数学竞赛辅导系列专题(一)利用轴对称变换求最小值在初中数学竞赛中的应用举例
初中数学竞赛专题选讲 最大 最小值 含答案
初中数学竞赛专题选讲(初三.20)最大 最小值一、内容提要1. 求二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)，的最大、最小值常用两种方法：①配方法：原函数可化为y=a(x+ab 2)2+a b ac 442-.∵在实数范围内(x+ab 2)2≥0， ∴若a>0时，当x=－a b2 时， y 最小值=a b ac 442-；若a<0时，当x=－ab2 时， y 最大值=a b ac 442-.②判别式法：原函数可化为关于x 的二次方程ax 2+bx+c －y=0. ∵x 在全体实数取值时， ∴ △≥0即b 2－4a(c －y)≥0， 4ay ≥4ac －b 2.若a>0，y ≥a b ac 442-，这时取等号，则y 为最小值a b ac 442-；若a<0，y ≤a b ac 442-，这时取等号，则y 为最大值ab ac 442-.有时自变量x 定在某个区间内取值，求最大、最小值时，要用到临界点，一般用配方法方便.2. 用上述两种方法，可推出如下两个定理：定理一：两个正数的和为定值时，当两数相等时，其积最大. 最大值是定值平方的四分之一.例如：两正数x 和y ， 如果x+y=10, 那么xy 的积有最大值，最大值是25.定理二：两个正数的积为定值时，当两数相等时，其和最小. 最小值是定值的算术平方根的2倍.例如：两正数x 和y ，如果xy=16, 那么 x+y 有最小值，最小值是8. 证明定理一，可用配方法，也叫构造函数法. 设a>0, b>0, a+b=k . (k 为定值).那么ab=a(k －a)=－a 2+ka=－(a －21k)2+42k .当a=2k时，ab 有最大值42k .证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法. 设a>0, b>0, ab=k (k 为定值)，再设 y=a+b.那么y=a+ak, a 2－ya+k=0.（这是关于a 的二次议程方程） ∵ a 为正实数，∴△≥0. 即(－y)2－4k ≥0， y 2－4k ≥0. ∴y ≤－2k (不合题意舍去)； y ≥2k . ∴ y 最小值=2k . 解方程组⎩⎨⎧==+.2k ab k b a ， 得a=b=k .∴当a=b=k 时，a+b 有最小值 2 k . 3. 在几何中，求最大、最小值还有下列定理：定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值. 当这两边相等时，其和的值最大.定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值. 当这两边相等时，其和的值最小.定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.二、例题例1. 已知：3x 2+2y 2=6x, x 和y 都是实数，求：x 2+y 2的最大、最小值.解：由已知y 2=2362x x -, ∵y 是实数， ∴y 2≥0.即2362x x -≥0， 6x －3x 2 ≥0， x 2－2x ≤0.解得 0≤x ≤2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，x 2+y 2=x 2+2362x x -=－21( x －3)2+29在区间0≤x ≤2中，当x=2 时，x 2+y 2有最大值 4. ∴当x=0时，x 2+y 2=0是最小值 .例2. 已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等. 求：这个矩形周长、面积的最小值. 解：用构造方程法.设矩形的长，宽分别为 a, b 其周长、面积的数值为k. 那么2(a+b)=ab=k.即 ⎪⎩⎪⎨⎧==+.21k ab k b a ，∴a 和b 是方程 x 2－21kx+k=0 的两个实数根. ∵a, b 都是正实数，∴△≥0. 即(－2k )2－4k ≥0.解得k ≥16；或k ≤0 . k ≤0不合题意舍去. ∴当k ≥16取等号时，a+b, ab 的值最小，最小值是16. 即这个矩形周长、面积的最小值是16.例3. 如图△ABC 的边BC=a, 高AD=h, 要剪下一个 矩形EFGH ，问EH 取多少长时，矩形的面积最大？ 最大面积是多少？ 解：用构造函数法设EH=x, S 矩形=y, 则GH=xy. ∵△AHG ∽△ABC ，∴hxh a x y-= . ∴ y=4)2()(2ahh x h a h x h ax +--=-. ∴当x=2h 时，y 最大值 =4ah.即当EH=2h 时，矩形面积的最大值是4ah.例4. 如图已知：直线m ∥n ，A ，B ，C 都是定点，AB=a, AC=b, 点P 在AC 上，BP 的延长线交直线m 于D.问：点P 在什么位置时，S △PAB +S △PCD 最小？解：设∠BAC=α，PA=x, 则PC=b －x.∵m ∥n ，∴PA PCAB CD ＝. ∴CD=x x b a )(-S △PAB +S △PCD =21axSin α+21xx b a )(-(b －x) Sin α=21aSin α()222x x bx b x +-+=21aSin α(2x+)22b x b -.a CEnmD∵2x ×x b 2=2b 2(定值)， 根据定理二，2x +x b 2有最小值.∴ 当2x =x b 2， x=b 221时，S △PAB +S △PCD 的最小值是 (2－1)abSin α. 例5.已知：Rt △ABC 中, 内切圆O 的半径 r=1. 求：S △ABC 的最小值.解：∵S △ABC =21ab ∴ab ＝2S △. ∵2r=a+b －c, ∴c=a+b －2r. ∴a+b －2r=22b a + .两边平方，得 a 2+b 2+4r 2+2ab －4(a+b)r= a 2+b 2. 4r 2+2ab －4(a+b)r=0. 用r=1, ab=2S △ 代入， 得 4+4S △－4(a+b) =0. a+b=S △+1. ∵ab=2S △ 且a+b=S △+1.∴a, b 是方程x 2－(S △+1)x+2S △=0 的两个根. ∵a,b 是正实数， ∴△≥0，即 [－(S △+1)]2－4×2S △ ≥0， S △2－6S △+1≥0 .解得 S △≥3+22或S △≤3－22. S △≤3－22不合题意舍去. ∴S △ABC 的最小值是3+22.例6.已知：.如图△ABC 中，AB=26+，∠C=30ο. 求：a+b 的最大值. 解：设 a+b=y , 则b=y －a. 根据余弦定理，得(26+)2=a 2+(y －a)2－2a(y －a)Cos30οa写成关于a 的二次方程： (2+3)a 2－(2+3)ya+y 2－(8+43)=0.∵a 是实数， ∴△≥0.即(2+3)2y 2－4(2+3)[y 2－(8+43)]≥0，y 2－(8+43)2 ≤0 . ∴ －(8+43)≤y ≤(8+43). ∴a+b 的最大值是8+43.又解：根据定理三 ∵AB 和∠C 都有定值. ∴当a=b 时，a+b 的值最大. 由余弦定理，(26+)2=a 2＋b 2－2abCos30ο 可求出 a=b=4+23. ……… 三、练习1. x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 满足. x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=. x 1x 2x 3x 4x 5，那么. x 5的最大值是＿＿＿＿＿＿.2. 若矩形周长是定值20cm,那么当长和宽分别为____，____时，其面积最大，最大面积是______.3. 面积为100cm 2的矩形周长的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿.4. a, b 均为正数且a+b=ab,那么 a+b 的最小值 是________.5. 