第06讲-函数的奇偶性与周期性(讲义版)

第06讲-函数的奇偶性与周期性一、考情分析1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义.二、知识梳理1.函数的奇偶性2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.[微点提醒]1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a>0).4.对称性的三个常用结论(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称.三、 经典例题考点一 判断函数的奇偶性【例1-1】(1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(2)f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2； (3)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.【解析】 (1)由⎩⎨⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3， 即函数f (x )的定义域为{－3，3}，从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0.因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.(2)由⎩⎨⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称. ∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg(1－x 2)－x. 又∵f (－x )＝lg[1－(－x )2]x ＝－lg(1－x 2)－x＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数.(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知：对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立，∴函数f (x )为奇函数.【例1-2】（2020·枣庄市第三中学高二月考）设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()()⋅f x g x 是偶函数B ．()()f x g x ⋅是奇函数C ．()()f x g x ⋅是奇函数D ．()()f x g x ⋅是奇函数【答案】C【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【详解】解：()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， ()()f x f x ∴-=-，()()g x g x -=，()()()()f x g x f x g x --=-，故函数是奇函数，故A 错误，|()|()|()|()f x g x f x g x --=为偶函数，故B 错误，()|()|()|()|f x g x f x g x --=-是奇函数，故C 正确．|()()||()()|f x g x f x g x --=为偶函数，故D 错误，故选：C ．规律方法 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立.考点二 函数的周期性及其应用【例2-1】 (1)(2020·南充一模)设f (x )是周期为4的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1＋x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝( )A.－34B.－14C.14D.34(2)(2019·山东期末)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2).若当x[－3，0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.【解析】(1)∵f (x )是周期为4的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 又0≤x ≤1时，f (x )＝x (1＋x )故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝－34. (2)∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f [(x ＋2)＋4]＝f [(x ＋2)－2]，即f (x ＋6)＝f (x )，∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)，又f (x )在R 上是偶函数，∴f (1)＝f (－1)＝6－(－1)＝6，即f (919)＝6.规律方法 1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.2.若f (x ＋a )＝－f (x )(a 是常数，且a ≠0)，则2a 为函数f (x )的一个周期.第(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程.考点三 函数性质的综合运用【例3－1】（2020·四川省泸县第四中学高三三模（理））定义运算a b ad bc c d =-，则函数()1sin 21x f x x =的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】图象题应用排除法比较简单，先根据函数()f x 为奇函数排除B 、D ；再根据函数的单调性排除选项C ，即可得到答案．【详解】 根据题意得，1()sin 2f x x x =-且函数()f x 为奇函数，排除B 、D ； (0)0f =； 当0πx <<时，1()cos 2f x x '=-， 令()03f x x ππ'>⇒<<， 令()003f x x π'<⇒<<，∴函数()f x 在(0,)π上是先递减再递增的，排除选项C ；故选：A ．【例3－2】（2020·湖北省武汉二中高二期中）已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且在(,0]-∞单调递增.设0a >，当m n a +=时，恒有()()()f m f a f n +>，则m 的取值范围是（ ） A ．(,0)a -B ．(0,)+∞C ．(,)a -+∞D ．(,0)-∞【答案】B【分析】 结合奇函数的性质(0)0f =，函数为增函数，对m 分类讨论，即可求解.【详解】因为函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且在(,0]-∞单调递增，所以(0)0f =，()y f x =在R 上为增函数，由题意得，0m ≠，否则()()()f m f a f n +>不成立，当0m >时，n a m a =-<，()()f n f a ∴<，且()0f m >，()()()f n f a f m ∴<+，即0m >时，()()()f m f a f n +>恒成立，当0m <时，n a m a =->，()()f n f a ∴>，且()0f m <，()()()f n f a f m ∴>+，故当0m <时，()()()f m f a f n +>不成立.综上所述，(0,)m ∈+∞【例3－3】（2020·湖南省雅礼中学高三月考（理））定义在实数集R 上的偶函数()f x 满足(2)2f x +=(2021)f =____________.