瞬时速度与导数.pdf
课件7：1.1.2 瞬时速度与导数
【提示】 当Δt 趋近于 0 时，ΔΔst趋近于 3g，这时的平均速 度即为 t＝3 时的瞬时速度．
1．物体运动的瞬时速度
设物体运动的路程与时间的关系是s＝f(t)，当_Δ_t_趋__近__于__0_时， 函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率_______________趋近 于常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度．
忽视导数定义中Δx与Δy的对应关系
设 函 数 y ＝ f(x) 在 x ＝ x0 处 可 导 ， 且
f（x0－3ΔΔx）x －f（x0）＝1，则 f′(x0)等于(
)
A．1
B．－1
C．－13
1 D.3
【错解】
f（x0－3Δx）－f（x0） Δx
＝ f（x0－3Δ3Δx）x－f（x0）·3 ＝3f′(x0)＝1，所以 f′(x0)＝13，故选 D.
其中在求Δ Δyx时要注意分子与分母的一致性．
1．已知函数 y＝f(x)，下列说法错误的是( ) A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫函数增量 B.ΔΔxy＝f（x0＋ΔΔx）x－f（x0）叫函数在[x0，x0＋Δx]上
的平均变化率 C．f(x)在点 x0 处的导数记为 y′ D．f(x)在点 x0 处的导数记为 f′(x0)
设函数 f(x)在 x0 处可导，求下列各值． (1) f（x0＋2ΔΔx）x －f（x0）；
(2) f（x0－mΔΔx）x －f（x0）.
【解】
(1)
f（x0＋2Δx）－f（x0） Δx
＝2 f（x0＋2Δ2Δx）x－f（x0）＝2f′(x0)．
(2)
f（x0－mΔx）－f（x0） Δx
＝－m f（x0－m－Δmx）Δ－x f（x0）＝－mf′(x0)．
3.1.2-3.1.3 瞬时速度与导数 导数的几何意义全面版
3.“Δx→0”的意义. 剖析:Δx与0的距离要多近有多近,即|Δx-0|可以小于给定的任意 小的正数,但始终有Δx≠0.
题型一
题型二
题型三
题型四
导数的定义
【例1】 已知函数y=f(x)在点x0处可导,试求下列各极限的值.
(1) lim
Δ ������ →0
f(x0-���������x���x)-f(x0);
f(x0+������������xx)-f(x0)=l”.
名师点拨(1)运动的瞬时速度就是路程函数y=s(t)的瞬时变化率.
(2)运动的瞬时加速度就是速度函数y=v(t)的瞬时变化率.
【做一做1】 一质点作直线运动,其位移s与时间t的关系是s=3t-
t2,则质点的初速度为
.
解析:质点的初速度即为s=3t-t2在t=0处的瞬时变化率.
答案:4
1.如何求函数y=f(x)在点x0处的导数? 剖析:(1)求函数值的改变量Δy;
(2)求平均变化率ΔΔ������������; (3)取极限得导数 f'(x0)=Δl���i���m→0 ������������yx.
2.“函数在一点处的导数”“导函数”“导数”三者之间有何区别与联
系?
剖析(1)函数在一点处的导数f'(x0)是一个常数,不是变量. (2)函数的导数是针对某一区间内任意点x而言的.函数f(x)在区间
【做一做4】 曲线y=x2在点(2,4)处的切线的斜率为
.
解析:曲线y=x2在点(2,4)处的切线的斜率就是函数y=x2在x=2处
的导数.
因此其斜率
k= lim
Δ ������ →0
(2+������x)2-22 ������x
第三章 3.1.2瞬时速度与导数
导
数
3.1.2 瞬时速度与导数
学习目标
1.理解从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.
2.了解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数.
3.掌握函数在某一点处的导数的定义.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一
思考1
答案
瞬时变化率
物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，试求物体在[1,1＋Δt]这
Δs ∴Δ lim ＝ lim (2 t 0＋1＋Δt)＝2t0＋1. → → t 0 Δt Δt 0
则2t0＋1＝9，∴t0＝4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
解答
反思与感悟
(1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导
致无从下手解答本题的常见问题. (2)求运动物体瞬时速度的三个步骤 ①求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0). Δs ②求平均速度 v ＝ Δt .
f′(100)＝－0.6表示服药后100 min时，血液中药物的质量浓度下降的
速度为0.6 μg/(mL· min).
