数列一轮复习教学分析(区教研印)

数列一轮复习教学分析 北京市八一学校李新萍一、数列知识、方法与能力（一）数列知识体系（二）数列核心问题与基本思维方式 核心问题： 基本思维方式：（1）常规问题（等差、等比数列）： （2）非常规问题（非等差等比数列）： （三）解决数列问题所需的核心思想与核心能力 核心思想： 核心能力： 二、高考中的数列（一）分析考纲与样题，明白数列考查内容、要求与形式【文科试题16】（2013年文史类第11题）若等比数列满足，，则公比；前项和． 【文科试题25】（2014年文史类第15题）已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等{}n a 2420a a +=3540a a +=q =n n S ={}n a 13a =412a ={}n b 14b =420b ={}n n b a -比数列.（I ）求数列和的通项公式； （II ）求数列的前项和.【理科试题16】(2004年理工类第14题)定义“等和数列”: 在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列{a n }是等和数列，且a 1=2，公和为5，那么a 18的值为，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为.【理科试题18】（2008年理工类第14题） 某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点处，其中，，当≥时，表示非负实数a 的整数部分，例如.按此方案，第6棵树种植点的坐标应为；第2008棵树种植点的坐标应为. 【理科试题28】(2013年理工类第20题)已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为，.（Ⅰ）若为…，是一个周期为4的数列（即对任意，），写出的值;（Ⅱ）设是非负整数，证明：的充分必要条件为是公差为的等差数列; （Ⅲ）证明：若，，则的项只能是1或者2，且有无穷多项为1. （二）分析北京高考真题，体会数列命题的意图与变化{}n a {}n b {}n b n (),k k k P x y 11x =11y =k 2111215[()()],5512()().55k k k k k k x x T T k k y y T T ----⎧=+--⎪⎪⎨--⎪=+-⎪⎩()T a ()()2.62,0.20T T =={}n a n n A n 12,n n a a ++ n B n n n d A B =-{}n a 2,1,4,3,2,1,4,3*n ∈N 4n n a a +=1234,,,d d d d d ()1,2,3n d d n =-= {}n a d 12a =()11,2,3,n d n == {}n a三、教学计划参考四、具体教学建议（一）构建活力课堂，让各类学生都有收获 （二）重视概念辨析，让学生深化对知识的理解 1.等差数列概念理解【例1】（2013年1月高三海淀期末）数列满足（且），则“”是“数列成等差数列”的( )AA.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 2.等比数列的概念【例2】（2014年北京理5）设是公比为的等比数列，则是为递增数列的（）DA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.前n 项和的概念【例3】设S n 是正项数列的前n 项和，.（Ⅰ）分析数列是否为等差数列，若是，证明之；若不是，说明理由. （Ⅱ）求的通项公式.（）【例4】已知是等差数列的前n 项和，且，有下列四个命题，假命题．．．的是（）CA.公差B.在所有中，最大C.满足的的个数有11个D.【例5】（2015届海淀期中8题）设等差数列的前项和为.在同一个坐标系中，及的部分图象如图所示，则（）AA.当时，取得最大值B.当时，取得最大值C.当时，取得最小值{}n a 111,n n a a r a r +==⋅+*,n r ∈∈N R 0r ≠1r ={}n a {}n a q "1"q >"{}"n a }{n a n n n a a S +=22}{n a }{n a n a n =n S *{}()n a n N ∈675S S S >>0d <0<n S 13S 0>n S n 76a a >{}n a n n S ()n a f n =()n S g n =4n =n S 3n =n S 4n =n SD.当时，取得最小值 4.区别数列与函数关系【例6】已知数列满足，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是.（三）落实通性通法，让学生在总结反思中提高 1.等差、等比数列的基本性质【例7】等差数列的前n 项和为，已知，，则_____________.10【例8】已知-9,,-1成等差数列，-9,,,,-1成等比数列，则的值（）AA ．15B ．±15C ．-15D ．25 2.求数列通项的方法【例9】求下列数列的通项公式.（1）；（2）； （3）；（4）；（5）；（6）； （7）；（8）；答案：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.3.求数列的前n 项和的方法 【例10】求下列数列的前n 项和.