人教A版选修2-2《第1章导数及其应用》2020年单元测试卷(2)

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2020年人教版A版数学选修2-2全册完整讲义学案(教师用书)

第一章导数及其应用§1.1变化率与导数§1.1.1变化率问题§1.1.2导数的概念§1.1.3导数的几何意义§1.2导数的计算§1.2.1几个常用函数的导数§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一) §1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二) §1.3导数在研究函数中的应用§1.3.1函数的单调性与导数§1.3.2函数的极值与导数§1.3.3函数的最大(小)值与导数§1.4生活中的优化问题举例§1.5定积分的概念§1.5.1曲边梯形的面积§1.5.2汽车行驶的路程§1.5.3定积分的概念§1.6微积分基本定理§1.7定积分的简单应用§1.7.1定积分在几何中的应用§1.7.2定积分在物理中的应用章末整合提升章末达标测试第二章推理与证明§2.1合情推理与演绎推理§2.1.1合情推理§2.1.2演绎推理§2.2直接证明与间接证明§2.2.1综合法和分析法§2.2.2反证法§2.3数学归纳法章末整合提升章末达标测试第三章数系的扩充与复数的引入§3.1数系的扩充和复数的概念§3.1.1数系的扩充和复数的概念§3.1.2复数的几何意义§3.2复数代数形式的四则运算§3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义§3.2.2复数代数形式的乘除运算章末整合提升章末达标测试模块综合检测§1.1 变化率与导数§1.1.1 变化率问题 §1.1.2 导数的概念[课标要求]1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．(难点) 2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)一、函数平均变化率如果函数关系用y ＝f (x )表示，那么变化率可用式子f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率．习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．于是平均变化率可以表示为Δy Δx．二、导数的有关概念 1．瞬时变化率函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝ΔyΔx． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作，即f ′(x 0)＝ΔyΔx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx．知识点一平均变化率【问题1】气球的膨胀率阅读教材，思考下面的问题．吹一只气球，观察一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？答案气球的半径r (单位：dm)与体积V (单位：L)之间的函数关系是r (V )＝33V4π， (1)当空气容量V 从0增加到1 L 时，气球半径增加了r (1)－r (0)≈0.62(dm)，气球的平均膨胀率为r （1）－r （0）1－0≈0.62(dm/L)．(2)当空气容量V 从1 L 增加到2 L 时，气球半径增加了r (2)－r (1)≈0.16(dm)，气球的平均膨胀率为r （2）－r （1）2－1≈0.16(dm/L)．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了．【问题2】高台跳水人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.计算运动员在时间段①0≤t ≤0.5，②1≤t ≤2内的平均速度v ，并思考平均速度有什么作用？答案 (1)在0≤t ≤0.5这段时间里，v ＝h （0.5）－h （0）0.5－0＝4.05(m/s)；(2)在1≤t ≤2这段时间里，v ＝h （2）－h （1）2－1＝－8.2(m/s)．由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢．【问题3】结合问题1和问题2说出你对平均变化率的理解．答案 (1)如果上述两个问题中的函数关系用y ＝f (x )表示，那么问题1中的变化率可用式子f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．问题1中的平均变化率表示在空气容量从V 1增加到V 2时，气球半径的平均增长率．问题2中的平均变化率表示在时间从t 1增加到t 2时，高度h 的平均增长率．(2)平均变化率的几何意义就是函数y ＝f (x )图象上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))所在直线的斜率． (3)平均变化率的取值①平均变化率可以表现函数的变化趋势，平均变化率为0，并不一定说明函数f (x )没有发生变化．②自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化规律． (4)平均变化率的物理意义平均变化率的物理意义是把位移s 看成时间t 的函数s ＝s (t )，在时间段[t 1，t 2]上的平均速度，即v ＝s （t 2）－s （t 1）t 2－t 1.知识点二函数在某点处的导数【问题1】 (1)物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？ (2)什么叫做瞬时速度？ (3)它与平均速度有什么关系？答案 (1)物体的平均速度不能精确地反映物体的运动状态，如高台跳水运动员相对于水面的高度h 与起跳时间t 的函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，易知h (6549)＝h (0)，v ＝h （6549）－h （0）6546－0＝0，而运动员依然是运动状态．(2)设物体运动的路程与时间的关系是s ＝f (t )，当Δt 趋近于0时，函数f (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率f （t 0＋Δt ）－f （t 0）Δt趋近于常数，我们把这个常数称为t 0时刻的瞬时速度．(3)平均速度只能粗略地描述物体的运动状态，并不能反映物体在某一时刻的瞬时速度．当时间间隔|Δt |趋近于0时，平均速度v 就无限趋近于t 0时的瞬时速度．【问题2】平均变化率与瞬时变化率有什么关系？答案 (1)区别：平均变化率不是瞬时变化率．平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢．(2)联系：当Δx 趋近于0时，平均变化率ΔyΔx 趋近于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值．【问题3】导数与瞬时变化率有什么关系？答案导数与瞬时变化率的关系导数是函数在x 0及其附近函数的改变量Δy 与自变量的改变量Δx 之比在Δx 趋近于0时所趋近的数，它是一个局部性的概念，若ΔyΔx存在，则函数y ＝f (x )在x 0处有导数，否则不存在导数．可以说导数就是函数在某点处的导数，例如，位移s 关于时间t 的导数就是运动物体在某时刻的瞬时速度．题型一求函数的平均变化率求函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率．【解析】函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 的平均变化率为 f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝（x 0＋Δx ）2－x 20Δx＝x 20＋2x 0Δx ＋（Δx ）2－x 2Δx＝2x 0·Δx ＋（Δx ）2Δx ＝2x 0＋Δx .●规律方法求函数y ＝f (x )平均变化率的步骤(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.[特别提醒](1)求函数平均变化率时注意Δx ，Δy ，两者都可正、可负，但Δx 的值不能为零，Δy 的值可以为零． (2)求点x 0附近的平均变化率，可用f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx的形式．1．若本例中，Δx ＝13，x 0＝1，2，3，比较函数f (x )＝x 2在哪一点附近的平均变化率最大？解析 x 0＝1到x ＝1＋13＝43的平均变化率k 1＝f ⎝⎛⎭⎫43－f （1）13＝⎝⎛⎭⎫432－1213＝73， x 0＝2到x ＝73的平均变化率k 2＝f ⎝⎛⎭⎫73－f （2）13＝⎝⎛⎭⎫732－2213＝133，x 0＝3到x ＝103的平均变化率k 3＝f ⎝⎛⎭⎫103－f （3）13＝⎝⎛⎭⎫1032－3213＝193，由于k 1＜k 2＜k 3，∴函数f (x )＝x 2在x 0＝3附近的平均变化率最大．题型二物体运动的瞬时速度物体自由落体的运动方程是s ＝12gt 2(g ＝9.8 m/s 2)，求物体在t ＝3 s 这一时刻的速度．【解析】平均速度Δs Δt ＝12g （3＋Δt ）2－12g ×32Δt＝12g (6＋Δt )．当Δt 趋于0时，Δs Δt ＝12g (6＋Δt )趋于3g ，所以v ＝3g ＝29.4(m/s)，即物体在t ＝3 s 时的速度为29.4 m/s.●规律方法求运动物体瞬时速度的步骤(1)求时间改变量Δt 和位置改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． (2)求平均速度v ＝ΔsΔt.(3)求瞬时速度：当Δt 无限趋近于0，ΔsΔt 无限趋近于的常数v 即为瞬时速度．提示求ΔyΔx (当Δx 无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把Δx 作为一个变量来参与运算．(2)求出ΔyΔx的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可．2．一辆汽车按规律s ＝2t 2＋3做直线运动，求这辆车在t ＝2时的瞬时速度(时间单位：s ，位移单位：m)．解析设这辆车在t ＝2附近的时间变化量为Δt ，则位移的增量Δs ＝[2(2＋Δt )2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt ＋2(Δt)2，ΔsΔt＝8＋2Δt，ΔsΔt＝(8＋2Δt)＝8.所以，这辆车在t＝2时的瞬时速度为8 m/s.题型三求函数在某点处的导数(6分)求函数y＝x－1x在x＝1处的导数．【规范解答】因为Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－(1－11)＝Δx＋Δx1＋Δx，(2分)所以ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx.(4分)当Δx→0时，f′(1)＝ΔyΔx＝(1＋11＋Δx)＝2，即函数y＝x－1x在x＝1处的导数为2.(6分)●规律方法求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx；(3)取极限，得导数f′(x0)＝ΔyΔx.3．利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．解析由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝f（2＋Δx）－f（2）Δx，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，于是f′(2)＝－（Δx）2－ΔxΔx＝(－Δx－1)＝－1.易错误区(一) 对导数的概念理解不清致误若函数f (x )在x ＝a 的导数为m ，那么 f （a ＋2Δx ）－f （a －2Δx ）Δx 的值为________．【解析】f （a ＋2Δx ）－f （a －2Δx ）Δx＝f （a ＋2Δx ）－f （a ）＋f （a ）－f （a －2Δx ）Δx＝f （a ＋2Δx ）－f （a ）Δx ＋f （a ）－f （a －2Δx ）Δx ①＝2f （a ＋2Δx ）－f （a ）2Δx＋2f （a －2Δx ）－f （a ）－2Δx＝2m ＋2m ＝4m . 【答案】 4m [易错防范]1．误认为①处两极限值均为m ，即运算结果为2m .2．对平均变化率中自变量的增加量“Δx ”理解不当．在平均变化率f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx 中，分子中的“Δx ”与分母中的“Δx ”应取相同值，且可正可负．3．熟记瞬时变化率(即导数)的几种变形形式f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝f （x 0－Δx ）－f （x 0）－Δx＝f （x 0＋n Δx ）－f （x 0）n Δx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0－Δx ）2Δx＝f ′(x 0)．若f ′(1)＝2 016，则f （1＋Δx ）－f （1）－2Δx＝________．解析f （1＋Δx ）－f （1）－2Δx＝－12f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝－12f ′(1)＝－12×2 016＝－1 008.答案－1 008[限时50分钟，满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．质点运动规律s ＝2t 2＋5，则在时间(2，2＋Δt )中，相应的平均速度等于 A ．8＋2Δt B ．8＋2Δt ＋4ΔtC ．4＋ΔtD ．8＋Δt解析 Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝2(2＋Δt )2＋5－(2×22＋5)＝2(Δt )2＋8Δt . ∴Δs Δt ＝2（Δt ）2＋8Δt Δt ＝8＋2Δt . 答案 A2．函数y ＝x 2－2x 在x ＝2附近的平均变化率是 A ．2B ．ΔxC ．Δx ＋2D ．1解析 Δy ＝f (2＋Δx )－f (2) ＝(2＋Δx )2－2(2＋Δx )－(4－4) ＝(Δx )2＋2Δx ，∴Δy Δx ＝（Δx ）2＋2Δx Δx＝Δx ＋2.答案 C3．设函数y ＝f (x )可导，则f （1＋3Δx ）－f （1）Δx 等于 A ．f ′(1)B ．3f ′(1) C.13f ′(1) D ．以上都不对解析 f （1＋3Δx ）－f （1）Δx＝3f （1＋3Δx ）－f （1）3Δx ＝3f ′(1)．答案 B4．一个物体的运动方程为s ＝(2t ＋1)2，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么该物体在1秒末的瞬时速度是A ．10米/秒B ．8米/秒C ．12米/秒D ．6米/秒解析 ∵s ＝4t 2＋4t ＋1，Δs ＝[4(1＋Δt )2＋4(1＋Δt )＋1]－(4×12＋4×1＋1)＝4(Δt )2＋12Δt ，Δs Δt ＝4（Δt ）2＋12Δt Δt＝4Δt ＋12， ∴v ＝Δs Δt ＝(4Δt ＋12)＝12(米/秒)．答案 C5．如果函数y ＝f (x )＝x 在点x ＝x 0处的瞬时变化率是33，那么x 0的值是 A.34B.12 C ．1D ．3解析函数f (x )＝x 在x ＝x 0处的瞬时变化率，f ′(x 0)＝x 0＋Δx －x 0Δx ＝Δx Δx （x 0＋Δx ＋x 0）＝12x 0＝33，答案 A 6．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋16t(t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它的瞬时速度为0米/秒的时刻为A ．8秒末B ．6秒末C ．4秒末D ．2秒末解析设当t ＝t 0时该物体瞬时速度为0米/秒，∵Δs Δt ＝（t 0＋Δt ）2＋16t 0＋Δt －⎝⎛⎭⎫t 20＋16t 0Δt ＝2t 0＋Δt －16（t 0＋Δt ）t 0， ∴Δs Δt＝2t 0－16t 20，由2t 0－16t 20＝0得t 0＝2. 答案 D二、填空题(每小题5分，共15分)7．函数y ＝－3x 2＋6在区间[1，1＋Δx ]内的平均变化率是________．解析 Δy Δx ＝[－3（1＋Δx ）2＋6]－（－3×12＋6）Δx＝－6Δx －3（Δx ）2Δx＝－6－3Δx . 答案－6－3Δx8．一质点的运动方程为s ＝1t，则t ＝3时的瞬时速度为________．解析由导数定义及导数的物理意义知s ′＝1t ＋Δt －1t Δt＝－Δt （t ＋Δt ）·t ·Δt ＝－1t 2＋t ·Δt ＝－1t 2， ∴s ′ |t ＝3＝－19，即t ＝3时的瞬时速度为－19.9．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝⎛⎭⎫2，－12、B ⎝⎛⎭⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．解析 Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx －1－⎝⎛⎭⎫12－1 ＝12＋Δx －12＝2－（2＋Δx ）2（2＋Δx ）＝－Δx 2（2＋Δx ）. ∴Δy Δx ＝－Δx2（2＋Δx ）Δx ＝－12（2＋Δx ），即k ＝Δy Δx ＝－12（2＋Δx ）. ∴当Δx ＝1时，k ＝－12×（2＋1）＝－16. 答案－16三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度；(3)求t ＝0到t ＝2的平均速度．解析 (1)v 0＝s （Δt ）－s （0）Δt＝3Δt －（Δt ）2Δt＝(3－Δt )＝3. (2)v 2＝s （2＋Δt ）－s （2）Δt ＝(－Δt －1)＝－1.(3)v －＝s （2）－s （0）2＝6－4－02＝1. 11．(12分)已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求适合f ′(x 0)＋2＝g ′(x 0)的x 0值．解析由导数的定义知，f ′(x 0)＝Δf Δx ＝（x 0＋Δx ）2－x 20Δx ＝2x 0，g ′(x 0)＝Δg Δx ＝（x 0＋Δx ）3－x 30Δx＝3x 20. 因为f ′(x 0)＋2＝g ′(x 0)，所以2x 0＋2＝3x 20，即3x 20－2x 0－2＝0，解得x 0＝1－73或x 0＝1＋73.12．(13分)节日期间燃放烟花是中国的传统习惯之一，制造时通常希望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h (m)与时间t (s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，求烟花在t ＝2 s 时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况．解析因为Δh Δt ＝h （t ＋Δt ）－h （t ）Δt＝－9.8t －4.9Δt ＋14.7，所以h ′(t )＝Δh Δt ＝(－9.8t －4.9Δt ＋14.7)＝－9.8t ＋14.7，所以h ′(2)＝－4.9，即在t ＝2 s 时烟花正以4.9 m/s 的速度下降．由h ′(t )＝0得t ＝1.5，所以在t ＝1.5 s 附近，烟花运动的瞬时速度几乎为0，此时达到最高点并爆裂，在1.5 s 之前，导数大于0且递减，所以烟花以越来越小的速度上升，在1.5 s 之后，导数小于0且绝对值越来越大，所以烟花以越来越大的速度下降，直至落地．§1.1.3 导数的几何意义[课标要求]1．了解导函数的概念；理解导数的几何意义．(难点)2．会求导函数．(重点)3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点、易错点)一、导数的几何意义1．切线：如图，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1，2，3，4…)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线．显然割线PP n 的斜率是k n ＝f （x n ）－f （x 0）x n －x 0，当点P n 无限趋近于点P 时，k n 无限趋近于切线PT 的斜率．2．几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝f ′(x 0)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．二、函数y ＝f (x )的导函数从求函数f (x )在x ＝x 0处导数的过程可以看到，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数．这样，当x 变化时， f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx．知识点一导数的几何意义【问题1】曲线的切线是不是一定和曲线只有一个公共点？答案不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个公共点，和曲线只有一个公共点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．【问题2】曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与曲线过某点(x 0，y 0)的切线有何不同？答案曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线，点(x 0，f (x 0))一定是切点，只要求出k ＝f ′(x 0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线f (x )过某点(x 0，y 0)的切线，给出的点(x 0，y 0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．知识点二导数与函数的单调性【问题1】观察下面两个图形，在曲线的切点附近(Δx →0时)曲线与那一小段线段有何关系？答案能在曲线的切点附近，曲线与切线贴合在一起，可用切线近似代替曲线．【问题2】按照切线近似代替曲线的思想，切线的单调性能否表示曲线的变化趋势？如上左图，若在某一区间上曲线上各点的切线斜率均为负，则可判定在该区间上曲线的单调性如何？答案在连续区间上切线斜率的正负，对应了曲线的单调性．【问题3】如问题1中右图，当t 在(t 0，t 2)上变化时，其对应各点的导数值变化吗？会怎样变化？答案会．当t 变化时h ′(t )便是t 的一个函数，我们称它为h (t )的导函数．知识点三函数y ＝f (x )的导函数【问题】函数在某点处的导数与导函数有什么关系？答案区别：(1)f ′(x )是函数f (x )的导函数，简称导数，是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x 0，Δx 无关；(2)f ′(x 0)表示的是函数f (x )在x ＝x 0处的导数，是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及x 0的位置有关，而与Δx 无关．联系：在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这点的函数值.题型一求曲线的切线方程已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝⎛⎭⎫2，83，如图，求：(1)点P 处的切线的斜率；(2)点P 处的切线方程．【解析】 (1)∵y ＝13x 3， ∴y ′＝Δy Δx ＝13（x ＋Δx ）3－13x 3Δx ＝133x 2Δx ＋3x （Δx ）2＋（Δx ）3Δx ＝13[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]＝x 2， y ′|x ＝2＝22＝4.∴点P 处的切线的斜率等于4.(2)在点P 处的切线方程是y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.●规律方法求曲线上某点处的切线方程的步骤(1)求出该点的坐标．(2)求出函数在该点处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率．(3)利用点斜式写出切线方程．1．例1中的P 点换为坐标原点(0，0)，其他不变，如何解答？解析由例1知y ＝13x 3的导函数为y ′＝x 2. (1)点P 处的切线斜率k ＝0.(2)在点P 处的切线方程是y －0＝0×(x －0)即y ＝0.(注意：原点处的切线即x 轴，结合图象理解切线的定义)题型二求切点坐标过曲线y ＝x 2上哪一点的切线满足下列条件？(1)平行于直线y ＝4x －5；(2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0；(3)倾斜角为135°.【解析】 f ′(x )＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx＝（x ＋Δx ）2－x 2Δx＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)∵切线与直线y ＝4x －5平行，∴2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2，4)是满足条件的点．(2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，∴2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即P ⎝⎛⎭⎫－32，94是满足条件的点． (3)∵切线的倾斜角为135°，∴其斜率为－1，即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝⎛⎭⎫－12，14是满足条件的点． ●规律方法求切点坐标的一般步骤(1)先设切点坐标(x 0，y 0)．(2)求导函数f ′(x )．(3)求切线的斜率f ′(x 0)．(4)由已知条件求出切线的斜率k .由此得到方程f ′(x 0)＝k ，解此方程求出x 0.(5)由于点(x 0，y 0)在曲线y ＝f (x )上，故将x 0代入曲线方程可得y 0，即可写出切点坐标．2．(1)曲线y ＝x 2－3x 在点P 处的切线平行于x 轴，则点P 的坐标为________．(2)已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________．解析 (1)根据题意可设切点为P (x 0，y 0)，因为Δy ＝(x ＋Δx )2－3(x ＋Δx )－(x 2－3x )＝2x Δx ＋(Δx )2－3Δx ， Δy Δx ＝2x ＋Δx －3，所以f ′(x )＝Δy Δx ＝(2x ＋Δx －3)＝2x －3.由f ′(x 0)＝0，即2x 0－3＝0，得x 0＝32，代入曲线方程得y 0＝－94，所以P ⎝⎛⎭⎫32，－94. (2)由导数的几何意义得f ′(1)＝12，由切线方程得f (1)＝12×1＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝3.答案 (1)⎝⎛⎭⎫32，－94 (2)3 题型三导数几何意义的综合应用已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1，0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1，l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2和x 轴所围成的三角形的面积．【解析】 (1)f ′(1)＝Δy Δx ＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝[（1＋Δx ）2＋（1＋Δx ）－2]－（1＋1－2）Δx＝(Δx ＋3)＝3，所以直线l 1的方程为y ＝3x －3.设直线l 2与曲线y ＝x 2＋x －2相切于点B (b ，b 2＋b －2)，则可求得切线l 2的斜率为2b ＋1.因为l 1⊥l 2，则有2b ＋1＝－13，b ＝－23. 所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16，y ＝－52.所以直线l 1和l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎫16，－52. l 1、l 2与x 轴交点的坐标分别为(1，0)、⎝⎛⎭⎫－223，0. 所以所求三角形的面积S ＝12×253×⎪⎪⎪⎪－52＝12512. ●规律方法与导数几何意义相关题目的解题策略(1)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量．(2)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．3．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a ＜0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．解析 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3， ∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2.当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx 无限趋近于3x 20＋2ax 0－9，即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9. ∴f ′(x 0)＝3⎝⎛⎭⎫x 0＋a 32－9－a23. 当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23.∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12. ∴－9－a 23＝－12.解得a ＝±3.又a ＜0，∴a ＝－3.规范解答(一) 求曲线过点P (x 1，y 1)的切线方程(12分)已知函数y ＝f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，求过点P 与曲线y ＝f (x )相切的直线l的方程．[审题指导]【规范解答】 (1)y ′＝（x ＋Δx ）3－3（x ＋Δx ）－x 3＋3xΔx＝3x 2－3.(2分)设切点坐标为(x 0，x 30－3x 0)，则直线l 的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，所以直线l 的方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)．又因为直线l 过点P (1，－2)，所以－2－(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)，所以2x 30－3x 20＋1＝0，即(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12.(6分)故所求直线斜率为k ＝3x 20－3＝0或k ＝3x 20－3＝－94，于是y －(－2)＝0·(x －1)或y －(－2)＝－94(x －1)，即y ＝－2或y ＝－94x ＋14.(10分)故过点P (1，－2)的切线方程为 y ＝－2或y ＝－94x ＋14.(12分)[题后悟道]1．求过点P (x 1，y 1)的切线方程的步骤： (1)设切点(x 0，f (x 0))．(2)利用所设切点求斜率k ＝Δy Δx. (3)用(x 0，f (x 0))，P (x 1，y 1)表示斜率(或利用切点和斜率写出切线方程)．(4)根据斜率相等求得x 0，然后求得斜率k (或利用已写出的切线过点P (x ，y )，求出x 0，然后求得斜率k )． (5)根据点斜式写出切线方程． 2．注意事项：(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异．过点P 的切线，点P 不一定是切点，也不一定在曲线上；在点P 处的切线，点P 必为切点，且在曲线上．(2)若曲线y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)不存在，则切线与y 轴平行或不存在；若f ′(x 0)＝0，则切线与x 轴平行．已知曲线y ＝2x 2－7，求曲线过点P (3，9)的切线方程．解析 y ′＝Δy Δx＝[2（x ＋Δx ）2－7]－（2x 2－7）Δx＝(4x ＋2Δx )＝4x .由于2×32－7＝11≠9，故点P (3，9)不在曲线上．设切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0，故所求切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)．将P (3，9)及y 0＝2x 20－7代入上式，得 9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0)．解得x 0＝2或x 0＝4，所以切点为(2，1)或(4，25)．从而所求切线方程为8x －y －15＝0或16x －y －39＝0.[限时50分钟，满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是A ．f ′(x A )＞f ′(xB ) B ．f ′(x A )＜f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )＜f ′(x B )，选B. 答案 B2．曲线y ＝12x 2－2在点⎝⎛⎭⎫1，－32处的切线的倾斜角为 A ．1 B.π4 C.5π4D ．－π4解析 f ′(1)＝12（1＋Δx ）2－2＋32Δx＝12＋Δx ＋12（Δx ）2－2＋32Δx＝(1＋12Δx )＝1，即切线的斜率为1，故切线的倾斜角为π4.答案 B3．若曲线y ＝2x 2－4x ＋a 与直线y ＝1相切，则a 等于 A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析设切点坐标为(x 0，1)，则f ′(x 0)＝[2（x 0＋Δx ）2－4（x 0＋Δx ）＋a ]－（2x 20－4x 0＋a ）Δx＝(4x 0＋2Δx －4)＝4x 0－4＝0，∴x 0＝1，即切点坐标为(1，1)． ∴2－4＋a ＝1，即a ＝3. 答案 C4．设曲线y ＝x 2＋x －2在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 A ．(0，－2) B ．(1，0) C ．(0，0)D ．(1，1)解析设点M (x 0，y 0)， ∴k ＝（x 0＋Δx ）2＋（x 0＋Δx ）－2－（x 20＋x 0－2）Δx＝2x 0＋1，令2x 0＋1＝3，∴x 0＝1，则y 0＝0.故选B. 答案 B5．曲线y ＝x 2在点(1，1)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 A.14B.12 C ．1D ．2 解析 f ′(1)＝Δy Δx＝（1＋Δx ）2－1Δx＝(2＋Δx )＝2.则曲线在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.则三角形的面积为S ＝12×1×12＝14.答案 A6．已知点P 在曲线F ：y ＝x 3－x 上，且曲线F 在点P 处的切线与直线x ＋2y ＝0垂直，则点P 的坐标为 A ．(1，1)B ．(－1，0)C ．(－1，0)或(1，0)D ．(1，0)或(1，1)解析设点P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝ΔyΔx＝[（x 0＋Δx ）3－（x 0＋Δx ）]－（x 30－x 0）Δx＝3x 20－1＝2⇒x 0＝±1. 答案 C二、填空题(每小题5分，共15分)7．如果函数f (x )在x ＝x 0处的切线的倾斜角是钝角，那么函数f (x )在x ＝x 0附近的变化情况是________(填“逐渐上升”或“逐渐下降”)．解析由题意知f ′(x 0)<0，根据导数的几何意义知，f (x )在x ＝x 0附近的变化情况是“逐渐下降”．答案逐渐下降8．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1，3)处的切线斜率为2，则ab ＝________．解析a （1＋Δx ）2＋b －（a ＋b ）Δx＝(a Δx ＋2a )＝2a ＝2，∴a ＝1，又3＝a ×12＋b ，∴b ＝2，即a b ＝12. 答案 129．已知曲线y ＝x 24的一条切线的斜率为12，则切点的坐标为________．解析设切点的坐标为(x 0，y 0)，因为Δy Δx ＝（x 0＋Δx ）24－x 204Δx ＝12x 0＋14Δx ，当Δx →0时，Δy Δx →12x 0，而切线的斜率为12，所以12x 0＝12，所以x 0＝1，y 0＝14.故切点坐标为⎝⎛⎭⎫1，14. 答案 ⎝⎛⎭⎫1，14 三、解答题(本大题共3小题，共35分) 10．(10分)已知曲线C ：y ＝x 3.求：(1)曲线C 上横坐标为1的点处的切线的方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？解析 (1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1， ∴切点为P (1，1)． ∵y ′＝ΔyΔx＝（x ＋Δx ）3－x 3Δx＝3x 2Δx ＋3x （Δx ）2＋（Δx ）3Δx＝[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]＝3x 2，∴y ′|x ＝1＝3.∴点P 处的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3，可得(x －1)(x 2＋x －2)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为P (1，1)或P (－2，－8)．故第(1)小题中的切线与曲线C 还有其他的公共点．11．(12分)已知一物体的运动方程是s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2，0≤t <3，29＋3（t －3）2，t ≥3.求此物体在t ＝1和t ＝4时的瞬时速度．解析当t ＝1时，Δs Δt ＝3（1＋Δt ）2＋2－（3×12＋2）Δt ＝6＋3Δt ，所以s ′(1)＝ΔsΔt＝(6＋3Δt )＝6.故当t ＝1时的瞬时速度为6. 当t ＝4时，Δs Δt ＝29＋3（4＋Δt －3）2－[29＋3×（4－3）2]Δt ＝6＋3Δt ，所以s ′(4)＝ΔsΔt＝(6＋3Δt )＝6，故当t ＝4时的瞬时速度为6.12．(13分)已知曲线f (x )＝x 2的一条在点P (x 0，y 0)处的切线，求： (1)切线平行于直线y ＝－x ＋2时切点P 的坐标及切线方程； (2)切线垂直于直线12x －4y ＋5＝0时切点P 的坐标及切线方程；(3)切线的倾斜角为60°时切点P 的坐标及切线方程．解析 f ′(x 0)＝（x 0＋Δx ）2－x 20Δx＝2x 0.(1)因为切线与直线y ＝－x ＋2平行，所以2x 0＝－1，x 0＝－12，即P ⎝⎛⎭⎫－12，14，所以切线方程为y －14＝－⎝⎛⎭⎫x ＋12，即4x ＋4y ＋1＝0.(2)因为切线与直线12x －4y ＋5＝0垂直，所以2x 0·18＝－1，x 0＝－4，即P (－4，16)．所以切线方程为y －16＝－8(x ＋4)，即8x ＋y ＋16＝0.(3)因为切线的倾斜角为60°，所以切线的斜率为3，即2x 0＝3，x 0＝32，所以P ⎝⎛⎭⎫32，34，所以切线方程为y －34＝3⎝⎛⎭⎫x －32，即43x －4y －3＝0.§1.2 导数的计算§1.2.1 几个常用函数的导数§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[课标要求]1．能根据导数的定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x ，y ＝1x 的导数．(难点)2．掌握基本初等函数的导数公式并能进行简单的应用．(重点、难点)一、常用函数的导数原函数导函数f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝1xf ′(x )＝－1x 2f (x )＝xf ′(x )＝12x二、基本初等函数的导数公式原函数导函数①f (x )＝c f ′(x )＝0 ②f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 ③f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x ④f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x ⑤f (x )＝a x (a ＞0) f ′(x )＝a x ln_a ⑥f (x )＝e xf ′(x )＝e x ⑦f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1) f ′(x )＝1x ln a⑧f (x )＝ln xf ′(x )＝1x知识点一几个常用函数的导数【问题1】用定义求下列常用函数的导数： ①y ＝c ；②y ＝x ；③y ＝x 2；④y ＝1x ；⑤y ＝x .答案 ①y ′＝0；②y ′＝1；③y ′＝2x ；④y ′＝Δy Δx＝1x ＋Δx －1xΔx＝－1x （x ＋Δx ）＝－1x 2(其他类似)；⑤y ′＝12x.【问题2】导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率．物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度． (1)函数y ＝f (x )＝c (常数)的导数的物理意义是什么？ (2)函数y ＝f (x )＝x 的导数的物理意义呢？答案 (1)若y ＝c 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．(2)若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．【问题3】由正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象及导数可知；|k |越大函数增加(k >0)或减少(k <0)的速度越快．画出函数y ＝x 2的图象，结合图象及导数说明函数y ＝x 2的变化情况．答案图象如图从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，y ′＝2x 表明：当x <0时，随着x 的增加，y ＝x 2减少得越来越慢；当x >0时，随着x 的增加，y ＝x 2增加得越来越快．若y ＝x 2表示路程关于时间的函数，则y ′＝2x 可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x .知识点二基本初等函数的导数公式【问题】你能说出基本初等函数的导数公式的特点吗？答案 (1)常数函数的导数为零．(2)有理数幂函数f (x )＝x α的导数依然为幂函数，且系数为原函数的次数，幂指数是原函数的幂指数减去1. (3)正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数． (4)指数函数的导数依然为指数函数，且系数为原函数底数的自然对数． (5)公式⑥是公式⑤的特例，公式⑧是公式⑦的特例．题型一利用公式求导数求下列函数的导数：(1)y ＝x 7；(2)y ＝1x 2；(3)y ＝3x ；(4)y ＝2sin x 2cos x2；(5)y ＝log 12x 2－log 12x .【解析】 (1)y ′＝7x 7－1＝7x 6. (2)∵y ＝x －2，∴y ′＝－2x －2－1＝－2x －3. (3)∵y ＝x 13，∴y ′＝13x －23.(4)∵y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x .(5)∵y ＝log 12x 2－log 12x ＝log 12x ，∴y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12.●规律方法用公式求函数导数的方法(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．(2)对于不能直接利用公式的类型，关键是将其合理转化为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y ＝1x 2可以写成y ＝x －2，y ＝ 3x ＝x 13等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．1．求下列函数的导数：(1)y ＝lg 4；(2)y ＝2x；(3)y ＝x 2x ；(4)y ＝2cos 2x 2－1. 解析 (1)y ′＝(lg 4)′＝0；(2)y ′＝(2x )′＝2x ln 2；(3)∵y ＝x 2x＝x 2－12＝x 32，∴y ′＝(x 32)′＝32x 12； (4)∵y ＝2cos 2x 2－1＝cos x ， ∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .题型二导数公式在解决切线问题中的应用(6分)已知点P (－1，1)，点Q (2，4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．【规范解答】 y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则y ′0|x x =＝2x 0.(2分)∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ， ∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝⎛⎭⎫12，14.(4分) ∴所求的切线方程为y －14＝x －12，(5分) 即4x －4y －1＝0.(6分)●规律方法利用导数解决求曲线的切线方程问题的策略求曲线的切线方程主要有两种类型．(1)已知切点型，其步骤为：求导函数―→求切点处导数，即切线斜率―→写出切线方程 (2)未知切点型，其步骤为：设切点―→求导函数―→求切线斜率k ＝f ′（x 0）写出切线的点斜式方程―→列出关于x 0的方程（组）―→求切点―→写出切线方程2．求曲线y ＝x 过点(3，2)的切线方程．解析 ∵点(3，2)不在曲线y ＝x 上，∴设过(3，2)与曲线y ＝x 相切的直线在曲线的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0. ∵y ＝x ，∴y ′＝(x 12)′＝12x 12－1＝12x. ∴根据导数的几何意义，曲线在点(x 0，y 0)处的切线斜率k ＝12x 0. ∵切线过点(3，2)，∴2－y 03－x 0＝12x 0，2－x 03－x 0＝12x 0，整理得(x 0)2－4x 0＋3＝0，解得x 0＝1，x 0＝9，∴切点坐标为(1，1)或(9，3)．(1)当切点坐标为(1，1)时，切线斜率k ＝12， ∴切线方程为y －2＝12(x －3)，即x －2y ＋1＝0. (2)当切点坐标为(9，3)时，切线斜率k ＝16，∴切线方程为y －2＝16(x －3)，即x －6y ＋9＝0. 综上可知：曲线y ＝x 过点(3，2)的切线方程为：x －2y ＋1＝0或x －6y ＋9＝0.易错误区(二) 正确使用求导公式已知直线y ＝kx 是曲线f (x )＝e x 的切线，则k 的值等于________．【解析】设切点的坐标为(x 0，y 0)，由f (x )＝e x ，可得y ′＝f ′(x )＝e x ，又k ＝y 0x 0，f ′(x 0)＝0e x ，所以0e x ＝y 0x 0且y 0＝0e x ①. 解得x 0＝1，y 0＝e.k ＝y 0x 0＝e. 【答案】 e[易错防范]1．①处一要注意导数0e x ，即切线斜率y 0x 0，二要注意切点在曲线上，即y 0＝0e x . 2．导数几何意义的应用本例实质是求过点(0，0)且与曲线y ＝e x 相切的直线方程的斜率．要把切线的斜率与导数联系起来，要注意切点的坐标既满足切线方程又满足曲线方程．3．牢记导数公式导数公式是函数导数计算的关键，解题时要注意使用．例如，在本例中，要正确应用公式(e x )′＝e x .已知曲线y ＝1x3在点P (－1，－1)处的切线与直线m 平行且距离等于10，求直线m 的方程．解析因为y ′＝－3x 4，所以曲线在点P (－1，－1)处的切线斜率为k ＝－3，则切线方程为y ＋1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋4＝0.由题意设直线m 的方程为3x ＋y ＋b ＝0(b ≠4)，所以|b －4|32＋12＝10，所以|b －4|＝10，所以b ＝14或b ＝－6，所以直线m 的方程为3x ＋y ＋14＝0或3x ＋y －6＝0.[限时50分钟，满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．下列结论不正确的是A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝1x ，则y ′＝－x 2C ．若y ＝x ，则y ′＝12x D ．若y ＝x ，则y ′＝1解析对于A ，常数的导数为零，故A 正确；对于B ，y ′＝(x -12)′＝－12x -32＝－12x 3，故B 错误；对于C ，y ′＝(x 12)′＝12x -12＝12x，故C 正确；对于D ，y ′＝x ′＝1，故D 正确．答案 B2．已知曲线f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则切线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定解析 ∵f ′(x )＝3x 2＝3，解得x ＝±1，切点有两个，即可得切线有两条．。