解答
达标检测
1.如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那
么其在1.2 s末的瞬时速度为
A.－4.8 m/s √
C.0.88 m/s 解析
B.－0.88 m/s
Δs ③求瞬时速度，当 Δt 无限趋近于 0 时， Δt 无限趋近于的常数 v 即为 瞬时速度，即 v＝s′(t0).
跟踪训练 2
一质点M按运动方程 s(t) ＝at2＋1做直线运动 ( 位移单位： m，
时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值. 解 质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率.
1.1.2 瞬时速度与导数 学案(含答案)
1.1.2 瞬时速度与导数学案（含答案）1.1.2瞬时速度与导数瞬时速度与导数学习目标1.理解瞬时速度及瞬时变化率的定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率.3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法.4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数知识点一瞬时速度与瞬时变化率一质点的运动方程为s83t2，其中s表示位移，t 表示时间思考1试求质点在1,1t这段时间内的平均速度答案st831t28312t63t.思考2当t趋近于0时思考1中的平均速度趋近于几怎样理解这一速度答案当t趋近于0时，st趋近于6，这时的平均速度即为t1时的瞬时速度梳理瞬时速度与瞬时变化率1物体运动的瞬时速度设物体运动路程与时间的关系是sft，当t趋近于0时，函数ft在t0到t0t之间的平均变化率ft0tft0t趋近于某个常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度2函数的瞬时变化率设函数yfx在x0及其附近有定义，当自变量在xx0附近改变量为x时，函数值相应地改变yfx0xfx0，如果当x趋近于0时，平均变化率yxfx0xfx0x趋近于一个常数l，则常数l称为函数fx在点x0处的瞬时变化率记作当x0时，fx0xfx0xl.上述过程，通常也记作limx0fx0xfx0xl.知识点二yfx在点x0处的导数1函数yfx在点x0处的导数定义式fx0limx0fx0xfx0x.2实质函数yfx在点x0处的导数即函数yfx在点x0处的瞬时变化率知识点三导函数对于函数fxx22.思考1如何求f1，f0，f12，faaR答案fx0limx0x0x22x202xlimx02x0x2x0，f12，f00，f121，fa2a.思考2若a是一变量，则fa是常量吗答案fa2a，说明fa不是常量，而是关于a的函数梳理导函数的概念1函数可导的定义如果fx在开区间a，b内每一点x都是可导的，则称fx在区间a，b可导2导函数的定义条件fx在区间a，b可导定义对开区间a，b内每个值x，都对应一个确定的导数fx，于是，在区间a，b内fx构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数yfx的导函数导函数记法fx或y或yx1瞬时变化率是刻画某函数值在区间x1，x2上变化快慢的物理量2函数yfx在xx0处的导数值与x的正.负无关3函数在一点处的导数fx0是一个常数类型一求瞬时速度例1某物体的运动路程s单位m与时间t单位s的关系可用函数stt2t1表示，求物体在t1s时的瞬时速度解sts1ts1t1t21t11211t3t，limt0stlimt03t3，物体在t1s处的瞬时变化率为3，即物体在t1s时的瞬时速度为3m/s.引申探究1若本例中的条件不变，试求物体的初速度解求物体的初速度，即求物体在t0s时的瞬时速度sts0ts0t0t20t11t1t，limt01t1，物体在t0s时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1m/s.2若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.解设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s.又stst0tst0t2t01t，limt0stlimt02t01t2t01，2t019，t04.即物体在4s时的瞬时速度为9m/s.反思与感悟1不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解题的常见错误2求运动物体瞬时速度的三个步骤求时间改变量t和位移改变量sst0tst0求平均速度vst.求瞬时速度vlimt0st.跟踪训练1一质点M按运动方程stat21做直线运动位移单位m，时间单位s，若质点M在t2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值解质点M在t2s时的瞬时速度即为函数在t2s处的瞬时变化率质点M在t2s附近的平均变化率为sts2ts2ta2t24at4aat，又limt0st4a8，a2.类型二求函数在某一点处的导数例21设函数yfx在xx0处可导，且limx0fx03xfx0xa，则fx0________.答案13a解析limx0fx03xfx0xlimx0fx03xfx03x33fx0a，fx013a.2利用导数的定义求函数yfxx在x1处的导数解yf1xf11x1，yx1x1x11x1，f1limx0yxlimx011x112.