九年级数学上册 20.3 二次函数解析式的确定教案北京课改版【教案】

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北京课改版九上20.3《二次函数解析式的确定》word学案

20.3二次函数解析式的确定（1）【学习目标】会用待定系数法求二次函数的解析式重点：会求二次函数解析式难点：准确选择解析式并算对一、复习引入（我还记得）1、二次函数的一般式2、二次函数的顶点式3、待定系数法求解析式的步骤：二、自学新知（我行）例1、根据所给条件求解析式(1)抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(0，1)，(1，3)，(－1，1)三点。

(2)抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)。

(3)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过(3，0)，(2，－3)两点，并且以x ＝1为对称轴。

(4)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过一次函数y＝－3/2x＋3的图象与x轴、y轴的交点；且过(1，1)，求这个二次函数解析式，并把它化为y＝a(x －h)2＋k的形式。

分层测试（我会A层：1、已知某二次函数的图象经过点A（－1，－6），B（2，3），C（0，－5）三点，求其函数关系式。

2的图象如图1，则此函数的关系式为（）2、已知函数y ax bx c=++3、当x＝2时，函数的最大值是1，且图象与x轴两个交点之间的距离为2。

B层：4、如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(－1，0)，且经过直线y＝x－3与坐标轴的两个交点B、C。

(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标，(3)若点M在第四象限内的抛物线上，且OM⊥BC，垂足为D，求点M的坐标。

课堂小结：1、如果用一般式需确定，具备条件可求解析式。

2、如果用顶点式需确定，具备条件可求解析式。

作业：书53练习20.3二次函数解析式的确定（2）【学习目标】能结合二次函数的图象、性质来确定二次函数的解析式重点：能更具条件求二次函数的解析式难点:准确求出解析式一、复习引入（我还记得）1、二次函数的一般式，顶点坐标，最大或最小值2、二次函数的顶点式，顶点坐标，最大或最小值二、自学新知（我行）1、已知二次函数)1()23(2)1(2≠m m mx x m y -++-=的最大值是零，求此函数的解析式。

北京课改版九上20.3《二次函数解析式的确定》word教案

1、2两题先由学生完成后，对比两题的共同和区别。
3.已知二次函数的图象如图1所示，求这个二次函数的关系式。
3题提倡学生用尽可能多的方法解决。
4.已知：抛物线在x轴上所截线段为4，顶点坐标为（2，4），求这个函数的关系式三、小结：二次函数的解 Nhomakorabea式如何确定。
课后反思：这节课由学生完成，暴露学生给了对称轴，就认为顶点坐标知道了即纵坐标为0的错误。
北京课改版九上20.3《二次函数解析式的确定》word教案
北京市门头沟区军庄中学教案
授课章节
第20章
授课时间
10.25
课题
20.3二次函数解析式的确定（二）
授课类型
新课
教学
目
标
1进一步会用待定系数法和公式法求二次函数的的解析式；
2.熟练用顶点式方法求二次函数的的解析式。
教学重点
二次函数解析式的确定；
教学难点
二次函数解析式的确定；
教学方式
启发式、自主探索、合作交流
教学手段
学案、多媒体
教学过程
师生活动
备注
一、知识回顾
二次函数解析式的确定有几种方法什么时候用什么方法
二、练习
1.二次函数图象的对称轴是x= -1，与y轴交点的纵坐标是–6，且经过点（2，10），求此二次函数的关系式．
2.已知二次函数图象的对称轴是，且函数有最大值为2，图象与x轴的一个交点是（－1，0），求这个二次函数的解析式。

京改版九年级上册第20章《20.3二次函数解析式的确定》教学设计

关信息
准备。
堂一次函数解析式的确定需要几个点的坐标？
引（图像和解析式两个方面）
入用待定系数法求解析式的方法和步骤？
二次函数解析式能否用以上的方法来求解？
让学生熟练二
二次函数解析式的形式：
次函数解析式
一般式：y=ax2+bx+c (a≠0)
学生回答的几种形式。
顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0)
y
B (4,8)
A（1,5)
o（0,0）
C （6,0）x
预案一：若有部分学生通过思考得出解题思路，则教师追问学生的思维过程。教师用几何画板来验证。预案二：若学生存在困难，可以尝试小组讨论或教师引导学生从△OCB 的面积入手，先让点 D 固定再让它去动。教师用几何画板来验证。
学生小组讨论
学生练习
应用新知识解题
展示学生的解答过程并纠错。
直接给出抛物线上点的坐标我们会求二次函数的解析式，若以图表或图象形式给出呢？
例 2.已知一个二次函数中的两个变量 x、y 的
巩对应值如下表：
固 x … -2 -1 0 1 2 … 与
学生观察并让学生体会转
应 y … -12 0 4 0 -12 …
分析
化思想的应用
用求二次函数的解析式。
分析：把 x、y 的对应值转化为点的坐标。
需要几对？选择的原则？
设二次函数的？式？解：
提高学生的计算能力
学生求解
小结：当 x、y 的值以对应值或表格形式出现学生关注时需要把它们转化为点的坐标。
强化学生的认识
例 3.抛物线 y=-x2+bx+c 的图象如图所示，求

