北师大版高中数学必修五高二第一次月考数学试题(零班、实验班)
北师大版高中数学必修五第一学期高二第一次段考.doc
修水一中2010-2011第一学期高二第一次段考数 学 试 卷（理）审核人：陈亮 校对：潘虹一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
每小题有且只有一个答案符合题意）1．在ABC ∆中，已知222a b c +=+，则C ∠=( )A ．030 B ．045 C ．0150 D ．0135 2．在等差数列｛n a ｝中，已知12a =，2313a a +=，则456a a a ++等于（ ） A.40 B.42 C.43 D.45 3．直角三角形的三条边长成等差数列，则其最小内角的正弦值为（ ）A.35 B.454．已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a Λ=（ ） A ．16(n --41) B ．16(n --21) C ．332(n --41) D ．332(n --21)5．已知等差数列共有10项、其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是（ ）A.5B.4C. 3D.26．已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=L ，且25252(3)nn a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=L （ ）A. (21)n n -B. 2(1)n + C. 2n D. 2(1)n - 7．已知D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC=a ，从C 、D 两点测得A 的点仰角分别为α、β （α＞β）则A 点离地面的高AB 等于（ ）A ．)sin(sin sin βαβα-a B ．)cos(sin sin βαβα-a C ．)sin(cos cos βαβα-a D ．)cos(cos cos βαβα-a8、已知{a n }的前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=-n s n n Λ，则152231s s s +-的值是（ ）A ．13B ．76-C ．46D ．76 9. 已知{}n a 是递增数列,且对任意()*∈Nn 都有n n anλ+=2恒成立,则实数λ的取值范围是 ( ) A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-，＋27B ．()∞，＋0C ． ()∞，＋－2D ．()∞-，＋310．在△ABC 中，已知b=2，B=45°，如果用正弦定理解三角形有两解，则边长a 的取值范围是 （ ） A ．222<<a B ．42<<aC ．22<<aD ．222<<a11. 某人从2006年起，每年1月1日到银行新存入a 元(一年定期)，若年利率为r 保持不变，且每年到期存款自动转为新的一年定期，到2010年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为(单位为元) ( )A. 5(1)a r +B.5[(1)(1)]a r r r +-+ C. 6(1)a r + D. 6[(1)(1)]ar r r+-+ 12．给出下列三个结论，（1）若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形；（2）若sin sin A B =，则ABC 是等腰三角形；（3）若sin sin a bc A B==，则ABC 是直角三角形。
2022-2023学年北师大版高二上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：146 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 下面程序运行的结果是（ ）A.B.C.D.2. 命题“，”的否定是( )A.，B.，C.，D.，3. 已知直线与圆相切，则的方程为( )A.B.C.D.4. 某市对上、下班交通情况作抽样调查，上、下班时间各抽取了辆机动车行驶时速如图所示，则上、下班时间的中位数分别是( )2345∃∈(0,+∞)x 0ln =x 02x 0∀x ∉(0,+∞)ln x =2x∀x ∈(0,+∞)ln x ≠2x∃∉(0,+∞)x 0ln =x 02x 0∃∈(0,+∞)x 0ln ≠x 02x 0l :y =kx −3(k <0)C :−4x ++6y +12=0x 2y 2l x +2y +6=0x +y +3=03–√x +y +3=03–√3–√x +y +3=012(km/h)A.，B.，C.，D.，5. 已知双曲线的一个焦点到渐近线的距离为，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的渐近线为（ ）A.B.C.D.6. 已知，是两条不同的直线，平面，则“”是“”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 如图所示，在边长为的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，若向该正方形中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影部分的面积是（ ）2828293228302529−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 22+=1x 216y 27y =±x 32y =±x 25–√5y =±x 5–√2y =±x 23l m m ⊥αl ⊥m l//α()2132A.B.C.D.8. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.B.C.D. 9. 设命题：若＝，则＝；命题：若＝，则＝，判断命题“￢”、“”、“”为假命题的个数为（ ）A.B.C.D.10.为研究某种病菌在特定条件下随时间变化的繁殖规律，通过观察记录得到如下的统计数据：天数（天）繁殖个数（万个）参考公式及数据：23243316π−16316π−3238π−1638π−323p x 21x 1q x y sin x sin y p p ∧q p ∨q 0123x 34567y 2.534 4.56nn，，，，，，若线性回归方程为，则可预测当时，繁殖个数为( )A.B.C.D.11. 设函数，若方程（）＝恰有两个不相等的实根，，则的最大值为（ ）A.B.C.D.12. 设一个球的表面积为，它的内接正方体的表面积为，则的值等于 A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 设命题对于任意的，，则为________.14. 已知点和直线，则过与直线平行的直线方程是________，过点与垂直的直线方程是________．=b ^−n ∑i=1n x i y i x ¯¯¯y ¯¯¯−n ∑i=1n x 2i x ¯¯¯2=−a ^y ¯¯¯b ^x ¯¯¯=108.5∑i=15x i y i =135∑i=15x 2i =5x ¯¯¯=4y ¯¯¯=x +y ^b ^a ^x =86.56.5578f(x)={ ,x ≥0e x ,x <0x 2f f(x)a(a >0)x 1x 2⋅e x 1e x 21e 22(ln 2−1)4e 2ln 2−1S 1S 2S 1S 2()2π6ππ6π2p ：x ∈[0,2π]|sin x|≤1¬p P(1,1)l :3x −4y −20=0P l P l15. 执行如图所示的程序框图，若输入的 则输出数据的总个数为_________．16.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若该二十四等边体棱长为，则该二十四等边体的体积为________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）17. 设直线方程为：（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线方程；（2）若不经过第二象限，求实数的取值范围． 18. 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上，每隔分钟抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽查数据如下（单位：千克）甲车间：，，，，，，．乙车间：，，，，，，．（1）这种抽样方法是何种抽样方法？（2）试根据这组数据说明哪个车间产品较稳定 ． 19. 设命题∶对所有的，不等式恒成立；命题或．若命题为真命题，求实数的取值范围；若命题、一真一假，求实数的取值范围．20. 某数学老师上学期在所教甲、乙两个班（人数均为人，入学数学平均分数和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）分别用，两种不同的教学方式进行教学.现随机抽取甲、乙两班各名学生的数学期末考试成绩，得到茎叶图如图所示：m =11l (a +1)x +y +2+a =0(a ∈R)l l l a 3010210199981039899110115908575115110p 2≤x ≤3−4x +13≥x 2m 2q :m >4m <1(1)p m (2)p q m 50A B 20依茎叶图判断哪个班的平均分高？现从甲班数学成绩不低于分的同学中随机抽取两名同学，求至少有一名成绩为分的同学被抽中的概率；学校规定：成绩不低于分即为优秀，请填写下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？甲班乙班合计优秀不优秀合计给出临界值表仅供参考：参考公式：，其中. 21. 如图，三棱柱中，，分别为，的中点．求证：平面；若，，平面平面，求证：平面． 22. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，且圆与轴交于两点，设直线的方程为当直线与圆相切时，求直线的方程；已知直线与圆相交于两点.若，求实数的取值范围；(1)(2)8086(3)800.025P(≥k)K 20.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.0722.7063.841 5.024 6.6357.87910.828=K 2n(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)n =a +b +c +d ABC −A 1B 1C 1M N AB B 1C 1(1)MN //A C A 1C 1(2)CC 1=CB 1CA=CB C B ⊥C 1B 1ABC AB ⊥CMN xOy C (x −4+=4)2y 2C x M ，N l y =kx(k >0).(1)l C l (2)l C A ，B ①AB ≤417−−√17k ②AM AM OP ，，k k k直线与直线相交于点，直线，直线，直线的斜率分别为，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.②AM BN P AM BN OP ，，k 1k 2k 3a +=a k 1k 2k 3a参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】赋值语句【解析】按照流程图运行，根据赋值语句的含义对语句从上往下进行运行，最后的就是所求．【解答】解：流程图中，累加法的应用，所以．故最后输出．故选．2.【答案】B【考点】全称命题与特称命题【解析】根据特称命题的否定判断即可．【解答】解：根据特称命题的否定是全称命题可知，“，”的否定是“，” .故选．3.【答案】C【考点】M M =1+1+2=44C ∃∈(0,+∞)x 0ln =x 02x 0∀x ∈(0,+∞)ln x ≠2x B直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：圆的标准方程为．依题意可得到的距离，解得，又，所以，所以的方程为．故选．4.【答案】A【考点】众数、中位数、平均数、百分位数茎叶图【解析】将两组数据分别按从小到大排列，根据中位数的概念即可得解.【解答】解：将两组数据分别按从小到大排列，上班时间的数据为：，，，，，，，，，，，，找出中间两个数，，则其中位数为，下班时间的数据为：，，，，，，，，，，，，找出中间两个数，，则其中位数为.故选.5.【答案】B【考点】点到直线的距离公式C +=1(x −2)2(y +3)2C (2,−3)l d ==1|2k|+1k 2−−−−−√=k 213k <0k =−3–√3l x +y +3=03–√3–√C 1820212627282830323335402828=2828+2821617192225272929303032362729=2827+292A【解析】【解答】6.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据线面垂直的性质和定义即可得到结论．【解答】解： 平面，若，则或在平面上，因此充分性不成立，若，则，因此必要性成立，故是的必要不充分条件.故选.7.【答案】C【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】C【考点】∵m ⊥αl ⊥m l//αl αl//αl ⊥m l ⊥m l//αB由三视图求体积【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个半圆柱，挖去一个四棱锥所得的组合体，进而得到答案．【解答】由已知中的三视图可得：该几何体是一个半圆柱，挖去一个四棱锥所得的组合体，半圆柱的底面半径为，高为，故体积为：．四棱锥的底面边长为，高为，故体积为：．故组合体的体积＝．9.【答案】B【考点】复合命题及其真假判断【解析】直接利用命题真假的判定，真值表的应用判定命题的真假；【解答】命题：若＝，则＝或，命题：若＝，则＝；故￢为真命题，为假命题．10.【答案】B【考点】求解线性回归方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，，24π⋅4=8π122242⋅⋅2=1342323V 8π−323p x 21x 2−1q x y sin x sin y p p ∧q ===0.85b ^108.5−5×5×4135−5×5×58.510=4−0.85×5=−0.25a ^=0.85x −0.25^∴，令，得.故选.11.【答案】C【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】求出（）的解析式，根据（）的函数图象判断，的范围和两根的关系，构造函数，求出的最大值即可．【解答】令＝（），∵＝在上单调递减，在上单调递增，∴＝（）在上单调递减，在上单调递增．做出＝（）的函数图象如图所示：∵方程（）＝恰有两个不相等的实根，，不妨设，则，，且＝，即．∴，令，则，∴当时，，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴当＝时，取得最大值．故选：．12.【答案】=0.85x −0.25y^x =8y =0.85×8−0.25=6.55B f f(x)f f(x)x 1x 2h()=⋅x 1e x 1e x 2h()x 1g(x)f f(x)={ ,x ≥0e e x,x <0e x 2y f(x)(−∞,0)[0,+∞)g(x)f f(x)(−∞,0)[0,+∞)g(x)f f(x)f f(x)a(a >0)x 1x 2<x 1x 2≤−1x 1≥0x 2f()x 1f()x 2=x 21e x 2⋅=⋅e x 1e x 2e x 1x 21h()=⋅x 1e x 1x 21h'()=(+2)=⋅⋅(+2)x 1e x 1x 21x 1e x 1x 1x 1<−2x 1h'()>0x 1−2<<−1x 1h'()<0x 1h()x 1(−∞,−2)(−2,−1)x 1−2h()x 1h(−2)=4e 2CD【考点】球内接多面体球的表面积和体积棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】设出正方体的棱长，然后求出正方体的表面积，求出正方体的体对角线的长，就是球的直径，求出球的表面积，即可得到二者的比值．【解答】解：设正方体的棱长为：，所以正方体的表面积为：；正方体的体对角线的长为：，就是球的直径，所以球的表面积为：．所以．故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】，【考点】命题的否定【解析】全称命题的否定是特称命题，改变量词，否定后面的部分即可．【解答】解：全称命题的否定是特称命题，∵命题：，，∴：，.故答案为：，.14.【答案】,1=6S 23–√=4π(=3πS 13–√2)2==S 1S 23π6π2D ∃∈[0,2π]x 0|sin |>1x 0p ∀x ∈[0,2π]|sin x|≤1¬p ∃∈[0,2π]x 0|sin |>1x 0∃∈[0,2π]x 0|sin |>1x 03x −4y +1=04x +3y −7=0【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】根据两直线平行斜率相等，设过与直线平行的直线方程是，把点代入可解得，从而得到所求的直线方程，根据两直线垂直，斜率之积等于，设过点与垂直的直线方程是，把点代入可解得值，从而得到所求的直线方程．【解答】解：设过与直线平行的直线方程是，把点代入可解得，故所求的直线方程是．设过点与垂直的直线方程是，把点代入可解得，故所求的直线方程是．故答案为、．15.【答案】【考点】程序框图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答16.【答案】【考点】由三视图求体积（组合型）【解析】由题意知二十四等边体是棱长为的正方体，沿着八个顶点过棱的中点截去八个三棱锥，根据二十四等边体的棱长为，可以求出正方体的棱长，利用正方体的体积减去个全等的三棱锥（三条互P l 3x −4y +m =0P(1,1)m −1P l 4x +3y +n =0P(1,1)n P l 3x −4y +m =0P(1,1)m =13x −4y +1=0P l 4x +3y +n =0P(1,1)n =−74x +3y −7=03x −4y +1=04x +3y −7=052–√32a =a =1+a 2a 2−−−−−−√2–√8–√相垂直的棱长且棱长为）的体积即可求解．【解答】如图：设原正方体的棱长为，则二十四等边体的棱长为由题意可得，所以所以正方体棱长为，则正方体的体积为又截去的个三棱锥为全等三棱锥，都有三条互相垂直的棱长且棱长为故截去体积为所以等边体的体积为故答案为：三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）17.【答案】解：（1）直线方程为：，令可得 ；令可得，若直线在两坐标轴上的截距相等，则，解得 或 ，故直线方程为 或 ．（2）∵直线方程为 ，若不经过第二象限，则 或 ，解得，故实数的取值范围为．【考点】直线的截距式方程直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【解析】（1）根据直线方程求出它在两坐标轴上的截距，根据它在两坐标轴上的截距相等，求出的值，即2–√22a =a +a 2a 2−−−−−−√2–√a =12–√a =2–√22a =2–√××=22–√2–√2–√2–√82–√28××××=1312()2–√222–√22–√324V =2−=2–√2–√352–√352–√3l (a +1)x +y +2+a =0(a ∈R)x =0y =−a −2y =0x =−a −2a +1l −a −2=−a −2a +1a =0a =−2l x +y +2=0x −y =0y =−(a +1)x −a −2l a =−1{−(a +1)>0−a −2≤0−2≤a ≤−1a [−2,−1]a l得直线方程．（2）把直线方程化为斜截式为 ，若不经过第二象限，则 或 ，由此求得实数的取值范为．【解答】解：（1）直线方程为：，令可得 ；令可得，若直线在两坐标轴上的截距相等，则，解得 或 ，故直线方程为 或 ．（2）∵直线方程为 ，若不经过第二象限，则 或 ，解得，故实数的取值范围为．18.【答案】解：（1）这种抽样方法是系统抽样 ．（2），，，．，∴，甲车间产品较稳定．【考点】极差、方差与标准差众数、中位数、平均数、百分位数【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）这种抽样方法是系统抽样 ．（2），，，．，∴，l y =−(a +1)x −a −2l a =−1{−(a +1)>0−a −2≤0a l (a +1)x +y +2+a =0(a ∈R)x =0y =−a −2y =0x =−a −2a +1l −a −2=−a −2a +1a =0a =−2l x +y +2=0x −y =0y =−(a +1)x −a −2l a =−1{−(a +1)>0−a −2≤0−2≤a ≤−1a [−2,−1]=(102+101+99+98+103+98+99)=100x ¯¯¯甲17=(110+115+90+85+75+115+110)=100x ¯¯¯乙17=[(102−100+(101−100+⋯+(99−100]≈3.4286s 2甲17)2)2)2=[(110−100+(115−100+⋯+(110−100]≈228.5714s 2乙17)2)2)2∵=x ¯¯¯甲x ¯¯¯乙<s 2甲s 2乙∴=(102+101+99+98+103+98+99)=100x ¯¯¯甲17=(110+115+90+85+75+115+110)=100x ¯¯¯乙17=[(102−100+(101−100+⋯+(99−100]≈3.4286s 2甲17)2)2)2=[(110−100+(115−100+⋯+(110−100]≈228.5714s 2乙17)2)2)2∵=x ¯¯¯甲x ¯¯¯乙<s 2甲s 2乙甲车间产品较稳定．19.【答案】解：若命题为真命题，则不等式，恒成立．设，则，则在上单调递增，∴，∴，解得．由题意可知，命题，一真一假，若真，则，若真，则或，真假，则解得.假真，则 解得或.综上，实数的取值范围为或或．【考点】命题的真假判断与应用复合命题及其真假判断【解析】利用命题的真假和函数的恒成立问题的应用求出参数的取值范围；利用分类讨论思想的应用求出结果．【解答】解：若命题为真命题，则不等式，恒成立．设，则，则在上单调递增，∴，∴，解得．由题意可知，命题，一真一假，若真，则，若真，则或，真假，则解得.假真， ∴(1)p −4x+x 213≥m 2x ∈[2,3]f(x)=−4x +13x 2(x)=2x −4f ′f(x)[2,3]f(x =f(2)=9)min ≤9m 2−3≤m ≤3(2)p q p −3≤m ≤3q m >4m <1①p q {1≤m ≤4,−3≤m ≤3,1≤m ≤3②p q {m <1或m >4,m <−3或m >3,m <−3m >4m {m|m <−3m >41≤m ≤3}(1)(2)(1)p −4x+x 213≥m 2x ∈[2,3]f(x)=−4x +13x 2(x)=2x −4f ′f(x)[2,3]f(x =f(2)=9)min ≤9m 2−3≤m ≤3(2)p q p −3≤m ≤3q m >4m <1①p q {1≤m ≤4,−3≤m ≤3,1≤m ≤3②p q m <1或m >4,则 解得或.综上，实数的取值范围为或或．20.【答案】解：甲班数学成绩集中于分之间，而乙班数学成绩集中于分之间，所以乙班的平均分高.记成绩为分的同学为，，其他不低于分的同学为，，，，“从甲班数学成绩不得低于分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，一共个，“抽到至少有一个分的同学”所组成的基本事件有：，，，，，，，，，共个，故.甲班乙班合计优秀不优秀合计∴，因此在犯错误的概率不超过的前提下不能认为成绩优秀与教学方式有关．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率众数、中位数、平均数、百分位数独立性检验的应用【解析】（1）依据茎叶图，确定甲、乙班数学成绩集中的范围，即可得到结论；（2）利用列举法，确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，即可得到结论；（3）根据成绩不低于分的为优秀，可得列联表，计算，从而与临界值比较，即可得到结论．【解答】解：甲班数学成绩集中于分之间，而乙班数学成绩集中于分之间，所以乙班的平均分高.