反思与感悟1求函数yfx在点x0处的导数的三个步骤简称一差，二比，三极限2瞬时变化率的变形形式limx0fx0xfx0xlimx0fx0xfx0xlimx0fx0nxfx0nxlimx0fx0xfx0x2xf x0跟踪训练2已知fx3x2，fx06，求x0.解fx0limx0fx0xfx0xlimx03x0x23x20xlimx06x03x6x0，又fx06，6x06，即x01.1设函数fx在点x0附近有定义，且有fx0xfx0axbx2a，b为常数，则AfxaBfxbCfx0aDfx0b答案C解析fx0limx0fx0xfx0xlimx0abxa.2物体运动方程为st3t2位移单位m，时间单位s，若vlimt0s3ts3t18m/s，则下列说法中正确的是A18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度B18m/s是物体从3s到3ts这段时间内的速度C18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度D18m/s是物体从3s到3ts这段时间内的平均速度考点导数的概念题点导数概念的理解答案C3函数yfx2x24x在x3处的导数为________答案16解析f3limx0yxlimx023x243x23243x16.4一物体的运动方程为stt23t2，则其在t______时的瞬时速度为1.答案2解析设物体在tt0时的瞬时速度为1，因为stst0tst0tt0t23t0t2t203t02t2t03t，所以limx02t03t2t031，解得t02.5已知物体运动的速度与时间之间的关系是vtt22t2，则在时间间隔1,1t内的平均加速度是________，在t1时的瞬时加速度是________答案4t4解析在1,1t内的平均加速度为vtv1tv1tt4，当t无限趋近于0时，vt无限趋近于4.利用导数定义求导数三步曲1作差求函数的增量yfx0xfx02作比求平均变化率yxfx0xfx0x.3取极限得导数fx0limx0yx.简记为一差，二比，三极限。
1.1.2 瞬时速度与导数
当Δ t → 0时， 上式 → -13.1
这与表格中的计算结果一致，即“当△t趋近于0时，
平均速度趋近于常数-13.1”.这也说明运动员在t=2s
时的（瞬时）速度就是-13.1m/s.
问题4：探讨运动员在t=t0时的（瞬时）速度是多少？
h(t0 +t ) h(t0 ) 解析： 由 t
[10 4.9(t0 +t ) 2 6.5(t0 +t )] (10 4.9t0 2 6.5t0 ) t 2 4.9t0 t 4.9(t )2 6.5t t 9.8t0 6.5 4.9t
的平均速度为
h(2.1) h(2) 2.041 3.4 13.59(m / s). 2.1 2 0.1
问题2：运用计算器可以算出一系列关于时间改变量 △t的平均速度，相应计算结果见下表： 时间区间（s） [2,2.1] [2,2.01] [2,2.001] [2,2.000 1] [2,2.000 01] „„ 时间改变量(s) 0.1 0.01 0.001 0.000 1 0.000 01 „„ 平均速度（m/s) -13.59 -13.149 -13.104 9 -13.100 49 -13.100 049 „„
[( x +x)2 +1] （x 2 1 ） lim x 0 x
lim (2 x +x)
x 0
2x
瞬时速度与导数
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4．求函数y＝x2＋3在x＝1处的导数．
解： Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2＋3]－(12＋3)＝2Δx ＋(Δx)2， 2Δx＋Δx2 Δy ∴ ＝ ＝2＋Δx. Δx Δx ∴y′|x＝1＝liΔx→0 (2＋Δx)＝2. m
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1．平均变化率刻画函数在 x1 到 x2 之间变化的快慢 程度． 瞬时变化率刻画函数在某一点附近变化的快慢程度． 2．求瞬时变化率，就是求平均变化率当自变量的“增 量”趋近于 0 时的极限值． 3．求函数的导数分三步： Δy (1)计算 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；(2)计算 ； Δx Δy (3)计算lim . Δx→0 Δx
第 三 章
理解教材新知 3.1 3.1. 2瞬 时速 度与 导数 考点一
导 数 及 其 应 用
把握热点考向
考点二
应用创新演练
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3．1.2
瞬时速度与导数
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在庆祝建国60周年阅兵式上，最后出场的教练机梯队
以“零米零秒”的误差通过天安门上空． 问题1：通过天安门上空那一时刻的速度用什么描述？ 提示：瞬时速度． 问题2：当Δt逐渐变小时，梯队在t0到t0＋Δt之间的平均
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3．函数 f(x)在 x＝x0 处的导数 函数 y＝f(x)在 x＝x0 的瞬时变化率定义为函数 y＝f(x) 在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0) 或 y′|x＝x0 ，即 f′(x0)＝
fx0＋Δx－fx0 lim Δx→0 Δx
.
