2018年中考数学总复习第二轮小专题测试 小专题(8)解直角三角形的实际应用
中考数学必考点提分专练08 解直角三角形的实际应用(含解析)
|类型1| 两直角三角形在高线同侧1.[2019·襄阳]襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一.某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分(上塔柱BC和塔冠BE)进行了测量.如图所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为121 m，拉索AB与桥面AC的夹角为37°，从点A 出发沿AC方向前进23.5 m，在D处测得塔冠顶端E的仰角为45°.请你求出塔冠BE的高度.(结果精确到0.1 m，参考数据:sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√2≈1.41)解:在Rt△ACB中，AC=121，∠A=37°，∴tan A=BCAC=BC121≈0.75，∴BC≈90.75，由题知AD=23.5，∴CD=AC-AD=97.5.在Rt△DCE中，∠EDC=45°，∴tan∠EDC=ECCD=1，∴EC=97.5，∴BE=EC-BC=97.5-90.75=6.75≈6.8.答:塔冠BE的高度约为6.8 m.2.[2019·衡阳]如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°，已知坡面CD=10米，山坡的坡度i=1∶√3(坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求楼房AB高度.(结果精确到0.1米)(参考数据:√3≈1.73，√2≈1.41)解直角三角形的实际应用提分专练08解:过点D作DH⊥AB于点H，交AE于点F.作DG⊥BC于点G，则DG=BH，DH=GB.x米，设楼房AB的高为x米，则EB=√33∵坡度i=1∶√3，CD=10米，∴坡面CD的铅直高度DG为5米，坡面的水平宽度CG为5√3米，，在Rt△ADH中，tan∠ADH=AHDH∴DH=√3(x-5).x=√3(x-5)，∴5√3+10+√33解得x=15+5√3≈23.7(米).所以楼房AB的高度约为23.7米.3.[2019·宿迁]宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图3①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，车轮半径为32 cm，∠BCD=64°，BC=60 cm，坐垫E与点B的距离BE为15 cm.(1)求坐垫E到地面的距离.(2)根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适.小明的腿长约为80 cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE'的长.(结果精确到0.1 cm，参考数据:sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05)解:(1)如图①，过点E作EM⊥CD于点M，由题意知∠BCM=64°，EC=BC+BE=60+15=75(cm)，∴EM=EC sin∠BCM=75sin64°≈67.5(cm)，故坐垫E到地面的距离为67.5+32=99.5(cm).(2)如图②所示，过点E'作E'H ⊥CD 于点H ，由题意知E'H=80×0.8=64(cm)， 则E'C=E 'Hsin∠ECH =64sin64°≈71.1(cm)，∴EE'=CE -CE'=75-71.1=3.9(cm).|类型2| 两直角三角形在高线异侧4.[2019·铜仁]如图，A ，B 两个小岛相距10 km ，一架直升机由B 岛飞往A 岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的h km ，当直升机飞到P 处时，由P 处测得B 岛和A 岛的俯角分别是45°和60°，已知A ，B ，P 和海平面上一点M 都在同一个平面上，且M 位于P 的正下方，求h.(结果取整数，√3≈1.732)解:由题意得，∠P AB=60°，∠PBA=45°，AB=10 km ，在Rt △APM 和Rt △BPM 中，tan ∠P AM=ℎAM =√3，tan ∠PBM=ℎBM =1， ∴AM=3=√33h ，BM=h.∵AM+BM=AB=10，即√33h+h=10， 解得h=15-5√3≈6. 答:h 约为6 km .5.[2019·海南]如图是某区域的平面示意图，码头A 在观测站B 的正东方向，码头A 的北偏西60°方向上有一小岛C ，小岛C 在观测站B 的北偏西15°方向上，码头A 到小岛C 的距离AC 为10海里.(1)填空:∠BAC= ，∠C= ； (2)求观测站B 到AC 的距离BP .(结果保留根号)解:(1)30°45°(2)设BP=x海里.由题意，得BP⊥AC，则∠BPC=∠BP A=90°.∵∠C=45°，∴∠CBP=∠C=45°，则CP=BP=x.在Rt△ABP中，∠BAC=30°，则∠ABP=60°.∴AP=tan∠ABP·BP=tan60°·BP=√3x，∴√3x+x=10，解得x=5√3-5，则BP=5√3-5.答:观测站B到AC的距离BP为(5√3-5)海里.6.[2019·邵阳]某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示.已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB=OE；支架BC与水平线AD垂直.AC=40 cm，∠ADE=30°，DE=190 cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD=65°，求OB的长度.(结果精确到1 cm；温馨提示:sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)解:设OE=OB=2x，∴OD=DE+OE=190+2x.∵∠ADE=30°，∴OC=12OD=95+x，∴BC=OC-OB=95+x-2x=95-x.∵tan∠BAD=BCAC ，∴2.14≈95-x40，解得:x≈9，∴2x=18，即OB的长度约为18 cm.|类型3| 其他类型7.[2019·泸州]如图，海中有两个小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上，且相距20√2n mile，该渔船自西向东航行一段时间到达点B处，此时测得小岛C 恰好在点B的正北方向上，且相距50 n mile，又测得点B与小岛D相距20√5n mile.(1)求sin∠ABD的值；(2)求小岛C，D之间的距离(计算过程中的数据不取近似值).解:(1)过D作DE⊥AB于E，在Rt△AED中，AD=20√2，∠DAE=45°，∴DE=20√2×sin45°=20.在Rt△BED中，BD=20√5，∴sin∠ABD=EDBD =20√5=√55.(2)过D作DF⊥BC于F，在Rt△BED中，DE=20，BD=20√5，∴BE=√BD2-DE2=40.易知四边形BFDE是矩形，∴DF=EB=40，BF=DE=20，∴CF=BC-BF=30.在Rt△CDF中，CD=√DF2+CF2=50，∴小岛C，D之间的距离为50 n mile.8.[2019·镇江]在三角形纸片ABC(如图①)中，∠BAC=78°，AC=10.小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形(如图②).(1)∠ABC=°；(2)求正五边形GHMNC的边GC的长.(参考值:sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.7)①②解:(1)30[解析]∵五边形ABDEF是正五边形，=108°，∴∠ABD=(5-2)×180°5∠DBG=∠BAC=78°，∴∠ABC=∠ABD-∠DBG=30°，故答案为:30.(2)作CQ⊥AB于Q，在Rt△AQC中，sin∠QAC=QC，AC∴QC=AC·sin∠QAC≈10×0.98=9.8.在Rt△BQC中，∠ABC=30°，∴BC=2QC=19.6，∴GC=BC-BG=BC-AC=9.6.9.[2019·威海]如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图.已知汽车货厢高度BG=2米，货厢底面距地面的高度BH=0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH=α，木箱的长(FC)为2米，高(EF)和宽都是1.6米.通过计算判断:当sinα=3，木箱底5部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部.解:∵BH=0.6，sin α=35，∴AB=BHsinα=0.635=1，∴AH=0.8.∵AF=FC=2，∴BF=1，作FQ ⊥BG 于点Q ，作EP ⊥FQ 于点P ，∵FB=AB=1，∠EPF=∠FQB=∠AHB=90°，∠EFP=∠FBQ=∠ABH ， ∴△EFP ∽△ABH ，△FBQ ≌△ABH ， ∴EPAH =EFAB ，BQ=BH=0.6，即EP0.8=1.61， ∴EP=1.28，∴EP+BQ=1.88(米)<2米， ∴木箱上部顶点E 不会触碰到汽车货厢顶部.。
数学人教版九年级下册中考专项复习《解直角三角形的实际应用》
课题：中考专项复习《解直角三角形的实际应用》
一、学情分析：
知识点分析：解直角三角形的实际应用在中考中是重点内容，而且是必拿分的内容，占据十分重要的地位。
学生分析：学生此时处于中考总复习的阶段，对知识点的掌握比较熟练，因此此时的重点是方法的总结。
二、教学目标：
1、使学生了解解直角三角形实际应用的意义，并掌握解决问题的能力；
2、是学生熟练掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的方法；
3、体验数学思想（方程思想和数形结合思想）在解直角三角形中的魅力。
三．教学的重点与难点：
教学重点：将实际问题转化为解直角三角形问题。
教学难点：将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间关系进行解题的思想方法。
四、教学方法：自主探究法
五、教学辅助：多媒体
六．教学过程：
E
在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合相关知1.
