贵州省六校联盟2014届高三第一次联考试卷(数学理)

秘密★考试结束前【考试时间：2013年12月13日 9:00-11:00】贵州省六校联盟2014届高三第一次联考试卷数学（理）本试题卷分第I 卷(选择题)和第11卷(非选择题)两部分，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1.答题时，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目，在规定的位置贴好条形码。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

在本试题卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）1.选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知两个集合{})2ln(|2++-==x x y x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=012|x e x x B ，则B A ⋂ (A) ⎪⎭⎫⎢⎣⎡221-， (B)⎥⎦⎤ ⎝⎛21-1-， (C) ()e ，1- (D)()e ,2（2）已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，且(i)i 2i a b +=-，则a ＋b ＝ （A ）1（B ）－1（C ）－2（D ）－3（3）在等比数列{}n a 中，5113133,4,a a a a ⋅=+=则122a a = (A ) 3 (B )13- (C )3或13 (D )3-或13- （4）已知l 、m 是两条不同的直线，α是个平面，则下列命题正确的是 （ ）（A ）若l //α，m //α, 则//l m (B) 若l m ⊥，m //α, 则α⊥l (C) 若l m ⊥，m ⊥α,则l //α (D) 若l //α，m ⊥α,，则l m ⊥ （5）在中，若2a 2+a n ﹣5=0，则自然数n的值是（A ）10 (B)9 (C) 8 (D)7（6）右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水， 容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是(A) (B) (C) (D)（7）右图中，321,,x x x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分，当126,9,9.5x x p ===时，3x 等于 (A) 10 (B) 9 (C) 8 (D) 7（8）函数1()e (0,)axf x a b b=-＞＞0的图象在0x =处的切线与圆221x y +=相切，则a b +的最大值是( )（A ） 4 （B ）22（C ）2 （D ）2（9）设x ，y 满足时，则z=x+y 既有最大值也有最小值，则实数a 的取值范围是 (A) a ＜1(B)﹣＜a ＜1(C) 0≤a ＜1 (D) a ＜0（10）函数()1log 321-=x x f x的零点个数为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ） 4 （D ）1（11）已知F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 (A) (B) (C) (D) （2，+∞）（12）给出定义:若11(,]22x m m ∈-+ (其中m 为整数),则m 叫做与实数x “亲密的整数”, 记作{}x m =,在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题:①函数()y f x =在(0,1)x ∈上是增函数;②函数()y f x =的图象关于直线()2kx k Z =∈对称;③函数()y f x =是周期函数,最小正周期为1;④当(0,2]x ∈时，函数()()ln g x f x x =-有两个零点. 其中 正确命题的序号是____________.(A) ②③④ (B) ①③ (C) ①② (D) ②④第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）已知向量)3,2(=a ，)2,1(=b ，且b a ,满足)()(b a b a -⊥+λ，则实数=λ_______． （14）如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲y=x 2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是 .（15）已知角γβα,,构成公差为3π的等差数列.若32cos -=β， 则:γαcos cos + =______（16）已知xx f +=11)(，各项均为正数的数列{}n a 满足)(,121n n a f a a ==+，若1412a a =，则=+201413a a .三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，q =（a 2，1），p =（c b -2， C cos ）且q ∥p ．（Ⅰ）求sin A 的值； （Ⅱ）求三角函数式1tan 12cos 2++-CC的取值范围．（18）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，Q 为AD 的中点.（Ⅰ）若PA PD =，求证：平面PQB ⊥平面PAD ； （Ⅱ）点M 在线段PC 上，PC 31PM =，若平面PAD ⊥平面ABCD ， 且2PA PD AD ===，求二面角M BQ C --的大小.（19）（本小题满分12分） 某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800 名学生上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有 60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人。

（Ⅰ）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？ （Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校高二年纪学生成绩中，有放回地随机抽 取3名学生的成绩，记抽取的3个成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X ， 求X 的分布列和期望()E X 。

附：()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++22(20)(本小题满分12分)已知点M 是椭圆C ：2222x y a b+=1(a>b>0)上一点，F 1、F 2分别为C 的左、右焦点，|F 1F 2|=4，∠F 1MF 2 =60o ，∆F 1 MF 2的面积为433（I ）求椭圆C 的方程； ( II)设N(0，2)，过点 p （-1，-2）作直线l ，交椭圆C 异于N 的A 、B 两点，直线NA 、NB 的斜率分别为k 1、k 2，证明：k 1+k 2为定值．()p K k ≥20 0．010 0．005 0．001k 06．635 7．879 10．828（21）（本小题满分12分）已知函数2()2ln f x x x ax =-+（a ∈R ）.（Ⅰ）当2a =时，求()f x 的图象在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若函数()()g x f x ax m =-+在1[e]e,上有两个零点，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若函数()f x 的图象与x 轴有两个不同的交点12(0)(0)A x B x ，，，，且120x x <<， 求证：12()02x x f +'<（其中()f x '是()f x 的导函数）．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5。

（Ⅰ）若sin ∠BAD =35，求CD 的长； （Ⅱ）若 ∠ADO ：∠EDO ＝4 ：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留π）。