高中数学选修22：第一章导数及其应用单元测试题.doc

数学选修 2-2 第一章单元测试题一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数f′(x) 在( a，b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)在开区间( a，b)内有极小值点()A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个1 12．在区间[ 2，2] 上，函数 f ( x)＝x2＋px＋q 与g( x)＝2x＋x2在1同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[2，2]上的最大值是()C．8D．423．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α 的取值范围是( )ππ3A．[0 ，2 ] B．[0 ，2 ] ∪[ 4π，π)3 π 3C．[ 4π，π ) D．[ 2，4π]14．已知函数f ( x) ＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f ( x) ＋9≥0恒成立，则实数 m的取值范围是()3 3A．m≥2 B．m＞23 3C．m≤2 D．m＜2x2 25．函数f ( x) ＝cos x－2cos 2的一个单调增区间是 ()f x 0＋3 －f x 06．设f ( x) 在x＝x0 处可导，且lim Δx＝1，Δx→0则 f ′(x0)等于( )A．1 B．0C．3x＋97．经过原点且与曲线y＝x＋5相切的切线方程为()A．x＋y＝0B．x＋25y＝0C．x＋y＝ 0 或x＋25y＝0D．以上皆非8．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0 时，f ( x) 是()A．增函数B．减函数C．常数D．既不是增函数也不是减函数13 29．若a>2，则方程3x －ax ＋1＝0 在(0,2) 上恰好有 ()A．0 个根B．1 个根C．2 个根D．3 个根1 10．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后距离为s＝4t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A．1 s 末B．0 sC．4 s 末D．0,1,4 s 末x2，x∈[0，1]，2f(x) d x 等于 () 11．设f ( x) ＝则2－x，x∈ 1，2] ，0D．不存在sin x sin x1 sin x2 12．若函数 f(x) ＝x，且 0<x1<x2 <1，设 a＝x1 ，b＝x2 ，则 a，b 的大小关系是 ( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．a、b的大小不能确定二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 )1 3 213．若 f(x) ＝3x －f ′(1)x ＋x＋5，则 f ′(1) ＝ ________.π π14．已知函数 f(x) 满足 f(x) ＝f( π－x) ，且当 x∈ －2，2 时，f(x) ＝x＋sin x，设a＝f(1) ，b＝f(2) ，c＝f(3) ，则a、b、c 的大小关系是 ________．15．已知函数f(x) 为一次函数，其图像经过点(2,4) ，且1f(x) d x＝3，则函数f(x) 的解析式为________．16．(2010 ·江苏卷) 函数2y＝x(x＞0)的图像在点 2(a k，a k) 处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k∈N*. 若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(10 分) 如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．18．(12 分) 已知函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 上单调递增，在区间 [1,2) 上单调递减．(1)求 a 的值；(2)若点 A(x0，f(x0)) 在函数 f(x) 的图像上，求证：点 A关于直线x＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19．(12 分) 设 x＝－ 2 与 x＝4 是函数 f(x) ＝x3＋ax2＋bx 的两个极值点．(1)求常数 a，b；(2)试判断 x＝－ 2，x＝ 4 是函数 f(x) 的极大值还是极小值，并说明理由．20．(12 分) 已知 f(x) ＝ax3－6ax2＋b，x∈[ －1,2] 的最大值为 3，最小值为－ 29，求 a，b 的值．21．(12 分)(2010 ·重庆卷 ) 已知函数 f(x) ＝ax3＋x2＋ bx( 其中常数a，b∈R) ，g( x) ＝f ( x) ＋f′(x) 是奇函数．(1)求 f ( x)的表达式；(2)讨论 g( x)的单调性，并求 g( x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．1－x22．(12 分) 已知函数f ( x) ＝ln( ax＋1) ＋1＋x，x≥0，其中a>0.(1)若 f ( x)在 x＝1处取得极值，求 a 的值；(2)求 f ( x)的单调区间；(3)若 f ( x)的最小值为1，求 a 的取值范围．参考答案1.答案 A解析设极值点依次为 x1，x2，x3且 a＜x1＜x2＜x3＜b，则 f ( x) 在( a，x1) ，( x2，x3) 上递增，在 ( x1，x2) ，( x3，b) 上递减，因此，x1、x3是极大值点，只有x2是极小值点．2.答案 D3.答案 B4.答案 A1解析因为函数 f ( x)＝2x4－2x3＋3m，所以 f ′(x)＝2x3－6x2.令 f ′(x)＝0，得 x＝0或 x＝3，经检验知 x＝3是函数的一个最27小值点，所以函数的最小值为 f (3)＝3m－2.不等式 f ( x)＋9≥0恒成27 3立，即 f ( x)≥－9恒成立，所以3m－2≥－9，解得 m≥2.5.答案 A解析 f ( x)＝cos2x－cos x－1，∴f′(x)＝－2sin x·cos x＋sin x＝sin x·(1－2cos x)．令 f ′(x)>0，结合选项，选A.6. 答案 D7. 答案 D8. 答案 A9. 答案 B解析 1 3 2设 f ( x ) ＝3x －ax ＋1，则2f ′(x )＝x －2ax ＝x ( x －2a ) ，当 x ∈(0,2) 时， f ′(x )<0，f ( x ) 在(0,2) 上为减函数，又 f (0) f (2) ＝8 111 3－4a ＋1 ＝ 3 －4a <0，f ( x ) ＝0 在(0,2) 上恰好有一个根，故选 B.10. 答案 D11. 答案 C解析数形结合，如图．2f(x) d x ＝ 1x 2d x ＋ 2(2 －x) d x0 11 3 11 22＝ 3x＋ 2x －2x11 1＝ 3＋(4 －2－2＋2)5＝ 6，故选 C .12. 答案Af ′(x) ＝x cos x －sin x解析 x 2，令 g(x) ＝x cos x －sin x ，则g ′(x) ＝－ x sin x ＋cos x －cos x ＝－ x sin x.∵0<x<1，∴ g ′(x)<0 ，即函数 g(x) 在 (0,1) 上是减函数，得 g(x)<g(0) ＝0，故 f ′(x)<0 ，函数 f(x) 在(0,1) 上是减函数，得 a>b ，故选A .213. 答案 32 2解析 f ′(x) ＝ x －2f ′(1)x ＋ 1，令 x＝1，得 f ′(1) ＝3.14. 答案 c<a<b解析f(2) ＝ f( π－2) ， f(3) ＝ f( π－ 3) ，因为 f ′(x) ＝ 1＋π ππcos x≥0，故f(x)在－2，2上是增函数，∵2 >π－2>1>π－3>0，∴f( π－2)>f(1)>f( π－3) ，即 c<a<b.2815.答案 f(x) ＝3x＋3解析设函数 f(x) ＝ax＋b(a ≠0) ，因为函数 f(x) 的图像过点(2,4) ，所以有 b＝4－2a.∴1 f(x) d x＝ 1 (ax ＋4－2a) d x0 01 2 1 1＝[ ax ＋(4 －2a)x] | 0＝a＋4－2a＝1.2 22 8 2 8∴a＝3. ∴b＝3. ∴f(x) ＝3x＋3.16. 答案21解析2 2∵y′＝2x，∴过点( a k，a k)处的切线方程为y－a k＝2a k( x1－a k)，又该切线与 x 轴的交点为( a k＋1,0)，所以 a k＋1＝2a k，即数列{ a k}1是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝2，∴ a3＝4，a5＝1，∴ a1＋a3 ＋a5＝21.17. 解析抛物线 y ＝x －x 2 与 x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与 x 轴所围图形面积 S ＝ 12) d x ＝x 2 x 3 11 (x －x 2 －3 0＝2－1 13＝6.y ＝x －x 2，又由此可得抛物线 y ＝x －x 2 与 y ＝kx 两交点的横y ＝kx ，S－ 2 x 3 －坐标 x 3＝， 4＝－，所以＝ 1-k (x － x 2 kx) d x ＝1 k x － 1k －0 x 1 k 2 02313＝6(1 －k) .3又 S ＝，所以 (1 －k) 3＝1，∴ k ＝1－ 4.622118. 解析 (1) 由函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 单调递增，在区间 [1,2) 单调递减，∴x ＝1 时，取得极大值，∴ f ′(1) ＝ 0.又 f ′(x) ＝ 4x3－12x2＋2ax ，∴4－12＋2a ＝ 0? a ＝ 4.(2) 点 A(x0，f(x0)) 关于直线 x ＝1 的对称点 B 的坐标为 (2 －x0， f(x0)) ，f(2 －x0) ＝(2 －x0)4 －4(2 －x0)3 ＋4(2 －x0)2 －1＝ (2 －x0)2[(2 －x0) －2]2 －1＝ x 40－4x30＋ ax20－ 1＝f(x0) ，∴A 关于直线 x ＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19.解析 f ′(x) ＝3x2＋2ax＋b.(1) 由极值点的必要条件可知：12－4a＋b＝0，f ′( － 2) ＝f ′(4) ＝ 0，即48＋8a＋b＝0，解得 a＝－ 3，b＝－ 24.或f ′(x) ＝ 3x2＋2ax＋b＝3(x ＋2)(x －4)＝3x2－6x－24，也可得 a＝－ 3，b＝－ 24.(2) 由 f ′(x) ＝ 3(x ＋2)(x －4) ．当 x＜－ 2 时， f ′(x) ＞ 0，当－ 2＜x＜4 时， f ′(x) ＜ 0. ∴x＝－ 2 是极大值点，而当x＞4 时， f ′(x) ＞ 0，∴x＝4 是极小值点．20.解析 a≠0( 否则 f(x) ＝b 与题设矛盾 ) ，由f ′(x) ＝ 3ax2－12ax＝0 及 x∈[ － 1,2] ，得 x＝0. (1) 当 a＞0 时，列表：x ( －1,0) 0 (0,2)f ′(x) ＋0 －f(x) 增极大值 b 减由上表知， f(x) 在[ － 1,0] 上是增函数，f(x) 在[0,2] 上是减函数．则当 x＝0 时， f(x) 有最大值，从而b＝3.又f( －1) ＝－ 7a＋3，f(2) ＝－ 16a＋3，∵a＞0，∴ f( －1) ＞f(2) ．从而 f(2) ＝－ 16a＋3＝－ 29，得a＝2.(2)当 a＜0 时，用类似的方法可判断当 x＝0 时 f(x) 有最小值．当x＝2 时， f(x) 有最大值．从而 f(0) ＝b＝－ 29, f(2)＝－16a－29＝3，得a＝－ 2.综上， a＝ 2，b＝3 或 a＝－ 2，b＝－ 29.21.解析 (1) 由题意得f′(x) ＝ 3ax2＋2x＋b. 因此g( x) ＝f ( x) ＋f′(x)＝ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b.因为函数 g( x)是奇函数，所以g(－x)＝－ g( x)，即对任意实数x，有 a(－ x)3＋(3 a＋1)(－x)2＋( b ＋2)( －x) ＋b＝－ [ ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b] ，从而 3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－1，b＝0，因此f ( x) 的解析式为f ( x) ＝－x3＋x2. 331(2)由(1) 知g( x) ＝－1x3＋2x，所以g′(x) ＝－x2＋2. 3令g′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2，则当x<－2或x> 2时，g′(x)<0，从而 g( x)在区间(－∞，－2]，[ 2，＋∞)上是减函数；当－ 2<x< 2时，g′(x)>0 ，从而g( x) 在[ － 2， 2] 上是增函数．由前面讨论知， g( x)在区间[1,2] 上的最大值与最小值只能在x＝1，2，2 时取得，而g(1)5＝3，g( 2) ＝4 23，g(2)4＝3. 因此g( x)在区间 [1,2] 上的最大值为g( 2) ＝4 2，最小值为3g(2)4＝3.22. 分析解答本题，应先正确求出函数 f ( x)的导数f ′(x)，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解．a 2 ax2＋a－2解析 (1) f′(x) ＝ax＋1－1＋x 2＝ax＋1 1＋x 2，∵f ( x)在 x＝1处取得极值，2∴f ′(1)＝0，即 a·1＋a－2＝0，解得 a＝1.(2) f′(x) ＝ax2＋a－22，ax＋1 1＋x∵x≥0， a>0，∴ ax＋1>0.①当 a≥2时，在区间[0，＋∞)上， f ′(x)>0，∴f( x)的单调增区间为[0，＋∞)．②当 0<a<2 时，由 f ′(x)>0，解得 x> 2－a a.由 f ′(x)<0，解得 x< 2－a a.∴f ( x)的单调减区间为(0, 2－a 2－a a ) ，单调增区间为 ( a，＋∞ ) ．(3) 当a≥2时，由 (2) ①知，f ( x) 的最小值为f (0) ＝1；当 0<a<2，由 (2) ②知，f ( x) 在x＝2－aa 处取得最小值，且2－af ( a )< f (0) ＝1.综上可知，若 f ( x)的最小值为1，则 a 的取值范围是[2，＋∞)．。

高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《第一章导数及其应用》知识点、考点、及其例题

第一章导数及其应用知识点及练习题知识点1：导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。

容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点：导数的几何意义及其应用[例题] 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练] 已知函数f(x)＝x3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．知识点2：导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()xf x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•考点：导数的求导及运算1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（）319.316.313.310.D C B A 4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =知识点3：导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤（1）求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.考点：1.导数在研究函数单调性中的应用2.导数在求函数极值与最值中的应用题型一：导数在研究函数单调性中的应用[例题] 设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．[变式训练] 设函数f(x)＝xekx(k ≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围．题型二：导数在求函数极值与最值中的应用[例题]已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2，1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝23时取极大值．(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．知识点4：解决实际问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用题型一：导数在切线方程中的运用1.曲线3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）C.（2，8）D.（－21，－81）2.曲线53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（） A.6π B.4π C.3π D.π43题型二：导数在单调性中的运用1.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数 C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数 D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数3．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（）4、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a=-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．题型三：导数在最值、极值中的运用1.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（） A ．2B. 3C. 4D.52．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 163.已知函数)0()(3≠++=adcxaxxf是R上的奇函数，当1=x时)(xf取得极值－2.（1）试求a、c、d的值；（2）求)(xf的单调区间和极大值；4.设函数2312)(bxaxexxf x++=-，已知12=-=xx和为)(xf的极值点。

