4.3.3余角与补角

∠1 = 90°—∠2
或：若∠1与∠2互为余角，那么 ∠1+∠2=90°
图中给出的各角，那些互为余角？
10o
30o
50
o
60o
40
o
80
o
练习
一、填空
1、70°的余角是
20° ，补角是
110 °
。
2、 ∠ （ ∠ <90 ° ）的余角是 90°- ∠ ，它 的补角是 180°- ∠ 。
例
1与2互余，3与4互余，如果2=4， 那么1与3相等吗？为什么？
1 2 4
3
等角的余角相 等
探究1
余角的性质
等角的余角相等
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ，如 果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？ 答：∠2与∠４相等。 理由如下： ∵ ∠1 与∠2互余，∴ ∠2=90°-∠1 ， ∵ ∠3与∠4互余 ，∴ ∠4=90°-∠3 ∵ ∠1 =∠3， ∴ ∠2 =∠4
重要提醒：(如何表示一个角的余角和补角) 锐角∠的余角是（90 °—∠ ）
∠的补角是（180 °—∠ ）
N
4
D O N
3
C
∠DOC=180O
N
4
D O
3
C D
4
O
3
C
∠3+∠4=180°
∠3+∠4=180°
互为补角
两个角 一般地，如果两个角的和等于 互为 180°（平角），就说这两个角互为补 角．即其中一个是另一个角的补角。
余角与补角
永善县墨翰中学
陈
峰
A
M
N
2
1
O B D
4
O
3
C
∠1+∠2=90° ∠1=300， ∠2=？
∠3+∠4=180° ∠3=600， ∠4=？
A
M
2
1
O A
∠AOB=90°
B M
A
M
2 1
O
2 1
B
O B ∠1+∠2=90°
∠1+∠2=90°
互为余角
两个角 一般地，如果两个角的和等于90° 互为 （直角），就说这两个角互为余角．即 其中每一个角都是另一个角的余角。
1、已知 的补角是105°,则 的余角 是多少度？ 它的余角是150 2、如图两堵墙围一个角AOB,但人不能进 入围墙，我们如何去测量这个角的大小呢？
A C
A
2
O AOB=∠2=1800-∠1
B
C
1
O
B
3、若一个角的补角等于它的余角的4 倍， 求这个角的度数。
解： 设这个角是x度，则它的补角是 （ 180-x）度,余角是(90-x) 度。根据 题意，得：180-x= 4 (90-x)
提问答疑，理解定义
（1）定义中的“互为”一词如何理解？
如果1与2互余，那么1的余角是2 ，同样2 的余角是1 ；如果1与2互补，那么1的补角是2 ， 同样2的补角是1。
（2）互余、互补的两角是否一定有公共顶点或公
共边？ 两角互余或互补，只与角的度数有关，与位置无关。
（3）∠1 + ∠2 + ∠3 = 90°（180°）,能说
提示：设这个角为X度，则X+3X=180
A
B
C
5 4 D E 1
2
6 3 F
如图，E、F是直线DG上两点
∠1 = ∠2,∠3 = ∠4 = 90 °
G 找出图中相等的角并说明理由。
答：∠AEF = ∠CFE，∠5 = ∠6。
理由如下： ∵ ∠AEF+ ∠4 = 180 °， ∠CFE+ ∠3 = 180 °， ∵ ∠3 = ∠4 = 90 °， ∴ ∠AEF = ∠CFE（等角的补角相等）； ∵ ∠5+ ∠1 = 90 °， ∠6+ ∠2= 90 °， ∵ ∠1 = ∠2 ， ∴ ∠5 = ∠6（等角的余角相等）.
1 3 2 答：∠2与∠3相等。 理由如下： ∵ ∠1 与∠2互补， ∠1 ∴ ∠2= 180 °－＿＿＿； ∵ ∠1与∠3互补 ， ∠3 = 180° －∠1 ∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 ∴＿＿＿＿＿＿＿＿。 ∠2=∠3
补角的性质 等角的补角相等
如果∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，∠1＝∠3， 那么∠2与∠4有什么关系？为什么？
5 3 1 2 6 4
∠BEF = ∠BFE
G ∠AED = ∠CFG = 90 °
D
E
F
找出图中相等的角并说明理由。
AEF CFE(等角的余角相等)
AEB CFB(等角的余角相等)
BED BFG(等角的补角相等)
如图∠AOC= ∠BOC=∠DOE=90°，则
∠2,∠4 图中与∠3互余的角是_________, ∠3,∠1 图中与∠4互余的角是_________, 图中有与∠3互补的角吗?_________. ∠BOD
2
3
4
5
同角的余角（补角）相等； 等角的余角（补角）相等。
1与2互余,1=(6x 8) , 2 (4 x 8) ,

