湖北省武汉市第二中学高二数学上学期期末考试试题 理
2019-2020学年湖北省武汉市第二中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年湖北省武汉市第二中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．设命题:2,ln(3)0p x x ∀<-+>，则p ⌝为（ ）． A ．2x ∃≥-，ln(3)0x +≤ B ．2x ∃<-，ln(3)0x +< C ．2x ∃<-，ln(3)0x +≤ D ．2x ∀<-，ln(3)0x +≤【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题 【详解】因为命题:2,ln(3)0p x x ∀<-+> 所以p ⌝：2x ∃<-，ln(3)0x +≤ 故选：C 【点睛】本题考查的是全称命题的否定，较简单.2．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A =“所取的3个球中至少有1个白球”，则事件A 的对立事件是（ ） A ．1个白球2个红球 B ．2个白球1个红球 C ．3个都是红球 D ．至少有一个红球 【答案】C【解析】试题分析：事件A =“所取的3个球中至少有1个白球” 说明有白球，白球的个数可能是1或2或3，和事件“1个白球2个红球”，“2个白球1个红球”，“至少有一个红球”都能同时发生，既不互斥，也不对立．故选C ． 【考点】互斥事件与对立事件．【方法点睛】对于A 选项：“1个白球2个红球”和“至少有1个白球”能同时发生，故它们不互斥，更谈不上对立了；对于B 选项：“2个白球1个红球”发生时，“至少有1个白球”也会发生，故两事件不对立；对于C 选项：“都是红球”说明没有白球，白球的个数是0，和“至少有1个白球”不能同时发生，是互斥事件，且必有一个发生，故C 选项符合题意；对于D 选项：“至少有1个红球”说明有红球，红球的个数可能是1或2或3，和“至少有1个白球”能同时发生，故两事件不互斥，也不对立．对立事件是在互斥的基础之上，在一次试验中两个事件必定有一个要发生．根据这个定义，对各选项依次加以分析，不难得出选项C 才是符合题意的答案．本题考查了随机事件当中“互斥”与“对立”的区别与联系，属于基础题．3．已知：,a b 表示不同的直线，,αβ表示不同的平面，现有下列命题：①//}////a b b a αα⇒，②}//a a b b αα⊥⇒⊥，③}//a b a b αα⊥⇒⊥，④//}////a a αβαβ⇒，其中真命题有（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】试题分析：①中b αP 或b α⊂，故①错；②中设经过b 的平面与α交于c ，则b c P ，因为a α⊥，所以a c ⊥，所以a b ⊥，故②正确；③中a 可能在α内也可能与α平行还可能与α相交，故③错；④中a βP 或a β⊂，故④错，故选B ． 【考点】空间直线与平面的位置关系．4．01m <<是方程22121x y m m -=-表示椭圆的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】方程22121x ym m -=-表示椭圆，可得201021m m m m>⎧⎪-<⎨⎪≠-⎩，解出m 的范围即可判断出结论 【详解】若方程22121x y m m -=-表示椭圆，则有201021m m m m>⎧⎪-<⎨⎪≠-⎩，解得01m <<且13m ≠所以01m <<是方程22121x y m m -=-表示椭圆的必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查的是椭圆的标准方程和充分、必要条件的知识，较简单.5．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ） A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -= 【答案】B【解析】根据渐近线的方程可求得,a b 的关系,再根据与椭圆221123x y +=有公共焦点求得c 即可. 【详解】双曲线C 的渐近线方程为2y x =,可知b a =①,椭圆221123x y +=的焦点坐标为(－3,0)和(3,0),所以a 2＋b 2＝9②,根据①②可知a 2＝4,b 2＝5. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了双曲线与椭圆的基本量求法,属于基础题型.6．齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜得概率为（ ） A ．49B ．59C ．23D ．79【答案】C【解析】现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛 ,利用列举法求出基本事件有9种，齐王的马获胜包含的基本事件有6种，利用古典概型概率公式可求出齐王的马获胜的概率. 【详解】设齐王上等、中等、下等马分別为,,A B C ，田忌上等、中等、下等马分别为,,a b c ，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,基本事件有：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A a A b A c B a B b B c C a C b C c ，共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有：()()()()()(),,,,,,,,,,,A a A b A c B b B c C c ，共 6种,∴齐王的马获胜的概率为6293P ==，故选C. 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.7．由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，且是奇数，其中恰有两个数字是偶数，则这样的五位数的个数为（ ）． A ．7200 B ．6480 C ．4320 D ．5040【答案】B【解析】以偶数数字取不取0，分两类讨论，每类用先取后排的策略即可 【详解】第一类，偶数数字取0先从1，3，5，7，9中取3个奇数，从2，4，6，8中取1个偶数，有315440C C =中取法，然后将个位数排一个奇数，十位、百位、千位 选一个出来排0，剩下3个数字全排列，即有11333354A A A =种排法所以本类满足条件的五位数有4054=2160⨯个 第二类，偶数数字不取0，先从1，3，5，7，9中取3个奇数，从2，4，6，8中取2个偶数，有325460C C =中取法，然后将个位数排一个奇数，剩下4个数字全排列， 即有143472A A =种排法所以本类满足条件的五位数有6072=4320⨯个 综上：这样的五位数个数为2160+4320=6480【点睛】数字问题是排列中的一大类问题，特别注意带有数字零的题目，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏.8．将四颗骰子各掷一次，记事件A=“四个点数互不相同”，B=“至少出现一个5点”，则概率(|)P B A等于（）．A．23B．16C．60671D．240671【答案】A【解析】根据条件概率的含义，(|)P B A其含义为在A发生的前提下，B发生的概率，即在“四个点数互不相同”的情况下，“至少出现一个5点”的概率，分别求得“四个点数互不相同”与“至少出现一个5点”的情况数目，进而相比可得答案【详解】根据条件概率的含义，(|)P B A其含义为在A发生的前提下，B发生的概率，即在“四个点数互不相同”的情况下，“至少出现一个5点”的概率，“四个点数互不相同”的情况数目为：6543=360⨯⨯⨯在“四个点数互不相同”的前提下，“至少出现一个5点”的情况数目为：65435432240⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=所以2402 (|)3603 P B A==故选：A【点睛】当遇到“至多”“至少”型题目时，一般用间接法求会比较简单.9．一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为12，且是相互独立的，则灯亮的概率是()A．164B．5564C．18D．116【解析】设A 与B 中至少有一个不闭合的事件为,T E 与F 至少有一个不闭合的事件为R ，则()()1131224P T P R ==-⨯=，所以灯亮的概率为()()1P P T P R =-⋅⋅ ()()3311551442264P C P D ⋅=-⨯⨯⨯=v v ， 故选B.【方法点睛】本题主要考查独立事件、对立事件的概率公式，属于难题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性与对立性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()11,M x y ，()11,N x y --在椭圆C 上，若1123MF NF =，且1120MF N ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（ ）．A ．B C ．10D ．7【答案】A【解析】由椭圆的对称性可知，四边形12MF NF 为平行四边形，且1120MF N ∠=︒，所以1260F MF ∠=︒，设2113,2MF m NF m MF ===，由余弦定理求得12F F ，由椭圆定义得25a m =，即可求出离心率. 【详解】由椭圆的对称性可知，四边形12MF NF 为平行四边形， 且1120MF N ∠=︒，所以1260F MF ∠=︒ 在12F MF △中，因为1123MF NF =， 所以可设2113,2MF m NF m MF === 由余弦定理得21222222112cos607M F F MF MF F m F M =+-︒=即12F F =，即2c =由椭圆的定义得1252MF a MF m +==故椭圆的离心率为7755c m e a m ===故选：A 【点睛】本题考查了椭圆的定义和几何性质的应用，也考查了椭圆离心率的求法，属于中档题. 11．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点M 在棱AB 上，且1AM =，点P 是正方体下底面ABCD 内（含边界）的动点，且动点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为16，则动点P 到B 点的最小值是（ ）． A ．72B ．22C ．6D ．2【答案】C【解析】作PQ AD ⊥，11QR A D ⊥，PR 即为P 到直线11A D 的距离，从而可得PM PQ =，即点P 的轨迹是以AD 为准线，点M 为焦点的抛物线，然后建立平面直角坐标系求解. 【详解】如图所示，作PQ AD ⊥，Q 为垂足，则PQ ⊥面11ADD A 过点Q 作11QR A D ⊥，则11A D ⊥面PQR 所以PR 即为P 到直线11A D 的距离因为22216PR PQ RQ -==，2216PR PM -= 所以PM PQ =所以点P 的轨迹是以AD 为准线，点M 为焦点的抛物线如图建立直角坐标系，则点P 的轨迹方程是(22022y x y =≤≤点7,02B ⎛⎫⎪⎝⎭,设2,2y P y ⎛⎫⎪⎝⎭所以22422754922424y y y PB y ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭所以当25y =，PB 6故选：C 【点睛】本题考查的是立体几何中的垂直关系、解析几何中抛物线的定义及最值问题，属于较难题.12．甲乙两人进行乒乓球比赛，规定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，设比赛停止时已打局数为ξ，则(5)P ξ≥=（ ）．A ．320729B ．64729C ．2681D ．1681 【答案】D【解析】5ξ≥表示的是前4局中没有分出胜负，即前2局中各胜一局，第3、4局各胜一局，算出其概率即可 【详解】因为5ξ≥表示的是前4局中没有分出胜负, 即前2局中各胜一局， 第3、4局各胜一局所以2211222116(5)3381P C C ξ⎛⎫⎛⎫≥==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D 【点睛】本题考查的是独立重复试验有关的概率，属于中档题.二、填空题13．在二项式n的展开式中，当且仅当第6项的二项式系数最大，则n =__________．【答案】10【解析】利用二项式定理的展开式的二项式系数的性质即可求出 【详解】因为n-的展开式中，当且仅当第6项的二项式系数最大所以10n = 故答案为：10 【点睛】本题考查的是二项式定理的知识，较简单.14．某校有高级教师25人，中级教师100人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取40人进行调查，已知从其他教师中共抽取了15人，则该校共有教师_____人． 【答案】200【解析】由题意可先计算抽样比，再由抽样比求总人数． 【详解】设该校其他教师有x 人，则401525100x x=++，∴x=75，故全校教师共有25+100+75=200人．故答案为：200 【点睛】进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解： （1）n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；（2）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15．如果椭圆22184x y +=的弦被点(2,1)平分，则这条弦所在的直线方程是__________． 【答案】3y x =-+【解析】设直线与椭圆的两交点坐标为()()1122,,,x y x y ，代入椭圆方程，利用点差法求得斜率，然后求解直线方程 【详解】设直线与椭圆的两交点坐标为()()1122,,,x y x y则2211184x y +=，2222184x y +=两式作差可得()()()()12121212084x x x x y y y y +-+-+=因为弦被点(2,1)平分 所以12124,2x x y y +=+=所以1212022x x y y --+=，即12121y y x x -=-- 所以直线的斜率为1-所以直线的方程为：()112y x -=-⨯-，即3y x =-+ 故答案为：3y x =-+ 【点睛】点差法是求解中点弦问题的常用方法.16．一个口袋中有3个红球4个白球，从中取出2个球．下面几个命题： （1）如果是不放回地抽取，那么取出1个红球，1个白球的概率是27（2）如果是不放回地抽取，那么在至少取出一个红球的条件下，第2次取出红球的概率是35（3）如果是有放回地抽取，那么取出1个红球1个白球的概率是1249（4）如果是有放回地抽取，那么第2次取到红球的概率和第1次取到红球的概率相同. 其中正确的命题是__________． 【答案】（2）（4）【解析】算出（1）和（3）中对应事件的概率即可判断其正确与否，（2）当中是条件概率，先算出至少取出一个红球的概率和至少取出一个红球且第2次取出红球的概率即可，（4）是正确的.【详解】如果是不放回地抽取，那么取出1个红球，1个白球的概率是3443476767⨯+⨯=，故（1）错误如果是不放回地抽取，至少取出一个红球的概率是34433257676767⨯+⨯+⨯=至少取出一个红球且第2次取出红球的概率是4332376767⨯+⨯=所以如果是不放回地抽取，那么在至少取出一个红球的条件下，第2次取出红球的概率是337557=，故（2）正确如果是有放回地抽取，那么取出1个红球1个白球的概率是344324777749⨯+⨯=，故（3）错误如果是有放回地抽取，那么第2次取到红球的概率和第1次取到红球的概率相同都为37，故（4）正确故答案为：（2）（4）【点睛】抽取问题一定要注意是放回还是不放回.三、解答题17．已知1223nx x-⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求其展开式中的常数项．