2．如图，从热气球
角分别为30°，45°
E
D
D 4、
构造直角三角形，解直角三角形。
【中考数学】2018题型专项(五) 解直角三角形的实际应用
题型专项(五) 解直角三角形的实际应用解直角三角形的实际应用历年来在云南各地的中考中都有考查，几乎都以解答题的形式出现，主要有两种类型：一是利用视角测量长度(高度)，二是利用方向角测量距离．解题的一般步骤为：画出平面图形，将实际问题转化为解直角三角形的数学问题，即根据条件特征，选用勾股定理或适当的三角函数解直角三角形，得出数学问题的答案，然后作答(回归实际问题)．预计2018年仍会有考查，复习时应加强训练．类型1 利用视角测量长度(高度) 1．(2017·普洱市思茅三中一模)如图所示，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆AB 的高度，在C 点测得旗杆顶端A 的仰角∠BCA ＝30°，向前走了20米到达D 点，在D 点测得旗杆顶端A 的仰角∠BDA ＝60°，求旗杆AB 的高度．(结果精确到0.1，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：∵∠C ＝30°，∠ADB ＝60°，∴∠DAC ＝30°. ∴AD ＝CD.∵CD ＝20米，∴AD ＝20米． 在Rt △ADB 中， sin ∠ADB ＝AB AD， 则AB ＝20×32＝103≈17.3(米)． 答：旗杆AB 的高度约为17.3米．2．(2017·曲靖市罗平县三模)如图，小颖在教学楼四楼上，每层楼高均为3米，测得目高1.5米，看到校园里的圆形花园最近点的俯角为60°，最远点的俯角为30°，请你帮小颖算出圆形花园的面积是多少平方米？(结果保留1位小数，参考数据：3≈1.7，2≈1.4，π≈3.14)解：∵每层楼高均为3米，测得目高1.5米， ∴CD ＝3×3＋1.5 ＝10.5(米)．∵最远点的俯角为30°，∴∠CAD ＝30°. ∴tan 30°＝CD AD .∴AD ＝33CD ＝3CD. ∵∠CBD ＝60°，∴tan 60°＝CDBD .∴BD ＝13CD ＝33CD.∴AB ＝AD －BD ＝(3－33)×10.5＝73(米)．∴S ＝(732)2π≈115.4(平方米)．答：圆形花园的面积是115.4平方米．3．(2017·昆明市官渡区二模)如图，在电线杆上的C 处引拉线CE ，CF 固定电线杆，拉线CE 和地面所成的角∠CED ＝60°，在离电线杆6米的B 处安置测角仪AB ，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°.已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：过点A 作AH ⊥CD ，垂足为H.由题意可知四边形ABDH 为矩形，∠CAH ＝30°， ∴DH ＝AB ＝1.5，AH ＝BD ＝6. 在Rt △ACH 中，tan ∠CAH ＝CH AH， ∴CH ＝AH·tan ∠CAH ＝6tan 30°＝6×33＝2 3. ∵DH ＝1.5，∴CD ＝23＋1.5.在Rt △CDE 中，∵∠CED ＝60°，sin ∠CED ＝CD CE ，∴CE ＝CDsin 60°＝4＋3≈5.7(米)．答：拉线CE 的长约为5.7米．类型2 方位角问题 4．(2017·云南考试说明)如图，A ，B 两城市相距100 km ，现计划在这两座城市之间修建一条高速公路(即线段AB)．经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°，在B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50 km 为半径的圆形区域内．请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区？为什么？(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)解：过点P 作PC ⊥AB ，C 为垂足， 则∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°. ∴AC ＝PC·tan 30°，BC ＝PC·tan 45°. ∵AC ＋BC ＝AB ，∴PC ·tan 30°＋PC ·tan 45°＝100. ∴(33＋1)PC ＝100. ∴PC ＝50(3－3)≈63.4>50.∴森林保护区的中心与直线AB 的距离大于保护区的半径，因此计划修建的这条高速公路不会穿越保护区．5．(2017·乌鲁木齐)一艘渔船位于港口A 的北偏东60°方向，距离港口20海里B 处，它沿北偏西37°方向航行至C 处突然出现故障，在C 处等待救援，B ，C 之间的距离为10海里，救援艇从港口A 出发20分钟到达C 处，求救援艇的航行速度．(sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，3≈1.732，结果取整数)解：作BD ⊥AD ，BE ⊥CE ，CF ⊥AF ， 由题意知，∠FAB ＝60°，∠CBE ＝37°， ∴∠BAD ＝30°. 在Rt △ABD 中， ∵AB ＝20海里， ∴BD ＝10海里．∴AD ＝AB 2－BD 2＝103≈17.32(海里)．在Rt △BCE 中，sin 37°＝CEBC ，∴CE ＝BC·sin 37°≈0.6×10＝6(海里)． ∵cos 37°＝EBBC， ∴EB ＝BC·cos 37°≈0.8×10＝8(海里)． ∴EF ＝AD ＝17.32海里．∴FC ＝EF －CE ＝11.32海里， AF ＝ED ＝EB ＋BD ＝18海里． 在Rt △AFC 中，AC ＝AF 2＋FC 2＝182＋11.322≈21.26(海里)． ∴21.26×3≈64(海里/小时)．(或21.26÷20≈1海里/分钟)． 答：救援艇的航行速度是64海里1小时(1海里1分钟)．类型3 其他实际问题 6．(2017·楚雄州永仁县一模)如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB 的坡角∠BAD ＝60°，坡长AB ＝20 3 m ，为加强水坝强度，将坝底从A 处向后水平延伸到F 处，使新的背水坡角∠F ＝45°，求AF 的长度．(结果精确到1 m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：过B 作BE ⊥DF 于E.Rt △ABE 中，AB ＝20 3 m ，∠BAE ＝60°， ∴BE ＝AB·sin 60°＝203×32＝30(m )，AE ＝AB·cos 60°＝203×12＝103(m )．在Rt △BEF 中，BE ＝30，∠F ＝45°， ∴EF ＝BE ＝30 m .∴AF ＝EF －AE ＝30－103≈13 m . 答：AF 的长约为13(m )．7．(2017·昆明市官渡区一模)如图，垂直于地面的灯柱AB 被一钢缆CD 固定，CD 与地面成45°夹角(∠CDB ＝45°)；为了使灯柱更牢固，在C 点上方2米处再新加固另一条钢线ED ，ED 与地面成53°夹角(∠EDB ＝53°)，求线段ED 的长．(结果精确到0.1米，参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)解：设BD ＝x 米，则BC ＝x 米，BE ＝(x ＋2)米． 在Rt △BDE 中，tan ∠EDB ＝BE DB ＝x ＋2x， 即x ＋2x≈1.33，解得x ≈6.06. ∴BE ＝8.06. ∵sin ∠EDB ＝BE ED， ∴0.8＝8.06ED ，解得ED ≈10.1.答：钢线ED 的长度约为10.1米．。
2018年中考数学试题分类汇编：解直角三角形及其应用
、选择题
1. （2018四川绵阳，10, 3分）一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30。
方
向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：..3 :-1.732，, 2 :-1.414）
A.4.64海里
B.5.49海里
C.6.12海里
D.6.21海里
【答案】B.