北京课改版-数学-九年级上册-教案-二次函数的应用(1)

上课日期2013.10.21 课的类型新授课授课教师贾金利课题总课时： 2 第 1 课时教学目标重点使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题。

难点进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想准备课件教师活动学生活动设计意图时间安排教学过程教一、引言在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。

本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。

二、探索问题问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。

连喷头在内，柱高为0.8m。

水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。

根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋45。

听老师讲述本节课的教学内容在练习本上试着化图像，确立直角坐标系根据解析式，观察图像，解答提出的问题用所学的二次函数知识解决实际问题让学生了解建立直角坐标系的方法培养学生建立数形结合的思想5分钟10分钟(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?问题2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m。

这时，离开水面1.5m 处，涵洞宽ED是多少?是否会超过1m?教师分析：根据已知条件，要求ED的宽，只要求出FD的长度。

在如图(3)的直角坐标系中，即只要求出D点的横坐标。

问题3：画出函数y＝x2－x－3/4的图象，根据图象回答下列问题。

(1)图象与x轴交点的坐标是什么；(2)当x取何值时，y＝0?这里x的取值与方程x2－x－34＝0有什么关系?四、课堂练习：根据问题3的图象回答下列问题。

当x取何值时，y＜0?当x取何值时，y＞0?五、小结：通过本节课的学习，你有什么收获?有什么困惑?六、作业：结合图像，针对教师的分析，以小组合作的形式完成学生回顾函数y＝ax2＋bx＋c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y＝x2－x－34的图象培养学生观察的能力培养学生合作探究的能力巩固所学的知识总结概括，能力提升10分钟10分钟5分钟板书设计问题1：解：问题3：解：课后反思学生能把实际问题转化成二次函数问题解决，并会应用图像、性质解决相关问题。

北京课改初中数学九上《20.3二次函数解析式的确定》word教案 (1)

20.3二次函数解析式的确定一．知识要点1. 若已知二次函数的图象上任意三点坐标，则用一般式y ax bx c =++2（a ≠0）求解析式。

2. 若已知二次函数图象的顶点坐标（或对称轴最值），则应用顶点式y a x h k =-+()2，其中（h ，k ）为顶点坐标。

3. 若已知二次函数图象与x 轴的两交点坐标，则应用交点式y a x x x x =--()()12，其中x x 12，为抛物线与x 轴交点的横坐标二. 重点、难点：重点：求二次函数的函数关系式难点：建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题。

三. 教学建议：求二次函数的关系式，应恰当地选用二次函数关系式的形式，选择恰当，解题简捷；选择不当，解题繁琐；解题时，应根据题目特点，灵活选用。

典型例题例1. 已知某二次函数的图象经过点A （－1，－6），B （2，3），C （0，－5）三点，求其函数关系式。

分析：设y ax bx c =++2，其图象经过点C （0，－5），可得c =-5，再由另外两点建立关于a b 、的二元一次方程组，解方程组求出a 、b 的值即可。

解：设所求二次函数的解析式为y ax bx c =++2因为图象过点C （0，－5），∴c =-5又因为图象经过点A （－1，－6），B （2，3），故可得到：a b a b a b a b a b --=-+-=⎧⎨⎩-=-+=⎧⎨⎩==⎧⎨⎩56425312412即解得： ∴所求二次函数的解析式为y x x =+-225说明：当已知二次函数的图象经过三点时，可设其关系式为y ax bx c =++2，然后确定a 、b 、c 的值即得，本题由C （0，－5）可先求出c 的值，这样由另两个点列出二元一次方程组，可使解题过程简便。

例2. 已知二次函数y ax bx c =++2的图象的顶点为（1，-92），且经过点（－2，0），求该二次函数的函数关系式。

分析：由已知顶点为（1，-92），故可设y a x =--()1922，再由点（－2，0）确定a 的值即可解：设y a x =--()1922，则 ∵图象过点（－2，0）， ∴021922=---a () ∴a y x ==--12121922，∴，() 即：y x x =--1242说明：如果题目已知二次函数图象的顶点坐标（h ，k ），一般设y a x h k =-+()2，再根据其他条件确定a 的值。

初中数学九年级《二次函数解析式的确定(复习课)》公开课教学设计

二次函数解析式的确定（复习课）知识目标：复习用待定系数法确定二次函数的解析式。

过程目标：根据题目所给条件，分析、选择适当的解析式形式，体会不同方法的优势，比较做出最优方法。

情感目标：在过程中相互讨论、合作、交流，培养参与意识、合作意识。

学情分析：学生已经具备用待定系数法确定二次函数的解析式的知识，但不够系统，不会灵活运用，进行复习帮助学生加深对知识的理解、运用教学重点：用待定系数法确定二次函数的解析式教学难点：用不同的方法解决问题教学过程：一、复习（1）二次函数解析式的三种形式①一般式: y=ax2+bx+c (a , b, c为常数，a≠0);②顶点式： y=a(x-h)2+k (a, h, k为常数，a≠0);③交点式： y=a(x-x1)(x-x2) (a, x1, x2为常数，a≠0).（2）待定系数法确定解析式的步骤①设，设立解析式②列，根据条件列出方程（组）③解，解方程（组）④还原，将求得的待定系数的值代回设立的解析式43)21(a 2+-x 二、例题讲解已知二次函数经过三点A( , )，B(-1,3),C(2,3)求二次函数的解析式。