2019-2020年高中数学第一章导数及其应用综合检测新人教A版选修2-2

2019-2020年高中数学第一章导数及其应用综合检测新人教A 版选修2-2一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(xx ～xx·福建龙海市程溪中学高二期末)以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A ．[0，π4]∪[3π4，π)B ．[0，π)C ．[π4，3π4]D ．[0，π4]∪(π2，3π4][答案] A[分析] 先求导数，再依据弦函数性质得到导函数的值域，即切线斜率的取值范围，最后求直线的倾斜角的取值范围．[解析] y ′＝cos x ， ∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是[0，π4]∪[3π4，π)．2．(xx·青岛市胶州高二期中)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9[答案] D[解析] ∵f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，又因为在x ＝1处有极值， ∴a ＋b ＝6， ∵a >0，b >0， ∴ab ≤(a ＋b2)2＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，所以ab 的最大值等于9.故选D.3．(xx·淄博市临淄区学分认定考试)下列函数中，x ＝0是其极值点的函数是( ) A ．f (x )＝－x 3B ．f (x )＝－cos xC ．f (x )＝sin x －xD ．f (x )＝1x[答案] B[解析] 对于A ，f ′(x )＝－3x 2≤0恒成立，在R 上单调递减，没有极值点；对于B ，f ′(x )＝sin x ，当x ∈(－π，0)时，f ′(x )<0，当x ∈(0，π)时，f ′(x )>0，故f (x )＝－cos x 在x ＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x ＝0是f (x )的一个极小值点；对于C ，f ′(x )＝cos x －1≤0恒成立，在R 上单调递减，没有极值点；对于D ，f (x )＝1x在x ＝0没有定义，所以x ＝0不可能成为极值点，综上可知，答案选B.4．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)，∪(3，＋∞)B ．(－3，3)C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D ．[－3，3][答案] D[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1，∵f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，且f ′(x )的图象是开口向下的抛物线，∴f ′(x )≤0恒成立，∴Δ＝4a 2－12≤0，∴－3≤a ≤3，故选D.5．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如下图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )[答案] A[解析] f (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上变化规律是减→增→减，因此f ′(x )的图象在(－∞，0)上，f ′(x )>0，在(0，＋∞)上f ′(x )的符号变化规律是负→正→负，故选A.6．已知函数f (x )的导函数的图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则一定成立的是( )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos A )<f (cos B )[答案] A[解析] 由导函数图象可知，x >0时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增，又△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2，即π2>A >π2－B >0，故sin A >sin(π2－B )>0，即sin A >cos B >0，故f (sin A )>f (cos B )，选A.7．(xx ～xx·祁东县模拟)函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A ．－310<a <67B ．－85<a <－316C ．－83<a <－116D ．a <－310或a >67[答案] D[解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，要使函数f (x )的图象经过四个象限，则f (－2)f (1)<0，即(103a ＋1)(－76a ＋1)<0，解得a <－310或a >67.故选D.8．定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x＋1的x 的集合为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}[答案] B[解析] 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>12，∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴g (x )为单调增函数， ∵f (1)＝1，∴g (1)＝2f (1)－1－1＝0， ∴当x <1时，g (x )<0，即2f (x )<x ＋1，故选B.9．(xx·华池一中高二期中)若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在[0,2]上有根，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[答案] A[解析] 令f (x )＝x 3－3x ＋m ，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，显然当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当－1<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴在x ＝－1时，f (x )取极大值f (－1)＝m ＋2，在x ＝1时，f (x )取极小值f (1)＝m －2.∵f (x )＝0在[0,2]上有解，∴⎩⎪⎨⎪⎧f，f ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤0，2＋m ≥0，∴－2≤m ≤2.10．(xx ～xx·天门市调研)已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A ，B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.11．(xx·河南八市质量监测)已知函数f (x )＝ax＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－5，若对任意的x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (x 1)－g (x 2)≥2成立，则a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，－1][答案] B[解析] 由于g (x )＝x 3－x 2－5⇒g ′(x )＝3x 2－2x ＝x (3x －2)，∴函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上单调递增，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18－14－5＝－418，g (2)＝8－4－5＝－1.由于对∀x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x 1)－g (x 2)≥2恒成立，∴f (x )≥[g (x )＋2]max ，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，f (x )≥1恒成立，即a x ＋x ln x ≥1，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恒成立，a ≥x －x 2ln x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恒成立，令h (x )＝x －x 2ln x ，则h ′(x )＝1－2x ln x －x ，而h ″(x )＝－3－2ln x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，h ″(x )<0，所以h ′(x )＝1－2x ln x －x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2单调递减，由于h ′(1)＝0，∴x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1时，h ′(x )>0，x ∈[1,2]时，h ′(x )<0，所以h (x )≤h (1)－1，∴a ≥1.12．(xx ～xx·黑龙江龙东南四校高二期末)已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1、x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f (－1)的取值范围是( )A ．[－32，3]B ．[32，6]C ．[3,12]D ．[－32，12][答案] C[分析] 根据极值的意义可知，极值点x 1、x 2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域．利用参数表示出f (－1)的值域，设z ＝x ＋3y ，再利用z 的几何意义求最值．[解析] f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ，依题意知，方程f ′(x )＝0有两个根x 1、x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，等价于f ′(－2)≥0，f ′(－1)≤0，f ′(1)≤0，f ′(2)≥0. 由此得b ，c 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧12－8b ＋c ≥0，3－4b ＋c ≤0，3＋4b ＋c ≤0，12＋8b ＋c ≥0.满足这些条件的点(b ，c )的区域为图中阴影部分．由题设知f (－1)＝2b －c ，令z ＝2b －c ，当直线z ＝2b －c 经过点(0，－3)时，z 最小，最小值为3.当直线z ＝2b －c 经过点C (0，－12)时，z 最大，最大值为12.故选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知f (x )＝x 3＋3x 2＋a (a 为常数)，在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f (x )的最大值是________________．[答案] 57[解析] f ′(x )＝3x 2＋6x ＝3x (x ＋2)，当x ∈[－3，－2)和x ∈(0,3]时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(－2,0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴极大值为f (－2)＝a ＋4，极小值为f (0)＝a ，又f (－3)＝a ，f (3)＝54＋a ，由条件知a ＝3，∴最大值为f (3)＝54＋3＝57.14．如图阴影部分是由曲线y ＝1x、y 2＝x 与直线x ＝2、y ＝0围成，则其面积为______．[答案] 23＋ln2[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1x ，得交点A (1,1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1x得交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12.故所求面积S ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛121xd x ＝23x 32 | 10＋ln x | 21＝23＋ln2.15．函数f (x )＝ax 3－3x 在区间(－1,1)上为单调减函数，则a 的取值范围是__________． [答案] a ≤1[解析] f ′(x )＝3ax 2－3，∵f (x )在(－1,1)上为单调减函数，∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立，即3ax 2－3≤0在(－1,1)上恒成立， ∴a ≤1x2，∵x ∈[－1,1)，∴a ≤1.[警示] 本题常因混淆f (x )在区间A 上单调递减与f (x )的单调递减区间为A 致误，f (x )在区间A 上单调递减时，A 可能是f (x )的单调减区间的一个真子集．若f (x )的单调减区间为[m ，n ]，则在x ＝m (x ＝n )两侧函数值异号，f ′(m )＝0(f ′(n )＝0)；若f (x )在区间[m ，n ]上单调递减，则f ′(x )≤0在[m ，n ]上恒成立．16．(xx·河南高考适应性测试)已知函数f (x )的图象在[a ，b ]上连续不断，定义：f 1(x )＝min{f (t )|a ≤t ≤x }(x ∈[a ，b ])，f 2(x )＝max{f (t )|a ≤t ≤x }(x ∈[a ，b ])，其中，min{f (x )|x ∈D }表示函数f (x )在区间D 上的最小值，max{f (x )|x ∈D }表示函数f (x )在区间D 上的最大值．若存在最小正整数k ，使得f 2(x )－f 1(x )≤k (x －a )对任意的x ∈[a ，b ]成立，则称函数为区间[a ，b ]上的“k 阶收缩函数”．有以下三个命题，其中正确的命题为________________．(请把正确命题序号填在横线上)．①若f (x )＝cos x ，x ∈[0，π]，则f 1(x )＝cos x ，x ∈[0，π]，f 2(x )＝1，x ∈[0，π]； ②函数f (x )＝－x 3＋3x 2是[0,1]上的2阶收缩函数；③若函数f (x )＝x 2，x ∈[－1,4]是[－1,4]上的“k 阶收缩函数”，则k ＝4. [答案] ①②③[解析] 对于①，由于f (x )＝cos x 在[0，π]上单调递减，由已知可得f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝f (0)＝1，故①正确；对于②，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，当x ∈[0,1]时，f ′(x )>0，f (x )在[0,1]上单调递增，故f 1(x )＝f (0)＝0，f 2(x )＝－x 3＋3x 2，f 2(x )－f 1(x )＝－x 3＋3x 2≤kx 对∀x ∈[0,1]成立，当x ≠0时，k ≥－x 3＋3x 2x＝－x 2＋3x 恒成立，又当x ＝1时，－x 2＋3x取得最大值2，∴k ≥2，即②正确；③中，f 1(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[－1，0，x ∈[0，4]，f 2(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈[－1，x 2，x ∈[1，4]，∴f (x 2)－f (x 1)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[－1，1，x ∈[0，x 2，x ∈[1，4].当x ∈[－1,0]时，1－x 2≤k (x ＋1)，∴k ≥1－x ，k ≥2. 当x ∈(0,1)时，1≤k (x ＋1)，∴k ≥1x ＋1，∴k ≥1. 当x ∈[1,4]时，x 2≤k (x ＋1)，∴k ≥x 2x ＋1，∴k ≥165.即f (x )＝x 2，x ∈[－1,4]是[－1,4]上的“k 阶收缩函数”，则k ＝4.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x －x ，∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0，当x ∈(2，2)时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx －x＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本题满分12分)(xx·韶关市曲江一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调区间和极大值；(3)证明：对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立． [解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝－d ， ∴d ＝0(或由f (0)＝0得d ＝0)． ∴f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c ，又当x ＝1时，f (x )取得极值－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＝－2，f＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－3.∴f (x )＝x 3－3x .(2)f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，当－1<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；∴函数f (x )的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)．因此，f (x )在x ＝－1处取得极大值，且极大值为f (－1)＝2.(3)由(2)知，函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，且f (x )在区间[－1,1]上的最大值为M ＝f (－1)＝2.最小值为m ＝f (1)＝－2.∴对任意x 1、x 2∈(－1,1)，|f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝4成立．即对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立．19．(本题满分12分)(xx·北京海淀期中)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋2a ln x (a >0)． (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间；(3)若f (x )≤0在区间[1，e]上恒成立，求实数a 的取值范围． [解析] (1)∵a ＝1，∴f (x )＝x 2－4x ＋2ln x ， ∴f ′(x )＝2x 2－4x ＋2x(x >0)，f (1)＝－3，f ′(1)＝0，所以切线方程为y ＝－3. (2)f ′(x )＝2x 2－a ＋x ＋2ax＝x －x －ax(x >0)，令f ′(x )＝0得x 1＝a ，x 2＝1，当0<a <1时，在x ∈(0，a )或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，在x ∈(a,1)时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)，单调递减区间为(a,1)；当a ＝1时，f ′(x )＝x －2x≥0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)；当a >1时，在x ∈(0,1)或x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，在x ∈(1，a )时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调增区间为(0,1)和(a ，＋∞)，单调递减区间为(1，a )．(3)由(2)可知，f (x )在区间[1，e]上只可能有极小值点，∴f (x )在区间[1，e]上的最大值必在区间端点取到，∴f (1)＝1－2(a ＋1)≤0且f (e)＝e 2－2(a ＋1)e ＋2a ≤0，解得a ≥e 2－2e2e －2.20．(本题满分12分)(xx·河南六市联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ， x ≥11ex ＋x －a ，x <1(a 为常数，e 为自然对数的底数)的图象在点A (e,1)处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，求实数a 的取值范围．[解析] 由于f ′(e)＝1e ，得f (x )在点A 处的切线方程为：y －1＝1e (x －e)，即1e x －y＝0由题意知切线与y ＝1e(x ＋2)(x －a )(x <1)有两个交点，即1e x ＝1e (x ＋2)(c －a )有两个小于1的根，即x 2＋(1－a )x －2a ＝0有两个小于1的根，设两根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0x 1＋x 2<2x 1－x 2－即⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋8a >0a －1<2－2a －a －＋1>0解得：a <－3－22或－3＋22<a <23.21．(本题满分12分)(xx·重庆文，21)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ<43，试确定椭圆离心率e 的取值范围．[解析] (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝＋22＋－22＝23，即c ＝ 3.从而b ＝a 2－c 2＝1.故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)如图，由PF1⊥PQ ，|PQ |＝λ|PF 1|得， |QF 1|＝|PF 1|2＋|PQ |2＝1＋λ2|PF 1|，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a .于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a . 解得|PF 1|＝4a1＋λ＋1＋λ2，故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2aλ＋1＋λ2－1＋λ＋1＋λ2.由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋⎝⎛⎭⎪⎫2a λ＋1＋λ2－1＋λ＋1＋λ22＝4c 2，两边除以4a 2，得4＋λ＋1＋λ22＋λ＋1＋λ2－2＋λ＋1＋λ22＝e 2，若记t ＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成 e 2＝4＋t －2t 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －142＋12. 由34≤λ<43，并注意到1＋λ＋1＋λ2关于λ的单调性，得3≤t <4，即14<1t ≤13，进而12<e 2≤59，即22<e<53.22．(本题满分14分)(xx·洛阳市期末)已知函数f (x )＝ln x －ax 2－(1－2a )x (a >0)． (1)若∃x >0，使得不等式f (x )>6a 2－4a 成立，求实数a 的取值范围；(2)设函数y ＝f (x )图象上任意不同的两点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为C (x 0，y 0)，记直线AB 的斜率为k ，证明：k >f ′(x 0)．[解析] (1)∵f (x )＝ln x －ax 2－(1－2a )x ，其定义域为(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝1x－2ax －(1－2a )＝－x －ax ＋x，∵a >0，x >0，∴2ax ＋1>0，所以当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(0,1)上单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减；从而当x ＝1时，f (x )取得最大值f (1)＝ln 1－a －(1－2a )＝a －1，由题意得a －1>6a 2－4a ，解得13<a <12，即实数a 的取值范围⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12.(2)∵f ′(x )＝1x－2ax －(1－2a )，∴f ′(x 0)＝1x 0－2ax 0－(1－2a )＝2x 1＋x 2－a (x 1＋x 2)－(1－2a )，又k ＝f x 2－f x 1x 2－x 1＝[ln x 2－ax 22－－2a x 2]－[ln x 1－ax 21－－2a x 1]x 2－x 1＝[ln x 2－ln x 1]－a x 22－x 21－－2a x 2－x 1x 2－x 1＝lnx 2x 1x 2－x 1－a (x 2＋x 1)－(1－2a )．不妨设x 2>x 1>0，要证明k >f ′(x 0)，即证明lnx 2x 1x 2－x 1－a (x 2＋x 1)－(1－2a )>2x 1＋x 2－a (x 1＋x 2)－(1－2a )，只需证明lnx 2x 1x 2－x 1>2x 1＋x 2，即证明ln x 2x 1>x 2－x 1x 2＋x 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－1x 2x 1＋1，构造函数g (x )＝ln x －x －x ＋1，则g ′(x )＝1x－4x ＋2＝x －2x x ＋2≥0，所以g (x )在[1，＋∞)上是增函数，当x >1时，g (x )>g (1)＝0，又x 2x 1>1，所以ln x 2x 1>2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－1x 2x 1＋1，从而k >f ′(x 0)成立．一、选择题1．(xx·锦州一中高二期中)曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3 D ．y ＝4x －5[答案] B[解析] ∵点(1，－1)在曲线上，y ′＝3x 2－6x ， ∴y ′|x ＝1＝－3，即切线斜率为－3.∴利用点斜式得，切线方程为y ＋1＝－3(x －1)，即y ＝－3x ＋2.故选B.2．(xx·浙江杜桥中学期中)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由条件知，x ＝－3是方程f ′(x )＝0的实数根，∴a ＝5.3．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值，最小值分别是( ) A ．5，－15B ．5，－4C ．－4，－15D ．5，－16[答案] A[解析] ∵y ′＝6x 2－6x －12＝0，得x ＝－1(舍去)或x ＝2，故函数y ＝f (x )＝2x 3－3x2－12x ＋5在[0,3]上的最值可能是x 取0,2,3时的函数值，而f (0)＝5，f (2)＝－15，f (3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A.4.⎠⎛241xd x 等于( )A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2[答案] D[解析] 因为(ln x )′＝1x，所以 ⎠⎛241xd x ＝ln x |42＝ln4－ln2＝ln2.5．已知定义在R 上的函数f (x )的导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列结论一定正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e)C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e)>f (d )[答案] C[解析] 由图可知f ′(x )在(－∞，c )和(e ，＋∞)上取正值，在(c ，e)上取负值，故f (x )在(－∞，c )和(e ，＋∞)上单调递增，在(c ，e)上单调递减，∵a <b <c ，∴f (a )<f (b )<f (c )，故选C.6．已知函数f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1，1)，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1，2)C ．(－2，－2)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[答案] B[解析] ∵f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1,1)， ∴f ′(x )＝4＋3cos x >0在x ∈(－1,1)上恒成立，∴f (x )在(－1,1)上是增函数，又f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1,1)是奇函数，∴不等式f (1－a )＋f (1－a 2)<0可化为f (1－a )<f (a 2－1)，从而可知，a 须满足⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<a 2－1<1，1－a <a 2－1.解得1<a < 2.7．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )[答案] D[解析] A 中，当f (x )为二次函数时，f ′(x )为一次函数，由单调性和导数值的符号关系知A 可以是正确的，同理B 、C 都可以是正确的，但D 中f (x )的单调性为增、减、增，故f ′(x )的值应为正负正，因此D 一定是错误的．8．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由f (x )的图象知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f ′(x )≤0，在(－∞，0)上f ′(x )≥0，故选D.9．如果1N 能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18J B ．0.26J C ．0.12J D ．0.28J[答案] A[解析] 设F (x )＝kx ，当F (x )＝1时，x ＝0.01m ，则k ＝100，∴W ＝∫0.060100x d x ＝50x 2|0.06＝0.18.10．已知函数f (x )＝ln x ，则函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)[答案] B[解析] 由题可知g (x )＝ln x －1x ，∵g (1)＝－1<0，g (2)＝ln2－12＝ln2－ln e>0，∴选B.11．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在R 上是增函数，则m的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确[答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7) ＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D.12．(xx·浙江省五校联考)已知函数f (x )＝13x 3＋12mx 2＋m ＋n2x 的两个极值点分别为x 1、x 2，且0<x 1<1<x 2，点P (m ，n )表示的平面区域内存在点(x 0，y 0)满足y 0＝log a (x 0＋4)，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，12)∪(1,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(12，1)∪(1,3]D ．(0,1)∪[3，＋∞)[答案] B[解析] f ′(x )＝x 2＋mx ＋m ＋n2，由条件知，方程f ′(x )＝0的两实根为x 1、x 2且0<x 1<1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ，f ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n2>0，1＋m ＋m ＋n2<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n >0，3m ＋n <－2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝0，3m ＋n ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0<－1，y 0>1.由y 0＝log a (x 0＋4)知，当a >1时，1<y 0<log a 3，∴1<a <3；当0<a <1时，y 0＝log a (x 0＋4)>log a 3，由于y 0>1，log a 3<0，∴对∀a ∈(0,1)，此式都成立，从而0<a <1，综上知0<a <1或1<a <3，故选B.二、填空题13．(xx·杭州七校联考)若函数f (x )＝x 3－3bx ＋b 在区间(0,1)内有极值，则实数b 的取值范围是________________．[答案] (0,1)[解析] f ′(x )＝3x 2－3b ，∵f (x )在(0,1)内有极值， ∴f ′(x )＝0在(0,1)内有解，∴0<b <1.14．(xx·陕西文，15)函数y ＝x e x在其极值点处的切线方程为____________________． [答案] y ＝－1e[解析] y ＝f (x )＝x e x ⇒f ′(x )＝(1＋x )e x，令f ′(x )＝0⇒x ＝－1，此时f (－1)＝－1e ，函数y ＝x e x在其极值点处的切线方程为y ＝－1e.15．对正整数n ，设曲线y ＝x n(1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和是________________． [答案] 2n ＋1－2[解析] ∵y ＝x n(1－x )，∴y ′＝(x n)′(1－x )＋(1－x )′·x n＝n ·x n －1(1－x )－x n.f ′(2)＝－n ·2n －1－2n ＝(－n －2)·2n －1.在点x ＝2处点的纵坐标为y ＝－2n. ∴切线方程为y ＋2n＝(－n －2)·2n －1(x －2)．令x ＝0得，y ＝(n ＋1)·2n， ∴a n ＝(n ＋1)·2n，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为n－2－1＝2n ＋1－2.16．(xx·哈六中期中)已知函数f (x ＋2)是偶函数，x >2时f ′(x )>0恒成立(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，且f (4)＝0，则不等式(x ＋2)f (x ＋3)<0的解集为________________．[答案] (－∞，－3)∪(－2,1)[解析] ∵函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，∴其图象关于y 轴对称，∵y ＝f (x ＋2)的图象向右平移两个单位得到y ＝f (x )的图象，∴函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∵x >2时，f ′(x )>0，∴f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，2)上单调递减，又f (4)＝0，∴f (0)＝0，∴0<x <4时，f (x )<0，x <0或x >4时，f (x )>0，由(x ＋2)f (x ＋3)<0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2<0，f x ＋，(1)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，f x ＋(2)由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，x ＋3<0或x ＋3>4，∴x <－3；由(2)得⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，0<x ＋3<4.∴－2<x <1，综上知，不等式的解集为(－∞，－3)∪(－2,1) 三、解答题17．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－3bx ＋c (b >0)，且g (x )＝f (x )－2是奇函数． (1)求a 、c 的值；(2)若函数f (x )有三个零点，求b 的取值范围． [解析] (1)∵g (x )＝f (x )－2是奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )对x ∈R 成立， ∴f (－x )－2＝－f (x )＋2对x ∈R 成立， ∴ax 2＋c －2＝0对x ∈R 成立， ∴a ＝0且c ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3bx ＋2(b >0)， ∴f ′(x )＝3x 2－3b ＝3(x －b )(x ＋b )，令f ′(x )＝0得x ＝±b ，依题意有⎩⎨⎧f －b，f b ，∴b >1，故正数b 的取值范围是(1，＋∞)．18．(xx·太原市三模)已知函数f (x )＝(x 2－ax ＋a )e x －x 2，a ∈R . (1)若函数f (x )在(0，＋∞)内单调递增，求a 的取值范围； (2)若函数f (x )在x ＝0处取得最小值，求a 的取值范围．[解析] (1)由题意得f ′(x )＝x [(x ＋2－a )e x －2]＝x e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2－2e x －a ，x ∈R ， ∵f (x )在(0，＋∞)内单调递增，∴f ′(x )≥0在(0，＋∞)内恒成立． ∴x ＋2－2ex ≥a 在(0，＋∞)内恒成立，又函数g (x )＝x ＋2－2e x 在(0，＋∞)上单调递增，∴a ≤g (0)＝0，∴a 的取值范围是(－∞，0]；(2)由(1)得f ′(x )＝x e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2－2e x －a ，x ∈R ，令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＋2－2e x －a ＝0，即x ＝0或g (x )＝a ，∵g (x )＝x ＋2－2e x ，在(－∞，＋∞)上单调递增，其值域为R .∴存在唯一x 0∈R ，使得g (x 0)＝a ，①若x 0>0，当x ∈(－∞，0)时，g (x )<a ，f ′(x )>0；当x ∈(0，x 0)时，g (x )<a ，f ′(x )<0；∴f (x )在x ＝0处取得极大值，这与题设矛盾；②若x 0＝0，当x ∈(－∞， 0)时，g (x )<a ，f ′(x )>0；当x ∈(0，＋∞)时，g (x )>a ，f (x )>0；∴f (x )在x ＝0处不取极值，这与题设矛盾；③若x 0<0，当x ∈(x 0,0)时，g (x )>a ，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，g (x )>a ，f ′(x )>0；∴f (x )在x ＝0处取得极小值；综上所述，x 0<0，∴a ＝g (x 0)<g (0)＝0. ∴a 的取值范围是(－∞，0)．19．(xx·福建安溪一中、养正中学联考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，若曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[－4,1]上的最大值和最小值． [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，(1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧f23＝232＋2a ×23＋b ＝0，f＝3×12＋2a ×1＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4.经检验得x ＝23时，y ＝f (x )有极小值，所以f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5.(2)由(1)知，f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(x ＋2)(3x －2)．令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23，f ′(x )，f (x )的值随x 的变化情况如下表：∵f (3)＝27，f (－2)＝13，f (－4)＝－11，f (1)＝4，∴f (x )在[－4,1]上的最大值为13，最小值为－11.20．已知函数f (x )＝a 23x 3－2ax 2＋bx ，其中a 、b ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为3.(1)求b 的值；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极大值，求a 的值． [解析] (1)f ′(x )＝a 2x 2－4ax ＋b ，由题意f ′(0)＝b ＝3.(2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极大值， ∴f ′(1)＝a 2－4a ＋3＝0，解得a ＝1或a ＝3. ①当a ＝1时，f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)，x 、f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：②当a ＝3时，f ′(x )＝9x 2－12x ＋3＝3(3x －1)(x －1)，x 、f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：综上所述，若函数f (x )在x ＝1处取得极大值，a 的值为1. 21．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g (1x)的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．[解析] (1)由题设知g (x )＝ln x ＋1x，∴g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0，得x ＝1. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调递减区间．当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.(2)g (1x)＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g (1x )＝2ln x －x ＋1x，则h ′(x )＝－x －2x 2.当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g (1x)．当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0，因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减．当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g (1x)，当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g (1x)．(3)由(1)知g (x )的最小值为1，所以g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立⇔g (a )－1<1a，即ln a <1，从而得0<a <e ，即a 的取值范围为(0，e)．22．(xx·江西教学质量监测)已知函数f (x )＝ln(ax ＋1)(x ≥0，a >0)，g (x )＝x －2x ＋2.(1)讨论函数y ＝f (x )－g (x )的单调性；(2)若不等式f (x )≥g (x )＋1在x ∈[0，＋∞)时恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当a ＝1时，证明：13＋15＋17＋…＋12n ＋1<12f (n )(n ∈N *)． [解析] (1)∵y ＝f (x )－g (x )＝ln(ax ＋1)－x －2x ＋2， y ′＝a ax ＋1－4x ＋2＝ax 2＋4a －4ax ＋x ＋2，当a ≥1时，y ′≥0，所以函数y ＝f (x )－g (x )是[0，＋∞)上的增函数；当0<a <1时，由y ′>0得x >21a －1，所以函数y ＝f (x )－g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫21a －1，＋∞上是单调递增函数，函数y ＝f (x )－g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，21a －1上是单调递减函数； (2)当a ≥1时，函数y ＝f (x )－g (x )是[0，＋∞)上的增函数．所以f (x )－g (x )≥f (0)－g (0)＝1，即不等式f (x )≥g (x )＋1在x ∈[0，＋∞)时恒成立，当0<a <1时，函数y ＝f (x )－g (x )是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，21a －1上的减函数，存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，21a －1，使得f (x 0)－g (x 0)<f (0)－g (0)＝1，即不等式f (x 0)≥g (x 0)＋1不成立，综上，实数a 的取值范围是[1，＋∞)．(3)当a ＝1时，由(2)得不等式f (x )>g (x )＋1在x ∈(0，＋∞)时恒成立，即ln(x ＋1)>2x x ＋2，所以ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1>21＋2k (k ∈N *)，即12k ＋1<12[ln(k ＋1)－ln k ]．所以13<12(ln2－ln1)， 15<12(ln3－ln2)， 17<12(ln4－ln3)，…， 12n ＋1<12[ln(n ＋1)－ln n ]．将上面各式相加得到，13＋15＋17＋…＋12n ＋1<12[(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋(ln4－ln3)＋…＋(ln(n ＋1)－ln n )]＝12ln(n ＋1)＝12f (n )．∴原不等式成立．。

2020版人教A版数学选修2-2___第一章导数及其应用定积分的概念

知识梳理
【做一做 1】
在定积分的概念中,定积分
��
��(x)dx 的大小(
)
A.与f(x)和积分区间[a,b]有关,与ξi的取法无关 B.与f(x)有关,与区间[a,b]以及ξi的取法无关 C.与f(x)以及ξi的取法有关,与区间[a,b]无关 D.与f(x)、积分区间[a,b]和ξi的取法都有关解析:根据定积分的概念可知,选项A正确,选项B,C,D都不正确,故
2×2sin
π 3
=
2π 3
−
3,
S 矩形=AB·BC=2 3,
所以 1
-1
4-��2dx=2
3 + 2π −
3
3 = 2π +
3
3.

题型一
题型二
(2)函数y=1+sin x的图象如图所示,
5π
所以
2 π
(1+sin
x)dx=2S
矩形
ABCD=2π.
2
典例透析
��
·1 =
��
∑
�� =1
3(��-1) �� 2
+
5 ��
=
3 �� 2
[0+1+2+…+(n-1)]+5
3 ��2-�� = 2 · ��2 + 5
13 3
= 2 − 2��.
(3)取极限
2 1
−
��+��-1 = 1.
��
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数学人教A选修2-2第一章导数及其应用单元检测.docx

数学人教A 选修2-2第一章导数及其应用单元检测(时间：60分钟，满分：100分)一、选择题(每小题6分，共48分)1．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后走过的路程为43215243s t t t =-+，那么速度为0的时刻是( )A ．1 s 末B ．0 sC ．4 sD ．0 s 末，1 s 末，4 s 末2．当x 在(－∞，＋∞)上变化时，导函数f ′(x )的符号变化如下表：x (－∞，1) 1 (1,4) 4 (4，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ 0 －则函数f (x )的图象的大致形状为( )3．当x ＝a 时，函数y ＝ln(x ＋2)－x 取到极大值b ，则ab 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．24．π4π41cos 2d 3x x -⎰＝( )A ．13 B ．23C ．23D ．23-5．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)6．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力的单位：N ，位移单位：m)的作用下沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 运动到x ＝10 m 时F (x )做的功为( )A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J7．已知f (x )＝(x ＋a )2，且1'32f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a 的值为( ) A ．－1 B ．－2C ．1D ．28．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( ) A ．0≤a ≤21 B ．a ＝0或a ＝7 C ．a ＜0或a ＞21 D ．a ＝0或a ＝21 二、填空题(每小题6分，共18分)9．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是__________． 10．已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B 1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为__________．11．若函数()241xf x x =+在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是________．．三、解答题(共34分)12．(10分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋4ln x 的极值点为1和2． (1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在区间(0,3]上的最大值．13．(10分)甲、乙两村合用一个变压器，如图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问：变压器设在输电干线何处时，所需电线最短？14．(14分)已知a ∈R ，f (x )＝(x 2－4)(x －a )． (1)求f ′(x )；(2)若f ′(1)＝0，求f (x )在[－2,2]上的最大值和最小值；(3)若f (x )在(－∞，－2]和[2，＋∞)上是单调递增的，求实数a 的取值范围．参考答案1答案：D 解析：s ′＝t 3－5t 2＋4t ，令s ′＝0得t ＝0,1,4．2答案：C 解析：从表中可知f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减．3答案：A 解析：y ′＝[ln(x ＋2)－x ]′＝112x -+．令y ′＝0，得x ＝－1，此时y ＝ln 1＋1＝1，即a ＝－1，b ＝1，故ab ＝－1．4答案：A 解析：ππ44ππ441111cos 2d sin 23323x x x--=⨯=⎰． 5答案：C 解析：f ′(x )＝2bx x -++．∵f (x )在(－1，＋∞)上是减函数，∴f ′(x )在(－1，＋∞)上小于零恒成立，即2bx x -++≤0恒成立， ∴b ≤x (x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．又∵x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1＜－1，∴b ≤－1． 6答案：C 解析：依题意F (x )做的功是 W ＝105⎰F (x )d x ＝105⎰(3x 2－2x ＋5)d x＝(x 3－x 2＋5x )105＝825(J)．7答案：B 解析：∵f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2x ＋2a ，依题意有2×12＋2a ＝－3，解得a ＝－2．8答案：A 解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数不存在极值点．故选A ．9答案：a ＜0 解析：f ′(x )＝3ax 2＋1x (x ＞0)，若函数存在垂直于y 轴的切线，则曲线f (x )上存在导数为0的点，即3ax 2＋1x ＝0有解，313a x=-，∵x ＞0，∴3103x-<．∴a ＜0．10答案：54 解析：由题意f (x )＝110,0,211010,1,2x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩则xf (x )＝22110,0,211010, 1.2x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩∴xf (x )与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(－10x 2＋10x )d x ＝1323120121010533x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭＝101105101553834384⎛⎫⎛⎫⨯+---⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．11答案：－1＜m ≤0 解析：由已知得f ′(x )＝22244(1)x x -+在(m ,2m ＋1)上有f ′(x )≥0，即1－x 2≥0，－1≤x ≤1，∴1,211,2 1.m m m m ≥-⎧⎪+≤⎨⎪<+⎩∴－1＜m ≤012答案：解：f ′(x )＝2ax ＋b ＋4x ＝224ax bx x ++，x ∈(0，＋∞)，由y ＝f (x )的极值点为1和2，∴2ax 2＋bx ＋4＝0的两根为1和2，∴240,8240,a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得1,6.a b =⎧⎨=-⎩答案：由(1)得f (x )＝x 2－6x ＋4ln x ，∴f ′(x )＝2x －6＋4x＝22642(1)(2)x x x x x x-+--=，x ∈(0,3]．当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1,2) 2(2,3) 3 f ′(x ) ＋ 0 － 0＋f (x )单调递增－5 单调递减 4ln 2－8 单调递增4ln 3－9∵f (3)＝4ln 3－9＞f (1)＝－5＞f (2)＝4ln 2－8， ∴f (x )max ＝f (3)＝4ln 3－9．13答案：解：设CD ＝x (km)，则CE ＝3－x (km)．由题意得所需电线的长为l ＝AC ＋BC ＝2221 1.5(3)x x +++-(0≤x ≤3)． ∴22222(3)'212 1.5(3)x x l xx --=+++-．令l ′＝0，则222301 1.5(3)x xx x --=++-，即22231 1.5(3)x x x x -=++-，平方，得22222(3)1 1.5(3)x x x x -=++-，即1.52x 2＋x 2(3－x )2＝(3－x )2＋x 2(3－x )2， ∴1.52x 2＝(3－x )2，∴1.5x ＝±(3－x )，解得x ＝1.2或x ＝－6(舍去)，经检验x ＝1.2为函数的最小值点，故当CD ＝1.2 km 时所需电线最短．14答案：解：f ′(x )＝(x 2－4)′(x －a )＋(x 2－4)(x －a )′ ＝2x (x －a )＋x 2－4＝3x 2－2ax －4．答案：由f ′(1)＝0，得3－2a －4＝0，∴12a =-．此时f (x )＝(x 2－4)12x ⎛⎫+⎪⎝⎭，f′(x)＝3x2＋x－4＝(x－1)(3x＋4)．∴x＝1和43x=-是函数f(x)的极值点．∵9(1)2f=-，450327f⎛⎫-=⎪⎝⎭，f(2)＝f(－2)＝0，∴f(x)max＝5027，f(x)min＝92-．答案：f′(x)＝3x2－2ax－4，如图，设f′(x)＞0的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，其中x1＜x2，则有'(2)0,'(2)0,22223ffa⎧⎪-≥⎪≥⎨⎪⎪-≤≤⨯⎩⇒223(2)440,32440,66aaa⎧⨯-+-≥⎪⨯--≥⎨⎪-≤≤⎩⇒2,2,66,aaa≥-⎧⎪≤⎨⎪-≤≤⎩∴－2≤a≤2，即实数a的取值范围为{a|－2≤a≤2}．。