由题意知，/ BAC=30 °、/ ACB=15 ° ,
作BD丄AC于点D，以点B为顶点、BC为边，在△ ABC内部作/ CBE= / ACB=15
则/ BED=30 ° , BE=CE ,
设BD=x,
贝U AB=BE=CE=2 x, AD=DE= 一3x,
••• AC=AD+DE+CE =2 ,3x+2x,
•/ AC=30 ,
• 2 , 3x+2x= 30,
解得：x= 15 3 -1疋 5.49.
2
故选B.
【知识点】解直角三角形的应用——方向角问题，勾股定理的应用,
定，含30°角直角三角形的性质，垂线段最短的应用
三角形的外角性质，等腰三角形的判。
中考数学总复习《解直角三角形的应用题》专题测试卷(附答案)
中考数学总复习《解直角三角形的应用题》专题测试卷（附答案）1．如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，求旗杆的高度CD．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin32°=0.53，cos32°=0.85，tan32°=0.62】2．如图，在一次数学实践活动中，小明同学为了测量学校旗杆EF的高度，在观测点A处观测旗杆顶点E的仰角为45°，接着小明朝旗杆方向前进了7m到达C点，此时，在观测点D处观测旗杆顶点E的仰角为60°．假设小明的身高为1.68m，求旗杆EF的高度．（结果保留一位小数．参考数据：√2≈1.414，√3≈ 1.732)3．如图，在徐州云龙湖旅游景区，点A为“彭城风华”观演场地，点B为“水族展览馆”，点C为“徐州汉画像石艺术馆”．已知∠BAC=60°，∠BCA=45°，AC=1640m．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB（精确到1m）．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）4．大连作为沿海城市，我们常常可以在海边看到有人海钓．小华陪爷爷周末去东港海钓，爷爷将鱼竿AB摆成如图所示．已知AB=2.4m，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD=45°．此时鱼线被拉直，鱼线BO= 3m．点O恰好位于海面，鱼线BO与海面OH的夹角∠BOH=60°．求海面OH与地面AD之间的距离DH的长．（结果保留一位小数，参考数据：√2=1.414，√3=1.73）5．让运动挥洒汗水，让青春闪耀光芒．重庆某中学倡议全校师生“每天运动一小时，快乐学习每一天”，响应学校号召，小明决定早睡早起，每天步行上学．如图，小明家在A处，学校在C处，从家到学校有两条线路，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C．经测量，点B在点A的正北方向，AB=300米．点C在点B的北偏东45°；点D在点A的正东方向，点C在点D的北偏东30°方向CD=2900米．(1)求BC的长度（精确到个位）；(2)小明每天步行上学都要从点A到点C，路线一；从点A经过点B到点C，路线二；从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路线较近？（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√6≈2.449）6．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC 的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节(AB)时，AC与地面夹角∠ACG=53°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACG=37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（参考数据：sin53°≈45，sin37°≈35，tan53°≈4 3，tan37°≈34）7．某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为53°，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为0.45m，已知凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）(1)计算台阶DE的高度；(2)求孔子雕像AB的高度．8．如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，AB=240米，点D在点B的南偏东75∘方向，在点A的东南方向．（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）(1)求B，D两地的距离；（结果精确到0.1米）(2)大门C在风景点D的南偏西60∘方向，景区管理部门决定重新翻修CD之间的步道，求CD间的距离．9．小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门A出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山B处，再沿着BC前往寺庙C处，在B处测得亭台D在北偏东15°方向上，而寺庙C在B的北偏东30°方向上，小玲沿着A的东北方向上步行一段时间到达亭台D处，再步行至正东方向的寺庙C处．(1)求小山B与亭台D之间的距离；（结果保留根号）(2)若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙C处．（结果精确到个位，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）10．研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动，同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD=18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD=37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE=9米数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长．（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）11．【综合与实践】如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中α代表入射角，β代表折射角．