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4．函数的导数 (1)可导函数定义 如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x 导数都存在 ，则称f(x)
在区间(a，b)可导．
(2)导函数定义 若f(x)在区间(a，b)可导，则对开区间(a，b)内每个值x， 都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内，f′(x)构 成一个 新的函数 ，把这个 函数 称为函数y＝f(x)的导函数，
3.1.2瞬时速度与导数
Δs 1．求瞬时速度应先求平均速度 v ＝ Δt ，再用公式 v Δs ＝ lim Δt ，求得瞬时速度． Δx→0 2．如果物体的运动方程是 s＝s(t)，那么函数 s＝s(t) 在 t＝t0 处的导数，就是物体在 t＝t0 时的瞬时速度． 3．函数在一点处的导数，就是在该点函数值的改变 量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个定值，不 是变数.
一、瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
物体运动路程与时间的关系是 s＝f(t)， 函数 f(t)在 t0 到 t0＋Δt 之间的平均变化率 f (t0 t ) f (t0 ) t 当 Δt 趋近于 0 时，趋近于常数 我们把这个常数称为物体在 t0 时刻的瞬时速度
探究二：导数的概念
求函数在某点处的导数
求函数 f(x)＝x2 在 x＝1 处的导数．
解法一：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2， 2Δx＋Δx2 Δy ∴f′(1)＝ lim Δx＝ lim ＝ lim (2＋Δx)＝2， Δ x Δx→0 Δx→0 Δx→0 即 f(x)＝x2 在 x＝1 处的导数 f′(1)＝2.
高中新课程数学选修1-1 第三章 导数及其应用
3.1.2
瞬时速度与导数
探究一：瞬时速度
已知物体作变速直线运动，设物体运 动路程与时间的关系是S=f(t),
问题 1 求从 t0 到 t0＋Δt 这段时间内物体的平均速度。 f (t0 t ) f (t0 ) s v0 t t
问题 2 求物体在 t0 时刻的速度。
【答案】 C
4．一物体运动的方程是 s＝3＋t2，求物体在 t＝2 时的 瞬时速度．
【答案】 4
1 5、求函数 y＝x＋x在 x＝1 处的导数．
学案5：1.1.2 瞬时速度与导数
1.1.2 瞬时速度与导数学习目标：1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．2．了解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数．3．掌握函数在一点处导数的定义．学习过程：探究学习：1．瞬时变化率函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即()()000lim x f x x f x x∆→+∆-∆＝0lim x y x ∆→∆∆. 物理意义是把位移s 看成时间t 的函数s ＝s (t )在时间段[t 1，t 2]上的平均速度，即v ＝s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1. 2．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是0lim x y x ∆→∆∆＝()()000lim x f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0x x y ='， 即f ′(x 0)＝0lim x y x ∆→∆∆＝()()000lim x f x x f x x∆→+∆-∆. 注意：(1)某点导数的概念包含两层含义： ①0lim x y x∆→∆∆存在(惟一确定的值)，则称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导， ②若0lim x y x∆→∆∆不存在，则函数y ＝f (x )在x ＝x 0处不可导． (2)位移函数在某一时刻的瞬时变化率(导数)叫瞬时速度， 即v ＝0lim x ∆→Δs Δt ＝0lim x ∆→s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt . (3)f ′(x 0)＝0lim x ∆→ f (x )－f (x 0)x －x 0与定义中的f ′(x 0)意义本质相同. 例题探究：例1：一质点按规律s (t )＝at 2＋1作直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．例2：已知某物体按照s (t )＝3t 2＋t ＋4(t 的单位：s ，s 的单位：m)的规律做直线运动，求该物体在4 s 附近的平均速度．例3：求函数y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数．课堂检测：1.设函数f (x )可导，则limΔx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx 等于 ( )． A ．f ′(1)B ．3f ′(1) C.13f ′(1) D ．f ′(3)2．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________．3．某物体作匀速运动，其运动方程是s ＝vt ，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．4．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，子弹从枪口射出时所用的时间为t 0＝1.6×10－3s ，求子弹射出枪口时的瞬时速度．