2019-2020学年人教版选修2-2单元测试题：第一章导数及其应用

2019-2020学年人教版选修2-2单元测试题：第一章导数及其应用.doc一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．曲线311y x =+在点(1,12)P 处的切线与y 轴交点的纵坐标为（） A ．9-B ．3-C ．9D ．152．下列结论正确的个数是（） ①若ln 2y =，则12y '=；②若21y x=，则3227x y ='=-；③若2xy =，则2ln 2xy '=；④若2log y x =，则1ln 2y x '=．A ．0B ．1C ．2D ．33．设113d a x x =⎰，12d b x x =⎰，13d c x x =⎰，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．a b c =>D ．a c b >>4．若一条曲线上任意一点处的切线的斜率均为正数，则称该曲线为“升曲线”．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()f x f x '>，则下列曲线是“升曲线”的是（） A ．()y xf x =B ．()xy e f x = C ．()f x y x=D ．()xf x y e =5．若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数具有T 性质的是（） A ．sin y x =B ．ln y x =C ．xy e =D ．3y x =6．已知函数()y f x =在定义域[4,6]-上可导，其图象如图，记()y f x =的导函数为()y f x '=，则不等式()0f x '≤的解集为（）A ．411[,1][,6]33- B ．7[3,0][,5]3- C ．47[4,][1,]33--D ．[4,3][0,1][5,6]--7．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（） A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞8．若3()31f x ax x =-+对于[1,1]x ∈-总有()0f x ≥成立，则a 的值为（） A ．2B ．4C ．6D ．89．若定义在R 上的函数()f x 满足(0)1f =-，其导函数()1f x k '>>，则下列结论一定错误的是（） A ．11()f k k- C ．11()11f k k <-- D ．1()11k f k k >-- 10．已知横梁的强度和它的矩形横断面的宽与矩形横断面的高的平方的积成正比，要将直径为d 的原木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为（） A，3dB，dC．3d ，3d D．3d 11．若函数()f x ，()g x 满足11()()0f x g x dx -=⎰，则称()f x ，()g x 在区间[1,1]-上的一组正交函数．给出三组函数：①1()sin 2f x x =，1()cos 2g x x =；②()1f x x =+，()1g x x =-；③()f x x =，2()g x x =．其中为区间[1,1]-上的正交函数的组数是（） A ．0B ．1C ．2D ．312．设直线x t =与函数2()f x x =，()ln g x x =的图象分别交于点M ，N ，则当MN 取得最小值时，t 的值为（）A ．1B ．12C．2D．2二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．设曲线xy e =在点(0,1)处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为__________． 14．设曲线1*()n y xn N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，若lg n n a x =，则1299a a a +++的值为__________．15．某物体做变速直线运动，其v t -曲线如图所示，该物体在162s ∼间的运动的路程s 为__________．16．设一个容积V 固定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，高为h ，底面半径为r ．已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，则当:h r = 时，造价最低．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（10分）已知函数y ax =与by x=-在区间(0,)+∞内都是减函数，试确定函数325y ax bx =++的单调区间．18．（12分）已知函数2()1(1)x y f x a a==-≥的图象在1x =处的切线为l ，求切线l 与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．19．（12分）设32()21f x x ax bx =+++的导函数()f x '，若函数()y f x '=的图象关于直线12x =-对称，且(1)0f '=．（1）求实数a ，b 的值；（2）求函数()f x 的极值．20．（12分）如图，已知曲线1C ：2y x =曲线2C ：22(1)y x ax a =-+>交于点O ，A ，直线(01)x t t =<≤与曲线1C ，2C 分别交于点D ，B ，连接OD ，DA ，AB ．（1）写出曲边四边形ABOD （阴影部分，其中OD ，DA ，AB 为线段，OB 为曲线2C 上一部分）的面积S 与t 的函数关系式()S f t =；（2）求函数()S f t =在区间(0,1]上的最大值．21．（12分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为1l ，2l ，山区边界为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点测得点M 到1l ，2l 的距离分别为5km 和40km ，点N 到1l ，2l 的距离分别为20km 和2.5km ，以1l ，2l 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ．假设曲线C 符合函数2ay x b=+（其中a ，b 为常数）模型．（1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于点P 点，P 的横坐标为t ． ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．22．（12分）已知221()(ln )x f x a x x x -=-+，a ∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的[1,2]x ∈成立．答案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．【答案】C【解析】由已知得切线的斜率13x k y ='==，所以切线方程为123(1)y x -=-，即390x y -+=．令0x =，得9y =，所以切线与y 轴交点的纵坐标为9． 2．【答案】D【解析】①ln 2y =为常数，所以0y '=，①错； ②③④均正确，直接利用求导公式即可验证． 3．【答案】B【解析】根据定积分的的几何意义，易知1111323d d d x x x x x x <<⎰⎰⎰，即a b c >>，故选B ． 4．【答案】D【解析】对于()x f x y e =，2()()()()()x x x x xf x f x e f x e f x f x y e e e '''--⎡⎤'===⎢⎥⎣⎦，因为()()f x f x '>，所以()()0x f x f x e '->，即()0x f x e '⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，所以曲线()xf x y e =上任意一点处的导数均为正数，即该曲线任意一点处的切线斜率均为正数，故该曲线是“升曲线”． 5．【答案】A【解析】∵1(ln )0x x'=>，()0x x e e '=>，32()30x x '=≥，∴选项B ，C ，D 中的曲线不存在两点，其切线的斜率之积为1-，只有A 项符合． 6．【答案】A【解析】不等式()0f x '≤的解集即函数()y f x =的递减区间，由题图可知()y f x =的递减区间为4[,1]3-，11[,6]3，故()0f x '≤的解集为411[,1][,6]33-． 7．【答案】B【解析】1()ln ()ln 21f x x ax x a x ax x'=-+-=-+，函数()f x 有两个极值点，即ln 210x ax -+=在(0,)+∞有两个不同的实数根，即函数ln 1()x g x x+=与函数2y a =的图象在(0,)+∞内有两个不同的交点，因为2ln ()xg x x -'=，所以()g x 在(0,1)内递增，在(1,)+∞内递减，所以max ()(1)1g x g ==，如图所示，若()g x 与2y a =的图象有两个不同交点，则021a <<，即102a <<，故选B ． 8．【答案】B【解析】①当10x -≤<时，3233131x a x x x-≤=-在[1,0)-内恒成立，而当10x -≤<时，2343136()0xx x x-'-=>，则2331y x x =-为[1,0)-内的增函数，从而2331x x-的最小值为4，于是4a ≤；②当0x =时，()0f x ≥总成立；③当01x <≤时，3233131x a x x x-≥=-在(0,1]上恒成立，而2331y x x =-的导数为436x y x -'=，令0y '=，则12x =，不难判断2331y x x=-在(0,1]上的最大值为4，所以4a ≥．综上，4a =． 9．【答案】C【解析】构造函数()()F x f x kx =-，则()()0F x f x k ''=->，∴函数()F x 在R 上单调递增，∵101k >-，∴1()(0)1F F k >-， ∵(0)(0)1F f ==-，∴1()111kf k k ->---，即11()1111k f k k k >-=---，∴11()11f k k >--，故C 错误． 10．【答案】C【解析】如图，设矩形横断面的宽为x ，高为y ，由题意知2xy 取最大值时，横梁的强度最大．∵222y d x =-，∴222()(0)xy x d x x d =-<<，令22()()(0)f x x d x x d =-<<，求导，得22()3f x d x '=-．令()0f x '=，解得x =或x =（舍去）．当0x <<时，()0f x '>x d <<时，()0f x '<，因此，当x =时，()f x取得极大值，也是最大值，此时y =．综上，当矩形横断面的高为3d，宽为3d 时，横梁的强度最大． 11．【答案】C【解析】①1111111111111sin cos d sin d sin d (cos)22222x x x x x x x ----⋅===-⎰⎰⎰ 11{cos1[cos(1)]}(cos1cos1)022=----=-+=，故①为一组正交函数； ②1123111111124(1)(1)d (1)d ()1(1)2033333x x x x x x x ---+-=-=-=---+=-=-≠⎰⎰，故②不是一组正交函数； ③1123411111d d ()04x x x x x x ---⋅===⎰⎰，故③为一组正交函数，故选C ．12．【答案】D【解析】当x t =时，2()()ln (0)MN f t g t t t t =-=->，令2()ln (0)t t t t ϕ=->，所以2121()2t t t t tϕ-'=-=，所以当(0,2t ∈时，()t ϕ单调递减；当,)2t ∈+∞时，()t ϕ单调递增，所以当t =时，min 11()ln 2022t ϕ=+>，即min min ()MN x ϕ=，故MN取得最小值时2t =．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．【答案】(1,1)【解析】曲线xy e =在点(0,1)处的切线斜率01x x k y e ='===，由1y x =，可得21y x'=-，因为曲线1(0)y x x=>在点P 处的切线与曲线xy e =在点(0,1)处的切线垂直，所以211Px -=-，解得1P x =．由1y x=，得1P y =，故所求点P 的坐标为(1,1)． 14．【答案】2- 【解析】曲线1()n y xn +=∈*N 在点(1,1)处的切线斜率1(1)11nx k y n n ='==+⨯=+，则曲线在点(1,1)处的切线方程为1(1)(1)y n x -=+-．令0y =，得1n n x n =+，∴lg 1n na n =+，∴1299129912991lg lg lglg()lg 22310023100100a a a +++=+++=⨯⨯⨯==-．15．【答案】49m 4【解析】2,01()2,1311,363t t v t t t t ⎧⎪≤≤⎪=<<⎨⎪⎪+≤≤⎩，由变速直线运动的路程公式，可得所求路程61361113221()d 2d 2d (1)d 3s v t t t t t t t ==+++⎰⎰⎰⎰ 2132611321492()64t t t t =+++=（m ）．所以物体在162s ∼间运动的路程是49m 4． 16．【答案】4:1【解析】由题意知铁桶的高为h ，底面半径为r ，设单位面积铁的造价为m ，桶的总造价为y ，则223π(π2π)y m r m r rh =++，∵2πV r h =，∴2πV h r =，∴224πmV y m r r =+，∴228πmV y m r r '=-，令0y '=，解得13()4πV r =，此时134()4πV h =．故当13()4πV r <时，0y '<，函数单调递减；当13()4πVr >时，0y '>，函数单调递增．∴13()4πV r =为函数的极小值，且是最小值点，∴当13()4πV r =时，y 有最小值，即当:4:1h r =时，总造价最低．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．【答案】2(,)3ba-∞-和(0,)+∞．【解析】因为函数y ax =与by x=-在区间(0,)+∞内都是减函数，所以0a <，0b <，由325y ax bx =++，得232y ax bx '=+，令0y '>，得2320ax bx +>，所以203bx a-<<；令0y '<，得2320ax bx +<，所以23b x a <-或0x >，故函数325y ax bx =++的单调递增区间为2(,0)3b a-，单调递减区间为2(,)3ba-∞-和(0,)+∞．18．【答案】最小值为1．【解析】∵2()x f x a'=，∴2(1)f a '=，又1(1)1f a =-，∴()f x 在1x =处的切线l 的方程是121(1)y x a a-+=-，令0x =，得11y a =--，令0y =，得12a x +=，∴切线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为1111111(2)(22)12244a S a a a +=--=++≥⨯+=．当且仅当1a a=，即1a =时，切线l 与两坐标轴围成的三角形的面积最小，且最小值为1．19．【答案】（1）3a =，12b =-；（2）12x =-处，取极大值21，21x =处，取极小值6-．【解析】（1）因为32()21f x x ax bx =+++，所以2()62f x x ax b '=++，从而22()6()66a a f x x b '=++-，即()y f x '=的图象关于直线6a x =-对称，从而由题设条件知162a -=-，解得3a =．又因为(1)0f '=，所以620a b ++=，解得12b =-．所以实数a ，b 的值分别为3，12-．（2）由（1）知32()23121f x x x x =+-+，2()66126(1)(2)f x x x x x '=--=-+．令()0f x '=，即6(1)(2)0x x -+=，解得12x =-，21x =，当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '>，故()f x 在区间(,2)-∞-内为增函数；当(2,1)x ∈-时，()0f x '<，故()f x 在区间(2,1)-内为减函数；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在区间(1,)+∞内为增函数；从而函数()f x 在12x =-处取得极大值(2)21f -=，在21x =处取得极小值(1)6f =-．20．【答案】（1）3221()(01)6S f t t at a t t ==-+<≤；（2）见解析．【解析】（1）由222y x y x ax⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，得点(0,0)O ，2(,)A a a ，又由已知，得2(,2)B t t at -+，2(,)D t t ，∴22223220111(2)(2)()226tS x ax dx t t t at t a t t at a t =-+-⋅⋅+-+--=-+⎰． ∴3221()(01)6S f t t at a t t ==-+<≤．（2）由（1）可得221()22f t t at a '=-+，令()0f t '=，即221202t at a -+=，解得(2t a =-或(2t a =+，∵1a >，∴(21a +>，当(21a ≥，即22a +≥时， ∵01t <≤，∴()0f t '≥，∴()f t 在区间(0,1]上单调递增，S 的最大值是21(1)6f a a =-+；当(21a -<，且1a >，即1a <<0(2t a <<时，()0f t '>，∴()f t在区间(0,(2)a -上单调递增；当(21a t <≤时，()0f t '<，∴()f t在区间((2,1]a -上单调递减， ∴()f t的最大值是32((2)1)3f a a -=． 21．【答案】（1）10000a b =⎧⎨=⎩；（2）①()f t =[5,20]t ∈；②当t =l的长度最短，最短长度为km ．．【解析】（1）由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)，将其分别代入2ay x b=+．将4025 2.5400aba b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得10000a b =⎧⎨=⎩．（2）①由（1）知，21000(520)y x x =≤≤，则点P 的坐标为21000(,)t t，设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，32000y x'=-，则l 的方程为2310002000()y x t t t -=--，由此得3(,0)2t A ，23000(0,)B t，故()f t ==，[5,20]t ∈． ②设624410()g t t t ⨯=+，则651610()2g t t t⨯'=-，令()0g t '=，解得t =当t ∈时，()0g t '<，()g t 是减函数；当20)t ∈时，()0g t '>，()g t 是增函数，从而，的那个t =()g t 有极小值，也是最小值，所以min ()300g t =，此时min ()f t =．答：当t =l的长度最短，最短长度为km ． 22．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】()f x 的定义域为(0,)+∞，223322(2)(1)()a ax x f x a x x x x --'=--+=，当0a ≤时，(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0a >时，3(1)()(a x f x x x x -'=-+．1>时，即02a <<，当(0,1)x ∈，)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，当x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；1=时，即2a =，在(0,)x ∈+∞内()0f x '≥，()f x 单调递增；③01<<时，2a >，当x ∈，(1,)x ∈+∞时，()0f x '≥，()f x 单调递增，当x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减．综上所述，当0a ≤时，()f x 在区间(0,1)内单调递增，在区间(1,)+∞内单调递减；当02a <<时，()f x 在区间(0,1)内单调递增，在区间内单调递减，在区间)+∞内单调递增；当2a =时，()f x 在区间(0,)+∞内单调递增；当2a >时，()f x在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间(1,)+∞内单调递增．（2）证明由（1）知，1a =时22321122()()ln (1)x f x f x x x x x x x -'-=-+---+ 23312ln 1x x x x x=-++--，[1,2]x ∈．设()ln g x x x =-，23312()1h x x x x=+--，[1,2]x ∈，则()()()()f x f x g x h x '-=+．由1()0x g x x-'=≥，可得()(1)1g x g ≥=，当且仅当1x =时取得等号．又24326()x x h x x--+'=，设2()326x x x ϕ=--+，则()x ϕ在[1,2]x ∈单调递减，因为(1)1ϕ=，(2)10ϕ=-，所以0(1,2)x ∃∈，使得0(1,)x x ∈时，()0x ϕ>，0(,2)x x ∈时，()0x ϕ<，所以()h x 在区间0(1,)x 内单调递增，在区间0(,2)x 内单调递减，由(1)1h =，1(2)2h =，可得1()(2)2h x h ≥=，当且仅当2x =时取得等号，所以3()()(1)(2)2f x f x g h '->+=，即3()()2f x f x '>+对于任意的[1,2]x ∈成立．。

[精品]新人教A版选修2-2高中数学第一章导数及其应用综合检测和答案

第一章导数及其应用综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2010·全国Ⅱ文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1[答案] A[解析] y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1.2．一物体的运动方程为s＝2t sin t＋t，则它的速度方程为( ) A．v＝2sin t＋2t cos t＋1B．v＝2sin t＋2t cos tC．v＝2sin tD．v＝2sin t＋2cos t＋1[答案] A[解析] 因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y＝s(t)在t0的导数，S′＝2sin t＋2t cos t＋1，故选A.3．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是( )A．4B．5C ．6D ．7 [答案] D[解析] 由导数的几何意义知，曲线y ＝x 2＋3x 在点A (2,10)处的切线的斜率就是函数y ＝x 2＋3x 在x ＝2时的导数，y ′|x ＝2＝7，故选D.4．函数y ＝x |x (x －3)|＋1( ) A ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (0)＝1 B ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (3)＝1 C ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (0)＝f (3)＝1 D ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (3)＝1，f (－1)＝－3 [答案] B[解析] y ＝x |x (x －3)|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x 2＋1 (x <0或x >3)－x 3＋3x 2＋1 (0≤x ≤3)∴y ′＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－6x (x <0或x >3)－3x 2＋6x (0≤x ≤3)x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：极大极小故应选B.5．(2009·安徽理，9)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是( ) A．y＝2x－1B．y＝xC．y＝3x－2D．y＝－2x＋3[答案] A[解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式．∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，∴f(2－x)＝2f(x)－x2－4x＋4，∴f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，切线方程为y －1＝2(x－1)，∴y＝2x－1.6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于( )A．2B．3C．4D．5[答案] D[解析] f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f(x)在x＝－3时取得极值，∴x＝－3是方程3x2＋2ax＋3＝0的根，∴a＝5，故选D.7．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)[答案] D[解析] 令F(x)＝f(x)·g(x)，易知F(x)为奇函数，又当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即F′(x)>0，知F(x)在(－∞，0)内单调递增，又F(x)为奇函数，所以F(x)在(0，＋∞)内也单调递增，且由奇函数知f(0)＝0，∴F(0)＝0.又由g(－3)＝0，知g(3)＝0∴F(－3)＝0，进而F(3)＝0于是F(x)＝f(x)g(x)的大致图象如图所示∴F(x)＝f(x)·g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故应选D.8．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④ [答案] B[解析] ③不正确；导函数过原点，但三次函数在x ＝0不存在极值；④不正确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故应选B.9．(2010·湖南理，5)⎠⎜⎛241xd x 等于( )A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2 [答案] D[解析] 因为(ln x )′＝1x，所以 ⎠⎜⎛241x dx ＝ln x |42＝ln4－ln2＝ln2. 10．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确 [答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7)＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D.11．已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c ( )A ．有最大值152B ．有最大值－152C ．有最小值152D ．有最小值－152[答案] B[解析] 由题意f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c 在[－1,2]上，f ′(x )≤0恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)≤0f ′(2)≤0即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c －3≥04b ＋c ＋12≤0令b ＋c ＝z ，b ＝－c ＋z ，如图过A ⎝⎛⎭⎪⎫－6，－32得z 最大，最大值为b ＋c ＝－6－32＝－152.故应选B.12．设f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (x ) [答案] C[解析] 令F (x )＝f (x )g (x )则F ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )<0 f (x )、g (x )是定义域为R 恒大于零的实数∴F (x )在R 上为递减函数，当x ∈(a ，b )时，f (x )g (x )>f (b )g (b )∴f (x )g (b )>f (b )g (x )．故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13.⎠⎜⎛－2－1d x(11＋5x )3＝________. [答案]772[解析] 取F (x )＝－110(5x ＋11)2，从而F ′(x )＝1(11＋5x )3则⎠⎜⎛－2－1d x(11＋5x )3＝F (－1)－F (－2)＝－110×62＋110×12＝110－1360＝772.14．若函数f (x )＝ax 2－1x的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．[答案] a ≥0[解析] f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫ax －1x ′＝a ＋1x 2，由题意得，a ＋1x2≥0，对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥－1x2，x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥0.15．(2009·陕西理，16)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．[答案] －2[解析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质．k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线l ：y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，x ＝nn ＋1，∴a n ＝lgnn ＋1，∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg 12×23×…×99100＝lg 1100＝－2.16．如图阴影部分是由曲线y ＝1x，y 2＝x 与直线x ＝2，y ＝0围成，则其面积为________．[答案] 23＋ln2[解析]由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1x，得交点A (1,1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1x得交点B ⎝⎛⎭⎪⎫2，12.故所求面积S ＝⎠⎜⎛01x d x ＋⎠⎜⎛121x d x ＝23x 32| 10＋ln x | 21＝23＋ln2. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)(2010·江西理，19)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)．(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)， f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本题满分12分)求曲线y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 所围成图形的面积．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x得x 1＝0，x 2＝2.由图可知，所求图形的面积为S ＝⎠⎜⎛02(2x －x 2)d x ＋|⎠⎜⎛02(2x 2－4x )d x |＝⎠⎜⎛02(2x －x 2)d x －⎠⎜⎛02(2x 2－4x )d x . 因为⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3′＝2x －x 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－2x 2′＝2x 2－4x ，所以S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪⎪2－⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－2x 2⎪⎪⎪⎪2＝4.19．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)． (1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值点．[分析] 考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想．[解析] (1)f ′(x )＝3x 2－3a .因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f (2)＝8.即⎩⎪⎨⎪⎧3(4－a )＝0，8－6a ＋b ＝8.解得a ＝4，b ＝24.(2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )没有极值点．当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点． 20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.[解析] (1)依题意知函数的定义域为{x |x >0}， ∵f ′(x )＝x ＋1x，故f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． (2)设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，∴g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0，∴g (x )在(1，＋∞)上为增函数， ∴g (x )>g (1)＝16>0，∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.21．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x, f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围． [分析] 本题主要考查导数的应用及转化思想，以及求参数的范围问题．[解析] (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)．f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立．所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时f ′(x )>0.所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ，当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a .故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a <2或a >52.22．(本题满分14分)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋1(a ∈R )．(1)若函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上递增，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上递减，求a 的值；(2)当x ∈[0,1]时，设函数y ＝f (x )图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，求θ的取值范围；(3)在(1)的条件下，是否存在实数m ，使得函数g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象与函数y ＝f (x )的图象恰有三个交点．若存在，请求出实数m 的值；若不存在，试说明理由．[解析] (1)依题意f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，由f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，得－3⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ·23＝0，即a ＝1.(2)当x ∈[0,1]时，tan θ＝f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －a 32＋a23.由a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，得a 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.①当a 3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，即a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3时，f ′(x )max ＝a 23，f (x )min ＝f ′(0)＝0.此时0≤tan θ≤a 23.②当a3∈(1，＋∞)，即a ∈(3，＋∞)时，f ′(x )max ＝f ′(1)＝2a－3，f ′(x )min ＝f ′(0)＝0，此时，0≤tan θ≤2a －3.又∵θ∈[0，π)，∴当32<a ≤3时，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，arctan a 23，当a >3时，θ∈[0，arctan(2a －3)]．(3)函数y ＝f (x )与g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象恰有3个交点，等价于方程－x 3＋x 2＋1＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1恰有3个不等实根，∴x 4－4x 3＋(1－m )x 2＝0，显然x ＝0是其中一个根(二重根)，方程x 2－4x ＋(1－m )＝0有两个非零不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16－4(1－m )>01－m ≠0∴m >－3且m ≠1故当m >－3且m ≠1时，函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象恰有3个交点．。

高中数学第一章导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义学业分层测评(含解析)新人教A版选修2-2

导数的几何意义学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＋2＝0，则f ′(1)＝( ) A ．4 B ．－4 C ．－2 D ．2【解析】由导数的几何意义知f ′(1)＝2，故选D. 【答案】 D2．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－2【解析】依导数定义可求得y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧12＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.【答案】 C3．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率k ＝3，则点P 的坐标是( ) A ．(1,1)B ．(－1,1)C ．(1,1)或(－1，－1)D ．(2,8)或(－2，－8)【解析】因为y ＝x 3，所以y ′＝lim Δx →0x ＋Δx 3－x 3Δx ＝lim Δx →0[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝3x 2.由题意，知切线斜率k ＝3，令3x 2＝3，得x ＝1或x ＝－1. 当x ＝1时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝－1. 故点P 的坐标是(1,1)或(－1，－1)．【答案】 C4．(2016·某某高二检测)若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －4＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0【解析】设切点为(x 0，y 0)，∵f ′(x )＝lim Δx →0x ＋Δx 2－x 2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .由题意可知，切线斜率k ＝4，即f ′(x 0)＝2x 0＝4，∴x 0＝2，∴切点坐标为(2,4)，∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0，故选A.【答案】 A5．曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线的斜率为( )A ．2B ．－4C ．3 D.14【解】因为y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →01x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0－1x 2＋x ·Δx ＝－1x 2，所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝12＝－4.【答案】 B 二、填空题6．已知函数y ＝f (x )的图象如图115所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是__________(填序号)．图115【解析】由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知，当x <0时f ′(x )>0，当x ＝0时f ′(x )＝0，当x >0时f ′(x )<0，故②符合．【答案】②7．曲线y ＝x 2－2x ＋3在点A (－1,6)处的切线方程是 __________.【解析】因为y ＝x 2－2x ＋3，切点为点A (－1,6)，所以斜率k ＝y ′|x ＝－1＝limΔx →0－1＋Δx2－2－1＋Δx ＋3－1＋2＋3Δx＝lim Δx →0(Δx －4)＝－4，所以切线方程为y －6＝－4(x ＋1)，即4x ＋y －2＝0. 【答案】 4x ＋y －2＝08．若曲线y ＝x 2＋2x 在点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＝0，则点P 的坐标是__________．【解析】设P (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝limΔx →0x 0＋Δx2＋2x 0＋Δx －x 20－2x 0Δx＝lim Δx →0(2x 0＋2＋Δx )＝2x 0＋2.因为点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＝0，所以点P 处的切线的斜率为2，所以2x 0＋2＝2，解得x 0＝0，即点P 的坐标是(0,0)．【答案】 (0,0) 三、解答题9．(2016·某某高二检测)已知抛物线y ＝f (x )＝x 2＋3与直线y ＝2x ＋2相交，求它们交点处抛物线的切线方程．【解】由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3，y ＝2x ＋2，得x 2－2x ＋1＝0，解得x ＝1，y ＝4，所以交点坐标为(1,4)，又Δx ＋12＋3－12＋3Δx＝Δx ＋2.当Δx 趋于0时Δx ＋2趋于2，所以在点(1,4)处的切线斜率k ＝2，所以切线方程为y －4＝2(x －1)，即y ＝2x ＋2. 10．试求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程．【解】y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝limΔx →0x ＋Δx 2－x 2Δx＝2x .设所求切线的切点为A (x 0，y 0)． ∵点A 在曲线y ＝x 2上， ∴y 0＝x 20，又∵A 是切点，∴过点A 的切线的斜率y ′|x ＝x 0＝2x 0， ∵所求切线过P (3,5)和A (x 0，y 0)两点，∴其斜率为y 0－5x 0－3＝x 20－5x 0－3.∴2x 0＝x 20－5x 0－3，解得x 0＝1或x 0＝5.从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25)．当切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2；当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)，即y ＝2x －1和y ＝10x －25.[能力提升]1．(2016·某某高二检测)设f (x )为可导函数，且满足lim Δx →0f 1－f 1－x2x ＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2【解析】∵limΔx →0f 1－f 1－x2x＝12lim Δx →0f 1－x －f 1－x ＝－1， ∴limΔx →0f 1－x －f 1－x ＝－2，即f ′(1)＝－2.由导数的几何意义知，曲线在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝f ′(1)＝－2，故选D. 【答案】 D2．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－2【解析】依导数定义可求得y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.【答案】 C3．(2016·某某高二检测)已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 的值为________．【解析】设切点为P (x 0，y 0)．则f ′(x 0)＝limΔx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝limΔx →0a x 0＋Δx2－ax 2Δx＝lim Δx →0(2ax 0＋a Δx )＝2ax 0，即2ax 0＝1. 又y 0＝ax 20，x 0－y 0－1＝0，联立以上三式，得⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＝1，y 0＝ax 20，x 0－y 0－1＝0，解得a ＝14.【答案】144．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公切线，求a ，b 的值．【解】因为f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx＝limΔx →0a x ＋Δx2＋1－ax 2＋1Δx＝2ax ，所以f ′(1)＝2a ，即切线斜率k 1＝2a . 因为g ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx＝limΔx →0x ＋Δx3＋b x ＋Δx －x 3＋bx Δx＝3x 2＋b ，所以g ′(1)＝3＋b ，即切线的斜率k 2＝3＋b . 因为在交点(1，c )处有公切线，所以2a ＝3＋b .①又因为c ＝a ＋1，c ＝1＋b ，所以a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ，代入①式，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3.。

