辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三联合考试数学(理)试卷-含答案
辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第八次模拟数学(理)试题 含解析
东北育才学校高中部2019届高三第八次模拟数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合{|(1)(2)0},{|0}=--≤=>M x x x N x x ，则（ ） A. N M ⊆ B. M N ⊆ C. M N ⋂=∅ D. M N R =【答案】B 【解析】 【分析】求解出集合M ，根据子集的判定可得结果.【详解】由题意知：()(){}{}12012M x x x x x =--≤=≤≤，则M N ⊆ 本题正确选项：B【点睛】本题考查集合间的关系，属于基础题.2.记复数z 的虚部为Im()z ，已知z 满足12iz i =+，则Im()z 为（ ） A. 1- B. i -C. 2D. 2i【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算求得z ，从而可得虚部. 【详解】由12iz i =+得：()212122i ii z i i i++===- ()Im 1z ∴=- 本题正确选项：A【点睛】本题考查复数虚部的求解问题，关键是通过复数除法运算得到z a bi =+的形式.3.已知公比不为1的等比数列{}n a 满足15514620a a a a +=，若210m a =，则m =（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列的性质可求得21010a =，从而求得结果.【详解】由等比数列性质得：222155146*********a a a a a a a +=+==21010a ∴= 10m ∴=本题正确选项：B【点睛】本题考查等比数列性质的应用，属于基础题.2=表示的曲线方程为（ ） A. 221(1)-=≤-x y x B. 221(1)-=≥-x y x C. 221(1)-=≤-y x y D. 221(1)y x y -=≥【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的几何意义可知已知方程表示的轨迹为双曲线的下半支，从而可根据双曲线的定义求得曲线方程.(),x y 到点(的距离(),x y 到点(0,的距离2=表示动点(),x y 到(和(0,的距离之差为2符合双曲线的定义，且双曲线焦点在y 轴上又动点到(的距离大于到(0,的距离，所以动点(),x y 轨迹为双曲线的下半支则：c =1a = 2221b c a ∴=-=∴曲线方程为：()2211y x y -=≤-本题正确选项：C【点睛】本题考查利用双曲线的定义求解标准方程的问题，关键是能够明确已知方程的几何意义.5.已知向量()2,1m x =，(),2n x =，命题1:2p x =，命题:q 0,λ∃>使得m n λ=成立，则命题p 是命题q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】 根据12x =可知12m n =；若()0m n λλ=>，可知0x =或12x =；综合可得结果.【详解】若12x =，则1,14m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 12m n ∴=则命题p 是命题q 的充分条件若()0m n λλ=>，则22x x =，解得：0x =或12x = 则命题p 是命题q 的不必要条件综上所述：命题p 是命题q 的充分不必要条件 本题正确选项：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定问题，涉及到向量共线定理的应用.6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为( )A. 3B. 12x xD. 2【答案】A 【解析】由三视图可得几何体的直观图如图所示：有：PB ⊥面ABC ，PB 2=，△ABC 中，AB ?AC BC 2==，，BC 边上的高为2，所以AB AC PA 3,PC ====，该三棱锥最长的棱的棱长为PA 3=. 故选A.点睛; 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7.4月30日，庆祝东北育才学校建校70周年活动中，分别由东北育才学校校长、教师代表、学生代表、清华大学校长和北京大学校长各1人做主题演讲，其中演讲顺序要求两位大学校长不相邻，则不同的安排方法为( ) A. 24种 B. 48种 C. 72种 D. 96种【答案】C 【解析】 【分析】采用插空法即可求得结果.详解】采用插空法可得安排方法有：323461272A A =⨯=种本题正确选项：C【点睛】本题考查排列问题中的相离问题的求解，常用方法为插空法，属于基础题.8.已知257017(232)(1)+--=++x x x a a x a x ，则0246a a a a +++=( )A. 24B. 48C. 72D. 96【答案】B 【解析】 【分析】分别取1x =和1x =-，得到系数间的关系，通过作和可求得结果. 【详解】令1x =，则012345670a a a a a a a a +++++++= 令1x =-，则()5012345673296a a a a a a a a -+-+-+-=-⨯-= 两式作和得：()0246296a a a a +++= 024648a a a a ∴+++= 本题正确选项：B【点睛】本题考查二项式的系数的性质和应用，关键是能够通过赋值法求解出系数之间的关系.9.设3log 6a =，5log 10b =，61log 2=+c ，则（ ） A. a b c << B. b a c <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】D 【解析】 【分析】根据对数运算将,a b 变形为31log 2+和51log 2+，根据真数相同的对数的大小关系可比较出三个数之间的大小.【详解】()333log 6log 321log 2a ==⨯=+；()555log 10log 521log 2b ==⨯=+ 又356log 2log 2log 2>> c b a ∴<< 本题正确选项：D【点睛】本题考查利用对数函数的图象比较大小的问题，关键是能利用对数运算将三个数转化为统一的形式.10.已知函数()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦a π上有最小值1-，则a 的最大值（ ）A. 2π-B. 3π-C. 4p -D. 6π-【答案】B 【解析】 【分析】根据x 在,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦a π上，求内层函数范围，结合余弦函数的性质可得答案. 【详解】函数()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵,2x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴222,333⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦x a πππ ()f x 在,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦a π上有最小值﹣1，根据余弦函数的性质，可得23-≤-a ππ可得3≤-a π，故选：B ．【点睛】本题主要考查了余弦定理的图象性质的应用，属于基础题．11.已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有23的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率（ ） A.1320B.920C.15D.120【答案】C 【解析】 【分析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ；“甲解答不正确”为事件B ，利用二项分布的知识计算出()P A ，再计算出()P AB ，结合条件概率公式求得结果.【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ；“甲解答不正确”为事件B则()2323332122033327P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()122433327P AB =⨯⨯= ()()()15P AB P B A P A ∴== 本题正确选项：C【点睛】本题考查条件概率的求解问题，涉及到利用二项分布公式求解概率的问题.12.己知椭圆()222210x y a b a b+=>>直线l 过左焦点且倾斜角为3π，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（ ）【答案】D 【解析】 【分析】假设直线方程，求得圆心到直线的距离d，利用弦长等于,a c 的齐次方程，从而求得离心率.【详解】由题意知，椭圆左焦点为(),0c -，长轴长为2a ，焦距为2c 设直线l方程为：)y x c =+0y -+= 则以椭圆长轴为直径的圆的圆心为()0,0，半径为a∴圆心到直线l的距离2d ==2c ∴==，整理得：2247c a =∴椭圆的离心率为7c a ==本题正确选项：D【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，关键是能够利用直线被圆截得的弦长构造出关于,a c 的齐次方程.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与古希腊的算法—“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入288,123==a b 时，输出的a =_____.【答案】3 【解析】 【分析】解法一：按照程序框图运行程序，直到r 0=时，输出结果即可；解法二：根据程序框图的功能可直接求解288与123的最大公约数.【详解】解法一：按照程序框图运行程序，输入：288a =，123b = 则42r =，123a =，42b =，不满足r 0=，循环； 则39r =，42a =，b 39=，不满足r 0=，循环； 则3r =，39a =，3b =，不满足r 0=，循环； 则r 0=，3a =，0b =，满足r 0=，输出3a =解法二：程序框图的功能为“辗转相除法”求解两个正整数的最大公约数 因为288与123的最大公约数为3 3a =∴ 本题正确结果：3【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构计算输出结果、程序框图的功能问题，属于基础题.14.已知三棱锥P ABC -中，侧棱3PA PB PC ===,当侧面积最大时，三棱锥P ABC -的外接球体积为____ 【答案】323π 【解析】 【分析】当三棱锥侧面积最大时，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，可知以PA ，PB ，PC 为长、宽、高的长方体的外接球即为三棱锥P ABC -的外接球，长方体外接球半径为体对角线的一半，从而求得半径，代入球的体积公式得到结果.【详解】三棱锥P ABC -2APB APC BPC ∠+∠+∠ APB ∠，APC ∠，BPC ∠相互之间没有影响∴当上述三个角均为直角时，三棱锥P ABC -的侧面积最大此时PA ，PB ，PC 两两互相垂直∴以PA ，PB ，PC 为长、宽、高的长方体的外接球即为三棱锥P ABC -的外接球∴外接球半径2R == ∴三棱锥P ABC -的外接球的体积：343233V R ππ==本题正确结果：323π 【点睛】本题考查多面体的外接球体积的求解问题，关键是能够通过侧面积最大判断出三条棱之间的关系.15.设函数ln ,0()(1),0xx x f x x e x ⎧>=⎨+≤⎩，若函数()()g x f x b =-有三个零点，则实数b 的取值范围是____.【答案】(0,1] 【解析】 【分析】将问题转化为()y f x =与y b =有三个不同的交点；在同一坐标系中画出()y f x =与y b =的图象，根据图象有三个交点可确定所求取值范围.【详解】函数()()g x f x b =-有三个零点等价于()y f x =与y b =有三个不同的交点 当0x ≤时，()()1xf x x e =+，则()()()12x x xf x e x e x e '=++=+()f x ∴在(),2-∞-上单调递减，在(]2,0-上单调递增且()212f e-=-，()01f =，()lim 0x f x →-∞= 从而可得()f x 图象如下图所示：通过图象可知，若()y f x =与y b =有三个不同的交点，则(]0,1b ∈ 本题正确结果：(]0,1【点睛】本题考察根据函数零点个数求解参数取值范围的问题，关键是将问题转化为曲线和直线的交点个数问题，通过数形结合的方式求得结果.16.已知数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且对任意的*,r t N ∈，都有2r t S r S t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n a =_____【答案】21n - 【解析】 【分析】令r n =，1t n =+，*n N ∈，可知()2211n n S n S n +=+；假设2n S n k =，()211n S n k +=+，利用11a S =可求得k ，得到n S 和1n S +；根据11n n n a S S ++=-可求得1n a +，进而得到n a .【详解】若r n =，1t n =+，*n N ∈，则()2211nn S n S n +=+ 令2n S n k =，()211n S n k +=+则111a S k === 2n S n =∴，()211n S n +=+()()2211121211n n n a S S n n n n ++∴=-=+-=+=+- 21n a n ∴=-经验证，1n =时，满足21n a n =- 综上所述：21n a n =- 本题正确结果：21n -【点睛】本题考查利用数列前n 项和求解数列通项的问题，关键是能够通过赋值的方式得到n S .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在V ABC中，a=120A∠=︒，V ABCb c<．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求cos2B的值．【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）13 14.【解析】【分析】（I）利用三角形的面积公式和余弦定理列方程组，解方程组求得,b c的值.（II）利用正弦定理求得sin B的的值，利用二倍角公式求得cos2B的值.【详解】解：（Ⅰ）由已知得2221=2=2120.S bcsinA b c bccos⎧⎪⎨⎪+-︒⎩整理得22=4,=17.bc b c⎧⎨+⎩解得=1,=4b c⎧⎨⎩，或=4,=1.b c⎧⎨⎩因为b c<，所以1b=．（Ⅱ）由正弦定理sin sin a b A B=，即sin B=．所以2213cos2=12sin121414B B⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理解三角形，考查正弦定理解三角形，考查二倍角公式，属于中档题.18.某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案(1)规定每日底薪50元，快递业务每完成一单提成3元；方案(2)规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元．该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45)，[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图。
2019年东北三省三校第一次联合考试理科数学试题--含答案(可编辑修改word版)
2分
∵ x [0, ] ，∴ 2x 7
2
6
66
4分
∴ 1 sin(2x ) 1 2
2
6
∴函数
f
(x)
的值域为
1 2
,
2
．
（Ⅱ）∵ f ( A) sin(2A ) 1 3 ∴ sin(2A ) 1
6
2
62
∵0
A
，∴
2A
13
，∴ 2A
5
，即
A
6
66
66
F '(x) ex a 1 ，设 t(x) F(x) ex a 1 ， t(x) ex 1 ，
x
x
x2
由 x 1得， x2 1,0 1 1 Q ex e x2
t '(x)
ex
1 x2
0 ， t(x) 在 (1, ) 单调递增，
即 F(x) 在 (1, ) 单调递增， F(1) e 1 a ，
OD 平面ABC
6分
如图以 O 为原点建立空间直角坐标系 O xyz
点 A 在平面 BEF 上，所以二面角 D FB E 与二面角 D FB A 为相同二面角.