5．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值．课堂小结：规律方法 求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的步骤是：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx； (3)取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim x ∆→Δy Δx .参考答案例题探究：例1：解：∵Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a Δt 2，∴Δs Δt＝4a ＋a Δt . 在t ＝2 s 时，瞬时速度为0lim x ∆→Δs Δt ＝4a ，即4a ＝8，∴a ＝2. 例2：解：v ＝Δs Δt ＝s (4＋Δt )－s (4)Δt＝3(4＋Δt )2＋(4＋Δt )＋4－(3×42＋4＋4)Δt＝(25＋3Δt )m/s ，即该物体在4 s 附近的平均速度为(25＋3Δt )m/s.例3：解：因为Δy ＝[(x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋b ]－(x 2＋ax ＋b ) ＝2x ·Δx ＋(Δx )2＋a ·Δx＝(2x ＋a )·Δx ＋(Δx )2，故Δy Δx ＝(2x ＋a )·Δx ＋(Δx )2Δx＝(2x ＋a )＋Δx ， lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(2x ＋a ＋Δx )＝2x ＋a ， 所以y ′＝2x ＋a .课堂检测：1.【解析】根据导数的定义： lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝f ′(1)， lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13f ′(1)． 【答案】C2．【解析】v 初＝s ′|t ＝0＝ 0limt ∆→s (0＋Δt )－s (0)Δt ＝0lim t ∆→(3－Δt )＝3. 【答案】33．【解析】v 0＝0limt ∆→Δs Δt ＝0lim t ∆→s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝0lim t ∆→v (t 0＋Δt )－v t 0Δt ＝0lim t ∆→v ·Δt Δt＝v .【答案】相等4．解：运动方程为s ＝12at 2. ∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2， ∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ， ∴0lim t ∆→ Δs Δt＝at 0. 由题意知a ＝5×105，t 0＝1.6×10－3，故at 0＝8×102＝800(m/s)．即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.5．解：由导数的定义知，f ′(x )＝lim Δx →0Δf Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ， g ′(x )＝lim Δx →0Δg Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－x 3Δx ＝3x 2. ∵f ′(x )＋2＝g ′(x )，∴2x ＋2＝3x 2.即3x 2－2x －2＝0，解得x ＝1－73或x ＝1＋73.。
瞬时速度与导数
练习：(1)求函数y=x2在x=1处的导数; 处的导数; 练习：(1)求函数 求函数 处的导数 1 (2)求函数 处的导数. (2)求函数 y = x + 在x=2处的导数. 处的导数 x
(1) 解： ∆y = (1+ ∆x)2 −12 = 2∆x + (∆x)2 ,
∆y 2∆x + (∆x)2 = = 2 + ∆x, ∆x ∆x ∆y ∴ 当 ∆x → 0时， → 2,∴ y ′ | x =1 = 2. ∆x ∆x
例 :已 知 函 数 y = 求 x0的 值.
解 :Q ∆ y =
∴ ∆y = ∆x =
1 x 在 x = x0处 附 近 有 定 义 , 且 y ' |x = x0 = , 2
x0 + ∆x − x0 ,
x0 + ∆x − x0 ( x0 + ∆x − x0 )( x0 + ∆x + x0 ) = ∆x ∆x ( x 0 + ∆ x + x 0 ) 1 . x 0 + ∆x + x 0
∆y (3) 求导数A ∆X →0时， → A ∆x
例1.求y=x2+2在点 在点x=1处的导数 1.求 在点 处的导数 解：∆y = [(1+ ∆x)2 + 2] − (12 + 2) = (∆x)2 + 2∆x
∆y 2∆x + (∆x)2 = = 2 + ∆x ∆x ∆x ∆y ∴当∆x →0时， →2 ∆x 变题. 在点x=a处的导数 变题.求y=x2+2在点 在点 处的导数 ∴y' |x=1= 2
1 2 物体作自由落体运动,运动方程为s = gt 其中位移单 例1:物体作自由落体运动,运动方程为： ： 2 O 位是m,时间单位是s,g=10m/s m,时间单位是 位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求：
02瞬时速度与导数
• 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
t 0
lim
h (t0 t ) h (t0 ) t
导数的定义:
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
x 0
lim
y x
s t
t 0
2 g 20 m / s .
