高考数学二轮复习 板块四 考前回扣 回扣2 复数、程序框图、平面向量与数学文化学案 文
高考理科数学专题二 复数、程序框图与平面向量
回扣3 三角函数、三角恒等变换与解三角形1.终边相同角的表示所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 2.几种特殊位置的角的集合(1)终边在x 轴非负半轴上的角的集合：{α|α＝k ·360°，k ∈Z }. (2)终边在x 轴非正半轴上的角的集合：{α|α＝180°＋k ·360°，k ∈Z }. (3)终边在x 轴上的角的集合：{α|α＝k ·180°，k ∈Z }. (4)终边在y 轴上的角的集合：{α|α＝90°＋k ·180°，k ∈Z }. (5)终边在坐标轴上的角的集合：{α|α＝k ·90°，k ∈Z }. (6)终边在y ＝x 上的角的集合：{α|α＝45°＋k ·180°，k ∈Z }. (7)终边在y ＝－x 上的角的集合：{α|α＝－45°＋k ·180°，k ∈Z }. (8)终边在坐标轴或四象限角平分线上的角的集合：{α|α＝k ·45°，k ∈Z }. 3.1弧度的角在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示. 4.正角、负角和零角的弧度数一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 5.角度制与弧度制的换算 (1)1°＝π180rad. (2)1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°.6.如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r .相关公式：(1)l ＝n πr180＝|α|r .(2)S ＝12lr ＝n πr 2360＝12|α|r 2.7.利用单位圆定义任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y . (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x .(3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx (x ≠0). 8.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1⇒sin α＝±1－cos 2α. (2)商的关系：sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2(k ∈Z ). 9.三种三角函数的性质正弦函数y ＝sin x余弦函数y ＝cos x正切函数y ＝tan x图象定义域 RR{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }值域 [－1,1] (有界性) [－1,1] (有界性) R零点 {x |x ＝k π，k ∈Z }{x |x ＝π2＋k π，k ∈Z }{x |x ＝k π，k ∈Z }最小正周期 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性增区间⎣⎡⎦⎤-π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )[－π＋2k π，2k π](k ∈Z ) ⎝⎛⎭⎫-π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )减区间⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )[2k π，π＋2k π](k ∈Z )对称性 对称轴 x ＝π2＋k π(k ∈Z ) x ＝k π(k ∈Z )对称中心(k π，0)(k ∈Z )⎝⎛⎭⎫π2＋k π，0(k ∈Z ) ⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )10.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x 的值与y 的值，描点、连线可得.(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口. (3)图象变换y ＝sin x ――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ) ――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ). 11.准确记忆六组诱导公式对于“k π2±α，k ∈Z ”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号看象限.12.三角函数恒等变换(1) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β， cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β， tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z ，β≠k π＋π2，k ∈Z ，α＋β≠k π＋π2，k ∈Z ，tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z ，β≠k π＋π2，k ∈Z ，α－β≠k π＋π2，k ∈Z ，sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α， tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z ，2α≠k π＋π2，k ∈Z ，α≠k π±π4，k ∈Z .(2)辅助角公式 a cos x ＋b sin x ＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2cos x ＋b a 2＋b 2sin x ，令sin θ＝a a 2＋b 2，cos θ＝b a 2＋b 2， ∴a cos x ＋b sin x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)， 其中θ为辅助角，tan θ＝ab .13.正弦定理及其变形a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径). 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 14.余弦定理及其推论、变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ， a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . 15.面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .1.利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号.2.在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x 的取值范围.3.求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意A 与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解.4.三角函数图象变换中，注意由y ＝sin ωx 的图象变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象时，平移量为⎪⎪⎪⎪φω，而不是φ.5.在已知两边和其中一边的对角利用正弦定理求解时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解.。
高考数学第二轮复习第2讲平面向量复数框图及合情推理理试题
卜人入州八九几市潮王学校专题一常以客观题形式考察的几个问题第2讲平面向量、复数、框图及合情推理真题试做＝1，那么BC等于()．1．(2021·高考，理7)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AB BCA. B. C．2 D.2．(2021·高考，理12)复数z＝(3＋i)2(i为虚数单位)，那么|z|＝________.3．(2021·高考，理14)假设执行如下列图的程序框图，输入x＝－1，n＝3，那么输出的数S＝________.4．(2021·高考，理16)设N＝2n(n N*，n≥2)，将N个数x1，x2，…，x N依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0＝x1x2…x N.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列P1＝x1x3…x N－1x2x4…x N，将此操作称为C变换．将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到P2；当2≤i≤n－2时，将P i分成2i段，每段个数，并对每段作C变换，得到P i＋1.例如，当N＝8时，P2＝x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置．(1)当N＝16时，x7位于P2中的第________个位置；(2)当N＝2n(n≥8)时，x173位于P4中的第________个位置．考向分析本局部内容在高考中通常以选择题、填空题的形式出现，属容易题或者中档题，对平面向量的考察重点是应用或者与其他知识的简单综合，出题频率较高；对复数的考察主要是复数概念、复数四那么运算和复数的几何意义；对框图的考察主要以循环构造的程序框图为载体考察学生对算法的理解；对合情推理的考察主要以归纳推理为主，考察学生的观察、归纳和类比才能．热点例析热点一平面向量的运算及应用(1)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(0,1)，|b|＝2，那么|2a＋b|的值是__________．(2)向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．假设a－2b与c一共线，那么k＝__________.规律方法1.平面向量主要考察：(1)平行、垂直的充要条件； (2)数量积及向量夹角； (3)向量的模．2．解决此类问题的方法主要有： (1)利用平面向量根本定理及定义； (2)建立坐标系通过坐标运算．变式训练1在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，那么|3PA PB |的最小值为__________．热点二复数的概念与运算(1)设i 是虚数单位，复数为纯虚数，那么实数a 为()． A ．2B ．－2C ．－D.(2)复数z ＝(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限规律方法1.处理有关复数的问题，首先要整理出实部、虚部，即写出复数的代数形式，然后根据定义解题；2．掌握复数的四那么运算规律及i n(n N *)的结果．变式训练2＝b ＋i(a ，b R )，其中i 为虚数单位，那么a ＋b ＝()． A ．－1B ．1C ．2D ．3热点三算法与程序框图(2021·石景山一模)执行下面的程序框图，假设输入的N 是6，那么输出p 的值是()． A ．120B ．720C ．1440D ．5040规律方法对本局部内容，首先搞清框图的运算功能，然后根据条件依次执行，找出变化规律，最终得出结果或者将框图补充完好．变式训练3如图给出的是计算＋＋＋…＋的值的一个程序框图，那么空白框内应填入的条件是()． A ．i >10B ．i <10C ．i >20D ．i <20热点四合情推理的应用 设函数f (x )＝(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝__________.规律方法运用归纳推理得出一般结论时，要注意从等式、不等式的项数、次数、系数等多个方面进展综合分析，归纳发现其一般结论，假设已给出的式子较少，规律不明显时，可多写出几个式子，发现其中的一般结论．变式训练4在平面直角坐标系xOy 中，二元一次方程Ax ＋By ＝0(A ，B 不同时为0)表示过原点的直线．类比以上结论有：在空间直角坐标系Oxyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示__________．思想浸透转化与化归思想的含义转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．本专题用到的转化与化归方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为根本定理、根本公式或者根本图形问题． (2)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径． (3)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，假设AB ＝m AM ，AC ＝n AN (m ，n >0)，那么＋的最小值为()．