【答案】215T=【解析】代入1x=求得各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，根据二者相差992可得方程，解方程求出n，然后写出展开式的通项即可求出常数项.【详解】1223n x x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式各项系数和为1221431nn -⎛⎫ ⎪⎝⎭=+⨯二项式系数和为2n因为各项系数和比它的二项式系数和大992，即42992n n -= 所以5n =12253x x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为：()515522215533rr rr rrr T C x x C x---+⎛⎫==⎪⎝⎭令5502r-=，解得1r = 所以展开式中的常数项为：1125315T C ==【点睛】本题考查二项式定理的应用，涉及到二项式系数和、各项系数和的求解，特定项的求解，关键在于能够熟练运用展开式的通项公式，属于常见题型.18．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,495]，（495,500]，……（510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率． 【答案】12，【解析】19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=o ，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD AD ===，1BC =，3CD =()1求证：平面PQB ⊥平面PAD ；()2若3PM MC =，求二面角M BQ C --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）6π． 【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用面面垂直的判定定理推证；（2）借助题设运用空间向量的数量积公式求解． 试题解析：（1）∵Q 为AD 的中点，2PA PD AD ===，1BC =，∴PQ AD ⊥，//QL BC ，∴四边形BCDQ 是平行四边形，∴//DC QB ， ∵底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=o ，∴BQ AD ⊥．又BQ PQ Q ⋂=，∴AD ⊥平面PQB ．∵AD ⊂平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD ．…………6分（2）∵PQ AD ⊥，平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂底面ABCD AD =， ∴PQ ⊥底面ABCD ，以Q 为原点，QA 为x 轴，QB 为y 轴，QP 为轴z ，建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)Q，B，(C -，P ，设(,,)M a b c ，则34PM PC u u u u r u u u r=，即33(,,((44a b c -=-=-， ∴34a =-，b =c =∴3(4M -，3(,444QM u u u u r =-，QF u u u r =，设平面MQB 的法向量(,,)r x y z =r，则3·0{4·0n QM x y n QB =-+===u u u u r u u u r ， 取1x =，得r =r，平面BQC 的法向量(0,0,1)n =r．设二面角M BQ C --的平面角为θ，则·cos 2·m n m nθ==r rr r ，∴6πθ=，∴二面角M BQ C --的大小为6π．………………12分【考点】空间线面的位置关系及向量的数量积公式等有关知识的综合运用．20．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现有甲、乙两人从袋中轮流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……直到袋中的球取完即终止.若摸出白球，则记2分，若摸出黑球，则记1分.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.（1）求袋中白球的个数；（2）用ξ表示甲，乙最终得分差的绝对值，求随机变量ξ的概率分布列及数学期望Eξ．【答案】（1）3；（2）x的概率分布列为：121945402435353535Eξ=⨯+⨯+⨯=.【解析】试题分析：（1）这属于古典概型问题，从7个球中任取两个，共有27C种取法，而如果其中有n个白球，则任取两个白球的取法为2n C，由题意有22717nCC=，解之得3n=；（2）首先要知道随机变量ξ的所有可能取值，由（1）可知，袋中有3个白球、4个黑球，甲四次取球可能的情况是：4个黑球、3黑1白、2黑2白、1黑3白.相应的分数之和为4分、5分、6分、7分；与之对应的乙取球情况：3个白球、1黑2白、2黑1白、3黑，相应分数之和为6分、5分、4分、3分；即x可能的取值是0,2,4.，再利用公式计算可得分布列和期望.试题解析：（1）设袋中原有n个白球，由题意,知2271(1) 776nC n nC-==⨯，解之得n=3或n=-2（舍去），即袋中原有3个白球；(2)由（1）可知，袋中有3个白球、4个黑球．甲四次取球可能的情况是：4个黑球、3黑1白、2黑2白、1黑3白.相应的分数之和为4分、5分、6分、7分；与之对应的乙取球情况：3个白球、1黑2白、2黑1白、3黑，相应分数之和为6分、5分、4分、3分；即x 可能的取值是0,2,4.31434712(0)35C C P C ξ⋅===； 4224434719(2)35C C C P C ξ+⋅===；1343474(4)35C C P C ξ⋅===， 所以x 的概率分布列为：1219454024********E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【考点】古典概型；随机变量的分布列和数学期望.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程;（2）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=，（2）存在符合条件的圆，且此圆的方程为227x y +=，定值为34-【解析】（1）利用离心率和点在椭圆上列出方程，解出,,a b c 即可（2）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+，先将直线的方程与椭圆的方程联立，利用直线l 与椭圆有且仅有一个公共点，推出2243m k =+，然后通过直线与圆的方程联立，设()111,P x y ，()222,P x y ，结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出12k k 为定值，然后再验证直线l 的斜率不存在时也满足即可 【详解】（1）由题意得：12c a =，222a b c =+ 又因为点31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上 所以221914a b +=解得2,1a b c ===所以椭圆的标准方程为：22143x y +=（2）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为227xy +=证明如下：假设存在符合条件的圆，且设此圆的方程为：222(0)x y r r +=> 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+由方程组22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2224384120k x kmx m +++-=因为直线l 与椭圆有且仅有一个公共点 所以()()()222184434120km k m ∆=-+-=即2243m k =+ 由方程组222y kx mx y r=+⎧⎨+=⎩得()2222120k x kmx m r +++-=则()()()222222410km k m r∆=-+->设()111,P x y ，()222,P x y ，则221212222,11km m r x x x x k k --+==++ 设直线1OP ，2OP 的斜率分别为1k ，2k所以()()()221212121212121212kx m kx m k x x km x x my y k k x x x x x x +++++=== 222222222222222111m r kmk km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+ 将2243m k =+代入上式得()2212224343r k k k k r-+=+-要使得12k k 为定值，则224343r r-=-，即27r = 所以当圆的方程为227xy +=时，圆与l 的交点1P ，2P 满足12k k 为定值34-当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =± 此时圆与l 的交点1P ，2P 也满足12k k 为定值34- 综上：当圆的方程为227xy +=时，圆与l 的交点1P ，2P 满足12k k 为定值34- 【点睛】涉及圆、椭圆的弦长、交点、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.22．为了推广电子支付，某公交公司推出支付宝和微信扫码支付乘车优惠活动，活动期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，现用y 表示活动推出第x 天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：x1 2 3 4 5 6 7 y612233465106195表1根据以上数据绘制了散点图．（1）根据散点图判断，在活动期内，y a bx =+与x y c d =⋅（c ，d 均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据建立y 关于x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；（3）优惠活动结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下车队为缓解周边居民出行压力，以90万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知每辆车每个月的运营成本约为0.978万元．已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有112的概率享受6折优惠，有16的概率享受7折优惠，有14的概率享受8折优惠，有12的概率享受9折优惠．预计该车队每辆车每个月有1.5万人次乘车，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，假设这批车需要()*n n N ∈年才能开始盈利，求n 的值． 参考数据：其中lg i i v y =，7117i i v v ==∑．参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线ˆˆˆvu αβ=+⋅的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni i i nii u v nu vunu β==-⋅=-∑∑，ˆˆv u αβ=-⋅．【答案】（1）x y c d =⋅适宜作为扫码支付的人次y 关于x 的回归方程类型，（2）$0.253.5510x y =⨯，第8天使用扫码支付的人次为355，（3）5n = 【解析】（1）根据散点图判断x y c d =⋅适宜作为扫码支付的人次y 关于x 的回归方程类型（2）由x y c d =⋅两边同时取对数得()lg lg lg lg xy c dc d x =⋅=+⋅，设lg y v =，即lg lg v c d x =+⋅，然后按照公式计算即可（3）先列出一名乘客乘车支付的费用的分布列，然后算出其平均值，然后根据条件即可建立不等式求解 【详解】（1）根据散点图判断xy c d =⋅适宜作为扫码支付的人次y 关于x 的回归方程类型（2）因为xy c d =⋅，两边同时取对数得()lg lg lg lg xy c dc d x =⋅=+⋅设lg y v =，即lg lg v c d x =+⋅ 因为4x =， 1.55v =，721140i i x =∑=所以·7117222750.474 1.5570.2514074287lgi i i ii v x vx d xx ==-⋅-⨯⨯===-⨯-=∑∑ 把样本中心点()4,1.55代入lg lg v c d x =+⋅得¶lg 0.55c = 所以0.550.25vx =+$，即·lg 0.550.25y x =+ 所以y 关于x 的回归方程为$0.550.250.2510 3.5510x x y +==⨯ 把8x =代入上式得$355y =所以活动推出第8天使用扫码支付的人次为355 （3）记一名乘客乘车支付的费用为Z ， 则Z 的取值可能为2，1.8，1.6，1.4，1.2()20.1P Z ==；()11.80.360.182P Z ==⨯=()11.60.540.360.634P Z ==+⨯=；()11.40.360.066P Z ==⨯=()11.20.360.0312P Z ==⨯=第 21 页 共 21 页 其分布列为：所以，一名乘客一次乘车的平均费用为： 20.1 1.80.18 1.60.63 1.40.06 1.20.03 1.652⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因为每辆车每个月的运营成本约为0.978万元，每辆车每个月有1.5万人次乘车， 买车费用是90万元，假设经过x 年开始盈利所以12 1.652 1.5120.978900x x ⨯⨯-⨯-≥解得5x ≥，即第五年开始盈利，5n =【点睛】本题主要考查用样本估计总体和变量的相关关系，属于基础题，对计算能力要求较高.。
武汉市第二中学高二数学上学期期末考试试题理
自然数 , 则它是“有缘数”的概率是 ( )
A. 1
B. 1
C. 2
D. 3
2
3
3
4
7. 如果 ξ～ B , , 则使 P( ξ ＝ k) 取最大值时的 k 值为 ( )
A． 5 或 6 C． 7 或 8
B． 6 或 7
D．以上均错
8. 已知 实数
x 1,9 , 执行如图所示的程序框图 , 则输出的 x 不
(2 ) 已知点 A, B 为动直线 y k ( x 2)( k 0) 与椭圆 C 的两个交点 , 问：在 x 轴上是否存在点 E , 使 uuur 2 uuur uuur EA EA AB 为定值？若存在 , 试求出点 E 的坐 标和定值 , 若不存在 , 说明理由 .
22. ( 本小题满分 12 分 ) 在平面直角坐标系 xOy 中 , 已知点 Q(1,2), P 是动点 , 且三角形 POQ 的三边所在直线的斜率
第一组 4.75,4.85 , 第二组 4.85,4.95 , …, 第 6 组 5.25,5.35 , 下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图 .
又知：该校所在的省中 , 全省喜爱足球的高中生视力统计调查数据显示：全省
服从正态分布 N 5.01,0.0064 .
100000 名喜爱足球的高中生的视力
2003 件产品中剔除 3 件 , 剩下的 2000
件再按系统抽样的方法抽取 , 则每件产品被选中的概率 ( )
A. 不都相等
B. 都不相等
C. 都相等 , 且为 50 2003
D. 都相等 , 且为 1 40
5. 在下列命题中：
rr
rr
①若向量 a、b 共线 , 则向量 a、b 所在的直线平行；
2016-2017学年湖北省武汉市第二中学高二上学期期末考试数学(理)试卷(带解析)
