小学5年级数的整除(奥数真题)
五年级奥数题：数的整除性(2021年整理)
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数的整除性一、填空题1。
四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____。
2。
在“25□79这个数的□内填上一个数字，使这个数能被11整除，方格内应填_____。
3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____。
4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.6。
所有能被3整除的两位数的和是______.7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____.8. 如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是_____。
9. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____。
10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行，从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的留下，其余同学出列；留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下，其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号。
二、解答题11. 173□是个四位数字。
数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除。
"问:数学老师先后填入的3个数字的和是多少？12．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除,这个七位数最小值是多少？13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换。
小学 级数的整除 奥数真题
99的倍数为n奇数时
8．试证明 n位原序数与n位反序数
的差一定是
9的倍数为偶n 数时
(如：12365 为原序数，那么它对应的反序数为 56321 ，它们的差 43956 是 99 的倍数.)
9．如图，把 1～9 这 9 个数字放在一个圆圈上。请在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和 逆时针次序形成两个九位数(比如在 7 和 8 之间剪开，就形成了 826543197 和 791345628 这两个九位数)．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被 396 整除，那么可以从 哪两个数字之间剪开？
位数除以 667 的结果是
。
16．(2009 年学而思五升六竞赛班选拔考试第 20 题)把数字 1 到 9 各使用一次，组成一个被
555667 整除的 9 位数，这个 9 位数是
。
17．如果一个五位数，它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的 25 倍．那么，这个五位 数的前两位的最大值是_________。
10 00 1 222 2 13 579 1 4 9 16 25 1 5 14 30 55 2 7 21 51 106
再考虑因数 2，其累积过程如下图。 由于 5 多于 2，则 c 方格内所填的自 01 34 8 1 2 5 9 17 0 2 7 16 33 2 4 11 27 60 0 4 15 42 102
5. 右图的方格表中已经填入了 9 个数，其余 20 个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘以 它上面方格中的数。比如 a=5×10=50，b=5×12=60。那么 c 方格内所填的自然数的末尾有 ___个连续的 0。
10 12 14 16
5a b 10
15
20
25
c
【分析】由于考虑的是 c 末尾有多少个连续的 0，则只需考虑有多个 5，有多少个 2 即可。 先考虑因数 5，其累积如下图：
五年级上册数学试题-奥数：数论之数的整除性(解析版)全国通用
第三讲 数论之数的整除性卷Ⅰ 1. 熟练掌握整除性质及特殊数的整除特征； 2. 巧妙运用整除性质及特殊数的整除特征解决数的整除问题；答案：因为432165a a a a a a 能被5整除，所以4a 是5；由于165432a a a a a a 、321654a a a a a a 和543216a a a a a a 分别能被2、4、6整除，因此1a 、3a 、5a 是偶数，取值为2、4、6，进而知道2a 、6a 是1和3；上述能被4整除的那个六位数的末两位32a a 应是4的倍数，而2a 是奇数，所以3a 只能为2和6．根据上面的分析，为使原六位数最大，1a 可取最大的数字6，2a 取1、3中的大数3，这样其余各数分别是3a =2，4a =5，5a =4，6a =1，所以最大值为632541．教学目标专题精讲 想 挑 战 吗？用数字1、2、3、4、5、6排列成一个六位数654321a a a a a a ，将1a 移到最后，所得的六位数165432a a a a a a 能被2整除；再将2a 移到最后，所得的六位数216543a a a a a a 能被3整除；……；最后把5a 移到最后，所得的六位数543216a a a a a a 能被6整除，那么654321a a a a a a 的最大可能值是多少？ 数的整除性质： [性质1] 如果a 能被b 整除，b 能被c 整除，那么a 一定能被c 整除． 例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除． [性质2] 如果a 、b 都能被c 整除，那么(a ±b ) 也一定能被c 整除． 例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除． [性质3] 如果c 能分别被两个互质的自然数a 、b 整除，那么c 一定能被ab 整除． 例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除．①一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；……②一个数各位数数字和能被3整除，这个数就能被9整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；③如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.④如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.⑤部分特殊数的分解：111=3×37；1001=7×11×13；11111=41×271；10001=73×137；10101=3×7×13×37；1995=3×5×7×19；1998=2×3×3×3×37；2007=3×3×223；2008=2×2×2×251；2007+2008=4015=5×11×73.