A ．2B ．4C.D ．9解析：连结AO ，那么2AB ACMO AO AM +=--－AB ＝AB ＋AC ，同理NO ＝AC ＋AB .因M ，O ，N 三点一共线，故AB ＋AC ＝λ11122AC AB n ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即AB ＋AC ＝0.由于AB ，AC 不一共线，根据平面向量根本定理得－－＝0且－＋＝0，消掉λ即得m ＋n ＝2，故＋＝(m＋n)＝≥×(5＋4)＝，当且仅当n＝2m时取等号．应选C.答案：CC明晰考向1．(2021·八中模拟，1)在复平面内，复数(1－2i)·i对应的点位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．(2021·模拟，7)平面向量a＝(1,3)，b＝(－3，x)，且a∥b，那么a·b＝()．A．－30 B．20 C．15 D．0Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“假设a，b R，那么a－b＝0a＝b〞类比推出“假设a，b C，那么a－b＝0a＝b〞；②“假设a，b，c，d R，那么复数a＋b i＝c＋d i a＝c，b＝d〞类比推出“假设a，b，c，d Q，那么a＋b＝c＋d a＝c，b＝d〞；③“假设a，b R，那么a－b >0a>b〞类比推出“假设a，b C，那么a－b >0a>b〞．其中类比得到的正确结论的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．34．|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角θ＝120°，求|a＋b|.参考答案真题试做1．A解析：∵AB BC⋅＝|AB||BC|cos(π－B)＝2·|BC|(－cos B)＝1，∴cos B＝－12BC.又∵cos B＝2222AB BC ACAB BC+-＝24922BCBC+-⨯⨯＝－12BC，∴|BC|2＝3.∴BC＝|BC|＝. 2．10解析：∵z＝(3＋i)2，∴|z |＝32＋12＝10.3．－4解析：输入x ＝－1，n ＝3.i ＝3－1＝2，S ＝6×(－1)＋2＋1＝－3； i ＝2－1＝1，S ＝(－3)×(－1)＋1＋1＝5； i ＝1－1＝0，S ＝5×(－1)＋0＋1＝－4； i ＝0－1＝－1，－1<0，输出S ＝－4.4．(1)6(2)3×2n －4＋11解析：由题意知，当N ＝16时，P 0＝x 1x 2x 3x 4x 5…x 16，P 1＝x 1x 3x 5…x 15x 2x 4…x 16，那么P 2＝x 1x 5x 9x 13x 3x 7x 11x 15x 2x 6x 10x 14x 4x 8x 12x 16，此时x 7位于P 2中的第6个位置．精要例析·聚焦热点 热点例析【例1】(1)2解析：|2a ＋b |2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝4＋4×1×2cos60°＋4＝12.∴|2a ＋b |＝2.(2)1解析：由于a ＝(，1)，b ＝(0，－1)， 所以a －2b ＝(，3)，而c ＝(k ，)，且(a －2b )∥c ， 所以有×＝3×k ，解得k ＝1. 【变式训练1】5解析：如图，设PC ＝x ，PD ＝y . 由于∠ADC ＝∠BCD ＝90°， 从而PA ＝，PB ＝.又PA ＝PD ＋DA ，PB ＝PC ＋CB ， ∴PA ·PB ＝(PD ＋DA )·(PC ＋CB )＝PD PC PD CB DA PC DA CB ⋅+⋅+⋅+⋅＝－xy ＋2， 因此|3PA PB +|2(3)PA PB +2269PA PA PB PB +⋅+＝ ＝＝≥5，当且仅当3x ＝y 时取最小值5.【例2】(1)A解析：＝＝＝＋i为纯虚数，∴＝0，∴a＝2.(2)D解析：∵z＝＝＝＝－i，∴复数z在复平面内对应的点在第四象限．【变式训练2】B解析：∵＝b＋i，∴a＋2i＝－1＋b i.∴a＝－1，b＝2.∴a＋b＝1.【例3】B解析：当k＝1，p＝1时，p＝p·k＝1,1<6，满足；当k＝2，p＝1时，p＝p·k＝2,2<6，满足；当k＝3，p＝2时，p＝p·k＝6,3<6，满足；当k＝4，p＝6时，p＝p·k＝24,4<6，满足；当k＝5，p＝24时，p＝p·k＝120,5<6，满足；当k＝6，p＝120时，p＝p·k＝720,6<6，不满足，输出p为720.【变式训练3】A解析：由表达式＋＋＋…＋的最后一项的分母为20可知，流程图中循环体退出循环时的n的值应当为22，i的值是11，其循环体一共循环了10次，即判断框内可填的条件可以为n>20？或者i>10？，故应选A.【例4】解析：由于f1(x)＝，f2(x)＝，f3(x)＝，f4(x)＝，还可求得f5(x)＝，由以上结果可以发现：当n N*且n≥2时，f n(x)的表达式都是分式的形式，分子上都是x，分母上都是x的一次式，其中常数项依次为2,4,8,16,32，…，可知其规律是2n的形式，而x的一次项的系数比常数项都小1，因此可得f n(x)＝(n N*且n≥2)．【变式训练4】过原点的平面创新模拟·预测演练1．A解析：(1－2i)·i＝2＋i，故对应的点在第一象限．2．A解析：a∥b，有x＝－9，故b＝(－3，－9)．a·b＝1×(－3)＋3×(－9)＝－30.3．C解析：①②正确，③错误．4．解：|a＋b|＝＝＝＝＝4.。
超实用高考数学重难点专题复习：专题二 复数运算与平面向量运算
限．故选C．
)
[典型例题]
3.已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，
则(a＋bi)2＝ (
)
A．3＋4i
B．5＋4i
C．3－4i
D．5－4i
[答案]：A
[解析]由a－i与2＋bi互为共轭复数，可得a＝2，b＝1，
故(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i．故选A.
模或判断向量的垂直关系
（三）核心知识整合
考点1：复数的概念及运算
1.复数的乘法
复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位
i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项
即可.
2.复数的除法
除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂
写成最简形式.复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理
( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
[答案]：C
[解析] 设 AC 与 AB 的夹角为 ,由题意得
AC AB
3
1
AC (1,1,0), AB (0,3,3), cos
2 3 2 2
| AC || AB |
60 ,故选C.
『规律总结』
1．平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通
计算；
（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题
中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.
一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法.
[典型例题]
1.如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若
λ＋μ＝ (
高三数学二轮复习 2-2平面向量、复数、算法初步(基础自修课)
赢在微点 无微不至
考前顶层设计·数学文·二轮教案
4．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面
→→ → ABC 内一点，则PA·(PB＋PC)的最小值是( )
A．－2
B．－32
C．－43
D．－1
第9页
赢在微点 无微不至
考前顶层设计·数学文·二轮教案
答案 B
→→ →
A→C)－(mA→B＋nA→C)]＝12[(1－m)A→B＋(1－n)A→C]，又 AB＝AC＝2 7，∠A＝120°，
→→ → → AB·AC＝|AB|·|AC|·cos120°＝2
7×2
7×－12＝－14，所以|M→N|＝
1 2
→
→
→→
1－m2·AB2＋1－n2·AC2＋21－m1－nAB·AC ＝
→→
→→ →
＝－2|PA|·|PD|，即求|PD|·|PA|的最大值，又|PA|＋|PD|＝|AD|＝2×
23＝
3，
则|P→A|·|P→D|≤|P→A|＋2 |P→D|2＝ 232＝34，则 2(P→D·P→A)min＝－2×34＝－32。
解法二：(解析法)以 BC 边中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则有
A．等腰三角形
B．直角三角形Βιβλιοθήκη C．正三角形D．等腰直角三角形
答案 A
→→→→ →
→→ →
→
解析 (OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，即 CB·(AB＋AC)＝0，∵AB－
→→
→ →→ →
→→
AC＝CB，∴(AB－AC)·(AB＋AC)＝0，即|AB|＝|AC|，∴△ABC 是等腰三角
形，故选 A。
高考数学二轮复习专题
高考数学二轮复习专题汇总1专题一：集合、函数、导数与不等式。
此专题函数和导数以及应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。
每年高考中导数所占的比重都非常大，一般情况是在客观题中考查导数的几何意义和导数的计算，属于容易题;二是在解答题中进行综合考查，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等，此题具有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合。
2专题二：数列、推理与证明。
数列由旧高考中的压轴题变成了新高考中的中档题，主要考查等差等比数列的通项与求和，与不等式的简单综合问题是近年来的热门问题。
3专题三：三角函数、平面向量和解三角形。
平面向量和三角函数的图像与性质、恒等变换是重点。
近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留一个选择题、一个填空题和一个解答题的题量，难度都不大，但是解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来将是今后命题的一个热点。
平面向量具有几何与代数形式的“双重性”，是一个重要的知识交汇点，它与三角函数、解析几何都可以整合。
4专题四：立体几何。
注重几何体的三视图、空间点线面的关系及空间角的计算，用空间向量解决点线面的问题是重点。
5专题五：解析几何。
直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题是命题的主旋律。
近几年高考中圆锥曲线问题具有两大特色：一是融“综合性、开放性、探索性”为一体;二是向量关系的引入、三角变换的渗透和导数工具的使用。
我们在注重基础的同时，要兼顾直线与圆锥曲线综合问题的强化训练，尤其是推理、运算变形能力的训练。
6专题六：概率与统计、算法与复数。
要求具有较高的阅读理解和分析问题、解决问题的能力。
高考对算法的考查集中在程序框图，主要通过数列求和、求积设计问题。
高考数学二轮复习策略1.加强思维训练，规范答题过程解题一定要非常规范，俗语说：“不怕难题不得分，就怕每题都扣分”，所以大家要形成良好的思维品质和学习习惯，务必将解题过程写得层次分明结构完整。
2020高考数学二轮备考策略及注意事项
模拟试题商榷点1——核心知识考查不均衡
模拟试题商榷点2——核心知识考查不均衡
三角函数的图象与性质 零考查
模拟试题商榷点2——核心知识考查不均衡
数学文化、五育并举 零考查
概率知识零考查
模拟试题商榷点3——关键条件漏注
n N
模拟试题商榷点4——条件标错位置
模拟试题商榷点5——知识超标
模拟试题商榷点6——选择题压轴压不住
措施二：结合ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ际，制定策略
二轮备考怎么复习？
主干知识
专题 思想方法
答题模板
题型分类
考题 方法技巧
刷题突破
专题整合类
专题划分
知识整合
对点训练
考点精讲
题型突破
思维升华
专题整合类
重构了知识体系，尤其是主干知识体系构 优点 建的很牢固，方法系统归纳，有利于中等
生成绩的提升
（1）注重通性通法的考查，淡化了特殊的解题技巧，以全国Ⅰ卷理科为例： 1,2,3,5,7,8,9,10,13,14等都是很常规的考法，注重基础知识的积累与应用；
（2）增加了很多开放性和探索性问题设问，考查学生的学科素养，例如：全国Ⅰ卷 理科T4，T21；Ⅱ卷理科T4、T13、T21；Ⅲ卷理科T3、T17、T20等
一、选择题、填空题的命题特点
(一)考查排列、组合的应用,以考查两个计数原理和排列、组合的应用为主, 难度中等,常常以选择题、填空题的形式出现.
