高等数学(微积分)课件--83偏导数与全微分共29页文档
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偏导数与全微分课件
dz
A
.
dz
( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y fx z z 0 =AB
0 P y
dz=AB : 切面竖坐标的增量
z dz ( x y )
=AB+BN
y
当x , y 很小时
z dz
x
Q
3、可微性的几何意义与应用
0
y =y0
由一元函数导数的几何意义：
z x
= tan
M
( x , y )
y
x
. .
同理，
z y
?
M
1. 偏导数的几何意义
z
z f ( x, y )
f ( x , y y ) f ( x , y ) z lim y y M y
M
Tx
偏导数与全微分 的几何意义
1. 偏导数的几何意义
z
z f ( x, y )
f ( x 0 x , y 0 ) f ( x 0 , y 0 ) z lim x x M x 0
M
Tx
L
z= f (x,y)
固定 y =y0
得曲线
z f ( x, y) L： y y 0
z =AN ：曲面竖坐标的增量
用切面竖坐标的增量近似曲面竖坐标的增量 N
z
z= f (x ,y)
( )
M
z
B
过点M的切平面：
( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) fx ( z z0 ) 0 即：
z z0
得曲线
z f ( x , y) x x
数学分析第十六章课件偏导数与全微分
解: 已知
则
V 2 rh r r 2h
r 20, h 100, r 0.05, h 1
V 2 20100 0.05 202 (1) 200 (cm3)
即受压后圆柱体体积减少了
作业
• P192:1:(单数题) • P193:7;9 • P208:1:(双数题) • P208:3 • P209:9 • P217:1:(1;3);2:(2;4);6 • P223:2;3;8
定理16.1 ３．全微分与偏导数的关系：
f (x, y) 设 (x0 , y0 ) 可微，在表达式中 分别令 f 0 x 0 和 x 0 y 0
得
定理１６.2
从而：f 在 p0 的全微分可写成
dz |p0 fx (x0 , y0 )dx f y (x0 , y0 )dy
z f (x) 在某区域 G 内（x，y） 点的全微分为
f11,
f12,
f21,
f22
书上记号易混
链式法则的应用
偏微分方程的变换
目的
求解
2）复合函数的全微
设
u
f (x, y),若x, y为自变量，则
du f dx f dy x y
进一步，若x (s,t) y (s,t) 则有
du u ds u dt dx x ds x dt dy y ds y dt
r x 2
2x x2 y2 z2
x r
r z z r
4、计算
的近似值.
解: 设
,则
f x (x, y) y x y1 , f y (x, y) x y ln x
取
则 1.042.02 f (1.04, 2.02 )
1 2 0.04 0 0.02 1.08
数学分析 第十六章偏导数与全微分
第十六章 偏导数与全微分§1偏导数与全微分概念这部分要掌握的1、 连续、偏导数、可微三个概念的定义；2、 连续、偏导数、可微三个概念之间的关系；二元函数的连续、偏导数、可微的概念都是用极限定义的，不同的概念对应不同的极限，切勿混淆。
考虑函数),(y x f 在),(00y x 点的情形，则它们分别为：),(y x f 在点),(00y x 连续定义为： ),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→),(y x f 在点),(00y x 存在偏导数定义为： 000000),(),(lim),(0x x y x f y x f y x f x x x --=→ 或 x y x f y x x f y x f x x x ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0000000000000),(),(lim),(0y y y x f y x f y x f y y y --=→ 或 yy x f y y x f y x f y y y ∆-∆+=→),(),(lim ),(0000000),(y x f 在点),(00y x 可微定义为：0),(),(),(),(lim22000000000=∆+∆∆-∆--∆+∆+→∆→∆yx yy x f x y x f y x f y y x x f y x y x因此，要讨论),(y x f 点),(00y x 的可微性，首先要求),(00y x f x ，),(00y x f y 。
这三个概念之间的关系可以用下图表示（在),(00y x 点）在上述关系中，反方向均不成立。
下面以)0,0(),(00=y x 点为例，逐一讨论。
4⇒2 ，4⇒3 例1：⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,00 ,),(222222y x y x y x xy y x f这是教材中的典型例题，0)0,0()0,0(==y x f f 均存在，但),(y x f 在)0,0(点不可微，且),(lim 0y x f y x →→不存在，即),(y x f 在)0,0(点不连续。
高等数学教学： 偏导数与全微分
轮换对称性
f
x
(0,0,0)
3
x cos
x
x
0
1 4
利用轮换对称性 , 可得
f y (0,0,0)
f z (0,0,0)
1 4
d f (0,0,0) f y (0,0,0) d x f y (0,0,0) d y f z (0,0,0) d z
1 (d x d y d z) 4
例 7. 求所有的二阶偏导数： 两个混合偏导数：是否总相等
例8. 设
f(x,y)=
xy
x2 x2
y2 y2
,
0 ,
x2 y2 0 x2 y2 0
证明: fxy (0, 0) f yx (0, 0)
在什么条件下才能保证两者相等呢？
定理16.4 这个定理可以推广到 n阶偏导数的情形： 即若函数 f 具有直到 n 阶的连续偏导数，则求偏导数与变量的顺序
z
2
2ze
x2
y2
z
2
2
x
sin
y
u