2020学年数学人教A版选修2-2检测：第一章导数及其应用测试卷

第一章导数及其应用测试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列求导运算正确的是( )A ．(cos x )′＝sin xB ．(2πx 2)′＝4π2xC ．(e x )′＝x e x －1 D ．(lg x )′＝1x ln 10详细分析：∵(cos x )′＝－sin x ，(2πx 2)′＝4πx ，(e x )′＝e x ，(lg x )′＝1x ln 10，∴A 、B 、C 选项均不正确，D 选项正确，故选D.答案：D2．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒详细分析：s ′＝t 3－12t 2＋32t ＝t (t 2－12t ＋32)＝t (t －4)(t －8)，可得t ＝0，或t ＝4，或t ＝8，故选D.答案：D3．曲线y ＝(x －1)e x (e 为自然对数的底数)在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝x －1 C ．y ＝e x ＋e D ．y ＝e x －e详细分析：由y ＝(x －1)e x ，得y ′＝x e x ，∴曲线在点(1,0)处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝e ，∴切线方程为y ＝e(x －1)，即y ＝e x －e ，故选D.答案：D4．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c >0)围成的图形面积是23，则c ＝( )A ．1 B.12C.32D ．2 详细分析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝cx 3，得两曲线交于点O (0,0)和点A ⎝⎛⎭⎫1c ，1c 2，∴两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c >0)围成的图形面积S ＝ (x 2－cx 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－14cx 4＝13·1c 3－14·c·1c 4＝112c 3＝23，解得c ＝12，故选B . 答案：B5．函数f(x)＝x ＋3x＋2ln x 的单调递减区间是( )A ．(－3,1)B ．(0,1)C ．(－1,3)D ．(0,3)详细分析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1－3x 2＋2x ＝x 2＋2x －3x 2＝(x ＋3)(x －1)x 2.由f ′(x)<0，得0<x<1，∴函数f(x)的单调递减区间是(0,1)．故选B .答案：B6．函数f(x)的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点详细分析：由导函数f ′(x )的图象知，f ′(x )＝0有四个根，设这四个根从左到右依次为a ，b ，c ，d ，又x ∈(－∞，a )时，f (x )单调递增；x ∈(a ，b )时，f (x )单调递减；x ∈(b ，c )时，f (x )单调递增；x ∈(c ，d )时，f (x )单调递减；当c ∈(d ，＋∞)时，f (x )单调递增，∴a ，c 为函数的极大值点，b ，d 为函数f (x )的极小值点，故选C.答案：C7．已知函数f (x )＝x 2＋2x －2的图象在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，－3) C ．(－2，－3) D ．(－2,3)详细分析：由f (x )＝x 2＋2x －2，得f ′(x )＝2x ＋2，∵函数f (x )在点M 处的切线平行于x 轴，∴f ′(x )＝0，即x ＝－1，∴f (－1)＝1－2－2＝－3，∴点M 的坐标为(－1，－3)，故选B.答案：B8．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2(a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,2]B ．(0,2)C ．[3，2)D ．(3，2)详细分析：由题意可知f ′(x )＝0的两个不同解都在区间(－1,1)内．因为f ′(x )＝3x 2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2a )2－4×3×1>0－1<－2a 6<1f ′(－1)＝3－2a ＋1>0f ′(1)＝3＋2a ＋1>0，又a >0，解得3<a <2.故选D.答案：D9．设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，则当a <x g (x ) B ．f (x )<g (x )C ．f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )>g (x )＋f (b )详细分析：令h (x )＝f (x )－g (x )，x ∈[a ，b ]，∴f ′(x )>g ′(x )，∴h ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )>0，∴h (x )在区间[a ，b ]上单调递增，当a <x 时，h (a )<h (x )，即f (a )－g (a )<f (x )－g (x )，∴f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )，故选C.答案：C10．已知函数f (x )满足f (0)＝0，导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为( )A.13B.43C ．2 D.83详细分析：由f ′(x )的图象知，f ′(x )＝2x ＋2，设f (x )＝x 2＋2x ＋c ，由f (0)＝0知，c ＝0，所以f (x )＝x 2＋2x ，由x 2＋2x ＝0得x ＝0或x ＝－2. 故所求面积.答案：B11．若函数f(x)＝e x (sin x ＋a)在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－2，＋∞)详细分析：f ′(x)＝e x (sin x ＋a)＋e x ·cos x ＝e x (sin x ＋cos x ＋a)，∵函数f(x)＝e x (sin x ＋a)在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，且e x >0， ∴sin x ＋cos x ＋a ≥0，即a ≥－(sin x ＋cos x)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上恒成立． ∵当－π2<x<π2时，－π4<x ＋π4<3π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈⎝⎛⎦⎤－22，1，∴－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ∈[－2，1)．∴a ≥1，即实数a 的取值范围是[1，＋∞)，故选C . 答案：C 12．已知定义在R 上的奇函数f (x )，设其导数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )<f (－x )，令F (x )＝xf (x )，则满足F (3)>F (2x －1)的实数x 的取值范围为( )A ．(－1,2) B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C.⎝⎛⎭⎫12，2 D ．(－2,1)详细分析：因为f (x )是奇函数，所以不等式xf ′(x )<f (－x )等价于xf ′(x )<－f (x )，即xf ′(x )＋f (x )<0，即F ′(x )<0.当x ∈(－∞，0]时，函数F (x )单调递减；由于F (x )＝xf (x )为偶函数，所以F (x )在[0，＋∞)上单调递增．所以F (3)>F (2x －1)等价于F (3)>F (|2x －1|)，即3>|2x －1|，解得－1<x <2. 答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f ′(2)＝________.详细分析：由f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，得f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)，令x ＝2，则f ′(2)＝4＋3f ′(2)，解得f ′(2)＝－2.答案：－214．已知某矩形广场面积为40 000 m 2，则其周长至少为________米．详细分析：设广场的长为x m ，则宽为40 000xm ，于是其周长为y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋40 000x (x >0)，所以y ′＝2⎝⎛⎭⎫1－40 000x 2，令y ′＝0，解得x ＝200(x ＝－200舍去)，这时y ＝800.当0<x <200时，y ′<0；当x >200时，y ′>0，所以当x ＝200时，y 取得最小值，故其周长至少为800 m.答案：80015．由曲线y 2＝x ，直线y ＝x －2所围成的封闭图形的面积为________．详细分析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x y ＝x －2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝2，根据定积分的几何定义可知所求封闭图形的面积.答案：9216．若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在[0,2]上有根，则实数m 的取值范围是________．详细分析：令f(x)＝x 3－3x ＋m ，则f ′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)．显然，当x<－1或x>1时，f ′(x)>0，f(x)单调递增；当－1<x<1时，f ′(x)<0，f(x)单调递减．所以当x ＝－1时，f(x)取极大值f(－1)＝m ＋2；当x ＝1时，f(x)取极小值f(1)＝m －2.而f(0)＝m ，f(2)＝m ＋2，f(0)<f(2) 因为f(x)＝0在[0,2]上有解，所以⎩⎨⎧f (1)≤0f (2)≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤02＋m ≥0，所以－2≤m ≤2. 答案：[－2,2]三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤) 17．(10分)已知函数f(x)＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．详细分析：(1)∵f ′(x)＝3x 2－8x ＋5， ∴f ′(2)＝3×22－8×2＋5＝1，又f(2)＝－2，∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5.∴切线方程为y －(x 30－4x 20＋5x 0－4)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －x 0)又切线过点A(2，－2)，∴－2－(x 30－4x 20＋5x 0－4)＝(3x 20－8x 0＋5)(2－x 0)，整理，得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1.∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为 x －y －4＝0或y ＋2＝0.18．(12分)已知函数f(x)＝ln (ax ＋1)＋1－x 1＋x，x ≥0，其中a>0.(1)若f(x)在x ＝1处取得极值，求a 的值； (2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)的最小值为1，求a 的取值范围．详细分析：(1)f ′(x)＝a ax ＋1－2(1＋x )2＝ax 2＋a －2(ax ＋1)(1＋x )2，因为f(x)在x ＝1处取得极值，所以f ′(1)＝0，即a ＋a －24(a ＋1)＝0，解得a ＝1. (2)由(1)知f ′(x)＝ax 2＋a －2(ax ＋1)(1＋x )2，因为x ≥0，a>0，所以ax ＋1>0.①当a ≥2时，在区间[0，＋∞)上，f ′(x)>0，所以f(x)的单调增区间为[0，＋∞)． ②当0<a<2时，由f ′(x)>0解得x>2－aa，由f ′(x)<0解得x<2－aa，所以f(x)的单调减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2－a a ，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2－aa ，＋∞. 综上可知，当a ≥2时，f(x)的单调增区间为[0，＋∞)；当0<a<2时，f(x)的单调减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0， 2－a a ，单调增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2－aa ，＋∞. (3)当a ≥2时，由(2)①知，f(x)的最小值为f(0)＝1，当0<a<2时，由(2)②知，f(x)在x ＝2－a a 处取得最小值，最小值为f ⎝⎛⎭⎪⎫2－a a <f(0)＝1，综上可知，若f(x)的最小值为1，则a 的取值范围是[2，＋∞)．19．(12分)苏州市举办“广电狂欢购物节”促销活动，某厂商拟投入适当的广告费，对所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在狂欢购物节的销售量p(万件)与广告费用x(万元)满足p ＝3－2x ＋1(其中0≤x ≤a ，a 为正常数)．已知生产该批产品p 万件还需投入成本(10＋2p)万元(不含广告费用)，产品的销售价格为⎝⎛⎭⎫4＋20p 元/件，假定厂商生产的产品恰好能够售完． (1)将该产品的利润y(万元)表示为广告费用x(万元)的函数； (2)问广告投入多少万元时，厂商的利润最大？详细分析：(1)由题意知，y ＝⎝⎛⎭⎫4＋20p p －x －(10＋2p)，将p ＝3－2x ＋1代入化简得y ＝16－4x ＋1－x(0≤x ≤a ，a 为正常数)．(2)由(1)知y ′＝－1－－4(x ＋1)2＝－(x ＋1)2＋4(x ＋1)2＝－(x ＋3)(x －1)(x ＋1)2(0≤x ≤a ，a 为正常数)．①当a>1时，在区间(0,1)上，y ′>0，函数在(0,1)上单调递增；在区间(1，a)上，y ′<0，函数在(1，a)上单调递减．则广告费用投入1万元时，厂商的利润最大． ②当a ≤1时，函数在[0，a]上单调递增，所以x ＝a 时，函数有最大值，即广告费用投入a 万元时，厂商的利润最大．综上所述，当a>1时，广告费用投入1万元，厂商的利润最大；当a ≤1时，广告费用投入a 万元，厂商的利润最大．20．(12分)已知F(x)＝⎠⎛x －1t(t －4)d t ，x ∈(－1，＋∞)．(1)求F(x)的单调区间；(2)求函数F(x)在[1,5]上的最值．详细分析：F(x)＝＝13x 3－2x 2－⎝⎛⎭⎫－13－2＝13x 3－2x 2＋73(x>－1)．(1)F ′(x)＝⎝⎛⎭⎫13x 3－2x 2＋73′＝x 2－4x ，由F ′(x)>0，即x 2－4x>0，得－1<x<0或x>4；由F ′(x)<0，即x 2－4x<0，得0<x<4，所以F(x)的单调递增区间为(－1,0)和(4，＋∞)，单调递减区间为(0,4)．(2)由(1)知F(x)在[1,4]上递减，在[4,5]上递增．因为F(1)＝13－2＋73＝23，F(4)＝13×43－2×42＋73＝－253，F(5)＝13×53－2×52＋73＝－6，所以F(x)在[1,5]上的最大值为23，最小值为－253.21．(12分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2(a ，b ∈R ) (1)若函数f (x )在x ＝1处有极值为10，求b 的值；(2)对任意a ∈[－1，＋∞)，f (x )在区间(0,2)单调递增，求b 的最小值； (3)若a ＝1，且过点(－2,0)能作f (x )的三条切线，求b 的取值范围．详细分析：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意： f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0①，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10②由①②解得：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝3；经检验当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝3时无极值点，当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－11时函数f (x )在x ＝1处有极小值，故b ＝－11.(2)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ≥0对∀a ∈[－1，＋∞)，当x ∈(0,2)恒成立记h (a )＝3x 2＋2ax ＋b ＝(2x )a ＋3x 2＋b ， ∴h (a )min ＝h (－1)＝3x 2－2x ＋b ≥0 又设H (x )＝3x 2－2x ＋b ，当x ∈(0,2)时H (x )min ＝H ⎝⎛⎭⎫13＝－13＋b ≥0， b ≥13，∴b 的最小值为13. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 3＋x 2＋bx ＋1，设切点为P (x 0，y 0)，则切线斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋2x 0＋b ＝f (x 0)x 0＋2， ∴2x 30＋7x 20＋4x 0＋2b －1＝0，设F (x 0)＝2x 30＋7x 20＋4x 0＋2b －1，过点(－2,0)能作f (x )三条切线等价于F (x 0)有三个零点 F ′(x 0)＝6x 20＋14x 0＋4＝2(3x 0＋1)(x 0＋2)令⎩⎪⎨⎪⎧F (－2)>0F ⎝⎛⎭⎫－13<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋3>02b －4427<0， ∴b ∈⎝⎛⎭⎫－32，2227. 22．(12分)已知函数f (x )＝12x 2＋(1－a )x －a ln x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)设a >0，证明：当0<x <a 时，f (a ＋x )<f (a －x )； (3)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22>0. 详细分析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由已知，得f ′(x )＝x ＋1－a －a x ＝x 2＋(1－a )x －a x ＝(x ＋1)(x －a )x.若a ≤0，则f ′(x )>0，此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则令f ′(x )＝0，得x ＝a .当0<x <a 时，f ′(x )<0；当x >a 时，f ′(x )>0.此时f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．(2)令g (x )＝f (a ＋x )－f (a －x )，则g (x )＝12(a ＋x )2＋(1－a )(a ＋x )－a ln(a ＋x )－⎣⎡⎦⎤12(a －x )2＋(1－a )(a －x )－a ln (a －x )＝2x －a ln(a ＋x )＋a ln(a －x )．所以g ′(x )＝2－a a ＋x －a a －x ＝2x 2x 2－a 2.当0<x <a 时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，a )上是减函数．而g (0)＝0，所以g (x )<g (0)＝0. 故当0<x <a 时，f (a ＋x )<f (a －x )．(3)由(1)可知，当a ≤0时，函数f (x )至多有一个零点，故a >0，从而f (x )的最小值为f (a )，且f (a )<0. 不妨设0<x 1<x 2，则0<x 1<a <x 2，所以0<a －x 1<a . 由(2)得f (2a －x 1)<f (x 1)＝0＝f (x 2)，从而x 2>2a －x 1，于是x 1＋x 22>a .由(1)知，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>0.。

