河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试(文数)

河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学（文科）考生注意：1．本试卷分必考部分和选考部分，共150分。

考试时间120分钟。

2．请将各题答案填在试卷后面的答题卡上。

3．本试卷主要考试内容：高中全部内容。

必考部分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{A k =∈N |10-k }N ，{|2B x x n ==或3,x n n =∈}N ，则A B =I （ ） A ．{}6,9 B ．{}3,6,9 C ．{}1,6,9,10 D ．{}6,9,10 2．若复数z 满足()2z 12i 13i (i -+=+为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知命题:p 一组数据的平均数一定比中位数小；命题:1,1,log 2log 22a b q a b b a ∀>>+≥则下列命题中为真命题的是 （ ）A ． p q ∧B ．()p q ⌝∧ C. ()p q ∧⌝ D ．()p q ∨⌝ 4. 设函数()4,12,1xx a x f x x +<⎧=⎨≥⎩，若243f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数a =（ ） A ．23-B ．43- C. 43-或 23- D ．2-或 23- 5．若实数,x y 满足条件21022030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则432z x y =-+的最大值为（ ）A ．14- B ．4- C.419- D ．423-6．运行如图所示的程序框图，输出的结果S 等于（ ）A ．9B ．13 C. 15 D ．257．若以2为公比的等比数列{}n b 满足2221log log 23n n b b n n +⋅-=+，则数列{}n b 的首项为（ ）A ．12B ．1 C.2 D ．4 8．已知函数()g x 的图象向左平移13个单位所得的奇函数()()()cos 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，且MNE ∆是边长为1的正三角形，则()g x 在下列区间递减的是 （ ） A ．53,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．94,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,26⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 9．已知12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，,M N 分别是双曲线C 的左、右支上关于y 轴对称的两点，且1222F F ON MN ==，则双曲线C 的两条渐近线的斜率之积为（ ）A ．4-B ．423-- C.323-- D ．422-- 10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．2843122+B ．3643122+C ．3642123+D ．44122+11．椭圆()222101y x b b+=<<的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若FAB ∆的外接圆圆心(),P m n 在直线y x =-的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）A ．22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.20,2⎛ ⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12．设函数()3(xg x e x a a =+-∈R,e 为自然对数的底数），定义在R 上的连续函数()f x 满足：()()2f x f x x -+=，且当0x <时，()'f x x <，若存在()(){}0|222x x f x f x x ∈+≥-+，使得()()00g g x x =，则实数a 的取值范围为（ ） A ．12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．(],2e -∞+ C. 1,2e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦ D ．(2e ⎤-∞⎦ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二 2000人、高三n 人中，抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为 ． 14．Rt ∆ABC 中，,4,5,(,2A AB AC AM AB AC πλμλμ=====+∈u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u rR)），若AM BC ⊥，则λμ= ． 15．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里.良马初日行一百零三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢？”其大意:“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是1125里.良马第一天走103里，之后每天比前一天多走13里.驽马笫一天走97里，之后每天比前一天少走0.5里.良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中驽马从出发到相遇行走的路程为 里. 16．