分析：该怎样设立函数解析式？根据题目所给三个点的坐标条件，可以设函数解析式为一般式y=ax 2+bx+c(a ≠0) 解法一：设函数解析式y=ax 2+bx+c(a ≠0)， ∵图象经过三点A( , )，B(-1,3),C(2,3) ∴ 解得 a=1,b=-1,c=1 所以二次函数的解析式为y=x 2-x+1 拓展：还有其它的方法求解吗？相互讨论、合作、交流,，分析、选择适当的解析式形式,体会不同方法的优势,比较做出最优方法。

解法二：由图象过B （-1，3），C （2，3）得抛物线的对称轴为直线x= ,所以点A 是抛物线的顶点，设解析式为y= 再代入B （-1，3）或C （2，3）求出a 的值21432143213a b c -+=113424a b c ++=423a b c ++=解法三：点B（-1，3），C（2，3）向下平移3个单位得(-1,0),(2,0)，所以可以把抛物线看作是先向下平移3个单位，再向上平移3个单位设y=a(x+1)(x-2)+3,再把点A的坐标代入求出a三、练习：已知抛物线与x轴的交点坐标为A（-1,0），B(5,0),且过点C（2，9），求抛物线的解析式。

九年级上册数学北京课改版备课课件：20.3《二次函数解析式的确定》

抛物线与直线无交点；（3）若与直线L平行的直
线与抛物线只有一个交点P，求P点的坐标。
点拔：（1）y1x3x5
2
2
（2）证抛物线和直线的解析式组成的方程组无解
（3）设与L平行的直线的解析式为y=2x+n
则：此直线和抛物线的解析式组成的方程组只有一个解。即△=0
2讲、例已：知：二次函数y=ax2+bx+c有最大值，它与直
20.3二次函数解析式的求法
回味知识点：
二次函数解析式常见的三种表示形式： (1)一般式 ya2 xbxc(a0) (2)顶点式 ya(xm)2n(a0)顶点坐m,标 n)
(3)交点式 ya(xx )(xx )(a0)
1
2
条件：若抛y物 a线 x2bxc
与X轴交于两点 x ,0（ )(x ,0)
线 y=3x-1交于A（m，2）、B（n，5），且其中一个交点为该抛物线的顶点，求（1）此二次函数的解析式；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大。
分析：先求出A、B两点的坐标：A（1，2）、B（2，5）
①若A（1，2）为顶点： ②若B（2，5）为顶点：
设解析式为y=a(x-1)2+2 ∵5=a+2 ∴a=3 又∵函数有最大值, ∴a=3不合,舍去.
点拔：设一次函数的解析式为y=kx+n
则:
n 1 2k n 5
∴y=3x-1
∵抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为(b
,
4c
b2
)
24
4c b2 4
3 b 1 2
4 2b c 5
试一试：
2、已知:抛物线y=ax2+bx+c过点（-5，0）、 5

北京课改初中数学九上《20.1二次函数》word教案 (2)

20.1二次函数一、教学目标：1．知识与技能：通过对多个实际问题的分析，让学生感受二次函数作为刻画现实世界有效模型的意义；通过观察和分析，学生归纳出二次函数的概念并能够根据函数特征识别二次函数.2．数学思考：学生能对具体情境中的数学信息作出合理的解释，能用二次函数来描述和刻画现实事物间的函数关系.3．解决问题：体验数学与日常生活密切相关，让学生认识到许多问题可以用数学方法解决，体验实际问题“数学化”的过程.4．情感与态度：通过观察、归纳、猜想、验证等教学活动，给学生创造成功机会，使他们爱学、乐学、学会，同时培养学生勇于探索，积极合作精神以及公平竞争的意识.二、教学重点、难点：教学重点：认识二次函数，经历探索函数关系、归纳二次函数概念的过程.教学难点：根据函数解析式的结构特征，归纳出二次函数的概念.三、教学方法和教学手段：在确定二次函数的概念和寻求生活实例中的二次函数关系式的过程中，引导学生观察、比较、分析和概括，以小组讨论的形式，进行合作探究．在教学手段方面，选择了多媒体课件辅助教学的方式．动项目，对运动员教师展示实际问题：“第18届世界杯足球赛”是今年夏天最“热”的一个话题，绿荫场上运动员挥汗如雨，绿荫场外教练员运筹帷幄.足球运动是一项对运动员状态（包括体能、速度和技术意识）要求很高的项目，一般情况下，足球运动员的状态会随着时间的变化而变化：比赛开始后，球员慢慢进入状态，中间有一段时间球员保持较为理想的状态，随后球员的状态慢慢说出这样做的数学依二次函数概念的认识思考所列解析式的结构特②某种药品现价每盒26么，两年后这种药品每盒的价格____________________．答案：M = 26(1-p)2类比、迁移能为1+ 10a, 中函数的定义域为：的函数关系式；（提示：本题中，平均速度c = 60000.的边长是5，E是AB上的一个之间的关系可以用怎样的函数BCMFG②学有余力的学生完科幻小说《实验室的故事》中，有这样温度t/℃-7 -5 -3 -1 1 3 5 7由这些数据，科学家推测出植物的增加量L 与温度t 的函数关系，并由它推测出最适合这种植物增长的温度.你能想出科学家是怎样推测的吗？请在直角坐标系里画出这个函数的大致图象，根据图象写出你的分析.植物高度增长量L/mm12541494941251设置贴近学生生活的实际问题情境，并要求学生尝试画出二次函数的图象来解决实际问题，激发学生探究新知的欲望，为以后的教学埋下伏笔. 五、教案设计说明:1．注意联系实际，渗透用教学的意识，力求呈现“问题情景——建立数学模型——解释、应用与拓展”的过程，让“人人学有价值的数学”.教学中以实际问题主线贯穿整个教学，强调具体问题的分析、抽象，渗透数学建模思想.注重问题的实际意义，选用贴近学生生活和具有时代气息的例题、习题，激发学生的兴趣，使学生体会二次函数在现实世界中的作用.2．给学生提供探索和交流的空间，数学活动力求避免单纯的依赖模仿与记忆，而是一个生动活泼、主动和富有个性的过程.围绕本节课所学知识，设置有现实意义的、具有挑战性的开放型问题，激发学生积极思考，引导学生自主探索与合作交流，既能在探索中获取知识，又能不断丰富数学活动的经验，学会探索，学会学习，提高解决问题的能力，发展创新意识和实践能力.3．谈化概念的形式记忆，关注概念的实际背景与形成过程，采用直观导入、动手操作的方法，借助直观形象，让学生能够理解概念，并初步学会应用.4．内容设计有弹性，真正实现“不同的人在数学上得到不同的发展”.关注学生群体的差异，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，所设置的问题既能使所有学生参与，又有一定的拓展、探索余地和广阔的思维空间，使全体学生在获得必要发展的前提下，不同的学生获得不同的体验。