记成绩为分的同学为，，其他不低于分的同学为，，，，“从甲班数学成绩不得低于分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，一共个，{m <1或m >4,m <−3或m >3,m <−3m >4m {m|m <−3m >41≤m ≤3}(1)60−9080−100(2)86A B 80C D E F 80(A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(A,F)(B,C)(B,D)(B,E)(B,F)(C,D)(C,E)(C,F)(D,E)(D,F)(E,F)1586(A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(A,F)(B,C)(B,D)(B,E)(B,F)9P ==91535(3)6131914721202040=≈4.912<5.024K 240×(6×7−13×14)219×21×20×200.025852×2K 2(1)60−9080−100(2)86A B 80C D E F 80(A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(A,F)(B,C)(B,D)(B,E)(B,F)(C,D)(C,E)(C,F)(D,E)(D,F)(E,F)15“抽到至少有一个分的同学”所组成的基本事件有：，，，，，，，，，共个，故.甲班乙班合计优秀不优秀合计∴，因此在犯错误的概率不超过的前提下不能认为成绩优秀与教学方式有关．21.【答案】证明：取的中点，连接，．因为，，所以，．在三棱柱中，，．故，且．因为为的中点，所以，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．连接，因为，为的中点，所以．因为，为的中点，所以．86(A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(A,F)(B,C)(B,D)(B,E)(B,F)9P ==91535(3)6131914721202040=≈4.912<5.024K 240×(6×7−13×14)219×21×20×200.025(1)A 1C 1P AP NP N =C 1NB 1P =C 1PA 1NP //A 1B 1NP =12A 1B 1ABC −A 1B 1C 1//AB A 1B 1A 1B 1=AB NP //AB NP =AB 12M AB AM =AB 12NP =AM NP //AM AMNP MN //AP AP ⊂A C A 1C 1MN ⊂A C A 1C 1MN //A C A 1C 1(2)CN CA=CB M AB CM ⊥AB CC 1=CB 1N B 1C 1CN ⊥B 1C 1ABC −A B C BC //B C在三棱柱中，，所以．因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．因为平面，所以．因为平面，平面，，所以平面．【考点】直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）取的中点，连接，．证得四边形为平行四边形．再由线面平行的判定定理即可得到；（2）运用面面垂直的性质定理和线面垂直的性质和判定定理，即可得证．【解答】证明：取的中点，连接，．因为，，所以，．在三棱柱中，，．故，且．因为为的中点，所以，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．连接，ABC −A 1B 1C 1BC //B 1C 1CN ⊥BC C B ⊥C 1B 1ABC C B∩C 1B 1ABC =BC CN ⊂C B C 1B 1CN ⊥ABC AB ⊂ABC CN ⊥AB CM ⊂CMN CN ⊂CMN CM ∩CN =C AB ⊥CMN A 1C 1P AP NP AMNP (1)A 1C 1P AP NP N =C 1NB 1P =C 1PA 1NP //A 1B 1NP =12A 1B 1ABC −A 1B 1C 1//AB A 1B 1A 1B 1=AB NP //AB NP =AB 12M AB AM =AB 12NP =AM NP //AM AMNP MN //AP AP ⊂A C A 1C 1MN ⊂A C A 1C 1MN //A C A 1C 1(2)CN因为，为的中点，所以．因为，为的中点，所以．在三棱柱中，，所以．因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．因为平面，所以．因为平面，平面，，所以平面．22.【答案】解：由题意，圆心为,半径当直线与圆相切时，直线的斜率直线.由题意得解得, 由知,∴解得与圆联立得CA=CB M AB CM ⊥AB CC 1=CB 1N B 1C 1CN ⊥B 1C 1ABC −A 1B 1C 1BC //B 1C 1CN ⊥BC C B ⊥C 1B 1ABC C B∩C 1B 1ABC =BC CN ⊂C B C 1B 1CN ⊥ABC AB ⊂ABC CN ⊥AB CM ⊂CMN CN ⊂CMN CM ∩CN =C AB ⊥CMN (1)k >0C (4，0)r =2∴l C k =3–√3∴l :y =x 3–√3(2)①≤d <2817−−√17(1)d =4k 1+k2−−−−−√≤<2817−−√174k +1k 2−−−−−√≤k <213−−√133–√3②:y =(x −2)l AM k 1C :(x −4+=4)2y 2(x −4+(x −2=4)2k 21)2[(+1)x −(2+6)](x −2)=0k 21k 21(,)即同理得，即∵∴解得,设，则即,存在常数，使得恒成立.【考点】直线和圆的方程的应用直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，圆心为,半径当直线与圆相切时，直线的斜率直线.由题意得解得, A (,)2+6k 211+k 214k 11+k 21BN =(x −6)y 2k 2B (,)2+6k 221+k 22−4k 21+k 22=k OA k OB=−4k 12+6k 214k 22+6k 22=−k 213k 1=−3k 1k 2P (,)x 0y 0{=(−2)y 0k 1x 0=(−6)y 0k 2x 0P (,)2−6k 1k 2−k 1k 2−4k 1k 2−k 1k 2=k 3−4k 1k 22−6k 1k 2+=2k 1k 2k 3∴a =2+=2k 1k 2k 3(1)k >0C (4，0)r =2∴l C k =3–√3∴l :y =x 3–√3(2)①≤d <2817−−√17=4k由知,∴解得与圆联立得即同理得，即∵∴解得,设，则即,存在常数，使得恒成立.(1)d =4k 1+k2−−−−−√≤<2817−−√174k +1k 2−−−−−√≤k <213−−√133–√3②:y =(x −2)l AM k 1C :(x −4+=4)2y 2(x −4+(x −2=4)2k 21)2[(+1)x −(2+6)](x −2)=0k 21k 21A (,)2+6k 211+k 214k 11+k 21BN =(x −6)y 2k 2B (,)2+6k 221+k 22−4k 21+k 22=k OA k OB=−4k 12+6k 214k 22+6k 22=−k 213k 1=−3k 1k 2P (,)x 0y 0{=(−2)y 0k 1x 0=(−6)y 0k 2x 0P (,)2−6k 1k 2−k 1k 2−4k 1k 2−k 1k 2=k 3−4k 1k 22−6k 1k 2+=2k 1k 2k 3∴a =2+=2k 1k 2k 3。
2022-2023学年全国高中高二上数学北师大版月考试卷(含解析)
2022-2023学年全国高二上数学月考试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 点满足，则点在（ ）A.以点为圆心，以为半径的圆上B.以点为中心，以为棱长的正方体上C.以点为球心，以为半径的球面上D.无法确定2. 德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点、是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当在何处时， 最大？问题的答案是：当且仅当的外接圆与边相切于点时， 最大．人们称这一命题为米勒定理．已知点、的坐标分别是，是轴正半轴上的一动点，当最大时，点的横坐标为( )A.B.C.D.3. 如图，双曲线：的左，右焦点分别是，直线与双曲线的两条渐近线分别相交于，两点．若，则双曲线的离心率为 P(x,y,z)=2(x −1+(y −1+(z +1)2)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√P (1,1,−1)2(1,1,−1)2(1,1,−1)2A B ∠MON ON C OM C ∠ACB △ABC OM C ∠ACB D E (0,1),(0,3)F x ∠DFE F 12–√3–√2C −=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2(−c,0),(c,0)F 1F 2y =bc 2a C A B ∠B =F 1F 2π3C ()A.B.C.D.4. 对空间任意一点，，则、、、四点（ ）A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.无法判断5. 设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点,．若点 满足 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A.B.C.D.6. 已知方程和，其中，，，，它们所表示的曲线可能是下列图象中的（ ）242–√32–√23–√3O =++OP −→−34OA −→−18OB −→−18OC −→−P A B C x −3y +m =0(m ≠0)C :−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2A B P (m,0)|PA|=|PB|y =±2xy =±x 12y =±x3–√y =±x 3–√3a +b =ab x 2y 2ax +by +c =0ab ≠0a ≠b c >0A. B. C. D.7. 已知分别为双曲线的左，右焦点，过右焦点倾斜角为的直线与双曲线的两支分别相交于，两点，且点在右支上，，则此双曲线的离心率（ ）A.B.C.D.8. 已知，是双曲线的上、下焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为()A.B.C.D.,F 1F 2−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2F 230∘A B A AB ⊥BF 1e =+13–√3–√+13–√22F 2F 1−=1(a >0,b >0)y 2a 2x 2b 2F 2F 1|O |F 133–√22–√二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 在四棱锥中，底面是正方形，平面，点是棱的中点，，则()A.B.直线与平面所成角的正弦值是C.异面直线与所成的角是D.四棱锥的体积与其外接球的体积的比值是10. 已知圆及直线，则（ ）A.直线恒过定点B.直线与圆O 的位置，随着的改变，可以相切、相交也可以相离C.直线与圆O 恒有个公共点D.过圆O 外一点作圆的两条切线，切点分别为、两点，则直线的方程为11. 若椭圆和椭圆的离心率相同，且，则下列结论正确的是（ ）A.椭圆和椭圆一定没有公共点B.C.D.12. 如图，已知在棱长为的正方体中，为上的动点．则下列结论正确的有（ ）P −ABCD ABCD PD ⊥ABCD E PC PD =AB AC ⊥PBAE PAB 3–√6AD PB π4P −ABCD 23–√27πO :+=25(x −3)2(y +4)21:(3−a)x +(2+a)y −1+2a =0l (1,−1)l a l 2B (2,3)C D CD x −7y −6=0:+=1(>>0)C 1x 2a 21y 2b 21a 1b 1:+=1(>>0)C 2x 2a 22y 2b 22a 2b 2>a 1a 2C 1C 2=a 1a 2b 1b 2−<−a 21a 22b 21b 22−<−a 1a 2b 1b 22ABCD −A 1B 1C 1D 1P AD 1A.当运动到中点时，直线与平面所成角的正切值为B.当在直线上运动时，三棱锥的体积不变C.当在直线上运动到某一点时，直线与平面所成角为D.当在直线上运动时，的面积存在最小值卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 在空间直角坐标系中，已知点在轴上，点的坐标为，，则点的坐标是________．14. 个班分别从个景点中选择一处游览，共有________种不同的选法（填数字）．15. 设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，过的中点作准线的垂线与抛物线交于点，若，则弦长等于________．16. 过抛物线 的焦点作斜率为 的直线交抛物线于两点，以为直径的圆与准线有公共点，若 ，则________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 解方程．18. 已知抛物线＝，焦点为，准线为，抛物线上一点的横坐标为，且点到焦点的距离为．P AD 1BP ABCD 5–√5P AD 1−BP A 1C 1P AD 1C B 1BPC 1π3P AD 1△P A 1B 12–√O −xyz P x A (0,0,4)PA =5P 35C :=4x y 2F F C A B AB M P |PF |=32|AB |=mx(m >0)y 2F 22–√A ，B AB l M |MF|=2–√|AB|=+=12A 3x A 2x A 1x−1C :y 22px(p >0)F l C A 3A 4（1）求抛物线的方程；（2）设过点的直线与抛物线交于，两点，若以为直径的圆过点，求直线的方程． 19. 在中，，，分别为，，的对边，且，（1）若，的面积为，求的值；（2）求的值． 20. 如图，在四棱锥中，，，，，，为的中点．求证：平面；平面．21. 已知圆＝，点，．（1）若线段的中垂线与圆相切，求实数的值；（2）过直线上的点引圆的两条切线，切点为，，若＝，则称点为“好点”．若直线上有且只有两个“好点”，求实数的取值范围．22. 已知双曲线·： 上一动点，左、右焦点分别为 ，且求双曲线的标准方程；若直线的斜率 ，且过双曲线右焦点与双曲线右支交于，两点，求 的外接圆方程．P(6,0)l A B AB F l △ABC a b c A B C sin A =2sin B C =3π4△ABC 92–√4a −8si sin(C −A)sin B n 2C 2P −ABCD AB //DC DC =2AB AP =AD PB ⊥AC BD ⊥AC E PD (1)AE //PBC (2)PD ⊥ACE O :+x 2y 2(a >0)a 2A(0,4)B(2,2)AB O a AB P O M N ∠MPN 60∘P AB a F −=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b2P ,F 1F 2(1)(2)l 0k =1l 0A B △ABF 1参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】空间两点间的距离公式【解析】通过表达式的几何意义，判断点的集合特征即可得到选项．【解答】解：式子的几何意义是动点到定点的距离为的点的集合．故选．2.【答案】C【考点】直线与圆的位置关系【解析】无【解答】解：因为点、是轴正半轴上的两个定点，点是轴正半轴上的一个动点，根据米勒定理可知，的外接圆与轴相切时，最大，由垂径定理可知，弦的垂直平分线必过的外接圆圆心，如下如所示：P =2(x −1+(y −1+(z +1)2)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√P(x,y,z)(1,1,−1)2C D E y F x △DEF x ∠DFE DE △DEF过点作的垂线交于点，所以，，由勾股定理可得横坐标为，即点的横坐标为.故选．3.【答案】A【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率【解析】求出，坐标，得到四边形为平行四边形，得到，进而求出双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的两条渐近线方程为，把 代入可得，∴，．∴，又，∴四边形为平行四边形．∵，∴∠=.∴直线的倾斜角为．∴．∴．故选．D GF H GF =GD =2GH =GF −HF =GF −OD =1H 3–√F 3–√C A B AB O F 1=tan =b a 60∘3–√−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2bx ±ay =0y =bc 2abx ±ay =0x =±c 2A(,)c 2bc 2a B(−,)c 2bc 2a AB =c =OF 1AB//OF 1AB O F 1∠B =F 1F 2π3B O F 1=∠AOF 2π3OA π3=tan =b a π33–√e ====2c a +a 2b 2a 2−−−−−−√1+(b a )2−−−−−−−√A4.【答案】B【考点】共线向量与共面向量【解析】由已知中对于空间任意一点，，根据四点共面的向量表示方法，我们判断出分解后，向量系数和是否为，即可得到答案．【解答】解：∵，故，，，四点共面故选5.【答案】B【考点】双曲线的渐近线【解析】此题暂无解析【解答】解：双曲线 的渐近线方程分别为和 ，依题意联立方程组得.联立方程组O =++OP −→−34OA −→−18OB −→−18OC −→−OP −→−，，OA −→−OB −→−OC −→−1=++OP −→−34OA −→−18OB −→−18OC −→−++=1341818P A B C B −=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2y =x b a y =−x b ax −3y +m =0,y =x,b a A (,)am 3b −a bm 3b −ax −3y +m =0,y =−x,b a(−,)bm得 ，则线段的中点为由题意得 ，且 ,所以，所以,从而可得 ，所以该双曲线的渐近线方程为 .故选．6.【答案】B【考点】椭圆的标准方程双曲线的标准方程【解析】由题意，本题可通过各个选项中所给曲线的形状，对方程中的符合作出判断，找出正确选项．【解答】解：由题意可变为，考察选项，由双曲线的特征知，，，由直线的特征知，同号，故不是要选项；考察选项，由图中双曲线的特征知，，，由直线的特征结合知，，，选项符合条件；考察选项，由图中椭圆知，，同号，由直线的特征知，，异号，故不符合条件；考察选项，由图中的椭圆知，，同为正，由直线的特征知，，异号故不符合条件；综上，选项符合要求故选．7.【答案】A【考点】双曲线的特性双曲线的离心率B (−,)am 3b +a bm 3b +a AB M(,)，m a 29−b 2a 23m b 29−b 2a 2PM ⊥AB =k AB 13=−3k PM =−3−03mb 29−b 2a 2−m ma 29−b 2a 2a =2b y =±x 12B a +b =ab x 2y 2+=1x 2b y 2a A b >0a <0a b A B a >0b <0c >0a >0b <0B C a b a b C D a b a b D B B双曲线的渐近线椭圆的定义和性质双曲线的应用【解析】【解答】8.【答案】C【考点】双曲线的离心率双曲线的渐近线【解析】此题暂无解析【解答】解：由题知，，一条渐近线方程为，则到渐近线的距离为.设关于渐近线的对称点为，与渐近线的交点为，则，，，为的中点.又为的中点，则，则是直角.又由点在圆上得.又，则，所以双曲线离心率，故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.(0,−c)F 1(0,c)F 2y =x a bF 2=b c 1+()a b 2−−−−−−−−√F 2y =x a b M M F 2A A =b F 2OA ==a OF 22−A F 22−−−−−−−−−√M =2b F 2A M F 2O F 1F 2OA//M F 1∠M F 1F 2M F 1M =O =c F 1F 1M =2OA =2a F 1c =2a e ==2c a C【答案】A,B【考点】直线与平面所成的角异面直线及其所成的角柱体、锥体、台体的体积计算与二面角有关的立体几何综合题球的表面积和体积【解析】无【解答】解：，如图所示，连接.因为底面是正方形，所以.因为平面，所以，所以平面，则，故选项正确.，由题意易证，，两两垂直，故建立如图所示的空间坐标系.设，则，，，，，从而，，，.设平面的一个法向量，则令，得.设直线与平面所成的角为，A BD ABCD BD ⊥AC PD ⊥ABCD PD ⊥AC AC ⊥PBD AC ⊥PB A B AD CD PD D −xyz AB =2A (2,0,0)B (2,2,0)D (0,0,0)E(0,1,1)P (0,0,2)=(−2,0,0)AD −→−=(0,2,0)AB −→−=(−2,1,1)AE −→−=(2,2,−2)PB −→−PAB =(x,y,z)n → ⋅=2y =0,n →AB −→−⋅=2x +2y −2z =0,n →PB −→−x =1=(1,0,1)n →AE PAB θθ=|cos , |==∣∣–√则，故选项正确.，设异面直线与所成的角为，则，从而，故选项错误.，四棱锥的体积.由题意可知四棱锥外接球的半径，则其体积，从而四棱锥的体积与其外接球的体积的比值是，故选项错误.故选．10.【答案】A,C,D【考点】圆的切线方程【解析】此题暂无解析【解答】本题主要考数形结合思想，定直线通过变形提出参数得到得到定点，点在圆的内部所以直线与圆恒有个交点，所以答案正确，答案正确．D 答案考察切割弦方程，可以直接使用公式，直线方程为；也可以通过两圆作差方式得到．构造以为圆心经切点或线段长为半径的圆，通过勾股定理求得长为，所以两圆方程作差得到公共弦直线方程为11.【答案】A,B【考点】不等式性质的应用椭圆的离心率sin θ=|cos , |==AE −→−n →∣∣∣−2+1×6–√2–√∣∣∣3–√6B C AD PB αcos α=|cos , ==AD −→−PB −→−∣∣∣−2×22×12−−√∣∣∣3–√3α≠π4C D P −ABCD =V 183P −ABCD R =3–√=π=π×=4πV 243R 343()3–√33–√P −ABCD =V 1V 223–√9πD AB 1:(3−a)x +(2+a)y −1+2a =0a (3x +2y −1)+a (−x +y +y +2)=0{3x +2y −1=0−x +y +2=0P (1,−1)P 2A C (x −3)(2−3)+(y +4)(3+4)=25CD x −7y −6=0B (2,3)C D BC 5{+=25(x −3)2(y +4)2+=25(x −2)2(y −3)2CD x −7y −6=0椭圆的定义和性质椭圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：依题意，，即，所以，所以，因此正确；又，所以椭圆和椭圆一定没有公共点，因此正确；设，其中，则有，即有，则，因此错误；，即有，则，因此错误．故选．12.【答案】A,B,D【考点】棱柱的结构特征棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面所成的角【解析】作出线面角并求解判断；判断三棱锥的底面积与高为定值判断；证明直线与平面垂直判断；直接求出的面积的最小值判断．【解答】解：，当运动到中点时，过作，垂足为，连接，则平面，则为直线与平面所成角，其正切值为，故正确；，当在直线上运动时，,为定值，而到平面的距离也为定值，等于，则三棱锥的体积不变，故正确；，直线与平面所成角，即为直线与平面所成角，∵平面，∴，e ==c 1a 1c 2a 21−(b 1a 1)2−−−−−−−−√=1−(b 2a 2)2−−−−−−−−√=b 1a 1b 2a 2=a 1a 2b 1b 2B >a 1a 2C 1C 2A ==m b 1a 1b 2a 20<m <1(−)−(−)=(1−)(−)>0a 21b 21a 22b 22m 2a 21a 22−>−a 21b 21a 22b 22−>−a 21a 22b 21b 22C (−)−(−)=(1−m)⋅(−)>0a 1b 1a 2b 2a 1a 2−>−a 1b 1a 2b 2−>−a 1a 2b 1b 2D AB A −BP A 1C 1B C ΔP A 1B 1D A P AD 1P PO ⊥AD O BO PO ⊥ABCD ∠PBO BP ABCD =15–√5–√5A B P AD 1=S △PBC 1B ⋅AB 12C 1A 1BPC 1D 12A 1−BP A 1C 1B C C B 1BPC 1C B 1ABC 1D 1AB ⊥BCC 1B 1AB ⊥C B 1B ⊥C C B AB ∩B =BC又∵，，∴平面，得直线与平面所成角为，故错误；，易知平面，∴，∵为定值，则的面积大小取决于的长度，根据垂线段最短，可知当位于中点时，最短，此时的面积取得最小值，为，故正确．