(二)考查二项式定理的应用,以考查运用二项式定理求特定项、求项数和二项式 定理性质的应用为主,难度中等,常常以选择题、填空题的形式出现.
(三)考查随机事件的概率,以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率为主,难 度中等,常与事件的频率交汇考查.本节内容在高考中三种题型都有可能出现,随 机事件的频率与概率题目往往以解答题的形式出现,互斥事件、对立事件的概念 及概率题目常常以选择、填空题的形式出现.
高考数学二轮复习 板块四 考前回扣 回扣2 复数、程序框图、平面向量与数学文化学案 文
回扣2 复数、程序框图、平面向量与数学文化1．复数的相关概念及运算法则 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的分类 ①z 是实数⇔b ＝0； ②z 是虚数⇔b ≠0； ③z 是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0. (2)共轭复数复数z ＝a ＋b i 的共轭复数z ＝a －b i. (3)复数的模复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2. (4)复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R )． (5)复数的运算法则加减法：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ； 乘法：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； 除法：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i. ()其中a ，b ，c ，d ∈R2．复数的几个常见结论 (1)(1±i)2＝±2i. (2)1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i. (3)i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0(n ∈Z )．(4)ω＝－12±32i ，且ω0＝1，ω2＝ω，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.3．程序框图的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构：如图(1)所示． (2)条件结构：如图(2)和图(3)所示． (3)循环结构：如图(4)和图(5)所示．4．平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a ||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 5．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 6．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 7．利用数量积求夹角若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 8．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0.1．复数z 为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0(z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R )．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．2．复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i 2＝－1化简合并同类项．3．在解决含有循环结构的框图时，要弄清停止循环的条件．注意理解循环条件中“≥”与“>”的区别．4．解决程序框图问题时，要注意流程线的指向与其上文字“是”“否”的对应． 5．在循环结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果． 6．a·b >0是〈a ，b 〉为锐角的必要不充分条件；a·b <0是〈a ，b 〉为钝角的必要不充分条件．1．复数z 满足z (2－i)＝1＋7i ，则复数z 的共轭复数为( ) A ．－1－3i B ．－1＋3i C ．1＋3i D ．1－3i答案 A解析 ∵z (2－i)＝1＋7i ，∴z ＝1＋7i 2－i ＝(1＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝－5＋15i5＝－1＋3i ，共轭复数为－1－3i.2．复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于直线y ＝x 对称，且z 2＝3＋2i ，则z 1·z 2等于( ) A ．13i B ．－13i C ．13＋12i D ．12＋13i 答案 A解析 由题意得z 1＝2＋3i ， 故z 1·z 2＝(2＋3i)(3＋2i)＝13i.3．z ＝m ＋i 1－i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 z ＝(m ＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝m －1＋(m ＋1)i2，由于m －1<m ＋1，故不可能在第四象限．4．已知平行四边形ABCD 的对角线分别为AC ，BD ，且AE →＝2EC →，点F 是BD 上靠近D 的四等分点，则( )A.FE →＝－112AB →－512AD →B.FE →＝112AB →－512AD →C.FE →＝512AB →－112AD →D.FE →＝－512AB →－112AD →答案 C解析 ∵AE →＝2EC →，点F 是BD 上靠近D 的四等分点， ∴FO →＝14DB →，OE →＝16AC →，∴FE →＝FO →＋OE →＝14DB →＋16AC →，∵AB →＋AD →＝AC →，AD →－AB →＝BD →， ∴FE →＝14(AB →－AD →)＋16(AB →＋AD →)＝512AB →－112AD →. 故选C.5．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6) D ．(－2，－4)答案 B解析 因为a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a∥b ，所以m ＋4＝0，m ＝－4,2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，故选B.6.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是( )A ．n ＝6?B ．n <6?C ．n ≤6?D ．n ≤8?答案 C解析 S ＝0，n ＝2，判断是，S ＝12，n ＝4，判断是，S ＝12＋14＝34，n ＝6，判断是，S ＝12＋14＋16＝1112，n ＝8，判断否，输出S ，故n ≤6.7．执行如图所示的程序框图，若输出的是n ＝6，则输入整数p 的最小值为( )A ．15B ．16C ．31D ．32 答案 B解析 列表分析如下：是否继续循环 S n 循环前 0 1 第一圈 是 1 2 第二圈 是 3 3 第三圈 是 7 4第四圈 是 15 5 第五圈 是 31 6 第六圈 否故当S 值不大于15时继续循环，大于15但不大于31时退出循环，故p 的最小整数值为16. 8．若等边△ABC 的边长为3，平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12CA →，则AM →·MB →的值为( )A ．2B ．－152 C.152 D ．－2答案 A解析 因为AM →＝CM →－CA →，MB →＝CB →－CM →，则AM →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13CB →－12CA →⎝ ⎛⎭⎪⎫23CB →－12CA →，即AM →·MB →＝29CB →2－12CA →·CB →＋14CA →2＝2－94＋94＝2，故选A.9.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )A ．15平方米B ．12平方米C ．9平方米D ．6平方米答案 C解析 如图，根据题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝4，在Rt△AOD 中，可得∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12AO ＝12×4＝2，可得矢＝4－2＝2， 由AD ＝AO ·sin π3＝4×32＝23，可得弦＝2AD ＝2×23＝43，所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12(43×2＋22)＝43＋2≈9(平方米)．故选C.10．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，若B ＝2C ，则向量BC →在BA →方向上的投影是( ) A ．－75 B ．－77125 C.77125 D.75答案 B解析 由正弦定理得ACsin B ＝AB sin C ⇒6sin 2C ＝5sin C ⇒cos C ＝35， 由余弦定理得cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22AC ·BC ⇒BC ＝115或5，经检验知BC ＝5不符合，舍去，所以BC ＝115，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝－725，则|BC →|cos B ＝－77125，故选B.11．“珠算之父”程大位是我国明代伟大的数学家，他的应用数学巨著《算法统综》的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成．程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”([注释]三升九：3.9升．次第盛：盛米容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节的容积为( ) A ．1.9升 B ．2.1升 C ．2.2升 D ．2.3升答案 B解析 要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为d 升，下端第一节盛米a 1升， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝3a 1＋3×22d ＝3.9，S 9－S 5＝⎝⎛⎭⎪⎫9a 1＋9×82d －⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋5×42d ＝3，解得a 1＝1.4，d ＝－0.1，所以中间两节盛米的容积为a 4＋a 5＝(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝2a 1＋7d＝2.8－0.7＝2.1(升)，故选B.12．