绝密★启用前2016-2017学年湖北省武汉市第二中学高二上学期期末考试数学（理）试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．已知a +2ii =b +i （a ,b 是实数），其中i 是虚数单位，则a b =（ ）A. -2B. -1C. 1D. 32．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1=−2,S 3=0，则{a n }的公差为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 43．已知集合A ={1,2,3,4},B ={x |y =2x ,y ∈A }则A ∩B =（ ）A. {2}B. {1,2}C. {2,4}D. {1,2,4}4．在平面直角坐标系x O y 中，不等式组{x −y −1≤0x +y −1≤0x ≥−1表示的平面区域的面积为 （ ）A. 2B. 4C. 6D. 85．命题p :甲的数学成绩不低于100分，命题q :乙的数学成绩低于100分，则p ∨(¬q )表示 （ ）A. 甲、乙两人数学成绩都低于100分B. 甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分C. 甲、乙两人数学成绩都不低于100分D. 甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分6．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（ ）A. 104人B. 108人C. 112人D. 120人7．执行如图所示的程序框图，若分别输入1，2，3，则输出的值的集合为 （ ）A. {1,2}B. {1,3}C. {2,3}D. {1,3,9}8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 72B. 143C. 7D. 149．设曲线x=2y−y2上的点到直线x−y−2=0的距离的最大值为a，最小值为b，则a−b的值为（）A. 22B. 2 C. 22+1 D. 210．函数y=sin x−1x的图象大致是（）A. B.C. D.11．已知ΔA B C的外接圆半径为2，D为该圆上的一点，且A B+A C=A D，则ΔA B C的面积的最大值为（）A. 3B. 4C. 33D. 4312．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P为双曲线C上一点，Q为双曲线C渐近线上一点，P、Q均位于第一象限，且Q P=PF2,Q F1·Q F2=0，则双曲线C的离心率为（）A. 5−1B. 3C. 3+1D. 5+113．已知tanα=2，则sinα+co sα2sinα+cosα=__________．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题14．若直线(a +1)x −y +2=0与直线x +(a −1)y −1=0平行，则实数a 的值为__________．15．已知x =0是函数f (x )=(x −2a )(x 2+a 2x +2a 3)的极小值点，则实数a 的取值范围是__________．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 1=1,a 2=2,S n +1=a n +2−a n +1(n ∈N ∗)，若不等式λS n >a n 恒成立，则实数λ的取值范围是__________．三、解答题17．已知向量a =(sin x ,cos x )，b =(cos (x +π6)+sin x ,cos x )，函数f (x )=a ·b ．（1）求f (x )的单调递增区间；（2）若α∈(0,π2)且cos (α+π12)=13，求f (α)．18．心理学家分析发现“喜欢空间想象”与“性别”有关，某数学兴趣小组为了验证此结论，从全体组员中按分层抽样的方法抽取50名同学（男生30人、女生20人），给每位同学立体几何题、代数题各一道，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题情况统（1）能否有97.5%以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关？（2）经统计得，选择做立体几何题的学生正答率为45，且答对的学生中男生人数是女生人数的5倍，现从选择做立体几何题且答错的学生中任意抽取两人对他们的答题情况进行研究，求恰好抽到男女生各一人的概率．附表及公式：K 2=n (a d −b c )2a b c d a c b d 19．如图,在三棱柱A B C −A 1B 1C 1中，D 为A B 的中点，C D ⊥D A 1,A C ⊥B C ,∠A BB 1=450，A C =B C =B B 1=2．（1）证明：B1D⊥B D；（2）求点A到平面A1C D的距离．20．过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C相交于A、B两点，|A B|=855，点P是椭圆C上的动点，且cos∠F1PF2的最小值为35．（1）求椭圆C的方程；（2）过点(−2,0)的直线l与椭圆相交于M、N两点，求F2B·F2N的取值范围．21．已知函数f(x)=x−ae x+b(a>0,b∈R)．（1）求f(x)的最值；（2）若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2，证明：x1+x2<−2ln a．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x O y中，直线l:{x=ty=5+2t（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+4=0．（1）写出曲线C的直角坐标方程；（2）已知点A(0,5)，直线l与曲线C相交于点M、N，求1|A M|+1|A N|的值．23．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x−a|+|x+b|(a>0,b>0)．（1）若a=1,b=2，解不等式f(x)≤5；（2）若f(x)的最小值为3，求a2b +b2a的最小值．参考答案1．A【解析】解析：由题设可得a +2i =b i −1，则a =−1,b =2，故a b =−2，应选答案A 。
湖北省武汉市部分学校高二数学上学期期末试卷 理(含解析)
湖北省武汉市部分学校2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则（）A．p1=p2＜p3B．p2=p3＜p1C．p1=p3＜p2D．p1=p2=p32．（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣10 B．﹣8 C．﹣4 D．﹣23．（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）阅读下面的程序，当a=1，b=2时，输出的a的值为（）A．B．1 C．D．25．（5分）有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.457．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．248．（5分）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i=x i+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a9．（5分）设m∈R，过定点A的运直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P （x，y），则|PA|•|PB|的最大值是（）A．4 B．5 C．6 D．810．（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中．（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i（i=1，2）．则（）A．p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B．p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）C．p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D．p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．（5分）在（1﹣x2）10的展开式中，x6的系数为．12．（5分）为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为．13．（5分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是．14．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是15．（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是5的概率为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：分组[500，900）[900，1100）[1100，1300）[1300，1500）[1500，1700）[1700，1900）[1900，+∞）频数48 121 208 223 193 165 42频率（1）将各组的频率填入表中；（2）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；（3）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，试求至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率．17．（12分）矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（Ⅰ）求AD边所在直线的方程；（Ⅱ）求矩形ABCD外接圆的方程．18．（12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千克）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，计算得x i=80，y i=20，x i y i=184，x i2=720．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程=x+，并判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（Ⅱ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．注：线性回归方程=x+中，=，其中，为样本平均值．19．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．20．（13分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z﹣N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．21．（14分）如图，已知圆C的圆心在直线l：y=2x﹣4上，半径为1，点A（0，3）．（Ⅰ）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（Ⅱ）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|（O为坐标原点），求圆心C的横坐标a的取值范围．湖北省武汉市部分学校2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则（）A．p1=p2＜p3B．p2=p3＜p1C．p1=p3＜p2D．p1=p2=p3考点：等可能事件的概率．分析：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．解答：解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3，故选：D点评：本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础．2．（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣10 B．﹣8 C．﹣4 D．﹣2考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：求出圆心和半径，根据弦长公式进行求解即可．解答：解：圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，则圆心坐标为（﹣1，1），半径r=，∵圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，∴圆心到直线的距离d==，解得a=﹣4，故选：C．点评：本题主要考查直线和圆相交以及弦长公式的应用，求出圆心和半径是解决本题的关键．3．（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．解答：解：∵AB=2，BC=1，∴长方体的ABCD的面积S=1×2=2，圆的半径r=1，半圆的面积S=，则由几何槪型的概率公式可得质点落在以AB为直径的半圆内的概率是，故选：B．点评：本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）阅读下面的程序，当a=1，b=2时，输出的a的值为（）A．B．1 C．D．2考点：顺序结构．专题：算法和程序框图．分析：模拟执行程序，根据赋值语句的功能，按照顺序依次写出a，b的值即可．解答：解：模拟执行程序，可得a=1，b=2a=3，b=1b=1，a=2输出a的值为2．故选：D．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模，本题属于基础题．5．（5分）有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开的概率是（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：由题意2人总的下法功36种结果，2人在同一层下共6种，故先求该事件的概率，再由对立事件的概率可得．解答：解：由题意总的基本事件为：两个人各有6种不同的下法，故共有36种结果，而两人在同一层下，共有6种结果，∴两个人在同一层离开电梯的概率是=：所以2个人在不同层离开的概率为1﹣=故选：D点评：本题考查等可能事件的概率，从对立事件的概率入手时解决问题的关键，属基础题．6．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．解答：解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则有题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．7．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．24考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理可得结论．解答：解：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理，6×4=24．故选：D．点评：本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是关键．8．（5分）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i=x i+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论．方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论．