+π2 ,k∈Z.
其图像如图所示,
π
高一数学人教A版必修四课件:第一章 《三角函数》1.4.1 三角函数的图象与性质 第一课时 课件资料
学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标学案·新知自解学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正、余弦函数的图象.3.能利用正、余弦函数的图象解决简单问题.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标正弦曲线与余弦曲线及其画法函数y=sin x y=cos x图象图象画法五点法五点法学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标关键五点________,________,________,______________,__________________,________,__________,__________,__________(0,0)(π,0)(0,1)(π,-1)(2π,1)⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2,1⎝⎛⎭⎪⎫32π,-1(2π,0)⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2,0⎝⎛⎭⎪⎫32π,0学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标[化解疑难]1.“几何法”和“五点法”画正、余弦函数图象的优缺点(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法.该方法作图较精确,但较为烦琐.(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法,在要求精度不高的情况下常用此法,要切实掌握好.与五点法作图有关的问题经常出现在高考试题中.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标2.用五点法作正、余弦曲线(1)在正、余弦函数的图象中,起关键作用的点是图象的顶点,以及图象与x 轴的交点,在[0,2π]内,上述点共有五个.(2)“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向.(3)用“五点法”在[0,2π]内作出正、余弦函数的简图,再通过平移即可得到正、余弦曲线.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标1.下列对函数y=cos x的图象描述错误的是( )A.在[0,2π]和[4π,6π]上的图象形状相同,只是位置不同B.介于直线y=1与直线y=-1之间C.关于x轴对称D.与y轴只有一个交点解析:观察余弦函数的图象知:y=cos x关于y轴对称,故C错误.答案:C学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标2.下列图象中,是y=-sin x在[0,2π]上的图象的是( )解析:函数y=-sin x的图象与函数y=sin x的图象关于x轴对称,故选D.答案:D学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标3.用“五点法”作函数y=cos2x,x∈R的图象时,首先应描出的五个点的横坐标是____________.解析:令2x=0,π2,π,3π2和2π,得x=0,π4,π2,34π,π.答案:0,π4,π2,3π4,π学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标教案·课堂探究学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标正、余弦函数的图象自主练透型(1)以下对正弦函数y=sin x的图象描述不正确的是( ) A.在x∈[2kπ,2kπ+2π](k∈Z)上的图象形状相同,只是位置不同B.介于直线y=1与直线y=-1之间C.关于x轴对称D.与y轴仅有一个交点学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标(2)下列叙述正确的有( )①y=sin x,x∈[0,2π]的图象关于点P(π,0)成中心对称;②y=cos x,x∈[0,2π]的图象关于直线x=π成轴对称;③正、余弦函数的图象不超过直线y=1和y=-1所夹的范围.A.0个B.1个C.2个D.3个学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标解析:(1)观察正弦函数图象可知,图象关于(0,0)对称,故选C.(2)分别画出函数y=sin x,x∈[0,2π]和y=cos x,x∈[0,2π]的图象,由图象观察可知①②③均正确.答案:(1)C(2)D学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标[归纳升华]解决正、余弦函数图象的注意点对于正、余弦函数的图象问题,要画出正确的正弦曲线、余弦曲线,掌握两者的形状相同,只是在坐标系中的位置不同,可以通过相互平移得到学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标1.(1)对于余弦函数y=cos x的图象,有以下三项描述:①向左向右无限延伸;②与x轴有无数多个交点;③与y=sin x的图象形状一样,只是位置不同.其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标(2)(2014·芜湖高一检测)关于三角函数的图象,有下列说法:①y=sin|x|与y=sin x的图象关于y轴对称;②y=cos(-x)与y=cos|x|的图象相同;③y=|sin x|与y=sin(-x)的图象关于x轴对称;④y=cos x与y=cos(-x)的图象关于y轴对称.其中正确的序号是________.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标解析:(1)如图所示为y=cos x的图象.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标可知三项描述均正确.(2)对②,y=cos(-x)=cos x,y=cos|x|=cos x,故其图象相同;对④,y=cos(-x)=cos x,故其图象关于y轴对称,由作图可知①③均不正确.答案:(1)D(2)②④学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标用“五点法”作三角函数图象多维探究型用“五点法”作出下列函数的简图.(1)y=sin x-1,x∈[0,2π];(2)y=2+cos x,x∈[0,2π].学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标[边听边记](1)列表:x0π2π32π2πsin x010-10sin x-1-10-1-2-1描点连线,如图学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标(2)列表:x0π2π32π2πcos x10-101 2+cos x32123学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标描点连线,如图学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标[归纳升华]用五点法画函数y=A sin x+b(A≠0)或y=A cos x+b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤如下:(1)列表:x0π2π3π22πsin x (或cos x)y学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标(2)描点:在平面直角坐标系中描出下列五个点:(0,y ),⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2,y ,(π,y ),⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2,y ,(2π,y ),这里的y 是通过函数式计算得到的.