故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】，【考点】空间中的点的坐标【解析】设出的坐标，利用，求解即可．【解答】解：设的坐标是，点的坐标为，，∴，解得．点的坐标是，．故答案为：，．14.【答案】【考点】分步乘法计数原理【解析】每个班可有从个景点中选择一处游览有种选法，利用乘法原理即可得出．【解答】解：每个班可以从个景点中选择一处游览有种选法，利用乘法原理可得共有种不同的选法.故答案为：．15.B ⊥C C 1B 1AB ∩B =B C 1C ⊥B 1ABC 1D 1C B 1BPC 1π2C D ⊥A 1B 1ADD 1A 1⊥P A 1B 1A 1A 1B 1△P A 1B 1P A 1P AD 1P A 1△P A 1B 1×2×=122–√2–√D ABD (3,0,0)(−3,0,0)P PA =5P (a,0,0)A (0,0,4)PA =5=5(a −0+(0−0+(0−4)2)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√a =±3P (3,0,0)(−3,0,0)(3,0,0)(−3,0,0)1255555=12553125【考点】与抛物线有关的中点弦及弦长问题【解析】求出抛物线焦点为，准线为．设、，直线的方程为，由方程与抛物线方程消去得关于的一元二次方程，利用根与系数的关系算出算出的坐标，根据，利用点到两点间的距离公式解出，从而算出，最后根据抛物线的定义可得弦长的值．【解答】解：∵抛物线方程为，∴，，可得抛物线的焦点为，准线为，如图所示：设，，直线的方程为，代入抛物线方程消去，得，∴，，∵过的中点作准线的垂线与抛物线交于点，∴设的坐标为，可得，∵，，∴，得到，所以，可得．∵，∴，解之得，因此，根据抛物线的定义可得．故答案为：.16.F(1,0)l :x =−1A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2AB y =k(x −1)AB y x P |PF |=32=2k 2+=4x 1x 2|AB |=4x y 22p =4p =2F(1,0)l :x =−1A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2AB y =k(x −1)y −(2+4)x +=0k 2x 2k 2k 2+=x 1x 22+4k 2k 2=1x 1x 2AB M P P (,)x 0y 0=(+)y 012y 1y 2=k(−1)y 1x 1=k(−1)y 2x 2+=k(+)−2k =k ⋅−2k =y 1y 2x 1x 22+4k 2k 24k =y 02k =x 01k 2P(,)1k 22k |PF |=32=(1−+1k 2)24k 2−−−−−−−−−−−−√32=2k 2+==4x 1x 22+4k 2k 2|AB |=++p =4+2=6x 1x 26【考点】直线与抛物线结合的最值问题【解析】此题暂无解析【解答】解：不妨设在轴上方，根据抛物线的性质得：以为直径的圆与准线切于点，∴，取的中点，连接，根据抛物线的性质，∴平行于轴，且，∴，∵直线过抛物线的焦点且斜率为，根据抛物线的定义和直角梯形的性质可得，∵，∴，∴，，.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：∵∴，且∴，∴，（舍去）【考点】A x AB l M MA ⊥MB ABC MC MC x MF ⊥AB |MF =|AF|⋅|BF||2AB =mx(m >0)y 2F 22–√|AF|=2|BF||MF|=2–√(=2|BF 2–√)2|2|BF|=1|AF|=2|AB|=33+=12A 3x A 2x A 1x−1x(x −1)(x −2)+x(x −1)=12(x −1)x ≥3−x −12=0x 2x =4x =−3排列及排列数公式【解析】根据所给的关于排列数的等式，把等式展开整理，注意排列数本身所要求的条件，得到关于的一元二次方程，解方程得到两个解，把不合题意的舍去，得到结果．【解答】解：∵∴，且∴，∴，（舍去）18.【答案】抛物线＝的准线方程为，由抛物线上一点的横坐标为，根据抛物线的定义可知，，解得＝，所以抛物线的方程是＝；由题意可知，直线不垂直于轴，可设直线＝，则由＝，设，，则＝，＝，因为以为直径的圆过点，所以，即•，可得＝，即＝＝＝，解得＝，所以直线＝，即＝或＝．【考点】抛物线的标准方程直线与抛物线的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】x +=12A 3x A 2x A 1x−1x(x −1)(x −2)+x(x −1)=12(x −1)x ≥3−x −12=0x 2x =4x =−3y 22px(p >8)C A 3p 5C y 24x l y l :x my +8−4my −2428A(,)x 1y 1B(,)x 4y 2+y 1y 74m y 1y 2−24AB F FA ⊥FB (−1)(−1)+x1x 6y1y 70(m +4)(m +5)+y 1y 2y 6y 2(1+)+2m(+)+25m 7y 1y 2y 1y 2−24(5+)+20+25m 2m 25m ±l :x ±y +6l :6x +y −1202x −y −126△ABC b A C sin A =2sin B中，，，分别为，，的对边，且，则：利用正弦定理得：．∵，所以：，解得：．，，．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值正弦定理【解析】（1）直接利用正弦定理和三角形的面积公式求出结果．（2）利用三角函数关系式的恒等变换求出结果．【解答】中，，，分别为，，的对边，且，则：利用正弦定理得：．∵，所以：，解得：．，，．20.【答案】△ABC a b c A B C sin A =2sin B a =2b =，C =s △92–√43π4ab sin C =1292–√4a =3，b =2–√32–√2−8s sin(C −A)sin B in 2C 2=−4(1−cos C)(sin C cos A −cos C sin A)sin B =−4=−32sin B sin A△ABC a b c A B C sin A =2sin B a =2b =，C =s △92–√43π4ab sin C =1292–√4a =3，b =2–√32–√2−8s sin(C −A)sin B in 2C 2=−4(1−cos C)(sin C cos A −cos C sin A)sin B =−4=−32sin B sin A (1)PC证明：如图取中点，连接，，∵为中点，∴且．∵且，∴且．∴四边形为平行四边形．∴．∵平面，平面，∴平面．∵，，，∴平面．∵平面，∴．∵，为的中点，∴．∵，∴平面．【考点】直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】要证明线面平行，需要构造线面平行的判定定理的条件--在面内找到与平行的直线，取的中点利用题目中的平行关系，可证得，即得．由，可得平面，利用线面垂直的定义得，然后由，为的中点得到，由线面垂直的判定定理可得平面．【解答】证明：如图取中点，连接，，∵为中点，∴且．∵且，∴且．∴四边形为平行四边形．∴．∵平面，平面，∴平面．∵，，，∴平面．∵平面，∴．∵，为的中点，∴．∵，∴平面．(1)PC F EF BF E PD EF //DC EF =DC 12AB //DC AB =DC 12EF //AB EF =AB ABFE AE //BF AE ⊂PBC BF ⊂PBC AE //PBC (2)PB ⊥AC BD ⊥AC PB ∩BD =B AC ⊥PBD PD ⊂PBD AC ⊥PD AP =AD E PD PD ⊥AE AE ∩AC =A PD ⊥ACE (1)PBC AE PC F AE //BF AE //BF (2)PB ⊥AC BD ⊥AC AC ⊥PBD AC ⊥PD AP =AD E PD PD ⊥AE PD ⊥ACE (1)PC F EF BF E PD EF //DC EF =DC 12AB //DC AB =DC 12EF //AB EF =AB ABFE AE //BF AE ⊂PBC BF ⊂PBC AE //PBC (2)PB ⊥AC BD ⊥AC PB ∩BD =B AC ⊥PBD PD ⊂PBD AC ⊥PD AP =AD E PD PD ⊥AE AE ∩AC =A PD ⊥ACE21.【答案】由，得的中点坐标为，直线的斜率为，…..所以的中垂线方程为＝，即＝，…..又因为的中垂线与圆相切，所以圆心到中垂线的距离，即．连接，，在中，＝，＝，所以＝＝，…．所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，记为圆，则圆的方程为＝，…..又因为直线的方程为＝，且直线上有且只有两个“好点”，则直线与圆相交，所以圆心到直线的距离，故实数的取值范围是．…．【考点】直线和圆的方程的应用直线与圆的位置关系【解析】（1）求出的中点坐标为，求出直线的斜率，的中垂线方程＝，利用直线与圆相切，求解即可．（2）连接，，得到圆的方程为＝，直线上有且只有两个“好点”，推出圆心到直线的距离，求解即可．【解答】由，得的中点坐标为，直线的斜率为，…..所以的中垂线方程为＝，即＝，…..又因为的中垂线与圆相切，所以圆心到中垂线的距离，即．连接，，A(0,4)B(2,2)AB (1,3)AB −1AB y −31×(x −1)x −y +20AB O O AB =a 22–√a =2–√PO OM Rt △POM ∠OPM 30∘OM a PO 2OM 2a P O 2a O ′O ′+x 2y 24a 2AB x +y −40AB AB O ′O AB <2a 42–√a (,+∞)2–√AB (1,3)AB AB x −y +20a PO OM O ′+x 2y 24a 2AB O AB <2a 42–√A(0,4)B(2,2)AB (1,3)AB −1AB y −31×(x −1)x −y +20AB O O AB =a 22–√a =2–√PO OM Rt △POM ∠OPM 30∘OM在中，＝，＝，所以＝＝，…．所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，记为圆，则圆的方程为＝，…..又因为直线的方程为＝，且直线上有且只有两个“好点”，则直线与圆相交，所以圆心到直线的距离，故实数的取值范围是．…．22.【答案】11【考点】双曲线的特性双曲线的渐近线双曲线的离心率双曲线的标准方程圆锥曲线的综合问题【解析】11【解答】11Rt △POM ∠OPM 30∘OM a PO 2OM 2a P O 2a O ′O ′+x 2y 24a 2AB x +y −40AB AB O ′O AB <2a 42–√a (,+∞)2–√。
北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)
北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷2024年10月本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 (选择题，共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.在长方体中,化简(A)(B)(C)(D)2.若向量,则(B)4(D)53.已知经过两点的直线的一个方向向量为,那么(A)-2(B)-1(C)(D)24.已知为平面的一个法向量,为一条直线,为直线的方向向量,则“”是“”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件5.如图所示,直线的斜率分别为,则下列结论正确的是(A)(B)(C)(D)6.如图,在四面体中,为BC 的中点,为AD 的中点,则可用向量表示为1111ABCD A B C D -1AB AD AA ++=1CB 1BC 1CA 1AC (1,1,0),(1,0,2)a b ==- ||a b +=(0,2),(1,0)A B (1,)k k =12-n αl m l m n ⊥//l α123,,l l l 123,,k k k 123k k k >>312k k k >>213k k k >>231k k k <<O ABC -,,,OA a OB b OC c D === E OE,,a b c(A)(B)(C)(D)7.如图,在直三棱柱中,且,则与所成的角为(A)(B)(C)(D)8.已知,过点的直线与线段AB 没有公共点,则直线斜率的取值范围是(A)或(B)(C)(D)或9.如图,在棱长为1的正方体中,为线段AB 上的点,且,点在线段上,则点到直线AD 距离的最小值为(A)(D)110.如图,在棱长为a 的正方体中,为的中点,为上任意一点,E ,F 为CD 上任意两点,且EF 的长为定值,则下面的四个值中不为定值的是111222a b c ++ 111442a b c ++111424a b c ++ 111244a b c ++111ABC A B C -1AB BC AA ==AB BC ⊥1B C 1A B π6π4π3π2(1,2),(2,0)A B -(1,4)C -l l k 1k >4k <-41k -<<14k -<<4k >1k <-1111ABCD A B C D -E 3AEEB=P 1D E P 35()B ()C 1111ABCD A B C D -P 11A D Q 11A B(A)点P 到平面QEF 的距离(B)直线PQ 与平面PEF 所成的角(C)三棱锥P-QEF 的体积(D)二面角P-EF-Q 的大小第二部分(非选择题，共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
2022-2023学年全国高中高二上数学北师大版月考试卷(含解析)
2022-2023学年全国高二上数学月考试卷考试总分：146 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 如图程序的输出结果为（ ）A.B.C.D.2. 命题“”的否定是（ ）A.B.C.D.3. 已知圆 ，直线：，则圆上到直线距离为的点的个数为( )A.B.C.(4,3)(7,7)(7,10)(7,11)∃∈R,−+1≤0x 0x 30x 20∃∈R,−+1<0x 0x 30x 20∀x ∈R,−+1>0x 3x 2∃∈R,−+≥0x 0x 30x 20∀x ∈R,−+1≤0x 3x 2C :+=16(x −2)2(y +1)2l 3x −4y =0C l 2432D.4. 甲、乙两名同学八次数学测试成绩如茎叶图所示，则甲同学成绩的众数与乙同学成绩的中位数依次为A.，B.，C.，D.，5. 垂直于直线且与圆相切于第三象限的直线方程是（ ）A.B.C.D.6. 若集合，集合 ，则是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7. 如图所示的大正方形的面积为，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为，向大正方形内投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为（ ）A.1( )8586858586858686y =x −2+=1x 2y 2x +y +=02–√x +y −=02–√x +y +1=0x +y −1=0A ={x|y =ln(1+x)}B ={y|y =ln(1−x)}A B ()132B. C. D.8. 某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为( )A.B.C.D.9. 若命题，，命题，，若“”为真命题，则实数的取值范围是( )A.B.或C.D.或10. 其食品研究部门为了解一种酒品的储藏年份与芳香度之间的相关关系，在市场上收集到了一部分不同年份的该酒品，并测定了其芳香度（如表）．年份芳香度由最小二乘法得到回归方程，但不小心在检测后滴到表格上一滴检测液，污损了一个数据，请你推断该数据为（ ）A.3–√43–√353–√32p :∀x ∈[1,2]−a ≥0x 2q :∃x ∈R +2ax +2−a =0x 2p ∧q a −2≤a ≤1a ≤−21≤a ≤2a ≥1a =1a ≤−2x 014568y 1.31.85.67.49.3=1.03x +1.13y ∧6.28B.C.D.11. 已知函数，若方程＝有两个解，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.12. 在三棱柱中， ，侧棱底面，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球的表面上，且球的表面积的最小值为，则该三棱柱的侧面积为 A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知命题，，则￢为________．14. 若三条直线，，不能围成三角形，则实数取值范围是________．15. 执行如图所示的程序框图输出的结果是，则空白判断框内应该填入( )6.16.56.8f(x)={ −4x +a,x <1x 2ln x +1,x ≥1f(x)2a (−∞,2)(−∞,2](−∞,5)(−∞,5]ABC −A 1B 1C 1AB =BC =AC A ⊥A 1ABC O O 4π()63–√33–√32–√3p :∀x ∈(2,+∞)>4x 2p 4x +y +4=0mx +y +1=0x −y +1=0m 55A. B. C. D.16. 如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若该二十四等边体棱长为，则该二十四等边体的体积为________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）17. 求经过点且在轴上的截距等于在轴上截距的倍的直线的方程．18.某教练统计了甲、乙两名三级跳远运动员连续次的跳远成绩（单位：米），统计数据如图所示．分别求甲、乙跳远成绩的平均数；通过平均数和方差分析甲、乙两名运动员的平均水平和发挥的稳定性．19. 已知命题：“方程有两个不相等的实根”，命题是真命题．求实数的取值集合；设不等式的解集为，若是的充分条件，求的取值范围． 20. 在庆祝建党周年的文艺汇演中，需要将，，，，，，七个节目进行排序．z <34z <55z ≤21z ≤551A(−5,2)x y 25(1)(2)p −mx +1=0x 2p (1)m M (2)(x −a)(x −a −4)<0N x ∈N x ∈M a 100A B C D E F G A（1）若，两节目中间恰好插有一个节目，则有多少种不同的排法？（2）由于演出时间的调整，从七个节目中抽取五个节目排序演出，且不安排在第一个和最后一个，不排在正中间（第三个），则有多少种不同的排法？21. 如图，四棱锥的底面是正方形，底面，，是的中点．证明：平面；证明：平面．22. 已知圆＝，点，．（1）若线段的中垂线与圆相切，求实数的值；（2）过直线上的点引圆的两条切线，切点为，，若＝，则称点为“好点”．若直线上有且只有两个“好点”，求实数的取值范围．A B A B P −ABCD ABCD PD ⊥ABCD PD =DC E PC (1)PA//BDE (2)DE ⊥PBC O :+x 2y 2(a >0)a 2A(0,4)B(2,2)AB O a AB P O M N ∠MPN 60∘P AB a参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】赋值语句【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算，的值并输出．【解答】解：程序在运行过程中各变量的结果如下表示：第一行 第二行 第三行 第四行 故程序的输出结果为．故选：．2.【答案】B【考点】全称命题与特称命题【解析】此题暂无解析【解答】B 3.【答案】X Y (X,Y )X =4Y =3X =X +Y =7Y =X +Y =10(7,10)CB【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】利用点到直线的距离公式，圆的标准方程得解，属于基础题.【解答】解：由题设得圆心，半径为，圆心到直线的距离为，在直线的两侧分别有个点和个点到直线的距离为，故圆上到直线的距离为的点为个.故选.4.【答案】B【考点】众数、中位数、平均数、百分位数茎叶图【解析】根据中位数是一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序依次排列，处在中间位置的一个数（或中间两个数据的平均数），求出即可．【解答】解：由茎叶图知，甲的个得分中，出现频率最多的数是，所以甲的众数为.乙的个得分中，按照从小到大的顺序依次排列，处在中间位置的两个数是和，所以中位数是．故选．5.【答案】A【考点】点到直线的距离公式C (2,−1)43x −4y =0d ==2|3×2−4×(−1)|5212C l 23B 8858588585=8585+852B【解答】解：设所求方程为，圆心到直线的距离为，所以．故选．6.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可得，集合，集合 中，则是的充分不必要条件.故选.7.【答案】D【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】求得阴影部分正方形的面积，进而可得答案．【解答】设阴影小正方形的边长为，则在直角三角形中，有，解得＝或＝（舍去），∴阴影部分的面积为，∴飞镖落在阴影部分的概率为．8.y =−x +m(m <0)r ==1|m|2–√m =−2–√A A ={x|y =ln(1+x)}={x|x >−1}B ={y|y =ln(1−x)}=R A B A x x 2x −51【考点】由三视图求体积【解析】此题暂无解析【解答】解：几何体的直观图如图所示（四棱锥）,∴其体积.故选.9.【答案】D【考点】复合命题及其真假判断【解析】先根据二次函数的最小值，以及一元二次方程的解的情况和判别式的关系求出，下的的取值范围，然后根据为真命题知，都是真命题，所以求，下的取值范围的交集即可．【解答】解：，，即：在上恒成立，∴在上的最小值为，∴.，，则：方程有解，∴，解得，或.若“”为真命题，则，都是真命题；∴A −BCDE V =×(×2)×=131+223–√3–√A △p q a p ∧q p q p q a p :∀x ∈[1,2]−a ≥0x 2a ≤x 2x ∈[1,2]x 2[1,2]1a ≤1q :∃x ∈R +2ax +2−a =0x 2+2ax +2−a =0x 2Δ=4−4(2−a)≥0a 2a ≤−2a ≥1p ∧q p q {a ≤1,a ≤−2，或a ≥1,∴或.故选．10.【答案】B【考点】求解线性回归方程【解析】由题意求出，代入到回归直线方程，即可求解污损处的数据．【解答】解：由表中数据：，回归方程，∴，∴，解得：？.故选．11.【答案】C【考点】函数与方程的综合运用函数的零点与方程根的关系分段函数的应用【解析】利用分段函数，求出时的零点，然后求解时的零点，推出结果即可．【解答】函数，当时，方程＝，可得＝，解得＝，函数由一个零点，时，函数只有一个零点，即＝，在时只有一个解．因为＝开口向上，对称轴为：＝，时，函数是减函数，所以，可得：，解得．故选：．a ≤−2a =1D x ¯¯¯y¯¯¯=(0+1+4+5+6+8)=4x¯¯¯16=1.03x +1.13y ∧=1.03×4+1.13=5.25y ∧=(1.3+1.8+5.6++7.4+9.3)=5.25y ¯¯¯16=6.1B x ≥1x <1f(x)={ −4x +a,x <1x 2ln x +1,x ≥1x ≥1f(x)2ln x +12x e x <1−4x +a x 22x <1y −4x +a −2x 2x 2x <1f(1)<2−3+a <2a <5C12.【答案】B【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积球内接多面体球的表面积和体积【解析】由 ，且，可知三棱柱为正三棱柱，从而三棱柱外接球的球心在三棱柱上下两个底面中心的连线上，设，，可求出外接球的半径，再由三棱柱外接球的表面积的最小值为，即外接球的半径的最小值为1，可求出，即进一步计算可知三棱柱的侧面积为.