2 x (1 2 x2 sin2 y) ex2 y2 x4 sin 2 y
xyz
u y
f y
f z
z y
2ye x2 y2 z2 2ze x2 y2 z2 x2 cos y
2 ( y x4 sin y cos y ) ex2 y2 x4 sin 2 y
x y
x f x
y
s f
同理 y
t
例4. 设 u f (xy, y ) 求 u 2u 2u
f
x
(0,0,0)
3
x cos
x
x
0
1 4
利用轮换对称性 , 可得
f y (0,0,0)
f z (0,0,0)
1 4
d f (0,0,0) f y (0,0,0) d x f y (0,0,0) d y f z (0,0,0) d z
1 (d x d y d z) 4
例 7. 求所有的二阶偏导数： 两个混合偏导数：是否总相等
例8. 设
f(x,y)=
xy
x2 x2
y2 y2
,
0 ,
x2 y2 0 x2 y2 0
证明: fxy (0, 0) f yx (0, 0)
在什么条件下才能保证两者相等呢？
定理16.4 这个定理可以推广到 n阶偏导数的情形： 即若函数 f 具有直到 n 阶的连续偏导数，则求偏导数与变量的顺序
z
2
2ze
x2
y2
z
2
2
x
sin
y
u
2 x (1 2 x2 sin2 y) ex2 y2 x4 sin 2 y
xyz
u y
f y
f z
z y
2ye x2 y2 z2 2ze x2 y2 z2 x2 cos y
2 ( y x4 sin y cos y ) ex2 y2 x4 sin 2 y
x y
x f x
y
s f
同理 y
t
例4. 设 u f (xy, y ) 求 u 2u 2u
二元函数微积分——偏导数和全微分
y
(z ) y
exy(xy)yexy
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18
例6. 证明函数 u1,r x2y2z2满足拉普拉斯 r
方程 u x2u2 y2u2 z2u2 0
证： u x
1 r2
r x
1 r2
x r
r2
2u x2
1 r3
3x r4
r x
1 r3
3x2 r5
利用对称性
,
有
2u y2
r13
3ry52
x
y
xz 1 z xyxy 2z yx lnxy
例3. 求 r x2y2z2 的偏导数 .
解:
r
2x
x
x 2 x2 y2 z2 r
r y , r z y r z r
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13
例4. 已知理想气体的状态方程 pVRT(R 为常数) ,
求证: pVT 1 V T p
证: p RT , V
x
3、 求二元函数 z esin x cos y 的一阶偏导数。
4、 求二元函数 z y ln(x2 y2 ) 的一阶偏导数。
5、 已知二元函数 z ln( x y) ，证明：关系式
x z y z 1 x y 2
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15
二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
同样可定义对y的偏导数lim则该偏导数称为偏导函数也简称为偏导数例如三元函数偏导数定义为请自己写出由偏导数的定义可以看出要求二元函数对某个自变量的偏导数只需将另一个自变量看做常量然后利用一元函数求导公式和求导法则即可
二元函数微积分
一元函数微分学 推广
二元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同
偏导数和全微分
运动. 又如方程
2z x 2
2z y2
0
称为拉普拉斯(laplace)方程, 它在热传导、流体
运动等问题中有着重要的作用.
20/25
练习 1、验证函数 z ln x2 y2 满足拉普拉斯方程:
2z x 2
2z y2
0.
证. 因 z ln x2 y2 1 ln( x2 y2 ),
f y ( x,
y)
x3 x2 y2
2x3 y2 ( x2 y2 )2
18/25
在例6中两个混合二阶偏导数相等, 但在 例7中两者不相等, 这说明混合偏导数与求偏 导数的次序有关.
定理 如果函数 z f ( x, y)的两个二阶混合偏
导数 fxy( x, y)与f yx ( x, y)在区域D内 连续，那么在 该区域内
2/25
记为
z ,
x x x0 y y0
f ,
x x x0 y y0
z , x
x x0 y y0
或
f x ( x0 , y0 ).
同理, 可定义函数 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处
对y的偏导数, 为
lim yz lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
x y
y2 x3
g
y x
2u xy
x y2
f
x y
y x2
g
y x
22/25
练习 3.
f
(
x,
y)
8.3偏导数与全微分
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) lim x 0 x
同理可定义关于y的偏导数
f ( x 0 , y 0 y ) f ( x 0 , y 0 ) lim f y ( x0 , y0 ) y 0 y
记为： f y ( x0 , y0 )
Q1 ：Q1对 自 身 价 格1的 边 际 需 求 p ; p1 Q1 ：Q1对 相 关 价 格2的 边 际 需 求 p ; p2
Q2 ：Q2 对 相 关 价 格1的 边 际 需 求 p ; p1 Q2 ：Q2 对 自 身 价 格2的 边 际 需 求 p ; p2
Q1 的经济意义：相关价格不变时,自身价格达到p1时, p1 价格再增加一个单位所增加或减少的需求量; Q1 的经济意义：自身价格不变时,相关价格达到p2时, p2 价格再增加一个单位所增加或减少的需求量;
的改变量为
z f ( x x, y y ) f ( x, y )
全改变量
1.全微分的定义 设长方形边长为x, y, 则它的面积为S=x y,如果边长有
改变量x, y, 则面积的改变量为
S f ( x x, y y ) f ( x, y ) ( x x )( y y ) xy yx xy x y dS : S在点( x, y )处的全微分.