《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋a 2－b 222.现有周长为22＋5的△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝(2－1)∶5∶(2＋1)，试用以上给出的公式求得△ABC 的面积为( ) A.34 B.32 C.54 D.52答案 A解析 因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝(2－1)∶5∶(2＋1)， 所以由正弦定理得a ∶b ∶c ＝(2－1)∶5∶(2＋1)， 又a ＋b ＋c ＝22＋5，所以a ＝2－1，b ＝5，c ＝2＋1， 则ac ＝1，c 2＋a 2－b 2＝1， 故S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋a 2－b 222＝121－14＝34. 13．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是________．答案 32解析 由题意得log 2n ＋1n ＋2＝log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)，由程序框图的计算公式，可得 S ＝(log 22－log 23)＋(log 23－log 24)＋…＋[log 2n －log 2(n ＋1)]＝1－log 2(n ＋1)，由S <－4，可得1－log 2(n ＋1)<－4⇒log 2(n ＋1)>5，解得n >31， 所以输出的n 为32.14．已知平面内三个单位向量OA →，OB →，OC →，〈OA →，OB →〉＝60°，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的最大值是______．答案 233 解析 由已知条件OC →＝mOA →＋nOB →，两边平方可得1＝m 2＋mn ＋n 2＝(m ＋n )2－mn ，∴(m ＋n )2－1＝mn ，根据向量加法的平行四边形法则，判断出m ，n >0，∴(m ＋n )2－1＝mn ≤14(m ＋n )2，当且仅当m ＝n 时取等号， ∴34(m ＋n )2≤1，则m ＋n ≤233，即m ＋n 的最大值为233. 15．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理(图1)，即可求得球的体积公式．请在研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为y 225＋x 24＝1，将此椭圆绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(图2)，其体积等于________．答案 80π3解析 椭圆的长半轴长为5，短半轴长为2，现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V ＝2(V 圆柱－V 圆锥)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π×22×5－13π×22×5＝80π3. 16．已知O 是锐角△ABC 外接圆的圆心，∠A ＝60°，cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝2mAO →，则m 的值为______．答案 32解析 如图所示，取AB 的中点D ，则OA →＝OD →＋DA →，OD ⊥AB ，所以OD →·AB →＝0，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝2mAO →， 得cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝－2m (OD →＋DA →)， 两边同乘AB →，得cos B sin C ·AB →2＋cos C sin B·AC →·AB →＝－2m (OD →＋DA →)·AB →， 即cos B sin C ·c 2＋cos C sin B·bc ·cos A ＝m ·c 2， 所以cos B sin C ·c ＋cos C sin B·b ·cos A ＝m ·c ， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)， 得b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入上式整理，得cos B ＋cos C cos A ＝m ·sin C ，所以m ＝cos B ＋cos C cos A sin C＝－cos (A ＋C )＋cos C cos A sin C＝sin A ， 又∠A ＝60°，所以m ＝sin 60°＝32.。
高考数学二轮复习课件2.1.2 向量运算与复数运算、算法、合情推理精选ppt课件
为( A )
A．－12
1 B.2
C．－3
1 D.3
[自主解答] (1)本题主要考查共轭复数及复数的除法运算． 因为2z－－z ＝1＋2 i－1＋i＝1＋21i－1－i i－1＋i＝1－i－1＋i＝0，故 选 D. (2)本题主要考查复数的计算和复平面的概念 若 z＝a＋i 3i＋a＝(3＋a)－ai 在复平面上对应的点在第二象限，则 a<－3，选 A. 复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则是进行复数运算的理 论依据，加、减运算法则类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似 于多项式的乘法法则，除法运算法则先将除式写成分式的形式，再将 分母实数化．
热点考向二 复数的概念及运算
[典例 2] (1)设 z＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－－z ＝( D )
A．i B．2－i C．1－i D．0
(2)若复数 z＝a＋i 3i＋a 在复平面上对应的点在第二象限，则实数 a
可以是( A )
A．－4 B．－3 C．1 D．2
(3)已知复数 z＝2x－－ii为纯虚数，其中 i 为虚数单位，则实数 x 的值
由已知分别以 AD，AB 所在的直线为 x，y 轴建立如图所示的平面 直角坐标系，则 C(1,1)，B(0,2)，D(1,0)，直线 BD 的方程为 2x＋y－2 ＝0，圆 C 的半径为 R＝|2×1＋51－2|＝ 55，则圆 C 的方程为(x－1)2＋ (y－1)2＝15，由A→P＝λA→D＋μA→B，得A→P＝λ(1,0)＋μ(0,2)＝(λ，2μ)，
(2)本题主要考查平面向量的加减运算． 因为A→B＝－2C→D，所以A→B＝2D→C.又 M 是 BC 的中点，所以A→M＝12 (A→B＋A→C)＝12(A→B＋A→D＋D→C)＝12A→B＋A→D＋12A→B＝34A→B＋12A→D，故选 B.
2019版高考数学大二轮复习 板块二 练透基础送分小考点 第3讲 复数与程序框图优选习题 文
第3讲 复数与程序框图[考情考向分析] 1.考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，与向量结合考查复数及其加法、减法的几何意义，突出考查运算能力与数形结合思想．一般以选择题、填空题形式出现，难度为低档.2.主要考查程序框图、循环结构和算法思想，并结合函数与数列考查逻辑思维能力，题型主要以选择题、填空题为主，考查求程序框图中的执行结果和确定控制条件，难度为中低档． 1．(2018·全国Ⅱ)1＋2i 1－2i 等于( )A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i答案 D解析 1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝＝－35＋45i.故选D.2．(2018·天津)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 输入N 的值为20，第一次执行条件语句，N ＝20，i ＝2，N i＝10是整数， ∴T ＝0＋1＝1，i ＝3<5；第二次执行条件语句，N ＝20，i ＝3，N i ＝203不是整数，∴i ＝4<5；第三次执行条件语句，N ＝20，i ＝4，N i＝5是整数， ∴T ＝1＋1＝2，i ＝5，此时i ≥5成立，∴输出T ＝2. 故选B.3．(2018·安徽省“皖南八校”联考)复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，其中a ∈R ，则a －i2＋a i的实部为( )A ．－15B ．－35C.15D.35答案 C解析 根据z ＝a 2－1＋(a ＋1)i 为纯虚数，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，解得a ＝1，＝15－35i ， 4为虚数单位)的共轭复数z 是( )A i C 2i解析 z ＝(1－2i )(2－i )(2＋i )(2－i )＋(1＋i )(1－i )1＋i＝－5i5＋1－i ＝－i ＋1－i ＝1－2i ，∴z ＝1＋2i.5．(2018·全国Ⅱ)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4答案 B解析 把各循环变量在各次循环中的值用表格列举如下.因为N ＝N ＋1i，由上表知i 是从1到3再到5，一直到101，所以i ＝i ＋2.6．(2018·北京)在复平面内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D 解析11－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )＝12＋i 2，其共轭复数为12－i 2，对应的点位于第四象限．故选D.7．(2018·孝义模拟)执行如图所示的程序框图，输出的S 值是( )A ．－32B ．0所以输出S ＝ 3.8．(2018·全国Ⅰ)设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |等于( )A ．0B.12C ．1D. 2答案 C解析 ∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i2＋2i ＝i ，∴|z |＝1.故选C.9．(2018·南充三诊)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝3＋i ，则z 1z 2等于( ) A ．10 B ．－10 C ．－9＋i D ．－9－i答案 B解析 由题意知，复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，由z 1＝3＋i ，得z 2＝－3＋i ，所以z 1z 2＝(3＋i)(－3＋i)＝－9－1＝－10.10．(2018·山东K12联盟考试)若复数z ＝1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2018＋|3－4i|3－4i，则z 的共轭复数z 的虚部为( ) A ．－15B ．－95C.95 D ．－95i答案 B解析 z ＝1＋i ＋i 2＋…＋i2018＋|3－4i|3－4i＝1－i 20191－i ＋53－4i ＝1－i 2016i 31－i ＋5(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝1－i 31－i ＋3＋4i 5＝1＋i ＋i 2＋35＋4i 5＝35＋95i ， 所以z 的共轭复数z ＝35－95i ，虚部为－95.11．