（1）；（2）；（3）3n =n S }{n a n n a n λ+=2R ∈λ}{n a λ3->λ{}n a n S 2110m m m a a a +-+-=2138m S -=m =1a 1b 2b 3b 21b a }{n a 122,111+==-n n a a a 113,1-==n n a a a 23-=nn S 1113,1--+==n n n a a a 111,1-+==n n a n n a a 22,111+==+n nn a a a a 12+=n n S a n n S a a ==+113,121+=n a n 131-=n n a ⎩⎨⎧≥⨯==-)2(,32)1(,11n n a n n 213-=n n a 1n 2a n +=12+=n a n 12-=n n a ⎪⎩⎪⎨⎧≥==-)2(,)34(31)1(,12n n a n n n a nn -=2nn n a 2⋅=)2(1+=n n a n答案：（1）；（2）；（3）.【例11】若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为 ( )AA.13B.12C.11D.10【例12】已知数列中，，且，其前项和为，且当时，． （Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式； （Ⅲ）若，令，求数列的前项和．= 4.数学归纳法的应用【例13】求证：对于大于1的任意自然数都有. （四）关注综合运用，让学生数学能力获得提升【例14】若不等式对任意正整数n 恒成立，则实数的取值范围.【例15】已知向量序列：满足如下条件：，且（）.若，则________；中第_____项最小. 9；3.【例16】数列中，如果存在，使得“且”成立（其中），则称的值为的一个峰值.(Ⅰ) 若，则的峰值为________;(Ⅱ) 若，且不存在峰值，则实数的取值范围是________.22221-+-=+n n S n n 22)1(1+-=+n n n S 42122143+-+-=n n S n {}n a 11a =21(0a a a =-≠1)a ≠n n S 2n ≥1111n n n S a a +=-{}n S {}n a 21,(1),(1),(2).n n n a a a n -=⎧=⎨-≥⎩4a =19(3)(3)nn n n a b a a +=++{}n b n n T n T ⎪⎩⎪⎨⎧∈≥+-=-*),2(,14187)1(,831N n n n n n n n1213121112222-<++++ na n n1)1(2)1(+-+<-a )23,2[-123,,,,,n a a a a 1||4||2==a d 121⋅=-a d 1n n --=a a d 2,3,4,n = 10k ⋅=a a k =123||,||,||,,||,n a a a a {}n a k a 1k k a a ->1k k a a +>2,N k k *≥∈k a {}n a 2311n a n n =-+{}n a ln n a t n n =-{}n a t答案是10； 【例17】已知数列的前项和. （Ⅰ）求的值； 1（Ⅱ）求证：； （Ⅲ）判断数列是否为等差数列，并说明理由. 是【例18】数列满足，（），是常数.（Ⅰ）当时，求及的值；，33-=a（Ⅱ）数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；不是 （Ⅲ）求的取值范围，使得存在正整数，当时总有.的取值范围是.五、习题推荐（一）参考练习1.已知数列，则“为等差数列”是“”的( ) C A.充要条件 B.必要而不充分条件C.充分而不必要条件D.既不充分又不必要条件2.已知实数且，函数若数列满足，且是等差数列，则=________，=________. 2, 03.已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.（Ⅰ）求等差数列的通项公式；，)或（Ⅱ）若，，成等比数列，设数列的前项和为，求使得的最小项的值. 4.在等比数列{a n }中，若a 4－a 2＝6，a 5－a 1＝15，则a 3＝________. 4或－4 5.数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2且S n ＝S n －1＋2n (n ≥2，n ∈N ＋). (I)求S n ；S n ＝n 2＋n(II)是否存在等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9？若存在，求出数列{b n }的通项公式；若不存在，说明理由. b n ＝2·3n －1. 6.已知数列的前项和为,且（）.（Ⅰ）证明:数列是等比数列；是首项为1，公比为的等比数列 *11{|,2}1ln 2ln()N t t t n n n n≤=∈≥+或且{}n a n (1)(1,2,3,)2n n n a S n +== 1a 1(2)1(1)(2)n n n a n a n --+=-≥{}n a {}n a 11a =21()n n a n n a λ+=+-12n = ，，λ21a =-λ3a 3λ={}n a λm n m >0n a <λ22*4242()k k k k k λ-<<+∈N }{n a }{n a 2312a a a =+0a >1a ≠, 3,(), 3.x a x f x ax b x ⎧<=⎨+≥⎩{}n a ()n a f n =*()n ∈N {}n a a b {}n a 3-8}{n a 35n a n =-+37n a n =-2a 3a 1a }{n a n n S 7>n S 85=a {}n a n n S 34-=n n a S *n ∈N {}n a {}n a 43（Ⅱ）若数列满足，且，求数列的通项公式.7.