点M 是棱长为32的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点N 为11B C 上一点，112,NB NC DM BN =⊥，则动点M 的轨迹的长度为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知24cos 4sin sin 32B CB C --=. （1）求A ；（2）若()2243cos cos bc A a B a b -+=-，求ABC ∆面积.18. （本小题满分12分）如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数()AQI 小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.（1）若该人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市，到达后停留3天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气重度污染的天数为1天的概率；（2）若该人随机选择3月7日至3月12日中的2天到达该市，求这2天中空气质量恰有1天是重度污染的概率.19. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为 梯形，//,223,AB CD AB DC AC BD F ===I ，且PAD ∆与ABD ∆ 均为正三角形，G 为PAD ∆的重心. （1）求证：//GF 平面PDC ； （2）求点G 到平面PCD 的距离.20. （本小题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为,F A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D .（1）若当点A 的横坐标为3，且ADF ∆为等腰三角形，求C 的方程； （2）对于（1）中求出的抛物线C ，若点()001,02D x x ⎛⎫≥⎪⎝⎭，记点B 关于x 轴的对称点为,E AE 交x 轴于点P ，且AP BP ⊥，求证：点P 的坐标为()0,0x -，并求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围.21. （本小题满分12分） 函数()21ln (2f x x x ax a =++∈R)，()232=+x g x e x . （1）讨论()f x 的极值点的个数； （2）若()()0,x f x g x ∀>≤.①求实数a 的取值范围；②求证：0x ∀>，不等式()212xee x e x x+-++>成立. 选考部分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (2sin x a tt y t =⎧⎨=⎩为参数，0a >）. 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 224πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当3a =P 到直线l 的距离的最大值； （2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()2,f x x m x m =--∈N *，且()4f x <恒成立.（1）求实数m 的值；（2）若()()()()0,1,0,1,3f f αβαβ∈∈+=，求证：4118αβ+≥.数学（文科）参考答案一、选择题1-5: DCBAD 6-10: CDBCB 11-12：AB二、填空题13. 24 14.251615. 855 16.5 三、解答题17. 解：(1)()()1cos 44sin sin 22cos cos 2sin sin 22cos 2B C B C B C B C B C +-⨯-=+-=++122cos 3,cos 2A A =-==-,20,3A A ππ<<∴=Q .(2)(2222222222b c a a c b bc ac a b bc ac +-+--⋅+⋅=-Q ,22222222222222b c a b c a a c b a b bc +-+-+-∴-+=-,22222222220,,023b c a b c a A b c a bc π+-∴+--==∴+-≠Q ,11310,sin 222ABC bc S bc A ∆∴-====⨯=. 18. 解：(1)设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”()1,2,...,14i =.依题意知，()114i P A =，且()i j A A i j =∅≠I .设B 为事件“此人停留期间空气重度污染的天数为1天” ，则356710B A A A A A =U U U U ，所以()()()()()()356710514P B P A P A P A P A P A ==U U U U ，即此人停留期间空气重度污染的天数为1天的概率为514. (2) 记3月7日至3月12日中重度污染的2天为,E F ，另外4天记为,,,a b c d ，则6天中选2天到达的基本事件如下：()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a E a F b c b d b E b F c d c E c F ， ()()(),,,,,d E d F E F 共15种，其中2天恰有1天是空气质量重度污染包含()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,a E a F b E b F c E c F d E d F 这8个基本事件，故所求事件的概率为815. 19. 解：(1)连接AG 并延长交PD 于H ，连接CH .由梯形,//ABCD AB CD 且2AB DC =，知21AF FC =，又G 为PAD ∆的重心，21AG GH ∴=，在AHC ∆中，21AG AF GH FC ==，故//GF HC .又HC ⊂平面,PCD GF ⊄平面,//PCD GF ∴平面PDC .(2)连接PG 并延长交AD 于E ，连接BE ，因为平面PAD ⊥平面,ABCD PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，E ∴为AD 的中点，,,PE AD BE AD PE ∴⊥⊥∴⊥平面ABCD ，且3PE =.由（1）知//GF 平面1,3G PCD F PCD P CDF CDF PDC V V V PE S ---∆∴===⨯⨯.