【答案】2+【分析】(2)2f x +=⇒22(2)4(2)()4()4f x f x f x f x ⎡⎤+-+=---⎣⎦，令2()()4()g x f x f x =-，则(2)()4g x g x +=--，进一步可得函数()g x 的周期为4，(2021)(45051)(1)2g g g =⨯+==-⇒2(2021)4(2021)2f f -=-，解方程即可.【详解】因为(2)2f x +=所以(2)2f x +-=即22((2)2)4()()f x f x f x +-=-，即22(2)4(2)()4()4f x f x f x f x ⎡⎤+-+=---⎣⎦，令2()()4()g x f x f x =-，则(2)()4g x g x +=--，所以(4)(2)4()g x g x g x +=-+-=故函数()g x 的周期为4，所以(2021)(45051)(1)g g g =⨯+=，又因为()f x 是偶函数，则2()()4()g x f x f x =-为偶函数，又因为(1)(1)4g g =---，所以(1)2g =-，即2(2021)4(2021)2f f -=-，解得(2021)2f =±又(2)22f x +=≥，即(2021)2f ≥，即(2021)2f =+故答案为：2+规律方法 1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.2.本题充分利用偶函数的性质f (x )＝f (|x |)，避免了不必要的讨论，简化了解题过程.规律方法 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.[方法技巧]1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性.3.在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用.[易错防范]1.f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件.2.函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b －x )表明的是函数图象的对称性，函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b ＋x )(a ≠b )表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.四、 课时作业1．函数2()f x x =+ )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．是非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数2．关于函数()sin f x x x =+，下列说法错误的是（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是周期函数C ．()f x 有零点D ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 3．下列函数中，既是奇函数又在区间()0,∞+上单调递减的是（ ）A ．22y x =-+B ．2x y -=C ．ln y x =D ．1y x= 4．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(2)2f =-，则满足2(2)2f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）A ．[]22-,B ．[]1,3C ．[]1,1-D ．[]0,45．已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, ()21f x x x=+,则()1f -= ( ) A ．-2 B ．0 C ．1D ．2 6．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =（ ）A ．3B ．-3C ．2D ．-27．已知定义在R 上的函数()f x 满足：1(1)()f x f x +=，当(0,1]x ∈时，有()2-=x f x ，则()2log 9f 等于（ ）A ．1625B ．98C ．89D ．25168．已知函数()f x 的定义域为R 的奇函数，当[]0,1x ∈时， ()3f x x =，且x R ∀∈， ()()2f x f x =-，则()2017.5f =A ．18- B ．18 C ．0 D ．19．（多选）已知函数()2211x f x x-=+，则下列对于()f x 的性质表述正确的是（ ） A ．()f x 为偶函数B ．()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()f x 在[]2,3上的最大值为35D ．()()g x f x x =+在区间()1,0-上至少有一个零点10．（多选）已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对于任意x ∈R ，都有()()()42f x f x f +=+成立，当[)0,2x ∈时，()21x f x =-，给出下列结论，其中正确的是( )A ．()20f =B ．点()4,0是函数()y f x =的图象的一个对称中心C ．函数()y f x =在[]6,2--上单调递增D ．函数()y f x =在[]6,6-上有3个零点11．（多选）已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，对x R ∀∈都有(1)(1)f x f x -=+成立，当(0,1]x ∈且12x x ≠时，有2121()()0f x f x x x -<-.则下列说法正确的是（ ） A ．(1)0f =B ．()f x 在[]22-,上有5个零点C ．()20140=fD ．直线1x =是函数()y f x =图象的一条对称12．（多选）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x +为偶函数，若(1)2f =，则( )A ．(3)2f =-B ．(2)() f x f x +=C ．(5)2f =-D ．(4)() f x f x +=13．已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则(1)(1)f g +=___________.14．若函数()ln(f x x x =为偶函数，则a = ．15．已知奇函数()()y f x x R =∈满足：对一切x ∈R ，()()11f x f x +=-且[]0,1x ∈时，()1x f x e =-，则()2019f f =⎡⎤⎣⎦__________.16．定义在R 上的函数()f x 对任意x ∈R ，都有()()()121f x f x f x -+=+，()124f =，则()2020f =______. 17．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，满足()()11f x f x -=+．（1）证明：()()4f x f x +=；（2）若()12f =，求式子()()()()12350f f f f +++⋯+的值．18．已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =+--.（1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明；（3）求不等式()1f x >的解集.19．已知定义域为R 的函数2()2xx b f x a-=+是奇函数. （1）求a b ，的值；（2）用定义证明：()f x 在(),-∞∞上为减函数.20．已知函数24()(0,1)2x x a a f x a a a a -+=>≠+是定义在R 上的奇函数.（1）求a 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220x mf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.。