解答：解：方法1：∵y i=x i+a，∴E（y i）=E（x i）+E（a）=1+a，方差D（y i）=D（x i）+E（a）=4．方法2：由题意知y i=x i+a，则=（x1+x2+…+x10+10×a）=（x1+x2+…+x10）=+a=1+a，方差s2=[（x1+a﹣（+a）2+（x2+a﹣（+a）2+…+（x10+a﹣（+a）2]=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2=4．故选：A．点评：本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量y=ax+b，则Ey=aEx+b，Dy=a2Dx，利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算．9．（5分）设m∈R，过定点A的运直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P （x，y），则|PA|•|PB|的最大值是（）A．4 B．5 C．6 D．8考点：两点间距离公式的应用；直线的一般式方程．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当|PA|=|PB|=时取“=”）故选：B点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．10．（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中．（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i（i=1，2）．则（）A．p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B．p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）C．p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D．p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：首先，这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的，然后分两种情况：即当ξ=1时，有可能从乙盒中拿出一个红球放入甲盒，也可能是拿到一个蓝球放入甲盒；ξ=2时，则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝、或者两红；最后利用概率公式及分布列知识求出P1，P2和E（ξ1），E（ξ2）进行比较即可．解答：解析：，，，所以P1＞P2；由已知ξ1的取值为1、2，ξ2的取值为1、2、3，所以，==，E（ξ1）﹣E（ξ2）=．故选A点评：正确理解ξi（i=1，2）的含义是解决本题的关键．此题也可以采用特殊值法，不妨令m=n=3，也可以很快求解．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．（5分）在（1﹣x2）10的展开式中，x6的系数为﹣120．考点：二项式系数的性质．专题：综合题；二项式定理．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为6，从而可求出x6的系数．解答：解：根据所给的二项式（1﹣x2）10，写出展开式的通项，T r+1=（﹣1）r x2r；要求x6的项的系数∴2r=6，∴r=3，∴x6的项的系数是﹣C103=﹣120故答案为：﹣120．点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．12．（5分）为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为25．考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：利用系统抽样的性质求解．解答：解：由已知得：分段的间隔为：=25．故答案为：25．点评：本题考查系统抽样的分段间隔的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意系统抽样的性质的合理运用．13．（5分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是（0，﹣1，0）．考点：用空间向量求直线间的夹角、距离．专题：计算题；方程思想．分析：根据点M在y轴上，设出点M的坐标，再根据M到A与到B的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得AM，BM，解方程即可求得M的坐标．解答：解：设M（0，y，0）由12+y2+4=1+（y+3）2+1可得y=﹣1故M（0，﹣1，0）故答案为：（0，﹣1，0）．点评：考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆，利于知识的系统化，属基础题．14．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是55考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y，z的值，当z=55时，不满足条件z≤50，退出循环，输出z的值为55．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=1，y=1，z=2满足条件z≤50，x=1，y=2，z=3满足条件z≤50，x=2，y=3，z=5满足条件z≤50，x=3，y=5，z=8满足条件z≤50，x=5，y=8，z=13满足条件z≤50，x=8，y=13，z=21满足条件z≤50，x=13，y=21，z=34满足条件z≤50，x=21，y=34，z=55不满足条件z≤50，退出循环，输出z的值为55．故答案为：55．点评：本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的x，y，z的值是解题的关键，属于基础题．15．（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是5的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：由题意知，七个数的中位数是5，说明5之前5个数中取3个，5之后4个数中取3个，根据概率公式计算即可．解答：解：5之前5个数中取3个，5之后4个数中取3个，P==．故答案为：．点评：本题主要考查了古典概率和中位数的问题，关键是审清题意，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：分组[500，900）[900，1100）[1100，1300）[1300，1500）[1500，1700）[1700，1900）[1900，+∞）频数48 121 208 223 193 165 42频率（1）将各组的频率填入表中；（2）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；（3）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，试求至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率．考点：概率的意义；频率分布表．专题：概率与统计．分析：（1）由频率=，可得出各组的频率；（2）要计算灯管使用寿命不足1500小时的频率，即计算前四个小组的频率之和；（3）恰至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时即2支灯管使用寿命不足1500小时，或3支灯管使用寿命超过1500小时，分为两种情形，最后求出它们的和即可．解答：解：（1）解：分组[500，900）[900，1100）[1100，1300）[1300，1500）[1500，1700）[1700，1900）[1900，+∞）频数48 121 208 223 193 165 42频率0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042（2）解：由（I）可得0.048+0.121+0.208+0.223=0.6，所以灯管使用寿命不足1500小时的频率为0.6．（3）解：由（II）知，1支灯管使用寿命不足1500小时的概率P=0.6，根据在n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率公式可得．所以至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是0.648．点评：本题主要考查频率分布表的计算和频数分布直方图的应用以及概率的求法，属于基础题．17．（12分）矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（Ⅰ）求AD边所在直线的方程；（Ⅱ）求矩形ABCD外接圆的方程．考点：直线和圆的方程的应用．专题：综合题．分析：（I）由已知中AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，且AD与AB垂直，我们可以求出直线AD的斜率，结合点T（﹣1，1）在直线AD上，可得到AD边所在直线的点斜式方程，进而再化为一般式方程．（II）根据矩形的性质可得矩形ABCD外接圆圆心即为两条对角线交点M（2，0），根据（I）中直线AB，AD的直线方程求出A点坐标，进而根据AM长即为圆的半径，得到矩形ABCD外接圆的方程．解答：解：（I）∵AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，且AD与AB垂直，∴直线AD的斜率为﹣3．又∵点T（﹣1，1）在直线AD上，∴AD边所在直线的方程为y﹣1=﹣3（x+1），即3x+y+2=0．（II）由，解得点A的坐标为（0，﹣2），∵矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0）．∴M为矩形ABCD外接圆的圆心，又|AM|2=（2﹣0）2+（0+2）2=8，∴．从而矩形ABCD外接圆的方程为（x﹣2）2+y2=8．点评：本题考查的知识点是直线的点斜式方程，两条直线的交点坐标，圆的标准方程，其中（1）的关键是根据已知中AB边所在直线的方程及AD与AB垂直，求出直线AD的斜率，（2）的关键是求出A点坐标，进而求出圆的半径AM长．18．（12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千克）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，计算得x i=80，y i=20，x i y i=184，x i2=720．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程=x+，并判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（Ⅱ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．注：线性回归方程=x+中，=，其中，为样本平均值．考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意可知n=10，=x i=8，=y i=2，代入可得b值，进而可得a值，可得方程，由回归方程x的系数b的正负可判；（Ⅱ）把x=7代入回归方程求其函数值即可．解答：解：（Ⅰ）由题意，n=10，=x i=8，=y i=2，∴==0.3，=2﹣0.3×8=﹣0.4，∴=0.3x﹣0.4，∵0.3＞0，∴变量x与y之间是正相关；（Ⅱ）x=7时，=0.3×7﹣0.4=1.7千元．点评：本题考查线性回归方程的求解及应用，属基础题．19．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，计算即可，（Ⅱ）求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可．解答：解：（Ⅰ）设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和．则P（B）=，再根据对立事件的概率之间的公式可得P（A）=1﹣P（B）=，故至少有一种新产品研发成功的概率为．（Ⅱ）由题可得设企业可获得利润为X，则X的取值有0，120，100，220，由独立试验的概率计算公式可得，，，，，所以X的分布列如下：X 0 120 100 220P（x）则数学期望E（X）==140．点评：本题主要考查了对立事件的概率，分布列和数学期望，培养学生的计算能力，也是近几年2015届高考题目的常考的题型．20．（13分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z﹣N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N，从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．解答：解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N，从而P（187.8＜Z＜212.2）=P=0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．点评：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．21．（14分）如图，已知圆C的圆心在直线l：y=2x﹣4上，半径为1，点A（0，3）．（Ⅰ）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（Ⅱ）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|（O为坐标原点），求圆心C的横坐标a的取值范围．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）求出圆心C的坐标，设出点A作圆C的切线方程，利用点到直线的距离等于半径，然后求切线的方程；（Ⅱ）设出圆C的方程，点M的坐标，利用|MA|=2|MO|，求出M的轨迹，通过两个圆的位置关系，求圆心C的横坐标a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由，得圆心C（3，2），过点A作圆C的切线斜率存在，设A 点的圆C的切线的方程：y=kx+3，即kx﹣y+3=0．由题意，，解得k=0，k=，所求切线方程为：y=3或3x+4y﹣12=0；（Ⅱ）∵圆C的圆心在直线l：y=2x﹣4上，∴圆C的方程设为：（x﹣a）2+（y﹣（2a﹣4））2=1，设M（x，y），由|MA|=2|MO|，可得：，化简可得x2+（y+1）2=4，点M在以D（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M（x，y）在圆上，∴圆C和圆D有公共点，则|2﹣1|≤|CD|≤2+1，∴1≤3，即1，5a2﹣12a+8≥0，可得a∈R，由5a2﹣12a≤0，可得0，圆心C的横坐标a的取值范围：．点评：本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．。
湖北武汉二中10-11学年高二数学上学期期末考试 理【会员独享】
6. 是椭圆 的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则 的最大值是( )
A．4B．5C．2D．1
7.将参加夏令营的720名学生编号为：001，002···720，采用系统抽样方法抽取一个容量为60的样本，且随机抽得的第一个号码为004.又这720名学生分住在三个营区，从001到360在第I营区，从361到640在第II营区，从641到720在第Ⅲ营区，则三个营区被抽中的人数依次为( )
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元. 表示经销一件该商品的利润.