京改版九年级上册第19章《19.3二次函数解析式的确定》教学设计(精品)

19．3二次函数解析式的确定教学目标：1．复习巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式；2.灵活掌握已知抛物线的顶点坐标、对称轴或与x轴交点等条件求出函数的关系式的方法；3.体会“数形结合”思想.教学重点:1.熟练记住二次函数解析式的几种表达式；2.正确解含待定系数的方程或方程组.教学难点：根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式.教学方法:引导、分析、练习相结合.教学过程：一、复习引入：1.二次函数的解析式有哪几种形式？分别在哪种条件下适用？（1）一般式：y=ax2＋bx＋c(a≠0)．已知抛物线上三点的坐标，把三点坐标的值分别代入一般式，得到关于a，b，c的三元一次方程组，求出a、b、c的值，从而确定二次函数解析式．（2）顶点式：y=a(x－h)2＋k(a≠0)．已知抛物线的顶点坐标为（h，k）和抛物线上另一点坐标，将这两点坐标代入上式，求出a值，即可求出二次函数的解析式．（3）双根式（交点式）：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)， (x2，0)和抛物线上另外一点坐标，将x1、 x2及另一点坐标代入上式求出a，从而可得二次函数解析式．注意：用顶点式和双根式求得的解析式必须化为一般式2.依据下列条件求二次函数的解析式：（1）.抛物线经过三点（-1，0）、（2，-6）、（-2，10）.（2）.抛物线顶点为（1，8），并且经过（2，-6）.（3）.抛物线与x轴有两个交点（-1，0）、（3，0），并且与y交点坐标为(0,-6).二、学习新知：【例题】已知：二次函数图像经过（3，0），（2，－3），并且以x=1为对称轴，求其解析式．分析：此题可以用三种方法求解析式．（找学生口述解题思路，三生板演，集体订正）【解法一】利用一般式将两点坐标代入得两个关于a 、b 、c 的方程，再借助对称轴abx 2-=列出另一方程解出即可.（教师注意对方程组的解法指导）【解法二】已知对称轴x=1，可设顶点式，再将两点坐标代入得两个关于a 、k 的方程，解出即可. （教师注意对解题格式和方程组的解法指导）【解法三】已知对称轴x=1和与x 轴的一个交点,由对称性可知与x 轴的另一个交点,可设双根式,再将（2，－3）代入求出a 即可. 想一想:此题的条件还可以怎样叙述?（3，0）与x 轴一个交点的横坐标为3. x=1为对称轴当x=1时函数有最小值.【小结】已知二次函数的顶点坐标、对称轴或与x 轴交点，应用顶点式或双根式求解方便，用一般式求解计算量较大。