人教A版选修2-2《第1章导数及其应用》2020年单元测试卷（2）

人教A版选修2-2《第1章导数及其应用》2020年单元测试卷（2）人教A版选修2-2《第1章导数及其应用》2020年单元测试卷（2）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知函数f(x)=2x2?ax?1，在[?1,2]上单调，则实数a的取值范围是()．A. [?4,8]B. (?∞,?4]C. [8,+∞]D. (?∞,?4]∪[8,+∞)2.已知函数f(x)=?x3+ax2?x?1在上是单调函数，则实数a的取值范围是()A. B. [?√3,√3]C. D. (?√3,√3)3.若f(x)=x2?2x?4lnx，则f′(x)>0的解集为()A. (0,+∞)B. (2,+∞)C. (?1,0)D. (?1,0)∪(2,+∞)4.若函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y=(1?x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A. 函数f(x)有极大值f(3)，极小值f(?1)B. 函数f(x)有极大值f(?1)，极小值f(3)C. 函数f(x)有极大值f(?1)，极小值f(1)D. 函数f(x)有极大值f(3)，极小值f(1)5.设p：f(x)=e x+2x2+mx+1在[0,+∞)上单调递增，q：m+5≥0，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x都有f(x)≥0，则f(1)的最小值为()f′(0)A. 3B. 52C. 2D. 327. 若f(x)=?12x 2+aln(x +2)在(?1,+∞)上是减函数，则a 的取值范围是( )A. [?1,+∞)B. (?1,+∞)C. (?∞,?1]D. (?∞,?1)8. 已知f(x)=13x 3?x 2+ax +m ，其中a >0，如果存在实数t ，使f′(t)<0，则f′(t +2)?f′(2t+13)的值( )A. 必为正数B. 必为负数C. 必为非负数D. 必为非正数9. 求函数的最大值为( )A. 3B. 103C. 113D. 13410. 若函数f(x)=2x 2?lnx 在其定义域内的一个子区间(k ?1,k +1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A. [1,+∞)B. [1,32)C. [1,2)D. [32,2)11. 已知函数y =f(x)满足f(?x)=f(x)，且当x ∈(0,+∞)时，有f(x)=1x ；则当x ∈(?∞,0)时，f(x)= ( )A. xB. ?xC. 1xD. ?1x12. 设函数?(x )=e x x．(1)则函数y = ?(x )的单调区间_______；(2)若k > 1，不等式?′(x )+ k (1 ?x )?(x )> 0的解集为_____．以下选项正确的是( )．A. 单调增区间是：[1,+∝)；单调减区间是：(?∞,0).{x|1k <1}．<="" bdsfid="149" p="">B. 单调增区间是：[1,+∝)；单调减区间是：(?∞,0)，(0,1]．{x|1<x<1}．< bdsfid="154" p=""></x<1}．<>kC. 单调增区间是：[1,+∝)；单调减区间是：(0,1]．{x|1<x<1}．< bdsfid="159" p=""></x<1}．<>kD. 单调增区间是：[1,+∝)；单调减区间是：(?∞,0)，(0,1].{x|1<x<k}．< bdsfid="162" p=""></x<k}．<>E. 单调增区间是：[1,+∝)；单调减区间是：(?∞,0)，(0,1]．{x|k<x<1}．< bdsfid="165" p=""></x<1}．<>F. 单调增区间是：(?∞,0)，(0,1].；单调减区间是：[1,+∝)．{x|1<x<1}．< bdsfid="169" p=""></x<1}．<>k二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）13.在曲线f(x)=x3+3x2+6x?10的切线的斜率中，最小值是______ ．14.已知函数f(x)=x3?3ax(a∈R)，若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线，则a的取值范围为______________________15.若函数f(x)=x3+ax+1图象与x轴相切，则实数a的值为_________．416.若函数f(x)=log a(x3?ax)(a>0，且a≠1)在区间(?1,0)上单调递增，则a的取值范围是2________．17.已知曲线y=2x2+4x在点P处的切线斜率为16，则点P的坐标为________．18.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=2，且f(x)的导函数f′(x)在R上恒有f′(x)<1，则不等式f(x)<x+1的解集为< bdsfid="185" p=""></x+1的解集为<>19.点(2,0)到直线y=x?1的距离为______ ．20.半径为r的圆的面积S(r)=π·r2，周长C(r)=2π·r，若将r看作(0,+∞)上的变量，则(π·r2)′=2π·r①.①式可以用语言叙述为圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0,+∞)上的变量，则类似于①的式子为________，此式可以用语言叙述为____________________________________________________________．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）21.已知函数f(x)=xln x?(a+1)x+1，a∈R．(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若方程(2a?1)(f(x)x +a+1)+1x+x+2=0有三个解，求实数a的取值范围．22.已知函数f(x)=ax2+bx和g(x)=lnx．(Ⅰ)若a=b=1，求证：f(x)的图象在g(x)图象的上方；(Ⅱ)若f(x)和g(x)的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，求a的取值范围．23.已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a≤?2，证明：对任意x?1，x?2∈(0,+∞)，|f(x?1)?f(x?2)|≥4|x?1?x?2|.+lnx的一个极植点24.已知x=1是f(x)=2x?bx(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)设g(x)=f(x)?3，试问过点(2,5)可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明理由．xax2?(a?1)x?lnx(a∈R且a≠0)．25.已知函数f(x)=12(I)求函数f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)记函数y=F(x)的图象为曲线C.设点A(x1,y1)，B(x2,y2)是曲线C上的不同两点．如果在曲；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则线C上存在点M(x0,y0)，使得：①x0=x1+x22称函数F(x)存在“中值相依切线”.当a=2时，函数f(x)是否存在“中值相依切线”，请说明理由．(a∈R)．26.已知函数f(x)=lnx+ax(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a>0时，求证：f(x)≥2a?1．a-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．结合二次函数的图象与性质以及f(x)在区间[?1,2]上单调，可得a的取值范围．解：∵函数f(x)=2x2?ax?1的图象是开口朝上，且以直线x=a4为对称轴的抛物线，且f(x)在区间[?1,2]上单调，∴a4≤?1或a4≥2，解得：a∈(?∞,?4]∪[8,+∞)，故选D．2.答案：B解析：本题考查利用导数判断函数的单调性，根据题意求函数的导数，函数f(x)在(?∞,+∞)上是单调递减函数，则f′(x)≤0恒成立，解不等式即可．解：∵f(x)=?x3+ax2?x?1，∴f′(x)=?3x2+2ax?1，要使函数f(x)在(?∞,+∞)上是单调递减函数，则f′(x)≤0恒成立，即f′(x)=?3x2+2ax?1≤0恒成立，∴△=(2a)2?4×(?3)×(?1)=4a2?12≤0，解得?√3≤a≤√3．即实数a的取值范围是[?√3,√3]．故选B．3.答案：B解析：本题考查导数的加法与减法法则，一元二次不等式的解法，计算题，基本题型，属于基础题．由题意，可先求出函数的定义域及函数的导数，再解出不等式f′(x)>0的解集与函数的定义域取交集，即可选出正确选项．，解：由题，f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2x?2?4x>0，整理得x2?x?2>0，解得x>2或x令2x?2?4x结合函数的定义域知，f′(x)>0的解集为(2,+∞)．故选B．4.答案：B解析：本题考查了利用导数研究函数单调性、极值，属于中档题．由已知函数y=(1?x)f′(x)的图象如图所示，列出表格可得单调性，进而判断出极值．解：由已知函数y=(1?x)f′(x)的图象如图所示，可得：x(?∞,?1)?1(?1,1) 1(1,3)3(3,+∞)f′(x)+ 0?0? 0+f(x)单调递增极大值单调递减单调递减极小值单调递增由表格可得：函数f(x)有极大值f(?1)，极小值f(3)．故选：B．5.答案：A本题考查充分必要条件的判断，涉及利用导数研究函数的单调性，和不等式恒成立问题，属基础题，求得f′(x)，p真等价于f′(x)≥0，利用导数研究f′(x)的单调性，求得最小值使之大于等于零，解得m的范围，然后考察此范围与p的关系解：f(x)=e x+2x2+mx+1，f′(x)=e x+4x+m，∴由复合函数单调性可知，f′(x)单调递增，∵f(x)在[0,+∞)上单调递增，∴f′(x)min=f′(0)=1+m≥0，∴m≥?1，∵m≥?1是m≥?5的充分非必要条件，∴p是q的充分不必要条件，故选A．6.答案：C解析：本题考查了求导公式，二次函数恒成立问题以及均值不等式，综合性较强．先求导，由f′(0)>0可得b>0，因为对于任意实数x都有f(x)≥0，所以结合二次函数的图象可得a>0且b2?4ac≤0，又因为f(1)f′(0)=a+b+cb=a+cb+1，利用均值不等式即可求解．解：∵f′(x)=2ax+b，∴f′(0)=b>0；∵对于任意实数x都有f(x)≥0，∴a>0且b2?4ac≤0，∴b2≤4ac，∴c>0；f′(0)=a+b+cb=a+cb+1≥2√acb+1≥1+1=2，当a=c时取等号．故选C．7.答案：C解析：本题主要考查导数的正负和原函数的增减性的问题，属于基础题．先对函数进行求导，根据导函数小于等于0时原函数单调递减即可得到答案．≤0，在x∈(?1,+∞)上恒成立，解：由题意可知f′(x)=?x+ax+2即a≤x(x+2)在x∈(?1,+∞)上恒成立，由于ｇ(x)=x(x+2)在(?1,+∞)上是增函数且g(?1)=?1，所以a≤?1，故选C．8.答案：B解析：本题考查了导数的运算，由已知得出a与t的取值范围和利用作差法比较两个数的大小是解题的关键．先对f(x)求导，由已知条件a>0，如果存在实数t，使f′(t)<0，求出t与a的取值范围，进而)、f′(t+2)与0的关系，从而得出答案．比较出f′(2t+13x3?x2+ax+m，解：∵f(x)=13∴f′(x)=x2?2x+a.∵存在实数t，使f′(t)<0，a>0，∴t2?2t+a<0的解集不是空集，∴△=4?4a>0，解得a<1，因此0<a<1．< bdsfid="333" p=""></a<1．<>令t2?2t+a=0，解得t=1±√1?a，∴t2?2t+a<0的解集是：{x|0<1?√1?a<t<1+√1?a<2}．< bdsfid="338" p=""></t<1+√1?a<2}．<>∵f′(t+2)=(t+2)2?2(t+2)+a=t(t+2)+a，∴f′(t +2)>0；∵f ′(2t+13)=(2t+13)22×2t+13+a ，=4t 2?8t?59+a ，∴f ′(t)?f ′(2t+13)=t 2?2t ?4t 2?8t?59，=5(t?1)29≥0，∴f ′(2t+13)≤f ′(t)<0，∴f′(t +2)?f′(2t+13)<0，故选B ．9.答案：B解析：本题主要考查了三角函数最值得求法，同角三角函数基本关系变形运用，以及运用二次函数模型求最值．先运用同角三角函数基本关系将三角函数名称统一，即得到，再令sinx =t(?1≤t ≤1)，再运用二次函数模型求最值即可．解：函数，令sinx =t(?1≤t ≤1)，则f(t)=f(t)=?3t 2+4t +2=?3(t ?23)2+103，(?1≤t ≤1)，∴当t =23时，f(t)取得最大值103，∴函数f(x)的最大值为103，故选B ．10.答案：B解析：本题主要考查了对数函数的导数，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力，属于基础题．先确定函数的定义域再求导数fˊ(x)，在函数的定义域内解方程fˊ(x)=0，使方程的解在定义域内的一个子区间(k ?1,k +1)内，建立不等关系，解之即可．解：因为f(x)定义域为(0,+∞)，又f′(x)=4x ?1x ，由f′(x)=0，得x =12．当x ∈(0,12)时，f′(x)<0，当x ∈(12,+∞)时，f′(x)>0，据题意，{k ?1<12<="" bdsfid="391" p="">k ?1≥0，解得1≤k <32．故选B ．11.答案：D解析：本题考查函数的解析式求法，属于基础题．由x <0，则?x >0，函数f(x)=f(?x)=1x ，得当x ∈(?∞,0)时，f(x)的解析式．解：设x <0，则?x >0，f(x)=f(?x)=1x ，所以f(x)=?1x ．故选D ．12.答案：B解析：考查的是函数的导数与函数单调性的关系．(1)对函数f(x)进行求导，当导数大于0时是单调递增区间，当导数小于0时是原函数的单调递减区间．(2)将f′(x)代入不等式即可求解．解：(1)∵f(x)=e xx，∴f′(x)=?1x e x+1xe x=x?1xe x，由f′(x)=0，得x=1，因为当x<0时，f′(x)<0；当0<x<1时，f′(x)1时，f′(x)>0；</x<1时，f′(x)所以f(x)的单调增区间是：[1,+∝)；单调减区间是：(?∞,0)，(0,1]．(2)由f′(x)+k(1?x)f(x)=x?1+kx?kx2x2e x=(x?1)(?kx+1)x2e x>0，得：(x?1)(kx?1)<0，故：当k>1时，解集是：{x|1k<x<1}．< bdsfid="431" p=""></x<1}．<>故选B．13.答案：3解析：解：∵f(x)=x3+3x2+6x?10，∴f′(x)=3x2+6x+6=3(x+1)2+3，∵当x=?1时，f′(x)取到最小值3．∴f(x)=x3+3x2+6x?10的切线中，斜率最小的切线方程的斜率为3．故答案为3．先对函数f(x)求导，然后求出导函数的最小值，该最小值即为曲线的切线方程的斜率的最小值．本题主要考查导数的几何意义和导数的运算．导数的几何意义是函数在某点的导数值等于过该点的切线的斜率的值．14.答案：(?∞,1解析：本题考查了利用导数的几何意义研究函数的切线问题，计算量小但有一定的难度，属于中档题．首先分析直线x +y +m =0对任意的m ∈R 都不是曲线y =f(x)的切线的含义，即f′(x)=?1无解即可，然后求出导函数，考察需要的条件即可求得a 的取值范围．解：f(x)=x 3?3ax(a ∈R)，则f′(x)=3x 2?3a(a ∈R)，若直线x +y +m =0对任意的m ∈R 都不是曲线y =f(x)的切线，∵直线x +y +m =0的斜率为?1，∴f′(x)=3x 2?3a =?1无解，即方程3x 2=3a ?1无实数解，∴3a ?1<0，即a <13 ∴a 的取值范围为(?∞,13)．15.答案：?34解析：本题考查函数导数的应用，属于基础题．求出函数的导数，设切点，根据导数的几何意义列方程组求出a 的值即可．解：f(x)=x 3+ax +14，f′(x)=3x 2+a ，若f(x)的图象与x 轴相切，则y =0是函数的切线方程，设切点为(x 0,0)，则{3x 02+a =0x 03+ax 0+14=0,解得{x 0=12a =?34,故答案为?34.16.答案：[3解析：本题主要考查复合函数的单调性，结论是同增异减，解题时一定要注意定义域．解：设g(x)=x3?ax，g(x)>0，得x∈(?√a,0)∪(√a,+∞)，g′(x)=3x2?a，x∈(?√a3,0)时，g(x)递减，x∈(?√a,?√a3)或x∈(√a,+∞)时，g(x)递增，∴当a>1时，减区间为(?√a3,0)，不合题意，当0<a<1时，(?√a< bdsfid="477" p=""></a<1时，(?√a<> 3,0)为增区间，∴?12≥?√a3，∴a∈[34,1)，故答案为[34,1)．17.答案：(3,30)解析：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．解：设点P坐标为(x0,y0)，由y=2x2+4x得y′=4x+4，∴4x0+4=16，解得x0=3∴y0=2x02+4x0=30，∴点P的坐标为(3,30)．故答案为(3,30)．18.答案：(1,+∞)解析：本题利用导数研究函数的单调性，可构造函数，考查所构造的函数的单调性是关键，也是难点所在，属于中档题．解：令g(x)=f(x)?x?1，由f′(x)<1，因为g′(x)=f′(x)?1<0，所以g(x)=f(x)?x?1为减函数，又f(1)=2，所以g(1)=f(1)?1?1=0，所以不等式f(x)< bdsfid="507" p=""><>即g(x)< bdsfid="509" p=""><>所以x>1．故答案为(1,+∞)．19.答案：√22解析：解：直线y=x?1即x?y?1=0，点(2,0)到直线y=x?1的距离即为点(2,0)到x?y?1=0的距离，由点到直线的距离公式得√2=√22，故答案为√22．先把直线的方程化为一般式，再利用点到直线的距离公式进行运算．本题考查点到直线的距离公式的应用，要注意先把直线的方程化为一般式．20.答案：(43πR3)′=4πR2，球的体积函数的导数等于球的表面积函数解析：本题考查类比推理，属于基础题．圆的面积函数的导数等于圆的周长函数，类比得到球的体积函数的导数等于球的表面积函数，有二维空间推广到三维空间．解：V 球=43πR 3，又(43πR 3)′=4πR 2故①式可填(43πR 3)′=4πR 2，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数．”故答案为(43πR 3)′=4πR 2，球的体积函数的导数等于球的表面积函数．21.答案：(1)由题意，，令，解之得x =e a ，当0e a 时，f′(x)>0，所以函数f(x)的单调递减区间为(0,e a )，单调递增区间为(e a ,+∞)，从而f(x)的极小值为f(e a )=1?e a ，无极大值； (2)设?(x)=(2a ?1)(f(x)x +a +1)+1x +x +2，即?(x)=(2a ?1)lnx +2a x+x +2，求导得?′(x)=2a?1x2ax 2+1=(x?1)(x+2a)x 2(x >0)，若a ≥0，则当x ∈(0,1)时，?′(x)<0，?(x)单调递减；当x ∈(1,+∞)时，?′(x)>0，?(x)单调递增，?(x)至多有两个零点；若a =?12，则?′(x)≥0恒成立，?(x)单调递增，?(x)至多有一个零点；若?120，?(x)单调递增，则要使?(x)有三个零点，必有{?(?2a)>0?(1)<0，解之得a2，不符题意；若a 0，?(x)单调递增，则要使?(x)有三个零点，必有{?(?2a)<0?(1)>0，解之得?32<?e<="" bdsfid="562" p=""><?e<="" bdsfid="564" p="">2，<?e<="" bdsfid="566" p="">且当?3<?e<="" bdsfid="568" p="">2<?e<="" bdsfid="569" p=""> <?e<="" bdsfid="571" p="">2时，0?2a ，<?e<="" bdsfid="574" p="">?(e ?2)=4+e ?2+2a(e 2?2)<4+e ?2?e(e 2?2)<4+1?5e <0，<?e<="" bdsfid="576" p="">?(e 2)=e 2+2a(e ?2+2)>e 2?3(e ?2+2)=e 2?6?3e ?2>e 2?7>0<?e<="" bdsfid="578" p="">综上，实数a 的取值范围?3<?e<="" bdsfid="580" p="">2<?e<="" bdsfid="581" p=""> <?e<="" bdsfid="583" p="">2．<?e<="" bdsfid="585" p=""><?e<="" bdsfid="587" p="">解析：本题考查利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值、导数中的零点问题，属于困难题． (1)由<?e<="" bdsfid="589" p="">，解之得x =e a ，当0e a 时，f′(x)>0，<?e<="" bdsfid="592" p="">所以函数f(x)的单调递减区间为(0,e a )，单调递增区间为(e a ,+∞)，从而f(x)的极小值为f(e a )=1?ea ，无极大值； (2)设?(x)=(2a ?1)(<?e<="" bdsfid="594" p="">f(x)x<?e<="" bdsfid="596" p="">+a +1)+1x<?e<="" bdsfid="598" p="">+x +2，求导得?′(x)=<?e<="" bdsfid="600" p="">2a?1x<?e<="" bdsfid="602" p="">?<?e<="" bdsfid="604" p="">2a x 2<?e<="" bdsfid="606" p="">+1=<?e<="" bdsfid="608" p="">(x?1)(x+2a)<?e<="" bdsfid="610" p="">x 2(x >0)，<?e<="" bdsfid="612" p="">分别对a ≥0，a =?12，?1<?e<="" bdsfid="614" p="">2<?1<="" bdsfid="615" p=""> <?1<="" bdsfid="617" p="">2进行讨论，可求出实数a 的取值范围?3<?1<="" bdsfid="619" p="">2<?e<="" bdsfid="620" p=""> <?e<="" bdsfid="622" p="">2．<?e<="" bdsfid="624" p="">22.答案：解：(Ⅰ)证明：若a =b =1，即有f(x)=x 2+x ，<?e<="" bdsfid="626" p="">令?(x)=f(x)?g(x)=x 2+x ?lnx ，?′(x)=2x +1?1<?e<="" bdsfid="628" p="">x =<?e<="" bdsfid="630" p="">2x 2+x?1<?e<="" bdsfid="632" p="">x<?e<="" bdsfid="634" p=""><?e<="" bdsfid="636" p="">=<?e<="" bdsfid="638" p="">(2x?1)(x+1)<?e<="" bdsfid="640" p="">x ，x >0，<?e<="" bdsfid="642" p="">当x >1<?e<="" bdsfid="644" p="">2时，?′(x)>0，?(x)递增；当0<1<="" bdsfid="645" p=""><?e<="" bdsfid="647" p="">2时，?′(x)<0，?(x)递减．可得?(x)在x =1<?e<="" bdsfid="649" p="">2处取得极小值，且为最小值，且?(1<?e<="" bdsfid="651" p="">2)=1<?e<="" bdsfid="653" p="">4+1<?e<="" bdsfid="655" p="">2?ln 1<?e<="" bdsfid="657" p="">2>0，即有?(x)>0恒成立，则f(x)的图象在g(x)图象的上方；(Ⅱ)设P 的坐标为(m,n)，<?e<="" bdsfid="659" p="">f(x)=ax 2+bx 的导数为f ′(x)=2ax +b ， g(x)=lnx 的导数为g ′(x)=1<?e<="" bdsfid="661" p="">x ，<?e<="" bdsfid="663" p="">可得2am +b =1<?e<="" bdsfid="665" p="">m ，且n =am 2+bm =lnm ，消去b ，可得am 2+1?2am 2=lnm ，可得a =<?e<="" bdsfid="667" p="">1?lnm m (m >0)，令u(m)=<?e<="" bdsfid="669" p="">1?lnm m 2<?e<="" bdsfid="671" p="">(m >0)，则u ′(m)=<?e<="" bdsfid="673" p="">?3+2lnm<?e<="" bdsfid="675" p="">m 3<?e<="" bdsfid="677" p="">，<?e<="" bdsfid="679" p="">当m >e 3<?e<="" bdsfid="681" p="">2时，u ′(m)>0，u(m)递增；当0<=""<?e<="" bdsfid="684" p="">2时，u ′(m)<0，u(m)递减．可得u(m)在m =e 3<?e<="" bdsfid="686" p="">2处取得极小值，且为最小值，且u(e 3<?e<="" bdsfid="688" p="">2)=1?<?e<="" bdsfid="690" p="">32e 3<?e<="" bdsfid="694" p="">2e 3，<?e<="" bdsfid="696" p="">则a ≥?1<?e<="" bdsfid="698" p="">2e 3，<?e<="" bdsfid="700" p="">故a 的取值范围是[?1<?e<="" bdsfid="702" p="">2e 3,+∞)．<?e<="" bdsfid="704" p=""><?e<="" bdsfid="706" p="">解析：本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查转化思想和构造函数法，分离参数法，考查运算能力，属于中档题．<?e<="" bdsfid="708" p="">(Ⅰ)令?(x)=f(x)?g(x)=x 2+x ?lnx ，求出导数和单调区间，可得极小值，且为最小值，判断最小值大于0，即可得证；<?e<="" bdsfid="710" p="">(Ⅱ)设P 的坐标为(m,n)，分别求出f(x)，g(x)的导数，可得切线的斜率，即有2am +b =1<?e<="" bdsfid="712" p="">m ，且n =am 2+bm =lnm ，消去b ，可得a =<?e<="" bdsfid="714" p="">1?lnm m 2<?e<="" bdsfid="716" p="">(m >0)，令u(m)=<?e<="" bdsfid="718" p="">1?lnm m 2<?e<="" bdsfid="720" p="">(m >0)，求出导数和单调区<?e<="" bdsfid="722" p="">间、极值和最值，即可得到所求范围．<?e<="" bdsfid="724" p="">23.答案：(1)解：f(x)的定义域为(0,+∞)，<?e<="" bdsfid="726" p="">f′(x)=<?e<="" bdsfid="728" p="">a+1x<?e<="" bdsfid="730" p="">+2ax =<?e<="" bdsfid="732" p="">2ax 2+a+1<?e<="" bdsfid="734" p="">x<?e<="" bdsfid="738" p="">当a ≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a ≤?1时，f′(x)<0，故f(x)在(0,+∞)上单调递减；当?1<="" bdsfid="739" p=""><="" bdsfid="741" p="">a+12a<="" bdsfid="743" p="">，<="" bdsfid="745" p="">当x ∈(0,√?a+12a<="" bdsfid="747" p="">)时，f′(x)>0，<="" bdsfid="749" p="">当x ∈(√?<="" bdsfid="751" p="">a+12a<="" bdsfid="753" p="">,+∞)时，f′(x)<0；<="" bdsfid="755" p="">故f(x)在(0,√?<="" bdsfid="757" p="">a+1<="" bdsfid="759" p="">2a<="" bdsfid="761" p="">)上单调递增，在(√?a+12a<="" bdsfid="763" p="">,+∞)上单调递减；<="" bdsfid="765" p="">综上，当a ≥0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a ≤?1时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；当?1<0时，f(x)在(0,√?<="" bdsfid="766" p=""><0时，f(x)在(0,√?<="" bdsfid="768" p="">a+1<0时，f(x)在(0,√?<="" bdsfid="770" p="">2a<0时，f(x)在(0,√?<="" bdsfid="772" p="">)上单调递增，在(√?<0时，f(x)在(0,√?<="" bdsfid="774" p="">a+12a<0时，f(x)在(0,√?<="" bdsfid="776" p="">,+∞)上单调递减；<0时，f(x)在(0,√?<="" bdsfid="778" p="">(2)证明：因为a ≤?2，由(1)可得，f(x)在(0,+∞)上单调递减．不妨假设x 1≤x 2，<0时，f(x)在(0,√?<="" bdsfid="780" p="">所以|f(x 1)?f(x 2)|≥4|x 1?x 2|等价于f(x 1)?f(x 2)≥4x 2?4x 1，即f(x 2)+4x 2≤f(x 1)+4x 1，令g(x)=f(x)+4x ，<0时，f(x)在(0,√?<="" bdsfid="781" p="">。

2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2第一章导数及其应用单元测试(二)(附答案)

C.函数和在区间上都是增函数
D.若是函数的极值点，则是函数的零点
11. 材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数，我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即为初等函数．根据以上材料，对于初等函数的说法正确的是( )
B. 在到之间的平均变化率小于在到之间的平均变化率
C.对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率
D.存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率
10. 已知函数，是的导函数，则下列结论中正确的是( )
A.函数的值域与的值域不相同
B.把函数的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数的图象
A.有极小值 B.无极小值C.有极大值 D.无极大值
12. 已知函数＝的定义域是，有下列四个命题，其中正确的有（）
A.对于，函数在上是单调增函数
B.对于，函数存在最小值
C.存在，使得对于任意，都有成立
D.存在，使得函数有两个零点
卷II（非选择题）
三、填空题（本题共计 4 小题，每题 3 分，共计12分）
即为，
由，即在递增，
即有的最大值为，最小值为，
可得，
即有，
即，解得．
则的取值范围是．
【解析】
（1）求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，分别令，，求得与，轴的交点，运用三角形的面积公式，解方程可得的值；

2020版高中数学第一章导数及其应用章末检测试卷新人教A版选修2-2

第一章导数及其应用章末检测试卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．由曲线y ＝x 2，直线y ＝0和x ＝1所围成的图形的面积是( ) A.18 B.16 C.13D.12考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点不需分割的图形的面积求解答案 C解析由题意知，其围成的图形的面积为ʃ10x 2d x ＝⎪⎪⎪13x 310＝13. 2．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0考点函数极值的综合应用题点函数极值在函数图象上的应用答案 A解析设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a <x 1<x 2<x 3<b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上单调递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上单调递减，因此，x 1，x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．3．已知某物体运动的路程与时间的关系为s ＝13t 3＋ln t ，则该物体在t ＝4时的速度为( )A.649B.645C.657D.654考点求瞬时速度题点用极限的思想求瞬时速度答案 D解析 s ′(t )＝t 2＋1t，则该物体在t ＝4时的速度为s ′|t ＝4＝42＋14＝654.4．函数f (x )＝x 2－ln 2x 的单调递减区间是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，0，⎝⎛⎦⎥⎤0，22 考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求不含参数函数的单调区间答案 A解析因为f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，所以f ′(x )≤0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0，2x 2－1≤0.解得0<x ≤22. 5．已知曲线f (x )＝ln x 在点(2，f (2))处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0平行，则实数a 的值为( ) A.12 B ．－2 C ．2 D ．－12答案 D解析 f (x )＝ln x 的导数为f ′(x )＝1x，可得曲线f (x )＝ln x 在点(2，f (2))处的切线斜率为12，由切线与直线ax ＋y ＋1＝0平行，可得－a ＝12，解得a ＝－12.故选D.6．若函数f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(－1)f (－1)等于( )A ．－34B.34 C ．－65D ．－56考点导数公式的应用题点导数公式的应用答案 C解析 f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，则f ′(1)＝2f ′(1)＋2， ∴f ′(1)＝－2，∴f ′(x )＝－4＋2x ，f ′(－1)＝－6，又f (－1)＝－2f ′(1)＋1＝5，∴f ′(－1)f (－1)＝－65.7．下列定积分不大于0的是( ) A ．ʃ1－1|x |d x B ．ʃ1－1(1－|x |)d x C ．ʃ1－1|x －1|d x D ．ʃ1－1(|x |－1)d x考点分段函数的定积分题点分段函数的定积分答案 D解析 A 项，ʃ1－1|x |d x ＝2ʃ10x d x ＝1>0；B 项，ʃ1－1(1－|x |)d x ＝ʃ1－11d x －ʃ1－1|x |d x ＝2－1>0； C 项，ʃ1－1|x －1|d x ＝ʃ1－1(1－x )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 21－1＝2>0； D 项，ʃ1－1(|x |－1)d x ＝ʃ1－1|x |d x －ʃ1－11d x ＝1－2<0，故选D.8．若函数y 1＝sin 2x 1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，函数y 2＝x 2＋3，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为( ) A.212π＋52－64B.2π12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫52－642D.(π－33＋15)272考点导数的综合运用题点导数的综合运用答案 D 解析(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2表示两函数图象上任意两点之间的距离，其最小值应为曲线y 1上与直线y 2平行的切线的切点到直线y 2的距离． ∵y ′1＝2cos 2x 1，令y ′1＝1， ∴cos 2x 1＝12，∵x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2∴x 1＝π6，∴y 1＝1＋32，故切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1＋32，切点到直线y 2的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪π6－1＋32＋32＝π－33＋1562，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为(π－33＋15)272.故选D.9．设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则f (x )( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点 C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点考点函数极值的综合应用题点函数零点与方程的根答案 C解析由题意得f ′(x )＝x －33x. 令f ′(x )>0得x >3；令f ′(x )<0得0<x <3；令f ′(x )＝0得x ＝3. 故函数f (x )在区间(0,3)内为减函数，在区间(3，＋∞)内为增函数，在x ＝3处有极小值f (3)＝1－ln 3<0. 因为f (1)＝13>0，f (e)＝e3－1<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13e＋1>0，所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点． 10．函数f (x )在定义域R 上的导函数是f ′(x )，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0.设a ＝f (0)，b ＝f (2)，c ＝f (log 28)，则( ) A ．c <a b >c C ．a 0，∴f (x )在区间(－∞，1)上为增函数．又∵f (x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (x )在区间(1，＋∞)上为减函数．∵a ＝f (0)＝f (2)，b ＝f (2)，c ＝f (log 28)＝f (3)， ∴c <a <b .11．如果函数f (x )在[m ，n ]上存在x 1，x 2(m <x 1<x 2<n )满足f ′(x 1)＝f (n )－f (m )n －m，f ′(x 2)＝f (n )－f (m )n －m ，则称函数f (x )是[m ，n ]上的“双中值函数”．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋a 是[0，a ]上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 考点数学思想方法在导数中的应用题点转化与化归思想在导数中的应用答案 C解析 ∵f (x )＝x 3－x 2＋a ，f ′(x )＝3x 2－2x ，在区间[0，a ]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<a )，满足f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝f (a )－f (0)a＝a 2－a ， ∴方程3x 2－2x ＝a 2－a 在区间(0，a )上有两个不相等的解．令g (x )＝3x 2－2x －a 2＋a (0<x <a )，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12(－a 2＋a )>0，g (0)＝－a 2＋a >0，g (a )＝2a 2－a >0，0<13<a ，解得12<a <1.12．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，－2) C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)考点函数极值的综合应用题点函数零点与方程的根答案 B解析当a ＝0时，由f (x )＝－3x 2＋1＝0，解得x ＝±33，函数f (x )有两个零点，不符合题意．当a >0时，令f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax ⎝⎛⎭⎪⎫x －2a ＝0，解得x ＝0或x ＝2a>0，此时f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：∵当x →－∞时，f (x )→－∞，且f (0)＝1>0， ∴存在x 0<0，使得f (x 0)＝0，不符合题意．当a <0时，令f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax ⎝⎛⎭⎪⎫x －2a ＝0，解得x ＝0或x ＝2a<0，此时f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：f (x )↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘∵f (0)＝1>0，且当x →＋∞时，f (x )→－∞， ∴存在x 0>0，使得f (x 0)＝0. 又f (x )存在唯一的零点x 0，∴极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3－3⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2＋1>0，∴a >2或a <－2. ∵a <0，∴a <－2.综上可知，a 的取值范围是(－∞，－2)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________. 考点求函数在某点处的切线斜率或切点坐标题点求函数在某点处的切线的斜率答案－1解析 ∵y ′＝k ＋1x，∴y ′|x ＝1＝k ＋1＝0，∴k ＝－1.14．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 在区间(－1,1)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 [3，＋∞)解析由题意知f ′(x )＝－3x 2＋a ≥0在区间(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2在区间(－1,1)上恒成立，故a ≥3.15.已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，给出以下说法：①函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数； ②函数f (x )在区间(－1,1)上无单调性； ③函数f (x )在x ＝－12处取得极大值；④函数f (x )在x ＝1处取得极小值．其中正确的说法有________．考点函数极值的综合应用题点函数极值在函数图象上的应用答案 ①④解析由图象上可以发现，当x ∈(1，＋∞)时，xf ′(x )>0，于是f ′(x )>0，故f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数，故①正确；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在区间(－1,1)上是减函数，②错误，③也错误；当0<x <1时，f (x )在区间(0,1)上是减函数，而在区间(1，＋∞)上是增函数，所以函数f (x )在x ＝1处取得极小值，④正确．16．若函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围为________．考点利用导数研究函数的极值题点已知极值求参数答案 ⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 解析 f ′(x )＝3x 2－3a 2(a >0)， ∴当x <－a 或x >a 时，f ′(x )>0，当－a <x <a 时，f ′(x )<0，则当x ＝a 时，f (x )有极小值，当x ＝－a 时，f (x )有极大值，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3－3a 3＋a <0，－a 3＋3a 3＋a >0，解得a >22. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知f (x )＝log 3x 2＋ax ＋bx，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列两个条件：①f (x )在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数； ②f (x )的最小值是1.若存在，求出a ，b ，若不存在，请说明理由．考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数解设g (x )＝x 2＋ax ＋b x ，则g ′(x )＝x 2－bx2，∵f (x )在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数， ∴g (x )在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，又∵f (x )的最小值为1，则g (x )的最小值为3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′(1)＝0，g (1)＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＝0，a ＋b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.经检验，当a ＝1，b ＝1时，f (x )满足题设的两个条件．18．(12分)设函数f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．考点函数在某点处取得极值的条件题点含参数求极值问题解 (1)∵f (x )＝a (x －5)2＋6ln x (x >0)， ∴f ′(x )＝2a (x －5)＋6x(x >0)．令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，∴f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)． ∵切线与y 轴相交于点(0,6)， ∴6－16a ＝8a －6，∴a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝(x －5)＋6x＝(x －2)(x －3)x(x >0)．令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝3.当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，f (x )在区间(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x <3时，f ′(x )<0，f (x )在区间(2,3)上为减函数．故f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3. 19．(12分)已知函数f (x )＝x e x－x －ax 2. (1)当a ＝12时，求f (x )的单调区间；(2)当x ≥0时，f (x )≥0，求实数a 的取值范围．考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x (e x－1)－12x 2，f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．令f ′(x )＝0，则x ＝－1或0，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减． (2)f (x )＝x (e x－1－ax )．令g (x )＝e x－1－ax ，则g ′(x )＝e x－a .若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，而g (0)＝0，从而当x ≥0时，g (x )≥0，即f (x )≥0.若a >1，则当x ∈(0，ln a )时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，而g (0)＝0，从而当x ∈(0，ln a )时，g (x )<0，即f (x )<0，不符合题意．综上，实数a 的取值范围为(－∞，1]．20．(12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a 元(a 为常数，2≤a ≤5)的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x 元时，产品一年的销售量为kex (e 为自然对数的底数)万件．已知当每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件，经物价部门核定，每件产品的售价x 最低不低于35元，最高不超过41元．(1)求分公司经营该产品一年的利润L (x )(万元)与每件产品的售价x 的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L (x )最大？并求出L (x )的最大值．考点利用导数求解生活中的最值问题题点利用导数求解最大利润问题解 (1)设该产品一年的销售量为Q (x )＝ke x ，则ke40＝500，所以k ＝500e 40，则该产品一年的销售量Q (x )＝500e40e x ，则该产品一年的利润L (x )＝(x －a －30)500e40e x＝500e 40·x －a －30ex(35≤x ≤41)．(2)L ′(x )＝500e 40·31＋a －x e x. ①若2≤a ≤4，则33≤a ＋31≤35，当35≤x ≤41时，L ′(x )≤0，L (x )单调递减，所以当x ＝35时，L (x )取得最大值为500(5－a )e 5； ②若4<a ≤5，则35<a ＋31≤36，令L ′(x )＝0，得x ＝a ＋31，易知当x ＝a ＋31时，L (x )取得最大值为500e 9－a .综上所述，当2≤a ≤4，且每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500(5－a )e 5万元；当4<a ≤5，且每件产品的售价为(31＋a )元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500e 9－a 万元．21．(12分)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的最小值； (2)讨论g (x )与g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的大小关系．考点利用导数研究函数的单调性题点比较函数值的大小解 (1)由f (x )＝ln x ，得f ′(x )＝1x，即g (x )＝ln x ＋1x ，所以g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2. 令g ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故g (x )在(0,1)上单调递减．当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．所以最小值为g (1)＝1.(2)g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－ln x ＋x . 设h (x )＝g (x )－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2ln x －x ＋1x，则h ′(x )＝－(x －1)2x 2≤0，即h (x )在(0，＋∞)上单调递减．当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x . 当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x . 当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x . 22．(12分)已知函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a .(1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．考点函数极值的综合应用题点函数零点与方程的根解 (1)由f (x )≥h (x )，得m ≤xln x 在(1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝xln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2，当x ∈(1，e)时，g ′(x )<0；当x ∈(e，＋∞)时，g ′(x )>0，所以g (x )在(1，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增．故当x ＝e 时，g (x )有最小值且最小值为g (e)＝e.所以m ≤e.即m 的取值范围是(－∞，e]．(2)由题意，得k (x )＝x －2ln x －a .令φ(x )＝x －2ln x ，又函数k (x )在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点． φ′(x )＝1－2x ＝x －2x ，当x ∈(1,2)时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减，当x ∈(2,3)时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增．又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln 2，φ(3)＝3－2ln 3，要使直线y ＝a 与函数φ(x )＝x －2ln x 有两个交点，则2－2ln 2<a <3－2ln 3.即实数a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．。

