精品解析：【全国百强校】河北省唐山一中2019届高三上学期期中考试数学文试题(解析版)

河北省唐山一中2019届高三上学期期中考试数学文试题卷I（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【详解】由A中不等式变形得：log2x＜1=log22，解得：0＜x＜2，即A=（0，2），由B中不等式变形得：（x﹣1）（x+2）＜0，解得：﹣2＜x＜1，即B=（﹣2，1），则A∩B=（0，1），故选：B．【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.已知复数(i为虚数单位），则=（）A. 1+3iB. 3+iC. 1+iD. 1-i【答案】D【解析】【分析】由题意可得，进而得到.【详解】∵∴∴1-i故选：D【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的概念，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )A. B. C. (1+) D.【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是由一个半圆锥和一个四棱锥组合而成的,其中半圆锥的底面半径为1,四棱锥的底面是一个边长为2的正方形,它们的高均为,则V=×(+4)×=,故选A.4.已知数列的前项和满足(）且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n+m（n，m∈N*）且a1=5，令m=1，可得S n+1=S n+S1，可得a n+1=5．即可得出．【详解】数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n+m（n，m∈N*）且a1=5，令m=1，则S n+1=S n+S1=S n+5．可得a n+1=5．则a8=5．故选：C．【点睛】本题考查了数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知命题：；命题．则下列命题中的真命题为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：，∴为真命题．当时，，，，∴，∴为假命题，∴为真命题．选B．考点：命题真假【名师点睛】若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可．以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可．6.已知函数为偶函数，且在单调递减，则的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据函数的单调性与奇偶性将转化为，从而可得结果.详解：因为函数为偶函数，且在单调递减，所以在上递增，又因为，由得，，解得或，的解集为，故选B.点睛：本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解. 7.函数的图象可能是A. B. C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项；因为时，，所以排除选项，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．8.德国数学家科拉茨1937年提出一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半(即)；如果是奇数，则将它乘3加1(即)，不断重复这样的运算,经过有限步后，一定可以得到1.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明,也不能否定.现在请你研究:如果对正整数(首项)按照上述规则进行变换后的第9项为1(注：1可以多次出现),则的所有不同值的个数为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】D【解析】如果正整数n按照上述规则实行变换后的第9项为1，则变换中的第8项一定是2，变换中的第7项一定是4，按照这种逆推的对应关系可得如下树状图：则n的所有可能的取值为4，5，6，32，40，42，256共7个.本题选择D选项.9.若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意知，不等式有解，只需即可，解得或.【方法点睛】在数学运算中,为了解题方便,我们常将“”代换成另一种形式.高中数学中有不少题目，如果能巧妙地利用的代换，将大大地简化计算量和计算过程，能收到事半功倍的良效.本题就是巧妙运用，把变换成，然后再利用均值不等式求出的最小值，从而得到关于的不等式，进一步求得的范围．考点：1、均值不等式；2、不等式有解成立的条件．视频10.如图，在△ABC中，，过点M的直线分别交射线AB、AC于不同的两点P、Q，若，则的最小值为( )A. 2B.C. 6D.【答案】A【解析】【分析】根据的向量的几何意义，利用P，M，Q三点共线，得出m，n的关系，利用基本不等式求最小值．【详解】由已知，可得===，因为P，M，Q三点共线，所以=1，所以mn+m===（）（）=≥=2，故选：A．【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.11.