若x>0, 则x+x9的最小值是________. 6.如图直线上有A 、B 、C 、D 四个点.那么到A ，B ，C ，D 距离之和为最小值的点，位于＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其和的最小值等于定线段＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿..CDAB7. 如右图△ABC中，AB=2，AC=3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ是以AB，BC，CA为边的正方形，则阴影部份的面积的和的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.8. 下列四个数中最大的是 ( )（A）tan48ο+cot48ο ..(B)sin48ο+cos48ο. (C) tan48ο+cos48ο.(D)cot48ο+sin48ο.9.已知抛物线y=－x2+2x+8与横轴交于B，C两点，点D平分BC，若在横轴上侧的点A为抛物线上的动点，且∠BAC为锐角，则AD的取值范围是__________10. 如图△ABC中，∠C=Rt∠，CA=CB=1，点PPQ⊥BC于Q.问当P在AB上什么位置时，S△APQA B11. △ABC中，AB=AC=a，以BC三角形BDC，问当∠BAC取什么度数时AD最长？12. 已知x2+2y2=1, x,y都是实数，求2x+5y2的最大值、最小值.13. △ABC中∠B=ο60，AC=1，求BA+BC的最大值及这时三角形的形状.14. 直角三角形的面积有定值k,求它的内切圆半径的最大值.15. D，E，F分别在△ABC的边BC、AC、AB上，若BD∶DC=CE∶EA=AF∶FA的值最小？=k∶(1－k) (0<k<1). 问k取何值时，S△DEF16.△ABC中，BC=2，高AD=1，点P，E，F分别在边BC，AC，AB上，且四边形PEAF是平行四边形.问点P在BC的什么位置时，S的值最大？PEAF参考答案1. 5.2. 5，5 25.3. 40cm4. 45. 66.BC 上，BC+AD.7. 最大值是9，∵S △=21×3×2×SinBAC, ∠BAC=90度时值最大. 8. (A). 9. 3<AD ≤910. P 在AB 中点时，S △最大值=81， S △=222xx -⋅x 与2－x 的和有定值， 当x=2－x 时，S △值最大.11. 当∠BAC=120度时，AD 最大，在△ABD 中，设∠BAD=α由正弦定理a Sin ain 230)30180(S AD ==--οα，当150ο－α=90ο时， AD 最大. 12. 当x=52时，有最大值1029；当x=－1时，有最小值－2 (仿例3). 13. 当a=c 时，a+c 有最大值2，这时是等边三角形. 14. 内切圆半径的最大值r=(2－1)△S (仿例6). 15. 当 k=21时，S △DEF =41S △ABC ，16.当PB=1时，S 有最大值21. 16. 当点P 是BC 中点时，面积最大值是12.。
例说利用几何变换求线段和的最小值
例说利用几何变换求线段和的最小值作者：张海华潘从清来源：《教育界·中旬》2015年第05期新课程改革及新中考改革，都要求学生学会自主学习，尝试探疑，发现知识，寻找规律。
故近年各地中考热点之一是动手操作性的探索问题，即通过已知条件，结合数学经验，经过几何图形变换探索其内在联系，发现规律，得出结论。
利用几何变换求线段和的最小值，就属于此类题型。
本文结合具体的例子说明如何利用几何变换求线段和的最小值。
一、利用图形的对称变换1.求两条线段和的最小值例1.如图1已知AB为⊙O的直径，AB=4，OC⊥AB于O，点D在弧BC上，2倍的弧BD等于弧DC，点P是OB上一动点，则PC+PD的最小值为。
解析：由OC⊥AB于O知，延长CO交⊙O于点E，则点C、点E关于AB对称，连接DE交OB于P，则PC=PE，此时PC+PD=DE最小，连接DC，则∠CDE=90°，又因为2倍的弧BD等于弧DC，所以∠E=30°，则DE=CE·cos30°=4×=，则PC+PD的最小值为。
例2.（2004年黑龙江省中考试题）如图2，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC边上，且DM=2，N是AC上的动点，则DN+MN的最小值为。
解析：注意到正方形关于对角线AC对称性，连接BN、BM，则DN+MN=BN+MN≥BM （B、M、N共线时等号成立）。
又根据两点间线段最短知，当B、M、N共线时，DN+MN转化为线段BM，此时最短，由条件可得BM=10。
所以DN+MN的最小值为10。
2.求几条线段和的最小值例3.（初中数学奥林匹克竞赛教程）如图3，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，两边上各有点Q、R（均不同于O），则△PQR周长的最小值为。
解析：作P关于OA、OB的对称点，根据对称性质可知PQ=P1Q，PR=P2R。
即求P1Q+QR+ P2R的最小值，由两点间直线距离最短，可知当Q、R分别为P1 P2与OA、OB的交点时，P1Q+QR+ P2R值最小。
利用轴对称变换求最小值
利用轴对称变换求最小值（一）、课本原型：（七年级下册第196页）如图（1）所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？解：如图（2）①，只要画出A点关于直线L的对称点C，连结BC交直线L于P，则P点就是所求。
这时PA+PB=PC+PB为最小，（因为两点之间线段最短）。
（证明：如图（2）②，在L上任取一点P1，连结P1A，P1B，P1C，因为P1A+P1B=P1C+P1B>BC=PA+PB。
这是根据三角形两边之和大于第三边，所以结论成立。
）（二）应用和延伸：例1、在图（1）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是1千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P，使PA+PB的值最小。
求这个最小值。
解：如图（1）①所示，只要过A1点画直线L的平行线与BD的延长线交于H，在Rt △A1BH中，A1H=4千米，BH=4千米，用勾股定理求得A1B的长度为42千米。
即PA+PB 的最小值为42千米。
例2、（七年级作业本题）如图（3），∠AOB内有一点P，在OA和OB边上分别找出M、N，使ΔPMN的周长最小。
解：如图（4），只要画出P点关于OB、OA的对称点P1，P2 ，连结P1、P2交OB、OA 于M、N，此时ΔPMN的周长PM+PN+MN=P1P2为最小。
（证明略）②l街道图（3）（三）、迁移和拓展：例1、(温州2003年中考题)如图（5），在菱形ABCD 中，AB=4a,E 在BC 上，EC=2a ，∠BAD=1200,点P 在BD 上，则PE+PC 的最小值是（ ）（A ） 6a , (B) 5a , (C) 4a , (D) 23a 。
解法1：如图（6），因为菱形是轴对称图形，所以BC 中点E 关于对角线BD 的对称点E 一定落在AB 的中点E 1，只要连结CE 1，CE 1即为PC+PE 的最小值。
这时△CBE 1是含有30角的直角三角形，PC+PE=CE 1=23a 。
初中数学竞赛专题选讲 最大、最小值(含答案)