设 AB 2 ,则 OD OA 3 ， F (0, 0, 3 ), A( 3, 0, 0), B(0,1, 0) 3
BF (0, 1,
. 4分
由（Ⅰ）知，曲线 C2 的方程为
x2 4
y2
1 (x
2) ，
.7 分
联立
x x2
6y2 4 y2 4
(
x
2)
，消去
x
，得
(9
1)
y
2
6y
辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第五次模拟数学(理)试题(含解析)
2018-2019学年东北育才高中部高三年级第五次模拟考试数学（理科）试卷答题时间：120分钟满分：150分命题人、校对人：高三数学备课组一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，，则复数的虚部为( )A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】由复数的除法运算求出，进而得出，即可得出结果.【详解】因为，所以，所以虚部为.故选D【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.2.已知全集，则( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式得到集合，再由补集的概念，即可求出结果.【详解】解不等式得或，所以，因为全集，所以.故选C【点睛】本题主要考查集合的补集，熟记补集的概念即可，属于基础题型.3.向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量,则实数( )A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用表示出，进而可得出.【详解】由题中所给图像可得：，又，所以.故选D【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型.4.已知等差数列的前项和为，满足，则该数列的公差是( )A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】先设该数列的公差是，由，即可求出结果.【详解】设该数列的公差是，因为，所以，解得.故选A【点睛】本题主要考查等差数列，根据等差数列的性质，即可求解，属于基础题型.5.若双曲线的焦距为，则的一个焦点到一条渐近线的距离为 ( )A. 2B. 4C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线的焦距为，先求出，进而可求出其中一个焦点和一条渐近线，再由点到直线的距离公式，即可求出结果.【详解】因为双曲线的焦距为，所以，即；所以其中一个焦点坐标为，渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离为.故选B【点睛】本题主要考查双曲线的性质和点到直线的距离公式，由双曲线的方程求出焦点坐标和渐近线方程，再由点到直线的距离公式即可求出结果，属于基础题型.6.已知函数，则的极大值点为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先对函数求导，求出，再由导数的方法研究函数的单调性，即可得出结果.【详解】因为，所以，所以，因此，所以，由得：；由由得：；所以函数在上单调递增，在上单调递减，因此的极大值点.故选D【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，根据导数判断出函数的单调性，进而可确定其极值，属于常考题型.7.已知函数，（，）的部分图象如图所示，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由函数图像确定周期，进而求出，再由求出，即可得出结果.【详解】由函数图像可得，，即，所以，所以，又，所以，结合图像可得，因为，所以，所以.故选C【点睛】本题主要三角函数的图像和性质，熟记相关知识点即可，属于基础题型.8.如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）A. 2B.C. 6D. 8【答案】A【解析】【分析】先由三视图确定该四棱锥的底面形状，以及四棱锥的高，再由体积公式即可求出结果.【详解】由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，上底为1，下底为2，高为2，四棱锥的高为2，所以该四棱锥的体积为.故选A【点睛】本题主要考查几何的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于常考题型.9.某地区高考改革，实行“”模式，即“”指语文、数学、外语三门必考科目“”指在物理、历史两门科目中必选一门，“”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（）A. 8种B. 12种C. 16种D. 20种【答案】C【解析】【分析】分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果.【详解】若一名学生只选物理和历史中的一门，则有种组合；若一名学生物理和历史都选，则有种组合；因此共有种组合.故选C【点睛】本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型.10.在如图所示的算法框图中，若，程序运行的结果为二项式的展开式中的系数的倍，那么判断框中应填入的关于的判断条件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式，求出的系数，由已知先求a的值，模拟程序的运行，可得判断框内的条件．【详解】解：由于，二项式展开式的通项公式是，令，；的系数是．程序运行的结果S为360，模拟程序的运行，可得，不满足条件，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出S的值为360．则判断框中应填入的关于k的判断条件是？故选：A．【点睛】本题考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．11.将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由题中条件求出圆锥的高和底面圆半径，再由圆锥的内切球和圆锥底面以及母线都相切，列出等式，可求出球的半径，进而可得出结果.【详解】将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，设圆锥的底面圆半径为，则有，所以，设圆锥的内切球半径为，结合圆锥和球的特征，可知：内切球球心必在圆锥的高线上，设圆锥的高为，因为圆锥母线长为3，所以，所以有，解得，因此内切球的表面积为.故选B【点睛】本题主要考查圆锥内切球的相关计算，只需先求出圆锥的底面圆半径和高，再结合圆锥与球的结构特征，即可求出结果，属于常考题型.12.已知函数，如下命题：①函数的定义域是；②函数是偶函数；③函数在区间上是减函数；④函数的值域为.其中正确命题的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】【分析】求函数定义域，即是求使解析式有意义的的范围，由此可判断①；由偶函数的概念可判断②，由函数的单调性可判断③，进而可判断④.【详解】因为，所以，解得，即定义域为，因此①错；又，满足偶函数的定义，所以②正确；因为，当时，单调递减，又单调递减，所以可得函数单调递增；当时，单调递增，又单调递减，所以函数单调递减；所以，因此③④错误.故选D【点睛】本题主要考查函数的基本性质，灵活运用函数的基本性质即可解题，属于常考题型.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.实数满足约束条件，则的最小值是________.【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，再由目标函数表示平面区内的点与坐标原点连线的斜率，结合平面区域,即可得出结果.【详解】由约束条件作出可行域如下：因为函数表示平面区内的点与坐标原点连线的斜率，由图像可得，点与原点连线的斜率最小，由解得，所以 .故答案为【点睛】本题主要考查简单的线性规划，只需由约束条件作出可行域，分析目标函数的几何意义即可求解，属于常考题型.14.如图所示,半径为的圆是正方形的内切圆,将一颗豆子随机地扔到正方形内,用表示事件“豆子落在圆内”, 表示事件“ 豆子落在扇形（阴影部分）内”,则_____________.【答案】【解析】【分析】先由面积法求出事件“豆子落在圆内”的概率，同理求出，根据条件概率公式，即可求得结果.【详解】用表示事件“豆子落在圆内”，则，表示事件“ 豆子落在扇形（阴影部分）内”，所以，因此.故答案为【点睛】本题主要考查几何概型和条件概率，熟记与面积有关的几何概型的概率计算公式，和条件概率的计算公式，即可求解，属于常考题型.15.设是等比数列的前n项和，若，则＝____________.【答案】【解析】【分析】根据等比数列的求和公式，以及，可得，再根据求和公式，即可计算得到答案.【详解】设是等比数列的前n项和，所以，因为，所以，整理得，即的，所以.【点睛】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，其中解答中根据等比数列的前n项和公式和题设条件，求得，进而求解的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16.抛物线的焦点为，设是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为____________.【答案】【解析】【分析】先由是抛物线上的两个动点得到，再由，可得，根据余弦定理和基本不等式,即可求出结果.【详解】由是抛物线上的两个动点，得又，，所以，在中，由余弦定理得：，又，即，所以，因此的最大值为.故答案为【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，根据抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即可列式求解，属于常考题型.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角的对边分别为，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若面积为，且外接圆半径，求的周长.【答案】（1）;（2）3+.【解析】【分析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得,结合范围，可求的值；(2)由正弦定理可求 ,利用余弦定理可得,解得的值,可求周长.【详解】（1），即又（2）∴由，∴，∵，所以得，∴周长a+b+c=3+．【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.18.2018年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会．40年众志成城，40年砥砺奋进，40年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗．会后，央视媒体平台，收到了来自全国各地的纪念改革开放40年变化的老照片，并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40年图片展”，其作者年龄集中在之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下：（Ⅰ）求这100位作者年龄的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，作者年龄X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．（i）利用该正态分布，求；（ii）央视媒体平台从年龄在和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出了7人参加“纪念改革开放40年图片展”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间的人数是Y，求变量Y的分布列和数学期望．附：，若，则，【答案】（1）,；（2）（i）0.3415；（ii）详见解析.【解析】【分析】(1) 利用离散型随机变量的期望与方差的公式计算可得答案；（2）（i）由(1)知，)，从而可求出；（ii）可得可能的取值为0，1，2，3，分别求出其概率，可列出的分布列，求出其Y的数学期望.【详解】解：（1）这100位作者年龄的样本平均数和样本方差分别为（2）（i）由（1）知，，从而；（ii）根据分层抽样的原理，可知这7人中年龄在内有3人，在内有4人，故可能的取值为0，1，2，3，，所以的分布列为Y0123P所以Y的数学期望为【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，正态分布的应用，其中解答涉及到离散型随机变量的期望与方差公式的计算、正态分布曲线的概率的计算等知识点的考查，着重考查了学生分析问题，解答问题的能力及推理与运算的能力，属于中档题型.19.已知椭圆:的左、右焦点分别为，离心率为，直线：与椭圆交于，四边形的面积为.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）作与平行的直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，若的斜率分别为，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和四边形的面积求法，以及椭圆中的关系，列出对应的方程组，即可求得结果；（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用判别式大于零，得出范围，利用韦达定理以及中点坐标公式，得到（），根据的范围求得结果.【详解】由（1）可得，，带入得，椭圆方程为（2）设直线的方程为由，得，得，设,则（）【点睛】该题考查的是有关直线与圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，斜率坐标公式等，属于中档题目.20.如图所示，四棱锥中，侧面底面，底面是平行四边形，，，，是中点，点在线段上.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，求实数使直线与平面所成角和直线与平面所成角相等.【答案】(Ⅰ) 见解析；(Ⅱ)【解析】【分析】(Ⅰ)由线面垂直的判定定理，先证明平面，进而可得；（Ⅱ）先结合(Ⅰ)证明底面，以为原点，延长线、、分别为、、轴建系，用表示出直线的方向向量与平面的法向量的夹角余弦值，以及直线的方向向量与平面的法向量的夹角余弦值，根据两角相等，即可得出结果.【详解】(Ⅰ)解：中，∴∴；连，中∴∴，∴又∴平面∴(Ⅱ)由（1）：，又侧面底面于，∴底面，∴以为原点，延长线、、分别为、、轴建系；∴，，,，，∴，，，设，（），则，设平面的一个法向量，则，可得又平面的一个法向量由题：，即解得：【点睛】本题主要考查线面垂直的性质和已知线面角之间的关系求参数的问题，对于线面角的问题，通常用空间向量的方法，求出直线的方向向量以及平面的法向量，即可求解，属于常考题型.21.已知函数.(Ⅰ)讨论的单调性；(Ⅱ)若有三个不同的零点，求的取值范围.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1），对a分类讨论，从而得到的单调性；（2），则，对a分类讨论，研究函数的图象走势，从而得到的取值范围.试题解析：（1）由已知的定乂域为，又，当时，恒成立；当时，令得；令得.综上所述，当时，在上为增函数；当时，在上为增函数，在上为减函数.（2）由题意，则，当时，∵，∴在上为增函数，不符合题意.当时，，令，则.令的两根分别为且，则∵，∴，当时，，∴，∴在上为增函数；当时，，∴，∴在上为减函数；当时，，∴，∴在上为增函数.∵，∴在上只有一个零点 1，且。
辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三联合考试数学(理)试卷(含答案)
沈阳市东北育才学校2019届高三联合考试数学（理）科试卷答题时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}01|2>-=x x A ，{}R x y y B x ∈==,3|，则=B AA ．()1,-∞-B ．(]1,-∞-C ．()+∞,1D ．[)+∞,1 2．“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知曲线)(x f y =在())5(5f ，处的切线方程是5+-=x y ，则)5(f 与)5(f '分别为A ．1,5-B ．5,1-C ．0,1-D ．1,0-4．在平行四边形ABCD 中，)4,2(-=AC ，)2,2(=BD ，则=⋅AD ABA ．1B ． 2C ．3D ．45．若10<<a ，1>>c b ，则A ．1<⎪⎭⎫ ⎝⎛ac b B ．b c a b a c >-- C ．11--<a a b cD ．a a b c log log < 6．已知函数x x x f ln 11)(--=，则)(x f y =的图象大致为 A ． B ．C ．D ．7．已知函数x x f x +=3)(，x x x g +=3log )(，x x x h +=sin )(的零点依次为321,,x x x ，则以下排列正确的是A ．321x x x <<B ．231x x x <<C ．123x x x <<D ．132x x x <<8．欧拉公式x i x e ix sin cos += (i 为虚数单位是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥” ．根 据欧拉公式可知，i i e e36ππ+表示的复数的模为 A ．213+ B ．213- C ．226+ D ．226- 9．设n m ,是两条不同的直线,βα，为两个不同的平面，则下列四个命题中不正确．．．的是 A ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥ B ．βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //C ．βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥D ．βα⊥⊥n m ,且βα//，则n m //10．函数)0)(3cos()(>+=ωπωx x f 在[]π,0内的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,1，则ω的取值范围为 A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,32 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,0 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0 A ．[]1,0 11．设实数0>m ，若对任意的e x ≥，不等式x m me x x ≥ln 2恒成立，则m 的最大值是 A ．e1 B ．1 C ．e D ．e2 12．设函数x x x f ln )(=，x x f x g )()('=，给定下列命题 ①不等式0)(>x g 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e ；②函数)(x g 在()e ,0单调递增，在()+∞,e 单调递减③若021>>x x 时，总有)()()(2212221x f x f x x m ->-恒成立，则1≥m ； ④若函数2)()(ax x f x F -=有两个极值点，则实数()1,0∈a ．则正确的命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.13．设函数)(x f 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当10<<x 时，x x f 2log )(=，则=-+)1()417(f f _______________． 14． 已知点P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一点，21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，若︒=∠12021PF F ，且||2||21PF PF =，则椭圆的离心率为_______________．15． 在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，B c A b B b tan 2tan tan -=+，且8=a ，73=+c b ，则ABC ∆的面积为_______________．16．已知对满足xy y x 4544=++的任意正实数y x ,，都有01222≥+--++ay ax y xy x ，则实数a 的取值范围为_______________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(本小题满分10分)已知幂函数2422)1()(+--=m mx m x f 在()+∞,0上单调递增，函数k x g x -=2)(． (Ⅰ)求m 的值；(Ⅱ)当[]2,1-∈x 时，记)(),(x g x f 的值域分别为集合B A ,，设命题A x p ∈:，命题B x q ∈:，若命题p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知函数)0(cos 2sin )(>-=ωωωx x a x f 的最小正周期为2π，当6π=x 时，有最大值4． (Ⅰ)求ω,a 的值；(Ⅱ)若434ππ<<x ，且34)6(=+πx f ，求)62(π+x f 的值． 19．(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足)(,222*13221N n n a a a a n n ∈=++++- ．(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若2212log log 1++⋅=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 20．(本小题满分12分)设函数)421(log )(2x x a x f +⋅+=, 其中a 为常数．(Ⅰ)当4)1()2(+-=f f ，求a 的值；(Ⅱ)当[)+∞∈,1x 时，关于x 的不等式1)(-≥x x f 恒成立，求a 的取值范围．21．(本小题满分12分)如图，在P 地正西方向km 8的A 处和正东方向km 1的B 处各有一条正北方向的公路AC 和BD ，现计划在AC 和BD 路边各修建一个物流中心E 和F ，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE 和PF ，设)20(παα<<=∠EPA ．(Ⅰ)为减少对周边区域的影响，试确定F E ,的位置，使PAE ∆与PFB∆的面积之和最小；(Ⅱ)为节省建设成本，求使PF PE +的值最小时AE 和BF 的值．22．(本小题满分12分) 已知函数)(,ln 21)(2R a x ax x x f ∈+-=． (Ⅰ)若)(x f 在定义域上不单调，求a 的取值范围；(Ⅱ)设ee a 1+<，n m ,分别是)(xf 的极大值和极小值，且n m S -=，求S 的取值范围．。
辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第三次模拟数学(理)试题Word版含答案
则 AP ( AB AC)
A. 有最大值 8 B. 是定值 2 C. 有最小值 1
10．函数 f (x)
|x|
e
2 | x | 1的图象大致为
D. 是定值 4
11. 如图直角坐标系中，角
0
、角
0 的终边分别交单位圆于 A 、 B
2
2
两点，若 B 点的纵坐标为
5 ，且满足 S△ AOB
13
3 ，则 sin
C.i
D. i
2.设集合 A x x2 x 2 0 ， B x log2 x 2 ，则集合 (CR A) B
A. x 1 x 2 B.
x0 x 2
C.
x0 x 4 D ． x 1 x 4
3. 已知各项为正数的等比数列 { an } 中， a2 1， a4a6 64 ，则公比 q＝
A． 2
B． 3
C． 4
1 x3 2x4 的取
值范围是
7 A. ( 1, ]
B.