【解答】解：由题意，三棱柱中，，且底面，则三棱柱为正三棱柱，从而三棱柱外接球的球心在三棱柱上下两个底面中心的连线上，如图所示：设，，则.∵，∴外接球的半径.又∵三棱柱外接球的表面积的最小值为，即外接球的半径的最小值为，则，即，当且仅当，即，时取等号，∴三棱柱的侧面积为.故选.AB =AC =BC A ⊥ABC A 1ABC −A 1B 1C 1AB =a A =h A 1R =+a 23h 24−−−−−−−√4πR +≥2×=ah =1a 23h 24×a 23h 24−−−−−−−√3–√3ah =3–√S =3×a ×h =3ah =33–√ABC −A 1B 1C 1AB =AC =BC A ⊥A 1ABC ABC −A 1B 1C 1O AB =a A =h A 1A =×a =a O ′233–√23–√3O =A =O ′12A 1h 2R =+a 23h 24−−−−−−−√4πR 1+≥2×=ah =1a 23h 24×a 23h 24−−−−−−−√3–√3ah =3–√=a 23h 24a =6–√2h =2–√S =3ah =33–√B二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】，【考点】命题的否定【解析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．【解答】根据含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，所以命题，，则￢为，．14.【答案】【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】三条直线，，不能围成三角形，可得或或经过直线与的交点，解出即可．【解答】解：由题意，联立，解得，∴直线与的交点为；∵三条直线，，不能围成三角形，∴或或经过直线与的交点，即，或，或，解得，或．故答案为：．15.【答案】∃x ∈(2,+∞)≤4x 2p :∀x ∈(2,+∞)>4x 2p ∃x ∈(2≤8x 2{4,1,−1}:4x +y +4=0l 1:mx +y +1=0l 2:x −y +1=0l 3//l 2l 1//l 2l 3l 2l 1l 3{4x +y +4=0x −y +1=0{x =−1y =0l 1l 3(−1,0):4x +y +4=0l 1:mx +y +1=0l 2:x −y +1=0l 3//l 2l 1//l 2l 3l 2l 1l 3−m =−4−m =1−m +0+1=0m =4m =±1{4,1,−1}B【考点】程序框图【解析】根据程序框图，利用模拟循环的方法，按照条件循环下去即可.【解答】解：根据程序框图知：，，，循环，，，循环，，，循环，，，循环，，，循环，，，循环，，，循环，，停止，输出结果为．故空白判断框内应该填入.故选.16.【答案】【考点】由三视图求体积（组合型）【解析】由题意知二十四等边体是棱长为的正方体，沿着八个顶点过棱的中点截去八个三棱锥，根据二十四等边体的棱长为，可以求出正方体的棱长，利用正方体的体积减去个全等的三棱锥（三条互相垂直的棱长且棱长为）的体积即可求解．【解答】x =1y =1z =2x =1y =2z =3x =2y =3z =5x =3y =5z =8x =5y =8z =13x =8y =13z =21x =13y =21z =34x =21y =34z =55z =55z <55B 52–√32a =a =1+a 2a 2−−−−−−√2–√82–√2=a −−−−−−√–√如图：设原正方体的棱长为，则二十四等边体的棱长为由题意可得，所以所以正方体棱长为，则正方体的体积为又截去的个三棱锥为全等三棱锥，都有三条互相垂直的棱长且棱长为故截去体积为所以等边体的体积为故答案为：三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）17.【答案】解：当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入可得，∴，此时，直线方程为．当直线过原点时，直线的方程为，把点代入可得，∴，即，综上可得，满足条件的直线方程为：或．【考点】直线的一般式方程直线的截距式方程【解析】当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入求得的值，即可求得直线方程．当直线过原点时，直线的方程可设为，把点代入求得的值，即可求得直线方程．综合可得答案．【解答】解：当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入可得，∴，此时，直线方程为．当直线过原点时，直线的方程为，把点代入可得，∴，即，综上可得，满足条件的直线方程为：或．18.【答案】解：根据题意可知，2a =a +a 2a 2−−−−−−√2–√a =12–√a =2–√22a =2–√××=22–√2–√2–√2–√82–√28××××=1312()2–√222–√22–√324V =2−=2–√2–√352–√352–√3+=1x 2a y a A(−5,2)a =−1x +2y +1=0y =kx A(−5,2)k =−252x +5y =02x +5y =0x +2y +1=0+=1x 2a y a A(−5,2)a y =kx A(−5,2)k +=1x 2a y a A(−5,2)a =−1x +2y +1=0y =kx A(−5,2)k =−252x +5y =02x +5y =0x +2y +1=0(1)=(8+9+12+12+14)=11x ¯¯¯甲15(7+9+11+13+15)=111．，，∵，，∴甲、乙两名运动员的平均水平相当，甲的发挥更稳定．【考点】众数、中位数、平均数、百分位数极差、方差与标准差【解析】无无【解答】解：根据题意可知，．，，∵，，∴甲、乙两名运动员的平均水平相当，甲的发挥更稳定．19.【答案】解：命题：方程有两个不相等的实根，∴，解得或，∴或．因为是的充分条件，所以，，或，综上，或.【考点】命题的真假判断与应用一元二次不等式的解法根据充分必要条件求参数取值问题【解析】无5=(7+9+11+13+15)=11x ¯¯¯乙15(2)=[(8−11+(9−11+s 2甲15)2)2(12−11+(12−11+(14−11]=4.8)2)2)2=[(7−11+(9−11+s 2乙15)2)2(11−11+(13−11+(15−11]=8)2)2)2=x ¯¯¯甲x ¯¯¯乙<s 2甲s 2乙(1)=(8+9+12+12+14)=11x ¯¯¯甲15=(7+9+11+13+15)=11x ¯¯¯乙15(2)=[(8−11+(9−11+s 2甲15)2)2(12−11+(12−11+(14−11]=4.8)2)2)2=[(7−11+(9−11+s 2乙15)2)2(11−11+(13−11+(15−11]=8)2)2)2=x ¯¯¯甲x ¯¯¯乙<s 2甲s 2乙(1)p −mx +1=0x 2Δ=−4>0m 2m >2m <−2M ={m|m >2m <−2}(2)x ∈N x ∈M N ⊆M N ={x|a <x <a +4}a +4≤−2a ≥2a ≤−6a ≥2无【解答】解：命题：方程有两个不相等的实根，∴，解得或，∴或．因为是的充分条件，所以，，或，综上，或.20.【答案】..【考点】古典概型及其概率计算公式排列、组合及简单计数问题列举法计算基本事件数及事件发生的概率计数原理的应用排列、组合的应用【解析】..【解答】看不清，无法录入.21.【答案】证明：连结，设与交于点，连结，∵底面是正方形，∴为中点，又为的中点，，(1)p −mx +1=0x 2Δ=−4>0m 2m >2m <−2M ={m|m >2m <−2}(2)x ∈N x ∈M N ⊆M N ={x|a <x <a +4}a +4≤−2a ≥2a ≤−6a ≥2(1)AC AC BD O EO ABCD O AC E PC OE//PA OE ⊂PA ⊂∵平面，平面，∴平面．∵，是中点，∴，∵底面，∴，又∵∴平面，又平面，故，又，∴平面．【考点】直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：连结，设与交于点，连结，∵底面是正方形，∴为中点，又为的中点，，∵平面，平面，∴平面．∵，是中点，∴，∵底面，∴，又∵∴平面，又平面，故，又，∴平面．22.【答案】由，得的中点坐标为，直线的斜率为，…..所以的中垂线方程为＝，即＝，…..又因为的中垂线与圆相切，OE ⊂BDE PA ⊂BDE PA//BDE (2)PD =DC E PC DE ⊥PC PD ⊥ABCD PD ⊥BC BC ⊥CD ，PD ∩CD =D ，BC ⊥PCD DE ⊂PCD BC ⊥DE BC ∩PC =C DE ⊥PBC (1)AC AC BD O EO ABCD O AC E PC OE//PA OE ⊂BDE PA ⊂BDE PA//BDE (2)PD =DC E PC DE ⊥PC PD ⊥ABCD PD ⊥BC BC ⊥CD ，PD ∩CD =D ，BC ⊥PCD DE ⊂PCD BC ⊥DE BC ∩PC =C DE ⊥PBC A(0,4)B(2,2)AB (1,3)AB −1AB y −31×(x −1)x −y +20AB O a2所以圆心到中垂线的距离，即．连接，，在中，＝，＝，所以＝＝，…．所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，记为圆，则圆的方程为＝，…..又因为直线的方程为＝，且直线上有且只有两个“好点”，则直线与圆相交，所以圆心到直线的距离，故实数的取值范围是．…．【考点】直线和圆的方程的应用直线与圆的位置关系【解析】（1）求出的中点坐标为，求出直线的斜率，的中垂线方程＝，利用直线与圆相切，求解即可．（2）连接，，得到圆的方程为＝，直线上有且只有两个“好点”，推出圆心到直线的距离，求解即可．【解答】由，得的中点坐标为，直线的斜率为，…..所以的中垂线方程为＝，即＝，…..又因为的中垂线与圆相切，所以圆心到中垂线的距离，即．连接，，在中，＝，＝，所以＝＝，…．所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，记为圆，则圆的方程为＝，…..又因为直线的方程为＝，且直线上有且只有两个“好点”，则直线与圆相交，所以圆心到直线的距离，O AB =a 22–√a =2–√PO OM Rt △POM ∠OPM 30∘OM a PO 2OM 2a P O 2a O ′O ′+x 2y 24a 2AB x +y −40AB AB O ′O AB <2a 42–√a (,+∞)2–√AB (1,3)AB AB x −y +20a PO OM O ′+x 2y 24a 2AB O AB <2a 42–√A(0,4)B(2,2)AB (1,3)AB −1AB y −31×(x −1)x −y +20AB O O AB =a 22–√a =2–√PO OM Rt △POM ∠OPM 30∘OM a PO 2OM 2a P O 2a O ′O ′+x 2y 24a 2AB x +y −40AB AB O ′O AB <2a 42–√(,+∞)–√故实数的取值范围是．…．a (,+∞)2–√。
高二数学必修五月考试题北师大版必修5
高二数学必修5第一次月考试题（时间120分钟 满分150分）班级 姓名 学号一、选择题（每小题5分，共60分）1．数列 ,11,22,5,2的一个通项公式是（ ）A .n a B. n a = C. n a D .n a =2．已知数列{}n a ，13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则数列的第五项为（ ） A . 6 B . 3- C . 12- D . 6-3．在等差数列{}n a 中，已知 69131620a a a a +++=，则S 21等于（ ） A ．100 B ．105 C ．200 D ．04．已知等差数列{}n a 满足244a a +=,3510a a +=,则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．235．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是( ) A ．－2B ．－3C ．－4D ．－56．等比数列{}n a 的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则( ) A ．A B C += B ．2B AC = C ．2()A B C B +-= D ． 22()A B A B C +=+ 7．在等比数列{}n a 中，675=⋅a a ，2105a a +=，则1810a a 等于（ ） A ．23-和32- B ．23 C ．32 D ．23和328．已知数列{}n a 满足01=a ，n a a n n 21+=+，则2005a 的值是（ ） A ．2003×2002 B ．2004×2003 C ．2004×2005 D ．2003×20059．已知等比数列{}n a ，公比21=q 且3049531=++++a a a a ，则++21a a503a a ++ 等于( )A ．35B ．40C ．45D ．5010． 等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为S n 与n T ，对一切自然数n ，都有n n T S =132+n n ，则55b a 等于( ) A ．32B ．149 C ．3120 D ．1711 11．等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，已知0211=-++-m m m a a a ，3812=-m S ，则m等于( ) A ．8B ．9C ．10D ．1112．数列21，421+，6421++，…，n 26421++++ ，…的前n 项的和是（ ）A ．12+n nB ．122+n nC ．1+n nD ．12+n n二、填空题（每小题5分，共20分）13．设一个等差数列，由三个数组成，三个数之和为9 ，三个数的平方和为35，则公差d = ．14．已知数列{}n a 的前n 项和132++=n n S n ，求数列{}n a 的通项公式 ．15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，3231510=S S ，则此数列的公比为 ．16．在等比数列{}n a 中，公比2=q ，25log log log 1022212=+++a a a ，则=+++1021a a a ．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本小题10分）．已知等差数列{}n a 满足1273-=⋅a a ，464a a +=-，求数列{}n a 的通项公式．18．（本小题12分）在等比数列{}n a 中，21=a ，164=a ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若53,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及n 前项和n S ．19．（本小题12分）在等差数列{}n a 中，已知201=a ，前n 项和为n S ，且1510S S =，求当n 取何值时，n S 有最大值，并求出它的最大值．20．（本小题12分）已知数列{}n a 的前n 项和22n n S n -=，n n b a 5log =，其中0>n b ，求数列{}n b 的n 前项和n T ．21．（本小题12分）小王想用分期付款的方式购买一套价值28万元的商品房．首付8万元，贷款期限为10年，银行住房贷款月利率为0.4%,按复利计息．如果小王按月还款（月供），每月还款的数额相同（等额本息还款法），那么每月需要还款多少元？小王为购买此房共要付房款多少元？（参考数据：606.1004.1119≈，612.1004.1120≈，620.1004.1121≈）22．（本小题12分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111==b a ， 2153=+b a ，1335=+b a ． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 的前n 项和n S ．答案： 一：选择题1.B2.D3.B4.C5.C6.D7.D8.C9.C 10.B 11.C 12.C 二：填空题13.±2 14. 5 n ＝1 15.21- 16.41023=n a 2n+2 n ≥2三：解答题17. =n a -2n+8或=n a 2n-12 18.(1) =n a n 2 (2)n s =2n(3n-11) 19.n=12或13时n s 取得最大值13020.)2511(241252511)251(15n n n T -=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21.每月还款2107元，共还款33.284万元 22.（1）=n a 2n-1 n b =12-n(2) n s =6-（2n+3）（21）n-1。
北京市古城中学高中数学月考试题 北师大版必修5高二
高二第一学期第一次数学月考检测题（本试题全卷100分，时间120分）姓名 班级 成绩第I 卷（40分）一，选择题（4⨯10=40）1、数列{}n a 为3，8，13，18，……的通项为（ ）.A n 3 .B 25+n .C 25-n .D 14-n2、等比数列81,41,21,1……的前10项和为（ ）.A 5121023 .B 5121032 .C 2151132 .D 15210233、如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=（ ） .A 14 .B 21 .C 28 .D 354、已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =（ ）.A .B 7 .C 6 .D 5、等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为q ，则下列条件中，使{}n a 一定为递减数列的条件是（ ）.A 1<q .B 1,01<>q a .C 10,01<<>q a 或1,01><q a .D 1>q6、一个等比数列前n 项的和为48，前n 2项的和为60，则前n 3项的 和为（ ）.A 83 .B 108 .C 75 .D 637、已知ABC △中，a =b =60B =，那么角A 等于（ ）A ．135B ．90C ．45D ．135或458、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2+c 2-b,则角B 的值为（ ）A.6πB.3π C.6π或56π D.3π或23π 9、在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ⋅= ( ) A ．23- B ．32- C ．32 D ．2310 、ABC ∆的三条边之比为 7:5:3，则这个三角形的最大角为（ ） A ．135 B ．90 C ． 150 D ． 120第Ⅱ卷（60分）二、填空题(4×4=16)11、若数列{}n a 满足：对任意的n N *∈，只有有限个正整数m 使得 m a n ＜成立，记这样的m 的个数为()n a *，则得到一个新数列 {}()n a *．例如，若数列{}n a 是1,2,3,n …，…，则数列{}()n a *是 0,1,2,1,n -…，…．已知对任意的N n *∈，2n a n =，则5()a *= ．12、设{}n a 是递增等差数列，前三项的和是12，前三项的积是48，则它的首项是 ．13、计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进 一”。
2022-2023学年北师大版高二上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：146 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知命题，，则为( )A.，B.，C.，D.，2. 椭圆，点，为椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率范围是( )A.B.C.D.3. 分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是( )A.异面B.平行C.相交D.以上都有可能p :∀x ∈R −x +1>0x 2¬p ∃∈R x 0−+1≤0x 20x 0∃∉R x 0−+1≤0x 20x 0∀x ∈R −x +1≤0x 2∀x ∉R −x +1>0x 2C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F 1F 2C C P ⋅=2PF 1−→−PF 2−→−c 2[,+∞)12[,]123–√3(1,]3–√3[,]3–√32–√2=124. 若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则实数的值是（ ）A.B.C.D.5. 两平行直线与之间的距离为（ ）A.B.C.D.6. 下列命题中，真命题是（ ）A.函数＝的周期为B.，C.“＝”的充要条件是“”D.函数＝是奇函数7. 已知点，，则( )A.B.C.D.8. 已知，为圆＝上关于点对称的两点，则直线的方程为（ ）A.＝B.＝C.＝D.＝=4x y 22–√−=1x 2y 2mm 1234:3x +4y −2=0l 1:6x +8y −5=0l 230.10.57y sin |x |2π∀x ∈R >2x x 2a +b 0y ln A(2,3,5)B(−2,1,3)|AB |=6–√26–√2–√22–√A B +(y −1x 2)24P(1,2)AB x +y −30x −y +30x +3y −703x −y −109. 在长方体中，，是的中点，则三棱锥外接球的表面积为( )A.B.C.D.10. 过点的抛物线的标准方程是( )A.或B.C.或D.或11. 已知命题：函数的最小值为；命题：在中，角，，的对边分别为，，，则“”是“”的充要条件，则下列命题为真命题的是（ ）A.B.C.D.12. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，，，成等比数列，则( )A.B.C.D.卷II （非选择题）ABCD −A 1B 1C 1D 1A =AB =2BC =4A 1E AB E −C D 1C 136π32π9π8πP(1,−3)=y x 213=−y x 213=y x 213=−9x y 2=y x 213=−y x 213=9x y 2p f (x)=x +(x ≠0)4x 4q △ABC A B C a b c A >B a >b (¬p)∧qp ∨(¬q)p ∧q(¬p)∧(¬q)△ABC A B C a b c A B C 2a 2b 2c sin Acos B sin C =143–√4383–√8二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知椭圆，过点作直线交椭圆于，两点，且点是的中点，则直线的方程是________.14. 在平面直角坐标系中，若抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则该抛物线的准线方程为________.15. 已知函数，下列四个结论：①的一个对称中心是；②在 上单调递增；③的图象向右移动个单位后，所得图象关于轴对称；④在 上恰有两个不等实根的充要条件为，其中所有正确结论的编号是________．16. 已知正方体的棱长为，为体对角线上的一点，且，．若平面，则________；周长的最小值是________.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）17. 已知，，若是的充分条件，求实数的取值范围．18.已知双曲线的左，右焦点分别，过右焦点的直线在第一象限内与双曲线的渐近线交于点，与轴正半轴交于点，且点为的中点，的面积为，则双曲线的方程为( )A.B.C.+=1x 24y 2P (1,)12l C A B P AB l xOy =2px y 2−=1x 28y 24f (x)=sin x cos x −x −3–√cos 232f (x)(,−1)π6f (x)(,)π125π12f (x)π6y f (x)=m [0,]π2−≤m <−132ABCD −A 1B 1C 1D 12P BD 1BP =λBD 1λ∈(0,1)(1)B ⊥D 1PAC λ=(2)△PAC p :A ={x |−2x −3≤0}x 2q :B={x ||x −m |>3}p q m E :−=1(a >0，b >0)x 2a 2y 2b 2，F 1F 2l :x +y =c E P y Q P QF 2△QF 1F 24E −=1x 22y 22−=1x 22y 2−=1x 24y 24=122D.19. 