注： 1.z f ( x, y)在( x0 , y0 )处的偏导数，可理解为 该函数
在( x0 , y0 )处沿x轴和y轴方向的变化率，即
d f x ( x0 , y0 ) f ( x , y0 ) | x x 0 dx d ( x 0 , y0 ) fy f ( x 0 , y ) | y y0 dx
《偏导数和全微分》课件
光学：描述光场、折射率场等物理量
量子力学：描述波函数、概率密度等物理量
相对论：描述时空弯曲、引力场等物理量
全微分在几何中的应用
计算曲面的切平面
计算曲面的法线
计算曲面的曲率
计算曲面的旋转曲面
全微分在物理中的应用
力学：计算力、力矩、能量等物理量
热力学：计算温度、压力、体积等物理量
电磁学：计算电场、磁场、电磁波等物理量
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全微分的几何意义
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全微分描述了函数在某点处的变化趋势
全微分是函数在某点处的线性近似
全微分是函数在某点处的切线斜率
全微分是函数在某点处的切线方程
全微分的物理意义
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全微分表示函数在某点处的变化率
全微分是函数在某点处所有偏导数的线性组合
全微分可以用来计算函数在某点处的变化量
全微分是微积分中的重要概念，用于解决实际问题
偏导数和全微分的应用
偏导数在几何中的应用
求曲线的切线斜率
求曲面的切平面参数方程
求曲面的切平面法线
求曲面的切平面方程
偏导数在物理中的应用
力学：描述力场、速度场、加速度场等物理量
热力学：描述温度场、压力场等物理量电磁学：描述电场、磁来自等物理量偏导数的物理意义
偏导数可以用于求解多元函数的极值和条件极值
偏导数是函数在某一点处沿某一方向的变化率
偏导数可以描述函数在某一点处的局部性质
偏导数可以用于求解多元函数的梯度和方向导数
全微分的概念
全微分的定义
单击此处添加项标题
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8.2 偏导数与全微分
f ( x0, y0 +∆y) − f ( x0, y0) lim ∆y→0 ∆y
记为
∂z ∂y ( x
0 , y0 )
∂f ∂y
,
( x0 , y0 )
f y ( x0 , y0 )或z′y ( x0 , y0 ) ′
2.偏导函数: 2.偏导函数: 偏导函数 如果函数z=f(x,y)在区域 内每一点 在区域D内每一点 都存在对x 如果函数 在区域 内每一点(x,y)都存在对 都存在对 的偏导数， 的偏导数，即
但函数在该点处并不连续ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 但函数在该点处并不连续. 偏导数存在
连续. 连续.
二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 在域
∂z ∂z = f x (x, y) , = f y (x, y) ∂x ∂y 若这两个偏导数仍存在偏导数， 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z 则称它们是 = f ( x , y )
2
3
2
例6
求二阶偏导数. 设 u = e ax cos by ，求二阶偏导数 .
解
∂u = ae ax cosby , ∂x ∂ 2u = a 2e ax cos by , 2 ∂x ∂ u = − abe ax sin by , ∂ x∂ y
2
∂u = − be ax sin by; ∂y ∂ 2u = − b 2e ax cos by , ∂y 2 ∂ u = − abe ax sin by . ∂y∂x
验证函数 u( x , y ) = ln x 2 + y 2 满足拉普拉 ∂ 2u ∂ 2u 斯方程 2 + 2 = 0. ∂x ∂y 1 2 2 解 ∵ ln x + y = ln( x 2 + y 2 ), 2 ∂u x ∂u y , , ∴ = 2 = 2 2 2 ∂x x + y ∂y x + y 例 7
记为
∂z ∂y ( x
0 , y0 )
∂f ∂y
,
( x0 , y0 )
f y ( x0 , y0 )或z′y ( x0 , y0 ) ′
2.偏导函数: 2.偏导函数: 偏导函数 如果函数z=f(x,y)在区域 内每一点 在区域D内每一点 都存在对x 如果函数 在区域 内每一点(x,y)都存在对 都存在对 的偏导数， 的偏导数，即
但函数在该点处并不连续ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 但函数在该点处并不连续. 偏导数存在
连续. 连续.
二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 在域
∂z ∂z = f x (x, y) , = f y (x, y) ∂x ∂y 若这两个偏导数仍存在偏导数， 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z 则称它们是 = f ( x , y )
2
3
2
例6
求二阶偏导数. 设 u = e ax cos by ，求二阶偏导数 .
