【真题】2017-2018年福建省厦门市高三(上)期末数学试卷(理科)与答案

2017-2018学年福建省厦门市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x（x+1）＞0}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．{x|x＞0}B．{x|x≥1}C．{x|0＜x≤1}D．R∈R，x3﹣x+1≤0”的否定是（）2．（5分）命题“∃xA．∃x∈R，x3﹣x+1＜0∈R，x3﹣x+1≥0B．∃xC．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0D．∀x∈R，x3﹣x2+10≤03．（5分）实数x，y满足x＞y＞0，则（）A．B．﹣＜C．（）x＞（）y D．x2＜xy4．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，m⊥β，则m∥αB．若m∥α，n⊥m，则n⊥αC．若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥βD．若m∥β，m⊂α，α∩β=n，则m∥n5．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值等于（）A．﹣7B．﹣C．2D．36．（5分）如图所示，函数y=tan（2x+）的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积等于（）A．B．C．πD．2π7．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，对角线相交于点O，P是线段BC上一点，则的最小值为（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．28．（5分）函数f（x）=（x∈[﹣2，2]）的大致图象是（）A．B．C．D．9．（5分）△ABC中，，A，B是双曲线E的左、右焦点，点C在E上，若（+）•=0，则E的离心率为（）A．﹣1B．C．D．10．（5分）习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．如图是求大衍数列前n项和的程序框图．执行该程序框图，输入m=10，则输出的S=（）A．100B．140C．190D．25011．（5分）若锐角φ满足sinφ﹣cosφ=，则函数f（x）=sin2（x+φ）的单调增区间为（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）C．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）12．（5分）已知函数f（x）=若f（a）≥f（a+），则a 的取值范围是（）A．（0，]∪[2，）B．（0，]∪[，）C．（0，]D．（0，）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）复数z满足（1﹣i）z=2i，则|z|=．14．（5分）设等比数列{a n}满足a1=1，a3+a5=6，则a5+a7+a9=．15．（5分）直线y=k（x﹣1）与抛物线y2=4x交于A，B两点，若|AB|=，则k=．16．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）如图，单位圆O与x，y轴正半轴的交点分别为A，D，圆O上的点C在第一象限．（1）若点C的坐标为（，），延长CD至点B，使得DB=2，求OB的长；（2）圆O上的点E在第二象限，若∠EOC=，求四边形OCDE面积的最大值．18．（12分）如图，直角梯形BDFE中，EF∥BD，BE⊥BD，EF=2，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD，AB=2CD=4，且平面BDFE⊥平面ABCD．（1）求证：AC⊥平面BDFE；（2）若BF与平面ABCD所成角为，求二面角B﹣DF﹣C的余弦值．19．（12分）数列{a n}满足++…+=．（1）若数列{a n}为公差大于0的等差数列，求{a n}的通项公式；（2）若b n=（﹣1）n a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和S2n．20．（12分）已知点F1（﹣，0），圆F2：（x﹣）2+y2=16，点M是圆上一动点，MF1的垂直平分线与MF2交于点N．（1）求点N的轨迹方程；（2）设点N的轨迹为曲线E，过点P（0，1）且斜率不为0的直线l与E交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为B′，证明直线AB′过定点，并求△PAB′面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（1）若a≥0，函数f（x）的极大值为，求实数a的值；（2）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B为C上两点，且OA⊥OB，设射线OA：θ=α，其中0＜α＜．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求|OA|•|OB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f（x）=|x﹣1|+|2x+a|．（1）当a=1时，求证：f（x）+|x﹣1|≥3；（2）若f（x）的最小值为2，求实数a的值．2017-2018学年福建省厦门市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x（x+1）＞0}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．{x|x＞0}B．{x|x≥1}C．{x|0＜x≤1}D．R【解答】解：集合A={x|x（x+1）＞0}={x|x＜﹣1或x＞0}，B={x|y=}={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，则A∩B={x|x≥1}．故选：B．2．