已知抛物线上的点到焦点的距离求的值；过点作直线交抛物线于，两点，且点是线段的中点，求直线的方程．20. 已知椭圆与双曲线有两个相同的顶点，且的焦点到其渐近线的距离恰好为的短半轴的长度．求椭圆的标准方程；过点作不垂直于坐标轴的直线与交于，两点，在轴上是否存在点，使得平分？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 在菱形中，为线段的中点(如图)，将沿折起到的位置，使得平面平面，为线段的中点(如图).求证：；求证：平面；当四棱锥的体积为时，求的值.22. 已知椭圆：的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，且.求椭圆的标准方程.点在圆上，且在第一象限，过点作圆的切线交椭圆于，两点，不经过，证明：的周长为定值.−=1x 24y 23C :=2px (p >0)y 2M (2,m)F 3.(1)p,m (2)P (1,1)1C A B P AB 1:+=1(a >b >0)C 1x 2a 2y 2b 2:−=1C 2x 24y 2C 2C 1(1)C 1(2)T (t,0)(t ∈(−a,0)∪(0,a))l C 1A B x M MT ∠AMB M ABCD ∠ADC =，AB =a ，O π3CD 1△AOD AO △AOD ′AO ⊥D ′ABCO M BD ′2(1)O ⊥BC D ′(2)CM//AOD ′(3)−ABCO D ′3–√2a C +=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F 1F 2A (2,1)2–√C A ⊥A F 1F 2(1)C (2)H +=x 2y 2b 2H H C P Q PQ F 2△PQ F 2参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】A【考点】命题的否定【解析】此题暂无解析【解答】解：全称命题的否定是特称命题，∵，，∴，.故选．2.【答案】B【考点】椭圆的离心率【解析】通过向量的数量积求出的轨迹方程，然后列出不等式转化求解椭圆的离心率即可．【解答】解：设，则，∴，∴点在以原点为圆心，为半径的圆上，∴，.故选.p :∀x ∈R −x +1>0x 2¬p :∃∈R x 0−+1≤0x 20x 0A P P(x,y)⋅=+−PF 1−→−PF 2−→−x 2y 2c 2+=x 2y 23c 2P c 3–√b ≤c ≤a 3–√≤e ≤123–√3B3.【答案】D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】根据两个平面平行和相交，以及两条直线的交点情况进行判断．【解答】解：根据直线位置关系的定义知，当两条直线都与交线平行时，两条直线平行；两条直线可能在两平面的交线处相交；当两条直线不平行也不相交时，会出现异面的情况；故选．4.【答案】A【考点】抛物线的标准方程双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】B【考点】两条平行直线间的距离【解析】首先使两条平行直线与的系数相等，再根据平行线的距离公式求出距离即可．D x y解：由题意可得：两条平行直线为与，由平行线的距离公式可知．故选：．6.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】分析函数的周期性，可判断；举出反例＝，可判断；根据充要条件的定义，可判断；分析函数的奇偶性，可判断．【解答】函数＝不是周期函数，故是假命题；当＝时＝，故是假命题；“＝”的必要不充分条件是“”，故是假命题；函数＝＝的定义域关于原点对称，且满足＝，故函数是奇函数，即是真命题．7.【答案】B【考点】空间两点间的距离公式【解析】若，，则，由此根据点，，能求出．【解答】解：∵点，，∴．故选．8.6x +8y −4=06x +8y −5=0d ==|−4+5|+6282−−−−−−√110B A x 2B C D y sin |x |A x 22x x 2B a +b 0C y f(x)ln (−2,2)f(−x)−f(x)f(x)D A(,,)x 1y 1z 1B(,,)x 2y 2z 2|AB |=(−+(−+(−x 2x 1)2y 2y 1)2z 2z 1)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√A(2,3,5)B(−2,1,3)|AB |A(2,3,5)B(−2,1,3)|AB |==2(2+2+(3−1+(5−3)2)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√6–√BA【考点】直线与圆相交的性质【解析】求出圆心坐标，利用圆＝上存在，两点关于点成中心对称，求出直线的斜率，进而可求直线的方程．【解答】由题意，圆＝的圆心坐标为，∵圆＝上存在，两点关于点成中心对称，∴，为的中点，∵，∴＝，∴直线的方程为＝，即＝（0）9.【答案】B【考点】球内接多面体球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】解：在三棱锥中，以三角形为底，设的中点为，过点做平面的垂线交平面于点，连接，，，如图所示：在三角形中，∵，，∴；+(y −1x 2)24A B P(1,2)AB AB +(y −1x 2)24C(0,1)+(y −1x 2)24A B P(1,2)CP ⊥AB P AB ==1k CP 2−11−0k AB −1AB y −2−(x −1)x +y −3E −C D 1C 1C D 1C 1C D 1F F A B A 1B 1A B A 1B 1G FG EG EF EFG FG =BC =2GE =A =212A 1EF =22–√F =FC =F =2C –√又∵，∴点即为外接圆圆心，其半径为，∴其表面积为.故选.10.【答案】D【考点】抛物线的定义【解析】先设处抛物线的标准方程，把点坐标代入，即可求得，则抛物线方程可得．【解答】解：设抛物线方程为或，∵抛物线过点，∴或，∴或，∴抛物线的标准方程为或.故选.11.【答案】A【考点】复合命题及其真假判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】C【考点】F =FC =F =2D 1C 12–√F 22–√32πB P p =2px y 2=2py(p >0)x 2(1,−3)2p =9−6p =1p =92−16=−y x 213=9x y 2D等比数列的性质等差数列的性质余弦定理【解析】由，，成等差数列，可得，结合三角形内角和定理可求，由，，成等比数列，得，进而利用余弦定理得，可求，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】解：由，，成等差数列，得 ①.，，为的内角，②.由①②得.由，，成等比数列，得.由余弦定理得，.把，代入得，即，则，故，.故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】椭圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：设 ，则 ，∴.∵恰为线段的中点，即有 ,∴,A B C 2B =A +C B =π32a 2b 2c =ac b 2=0(a −c)2A =C =B =π3A B C 2B =A +C ∵A B C △ABC ∴A +B +C =πB =π32a 2b 2c =ac b 2=+−2ac cos B b 2a 2c 2B =π3=ac b 2+−ac =ac a 2c 2=0(a −c)2a =c A =C =B =π3∴sin A cos B sin C=××=3–√2123–√238C x +2y −2=0A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2+4=4，x 21y 21+4=4x 22y 22(+)(−)+4(+)(−)=0x 1x 2x 1x 2y 1y 2y 1y 2P (1,)12AB +=2，x 1x 2+=1y 1y 2(−)+2(−)=0x 1x 2y 1y 2==−−1∴直线的斜率为，∴直线的方程为,即 .由于在椭圆内，故成立．故答案为： .14.【答案】【考点】抛物线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题知，抛物线的焦点是，因为是双曲线的右焦点，所以满足，解得，所以该抛物线的准线方程为，故答案为：15.【答案】③④【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答16.【答案】,AB k ==−−y 1y 2−x 1x 212AB y −=−(x −1)1212x +2y −2=0P x +2y −2=0x =−23–√=2px y 2(，0)p 2(=8+4p 2)2p =43–√x =−=−2p 23–√x =−2.3–√13+246–√32–√【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题棱柱的结构特征【解析】①根据空间中的垂直关系，即可判断的正误；②利用正方体的特征，判断平面时对应的值即可；③建立空间直角坐标系，即可求得周长的最小值；④通过建立空间直角坐标系，求出为钝角三角形时的取值范围．【解答】解：如图所示：当 垂直于平面 时，则 ，已知正方体的棱长为，利用边角关系可解得，即；将与沿展开，可得的最小值为，又，故 周长的最小值是 .故答案为：；.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）17.【答案】解：由题意得，或，因为是的充分条件，所以，所以或，解得或，故实数的取值范围是．【考点】根据充分必要条件求参数取值问题【解析】先求出＝，＝，的集合范围，由是的充分条件，D ⊥P A 1C 1B ⊥D 1PAC λ△PAC △PAC λ(1)BD 1PAC AP ⊥BD 12BP ==B 23–√13D 1λ=13(2)△ABD 1△BCD 1BD 1AP +CP 46–√3AC =22–√△PAC +246–√32–√13+246–√32–√A ={x |−1≤x ≤3}B ={x |x <m −3x >m +3}p q A ⊆B m −3>3m +3<−1m >6m <−4m (−∞,−4)∪(6,+∞)p :A {x |−2x −3≤0}x 2q :B {x ||x −m |>3}p q A ⊆B得，即可求得实数的取值范围．【解答】解：由题意得，或，因为是的充分条件，所以，所以或，解得或，故实数的取值范围是．18.【答案】A【考点】双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知，双曲线的渐近线方程为，由于直线的斜率为，所以(为坐标原点)，所以为等腰直角三角形，因为点为的中点，所以，即双曲线为等轴双曲线，因为的面积为，所以，所以，所以所求的双曲线方程为.故选19.【答案】【考点】与抛物线有关的中点弦及弦长问题抛物线的标准方程【解析】A ⊆B m A ={x |−1≤x ≤3}B ={x |x <m −3x >m +3}p q A ⊆B m −3>3m +3<−1m >6m <−4m (−∞,−4)∪(6,+∞)E :−=1(a >0，b >0)x 2a 2y 2b 2y =±x b a l :x +y =c −1∠O Q =45°F 2O △QOF 2P QF 2=1⇒a =b b a E △QF 1F 2=×2×c ×c =S △QF 1F 212c 2=4⇒c =2c 2==2a 2b 2−=1x 22y 22A.【解答】20.【答案】解：由题意得 ．双曲线的焦点为，其渐近线为，由点到直线的距离公式有，解得 ．综上，椭圆的标准方程为 ．存在点使得平分 ．由题知，直线的斜率存在且不为，又直线过点，设直线的方程为，，，，由得 ，所以， ．因为，，，所以，即，所以，所以，因为，所以，即，，化简得，因为，所以 . 综上所述，存在点，使得平分 . 【考点】椭圆的标准方程双曲线的渐近线点到直线的距离公式圆锥曲线的综合问题【解析】(1)a =2C 2(±,0)5–√x ±2y =0=b 5–√1+22−−−−−√b =1C 1+=1x 24y 2(2)M MT ∠AMB l 0T (t,0)l y =k(x −t)A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2M(m,0){+4−4=0,x 2y 2y =k (x −t),(1+4)−8tx +4−4=0k 2x 2k 2k 2t 2+=x 1x 28t k 21+4k 2⋅=x 1x 24−4k 2t 21+4k 2=k AM y 1−m x 1=k BM y 2−m x 2+=0k AM k BM +=0y 1−m x 1y 2−m x 2+=0k(−t)x 1−m x 1k(−t)x 2−m x 2=0k(−t)(−m)+k(−t)(−m)x 1x 2x 2x 1(−m)(−m)x 1x 2k (−t)(−m)+k (−t)(−m)=0x 1x 2x 2x 1k ≠0(−t)(−m)+(−t)(−m)=0x 1x 2x 2x 12−(t +m)(+)+2tm =0x 1x 2x 1x 22×−(t +m)+2tm =04−4k 2t 21+4k 28t k 21+4k 2tm =4t ≠0m =4t M (,0)4tMT ∠AMB（1）由题意得 ．双曲线的焦点为，其渐近线为，由点到直线的距离公式有，解得 ．综上，椭圆的标准方程为 ．【解答】解：由题意得 ．双曲线的焦点为，其渐近线为，由点到直线的距离公式有，解得 ．综上，椭圆的标准方程为 ．存在点使得平分 ．由题知，直线的斜率存在且不为，又直线过点，设直线的方程为，，，，由得 ，所以， ．因为，，，所以，即，所以，所以，因为，所以，即，，化简得，因为，所以 . 综上所述，存在点，使得平分 . 21.【答案】证明：∵为菱形，∴，，∴.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面，a =2C 2(±,0)5–√x +2y =0=b 5–√1+22−−−−−√b =1C 1+=1x 24y 2(1)a =2C 2(±,0)5–√x ±2y =0=b 5–√1+22−−−−−√b =1C 1+=1x 24y 2(2)M MT ∠AMB l 0T (t,0)l y =k(x −t)A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2M(m,0){+4−4=0,x 2y 2y =k (x −t),(1+4)−8tx +4−4=0k 2x 2k 2k 2t 2+=x 1x 28t k 21+4k 2⋅=x 1x 24−4k 2t 21+4k 2=k AM y 1−m x 1=k BM y 2−m x 2+=0k AM k BM +=0y 1−m x 1y 2−m x 2+=0k(−t)x 1−m x 1k(−t)x 2−m x 2=0k(−t)(−m)+k(−t)(−m)x 1x 2x 2x 1(−m)(−m)x 1x 2k (−t)(−m)+k (−t)(−m)=0x 1x 2x 2x 1k ≠0(−t)(−m)+(−t)(−m)=0x 1x 2x 2x 12−(t +m)(+)+2tm =0x 1x 2x 1x 22×−(t +m)+2tm =04−4k 2t 21+4k 28t k 21+4k 2tm =4t ≠0m =4t M (,0)4t MT ∠AMB (1)ABCD AD =a ，O =D ′a 2∠A O =D ′60∘OA ⊥OD ′AO ⊥D ′ABCO AO ∩D ′ABCO =AO O ⊂D ′AOD ′O ⊥D ′AOCB BC ⊂ABCO O ⊥BCD ′∴.证明：取中点，连结∵分别为中点∴，∴，∴，∵平面，平面，∴平面.解：由知平面，.【考点】两条直线垂直的判定直线与平面平行的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】证明：∵为菱形，∴，，∴.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴.证明：取中点，连结O ⊥BC D ′(2)AD ′N MN ，ON ，MN B ，A D ′D ′MN AB ，OC AB =//12=//12MN OC =//ON//CM CM ⊂AOD ′ON ⊂AOD ′CM//AOD ′(3)(1)O ⊥D ′ABCO ∴=×(+a)⋅⋅a V −ABCO D ′1312a 2a 23–√2=，∴a =23–√2(1)ABCDAD =a ，O =D ′a 2∠A O =D ′60∘OA ⊥OD ′AO ⊥D ′ABCO AO ∩D ′ABCO =AO O ⊂D ′AOD ′O ⊥D ′AOCB BC ⊂ABCO O ⊥BC D ′(2)AD ′N MN ，ON ，∵分别为中点∴，∴，∴，∵平面，平面，∴平面.解：由知平面，.22.【答案】解：因为点在椭圆上，所以 .①设，，因为，所以，解得，所以.②由①②解得，，所以椭圆的标准方程为.证明：设点，，则.因为，，所以.同理可得，所以，所以的周长为，为定值.MN B ，A D ′D ′MN AB ，OC AB =//12=//12MN OC =//ON//CM CM ⊂AOD ′ON ⊂AOD ′CM//AOD ′(3)(1)O ⊥D ′ABCO ∴=×(+a)⋅⋅a V −ABCO D ′1312a 2a 23–√2=，∴a =23–√2(1)A(2,1)2–√C +=18a 21b 2(−c,0)F 1(c,0)(c >0)F 2A ⊥A F 1F 2⋅=−112+c 2–√12−c 2–√c =3−=9a 2b 2=12a 2=3b 2C +=1x 212y 23(2)P (,)x 1y 1Q(,)x 2y 2+4=12x 21y 21|P |=F 2+(−3)x 12y 21−−−−−−−−−−−√==(4−)−6+9+3−x 21x 1x 214−−−−−−−−−−−−−−−−−−√3–√2x 1|PH|==|OP −|OH |2|2−−−−−−−−−−−−√+−3x 21y 21−−−−−−−−−√==−3+3−x 21x 214−−−−−−−−−−−−−√3–√2x 1|P |+|PH|=2F 23–√|Q |+|QH|=2F 23–√|P |+|Q |+|PQ|F 2F 2=(|P |+|PH|)+(|Q |+|HQ|)=4F 2F 23–√△PQ F 243–√【考点】椭圆的标准方程圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】此题暂无解析【解答】解：因为点在椭圆上，所以 .①设，，因为，所以，解得，所以.②由①②解得，，所以椭圆的标准方程为.证明：设点，，则.因为，，所以.同理可得，所以，所以的周长为，为定值.(1)A(2,1)2–√C +=18a 21b 2(−c,0)F 1(c,0)(c >0)F 2A ⊥A F 1F 2⋅=−112+c 2–√12−c 2–√c =3−=9a 2b 2=12a 2=3b 2C +=1x 212y 23(2)P (,)x 1y 1Q(,)x 2y 2+4=12x 21y 21|P |=F 2+(−3)x 12y 21−−−−−−−−−−−√==(4−)−6+9+3−x 21x 1x 214−−−−−−−−−−−−−−−−−−√3–√2x 1|PH|==|OP −|OH |2|2−−−−−−−−−−−−√+−3x 21y 21−−−−−−−−−√==−3+3−x 21x 214−−−−−−−−−−−−−√3–√2x 1|P |+|PH|=2F 23–√|Q |+|QH|=2F 23–√|P |+|Q |+|PQ|F 2F 2=(|P |+|PH|)+(|Q |+|HQ|)=4F 2F 23–√△PQ F 243–√。
2024-2025学年吉林东北师大附中高二上学期第一次月考数学试题及答案
2024—2025学年上学期高二年级数学学科阶段验收考试试卷考试时间：90分钟 满分：120分审题人：高二备课组 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若随机试验的样本空间为{}0,1,2Ω，则下列说法不正确．．．的是（ ） A ．事件{}1,2P =是随机事件B ．事件{}0,1,2Q =是必然事件C ．事件{}1,2M =−−是不可能事件D ．事件{}1,0−是随机事件2．若直线l 过点()1,0A 和(1,−，则直线l 的倾斜角为（ ）A ．3πB ．23πC ．56πD ．6π 3．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，假设甲、乙、丙每次投壶时，投中的概率均为0.6且投壶结果互不影响．若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（ ）A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.3124． 设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且()()()131,,+252P A P B P A B ===，则()P AB =（ ） A ．31 B ．15 C ．25 D ．110 5．若空间中点A 的坐标为(2，2，1)，P (0，0，1)、Q (2，0，0）在直线l 上，则点A 到l 的距离为（ ）A B C D 6．某乒乓球队在长春训练基地进行封闭式集训，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流．．．．发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为14，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．则该局打4个球甲赢的概率为（ ）A ．13B ．16C ．112D ．5247． 据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当． 即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推．例如⊥‖表示62，＝T 表示26，现有6根算筹，据此表示方式任意表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数不小于50的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．358．正三棱柱111ABC A B C −中，12,AB AA ==，O 为BC 的中点，M 为棱11B C 上的动点（含端点） N 为线段AM 上的点，且MN MO MO MA =，则线段MN 长度的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。
北师大版高中数学必修五高二第一次月考数学试题(理潜、文重、潜能班).docx