（一）整除的性质【例1】某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是多少？分析：可以表示成连续9个自然数的和说明该数能被9整除，可以表示成连续10个自然数的和说明该数能被5整除，可表示成连续11个自然数的和说明该数能被11整除，因此该数是[9,5,11]=495，因此符合条件的最小自然数是495．注意：本题易错答案为990，提醒同学们注意.（拓展）一个各位数字均不为零的三位数能被8整除，将其百位数字、十位数字、个位数字分别划去后可以得到3个两位数（例如，按此方法由247将得到47、27、24）．已知这些两位数中一个能被5整除，另一个能被6整除，还有一个能被7整除．那么原来的三位数是多少？分析：那个能被5整除的两位数的个位数字是0或5，且应是原三位数的十位数字或个位数字．注意到各位数字均不为零且本身是偶数，故必须有原三位数的是十位数字是5．三位数能被8整除意味着末两位数应能被4整除．在51~59之间只有52、56是4的倍数，但52不是5、6、7中任何一个数的倍数，故题设中的三位数个位数字一定是6．由上述分析可知，百位数字和6组成的两位数是6的倍数，可能为36、66、96，则得到三个三位数：356、656、956，经检验只有656是8的倍数．【例2】1）从1～3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除？（2）从1～3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？分析：（1）第一问比较简单，3998÷4=999…6所以1～3998中有996个能被4整除的（2）考虑数字和，如果一个一个找规律我们会发现规律是不存在的，因此我们考虑分组的方法，我们补充2个数，0000和3999，此外所有的一位两位三位数都在前面加上0补足4位，然后对这4000个数做如下分组：（0000，1000，2000，3000），（0001，1001，2001，3001），（0002，1002，2002，3002），…(0999，1999，2999，3999)，共1000组，容易发现每一组恰好有个数字和是4的倍数，因此共有1000个数字和是4的倍数，但注意到我们补充了一个0000进去．所以原来的3998个数里，有999个数字和是4的倍数．【例3】在1、2、3、4……2007这2007个数中有多少个自然数a能使2008+a能被2007-a整除？分析：如果2008+a 能被2007-a 整除，那么2008+a 2007-a 为自然数，2008+a 2008200712007-a 2007a++=-也是自然数， 4015能被（2007-a ）整除，所以4015=5×11×73，4015的约数中小于2007的数有1、5、11、73、55、365、803， 所以当a 取2006、2002、1996、1934、1952、1642、1204能使2008+a 能被2007-a 整除.【例4】 已知两个三位数abc 与def 的和abc def +能被37整除，证明：六位数abcdef 也能被37整除． 分析：abcdef =abc ×1000+def =abc ×999+（abc +def ），因为999能被37整除，所以abc ×999能被37整除，而（abc +def ）也能被37整除，所以其和叶能被37整除.（前铺）已知□△×△□×□〇×☆△=□△□△□△，其中□、△、〇、☆分别表示不同的数字，那么四位数〇△□☆是多少？分析：因为□△□△□△=□△10101⨯，所以在题述等式的两边同时约去□△即得△□×□〇×☆△=10101．作质因数分解得37137310101⨯⨯⨯=，由此可知该数分解为3个两位数乘积的方法仅有371321⨯⨯．注意到两位△□的十位数字和个位数字分别和另外的两位数□〇和☆△中出现，所以△□=13，□〇=37，☆△=21．即〇=7，△=1，□=3，☆=2，所求的四位数是7132．（前铺）证明：形如abcabc 的六位数一定能被7，11，13整除． 分析：1001,100171113abcabc abc =⨯=⨯⨯，所以得证.（拓展）若4b+2c+d=32.试问abcd 能否被8整除?请说明理由．分析：由能被8整除的特征知，只要后三位数能被8整除即可.10010bcd b c d =++，有(42)9688(12)bcd b c d b c b c -++=+=+，所以abcd 能被8整除.（拓展）已知a ，b 是整数，求证a+b,ab 、a-b 这三个数之中，至少有一个是3的倍数．分析：若a,b 之一是3的倍数，则ab 是3的倍数；若a,b 都不是3的倍数：1)a=b=3k+1或3k-1 （都余1或都余2），则a-b 是3的倍数；2)a,b 一个是3k+1 一个是3k-1 （一个余1，一个余2），则a+b 是3的倍数；所以a+b,ab,a-b 这三个数之中,至少有一个是3的倍数.（拓展）五位数abcde 是9的倍数，其中abcd 是4的倍数，那么abcde 的最小值是_______．分析：1）若a、b、c、d、e不同的字母代表相同的数值时，abcde=abcd×10+e=(abcd+e)+ abcd ×9，因为abcde是9的倍数，所以(abcd+e)是9的倍数，要abcde最小，我们希望abcd和e都能取最小，这样和也就最小．abcd是4的倍数，所以最小是1000，要让(abcd+e)是9的倍数，e最小是8，所以abcde最小值是10008.2）若a、b、c、d、e不同的字母代表不同的数值时，abcd是4的倍数，所以最小是1024，但e为2，矛盾，所以abcd最小是1028，即abcde最小值是10287.（二）整除的特征【例5】把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？分析：乘积末尾的零的个数是由乘数中因数2和5的个数决定的，有一对2和5乘积末尾就有一个零．由于相邻两个自然数中必定有一是2的倍数，而相邻5个数中才有一个5的倍数，所以我们只要观察因数5的个数就可以了．5，15=5×3，20=5×4，25=5×5，30=5×6，35=5×7，40=5×8，45=5×9，50=5×5×2，55=5×11，发现只有25、50、75、100、……这样的数中才会出现多个5，写到55时共出现11＋1＋1=13个因数5，所以至少应当写到55，最多可以写到59．[前铺] 从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？分析：首先，50、60、70、80、90、100中共有7个0．其次，55、65、85、95和任意偶数相乘都可以产生一个0，而75乘以偶数可以产生2个0，50中的数字5乘以偶数又可以产生1个0，所以一共有++147=+个0．124[巩固] 11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？343=，则可知，在11个连续的两位数种，至多只能有2个数是7的倍数，所以其中有一分析：因为37个必须是49的倍数，那就只能是49或98．又因为乘积的末4位都是0，就是说这连续的11个自然数应该“含有”4个5．连续的11个自然数中至多只能有3个是5的倍数，至多只能有1个是25的倍数，所以其中有一个必须是25的倍数，那么就只能是25、50或75．所以这11个数是40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，它们的平均数即为它们的中间项45．[拓展] 975×935×972×□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？