高中数学教师备课必备系列圆锥曲线：专题五 圆锥曲线

（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F ，F 的距离的和等于常数，且此常数

一定要大于

，当常数等于

时，轨迹是线段F F ，当常数小

于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F ，F 的距离的差的绝对值等于常数，且此常数

一定要小于|F F |，定义中的“绝对值”与

＜|F F |不可忽视。若

＝|F F |，

则轨迹是以F ，F 为端点的两条射线，若﹥|F F |，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对

值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如： ①已知定点，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是

A ．

B ．

C ．

D ．

（答：C ）；

②方程

表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）

（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

如已知点及抛物线上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）

一、求焦点弦长

例1 过抛物线x 4y 2=的焦点F 作直线交抛物线于A （11y x ，）、B （22y x ，），若6x x 21=+，求|AB|的长。

解：设AB 的中点为E ，点A 、E 、B 在抛物线准线l ：1x -=上的射影分别为G 、H 、M 。由第二定义知：

8)1(2

x x 2

|EH |2|BM ||AG ||BF ||AF ||AB |2

1=--+==+=+=。

二、求离心率

例2 设椭圆22

22b

y a x +=1（a>b>0）的右焦点为1F ，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的

长度等于F 1到准线l 1的距离，求椭圆的离心率。

三、求点的坐标

例3 双曲线13

y x 2

2

=-的右支上一点P ，到左焦点F 1与到右焦点F 2的距离之比为2：1，求点P 的坐标。

解：设点P （00y x ，）（0x 0>），双曲线的左准线为l 1：21x -=，右准线为l 2：2

1

x =，则点P 到l 1、l 2的距离分别为2

1x d 21

x d 0201-

=+=，。 所以，122

1x 21

x d d PF PF 002121=-

+

==，解得23x 0

=。 将其代入原方程，得215y 0±=。因此，点P 的坐标为⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛±21523，。 四、求焦半径

（圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径

，其中

表示P 到与F 所对应的准线的距离。比如：

1、点P 在椭圆上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标

为_______（答：）；

2、抛物线上的两点A 、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到

轴的距离为______

（答：2）；

3、椭圆内有一点，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使 之

值最小，则点M 的坐标为_______（答：）；

五、求离心率的范围

例4 已知椭圆)0b a (1b

y a x 22

22>>=+，21F F 、分别是左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠

F 1PF 2=90°，求椭圆的离心率e 的取值范围。

六、求最值

例5 已知点A （32，-），设点F 为椭圆

112y 16x 2

2=+的右焦点，点M 为椭圆上一动点，求|MF |2|MA |+的最小值，并求此时点M 的坐标。

解：如图，过点A 作右准线l 的垂线，垂足为N ，与椭圆交于点M 。

∵椭圆的离心率2

1e =

∴由第二定义得|MN ||MF |2=

∴|MF |2|AM |+的最小值为|AN|的长，且1082|AN |=+= ∴|MF |2|AM |+的最小值为10，此时点M 的坐标为（32，3） 【针对训练】

1.过抛物线x 4y 2=的焦点F 作直线交抛物线于A （11y x ，）、B （22y x ，），若6x x 21=+，求|AB|的长。

2. 设椭圆22

22b

y a x +=1（a>b>0）的右焦点为1F ，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长度

等于F 1到准线l 1的距离，求椭圆的离心率。

3. 双曲线13

y x 2

2

=-的右支上一点P ，到左焦点F 1与到右焦点F 2的距离之比为2：1，求点P 的坐标。

4.点P 在椭圆上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标为

_______

5. 抛物线上的两点A 、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到轴的距离为

6. 椭圆内有一点，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使 之

值最小，则点M 的坐标为_______

7. 已知椭圆)0b a (1b

y a x 22

22>>=+，21F F 、分别是左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠

F 1PF 2=90°，求椭圆的离心率e 的取值范围。