初中数学竞赛专题选讲(初三.20)最大 最小值一、内容提要1. 求二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)，的最大、最小值常用两种方法：①配方法：原函数可化为y=a(x+ab 2)2+a b ac 442-.∵在实数范围内(x+ab 2)2≥0， ∴若a>0时，当x=－a b2 时， y 最小值=a b ac 442-；若a<0时，当x=－ab2 时， y 最大值=a b ac 442-.②判别式法：原函数可化为关于x 的二次方程ax 2+bx+c －y=0. ∵x 在全体实数取值时， ∴ △≥0即b 2－4a(c －y)≥0， 4ay ≥4ac －b 2.若a>0，y ≥a b ac 442-，这时取等号，则y 为最小值a b ac 442-；若a<0，y ≤a b ac 442-，这时取等号，则y 为最大值ab ac 442-.有时自变量x 定在某个区间内取值，求最大、最小值时，要用到临界点，一般用配方法方便.2. 用上述两种方法，可推出如下两个定理：定理一：两个正数的和为定值时，当两数相等时，其积最大. 最大值是定值平方的四分之一.例如：两正数x 和y ， 如果x+y=10, 那么xy 的积有最大值，最大值是25.定理二：两个正数的积为定值时，当两数相等时，其和最小. 最小值是定值的算术平方根的2倍.例如：两正数x 和y ，如果xy=16, 那么 x+y 有最小值，最小值是8. 证明定理一，可用配方法，也叫构造函数法.设a>0, b>0, a+b=k . (k 为定值).那么ab=a(k －a)=－a 2+ka=－(a －21k)2+42k .当a=2k时，ab 有最大值42k .证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法. 设a>0, b>0, ab=k (k 为定值)，再设 y=a+b. 那么y=a+ak, a 2－ya+k=0.（这是关于a 的二次议程方程） ∵ a 为正实数，∴△≥0. 即(－y)2－4k ≥0， y 2－4k ≥0. ∴y ≤－2k (不合题意舍去)； y ≥2k . ∴ y 最小值=2k .解方程组⎩⎨⎧==+.2k ab k b a ， 得a=b=k .∴当a=b=k 时，a+b 有最小值 2 k .3. 在几何中，求最大、最小值还有下列定理：定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值. 当这两边相等时，其和的值最大.定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值. 当这两边相等时，其和的值最小.定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.二、例题例1. 已知：3x 2+2y 2=6x, x 和y 都是实数，求：x 2+y 2 的最大、最小值.解：由已知y 2=2362xx -, ∵y 是实数， ∴y 2≥0.即2362x x -≥0， 6x －3x 2 ≥0， x 2－2x ≤0.解得 0≤x ≤2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，x 2+y 2=x 2+2362x x -=－21( x －3)2+29在区间0≤x ≤2中，当x=2 时，x 2+y 2有最大值 4. ∴当x=0时，x 2+y 2=0是最小值 .例2. 已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等. 求：这个矩形周长、面积的最小值. 解：用构造方程法.设矩形的长，宽分别为 a, b 其周长、面积的数值为k. 那么2(a+b)=ab=k.即 ⎪⎩⎪⎨⎧==+.21k ab k b a ，∴a 和b 是方程 x 2－21kx+k=0 的两个实数根. ∵a, b 都是正实数，∴△≥0. 即(－2k )2－4k ≥0. 解得k ≥16；或k ≤0 . k ≤0不合题意舍去. ∴当k ≥16取等号时，a+b, ab 的值最小，最小值是16. 即这个矩形周长、面积的最小值是16.例3. 如图△ABC 的边BC=a, 高AD=h, 要剪下一个 矩形EFGH ，问EH 取多少长时，矩形的面积最大？ 最大面积是多少？解：用构造函数法设EH=x, S 矩形=y, 则GH=xy . ∵△AHG ∽△ABC ，∴hxh a x y-= . ∴ y=4)2()(2ahh x h a h x h ax +--=-. aCE∴当x=2h时，y 最大值 =4ah .即当EH=2h时，矩形面积的最大值是4ah .例4. 如图已知：直线m ∥n ，A ，B ，C 都是定点，AB=a, AC=b, 点P 在AC 上，BP 的延长线交直线m 于D.问：点P 在什么位置时，S △PAB +S △PCD 最小？ 解：设∠BAC=α，PA=x, 则PC=b －x.∵m ∥n ，∴PA PCAB CD ＝. ∴CD=x x b a )(-S △PAB +S △PCD =21axSin α+21x x b a )(-(b －x) Sin α=21aSin α()222x x bx b x +-+=21aSin α(2x+)22b x b -. ∵2x ×x b 2=2b 2(定值)， 根据定理二，2x +x b 2有最小值.∴ 当2x =x b 2， x=b 221时，S △PAB +S △PCD 的最小值是 (2－1)abSin α. 例5.已知：Rt △ABC 中, 内切圆O 的半径 r=1. 求：S △ABC 的最小值.解：∵S △ABC =21ab ∴ab ＝2S △.∵2r=a+b －c, ∴c=a+b －2r. ∴a+b －2r=22b a + .两边平方，得 a 2+b 2+4r 2+2ab －4(a+b)r= a 2+b 2. 4r 2+2ab －4(a+b)r=0. 用r=1, ab=2S △ 代入， 得 4+4S △－4(a+b) =0. a+b=S △+1. ∵ab=2S △ 且a+b=S △+1.∴a, b 是方程x 2－(S △+1)x+2S △=0 的两个根.nmDa∵a,b 是正实数， ∴△≥0，即 [－(S △+1)]2－4×2S △ ≥0， S △2－6S △+1≥0 .解得 S △≥3+22或S △≤3－22. S △≤3－22不合题意舍去. ∴S △ABC 的最小值是3+22.例6.已知：.如图△ABC 中，AB=26+，∠C=30 . 求：a+b 的最大值.解：设 a+b=y , 则b=y －a. 根据余弦定理，得 (26+)2=a 2+(y －a)2－2a(y －a)Cos30写成关于a 的二次方程： (2+3)a 2－(2+3)ya+y 2－(8+43)=0. ∵a 是实数， ∴△≥0.即(2+3)2y 2－4(2+3)[y 2－(8+43)]≥0， y 2－(8+43)2 ≤0 .∴ －(8+43)≤y ≤(8+43). ∴a+b 的最大值是8+43.又解：根据定理三 ∵AB 和∠C 都有定值. ∴当a=b 时，a+b 的值最大.由余弦定理，(26+)2=a 2＋b 2－2abCos30可求出 a=b=4+23. ……… 三、练习1. x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 满足. x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=. x 1x 2x 3x 4x 5，那么. x 5的最大值是＿＿＿＿＿＿.2. 若矩形周长是定值20cm,那么当长和宽分别为____，____时，其面积最大，最大面积是______.3. 面积为100cm 2的矩形周长的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿.4. a, b 均为正数且a+b=ab,那么 a+b 的最小值 是________.5. 若x>0, 则x+x9的最小值是________. 6.如图直线上有A 、B 、C 、D 四个点.那么到A ，B ，C ，D 距离之和为最小值的点，位于＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其和的最小值等于定线段＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿..7. 