7 ( 1, )
C.
( 1,
) D. (
, 7]
2
2
2
y
A
x O
B
第 II 卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .
13．等差数列 { an } 、{ bn} 的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，若 Sn Tn
2n 1 ，则 a3 a1 a19
B. x 2
3 C. x
8
5 D. x
8
) 上的函数 f ( x) x2 m ，g( x) 6ln x 4 x ，设两曲线 y
f (x) 与
y g( x) 在公共点处的切线相同，则 m 值等于
辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第一次模拟考试数学(理)
辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题一、选择题 1.复数2=（ ） A.1- B.1 C.i -D.i 答案： D 解答：2222(1)122222i i i i i i -+--====--，故选D. 2.已知全集2{|8120}U x z x x =∈-+≤,{3,4,5}A =，{5,6}U C B =,则A B =I（ ）A.{5,6}B.{3,4}C.{2,3}D.{2,3,4,5} 答案： B 解答：由2812(2)(6)0x x x x -+=--≤，得26x ≤≤，所以{2,3,4,5,6}U =.因为{5,6}U C B =，所以{2,3,4}B =，又{3,4,5}A =，所以{3,4}A B =I ，故选B. 3.甲乙两名同学6次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为、，标准差分别为、，（ ）A.，B. ，C. ，D. ，答案： C 解答：由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故，故选C.4.一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是（ ）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱 答案： B 解答：还原该几何体的直观图如图所示，所以截去的几何体是三棱柱.故选B.5.下列命题中真命题的是（ ）A.若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题；B. “22am bm <”是“a b <”的充要条件；C.命题：若21x =，则1x =或1x =-的逆否命题为：若1x ≠或1x ≠-，则21x ≠；D.对于实数,x y ，:8p x y +≠，:2q x ≠或6y ≠，则p 是q 的充分不必要条件. 答案： D 解答：A 项，若p q ∧为假命题，则p ，q 至少有一个是假命题，故A 项错误；B 项，当a b <且0m =时，22am bm =，故“22am bm <”不是“a b <”的充要条件”，故B 项错误；C 项，命题若21x =，则1x =或1x =-的逆否命题为：若1x ≠且1x ≠-，则21x ≠.故C 项错误；D 项，:8p x y ⌝+=；:2q x ⌝=且6y =.当2x =且6y =时，8x y +=；当8x y +=时，x y 、取值不一定为26、.故q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，故p 是q 的充分不必要条件.故D 项正确.故选D. 6.已知1cos()25πα-=，则cos2α=（ ） A ．725B ．725- C ．2325 D ．2325-答案： C 解答：1cos()sin 25παα-==，2223cos 212sin 12525αα=-=-=.故选C.7.若实数,x y 满足210220x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A.4B.1C.1-D.4-答案： C 解答：画出目标函数2z x y =-在约束条件下的可行域如图中阴影部分所示，当直线2y x z =-经过点(0,1)时，z -有最大值，即z 有最小值，min 1z =-.故选C.8．已知函数lg(y x =是定义在R 上的奇函数，且函数2()x ag x x+=在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值为（ ） A ．1- B ．2- C ．1D ．2 答案： A 解答：因为函数lg(y x =+是定义在R 上的奇函数，所以lg(lg(x x =--，所以x +=.所以2(1x x a -==，所以1a =±，又函数22()x a g x x +=在(0,)+∞上单调递增，所以2()10ag x x'=-≥在(0,)+∞上恒成立，所以1a =-.故选A.9.某次文艺汇演，要将A B C D E F 、、、、、这六个不同节目编排成节目单，如下表：如果A B 、两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，则节目单上不同的排序方式有（ ） A ．192种 B ．144种C ．96种D ．72种 答案： B 解答：A B 、两个节目要相邻，可以“捆绑法”，有22A 种方法，但不能排在3号位置，所以有3种选择：1,2；4,5；5,6，其余节目可在其它3个位置任意排列，有44A 种方法，故由分步乘法原理得节目单上不同的排序方式有24243144A A =种，故选B.10.函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ＞0，ϕ＜π2）的图象如图所示，为了得到()sin3g x x =的图象，只需将()f x 的图象（ ）A.向右平移4π个单位长度 B.向左平移4π个单位长度 C.向右平移12π个单位长度 D.向左平移12π个单位长度 答案： C 解答：因为0A >且图象最小值1-，所以1A =，由图象可知54124T ππ=-，所以23T π=， 又因2T πω=得3ω=.将(,0)4π代入()sin(3)f x x ϕ=+得4πϕ=，所以()sin(3)4f x x π=+，而()sin[3()]sin 3()12124f x x xg x πππ-=-+==，则()f x 应向右平移12π个单位长度.故选C.11.设点1F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点，点P 为C 右支上一点，点O 为坐标原点，若1OPF ∆是底角为30︒的等腰三角形，则C 的离心率为（ ）A 1B 1CD 答案： A 解答：由题意可知1OF OP c ==，112cos30F P OF =⋅⋅︒=. 不妨假设点P 位于第一象限，双曲线的右焦点为2F ，作PD x ⊥轴，则易知1sin 302PD PF =⋅︒=，sin 302cOD PO =⋅︒=. ∴22cDF =，2PF c =，由双曲线的定义知：122PF PF a -=,2c a -=，1)2c a =，∴双曲线的离心率1c e a ===. 12．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且对任意的实数x 都有5()(2)()2x f x e x f x -'=+-（e 是自然对数的底数），且(0)1f =，若关于x 的不等式()0f x m -<的解集中恰唯一一个整数，则实数m 的取值范围是（ ） A.(,0)2e-B.(,0]2e - C.3(,0]4e- D.39(,]42e e-答案： B令(())xe gf x x =，则()[()()]xg x e f x f x ''=+，因为5()(2)()2x f x e x f x -'=+-，所以5()22g x x '=+，所以25()2g x x x C =++，C 为常数，因为0(0)(0)1g e f ==，所以1C =，所以25()12g x x x =++， 所以251()(21)(2)2()2x x xx x g x x x f x e e e++++===，当2x =-或12x =-时，()0f x =，当1(2,)2x ∈--时，()0f x <，所以当0m >时，()0f x m -<至少有两个整数解1x =-和2x =-，故D 项错误.当1x =-时，()2e f x =-，所以当02em -<≤时，()0f x m -<恰有唯一一个整数解1x =-，故B 项正确，A 项错误.当2em ≤-时，()0f x m -<无整数解，故C 错误.故选B. 二、填空题13.已知(1)nmx +的展开式中，二项式系数和为32，各项系数和为243，则m = ． 答案：2解答：因为二项式系数和为32，所以232n=，所以5n =，又各项系数和为243，所以5(1)243m +=，所以2m =.14.已知抛物线24y x =的焦点为F ，点A 在y 轴上，线段AF 的中点B 在抛物线上，则AF = ．答案：3解答：抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)F ，准线方程为1x =-，因为点B 是线段AF 的中点，所以点B 的横坐标为12x =，所以312BF x =+=，23AF BF ==. 15.在正四面体P ABC -中，其侧面积与底面积之差为积为 ．6π解答：设正四面体P ABC -的棱长为a ，则其底面积为21244a ⨯⋅=，侧面积为3==所以2a =.=， 所以外接球的表面积为246R ππ=.16.如图，设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos cos sin a C c A b B +=，且6C A B π∠=.若点D 是ABC ∆外一点，2,3DC DA ==，则当四边形ABCD 面积最大值时，sin D = ．答案：7解答：因为cos cos sin a C c A b B +=，所以sin cos sin cos sin sin A C C A B B +=，所以2sin()sin()sin sin A C B B B π+=-==，因为0B π<<，所以sin 1B =，所以2ABC π∠=，又6CAB π∠=，所以2b a =，c =.在ACD ∆中，由余弦定理，2249223cos 1312cos 4AC D D a =+-⨯⨯=-=，23sin 2ABCD ABC ACDS S S D =+=+.①当2D ππ<<时，令sin ,(0,1)t D t =∈，则()3S t t =+，()3S t '=，当t =时，()0S t '=，当0t <<时，()0S t '>，()S t 单调递增，1t <<时，()0S t '<，()S t 单调递减，所以当sin D ==时，S取最大值，max 814782S =++=+. ②02D π<≤时，令(]sin ,0,1t D t =∈，则()3S t t =+，()30S t '=>，所以当1t =时，S 取最大值，所以max 3S =+<.综上所述，当sin 7D =时，四边形ABCD 的面积最大. 三、解答题17.已知等差数列{}n a 的公差为d ，且关于x 的不等式2130a x dx --<的解集为(1,3)-，（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1()22n a n n b a +=+，求数列{}n b 前n 项和n S .答案：（1）21n a n =-； （2）1222n n S n +=+-.解答：（1）由题意，得112,33,da a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得121.d a =⎧⎨=⎩,故数列{}n a 的通项公式为12(1)n a n =+-，即21n a n =-.（2）据（1）求解知21n a n =-，所以1()222(21)+=+=+-n a n n n b a n ，所以12(2482)(13521)22n n n S n n +=+++++++++-=+-L L .18.随着移动支付的普及，中国人的生活方式正在悄然发生改变，带智能手机而不带钱包出门，渐渐成为中国人的新习惯.2017年我国的移动支付迅猛增长，据统计某平台2017年移动支付的笔数占总支付笔数的80%.（1）从该平台的2017年的所有支付中任取10笔，求移动支付笔数的期望和方差；（2）现有500名使用移动支付平台的用户，其中300名是城市用户，200名是农村用户，调查他们2017年个人支付的比例是否达到80%，得到22⨯列联表如下：根据上表数据，问是否有95%的把握认为2017年个人支付比例达到了80%与该用户是否是城市用户还是农村用户有关？附：22()()()()()n ad bca b a c c d b d χ-=++++答案：（1）8,85；（2）见解析. 解答：（1）设移动支付笔数为X，则4~(10,)5X B，所以4418 108,105555 EX DX=⨯==⨯⨯=.（2）因为222()500(2703017030)= 2.841 3.841 ()()()()44060300200n ad bca b c d a c b dχ-⨯⨯-⨯=≈< ++++⨯⨯⨯，所以没有95%的把握认为2017年个人移动支付比例达到了80%与该用户是城市用户还是农村用户有关.19. 在四棱锥P ABCD-中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，//BC AD，90ADC∠=︒，112BC CD AD===，PA PD=，E，F分别为AD，PC的中点.（1）求证：//PA 平面BEF ；（2）若PE EC =，求二面角F BE A --的余弦值.答案：（1）见解析；（2）3-. 解答：（1）证明：连接AC 交BE 于O ，并连接EC ，FO ，∵//BC AD ，12BC AD =，E 为AD 中点，∴//AE BC ，且AE BC =， ∴四边形ABCE 为平行四边形，∴O 为AC 中点，又F 为PC 中点，∴//OF PA ，∵OF ⊂平面BEF ，PA ⊄平面BEF ，∴//PA 平面BEF .（2）由BCDE 为正方形可得EC =PE EC ==取PD 中点M ，连,,ME MF MA ，∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，且交于AD ，BE AD ⊥，∴BE ⊥平面PAD ，又//ME OF ，∴MEA ∠为二面角F BE A --的平面角,又∵EM =，1AE =，AM =，∴cos 3MEA ∠=-，所以二面角F BE A --的余弦值为3-20. 已知(2,0)A -，(2,0)B ，点C 是动点，且直线AC 和直线BC 的斜率之积为34-. （1）求动点C 的轨迹方程； （2）设直线l 与（1）中轨迹相切于点P ，与直线4x =相交于点Q ，且(1,0)F ，求证：90PFQ ∠=︒.答案：（1）221(0)43x y y +=≠；（2）见解析.解答：（1）设(,)C x y ，则依题意得34AC BC k k ⋅=-，又(2,0)A -，(2,0)B ， 所以有3(0)224y y y x x ⋅=-≠+-，整理得221(0)43x y y +=≠，即为所求轨迹方程. （2）设直线l ：y kx m =+，与223412x y +=联立得2234()12x kx m ++=，即222(34)84120k x kmx m +++-=，依题意222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+-=，即2234k m +=， ∴122834km x x k -+=+，得122434km x x k-==+， ∴2243(,)3434km m P k k -++，而2234k m +=，得43(,)k P m m -，又(4,4)Q k m +， 又(1,0)F ，则43(1,)(3,4)0k FP FQ k m m m ⋅=--⋅+=uu r uu u r .知FP FQ ⊥u u r u u u r ， 即90PFQ ∠=.21.已知函数2()x f x xe x ax b =+++，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为4230x y --=.（1）求,a b 的值；（2）证明:()ln f x x >.答案：（1）1a =；32b =-； （2）见解析.解答： （1）()(1)2x f x x e x a '=+++，由题意有(0)123(0)2f a f b '=+=⎧⎪⎨==-⎪⎩，解得1a =，32b =-. （2）证明：由（1）知，23()2x f x xe x x =++-. 设2()ln x h x xe x x x =++-，则只需证明3()2h x >. 11()(1)21(1)(2)x x h x x e x x e x x '=+++-=++-，设1()2x g x e x =+-，则21()0x g x e x '=+>，∴()g x 在(0,)+∞上单调递增， ∵141()2404g e =+-<，∵131()2303g e =+->， ∴011(,)43x ∃∈，使得0001()20x g x e x =+-=. 且当0(0,)x x ∈时，()0g x <，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >.∴当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增 ；∴02min 00000()()ln x h x h x x e x x x ==++-，由01200=-+x e x ，得2100-=x e x ， ∴220000000001()(2)ln 1ln h x x x x x x x x x =-++-=-+-， 设2()1ln x x x x ϕ=-+-，11(,)43x ∈，1(21)(1)()21x x x x x xϕ+-'=--=， ∴当11(,)43x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ在11(,)43单调递减， ∴200111173()()()()1ln()ln 3333392h x x ϕϕ=>=-+-=+>，因此3()2h x >. ∴()ln f x x >.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程是：22(5)10x y -+=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设过原点的直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且2AB =，求直线l 的斜率． 答案：（1）210cos 150ρρθ-+=；（2）34±. 解答：（1）曲线C ：2251)0(x y -+=，即2210150x y x +-+=， 将222x y ρ+=，cos x ρθ=代入得，曲线C 的极坐标方程为210cos 150ρρθ-+=．（2）由圆的弦长公式2=及210r =，得圆心()5,0C 到直线l 距离3d =， 如图，在Rt OCD ∆中，易得3tan 4DOC ∠=，可知直线l 的斜率为34±．23. 已知函数()1f x ax =+，不等式()3f x <的解集为(1,2)-.（1）求实数a 的值；（2）若不等式()1f x x m ≤++的解集为∅，求实数m 的取值范围.答案：（1）2a =-；（2）32m <-. 解答：（1）由13ax +<知42ax -<<，而13ax +<的解集为()1,2-，所以2a =-．（2）由（1）知211x x m -+≤++，即211x x m --+≤的解集为∅， 令()211g x x x =--+，则2,11()3,1212,2x x g x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩， . 所以min 3()2g x =-，故32m <-。
辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第三次模拟数学(理)试题(精品解析)
2018-2019学年度东北育才高中部高三年级第三次模拟考试数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，选C.考点：复数运算【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为2.设集合，，则集合A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合和它的补集，然后求得集合的解集，最后取它们的交集得出结果.【详解】对于集合A，，解得或，故.对于集合B，，解得.故.故选B.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.3.已知各项为正数的等比数列中，，，则公比q＝A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】由于数列为等比数列，将已知条件转化为的形式，解方程组可求得的值.【详解】由于数列为等比数列，故，，由于数列各项为正数，故，选A.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想解等比数列的有关计算问题.要注意题目给定公比是正数.属于基础题.4.若两个单位向量，的夹角为，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将所求变为，然后利用数量积模的运算，求出结果.【详解】依题意得.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算后求模的题目的求解方法，含有模的向量运算的题目，一般考虑先平方后开方的方法来求解.在解题过程中，要注意的是题目所给的向量为单位向量，故它们的模为，另一个是，和，其中是向量的夹角.属于基础题.5.已知命题：幂函数的图象必经过点和点；命题：函数的最小值为.下列命题为真命题的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用幂函数的性质判断命题的真假，利用函数的单调性，及对钩函数的性质，判断命题的真假，最后利用含有逻辑联结词命题真假性的判断得出正确选项.【详解】函数不经过原点，故命题为假命题.，由于而函数在上是增函数，最小值为，故的最小值为，此时.故命题为真命题.故，，为假命题，为真命题.故选B.【点睛】本小题主要考查命题真假性的判断，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，还考查了幂函数的性质，以及基本不等式运用的条件.对于幂函数来说，一定过的定点是，如果幂函数在处有定义的话，才过点.基本不等式运用时要注意等号是否成立，本题不能用基本不等式来求解.6.设变量、满足约束条件，则的最小值为A. -3B. -2C. 0D. 6【答案】C【解析】【分析】画出可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得最小值.【详解】画出可行域如下图所示. 向上平移基准直线到点的位置时，目标函数取得最小值为.故选C.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求解目标函数的最小值.要注意的是由于，故要求的最小值，实际上是截距的最大值，故需要将基准直线向上平移到可行域的边界位置，此时截距取得最大值，取得最小值.如果题目改为，则需要向下平移来取得最小值.7.将函数图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，所得函数的一条对称轴方程为A.B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】图像上各点的横坐标伸长到原来的倍，变为原来的.向右平移个单位即要.通过上面两个步骤得到变换后的函数解析式后，再根据三角函数的对称轴公式求得相应的对称轴.【详解】图像上各点的横坐标伸长到原来的倍，变成.向右平移个单位变为.当时，函数取得最大值，故对称轴为，故选A.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，主要是周期变换和相位变换，还考查了三角函数图像的对称轴的求法，属于基础题.8.已知定义在上的函数，，设两曲线与在公共点处的切线相同，则值等于A.B. C.D. 【答案】D 【解析】【分析】分别求得和的导数，令它们的导数相等，求得切点的横坐标，进而求得纵坐标，代入求得的值.【详解】，令，解得，这就是切点的横坐标，代入求得切点的纵坐标为，将代入得.故选D.【点睛】本小题主要考查函数导数与切线，考查两个函数公共点的切线方程，有关切线的问题关键点在于切点和斜率.属于基础题.9.已知为等腰三角形，满足，，若为底上的动点，则A. 有最大值B. 是定值C. 有最小值D. 是定值【答案】D 【解析】【分析】设是等腰三角形的高.将转化为，将转化为，代入数量积公式后，化简后可得出正确选项.【详解】设是等腰三角形的高，长度为.故.所以选D.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，还考查了化归与转化的数学思想方法.属于基础题.10.函数的图象大致为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性，排除选项，通过函数的导数，判断函数的单调性，可排除选项，从而可得结果.【详解】函数是偶函数，排除选项；当时，函数，可得，当时，，函数是减涵数，当时，函数是增函数，排除项选项，故选C.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象11.如图直角坐标系中，角、角的终边分别交单位圆于、两点，若点的纵坐标为，且满足，则的值( )A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】先根据已知得到，再根据得，即,利用三角恒等变换化简原式为，代入的值即得解.【详解】由图易知知.由题可知，.由于知，即，即.则.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查三角函数的坐标定义，考查同角的平方关系，考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题解题的关键是化简原式为.12.设函数若关于的方程有四个不同的解且则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出函数的图像，通过观察的图像与的交点，利用对称性求得与的关系，根据对数函数的性质得到与的关系.再利用函数的单调性求得题目所求式子的取值范围.【详解】画出函数的图像如下图所示，根据对称性可知，和关于对称，故.由于，故.令，解得，所以.，由于函数在区间为减函数，故，故选A.【点睛】本小题主要考查函数的对称性，考查对数函数的性质，以及函数图像的交点问题，还考查了利用函数的单调性求函数的值域的方法，属于中档题.第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.等差数列的前项和分别为和，若，则_____.【答案】【解析】【分析】利用等差数列前项和公式，将题目所求的式子中的有关的式子，转化为有关的式子来求解.【详解】原式.【点睛】本小题主要考查了等差数列通项公式的性质，考查了等差数列前项和公式，考查了通项公式和前项和公式的转化.对于等比数列来说，若，则有，而前项和公式，可以进行通项和前项和的相互转化.属于基础题.14.已知向量，且，则角的值为_____．（用反三角函数形式表示）【答案】【解析】【分析】利用两个向量平行的坐标表示列方程，再利用反三角函数求得角的值.【详解】由于两个向量平行，故，故，所以.【点睛】本小题主要考查两个向量平行的坐标表示，还考查了反三角函数的表示方法.属于基础题.15.已知函数，若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的最小值为_____．【答案】【解析】【分析】先利用一元二次不等式的解法求得点的取值范围.将原函数通过换元后变为，利用为对钩函数，画出它的大致图像.结合图像可求得不等式桑格整数解对应的的值，由此可求得的最小值.【详解】因为，所以由，可得.令，，画出的大致图像如下图所示，结合图像分析可知原不等式有个整数解转化为的三个解分别为.当的值分别为时，.画出直线，结合函数图像可知，点的最小值为.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法和分析问题的能力，属于难题.16.已知锐角的三个内角的余弦值分别等于钝角的三个内角的正弦值，其中，若，则的最大值为_______.【答案】【解析】由于，且为钝角，故，由正弦定理得，故.三、解答题：本大题共6小题，共70分。
【高三数学试题精选】2019届高三数学上学期三模试题(理科附答案辽宁沈阳东北育才学校)
2019届高三数学上学期三模试题（理科附答案辽宁沈阳东
北育才学校）
5 c 3 B-2 c0 D 6
7将函数＝sin(6x＋π4)图像上各点的横坐标伸长到原的3倍，再向右平移π8个单位，所得函数的一条对称轴方程为
A． B c D
8．已知定义在上的函数，，设两曲线与在共点处的切线相同，则值等于
A B c D．
9已知为等腰三角形，满足，，若为底上的动点，则
A有最大值 B是定值 c有最小值 D是定值
10．函数的图象大致为
11如图直角坐标系中，角、角的终边分别交单位圆于、两点，若点的纵坐标为，且满足，则的值
A B c D
12设函数若关于的方程有四
个不同的解且则的取
值范围是
A B c D
第II卷
二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．等差数列、的前项和分别为和，若，则 _____
14．已知向量，且，则角的值为．（用反三角函数形式表示）
15已知函数，若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围为．
16已知锐角的三个内角的余弦值分别等于钝角的三个内角的正弦值，其中，若，则的最大值为。
2019届辽宁省沈阳市东北育才高三第八次模拟数学（理）试题
2019届辽宁省沈阳市东北育才学校高三第八次模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|(1)(2)0},{|0}=--≤=>M x x x N x x ，则（ ） A ．N M ⊆ B ．M N ⊆ C ．M N ⋂=∅ D ．M N R =【答案】B【解析】求解出集合M ，根据子集的判定可得结果. 【详解】由题意知：()(){}{}12012M x x x x x =--≤=≤≤，则M N ⊆ 本题正确选项：B 【点睛】本题考查集合间的关系，属于基础题.2．记复数z 的虚部为Im()z ，已知z 满足12iz i =+，则Im()z 为（ ） A ．1- B ．i -C ．2D ．2i【答案】A【解析】根据复数除法运算求得z ，从而可得虚部. 【详解】由12iz i =+得：()212122i ii z i i i++===- ()Im 1z ∴=- 本题正确选项：A 【点睛】本题考查复数虚部的求解问题，关键是通过复数除法运算得到z a bi =+的形式.3．已知公比不为1的等比数列{}n a 满足15514620a a a a +=，若210m a =，则m =（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】B【解析】根据等比数列的性质可求得21010a =，从而求得结果.【详解】由等比数列性质得：222155146*********a a a a a a a +=+==21010a ∴= 10m ∴=本题正确选项：B 【点睛】本题考查等比数列性质的应用，属于基础题.42=表示的曲线方程为（ ）A ．221(1)-=≤-x y xB ．221(1)-=≥-x y xC ．221(1)-=≤-y x yD ．221(1)y x y -=≥【答案】C【解析】根据方程的几何意义可知已知方程表示的轨迹为双曲线的下半支，从而可根据双曲线的定义求得曲线方程. 【详解】(),x y 到点(的距离(),x y 到点(0,的距离2=表示动点(),x y 到(和(0,的距离之差为2符合双曲线的定义，且双曲线焦点在y 轴上又动点到(的距离大于到(0,的距离，所以动点(),x y 轨迹为双曲线的下半支 则：2=c ，1a = 2221b c a ∴=-=∴曲线方程为：()2211y x y -=≤-本题正确选项：C 【点睛】本题考查利用双曲线的定义求解标准方程的问题，关键是能够明确已知方程的几何意义.5．已知向量()2,1m x =，(),2n x =，命题1:2p x =，命题:q 0,λ∃>使得m n λ=成立，则命题p 是命题q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【答案】A【解析】根据12x=可知12mn=；若()0m nλλ=>，可知0x=或12x=；综合可得结果.【详解】若12x=，则1,14m⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,22n⎛⎫= ⎪⎝⎭12m n∴=则命题p是命题q的充分条件若()0m nλλ=>，则22x x=，解得：0x=或12x=则命题p是命题q的不必要条件综上所述：命题p是命题q的充分不必要条件本题正确选项：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定问题，涉及到向量共线定理的应用.6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为( )A．3 B．12xx C．5D．2【答案】A【解析】由三视图可得几何体的直观图如图所示：有：PB ⊥面ABC ，PB 2=，△ABC 中，AB ?AC BC 2==，，BC 边上的高为2，所以AB AC PA 3,PC ====，该三棱锥最长的棱的棱长为PA 3=. 故选A.点睛; 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7．4月30日，庆祝东北育才学校建校70周年活动中，分别由东北育才学校校长、教师代表、学生代表、清华大学校长和北京大学校长各1人做主题演讲，其中演讲顺序要求两位大学校长不相邻，则不同的安排方法为( ) A ．24种 B ．48种 C ．72种 D ．96种【答案】C【解析】采用插空法即可求得结果. 【详解】采用插空法可得安排方法有：323461272A A =⨯=种本题正确选项：C 【点睛】本题考查排列问题中的相离问题的求解，常用方法为插空法，属于基础题. 8．已知257017(232)(1)+--=++x x x a a x a x ，则0246a a a a +++=( )A ．24B ．48C ．72D ．96【答案】B【解析】分别取1x =和1x =-，得到系数间的关系，通过作和可求得结果. 【详解】令1x =，则012345670a a a a a a a a +++++++=令1x =-，则()5012345673296a a a a a a a a -+-+-+-=-⨯-= 两式作和得：()0246296a a a a +++= 024648a a a a ∴+++= 本题正确选项：B【点睛】本题考查二项式的系数的性质和应用，关键是能够通过赋值法求解出系数之间的关系. 9．