(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来,不要用线段进行连接.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标2.作出函数y=-sin x(0≤x≤2π)的简图.解析:列表:x0π2π3π22πsin x010-10-sin x0-1010学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标描点并用光滑的曲线连接起来,如图学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标正、余弦函数图象的简单应用分层深化型利用正弦函数和余弦函数的图象,求满足下列条件的x 的集合.(1)sin x ≥12;(2)cos x ≤12.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标解析: 法一(函数图象法)(1)作出正弦函数y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象,如图所示,由图象可以得到满足条件的x的集合为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6+2k π,5π6+2k π,k ∈Z .学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标(2)作出余弦函数y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象,如图所示,由图象可以得到满足条件的x的集合为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3+2k π,5π3+2k π,k ∈Z .学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标法二(三角函数线法)(1)作直线y =12交单位圆于A ,B 两点,连接OA ,OB ,则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围,故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|2k π+π6≤α≤2k π+56π,k ∈Z .学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标(2)作直线x =12交单位圆于C ,D 两点,连接OC ,OD ,则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π+13π≤α≤2k π+53π,k ∈Z.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标[归纳升华]用三角函数的图象解sin x>a(或cos x>a)的方法(1)作出直线y=a,作出y=sin x(或y=cos x)的图象.(2)确定sin x=a(或cos x=a)的x值.(3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标[同类练]☆ 1.求函数y =lg ⎝⎛⎭⎪⎫22+cos x 的定义域.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标解析: 由22+cos x >0,得cos x >-22.在[0,2π)内,cos x =-22的解为x =3π4或x =5π4.作出函数y =cos x ,x ∈[0,2π)及y=-22的图象,如图.由图知在[0,2π)内cos x >-22的解为0≤x <3π4或5π4<x <2π.所以所求函数的定义域为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫2k π,2k π+3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2k π+5π4,2k π+2π(k ∈Z ).学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标[变式练]☆2.根据函数图象解不等式:sin x >cos x ,x ∈[0,2π].解析: 画出函数y =sin x ,x ∈[0,2π],y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象如图所示.观察图象可知,sin x >cos x ,x ∈[0,2π]的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |π4<x <5π4.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标[拓展练]☆3.方程sin x=x10的根的个数是( )A.7个B.8个C.9个D.10个学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标解析:问题转化为函数y=x10的图象与y=sin x的图象的交点个数问题.如图所示,当x≥4π时,x10≥4π10>1≥sin x,当0<x<4π时,sin5π2=1>5π20=x10,从而当x>0时,有3个交点.由对称性可知,当x<0时,有3个交点,原点(0,0)也是它们的交点,一共有7个交点.答案:A学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标练案·学业达标点击进入WORD链接学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标谢谢观看!。
人教A版高中数学必修4《一章 三角函数 1.4 三角函数的图像与性质 探究与发现 》优质课课件_20
正、余弦函数图象的联系
问题1: 余弦函数图象可以由正弦函数图象怎么平移得到? 问题2: 对余弦函数图象的性质的研【在观察几何画板第2页时认真思考以上问题】
正弦线研究正弦函数的周期性
请同学们先观察几何画板中的第3页,然后认真 思考一下,你是如何从正弦线看出正弦函数的周 期的呢?
初步应用、理解性质
• 例:请研究下列函数的性质(先画草图)。 (1)y=sinx-1 (2)y=2cosx
小结
• 三角函数线、三角函数图象是研究三角函数性质 的两个不同的角度,两者之间也有密切的关联, 如果要达到熟悉应用三角函数线、三角函数图象 研究三角函数性质的方法,那么还需要在做专题 练习的过程中不断地反思、归纳和整理。
布置作业
1、模仿用正弦线研究正弦函数性质的方法,完成 余弦线研究余弦函数的性质。
2、模仿三角函数线研究正、余弦函数性质的方法, 研究诱导公式。
正弦函数性质的回顾
• 周期性 • 奇偶性 • 单调性与最值
正弦线与正弦函数图象的关系
问题1、 我们已经学习过三角函数值的定义,也学过了三 角函数线可以更观地帮助我们理解不同角的三角 函数值,如果我们把角的度数作为点的横坐标, 用它对应的正弦值作为点纵坐标,那么这样的点 有什么样的分布特点呢?