已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0），，若方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为 ( )A. （，]B. （，]C. （，]D. （，]【答案】A【解析】【分析】化简f（x）的解析式，作出f（x）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=﹣1与y=f（x）在（0，+∞）上的交点坐标，则π介于第4和第5个交点横坐标之间．【详解】f（x）=2sin（ωx﹣），作出f（x）的函数图象如图所示：令2sin（ωx﹣）=﹣1得ωx﹣=﹣+2kπ，或ωx﹣=+2kπ，∴x=+，或x=+，k∈Z，设直线y=﹣1与y=f（x）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，则x A=，x B=，∵方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，∴x A＜π≤x B，即＜π≤，解得．故选：A．【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题．12.已知函数．若函数f（x）有两个极值点x1，x2，记过点A（x1，f（x1））和B（x2，f（x2））的直线斜率为k，若0＜k≤2e，则实数m的取值范围为（）A. B. （e，2e] C. D.【答案】C【解析】【分析】当x＞0时，函数f（x）=mx﹣lnx的导函数为，不妨设x2=﹣x1＞0，则有，∴可得：．由直线的斜率公式得，m＞0，又k＞0，可得1+lnm＞0，，令，得h′（m）=2+lnm=1+（1+lnm）＞0，得：，所以．【详解】当x＞0时，函数f（x）=mx﹣lnx的导函数为，由函数f（x）有两个极值点得m＞0，又f（x）为奇函数，不妨设x2=﹣x1＞0，则有，∴可得：．由直线的斜率公式得，m＞0，又k＞0，∴1+lnm＞0，∴，（当时，k≤0，不合题意）令得h′（m）=2+lnm=1+（1+lnm）＞0，∴h（m）在上单调递增，又，由0＜k≤2e得：，所以．故选：C．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点及不等式问题，考查逻辑推理能力及运算能力，属于中档题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量||=l，||=，且•（2+）=1，则向量，的夹角的余弦值为________．【答案】【解析】【分析】利用向量的数量积运算法则和夹角公式即可得出．【详解】∵•（2+）=1，∴，∵，∴，化为．∴==﹣．故答案为：．【点睛】本题考查了向量的数量积运算法则和夹角公式，属于基础题．14.已知点满足不等式组，若恒成立，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】试题分析：满足不等式组的平面区域如图所示，由于对任意的实数，不等式恒成立，根据图形，可得斜率或，解得，则实数的取值范围是．考点：简单的线性规划的应用．【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中涉及直线的斜率公式，二元一次不等式所表示的平面区域，不等式的恒成立问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及数形结合和转化思想的应用，本题的解答中正确画出约束条件所表示的平面区域，合理转化恒成立问题是解答的关键，属于中档试题．15.已知的最大值为A，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为____________【答案】【解析】【分析】利用三角恒等变换可得f（x）=2sin（2019x+），依题意可知A=2，|x1﹣x2|的最小值为T=，从而可得答案．【详解】∵f（x）=sin（2019x+）+cos（2019x﹣），=sin2019x+cos2019x+cos2019x+sin2019x，=sin2019x+cos2019x=2sin（2019x+），∴A=f（x）max=2，周期T=，又存在实数x1，x2，对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，∴f（x2）=f（x）max=2，f（x1）=f（x）min=﹣2，|x1﹣x2|的最小值为T=，又A=2，∴A|x1﹣x2|的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查三角函数的最值，着重考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角恒等变换，突出正弦函数的周期性的考查，属于中档题．16.已知分别是正四面体的棱上的点，且，若，,则四面体的体积是_________.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，设PD=x，PE=y，PF=z，由余弦定理得到关于x，y，z的方程组，求解可得x，y，z的值，然后分别求出三角形PDE的面积及F到平面PDE的高，代入棱锥体积公式得答案．【详解】如图，设PD=x，PE=y，PF=z，则∵DE=2，DF=EF=，∴由余弦定理得，x2+y2﹣2xy•=4①y2+z2﹣2yz•=7②z2+x2﹣2zx•=7③③﹣②得，x2﹣y2=xz﹣yz，即（x+y）（x﹣y）=z（x﹣y），∵x≠y，则z=x+y，代入②，得x2+y2+xy=7，又x2+y2﹣xy=4，不妨设x＞y，解得，x=，y=，z=．