设3log 6a =，5log 10b =，61log 2=+c ，则（ ） A ．a b c << B ．c a b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】D【解析】根据对数运算将,a b 变形为31log 2+和51log 2+，根据真数相同的对数的大小关系可比较出三个数之间的大小. 【详解】()333log 6log 321log 2a ==⨯=+；()555log 10log 521log 2b ==⨯=+又356log 2log 2log 2>> c b a ∴<< 本题正确选项：D 【点睛】本题考查利用对数函数的图象比较大小的问题，关键是能利用对数运算将三个数转化为统一的形式.10．已知函数()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦a π上有最小值1-，则a 的最大值（ ） A ．2π-B ．3π-C ．4D ．6π-【答案】B【解析】根据x 在,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦a π上，求内层函数范围，结合余弦函数的性质可得答案. 【详解】函数()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵,2x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴222,333⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦x a πππ ()f x 在,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦a π上有最小值﹣1，根据余弦函数的性质，可得23-≤-a ππ可得3≤-a π，故选：B ．【点睛】本题主要考查了余弦定理的图象性质的应用，属于基础题．11．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有23的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率（ ） A ．1320B ．920C ．15D ．201 【答案】C【解析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ；“甲解答不正确”为事件B ，利用二项分布的知识计算出()P A ，再计算出()P AB ，结合条件概率公式求得结果. 【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ；“甲解答不正确”为事件B则()2323332122033327P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()122433327P AB =⨯⨯= ()()()15P AB P B A P A ∴== 本题正确选项：C 【点睛】本题考查条件概率的求解问题，涉及到利用二项分布公式求解概率的问题.12．己知椭圆()222210x y a b a b+=>>直线l 过左焦点且倾斜角为3π，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（ ）A ．77B ．5C ．5D 【答案】D【解析】假设直线方程，求得圆心到直线的距离d ，利用弦长等于于,a c 的齐次方程，从而求得离心率. 【详解】由题意知，椭圆左焦点为(),0c -，长轴长为2a ，焦距为2c设直线l 方程为：)y x c =+0y -+=则以椭圆长轴为直径的圆的圆心为()0,0，半径为a∴圆心到直线l的距离33cd c==222232224c ad a c∴=-=-，整理得：2247c a=∴椭圆的离心率为4277ca==本题正确选项：D【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，关键是能够利用直线被圆截得的弦长构造出关于,a c的齐次方程.二、填空题13．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与古希腊的算法—“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入288,123==a b时，输出的=a_____.【答案】3【解析】解法一：按照程序框图运行程序，直到r0=时，输出结果即可；解法二：根据程序框图的功能可直接求解288与123的最大公约数.【详解】解法一：按照程序框图运行程序，输入：288a=，123b=则42r=，123a=，42b=，不满足r0=，循环；则39r=，42a=，b39=，不满足r0=，循环；则3r=，39a=，3b=，不满足r0=，循环；则r 0=，3a =，0b =，满足r 0=，输出3a =解法二：程序框图的功能为“辗转相除法”求解两个正整数的最大公约数 因为288与123的最大公约数为3 3a =∴ 本题正确结果：3 【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构计算输出结果、程序框图的功能问题，属于基础题.14．已知三棱锥ABC P -中，侧棱3PA PB PC ===,当侧面积最大时，三棱锥ABC P -的外接球体积为____ 【答案】323π 【解析】当三棱锥侧面积最大时，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，可知以PA ，PB ，PC 为长、宽、高的长方体的外接球即为三棱锥ABC P -的外接球，长方体外接球半径为体对角线的一半，从而求得半径，代入球的体积公式得到结果. 【详解】三棱锥ABC P -的侧面积为：sin sin 222APB APC BPC ∠+∠+∠ APB ∠，APC ∠，BPC ∠相互之间没有影响∴当上述三个角均为直角时，三棱锥ABC P -的侧面积最大此时PA ，PB ，PC 两两互相垂直∴以PA ，PB ，PC 为长、宽、高的长方体的外接球即为三棱锥ABC P -的外接球∴外接球半径2R == ∴三棱锥ABC P -的外接球的体积：343233V R ππ==本题正确结果：323π 【点睛】本题考查多面体的外接球体积的求解问题，关键是能够通过侧面积最大判断出三条棱之间的关系.15．设函数ln ,0()(1),0xx x f x x e x ⎧>=⎨+≤⎩，若函数()()g x f x b =-有三个零点，则实数b 的取值范围是____. 【答案】(0,1]【解析】将问题转化为()y f x =与b y =有三个不同的交点；在同一坐标系中画出()y f x =与b y =的图象，根据图象有三个交点可确定所求取值范围.【详解】函数()()g x f x b =-有三个零点等价于()y f x =与b y =有三个不同的交点当0x ≤时，()()1x f x x e =+，则()()()12x x xf x e x e x e '=++=+()f x ∴在(),2-∞-上单调递减，在(]2,0-上单调递增且()212f e-=-，()01f =，()lim 0x f x →-∞= 从而可得()f x 图象如下图所示：通过图象可知，若()y f x =与b y =有三个不同的交点，则(]0,1b ∈ 本题正确结果：(]0,1 【点睛】本题考察根据函数零点个数求解参数取值范围的问题，关键是将问题转化为曲线和直线的交点个数问题，通过数形结合的方式求得结果.16．已知数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且对任意的*,r t N ∈，都有2r t S r S t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n a =_____ 【答案】21n -【解析】令02=-+-m x x ，1t n =+，*n N ∈，可知()2211n n S n S n +=+；假设2n S n k =，()211n S n k +=+，利用11a S =可求得k ，得到n S 和1n S +；根据11n n n a S S ++=-可求得1n a +，进而得到n a .【详解】若02=-+-m x x ，1t n =+，*n N ∈，则()2211nn S n S n +=+令2n S n k =，()211n S n k +=+则111a S k === 2n S n =∴，()211n S n +=+()()2211121211n n n a S S n n n n ++∴=-=+-=+=+- 21n a n ∴=-经验证，1n =时，满足21n a n =- 综上所述：21n a n =- 本题正确结果：21n - 【点睛】本题考查利用数列前n 项和求解数列通项的问题，关键是能够通过赋值的方式得到n S .三、解答题 17．在ABC中，a =120A ∠=︒，ABCb c <．（Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求cos2B 的值． 【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）1314. 【解析】（I ）利用三角形的面积公式和余弦定理列方程组，解方程组求得,b c 的值.（II ）利用正弦定理求得 sin B 的的值，利用二倍角公式求得cos2B 的值. 【详解】解：（Ⅰ）由已知得2221=2=2120.S bcsinA b c bccos ⎧⎪⎨⎪+-︒⎩整理得22=4,=17.bc b c ⎧⎨+⎩解得=1,=4b c ⎧⎨⎩，或=4,=1.b c ⎧⎨⎩ 因为b c <，所以1b =． （Ⅱ）由正弦定理sin sin a b A B=，即sin 14B =．所以22713 cos2=12sin1214B B⎛⎫-=-=⎪⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理解三角形，考查正弦定理解三角形，考查二倍角公式，属于中档题.18．某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案(1)规定每日底薪50元，快递业务每完成一单提成3元；方案(2)规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元．该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45)，[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图。
辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三联合考试数学(理)试题(含答案)高考资料高考复习资料中考资料
绝密★启用前【全国百强校】辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三联合考试数学（理）试题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1．集合A=x|x2−1>0，B=y|y=3x,x∈R，则A∩B=A．−∞,−1B．−∞,−1C．1,+∞D．1,+∞2．“x<0”是“ln(x+1)<0”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知曲线y=f(x)在5，f(5)处的切线方程是y=−x+5，则f(5)与f'(5)分别为（）A．5,−1B．−1,5C．−1,0D．0,−14．在平行四边形ABCD中，A C=(−2,4)，B D=(2,2)，则A B⋅A D=A．1B．2C．3D．45．若0<a<1,b>c>1，则正确的是（）A．bc a<1B．c−ab−a>cbC．c a−1<b a−1D．log c a<log b a6．已知函数f(x)=1，则y=f(x)的图象大致为x−1−ln xA．B．试卷第1页，总4页自信是迈向成功的第一步C ．D ．7．已知函数 f(x) = 3x + x ，g(x) = log 3x + x ，h(x) = sin x + x 的零点依次为x 1,x 2,x 3，则以下排列正确的是（ ）A ． x 1 < x 2 < x 3B ． x 1 < x 3 < x 2C ． x 3 < x 2 < x 1D ． x 2 < x 3 < x 18．欧拉公式e ix = cos x + i sin x (i 为虚数单位是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥” ．根据欧π π拉公式可知，ei + e i 表示的复数的模为6 3A ． 3+1 2B ． 3−1 2C ． 6+ 2 2D ． 6− 229．设 m,n 是两条不同的直线,α，β为两个不同的平面，则下列四个命题中不．正．确．的是A ． m ⊥ α,n ⊥ β且α ⊥ β，则 m ⊥ nB ． m//α,n ⊥ β且α ⊥ β，则 m//nC ． m ⊥ α,n//β且α//β，则 m ⊥ nD ． m ⊥ α,n ⊥ β且α//β，则 m//n10．函数 f(x) = cos (ωx + π3 )(ω > 0)在 0,π 内的值域为 − 1, 1 2，则ω的取值范围为A ． 2 3 43 ,4 3 B ． 0, C ． 0, 2 3D ． 0,1m11．设实数 m > 0，若对任意的 x ≥ e ，不等式x 2ln x ≥ me x 恒成立，则 m 的最大值是A ． 1 eB ． 1C ． eD ． 2e12．设函数 f(x) = x ln x ，g(x) = f ′(x)x，给定下列命题①不等式 g(x) > 0 的解集为 1e, + ∞ ；②函数 g(x)在 0,e 单调递增，在 e, + ∞ 单调递减m2 ③若x 1 > x 2 > 0 时，总有(x 12 − x 22) > f(x 1) − f(x 2)恒成立，则 m ≥ 1；④若函数 F(x) = f(x) − ax 2有两个极值点，则实数 a ∈ 0,1 ．则正确的命题的个数为A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4试卷第2页，总4页自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的第 II 卷（非选择题）请点击修改第 II 卷的文字说明评卷人 得分二、填空题17 413．设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0 < x < 1 时，f(x) = log 2x ，则 f() + f( − 1) =_______________．x 2 14．已知点 P 是椭圆a 2 + y 2 b 2 = 1(a > b > 0)上的一点，F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点，已知∠F 1PF 2 = 120°，且|PF 1| = 2|PF 2|，则椭圆的离心率为_______________．15．在ΔABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，b tan B + b tan A =− 2c tan B ，且 a = 8，b + c = 73， 则ΔABC 的面积为____________．16．已知对满足 4x + 4y + 5 = 4xy 的任意正实数 x,y ，都有x 2 + 2xy + y 2 − ax − ay + 1 ≥ 0，则实数 a 的取值范围为_______________．评卷人 得分三、解答题17．已知幂函数 f(x) = (m − 1)2x m2 −4m+2在 0, + ∞ 上单调递增，函数 g(x) = 2x− k ．(1)求 m 的值；(2)当 x ∈ − 1,2 时，记 f(x),g(x)的值域分别为集合 A,B ，设命题 p:x ∈ A ，命题 q:x ∈ B ，若命题 p 是 q 成立的必要条件，求实数 k 的取值范围．π 18．已知函数 f(x) = a sin ωx − 2cos ωx(ω > 0)的最小正周期为 ，当 x = 2 π 6 时，有最大值 4． (1)求 a,ω的值；π 4 (2)若 < x < 3π 4，且 f(x + π 6 ) = 4 3 ，求f( x 2 + π 6 )的值．19．已知数列 a n 满足a 1 + 2a 2 + 22a 3 + ⋯ + 2n−1a n = n,(n ∈ N ∗ )．(1)求数列 a n 的通项公式；(2)若b n = 1，求数列 b n 的前 n 项和T n ．log 2a n+1⋅ log 2a n+2 20．设函数 f(x) = log 2(1 + a ⋅ 2x + 4x ), 其中 a 为常数．(1)当 f(2) = f( − 1) + 4，求 a 的值；(2)当 x ∈ 1, + ∞ 时，关于 x 的不等式 f(x) ≥ x − 1 恒成立，求 a 的取值范围．21．如图，在 P 地正西方向 8km 的 A 处和正东方向 1km 的 B 处各有一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，决试卷第3页，总4页自信是迈向成功的第一步定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设∠EPA=α(0<α<π)．2(1)为减少对周边区域的影响，试确定E,F的位置，使ΔPAE与ΔPFB的面积之和最小；(2)为节省建设成本，求使PE+PF的值最小时AE和BF的值．x2−ax+ln x,(a∈R)．22．已知函数f(x)=12(1)若f(x)在定义域上不单调，求a的取值范围；(2)设a<e+1e，m,n分别是f(x)的极大值和极小值，且S=m−n，求S的取值范围．试卷第4页，总4页自信是迈向成功的第一步参考答案1．C【解析】【分析】分别计算出集合A、B，然后计算出A∩B【详解】A=x|x2−1>0=x x<−1或x>1=−∞，−1∪1，+∞B=y|y=3x,x∈R=y y>0=0,+∞则A∩B=1，+∞故选C【点睛】本题主要考查了集合的交集及其运算，属于基础题。
辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第三次模拟数学(理)试题(含答案)
2018-2019学年度东北育才高中部 高三年级第三次模拟考试数学（理科）试卷答题时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若2z i =+，则=-14z z iA.1B.1-C.iD.i -2.设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =A.{}12x x -≤≤B.{}02x x <≤C.{}04x x <≤ D ．{}14x x -≤≤ 3.已知各项为正数的等比数列{}n a 中，21a =，4664a a =，则公比q ＝A ．2B ．3C ．4D ．54.若两个单位向量a ，b 的夹角为60，则2a b -= A ．2 B ．3CD5.已知命题p ：幂函数的图象必经过点(0,0)和点(1,1)；命题q：函数2()f x =的最小值为52.下列命题为真命题的是 A.p q ∧ B.()p q ⌝∧ C.()p q ⌝∨ D.()p q ∧⌝6.设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤--306203y y x y x ，则y x Z -=2的最小值为A.-3B.-2C.0D. 67.将函数y ＝sin(6x ＋π4)图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移π8个单位，所得函数的一条对称轴方程为 A ．4x π=B.2x π=C.38x π=D.58x π= 8．已知定义在(0,)+∞上的函数2()f x x m =+，()6ln 4g x x x =-，设两曲线()y f x =与()y g x =在公共点处的切线相同，则m 值等于A.5B.3C.3- D ． 5- 9.已知ABC ∆为等腰三角形，满足AB AC ==，2BC =，若P 为底BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+=A.有最大值8B.是定值2C.有最小值1D.是定值410．函数||()e 2||1x f x x =--的图象大致为11.如图直角坐标系中，角02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭、角02πββ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的终边分别交单位圆于A 、B 两点，若B 点的纵坐标为513-，且满足AOB S =△，则1sin sin 2222ααα⎫-+⎪⎭的值A.513-B.1213C.1213-D.51312.设函数4|1|,0,()|log |,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩若关于x 的方程()f x a =有四个不同的解1234,,,,x x x x 且1234,x x x x <<<则3122341()x x x x x ++的取值范围是A.7(1,]2-B.7(1,)2-C.(1,)-+∞D.7(,]2-∞第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．等差数列}{n a 、}{n b 的前项和分别为n S 和n T ，若2312++=n n T S n n ，则31119715a a a b b ++=+_____. 14．已知向量(1,2),(tan ,1),[0,]=-=-∈a b θθπ，且//a b ，则角θ的值为 ． （用反三角函数形式表示）15.已知函数()2x x f x e e -=+，若关于x 的不等式()()20f x af x -≤⎡⎤⎣⎦恰有3个整数解，则实数a 的取值范围为 ．A16.已知锐角111C B A ∆的三个内角的余弦值分别等于钝角222C B A ∆的三个内角的正弦值，其中22π>A ，若1||22=CB ，则||3||222222C A B A +的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分。
辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)
辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题（解析版）一：选择题。
1.复数（）A. B. 1 C. D. i【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算，化简即可得到答案．【详解】由题意，复数，所以．故选：D．【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，其中解中熟记复数的四则运算，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知全集，4，，，则A. B. C. D. 5，【答案】B【解析】【详解】全集3，4，5，，4，，，3，，．故选：B．先求出全集U，再求出集合B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集、补集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、标准差分别为、，则A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【详解】甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、标准差分别为、，由折线图得：，，故选：C．利用折线图的性质直接求解．本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．4.一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱【答案】B【解析】【详解】由三视图还原原几何体如图：该几何体为直四棱柱，截去的部分为三棱柱F.故选：B．由三视图还原原几何体，可知原几何体为直四棱柱，从而可知，截去的部分为三棱柱．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．5.下列命题中真命题的是A. 若为假命题，则p，q均为假命题B. “”是“”的充要条件C. 命题：若，则或的逆否命题为：若或，则D. 对于实数x，y，p：，q：或，则p是q的充分不必要条件【答案】D【解析】【分析】由p且q的真值表可判断A；由充分必要条件的定义和m是否为0，可判断B；由原命题的逆否命题和p或q的否定，可判断C；由充分必要条件的定义可判断D．【详解】若为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故A错误；若，则，可得，反之，，不成立，故B错误；命题：若，则或的逆否命题为：若且，则，故C错误；对于实数x，y，p：，q：或，由且，可得，即p可得q，反之由q推不到p，则p是q的充分不必要条件，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，其中解答中熟记复合命题的真假和四种命题、充分必要条件的判断是解答的关键，，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．.6.已知，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知根据三角函数的诱导公式，求得，再由余弦二倍角，即可求解．【详解】由，得，又由．故选：C．【点睛】本题主要考查了本题考查三角函数的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式及余弦二倍角公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．7.若实数x，y满足，则的最小值为A. 4B. 1C.D.【答案】C【解析】【详解】由实数x，y满足作出可行域：联立，解得，化为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为．故选：C．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8.已知函数是定义在R上的奇函数，且函数在上单调递增，则实数a的值为A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】根据题意，由偶函数的定义可得，解可得a的值，验证的单调性即可得答案．【详解】根据题意，函数是定义在R上的奇函数，则有，解可得：，当时，，在上不是增函数，不符合题意；当时，，在上单调递增，符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了函数奇偶性与单调性的性质以及应用，其中解中利用函数奇偶性的定义，得出的值，再借助函数的单调进行判定是解答的关键，同时注意对数的运算性质，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.某次文艺汇演为，要将A，B，C，D，E，F这五个不同节目编排成节目单，如下表：如果A，B两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有A. 192种B. 144种C. 96种D. 72种【答案】B【解析】【分析】由题意知A，B两个节目要相邻，可以把这两个元素看做一个，再让他们两个元素之间还有一个排列，都不排在第3号位置，那么A，B两个节目可以排在1，2两个位置，可以排在4，5两个位置，可以排在5，6两个位置，其余四个位置剩下的四个元素全排列．【详解】由题意知A，B两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，可以把这两个元素看做一个，再让他们两个元素之间还有一个排列，A，B两个节目可以排在1，2两个位置，可以排在4，5两个位置，可以排在5，6两个位置，这两个元素共有种排法，其他四个元素要在剩下的四个位置全排列，节目单上不同的排序方式有，故选：B．【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答的常见方法：要先排限制条件多的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素，最后要用分步计数原理得到结果，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10.函数其中，的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象A. 右平移个单位长度B. 左平移个单位长度C. 右平移个单位长度D. 左平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】根据图象求出的值，再由“左加右减”法则，判断出函数图象平移的方向和单位长度，即可得到答案．【详解】由题意，根据选项可知只与平移有关，没有改变函数图象的形状，故，又函数的图象的第二个点是，，所以，所以，故所以只需将函数的图形要向右平移个单位，即可得到的图象，故选：C．【点睛】本题主要考查了三角函数的函数图象，其中解答中根据函数图象求解析式时，注意应用正弦函数图象的关键点进行求解，考查了读图能力和图象变换法则，属于中档题．11.设点为双曲线的左右焦点，点P为C右支上一点，点O为坐标原点，若是底角为的等腰三角形，则C的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】设P为第一象限的点，由是底角为的等腰三角形，可得，，即有，即，代入双曲线的方程可得，由，，可得，即，解得，即有，故选：A．设P为第一象限的点，由等腰三角形的性质可得，，求得P的坐标，代入双曲线的方程，结合离心率，解方程可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查等腰三角形的性质和点满足双曲线的方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.已知函数的导函数为，且对任意的实数x都有是自然对数的底数，且，若关于x的不等式的解集中恰有唯一一个整数，则实数m的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】，，，，，解得，．令，解得或，当或时，，函数单调递减，当时，，函数单调递减增，可得：时，函数取得极大值，时，函数取得极小值，，，，时，的解集中恰有唯一一个整数．故m的取值范围是，故选：B．利用导数研究其单调性极值与最值并且画出图象即可得出．本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值及其图象性质、方程与不等式的解法、数形结合思想方法、构造方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二：填空题。
辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第三次模拟数学理科试卷Word版含解析
辽宁省沈阳市东北育才学校2019届上学期第三次模拟高三数学理科试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知集合A={x|x 2﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则（ ） A ．A ∩B=∅ B ．B ⊆A C ．A ∩B={0，1} D ．A ⊆B2．已知a ，b ∈R ，则命题“若a 2+b 2=0，则a=0或b=0”的否命题是（ ） A ．若a 2+b 2≠0，则a ≠0且b ≠0 B ．若a 2+b 2≠0，则a ≠0或b ≠0 C ．若a ≠0且b ≠0，则a 2+b 2≠0 D ．若a ≠0或b ≠0，则a 2+b 2≠03．复数z=||﹣i （i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为（ ）A ．2﹣iB ．2+iC ．4﹣iD ．4+i4．等于（ ）A ．0B ．2sin1C ．2cos1D ．25．数列{a n }的前n 项和S n =2n 2﹣3n （n ∈N +），若p ﹣q=5，则a p ﹣a q =（ ） A ．10 B ．15 C ．﹣5 D ．206．函数y=（a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a +log a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．函数f （x ）=sin （ωx+φ）（x ∈R ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，如果，且f （x 1）=f （x 2），则f （x 1+x 2）=（ ）A ．B ．C ．D ．18．在平面直角坐标系xOy 中，过定点Q （1，1）的直线l 与曲线C ：y=交于点M ，N ，则•﹣•=（ ）A ．2B ．C ．4D ．9．设x ，y 满足约束条件向量=（y ﹣2x ，m ），=（1，1），且∥，则m 的最小值为（ ）A ．6B ．﹣6C ．D ．﹣10．已知△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S=（a+b ）2﹣c 2，则tanC 等于（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知关于x 的不等式x 2+bx+c ＜0（ab ＞1）的解集为空集，则T=+的最小值为（ ）A ．B ．2C ．D ．412．已知f （x ）=|xe x |，方程f 2（x ）+tf （x ）+1=0（t ∈R ）有四个实数根，则t 的取值范围为（ ）A ．（，+∞）B ．（﹣∞，﹣） C ．（﹣，﹣2） D ．（2，）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知圆O ：x 2+y 2=4，直线l 与圆O 相交于点P 、Q ，且，则弦PQ 的长度为 ．14．定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （﹣x ）=f （x+），f= ．15．设f （x ）是定义在R 上恒不为零的函数，对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）=f （x+y ），若a 1=，a n =f （n ）（n ∈N *），则数列{a n }的前n 项和S n = ．16．已知函数f （x ）=e sinx+cosx ﹣sin2x （x ∈R ），则函数f （x ）的最大值与最小值的差是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知函数f （x ）=log a （x+2）+log a （4﹣x ），（0＜a ＜1）． （Ⅰ）求函数f （x ）的定义域；（Ⅱ）若函数f （x ）在区间[0，3]的最小值为﹣2，求实数a 的值．18．已知=（1，a ），=（sinx ，cosx ）．函数f （x ）=•的图象经过点（﹣，0）．