例题 2.求函数 y
练习 2.求函数 y 解：∵ △ y
1 1
1
1 x x
在点 x
1 2
1 2
处的导数.
在点 x
2
处的导数.
2△ x 1 2 △ x
△ x
2 2△ x
1
∴
△ y △x
△ x △x
=
2
=
2 1 2 △ x
6
f x
6 x
问题: •求函数y=3x2在x=1处的导数. 分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１) =6Δx+3(Δx)2 y f 再求 再求 lim 6 6 3 x
x
x 0
x
例1 物体作自由落体运动,运动方程为：s 1 gt 2 其中位移单位是 2 m,时间单位是s,g=10m/s2.求： (1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度； (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
x 0
t
x 0
t
• 由导数的定义可得求导数的一般步骤： （1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)
(2)求平均变化率 x （3）求极限 f ( x ) lim y
瞬时速度与导数的关系
瞬时速度与导数的关系瞬时速度与导数之间存在密切的关系。
首先，我们来解释一下瞬时速度和导数的概念。
1. 瞬时速度：瞬时速度是指物体在某一时刻的即时速度，也可以理解为物体通过一小段时间内所移动的距离与该时间段的长度的比值。
瞬时速度可以用以下公式表示：v = lim Δt→0 (Δx/Δt)，其中v表示瞬时速度，Δx表示物体在时间段Δt内移动的距离。
2. 导数：导数是函数在某一点处的变化率，表示函数在该点的切线的斜率。
在物理学中，瞬时速度与时间的关系可以用函数表示，这个函数就是速度函数。
速度函数的导数就是瞬时速度的导数，也叫作加速度。
加速度表示单位时间内速度的变化量。
接下来，我们来说明瞬时速度与导数之间的关系。
3. 瞬时速度与导数的关系：根据导数的定义，导数表示函数在某一点的变化率。
在物理学中，瞬时速度就是速度函数在某一时刻的值，而速度函数的导数就是加速度，表示单位时间内速度的变化率。
通过速度函数的导数，我们可以得到在某一时刻物体的加速度。
如果物体在某一时刻的加速度为正值，那么物体的速度在这一时刻是增加的；如果加速度为负值，那么速度在这一时刻是减小的。
当加速度为零时，速度保持不变。
反过来，如果我们已知物体在某一时刻的速度函数，我们可以通过求导数得到该时刻的加速度。
这个加速度可以告诉我们物体在这一时刻的速度是增加还是减小，以及速度的变化有多快。
综上所述，瞬时速度与导数之间存在紧密的关系。
瞬时速度就是速度函数在某一时刻的值，而速度函数的导数就是加速度，表示单位时间内速度的变化率。
通过导数，我们可以确定物体在某一时刻的加速度，从而了解物体速度的变化情况。
瞬时速度与导数2.18
所以
当△t→0时，s′=2at， 由题意知t=2时，s′=8，即4a=8，解得a=2.
练习题 1．一物体的运动方程是s=3+t2，则在一 小段时间[2, 2.1]内相应的平均速度为 （ D ） A．0.41 B． 3
C． 4
D．4.1
2．设y=f(x)函数可导，则
lim
x 0
f (1 x) f (， A x
例2.求y=x2+2在点x=1处的导数 解：y [(1 x) 2 2] (12 2) (x) 2 2x
y 2x (x) 2 2 x x x y 当x 0时， 2 x 变题.求y=x2+2在点x=a处的导数 y ' | x 1 2
(2)将 Δ t=0.01代入上式，得:
__
s (3)当t 0时, 20 m / s. t
v 2.005g 20.05m / s.
s
s
即 : 物体在时刻t0 2s 的瞬时速度等于20 m
导数的概念
（a , b ) 函数 y f ( x )在区间（ a, b)有定义， x0
练习：求函数y=x2在点x=3处的导数。 解：因为△y=(3+△x)2－32=6△x+(△x)2.
y 所以 =6+△x， x y 令△x→0， x →6
所以函数y=x2在点x=3处的导数为6.