(2018·衡水金卷信息卷)运行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．2017×22018－2 B ．2018×22018＋2C ．2018×22019－2 D ．2017×22019＋2答案 D解析 第一次运行结果为S ＝0＋1×21＝2，i ＝2， 第二次运行结果为S ＝2＋2×22，i ＝3，第三次运行结果为S ＝2＋2×22＋3×23，i ＝4，…， 可知输出结果为S ＝2＋2×22＋3×23＋…＋2018×22018，2S ＝22＋2×23＋…＋2017×22018＋2018×22019，两式相减可得－S ＝2＋22＋23＋…＋22018－2018×22019，可得S ＝2017×22019＋2.12．(2018·佛山质检)执行如图所示的程序框图，当输出的S ＝2时，则输入的S 的值为( )A ＝13，k ＝2；S ＝5；S ＝32，k ＝6； S ＝9.结束循环，输出S ＝32，与题意输出的S ＝2矛盾；若输入S ＝－1，则执行循环得S ＝12，k ＝2；S ＝2，k ＝3；S ＝－1，k ＝4；S ＝12，k ＝5；S ＝2，k ＝6；S ＝－1，k ＝7； S ＝12，k ＝8；S ＝2，k ＝9.结束循环，输出S ＝2，符合题意；若输入S ＝－12，则执行循环得S ＝23，k ＝2；S ＝3，k ＝3；S ＝－12，k ＝4；S ＝23，k ＝5；S＝3，k ＝6；S ＝－12，k ＝7；S ＝23，k ＝8；S ＝3，k ＝9.结束循环，输出S ＝3，与题意输出的S ＝2矛盾； 若输入S ＝12，则执行循环得S ＝2，k ＝2；S ＝－1，k ＝3；S ＝12，k ＝4；S ＝2，k ＝5；S ＝－1，k ＝6；S ＝12，k ＝7； S ＝2，k ＝8；S ＝－1，k ＝9.结束循环，输出S ＝－1，与题意输出的S ＝2矛盾．13．(2018·上海松江、闵行区模拟)设m ∈R ，若复数(1＋m i)(1＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则m ＝________. 答案 －1解析 (1＋m i)(1＋i)＝(1－m )＋(m ＋1)i ，复数(1＋m i)(1＋i)在复平面内对应的点位于实轴上， 则复数的虚部为零，即m ＋1＝0，解得m ＝－1.14．(2018·永州模拟)运行如图所示的程序框图，设输出的数据构成集合A ，从集合A 中任取一个元素α，则函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数的概率为________．答案 23解析 执行如图所示的程序框图，可知，第一次循环：满足i <1，y ＝(－2)2－2×(－2)＝8，输出y ＝8，此时i ＝－1； 第二次循环：满足i <1，y ＝(－1)2－2×(－1)＝3，，输出y ＝3，此时i ＝0； 第三次循环：满足i <1，y ＝02－2×0＝0，输出y ＝0，此时i ＝1，此时终止循环，所以输出的集合A ＝{8,3,0}， 所以从集合A 中任取一个元素α，则函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数的概率为P ＝23.15．(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)如图所示的茎叶图为某班54名学生的政治考试成绩，程序框图中输入的a 1，a 2，…，a 54为茎叶图中的学生成绩，则输出的S 和n 的值分别是________．答案 86,13解析 S 为大于等于80分的学生的平均成绩，计算得S ＝86；n 表示60分以下的学生人数，由茎叶图可知n ＝13.16．(2018·河北省衡水金卷)若运行如图所示的程序框图，输出的n 的值为127，则输入的正整数n 的所有可能取值的个数为________．答案 3解析令2n－1＝127，可得n＝7，故输入n＝7符合；当输入的n满足n>7时，输出的结果总是大于127，不合题意；当输入n＝6,5,4时，输出的n值分别为263－1，231－1，215－1，均不合题意；当输入n＝3或n＝2时，输出的n＝127符合题意；当输入n＝1时，将进入死循环，不合题意，故输入的所有的n的可能取值为2,3,7，共3个．。
平面向量和复数-高三高考数学二轮复习教学PPT课件
考向1 平面向量的线性运算
1．混淆向量共线与向量垂直的坐标表示
复数的除法运算，共轭复数的概念；
掌握复数代数形式运算的方法
(1)a·b＝b·a(交换律)．
C．1－i
D．1＋i
1．平面向量数量积的性质及其坐标表示
2．求两向量夹角应注意
A．－1－i
B．－1＋i
● 考向1 平面向量的线性运算
1．(2020·吉林省重点高中第二次月考)如图，若O→A＝a，O→B＝b，O→C
－ 3)，|b|＝2，则|a－b|＝
( B)
A．2
B．4
C．8
D．16
【解析】 ∵a＝(1，－ 3)，∴|a|＝2，又向量 a 与 b 方向相反，且
|b|＝2，∴a＝－b，∴|a－b|＝2|b|.故选 B．
4．(2020·山东省德州市期末)已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，(a－
b)·(a＋3b)＝－13，则 a 与 b 的夹角为
＝c，B 是线段 AC 靠近点 C 的一个四等分点，则下列等式成立的是
A．c＝23b－16a
B．c＝43b＋13a
( C)
C．c＝43b－31a
D．c＝32b＋16a
【解析】 c＝O→C＝O→B＋B→C＝O→B＋13A→B＝O→B＋13(O→B－O→A)＝34O→B－ 13O→A＝43b－31a.故选 C．
● (2)若已知图形中有明显的适合建立直角坐标系的条件，可建立直角坐标系将向量数量积运 算转化为代数运算来解决．
λ
7 的值为__1_2__.
【解析】 ∵A→P⊥B→C，∴A→P·B→C＝(λA→B＋A→C)·(A→C－A→B)＝－λA→B2＋
A→C2＋(λ－1)A→C·A→B＝0，即－λ×9＋4＋(λ－1)×3×2×－12＝0，解得 λ
高三数学二轮复习专题一第二讲复数、平面向量、程序框图与推理教案理
研热门（聚焦打破）种类一 复数 (1) 共轭复数复数 z ＝ a ＋ b i 的共轭复数为 z ＝ a － b i. (2) 复数的模复数 z ＝ ＋ i 的模 | z | ＝a 22a bb .(3) 复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ? a ＝c 且 b ＝ d ( a ， b ， c ，d ∈ R) ．特别地， a ＋ b i ＝ 0? a ＝ 0 且 b ＝ 0( a ， b ∈ R)． [ 例 1](1)(2012 年高考天津卷 )i 是虚数单位，复数＝ ()A ． 1－ iB ．－ 1＋ iC ． 1＋ iD．－ 1－ i(2)(2012 年高考江西卷 ) 若复数 z ＝ 1＋ i(i 为虚数单位 ) ， z 是 z 的共轭复数，则 z 2＋ z 2的虚部为 () A ． 0 B ．－ 1 C ． 1D．－ 2[分析](1) 利用复数的乘法、除法法例求解．5＋ 3i （ 5＋ 3i ）（ 4＋ i ） 17＋ 17i＝ 1＋ i.4－ i ＝42＋ 1＝ 17(2) 利用复数运算法例求解．∵ z ＝ 1＋ i ，∴ z ＝ 1－ i ， z 2＋ z 2＝ (1 ＋i) 2＋ (1 － i) 2＝ 2i － 2i ＝ 0. [ 答案 ] (1)C(2)A追踪训练1． (2012 年广州模拟 ) 设复数 z 1＝ 1－ 3i ， z 2＝ 3－ 2i ，则在复平面内对应的点在 ()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限分析： 由于 z 1 1－ 3i ＝ （ 1－ 3i ）（ 3＋2i ） ＝ 9－ 7i＝ 3－ 2i （ 3－ 2i ）（ 3＋ 2i ） ，z 213 9 7在复平面内对应的点为 ( 13，－ 13) ，在第四象限，选 D. 答案： D2． (2012 年高考陕西卷 ) 设 a ，b ∈ R ， i 是虚数单位，则“ ab ＝0”是“复数 a ＋ b为纯虚数”的 ()iA ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充足必需条件D ．既不充足也不用要条件分析： 直接法．∵ a ＋ b＝ a － b i 为纯虚数，∴必有 a ＝ 0， b ≠0，i而 ab ＝ 0 时有 a ＝ 0 或 b ＝ 0，∴由 a ＝ 0， b ≠ 0? ab ＝ 0，反之不可立．∴“ ab ＝0”是“复数 a ＋ b为纯虚数”的必需不充足条件．i答案： B种类二 平面向量1．平面向量的线性运算法例(1) 三角形法例；(2) 平行四边形法例． 2．向量共线的条件 存在两非零向量 a ，b ，则(1) 若 a ，b 共线，则存在 λ∈R ， b ＝ λa .(2) 若 a ＝ ( x 1， y 1) ，b ＝ ( x 2， y 2) ，则 x 1y 2－ x 2y 1＝ 0.3．向量垂直的条件(1) 已知非零向量 ， ，且 a 与 b 垂直，则a ·＝0.a bb(2) 已知 a ＝( x 1， y 1) ， b ＝ ( x 2， y 2) ，则 x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0. 4．夹角与模(1) 设 θ 为①cos θ＝|a 与b ( a ≠0， b ≠ 0) 的夹角，则a · ba ||b |；②若 a ＝ ( x 1， y 1) ，b ＝ ( x 2，y 2) ，x xy y2则 cos θ＝1 2＋ 12.2 2 x 21＋ 12＋2x yy(2) 若 ＝(x ， )，则|| ＝2＋2.ayaxy[ 例 2](1)(2012年高考课标全国卷 ) 已知向量 a ， 夹角为 45°，且 |a | ＝ 1，|2 a － | ＝，则| | ＝ ________.bbb(2)(2012 年高考江苏卷 ) 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝ 2 ， BC ＝ 2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD上，uuur uuur uuur uuur若 AB · AF ＝ 2 ，则 AE · BF 的值是________．[ 分析 ] (1) 利用平面向量的数目积观点、模的观点求解．∵ a， b 的夹角为45°，| a|＝1，2∴ a· b＝| a|·|b|cos 45 °＝2 | b| ，|2 a2 2 | ＋ | 2 ，∴ |b|＝3 2. －|＝4 －4× | | ＝10b 2 b b[答案](1)3 2 (2) 2追踪训练已知 A(－3，0)、 B(0，2) ，O为坐标原点，点C在∠ AOB内，| OC|＝2 2 ，且∠AOC＝，uuur uuur uuur4∈ R) ，则的值为 ()设OC＝OA OB (A． 1 B. 1 3C. 1D. 22 3uuur uuur uuur uuur uuur分析：过 C作 CE⊥ x 轴于点 E，由∠ AOC＝，知 | OE|＝| CE| ＝2，因此OC＝OE＋OB＝OA OB ，uuur uuur 4.即 OE ＝λ OA ，因此(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝23答案： D种类三算法与程序框图1．算法的三种基本逻辑构造：次序构造，条件构造，循环构造．