北京课改初中数学九上《二次函数》

的 a、b、c.
答案：
（1）Vt
（2） V = 1.5t 0 = 3 t ；
2
4
（3）S = V t = 3 t 2 ； 4
（4）函数 Vt V = 3 t 是一次函数，函数 S = 3 t 2 是二次函数，解析
4
4
式中的 a = 3 ，b = 0，c = 0. 4
3.[请你帮个忙]：某果园有 100 棵橘子树，每一棵树平均结 600 个
（2）写出平均速度 V 与时间 t 的函数
关系式；（提示：本题中，平均速度 V v t v0 ） 2
（3）写出滚动的距离 S（单位：米）与滚动的时间 t（单位：秒）
之间的关系式.（提示：本题中，距离 S = 平均速度 v 时间 t）
（4）请判断以上三个函数的类型，如果是二次函数，写出解析式中
法说出这样做的数学依据是什么？所有的困难都指向一个焦点问题：
y = - 0.1t2 9t 20(50 t 90) 是个什么样的函数？它具有什么
样的独特性质？
因此，学生产生了研究函数 y = - 0.1t2 9t 20(50 t 90) 的兴
趣，教师趁势提出今天的学习内容. 2、讲解新课，提炼知识.
来表示？
答案：
④ 矩形 DMFG 的面积 y 与 BE 的长 x 之间的关系可以用怎样的函数
来表示？
答案：
⑤ 其它类型：六边形 ABCMFG 的周长 y 与 BE 的长 x 之间的函数关
系；矩形 AEGF 的周长 y 与 BE 的长 x 之间的函数关系；……
4、展示交流，总结新知.
（1）学生自己总结，并在班上交流
由这些数据，科学家推测出植物的增加量 L 与温度 t 的函数关系，的欲望，为以后的教学埋下伏

北京课改初中数学九年级上册《20.4二次函数的性质》精品教案 (3)

二次函数的性质课时：第一课时课型：新课单位：任课教师：教学目标知识与技能：使学生掌握二次函数的函数值随自变量变化而变化的规律；使学生了解二次函数的最大值和最小值的意义，掌握判定二次函数最大值和最小值的方法，并能求出最大值和最小值；进一步培养学生对图象的观察能力，从特殊到一般的归纳、总结能力，使用数学语言的表达能力.过程与方法：让学生经历从特殊到一般地探索二次函数的函数值随自变量变化而变化过程，体会数形结合的方法，分类讨论的方法.情感与态度：培养学生的探索精神，增强自主学习的信心，享受成功的乐趣. 重点二次函数的函数值随自变量变化而变化的规律；函数的最大值和最小值难点由特殊二次函数归纳、总结出一般二次函数的性质教学方法引导探索、指导练习教学手段直观演示、多煤体教学环节教师活动学生活动设计意图复习引入探索新知1、观察函数y= x+1,y= -x+1的图象，函数有最大（小）值吗？y 随自变量x 的增大怎样变化？2、一次函数的一般式是什么？ y 随自变量x 的增大而变化的规律是什么？此时图象的变化趋势有什么特点？一、二次函数y=ax 2+bx+c （a>0）的性质：1、引导观察二次函数y= x 2的图像：（1）对称轴和顶点坐标是什么？（2）顶点处函数值与其他点的函数值比较，有什么特点？（3）当x 的值从小变大时，y 值也总是从小变大吗？（4）当x 的值在什么范围内变化时，y 值随x 的增大而增大？此时图象的变化趋势有什么特点？观察图象， y=kx+b(k ≠0)k>0时，y 随自变量x 的增大而增大；左低右高。

k<0时，y 随自变量x 的增大而减小；左高右低。

做一做： 1、观察图象（图象课前做好）2、用数学语言表达当x=0时，y 有最小值0；当x>0时，y 值随x 的增大而增大；左低右高。

渗透由特殊到一般,再由一般到特殊的认识规律，数形结合思想，运用数学语言的表达能力类比，由特殊到一般,再由一般到特殊地认识函数的性质培养学生观察图象能力，表达能力教学环节教师活动学生活动设计意图（5）当x 的值在什么范围内变化时，y 随x 的增大而减小？此时图象的变化趋势有什么特点？ 2、引导观察函数y=31 (x-3)2-4图象：当x<0时，y 随x 的增大而减小；左高右低。