又由梯形,//ABCD AB CD ，且223AB DC ==12333DF BD ==又ABD ∆为正三角形，得1360,sin 2CDF CDF ABD S CD DF BDC ∆∠=∠=∴=⨯⨯⨯∠=o ，得133P CDF CDF V PE S -∆=⨯⨯=，所以三棱锥G PCD -的体积为32.又2223,,3,323CD DE CDE CE PC PE EC π==∠=∴==+=Q 在PCD ∆中， 31218115115315cos ,sin ,32322344244PDC PDC PDC S ∆+-∠==-∠===⨯⨯，故点G到平面PCD 33325231515==.20. 解：(1) 由题知,0,322p p F FA ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()3,0,D p FD +的中点坐标为33,024p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则33324p+=，解得2p =，故C 的方程为24y x =. (2) 依题可设直线AB 的方程为()()()011220,,,,x my x m A x y B x y =+≠，则()22,E x y -，由204y x x my x ⎧=⎨=+⎩消去x ，得220001440,.161602y my x x m x --=≥∴∆=+>Q ，121204,4y y m y y x +==-，设P 的坐标为(),0P x ，则()()2211,,,P P PE x x y PA x x y =--=-u u u r u u u r，由题知//PE PA u u u r u u u r，所以()()21210P P x x y y x x -+-=，即()()221212211221211244P y y y y y y y y x y y x y y x +++=+==，显然1240y y m +=≠，所以1204P y y x x ==-，即证()0,0P x x -，由题知EPB ∆为等腰直角三角形，所以1AP k =，即12121y y x x +=-，也即()122212114y y y y +=-，所以()21212124,416y y y y y y -=∴+-=，即22000161616,1,1m x m x x +==-<，又因为012x ≥，所以011,2x d ≤<===，令()220224,2,2t t x t d t t t ⎛-=∈=-==- ⎝⎦，易知()42f t t t =-在⎛ ⎝⎦上是减函数，所以2d ⎫∈⎪⎪⎣⎭. 21. 解：(1)()()[)1',0,'2,f x x a x f x a x=++>∴∈++∞Q . ① 当20a +≥，即[)2,a ∈-+∞时，()'0f x ≥对0x ∀>恒成立，()f x 在()0,+∞ 上单调递增，()f x 没有极值点. ②当20a +<，即(),2a ∈-∞-时，方程210x ax ++=有两个不等正数解12,x x ，()()()()21211'0x x x x x ax f x x a x x x x --++=++==>，不妨设120x x <<，则当()10,x x ∈时，()()'0,f x f x >递增，当()12,x x x ∈时，()()'0,f x f x <递减，当()2,x x ∈+∞时，()()'0,f x f x >递增，所以12,x x 分别为()f x 的极大值点和极小值点. ()f x 有两个极值点.综上所述，当[)2,a ∈-+∞时，()f x 没有极值点，当(),2a ∈-∞-时，()f x 有两个极值点.(2) （i ）()()2ln xf xg x e x x ax ≤⇔-+≥,由0x >，即2ln x e x xa x+-≤对于0x ∀>恒成立，设()()()22212ln ln (0),'xx xe x x e x x e x x x x x x x x ϕϕ⎛⎫+--+- ⎪+-⎝⎭=>=()()()21ln 11x e x x x x x-+++-=，0,x >∴Q 当()0,1x ∈时，()()'0,x x ϕϕ<递减，当()1,x ∈+∞时，()()'0,x x ϕϕ>递增，()()11,1x e a e ϕϕ∴≥=+∴≤+. （ii ）由（i ）知，当1a e =+时，有()()f x g x ≤，即()()22231ln 11ln 22x x e x x x e x e x e x x +≥+++⇔+-+≥， ① 当且仅当1x =时取等号.以下证明ln 2e x x +≥，设()()221ln ,'e e x ex x x x x x xθθ-=+=-=，所以当()0,x e ∈时，()()'0,x x θθ<递减，当(),x e ∈+∞时，()()'0,x x θθ>递增，()()2,ln 2ex e x xθθ∴≥=∴+≥，②当且仅当x e =时取等号. 由于①②等号不同时成立，故有()212xee x e x x+-++>. 22. 解：(1)由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭)cos sin 2ρθρθ-=-()2x y -=-l 的方程为40x y -+=，依题意，设(),2sin P t t ，则P 到直线l的距离6d t π⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，当26t k ππ+=，即2,6t k k Z ππ=-∈时，max d ==，故点P 到直线l的距离的最大值为.(2)因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，t ∴∀∈R ，cos 2sin 40-+>a t t 恒成立，即()4t ϕ+-（其中2tan aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a <<故a 取值范围为(.23. 解：（1）222x m x x m x m --≤--=Q ,要使24x m x --<恒成立，则2m <，解得22m -<<.又m ∈Q N *，1∴=m .（2）()()()()0,1,0,1,22223f f αβαβαβ∈∈∴+=-+-=Q ，即()141414,22525182βααβαβαβαβαβ⎛⎛⎫⎛⎫+=∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4βααβ=，即11,36αβ==时取等号，故4118αβ+≥.。