在等差数列中，，． （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列是首项为，公比为的等比数列，求的前项和．当时，；当时，． 8.已知数列满足：（I ）求的值；（Ⅱ）求证：数列是等比数列；是以为首项，以为公比的等比数列（Ⅲ）令（），如果对任意，都有，求实数的取值范围. 或9.已知数列的各项均为正整数，其前项和为．若且，则______；______. ，10.在数列中，，，.（Ⅰ）证明数列是等比数列；是首项为，且公比为的等比数列（Ⅱ）求数列的前项和. 11.设数列的前项和为，已知 （Ⅰ）求证：数列为等差数列，并写出关于的表达式; （Ⅱ）若数列前项和为，问满足的最小正整数是多少? .1212.设数列的前项和为，且；数列为等差数列，且，. (Ⅰ) 求数列的通项公式； {}n b *1()n n n b a b n +=+∈N 12b ={}n b 1)34(31-=-n n b {}n a 2723a a +=-3829a a +=-{}n a 23+-=n a n {}n n a b +1c {}n b n n S 1=c 2(31)322n n n n n S n -+=+=1≠c (31)121nn n n c S c--=+-{}n a 123,(1,2,3,)n n a a a a n a n ++++=-= 123,,a a a 123137,,248a a a ==={1}n a -{1}n a -12-12(2)(1)n n b n a =--1,2,3...n =*n N ∈214n b t t +≤t 12t ≥14t ≤-{}n a n n S 1, ,231, ,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数329S =1a =3n S =5722n +{}n a 12a =1431n n a a n +=-+n ∈*N {}n a n -{}n a n -14{}n a n n S 41(1)32n n n n S -+=+}{n a n n S 11,(1)(1,2,3,).n n a S na n n n ==--= }{n a n a n 2 1.n a n =-11{}n n a a +n n T 100209n T >n {}n b n n S 22n n b S =-{}n a 145=a 207=a {}n b nn b 312⋅=(Ⅱ) 若，为数列的前项和. 求证： . 13.已知数列，，其中，数列的前项和，数列满足，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；，（Ⅱ）是否存在自然数，使得对于任意，，有恒成立？若存在，求出的最小值；16（Ⅲ）若数列满足当是偶数时，求数列的前项和．14.已知数列满足则的通项公式是；的最小值为. ， 15.定义在上的函数满足：①当时，；②. 设关于的函数的零点从小到大依次为. （i ）若，则_________；14（ii ）若，则_________.*16.设数列的通项公式为. 数列定义如下：对于正整数m ，是使得不等式成立的所有n 中的最小值. （Ⅰ）若，求； ,1,2,3,n n n c a b n =⋅= n T {}n c n 72n T <2733127271<-⋅-=-n n n n T {}n a {}n b 112a ={}n a n 2(1)n n S n a n =≥{}n b 12b =12n n b b +={}n a {}n b )1(1+=n n a n 2n n b =m n ∈N *2n ≥121111814n m b b b --++++<m {}n c 1,,n n nn na c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数，n {}n c n n T 212434(21),4324(21),43n n n n n n T n n n -⎧+++-⎪⎪=⎨+⎪+-⎪⎩当为奇数时，当为偶数时.{}n a 1133,2,n n a a a n +=-=}{n a n a n332+-=n n a n 212(0,)+∞()f x [1,3)x ∈()1|2|f x x =--(3)3()f x f x =x ()()F x f x a =-12,,,,n x x x 1a =123x x x ++=(1,3)a ∈12212n n x x x x -++++= 6(31)n -{}n a (,0)n a pn q n N P *=+∈>{}n b m b n a m ≥11,23p q ==-3b 37b =（Ⅱ）若，求数列的前2m 项和；（Ⅲ）是否存在p 和q ，使得？如果存在，求p 和q 的取值范围；如果不存在，请说明理由. ，. *17.对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列.对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义.设是每项均为正整数的有穷数列，令. （Ⅰ）如果数列为5，3，2，写出数列；（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，.（二）北京高考真题（2010年理2题）在等比数列中，，公比.若，则m=（）A.9B.10C.11D.12 （2010年文16题）已知为等差数列，且，. （Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若等比数列满足，，求的前n 项和公式.