则1 _____, 2 _____.
解： 1与2互余
(6 x 8) (4 x 8) 90 x9 1=6 9+8=62
2=4 9 8=28
请认真观察下图，回答下列问题： （1）图中有哪几对互余的角？
C
∠A+∠B=90° ∠A+∠2=90° ∠1+∠B=90° ∠1+∠2=90° A
2
D
B
（2）图中哪几对角是相等的角(直角除外)？ 为什么？ ∠B=∠2 （同角的余角相等） ∠A=∠1 （同角的余角相等）
认真观察下面的图形，回答下列问题： （1）图中有哪几对互余的 C 角？ ∠A与∠B互余 2 1 ∠A与∠2互余 ∠1与∠B互余 B D ∠1与∠2互余 A （2）图中哪几对角是相等的角(直角除 外)？ 说明它们相等的原因。 ∠B=∠2 （同角的余角相等） ∠A=∠1（同角的余角相等）
如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD， BOC和AOD 则与∠AOC互余的角为_____________.
A
C D
解： AOC +BOC AOB=90 AOC与BOC互余 AOD+BOD AOB=90

AOD与BOD互余
O
AOC BOD B BOC AOD
（等角的余角相等）
BOC，AOD都是AOC的余角
A
B
C
如图，E、F是直线DG上两点
解: ∵ ∠1 与∠2互补， ∠2 =180－ ∠1 ∴ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； ∵ ∠3 与∠4互补， ∠4= 180°－ ∠3 ∴ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 又 ∵ ∠1＝∠3, 180°－ ∠1= 180°－ ∠3 ∴ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿， ∠2=∠4 即＿＿＿＿＿＿＿＿。
2
1
4
3
活学活用 加深理解
如图，已知AOB是一直线，OC是∠ AOB的平 分线， ∠ DOE是直角，图中哪些角相等？哪 些角互余？哪些角互补？（至少三对）
答：相等的角有： ∠AOC= ∠BOC= ∠DOE = 90° ； ∠ 1= ∠ 4； ∠ 2= ∠ 3； 互余的角有： ∠ 1 + ∠ 2= 90° ； ∠ 3 + ∠ 4= 90° ； ∠ 1 + ∠ 3= 90° ； ∠ 2 + ∠ 4= 90° ； 互补的角有： ∠AOC +∠BOC = 180°； ∠ 4+ ∠ EOB= 180°； ∠ 1+ ∠ EOB= 180°； ∠ 2+ ∠ AOD= 180°； ∠ 3+ ∠ AOD= 180°； 等等

2、互补的两个角不可能相等。（
）
）
▲锐角既有余角又有补角； ▲相等的两个角互补， 这两个角是直角；
3、钝角没有余角，但一定有补角（
判断 1）一个角的余角必为锐角。 2）一个角的补角必为钝角。 （
√
）
（× ）
3）一个角的补角一定比这个角大。（ × ） 4）互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一 定互余. （× ） 5）如果∠1=30°，∠2=25°，∠3=35°，那么 ∠1、∠2、∠3这三个角互为余角.× （ ）
判断题：
4、 ∠A=25°37 ,则它的余角 64°23 为_______,它的补角为________. 154°23
5、已知∠A=50°,则∠A的余角是____ 40 ° 补角是____ ，补角与余角的差是_____. 130° 90°
6、一个锐角为X度 ，它的余角为 ______ （90- X） （180- X） 度 ，它的补角为_______ 度,则它的补角比 余角大___度. 90
请你判断:
∠1、∠2互为余角 ∠1是∠2的余角， 或∠2是∠1的余角
(1)∠1+∠2=90°则∠1是余角.( ) (2) ∠1 +∠2+ ∠3=90°,则∠1 、∠2、 ∠3、互为余角.( )
×
×
互为余角
一般地，如果两个角的和等于 900，就说这两个角互为余角．
几何语言表示为： 若∠1+∠2=90°，那么∠1与∠2互为 余角
1
3
2
这里用到了：
等量减等量，差相等
4
余角的性质
等角的余角相等
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ，如 果∠1＝∠３那么∠2与∠４相等吗？为什么？
答：∠2与∠４相等，理由如下： ∵ ∠1 与∠2互余， ∠1 ∴ ∠1 +∠2=90°，即 ∠2= 90 °－＿＿； ∵ ∠3与∠4互余 ， ∠3 +∠4=90°，即∠4=90°－ ∠3 ∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； ∵ ∠1 =∠3， ∴ 90°－∠1 =90°－ ∠3 即：＿＿＿＿＿＿＿＿。 ∠2 =∠4