（5分）命题“∃x∈R，x3﹣x+1≤0”的否定是（）∈R，x3﹣x+1＜0A．∃xB．∃x∈R，x3﹣x+1≥0C．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0D．∀x∈R，x3﹣x2+10≤0【解答】解：特称命题的否定为全称命题，可得∈R，x3﹣x+1≤0”的否定是命题“∃x“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”，故选：C．3．（5分）实数x，y满足x＞y＞0，则（）A．B．﹣＜C．（）x＞（）y D．x2＜xy【解答】解：实数x，y满足x＞y＞0，则＜，A错；﹣==＞0，由x+y﹣2﹣（x﹣y）=2y﹣2=2（﹣）＜0，则﹣＜，则B正确；y=（）x在R上递减，可得（）x＜（）y，C错；由x＞y＞0，可得x2＞xy，则D错．故选：B．4．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，m⊥β，则m∥αB．若m∥α，n⊥m，则n⊥αC．若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥βD．若m∥β，m⊂α，α∩β=n，则m∥n【解答】解：若α⊥β，m⊥β，则m与α可能平行也可能相交，故A错误；若m∥α，n⊥m，则n⊂α或n∥α或n与α相交，故B错误；若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β或α与β相交，故C错误；若m∥β，m⊂α，α∩β=n，则m∥n，故D正确．故选：D．5．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值等于（）A．﹣7B．﹣C．2D．3【解答】解：作出实数x，y满足对应的平面区域，如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A（1，0）时，直线y=﹣2x+z的截距最大．此时z最大，此时z的最大值为z=2×1=2，故选：C．6．（5分）如图所示，函数y=tan（2x+）的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积等于（）A．B．C．πD．2π【解答】解：函数y=tan（2x+），令x=0，得y=tan=×=1，∴OD=1；EF=T==，∴△DEF的面积为S△DEF=××1=．故选：A．7．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，对角线相交于点O，P是线段BC上一点，则的最小值为（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．2【解答】解：以A为原点建立坐标系，则O（1，1），B（2，0），C（2，2），设P（2，x），则=（1，x﹣1），=（0，x﹣2），且0≤x≤2．∴=（x﹣1）（x﹣2）=x2﹣3x+2=（x﹣）2﹣，∴当x=时，取得最小值为﹣．故选：C．8．（5分）函数f（x）=（x∈[﹣2，2]）的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=（x∈[﹣2，2]）满足f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，排除D，x=1时，f（1）=＞0，对应点在第一象限，x=2时，f（2）=＜0，对应点在第四象限；所以排除B，A故选：C．9．（5分）△ABC中，，A，B是双曲线E的左、右焦点，点C在E上，若（+）•=0，则E的离心率为（）A．﹣1B．C．D．【解答】解：∵（+）•=0，又=，∴===0，则，即BA=BC，则△ABC是一个角为的等腰三角形，由题意得：C点在双曲线的右支上，∴AB=BC=2c，AC=2c，又AC﹣BC=2a，即2c﹣2c=2a，解得离心率e==．故选：D．10．（5分）习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．如图是求大衍数列前n项和的程序框图．执行该程序框图，输入m=10，则输出的S=（）A．100B．140C．190D．250【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，S=0，m=10满足条件n是奇数，a=0，S=0不满足条件n≥m，n=2，不满足条件n是奇数，a=2，S=2不满足条件n≥m，n=3，满足条件n是奇数，a=4，S=6不满足条件n≥m，n=4，不满足条件n是奇数，a=8，S=14不满足条件n≥m，n=5，满足条件n是奇数，a=12，S=26不满足条件n≥m，n=6，满足条件n是奇数，a=18，S=44不满足条件n≥m，n=7，满足条件n是奇数，a=24，S=68不满足条件n≥m，n=8，不满足条件n是奇数，a=32，S=100不满足条件n≥m，n=9，满足条件n是奇数，a=40，S=140不满足条件n≥m，n=10，不满足条件n是奇数，a=50，S=190满足条件n≥m，退出循环，输出S的值为190．故选：C．11．（5分）若锐角φ满足sinφ﹣cosφ=，则函数f（x）=sin2（x+φ）的单调增区间为（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）C．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）【解答】解：锐角φ满足sinφ﹣cosφ=，∴1﹣2sinφcosφ=，∴sin2φ=；又sinφ＞，∴2φ=，解得φ=；∴函数f（x）=sin2（x+φ）==﹣cos（2x+），∴2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z；解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=若f（a）≥f（a+），则a 的取值范围是（）A．（0，]∪[2，）B．（0，]∪[，）C．（0，]D．（0，）【解答】解：由于a＜a+，若0＜a＜a+≤1，可得﹣log2a≥﹣log2（a+），解得0＜a≤；当1＜a＜a+≤2时，f（x）递增，不成立；由0＜a＜1＜a+＜2，可得﹣log2a≥log2（a+），可得＜a＜，且≤a≤，可得0＜a≤；由1＜a＜a+≤2，可得f（a）＜f（a+），此时a无解；由1＜a＜2＜a+＜4，即有＜a＜，由题意可得log2a≥log2（4﹣a﹣），a≥﹣a．