时间：120分钟 分值：150 命题人：一、选择题(每小题5分，共50分)1、能够反映样本稳定程度的特征值是（ ）A.平均数B.极差C.标准差D.众数2、用系统抽样从已编好号码的50辆车中随机抽出5辆进行试验，则可能选取的车的编号是（ ）A.5、10、15、20、25B.3、13、23、33、43C.10、18、26、34、42D.15、16、17、18、193、若将两个数a=2，b=5交换，使得a=5，b=2，下面语句正确的一组是（ ）4、同时抛掷2枚大小相同的骰子，所得点数之和是9的概率是A.14 B. 19 C. 536 D. 1125、如右图所示的程序框图中，如果输入三个实数为a=5, b=7,c=2,则输出结果为（ ） A.2 B.5 C.7 D.x考试时间：2012年9月27—28日a=b b=a c=b b=a a=cb=aa=ba=c c=b b=a A B C D6、已知两组样本数据{}12,......n x x x 的平均数为a, {}12,......m y y y 的平均数为b ，则把两组数据合并成一组后，这组样本的平均数为（ ） A.2a b + B. na mb m n ++ C. ma nb m n ++ D. a bm n ++ 7、（文科）方程x+x+n=o(n ∈(0,1))有实根的概率为（ ） A.12 B. 13 C. 14 D. 34（理科）某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门课程，若要求两类课程中至少选一门，则不同的选法共有( )A.30种B.35种C.42种D.48种8、设棱锥高为H ，底面积为S,用平行于底面的平面截得的棱锥的高的下部分为h,若截面面积为P.则h:H 是（ ）A.P:SB.(S-P):SC. ():s s p p -⋅D. ():s sp s - 9、（文科）已知一个学生通过测试的概率为23，现在他连续测试两次，其中恰有一次通过的概率是（ ） A.13 B. 23 C. 29 D. 49（理科）如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案 L 形（每次旋转900仍为2形图案）那么在4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的2形图案的个数是（ ）A.16B.32C.48D.6410、甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b,且a 、b {}1,2,3,4∈若1a b -≤，则称甲乙“合作成功”，现任意找两人玩该游戏，得出他们“合作成功”的概率为（ ）A.38 B. 58 C. 14 D. 34二、填空题（每小题5分，共25分）11、盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球,若从中随机地摸出两只球，则它们颜色不同的概率是12、样本中共有五个个体，其值分别为a ，0，1，2，3，若该样本的平均值为1，则样本方差为13、在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，P A ⊥平面ABCD ，且PA=1，则P 到对角线BD 的距离为14、有如图所示的程序框图，则该框图输出的结果是 15、（文科）甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩用茎叶图 表示如图所示，则平均分数较高的是 成绩较为稳定的是（15题图）（理科）3名驾驶员和6名空姐分别登上3不同编号的直升机，每机1名驾驶员和2名空姐，登上飞机方法种数共有 种。
北师大版高中数学必修五高二月考数学试题.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作秦宝中学高二第一次月考数学试题第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知数列{}n a 的通项公式是3122n n n a n n +⎧=⎨-⎩（奇数）（为偶数），则23a a 等于A ． 70 B. 28 C. 20 D. 82. 设21011n a n n =-++，则数列{}n a 的最大项为 A ． 5 B. 11 C. 10或11 D. 363. 数列{}n a 中，12a =，1221n n a a +=+，则101a 的值是 A ．52 B. 51 C.50 D. 494. 在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值为A ． 14 B. 15 C. 16 D. 175. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m ma a a -++-=，2138m S -=，则m = A ． 9 B. 10 C. 20 D. 386. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = A ． 8 B. 7 C. 6 D. 57. 在等比数列{}n a 中，若2836a a ⋅=，3715a a +=，则公比为A ． 22,2 B. 2± C. 22± D.2±，22± 8. 已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +等于A ． 16 B. 8 C. 4 D. 29. 正项等比数列{}n a 满足241a a =，313S =，3log n n b a =，则数列{}n b 的前10项和是 A ． 65 B. 65- C. 25 D. 25-10. 已知等比数列{}n a 中，公比为12q =，且1359960a a a a +++⋅⋅⋅+=，则123100a a a a +++⋅⋅⋅+=A ． 100 B. 90 C. 120 D. 30题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．11. 在数列{}n a 中，310,a a 是方程2350x x --=的两根，若{}n a 是等差数列，则58a a += .12. 等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和，若11a =，40k a a +=，则k =13. 已知各项都为正项的等比数列的任何一项都等于它后面相邻两项的和，则该数列的公比q =14. 已知两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T . 且71()427n n S n n N T n ++=∈+，则1111a b = . 15. 设数列{}n a 的前n 项和为n S （n N +∈），关于数列{}n a 有下列三个命题： ①若{}n a 既是等差数列又是等比数列，则1n n a a +=（n N +∈）； ②若2(,)n S an bn a b R =+∈，则{}n a 是等差数列； ③若1(1)n n S =--，则{}n a 是等比数列.其中正确命题的序号是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）． 16. （本小题满分12分）设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-. （1）求{}n a 的通项公式（2）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大时n 的值.17. （本小题满分12分）设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n n a b +的前n 项和n S .班级：姓名：18. （本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =.（1）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12nn a S -=（2）设31323log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+，求数列{}n b 的通项公式19. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S（1）求n a 及n S（2）令21()1n n b n N a +=∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T20. （本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和278n S n n =--， （1）求{}n a 的通项公式（2）求数列{}||n a 的前n 项和n T .21. （本小题满分14分）已知数列{}n a 中，11a =，123n n a a +=+，数列{}n b 中，11b =，且点1(,)n n b b +在直线1y x =-上， （1）求数列{}n a 的通项公式 （2）求数列{}n b 的通项公式（3）若3n n c a =+，求数列{}n n b c 的前n 项和n S参考答案及评分标准一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 CD A C B D D B D B 二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 3 12. 10 13. 152-+ 14. 4315. ①②③三．解答题 16. 解：（1）由题意得 112599a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解得192a d =⎧⎨=⎩. ∴1(1)92(1)112n a a n d n n =+-=--=- -----------------------------------6分（2）由（1）知221(1)10(5)252n n n S na d n n n -=+=-=--+ -------------12分∴当5n =时，n S 取最大值17. 解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由12a =，324a a =+得2224q q =+即220q q --=，解得2q =或1q =-（舍），∴2q =∴11n n a a q -=⋅1222n n -=⋅= -------------------------------------6分 （2）数列12(1)21n b n n =+-=- ∴n S =n n a b +=(12)(1)12122nn n n --+⨯+⨯-=12122222n n n n n n ++-+-+=+- ------------12分 18.解：（1）因为1111333n n n a -⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭ ---------------------------------------------3分111113331213n n n S ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-，所以12n na S -= ---------------------------------------6分 （2）31323log log log n nb a a a =++⋅⋅⋅+(123)n -+++⋅⋅⋅+(1)2n n +=- ---------------------------------12分 19. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d .由题意，得112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩----------------------------------------2分∴1(1)32(1)21n a a n d n n =+-=+-=+. -----------------------------------------4分2111(1)3(1)222n S na n n d n n n n n =+-=+-=+---------------------------------------6分（2）由（1）知21n a n =+ -------------------------------------------------8分∴221111111.1(21)14(1)41n n b a n n n n n ⎛⎫===⋅=- ⎪-+-++⎝⎭ ---------------------10分 ∴1111111111.42231414(1)n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭-----------------------------12分 20. 解：（1）当1n =时，1114a S ==-；当2n ≥时，1n n n a S S -=-28n =-故14(1)28(2)n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩---------------------------------------------7分（2）由28n a n =-可知：当4n ≤时，0n a ≤，-------------------------------------8分 当5n ≥时，0n a >∴当4n ≤时，278n n T S n n =-=-++ -----------------------------------------------------9分 当5n ≥时，444()2n n n T S S S S S =-+-=-22782(20)732n n n n =---⨯-=-+ -----------11分∴2278(14)732(5)n n n n T n n n ⎧-++≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩----------------------------------------13分21. 解：∵123n n a a +=+∴132(3)n n a a ++=+ ∴1323n n a a ++=+，134a +=， ∴{}3n a +是首项为4，公比为2的等比数列，∴113422,n n n a -++=⋅=∴ 123n n a +=- ---------------------------4分 （2）∵1(,)n n b b +在直线1y x =-上，∴11n n b b +=-，即11n n b b +-=， 又11b =∴数列{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列，∴n b n = ----------------------------------------------------------8分 （3）3n n c a =+112332n n ++-+= ∴12n n n b c n +=⋅23411222322n n S n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯345122122232(1)22n n n S n n ++=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯两式相减，得23412222n n S +-=+++⋅⋅⋅+22n n +-⋅2224(12)224212n n n n n n +++-=-⨯=--⨯- ∴2(1)24n n S n +=-⋅+ --------------------------------------------14分。
北师大版高中数学必修五高二第一次(10月)月考数学试题(无答案)
C、0<B≤ D、 <B<π
10、已知两个等差数列 和 的前n项和分别为 和 ，且 ，则使得 为整数的正整数n的个数是（）
A、2 B、3 C、4 D、5
二、填空题（共5小题，每题5分）
11、已知非零数列 ，对于任意的 ，有 ，若 ，则
12、一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是
18、已知数列 的前n项和为 ，且
（1）证明 是等比数列；
（2）求数列 的通项公式，并求出n为何值时， 取得最小值？说明理由．(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48)．
19、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知 成等差数列。
（1）求角B的大小；
（2）若 求AC边上中线长的最小值；
第 卷非选择题
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
）
16、设等差数列 的前n项和为Sn，已知公差 ，S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列；
（1）求数列 的
17、如图所示，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．
20、已知数列 的前n项和为 ，且 ＝1， ＝ (n＝1,2,3，…)．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设
1求证：数列 的前n项和 ；
2令 ，若数列{ }单调递增，求 的取值范围；
21、已知数列 是首项 ，公比 的等比数列，
设 ，数列 满足 ．
（1）求证： 是等差数列；
（2）求数列 的前n项和 ；
（3）若 对一切正整数 恒成立，求实数 的取值范围．
北师大版高中数学必修五四校-高二零班第一次月考数学试题(无答案).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作一、选择题（本大题共10题，每小题5分，共50分）1.已知集合M={x|x 2-px+6=0}，N={x|x 2+6x-q=0}，若M ∩N ＝{2}，则p+q 值为（ ）A ．21B ．8C ．7D ．62.要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、200户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；② 从某中学的5名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的方法依次为（ ）A ．①简单随机抽样调查，②系统抽样B ．①分层抽样，②简单随机抽样C ．①系统抽样，② 分层抽样D ．①② 都用分层抽样3.已知直线Ax+By+C=0(其中A 2+B 2=C 2,C ≠0)与圆x 2+y 2=4交于M 、N ，O 是坐标原点，则 ＝（ ） A ．-2 B. -1 C. 1 D. 24. 由一组样本数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )得到的回归直线方程y=bx+a 。
那么下面说法不正确的是（ ）A ．直线y=bx+a 必经过点(y x ,)B ．直线y=bx+a 至少经过(x 1,y 1),(x 2,y 2)，…(x n ,y n )中的一个点C ．直线y=bx+a 的斜率为b=2222111)()()())(())((x x x x x x y y x x y y x x n n n -⋯+-+---+⋯+--D ．直线y=bx+a 与各点(x 1,y 1),(x 2,y 2)…,(x n ,y n )最接近5.关于三角函数=)(x f 1)sin 3(cos cos 2-+x x x ，以下结论正确的是（ ）A ．)(x f 的最小正周期是π，在区间），（12512ππ-是增函数 B ．)(x f 的最小正周期是π2，最大值是2C ．)(x f 的最小正周期是π，最大值是3ON OM ⋅D ．f(x)的最小正周期是π，在区间6,12(ππ- ）是增函数 6.已知函数2()cos()f n n n π=，且()(1)n a f n f n =++，则a 1+a 2+a 3+…+a 100=( ) A ．0 B ．100- C ．100 D ．102007.已知对数函数()log a f x x =是增函数，则函数(||1)f x +的图象大致是（ ）A B C D8. 在△ABC 中，三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(2)c o s c o s 0,c a B b C -+=2c o s b A c =，则三角形是A ．直角三角形，但不是等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形，但不是等边三角形D ．等边三角形9．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2,动点E ，F 在棱A 1B 1上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若EF ＝1,A 1E=x ，DQ ＝y ，DP ＝z(x, y, z 大于零)，则四面体PEFQ 的体积（ ）A 、x, y, z 都有关B 、与x 有关，与y, z 无关C 、与y 有关，与x, z 无关D 、与z 有关，与x, y 无关10.关于x 的方程2(1)10(0,)x a x a b a a b +++++=≠∈R 、的两实根为12,x x ，若12012x x <<<<，则b a的取值范围是（ ） A ．4(2,)5-- B ．34(,)25-- C ．52(,)43-- D ．51(,)42-- 二．填空题（每小题5分，共5小题，25分） 11.已知向量b a ,夹角为45o ，且｜a ｜＝1, 10|2|=-b a ，则|b |＝12.已知点A （-3,-4），B （6，3）到直线l ：ax+y+1=0的距离相等，则a=13.已知函数f(x)满足，f(1)=41,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y R),则f(2010)= 14. （文）若),,(11+∈=+R y x a ya x 且x+y 的最小值是16,则a= (理)设a>b>c>0，则 222510)(112c acb a a ab a +--++的最小值是15.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何体是 （写出所有正确结论的编号）①矩形 ②不是矩形的平行四边形 ③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体 ④每个面都是等边三角形的四面体 ⑤每个面都是直角三角形的四面体三．解答题(本大题共6小题，共75分）16.（本小题满分12分）已知),cos 2,(sin ),cos ,cos 35(x x b x x a ==设函数23||)(2++⋅=b b a x f （Ⅰ）当[,]62x ππ∈,求函数)(x f 的的值域； （Ⅱ）当[,]62x ππ∈时，若)(x f =8, 求函数()12f x π-的值； (Ⅲ)将函数y ＝f (x )的图象向右平移12π个单位后，再将得到的图象上各点的纵坐标向下平移5个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数()g x 的表达式并判断奇偶性.17. (本小题满分12分)算法框图是关于n 个数据的样本a 1,a 2,…，a n 的一个统计算法。
北师大版高中数学必修五第三中学-高二上学期月考
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）江西省乐平市第三中学2012-2013学年高二上学期月考 数学试题一.选择题(每题5分,共10小题)1.不等式0121≤+-x x 的解集为( ) A. ]1,21(- B.]1,21[- C. ),1[)21,(+∞--∞ D. ),1[]21,(+∞--∞ 2.下列不等式一定成立的是( ) A.)0(lg )41lg(2>>+x x x B.),(2sin 1sin Z x k x x x ∈≠≥+π C.)(||212R x x x ∈≥+ D.)(1112R x x ∈>+ 3.在等差数列}{n a 中,5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S =( )A. 7B. 15C. 20D.254.在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状为( )A.锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D.不能确定5. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,55=a ,155=S ,则数列}1{1+n n a a 的前100项和为( ) A 101100. B.10199 C.10099 D.100101 6.在ABC ∆中,角A,B,C 所对的边长分别为c b a ,,,若2222c b a =+,则C cos 的最小值为( ) A. 23 B. 22 C.21 D.21- 7.已知}{n a 为等比数列,8,26574-==+a a a a ,则=+101a a ( )A.7B.5C.-5D.-78.设n S 是公差为)0(≠d d 的等差数列}{n a 的前n 项和,则下列命题错误．．的是( ) A.若0<d ,则数列{n S }有最大项B.若数列{n S }有最大项,则0<dC.若数列{n S }是递增数列,则对任意的*∈N n ,均有n S 0>D.若对任意的*∈N n ,均有n S 0>,则数列{n S }是递增数列9.在三角形ABC 中,︒=︒==75,45,3C A AB ,则BC=( ) A. 33- B. 2 C.2 D. 33+10.两个等差数列{}n a 和}{n b 的前n 项和分别为n A 和n B ,且3457++=n n B A n n ,则使得n n b a 为整数的正整数n 的个数为( )A.2B.3C. 4D.5二.填空题(每题5分,共5小题)11.若+∈R y x ,,且14=+y x ,则yx 11+的最小值为_________ 12.在ABC ∆中,3,135cos ,53cos ===b B A ,则=c ________ 13.若不等式012>-+-k kx x 对)2,1(∈x 恒成立,则实数k 的取值范围是________14.已知递增的等差数列{}n a 满足:4,12231-==a a a ,则=n a _______15. 数列{}n a 和}{n b 都是等差数列,若21,73311=+=+b a b a ,则=+55b a ________三.解答题(16,17,18,19每题12分,20题13分,21题14分)16.已知ABC ∆的周长为12+,且C B A sin 2sin sin =+ (I)求边AB 的长(II)若ABC ∆的面积为C sin 61,求角C 的度数17. 已知ABC ∆的面积为3,且满足AB ≤0AC ⋅6≤,设AB 和AC 的夹角为θ. (I)求θ的取值范围(II)求函数θθπ2cos 3)4(sin 2-+=y 的最大值与最小值.18.解关于x 的不等式21≤-x ax19.在数列}{n a 中,21=a ,1341+-=+n a a n n ,+∈N n (I)证明数列}{n a n -是等比数列(II)求数列}{n a 的前n 项和n S20. 已知等差数列{}n a 前三项和为3-,前三项积为8 (I)求等差数列{}n a 的通项公式(II)若132,,a a a 成等比数列,求数列}1{1+n n a a 的前n 项和21. 已知数列{}n a 的前n 项和212n S n kn =-+（其中k N +∈），且n S 的最大值为8。