【在观察几何画板第1页时认真思考以上问题】
1.4.2 探究与发现
利用单位圆中的三角函数线研究正、余弦函数性质
教学目标:
1、从函数值的定义出发理解两个视角下的任意角的正、 余弦函数值之间的关系;这两个视角是指:三角函数线角 度、以角和对应函数值建立有序系数对角度。
2、通过分析正、余弦函数的图像,能直观体会两种函数 图象之间的联系和区别。
3、利用函数线直观获得对函数性质的认识,强化数形结 合思想
人教A版高中数学必修四课件:第一章 1.4.3 三角函数的图象与性质(共50张PPT)
当一个女人喜欢一个男人时,她最喜欢听他说谎言;当一个女人厌恶一个男人时,她最希望听他讲真话。 竞争,其实就是一种变相的友谊,在对手的帮助下提高你自己,害怕竞争的人已经输给了对手,注定难取得大的成就。 忍是一种眼光,忍是一种胸怀,忍是一种领悟,忍是一种人生的技巧,忍是一种规则的智慧。 你一定不要做丑恶的人,但是世态炎凉,你也别太善良!马善被人骑,人善被人欺,过于善良就是一种懦弱和无能! 理想的书籍是智慧的铜匙。 一份信心,一份努力,一份成功;十分信心,十分努力,十分成功。 积极向上的人总是把苦难化为积极向上的动力。 稗子享受着禾苗一样的待遇,结出的却不是谷穗。 世界上20%的人是吃小亏而占大便宜,而80%的人是占小一便宜吃大亏,大多数成功人士都源于那20%。 所有的胜利,与征服自己的胜利比起来,都是微不足道。所有的失败,与失去自己的失败比起来,更是微不足道。 一份耕耘,份收获,努力越大,收获越多。 路,是自己走出来的;机会是自己创造出来的。 命运之神关上一道门,必定会打开另一扇窗。 穿着饮食可以因陋就简,而搞学问是不能因陋就简的。 信念是一把无坚不摧的利刃。 相信你行,你就活力无穷。 青春如此华美,却在烟火在散场。 人的一生,可以有所作为的时机只有一次,那就是现在。 只要还有明天,今天就永远是起跑线。 年轻是我们唯一拥有权利去编织梦想的时光。
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三角函数的图像与性质(基础训练)
1、已知函数tan(2)y x ϕ=+的图象恒过点(
,0)12
π,则ϕ可以是( ) A 、--6π B 、6π C 、—12π D 、12π 答案:A
解析:tan(2)y x ϕ=+ 过(
,0)12π,tan()066
k ππϕϕπ∴+=∴+= 6k πϕπ∴=-,当0k =时,ϕ=—6π。
2.函数y =sin2x cos2x 的最小正周期是 ( )
A. 2π
B. 4π c. π4 D. π2
答案:D
3.设0a >,对于函数()sin (0)sin x a f x x x
π+=<<,下列结论正确的是( ) A .有最大值而无最小值 B .有最小值而无最大值
C .有最大值且有最小值
D .既无最大值又无最小值
答案:B
解析:因为sinx>0,分子分母同除以sinx 得:()1sin a f x x =+
,因为0a >,0x π<< 所以0sin 1x <≤,故选B 。
4.已知函数()sin cos f x a x b x =-(a 、b 为常数,0≠a ,R x ∈)在4π=x 处取得最小值,则函数)4
3(x f y -=π是( ) A .偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B .偶函数且它的图象关于点)0,2
3(π对称 C .奇函数且它的图象关于点)0,2
3(π对称 D .奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 答案:B
5、函数sin()(0,,)2y A x x R πωϕωϕ=+><
∈的部分图像如图4-4-1所示,则函数表达式为( )
A .4sin()84y x ππ=-+
B .4sin()84y x ππ=-
C .4sin()84y x ππ=--
D .4sin()84y x ππ
=+
答案:A
解析: 由函数图象可知,函数过点(2,0),(6,0)-,振幅4A =,周期16T =,频率28T ππω==,将函数4sin 8
y x π=向右平移6个单位,得到
34sin((6))4sin()4sin()88484y x x x πππππ=-=-=-+. 6、
要得到y x =的图象,
只需将函数24y x π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的图象上所有的点的( ) A .横坐标缩短到原来的
12
倍(纵坐标不变),再向左平行移动π个单位长度 B .横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),再向右平行移动π个单位长度 C .横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动π个单位长度
D .横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平行移动π个单位长度
答案:C
解析:cos y x =
的周期是24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的周期的2倍,从周期的变化上知道横坐标应该伸长.排除A 、B
.24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的横坐标伸长2
倍后变成了14y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭,
将y x
化成正弦形式为22y x π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭,根据口诀“左加右减”得2y 由1y 向右移动4π
.
7、如图4-4-2所示,某地一天从6时至14时的温度变化曲线近
似满足函数y =A sin (ωx +ϕ)+B .
(1)求这段时间的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
解析:(1)由题中图4-4-2所示,这段时间的最大温差是30
-10=20(℃).
(2)图中从6时到14时的图象是函数y =A sin (ωx +ϕ)
+b 的半个周期的图象, ∴21·ωπ2=14-6,解得ω=8
π.由图示,A =21(30-10)=10,b =21(30+10)=20. 这时y =10sin (8πx +ϕ)+20. 将x =6,y =10代入上式,可取ϕ=4
3π
.
综上,所求的解析式为y =10sin (8πx +4
3π)+20,x ∈[6,14].
8、函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f
的图象如图所示,求其一个解析式. 答案:)32si n )(π
+=x x f (
解析:由图象知函数最大值是1,最小值是-1,所以A=1,
2241264T T w T
πππππ=+=∴=∴==,根据图像平移得3πϕ=, 所以)32si n )(π
+=x x f (。