解
∂u = ae ax cosby , ∂x ∂ 2u = a 2e ax cos by , 2 ∂x ∂ u = − abe ax sin by , ∂ x∂ y
2
∂u = − be ax sin by; ∂y ∂ 2u = − b 2e ax cos by , ∂y 2 ∂ u = − abe ax sin by . ∂y∂x
验证函数 u( x , y ) = ln x 2 + y 2 满足拉普拉 ∂ 2u ∂ 2u 斯方程 2 + 2 = 0. ∂x ∂y 1 2 2 解 ∵ ln x + y = ln( x 2 + y 2 ), 2 ∂u x ∂u y , , ∴ = 2 = 2 2 2 ∂x x + y ∂y x + y 例 7
偏导数与全微分
2.7
偏导数与全微分
让我们先回放一下关于二元函数的定义及有关于二元 函数的一些简单知识： 函数的一些简单知识：
* 一、二元函数的概念
1. 二元函数的定义 . 定义 1 设有三个变量 x , y 和 z , 如果当变量 x , y 在一定范围内任意取定一对数值时 变量 z 按 在一定范围内任意取定一对数值时. 照一定的规律 f , 总有确定的数值与它们对应， 则 总有确定的数值与它们对应， 的二元函数， 称 z 是 x , y 的二元函数， 记为
x z = f ( x 0 + x , y 0 ) f ( x 0 , y 0 ) .
xz 如果当 x → 0 时， 比值 的极限存在， 的极限存在， x
则称此极限值 为函数 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0) 处 的偏导数， 对 x 的偏导数， 记作
z x
即
, f x = x0 x
f ( x 0 , y0 + y ) - f ( x 0 , y0 ) lim . = lim y →0 y y →0 y
记作
z y ,
yz
x = x0 y = y0
f y
x = x0 y = y0
,
z ′y
x = x0 y = y0
或 f y′ ( x0 , y0 ),
称为函数 其中 y z = f ( x 0 , y 0 + y ) f ( x 0 , y 0 ) 称为函数 z 的偏增量. 对 y 的偏增量.
关于2.7.3 关于2.7.3 二元复合函数的微分法 2.7.4 二元函数的无条件极值 同学们可以自己有兴趣阅读
2
y
y
y2 >2x1
y<x
偏导数与全微分
让我们先回放一下关于二元函数的定义及有关于二元 函数的一些简单知识： 函数的一些简单知识：
* 一、二元函数的概念
1. 二元函数的定义 . 定义 1 设有三个变量 x , y 和 z , 如果当变量 x , y 在一定范围内任意取定一对数值时 变量 z 按 在一定范围内任意取定一对数值时. 照一定的规律 f , 总有确定的数值与它们对应， 则 总有确定的数值与它们对应， 的二元函数， 称 z 是 x , y 的二元函数， 记为
x z = f ( x 0 + x , y 0 ) f ( x 0 , y 0 ) .
xz 如果当 x → 0 时， 比值 的极限存在， 的极限存在， x
则称此极限值 为函数 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0) 处 的偏导数， 对 x 的偏导数， 记作
z x
即
, f x = x0 x
f ( x 0 , y0 + y ) - f ( x 0 , y0 ) lim . = lim y →0 y y →0 y
记作
z y ,
yz
x = x0 y = y0
f y
x = x0 y = y0
,
z ′y
x = x0 y = y0
或 f y′ ( x0 , y0 ),
称为函数 其中 y z = f ( x 0 , y 0 + y ) f ( x 0 , y 0 ) 称为函数 z 的偏增量. 对 y 的偏增量.
关于2.7.3 关于2.7.3 二元复合函数的微分法 2.7.4 二元函数的无条件极值 同学们可以自己有兴趣阅读
2
y
y
y2 >2x1
y<x
大学微积分课件
分离变量法
当原方程可以化为dy/dx = f(x)g(y)的形式时，可以采用分离变量法 求解。
22
06
微积分在实际问题中应用 举例
2024/1/26
23
在几何问题中应用
2024/1/26
计算平面图形的面积
通过定积分可以计算由曲线和直线所围成的平面图形的面积。
计算空间图形的体积
利用二重积分或三重积分可以计算由曲面和平面所围成的空间图形 的体积。
行计算。
12
定积分概念及性质
定积分的定义
定积分是函数在某个区间上的积分，表示函数图像与x轴围成的面 积。
定积分的性质
包括可加性、保号性、估值定理等，这些性质在解决定积分问题时 非常有用。
微积分基本定理
建立了不定积分与定积分之间的联系，使得定积分的计算变得相对简 单。
2024/1/26
13
定积分应用举例
引入导数的概念，包括导数的定义、几何意义及物理意义，探讨导数的性质，如可导与连续的关系、导数的四则运算 法则等。
微分概念与性质
阐述微分的概念，包括微分的定义、几何意义及物理意义，探讨微分的性质，如微分与导数的关系、微分的运算法则 等。
微分中值定理及其应用
介绍微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，并探讨它们在证明不等式、求 极限等方面的应用。
全微分定义