北师大版高中数学必修五高二第一次月考数学(理)试题 (2)
考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若 a b >, 则下列正确的是( )A ．22a b >B ．ac bc >C ．22ac bc > D ．a c b c ->- 2.如图,直线a 与直线b 的位置关系是( ) aA ． 平行 B. 异面C. 相交D. 平形或异面3.直线22b y a x -=1在y 轴上的截距是（ ） A.|b | B.±b C.- b 2 D. b 24. 如图给出了计算401614121++++Λ的值的程序框图， 其中①②分别是( )A ．2,20+=<n n iB ．2,20+==n n iC ．2,20+=>n n iD ．1,20+=>n n i 开始 S=0,n=2,i=1 S=S+n 1 ① ②i=i+1否是5．数列｛n a ｝中, 1a 、2a 、3a 成等差数列, 2a 、3a 、4a 成等比数列, 3a 、4a 、5a 的倒数成等差数列, 则1a 、3a 、5a 第4题为( )A. 等比数列B. 等差数列C. 倒数成等差数列D. 都不是6．数列｛n a ｝的通项公式为n n S n a ,492-=达到最小值时,n =( )A. 21B. 22C. 23D. 247．对在△ABC 中,=C B A sin :sin :sin )13(:6:2+,则最小内角是( ) A.600 B.450 C.300 D.都不是8．l 1: a y x -+b =0, l 2: b y x -+a =0(a ≠0, b ≠0, a ≠b )的图形可能是( )9．若非负实数x ,y 满足2x +3y =10,则lg x +lg y 的最大值是（ ）A. 10B. 25C. 625D. lg 625 10. 已知M=｛),(y x | 29x y -=｝，N=｛),(y x | b x y +=｝,且M ∩N=φ，则b 应满足的条件是（ ）A.| b |≥32B.0<b <2C.-3≤b ≤32D. b >32或b <-3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将正确答案填写在横线上）11. 一元二次不等式a x 2＋b x ＋2>0的解集是(－21,31)，则a ＋b 的值是12. 在△ABC 中,若B b A a cos cos =,则△ABC 是 三角形.13. 如实数y x ,满足(3)222=+-y x ，则xy 最大值为14.已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是 .15. 已知整数数列{n a }满足)3(21≥-=--n a a a n n n ,如果前1492项的和是1985,而前1985项的和为1492,第14题则前2001项的和是 .三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（ 12分）设函数f （x ）=ax +2，不等式| f （x ）|＜6的解集为（－1，2）， 试求不等式）（x f x ≤1的解集.17. （ 12分）已知三条直线0,0134,0532=-=+-=++y mx y x y x 不能构成三角形，求实数m 的取值集合.18．（ 12分）设圆的方程为2x ＋2y －4x －5＝0,(1）．求该圆的圆心坐标及半径;（2）．若此圆的一条弦AB 的中点为P （3，1），求直线AB 的方程19．（ 12分）如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。
北师大版高中数学必修五高二第一次月考数学(理)试题
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）一． 选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分1．从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲,x 乙,中位数分别为m 甲,m 乙,则（ ）2．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,……,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[]1,450的人做问卷A ,编号落入区间[]451,750的人做问卷B ,其余的人做问卷C .则抽到的人中,做问卷B 的人数为（ ）A ．7B ．9C ．10D ．153．某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h 是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40，50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图.则这300辆汽车中车速低于限速的汽车车速O40506070800.0100.0350.030a 频率组距有 （ ） A.75辆 B.120辆 C. 270辆 D. 180辆4．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ） A ．两次都不中靶 靶 B ．两次都中靶 C ．至多有一次中 D ．只有一次中靶 5．某同学设计右面的程序框图用以计算和式222212320++++的值，则在判断框中应填写 ( ) A ．19i ≤ B ．19i ≥C ．20i ≤D ．21i ≤6. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的a 的值为( ) A ．1 B ．0 C ．1- D ．27．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和分别是12，11，10的概率依次是123,,P P P ，则（ ） A ．123P P P =< B ．123P P P << C ．123P P P <=D ．321P P P =<8.若圆心在x 轴上、半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O 的方程是（ ）A ．22(5)5x y -+=B ．22(5)5x y ++=C ．22(5)5x y -+=D ．22(5)5x y ++=Sa a -=2a 输出开始1,1,0===a i S a S S +=1+=i i ?2011≥i 是否 （第6题）结开始2a =,1n =输出a结束3a a =1n n =+ 2010n >是 否9．若过直角三角形ABC 的直角顶点A 任作一条直线l ，则l 与斜边BC 相交的概率为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．1610. 设m ,n R ∈,若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切,则+m n 的取值范围是（ ）A ．[13,1+3]-B ．(,13][1+3,+)-∞-∞C ．[222,2+22]- D ．(,222][2+22,+)-∞-∞ 二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.11. 按如下程序框图运行，则输出结果为__ ____．12. 空间直角坐标系中点A 和点B 的坐标分别是(1,1,2)、(2,3,4)，则AB =_______.13.将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量)6,2(),,(==q n m p，则向量p 与q 共线的概率为______________．14. 210,10,0x y x x ky -+=-=+=，如果这三条直线将平面划分为六部分， 则实数k 的取值集合为 ．15.程序框图如图所示，将输出的a 的值依次记为1a ，2a ， n a ， 那么数列{}n a 的通项公式=n a 。
2022-2023学年全国高中高二上数学北师大版月考试卷(含解析)
2022-2023学年全国高二上数学月考试卷考试总分：146 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知命题：，，则命题的否定是（ ）A.，B.，C. ，D. ，2. 已知，是关于的方程＝的两个实数根，则经过两点，的直线与椭圆公共点的个数是（ ）A.B.C.D.不确定3. 下图中，，，，分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则直线，是异面直线的图形有（ ）A.B.C.p ∀x <0<2x 2−x p ∀x ≥0≥2x 2−x∀x ≥0<2x 2−x∃x <0≥2x 2−x∃x ≥0>2x 2−xx 1x 2x +mx −(2m +1)x 20A(,)x 1x 21B(,)x 2x 22+=1x 216y 2421G N M H GH MN ①③②③②④②③④D.4. 抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为( )A.B.C.D.5. 与直线平行，且它们之间的距离为的直线方程为（ ）A.或B.或C.或D.或6. 下列命题中，真命题是（ ）A.函数＝的周期为B.，C.“＝”的充要条件是“”D.函数＝是奇函数7. 三角形的三个顶点、、，则的中线的长为（ ）A.B.C.D.8. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（ ）A.B.C.②③④=2px y 2−=1x 23y 2p −22−44x +y +3=032–√x −y +8=0x −y −1=0x +y +8=0x +y −1=0x +y −3=0x +y +3=0x +y −3=0x +y +9=0y sin |x |2π∀x ∈R >2x x 2a +b 0y ln A(2,−1,4)B(3,2,−6)C(−5,0,2)△ABC AD 4979360∘+(y −2=4x 2)23–√23–√6–√D.9. 已知三棱锥中，，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为 A.B.C.D.10. 试在抛物线上求一点，使其到焦点的距离与到的距离之和最小，则该点坐标为( )A.B.C.D.11. 已知命题，；命题：若，则，则下列为真命题的是（ ）A.B.￢C.￢D.￢￢12. 周长为的三角形三边长成公差为的等差数列，最大内角和最小内角分别记为，，则( )A.B.C.D.2D −ABC AB =BC =1AD =2BD =5–√AC =2–√BC ⊥AD ()π6–√6π5π8π=−4x y 2P F A(−2,1)(−,1)14(,1)14(−2,−2)2–√(−2,2)2–√p :∃∈R x 0−+1>0x 20x 0q a <b >1a 1b p ∧qp ∧qp ∧qp ∧q91αβsin(α+β)=51653–√161116315−−√16卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆：的半径，则椭圆的短轴长是________.14.已知抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值为，则________．15. 已知锐角中，角，，的对边分别为，，，现有下列四个判断：甲：；乙：；丙：；丁：.若上述四个论断有且只有一个是正确的，那么正确的是________.16. 已知正方体的棱长为，为体对角线上的一点，且，．若平面，则________；周长的最小值是________.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）17. 已知命题实数满足，命题：实数满足方程表示双曲线，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．18.已知双曲线的左，右焦点分别，过右焦点的直线在第一象限内与双曲线的渐近线交于点，与轴正半轴交于点，且点为的中点，的面积为，则双曲线的方程为( )A.B.C.D.19. 已知抛物线上的点到焦点的距离求的值；x 2–√2C +−4x −12=0x 2y 2=−2py(p >0)x 2Q 2p =△ABC A B C a b c a >b sin A >cos B tan(A −B)>0cos A <cos B ABCD −A 1B 1C 1D 12P BD 1BP =λBD 1λ∈(0,1)(1)B ⊥D 1PAC λ=(2)△PAC p ：a −7at +12<0(t >0)a 2t 2q a −=1x 2a −2y 26−a ¬p ¬q t E :−=1(a >0，b >0)x 2a 2y 2b 2，F 1F 2l :x +y =c E P y Q P QF 2△QF 1F 24E −=1x 22y 22−=1x 22y 2−=1x 24y 24−=1x 24y 23C :=2px (p >0)y 2M (2,m)F 3.(1)p,m (2)P (1,1)C A AB过点作直线交抛物线于，两点，且点是线段的中点，求直线的方程． 20. 在直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线过，两点，且这两点的极坐标分别为，.求的普通方程和的直角坐标方程；若为曲线上一动点，求点到直线的最小距离.21. 如图所示的多面体，其中 且 平面，.在线段上是否存在一点，使得平面？请说明理由若，当三棱锥的体积达到最大时，证明：.22. 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个顶点构成边长为的正三角形．求椭圆的方程；若直线与椭圆交于，两点，在上方，过点的直线(不经过，)与椭圆交于不同的两点，，设直线，的斜率分别为，，证明： 为定值．(2)P (1,1)1C A B P AB 1xOy C {x =2cos α,y =sin α3–√αx l A B A (2,0)7–√B (2,)7–√π2(1)C l (2)M C M l ABCDE AD//BC BC ⊥ABE ∠ABD =∠BCD =45∘(1)CE M DM//ABE .(2)AB =AD =AE =2A −BDE AE ⊥CD C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b22(1)C (2)x =1C P 1P 2P 1P 2Q (−2,−3)P 1P 2C M N M P 1N P 1k 1k 2+k 1k 2参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】命题的否定【解析】利用全称命题的否定为特称命题，进行求解即可.【解答】解：命题：，为全称命题，其否定为特称命题，命题的否定是 ，.故选.2.【答案】A【考点】椭圆的离心率【解析】解法一：先用斜率公式，求出直线的斜率，再根据点斜式，得到直线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系，简化直线方程，可以判断直线过定点，而该定点在椭圆内，所以直线与椭圆必相交．解法二：令＝，求出，，进而求出，坐标，进而可分析出经过两点，的直线与椭圆公共点的个数，可得答案．【解答】解法一：∵，是关于的方程＝的两个实数根，∴＝，＝，且＝，＝p ∀x <0<2x 2−x p ∃x <0≥2x 2−x C AB AB AB m 0x 1x 2A B A(,)x 1x 21B(,)x 2x 22+=1x 216y 24x 1x 2x +mx −(2m +1)x 20+x 1x 2−m ⋅x 1x 2−(2m +1)+m −(2m +1)x 21x 10+m −(2m +1)x 22x 20=(+)B −22又∵＝，直线的方程为：＝，即＝，即＝，即＝，故直线恒为点，又由点恒在椭圆内部，故直线与椭圆公共点的个数是个，故选：解法二：当＝时，方程＝可化为：＝，故＝，＝，故，两点的坐标为，，此时，两点均在椭圆内部，故直线与椭圆有个公共点，故选：．3.【答案】C【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】本题主要考查异面直线的概念的应用．【解答】解：由题意，可知题图①中，，因此直线与共面；题图②中，，，三点共面，但平面，因此直线与异面；题图③中，连接，则，因此直线与共面；题图④中，，，三点共面，但平面，所以直线与异面．故选．4.【答案】D【考点】抛物线的标准方程双曲线的标准方程【解析】==(+)k AB −x 12x 22−x 1x 2x 1x 2−m AB y −x 21−m(x −)x 1y +m −(2m +1)x 1−m(x −)x 1y −(2m +1)−mx (x −2)m +(y −1)0AB (2,1)(2,1)+=1x 216y 242Am 0+mx −(2m +1)x 20−1x 20x 1−1x 21A B (−1,1)(1,1)A B +=1x 216y 24AB +=1x 216y 242A GH//MN GH MN G H N M ∉GHN GH MN MG GM//HN GH MN G M N H ∉GMN GH MN C =12由题意抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，可先解出双曲线的右焦点，从而得出，解出的值，即可选出正确选项【解答】解：由于双曲线，可得，，故可得.由双曲线方程的形式知，其右焦点坐标是，又抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，∴，得.故选.5.【答案】D【考点】两条平行直线间的距离【解析】设所求直线方程为，运用两平行直线的距离公式，解关于的方程，即可得到所求方程．【解答】解：设所求直线方程为，则由两平行直线的距离公式可得，解得或．则所求直线方程为或，故选．6.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】分析函数的周期性，可判断；举出反例＝，可判断；根据充要条件的定义，可判断；分析函数的奇偶性，可判断．【解答】=2px y 2−=1x 23y 2=2p 2p −=1x 23y 2a =3–√b =1c =2(2,0)−=1x 23y 2=2p 2p =4D x +y +m =0m x +y +m =0d ==3|m −3|+1212−−−−−−√2–√m =9−3x +y −3=0x +y +9=0D A x 2B C D sin |x |A函数＝不是周期函数，故是假命题；当＝时＝，故是假命题；“＝”的必要不充分条件是“”，故是假命题；函数＝＝的定义域关于原点对称，且满足＝，故函数是奇函数，即是真命题．7.【答案】B【考点】空间两点间的距离公式【解析】先求出中点的坐标，再利用两点间的距离公式，即可求得结论．【解答】解：∵、，∴中点的坐标为∵，∴故选．8.【答案】B【考点】直线与圆相交的性质【解析】先根据题意求得直线方程，再由圆的方程得到圆心和半径，再求出得圆心到直线的距离，最后根据求解出弦长的一半，乘以得到结果．【解答】解：过原点且倾斜角为的直线为根据圆的方程，得到圆心为，半径∴圆心到直线的距离为，∴弦长为故选9.y sin |x |A x 22x x 2B a +b 0C y f(x)ln (−2,2)f(−x)−f(x)f(x)D BC D B(3,2,−6)C(−5,0,2)BC D (−1,1,−2)A(2,−1,4)|AD |==7(2+1+(−1−1+(4+2)2)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√B +(=d 2l 2)2r 2260∘y =x3–√+(y −2=4x 2)2(0,2)r =2=1|2+0|22×=24−1−−−−√3–√B【答案】B【考点】球内接多面体球的表面积和体积【解析】根据勾股定理可判断，，从而可得三棱锥的各个面都为直角三角形，求出三棱锥的外接球的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积．【解答】解：如图所示，∵，，，满足，∴.又，，∴平面.∵，，∴.又，∴平面，∴是三棱锥的外接球的直径.∵，，∴，∴三棱锥的外接球的表面积为．故选.10.【答案】A【考点】抛物线的定义【解析】AD ⊥AB AB ⊥BC AD =2AB =1BD =5–√A +A =B D 2B 2D 2AD ⊥AB AD ⊥BC BC ∩AB =B AD ⊥ABC AB =BC =1AC =2–√AB ⊥BC AB ∩AD =A BC ⊥DAB CD AD =2AC =2–√CD =6–√4π(=6π6–√2)2B A先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线的性质知：当，和焦点三点共线且点在中间的时候距离之和最小，进而先求出纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值从而得到答案．【解答】解：∵，∴，焦点坐标为，准线方程为：.过点作于点，由定义，得，∴.当，，三点共线时，最小，∴点的纵坐标为，代入抛物线方程求得，即点坐标为．故选．11.【答案】B【考点】复合命题及其真假判断【解析】推导出命题，是真命题，命题，则是假命题，从而是假命题，￢是真命题，￢是假命题，￢￢是假命题．【解答】∵＝，∴命题，是真命题，∵，，∴命题，则是假命题，∴是假命题，￢是真命题，￢是假命题，￢￢是假命题，12.【答案】P A P =−4x y 2p =2F(−1,0)l x =1P PM ⊥l M |PM|=|PF||PM|+|PA|=|PF|+|PA|A P M |PF|+|PA|P 1x =−14P (−,1)14A p :∃∈R x 0−+1>0x 20x 0q :a <b >1a 1bp ∧q p ∧q p ∧q p ∧q −+1x 20x 0(−+>>0x 012)23434p :∃∈R x 0−+1>0x 20x 0−3<2−<1312q :a <b >1a 1b p ∧q p ∧q p ∧q p ∧qD【考点】余弦定理诱导公式数列的应用【解析】先根据条件求出边长，结合余弦定理求出中间角的余弦值，进而求得结论．【解答】解：由题意，设三角形三边长分别为，，.因为三角形的周长为，所以，解得，所以三角形三边长分别为，，.设中间边对应的角为，因为，所以.故选.二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】椭圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：圆的方程可化为，半径为，∴椭圆的长轴长，∴.又离心率，∴，，a −1a a +19a −1+a +a +1=9a =3234A cos A ==+−4222322×4×21116sin(α+β)=sin(π−A)=sin A ===1−A cos 2−−−−−−−−√1−(1116)2−−−−−−−−√315−−√16D 22–√C (x −2+=16)2y 242a =4a =2e ==c a 2–√2c =2–√b ==−a 2c 2−−−−−−√2–√2–√∴椭圆的短轴长是.