学习小组查阅资料了解到，若n=sinαsinβ，则把n称为折射率．（参考数据：sin53°≈45,cos53°≈35，tan53°≈43）【实践操作】如图2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在MN处，光线可沿PD照射到空容器底部B处，将水加至D处，且BF=12cm时，光点移动到C处，此时测得DF=16cm,BC=7cm四边形ABFE是矩形，GH是法线．【问题解决】(1)求入射角∠PDG的度数；(2)请求出光线从空气射入水中的折射率n．12．数学兴趣小组设计了一款含杯盖的奶茶纸杯（如图1），图2为该纸杯的透视效果图，在图3的设计草图中，由AF、线段EF和ED构成的图形为杯盖部分，其中AF、与ED均在以AD为直径的⊙O上，且AF= ED，G为EF的中点，点G是吸管插孔处（忽略插孔直径和吸管直径），由点A，B，C，D构成的图形（杯身部分）为等腰梯形，已知杯壁AB=13.6cm，杯底直径BC=5.8cm，杯壁与直线l的夹角为84°．(1)求杯口半径OD的长；(2)若杯盖顶FE=3.2cm，吸管BH=22cm，当吸管斜插，即吸管的一端与杯底点B重合时，求吸管漏出杯盖部分GH的长．（参考数据：sin84∘≈0.995，cos84∘≈0.105，tan84∘≈9.514，√15.93≈3.99，17.5222≈307.02，√315.43≈17.76，结果精确到0.1cm）.13．为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1)，将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2)，测得底座高AB为2cm，∠ABC=150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）(1)求支点C离桌面l的高度：（计算结果保留根号)(2)小吉通过查阅资料，当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，能保护视力．当α从30°变化到70°的过程中，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）14．如图，四边形ABCD是某公园的游览步道（步道可以骑行），把四个景点连接起来，为了方便，在景点C的正东方设置了休息区K，其中休息区K在景点A的南偏西30°方向800√2米处，景点A在景点B的北偏东75°方向，景点B和休息区K两地相距400√5米(∠ABK<90°)，景点D分别在休息区K、景点A的正东方向和正南方向．（参考数据：√2≈1.41，√5≈2.24，√6≈2.45）(1)求步道AB的长度；(2)周末小明和小宏相约一起去公园游玩，他们在景点C一起向正东出发，不久到达休息区K，他们发现有两条路线到达景点A，于是小宏想比赛看谁先到达景点A．他们分别租了一辆共享单车，两人同时在K点出发，小明选择①K−B−A路线，速度为每分钟320米；小宏选择②K−D−A路线，速度为每分钟240米，其中两人在各个景点停留的时间不计．请你通过计算说明，小明和小宏谁先到达景点A呢？15．某公园里有一座凉亭，亭盖呈圆锥状，如图所示，凉亭的顶点为O，点O在圆锥底面、地面上的正投影分别为点O1，O2，点P为圆锥底面的圆上一点，数据显示，该圆锥的底面半径为2米（即O1P=2米），圆锥底面离地面的高度为3米（即O1O2=3米）．(1)若OO1=2米，求圆锥的侧面积；(2)现计划对亭盖的外部进行喷漆作业，需测算亭盖的外部面积（即圆锥的侧面积）．因凉亭内堆积建筑材料，导致无法直接测量OO2的高度，工人先在水平地面上选取观测点A，B（A，B，O2在同一直线上），利用测角仪分别测得点O的仰角为α，β，其中tanα=12，tanβ=25，再测得A，B两点间的距离为m米（即AB=MN=m米），已知测角仪的高为1米（即MA=NB=QO2=1米），求亭盖的外部面积（用含m的代数式表示）．16．赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字AG的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中∠DEC=∠AEB，∠DFC=∠GFB），具体操作如下：将平面镜水平放置于E处，小茜站在C处观测，俯角∠MDE=45°时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端A处（CD为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于F处观测，俯角∠MDF=36.9°时，恰好通过平面镜看到“美”字底端G处．测得BE=163.3m，CE=1.5m，点C，E，F，B在同一水平线上，点A，G，B在同一铅垂线上．（参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75）(1)CD的高度为__________m，CF的长为__________m；(2)求“美”字AG的高度．17．风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座OD建在山坡DF上（坡比i=3:4，DE垂直于水平地面EF，O，D，E三点共线），坡面DF长10m，三个相同长度的风轮叶片OA，OB，OC可绕点O转动，每两个叶片之间的夹角为120°；当叶片静止，OA与OD重合时，在坡底F处向前走25米至点M处，测得点O处的仰角为53°，又向前走23.5米至点N处，测得点A处的仰角为30°（点E，F，M，N在同一水平线上）．(1)求叶片OA的长；(2)在图2状态下，当叶片绕点O顺时针转动90°时（如图3），求叶片OC顶端C离水平地面EF的距离．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43，√3≈1.7，结果保留整数）18．贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB，CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线的夹角为45°，A，B 两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上）(1)求索道AB的长（结果精确到1m）；(2)求水平距离AF的长（结果精确到1m）．（参考数据：sin15°≈0.26cos15°≈0.97tan15°≈0.27√2≈1.41）19．春天是踏青的好季节小明和小华决定去公园出游踏青．如图已知A为公园入口景点B位于A点东北方向400√2米处景点E位于A点南偏东30°方向景点B在景点E的正北方向景点C既位于景点B正东方向310米处又位于景点D的北偏西37.5°方向．景点F既位于景点E的正东方向又位于景点D的正南方向．