如果函数z=f(x, y)在点(x, y)处的 全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y) 可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ) ，其中A、B不依赖于Δx, Δy而仅 与x, y有关， ρ=(Δx^2+Δy^2)^0.5，此时称 函数z=f(x, y)在点(x, y)处可微，
当原方程可以化为dy/dx = f(x)g(y)的形式时，可以采用分离变量法 求解。
22
06
微积分在实际问题中应用 举例
2024/1/26
23
在几何问题中应用
2024/1/26
计算平面图形的面积
通过定积分可以计算由曲线和直线所围成的平面图形的面积。
计算空间图形的体积
利用二重积分或三重积分可以计算由曲面和平面所围成的空间图形 的体积。
行计算。
12
定积分概念及性质
定积分的定义
定积分是函数在某个区间上的积分，表示函数图像与x轴围成的面 积。
定积分的性质
包括可加性、保号性、估值定理等，这些性质在解决定积分问题时 非常有用。
微积分基本定理
建立了不定积分与定积分之间的联系，使得定积分的计算变得相对简 单。
2024/1/26
13
定积分应用举例
引入导数的概念，包括导数的定义、几何意义及物理意义，探讨导数的性质，如可导与连续的关系、导数的四则运算 法则等。
微分概念与性质
阐述微分的概念，包括微分的定义、几何意义及物理意义，探讨微分的性质，如微分与导数的关系、微分的运算法则 等。
微分中值定理及其应用
介绍微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，并探讨它们在证明不等式、求 极限等方面的应用。
全微分定义
如果函数z=f(x, y)在点(x, y)处的 全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y) 可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ) ，其中A、B不依赖于Δx, Δy而仅 与x, y有关， ρ=(Δx^2+Δy^2)^0.5，此时称 函数z=f(x, y)在点(x, y)处可微，
偏导数与全微分ppt课件
③ 二元函数的二阶偏导数有4个，三阶有8个， n阶有2n个；三元函数的n阶偏导数有3n个； 等等。
24
7. 偏导数的经济意义
边际需求: 两种商品，价格分别为 p1 和 p2
偏弹性:
需求函数： Q1( p1, p2 ) Q2 ( p1, p2 )
Q1 , Q1 , Q2 , Q2 称为边际需求 p1 p2 p1 p2
p2 0
2Q1 / Q1 p2 / p2
p2Q1 Q1p2
ln Q1 ln p2
E22
lim 2Q2 / Q2 p10 p2 / p2
p2Q2 Q2p2
ln Q2 ln p2
其中：2Q1 Q1( p1, p2 p2 ) Q1( p1, p2 )
格E1偏1 称弹为性1；商E品12需称求为量1商Q品1 需对求自量身价Q1格对相p1关的价直格接p价2
dz z dx z dy x y
32
证明：
由条件 当(x+△x,y+△y)∈∪((x,y))时
△z=A△x +B△y+o()
特别地(x+△x,y)∈∪((x,y)) ，有
△z=A△x + o()=A△x + o( △x )
z f (x x, y) f (x, y) A o( x )
r
y
y x2 y2 z2
r
z
z x2 y2 z2
15
5. 偏导数的几何意义
z
z=f(x,y0)
M0
Ty
Tx
z=f(x0,y)
o
y0
y
x0
P0
x
—— z
x xx0 y y0
切线M0Tx对x轴的斜率
高等数学(微积分)课件--83偏导数与全微分29页PPT
( x , l y ) i ( 0 ,0 ) m f ( x x ,y y ) l i0 [m f(x ,y) z] f(x,y)
故 函 数 z f ( x , y ) 在 点 ( x , y ) 处 连 续 .
13
可微的必要条件
定理1：若函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微,则在点P处偏
内有定义,设点P(x0+x, y0+y)是该邻域内任一 点,则称这两点函数值之差 为函数z =在f点(x0P+0处x,对y0应+于y)自- f变(x量0,y改0) 变量x 、y 的全增量。即z = f(x0+x, y0+y) - f(x0,y0)。
11
全微分的定义
定义：如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处的全增
u yx(zy1),
uxzy
lnx1
1
x
y zylnx(zy2)zy2
y
xz
lnx
(2)
u x
1 [x (1 y)z]2z(xy)z 11z(x(xyy)2)z2z
u y
z(xy)z1 u 1(xy)2z , z
(x1y()xzlnyx)(2z y)
6
有关偏导数的几点说明
当ij时称交叉需求价格偏弹性；
8
增加经济学例题
9
偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导连续。 多元函数中在某点偏导数都存在连续？
例 如 ,函 数f(x,y) x2xyy2,
x2y20
,
0,
x2y20
依 定 义 知 在 ( 0 , 0 ) 处 ， f x ( 0 , 0 ) f y ( 0 , 0 ) 0 .
量z可表示为z = Ax+By+ ；其中
故 函 数 z f ( x , y ) 在 点 ( x , y ) 处 连 续 .