如右图△ABC 中，AB=2，AC=3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ是 以AB ，BC ，CA 为边的正方形，则阴影部份的面积的和的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 8. 下列四个数中最大的是 ( )（A ） tan48 +cot48 ..(B)sin48 +cos48 . (C) tan48 +cos48 . (D)cot48 +sin48 . 9.已知抛物线y=－x 2+2x+8与横轴交于B ，C 两点，点D 平分BC ，若在横轴上侧的点A 为抛物线上的动点，且∠BAC 为锐角，则AD 的取值范围是__________10. 如图△ABC 中，∠C=Rt ∠，CA=CB=1，点P 在ABPQ ⊥BC 于Q.问当P 在AB 上什么位置时，S △APQ 最大？ 11. △ABC 中，AB=AC=a ，以BC 为边向外作等边 三角形BDC ，问当∠BAC 取什么度数时AD 最长？12. 已知x 2+2y 2=1, x,y 都是实数，求2x+5y 2的最大值、最小值.13. △ABC 中∠B=60，AC=1，求BA+BC 的最大值及这时三角形的形状. 14. 直角三角形的面积有定值k,求它的内切圆半径的最大值.15. D ，E ，F 分别在△ABC 的边BC 、AC 、AB 上，若BD ∶DC=CE ∶EA=AF ∶FA =k ∶(1－k) (0<k<1). 问k 取何值时，S △DEF 的值最小？16.△ABC 中，BC=2，高AD=1，点P ，E ，F 分别在边BC ，AC ，AB 上，且四边形PEAF 是平行四边形.问点P 在BC 的什么位置时，S PEAF 的值最大？C DA B AB参考答案1. 5.2. 5，5 25.3. 40cm4. 45. 66.BC 上，BC+AD.7. 最大值是9，∵S △=21×3×2×SinBAC, ∠BAC=90度时值最大. 8. (A). 9. 3<AD ≤910. P 在AB 中点时，S △最大值=81， S △=222x x -⋅x 与2－x 的和有定值， 当x=2－x 时，S △值最大.11. 当∠BAC=120度时，AD 最大，在△ABD 中，设∠BAD=α由正弦定理a Sin ain 230)30180(S AD ==--α，当150 －α=90 时， AD 最大. 12. 当x=52时，有最大值1029；当x=－1时，有最小值－2 (仿例3).13. 当a=c 时，a+c 有最大值2，这时是等边三角形. 14. 内切圆半径的最大值r=(2－1)△S (仿例6).15. 当 k=21时，S △DEF =41S △ABC ，16.当PB=1时，S 有最大值21. 16. 当点P 是BC 中点时，面积最大值是12.。
专题复习1：利用轴对称求最值_
专题复习1：利用轴对称求最值Ⅱ. 请你设计一个用时最少的方案.二、关于两（多）条线段和最小问题思路指导：此类问题一般通过适当的几何变换实现“折”转“直”。
即将连接两点的折线转化为线段最短问题1.直接运用两点间线段最短解决问题.例：如图8，已知A（1,1）B（3，-3），C为x轴上一个动点，当AC+BC最小时，C点坐标为，此时AC+BC的最小值为.练习：如图9，四边形ABCD为边长为5的正方形，以B为圆心4为半径画弧交BA与M，交BC于N，P在MN上运动，则PA+PB+PC的最小值为.2.平移后应用两点间线段最短例：已知：如图10，A(1，2),B(4，-2)，C(m，0)，D（m+2,0）（1）在图中作出当AC+CD+DB最小时C点的位置，并求出此时m的值（2）求AC+CD+DB的最小值.练习：如图11，NP，MQ为一段河的两岸（河的两侧为平坦的地面，可以任意穿行），NP∥MQ，河宽PQ 为60米，在NP一侧距离河岸110米处有一处藏宝处A，某人从MQ一侧距离河岸40米的B处出发，随身携带恰好横穿（与河岸垂直）河面的绳索（将绳索利用器械投掷至河对岸并固定，人扶绳索涉水过河），请计算此人从出发到目的地最少的行进路程，并确定固定绳索处（MQ一侧）到B处的最近距离.3.旋转后应用两点间线段最短例：如图12，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶当AM＋BM＋CM的最小值为31+时，求正方形的边长.练习：点O 为正方形ABCD内一点，（1）正方形边长为4，求OB+OD的最小值（2）若OB+OC+OD的最小值为26+，求正方形的边长4.对称后应用两点间线段最短数学模型已知：如图14，直线l 及直线同侧两点P、Q，在直线l 上求作点M，使线段PM+QM最小，并说明理由关系探究上图中：相等的角：线段关系：类型一：单动点单对称轴（直线同侧两线段和转化为异侧，进而应用两点间线段最短）练习：1.如图15，已知菱形ABCD的边长为6，M、N 分别为AB、BC边的中点，P为对角线AC上的一动点，则PM+PN的最小值.2. 如图16，已知菱形ABCD的边长为6，点E为AB边的中点，∠BAD=60°，点P为对角线AC上的一动点，则PE+PB的最小值..3. 如图17,已知正方形ABCD的边长为2，点M为BC 边的中点，P为对角线BD上的一动点，则PM+PC的最小值4. 如图18，正方形ABCD的面积为a，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，PD+PE的和最小值为4，则a= .5.如图19，已知⊙O的半径为1，AB、CD为⊙O的两互相垂直的直径，点M在弧AD上，且∠MOD=30°，点P为半径OD上的一动点，则PM+PA的最小值.6. 如图20，已知⊙O的半径为1，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且∠CAB=30°点M是弧CB的中点，，点P为直径AB上的一动点，则PM+PC的最小值.7.如图21，⊙O的直径为10，A,B在圆周上，AC⊥MN，BD⊥MN，AC=6，BD=8.P为MN上一个动点，则PA+PB的最小值为.8.如图22，已知∠AOB=60°，OA=6，C为OA的中点，OD平分∠AOB，M为OD上一动点，则AM+CM的最小值为9．如图23，从点A(0，2)发出的一束光，经x轴反射，过点B(4，3)，则这束光从点A到点B所经过路径的长为．10.如图24，已知抛物线y=x2-2x-3,与x轴相交于点A、B两点（点A在点B的左边），与y轴相较于点C，P 为抛物线对称轴上的一点，则PO+PC的最小值是.11.如图25，以正方形ABCD中AB为边向外作等边三角形AMB，N为对角线BD上一点，若AN+MN的最小值为2226，则正方形边长为.12.一次函数y=kx＋b的图象与x、y轴分别交于点A(2，0)，B(0，4)．(1)求该函数的解析式；(2)O为坐标原点，设C为AB的中点，P为OB上一动点，求PC＋PA取最小值时P点的坐标．13.如图27，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由14.如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．实验与探究：（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（－2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′、C′；归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（不必证明）；运用与拓广：（3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．类型二：双动点单对称轴（在类型一基础上应用垂线段最短）例：如图，已知∠CAB=30°，BA=6，AF平分∠BAC，P,Q分别为AB，AF上的动点，则BQ+PQ的最小值为练习:1.