DF=400米．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，sin37.5°≈35，cos37.5°≈45，tan37.5°≈34）(1)求BE的长；（精确到个位）(2)小明选择了游览路线①：A−B−C−D小明行驶的平均速度是72米/分小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟．小华选择了游览路线②：A−E−F−D小华行驶的平均速度为96米/分．小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟．请通过计算说明：小明和小华谁先到达景点D处．20．如图是一种家用健身卷腹机由圆弧形滑轨⌒AB可伸缩支撑杆AC和手柄AD构成．图①是其侧面简化示意图．滑轨⌒AB支撑杆AC与手柄AD在点A处连接其中D A B三点在一条直线上．(1)如图① 固定∠DAC=120°,若BC=30√6cm,AC=60cm,求∠ABC的度数；(2)如图② 固定∠DAC=100°若AC=50cm,∠ABC=30°时圆弧形滑轨AB所在的圆恰好与直线BC 相切于点B求滑轨⌒AB的长度．（结果精确到0.1 参考数据：π取3.14 sin70°≈0.940)参考答案：1．解：由题意得BE⊥CD于EBE=AC=22米∠DBE=32°在Rt△DBE中DE=BE⋅tan∠DBE=22×0.62≈13.64（米）CD=CE+DE=1.5+13.64≈15.14（米）答：旗杆的高CD约为15.14米．2．解：延长AD交EF于点G设EG=x∵AD∥BF，EF⊥BF∵AG⊥EF∵∠B=∠F=∠AGF=90°∵四边形ABFG是矩形∠AGE=90°∵∠EAG=45°∵∠AEG=90°−∠EAG=45°∵AG=EG=x∵AD=7∵DG=x−7∵∠EDG=60°=√3∵tan∠EDG=EGDG=√3∵xx−7∵x=7(3+√3)2∵EG=7(3+√3)2∵GF=AB=1.68∵EF=EG+GF=7(3+√3)2+1.68≈7(3+1.732)2+1.68 =16.562+1.68=18.242≈18.2．故旗杆EF的高度约18.2m．3．解：过B作BH⊥AC于H设AH=xm∵∠BAC=60°∵∠ABH=90°−60°=30°∵AB=2AH=2xm∵tanA=tan60°=BHAH=√3∵BH=√3xm∵∠BCA=45°∠BHC=90°∵△BHC是等腰直角三角形∵CH=BH=√3xm∵AH+CH=√3x+x=AC=1640≈600.7∵x=√3+1∵AB=2x≈1201(m)．答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB约是1201m．4．解：过点B作BC⊥OH交OH于点C延长AD交BC于点E∵四边形DECH是矩形∵DH=CE．根据题意可知∠BAD=45°,∠BOH=60°在Rt△ABE中AB=2.4m∵sin∠BAE=BEAB即sin45°=BE2.4=1.2×1.41=1.692．解得BE=2.4×√22在Rt△BOC中BO=3m∵sin∠BOC=BCBO即sin60°=BC3=1.5×1.73=2.595解得BC=3×√32∵DH=CE=BC−BE=0.903≈0.9（m）．所以海面OH与地面AD之间得距离DH的长0．9m．5．（1）解：过点C作CM⊥AD交AD的延长线于点M过点B作BN⊥AM交AM于点N过点D作DH⊥BN 交BN于点H．由题可知：∠CBN=45°∠A=90°∠CDM=60°．∵四边形ABNM、四边形ABHD、四边形DMNH都是矩形△BCN是等腰直角三角形．在Rt△CMD中∵∠CDM=60°CD=2900米∵DM=12DC=1450米CM=√3DM=1450√3米∵AB=MN=300米∵CN=CM−MN=(1450√3−300)米在Rt△CBN中∠CBN=45°∵CB=√2CN=(1450√6−300√2)米≈3127米答：BC的长度为3127米．（2）解：路线一：AB+BC=(300+1450√6−300√2)米≈3427米∵AM=BN=CN=(1450√3−300)米∵AD=AM−DM=(1450√3−1750)米∵路线二：AD+CD=(1450√3+1150)米≈3361米∵3427<3361∵路线二较近．6．解：如图1 作AF⊥CG垂足为F设AB=xcm则AC=60+x∵sin53°=AFAC =AF60+x∴AF=(60+x)⋅sin53°如图2 作AH⊥CG垂足为H则AC=60+2x∴AH=(60+2x)⋅sin37°∵AF=AH∴(60+x)⋅sin53°=(60+2x)⋅sin37°∴4(60+x)5=3(60+2x)5解得：x=30．答：每节拉杆的长度为30cm．7．（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3EC为0.45m∵DE EC =13∴DE=EC3=0.15m即台阶DE的高度为0.15m；（2）解：如图所示设AB的对边为MN作DF⊥MN于F∵由题意得四边形NFDE是矩形∵FN=DE=0.15m DF=NE设MN=xm则MF=(x−0.15)m在Rt△MFD中∠MDF=45°∵FD=MF=(x−0.15)m∵NC=NE−EC=(x−0.15)−0.45=(x−0.6)m∵tan53°=MNNC ≈43即xx−0.6=43解得x=2.4经检验x=2.4是原方程的解答：孔子雕像AB的高度约2.4m．8．（1）解：过点B作BP⊥AD于点P由题意知∠BAD=45∘∠CBD=75∘∴∠ADB=30∘∠ABP=45∘=∠A∴BD=2BP AP=BP在Rt△ABP中AB=240米∴AP=BP=AB=120√2（米）sin45∘∴BD=2BP=240√2≈339.4（米）．答：B、D两地的距离约为339.4米；（2）解：过点B作BM⊥CD于点M由（1）得BD=2BP=240√2（米）∵∠CDB=180∘−60∘−75∘=45∘∠CBD=75∘∠DCB=60∘∴∠DBM=45∘=∠CDB∴BM=DM在Rt△BDM中BD=240√2sin45∘=BMBD∴BM=DM=BD⋅sin45∘=240√2×√2=240（米）2在Rt△BCM中∠CBM=75∘−45∘=30∘∴CM=BM⋅tan30∘=80√3（米）∴DC=DM+CM=240+80√3（米）．9．解：（1）作BE⊥AD于点E由题意知AB=60∠A=45°∠ABD=90°+15°=105°∠CBA=90°+30°=120°在Rt△ABE中在Rt△BDE中ED=√3BE=30√6BD=2BE=60√2∴小山B与亭台D之间的距离60√2米（2）延长AB作DF⊥BA于点F作CG⊥BA于点G则∠CBG=180°−∠CBA=60°由题意知CD∥AB∵四边形CDFG是矩形∵CG=DF,CD=FG．