2．循环构造必定包括条件构造．[ 例 3](1)(2012 年高考天津卷 ) 阅读如下图的程序框图，运转相应的程序，则输出S 的值为() A． 8 B ． 18C． 26 D ． 80( 2)(2012年高考陕西卷)如下图是用模拟方法预计圆周率π值的程序框图，P 表示预计结果，则图中空白框内应填入()N 4N M 4MA．P＝1 000 B．P＝1 000 C．P＝1 000 D．P＝1 000[ 分析 ] (1) 依据循环条件，逐次求解判断．运转一次后＝ 0＋ 3－ 30＝ 2，运转两次后＝ 2＋32－ 3＝8，运转三次后＝8＋ 33－32＝ 26，此时n＝4，S S S 输出 S.(2) 采纳几何概型法．∵ x i， y i为0~1之间的随机数，组成以 1 为边长的正方形面，当 x i2＋ y i2 ≤ 1 时，点 ( x i，y i ) 均落在以原点为圆心，以 1 为半径且在第一象限的1圆内，当 x i2 ＋ y i2 >1 4时对应点落在暗影部分中(如下图 )．∴有N1＝4M － M ， π( M ＋N ) ＝ 4M ，π＝4M.4， N M41000[ 答案 ] (1)C(2)D追踪训练(2012 年洛阳模拟 ) 假如履行如下图的程序框图，则运转结果为()A ．1 B ．－ 1C. 1D ．222分析： 第一次循环： s ＝ 1，i ＝ 2；2第二次循环： s ＝－ 1， i ＝3；第三次循环： s ＝ 2， i ＝ 4； 易知当 i ＝ 2 012 时输出 s ，由于循环过程中 s 的值呈周期性变化，周期为3，又 2 012 ＝ 670× 3＋ 2，因此运转结果与 i ＝ 2 时输出的结果一致，故输出s ＝ 1.2答案： C种类四 合情推理 1．类比推理的一般步骤(1) 找出两类事物之间的相像性或一致性；(2) 用一类事物的性质推断另一类事物的性质，得出一个明确的结论．2．概括推理的一般步骤(1) 经过察看个别事物发现某些同样的性质；(2) 从已知的同样性质中推出一个明确表述的一般性命题．一般状况下，概括的个别事物越多，越拥有代表性，推行的一般性结论也就越靠谱．[ 例 4](2012 年高考陕西卷 ) 察看以下不等式1 31＋ 22 <2，11 51＋ 22 ＋32 <3，1 1 1 71＋ 22 ＋32 ＋42<4，照此规律，第五个不等式为 ________________ ．[ 分析 ]概括察看法．察看每行不等式的特色，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子组成等差数列．∴第五个不等式为1 1 1 1 1 11132 42 52 62 622 [答案]11 11 1 1 1122222623 4 5 6追踪训练(2012 年南昌市一中月考 ) 在平面上， 我们假如用一条直线去截正方形的一个角， 那么截下的是一个直角三角形，若将该直角三角形按图标出边长a ， ， ，则由勾股定理有： 2＋ 2＝2. 假想把正方形换成正方体，b c a b c把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 OLMN ，假如用 S 1，S 2， S 3 表示三个侧面面积， S 4 表示截面面积，那么你类比获得的结论是________．分析： 由图可得 S 1＝ 1 OM · ON ， S 2＝ 1OL · ON ，2 21S3＝OM· OL，1S4＝ML· NL·sin∠MLN＝1ML· NL·1－cos2∠MLN22 2 2＝1 · ·1－（ ML＋ NL－ MN））22 ML NL 2ML·NL＝1·2 2 2 2 2 2.4 4ML·NL －（ ML＋ NL－ MN）2 2 2∵ OM＋ ON＝ MN，2＋2＝2，OM OL ML2 2 2OL ＋ ON＝LN ，∴S4 ＝12·2＋2·2＋2·2，2 OM ON OL ON OM OL2 2 2 2∴S＋S＋S＝S.1 2 3 42 2 2 2答案：1＋ 2＋3＝4.S S S S析典题（展望高考）高考真题【真题】(2012 年高考安徽卷 ) 若平面向量a，b知足 |2 a－b| ≤ 3，则a·b的最小值是 ________．【分析】利用向量减法的三角形法例及数目积的运算公式求解．由向量减法的三角形法例知，当a 与b共线且反向时， |2 － | 的最大值为 3. 此时设＝(λ<0) ，则 |2aa b a λ b－b|＝|2 b－ b|＝3，又由a ·＝ | | · |b|cos 〈，〉，知b a a b当 a 与 b 共线且反向时， a· b 最小．有： a· b＝| a|·| b|·cos＝－9| λ|＝9λ＝9（ 2λ－ 1）2 4λ2－ 4λ＋ 1 1－（－ 4λ－λ）－ 4≥－9( 当且仅当λ＝－1时取“＝” ) ，8 2∴ a· b 的最小值为－9 .【答案】－8 98【名师点睛】此题考察了向量减法的三角形法例、数目积的运算公式及利用均值不等式求最值．其解题的重点是将 a·b 表示为λ的函数，再依据函数构造变形求最值．考情展望高考对平面向量的考察灵巧多变，多以选择题、填空题形式出现，主要波及平面向量的线性运算与数目积的运算，有时综合三角不等式、最值等问题名师押题uuur uuur uuur uuur uuur uuur 【押题】在边长为 1 的正三角形ABC中，BD＝x BA，CE＝y CA，x>0，y>0，且x＋y＝ 1，则CD·BE的最大值为 ( )【分析】成立如下图的直角坐标系，则( －1，0)， ( 1 ，0)， (0，3),A 2B 2C 2 设 D( x1，0)， E( x2， y2)，【答案】 D。
【把握高考】高三数学二轮复习 专题演练1-1-2第二讲 复数、平面向量、程序框图与推理.pdf
第二讲 复数、平面向量、程序框图与推理 一、选择题 1．(2012年高考福建卷)若复数z满足zi＝1－i，则z等于( ) A．－1－i B．1－i C．－1＋i D．1＋i 解析：解法一 利用复数的四则运算法则求解． 由zi＝1－i得z＝＝－1＝－1－i. 解法二 利用复数相等的充要条件求解． 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由zi＝1－i，得(a＋bi)i＝1－i，即－b＋ai＝1－i. 由复数相等的充要条件得即 ∴z＝－1－i. 答案：A 2．(2012年长沙模拟)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)＝ax－a－x，C(x)＝ax＋a－x，其中a>0，且a≠1，下面正确的运算公式是( )①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)；③2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；④2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)． A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 解析：经验证易知①②错误．依题意，注意到2S(x＋y)＝2(ax＋y－a－x－y)，又S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(ax＋y－a－x－y)，因此有2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；同理有2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．综上所述，选B. 答案：B 3．(2012年福州模拟)执行如图所示的程序框图，若输入x＝0.1，则输出的m的值是( )A．0 B．0.1 C．1 D．－1 解析：当x＝0.1时，m＝lg 0.1＝－1， ∵－1A时，将x值赋给A，因此最后输出的A值是a1，a2，…，aN中最大的数；由于x＝ak，且x<B 时，将x值赋给B，因此最后输出的B值是a1，a2，…，aN中最小的数．∴选C. 答案：C 7．如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么＝( )A.－B.＋C.＋D.－ 解析：在△CEF中，有＝＋，因为点E为DC的中点，所以＝.因为点F为BC的一个三等分点，所以＝.所以＝＋＝＋＝－.故选D. 答案：D 8．如图为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为( ) A．i<＝20 B．i＝20 D．i>20 解析：由于是求20个数的平 均数，所以应是直到“i>20” 时，退出循环，故选D. 答案：D 二、填空题 9．已知复数z1满足(z1－2)·(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，若z1·z2是实数，则z2＝________. 解析：∵(z1－2)·(1＋i)＝1－i， ∴z1＝＋2＝2－i. 由题意设z2＝a＋2i， ∴z1·z2＝(2－i)·(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i， ∵z1·z2是实数，∴4－a＝0，∴a＝4，∴z2＝4＋2i. 答案：4＋2i 10．“无字证明”(proofs without words)，就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：__________________________________. 解析：由图中所给数据易得图甲中阴影部分的面积为S1＝2××1×1×sin (α＋β)＝sin (α＋β)，图乙中阴影部分的面积为S2＝sin αcos β＋cos αsin β，又S1＝S2，所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. 答案：sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β 11．已知点G是△ABC的重心，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若A＝60°，·＝2，则||的最小值为________． 解析：由题知2＝·＝||·||·cos A＝||·||·， 即||·||＝4. 由三角形重心的性质，可得＋＝3. 所以9||2＝||2＋||2＋2·≥2||·||＋2·＝2×4＋2×2＝12， 所以||min＝. 答案：。
(新课标)山东省高考数学二轮复习 (研热点聚焦突破+析典型预测高考+巧演练素能提升) 第一部分