分析：积的最后4个数字都是0，说明乘数里至少4个2和4个5．975=5×5×39，935=5×187，972=2×2×243，共有3个5，2个2，方框内至少是2×2×5=20 答：在方框内最小应填20．卷Ⅱ【例6】 已知四十一位数55…55□99…99（其中5和9各20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？分析：因为555555和999999都是7的倍数，如果原数是能被7整除，那么由5个205555□ 9个209999=5个205555□99999910999969个14+⨯知 5个205555□ 9个149999也能被7整除；又 5个205555□ 9个149999可以表示成 5555552910⨯＋ 5个145555□ 9个149999，说明 5个145555□9个149999也能被7整除， 相当于将原数的前后分别去掉555555和999999后整除性不变，依次下去，得到55□99．因此□44是7的倍数，□3是7的倍数，所以得□=6．[前铺1] 已知10□8971能被13整除，求□中的数．分析：10□8-971=1008-971+□0=37+□0．上式的个位数是7，若是13的倍数，则必是13的9倍，由13×9-37=80，推知□中的数是8．[前铺2] 在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？分析：如果56□2能被9整除，那么5＋6＋□＋2＝13＋□应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除；如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除.[巩固1] 在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字，使得这个六位数能够被17和19整除，那么方框中的两位数是多少？分析：（法1）这个六位数能够被17和19整除，那么也应当能被17×19=323整除，因为119911减去某个数□□00就可能是323的倍数.119911=323×371＋78，说明119911应当减去的四（三）位数满足□□00除以323也余78，也就是满足□□22除以323应当能够除尽.说明□□22是4522，那么□□00是4600，因此所求的六位数是119911－4600=115300.[巩固2] 应当在如下的问号“?”的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数可被7整除?(其中数码6和5各重复了50次)666...66?555 (55)分析：可在“?”的位置上填上2或9．事实上，111111(6个1)可被7整除，因此如果将我们的数的头和尾各去掉48个数码，并不改变其对7的整除性，于是还剩下66?55．从中减去63035，并除以10，即得3?2．此时不难验证，具有此种形式的三位数中，只有322和392可被7整除．所以？上填2或9.[拓展] 应当在如下的“□□”的位置上填上哪两个数码，才能使得所得的整数可被63整除？（其中数码2和7都重复了25次.222...22□□77 (777)分析：63=7×9，所以中间□□两个数的和能被9整除，又111111(6个1)可被7整除，所以去掉首尾24个数字后，剩下的2□□7，也能被7整除，2007=7×286+5，所以□□5也能被7整除，□□5-35能被7整除，所以两位数□□被7除余3，在两位数中被7除余3，且能被9整除的只有45. □□中所填的数是45.【例7】 （★★全国小学数学奥林匹克）200820082008200808n 个能被99整除，那么，n 的最小值为多少？分析：由于99=9×11，所以200820082008200808n 个能被11和9整除，200820082008200808n 个中奇位数减偶位数的差为（8-2）n+8=6n+8，当n=6、17、28……时，（3n+1）是11的倍数，所以n 的最小值是6. 200820082008200808n 个各位数字之和为（2+8）×n+8=10n+8，所以当n=1、10、19、28……等数时，能被9整除，所以n 的最小值为28.[前铺] 如果200520052005200501n 个能被11整除，那么n 的最小值是 .分析：200520052005200501n 个中奇数位减偶数位的差为（5－2）n ＋1=3n ＋1,当n=7时，(3n ＋1)是11的倍数，所以n 的最小值是7.【例8】 已知多位数55…5599…99□□（其中5和9各n 个）能被7整除，那么当n 取值为什么时，方格内的数字的不同的情况数为定值，并求出这个定值？分析：由例题1知当n=6k （k 为自然数），100÷7=14…2，所以共有15种不同的情况；当n ≠6k （k 为自然数）,情况不定．[前铺1] 如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？分析：199300÷105余10，199300-10=199290，即它的最后两位数是90.[前铺2] 已知200520052005□□是72的倍数，求末两位数是多少？分析：72=8×9，因为被9整除，所以末两位数字和是被9除余6的，因为被8整除，注意到百位是奇数，所以末两位被8除余4，满足这2个条件的2位数就只有60.[拓展] 已知多位数□□55…5599…99（其中5和9各n 个）能被77整除，那么方格内的数字是多少？分析：由例题知当n=6k （k 为自然数），100÷77=1…23，方格内的数字是77；当n ≠6k （k 为自然数）,情况不定．【例9】 已知四十一位数55…55□7□99…99（其中5和9各19个）能被77整除，那么方格内的数字分别是多少？分析：由上题知可化为5□7□9能被7整除，50709÷77=658…43，所以□0□0+43=7 k （k 为自然数），即□0□0+1=7 k （k 为自然数），又21+□+□=11 k （k 为自然数），所以□+□=10，设第一个□为x ，则第二个□为（10-x ），有1000x+10（10-x ）+1=7 k （k 为自然数），，所以x=6，即第一个□为6，所以第二个□为4，即所求的数为56749.[前铺1] 五位数329A B 能被72整除，问：A 与B 各代表什么数字？分析：已知329A B 能被72整除.因为72＝8×9，8和9是互质数，所以329A B 既能被8整除，又能被9整除．根据能被8整除的数的特征，要求29B 能被8整除，由此可确定B ＝6.再根据能被9整除的数的特征，329A B 的各位数字之和为A ＋3＋2＋9＋B ＝A ＋3－f －2＋9＋6＝A ＋20，因为l ≤A ≤9，所以21≤A ＋20≤29.在这个范围内只有27能被9整除，所以A ＝7.[前铺2] 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除.分析：分别由能被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数．因为9，25，8两两互质，由整除的性质知，七位数能被 9×25×8=1800整除，所以七位数的个位，十位都是0；再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填4.这个七位数是4735800.[拓展1] 买28支价格相同的钢笔共付人民币9□.2□元.