∵AE=30√2ED=30√6∴AD=30√2+30√6在Rt△AFD中DF=AF=√2=30+30√3CG=DF=30+30√3米在Rt△BCG中BG=√3=10√3+30∴CD=FG=AB+BG−AF=60−20√3∴S玲=AD+CD=30√2+30√6+60−20√3≈141.2米S明=AB+BC=60+60+20√3≈154.6米∵141.2<154.6且两人速度一致∴小玲先到．答：小玲先到达寺庙C处．10．解：如图：延长CD交AB于点H则四边形CMBH为矩形∴CM=HB=20在Rt△ACH中∠AHC=90°∠ACH=18.4°∴tan∠ACH=AH CH∴CH=AHtan∠ACH=AHtan18.4°≈AH0.33在Rt△ECH中∠EHC=90°∠ECH=37°∴tan∠ECH=EH CH∴CH=EHtan∠ECH=EHtan37°≈EH0.75设AH=x．∵AE=9∴EH=x+9∴x0.33=x+90.75解得x≈7.1∴AB=AH+HB≈7.1+20=27.1≈27（米）．答：点A到地面的距离AB的长约为27米．11．（1）解：如图1 ∵GH∥FB∴∠DBF=∠PDG,∵BF=12cm,DF=16cm,∴tan∠DBF=DFBF=1612=43,∵tan53°≈4 3∴入射角∠PDG约为53°．（2）解：如图2 作DM⊥AB于点T在Rt△BDF中BF=12cm,DF=16cm∴BD=√DF2+BF2=20cm,在Rt△DTC中TC=DF−BC=16−7=9cm,DT=BF=12cm∴CD=√DT2+TC2=√122+92=15cm,∴光线从空气射入水中的折射率∴光线从空气射入水中的折射率n=43．12．（1）解：过点B作BP⊥AD于点D过点C作CQ⊥AD于点Q延长BC到点R ∵四边形BCQP是矩形∵BC=QP BP=CQ∵AB=13.6cm杯底直径BC=5.8cm杯壁与直线l的夹角为84°点A B C D构成的图形（杯身部分）为等腰梯形∵AD∥BC CD=AB=13.6cm QP=BC=5.8cm∵∠A=∠D=∠DCR=84°∵BP=CQ CD=AB∵Rt△ABP≌Rt△DCQ(HL)∵AP=DQ∵AP=DQ=CDcosD=13.6×0.105=1.428(cm)CQ=CDsinD=13.6×0.995=13.532(cm)∵AD=2AP+PQ=DQ=2×1.428+5.8=8.656(cm)AD=4.328≈4.3(cm)∵OD=12故杯口半径OD的长为4.3cm．（2）解：连接GO并延长交BC于点N∵G为EF的中点EF=1.6(cm)∵GO⊥EF,EG=FG=12连接FD∵ AF=ED，∵∠EFD=∠ADF,∵AD∥EF∵GO⊥AD∵ AD∥BC∵GO⊥BC∵NO=13.532(cm)∵GO=√(4.3)2−(1.6)2≈4.0(cm)∵GN≈17.532(cm)∵GB=√(17.532)2+(2.9)2≈17.77(cm)∵GH=BH−GB=22−17.77≈4.2(cm)13．（1）解：过点C作CF⊥l于点F过点B作BM⊥CF于点M∴∠CFA=∠BMC=∠BMF=90°．由题意得：∠BAF=90°∴四边形ABMF为矩形∴MF=AB=2cm∠ABM=90°．∵∠ABC=150°∴∠MBC=60°．∵BC=18cm∴CM=BC⋅sin60°=18×√32=9√3(cm)．∴CF=CM+MF=(9√3+2)cm．答：支点C离桌面l的高度为(9√3+2)cm；（2）解：过点C作CN∥l过点E作EH⊥CN于点H∴∠EHC=90°．∵DE=24cm CD=6cm∴CE=18cm．当∠ECH=30°时EH=CE⋅sin30°=18×12=9(cm)；当∠ECH=70°时EH=CE⋅sin70°≈18×0.94=16.92(cm)；∴16.92−9=7.92≈7.9(cm)∴当α从30°变化到70°的过程中面板上端E离桌面l的高度是增加了增加了约7.9cm．14．（1）解：由题意得∠DAK=30°∠BAD=75°∠D=90°AK=800√2米BK=400√5米∵∠BAK=∠BAD−∠DAK=75°−30°=45°过点K作KH⊥AB于H则∠AHK=∠BHK=90°∵△AHK为等腰直角三角形∵AH=KH=√22AK=√22×800√2=800米∵BH=√BK2−KH2=√(400√5)2−8002=400米∵AB=AH+BH=800+400=1200米；（2）解：∵AK=800√2∠DAK=30°∠D=90°∵DK=12AK=400√2米AD=AK·cos30°=800√2×√32=400√6米∵路线②K−D−A的路程为KD+AD=400√2+400√6≈1544米∵小宏到达景点A的时间为1544÷240≈6.43分钟∵路线①K−B−A的路程为KB+BA=400√5+1200≈2096米∵小明到达景点A的时间为2096÷320≈6.55分钟∵6.43<6.55∵小宏先到达景点A．15．（1）解：由题意得：∠OO1P=90°．∵OO1=2米O1P=2米∴OP=2√2（米)．∴圆锥的侧面积=π×2√2×2=4√2π（米2)．答：圆锥的侧面积为4√2π平方米；（2）解：由题意得：∠OQM=90°．设OQ长x米．∵tanα=1 2∴MQ=2x米．∵MN=m米∴NQ=(m+2x)米．∵tanβ=2 5∴xm+2x =25．解得：x=2m．∵O1O2=3米QO2=1米∴OO1=2m+1−3=(2m−2)米．∵O1P=2米∠OO1P=90°．∴OP=√22+(2m−2)2=√4m2−8m+8=2√m2−2m+2（米)．∴圆锥的侧面积=π×2√m2−2m+2×2=4π√m2−2m+2（米2)．答：亭盖的外部面积为4π√m2−2m+2平方米．16．（1）解：∵∠MDE=45°∴∠DEC=45°∵DC⊥BC∴△DCE是等腰直角三角形∴DC=CE=1.5m 在Rt△DCF中∠DFC=36.9°DC=1.5m∴DF=DCsin36.9°=1.50.60=2.5(m)∴CF=√DF2−DC2=√2⋅52−1⋅52=2(m)；故答案为：1.52；（2）∵∠DEC=45°∴∠AEB=45°∴∠BAE=45°∴AB=BE=163.3m由题意可知∠MDF=36.9°∴∠GFB=∠DFC=∠MDF=36.9°∵EF=CF−CE=2−1.5=0.5(m)∴BF=163.3−0.5=162.8(m)在Rt△BFG中BG=tan∠GFB⋅BF≈0.75×162.8=122.1(m)∴AG=163.3−122.1=41.2(m)即“美”字的高度AG约为41.2m．17．（1）解：∵DE垂直于水平地面EF∵∠E=90°∵坡比i=3:4∵DE EF =34设DE=3xm则EF=4xm ∵坡面DF长10m∵(3x)2+(4x)2=102解得：x=2（负值舍去）∵DE=6m EF=8m∵MF=25m∵ME=MF+EF=33m由题意得：∠OME=53°=44m∵OE=ME⋅tan53°≈33×43∵MN=23.5m∵NE=ME+MN=56.5m．由题意得：∠N=30°≈32m∵AE=NE⋅tan30°=56.5×√33∵OA=OE−AE=44−32=12m．