第二讲 复数、平面向量、程序框图与推理一、选择题1．(2012年高考福建卷)若复数z 满足z i ＝1－i ，则z 等于( ) A ．－1－i B ．1－i C ．－1＋iD ．1＋i解析：解法一 利用复数的四则运算法则求解． 由z i ＝1－i 得z ＝1－i i ＝1i －1＝－1－i.解法二 利用复数相等的充要条件求解．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，由z i ＝1－i ，得(a ＋b i)i ＝1－i ，即－b ＋a i ＝1－i.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝1，a ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1. ∴z ＝－1－i. 答案：A2．(2012年长沙模拟)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S (x )＝a x －a －x ，C (x )＝a x ＋a －x ，其中a >0，且a ≠1，下面正确的运算公式是( )①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；②S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )；③2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；④2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )．A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③解析：经验证易知①②错误．依题意，注意到2S (x ＋y )＝2(a x ＋y－a－x －y)，又S (x )C (y )＋C (x )S (y )＝2(ax ＋y－a－x －y)，因此有2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；同理有2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )．综上所述，选B.答案：B3．(2012年福州模拟)执行如图所示的程序框图，若输入x ＝0.1，则输出的m 的值是( )A ．0B ．0.1C ．1D ．－1解析：当x ＝0.1时，m ＝lg 0.1＝－1， ∵－1<0，执行m ＝m ＋1＝－1＋1＝0， 将0赋给m ，输出m 的值是0. 答案：A4．已知点A (1，2)、B (3，4)、C (－2，2)、D (－3，5)，则向量AB → 在向量CD →上的投影为( )A.105 B.2105 C.3105D.4105解析：AB →＝(2，2)，CD →＝(－1，3)，设AB →和CD →的夹角为α，则向量AB →在向量CD →上的投影为|AB →|cos α＝AB →·CD →|CD →|＝－2＋610＝2105.答案：B5．(2012年唐山摸底)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列式子：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，…类比有x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a 的值为( )A ．n nB ．nC ．n ＋1D ．n －1解析：由观察可得：x ＋a x n ＝ ＋a xn ≥(n ＋1)·n ＋1x n ·x n ·…·x n ·a x n ＝(n ＋1)·n ＋1a nn ＝n ＋1，则a ＝n n.故选A. 答案：A6．(2012年高考课标全国卷)如果执行如图所示的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a 1，a 2，…，a N ，输出A ，B ，则( )A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和 B.A ＋B2为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最大的数和最小的数D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最小的数和最大的数 解析：结合循环结构的意义求解．由于x ＝a k ，且x >A 时，将x 值赋给A ，因此最后输出的A 值是a 1，a 2，…，a N 中最大的数；由于x ＝a k ，且x <B 时，将x 值赋给B ，因此最后输出的B 值是a 1，a 2，…，a N 中最小的数．∴选C.答案：C7．如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →＝( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA → D.12AB →－23AD → 解析：在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →，因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的一个三等分点，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →.故选D.答案：D8．如图为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为( )A ．i<＝20B ．i<20C ．i>＝20D ．i>20解析：由于是求20个数的平 均数，所以应是直到“i>20” 时，退出循环，故选D. 答案：D 二、填空题9．已知复数z 1满足(z 1－2)·(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，若z 1·z 2是实数，则z 2＝________.解析：∵(z 1－2)·(1＋i)＝1－i ， ∴z 1＝1－i 1＋i ＋2＝2－i.由题意设z 2＝a ＋2i ，∴z 1·z 2＝(2－i)·(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ， ∵z 1·z 2是实数，∴4－a ＝0，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i. 答案：4＋2i10．“无字证明”(proofs without words)，就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：__________________________________.解析：由图中所给数据易得图甲中阴影部分的面积为S 1＝2×12×1×1×sin (α＋β)＝sin (α＋β)，图乙中阴影部分的面积为S 2＝sin αcos β＋cos αsin β，又S 1＝S 2，所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.答案：sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β11．已知点G 是△ABC 的重心，AG →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R)，若A ＝60°，AB →·AC →＝2，则|AG →|的最小值为________．解析：由题知2＝AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝|AB →|·|AC →|·12，即|AB →|·|AC →|＝4.由三角形重心的性质，可得AB →＋AC →＝3AG →.所以9|AG →|2＝|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →≥2|AB →|·|AC →|＋2AB →·AC →＝2×4＋2×2＝12， 所以|AG →|min ＝233.答案：233。
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回扣2 复数、程序框图、平面向量与数学文化1．复数的相关概念及运算法则 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的分类 ①z 是实数⇔b ＝0； ②z 是虚数⇔b ≠0； ③z 是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0. (2)共轭复数复数z ＝a ＋b i 的共轭复数z ＝a －b i. (3)复数的模复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2. (4)复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R )． (5)复数的运算法则加减法：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ； 乘法：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； 除法：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i. ()其中a ，b ，c ，d ∈R2．复数的几个常见结论 (1)(1±i)2＝±2i. (2)1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i. (3)i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0(n ∈Z )．(4)ω＝－12±32i ，且ω0＝1，ω2＝ω，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.3．程序框图的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构：如图(1)所示． (2)条件结构：如图(2)和图(3)所示． (3)循环结构：如图(4)和图(5)所示．4．平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a ||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 5．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 6．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 7．利用数量积求夹角若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 8．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0.1．复数z 为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0(z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R )．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．2．复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i 2＝－1化简合并同类项．3．在解决含有循环结构的框图时，要弄清停止循环的条件．注意理解循环条件中“≥”与“>”的区别．4．解决程序框图问题时，要注意流程线的指向与其上文字“是”“否”的对应． 5．在循环结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果． 6．a·b >0是〈a ，b 〉为锐角的必要不充分条件；a·b <0是〈a ，b 〉为钝角的必要不充分条件．1．复数z 满足z (2－i)＝1＋7i ，则复数z 的共轭复数为( ) A ．－1－3i B ．－1＋3i C ．1＋3i D ．1－3i答案 A解析 ∵z (2－i)＝1＋7i ，∴z ＝1＋7i 2－i ＝(1＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝－5＋15i 5＝－1＋3i ，共轭复数为－1－3i.2．