13
可微的必要条件
定理1：若函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微,则在点P处偏
内有定义,设点P(x0+x, y0+y)是该邻域内任一 点,则称这两点函数值之差 为函数z =在f点(x0P+0处x,对y0应+于y)自- f变(x量0,y改0) 变量x 、y 的全增量。即z = f(x0+x, y0+y) - f(x0,y0)。
11
全微分的定义
定义：如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处的全增
u yx(zy1),
uxzy
lnx1
1
x
y zylnx(zy2)zy2
y
xz
lnx
(2)
u x
1 [x (1 y)z]2z(xy)z 11z(x(xyy)2)z2z
u y
z(xy)z1 u 1(xy)2z , z
(x1y()xzlnyx)(2z y)
6
有关偏导数的几点说明
当ij时称交叉需求价格偏弹性；
8
增加经济学例题
9
偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导连续。 多元函数中在某点偏导数都存在连续？
例 如 ,函 数f(x,y) x2xyy2,
x2y20
,
0,
x2y20
依 定 义 知 在 ( 0 , 0 ) 处 ， f x ( 0 , 0 ) f y ( 0 , 0 ) 0 .
量z可表示为z = Ax+By+ ；其中
偏导数与全微分(2)共29页文档
一元函数中在某点可导 连续，
多元函数中在某点偏导数存在 连续，
【例7.12】
xy 设f (x,y)x2 y2
0
(x, y) (0,0) (x, y) (0,0)
求f (x, y)在(0,0)的偏导数与连续性的关系.
【解】当 (x,y)(0,0)时 ,按定义可知：
fx(0 ,0 ) lx i0m f( x ,0 )x f(0 ,0 )
解法2
z y 2 x26x4
z x (1, 2)
先代后求再代
z x1 13yy2
z y (1, 2)
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【例 2】 设z arcsi
【解】 z x
1
1 x2
x2 y2
x x2
y2
x
x2 y2 | y|
2. 【全增量的概念】
若z f ( x, y)在点 P ( x, y)的某邻域内有定义，
并设 P( x x, y y)为这邻域内的任意一点，则
lim0 x0x
0,
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9/28
fy(0,0) ly i0m f(0, y ) yf(0,0)
lim
y0
0 y
0,
但函数在原点处并不连续(令y=kx,知极限不存在,故不连续). 偏导数存在 连续.
【思考题】连续 偏导数存在.
【结论】 可偏导
连续
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在点 M0处的切线 M0Tx 对 x轴的斜率 ta.n
偏导数 f y ( x0 , y0 )就是曲面被平面 x x0所截得的
曲线在点 M0处的切线M0Ty对 y 轴的斜率 tan.
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多元函数中在某点偏导数存在 连续，
【例7.12】
xy 设f (x,y)x2 y2
0
(x, y) (0,0) (x, y) (0,0)
求f (x, y)在(0,0)的偏导数与连续性的关系.
【解】当 (x,y)(0,0)时 ,按定义可知：
fx(0 ,0 ) lx i0m f( x ,0 )x f(0 ,0 )
解法2
z y 2 x26x4
z x (1, 2)
先代后求再代
z x1 13yy2
z y (1, 2)
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【例 2】 设z arcsi
【解】 z x
1
1 x2
x2 y2
x x2
y2
x
x2 y2 | y|
2. 【全增量的概念】
若z f ( x, y)在点 P ( x, y)的某邻域内有定义，
并设 P( x x, y y)为这邻域内的任意一点，则
lim0 x0x
0,
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9/28
fy(0,0) ly i0m f(0, y ) yf(0,0)
lim
y0
0 y
0,
但函数在原点处并不连续(令y=kx,知极限不存在,故不连续). 偏导数存在 连续.
【思考题】连续 偏导数存在.
【结论】 可偏导
连续
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在点 M0处的切线 M0Tx 对 x轴的斜率 ta.n
偏导数 f y ( x0 , y0 )就是曲面被平面 x x0所截得的
曲线在点 M0处的切线M0Ty对 y 轴的斜率 tan.
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28.2 偏导数与全微分
∆������������ = ������ ������������ + ∆������, ������������ − ������ ������������, ������������
如 果
lim f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )
x0
x
存在，则称此极限为函数������ = ������ ������, ������ 在点 （������������, ������������）处对������的偏导数 ，记作
y0
y
z f
记 y
x x0
, y
x x0
, zy
作 y y0
y y0
xx0 或f y (x0, y0 )
y y0
1.偏导数
如果函数������ = ������ ������, ������ 在区域D内每一点（������������, ������������） 处对������的偏导数都存在,那么这个偏导数就是关
习惯上，自变量的增量∆������ 和∆������常写成������������和������������,
并分别称为自变量������、������的微分，所以也常记作 ������������ = ������������′ ������0, ������0 ������������ + ������������′ ������0, ������0 ������������
作为整体记号来看待，其中的横线没有相
除的意义，横线上下并未赋予相互独立的
含义。
➢ 一元函数在某一点可导，那么函数在该点 一定连续。但是，对于二元函数来说，函 数在某一点存在偏导数，并不能保证它在 该点连续。
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60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
例题与讲解
y
例：求下列偏导数 (1)u x z ; (2)uarctxany()z.