2022年北京课改版数学九年级上《二次函数的一些应用》公开课教案2

本教案, 是在“双减〞正在如火如萘进行以及推行学科核心素养的大背景下, 进行的一项有效的课程改革尝试, 在教育部根底教育司组织下, 全国数千名教师进行了有益的尝试, 并经过专家近三年来的论证, 形成近两万字的总结报告和一批教案、学案资源, 指导和借鉴意义非常强, 今天推荐给大家, 可以提高课堂效率, 有效将学科核心素养与日常教学进行融合, 继而提高教师的教学效率.二次函数的一些应用教学目标：利用数形结合的数学思想分析问题解决问题.利用已有二次函数的知识经验, 自主进行探究和合作学习, 解决情境中的数学问题, 初步形成数学建模能力, 解决一些简单的实际问题.在探索中体验数学来源于生活并运用于生活, 感悟二次函数中数形结合的美, 激发学生学习数学的兴趣, 通过合作学习获得成功, 树立自信心. 教学重点和难点：运用数形结合的思想方法进行解二次函数, 这是重点也是难点. 教学过程：〔一〕引入：分组复习旧知.探索：从二次函数y=x2+4x+3在直角坐标系中的图象中, 你能得到哪些信息？可引导学生从几个方面进行讨论：〔1〕如何画图〔2〕顶点、图象与坐标轴的交点〔3〕所形成的三角形以及四边形的面积〔4〕对称轴从上面的问题导入今天的课题——二次函数中的图象与性质. 〔二〕新授：1、再探索：二次函数y=x2+4x+3图象上找一点, 使形成的图形面积与图形面积有数量关系. 例如：抛物线y=x2+4x+3的顶点为点A, 且与x 轴交于点B 、C ；在抛物线上求一点E 使S ∆BCE=21S ∆ABC.再探索：在抛物线y=x2+4x+3上找一点F, 使∆BCE 与∆BCD 全等. 再探索：在抛物线y=x2+4x+3上找一点M, 使∆BOM 与∆ABC 相似. 2、让同学讨论：从条件如何求二次函数的解析式.例如：一抛物线的顶点坐标是C(2,1)且与x 轴交于点A 、点B,S ∆ABC=3, 求抛物线的解析式.〔三〕提高练习根据我们学校人人皆知的船模特色工程设计了这样一个情境：让班级中的上科院小院士来简要介绍学校船模组的情况以及在绘制船模图纸时也常用到抛物线的知识的情况, 再出题：船身的龙骨是近似抛物线型, 船身的最大长度为48cm, 且高度为12cm. 求此船龙骨的抛物线的解析式.让学生在练习中体会二次函数的图象与性质在解题中的作用. 〔四〕让学生讨论小结〔略〕〔五〕作业布置1、在直角坐标平面内, 点O 为坐标原点, 二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4)的图象交x 轴于点A(x1,0)、B(x2,0)且(x1+1)(x2+1)=-8.(1)求二次函数的解析式；(2)将上述二次函数图象沿x 轴向右平移2个单位, 设平移后的图象与y 轴的交点为C, 顶点为P, 求∆ POC 的面积.2、如图, 一个二次函数的图象与直线y=21x-1的交点A 、B 分别在x 、y 轴上, 点C在二次函数图象上, 且CB ⊥AB, CB=AB, 求这个二次函数的解析式.3、卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一局部, 在大桥截面1:11000的比例图上, 跨度AB=5cm, 拱高OC=, 线段DE 表示大桥拱内桥长, DE ∥AB, 如图1, 在比例图上, 以直线AB 为x 轴, 抛物线的对称轴为y 轴, 以1cm 作为数轴的单位长度, 建立平面直角坐标系, 如图2.〔1〕求出图2上以这一局部抛物线为图象的函数解析式, 写出函数定义域；〔2〕如果DE 与AB 的距离OM=, 求卢浦大桥拱内实际桥长〔备用数据：4.1≈2, 计算结果精确到1米〕学科数学班级初二任课教师课题11.2分式的根本性质〔二〕课型新授日期学习目标： 1、通过类比分数的变号法那么和分数的约分, 学习分式的变号法那么及分式的约分 2、能说出约分和最简分式的意义能运用分式的根本性质和符号法那么对分式进行变形和约分学习重点运用分式的根本性质和符号法那么对分式进行变形和约分图2图1Bx Oy CA 第二题第三题教学过程例２．用分式表示以下各式的商, 并约分〔1〕4a2b÷〔6ab2〕〔2〕-4m3n2÷2〔m3n4〕〔3〕2xy〔x-y〕2÷4x2 (y-x)〔4〕 ( a2 -2a+1)÷〔2-2a2〕板演展示学生的解题过程, 评价方式以学生为主, 尤其做错的, 应该让学生知道错在哪里, 及时改正.三、小结：学生总结约分的步骤1.把分式的分子、分母按某一字母降幂排列, 且使最高此项系数为正；2.分式的分子、分母分别因式分解；3.分式的分子、分母都除以它们的公因式.〔注意：分式约分后的结果不一定是分式〕独立完成学生口答。

九年级数学上：20.4 二次函数的性质教案北京课改版

k<0时，y随自变量x的增大而减小；左高右低。
做一做：
1、观察图象
（图象课前做好）
2、用数学语言表达
当x=0时，y有最小值0；
当x>0时，y值随x的增大而增大；左低右高。
渗透由特殊到一般,再由一般到特殊的认识规律，数形结合思想，运用数学语言的表达能力
类比，由特殊到一般,再由一般到特殊地认识函数的性质
学生活动
设计意图
巩固练习
∴对称轴
x=
顶点坐标（1，3）
∵a= <0, ∴开口向下，
∴当x= 1时，函数有最大值3；
当x>1时，y值随x的增大而减小；当x<1时，y随x的增大而增大.
1、填空：
（1）、若抛物线y=Kx2的开口向上，则____;当x<0时，y随x的增大而_____，当x≥0时，y随x的增大而_________.
2.写出一个二次函数，使它满足
条件：当x≥5时，y随x的增大而增大；当x<5时，y随x 的增大而减小.
计算
反思总结：二次函数性质的决定因素：
对称轴、顶点坐标
开口方向
图象的变化趋势
培养学生反思总结的习惯.
巩固对二次函数的性质的理解
利用二次函数的性质写解析式
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
课堂小结
通过本节课的学习你有那些收获？
三、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质：
（1）a>0
当x= 时，
若 x< ,则y随x的增大而减小；若x≥ ,则 y随x的增大而增大.
（2）a<0
当时，
；
若 x< ,则y随x的增大而增大；若x≥ ,y随x的增大而减小.