已知□处数字相同，请问每支钢笔多少元？分析：∵9□.2□元=9□2□分，28＝4×7，∴根据整除“性质2”可知4和7均能整除9□2□．4｜2□可知□处能填0或4或8．因为79020，79424，所以□处不能填0和4；因为7｜9828，所叫□处应该填8．又∵9828分=98.28元，98.28÷28＝3.51（元），即每支钢笔3.51元．[拓展２] 仓库有两个箱子，其中一个装了74个大杯子，另一个装了75个小杯子．地上有两个价格牌，一个写着总价“132.××元”，另一个写着“总价123.××元”．已知这两个价格牌原来贴在箱子上，但现在已经弄不清楚哪个价格牌贴在哪个箱子上了，唯一知道的是大杯子的单价比小杯子的贵，那么小杯子的单价是多少元？分析：设大杯子和小杯子的价格分别为S和s．如果s×75=132.××，S×74=123.××，因为S>s，所以s>132.××－123.×× > 8元．可是如此小杯子的总价格大于8×75=300元，不符合题目要求．所以123.××是小杯子的总价钱．由此可得出123××是75=3×25的倍数，则××可以为00、25、50、75，经实验12300和12375是75的倍数．相应的s分别为：12300÷75=1.64元、12375÷75=1.65元．【例10】求最小的自然数，它的各位数字之和等于56，它的末两位数是56，它本身还能被56所整除．分析：所求的数写成100a＋56的形式．由于100a＋56能被56整除，所以a能被14整除，所以a应是14的倍数．而且a的数字和等于56－5－6=45．具有数字和45的最小偶数是199998，但这个数不能被7整除．接下来数字和为45的偶数是289998和298998，但前者不能被7除尽，后者能被7整除，所以本题的答数就是29899856．[前铺] 求最小的偶数，它的各位数数字之和为40.分析：各位数数字之和为40的数，至少有5位，万位上的数至少为4，否则，各位数数字之和最多为3+9+9+9+9=39，当万位数上的数为4是，这个数只能是49999，不是偶数，所以最小的偶数只能是59998.[拓展]在五位数中，能被11整除且各位数字和等于43，这样的数有多少？分析：因为5×8=40，5个数字的和等于43时，其中至少有3个9，并且只有以下两种情况.(1)数字中4个9、1个7，则奇数位数字和减去偶数位数字和只能是3×9-（9+7）=11，这样的书有99979和97999，(2)数字中3个9，一个7，则奇数位数字和减去偶数位数字的和只可能是3×9-2×8=11，这样的数有98989.专题展望数的整除性是数论中最基本的内容，在数论问题中经常被用到，而奇偶性质是数的整除性中的特殊情形，有关奇偶数性质的运用将在下一讲中详细教授.练习三1. （例1）有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数的和；还能表示成5个连续自然数的和，例如：30满足上述要求，因为30=9＋10＋11；30=6＋7＋8＋9；30=4＋5＋6＋7＋8．请你找出700至1000之间，所有满足上述要求的数，并简述理由．分析：3个连续自然数的和，一定能够被3整除；4个连续自然数的和，一定能够被2整除，且除以2所得的商是奇数，也就是说它不能被4整除，也即除以4所得余数为2；5个连续自然数的和，一定能够被5整除．3、4、5的最小公倍数是60．60以内满足上述三个条件的数是30，所以60的整数倍加上30就可以满足条件．700=60×11＋40，所以第一个符合题意的数是750=60×12＋30，最大的一个数是990=60×16＋30，共计16－12＋1=5个数，分别为750、810、870、930、960．关键是让学生把该问题转化到整除问题，也可简单复习连续自然数求和与项数的关系．2. （例3）在1，2，3，……，1995，这1995个数中找出所有满足下面条件的数a 来：（1995+a ）能整除1995×a.分析：1995a 1995+a ⨯是自然数，所以1995a 199519951995-=1995+a 1995+a⨯⨯也是自然数，即1995+a 是1995×1995的约数.因为：1995×1995=32×52×72×192，，它在1995与2×1995之间的约数有32×192=3249，7×192=2527，3×72×19=2793，52×7×19=3325，32×5×72=2205，3×52×72=3675，于是a 的值有6个，即3249-1995=1254，2527-1995=532，2793-1995=798，3325-1995=1330，2205-1995=210，3675-1995=1680.3. （例4）已知p 、q 都是大于1的整数，并且qp 12-和p q 12-都是整数，那么p ＋q 的值是多少？ 分析：根据对称性，不妨设p q ≥，于是21q p-为大于0、小于2的整数，只能等于1.由于21q p -=，可将21p q -化为34q-，这样3q =，5p =，所以8p q +=.4. （例5）把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末53位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？分析：1到10的乘积里会出现2×5和10两次末尾添零的情况，估算从200开始，是49个0，还要扩大至220时加4个0，所以最小的数应该是220，而最大应该是224．5. （例6）二百零一位数11…1□22…2（其中1和2各有100个）能被13整除，那么中间方格内应填什么数？分析：由111111被13整除，而100=6×16+4，故原来被13整除的算式即变为13｜1111□2222；还可变为13｜333-1□2，即可知方格应填1．6. （例7）已知数022983298329832983个 n 能被18整除，那么n 的最小值是多少？分析：13n+2=9k ，所以k=6 时，n=4位最小值.人生要学会遗忘人生在世，忧虑与烦恼有时也会伴随着欢笑与快乐的．正如失败伴随着成功，如果一个人的脑子里整天胡思乱想，把没有价值的东西也记存在头脑中，那他或她总会感到前途渺茫，人生有很多的不如意．所以，我们很有必要对头脑中储存的东西，给予及时清理，把该保留的保留下来，把不该保留的予以抛弃．那些给人带来诸方面不 利的因素，实在没有必要过了若干年还值得回味或耿耿于怀．这样，人才能过得快乐洒脱一点．众所周知，在社会这个大家庭里，你要想赢得别人的尊重，你首先必须尊重别人，多记住别人的优点，而学会遗忘别人的过失．其次，一个人要学会遗忘自己的成绩，有些人稍微做了一点成绩就骄傲起来，沾沾自喜，这显然是造成失败的一个原因．成绩只是过去，要一切从零开始，那样才能跨越人生新的境界．同时，一个人自己对他人的帮助，应该看作是一件微不足道小事，以至于遗忘．这样，你的处事之道方能获得他人的赞许．人生需要反思，需要不断总结教训，发扬优点，克服缺点．要学会遗忘，用理智过滤去自己思想上的杂质，保留真诚的情感，它会教你陶冶情操．只有善于遗忘，才能更好地保留人生最美好的回忆．成长故事。
小学五年级奥数数的整除问题例题
小学五年级奥数数的整除问题例题奥数注重学生分析、解决问题能力的培养，有它独特的解题思路和方法，快来做做奥数题来锻炼自己吧!下面是为大家收集到的五年级奥数数的整除问题例题，供大家参考。
试问，能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上，使得在任何5个相连的数中，都至少有两个数可被3整除?如果回答：“可以”，则只要举出一种排法;如果回答：“不能”，则需给出说明.
