初三数学二次函数的表达式讲义

学科教师辅导讲义

一、 知识梳理

二、 知识概念

（一）二次函数解析式的表示方法

1、一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；

2、顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

3、两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：

任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

体系搭建

（二）二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．

用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1、已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2、已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3、已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4、已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

考点一：一般式

例1、如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（）

A．y=x2﹣x﹣2B．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2

C．y=﹣x2+x+2D．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2

例2、如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上．（1）求m的值和二次函数的解析式．

（2）请直接写出使y1＞y2时自变量x的取值范围．

考点二：顶点式

例1、根据表中的自变量x与函数y的对应值，可判断此函数解析式为（）

x…﹣1012…

y…﹣12…

A．y=x B．y=﹣C．y=（x﹣1）2+2D．y=﹣（x﹣1）2+2

例2、已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）

A．y=﹣3（x﹣1）2+3B．y=3（x﹣1）2+3

C．y=﹣3（x+1）2+3D．y=3（x+1）2+3

例3、若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b、k的值分别为

（）

A．0 5B．0 1C．﹣4 5D．﹣4 1

考点三：交点式（两根式）

例1、如图，已知抛物线l1：y=（x﹣2）2﹣2与x轴分别交于O、A两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴

所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线l2的函数表达式为（）

A．y=（x﹣2）2+4B．y=（x﹣2）2+3

C．y=（x﹣2）2+2D．y=（x﹣2）2+1

例2、图象经过P（3，4）且与x轴两个交点的横坐标为1和﹣2，求这个二次函数的解析式．

考点四：待定系数法

例1、如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣2，0）．（1）求此二次函数的解析式；

（2）在抛物线上有一点P，满足S△AOP=1，请直接写出点P的坐标．

例2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），

C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；

（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；

（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC

（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．

实战演练

➢课堂狙击

1、与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（）

A．y=1+x2B．y=（2x+1）2C．y=（x﹣1）2 D．y=2x2

2、一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为（）

A．y=﹣2（x﹣1）2+3 B．y=﹣2（x+1）2+3

C．y=﹣（2x+1）2+3D．y=﹣（2x﹣1）2+3

3、二次函数y=x2﹣6x+5配成顶点式正确的是（）

A．y=（x﹣3）2﹣4B．y=（x+3）2﹣4

C．y=（x﹣3）2+5D．y=（x﹣3）2+14

4、二次函数图象如图所示，则其解析式是（）

A．y=﹣x2+2x+4B．y=x2+2x+4C．y=﹣x2﹣2x+4 D．y=﹣x2+2x+3

5、如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点

A（m，4），则这个二次函数的解析式为（）

A．y=x2﹣x﹣2B．y=x2﹣x+2C．y=x2+x﹣2D．y=x2+x+2

6、如图，△AOB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y=﹣x+m与x轴交于点E．

（1）求点E的坐标；

（2）求过A、O、E三点的抛物线的解析式．

7、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A（﹣1，0），点C（0，5），点D （1，8）都在抛物线上，M为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；

（2）求直线CM的解析式；（3）求△MCB的面积．

➢课后反击

1、已知抛物线y=x2﹣2x+c的顶点在x轴上，你认为c的值应为（）

A．﹣1B．0C．1D．2

2、对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式（）

A．y=﹣2x2+8x+3B．y=﹣2x‑2﹣8x+3C．y=﹣2x2+8x﹣5D．y=﹣2x‑2﹣8x+2

3、把二次函数y=x2﹣4x+1化成y=a（x+m）2+k的形式是（）

A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x﹣2）2﹣1C．y=（x﹣2）2+3D．y=（x﹣2）2﹣3 4、若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b，k的值分别（）

A．0，5B．﹣4，1C．﹣4，5D．﹣4，﹣1

5、已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）

A．y=﹣3（x﹣1）2+3B．y=3（x﹣1）2+3

C．y=﹣3（x+1）2+3 D．y=3（x+1）2+3

6、若所求的二次函数图象与抛物线y=2x2﹣4x﹣1有相同的顶点，并且在对称

轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则

所求二次函数的解析式为（）

A．y=﹣x2+2x+4B．y=﹣ax2﹣2ax﹣3（a＞0）

C．y=﹣2x2﹣4x﹣5D．y=ax2﹣2ax+a﹣3（a＜0）

7、已知二次函数y=ax2（a≠0）与一次函数y=kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中

A（﹣1，﹣1），

（1）求二次函数和一次函数解析式．

（2）求△OAB的面积．