解得a≥，可得≤a＜；由2＜a＜a+＜4，可得2＜a＜．综上可得，a的范围是（0，]∪[，）．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）复数z满足（1﹣i）z=2i，则|z|=．【解答】解：由（1﹣i）z=2i，得z=，∴|z|=．故答案为：．14．（5分）设等比数列{a n}满足a1=1，a3+a5=6，则a5+a7+a9=28．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，依题意得：q2+q4=6，解得q2=2或q2=﹣3（舍去），∴a5+a7+a9=a1（q4+q6+q8）=1×（22+23+24）=28．故答案是：28．15．（5分）直线y=k（x﹣1）与抛物线y2=4x交于A，B两点，若|AB|=，则k=．【解答】解：直线y=k（x﹣1）与抛物线y2=4x交于A，B两点，直线经过抛物线的焦点坐标，设A（x1，y1），B（x2，y2），由可得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，x1+x2=，直线y=k（x﹣1）与抛物线y2=4x交于A，B两点，若|AB|=，可得：|AB|=x1+x2+p=，即+2=，可得k2=3，解得k=．故答案为：．16．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为直角三角形，面PAC为等边三角形，且面PAC⊥底面ABC，取BC中点G，则G为三角形ABC的外心，过G作平面ABC的垂线，取等边三角形PAC的外心为H，过H作平面PAC的垂线，则两垂线交于点O，O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，OG==，GC==，∴OC=，∴三棱锥外接球表面积为4π×=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）如图，单位圆O与x，y轴正半轴的交点分别为A，D，圆O上的点C在第一象限．（1）若点C的坐标为（，），延长CD至点B，使得DB=2，求OB的长；（2）圆O上的点E在第二象限，若∠EOC=，求四边形OCDE面积的最大值．【解答】解：（1）由点C（，）可知∠AOC=30°，∠COD=60°．∴△OCD是等边三角形，∴CD=OC=1，∴BC=3，在△OBC中，由余弦定理可得OB2=1+9﹣2×1×3×cos60°=7，∴OB=．（2）设∠COD=θ，则∠DOE=﹣θ，∵C在第一象限，E在第二象限，故0＜﹣θ＜，∴＜θ＜．=sinθ，S△DOE=（﹣θ，∴S△COD∴四边形OCDE的面积为S=sinθ+sin（﹣θ）=sinθ+cosθ=sin （θ+）．∵，∴当θ=时，四边形OCDE的面积取得最大值为．18．（12分）如图，直角梯形BDFE中，EF∥BD，BE⊥BD，EF=2，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD，AB=2CD=4，且平面BDFE⊥平面ABCD．（1）求证：AC⊥平面BDFE；（2）若BF与平面ABCD所成角为，求二面角B﹣DF﹣C的余弦值．（1）∵平面BDFE⊥平面ABCD，BE⊥BD，平面BDFE∩平面ABCD=BD，【解答】证明：∴BE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BE，又∵AC⊥BD，且BE∩BD=B，∴AC⊥平面BDFE．解：（2）设AC∩BD=O，∵四边形ABCD为等腰梯形，，AB=2CD=4，∴OD=OC=，OB=OA=2，∵FE OB，∴四边形BOFE为平行四边形，∴OF∥BE，又∵BE⊥平面ABCD，∴OF⊥平面ABCD，∴∠FBO为BF与平面ABCD所成的角，∴，又∵，∴OF=OB=2，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，2，0），D（0，﹣，0），F（0，0，2），C（﹣，0，0），A （2，0，0），=（0，），=（，0），∵AC⊥平面BDFE，∴平面BDF的法向量为=（1，0，0），设平面DFC的一个法向量为=（x，y，z），由，令x=2，得=（2，2，﹣1），cos＜＞===．∴二面角B﹣DF﹣C的余弦值为．19．（12分）数列{a n}满足++…+=．（1）若数列{a n}为公差大于0的等差数列，求{a n}的通项公式；（2）若b n=（﹣1）n a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和S2n．【解答】解：（1）由已知：++…+=．当n=1时，=①，即a1a2=2．当n=2时，+=，②②﹣①，=；即a2a3=6，设等差数列{a n}为d，由a1a2=2，a2a3=6，有a1（a1+d）=2，（a1+d）（a1+2d）=6，∵d＞0，解得a1=1=d，则a n=1+n﹣1=n．（2）由已知：++…+=．③当n≥2时，++…+=．④③﹣④得：当n≥2时，=，即a n a n+1=n（n+1），结合a1a2=2，得：a n a n+1=n（n+1），b n=（﹣1）n a n a n+1=（﹣1）n n（n+1）．∴b2n+b2n=﹣（2n﹣1）•2n+2n•（2n+1）=4n．﹣1数列{b n}的前2n项和S2n=4×（1+2+…+n）==2n2+2n．20．（12分）已知点F1（﹣，0），圆F2：（x﹣）2+y2=16，点M是圆上一动点，MF1的垂直平分线与MF2交于点N．（1）求点N的轨迹方程；（2）设点N的轨迹为曲线E，过点P（0，1）且斜率不为0的直线l与E交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为B′，证明直线AB′过定点，并求△PAB′面积的最大值．【解答】解：（1）由已知得：|NF1|=|NM|，∴|NF1|+|NF2|=|MN|+|NF2|=|4，又|F1F2|=2，∴点N的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长等于4的椭圆，∴2a=4，2c=2，即a=2，c=，∴b2=a2﹣c2=4﹣2=2，∴点N的轨迹方程是+=1．