（2011年理11题）在等比数列中，=，=-4，则公比=______；_______. （2011年理20题）若数列满足，数列为数列，记=．2,1p q ==-{}m b m m 22+32()m b m m N *=+∈13p =2133q -≤<-12n A a a a ：，，，1T 1T A 1()T A ：12111n n a a a --- ，，，，12m B b b b ：，，，2T 2T B 2()T B 2221212()2(2)m m S B b b mb b b b =+++++++ 0A 121(())(012)k k A T T A k +== ，，，0A 12A A ，1210(())4321A T T A =：，，，2211(())4321A T T A =：，，，A 1(())()S T A S A =0A K k K ≥1()()k k S A S A +={}n a 11a =1q ≠12345m a a a a a a ={}n a 36a =-60a ={}n a }{n b 18b =-2123b a a a =++}{n b }{n a 1a 124a q 12...n a a a +++=12,,...,(2)n n A a a a n =≥111(1,2,...,1)n a a k n +-==-n A E ()n S A 12...n a a a +++（Ⅰ）写出一个满足，且〉0的数列；（Ⅱ）若，n=2000，证明：E 数列是递增数列的充要条件是=2011； （Ⅲ）对任意给定的整数n （n≥2），是否存在首项为0的E 数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E 数列；如果不存在，说明理由.（2011年文12题）在等比数列{a n }中，a 1=，a 4=4，则公比q =_______；a 1+a 2+…+a n = _______. （2012年文理10题)已知等差数列为其前项和,若，，则=_______，=_______.（2012年文6题）已知为等比数列，下面结论中正确的是（）A. B. C.若，则 D.若，则(2012年文理8题)某棵果树前年得总产量与之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前年的年平均产量最高，则的值为（）A.5B.7C.9D.11（2013年理10题文11题）若等比数列满足，，则公比；前项和． （2013年理20题）已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为，．（Ⅰ）若为…，是一个周期为4的数列（即对任意，），写出的值;（Ⅱ）设是非负整数，证明：的充分必要条件为是公差为的等差数列; （Ⅲ）证明：若，，则的项只能是1或者2，且有无穷多项为1. （2014年理5题）设是公比为的等比数列，则是为递增数列的（）A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 （2014年理12题）若等差数列满足，，则当________时的前项和最大.（2014年文15题）已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.（I ）求数列和的通项公式；10s a a ==()s S A E n A 112a =n A n a n A ()n S A n A 12}{n a n S n 211=a 32a S =2a n S {}n a 1322a a a +≥2221322a a a +≥13a a =12a a =31a a >42a a >n n S n m m {}n a 2420a a +=3540a a +=q =n n S ={}n a n n A n 12,n n a a ++ n B n n n d A B =-{}n a 2,1,4,3,2,1,4,3*n ∈N 4n n a a +=1234,,,d d d d d ()1,2,3n d d n =-= {}n a d 12a =()11,2,3,n d n == {}n a {}n a q "1"q >"{}"n a {}n a 7890a a a ++>7100a a +<n ={}n a n {}n a 13a =412a ={}n b 14b =420b ={}n n b a -{}n a {}n b（II ）求数列的前项和.（2015年理6题）设是等差数列. 下列结论中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则(2015年理20题）已知数列满足：，，且.记集合.（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；（Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．(2015年文16题）已知等差数列满足，． （Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？{}n b n {}n a 120a a +>230a a +>130a a +<120a a +<120a a <<2a >10a <()()21230a a a a -->{}n a *1a ∈N 136a ≤121823618n n n n n a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…{}*|n M a n =∈N 16a =M M M M {}n a 1210a a +=432a a -={}n a {}n b 23b a =37b a =6b {}n a。