点：数的整除特征.
分析：根据题意，可采用假设的方法进行分析，100个自然数任意的5个数相连，可以分成20个组，使得在任何5个相连的数中，都至少有两个数可被3整除，那么会有40个数是3的倍数，事实上在1至100的自然数中只有33个是3倍数，所以不能.
解答：假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数，按所排列顺序将它们每5个分为一组，可得20组，
其中每两组都没有共同的数，于是，在每一组的5个数中都至少有两个数是3的倍数.
从而一共会有不少于40个数是3的倍数.但事实上在1至100的这100个自然数中只有33个数是3的倍数，
以上是查字典数学网为大家准备的五年级奥数数的整除问
题例题，希望对大家有所帮助。
五年级奥数-②数的整除(2)
数的整除（2）(4.9)姓名_______________数的整除特征：①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
例如：判断13574是否是11的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0。
因为0是任何整数的倍数，所以11｜0。
因此13574是11的倍数。
例如：判断1059282是否是7的倍数？解：把1059282分为1059和282两个数。
因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282。
因此1059282是7的倍数。
例如：判断3546725能否被13整除？解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821。
再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725.例1、36、60、87、95、104、123、235、396、432、505、606、712、918这些数中。
能被2整除的数有________________________________________；是3的倍数的有_________________________________；5的倍数有____________________________。
小学5年级数整除(奥数真题)
崔氏五年级第七八讲 数的整除的综合运用㈠㈡特说明：数的整除综合应用共分2讲，所选高频考题与今年真题均为这2讲范围之内的，共30道题目。
今后如有类似情况(连续两讲为同一知识点的一，二)，2讲补充题均合并为1讲，共出30道题。
1 ．在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数。
⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； ⑵一共有多少种满足条件的填法？２．⑴从1～3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除？⑵从1～3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？3．在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有 个。
4．(第2届华杯赛初赛第14题)用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？5 ．右图的方格表中已经填入了9个数，其余20个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘以它上面方格中的数。
比如a =5×10=50，b =5×12=60。
那么c 方格内所填的自然数的末尾有___个连续的0。
cba 252015105161412106．右图中最上排有五个数，将相邻两个数的乘积写在它们之间下方的圈内。
第二排的四个数填完后，再依次填第三、四、五排，第五排中的数A 的末尾共有多少个0？7 ．(2008年数学解题能力展示初赛试题)已知九位数2007122□□既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少？8．试证明n n位原序数与位反序数的差一定是999n n的倍数为奇数时的倍数为偶数时 (如：12365为原序数，那么它对应的反序数为56321，它们的差43956是99的倍数.)9．如图，把1～9这9个数字放在一个圆圈上。
请在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数(比如在7和8之间剪开，就形成了826543197和791345628这两个九位数)．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么可以从哪两个数字之间剪开？98765432110 ．对怎样的最小值n ，数122221n 个2被9999个9整除？11．一个19位数99777744444⋅⋅⋅Ο⋅⋅⋅个个能被13整除，求О内的数字． A 292025151212．(2003年希望杯第1届五年级2试第3题)六位数2003□□能被99整除，它的最后两位数是。
小学五年级数学奥数题五篇
小学五年级数学奥数题五篇1.小学五年级数学奥数题1、用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数是多少?答案：∵要求的数去除30、60、75都能整除，要求的数是30、60、75的公约数。
又∵要求符合条件的的数，就是求30、60、75的公约数。
解：∵(30，60，75)=53=15这个数是15。
2、以除代乘①48×25②568×125③3.44×0.05分析与解①48×25=48×（25×4）÷4=4800÷4=1200②568×125=568×（125×8）÷8=568000÷8=71000③344×0.05=344×5×0.0001=344×10÷2×0.001=0.0172一分数分别与5、25、125相乘，可以先把这个数分别扩大10倍、100倍、1000倍，然后再分别除以2、除以4、除以8，这种方法叫做以除代乘法。
2.小学五年级数学奥数题1、一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟。
在同样的风速下，逆风跑70米，也用了10秒钟。
问：在无风的时候，他跑100米要用多少秒？答案与解析：顺风时速度=90÷10=9（米/秒），逆风时速度=70÷10=7（米/秒）无风时速度=（9+7）×1/2=8（米/秒），无风时跑100米需要100÷8=12.5（秒）2、李明、王宁、张虎三个男同学都各有一个妹妹，六个人在一起打羽毛球，举行混合双打比赛。
事先规定。
兄妹二人不许搭伴。
第一盘，李明和小华对张虎和小红；第二盘，张虎和小林对李明和王宁的妹妹。
请你判断，小华、小红和小林各是谁的妹妹。
解答：因为张虎和小红、小林都搭伴比赛，根据已知条件，兄妹二人不许搭伴，所以张虎的妹妹不是小红和小林，那么只能是小华，剩下就只有两种可能了。
五年级下册数学试题- 奥数第02讲：整除 人教版(含答案)
第2讲：数的整除内容概述：掌握整除的概念和基本性质，掌握能被某些特殊数整除的数的特征。
通过分析整除特征解决数的补填问题，以及多位数的构成问题等。
典型问题：兴趣篇1.下面有9个自然数：14,35，80,152，650,434,4375，9064，24125。
在这些自然数中，请问：（1）有哪些数能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？（2）有哪些数能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除？【分析】(1)能被2整除的数末位应是2的倍数，有：14，80，152，650，434，9064,；能被4整除的末两位应为4的倍数，有：80,152,9064；能被8整除的末三位应为8的倍数，有：80,152,9064；（2）能被5整除的末位应为5的倍数，有35,80,650,4375,24125；能被25整除的末两位应为25的倍数，有：650,4375,24125；能被125整除的末三位应为125的倍数，有：4375,24125；2.有如下9个三位数：452，387，228，975，525，882，715，775，837。
这些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能同时被2和3整除？【分析】能被3整除的应为数字和为3的倍数，有：387,228,975,525,882,837；能被9整除的数字和应为9的倍数，有：387，882，837；能同时被2和3整除的数有：228、882。
3.一个三位数64的十位数字未知。
请分别根据下列要求找出“”中合适的取值：（1）如果要求这个三位数能被3整除，“”可能等于多少？（2）如果要求这个三位数能被4整除，“”可能等于多少？（3）这个三位数有没有可能同时被3和4整除，如果有可能，“”可能等于多少？【分析】 （1）数字和保证是3的倍数，则可填写2,5,8；（2）能被4整除，则末两位能被4整除，则可填写0、2、4、6、8；（3）既能被3又能被4整除，则两者均需符合，应填2或者84.新学年开学了，同学们要改穿新的校服。