2020-2021学年最新北京课改版九年级数学上册《二次函数》1教学设计-优质课教案

方法：
（1）对于第一个问题可以用多种方法解答，比如：
求差法：四边形EFGH 的面积=正方形ABCD 的面积-直角三角形AEH 的面积DE4倍。

直接法：先证明四边形EFGH 是正方形，再由勾股定理求出EH 2（2）对于第（2）小题，在求解并列表表示后，重点让学生看清x 与y 之间数值的对应关系和内在的规律性：随着x 的取值的增大，y 的值先减后增；y 的值具有对称性。

练习：
用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的一边为x,矩形的面积为y,求：
(1)写出y 关于x 的函数关系式.
(2)当x=3时,矩形的面积为多少?
a 4ac 4b
2
四归纳小结，反思提高本节课你有什么收获？
五、布置作业：课本P45页练习1、2 六、板书设计 20.1 二次函数（1）。

北京课改初中数学九上《20.4二次函数的性质》word教案 (4)

20.4二次函数的性质教学目标：1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质.2.了解二次函数与二次方程的相互关系.3.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性教学重点：二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法. 教学难点：二次函数的性质的应用. 教学过程：一、复习引入二次函数: y=ax2 +bx + c (a ≠ 0)的图象是一条抛物线,它的开口由什么决定呢? 补充: 当a 的绝对值相等时,其形状完全相同,当a 的绝对值越大,则开口越小,反之成立.二、新课教学:1.探索填空: 根据下边已画好抛物线y= -2x 2的顶点坐标是 , 对称轴是，在侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大；在侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减小. 当x= 时，函数y 最大值是____. 当x____0时,y<0.2. 探索填空:：据上边已画好的函数图象填空：抛物线y= 2x 2的顶点坐标是 , 对称轴是，在侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减少；在侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大. 当x= 时，函数y 最小值是____. 当x____0时,y>03.归纳: 二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象和性质 (1).顶点坐标与对称轴 (2).位置与开口方向 (3).增减性与最值当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大；当时，函数y 有最小值。

当a ﹤0时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小。

当时，函数y 有最大值 0 y= -2x 20 y= 2x 2 yxa 2b x -=a 2b x -=a 4ac 4b2-a4ac 4b2-4.探索二次函数与一元二次方程二次函数y=x 2+2x,y=x 2-2x+1,y=x 2-2x+2的图象如图所示.(1).每个图象与x 轴有几个交点？(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?(3).二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?归纳: (3).二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 轴交点有三种情况: ①有两个交点, ②有一个交点, ③没有交点.当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和x 轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值,即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.当b 2-4a c ﹥0时，抛物线与x 轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0=ax 2+bx+c的两个根x 1与 x 2；当b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点；当b 2-4ac ﹤0时，抛物线与x 轴没有交点。

北京课改版-数学-九年级上册-教案-二次函数7

授课日期2013.10.17 课型新授课授课教师贾金利教学课题总课时：1 第 1 课时教学目标教学重点利用待定系数法和公式法求解析式教学难点根据已知条件求解析式教学方法讲练结合教学准备课件教学过程教师活动设计学生活动设计设计意图时间安排思考：1、二次函数的一般式：顶点式：2、什么是待定系数法？例1、根据下列条件，确定二次函数解析式（1）二次函数y=-1/2x2+bx+c的图像经过（2,8）和（4,10）两点；（2）二次函数的图像的顶点坐标是（3，-4），和y（0,2）轴的交点是（0,2）分析：（1）未知数是b、c,利用待定系数法列二元一次方程组求解（2）设一般式利用顶点坐标公式列二元二次方程组解决；可以利用顶点式吗？例2、已知抛物线经过点A（-1，0），B（0,-3）,C（3，0）三点，求函数解析式。

课堂练习：1．已知抛物线y＝ax2经过点A(1，1)．(1)求这个函数的解析式；2.已知二次函数y=ax2＋bx＋c，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a、b、c，并写出函数解析式．小结：本节课我们复习巩固了如何确定二次函数解析式？方法和步骤又是什么？学生回答学生思考解题方法学生列方程组解答小组评析思考还有其它方法吗？学生解答解答巩固二次函数的两种形式理解什么是待定系数法掌握用待定系数法和公式法来确定二次函数的解析式熟悉三元一次方程组的解法巩固待定系数法求解析式3分钟20分钟5分钟10分钟5分钟板书设计二次函数解析式的确定例1、根据下列条件，确定二次函数解析式（1）二次函数y=-1/2x2+bx+c的图像经过（2,8）和（4,10）两点；（2）二次函数的图像的顶点坐标是（3，-4），和y（0,2）轴的交点是（0,2）例2、已知抛物线经过点A（-1，0），B（0,-3）, C（3，0）三点，求函数解析式。

课后反思学生能根据所给条件判断如何设解析式，并会代入点坐标求字母的值。

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20.3二次函数解析式的确定
一．知识要点
1. a≠0）求解析式。

2.
其中（h，k）为顶点坐标。

3. 若已知二次函数图象与x
x轴交点的横坐标
二. 重点、难点：
重点：求二次函数的函数关系式
难点：建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题。