解：
(1)
u
y
(
x
y1) z
,
u
y
xz
lnx
1
1
x
y z
ln
x
x z
y
zz
uxzy z
y lnx(z2)
y z2
பைடு நூலகம்
y
xz
ln x
(2) u x
1[x (1 y)z]2z(xy)z1
P(xx,yy)P 的某个邻域
z A x B y o ()总成立,
当 y 0 时 ， 上 式 仍 成 立 ， 此时|x|,
f ( x x ,y ) f ( x ,y )A x o ( |x|),
lim f(x x ,y)f(x ,y)A z ,
x 0
x
x
同理可得 B z .
表示商品i需求量对商品j价格pj的需求价格偏弹性。 通常，当i=j时称直接需求价格偏弹性；
当ij时称交叉需求价格偏弹性；
8
增加经济学例题
9
偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导连续。 多元函数中在某点偏导数都存在连续？
例如,函数f(x,
xy y)x2 y2
,
0,
x2 y2 0
,
x2 y2 0
依 定 义 知 在 ( 0 ,0 )处 ， fx ( 0 ,0 ) fy ( 0 ,0 ) 0 .
但函数在该点处并不连续.
偏导数存在 /连续.
10
全微分
多元函数偏导数只描述了某个自变量变化而其 它自变量不变时所引起的函数变化特征。
为了研究所有自变量同时发生变化时函数的变 化特征,需引入全微分概念。
其 , 中 fx 1 ( x , y ) x 2 x x y fy 2 (x ,y 2 ) y x 2 y y 2 x 2 y 2 0 0
1 fx ( x 1 x ,y y ) fx ( x ,y ) 0 0
2 fy (x ,y y ) fx (x ,y ) 0 0
12
可微与连续
微分函数：若函数在某区域各点内处处可微,则称函 数在该区域可微。此时,在该区域上就有了微分函数 dz=A(x,y)x+B(x,y)y。
定理：若函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微,则在点P(x,y)连 续。
事实上 z A x B y o (),limz0, 0
lim f(x x ,y y )li[m f(x,y)z]
高等数学(微积分)课件--83偏导数与全微 分
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
为说清全微分概念,先引入全增量概念。 全增量：若函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域
内有定义,设点P(x0+x, y0+y)是该邻域内任一 点,则称这两点函数值之差 为函数z =在f点(x0P+0处x,对y0应+于y)自- f变(x量0,y改0) 变量x 、y 的全增量。即z = f(x0+x, y0+y) - f(x0,y0)。
11
全微分的定义
定义：如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处的全增
量z可表示为z = Ax+By+ ；其中
A=A(x0,y0) 、B=B(x0,y0)与x 、y无关,
(x)2(y)2,()为0时的无穷,小
即在(x,y)(0,0)时,是的高阶无穷小量； 则称z的线性主部Ax+By为函数z=f(x,y)在 点P0(x0,y0)处的全微分,记为dz,即 dz= Ax+By 并称函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微。
( x , y ) (0 ,0 )
0
f(x,y)
故 函 数 z f ( x ,y ) 在 点 ( x , y ) 处 连 续 .
13
可微的必要条件
定理1：若函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微,则在点P处偏
导数都存在,且点P处有 dzzxzy
证：
x y
如 果 函 数 z f(x ,y )在 点 P (x ,y )可 微 分 ,
解
|x0|0 fx(0,0)lx i0m x
0
fy(0,0).
7
偏导数的经济意义(详细展开！)
设需求函数: Q1=Q1(p1,p2)、 Q2=Q2(p1,p2)。
则
Q p
i j
表示商品i关于商品j价格pj的边际需求。
而 E ij lpji 0 m ip Q ji//p Q ji Q pij p Q 2 1 ((llQ p n n ij))
15
连续、偏导、全微分三者关系
归纳本节的三个定理,可知连续、偏导、全微
分三者关系：
偏导数都存在
偏导数都连续 全微分存在
连续
由上面三者关系,可以知道求全微分的方法： ⑴先求出所有偏导函数；
fx (x 1 x ,[yf ( x y ,) y x y f) y( x,fy(x ,y 2)y] )y
fx (x,y) xfy (x,y) y
(01,21)
[fx ( x 1 x ,y y ) fx ( x ,y ) x ]
[fy (x ,y 2 y ) fy (x ,y ) ] y
z( 1
x y)2z (x y)2z
u y
z(x y)z1 1(x y)2z
,
u z
(x1y()xzlny(x)2z y)
6
有关偏导数的几点说明
偏导数记号∂z/∂x、∂z/∂y是整体记号,不能拆分; 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求。
例 , 设 z f ( 如 x ,y ) x , 求 f x y ( 0 , 0 )f y , ( 0 , 0 )
y
14
可微的充分条件
定理2：如果函数z=f(x,y)的偏导函数fx'(x,y)、 fy'(x,y) 在点P(x,y)处连续,则该函数在点P处可微。
证*: z f ( x x , y y ) f ( x , y )
[ f ( x x , y y ) f ( x , y y )]
例题与讲解
y
例：求下列偏导数 (1)u x z ; (2)uarctxany()z.