五年级奥数专题-数的整除
五年级奥数专题-数的整除如果整除a 除以不为零数b,所得的商为整数而余数为0,我们就说a 能被b 整除,或叫b 能整除a.如果a 能被b 整除,那么,b 叫做a 的约数,a 叫做b 的倍数.数的整除的特征：（1） 能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0,那么这个整数一定能被2整除.（2） 能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除,那么这个整数一定能被3（或9）整除.（3） 能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除,那么这个数就一定能被4（或25）整除.（4） 能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5,那么这个整数一定能被5整除.（5） 能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除,又能被3整除,那么这个数就一定能被6整除.（6） 能被7（或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数,末三位为一个数,其余各位为另一个数,如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数,这个数就能被7（或11或13）整除.（7） 能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除,那么这个数就一定能被8（或125）整除.（8） 能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除,那么它必能被11整除.一、例题与方法指导例1. 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.思路导航：一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能或又 23056088=2620238568÷88=2711所以,本题的答案是2620或2711.例2. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____.思路导航：因为36=9⨯4,所以这个十一位数既能被9整除,又能被4整除.因为1+2+…+9=45,由能被9整除的数的特征,（可知□+□之和是0（0+0）、9（1+8,8+1,2+7,7+2,3+6,6+3,4+5,5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的数的特征:这个数的末尾两位数是4的倍数,可知□□是00,04,…,36,…,72,…96.这样,这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性.所以,这个数的个位上的数最小是0.例3. 下面一个1983位数33…3□…4中间漏写了一个数字(方框),已 991个 991个知这个多位数被7整除,那么中间方框内的数字是_____.思路导航：33...3□44 (4)991个个=33...3⨯10993+3□4⨯10990+44 (4)990个 990个因为111111能被7整除,所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要990个 990个3□4能被7整除,原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是6.例4. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.思路导航：三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是11的倍数,而3与11互质,所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.所以有当和为33时,三个数是10,11,12；当和为66时,三个数是21,22,23；当和为99时,三个数是32,33,34.所以,答案为 10,11,12或21,22,23或32,33,34.[注]“三个连续自然数的和必能被3整除”可证明如下：设三个连续自然数为n,n+1,n+2,则n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)所以,)2+nn+n能被3整除.(+)1(+二、巩固训练1.有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是____.2.一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是_____.3.任取一个四位数乘3456,用A表示其积的各位数字之和,用B表示A的各位数字之和,C表示B的各位数字之和,那么C是_____.4.有0、1、4、7、9五个数字,从中选出四个数字组成不同的四位数,如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来,第五个数的末位数字是_____.1. 118符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,如果十位数不变,则个位增加1,其和便不能整除4,因此个位数一定是9,这种两位数有:39、79.所以,所求的和是39+79=118.2． 195因为这个数可以分解为两个两位数的积,而且15⨯15=225>200,所以其中至少有1个因数小于15,而且这些因数均需是奇数,但11不可能符合条件,因为对于小于200的自然数凡11的倍数,具有隔位数字之和相等的特点,个位百位若是奇数,十位必是偶数.所以只需检查13的倍数中小于200的三位数13⨯13=169不合要求,13⨯15=195适合要求.所以,答案应是195.3. 9根据题意,两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能.因为3456=384⨯9,所以任何一个四位数乘3456,其积一定能被9整除,根据能被9整除的数的特征,可知其积的各位数字之和A也能被9整除,所以A有以下八种可能取值:9,18,27,36,45,54,63,72.从而A的各位数字之和B总是9,B的各位数字之和C也总是9.4. 9∵0+1+4+7+9=21能被3整除,∴从中去掉0或9选出的两组四个数字组成的四位数能被3整除.即有0,1,4,7或1,4,7,9两种选择组成四位数,由小到大排列为:1047,1074,1407,1470,1479,1497….所以第五个数的末位数字是9.三、拓展提升1. 找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少？2．只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改？3． 500名士兵排成一列横队.第一次从左到右1、2、3、4、5（1至5）名报数；第二次反过来从右到左1、2、3、4、5、6（1至6）报数,既报1又报6的士兵有多少名？4. 试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”,则只要举出一种排法；如果回答：“不能”,则需给出说明.答案1. 如果最小的数是1,则和1一起能符合“和被差整除”这一要求的数只有2和3两数,因此最小的数必须大于或等于2.我们先考察2、3、4、5这四个数,仍不符合要求,因为5+2=7,不能被5-2=3整除.再往下就是2、3、4、6,经试算,这四个数符合要求.所以,本题的答案是(3+4)=7.2. 因为225=25 9,要使修改后的数能被25整除,就要既能被25整除,又能被9整除,被25整除不成问题,末两位数75不必修改,只要看前三个数字即可,根据某数的各位数字之和是9的倍数,则这个数能被9整除的特征,因为2+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-8,所以不难排出以下四种改法:把1改为0；把4改为3；把1改为9；把2改为1.3. 若将这500名士兵从右到左依次编号,则第一次报数时,编号能被5整除的士兵报1；第二次报数时,编号能被6整除的士兵报6,所以既报1又报6的士兵的编号既能被5整除又能被6整除,即能被30整除,在1至500这500个自然数中能被30整除的数共有16个,所以既报1又报6的士兵共有16名.4. 不能.假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数,我们来按所排列顺序将它们每5个分为一组,可得20组,其中每两组都没有共同的数,于是,在每一组的5个数中都至少有两个数是3 的倍数.从而一共有不少于40个数是3 的倍数.但事实上,在1至100的自然数中有33个数是3的倍数,导致矛盾.。