故答案为：.14.【答案】【考点】抛物线的性质抛物线的标准方程【解析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．【解答】解：根据题意，抛物线的焦点为，准线为，动点到焦点的距离等于到准线的距离，当为抛物线的顶点时，到准线的距离最小，此时到焦点的距离也最小，有，解得．故答案为：．15.【答案】乙【考点】命题的真假判断与应用【解析】在锐角中，，，则，即．【解答】解：为锐角三角形，，，∴，即．故答案为：乙．22–√22–√4=−2py (p >0)x 2(0,−)p 2y =p 2Q Q Q Q Q ==2d min p 2p =44△ABC A +B >π2>A >−B π2π2sin A >sin(−B)π2sin A >cos B ∵△ABC ∴A +B >π2∴>A >−B π2π2sin A >sin(−B)π2sin A >cos B16.【答案】,【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题棱柱的结构特征【解析】①根据空间中的垂直关系，即可判断的正误；②利用正方体的特征，判断平面时对应的值即可；③建立空间直角坐标系，即可求得周长的最小值；④通过建立空间直角坐标系，求出为钝角三角形时的取值范围．【解答】解：如图所示：当 垂直于平面 时，则 ，已知正方体的棱长为，利用边角关系可解得，即；将与沿展开，可得的最小值为，又，故 周长的最小值是 .故答案为：；.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）17.【答案】解：由，解得，即命题，由曲线为双曲线可得：，解得.13+246–√32–√D ⊥P A 1C 1B ⊥D 1PAC λ△PAC △PAC λ(1)BD 1PAC AP ⊥BD 12BP ==B 23–√13D 1λ=13(2)△ABD 1△BCD 1BD 1AP +CP 46–√3AC =22–√△PAC +246–√32–√13+246–√32–√−7at +12<0(t >0)a 2t 23t <a <4t p :3t <a <4t −=1x 2a −2y 26−a (a −2)(6−a)>02<a <6即命题,由是的必要不充分条件，则是的充分不必要条件，从而有：解得：，∴实数的取值范围是．【考点】根据充分必要条件求参数取值问题【解析】暂无.【解答】解：由，解得，即命题，由曲线为双曲线可得：，解得.即命题,由是的必要不充分条件，则是的充分不必要条件，从而有：解得：，∴实数的取值范围是．18.【答案】A【考点】双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知，双曲线的渐近线方程为，由于直线的斜率为，所以(为坐标原点)，所以为等腰直角三角形，因为点为的中点，所以，即双曲线为等轴双曲线，因为的面积为，所以，所以，q :2<a <6¬p ¬q p q {3t ≥2,4t ≤6,≤t ≤2332t {t|≤t ≤}2332−7at +12<0(t >0)a 2t 23t <a <4t p :3t <a <4t −=1x 2a −2y 26−a (a −2)(6−a)>02<a <6q :2<a <6¬p ¬q p q {3t ≥2,4t ≤6,≤t ≤2332t {t|≤t ≤}2332E :−=1(a >0，b >0)x 2a 2y 2b 2y =±x b a l :x +y =c −1∠O Q =45°F 2O △QOF 2P QF 2=1⇒a =b b a E △QF 1F 2=×2×c ×c =S △QF 1F 212c 2=4⇒c =2c 2==2a 2b 2=122所以所求的双曲线方程为.故选19.【答案】【考点】与抛物线有关的中点弦及弦长问题抛物线的标准方程【解析】【解答】20.【答案】解：曲线的参数方程为（为参数），消去参数可得：，所以曲线的普通方程为.因为，两点的极坐标，，所以直线的直角坐标方程为.设点，则点到直线的距离为，所以点到直线的最小距离为.【考点】参数方程与普通方程的互化直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化−=1x 22y 22A.(1)C {x =2cos α,y =sin α3–√α+=1x 24y 23C +=1x 24y 23A B A (2,0)7–√B (2,)7–√π2l x +y −2=07–√(2)M (2cos θ,sin θ)3–√M l d =|2cos θ+sin θ−2|3–√7–√2–√=|sin(θ+φ)−2|7–√7–√2–√≥=|−2|7–√7–√2–√14−−√2M l 14−−√2点到直线的距离公式【解析】由参数方程消参得普通方程，利用转换公式把极坐标对应点化为直角坐标表示即可求解；利用点到直线的距离公式，三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质即可求解．【解答】解：曲线的参数方程为（为参数），消去参数可得：，所以曲线的普通方程为.因为，两点的极坐标，，所以直线的直角坐标方程为.设点，则点到直线的距离为，所以点到直线的最小距离为.21.【答案】解：存在，为的中点时，使得平面.理由如下：取线段的中点，连接.在中，为的中点，则且，又且 平面，，故，即，所以平行且等于，(1)(2)(1)C {x =2cos α,y =sin α3–√α+=1x 24y 23C +=1x 24y 23A B A (2,0)7–√B (2,)7–√π2l x +y −2=07–√(2)M (2cos θ,sin θ)3–√M l d =|2cos θ+sin θ−2|3–√7–√2–√=|sin(θ+φ)−2|7–√7–√2–√≥=|−2|7–√7–√2–√14−−√2M l 14−−√2(1)M CE DM//ABE EB N DM,MN,AN △CBE M CE MN//BC MN =BC 12AD//BC BC ⊥ABE ∠ABD =∠BCD =45∘BC =BD =2AD 2–√AD =BC 12AD MN ADMN所以四边形是平行四边形，所以 ，又平面，平面,所以 平面.证明：设，则，当，即时三棱锥 的体积最大，又 平面，平面，所以.因为，所以平面因为平面,所以.【考点】两条直线垂直的判定直线与平面平行的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：存在，为的中点时，使得平面.理由如下：取线段的中点，连接.在中，为的中点，则且，又且 平面，，故，即，所以平行且等于，所以四边形是平行四边形，所以 ，又平面，平面,所以 平面.ADMN DM//AN DM ⊂ABE AN ⊂ABE DM//ABE (2)∠EAB =θ==××AE ×AB ×sin θ×AD =sin θV A−BDE V D−ABE 131243θ=90∘AE ⊥AB A −BDE BC ⊥ABE AE ⊂ABE AE ⊥BC BC ∩AB =B AE ⊥ABCCD ⊂ABCD AE ⊥CD (1)M CE DM//ABE EB N DM,MN,AN △CBE M CE MN//BC MN =BC 12AD//BC BC ⊥ABE ∠ABD =∠BCD =45∘BC =BD =2AD 2–√AD =BC 12AD MN ADMN DM//AN DM ⊂ABE AN ⊂ABE DM//ABE (2)∠EAB =θ证明：设，则，当，即时三棱锥 的体积最大，又 平面，平面，所以.因为，所以平面因为平面,所以.22.【答案】解：由题意可知，，∴，∴椭圆的方程为.证明：将代入椭圆方程，得，∴点，点.设直线，，，联立方程组 整理，得，由，解得.又∵点，都不在直线上，∴，且，，，则为定值.【考点】椭圆的标准方程圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】利用正三角形的性质即可求出椭圆的标准方程.利用直线与椭圆的位置关系列方程组并化简，经过大量计算即可求出为定值.【解答】(2)∠EAB =θ==××AE ×AB ×sin θ×AD =sin θV A−BDE V D−ABE 131243θ=90∘AE ⊥AB A −BDE BC ⊥ABE AE ⊂ABE AE ⊥BC BC ∩AB =B AE ⊥ABCCD ⊂ABCD AE ⊥CD (1)c =1b =c ⋅tan =60∘3–√=+=4a 2b 2c 2C +=1x 24y 23(2)x =1y =±32(1,)P 132(1,−)P 232MN :y +3=k (x +2)M (,)x 1y 1N (,)x 2y 2 y +3=k (x +2),+=1,x 24y 23(3+4)+8k (2k −3)x +16−48k +24=0k 2x 2k 2Δ>0k >12P 1P 2MN k >12k ≠32+=−x 1x 216−24k k 23+4k 2=x 1x 216−48k +24k 23+4k 2+=+k 1k 2−y 132−1x 1−y 232−1x 2=2k +(k −)(+)−4k +9x 1x 292x 1x 2−(+)+1x 1x 2x 1x 2==136−72k +27k 236−72k +27k 2(1)C (2)+k 1k 2(1)b =c ⋅tan =60∘3–√解：由题意可知，，∴，∴椭圆的方程为.证明：将代入椭圆方程，得，∴点，点.设直线，，，联立方程组 整理，得，由，解得.又∵点，都不在直线上，∴，且，，，则为定值.(1)c =1b =c ⋅tan =60∘3–√=+=4a 2b 2c 2C +=1x 24y 23(2)x =1y =±32(1,)P 132(1,−)P 232MN :y +3=k (x +2)M (,)x 1y 1N (,)x 2y 2 y +3=k (x +2),+=1,x 24y 23(3+4)+8k (2k −3)x +16−48k +24=0k 2x 2k 2Δ>0k >12P 1P 2MN k >12k ≠32+=−x 1x 216−24kk 23+4k 2=x 1x 216−48k +24k 23+4k 2+=+k 1k 2−y 132−1x 1−y 232−1x 2=2k +(k −)(+)−4k +9x 1x 292x 1x 2−(+)+1x 1x 2x 1x 2==136−72k +27k 236−72k +27k 2。
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高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）时间：120分钟 分值：150 命题人：一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个答案中， 只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的字母填在答题卡中。
1. 某校有40个班，每班50人，每班派3人参加“学代会”，在这个问题中样本容量是（ ）A ．40B ．50C ．120D ．150 2.一组数据5，8，x ，10，4的平均数是2x ，则这组数据的方差是（ ）A.2B.6.8C.22D.22 3.掷两颗相同的均匀骰子（各个面分别标有1，2，3，4，5，6），记录朝上一面的两个数，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A. “至少有一个奇数”与“都是奇数”B. “至少有一个奇数”与“至少有一个偶数” C ．“至少有一个奇数”与“都是偶数”D ．“恰好有一个奇数”与“恰好有两个奇数” 4. 如图，三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为1的正三角形，AA 1⊥面A 1B 1C 1，正视图是长为2，宽为1的矩 形，则该三棱柱的侧视图（或左视图）的面积为（ ）A. 3B. 32C.1D.23 考试时间：2012年9月27—28日5.（理科做）有四位司机、四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员， 则不同的分组方案共有（ ）A ．A 88种B ．A 84种C ．A 44•A 44种D ．A 44种5.（文科做）在研究吸烟与患慢性支气管炎是否有关时，通过收集数据，整理、分析数据，得出“吸烟与患慢性支气管炎有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是正确的．则下列说法正确的是（ ）A ．100个吸烟者中至少有99个患慢性支气管炎B ．某个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有慢性支气管炎C ．在100个吸烟者中一定有患慢性支气管炎的人D ．在100个吸烟者中可能一个患慢性支气管炎的人都没有6.某大学有三个系，A 系有10名教师，B 系有20名教师，C 系有30名教师，甲是B 系主任，如果学校决定采用分层抽样的方法选举6位教师组成“教授联席会”，那么，甲被选中的概率为（ ）A.201B.601C.101D.61 7. 按如图的流程，可打印出一个数列，设这个数列为{x n }，则x 4=（ ）A ．43B ．85C ．1611D ．32218.（理科做）若二项式（x+2）n的展开式的第四项是25，而第三项的二项式系数是15，则x 的值为（ ）A ．21 B ．41 C ．82 D ．818.（文科做）为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科 文科 男 13 10 女720已知P （K 2≥3.841）≈0.05，P （K 2≥5.024）≈0.025．根据表中数据，得到K 2=()302027237102013502⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈4.844．则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为（ ） A ．2.5% B ．5% C ．10% D ．95%9.（理科做）现准备将6台型号相同的电脑分配给5所小学，其中A 、B 两所希望小学每个学校至少2台，其他小学允许1台也没有，则不同的分配方案共有（ ）A ．13种B ．15种C ．20种D ．30种9.（文科做）在身高y 与体重x 的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数R 2如下：①模型1的相关指数R 2=0.03；②模型2的相关指数R 2=0.6；③模型3的相关指数R 2=0.4；④模型4的相关指数R 2=0.97．其中拟合效果最好的模型是（ ）A ．模型1B ．模型2C ．模型3D ．模型410. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）A ．0.35B ．0.25C ．0.20D ．0.15 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，11.某公司的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有下列对应数据：由资料显示y 对x 呈线性相关关系。
x 2 4 5 6 8 y3040605070根据上表提供的数据得到回归方程ˆy bx a =+中的 6.5b =，预测销售额为115万元时约需 万元广告费12. 如图，四边形ABCD 为矩形，AB= 3，BC=1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP与线段BC 有公共点的概率是 。
13. 若执行的程序框图如图所示，那么输出的S= 。
14. 从800件产品中抽取60件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将800件产品按001，002，…，800进行编号．如果从随机数表第8行第8列的数8开始往右读数，则最先抽取的4件产品的编号依次是．（如图摘录了随机数表第7行至第9行各数）15. 如图，空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCD和ADEF．设M、N分别是BD和AE 的中点，那么①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN、CE异面以上4个命题中正确的是。
三.解答题（本题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本题12分）一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球．现从口袋中每次任取一球，每次取出不放回，连续取两次．问：（1）取出的两只球都是白球的概率是多少？（2）取出的两只球至少有一个白球的概率是多少？17.（本题13分）在几何体ABCDE 中，∠BAC= 2，DC ⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ，F 是BC 的中点，AB=AC=BE=2，CD=1．（1）求证：DC ∥平面ABE ； （2）求证：AF ⊥平面BCDE ； （3）求几何体ABCDE 的体积．18.（本题12分，理科做，文科不做）有6名同学站成一排，求：（1）甲不站排头也不站排尾有多少种不同的排法：（2）甲、乙、丙不相邻有多少种不同的排法．（均须先列式再用数字作答）18.（本题12分，文科做，理科不做）为了让学生更多的了解“数学史”知识，某中学高一年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据频率分布表，解答下列问题：序号（i）分组（分数）组中值（G i）频数（人数）频率（F i）1 [60，70）65 ①0.162 [70，80）75 22 ②3 [80，90）85 14 0.284 [90，100] 95 ③④合计50 1 （1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（2）为鼓励更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于80分的同学能获奖，那么可以估计在参加的800名学生中大概有多少同学获奖？（3）在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图，求 输出S 的值．19.（本题12分,理科做，文科不做）将编号为1、2、3、4的四个小球放入甲、乙、丙三只盒子内．（1）若三只盒子都不空，且3号球必须在乙盒内有多少种不同的放法； （2）若1号球不在甲盒内，2号球不在乙盒内，有多少种不同放法。
（均须先列式再用数字作答）19.（本题12分,文科做，理科不做）某公司的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有下列对应数据：x 2 4 5 6 8 y3040605070（1）画出散点图；（2）试求出线性回归方程．（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测销售额为115万元时约需多少广告费？参考公式：回归方程为 y =bx+a ，其中b=∑∑=--=-⋅-⋅-ni in i i i xyx n xn y x 1212，a=x y b ---参考数值：2×30+4×40+5×60+6×50+8×70=1380，22+42+52+62+82=145．20.（本题12分）某校决定为本校上学时间不少于30分钟的学生提供校车接送服务．为了解学生上学所需时间，从全校600名学生中抽取50人统计上学时间（单位：分钟），现对600人随机编号为001，002，…600．抽取50位学生上学时间均不超过60分钟，将时间按如下方式分成六组，第一组上学时间在[0，10），第二组上学时间在[10，20），…第六组上学时间在[50，60]得到各组人数的频率分布直方图．如图．（1）若抽取的50个样本是用系统抽样的方法得到，且第一段的号码为006，则第五段抽取的号码是什么？（2）若从50个样本中属于第4组和第6组的所有人中随机抽取2人，设他们上学时间分别为a、b，求满足|a-b|＞10的事件的概率；（3）设学校配备的校车每辆可搭载40名学生，请根据抽样的结果估计全校应有多少辆这样的校车？21.（本题14分）某校高二年级研究性学习小组，为了分析2011年我国宏观经济形势，上网查阅了2010年和2011年2-6月我国CPI同比（即当年某月与前一年同月相比）的增长数据（见下表），但2011年4，5，6三个月的数据（分别记为x，y，z）没有查到．有的同学清楚记得2011年2，3，4，5，6五个月的CPI数据成等差数列．（1）求x，y，z的值；（2）求2011年2-6月我国CPI的数据的方差；（3）一般认为，某月CPI达到或超过3个百分点就已经通货膨胀，而达到或超过5个百分点则严重通货膨胀．现随机地从上表2010年的五个月和2011年的五个月的数据中各抽取一个数据，求相同月份2010年通货膨胀，并且2011年严重通货膨胀的概率．附表：我国2010年和2011年2～6月的CPI数据（单位：百分点．注：1个百分点=1%）年份二月三月四月五月六月2010 2.7 2.4 2.8 3.1 2.92011 4.9 5.0 x y z上饶中学高二年级第一次月考(文理零班，实验班)答参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 15 12. 1/3 13. 12614. 169，556，671，105 15. 1，2，3（2）设“取出的两只球中至少有一个白球”为事件B，则其对立事件B为“取出的两只球均为黑球”.B={（4，5），（5，4）}，共有2个基本事件．则P(B)=1-P(B)=1-2/20=9/10所以取出的两只球中至少有一个白球的概率为9/1017、（1）证明：∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，∴DC∥EB，又∵DC⊄平面ABE，EB⊂平面ABE，∴DC∥平面ABE（2）证明：∵DC⊥平面ABC，AF⊂平面ABC∴DC⊥AF，又∵AB=AC，F是BC的中点，∴AF⊥BC，又∵DC∩BC=C ，DC ⊂平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ，∴AF ⊥平面BCDE（3）解：∵DC ⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ，∴DC ∥EB ，且四边形BCDE 为直角梯形∵在△ABC 中，∠BAC=2 ，AB=AC=2，F 是BC 的中点 ∴BC=22，AF=2∵由（II ）可知AF ⊥平面BCDE∴几何体ABCDE 的体积就是以平面BCDE 为底面，AF 为高的三棱锥的体积 ∴V ABCDE =V A-BCDE =31S BCDE ×AF=31×21(1+2)×22×2=219、（理科做）解：（1）由题意知三只盒子都不空，且3号球必须在乙盒内，其余的小球有两种不同的分法，可以分成1，1，1，或者1，2，这两种情况是互斥的，当三个球在三个盒子中全排列有A 33=6种结果，当三个球分成两份，在甲和丙盒子中排列，共有C 32A 22=6种结果∴由分类计数原理知共有6+6=12种结果．（2）由题意知本题是一个分步计数问题，∵首先1号球不放在甲盒中，有2种放法，2号球不在乙盒，有2种结果，3号球有3种结果4号球有3种结果，∴根据分步计数原理知共有2×2×3×3=36种结果，答：（1）若三只盒子都不空，且3号球必须在乙盒内有12种不同的放法；（2）若1号球不在甲盒内，2号球不在乙盒内，有36种不同放法．20、解：（1）600÷50=12，第一段的号码为006，第五段抽取的数是6+（5-1）×12=54，即第五段抽取的号码是054（2）第4组人数=0.008×10×50=4，这4人分别设为A、B、C、D第6组人数=0.004×10×50=2，这2人分别设为x，y随机抽取2人的可能情况是：AB AC AD BC BD CD xy Ax Ay Bx By Cx Cy Dx Dy一共15种情况，其中他们上8学时间满足|a-b|＞10的情况有8种所以满足|a-b|＞10的事件的概率p=15（3）全校上学时间不少于30分钟的学生约有600×（0.008+0.008+0.004）×10=120人所以估计全校需要3辆校车． 21、解：（1）依题意得4.9，5.0，x ，y ，z 成等差数列，所以公差d=5.0-4.9=0.1， 故x=5.0+0.1=5.1，y=x+0.1=5.2，z=y+0.1=5.3；（2）由（1）知2011年2～6月我国CPI 的数据为：4.9，5.0，5.1，5.2，5.3 其平均数为：x=51(4.9+5.0+5.1+5.2+5.3)=5.1，其方差为：s 2=51[(4.9-5.1)2+(5.0-5.1)2+(5.1-5.1)2+(5.2-5.1)2+(5.3-5.1)2]=0.01；。