2020版高中数学第一章导数及其应用滚动训练一新人教A版选修2-2

第一章导数及其应用滚动训练一(§1.1～§1.2)一、选择题1．自变量x从x0变化到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A．从x0到x1的平均变化率B．在x＝x1处的变化率C．在x＝x1处的变化量D．在区间[x0，x1]上的导数考点平均变化率题点函数的平均变化率答案 A解析ΔyΔx＝f(x1)－f(x0)x1－x0表示函数从x0到x1的平均变化率．2．下列求导结果正确的是( )A．(a－x2)′＝1－2x B．(2x3)′＝3xC．(cos 60°)′＝－sin 60° D．[ln(2x)]′＝12x 考点导数公式的应用题点导数公式的应用答案 B解析根据题意，依次分析选项：对于A，(a－x2)′＝a′－(x2)′＝－2x，故A错误；对于B，(2x3)′＝(322x)′＝2×32×12x＝3x，故B正确；对于C，(cos 60°)′＝0，故C错误；对于D，[ln(2x)]′＝(2x)′12x＝1x，故D错误．故选B.3．函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则实数a的值为( )A.13B．0C．1 D．2 考点导数乘除法则及运算题点导数乘除法则及运算答案 C解析 y ′＝(1－ax )2＋x [(1－ax )2]′＝(1－ax )2＋x [2(1－ax )(－a )]＝(1－ax )2－2ax (1－ax )，由y ′|x ＝2＝(1－2a )2－4a (1－2a )＝12a 2－8a ＋1＝5(a >0)，解得a ＝1.4．曲线y ＝ln x 在点M 处的切线过原点，则该切线的斜率为( )A ．1B ．eC ．－1eD.1e 考点导数公式的应用题点导数公式的应用答案 D解析设M (x 0，ln x 0)，由y ＝ln x 得y ′＝1x，所以切线斜率k ＝0=|x x y'＝1x 0，所以切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)．由题意得0－ln x 0＝1x 0(0－x 0)＝－1，即ln x 0＝1，所以x 0＝e.所以k ＝1x 0＝1e，故选D. 5．已知函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋1(a ，b ∈R )，f ′(x )为f (x )的导函数，则f (2 016)＋f (－2 016)＋f ′(2 017)－f ′(－2 017)等于( )A ．2 017B ．2 016C ．2D ．0考点导数的加减法则及运算题点导数的加减法则及运算答案 C解析函数的导数f ′(x )＝a cos x ＋3bx 2，则f ′(x )为偶函数，则f ′(2 017)－f ′(－2 017)＝f ′(2 017)－f ′(2 017)＝0，由f (x )＝a sin x ＋bx 3＋1，得f (2 016)＝a sin 2 016＋b ·2 0163＋1，f (－2 016)＝－a sin 2 016－b ·2 0163＋1，则f (2 016)＋f (－2 016)＝2，则f (2 016)＋f (－2 016)＋f ′(2 017)－f ′(－2 017)＝2＋0＝2，故选C.6．设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R 且为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，则a ＋b 的值为( )A ．－1B ．1C ．0D ．2答案 A解析由y ＝f (x )过点(0,0)得b ＝－1，∴f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax －1，∴f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，又∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，即曲线y ＝f (x )在点(0,0)处切线的斜率为32， ∴f ′(0)＝32，即1＋12＋a ＝32， ∴a ＝0，故a ＋b ＝－1，选A.7．已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出四个函数：①f (x )＝x 2，②f (x )＝e －x ，③f (x )＝ln x ，④f (x )＝tan x ，其中有“巧值点”的函数的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 考点导数公式的应用题点导数公式的应用答案 B解析根据题意，依次分析所给的函数：①若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，由x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，这个方程显然有解，①符合要求；②若f (x )＝e －x ，则f ′(x )＝－e －x ，即e －x ＝－e －x ，此方程无解，②不符合要求；③f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，若ln x ＝1x，利用数形结合可知该方程存在实数解，③符合要求； ④f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝1cos 2x，即sin x cos x ＝1，变形得sin 2x ＝2，无解，④不符合要求，故选B. 8．若函数f (x )＝－1be ax (a >0，b >0)的图象在x ＝0处的切线与圆x 2＋y 2＝1相切，则a ＋b 的最大值为( ) A ．4B ．2 2C ．2D. 2考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用解析函数的导数为f ′(x )＝－1be ax ·a ，所以f ′(0)＝－1b e 0·a ＝－a b，即在x ＝0处的切线斜率k ＝－a b ，又f (0)＝－1b e 0＝－1b，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b ，所以切线方程为y ＋1b ＝－a bx ，即ax ＋by ＋1＝0. 圆心到直线ax ＋by ＋1＝0的距离d ＝1a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1，所以a 2＋b 2＝1≥2ab ，即0<ab ≤12. 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1，所以(a ＋b )2＝2ab ＋1≤1＋1＝2，即a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝22时等号成立，所以a ＋b 的最大值是2，故选D.二、填空题9．已知函数f (x )＝mx m －n 的导数为f ′(x )＝8x 3，则m n＝________. 考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点常数、幂函数的导数答案 14解析 ∵函数f (x )＝mx m －n 的导数为f ′(x )＝m (m －n )x m －n －1，∴m (m －n )＝8且m －n －1＝3，解得m ＝2，n ＝－2，由此可得m n ＝2－2＝14. 10．若某物体做运动方程为s ＝(1－t )2(位移单位为m ，时间单位为s)的直线运动，则其在t ＝1.2 s 时的瞬时速度v 为________ m/s.考点导数的几何意义的应用题点导数的物理意义解析 ∵s ＝t 2－2t ＋1，∴s ′＝2t －2，∴v ＝s ′|t ＝1.2＝2×1.2－2＝0.4(m/s)．11．函数f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)的导数为f ′(x )，则f ′(1)＝________.考点导数的乘除法则及运算题点导数的乘除法则及运算答案－6解析 ∵f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)，令g (x )＝x (x －2)(x －3)(x －4)，则f (x )＝(x －1)g (x )∴f ′(x )＝(x －1)′g (x )＋(x －1)g ′(x )＝g (x )＋(x －1)g ′(x )，则f ′(1)＝g (1)＋(1－1)g ′(1)＝g (1)，∵g (1)＝1×(1－2)(1－3)(1－4)＝－6，∴f ′(1)＝g (1)＝－6.12．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________．考点导数公式的应用题点导数公式的应用答案 2 解析令y ′＝2x －1x ＝1，得x ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－12舍去，故当点P 坐标为(1,1)时，它到已知直线的距离最小，最小距离d ＝|1－1－2|2＝ 2. 三、解答题13．已知a >0，f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，l 是曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线，求切线l 的方程．考点求函数在某点处的切线方程题点求函数在某点处的切线方程解 ∵f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，f (0)＝1，∴f ′(x )＝2ax －2＋1x ＋1，∴f ′(0)＝－1， ∴切点P 的坐标为(0,1)，l 的斜率为－1，∴切线l 的方程为x ＋y －1＝0.四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝cos x ＋e －x ＋x2 016，令f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，则f 2 017(x )等于( )A ．－sin x ＋e －xB ．cos x －e －xC ．－sin x －e －xD ．－cos x ＋e －x 考点导数公式的应用题点导数公式的应用答案 C解析 f 1(x )＝f ′(x )＝－sin x －e －x ＋2 016x 2 015，f 2(x )＝f 1′(x )＝－cos x ＋e －x ＋2 016×2 015×x 2 014，f 3(x )＝f 2′(x )＝sin x －e －x ＋2 016×2 015×2 014x 2 013，f 4(x )＝f 3′(x )＝cos x ＋e －x ＋2 016×2 015×2 014×2 013x 2 012，…，∴f 2 016(x )＝f ′2 015(x )＝cos x ＋e －x＋2 016×2 015×2 014×2 013×…×1， ∴f 2 017(x )＝－sin x －e －x ，故选C.15．已知函数f (x )＝x 3－3x 及曲线y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l .(1)若直线l 与曲线y ＝f (x )相切于点P ，求直线l 的方程；(2)若直线l 与曲线y ＝f (x )相切，且切点异于点P ，求直线l 的方程．考点求函数过某点的切线方程题点求函数过某点的切线方程解 (1)由f (x )＝x 3－3x ，得f ′(x )＝3x 2－3.过点P 且以P (1，－2)为切点的直线l 的斜率为f ′(1)＝0，故所求直线l 的方程为y ＝－2.(2)设过点P (1，－2)的直线l 与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，x 30－3x 0)．由f ′(x 0)＝3x 20－3，得直线l 的方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)．又直线l 过点P (1，－2)，所以－2－(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)，即(x 0－1)2(x 0＋2)＝3(x 20－1)(x 0－1)，解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故直线l 的斜率k ＝－94，故直线l 的方程为y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.。

【优化方案】2020学年高中数学第一章导数及其应用模块综合检测新人教A版选修2-2

【优化方案】2020学年高中数学第一章导数及其应用模块综合检测新人教A 版选修2-2(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，则有EF ∥BC ．这个命题的大前提为( )A ．三角形的中位线平行于第三边B ．三角形的中位线等于第三边的一半C ．EF 为中位线D ．EF ∥CB答案：A2.⎠⎛01(ex ＋2x)dx ＝( ) A ．1 B ．e －1C ．eD ．e ＋1解析：选C ．⎠⎛01(ex ＋2x)dx ＝(ex ＋x2)10＝e ，故选C ． 3．复数(1－i 2)2＝a ＋bi(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a2－b2的值为( ) A ．0 B ．1C ．2D ．－1解析：选D ．(1－i 2)2＝1－2i ＋i22＝－i ＝a ＋bi.所以a ＝0，b ＝－1，所以a2－b2＝0－1＝－1. 4．下列求导运算正确的是( )A ．(x ＋3x )′＝1＋3x2B ．(log2x)′＝1xln 2C ．(3x)′＝3xlog3eD ．(x2cos x)′＝－2xsin x解析：选B.(x ＋3x )′＝1－3x2，所以A 不正确；(3x)′＝3xln 3，所以C 不正确；(x2cos x)′＝2xcos x ＋x2·(－sin x)，所以D 不正确；(log2x)′＝1xln 2，所以B 正确．故选B.5．用反证法证明命题：“若(a －1)(b －1)(c －1)＞0，则a ，b ，c 中至少有一个大于1”时，下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都大于1B ．假设a ，b ，c 都不大于1C ．假设a ，b ，c 中至多有一个大于1D ．假设a ，b ，c 中至多有两个大于1解析：选B.a ，b ，c 中至少有一个大于1的否定为a ，b ，c 都不大于1.6．已知函数f(x)＝2x ＋1x ＋2，则函数y ＝f(x)的单调增区间是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－2)和(－2，＋∞)解析：选D ．据解析式可知函数f(x)的定义域为{x|x ∈R ，x≠－2}，由于f′(x)＝3x ＋22＞0，故函数f(x)在(－∞，－2)和(－2，＋∞)上分别为增函数．7．已知集合A ＝{x|x2＋y2＝4}，集合B ＝{x||x ＋i|＜2，i 为虚数单位，x ∈R}，则集合A 与B 的关系是( )A ．AB B ．B AC ．A∩B ＝AD ．A∩B ＝∅解析：选B.|x ＋i|＝x2＋1＜2，即x2＋1＜4，解得－3＜x ＜3，∴B ＝(－3，3)，而A ＝[－2,2]，∴B A ，故选B.8．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n 2n2＋13时，从n ＝k 到n ＝k ＋1，等式左边应添加的式子是( )A ．(k －1)2＋2k2B ．(k ＋1)2＋k2C ．(k ＋1)2D ．13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]解析：选B.n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k2＋(k －1)2＋…＋22＋12，n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k2＋(k ＋1)2＋k2＋(k －1)2＋…＋22＋12，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边应添加的式子为(k ＋1)2＋k2.9．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a≥0)，则P ，Q 的大小关系为( )A ．P ＞QB ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定解析：选C ．要比较P 与Q 的大小，只需比较P2与Q2的大小，只需比较2a ＋7＋2a a ＋7与2a ＋7＋2a ＋3a ＋4的大小，只需比较a2＋7a 与a2＋7a ＋12的大小，即比较0与12的大小，而0＜12，故P ＜Q.10．如图，阴影部分的面积为( )A ．⎠⎛ab [f(x)－g(x)]dx B ．⎠⎛ac [g(x)－f(x)]dx ＋⎠⎛cb [f(x)－g(x)]dx C ．⎠⎛ac [f(x)－g(x)]dx ＋⎠⎛cb [g(x)－f(x)]dx D ．⎠⎛ab [g(x)－f(x)]dx 解析：选B.∵在区间(a ，c)上g(x)＞f(x)，而在区间(c ，b)上g(x)＜f(x)．∴S ＝⎠⎛a c [g(x)－f(x)]dx ＋⎠⎛cb [f(x)－g(x)]dx ，故选B. 11．设函数f(x)在R 上可导，其导函数为f′(x)，且函数y ＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B ．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C ．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D ．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)解析：选D ．由题图可知，当x ＜－2时，f′(x)＞0；当x ＝－2时，f′(x)＝0；当－2＜x ＜1时，f′(x)＜0；当1＜x ＜2时，f′(x)＜0；当x ＝2时，f′(x)＝0；当x ＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．12．观察数表：1 2 3 4 … 第一行2 3 4 5 … 第二行3 4 5 6 … 第三行4 5 6 7 … 第四行… … … …第一列第二列第三列第四列根据数表中所反映的规律，第n 行与第n －1列的交叉点上的数应该是( )A ．2n －1B ．2n ＋1C ．n2－1D ．2n －2解析：选D ．根据数表可知，第1行第1列上的数为1，第2行第2列上的数为3，第3行第3列上的数为5，第4行第4列上的数为7，那么，由此可以推导出第n 行与第n 列交叉点上的数应该是2n －1，故第n 行与第n －1列的交叉点上的数应为2n －2.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)13．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．解析：由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得到z ＝－3＋2i i －1＝2＋3i －1＝1＋3i. 答案：114．已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q ，则产量q ＝________时，利润L 最大．解析：收入R ＝q·p ＝q(25－18q)＝25q －18q2.利润L ＝R －C ＝(25q －18q2)－(100＋4q)＝－18q2＋21q －100(0＜q ＜200)，L′＝－14q ＋21，令L′＝0，即－14q ＋21＝0，求得唯一的极值点q ＝84.∴产量q 为84时，利润L 最大．答案：8415．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x ＋y0y ＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆x2a2＋y2b2＝1类似的性质为________．解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x2a2＋y2b2＝1类似的性质为：过椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x a2＋y0y b2＝1.答案：经过椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x a2＋y0y b2＝116．(2020·山东省实验中学月考)给出下列四个命题：①若f′(x0)＝0，则x0是f(x)的极值点；②“可导函数f(x)在区间(a ，b)上不单调”等价于“f(x)在区间(a ，b)上有极值”；③若f(x)＞g(x)，则f′(x)＞g′(x)；④如果在区间[a ，b]上函数y ＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a ，b]上一定能取得最大值和最小值．其中真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．解析：②④显然正确；对f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，故①错；f(x)＝x ＋1＞g(x)＝x ，但f′(x)＝g′(x)＝1，故③错．答案：②④三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知复数z1＝2－3i ，z2＝15－5i 2＋i 2. 求：(1)z1＋z 2；(2)z1·z2；(3)z1z2.解：z2＝15－5i 2＋i 2＝15－5i 3＋4i ＝53－i 3－4i 3＋4i 3－4i＝5－15i 5 ＝1－3i. (1)z1＋z 2＝(2－3i)＋(1＋3i)＝3.(2)z1·z2＝(2－3i)(1－3i)＝2－9－9i ＝－7－9i.(3)z1z2＝2－3i 1－3i ＝2－3i 1＋3i 1－3i 1＋3i＝2＋9＋3i 10＝1110＋310i. 18．(本小题满分12分)求函数f(x)＝ex x －2的单调区间．解：函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f′(x)＝ex x －2－ex x －22＝ex x －3x －22. 因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex ＞0，(x －2)2＞0.由f′(x)＞0，得x ＞3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)＜0，得x ＜3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．19．(本小题满分12分)已知a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，求证： (1)a2＋b2＋c2≥13；(2)a ＋b ＋c ≤ 3.证明：(1)∵a2＋19≥23a ，b2＋19≥23b ，c2＋19≥23c ，∴(a2＋19)＋(b2＋19)＋(c2＋19)≥23a ＋23b ＋23c ＝23.∴a2＋b2＋c2≥13.(2)∵a·13≤a ＋132，b·13≤b ＋132，c·13≤c ＋132，三式相加得a 3＋b 3＋c 3≤12(a ＋b ＋c)＋12＝1， ∴a ＋b ＋c ≤ 3.20．(本小题满分12分)已知数列{an}满足Sn ＋an ＝2n ＋1.(1)写出a1，a2，a3，并推测an 的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论．解：(1)由Sn ＋an ＝2n ＋1，当n ＝1时，S1＝a1，∴a1＋a1＝2×1＋1，得a1＝32.当n ＝2时，S2＝a1＋a2，则a1＋a2＋a2＝5，将a1＝32代入得a2＝74. 同理可得a3＝158. ∴an ＝2n ＋1－12n ＝2－12n .(2)证明：当n ＝1时，结论成立．假设n ＝k 时，命题成立，即ak ＝2－12k ；当n ＝k ＋1时，Sn ＋an ＝2n ＋1，则a1＋a2＋…＋ak ＋2ak ＋1＝2(k ＋1)＋1.∵a1＋a2＋…＋ak ＝2k ＋1－ak ，∴2ak ＋1＝4－12k ，ak ＋1＝2－12k ＋1成立． ∴当n ＝k ＋1时，结论也成立．∴根据上述知对于任意自然数n ∈N*，结论成立．21．(本小题满分13分)设函数f(x)＝x3＋ax2＋x ＋1，a ∈R.(1)若x ＝1时，函数f(x)取得极值，求函数f(x)在x ＝－1处的切线方程；(2)若函数f(x)在区间(12，1)内不单调，求实数a 的取值范围．解：(1)由已知得f′(x)＝3x2＋2ax ＋1，f′(1)＝0，故a ＝－2，∴f(x)＝x3－2x2＋x ＋1，当x ＝－1时，f(－1)＝－3，即切点坐标为(－1，－3)．又f′(－1)＝8，∴切线方程为8x －y ＋5＝0.(2)f(x)在区间(12，1)内不单调，即f′(x)＝0在(12，1)内有解，令f′(x)＝3x2＋2ax ＋1＝0，则2ax ＝－3x2－1.由x ∈(12，1)，得2a ＝－3x －1x .令h(x)＝－3x －1x ，由h′(x)＝－3＋1x2＝0，知h(x)在(33，1)上单调递减，在(12，33]上单调递增，∴h(1)＜h(x)≤h(33)，即h(x)∈(－4，－23]．∴－4＜2a≤－23，即－2＜a≤－ 3.而当a ＝－3时，f′(x)＝3x2－23x ＋1＝(3x －1)2≥0，不满足题意．综上，实数a 的取值范围为(－2，－3)．22．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝38x2－2x ＋2＋ln x.(1)求函数y ＝f(x)的单调区间；(2)若函数y ＝f(x)在[em ，＋∞)(m ∈Z)上有零点，求m 的最大值．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝34x －2＋1x ＝3x －2x －24x，当f′(x)＞0时，x ∈(0，23)∪(2，＋∞)；当f′(x)＜0时，x ∈(23，2)，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，23)和(2，＋∞)，单调递减区间为[23，2]．(2)由(1)知y 极大值＝f(23)＝56＋ln 23＞0，y 极小值＝f(2)＝ln 2－12＞0.当x ＞0且x→0时f(x)＜0，故f(x)在定义域上存在唯一零点x0，且x0∈(0，23)．若m≥0，则em≥1，[em ，＋∞)⊂(23，＋∞)，此区间不存在零点，舍去，故m ＜0.当m ＝－1时，x ∈[1e ，＋∞)，f(1e )＝1＋38e2－2e ＞0，又(1e ，23)为增区间，此区间不存在零点，舍去．当m ＝－2时，x ∈[1e2，＋∞)，f(1e2)＝1e2(38e2－2)＜0，又(1e2，23)为增区间，且y ＝f(23)＞0，故x0∈(1e2，23)．综上，m 的最大值为－2.。

2019-2020年选修2-2第一章导数及其应用训练卷

1 / 62019-2020学年选修2-2第一章训练卷导数及其应用注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数2()1y f x x ==+，则当2x =，Δ0.1x =时，Δy 的值为（） A ．0．40 B ．0．41 C ．0．43 D ．0．44【答案】B【解析】∵2x =，Δ0.1x =，∴22Δ(Δ)()(2.1)(2)(2.11)(21)0.41y f x x f x f f =+-=-=+-+=，故选B ． 2．函数π()cos6f x =的导数是（） A ．0 B ．12C ．12-D ．不确定【答案】A【解析】∵π3()cos62f x ==，∴()0f x '=． 3．4322(30)d x x x +-⎰的值为（）A ．56B ．28C ．14D ．563【答案】D 【解析】4324342211(30)d (30)43x x x x x x +-=+-⎰ 44331156(42)(42)30(42)433=⨯-+⨯--⨯-=．故选D ． 4．若函数()f x 在0x 处可导，则000()()lim h f x h f x h®+-的值（）A ．与0x ，h 都有关B ．仅与0x 有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与0x 无关D ．与0x ，h 均无关【答案】B【解析】由导数的定义可知，0000()()lim()h f x h f x f x h®+-¢=，仅与0x 有关，而与h 无关．故选B ．5．已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程是210x y -+=，则(1)2(1)f f '+的值是（）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D【解析】∵(1,(1))f 在直线210x y -+=上，∴12(1)10f -+=，∴(1)1f =．又1(1)2f '=，∴1(1)2(1)1222f f '+=+⨯=． 6．函数()(3)xf x x e =-的单调递增区间是（）此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号A ．(,2)-∞B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2,)+∞【答案】D【解析】()(2)x f x e x '=-，令()(2)0xf x e x '=->，得2x >，即函数()f x 的单调递增区间是(2,)+∞．7．已知函数3()33f x x bx b =-+在区间(0,1)内有极小值，则（） A ．01b < D ．12b <【答案】A【解析】2()33f x x b '=-，要使()f x 在区间(0,1)内有极小值，又()f x '的图象关于y 轴对称，则()f x 在(0,1)内由负变正，即(0)0(1)0f f '<⎧⎨'>⎩，即30330b b -<⎧⎨->⎩，解得01b <<．8．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（） A ．22 B ．42C ．2D ．4【答案】D【解析】由34y xy x =⎧⎨=⎩，解得2x =-或0x =或2x =，所以直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形面积为23242240011(4)d (2)(222)0444S x x x x x =-=-=⨯-⨯-=⎰．9．设a b <，函数2()()y x a x b =--的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】22()()()()(32)y x a x b x a x a x a b '=--+-=---，令0y '=，得x a =或23a bx +=． ∵a b <，∴23a ba +<，∴当x a =时，y 取得极大值0；当23a bx +=时，y 取极小值，且极小值小于零．故选C ． 10．某产品的销售收入1y （单位：万元）是产量x （单位：千台）的函数，且关系式为2117(0)y x x =>，生产成本2y （单位：万元）是产量x （单位：千台）的函数，且关系式为3222(0)y x x x =->，为使利润最大，应生产该产品（）A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台【答案】A【解析】设利润为y ，则232321217(2)218(0)y y y x x x x x x =-=--=-+>，所以26366(6)y x x x x '=-+=--．令0y '=，解得0x =（舍去）或6x =，经检验知6x =既是函数的极大值点也是函数的最大值点，所以应生产6千台．3 / 611．函数()xf x xe -=在区间[0,4]上的最大值为（） A ．0 B ．1eC ．24e D ．22e【答案】B 【解析】1()x xf x e-'=，令()0f x '=，得1x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 的最大值为1(1)f e=． 12．设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，()g x 恒不为0，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''->，且(3)0f =，则不等式()()0f x g x <的解集是（）A ．(3,0)(3,)-+∞UB ．(3,0)(0,3)-UC ．(,3)(3,)-∞-+∞UD ．(,3)(0,3)-∞-U【答案】D 【解析】令()()()f x F xg x =（()g x 恒不为0），则()F x 为奇函数，2()()()()()()f xg x f x g x F x g x ''-'=． ∵当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''->，∴当0x <时，()0F x '>，∴()F x 在(,0)-∞内为增函数，又(3)(3)0(3)f Fg ==，∴(3)0F -=，∴当3x <-时，()0F x <；当30x -<<时，()0F x >，当3x >时，()0F x >．而不等式()()0f x g x <和()0()f xg x <为同解不等式， ∴不等式()()0f x g x <的解集为(,3)(0,3)-∞-U ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．若2()xf x xe =，则(1)f '=__________．【答案】23e【解析】∵2()xf x xe =，∴22()2xx f x exe '=+．故222(1)23f e e e '=+=．14．正弦曲线sin y x =（(0,2π)x ∈）上切线的斜率等于12的切点坐标为__________．【答案】π3(,32或5π3(,32- 【解析】设切点坐标为000(,)((0,2π))x y x ∈，则由题意可得01cos 2x =，所以0π3x =，03y =或05π3x =，03y =故切点坐标为π3()3或5π3(,)3． 15．若某物体以2()38v t t t =-+（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）的速度运动，则其在前30s 内的平均速度为__________．【答案】263/m s【解析】由定积分的物理意义，得302323013(38)d (8)789032s t t t t t t =-+=-+=⎰（m ），789026330s v t ===（/m s ）． 16．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的容积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为__________．【答案】3【解析】用料最省，即水桶的表面积最小，设圆柱形水桶的表面积为S ，底面半径为(0)r r >，则水桶的高为227r ，所以2222754ππ2ππ(0)S r r r r r r=+⨯=+>．求导，得254π2πS r r '=-．令0S '=，解得3r =，当03r <<时，0S '<；当3r >时，0S '>，所以当3r =时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（10分）已知函数3261y ax bx x =+++的单调递增区间为(2,3)-，求a ，b 的值．【答案】13a =-，12b =．【解析】2326y ax bx '=++，因为函数的递增区间为(2,3)-，所以23260y ax bx '=++>的解集为23x -<<，也就是说，2-和3是方程23260ax bx ++=的两根，即1246027660a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得1312a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以a ，b 的值分别为13-，12． 18．（12分）已知函数21()ln(5)2x af x e bx +=-+，且1(2)2f -=，3()12f e '-=-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求曲线()y f x =在2x =-处的切线的倾斜角．【答案】（1）241()ln(25)2x f x e x +=-+；（2）3π4．【解析】（1）因为21()ln(5)2x af x e bx +=-+，所以2()5x a b f x e bx +'=-+．由已知得4311ln(25)221352a a eb be e b --⎧--+=⎪⎪⎨-=-⎪-+⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩，故241()ln(25)2x f x e x +=-+．（2）由（1）知，242()25x f x ex +'=-+，则(2)1f '-=-，即曲线()y f x =在2x =-处的切线的斜率等于1-，故其倾斜角等于3π4． 19．（12分）已知函数32y ax bx =+，当1x =时，有极大值3．5 / 6（1）求a ，b 的值；（2）求函数y 的极小值．【答案】（1）6a =-，9b =；（2）0y 极小值=．【解析】（1）232y ax bx '=+，当1x =时，1320x y a b ='=+=，由题意得3a b +=，故3203a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得69a b =-⎧⎨=⎩．经检验知，符合题意，故6a =-，9b =．（2）由（1），得3269y x x =-+，则21818y x x '=-+，令0y '=，得0x =或1x =．易知0x =是函数的极小值点，所以0y 极小值=．20．（12分）求曲线1xy =及直线y x =，3y =所围成图形的面积．【答案】4ln3-．【解析】如图，由1xy y x =⎧⎨=⎩，得点A 的坐标为(1,1)；由13xy y =⎧⎨=⎩，得点B 的坐标为1(,3)3；由3y x y =⎧⎨=⎩，得点C 的坐标为(3,3)，所求面积为13112131(3)d (3)d S S S x x x x =+=-+-⎰⎰1231131(3ln )(3)2ln324ln32x x x x =-+-=-+=-．21．（12分）一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为10海里/时时，燃料费是6元/时，而其他与速度无关的费用是96元/时，问当轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？【答案】轮船的速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小．【解析】设速度为v 海里/时的燃料费是p 元/时，由题设的比例关系得3p k v =⋅，其中k 为比例系数，由10v =，6p =，得360.00610k ==，于是30.006p v =．每小时所需的总费用是3(0.00696)v +元，航行1海里所需时间为1v时，所以航行1海里的总费用为32196(0.00696)0.006(0)q v v v v v=+=+>．所以322960.0120.012(8000)q v v v v'=-=-．令0q '=，解得20v =．因为当020v <<时，0q '<；当20v >时，0q '>，所以当20v =时，q 取得最小值，故当轮船的速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小．22．（12分）设2()(5)6ln f x a x x =-+，其中a ∈R ，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴相交于点(0,6)．（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间与极值．【答案】（1）12a =；（2）见解析．【解析】（1）因为2()(5)6ln f x a x x =-+，所以6()2(5)f x a x x'=-+，令1x =，得(1)16f a =，(1)68f a '=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为16(68)(1)y a a x -=--，由点(0,6)在切线上可得61686a a -=-，故12a =．（2）由（1）知，21()(5)6ln (0)2f x x x x =-+>，6(2)(3)()5x x f x x x x--'=-+=．令()0f x '=，解得12x =，23x =，当02x <<或3x >时，()0f x '>，故()f x 的单调递增区间为(0,2)，(3,)+∞；当23x <<时，()0f x '<，故()f x 的单调递减区间为(2,3)．由此可知()f x 在2x =处取得极大值9(2)6ln 22f =+，在3x =处取得极小值(3)26ln3f =+．。