解：
(1)
u
y
(
x
y1) z
,
u
y
xz
lnx
1
1
x
y z
ln
x
x z
y
zz
uxzy z
y lnx(z2)
y z2
பைடு நூலகம்
y
xz
ln x
(2) u x
1[x (1 y)z]2z(xy)z1
P(xx,yy)P 的某个邻域
z A x B y o ()总成立,
当 y 0 时 ， 上 式 仍 成 立 ， 此时|x|,
f ( x x ,y ) f ( x ,y )A x o ( |x|),
lim f(x x ,y)f(x ,y)A z ,
x 0
x
x
同理可得 B z .
表示商品i需求量对商品j价格pj的需求价格偏弹性。 通常，当i=j时称直接需求价格偏弹性；
当ij时称交叉需求价格偏弹性；
8
增加经济学例题
9
偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导连续。 多元函数中在某点偏导数都存在连续？
例如,函数f(x,
xy y)x2 y2
,
0,
x2 y2 0
,
x2 y2 0
依 定 义 知 在 ( 0 ,0 )处 ， fx ( 0 ,0 ) fy ( 0 ,0 ) 0 .
但函数在该点处并不连续.
偏导数存在 /连续.
10
全微分
多元函数偏导数只描述了某个自变量变化而其 它自变量不变时所引起的函数变化特征。
为了研究所有自变量同时发生变化时函数的变 化特征,需引入全微分概念。
其 , 中 fx 1 ( x , y ) x 2 x x y fy 2 (x ,y 2 ) y x 2 y y 2 x 2 y 2 0 0
1 fx ( x 1 x ,y y ) fx ( x ,y ) 0 0
2 fy (x ,y y ) fx (x ,y ) 0 0
12
可微与连续
微分函数：若函数在某区域各点内处处可微,则称函 数在该区域可微。此时,在该区域上就有了微分函数 dz=A(x,y)x+B(x,y)y。
定理：若函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微,则在点P(x,y)连 续。
事实上 z A x B y o (),limz0, 0
lim f(x x ,y y )li[m f(x,y)z]
高等数学(微积分)课件--83偏导数与全微 分
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
为说清全微分概念,先引入全增量概念。 全增量：若函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域
内有定义,设点P(x0+x, y0+y)是该邻域内任一 点,则称这两点函数值之差 为函数z =在f点(x0P+0处x,对y0应+于y)自- f变(x量0,y改0) 变量x 、y 的全增量。即z = f(x0+x, y0+y) - f(x0,y0)。
11
全微分的定义
定义：如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处的全增
量z可表示为z = Ax+By+ ；其中
A=A(x0,y0) 、B=B(x0,y0)与x 、y无关,
(x)2(y)2,()为0时的无穷,小
即在(x,y)(0,0)时,是的高阶无穷小量； 则称z的线性主部Ax+By为函数z=f(x,y)在 点P0(x0,y0)处的全微分,记为dz,即 dz= Ax+By 并称函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微。
( x , y ) (0 ,0 )
0
f(x,y)
故 函 数 z f ( x ,y ) 在 点 ( x , y ) 处 连 续 .
13
可微的必要条件
定理1：若函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微,则在点P处偏
导数都存在,且点P处有 dzzxzy
证：
x y
如 果 函 数 z f(x ,y )在 点 P (x ,y )可 微 分 ,
解
|x0|0 fx(0,0)lx i0m x
0
fy(0,0).
7
偏导数的经济意义(详细展开！)
设需求函数: Q1=Q1(p1,p2)、 Q2=Q2(p1,p2)。
则
Q p
i j
表示商品i关于商品j价格pj的边际需求。
而 E ij lpji 0 m ip Q ji//p Q ji Q pij p Q 2 1 ((llQ p n n ij))
15
连续、偏导、全微分三者关系
归纳本节的三个定理,可知连续、偏导、全微
分三者关系：
偏导数都存在
偏导数都连续 全微分存在
连续
由上面三者关系,可以知道求全微分的方法： ⑴先求出所有偏导函数；
fx (x 1 x ,[yf ( x y ,) y x y f) y( x,fy(x ,y 2)y] )y
fx (x,y) xfy (x,y) y
(01,21)
[fx ( x 1 x ,y y ) fx ( x ,y ) x ]
[fy (x ,y 2 y ) fy (x ,y ) ] y
z( 1
x y)2z (x y)2z
u y
z(x y)z1 1(x y)2z
,
u z
(x1y()xzlny(x)2z y)
6
有关偏导数的几点说明
偏导数记号∂z/∂x、∂z/∂y是整体记号,不能拆分; 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求。
例 , 设 z f ( 如 x ,y ) x , 求 f x y ( 0 , 0 )f y , ( 0 , 0 )
y
14
可微的充分条件
定理2：如果函数z=f(x,y)的偏导函数fx'(x,y)、 fy'(x,y) 在点P(x,y)处连续,则该函数在点P处可微。
证*: z f ( x x , y y ) f ( x , y )
[ f ( x x , y y ) f ( x , y y )]