（2）如图过点C作CH⊥OE于点M CG⊥NE于G∵∠CHE=∠HEG=∠CGE=∠CHO=90°∵四边形HEGC是矩形∵EH=CG∵叶片绕点O顺时针转动90°∵∠AOE=90°∵∠AOC=120°∵∠COH=30°由题意得：OC=OA=12m=6√3m∵OH=OCcos∠COH=12×√32∵CG=HE=OE−OH=44−6√3≈34m．∵叶片OC顶端C离水平地面EF的距离为34m．18．（1）解：在Rt△ABE中∠AEB=90°∠A=15°AE=576m∴AB=AEcosA =576cos15°≈594(m)．答：索道AB的长约为594m．（2）延长BC交DF于点G∵BC∥AF DF⊥AF∴DG⊥CG．∵四边形BEFG为矩形．∴EF=BG．∵CD=AB≈594m∠DCG=45°∴CG=CD·cos∠DCG≈594×cos45°=297√2(m)．∴AF=AE+EF=AE+BG=AE+BC＋CG≈576+50+297√2≈1045(m)．答：水平距离AF的长约为1045m19．（1）解：如图所示过点A作AH⊥BE于点H∵∠BAH=45°，AB=400√2米∴AH=BH=√22AB=400米∵∠AEB=30°∴HE=√3AH=400√3米AE=2AH=800米∴BE=400+400√3≈1092（米）．∴BE长约1092米．（2）解：小华先到达景点D处理由如下：如图过点C作CN⊥EF于点N过点D作DM⊥BE于点M交CN于点G则四边形BCNE和四边形DFNG都是矩形∴BC=EN BE=CN=(400+400√3)米GN=DF=400米DG=NF∴CG=CN−GN=400√3米∵景点C既位于景点B正东方向310米处又位于景点D的北偏西37.5°方向．∴BC=310（米）∠DCN=37.5°在Rt△CGD中cos∠DCN=CGCD tan∠DCN=DGCG∴CD=CGcos37.5°=400√345≈865（米）DG=CG⋅tan37.5°=400√3×34≈519（米）∴EF=EN+NF=BC+DG≈829（米）∵小明选择了游览路线①：A−B−C−D小明行驶的平均速度是72米/秒．小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟∴小明的游览时间为400√2+310+86572+10+5≈39（分钟）在Rt△AEH中AH=400米∠EAH=60°∴AE=AHcos60°=40012=800（米）∵小华选择了游览路线②：A−E−F−D小华行驶的平均速度为96米/秒．小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟∴小华的游览时间为800+829+40096+9+8≈38（分钟）∴小华的游览时间更短先到达景点D处．20．（1）解：如图过点C作CE⊥AB垂足为E∵∠DAC=120°∴∠EAC=180°−∠DAC=60°在Rt△AEC中AC=60cm∴CE=AC⋅sin60°=60×√32=30√3(cm)在Rt△BEC中BC=30√6cm∴sin∠EBC=ECBC=√330√6=√22∴∠ABC=45°∴∠ABC的度数约为45°；（2）解：如图过点A作AF⊥BC垂足为F∵圆弧形滑轨⌒AB所在的圆恰好与直线BC相切于点B ∴过点B作HB⊥BC作AB的垂直平分线MG交HB于点O连接OA∴OB=OA∴圆弧形滑轨⌒AB所在的圆的圆心为O∵∠DAC=100°∠ABC=30°∴∠ACF=∠DAC−∠ABC=100°−30=70°在Rt△AFC中AC=50cm∴AF=AC⋅sin70°≈50×0.940=47(cm)在Rt△AFB中∠ABC=30°∴AB=2AF=2×47=94(cm)∵OB⊥BC∴∠OBC=90°∴∠OBA=∠OBC−∠ABC=60°∴△OBA为等边三角形∴OB=AB=94cm∠BOA=60°∴滑轨⌒AB的长度=60π×94180≈98.4(cm)∴滑轨AB⌒AB的长度约为98.4cm．。
中考数学 中档题突破 专项训练八 解直角三角形的实际应用
解：过点 N 作 NE⊥CD 于点 N，NF⊥AB 于点 F.则 EF＝AC＝42 m， MN＝CE＝AF＝1.7 m，∠DNE＝45°，∠BNF＝60°， ∵CD＝19.7 m，∴DE＝18(m)， 在 Rt△DEN 中，∠DNE＝45°， ∴△DEN 为等腰直角三角形， ∴NE＝DE＝18 m，∴FN＝24(m)，在 Rt△BFN 中，tan∠BNF＝tan 60°
2．(2022·河池)如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在 小区居民楼 AB 的高度进行测量，从小敏家阳台 C 测得点 A 的仰角为 33 °，测得点 B 的俯角为 45°，已知观测点到地面的高度 CD＝36 m，求居 民楼 AB 的高度．(结果保留整数，参考数据：sin 33°≈0.55，cos 33 °≈0.84，tan 33°≈0.65)
2．(2022·观山湖区模拟)如图，在某信号塔 AB 的正前方有一斜坡 CD 长 为 12 m，坡顶 BC 与水平地面 DK 的距离为 6 m，BC 为 8 m，小明从底端 D 沿斜坡行走 8 m 后到达点 E 处，并在点 E 处测得塔顶的仰角∠AEN＝54°， 且 BC∥NE∥KD，AB⊥BC(点 A，B，C，D，E，K，N 在同一平面内)．(sin 54 °≈0.8，cos 54°≈0.6，tan 54°≈1.4， 3≈1.7)
1 在 Rt△CME 中，CM＝2CE＝2(m)， ME＝ 3CM＝2 3(m)，∴BH＝CM＝2 m，
HE＝HM＋ME＝(8＋2 3)m，在 Rt△AHE 中，∠AEH＝54°， ∴AH＝EH·tan 54°≈(8＋2 3)×1.4 ＝(11.2＋2.8 3)m， ∴AB＝AH－BH＝11.2＋2.8 3－2≈14(m)， ∴信号塔 AB 的高度约为 14 m.
中考数学二轮复习专题二解答重难点题型突破题型二解直角三角形的实际应用课件
则 GE＝BF＝4 3，BG＝EF＝ED＋DF＝1.5＋2＝3.5， 又∵∠AED＝37°，∴AG＝GFtan∠AEG＝4 3·tan37°， 则 AB＝AG＋BG＝4 3tan37°＋3.5＝3 3＋3.5， 故旗杆 AB 的高度为(3 3＋3.5)米.
(参考数据：sin67°≈1132，cos67°≈153，tan67°≈152， 3≈1.73)
【分析】要求AC的长，题中已知∠BAC及C地位于B地南偏东30°方向，可 通过过点B作BD⊥AC于点D，将AC放在两个直角三角形中，利用锐角三角 函数的定义求出AD及CD的长，进而可得出结论．
【方法指导】对于与直角三角形有关的实际应用问题，可根据以下步骤 求解：
1．解：∵在 Rt△DBC 中，∠DBC＝45°， 且 CD＝2.3 米，∴BC＝2.3 m， ∵在 Rt△ABC 中，∠ABC＝70.5°， ∴tan70.5°＝ABCC＝AD2＋.32.3≈2.824， 解得：AD≈4.2， 答：像体 AD 的高度约为 4.2 米.