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求函数f （x ）的最小正周期与单调递增区间．19．已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n +a n =1（n ∈N *） （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =log 3（1﹣S n+1）（n ∈N *），求适合方程++…+=的n 的值．．20．定长为3的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，动点P 满足=2． （Ⅰ）求点P 的轨迹曲线C 的方程；（Ⅱ）若过点（1，0）的直线与曲线C 交于M 、N 两点，求•的最大值．21．已知函数f （x ）=+ln．（Ⅰ）求证：f （x ）图象关于点（，）中心对称；（Ⅱ）定义S n =f （）=f （）+f （）+…+f （），其中n ∈N *且n ≥2，求S n ；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的S n ，求证：对于任意n ∈N *都有lnS n+2﹣lnS n+1＞﹣．22．已知函数f （x ）=e x sinx ﹣cosx ，g （x ）=xcosx ﹣e x ，其中e 是自然对数的底数．（1）判断函数y=f （x ）在（0，）内的零点的个数，并说明理由；（2）∀x 1∈[0，]，∃x 2∈[0，]，使得f （x 1）+g （x 2）≥m 成立，试求实数m 的取值范围；（3）若x ＞﹣1，求证：f （x ）﹣g （x ）＞0．辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第三次模拟数学理科试卷参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则（）A．A∩B=∅B．B⊆A C．A∩B={0，1} D．A⊆B【考点】交集及其运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣16＜0}={x|﹣4＜x＜4}，B={﹣5，0，1}，则A∩B={0，1}，故选：C2．已知a，b∈R，则命题“若a2+b2=0，则a=0或b=0”的否命题是（）A．若a2+b2≠0，则a≠0且b≠0 B．若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a≠0且b≠0，则a2+b2≠0 D．若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】根据命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”，直接写出它的否命题即可．【解答】解：命题“若a2+b2=0，则a=0或b=0”的否命题是“若a2+b2≠0，则a≠0且b≠0”．故选：A．3．复数z=||﹣i（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．2﹣i B．2+i C．4﹣i D．4+i【考点】复数求模．【分析】化简复数z，写出z的共轭复数即可．【解答】解：复数z=||﹣i=﹣i=2﹣i，∴复数z的共轭复数为=2+i．故选：D．4．等于（）A．0 B．2sin1 C．2cos1 D．2【考点】定积分．【分析】找出被积函数的原函数，计算定积分．【解答】解： =（x3+cosx）|=1+cos1+1﹣cos1=2；故选D．5．数列{an }的前n项和Sn=2n2﹣3n（n∈N+），若p﹣q=5，则ap﹣aq=（）A．10 B．15 C．﹣5 D．20【考点】等差数列的性质．【分析】利用递推公式当n ≥2，a n =S n ﹣S n ﹣1，a 1=S 1可求a n =4n ﹣5，再利用a p ﹣a q =4（p ﹣q ），p ﹣q=5，即可得出结论．【解答】解：当n ≥2，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n 2﹣3n ﹣2（n ﹣1）2+3n ﹣3=4n ﹣5 a 1=S 1=﹣1适合上式， 所以a n =4n ﹣5，所以a p ﹣a q =4（p ﹣q ）， 因为p ﹣q=5， 所以a p ﹣a q =20 故选：：D ．6．函数y=（a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a +log a=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】根据函数定义域和值域的关系，判断函数的单调性，结合对数的运算法则进行求解即可． 【解答】解：当x=1时，y=0，则函数为减函数，故a ＞1， 则当x=0时，y=1，即y==1，即a ﹣1=1，则a=2，则log a +log a =log a （•）=log 28=3，故选：C ．7．函数f （x ）=sin （ωx+φ）（x ∈R ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，如果，且f （x 1）=f （x 2），则f （x 1+x 2）=（ ）A ．B ．C ．D ．1【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的对称性．【分析】通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出f （x 1+x 2）即可．【解答】解：由图知，T=2×=π，∴ω=2，因为函数的图象经过（﹣），0=sin （﹣+ϕ）∵，所以ϕ=，∴，，所以．故选C．8．在平面直角坐标系xOy中，过定点Q（1，1）的直线l与曲线C：y=交于点M，N，则•﹣•=（）A．2 B． C．4 D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】曲线，可知：曲线C的图象关于点（1，1）成中心对称，Q是线段MN的中点，因此．【解答】解：∵曲线，∴曲线C的图象关于点（1，1）成中心对称，∴Q是线段MN的中点，故•﹣•=•（+）=22=4．故选：C．9．设x，y满足约束条件向量=（y﹣2x，m），=（1，1），且∥，则m的最小值为（）A．6 B．﹣6 C．D．﹣【考点】简单线性规划．【分析】根据向量平行的坐标关系得到y=2x+m，然后利用线性规划进行求解即可．【解答】解：∵=（y﹣2x，m），=（1，1），且∥，∴y﹣2x﹣m=0，即y=2x+m，作出不等式组对应的平面区域，平移直线y=2x+m，当直线经过点B时，直线的截距最小，此时m最小，由，解得，即B（4，2），此时m=y﹣2x=2﹣8=﹣6，故选：B10．已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2﹣c2，则tanC等于（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【分析】首先由三角形面积公式得到S=，再由余弦定理，结合2S=（a+b）2﹣c2，得出sinC﹣△ABC2cosC=2，然后通过（sinC﹣2cosC）2=4，求出结果即可．【解答】解：△ABC中，∵S=，由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，△ABC且 2S=（a+b）2﹣c2 ，∴absinC=（a+b）2﹣（a2+b2﹣2abcosC），整理得sinC﹣2cosC=2，∴（sinC﹣2cosC）2=4．∴=4，化简可得 3tan2C+4tanC=0．∵C∈（0，180°），∴tanC=﹣，故选C．11．已知关于x的不等式x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集为空集，则T=+的最小值为（）A．B．2 C． D．4【考点】基本不等式；一元二次不等式的应用．【分析】由题意得：，，得．利用此式进行代换，将T化成，令ab﹣1=m，则m＞0，利用基本不等式即可求出T的最小值．【解答】解：由题意得：，，得．∴，令ab﹣1=m，则m＞0，所以．则的最小值为4．故选D．12．已知f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围为（）A．（，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣，﹣2）D．（2，）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系．【分析】化简f（x）=|xe x|=，从而求导以确定函数的单调性，从而作出函数的简图，从而解得．【解答】解：f（x）=|xe x|=，易知f（x）在[0，+∞）上是增函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=﹣xe x，f′（x）=﹣e x（x+1），故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，在（﹣1，0）上是减函数；作其图象如下，且f （﹣1）=；故若方程f 2（x ）+tf （x ）+1=0（t ∈R ）有四个实数根，则方程x 2+tx+1=0（t ∈R ）有两个不同的实根，且x 1∈（0，），x 2∈（，+∞），故，解得，t ∈（﹣∞，﹣），故选：B ．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知圆O ：x 2+y 2=4，直线l 与圆O 相交于点P 、Q ，且，则弦PQ 的长度为．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用向量的数量积运算，求出∠OPQ=，即可求出弦PQ 的长度．【解答】解：由题意，2×2×cos ∠OPQ=﹣2，∴cos ∠OPQ=﹣，∴∠OPQ=，∴PQ=2×2×sin ∠OPQ=．故答案为：．14．定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （﹣x ）=f （x+），f= ﹣2 ． 【考点】函数奇偶性的性质．【分析】首先，结合奇函数f （x ），得到f （﹣x ）=﹣f （x ），然后，借助于f （﹣x ）=﹣f （x ）=f （x+），以x+代x ，得到该函数周期为3的周期函数，最后，借助于函数的周期性进行求解． 【解答】解：∵奇函数f （x ）， ∴f （﹣x ）=﹣f （x ），∴f （﹣x ）=﹣f （x ）=f （x+）， 以x+代x ，∴f （x+3）=f （x ） ∴函数的周期为3， ∴f=f （1）=2，∴f （﹣1）=﹣f （1）=﹣2 故答案为：﹣2．15．设f （x ）是定义在R 上恒不为零的函数，对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）=f （x+y ），若a 1=，a n =f（n ）（n ∈N *），则数列{a n }的前n 项和S n = 1﹣．【考点】数列的求和．【分析】根据函数的关系式，求出数列{a n }的通项公式，判断数列是等比数列，求出它的前n 项和S n ． 【解答】解：令y=x ，f （x ）•f （x ）=f （2x ）， ∴f （2x ）=[f （x ）]2，x ∈R ； 又a 1=，a n =f （n ）（n ∈N *）， ∴a 1=f （1）=，a n =f （n ）=[f （1）]n =；∴数列{a n }是首项为a 1=，公比q=的等比数列，其前n 项和为S n ==．故答案为：1﹣．16．已知函数f （x ）=e sinx+cosx ﹣sin2x （x ∈R ），则函数f （x ）的最大值与最小值的差是 ．【考点】函数的最值及其几何意义． 【分析】令t=sinx+cosx=sin （x+），则t ∈[，]，且sin2x=t 2﹣1，利用导数法分析y=e t﹣（t 2﹣1）在[，]上单调性，进而可得答案．【解答】解：令t=sinx+cosx=sin （x+），则t ∈[，]，且sin2x=t 2﹣1，则y=f （x ）=e t ﹣（t 2﹣1），∵y ′=e t ﹣t ＞0在t ∈[，]时恒成立， 故y=e t ﹣（t 2﹣1）在[，]上为增函数，故函数f （x ）的最大值与最小值的差是y|﹣y|=（）﹣（）=，故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知函数f （x ）=log a （x+2）+log a （4﹣x ），（0＜a ＜1）． （Ⅰ）求函数f （x ）的定义域；（Ⅱ）若函数f （x ）在区间[0，3]的最小值为﹣2，求实数a 的值．【考点】对数函数的图象与性质；函数的定义域及其求法；函数的最值及其几何意义；对数的运算性质． 【分析】（Ⅰ）只要使x+2＞0，4﹣x ＞0同时成立即可； （Ⅱ）先把f （x ）化为f （x ）=log a （x+2）（4﹣x ）（x ∈[0，3]），再由二次函数性质及对数函数的单调性可求出f （x ）的最小值，根据最小值为﹣2，列方程解出即可．【解答】解：（Ⅰ）由得﹣2＜x ＜4∴f （x ）的定义域为（﹣2，4）；（Ⅱ）f （x ）=log a （x+2）（4﹣x ）（x ∈[0，3]） 令t=（x+2）（4﹣x ）=﹣（x ﹣1）2+9 当0≤x ≤3， ∴5≤t ≤9．当0＜a ＜1则log a 9≤log a t ≤log a 5，∴f （x ）min =log a 9=﹣2．又0＜a ＜1，∴，综上得．18．已知=（1，a ），=（sinx ，cosx ）．函数f （x ）=•的图象经过点（﹣，0）．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求函数f （x ）的最小正周期与单调递增区间．【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）由题意及平面向量数量积的运算可得sin （﹣）+acos （﹣）=0，进而来了利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可计算得解a 的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）及两角和的正弦函数公式化简可得f （x ）=2sin （x+），利用周期公式可求最小正周期由x+∈[2k π，2k]，（k ∈Z ）即可解得函数f （x ）的单调递增区间．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）因为函数的图象经过点（﹣，0），所以f （﹣）=0．即sin （﹣）+acos （﹣）=0．即﹣+=0．解得a=． …（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f （x ）=sinx+cosx=2（sinx+cosx ）=2（sinxcos+cosxsin）=2sin（x+）． …所以函数f （x ）的最小正周期为2π． …因为函数y=sinx 的单调递增区间为[2k π，2k]，（k ∈Z ），所以当x+∈[2k π，2k]，（k ∈Z ）时，函数f （x ）单调递增，即2k π﹣≤x ≤2k π+，（k ∈Z ）时，函数f （x ）单调递增．所以函数f （x ）的单调递增区间为[2k π﹣，2k π+]，（k ∈Z ）． …19．已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n +a n =1（n ∈N *） （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =log 3（1﹣S n+1）（n ∈N *），求适合方程++…+=的n 的值．．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）令n=1，得到，当n ≥2时，求出和，两者相减，利用a n =s n ﹣s n ﹣1得到∴{a n }是以为首项，为公比的等比数列．求出通项公式即可；（Ⅱ）求出，代入b n =log 3（1﹣S n+1）中得b n =﹣n ﹣1利用=﹣化简等式得到关于n 的方程，求出解即可．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a 1=S 1，由，得．当n ≥2时，∵，，∴，即．∴．∴{a n }是以为首项，为公比的等比数列．故．（Ⅱ），b n =，解方程，得n=10020．定长为3的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，动点P 满足=2． （Ⅰ）求点P 的轨迹曲线C 的方程；（Ⅱ）若过点（1，0）的直线与曲线C 交于M 、N 两点，求•的最大值． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．【分析】（Ⅰ）设A （x 0，0），B （0，y 0），P （x ，y ），由得，（x ，y ﹣y 0）=2（x 0﹣x ，﹣y ），由此能求出点P 的轨迹方程．（Ⅱ）当过点（1，0）的直线为y=0时，，当过点（1，0）的直线不为y=0时，可设为x=ty+1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立，化简得：（t 2+4）y 2+2ty ﹣3=0，由此利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积结合已知条件能求出的最大值为．【解答】解：（Ⅰ）设A （x 0，0），B （0，y 0），P （x ，y ），由得，（x ，y ﹣y 0）=2（x 0﹣x ，﹣y ），即，又因为，所以（）2+（3y ）2=9，化简得：，这就是点P 的轨迹方程．