例5．已知y=ax2+bx+c，求y′及y′|x=2。
解：△y=a(x+△x)2+b(x+△x)+c－(ax2+bx+c) =(2ax+b)△x+a(△x)2，
y =(2 ax + b )+ a △ x ， x
瞬时速度与导数
观察 当t趋近于0时,平均速度v有什么样的变化趋势?
时间区间
△t
平均速度
[1.9，2]
－0.1
-12.61
[1.99,2]
－0.01
-13.051
[1.999,2] －0.001 -13.0951
[1.9999,2] －0.0001 -13.09951
x
x
x1 x0
引例
已知物体运动位移和时间关系为 s f t
从t0到t0 t这段时间内函数的平均变化率为
v
f t0 t
t
f t0
s t
即为物体运动的平均速度。
当t 0时，st 常数l
则l叫做物体在t0时刻的瞬时速度
（ 读作“趋近于”）
s
s f t s
t
t
t0 t0 t
问题情境:
h（t
0
t）
h（t
）
0
t
当t趋近于0时，趋于常数 9.8t0 6.5
我们把它称为
t
时刻的瞬时速度
0
瞬时速度
设物体作直线运动所经过的路程为s=h(t)。 以t0为起始时刻，物体在t时间内的平均速度为
vv
ss tt
ff((tt00
tt)) tt
ff ((tt00))
。。
所以当t0时，比值
s t
跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程 中，不同时刻的速度是不同的。假设t 秒后运动 员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试 确定t=2s时运动员的速度。
1.1.2瞬时速度与导数
处的导数（derivative）.
3.求导数的步骤 （1）求 y；
y （2）求 x ；
y （3）取极限得 f(2，则
f ( x0 k ) f ( x 0 ) lim _____ . -1 k o 2k
2.
设函数 f(x)可导 ，则 =（B ） A. f (1) C. 不存在
O s(2)
__
解:
Δs 1 v = = 2g + g(Δt) Δt 2
s(2+t)
s
(1)将 Δt=0.1代入上式，得: __
v = 2.05g = 20.5m / s.
s
(2)当Δt 0, 2 + Δt 2
从而平均速度 v 的极限为
s v lim v lim 2 g 20m / s. t 0 t 0 t
课堂小结
1.瞬时速度的定义
物体在某一时刻的速度称为瞬 时速度.
2.导数的定义 一般地，函数 y f x 在 x x0 处的瞬时变化率是
Δf lim = lim Δx 0 Δx 0 Δx Δx 我们称它为函数 y f x 在x x0 f x0 + Δx - f x 0
__
即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等 于20(m/s).当时间间隔Δt 逐渐变小时,平 均速度就越接近t0=2(s) 时的瞬时速度 v=20(m/s).
例题3
还记得上节课讲的关于高台 跳水问题吗？运动员相对于水面 的高度h(单位：米)与起跳后的时 间t（单位：秒）存在函数关系:
h(t) = -4.9t + 6.5t +10
平均速度反映了物体运动时的快 慢程度,但要精确地描述非匀速直线 运动,就要知道物体在每一时刻运动 的快慢程度,也即需要通过瞬时速度 来反映.
1.1.2瞬时速度与导数
x
x
常数称在x
的瞬时变化率
0
导数定义
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率
当x 0时，f (x0 x) f (x0 ) l
x
通常记作： lim f (x0 Δx) f (x0 ) l
x0
x
称为函数 y = f (x) 在 点 x0 处的导数, 记作 f (x0 )
率（数形结合）
k切线
f
'(x0 )
lim
x0
f
(x0
x) x
f
( x0 )
3.体会“数形结合”，“逼近思想”“以 直代曲”的数学思想方法。
' x
).
注意：f '(x)(或y')是函数f (x)的导函数，简称导数；
f '(x0)(或y' xx0 )是函数f (x)在点x x0处的导数。
前者是一个函数，后者是一个数值。
例2．火箭竖直向上发射，熄火时向上的
速度达到100m/s，试问熄火后多长时间火
箭向上的速度为0？
解：火箭的运动方程为h(t)=100t－12 gt2，
t
2.运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1
体现了什么数学思想？ 逼近思想
新课探 究
1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?