复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于直线y ＝x 对称，且z 2＝3＋2i ，则z 1·z 2等于( ) A ．13i B ．－13i C ．13＋12i D ．12＋13i 答案 A解析 由题意得z 1＝2＋3i ， 故z 1·z 2＝(2＋3i)(3＋2i)＝13i.3．z ＝m ＋i 1－i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 z ＝(m ＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝m －1＋(m ＋1)i2，由于m －1<m ＋1，故不可能在第四象限．4．已知平行四边形ABCD 的对角线分别为AC ，BD ，且AE →＝2EC →，点F 是BD 上靠近D 的四等分点，则( )A.FE →＝－112AB →－512AD →B.FE →＝112AB →－512AD →C.FE →＝512AB →－112AD →D.FE →＝－512AB →－112AD →答案 C解析 ∵AE →＝2EC →，点F 是BD 上靠近D 的四等分点， ∴FO →＝14DB →，OE →＝16AC →，∴FE →＝FO →＋OE →＝14DB →＋16AC →，∵AB →＋AD →＝AC →，AD →－AB →＝BD →， ∴FE →＝14(AB →－AD →)＋16(AB →＋AD →)＝512AB →－112AD →. 故选C.5．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6) D ．(－2，－4)答案 B解析 因为a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a∥b ，所以m ＋4＝0，m ＝－4,2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，故选B.6.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是( )A ．n ＝6?B ．n <6?C ．n ≤6?D ．n ≤8?答案 C解析 S ＝0，n ＝2，判断是，S ＝12，n ＝4，判断是，S ＝12＋14＝34，n ＝6，判断是，S ＝12＋14＋16＝1112，n ＝8，判断否，输出S ，故n ≤6.7．执行如图所示的程序框图，若输出的是n ＝6，则输入整数p 的最小值为( )A ．15B ．16C ．31D ．32 答案 B解析 列表分析如下：是否继续循环 S n 循环前 0 1 第一圈 是 1 2 第二圈 是 3 3 第三圈 是 7 4第四圈 是 15 5 第五圈 是 31 6 第六圈 否故当S 值不大于15时继续循环，大于15但不大于31时退出循环，故p 的最小整数值为16. 8．若等边△ABC 的边长为3，平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12CA →，则AM →·MB →的值为( )A ．2B ．－152 C.152 D ．－2答案 A解析 因为AM →＝CM →－CA →，MB →＝CB →－CM →，则AM →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13CB →－12CA →⎝ ⎛⎭⎪⎫23CB →－12CA →，即AM →·MB →＝29CB →2－12CA →·CB →＋14CA →2＝2－94＋94＝2，故选A.9.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )A ．15平方米B ．12平方米C ．9平方米D ．6平方米答案 C解析 如图，根据题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝4，在Rt△AOD 中，可得∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12AO ＝12×4＝2，可得矢＝4－2＝2， 由AD ＝AO ·sin π3＝4×32＝23，可得弦＝2AD ＝2×23＝43，所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12(43×2＋22)＝43＋2≈9(平方米)．故选C.10．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，若B ＝2C ，则向量BC →在BA →方向上的投影是( ) A ．－75 B ．－77125 C.77125 D.75答案 B解析 由正弦定理得ACsin B ＝AB sin C ⇒6sin 2C ＝5sin C ⇒cos C ＝35， 由余弦定理得cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22AC ·BC ⇒BC ＝115或5，经检验知BC ＝5不符合，舍去，所以BC ＝115，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝－725，则|BC →|cos B ＝－77125，故选B.11．“珠算之父”程大位是我国明代伟大的数学家，他的应用数学巨著《算法统综》的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成．程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”([注释]三升九：3.9升．次第盛：盛米容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节的容积为( ) A ．1.9升 B ．2.1升 C ．2.2升 D ．2.3升答案 B解析 要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为d 升，下端第一节盛米a 1升， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝3a 1＋3×22d ＝3.9，S 9－S 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9a 1＋9×82d －⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋5×42d ＝3，解得a 1＝1.4，d ＝－0.1，所以中间两节盛米的容积为a 4＋a 5＝(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝2a 1＋7d＝2.8－0.7＝2.1(升)，故选B.12．《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋a 2－b 222.现有周长为22＋5的△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝(2－1)∶5∶(2＋1)，试用以上给出的公式求得△ABC 的面积为( ) A.34 B.32 C.54 D.52答案 A解析 因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝(2－1)∶5∶(2＋1)， 所以由正弦定理得a ∶b ∶c ＝(2－1)∶5∶(2＋1)， 又a ＋b ＋c ＝22＋5，所以a ＝2－1，b ＝5，c ＝2＋1， 则ac ＝1，c 2＋a 2－b 2＝1， 故S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋a 2－b 222＝12 1－14＝34. 13．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是________．答案 32解析 由题意得log 2n ＋1n ＋2＝log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)，由程序框图的计算公式，可得 S ＝(log 22－log 23)＋(log 23－log 24)＋…＋[log 2n －log 2(n ＋1)]＝1－log 2(n ＋1)，由S <－4，可得1－log 2(n ＋1)<－4⇒log 2(n ＋1)>5，解得n >31， 所以输出的n 为32.14．已知平面内三个单位向量OA →，OB →，OC →，〈OA →，OB →〉＝60°，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的最大值是______．答案 233解析 由已知条件OC →＝mOA →＋nOB →，两边平方可得1＝m 2＋mn ＋n 2＝(m ＋n )2－mn ，∴(m ＋n )2－1＝mn ，根据向量加法的平行四边形法则，判断出m ，n >0，∴(m ＋n )2－1＝mn ≤14(m ＋n )2，当且仅当m ＝n 时取等号， ∴34(m ＋n )2≤1，则m ＋n ≤233，即m ＋n 的最大值为233. 15．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理(图1)，即可求得球的体积公式．请在研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为y 225＋x 24＝1，将此椭圆绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(图2)，其体积等于________．答案 80π3解析 椭圆的长半轴长为5，短半轴长为2，现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V ＝2(V 圆柱－V 圆锥)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π×22×5－13π×22×5＝80π3. 16．已知O 是锐角△ABC 外接圆的圆心，∠A ＝60°，cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝2mAO →，则m 的值为______． 答案 32解析 如图所示，取AB 的中点D ，则OA →＝OD →＋DA →，OD ⊥AB ，所以OD →·AB →＝0，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝2mAO →， 得cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝－2m (OD →＋DA →)， 两边同乘AB →，得cos B sin C ·AB →2＋cos C sin B·AC →·AB →＝－2m (OD →＋DA →)·AB →， 即cos B sin C ·c 2＋cos C sin B·bc ·cos A ＝m ·c 2， 所以cos B sin C ·c ＋cos C sin B·b ·cos A ＝m ·c ， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)， 得b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入上式整理，得cos B ＋cos C cos A ＝m ·sin C ，所以m ＝cos B ＋cos C cos A sin C＝－cos (A ＋C )＋cos C cos A sin C＝sin A ， 又∠A ＝60°，所以m ＝sin 60°＝32.。