小学5年级数的整除(奥数真题)
位数除以 667 的结果是
。
16．(2009 年学而思五升六竞赛班选拔考试第 20 题)把数字 1 到 9 各使用一次，组成一个被
555667 整除的 9 位数，这个 9 位数是
。
17．如果一个五位数，它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的 25 倍．那么，这个五位 数的前两位的最大值是_________。
4．(第 2 届华杯赛初赛第 14 题)用 1、9、8、8 这四个数字能排成几个被 11 除余 8 的四位数？
5 ．右图的方格表中已经填入了 9 个数，其余 20 个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘 以它上面方格中的数。比如 a=5×10=50，b=5×12=60。那么 c 方格内所填的自然数的末 尾有___个连续的 0。
21．(2009 年迎春杯高年级复赛试题第 15 题)
老师给前来参加“迎春晚会”的 31 位同学发放编号：1，2，⋯31。如果有两位同学的编
号的乘积是它们编号和的倍数，则称这两位同学是“好朋友”。从这 31 位同学中至少需
要选出
人，才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是“好朋友”。
22．对于两个不同的整数，如果它们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如 70 与 30。 那么在 1，2，......，16 这 16 个整数中，有好数多少对？
23 ．(2004 年希望杯第二届五年级二试第 4 题，6 分)若四位数 9a8a 能被 15 整除，则 a 代表 的数字是 。
24．三位数中能被 11 整除，且数字之和为 11 的有( )个。
小学 5 年级 数的整除综合运用（奥数真题）
小学 5 年级 数的整除综合运用（奥数真题）
25．把 30 个自然数1， 2 ， 3 ， 30 乘到一起，那么这个乘积的末尾会有(
五年级奥数—数的整除性(一)
数的整除性（一）数的整除性质主要有：（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。
（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（4）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（5）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（7）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（8）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！（9）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（10）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
小学奥数之数的整除性(题目+答案)
数的整除性一、填空题1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____.2. 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.6. 所有能被3整除的两位数的和是______.7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____.8. 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____.9. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____.10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号.二、解答题11. 173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？12．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？14．试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.—答案——————————————————————1. 7已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.设3+A+A+1=9,则A=2.5,不合题意.再设3+A+A+1=18,则A=7,符合题意.事实上,37719=419.2. 1这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除.偶数位上数字和是5+7=12,因而,奇数位上数字和2+□+9应等于12,□内应填12-2-9=1.3. 990要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0.要能被3整除,又要是最大的三位数,这个数是990.4. 99960解法一: 能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999□0,可知方框内应填6.所以,能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960.解法二: 或者这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-70=99960.5. 3367先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.(1+2+3+...+100)-（3+6+9+12+ (99)=(1+100)2100-(3+99)233=5050-1683=33676. 1665能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下:12,15,18,21,…，96，99这一列数共30个数，其和为12+15+18+…+96+99=(12+99)302=16657. 96910或46915五位数能被55整除,即此五位数既能被5整除,又能被11整除.所以B=0或5.当B=0时,能被11整除,所以(A+9+0)-(6+1)=A+2能被11整除,因此A=9；当B=5时,同样可求出A=4.所以,所求的五位数是96910或46915.8. 90因为105=357,根据数的整除性质,可知这个六位数能同时被3、5和7整除。
小学奥数之数的整除性(题目+答案)
数的整除性一、填空题1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____.2. 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.6. 所有能被3整除的两位数的和是______.7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____.8. 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____.9. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____.10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号.二、解答题11. 173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？12．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？14．试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.—答案——————————————————————1. 7已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.设3+A+A+1=9,则A=2.5,不合题意.再设3+A+A+1=18,则A=7,符合题意.事实上,3771 9=419.2. 1这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除.偶数位上数字和是5+7=12,因而,奇数位上数字和2+□+9应等于12,□内应填12-2-9=1.3. 990要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0.要能被3整除,又要是最大的三位数,这个数是990.4. 