则=，F到平面PDE的距离d=．∴V P﹣DEF=．故答案为：．【点睛】本题考查棱锥体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，属于中档题．三．解答题：本大题共6小题，共70分.17.在锐角中,（I）求角；(Ⅱ)若,求的取值范围.【答案】(Ⅰ)（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）由题根据余弦定理化简所给条件可得，所以，根据角的范围可得角A；（Ⅱ）由题根据所给条件可得，根据正弦定理可得，所以，然后根据可得bc的范围．试题解析：（1）由且4分（2）又8分12分考点：正弦定理、余弦定理的应用18.若数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前项和，并比较与1的大小关系.【答案】（1）或；（2）,当为奇数时,,当为偶数时， .【解析】【分析】（1）由可得可得或，从而得到数列的通项公式；（2），利裂项相消法得到数列的前项和，分奇偶判断与1的大小【详解】（1）当时，，则当时，，即，由可得或则或.（2）当n为奇数时,当n为偶数时，【点睛】已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.19.已知函数（1）求函数的对称轴；对称中心；单调递增区间；（2）在中，分别是所对的边，当时，求内切圆面积的最大值.【答案】（1）对称轴为，对称中心为，单调递增区间为；（2）.【解析】【分析】（1）将函数f（x）进行化简，然后根据三角函数的图象和性质即可求函数f（x）的对称轴、对称中心、单调递增区间；（2）由可得，利用得，再结合余弦定理及重要不等式得到结果.【详解】(1)对称轴为对称中心为单调递增区间为(2) 由由得由余弦定理,即由基本不等式得，内切圆面积最大值为【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.20.如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.（1）证明：（2）若AC⊥,求三棱柱的高.【答案】（1）见解析，（2） .【解析】【分析】（1）连接BC1，则O为B1C与BC1的交点，证明B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AB；（2）作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，证明△CBB1为等边三角形，求出B1到平面ABC的距离，即可求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．【详解】（1）连接，则O为与的交点.因为侧面为菱形，所以又平面，所以，故平面ABO.由于平面ABO，故（2）作，垂足为D，连接AD.作，垂足为H. 由于，，故平面AOD，所以.又，所以平面ABC.因为，所以为等边三角形，又BC=1，可得.由于，所以由，且，得又O为的中点，所以点到平面ABC的距离为，故三棱柱的距离为.【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.已知函数.（1）若为的极值点，求的值；（2）当时，方程有实数根，求的最大值．【答案】（1）；（2）0 .【解析】【分析】（1）求导，由题意可知f′（2）=0，即可求得a的值；（2）由题意可知：﹣x2+x+ln（1﹣x）=，则b=t （lnt+t﹣t2）在（0，+∞）上有解，t=1﹣x，构造辅助函数，求导，根据导数与函数单调性及最值的关系，即可求得b的最大值．【详解】（1），求导由为的极值点，则，即，解得：，当从而为函数的极值点，成立，∴；(2)当时，方程，转化成即，令则在（0，+∞）上有解，令求导，当0＜t＜1时，h′（t）＞0，故h（t）在（0，1）上单调递增；当t＞1时，h′（t）＜0，故h（t）在（1，+∞）单调递减；h（t）在（0，+∞）上的最大值为h（t）max=h（1）=0，此时当a=﹣1时，方程有实数根，求b的最大值0．【点睛】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，利用导数求函数的单调性及最值，二次函数的性质，考查计算能力，考查转化思想，属于中档题．22.已知函数（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，若函数有两个极值点,求的最大值.【答案】（1）；（2） .【解析】【分析】（1）f（x）=alnx﹣x+1，利用导数性质结合分类讨论思想，能求出实数a的取值范围．（2）g（x）=alnx﹣x+，g′（x）=，由此利用导数性质能求出当x=e时，t（x）取得最大值，最大值为t（e）=．【详解】（1），当时，，所以在内单调递减，则有，从而当时，，得，当，有，则在上内单调递增，此时，与恒成立矛盾，因此不符合题意综上实数的取值范围为.( 2 )则由已知，可得，即方程有2个不相等的实数根，则，解得，其中而g（x2）﹣g（x1）=alnx2﹣x2+﹣alnx1+x1﹣=aln+（x1﹣x2）+（﹣）=（x2+）lnx22+﹣x2++x2=2[（+x2）lnx2+﹣x2]，由可得，又，所以设，，由，则，故所以在单调递增，当时，取得最大值，最大值为【点睛】本题考查函数的单调性的讨论，考查实数的取值范围、函数最大值的求法，考查导数性质、构造法等基础知识，考查运算求解能力和思维能力，考查函数与方程思想，属于中档题．。