如图29，正方形ABCD中，AE为∠BAC的平分线，M,N分别为AE，AB上的动点，若MN+BM最小值为3，则正方形边长为.2.如图30，在锐角△ABC中，AB=42,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是___________ ．3.如图31，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，M，N分别为BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值为. 类型三：单动点双对称轴例：如图32，已知：∠AOB=30°，P为∠AOB内一点，OP=6，M，N分别为OA，OB上的动点，则△PMN的周长最小值为.练习：1.如图33，已知：∠AOB=60°，P为∠AOB内一点，OP=10，M，N分别为OA，OB上的动点，则△PMN的周长最小值为.2.如图34，两个镜子成45°角，P为夹角内一个光源，P距离交点2米，光线从P发出后经过OB，OA反射后经过点P，则光线经过的路线长为.3.如图35，已知A（3,2）为坐标平面上一点，在x，y 轴上确定点M,N，使△AMN周长最小，并求出此时M，N坐标.类型四. 双动点双对称轴例：已知P，Q为∠AOB内两个定点，M，N分别为OA，OB上的动点。
用轴对称知识求线段和的最小值讲解
浅析用轴对称知识求线段和的最小值求线段和的最小值问题，在初中数学中经常会遇到，利用轴对称知识可以比较简单的解决。
我们先通过一个非常典型的例题来推导一个性质：一、性质推导例题：如图所示，在河岸L的一侧有两个村庄A、B，现要在河岸L上修建一个供水站，问供水站应建在什么地方，才能到A，B两村庄的距离之和最短？首先，我们来推导一个轴对称的性质，如图，作B点关于L的对称点B1, 在直线L上任意定一点M，连接B B1，BM，B1M，根据轴对称知识，我们可以求证BM＝B1M，所以，我们可以得出这样的性质：成轴对称的两个对应点到对称轴上任意一点的距离相等。
在该例题中，利用这一性质，我们可得出：点B到河岸L上任意点M的距离等于对称B1到点M的距离。
要使AM+ B1M最小，必须使A、M、B1三点共线，也就是说，必须使点M，与A B1连线和L的交点N重合，所以，河岸上的N点为到A、B的距离之和最小的点。
B1证明：M为L上的任意点因为BM＝B1M所以，BM+AM＝B1M+AM，而B1M+AM大于B1A，所以，结论成立二、应用1：在图（1）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是1千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P，使PA+PB的值最小。
求这个最小值。
解：作出A1B（作法如上图）过A1点画直线L的平行线与BD的延长线交于H，在Rt△A1BH中，A1H=4千米，BH=4千米，用勾股定理求得A1B的长度为42千米，即PA+PB的最小值为42千米。
A1 Array2、如图（1），在直角坐标系XOY中，X轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5）和到Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标x=__________________。
解：如图（2），只要画出点Q关于x轴的对称点Q1（2，-1），连结PQ1 交x轴于点M，则M点即为所求。
点M的横坐标只要先求出经过PQ1两点的直线的解析式，（y=2x-5），令y=0，求得x=5/2。
初中数学对称求最小值问题
初中数学对称求最小值问题一、对称轴问题对于对称轴问题，我们可以通过找到对称轴来求取最小值。
在几何图形中，对称轴是一条直线，它使得图形沿这条直线折叠后两部分能够完全重合。
对于一些具有对称性质的几何图形，如等腰三角形、矩形等，它们的对称轴是固定的。
通过找到这些对称轴，我们可以确定最小值的所在位置。
二、对称点问题对于对称点问题，我们需要找到图形中的对称点来求解。
在一个图形中，如果两个点关于某一条直线对称，那么这两个点的连线与该直线垂直且中点在该直线上。
通过找到这些对称点，我们可以确定最小值的所在位置。
三、对称性应用对称性在数学中有着广泛的应用，它可以用于解决很多问题。
例如，在几何问题中，我们可以通过对称性将复杂的问题简化；在代数问题中，我们可以通过对称性找到函数的极值点；在概率问题中，我们可以通过对称性计算概率分布。
四、对称与最值关系对称性与最值之间存在着密切的联系。
在一些情况下，通过利用对称性，我们可以更方便地找到最小值。
例如，对于一些二次函数，它们的图像具有对称性，我们可以通过找到对称轴来确定最小值的位置；对于一些几何图形，我们可以通过找到对称轴或对称点来确定最小值的位置。
五、对称性质与几何图形几何图形中的对称性质是常见的。
例如，等腰三角形是关于其高线对称的；矩形是关于其对角线所在的直线对称的；圆是关于其任意直径所在的直线对称的。
了解这些对称性质可以帮助我们更好地理解图形的结构，并找到最小值的位置。
六、对称变换与函数图像函数图像的对称变换也是数学中的一个重要概念。
例如，函数y=ax^2+bx+c的图像是一个抛物线，该抛物线可以沿x轴或y轴进行对称变换。
通过了解这些对称变换的性质，我们可以更好地理解函数的图像，并找到最小值的位置。
七、对称不等式问题在一些数学问题中，我们需要证明两个量之间的不等式关系。
如果这两个量具有对称性，那么我们可以利用这种对称性来证明不等式。
例如，对于一些二次函数的最小值问题，我们可以利用二次函数的对称性来证明不等式。
浅析用轴对称知识求线段和的最小值.doc
浅析用轴对称知识求线段和的最小值求线段和的最小值问题，在初中数学中经常会遇到，利用轴对称知识可以比较简单的解决。
我们先通过一个非常典型的例题来推导一个性质：一、性质推导例题：如图所示，在河岸L的一侧有两个村庄A、B，现要在河岸L上修建一个供水站，问供水站应建在什么地方，才能到A，B两村庄的距离之和最短？首先，我们来推导一个轴对称的性质，如图，作B点关于L的对称点B1, 在直线L上任意定一点M，连接B B1，BM，B1M，根据轴对称知识，我们可以求证BM＝B1M，所以，我们可以得出这样的性质：成轴对称的两个对应点到对称轴上任意一点的距离相等。
在该例题中，利用这一性质，我们可得出：点B到河岸L上任意点M的距离等于对称B1到点M的距离。
要使AM+ B1M最小，必须使A、M、B1三点共线，也就是说，必须使点M，与A B1连线和L的交点N重合，所以，河岸上的N点为到A、B的距离之和最小的点。
B1证明：M为L上的任意点因为BM＝B1M所以，BM+AM＝B1M+AM，而B1M+AM大于B1A，所以，结论成立二、应用1：在图（1）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是1千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P，使PA+PB的值最小。
求这个最小值。
解：作出A1B（作法如上图）过A1点画直线L的平行线与BD的延长线交于H，在Rt△A1BH中，A1H=4千米，BH=4千米，用勾股定理求得A1B的长度为42千米，即PA+PB的最小值为42千米。
A12、 如图（1），在直角坐标系XOY 中，X 轴上的动点M （x ，0）到定点P （5，5）和到Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP+MQ 取最小值时，点M 的横坐标x=__________________。
解：如图（2），只要画出点Q 关于x 轴的对称点Q1（2，-1），连结PQ1 交x 轴于点M ，则M 点即为所求。
点M 的横坐标只要先求出经过PQ1两点的直线的解析式，（y=2x-5），令y=0，求得x=5/2。
初中竞赛重点类型用轴对称性质解两道赛题(最值问题)