(1)求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；
(2)求 的分布列及期望E ；
18.(本小题满分12分)在每年的春节后，某市政府都会发
动公务员参与到植树绿化活动中去.林业管理部门在植树前，
为了保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测.现从
甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗，量出它们的高度如
下(单位：厘米)：
甲：37，21，31, 20, 29, 19, 32, 23, 25, 33；
乙：10, 30, 47, 27, 46, 14, 26, 10, 44, 46.
(3)完成下面2×2列联表，并回答能否有99.5%的把握认为“施用新化肥和不施用新化肥的小麦产量有差异”
表3：
小麦产量小于20kg
小麦产量不小于20kg
合计
施用新化肥
=
不施用新化肥
合计
附：
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
21. (本小题满分14分)已知直线 经过椭圆 的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点P是椭圆C上位于 轴上方的动点，直线AP，BP与直线 分别交于M，N两点.
湖北省武汉市第二中学高二数学上学期期末考试试题文
武汉二中2015-2016学年度上学期期末考试高二文科数学试卷考试时间:2016年1月27日上午8:00—10:00 试卷满分:150分一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上。
） 1. 复数25-i 的共轭复数是( ) A 2+i B i -2 C i --2 D 2-i2. 如图是某学校一名篮球运动员在10场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这10 场比赛中得分的中位数为（ ）A 15B 15.5C 16D 16.53．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取( )名学生． A 10 B 15 C 20 D 25 4．设函数()y f x =的定义域为R ，则"(0)0"f =是“函数()f x 为奇函数”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件5. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是（ ）A 6n =B 6n <C 6n ≤D 8n ≤6．已知某种产品的支出广告额x 与利润额y （单位：万元）之间有如下对应数据：则回归直线方程必过（ ）A ．()5,36B ．()5,35C ．()5,30D ．()4,307．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为（ ）A x y 41±= B x y 31±= C x y 21±= D x y ±=8．已知函数()2log f x x =，任取一个01,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使()00f x >的概率为（ ）A ．14 B ．12 C ．34 D ． 239．已知函数()21sin cos 2f x x x x x =+，则其导函数()f x '的图象大致是（ ）10．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为（ ） A ．24y x =或28y x = B ．22y x =或28y x = C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =11.在平面直角坐标系中，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的“L 距离”定义为：||P 1P 2||＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|，则平面内与x 轴上两个不同的定点F 1，F 2的“L 距离”之和等于定值(大于||F 1F 2||)的点的轨迹可以是( )A BC D12. 设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >.若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上有( )个零点A 0B 1C 2D 不确定二、填空题：（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分。
高二上学期期末考试数学(理)试题及答案(武汉市部分重点中学)
武汉市部分重点中学上学期高二期末测试数学试卷（理科）本卷总分150分，时间120分钟 。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
）1．要从编号1到60的60枚最新研制的某种导弹中随机选取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是( )A ．5,10,15,20,25,30B ．3,13,23,33,43,53C ．1,2,3,4,5,6D ．2,4,8,16,32,48 2．下列说法错误的是( )A ．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；B ．线性回归方程对应的直线y ^＝b ^x ＋a ^至少经过其样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点； C ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高； D ．在回归分析中，2R 为0.98的模型比2R 为0.80的模型拟合的效果好．3．圆2240x y y ++=与直线3420x y ++=相交于A 、B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．4360x y --=B ．4360x y ++=C ．3480x y ++=D ．4320x y --=4．一批产品抽50件测试，其净重介于13克与19克之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，净重大于等于13克且小于14克；第二组，净重大于等于14克且小于15克；……第六组，净重大于等于18克且小于19克．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设净重小于17克的产品数占抽取数的百分比为x ，净重大于等于15克且小于17克的产品数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为( ) A ．0.1,45 B ．0.9,45 C ．0.1,35D ． 0.9,355．直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β； ④若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α， 其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．已知随机变量X 的分布列如下表，随机变量X 的均值()1E X =，则x 的值为( ) A ．0.3 B ．0.24 C ．0.4D ．0.27．设随机变量X ～1(6,)2B ，则P (X=3)的值是( )A ．316B ．516C ．38D ．588．如果执行下面的程序框图，那么输出的S =( )A ．2550B ．－2550C ．2548D ．－2552X0 1 2P0.4x y9．已知等式4321234x a x a x a x a ++++4321234(1)(1)(1)(1)x b x b x b x b =++++++++， 定义映射12341234:(,,,)(,,,)f a a a a b b b b →，则(4,3,2,1)f =( ) A ．(1,2,3,4)B ．(0,3,4,0)C ．(0,3,4,1)-- D ．(1,0,2,2)-- 10．三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心O ，则1B A 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ） A ．23 B．33 C ． 23D ．13二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
湖北省武汉二中09-10学年高二数学上学期期末考试（理）
武汉二中2022—2022学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理）时间：2022年2月2日 上午10:00-12:00 试卷满分：150分一、选择题（本大题10个小题，每小题5分，共50分），各题答案必须答在答题卡上。
1．直线(1)y k x =+与圆224x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与的取值有关2．抛物线22(0)y px p =>的准线经过等轴双曲线221x y -=的左焦点，则（ ）A B ． C ． D ．O AB CDA 1B 1C 1D 1· 3．与直线1：012=--y m mx 垂直于点01=-+y x 03=--y x 01=--y x 03=-+y x (,)x y 42π-//αβ1ABCD 2CD =3AB =6π3π23π56π1C 1C221C 1C 1C 1111ABCD A BC D -1ACD 6π3π66π33πABCD 4,3,AB BC E ==ADE ∆D AE B --D ABCE-9391327391391313271313252(1)x x +-≥x y 轴与轴22a b +098:22=-+-y x x C ()3,1M ABC ∆Rt ABC ∆,,a b lαβαβ⊥⊥⋂=22:60C x y x y m ++-+=:30l x y +-=P Q 、1CABC∆1,2BD BC AD ===ABD ∆30ADC ︒∠=，B ACD -AC BCD ⊥平面D AB C--O ABCD -ABCD 4ABC π∠=OA ⊥ABCD 2OA =//MN OCD OCD 2222:1x y C a b+=||8MN =||2||PM MF =225,'AB a AB b ⊥⊥AB γ⊥,,a b l αβαβ⊥⊥⋂=,',b l b l l γ⊥⊥⊥13312222R d -+-===1(,3)2C -(,)M a b 3(1)11027********b a a b a b -⎧⨯-=-⎪=⎧+⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪+⎩-⎪+-=⎪⎩2271()28x y +-=1122(,),(,)P x y Q x y 226030x y x y m x y ⎧++-+=⎪⎨+-=⎪⎩2290,x x m ++-=7318(9)0,8m m ∆=-->⇒<12121212121233(3)(3)23()999022OP OQ OP OQ x x y y x x x x x x x x m m ⊥⇔⋅=+=+--=-++=-++=⇒=AB CD D 1A 1C 1 B 1N MDCAB O A B F N O MP738m <32m =-,,a b c14163abc abcabc -⨯=,,BD AD BD CD AD CD D ⊥⊥=BD ⊥ACD AC ⊂,ACD AC BD⊥ACD∆30,2,3ADC AD CD ︒∠===2222cos 1AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠=222AD CD AC=+90ACD ︒∠=AC CD ⊥BD CD D =AC ⊥BCD ∆DO BC ⊥AC AB ⊥ODE DEO ∠D AB C --Rt ΔABD 255,5AB DE ==Rt BCD ∆32DO =225,10OE DE DO =-=1cos 4OE DEO DE ∠==D AB C--14D xyz-(1,3,0),(0,0,1),(0,3,0),(0,0,0),A B C D (1,3,1),(0,0,1),(1,0,0),AB DB AC =--==-1(,,)n x y z =110,0n AB n DB ⋅=⋅=300x y z z ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩3,3,0x y z =-==1(3,3,0)n =-2(,,)n x y z =220.0n AB n AC ⋅=⋅=30x y z x ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩0,3,3x y z ===2(0,3,3)n 12121231cos ,4||||2323n n n n n n ⋅<>===⋅⋅D AB C--14// , // //ME AB AB CD ME CD ∴，//NE OC//MNE OCD∴平面平面//MN OCD ∴平面CD AB‖MDC∠∴,AP CD P ⊥于 OA ABCD CD MP⊥∴⊥平面，4ADP π∠=22DP ∴=222MD MA AD =+=1cos 2DP MDP MD ∴∠== 3MDC MDP π∠=∠=3π//AB OCD 平面OCD AQ OP⊥ , , ,AP CD OA CD CD OAP AQ CD ⊥⊥∴⊥∴⊥平面,AQ OP AQ OCD⊥⊥平面∵∴OCD_ Q_ N _ M_ D_ A_ O_E_ POP ===∵2222332OA AP AQ OP ===∴OCD23AP ⊥(0,0,0) , (1,0,0) , (0,2A B P (0,0,1) , (1M N 222(1,,1),(0,2)442MN OP =--=-(2)2OD =--OCD (,,)n x y z =0,0n OP n OD ==202022y z x y z -=⎨⎪-+-=⎪⎩z =(0,4,2)n =22(1,,1)(0,4,2)044MN n =--=∵MN OCD ∴平面‖2(1,0,0) , (1)22AB MD ==--∵1cos 2AB MD AB MD θ==⋅∴3πθ=∴3πOCD (0,4,2)n =(1,0,2)OB =-23OB n d n⋅==OCD23||8MN =||2||PM MF =22()a a a c c -=-2123102e e e -+=⇒=22212b a c =-=2211612x y +=0AFM BFN ∠=∠= – 8，代入椭圆方程整理得22(34)481440m y my +-+=由△> 0，则222(48)4144(34)04m m m -⨯+>⇒> 又1224834m y y m +=+，12214434y y m =+ ∴121212122266AF BF y y y y k k x x my my +=+=+++-- 12121226()0(6)(6)my y y y my my -+==--∴0AF BF k k +=。
湖北省武汉市数学高二上学期理数期末考试试卷
湖北省武汉市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 8 题；共 16 分)1. （2 分） 已知直线上两点 A，B 的坐标分别为(3，5)，(a，2)，且直线与直线 3x+4y-5=0 平行，则|AB|的值 为（ ）A.B.C. D.52. （2 分） (2018 高二下·磁县期末) 方程 A. B. C. D. 3. （2 分） (2018 高二上·西城期末) 双曲线 A.1B. C.2表示双曲线的一个充分不必要条件是 的焦点到其渐近线的距离为（ ）D. 4. （2 分） (2018 高二上·西城期末) 设是两个不同的平面，A.若，，则第 1 页 共 12 页是三条不同的直线，（ ）B.若 C.若 D.若，，则，，则，，则5. （2 分） (2018 高二上·西城期末) “” 是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2 分） (2018 高二上·西城期末) 设是两个不同的平面， 是一条直线，若，，，则（ ）A . 与 平行B . 与 相交C . 与 异面D . 以上三个答案均有可能7. （2 分） (2018 高二上·西城期末) 设 为坐标原点， 是以 为焦点的抛物线上任意一点， 是线段 的中点，则直线的斜率的最大值为（ ）A. B.1C.D.28. （2 分） (2018 高二上·西城期末) 设 为空间中的一个平面，记正方体中到 的距离为的点的个数为 ， 的所有可能取值构成的集合为，则有（的八个顶点 ）第 2 页 共 12 页A.，B.，C.，D.，二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)9. （1 分） (2019 高二下·张家口月考) 若函数，，若都，使得成立，则实数 的取值范围是________.10. （1 分） (2016 高一下·衡水期末) 已知向量 B、C 三点共线，则 k=________．=（k，12），=（4，5），=（﹣k，10），且 A、11. （1 分） 设 D 为不等式组 小值为________．12. （1 分） 已知实数 ， 满足所表示的平面区域，则区域 D 上的点与点之间的距离的最，，则的最小值为________．13. （1 分） (2019 高二下·上海期末) 已知实数 x，y 满足条件单位），则的最小值是________．，复数14. （1 分） (2018 高二上·西城期末) 在平面直角坐标系中，曲线 是由到两个定点的距离之积等于 的所有点组成的. 对于曲线 ，有下列四个结论：①曲线 是轴对称图形；②曲线 是中心对称图形；③曲线 上所有的点都在单位圆内；④曲线 上所有的点的纵坐标.第 3 页 共 12 页（ 为虚数 和点其中，所有正确结论的序号是________.三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)15. （5 分） (2017·黑龙江模拟) 如图，四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形，AB=BD= ，PB=（Ⅰ）求证：平面 PAD⊥平面 ABCD；（Ⅱ）设 Q 是棱 PC 上的点，当 PA∥平面 BDQ 时，求二面角 A﹣BD﹣Q 的余弦值．16.（10 分）(2020·榆林模拟) 已知动圆过定点过 作斜率为的直线 与 交于两点线 与 交于两点．，且与直线，过分别作相切，动圆圆心的轨迹为 ， 的切线，两切线的交点为 ，直（1） 证明：点 始终在直线 上且；（2） 求四边形的面积的最小值．17. （15 分） (2016 高二上·抚州期中) 如图，直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 ， 底面△ABC 中，CA=CB=1，∠BCA=90°， 棱 AA1=2，M，N 分别是 A1B1、A1A 的中点．（1） 求的长；（2） 求 cos（•）的值；（3） 求证 A1B⊥C1M．第 4 页 共 12 页18.（10 分）(2020·南通模拟) 在平面直角坐标系中，圆 ：，直线 ：.为圆 O 内一点，弦（1） 若，求过点 A，过点 O 作 的面积；的垂线交 l 于点 P.（2） 判断直线与圆 O 的位置关系，并证明.19. （5 分） (2019·通州模拟) 如图，在四棱柱中，侧棱，，，，点 为线段 上的点，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）判断棱 说明理由．上是否存在点 ，使得直线平面，若存在，求线段的长；若不存在，20. （10 分） 如图，在斜三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧面 AA1C1C 是菱形，AC1 与 A1C 交于点 O ， 点 E 是 AB 的中点.（1） 求证：OE∥平面 BCC1B1.第 5 页 共 12 页（2） 若 AC1⊥A1B ， 求证：AC1⊥BC.第 6 页 共 12 页一、 单选题 (共 8 题；共 16 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)9-1、 10-1、 11-1、 12-1、 13-1、 14-1、三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)参考答案第 7 页 共 12 页15-1、16-1、第 8 页 共 12 页16-2、17-1、 17-2、第 9 页 共 12 页17-3、 18-1、18-2、第 10 页 共 12 页20-1、20-2、。
2020年湖北省武汉市第二中学高二数学理期末试卷含解析
2020年湖北省武汉市第二中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 张不同的电影票全部分给个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是( )A． B．C． D．参考答案：D 解析：相当于个元素排个位置，2. 已知，那么是的A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件参考答案：A略3. 四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为矩形，AB=1，AD=2，AA1=3，∠A1AB=∠A1AD=60°，则AC1的长为（）A．B．23 C．D．32参考答案：C【考点】棱柱的结构特征．【专题】计算题．【分析】记A1在面ABCD内的射影为O，O在∠BAD的平分线上，说明∠BAD的平分线即菱形ABCD的对角线AC，求AC1的长．【解答】解：记A1在面ABCD内的射影为O，∵∠A1AB=∠A1AD，∴O在∠BAD的平分线上，由O向AB，AD两边作垂线，垂足分别为E，F，连接A1E，A1F，A1E，A1F分别垂直AB，AD于E，F∵AA1=3，∠A1AB=∠A1AD=60°，∴AE=AF=又四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为矩形∴∠OAF=∠OAE=45°，且OE=OF=，可得OA=在直角三角形A1OA中，由勾股定理得A1O=过C1作C1M垂直底面于M，则有△C1MC≌△A1OA，由此可得M到直线AD的距离是，M到直线AB的距离是，C1M=A1O=所以AC1 ==故选C．【点评】本题考查棱柱的结构特征等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．解题关键在于，正确解三角形．4. 随机调查某校110名学生是否喜欢跳舞，由列联表和公式计算出，并由此作出结论：“有99%的可能性认为学生喜欢跳舞与性别有关”，则可以为（）A．3.565 B．4.204 C．5.233 D．6.842参考答案：D有99%的可能性认为学生喜欢跳舞与性别有关,所以>6.635,故选D.5. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是BC1、CD1的中点，则下列说法错误的是（）A. MN⊥CC1B. MN⊥平面C. MN∥ABD. MN∥平面ABCD参考答案：C【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【详解】∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，则B（2，2，0），C1（0，2，2），M（1，2，1），D1（0，0，2），C（0，2，0），N（0，1，1），∴MN⊥CC1，故A正确；∴MN⊥平面ACC1A1，故B成立；∵∴MN和AB不平行，故C错误；平面ABCD的法向量又MN?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD，故D正确．故选：C．【点睛】本题考查命题的真假判断，考空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6. 如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)参考答案：D7. 如果命题“”是假命题,则下列说法正确的是（）A.均为真命题B.中至少有一个为真命题C.均为假命题D.中至少有一个为假命题参考答案：B8. 过点(0,1)且与曲线y＝在点(3,2)处的切线垂直的直线方程为()A．2x－y＋1＝0 B．x－2y＋2＝0C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－1＝0参考答案：A9. 设则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A10. 下列曲线中离心率为的是( )A．B．C．D．B【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】通过验证法可得双曲线的方程为时，．【解答】解：选项A中a=，b=2，c==，e=排除．