1.当t 0时
h(t0
t) t
h(t0
)
常数
l
常数称在t0的瞬时速度
2.当x 0时
y f (x0 x) f (x0 ) 常数l
y
A B C
圆的切线定义并不适 l1 用于一般的曲线。
高二数学瞬时速度与导数
例1 将原油精炼为汽油、
柴油、塑胶等各种不同产
品 ,需要 对原油进 行冷却
和加热.如果在 xh时, 原油
的温度 单位 :0 C为 f x
x2 7x 15(0 x 8).计算第2h和第6h时, 原油温度
x0
x
x0 x
y f x在x x0处的导 数derivative,
记作 f
'x或 y'
|x
x0
即
lim
x0
f x0
x
x
f x0 .
y' |xx0 表 示 函 数 y关 于 自 变 量x在x0处 的 导 数.
17世纪,力学、航海、天文等方面取得了突飞猛 进 的 发 展, 这 些 发 展 对 数 学 提 出 了新 的 要 求, 它 们 突 出 地 表现 为 本 章 引 言 中 提到 的 四 类 问 题, 其 中 的两类问题直接导致了导数的产生: 一是根据物 体 的 路 程 关 于 时 间 的 函数 求 速 度 和 加 速 度; 二 是 求已知曲线的切线. 由导数的定义, 我们知道,高度h关于时间t的导数 就 是 运 动 员 的 瞬 时 速 度; 气 球 半 径r关 于 体 积V的 导 数 就 是 气 球 的 瞬 时 膨胀 率. 实际上, 导数可以描述任何事物的瞬时变化率,如
t 0时,在2,2 2tth22
4.9t2 13.1t t
4.9t
13.1
当t 0.01时, v 13.149;
当t 0.001时, v 13.1049;
当t 0.0001时, v 13.10049;
变速直线运动的瞬时速度问题——认识导数_应用数学基础（理工类）_[共2页]
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应用数学基础(理工类)27 第2章 导数及其应用微分学研究导数、微分及其应用，是高等数学的重要组成部分；它的基本概念是导数与微分，其中，导数反映函数相对于自变量变化快慢的程度，是一种变化率；微分反映当自变量有微小变化时，函数相应的变化。
本章主要讨论导数与微分的概念，微分法及其应用。
2.1 导数的概念2.1.1 变速直线运动的瞬时速度问题——认识导数在实际问题中，经常需要讨论自变量x 的增量x ∆与相应的函数()y f x =的增量y ∆之间的关系。
例如，讨论它们的比y x∆∆以及当0x ∆→时，y x ∆∆的极限。
下面先讨论两个问题：变速直线运动的瞬时速度和平面曲线切线的斜率。
这两个问题在历史上都与导数概念的形成有着十分密切的关系。
1．变速直线运动的瞬时速度若物体做匀速直线运动，则其速度为常量，s v v t∆==∆，而在实际生活中，大量物体做的是非匀速直线运动。
例如，已知物体移动的距离随时间t 的变化规律s (t )，如何由s (t )求出物体在任一时刻的速度与加速度？ 显然，这一问题不能像计算匀速运动那样用运动的时间去除移动的距离来计算。
下面以自由落体运动为例。
一小球做自由落体运动，实验结果表明其运动方程为：21g 2s t =，其中g=9.8m/s 2，如何求小球在0t 时刻的速度v ？ 设时间t 由0t 变化到0t t +∆，相应位移由0()s t 变化到0()s t t +∆，由平均速度的概念，在00[,]t t t +∆时间段内的平均速度为00()()s t t s t v t+∆-=∆， 又22200000111()()g()g g g 222s t t s t t t t t t t +∆-=+∆-=∆+∆， 所以01g g 2v t t =+∆， 但v 毕竟不是小球的在0t 时刻的速度，它与我们所取的时间间隔t ∆有关。
下面我们计算01t =时，t ∆分别为0.1，0.01，0.001，0.0001时的平均速度：[1，1.1 ] 19.89.80.110.292v =+⨯⨯=；。