初中竞赛重点类型:用轴对称性质解两道赛题(最值问题)对称知识是我们初中数学里面的重要知识，对解一些题（尤其中考作图题，中考压轴题，以及竞赛题）帮助极大。
是解最值问题（最大值或最小值）的一大工具，在中考中，对称常与函数，与几何并用，往往是一道题的题眼，在竞赛中能借对称知识数形结合起来解题，往往颇具特色与灵感。
本文就举了两道典范竞赛题，供考生们学习参考，提升数学思维。
轴对称变换因其在变换过程中能将分散的条件集中于同一个图形，在各类数学竞赛中常受到青睐。
试题1（19届“希望杯”初二2试）如图1，一束光线从点O射出，照在经过A（1，0）、B（0，1）的镜面上的点D。
经AB反射后，反射光线又找到竖直在y轴位置的镜面，要使最后经y轴再反射的光线恰好通过点A，则点D的坐标是。
分析：由光线反射时入射角=反射角，联想到用对称轴的性质求解。
作点A关于y轴的对称点A′（－1，0），作点O关于AB对称点O′，则O′（1，1），连A′O′交AB 于D，此即所求的点。
易求直线AB的方程为：y=－x+1；直线A′O′的方程为：y=x+，解得交点D的坐标为（，）。
试题2（17届“希望杯”初二2试）如图2，正方形ABCD的边长为a，点E、F、G、H分别在正方形的四条边上，已知EF∥GH，EF=GH。
⑴若AE=AH=a，求四边形EFGH的周长与面积；⑵求四边形EFGH的周长的最小值。
分析：⑴连HF。
由EF∥GH，EF=GH，四边形EFGH为平行四边形。
Rt△AHE≌Rt△FGC，均为等腰直角三角形，所以四边形EFGH为矩形。
EH=FG=a，EF=GH=a，所以矩形周长为2a，面积为a2。
⑵要使四边形EFGH的周长最小，由四边形EFGH为平行四边形，只需EH+EF最小。
如图2-1，作H关于AB的对称点H′，连FH′交AB于E′。
显然点E选在E′处，EH+EF值最小，最小值等于FH′。
仿⑴可知，当AE≠AH时，亦有AH=CF。
所以FH′=== a练习题：1.（2007年“创新杯”）如图3，在直角坐标系中，已知点A（－4，5）和点B（－8，3），在x轴上找一点C，在y轴上找一点D，使四边形ABCD周长最小。
初中数学构建轴对称模型求最小值
初中数学构建轴对称模型求最小值近几年来，最小值问题成为中考命题的热点，其中有些问题的解决常用构建轴对称模型的方法。
在现行教材“轴对称”一节中有一例题：如图1，在直线l同侧有两点A、B，在直线l 上求作一点P使PA+PB最小。
图1其作法如图2：作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交直线l于点P，那么点P 就是所求作的点。
以此作为模型可以解决下列求最小值的问题。
图2例1. 如图3，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB的最小值是________。
图3分析：首先分解此图形，构建如图4模型，因为E、B在直线AC的同侧，要在AC上找一点P，使PE+PB最小，关键是找出点B或E关于AC的对称点。
如图5，由菱形的对称性可知点B和D关于AC对称，连结DE，此时DE即为PE+PB的最小值，图4图5由∠BAD=60°，AB=AD ，AE=BE 知，3223DE =⨯=故PE+PB 的最小值为3。
例2. 如图6，已知点A 是半圆上一个三等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点，若⊙O 的半径长为1，则AP+BP 的最小值为_______________。
图6分析：分解出图形，构建如图7模型，转化为在ON 上，求作一点P ，使PA+PB 最小。
根据圆的对称性，易知点A 关于ON 的对称点A ′在⊙O 上如图8，连结A ′B ，A ′B 即为PA+PB 的最小值，又因为A ′三等分半圆，∠A ′OP=60°，∠BOP=30°，∠A ′OB=90°，则由勾股定理得：2B 'A =，故PA+PB 的最小值为2。
图7图8例3. 如图9，抛物线c bx x y 2++=与x 轴交于)0,1(A -、)0,3(B 两点。
（1）求该抛物线的解析式。
（2）设（1）中的抛物线交y轴于点C，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC 的周长最小？如果存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
初中数学竞赛中最值问题求法应用举例
初中数学竞赛中最值问题求法应用举例初中数学竞赛中最值问题求法应用举例最值问题是数学竞赛中考试的重要内容之一，任何一级、任何一年的竞考差不多上必考内容。
现依照我在辅导学生过程中的体会归纳整理如下： （一）依照非负数的性质求最值。
1、若M =（X ±a ）2 +b ，则当X ±a = 0时M 有最小值b 。
2、若M = －（X ±a ）2 + b ,则当X ±a = 0 时M 有最大值b 。
3、用（a ±b ）2≥0 ，∣a ∣≥0,a ≥0的方法解题。
【说明：那个地点用到的专门重要的思想方法是配方法和整体代换思想。
】例题（1）、若实数a ，b ，c 满足a 2 + b 2 + c 2 = 9，则代数式 （a － b ）2+ （b —c ）2 +（c － a ）2的最大值是 （ ）A ．27B 、 18C 、15D 、 12 解：(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2= 2(a 2+b 2+c 2)－2ab －2bc －2ca = 3(a 2+b 2+c 2)－a 2－b 2－c 2－2ab －2bc －2ca = 3(a 2+b 2+c 2)－(a 2+b 2+c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca)=3(a 2+b 2+c 2)－(a+b+c)2 = 27－(a+b+c)2 ≤ 27 . ∵a 2+b 2+c 2 = 9 , ∴ a,b,c 不全为0 。
当且仅当a + b + c = 0 时原式的最大值为 27 。
【说明，本例的关键是划线部份的变换，采纳加减(a 2＋b 2＋c 2)后用完全平方式。
】 例题（2）、假如关于不小于8的自然数N ，当3N+1是一个完全平方数时，N +1都能表示成K 个完全平方数的和，那么K 的最小值是 （ ） A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 4解：设 ∵ 3N+1是完全平方数，∴ 设 3N+1 = X 2 （N ≥ 8），则3不能整除X ，因此X 能够表示成3P ±1的形式。
作出对称点 巧求最小值
作出对称点 巧求最小值河北 刘新民求平面图形中的最小值问题是初中数学竞赛与各类考试中的常见题型，这类题目往往使同学们感到无从下手，但只要我们细致观察，认真分析，巧妙作出对称点，这类问题大都可以迎刃而解，请看以下几例．例1．如图，M 是y 轴上的一个动点，点A 和点B 的坐标分别为A （1，1）、B （2，4），要使M 到点A 和点B 的距离之和最小，求M 的坐标．分析：解答此题的关键是确定出点M 的位置，根据轴对称的性质，先求出点A （1，1）关于y 轴的对称点'(1,1)A -，则直线'BA 与y 轴的交点就是M ，此时M 到点A 和点B 的距离之和最小．解：作出点A （1，1）关于y 轴的对称点'A ，则'A 的坐标为(1,1)-．设直线'BA 的解析式为y kx b =+，把点B 和点'A 的坐标代入，得241k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得12k b =⎧⎨=⎩，即直线'BA 的解析式为2y x =+．令0x =，则2y =，所以M 的坐标为（0，2）．例2．如图2，30AOB ∠=︒，角内有一点P ，10PO =，在两边上有点Q 、R （均不同于点O ），求PQR周长的最小值．析解：首先确定Q 、R 的位置，考虑到要使PQR 的周长最小，所以要把PQR 的周长转化为一条线段的长度，于是作点P 关于OA 和OB 的对称点'P 和''P ，连结'''P P ，分别交OA 和OB 于Q 和R ，点Q 和R 即为所求．