2. (2017·荆州)如图，某数学活动小组为测量学校旗杆 AB 的高度，沿旗杆 正前方 2 3米处的点 C 出发，沿斜面坡度 i＝1∶ 3的斜坡 CD 前进 4 米到达点 D，在点 D 处安置测角仪，测得旗杆顶部 A 的仰角为 37°，量得仪器的高 DE 为 1.5 米．已知 A、B、C、D、E 在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE.求旗杆 AB 的高度．
(参考数据：sin37°≈45，cos37°≈35，tan37°≈34.计算结果保留根号)
2．解：如解图，延长 ED 交 BC 延长线于点 F，则∠CFD＝90：，
∵tan∠DCF＝i＝
1＝ 3
33，∴∠DCF＝30°，
∵CD＝4，∴DF＝12CD＝2，CF＝CDcos∠DCF＝4× 23＝2 3， ∴BF＝BC＋CF＝2 3＋2 3＝4 3， 过点 E 作 EG⊥AB 于点 G，
中考数学二轮复习专题二解答重难点题型突破题型二解直角三角形的实际应用试题
题型二解直角三角形的实际应用1．(2017·常德)如图①，②分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC＝0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD＝1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，求篮框D到地面的距离．(精确到0.01米)(参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，3≈1.732，2≈1.414)2．(2017·海南)为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米(即CD＝2米)，背水坡DE的坡度i＝1∶1(即DB∶EB＝1∶1)，如图所示，已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC.(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2)3．(2017·广元)如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度(结果保留根号)．4．(2017·呼和浩特改编)如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40 m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．(结果精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，3≈1.73，2≈1.41)5．(2017·兰州)“兰州中山桥“位于兰州滨河路中段白塔山下、金城关前，是黄河上第一座真正意义上的桥梁，有“天下黄河第一桥”之美誉．它像一部史诗，记载着兰州古往今来历史的变迁．桥上飞架了5座等高的弧形钢架拱桥．小芸和小刚分别在桥面上的A，B两处，准备测量其中一座弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离，AB＝20 m，小芸在A处测得∠CAB＝36°，小刚在B处测得∠CBA＝43°，求弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离．(结果精确到0.1 m)(参考数据sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93)6．(2017·聊城)耸立在临清市城北大运河东岸的舍利宝塔，是“运河四大名塔”之一(如图①)．数学兴趣小组的小亮同学在塔上观景点P处，利用测角仪测得运河两岸上的A，B两点的俯角分别为17.9°，22°，并测得塔底点C到点B的距离为142米(A、B、C在同一直线上，如图②)，求运河两岸上的A、B两点的距离(精确到1米)．(参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin17.9°≈0.31，cos17.9°≈0.95，tan17.9°≈0.32)7．(2017·随州)风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成(如图①)，图②是从图①引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D(D、C、H在同一直线上)的仰角是45°.已知叶片的长度为35米(塔杆与叶片连接处的长度忽略不计)，山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．(参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6)8．(2017·乌鲁木齐)一艘渔船位于港口A的北偏东60°方向，距离港口20海里B处，它沿北偏西37°方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，B，C之间的距离为10海里，救援艇从港口A出发20分钟到达C处，求救援艇的航行速度．(sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，3≈1.732，结果取整数)题型二 解直角三角形的实际应用1．解：如解图，延长FE 交CB 的延长线于M ，过A 作AG ⊥FM 于G ，在Rt △ABC 中，tan ∠ACB ＝ABBC，∴AB ＝BC·tan 75°≈0.60×3.732＝2.2392米， ∴GM ＝AB ＝2.2392米，在Rt △AGF 中，∵∠FAG ＝∠FHE ＝60°，sin ∠FAG ＝FG AF ，∴sin 60°＝FG 2.5＝32，∴FG ≈2.17米，∴DM＝FG ＋GM －DF ≈3.06米．答：篮框D 到地面的距离是3.06米.2．解：设BC ＝x 米，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝180°－∠EAC ＝50°，AB ＝BC tan 50°≈BC 1.2＝5BC 6＝56x ，在Rt △EBD 中，∵i ＝DB ∶EB ＝1∶1，∴BD ＝BE ，∴CD ＋BC ＝AE ＋AB ，即2＋x ＝4＋56x ，解得x ＝12，即BC ＝12米，答：水坝原来的高度约为12米.3．解：作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D ，如解图所示， 由已知可得，AB ＝8米，∠CBD ＝45°，∠CAD ＝30°，∴AD ＝CDtan 30°，BD ＝CD ，∴AB ＝AD －BD ＝CD tan 30°－CD ，即8＝CD33－CD ，解得，CD ＝(43＋4)米，答：生命所在点C 的深度是(43＋4)米．4．解：如解图，过点C 作CM ⊥AB 交AB 延长线于点M ，由题意得：AC ＝40×10＝400(米)． 在Rt △ACM 中，∵∠A ＝30°，∴CM ＝12AC ＝200米，AM ＝32AC ＝2003米．在Rt △BCM 中，∵tan 20°＝BMCM，∴BM ＝200tan 20°，∴AB ＝AM －BM ＝2003－200tan 20°＝200(3－tan 20°)≈274.0米， 答：A ，B 两地的距离AB 长约为274.0米.5．解：如解图，过点C 作CD ⊥AB 于D.设CD ＝x ，在Rt △ADC 中，tan 36°＝CD AD ，∴AD ＝xtan 36°，在Rt △BCD 中，tan 43°＝CD BD ，BD ＝xtan 43°，∴x 0.93＋x 0.73＝20， 解得x ≈8.2 m .答：拱梁顶部C 处到桥面的距离8.2 m .6．解：根据题意，BC ＝142米，∠PBC ＝22°，∠PAC ＝17.9°，在Rt △PBC 中，tan ∠PBC ＝PCBC，∴PC ＝BC·tan ∠PBC ＝142·tan 22°，在Rt △PAC 中，tan ∠PAC ＝PCAC，∴AC ＝PC tan ∠PAC ＝142tan 22°tan 17.9°≈142×0.400.32≈177.5米，∴AB ＝AC －BC ＝177.5－142≈36米．答：运河两岸上的A 、B 两点的距离为36米.7．解：如解图，作BE ⊥DH 于点E ， 则GH ＝BE ，BG ＝EH ＝10米，设AH ＝x ，则BE ＝GH ＝GA ＋AH ＝43＋x ，在Rt △ACH 中，CH ＝AH·tan ∠CAH ＝tan 55°·x ， ∴CE ＝CH －EH ＝tan 55°·x －10， ∵∠DBE ＝45°，∴BE ＝DE ＝CE ＋DC ，即43＋x ＝tan 55°·x －10＋35， 解得：x ≈45，∴CH ＝tan 55°·x ＝1.4×45＝63米． 答：塔杆CH 的高约为63米.8．解：如解图，过点C 作水平线，使得EF ⊥AF ，EF ⊥EB ，过点A 作AD ⊥EB ， 由题意得，∠FAB ＝60°，∠CBE ＝37°，∴∠BAD ＝30°， ∵AB ＝20海里，∴BD ＝10海里，在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝103≈17.32海里，在Rt △BCE 中，sin 37°＝CEBC，∴CE ＝BC·sin 37°≈0.6×10＝6海里，∵cos 37°＝BEBC，∴EB ＝BC·cos 37°≈0.8×10＝8海里，EF ＝AD ＝17.32海里，∴FC ＝EF －CE ＝11.32海里， AF ＝ED ＝EB ＋BD ＝18海里，在Rt △AFC 中，AC ＝AF 2＋FC 2＝182＋11.322≈21.26海里， 21．26×3≈64海里/小时．答：救援艇的航行速度大约是64海里/小时.。
2018中考数学解直角三角形(在实际问题中的运用-含答案)
DABCEF解直角三角形在实际问题中的运用要点一:锐角三角函数的基本概念1。
(·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m,OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE = 1213． （1）求半径OD ；(2）根据需要，水面要以每小时0。
5 m 的速度下降， 则经过多长时间才能将水排干？2。
(綦江中考）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE ．（1)求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值．3、（宁夏中考)如图，在△ABC 中,∠C =90°，sin A =54，AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值．OECD4、（肇庆中考）在Rt △ABC 中，∠C = 90°,a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值。
5、（·芜湖中考)如图，在△ABC 中,AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠，(1） 求证：AC=BD ; (2)若12sin 13C =,BC =12，求AD 的长．要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题 1.（·钦州中考)sin30°的值为（ )A 3B 2C ．12D 3 2.(长春中考）．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC ∠==°，B 的坐标为（ ）A ．(21)，B ．2)，C ．211)，D ．(121)，3。
（定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶,梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°,否则就有危险，那么梯子的长至少为( ） A ．8米 B ．3 C 83米 D 43米 4.宿迁中考）已知α为锐角，且23)10sin(=︒-α，则α等于（ ) Ａ．︒50 Ｂ．︒60 Ｃ．︒70 Ｄ．︒80 5。