（23）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线2:sin 2cos (0)C p a a θθ=> ,过点P(-2,-4)的直线22,2:(242x t l t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)与曲线C 相交于点M,N 两点.(Ⅰ)求曲线C 和直线l 的普通方程;(Ⅱ)若|PM|,|MN|,|PN |成等比数列,求实数a 的值24（本小题满分10分）选修4——5；不等式选讲已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(Ⅰ)1a ＋1b ＋1ab ≥8；(Ⅱ) ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9.贵州省六校联盟2014届高三第一次联考试卷理科数学参考答案一. BDCD CBAC BADA二. (13)35- (14) 1/3 (15) -2/3 (16) 21-52113+(可不化简)(17)解：（I ）∵q p //，∴c b C a -=2cos 2，根据正弦定理，得C B C A sin sin 2cos sin 2-=， 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+， ...........3分1sin cos sin 2C A C ∴=，0sin ≠C ，21cos =∴A ， 又0A π<< 3π=∴A ；sin A =23。

6分（II ）原式C C C C C C C CC cos sin 2cos 21cos sin 1)sin (cos 211tan 12cos 2222+-=+--=++-=，)42sin(22cos 2sin π-=-=C C C ， 。

9分 ∵π320<<C ，∴πππ1213424<-<-C ，∴1)42sin(22≤-<-πC ，∴2)42sin(21≤-<-πC ，∴)(C f 的值域是]2,1(-......。

12分)(6PAD.PQB PAD AD PQB AD Q BQ PQ AD BQ AD PQ 分平面平面，平面又，平面）证明：由题（⋯⋯⋯⋯⋯⋯⊥∴⊂⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊥⊥ 118.分）（小为的大故二面角的一个法向量，是平面又分）（得令即，即的一个法向量，则是平面设），，（），，（），（），（则角坐标系轴建立如图所示空间直为，，为坐标原点，分别以以分）（平面平面平面平面平面的中点，为12.3C -BQ -M .21,cos BQC )1,0,0(10).1,0,3(1.03,03,03323332-0B 0MBQ ),,().332,33,32(3132.03,0B 3,0,0P 0,0,1A 0,0,0Q .o ,,QP QB QA Q 8ABCD.PQ AD ABCD PAD ABCD PAD ADPQ AD ,)2(2121111π>=<∴===⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==++⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=-=+=-∴⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊥⊥∴=n n n n z y zx y z y x n Q n QM z y x n QC QP QM xyz z y x Q BD PA (19) （Ⅰ）由题意得列联表：语文优秀 语文不优秀 总计 外语优秀 60 100 160外语不优秀140 500 640 总计200 600 800 因为K 2＝800(60×500－100×140)2160×640×200×600≈16.667＞10.828，所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系． …5分（Ⅱ）由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是 38．则X ～B (3， 3 8)，P (X ＝k )＝C k 8( 3 8)k ( 5 8)8－k，k ＝0，1，2，3． X 的分布列为X 0 1 2 3p 125512 225512 135512 27512…10分 E (X )＝3× 3 8＝ 98． …12分(21) （Ⅰ）当2a =时，2()2ln 2f x x x x =-+，2()22f x x x'=-+，切点坐标为(11)，， 切线的斜率(1)2k f '==，则切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-. ······························ 2分 （Ⅱ）2()2ln g x x x m =-+，则22(1)(1)()2x x g x x xx-+-'=-=，∵1[e]e x ∈，，故()0g x '=时，1x =.当11e x <<时，()0g x '>；当1e x <<时，()0g x '<.故()g x 在1x =处取得极大值(1)1g m =-.·················································································· 4分又211()2e e g m =--，2(e)2e g m =+-，2211(e)()4e 0e eg g -=-+<，则1(e)()e g g <，∴()g x 在1[e]e，上的最小值是(e)g . ·························································································· 6分()g x 在1[e]e ，上有两个零点的条件是2(1)10,11()20,eeg m g m =->⎧⎪⎨=--≤⎪⎩解得2112e m <≤+， ∴实数m 的取值范围是21(12]e +，. ······························································································· 8分（Ⅲ）∵()f x 的图象与x 轴交于两个不同的点12(0)(0)A x B x ，，，，∴方程22ln 0x x ax -+=的两个根为12x x ，，则211122222ln 0,2ln 0,x x ax x x ax ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩两式相减得1212122(ln ln )()x x a x x x x -=+--.又2()2ln f x x x ax =-+，2()2f x x a x'=-+，则1212124()()2x x f x x a x x +'=-+++1212122(ln ln )4x x x x x x -=-+-. 下证1212122(ln ln )40x x x x x x --<+-（*），即证明2111222()ln 0x x x x x x -+<+，12x t x =， ∵120x x <<，∴01t <<，即证明2(1)()ln 01t u t t t -=+<+在01t <<上恒成立. ·················· 10分∵22222(1)2(1)114(1)()(1)(1)(1)t t t u t t t t t t t -+---'=+=-=+++，又01t <<，∴()0u t '>， ∴()u t 在(0,1)上是增函数，则()(1)0u t u <=，从而知2111222()ln 0x x x x x x -+<+，故（*）式＜0，即12()02x x f +'<成立………….12分22．（1）因为AB 是⊙O 的直径，OD ＝5 所以∠ADB ＝90°，AB ＝10 在Rt △ABD 中，ABBDBAD =∠sin又sin ∠BAD =35，所以BD 1035=，所以BD =6。