连结'OP 、''OP ，则'''10OP OP OP ===，'''260P OP AOB ∠=∠=︒，所以'''P OP 是等边三角形，'''10P P =，即PQR 周长的最小值为10．简证：分别在OA 、OB 上任取一点0Q 和0R （不同于Q 和R ），连结'0P Q 、00Q R 、''0R P 、0Q P 、0R P ，易见P Q 的周长为'P Q P R Q R P P ++=，00PQ R 的周长为'''00000000PQ PR Q R P Q P R Q R ++=++．因为'''P P <'''0000P Q P R Q R ++，所以见P Q R 的周长＜00PQ R 的周长，即当PQR 的周长等于线段'''P P 的长度时，是最小值．例3．如图3，在直角坐标系中，有四点(8,3)A -，(4,5)B -，(0,)C n ，(,0)D m ，当四边形ABCD 的m分析：根据对称的性质，设点A 关于x 轴的对称点是'A ，点B 关于y 轴的对称点是'B ，若使周长最短，则'A 、'B 、D 、C 四点在一条直线上，由于点'A 和'B 的坐标可求，所以可以先求出直线的解析式，再根据点D 、C 在直线上，求出点D 、C 的坐标．解：点A 关于x 轴的对称点是'(8,3)A --，点B 关于y 轴的对称点是'(4,5)B ，设直线''A B 的解析式为y kx b =+，将'A 和'B 的坐标代入，得8345k b k b -+=-⎧⎨+=⎩，解得2373k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以直线''A B 的解析式为2733y x =+．把点(0,)C n 代入2733y x =+，得73n =，把点(,0)D m 代入2733y x =+，得27033m =+，RQP''P'P OBA 图20Q0R 图3解得72m =-，这时732723m n -==-．在解等腰三角形的边、角有关问题时，往往忽视了所给条件与图形的位置，而造成问题解答错误．下面举例说明等腰三角形中的陷阱问题．例1 （淄博市中考题）在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B 的大小为 ． 错解 65°．解析 因为AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交，交点可能在线段AC 上也可能在CA 的延长线上，所以要分两种情况进行讨论．当交点在腰AC 上时，如图1，则∠ADE ＝40°，所以∠A ＝90°－40°＝50°，所以∠B ＝65250180=-． 当交点在腰CA 的延长线上时，如图2，∠DAE ＝90°－40°＝50°，所以∠B ＝ 255021=⨯．故∠B 的度数是65°或25°．EDCBAED CBA图1 图2例2 若等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的顶角为 ． 错解 40°．D CBADCBA图3 图4解析 因为等腰三角形有可能是锐角三角形也可以是钝角三角形，所以要分两种情况进行讨论．（1）当等腰三角形是锐角三角形时，如图3，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠ACD ＝50°，则∠A ＝90°－50°＝40°；所以顶角为40°．（2）当等腰三角形是钝角三角形时，如图4，则∠DAC ＝90°－50°＝40°，所以∠BAC ＝180°－40°＝140°．故这个等腰三角形的顶角为40°或140°．例3 已知AD 是等腰△ABC 一腰上的高，且∠DAB ＝60°，求△ABC 的三个内角的度数． 错解 120°、30°、30°．解析 由于没有指明等腰三角形的哪两边是腰，哪是底边，所以要分情况进行讨论： （1）若AC ＝BC 时（如图5），因为AD ⊥BC ，∠DAB ＝60°，则∠B ＝30°，点D 一定在BC 的延长线上，这时三角形的三个内角分别是120°、30°、30°；DCB A DCBA D CBA图5 图6 图7（2）当BA ＝BC 时，因为AD ⊥BC ，∠DAB ＝60°，则点D 可以在BC 上（如图6）或在CB 的延长线上（如图7）；①若点D 在BC 上，则∠B ＝30°，这时三角形的三个内角度数分别为：75°、75°、30°； ②若D 在CB 的延长线上，三角形的三个内角的度数分别为：150°、15°、15°．综上所述，△ABC 的三个内角的度数分别是：120°、30°、30°或75°、75°、30°或150°、15°、15°．从以上以例可以看出，求三角形中的角的问题时，习惯上容易画成锐角三角形，所以要注意克服思维定势的影响，分情况进行讨论．。
挖掘数学本质 培养数学思维——以利用轴对称性求最小值问题为例
教学方法课程教育研究127学法教法研究一、案例背景时下以“学为中心”的数学课堂造就了许多教师的教学仅仅停留在对学生知识是否掌握中，偏离了教学的终极目标。
教学的最终目的在于学生形成学习能力，质疑能力、自学能力、分析判断能力、综合概括能力、归纳与整理能力等。
当然掌握知识固然重要，但培养学生的数学思维才应是数学课堂的重点和首要任务。
数学思维就是数学地思考问题和解决问题的思维活动形式，即要求学生领悟思考问题的角度和方法、解决问题的途径和方式，培养学生勤于思考勇于探究的精神等。
“数学是思维的体操”，数学课堂理应是有高度思维的课堂，既要在“从做中学”，又要在“做”中思维的课堂。
四年来我校以培养“高学习力、高创造力和高表达力”的人才为目标，遵循五个操作环节，即激活旧知-问题驱动-自主发现-自主建构-学以致用，认真组织实施“思维课堂”的探索与实践。
事实证明学生的学习已从被动学习逐渐走向主动学习，教师的课堂教学能力明显得以提高，学校也取得了前所未有的教育效益。
今以一案例为例谈谈学生数学思维的培养，以飨读者。
二、教学分析1.教材分析利用轴对称性求最小值问题是近十年来中考数学中的热门话题，而且题目常换常新，学生会感到比较棘手，甚至会无从下手。
因此利用轴对称性求最小值问题成为我们中考复习的重点。
如何使学生在有限的复习时间内更高效地掌握此类问题呢？数学题千变万化，但万变不离其宗。
只要我们能抓住问题的本质特征渗透转化思想，把原型问题进行迁移，然后进行归类、拓展与延伸，就能帮助学生举一反三，触类旁通，最终使学生能够从点的掌握扩展到面的掌握，对培养学生的探究性思维具有重要的作用。
2.学情分析本节课是在九年级专题复习中进行。
学生已经对初中数学有相对系统的学习和认知，如对直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、圆、坐标轴、抛物线、轴对称等图形性质的认识，但遇到新的问题情境时，往往找不到解决问题的切入口，探索不出解决问题的有效途经。
原因是学生的知识连贯性不紧凑、知识整合能力不强、知识的拓展与延伸尚有待于提高。
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数学竞赛辅导系列专题（一）利用轴对称变换求最小值在初中数学竞赛中的应用举例新课改下的数学教学要求教师“要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教育资源为学生提供丰富多彩的学习素材；关注学生的个性差异，有效地实施差异教学，使每个学生都得到发展”。
“对于学有余力并对数学有浓厚兴趣的学生，教师要为他们提供足够的材料，指导他们阅读，发展他们的数学才能。
”纵观近几年的全国各级数学竞赛，首先是紧扣教材和竞赛大纲，许多试题虽有一定难度，但难而不怪，灵活性强，高而可攀。
其次是精心设计，题目新型。
而且注重知识的典型性和迁移性，积极引导学生实现由知识到能力的过渡。
因此，教师在教学过程中要努力帮助学生挖掘课本的教育资源，注重知识的延伸和迁移，通过一题多问、一题多解、多题一解等有效手段，培养学生的创新思维能力。