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人教A版选修2-2《第1章导数及其应用》2020年单元测试卷（2）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知函数f(x)=2x2−ax−1，在[−1,2]上单调，则实数a的取值范围是()．A. [−4,8]B. (−∞,−4]C. [8,+∞]D. (−∞,−4]∪[8,+∞)2.已知函数f(x)=−x3+ax2−x−1在上是单调函数，则实数a的取值范围是()A. B. [−√3,√3]C. D. (−√3,√3)3.若f(x)=x2−2x−4lnx，则f′(x)>0的解集为()A. (0,+∞)B. (2,+∞)C. (−1,0)D. (−1,0)∪(2,+∞)4.若函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y=(1−x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A. 函数f(x)有极大值f(3)，极小值f(−1)B. 函数f(x)有极大值f(−1)，极小值f(3)C. 函数f(x)有极大值f(−1)，极小值f(1)D. 函数f(x)有极大值f(3)，极小值f(1)5.设p：f(x)=e x+2x2+mx+1在[0,+∞)上单调递增，q：m+5≥0，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x都有f(x)≥0，则f(1)的最小值为()f′(0)A. 3B. 52C. 2D. 327. 若f(x)=−12x 2+aln(x +2)在(−1,+∞)上是减函数，则a 的取值范围是( )A. [−1,+∞)B. (−1,+∞)C. (−∞,−1]D. (−∞,−1)8. 已知f(x)=13x 3−x 2+ax +m ，其中a >0，如果存在实数t ，使f′(t)<0，则f′(t +2)⋅f′(2t+13)的值( )A. 必为正数B. 必为负数C. 必为非负数D. 必为非正数9. 求函数的最大值为( )A. 3B. 103C. 113D. 13410. 若函数f(x)=2x 2−lnx 在其定义域内的一个子区间(k −1,k +1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A. [1,+∞)B. [1,32)C. [1,2)D. [32,2)11. 已知函数y =f(x)满足f(−x)=f(x)，且当x ∈(0,+∞)时，有f(x)=1x ；则当x ∈(−∞,0)时，f(x)= ( )A. xB. −xC. 1xD. −1x12. 设函数ƒ(x )=e x x．(1)则函数y = ƒ(x )的单调区间_______；(2)若k > 1，不等式ƒ′(x )+ k (1 −x )ƒ(x )> 0的解集为_____．以下选项正确的是( )．A. 单调增区间是：[1,+∝)；单调减区间是：(−∞,0).{x|1k <x <1}．B. 单调增区间是：[1,+∝)；单调减区间是：(−∞,0)，(0,1]．{x|1<x<1}．kC. 单调增区间是：[1,+∝)；单调减区间是：(0,1]．{x|1<x<1}．kD. 单调增区间是：[1,+∝)；单调减区间是：(−∞,0)，(0,1].{x|1<x<k}．E. 单调增区间是：[1,+∝)；单调减区间是：(−∞,0)，(0,1]．{x|k<x<1}．F. 单调增区间是：(−∞,0)，(0,1].；单调减区间是：[1,+∝)．{x|1<x<1}．k二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）13.在曲线f(x)=x3+3x2+6x−10的切线的斜率中，最小值是______ ．14.已知函数f(x)=x3−3ax(a∈R)，若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线，则a的取值范围为______________________15.若函数f(x)=x3+ax+1图象与x轴相切，则实数a的值为_________．416.若函数f(x)=log a(x3−ax)(a>0，且a≠1)在区间(−1,0)上单调递增，则a的取值范围是2________．17.已知曲线y=2x2+4x在点P处的切线斜率为16，则点P的坐标为________．18.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=2，且f(x)的导函数f′(x)在R上恒有f′(x)<1，则不等式f(x)<x+1的解集为19.点(2,0)到直线y=x−1的距离为______ ．20.半径为r的圆的面积S(r)=π·r2，周长C(r)=2π·r，若将r看作(0,+∞)上的变量，则(π·r2)′=2π·r①.①式可以用语言叙述为圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0,+∞)上的变量，则类似于①的式子为________，此式可以用语言叙述为____________________________________________________________．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）21.已知函数f(x)=xln x−(a+1)x+1，a∈R．(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若方程(2a−1)(f(x)x +a+1)+1x+x+2=0有三个解，求实数a的取值范围．22.已知函数f(x)=ax2+bx和g(x)=lnx．(Ⅰ)若a=b=1，求证：f(x)的图象在g(x)图象的上方；(Ⅱ)若f(x)和g(x)的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，求a的取值范围．23.已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a≤−2，证明：对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，|f(x 1)−f(x 2)|≥4|x 1−x 2|.+lnx的一个极植点24.已知x=1是f(x)=2x−bx(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)设g(x)=f(x)−3，试问过点(2,5)可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明理由．xax2−(a−1)x−lnx(a∈R且a≠0)．25.已知函数f(x)=12(I)求函数f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)记函数y=F(x)的图象为曲线C.设点A(x1,y1)，B(x2,y2)是曲线C上的不同两点．如果在曲；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则线C上存在点M(x0,y0)，使得：①x0=x1+x22称函数F(x)存在“中值相依切线”.当a=2时，函数f(x)是否存在“中值相依切线”，请说明理由． (a∈R)．26.已知函数f(x)=lnx+ax(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a>0时，求证：f(x)≥2a−1．a-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．结合二次函数的图象与性质以及f(x)在区间[−1,2]上单调，可得a的取值范围．解：∵函数f(x)=2x2−ax−1的图象是开口朝上，且以直线x=a4为对称轴的抛物线，且f(x)在区间[−1,2]上单调，∴a4≤−1或a4≥2，解得：a∈(−∞,−4]∪[8,+∞)，故选D．2.答案：B解析：本题考查利用导数判断函数的单调性，根据题意求函数的导数，函数f(x)在(−∞,+∞)上是单调递减函数，则f′(x)≤0恒成立，解不等式即可．解：∵f(x)=−x3+ax2−x−1，∴f′(x)=−3x2+2ax−1，要使函数f(x)在(−∞,+∞)上是单调递减函数，则f′(x)≤0恒成立，即f′(x)=−3x2+2ax−1≤0恒成立，∴△=(2a)2−4×(−3)×(−1)=4a2−12≤0，解得−√3≤a≤√3．即实数a的取值范围是[−√3,√3]．故选B．3.答案：B解析：本题考查导数的加法与减法法则，一元二次不等式的解法，计算题，基本题型，属于基础题．由题意，可先求出函数的定义域及函数的导数，再解出不等式f′(x)>0的解集与函数的定义域取交集，即可选出正确选项．，解：由题，f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2x−2−4x>0，整理得x2−x−2>0，解得x>2或x<−1，令2x−2−4x结合函数的定义域知，f′(x)>0的解集为(2,+∞)．故选B．4.答案：B解析：本题考查了利用导数研究函数单调性、极值，属于中档题．由已知函数y=(1−x)f′(x)的图象如图所示，列出表格可得单调性，进而判断出极值．解：由已知函数y=(1−x)f′(x)的图象如图所示，可得：x(−∞,−1)−1(−1,1) 1(1,3)3(3,+∞)f′(x)+ 0−0− 0+f(x)单调递增极大值单调递减单调递减极小值单调递增由表格可得：函数f(x)有极大值f(−1)，极小值f(3)．故选：B．5.答案：A解析：本题考查充分必要条件的判断，涉及利用导数研究函数的单调性，和不等式恒成立问题，属基础题，求得f′(x)，p真等价于f′(x)≥0，利用导数研究f′(x)的单调性，求得最小值使之大于等于零，解得m的范围，然后考察此范围与p的关系解：f(x)=e x+2x2+mx+1，f′(x)=e x+4x+m，∴由复合函数单调性可知，f′(x)单调递增，∵f(x)在[0,+∞)上单调递增，∴f′(x)min=f′(0)=1+m≥0，∴m≥−1，∵m≥−1是m≥−5的充分非必要条件，∴p是q的充分不必要条件，故选A．6.答案：C解析：本题考查了求导公式，二次函数恒成立问题以及均值不等式，综合性较强．先求导，由f′(0)>0可得b>0，因为对于任意实数x都有f(x)≥0，所以结合二次函数的图象可得a>0且b2−4ac≤0，又因为f(1)f′(0)=a+b+cb=a+cb+1，利用均值不等式即可求解．解：∵f′(x)=2ax+b，∴f′(0)=b>0；∵对于任意实数x都有f(x)≥0，∴a>0且b2−4ac≤0，∴b2≤4ac，∴c>0；∴f(1)f′(0)=a+b+cb=a+cb+1≥2√acb+1≥1+1=2，当a=c时取等号．故选C．7.答案：C解析：本题主要考查导数的正负和原函数的增减性的问题，属于基础题．先对函数进行求导，根据导函数小于等于0时原函数单调递减即可得到答案．≤0，在x∈(−1,+∞)上恒成立，解：由题意可知f′(x)=−x+ax+2即a≤x(x+2)在x∈(−1,+∞)上恒成立，由于ｇ(x)=x(x+2)在(−1,+∞)上是增函数且g(−1)=−1，所以a≤−1，故选C．8.答案：B解析：本题考查了导数的运算，由已知得出a与t的取值范围和利用作差法比较两个数的大小是解题的关键．先对f(x)求导，由已知条件a>0，如果存在实数t，使f′(t)<0，求出t与a的取值范围，进而)、f′(t+2)与0的关系，从而得出答案．比较出f′(2t+13x3−x2+ax+m，解：∵f(x)=13∴f′(x)=x2−2x+a.∵存在实数t，使f′(t)<0，a>0，∴t2−2t+a<0的解集不是空集，∴△=4−4a>0，解得a<1，因此0<a<1．令t2−2t+a=0，解得t=1±√1−a，∴t2−2t+a<0的解集是：{x|0<1−√1−a<t<1+√1−a<2}．∵f′(t+2)=(t+2)2−2(t+2)+a=t(t+2)+a，∴f′(t +2)>0； ∵f ′(2t+13)=(2t+13)2−2×2t+13+a ，=4t 2−8t−59+a ，∴f ′(t)−f ′(2t+13)=t 2−2t −4t 2−8t−59，=5(t−1)29≥0，∴f ′(2t+13)≤f ′(t)<0，∴f′(t +2)⋅f′(2t+13)<0，故选B ．9.答案：B解析：本题主要考查了三角函数最值得求法，同角三角函数基本关系变形运用，以及运用二次函数模型求最值．先运用同角三角函数基本关系将三角函数名称统一，即得到，再令sinx =t(−1≤t ≤1)，再运用二次函数模型求最值即可．解：函数，令sinx =t(−1≤t ≤1)，则f(t)=f(t)=−3t 2+4t +2=−3(t −23)2+103，(−1≤t ≤1)，∴当t =23时，f(t)取得最大值103， ∴函数f(x)的最大值为103，故选B ．10.答案：B解析：本题主要考查了对数函数的导数，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力，属于基础题．先确定函数的定义域再求导数fˊ(x)，在函数的定义域内解方程fˊ(x)=0，使方程的解在定义域内的一个子区间(k −1,k +1)内，建立不等关系，解之即可．解：因为f(x)定义域为(0,+∞)，又f′(x)=4x −1x ，由f′(x)=0，得x =12．当x ∈(0,12)时，f′(x)<0，当x ∈(12,+∞)时，f′(x)>0，据题意，{k −1<12<k +1k −1≥0，解得1≤k <32．故选B ．11.答案：D解析：本题考查函数的解析式求法，属于基础题．由x <0，则−x >0，函数f(x)=f(−x)=1−x ，得当x ∈(−∞,0)时，f(x)的解析式．解：设x <0，则−x >0， f(x)=f(−x)=1−x ，所以f(x)=−1x ．故选D ．12.答案：B解析：考查的是函数的导数与函数单调性的关系．(1)对函数f(x)进行求导，当导数大于0时是单调递增区间，当导数小于0时是原函数的单调递减区间．(2)将f′(x)代入不等式即可求解．解：(1)∵f(x)=e xx，∴f′(x)=−1x e x+1xe x=x−1xe x，由f′(x)=0，得x=1，因为当x<0时，f′(x)<0；当0<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0；所以f(x)的单调增区间是：[1,+∝)；单调减区间是：(−∞,0)，(0,1]．(2)由f′(x)+k(1−x)f(x)=x−1+kx−kx2x2e x=(x−1)(−kx+1)x2e x>0，得：(x−1)(kx−1)<0，故：当k>1时，解集是：{x|1k<x<1}．故选B．13.答案：3解析：解：∵f(x)=x3+3x2+6x−10，∴f′(x)=3x2+6x+6=3(x+1)2+3，∵当x=−1时，f′(x)取到最小值3．∴f(x)=x3+3x2+6x−10的切线中，斜率最小的切线方程的斜率为3．故答案为3．先对函数f(x)求导，然后求出导函数的最小值，该最小值即为曲线的切线方程的斜率的最小值．本题主要考查导数的几何意义和导数的运算．导数的几何意义是函数在某点的导数值等于过该点的切线的斜率的值．14.答案：(−∞,13)解析：本题考查了利用导数的几何意义研究函数的切线问题，计算量小但有一定的难度，属于中档题．首先分析直线x +y +m =0对任意的m ∈R 都不是曲线y =f(x)的切线的含义，即f′(x)=−1无解即可，然后求出导函数，考察需要的条件即可求得a 的取值范围．解：f(x)=x 3−3ax(a ∈R)，则f′(x)=3x 2−3a(a ∈R)，若直线x +y +m =0对任意的m ∈R 都不是曲线y =f(x)的切线， ∵直线x +y +m =0的斜率为−1，∴f′(x)=3x 2−3a =−1无解，即方程3x 2=3a −1无实数解，∴3a −1<0，即a <13 ∴a 的取值范围为(−∞,13)．15.答案：−34解析：本题考查函数导数的应用，属于基础题．求出函数的导数，设切点，根据导数的几何意义列方程组求出a 的值即可．解：f(x)=x 3+ax +14，f′(x)=3x 2+a ，若f(x)的图象与x 轴相切，则y =0是函数的切线方程，设切点为(x 0,0)，则{3x 02+a =0x 03+ax 0+14=0,解得{x 0=12a =−34,故答案为−34.16.答案：[34,1)解析：本题主要考查复合函数的单调性，结论是同增异减，解题时一定要注意定义域．解：设g(x)=x3−ax，g(x)>0，得x∈(−√a,0)∪(√a,+∞)，g′(x)=3x2−a，x∈(−√a3,0)时，g(x)递减，x∈(−√a,−√a3)或x∈(√a,+∞)时，g(x)递增，∴当a>1时，减区间为(−√a3,0)，不合题意，当0<a<1时，(−√a3,0)为增区间，∴−12≥−√a3，∴a∈[34,1)，故答案为[34,1)．17.答案：(3,30)解析：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．解：设点P坐标为(x0,y0)，由y=2x2+4x得y′=4x+4，∴4x0+4=16，解得x0=3∴y0=2x02+4x0=30，∴点P的坐标为(3,30)．故答案为(3,30)．18.答案：(1,+∞)解析：本题利用导数研究函数的单调性，可构造函数，考查所构造的函数的单调性是关键，也是难点所在，属于中档题．解：令g(x)=f(x)−x−1，由f′(x)<1，因为g′(x)=f′(x)−1<0，所以g(x)=f(x)−x−1为减函数，又f(1)=2，所以g(1)=f(1)−1−1=0，所以不等式f(x)<x+1的解集⇔g(x)=f(x)−x−1<0=g(1)的解集，即g(x)<g(1)，又g(x)=f(x)−x−1为减函数，所以x>1．故答案为(1,+∞)．19.答案：√22解析：解：直线y=x−1即x−y−1=0，点(2,0)到直线y=x−1的距离即为点(2,0)到x−y−1=0的距离，由点到直线的距离公式得√2=√22，故答案为√22．先把直线的方程化为一般式，再利用点到直线的距离公式进行运算．本题考查点到直线的距离公式的应用，要注意先把直线的方程化为一般式．20.答案：(43πR3)′=4πR2，球的体积函数的导数等于球的表面积函数解析：本题考查类比推理，属于基础题．圆的面积函数的导数等于圆的周长函数，类比得到球的体积函数的导数等于球的表面积函数，有二维空间推广到三维空间．解：V 球=43πR 3，又(43πR 3)′=4πR 2故①式可填(43πR 3)′=4πR 2，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数．”故答案为(43πR 3)′=4πR 2，球的体积函数的导数等于球的表面积函数．21.答案：(1)由题意，，令，解之得x =e a ，当0<x <e a 时，f′(x)<0，当x >e a 时，f′(x)>0，所以函数f(x)的单调递减区间为(0,e a )，单调递增区间为(e a ,+∞)，从而f(x)的极小值为f(e a )=1−e a ，无极大值； (2)设ℎ(x)=(2a −1)(f(x)x +a +1)+1x +x +2，即ℎ(x)=(2a −1)lnx +2a x+x +2，求导得ℎ′(x)=2a−1x−2ax 2+1=(x−1)(x+2a)x 2(x >0)，若a ≥0，则当x ∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；当x ∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，ℎ(x)至多有两个零点；若a =−12，则ℎ′(x)≥0恒成立，ℎ(x)单调递增，ℎ(x)至多有一个零点；若−12<a <0，则当x ∈(−2a,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；当x ∈(0,−2a)或(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，则要使ℎ(x)有三个零点，必有{ℎ(−2a)>0ℎ(1)<0，解之得a <−32，不符题意；若a <−12，则当x ∈(1,−2a)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；当x ∈(0,1)或(−2a,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，则要使ℎ(x)有三个零点，必有{ℎ(−2a)<0ℎ(1)>0，解之得−32<a <−e2，且当−32<a <−e2时，0<e −2<1，e 2>−2a ，ℎ(e −2)=4+e −2+2a(e 2−2)<4+e −2−e(e 2−2)<4+1−5e <0，ℎ(e 2)=e 2+2a(e −2+2)>e 2−3(e −2+2)=e 2−6−3e −2>e 2−7>0综上，实数a 的取值范围−32<a <−e2．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值、导数中的零点问题，属于困难题． (1)由，解之得x =e a ，当0<x <e a 时，f′(x)<0，当x >e a 时，f′(x)>0，所以函数f(x)的单调递减区间为(0,e a )，单调递增区间为(e a ,+∞)，从而f(x)的极小值为f(e a )=1−e a ，无极大值； (2)设ℎ(x)=(2a −1)(f(x)x+a +1)+1x+x +2，求导得ℎ′(x)=2a−1x−2a x 2+1=(x−1)(x+2a)x 2(x >0)，分别对a ≥0，a =−12，−12<a <0，a <−12进行讨论，可求出实数a 的取值范围−32<a <−e2．22.答案：解：(Ⅰ)证明：若a =b =1，即有f(x)=x 2+x ，令ℎ(x)=f(x)−g(x)=x 2+x −lnx ，ℎ′(x)=2x +1−1x =2x 2+x−1x=(2x−1)(x+1)x ，x >0，当x >12时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)递增；当0<x <12时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)递减．可得ℎ(x)在x =12处取得极小值，且为最小值，且ℎ(12)=14+12−ln 12>0，即有ℎ(x)>0恒成立，则f(x)的图象在g(x)图象的上方； (Ⅱ)设P 的坐标为(m,n)，f(x)=ax 2+bx 的导数为f ′(x)=2ax +b ， g(x)=lnx 的导数为g ′(x)=1x ，可得2am +b =1m ，且n =am 2+bm =lnm ，消去b ，可得am 2+1−2am 2=lnm ，可得a =1−lnm m (m >0)，令u(m)=1−lnm m 2(m >0)，则u ′(m)=−3+2lnmm 3，当m >e 32时，u ′(m)>0，u(m)递增；当0<m <e 32时，u ′(m)<0，u(m)递减．可得u(m)在m =e 32处取得极小值，且为最小值，且u(e 32)=1−32e 3=−12e 3，则a ≥−12e 3，故a 的取值范围是[−12e 3,+∞)．解析：本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查转化思想和构造函数法，分离参数法，考查运算能力，属于中档题．(Ⅰ)令ℎ(x)=f(x)−g(x)=x 2+x −lnx ，求出导数和单调区间，可得极小值，且为最小值，判断最小值大于0，即可得证；(Ⅱ)设P 的坐标为(m,n)，分别求出f(x)，g(x)的导数，可得切线的斜率，即有2am +b =1m ，且n =am 2+bm =lnm ，消去b ，可得a =1−lnm m 2(m >0)，令u(m)=1−lnm m 2(m >0)，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求范围．23.答案：(1)解：f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=a+1x+2ax =2ax 2+a+1x，当a ≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a ≤−1时，f′(x)<0，故f(x)在(0,+∞)上单调递减；当−1<a <0时，令f′(x)=0，解得x =√−a+12a，当x ∈(0,√−a+12a)时，f′(x)>0，当x ∈(√−a+12a,+∞)时，f′(x)<0；故f(x)在(0,√−a+12a)上单调递增，在(√−a+12a,+∞)上单调递减；综上，当a ≥0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a ≤−1时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；当−1<a <0时，f(x)在(0,√−a+12a)上单调递增，在(√−a+12a,+∞)上单调递减；(2)证明：因为a ≤−2，由(1)可得，f(x)在(0,+∞)上单调递减．不妨假设x 1≤x 2，所以|f(x 1)−f(x 2)|≥4|x 1−x 2|等价于f(x 1)−f(x 2)≥4x 2−4x 1，即f(x 2)+4x 2≤f(x 1)+4x 1，令g(x)=f(x)+4x ，则g′(x)=2ax2+4x+a+1x，所以g′(x)≤−4x2+4x−1x =−(2x−1)2x≤0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递减，故g(x1)≥g(x2)，即f(x1)+4x1≥f(x2)+4x2，故对任意x1，x2∈(0,+∞)，|f(x1)−f(x2)|≥4|x1−x2|.解析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，考查运算求解能力，属于中档题．(1)先求出函数的定义域，然后对函数f(x)进行求导，根据导函数大于0时，原函数单调递增，导函数小于0时，原函数单调递减，对a分3种情况进行讨论，即可求出结果；(2)先根据a的范围对函数f(x)的单调性进行判断，然后根据单调性去绝对值，将问题转化为证明函数g(x)=f(x)+4x的单调性，即可得解．24.答案：解：(1)∵x=1是f(x)=2x−bx+lnx的一个极值点，∴f′(1)=0，∵f′(x)=2+bx2+1x，即2+b+1=0，∴b=−3，∴f′(x)=2−3x2+1x，令f′(x)=2−3x2+1x>0，∴x>1，又∵x>0(定义域)，∴函数的单调增区间为(1,+∞)．(2)g(x)=f(x)−3x=2x+lnx，设过点(2,5)与曲线y=g(x)相切的切点坐标为(x0,y0)∴y0−5=g′(x0)(x0−2)，∴2x0+lnx0−5=(2+1x0)(x0−2)，∴lnx0+2x0−2=0，令ℎ(x)=lnx+2x −2，则ℎ′(x)=1x−2x2，令ℎ′(x)=1x −2x2=0，可得x=2，当0<x<2时，ℎ′(x)<0；当x>2时，ℎ′(x)>0；∴ℎ(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，∵ℎ(12)=2−ln2>0，ℎ(2)=ln2−1<0，ℎ(e2)=2e2>0∴ℎ(x)与x轴有两个交点，∴过点(2,5)可作2条曲线y=g(x)的切线．解析：本题主要考查了利用导数研究函数的极值和单调性，以及切线问题，同时考查运算求解能力，化归与转化思想，属于中档题．(1)先求出f′(x)，再由x=1是f(x)=2x−bx+lnx的一个极值点，得f′(1)=0，由此能求出b，由f′(x)>0，再结合函数的定义域能求出函数的单调减区间；(2)g(x)=f(x)−3x=2x+lnx，设过点(2,5)与曲线g(x)的切线的切点坐标为(x0,y0)，故2x0+lnx0−5=(2+1x0)(x0−2)，由此能够推导出过点(2,5)可作2条直线与曲线y=g(x)相切．25.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域是(0,+∞)，由已知得，f′(x)=a(x−1)(x+1 a )x，(1)当a>0时，令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得0<x<1．所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递增；(2)当a<0时，①当−1a <1时，即a<−1时，令f′(x)>0，解得：−1a<x<1；∴函数f(x)在(−1a ,1)上单调递增；②当−1a =1时，即a =−1时，显然，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，无增区间；③当−1a >1时，即−1<a <0时，令f′(x)>0，解得1<x <−1a∴函数f(x)在(1,−1a )上单调递增；综上所述，(1)当a >0时，函数f(x)在(1,+∞)上单调递增；(2)当a <−1时，函数f(x)在(−1a ,1)上单调递增；(3)当a =−1时，函数f(x)无单调递增区间；(4)当−1<a <0时，函数f(x)在(1,−1a )上单调递增；(Ⅱ)假设函数f(x)存在“中值相依切线”．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)是曲线y =f(x)上的不同两点，且0<x 1<x 2，则y 1=x 12−x 1−lnx 1，y 2=x 22−x 2−lnx 2． k AB =y 2−y 1x 2−x 1=x 2+x 1−1−lnx 2−lnx 1x 2−x 1，曲线在点M(x 0,y 0)处的切线斜率：k =f′(x 0)=f′(x 1+x 22)=x 1+x 2−1−2x 1+x 2， x 2+x 1−1−lnx 2−lnx 1x 2−x 1=x 1+x 2−1−2x 1+x 2， ∴lnx 2−lnx 1x 2−x 1=2x 1+x 2，即ln x 2x 1−2(x 2x 1−1)x 2x 1+1=0，令t =x 2x 1>1，设ℎ(t)=lnt −2(t−1)1+t ，则ℎ′(t)=(t−1)2t(t+1)2>0， ∴ℎ(t)在(1,+∞)递增，∴ℎ(t)>ℎ(1)=0，故ℎ(t)=0在(1,+∞)无解，假设不成立，综上所述，假设不成立，所以，函数f(x)不存在“中值相依切线”．解析：(I)根据对数函数的定义求得函数的定义域，再根据f(x)的解析式求出f(x)的导函数，然后分别令导函数大于0和小于0得到关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x 的范围即分别为函数的递增和递减区间；(II)假设函数f(x)的图象上存在两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，使得AB 存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB 的斜率，利用导数的几何意义求出中值相依切线”的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间，灵活运用中点坐标公式化简求值，掌握反证法进行命题证明的方法，是一道综合题，属难题．26.答案：解：(1)f ′(x)=1x −a x 2=x−a x 2(x >0)．①当a ≤0时，f ′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增．②当a >0时，若x >a ，则f ′(x)>0，函数f(x)在(a,+∞)上单调递增；若0<x <a ，则f ′(x)<0，函数f(x)在(0,a)上单调递减．综上所述，当a ≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a >0时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增．(2)证明：由(1)知，当a >0时，f(x)min =f(a)=ln a +1．要证f(x)≥2a−1a ，只需证ln a +1≥2a−1a ．即证ln a +1a −1≥0．令函数g(a)=ln a +1a −1(a >0)，则g′(a)=1a −1a =a−1a ，当0<a <1时，g′(a)<0；当a >1时，g′(a)>0，所以g(a)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以g(a)min =g(1)=0．所以ln a +1a −1≥0恒成立，所以f(x)≥2a−1a 成立．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；(2)求出函数f(x)的最小值，令g(a)=ln a +1a −1(a >0)，则g′(a)=1a −1a 2=a−1a 2，根据函数的单调性证明即可．。

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