证明：（2）设直线AB：y=kx+1，（k≠0），设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则B′（﹣x2，y2），联立直线AB与椭圆得，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，显然△=8（1+4k2）＞0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣∴k AB′=，∴直线AB′：y﹣y1=（x﹣x1），∴令x=0，得y===+1=2，∴直线AB′过定点Q（0，2），∴△PAB′的面积S=|x1+x2|==≤，当且仅当k=±时，等号成立．∴△PAB′的面积的最大值是．21．（12分）已知函数f（x）=（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（1）若a≥0，函数f（x）的极大值为，求实数a的值；（2）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）由题意，f'（x）=（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x=﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a﹣1]=﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．．（ⅰ）当a=0时，f'（x）=﹣e﹣x（x﹣1），令f'（x）＞0，得x＜1；f'（x）＜，得x＞1，所以f（x）在（﹣∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减．所以f（x）的极大值为f（1）=，不合题意．（ⅱ）当a＞0时，1﹣＜1，令f'（x）＞0，得1﹣＜x＜1；f'（x）＜0，得x＜1﹣或x＞1，所以f（x）在（1﹣，1）单调递增，（﹣∞，1﹣），（1，+∞）单调递减．所以f（x）的极大值为f（1）==，得a=1．综上所述a=1．（2）令g（a）=e﹣x（x2+x）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0），当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+x）≥0，则g（a）≤bln（x+1）对∀a∈（﹣∞，0]恒成立等价于g（a）≤g（0）≤bln（x+1），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立．（ⅰ）当b≤0时，∀x∈（0，+∞），bln（x+1）＜0，xe﹣x＞0，此时xe﹣x＞bln（x+1），不合题意．（ⅱ）当b＞0时，令h（x）=bln（x+1）﹣xe﹣x，x∈[0，+∞），则h'（x）=﹣（e﹣x﹣xe﹣x）=，其中（x+1）e﹣x＞0，∀x∈（0，+∞），令p（x）=be x+x2﹣1，x∈[0，+∞，则h（x）在区间[0，+∞）上单调递增，①b≥1时，p（x）≥p（0）=b﹣1≥0，所以对，∀x∈[0，+∞），h'（x）≥0，从而h（x）在[0，+∞）上单调递增，所以对任意，∀x∈[0，+∞），h（x）≥h（0）=0，即不等式bln（x+1）≥xe﹣x在[0，+∞）上恒成立．②0＜b＜1时，由p（0）=b﹣1＜0，p（1）=be＞0及p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以存在唯一的x0∈（0，1）使得P（x0）=0，且x∈（0，x0）时，p（x0）＜0．从而x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，所以h（x）在区间（0，x0）上单调递减，则x∈（0，x0）时，h（x）＜h（0）=0，即bln（x+1）＜xe﹣x，不符合题意．综上所述，b≥1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B为C上两点，且OA⊥OB，设射线OA：θ=α，其中0＜α＜．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求|OA|•|OB|的最小值．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数）化为直角坐标方程为：．再转化为极坐标方程为：．（2）根据题意：射线O的极坐标方程为或所以：|OA|=，=，所以：|OA||OB|=ρ1ρ2=，当且仅当sin2α=cos2α，即时，函数的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f （x ）=|x ﹣1|+|2x +a |．（1）当a=1时，求证：f （x ）+|x ﹣1|≥3； （2）若f （x ）的最小值为2，求实数a 的值．【解答】解：（1）依题意：f （x ）+|x ﹣1|=|x ﹣1|+|2x +1|+|x ﹣1|=|2x ﹣2|+|2x +1|≥|2x ﹣2﹣2x ﹣1|=3，当且仅当2x ﹣2=﹣（2x +1），即x=时，等号成立． （2）①当1＞﹣，即a ＞﹣2时，f （x ）=，则当x=﹣时，f （x ）min =f （﹣）=|﹣﹣1|=+1=2， 故a=2；②当1＜﹣，即a ＜﹣2时，f （x ）=，则当x=﹣时，f （x ）min =f （﹣）=|﹣﹣1|=﹣﹣1=2， 故a=﹣6；③当1=﹣时，即a=﹣2时，f （x ）=3|x ﹣1|有最小值0，不符合题意，舍去； 故a=2或﹣6．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下)x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-xx①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-0xx<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-0x。