让学生在学与练的过程中去体味奇妙的数学、学习和领略奥妙的数学；从而提高学习数学的兴趣、勤奋地去开垦数学。
本文试图从“利用轴对称性质求最小值”问题入手，在挖掘课本教育资源、注重多题一解、培养学生知识迁移能力方面作一些尝试与探索，与数学同行们交流，抛砖引玉。
（一）、课本原型：（七年级下册第196页）如图（1）所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？解：如图（2）（£，只要画出A点关于直线L的对称点C,连结BC交直线L于P,则P点就是所求。
这时PA+PB=PC+PB为最小，（因为两点之间线段最短）。
（证明：如图（2 ）②,在L上任取一点P i ,连结P i A , P i B , P i C ,因为P i A+P i B=P i C+P i B>BC=PA+PB。
这是根据三角形两边之和大于第三边，所以结论成立。
）（二）应用和延伸：例i、（七年级作业本题）如图（3），/ AOB内有一点P,在0A 和0B边上分别找出M、N，使△ PMN的周长最小。
解：如图（4），只要画出P点关于OB 0A的对称点P i, P2 ,连结P i、P2交OB 0A于M N,此时△ PMN的周长PM+PN+MN i ff2为最小。
（证明略）例2、在图（i ）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是i 千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P,使PA+PB的值最小。
求这个最小值。
解：如图（i）①所示，只要过A i点画直线L的平行线与BD的延长线交于H,在Rt △ ABH中，A i H=4千米，BH=4千米，用勾股定理求得AB的长度为4迈千米。
即PA+PB的最小值为 4 2 千米。
AA解：如图（6）,因为菱形是轴对称图形，所以 BC 中点E 关于对角线BD 的对称点E 一定落在AB 的中点 巳，只要连结 CE , CE 即为PC+PE 的最小值。
这时三角形 CBE 是含有 300角的直角三角形，PC+PE=CE2 ...3 a 。
所以选（D ）。
2、（ 2001年全国数学竞赛题）如图（7）,在直角坐标系 XOY 中,解：如图（8）,图只要画出点 M 点即为所求。
点 M 的横坐标只要先求出经过PQ 两点的直线的解析式，（ Y=2X-（三）、迁移和拓展:例 1、9（温州2003年中考题）如图（5），在菱形ABCD 中，AB=4a,E 在 BC 上, EC=2a / BAD=120,点P 在BD 上，贝U PE+PC 的最小值是（）(A ) 6a , (B) 5a(C) 4a ,(D) 2X 轴上的动点 M （ X , 值0） 占 到定点P （ 5, 5）和到Q （2, M 的横坐标X=-1）的距离分别为 MP 和MQ 那么当 MP+MQX 最小(5,5)4 I — 3 1 — 2 I — 1i ■(2,1)-1 O-1个Y 6 | 5 L-(2,1) QP (5,5)-1 O-11 :iQ1P1B图（5） 图（6）Q 关于X 轴的对称点Q （2,PQ 交X 于点5）,令Y=0,求得X=5/2。
（也可以用勾股定理和相似三角形求出答案）。
例 3、求函数 Y= X 2 6X 10 + X 2 6X解：方法（I ）、把原函数转化为Y=...（X 3）2 1 + . （X 3）2 52 ，因此可以理解为在X 轴上找一个点，使它到点（3, 1 ）和（-3 , 5）的距离之和最小。
（解法同上一 题）。
方法（n ）,如图（9）,分别以 PM=（ 3-X ）、AM=1 为边和以 PN=（ X+3）、BN=5为边构建使（3-X ） 和（X+3）在同一直线上的两个直角△是 PA= (X 3)21 和 PB=. (X 3)252，因此，求Y 的最小值就是求 PA+PB 的最小值，只要利用轴对称性质求出（四）、思考与练习：1、（ 2002湖北黄岗竞赛题）如图（10），/ AOB=45,角内有一点 P, PO=10在角两 边上有两点 Q R （均不同于点O ），则△ PQR 勺周长最小值是 ----------------- 。
（提示：画点 P 关于OA 的对称点P ，点P 关于OB 的对称点P 2,v / AOB=45,.・.A P 1OP 是等腰直角三角 形，RP2=10I 2 ）。
又问当厶PQR 周长最小时，/ QPR 勺度数= ----------- 。
（100°）。
2、已知点 A （-2 , 1）,点B （3, 4）。
在 X 轴上求一点 P ,使得PA+PB 的值最小。
这 个最小值是 --------------- 。
（同例2）3、（北京市竞赛题）如图（11）,在矩形 ABCD 中，AB=20 cm, BC=10 cm,若在 AC AB 上各取一点 M N,使BM+MN 勺值最小，求这个最小值。
（提示：要使 BM+M 的值最小，应设法把折线 BM+MN1直，从而想到用轴对称性质来做。
画出点B 关于直线 AC 的对称点B,贝U BN 的长就是最小值；又因为 N 也是动点，所以，当 B 1N 丄AB 时这个值最小，利用勾 股定34的最小值。
PAM △ PNB 两条斜边的长就BA 的长，就是Y 的最小值。
（6运）。
图（11）B 图(12)理和三角形面积公式可以求得这个最小值为16。
初三的同学也可以用射影定理和面积公式求解。
）4、 （希望杯2001初二数学邀请赛试题），如图（12）在菱形ABCD 中，/ DAB=120, 点E 平分BC,点P 在BD 上，且PE+PC=1那么边长 AB 的最大值是--------------------- 。
（因为当2 -PE+PC 最小时，AB=CD 达到最大，这个最大值是 3 ）。
35、 （美国中学生竞赛题）如图（13），一个牧童在小河南 4英里处牧马，河水向正东 方流去，而他正位于他的小屋西 8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事所走的最短距离是（）（提示：画点 A 关于小河岸的对称点A ，连结A i B 即为最短距离。
）(A ) 4+ .. 185 英里(B ) 16 英里6、（新蕾杯竞赛题）如图（14），正方形 ABCD 勺边长为3，E 在BC 上，且BE=2 P 在BD 上，求PE+PC 的最小值。
（与知识拓展例 1类似，因为点 C 和点A 关于直线BD 对 称，所以AE 是PC+PE 的最小值，这个值为.13 ）。
7 、如图（15），在河湾处 M 点有一个观察站，观察员要从 M 点出发，先到 AB 岸，再 到CD 岸然后返回 M 点，则该船应该走的最短路线是 -------------- （先画图，再用字母表 示）。
（提示：，同知识迁移题）16）, AB 是。
0的直径，AB=2 0C 是。
0的半径, OCL AB,点D 在AC 上,AD =2CD ，点P 是半径 0C 上一个动点，那么 AP+PD 的最小值是 —— ——。
（只要找出点 D 关于半径0C 的对称点Di , AD 的长就是AP+PD 的最小值。
因为△ ABD 是含有趣300角的直角三角形，所以这个值是.3 ）。
------------------ 1.1459、 求代数式 X 2 4X 13 + X 2 4X 6 的最小值。
（一V 4210、 （ 2000年湖北省选拔赛试题）在直角坐标系中，有四个点A （-8 , 3）、B （ -4 ,（C ） 17英里（D ）18英里图（14）8、（温州2001年中考题）如图（ 小河13)BE图（16 ）5）、C （0, n）、D（m,0）,当四边形ABCD的周长最短时，的值为------- - ——。
（因n为A、B是定点且长度不变，只要使其它的三条线段的和最小，所以考虑用轴对称的方法将BC CD AD这三条折线拉直。
画点A关于X轴的对称点A i,点B关于Y轴的对称点B i,只要求出直线A i B i的函数解析式就可以求出点C和点D的坐标。
）（浙江、海盐、西塘中学杨孝华）2004 、11、15.。