三. 教学建议：
求二次函数的关系式，应恰当地选用二次函数关系式的形式，选择恰当，解题简捷；选择不当，解题繁琐；解题时，应根据题目特点，灵活选用。

典型例题
例1. 已知某二次函数的图象经过点A（－1，－6），B（2，3），C（0，－5）三点，求其函数关系式。

分析：C（0，－5
a、b的值即可。

解：
因为图象过点C（0，－5
又因为图象经过点A（－1，－6），B（2，3），故可得到：
说明：
确定a、b、c的值即得，本题由C（0，－5）可先求出c的值，这样由另两个点列出二元一
例2. 1
过点
（－2，0
分析：由已知顶点为（1
2，0）确定
∵图象过点（－2，0），
说明：
再根据其他条件确定a的值。

本题虽然已知条件中已设
这种形式而另设
求a、b、c这种形式中，在顶点已知的条件下，只需确定一个字母a
例3. 2，图象与x轴的一个交点是（－1，0），求这个二次函数的解析式。

分析：
解：
0），
说明：在题设的条件中，若涉及顶点坐标，或对称轴，或函数的最大（最小值），可设顶点式为解析式。

例4. 1所示，则这个二次函数的关系式是__________________。

图1
分析：可根据题中图中的信息转化为一般式（或顶点式）（或交点式）。

方法一：0，0），（2，0），（1，－1）三点
1）
方法三：x轴交于点（0，0），（2，0）
∵图象过（1，－1）
说明：依题意后两种方法比较简便。

例5. 已知：抛物线在x轴上所截线段为4，顶点坐标为（2，4），求这个函数的关系式
分析：x轴的两个交点为（x1，0），（x2，
解：∵顶点坐标为（2，4）
∴对称轴是直线x＝2
∵抛物线与x轴两交点之间距离为4
∴两交点坐标为（0，
例6.
分析：
解：
例7.
过点A（1，1），B（2，4），求其函数关系式。

分析：设所求抛物线的函数关系式则由于它是抛物线
解本题。

解：设所求抛物线的函数关系式为a＝2，又它经过点A（1，1
说明：
例8. 如图2P，它的横
坐标为－2
图2
（1）求证：△PAB是直角三角形。

（2）求过P、A、B
分析：（1
P作PC⊥x轴
（2）中已知P、A、B三点的坐标，且根据点的位置可用三种不同的方法求出抛物线的解析式
解：（1）过P作PC⊥x轴于点C，
8
PC＝4
∴P
故△APB是直角三角形
P、A、B三点的抛物线的解析式为：
解法2A（－4，0），B（6，0），
P（－2，－4）可求a值
解法3：由A（－4，0），
A、B点的坐标代入解析式可求a，k的值
例9. 如图3所示，是某市一条高速公路上的隧道口，在平面直角坐标系上的示意图，点A和A1，点B和B1分别关于y轴对称，隧道拱部分BCB1为一段抛物线，最高点C离路面AA1的距离为8米，点B离地面AA1AA1为16米
图3
（1）求隧道拱抛物线BCB1的函数表达式；
（2）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与路面的距离均为7米，问它能否安全通过这个隧道？请说明理由。

分析：（1）由已知可得顶点C的坐标为（0，8），B点坐标为（－8，6），从而可求其函数关系式。

（2）假设汽车从正中行驶，则其最右边到y轴的距离是2，于是求出抛物线上横坐标为2的点的坐标，再看它到地面AA1的距离是否大于7米，由此可判断运货汽车能否安全通过隧道。

解：（1）如图所示，由已知得OA＝OA1＝8，OC＝8，
故C点坐标（0，8），B点坐标为（－8，6）
设隧道拱抛物线BCB1的函数表达式为
∴隧道拱抛物线BCB1
（2）设货运汽车从正中行驶，则其最右边正上方抛物线上的点的横坐标为2，设这个点为D
∴该运货汽车能安全通过这个隧道。

说明：要求抛物线的函数关系式，关键是确定其上的点的坐标，再选用适当的形式求其关系式。

本题第（2）小题中，还可以求出抛物线上纵坐标为7的点的坐标（有两个），再比较这两点间的水平距离是否大于4。

例10. 有这样一个问题：
已知：A（0，a），B（1，2）
求证：题目中的矩形框部分是一段被墨水覆盖而无法辨认的文字。

（1）根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的关系式？若能，写出求解过程，若不能，说明理由。

（2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填加一个适当的条件，把原题补充完整。

分析：仅由A、B两点无法求其关系式，但如果把待证的结论也看成已知条件，则可求出其关系式
解：（1）能
1，2）
，故其图象
，顶点坐标是（
即可。

例11. 已知四点A（1，2），B（0，6），C（－2，20），D（－1，12），试问是否存在一个二次函数，使它的图象同时经过这四个点？如果存在，请求出它的关系式；如果不存在，说明理由。

分析：先求出经过A、B、C的抛物线的关系式，再验证点D是否在所求抛物线上，若在，则存在这样的二次函数；若不在，则不存在这样的二次函数。

解：设图象经过A、B、C
则由图象经过点B（0，6），可得c＝6
A（1，2），C（－2，20）
三点的二次函数为
说明：探索同时经过四点的抛物线的问题，可先求出经过其中三个点的抛物线的关系式，再判断第四个点是否在所求抛物线上。