选项B中a=2，c=，则e=符合题意选项C中a=2，c=，则e=不符合题意选项D中a=2，c=则e=，不符合题意故选B【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了双曲线方程中利用，a，b和c的关系求离心率问题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图所示，已知双曲线﹣=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A，B两点，且直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出直线l 的方程为y=（x ﹣c ），与y=±x联立，可得A ，B的纵坐标，利用，求出a，b的关系，即可求出该双曲线的离心率．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞b＞0）的渐近线方程为y=±x，∵直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，∴k l=，∴直线l的方程为y=（x﹣c），与y=±x联立，可得y=﹣或y=，∵，∴=2?，∴a=b，∴c=2b，∴e==．故答案为．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．12. 观察下列式子 , … … ,可猜想：当时,有________________________________参考答案：(n∈N*)略13. 已知命题: 对任意的，则是．14. 已知点为圆外一点，若圆C 上存在一点Q ，使得，则正数a的取值范围是．参考答案：15. 定义在R 上的奇函数，当时，；则奇函数的值域是______．参考答案：【分析】本题首先可以通过“函数是奇函数”以及“当时”推导出当时的值，然后通过“奇函数的定义域为”推导出的值，最后即可得出结果。
湖北省武汉市第二中学2018年高二数学理上学期期末试题含解析
湖北省武汉市第二中学2018年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 平面几何中，有边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：C2. 已知函数f（x）=2x+（x＞0），则( )A．x=±1时，函数f（x）的最小值为4 B．x=±2时，函数f（x）的最小值为2C．x=1时，函数f（x）的最小值为4 D．x=2时，函数f（x）的最小值为2参考答案：C考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵x＞0，∴f（x）≥2×=4，当且仅当x=1时取等号．∴函数f（x）的最小值为4．故选：C．点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值参考答案：D【考点】棱柱的结构特征．【分析】利用证线面垂直，可证AC⊥BE；判断A正确；根据正方体中上下面平行，由面面平行的性质可证，线面平行，从而判断B正确；根据三棱锥的底面面积与EF的位置无关，高也与EF的位置无关，可判断C正确；例举两个特除位置的异面直线所成的角的大小，根据大小不同判断D错误．【解答】解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，BE?平面B1D1DB，∴AC⊥BE，故A正确；∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF?平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故B正确；∵EF=，∴△BEF的面积为定值×EF×1=，又AC⊥平面BDD1B1，∴AO为棱锥A﹣BEF的高，∴三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故C正确；∵利用图形设异面直线所成的角为α，当E与D1重合时sinα=，α=30°；当F与B1重合时tanα=，∴异面直线AE、BF所成的角不是定值，故D错误；故选D．【点评】本题考查了异面直线所成的角及求法，考查了线面垂直、面面平行的性质，考查了学生的空间想象能力及作图分析能力．4. 有个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A．36种 B．48种 C．72种 D． 96种参考答案：C5. 下列命题正确的是（）A．存在x0∈R，使得x02-1＜0的否定是：任意x∈R，均有x02-1＞0B．存在x0∈R，使得e x0≤0的否定是：不存在x0∈R，使得e x0＞0C．若p或q为假命题，则命题p与q必一真一假D．若x=3，则x2-2x-3=0的否命题是：若x≠3，则x2-2x-3≠0．参考答案：D6. 若为过椭圆的中心的弦，为椭圆的左焦点，则?面积的最大值为（）A. 6B. 12C. 24D. 36参考答案：B7. 使（的展开式中含有常数项的最小的为（）A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：B略8. 设是一个离散型随机变量，其分布列为：则等于A．1 B．1± C．1－ D．1＋参考答案：C略9. 已知函数f（x）=x5+2x4+x3﹣x2+3x﹣5，用秦九韶算法计算，当x=5时，V3=（）A．27 B．36 C．54 D．179参考答案：D【考点】秦九韶算法．【分析】利用秦九韶算法计算多项式的值，先将多项式转化为f（x）=5x5+4x4+3x3+2x2+x=（（（（5x+4）x+3）x+2）x+1）x的形式，然后求解即可．【解答】解：f（x）=x5+2x4+x3﹣x2+3x﹣5=（（（（x+2）x+1）x﹣1）x+3）x﹣5则当x=5时，V0=1，V1=5+2=7，V2=35+1=36，V3=180﹣1=179．故选D．10. 下列不等式一定成立的是A. B.C. D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若a2－ab＋b2＝1，a，b是实数，则a＋b的最大值是_ ____．参考答案：212. 在正方体中，异面直线和所成的角的大小为__________．参考答案：13. 某同学在研究函数时，分别给出下面几个结论：①等式对恒成立；②函数的值域为；③若，则一定有；④函数在上有三个零点．其中正确结论的序号有________________（请将你认为正确的结论的序号都填上）参考答案：.①②③ ks5u略14. “若A则B”为真命题，而“若B则C”的逆否命题为真命题，且“若A则B”是“若C则D”的充分条件，而“若D则E”是“若B则C”的充要条件，则┐B是┐E 的条件；A是E的条件。
武汉市数学高二上学期理数期末考试试卷(II)卷
姓名:________班级:________ 成绩:_______（2分） 是虚数单位，复数 的共轭复数是（ ）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） 已知a，b是实数，则“ ”是“ ”的（ ）
A . 充分不必要条件
③设 ， 若 ， 则 ；
④若直线 与直线 垂直，则a=1．
其中正确命题的个数是（ ）
A . １
B . ２
C . ３
D . ４
5. （2分） (2019·邢台模拟) 已知椭圆 ，设过点 的直线 与椭圆 交于不同的 ， 两点，且 为钝角（其中 为坐标原点），则直线 斜率的取值范围是（ ）
A .
B .
C .
（1） 求 ；
（2） 若 的面积为 ，求边 的最小值．
20. （10分） (2018·泉州模拟) 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求平面 与平面 所成角的余弦值．
21. （10分） (2017·深圳模拟) 如图，四边形ABCD为菱形，四边形ACEF为平行四边形，设BD与AC相交于点G，AB=BD=2，AE= ，∠EAD=∠EAB．
14. （1分） (2019高三上·郑州期中) 设 是双曲线 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 ， 分别是双曲线的左、右焦点，若 ，则 的值为________．
15. （1分） (2019·台州模拟) 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 与圆 相切于点 ，且直线 与双曲线 的右支交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率为________．
B . 必要不充分条件
C . 充分必要条件
D . 既不充分也不必要条件
2020-2021学年湖北省武汉中学高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2020-2021学年湖北省武汉中学高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.抛物线的焦点坐标为( )A. B. C. D.2.已知命题p：，，则为( )A.， B. ，C. ，D. ，3.已知m，n为空间中两条不同的直线，，为空间中两个不同的平面，下列命题正确的是( )A. 若，，，则B. 若，，则C. 若m，n在内的射影互相平行，则D. 若，，则4.设一个线性回归方程，当变量x每增加一个单位时，则y的变化情况正确的是( )A. y平均增加约个单位B. y平均增加约3个单位C. y平均减少约个单位D. y平均减少约3个单位5.从1，2，3，4，5这五个数中任取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率是( )A. B. C. D.6.“”是“方程表示双曲线”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件7.胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859年，英国作家约翰泰勒在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例，泰勒还引用了古希历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方，如图，若，则由勾股定理，，即，因此可求得为黄金数，已知四棱锥底面是边长约为856英尺的正方形，顶点P的投影在底面中心O，H为BC中点，根据以上信息，PH的长度单位：英尺约为( )A. B. C. D.8.已知，是双曲线的左、右焦点，若在右支上存在点A使得点到直线的距离为，则离心率e的取值范围是( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是( )A. r是q的充要条件B. p是q的充分条件而不是必要条件C. r是q的必要条件而不是充分条件D. r是s的充分条件而不是必要条件．10.下列选项中正确的有( )A. 一个数据的中位数与众数均有且只有一个B. 已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得的回归方程可能是C. 将某选手的9个得分不完全相同去掉1个最高分，去掉1个最低分，则平均数一定会发生变化D. 方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小11.已知方程和其中且m，，，它们所表示的曲线在同一坐标系中可能出现的是( )A. B.C. D.12.如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上一动点包括端点，则以下结论正确的有( )A. 三棱锥的体积为定值B.过点P平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为C.直线与平面所成角的正弦值的范围为D. 当点P与重合时，三棱锥的外接球的体积为三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差__________.14.已知正四棱柱的底面边长为2，侧面积为24，则此正四棱柱的外接球表面积为__________.15.若A，B互为对立事件，其概率分别为，，且，，则的最小值为__________.16.椭圆的右焦点为，点P为椭圆上的动点，点Q为圆上的动点，则的最大值为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
湖北省武汉二中高二数学上学期期末考试(理)
武汉二中2009—2010学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理）时间：2010年2月2日 上午10:00-12:00 试卷满分：150分一、选择题（本大题10个小题，每小题5分，共50分），各题答案必须答在答题卡上。