（Ⅱ）当过点（1，0）的直线为y=0时，，当过点（1，0）的直线不为y=0时，可设为x=ty+1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立，化简得：（t 2+4）y 2+2ty ﹣3=0，由韦达定理得：，，又由△=4t 2+12（t 2+4）=16t 2+48＞0恒成立，得t ∈R ，对于上式，当t=0时，综上所述的最大值为．…21．已知函数f （x ）=+ln．（Ⅰ）求证：f （x ）图象关于点（，）中心对称；（Ⅱ）定义S n =f （）=f （）+f （）+…+f （），其中n ∈N *且n ≥2，求S n ；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的S n ，求证：对于任意n ∈N *都有lnS n+2﹣lnS n+1＞﹣．【考点】函数的图象．【分析】（Ⅰ）证明：f （x ）+f （1﹣x ）=+ln ++ln=1，即可证明f （x ）图象关于点（，）中心对称；（Ⅱ）利用倒序相加法，求S n ；（Ⅲ）lnS n+2﹣lnS n+1＞﹣等价于ln （1+）＞﹣，构造 函数，即可证明．【解答】（Ⅰ）证明：f （x ）+f （1﹣x ）=+ln ++ln =1所以f （x ）图象关于点中心对称 …（Ⅱ）解：∵S n =f （）=f （）+f （）+…+f （）…①，∴S n =f （）+…+f （）+f （） …②①+②，得2S n =n ﹣1，∴S n =n ∈N *且n ≥2 …（Ⅲ）证明：当n ∈N *时，由（2）知lnS n+2﹣lnS n+1=ln （1+），于是lnS n+2﹣lnS n+1＞﹣等价于ln （1+）＞﹣…令g （x ）=x 3﹣x 2+ln （1+x ），则，∴当x ∈[0，+∞）时，g'（x ）＞0，即函数g （x ）在[0，+∞）上单调递增，又g （0）=0． 于是，当x ∈（0，+∞）时，恒有g （x ）＞g （0）=0，即x 3﹣x 2+ln （1+x ）＞0恒成立． 故当x ∈（0，+∞）时，有ln （1+x ）＞x 2﹣x 3成立，取，则有成立．…22．已知函数f （x ）=e x sinx ﹣cosx ，g （x ）=xcosx ﹣e x ，其中e 是自然对数的底数．（1）判断函数y=f （x ）在（0，）内的零点的个数，并说明理由；（2）∀x 1∈[0，]，∃x 2∈[0，]，使得f （x 1）+g （x 2）≥m 成立，试求实数m 的取值范围；（3）若x ＞﹣1，求证：f （x ）﹣g （x ）＞0．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；导数的运算．【分析】（1）利用导数得到函数y=f （x ）在（0，）上单调递增，f （0）=﹣1＜0，f （）＞0，根据函数零点存在性定理得函数y=f （x ）在（0，）内的零点的个数为1；（2）确定函数f （x ）在[0，]上单调递增，可得f （x ）min =f （0）=﹣1；函数g （x ）在[0，]上单调递减，可得g （x ）max =g （0）=﹣，即可求出实数m 的范围；（3）先利用分析要证原不等式成立，转化为只要证＞，令h （x ）=，x ＞﹣1，利用导数求出h （x ）min =h （0）=1，再令k=，其可看作点A （sinx ，cosx ）与点B （﹣，0）连线的斜率，根据其几何意义求出k 的最大值，即可证明． 【解答】解：（1）函数y=f （x ）在（0，）内的零点的个数为1，理由如下：∵f （x ）=e x sinx ﹣cosx ， ∴f ′（x ）=e x （sinx+cosx ）+sinx ，∵x ∈（0，），∴f ′（x ）＞0，∴函数y=f （x ）在（0，）上单调递增，∵f （0）=﹣1＜0，f （）＞0，根据函数零点存在性定理得函数y=f （x ）在（0，）内的零点的个数为1．（2）∵f （x 1）+g （x 2）≥m ，∴f （x 1）≥m ﹣g （x 2），∴f （x 1）min ≥[m ﹣g （x 2）]min ，∴f （x 1）min ≥m ﹣g （x 2）max ，当x ∈[0，]时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）在[0，]上单调递增，∴f （x ）min ≥f （0）=﹣1，∵g （x ）=xcosx ﹣e x ，∴g ′（x ）=cosx ﹣xsinx ﹣e x ，∵x ∈[0，]，∴0≤cosx ≤1，xsinx ≥0， e x ≥，∴g ′（x ）≤0， ∴函数g （x ）在[0，]上单调递减，∴g （x ）max ≥g （0）=，∴﹣1≥m+，∴m ≤﹣1﹣，∴实数m 的取值范围为（﹣∞，﹣1﹣]； （3）x ＞﹣1，要证：f （x ）﹣g （x ）＞0， 只要证f （x ）＞g （x ），只要证e x sinx ﹣cosx ＞xcosx ﹣e x ， 只要证e x （sinx+）＞（x+1）cosx ，由于sinx+＞0，x+1＞0，只要证＞，下面证明x ＞﹣1时，不等式＞成立，令h （x ）=，x ＞﹣1，∴h ′（x ）=，x ＞﹣1，当x ∈（﹣1，0）时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减， 当x ∈（0，+∞）时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增， ∴h （x ）min =h （0）=1 令k=，其可看作点A （sinx ，cosx ）与点B （﹣，0）连线的斜率，∴直线AB 的方程为y=k （x+）， 由于点A 在圆x 2+y 2=1上， ∴直线AB 与圆相交或相切，当直线AB 与圆相切且切点在第二象限时，直线AB 的斜率取得最大值为1，∴当x=0时，k=＜1=h （0），x ≠0时，h （x ）＞1≥k ，综上所述，当x ＞﹣1，f （x ）﹣g （x ）＞0．。
2019年辽宁省沈阳市东北育才双语学校高三数学理上学期期末试题含解析
2019年辽宁省沈阳市东北育才双语学校高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 定义，若，则（▲）A．B．C．D．参考答案：【知识点】补集及其运算．A1【答案解析】C 解析：∵集合M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}，∴M﹣N={1，4，5}．故选C【思路点拨】根据题中的新定义，找出属于M不属于N的元素，即可确定出M﹣N．2. 若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围（）A． B． C． D．参考答案：A3. 记集合,,将M 中的元素按从大到小排列，则第2012个数是A. B.C. D .参考答案：A4. 已知为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中常数项的系数是（）A.－20 B．20 C．D．60参考答案：A模拟程序框图的运行过程，如下：，是，，是，；，，是，，否，退出循环，输出的值为，∴二项式的展开式的通项是，令，得，∴常数项是．5. 已知函数是偶函数，内单调递减，则实数m=（）A.2B.C.D. 0参考答案：B略6. 若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，则实数a的取值范围是 ( )A．a≤2 B．5≤a≤7 C．4≤a≤6 D．a≤5或a≥7参考答案：B7. 与椭圆有相同焦点，且短轴长为的椭圆方程是（）、、、、参考答案：D略8. 命题“”的否定是（）A. B.C. D.参考答案：C9. 已知集合P=,,则( )A．(0,2),(1,1) B．{1,2} C．{(0,2),(1,1)} D．参考答案：10. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为A.3B.—6C.10D.参考答案：C第一次循环为：，第二次循环为：，第三次循环为：，第四次循环为：，第五次循环条件不成立，输出,答案选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，已知为圆的直径，为圆上一动点，圆所在平面，且，过点作平面，交分别于，当三棱锥体积最大时，_________．参考答案：12. 已知二项式的展开式的二项式系数之和为32,则展开式中含项的系数是(用数字作答).参考答案：1013. 如图所示，一种树形图为：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1，第二层在第一层线段的前端作两条与其成135°角的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一条线段的前端生成两条与其成135°角的线段，长度为其一半．重复前面的作法作图至第n层，设树形的第n层的最高点至水平线的距离为第《层的树形图的总高度，则到第二层的树形图的总高度h2=_______，当n为偶数时，到第n层的树形图的总高度h n=________参考答案：14. 已知a=sinxdx则二项式（1﹣）5的展开式中x﹣3的系数为．参考答案：﹣80【考点】二项式定理；定积分．【分析】利用积分求出a的值，然后求解二项展开式所求项的系数．【解答】解：a=sinxdx=﹣cosx=﹣（cosπ﹣cos0）=2．二项式（1﹣）5的展开式中x﹣3的系数为：，故答案为：﹣80．15. 方程(x2006＋1)(1＋x2＋x4＋…＋x2004)＝2006x2005的实数解的个数为．参考答案：1解：(x2006＋1)(1＋x2＋x4＋…＋x2004)＝2006x2005?(x＋)(1＋x2＋x4＋…＋x2004)＝2006 ?x＋x3＋x5＋…＋x2005＋＋＋＋…＋＝2006，故x＞0，否则左边＜0．?2006＝x＋＋x3＋＋…＋x2005＋≥2×1003＝2006．等号当且仅当x＝1时成立．所以x＝1是原方程的全部解．因此原方程的实数解个数为1．16. 某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体名学生中抽取名学生进行体能测试．现将名学生从到进行编号，求得间隔数．若从中随机抽取个数的结果是抽到了，则在编号为的这个学生中抽取的一名学生其编号应该是．参考答案：17. 若非零向量，满足，则与的夹角为．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三联合考试数学（理）试卷
答题时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合{}01|2>-=x x A ，{}
R x y y B x ∈==,3|，则=B A
A ．()1,-∞-
B ．(]1,-∞-
C ．()+∞,1
D ．[)+∞,1 2．“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知曲线)(x f y =在())5(5f ，处的切线方程是5+-=x y ，则)5(f 与)5(f '分别为
A ．1,5-
B ．5,1-
C ．0,1-
D ．1,0-
4．在平行四边形ABCD 中，)4,2(-=，)2,2(=，则=⋅
A ．1
B ． 2
C ．3
D ．4
5．若10<<a ，1>>c b ，则
A ．1<⎪⎭⎫ ⎝⎛a
c b B ．
b c a b a c >-- C ．11--<a a b c D ．a a b c log log < 6．已知函数x x x f ln 11)(--=，则)(x f y =的图象大致为 A ． B ．
C ．
D ．
7．已知函数x x f x +=3)(，x x x g +=3log )(，x x x h +=sin )(的零点依次为321,,x x x ，则以下排列正确的是
A ．321x x x <<
B ．231x x x <<
C ．123x x x <<
D ．132x x x <<
8．欧拉公式x i x e ix sin cos += (i 为虚数单位是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥” ．根 据欧拉公式可知，i i e e
36ππ
+表示的复数的模为 A ．213+ B ．2
13- C ．226+ D ．226- 9．设n m ,是两条不同的直线,βα，为两个不同的平面，则下列四个命题中不正确．．．
的是 A ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥ B ．βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //
C ．βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥
D ．βα⊥⊥n m ,且βα//，则n m //
10．函数)0)(3cos()(>+=ωπωx x f 在[]π,0内的值域为⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-21,1，则ω的取值范围为 A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,32 B ．⎥⎦
⎤⎢⎣⎡34,0 C ．⎥⎦⎤
⎢⎣⎡3
2,0 A ．[]1,0 11．设实数0>m ，若对任意的e x ≥，不等式x m me x x ≥ln 2恒成立，则m 的最大值是 A ．
e
1 B ．1 C ．e D ．e
2 12．设函数x x x f ln )(=，x x f x g )()('=，给定下列命题 ①不等式0)(>x g 的解集为⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,1e ；
②函数)(x g 在()e ,0单调递增，在()+∞,e 单调递减
③若021>>x x 时，总有)()()(2
212221x f x f x x m ->-恒成立，则1≥m ； ④若函数2)()(ax x f x F -=有两个极值点，则实数()1,0∈a ．
则正确的命题的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.
13．设函数)(x f 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当10<<x 时，x x f 2log )(=，则=-+)1()4
17(f f _______________． 14． 已知点P 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上的一点，21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，若︒=∠12021PF F ，且||2||21PF PF =，则椭圆的离心率为_______________．
15． 在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，B c A b B b tan 2tan tan -=+，且8=a ，73=+c b ，则ABC ∆的面积为_______________．
16．已知对满足xy y x 4544=++的任意正实数y x ,，都有01222≥+--++ay ax y xy x ，则实数a 的取值范围为_______________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．(本小题满分10分)
已知幂函数2422)1()(+--=m m
x m x f 在()+∞,0上单调递增，函数k x g x -=2)(．
(Ⅰ)求m 的值；
(Ⅱ)当[]2,1-∈x 时，记)(),(x g x f 的值域分别为集合B A ,，设命题A x p ∈:，命题B x q ∈:，若命题p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．
18．(本小题满分12分)
已知函数)0(cos 2sin )(>-=ωωωx x a x f 的最小正周期为
2π，当6π=x 时，有最大值4． (Ⅰ)求ω,a 的值；
(Ⅱ)若434ππ
<<x ，且3
4)6(=+πx f ，求)62(π+x f 的值． 19．(本小题满分12分)
已知数列{}n a 满足)(,222*13221N n n a a a a n n ∈=++++- ．
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)若2
212log log 1++⋅=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 20．(本小题满分12分)
设函数)421(log )(2x x a x f +⋅+=, 其中a 为常数．
(Ⅰ)当4)1()2(+-=f f ，求a 的值；
(Ⅱ)当[)+∞∈,1x 时，关于x 的不等式1)(-≥x x f 恒成立，求a 的取值范围．
21．(本小题满分12分)
如图，在P 地正西方向km 8的A 处和正东方向km 1的B 处各有一条正北方向的公路AC 和BD ，现计划在AC 和BD 路边各修建一个物流中心E 和F ，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE 和PF ，设)20(π
αα<<=∠EPA ．
(Ⅰ)为减少对周边区域的影响，试确定F E ,的位置，使PAE ∆与PFB
∆
的面积之和最小；
(Ⅱ)为节省建设成本，求使PF PE +的值最小时AE 和BF 的值．
22．(本小题满分12分) 已知函数)(,ln 2
1)(2R a x ax x x f ∈+-=． (Ⅰ)若)(x f 在定义域上不单调，求a 的取值范围；
(Ⅱ)设e e a 1+
<，n m ,分别是)(x f 的极大值和极小值，且n m S -=，求S 的取值范围．。