1．直线(1)y k x =+与圆224x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与k 的取值有关2．抛物线22(0)y px p =>的准线经过等轴双曲线221x y -=的左焦点，则p =（ ）A ．2B C ． D ．3．与直线l 1：012=--y m mx 垂直于点P （2，1）的直线l 2的方程为（ ）A ．01=-+y xB ．03=--y xC ．01=--y xD ．03=-+y x4．已知钝角三角形ABC 的最大边长为2，其余两边长为,x y ，则以(,)x y 为坐标的点所 表示平面区域的面积是（ ）A ．πB ．2π-C ．4πD ．42π- 5．在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线； ②若平面//α平面β，则平面α内任意一条直线//m 平面β；③若平面α与平面β的交线为m ，平面α内的直线n ⊥直线m ，则直线n ⊥平面β； ④若平面α内的三点A ，B ，C 到平面β的距离相等，则//αβ。
其中正确命题的个数为（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．36．四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且2CD =，AB =A ，B 两点间的球面距离是（ ）A ．6π B ．3πC ．23π D ．56π7．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB ，B 1C 的中点，作EF 和平面ABCD 所成角的正切值为（ ）A B C ．12D ．28．正方形ABCD －A 1B 1C 1D 1的上底面A 1B 1C 1D 1所在平面内一动点P ，它到D 点的距离为它O ABC D A 1B 1C 1D 1 · 到直线B 1C 1的距离的2倍，则P 点的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线9．如图，已知球O 是棱长为1 的正方体1111ABCD A BC D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为（ ）A.6πB.3πC.D.． 10．在矩形ABCD 中，4,3,AB BC E ==是CD 的中点，沿AE 将ADE ∆折起，使二面角D AE B --为60︒，则四棱锥D ABCE-的体积是（ ）.ABCD二、填空题（本大题5小题，每小题5分，共25分）各小题答案必须填写在答题卡上。
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湖北省武汉市第二中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理）试题考试时间：2015年2月4日 上午 试卷满分：150分 一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 共50分.1.过椭圆221169x y +=的左焦点1F 的直线交椭圆于,A B 两点, 2F 是右焦点, 则2ABF ∆的周长是（ ）.6A.8B .12C .16D2.抛物线24y x =的焦点坐标是（ ）.(1,0)A .(2,0)B1.(0,)16C 1.(0,)8D3.设随机变量ξ的分布列为1()(),1,2,33i P i a i ξ===, 则实数a 的值为（ ）.1A9.13B11.13C27.13D4.某服装加工厂某月生产甲、乙、丙三种产品共4000件, 为了保证产品质量, 进行抽样检验, 根据分层抽样的结果, 企业统计员制作了如下统计表格. 由于不小心, 表格甲、丙中产品的有关数据已被污染得看不清（ ）5.正四面体ABCD 中, M,N 分别是棱BC 、AD 的中点, 则异面直线,AM CN 所成角的余弦值为（ ）2.3A -1.4B2.3C1.4D -6.若251()(1)x a x +-的展开式中的常数项为1-, 则实数a 的值为（ ）.1A.99B .1-9C -或 .19D 或7.已知随机变量X 服从正态分布(3,1)N , 且(24)0.6826P x ≤≤=, 则(4)P x >=（ ） .0.1588A .0.1587B .0.1586C.0.1585D8. 设抛物线22y x =的焦点为F , 过点的直线与抛物线相交于,B A 两点, 与抛物线的准线相交于C , ||2BF =, 则BCF ∆与ACF ∆的面积之比BCFACF S S ∆∆=（）4.5A2B.3 4.7C1.2D9.若直线2y kx =+与双曲线226x y -=的右支交于不同的两点, 则实数k 的取值范围是（ ）.(A B C.(D.(1)-10.已知直线12,l l 是经过椭圆34422y x +＝1的中心且相互垂直的两条直线, 分别交椭圆于,C,B,D A , 则四边形BCD A 的面积的最小值是（ ）.2A B.4二、填空题：本大题共5小题, 每小题5分, 共25分.11.假设要考查某企业生产的袋装牛奶质量是否达标, 现从500袋牛奶中抽取60袋进行检验, 利用随机数表抽样时, 先将500袋牛奶按000,001, , 499进行编号. 如果从随机数表第8行第4列的数开始三位数连续向右读取, 请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号 （下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 5412.双曲线2288kx ky -=的一个焦点为（0,3）, 则实数k 的值为 . 13.14.向等腰直角三角形BC A （其中C =BC A ）内任意投一点M , 则AM 小于AC 的概率为 . 15.平行六面体1111ABCD A B C D -中, 1160A AD A AB ∠=∠=, 90DAB ∠=, 13A A =, 2AB =,1AD =, 则其体对角线1AC 的长为 .三、解答题：本大题共6小题, 共75分.16. (12分)已知椭圆的两个焦点分别是(2,0),(2,0)-, 并且经过点53(,)22-, 求它的标准方程.17. (12分) 过双曲线22136x y -=的右焦点2F , 倾斜角为30的直线交双曲线于,A B 两点, 1F 为左焦点, 求(1)|AB|; (2)1AF B∆的周长.18. (12分) 如图所示, 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形, //AB CD , 90,DAB PA ∠=⊥底面ABCD , 且1PA AD DC ===, 2AB =, M 是PB 的中点.（1）求证：平面PAD ⊥平面PCD . （2）求AC 与PB 所成角的余弦值. （3）求二面角A MC B --的余弦值.19. （12分）根据气象预报, 某地区近期有小洪水的概率为0.25, 有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备, 遇到大洪水时要损失60000元, 遇到小洪水时要损失10000元. 为保护设备, 有以下3种方案：方案1：运走设备, 搬运费为3800元.方案2：建保护围墙, 建设费为2000元, 但围墙只能防小洪水. 方案3：不采取措施. 试比较哪一种方案好.20. （13分）已知(13)nx -展开式中, 末三项的二项式系数的和等于121, 求展开式中系数最大的项的项数及二项式系数最大的项的项数.21. （14分）如图所示, 已知椭圆22C :14x y +=左、右端点分别为12,A A , 过定点(1,0)的动直线与椭圆C交于,P Q 两点. 直线1P A 与2A Q 交于点S .（1）当直线斜率为1时, 求直线1A P 与2A Q 的方程.（2）试问：点S 是否恒在一条定直线上. 若是求出这条直线方程, 若不是请说明理由.武汉二中2014—2015学年上学期 高二年级期末考试 数学参考答案11.163,199,175,128,395 12.-1 13.54.514.4π3.解答题16.由椭圆定义知2a ==a ∴=2222,1046c b a c=∴=-=-=。
椭圆焦点在x 轴上∴所求椭圆标准方程是：221106x y+=。
17.由双曲线方程知焦点分别是()()123,0,3,0F F -。
联立直线与双曲线方程)223136y x x y --=⎧⎪⎨⎪⎩，得256270x x +-=，1293,5x x =-=。
9(3,B(,5A ∴-- ∴||AB =(2)2112112211222||||B ||B ||||B ||||B |=|||B ||AB ||||B ||AB |2||AF AF F F AF F AF F AF F AF F AF -=-=∴+=+∴++=++=周长=18.证明：以A 为坐标原点，AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为()()()()()10,0,0,0,2,0,C 1,1,0,1,0,0,0,0,1,0,1,2A B D P M ⎛⎫ ⎪⎝⎭。
（1）()()0,0,1,0,1,0AP DC →→==，0,AP DC AP DC →→∴=∴⊥，又,AD DC AP AD A ⊥=，DC ∴⊥平面PAD 。
DC ⊂平面PCD ，∴平面PAD ⊥平面PDC 。
（2）()()1,1,0,1,1,0AC PB →→==，||PB |2AC AC PB →→∴===，10cos ,||||AC PB AC PB AC PB →→→→→→∴<>==。
（3）在MC 上取一点(),,N x y z ，则存在R λ∈，使()1,1,1,,1,0,2NC MC NC x y z MC λ→→→→⎛⎫==---=- ⎪⎝⎭， 11,1,2x y z λλ∴=-==。
要使AN MC ⊥，只需0AN MC →→=，即102x z -=解得45λ=。
可知当45λ=时，点N 坐标为12,1,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，能使0AN MC →→=。
此时12,1,55AN →⎛⎫= ⎪⎝⎭，12,1,55BN →⎛⎫=- ⎪⎝⎭，有0BN MC →→=。
由0,0AN MC BN MC →→→→==得AN MC ⊥，BN MC ⊥。
∴ANB ∠为所求二面角的平面角。
30304||,||,5AN BN AN BN →→→→===-2cos ,3||||AN BN AN BN AN BN →→→→→→∴<>==-。
19.用123,,X X X 分别表示方案1,2,3的损失。
采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3800元，即1X =3800.采用第2种方案，遇到大洪水时，损失2000+60000=62000元；没有大洪水时，损失2000元，即{62000,22000X =有大洪水，无大洪水。
采用第3种方案，有360000=100000X ⎧⎪⎨⎪⎩，有大洪水，有小洪水，无洪水。
所以，12()3800,()620000.012000(10.01)2600,E X E X ==⨯+⨯-=3()600000.01100000.253100E X =⨯+⨯=。
采取方案2的平均损失最小，因此可以选择方案2.20.212121,2400,15.n n n n n n C C C n n n --++=∴+-=∴= ∴展开式共16项。
∴第8项和第9项的二项式系数相等且最大。
记展开式中第k 项的系数的绝对值为11153(116)k k k a C k --=≤≤，则1153k kk a C +=。
令11k k a a +≥得k 12≤，即1212131416a a a a a a <<<=>>>。
∴第12项和第13项的系数的绝对值最大且相等。
又第12项系数为111115(3)0C -<，第13项系数为121215(3)0C ->。
∴第13项的系数最大。
21.(1)联立直线与椭圆方程得2128580,0,5x x x x -===，()83,,0,155P Q ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭12:620Q :220A P x y A x y ∴-+=--=（2）联立直线与椭圆方程得22(1)44my y ++=，即22(4)y 230m my ++-=。
记 ()()1122,,Q ,P x y x y ，则12224m y y m -+=+，12234y y m -=+，且12,Q A P A 的方程分别是11(2)2y y x x =++，22(2)2y y x x =--。
由方程组1122(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，。