99960解法一:能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999□0,可知方框内应填6.所以,能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960.解法二:或者这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-70=99960.5. 3367先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.(1+2+3+...+100)-（3+6+9+12+ (99)=(1+100)÷2⨯100-(3+99)÷2⨯33=5050-1683=33676. 1665能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下:12,15,18,21,…，96，99这一列数共30个数，其和为12+15+18+…+96+99=(12+99)⨯30÷2=16657. 96910或46915A691能被55整除,即此五位数既能被5整除,又能被11整除.所以B=0或5.当B=0五位数BA能被11整除,所以(A+9+0)-(6+1)=A+2能被11整除,因此A=9；当B=5时,同样可求出A=4.时,6910所以,所求的五位数是96910或46915.8. 90因为105=3⨯5⨯7,根据数的整除性质,可知这个六位数能同时被3、5和7整除。
五年级(奥数) 数的整除
五年级数的整除
1、有三根铁丝，分别长12厘米、18厘米、54厘米。
要把它们都截成同样长的小段不许剩余，每段最长是多少厘米？一共能截多少段？
2、五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育锻炼，要把它们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱。
最多每组多少人？每班各分多少组？
3、一张长方形纸长112厘米，宽80厘米，把它剪成若干个同样大小的正方形，使边长是
整厘米且不能有剩余，最少能剪多少个？
4、用长16厘米，宽14厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用这样的木板多
少块？
5、张妮有若干张画片，7张一数还余4张，5张一数又少3张，3张一数正好。
问：张妮
至少有多少张画片？
6、五年级两个班的学生一起排队去做操，如果9人排一队，多出一人；如果10人排一队，同样多出一个人。
这两个班最少共有多少人？
7、有一篮鸡蛋，每按4个一堆分多一个；按5个一堆分多1个；按每6个一堆分也多1个。
这篮鸡蛋至少有多少个？
8、一个四位数9□2□既有约数2，又是3的倍数，同时又能被5整除。
这个四位数最大是什么？
9、六位数“568□□□”能同时被2、3、5整除。
求这样的六位数中最小的一个是多少？。
五年级奥数-数的整除问题
五年级奥数-数的整除问题介绍本文档将涵盖五年级奥数中与数的整除问题相关的内容。
数的整除是数学中的一项基本概念，它在解决实际问题和数学推理中起着重要的作用。
数的整除定义两个整数a和b，若存在整数c，使得c * b = a，则称a能被b 整除，记作b|a。
其中a称为被除数，b称为除数，c称为商。
整除的特性1. 如果a能被b整除，那么a的所有倍数也能被b整除。
2. 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a也能被c整除。
3. 如果a能被b整除，b能被a整除，那么a和b相等。
判断一个数能否被另一个数整除的方法1. 试除法：从除数的最小可能取值开始逐步增加，直到找到一个能整除被除数的除数或者超过了被除数的一半。
如果找到了能整除的除数，则其为被除数的因数；否则，被除数为质数。
试除法：从除数的最小可能取值开始逐步增加，直到找到一个能整除被除数的除数或者超过了被除数的一半。
如果找到了能整除的除数，则其为被除数的因数；否则，被除数为质数。
2. 质因数分解法：将被除数和除数都进行质因数分解，然后比较它们的质因数是否相同。
如果除法相同，则说明除数能够整除被除数；否则，不可整除。
质因数分解法：将被除数和除数都进行质因数分解，然后比较它们的质因数是否相同。
如果除法相同，则说明除数能够整除被除数；否则，不可整除。
数的整除问题的应用数的整除问题在实际生活和数学中都有广泛的应用，例如：1. 分配问题：将一定数量的物品平均分给每个人，需要确定每个人能够得到多少个物品，就需要解决数的整除问题。
2. 判断质数：质数是只能被1和自身整除的数，通过判断能否被其他数整除，可以检验一个数是否为质数。
3. 数论问题：在数论研究中，数的整除问题是一个重要的主题，涉及到数的性质和结构等方面。
总结数的整除是五年级奥数中的基本概念之一，通过研究整除的定义、特性和判断方法，可以解决实际问题和进行数学推理。
在实际生活和数学领域中，数的整除问题有着广泛的应用，我们应该加强对该概念的理解和掌握。
小学五年级奥数题数的整除问题
小学五年级奥数题数的整除问题
做奥数题有助于我们能力的提拔，不仅在数学方面，其他方面也是很有帮助的，主要是让我们多动脑思考。
下面是查字典数学网为大众分享的五年级奥数题数的整除标题，希望对大众有帮助！
奥数题数的整除标题
从左向右编号为1至1991号的1991名同砚排成一行，从左向右1至11报数，报数为11的同砚原地不动，别的同砚出列;然后留住的同砚再从左向右1至11报数，报数为11的留住，别的同砚出列;留住的同砚第三次从左向右1至11报数，报到11的同砚留住，别的同砚出列，那么最后留住的同砚中，从左边数第一个别的最初编号是()号。
剖析：第一次报数留住的同砚，最初编号都是11的倍数;这些留住的连续报数，那么再留住的学生最初编号便是
11×11=121的倍数，依次类推即可得出最后留住的学生的最初编号.
解：第一次报数后留住的同砚最初编号都是11倍数;
第二次报数后留住的同砚最初编号都是121的倍数;
第三次报数后留住的同砚最初编号都是1331的倍数;
所以最后留住的只有一位同砚，他的最初编号是1331; 答：从左边数第一个别的最初编号是1331号.
以上是查字典数学网为大众分享的五年级奥数题数的整除
标题，大众抓紧练习，争取取得好成绩！。
小学五年级奥数题数的整除问题
小学五年级奥数题数的整除问题做奥数题有助于我们能力的提升，不仅在数学方面，其他方面也是专门有关心的，要紧是让我们多动脑摸索。
下面是查字典数学网为大伙儿分享的五年级奥数题数的整除问题，期望对大伙儿有关心！奥数题数的整除问题从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行，从左向右1至1 1报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的留下，其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数，报到11的同学留下，其余同学出列，那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是()号。
分析：第一次报数留下的同学，最初编号差不多上11的倍数;这些留下的连续报数，那么再留下的学生最初编号确实是11×11=121的倍数，依次类推即可得出最后留下的学生的最初编号.解：第一次报数后留下的同学最初编号差不多上11倍数;第二次报数后留下的同学最初编号差不多上121的倍数;第三次报数后留下的同学最初编号差不多上1331的倍数;因此最后留下的只有一位同学，他的最初编号是1331;事实上,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是经历有技巧,“死记”之后会“活用”。
不记住那些基础知识,如何会向高层次进军?专门是语文学科涉猎的范畴专门广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时刻让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。
如此,就会在有限的时刻、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。
日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。
答：从左边数第一个人的最初编号是1331号.家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情形及时传递给家长，要求小孩回家向家长朗诵儿歌，表演故事。
我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高专门快。
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3. 在小于 5000 的自然数中，能被 11 整除，并且数字和为 13 的数，共有 个。 【分析】 （1）、两位数字中能被 11 整除的数字是 11 、 22 、…… 99 这些数字中显然没有这 样的数. （ 2 ）、三位数，设这个三位数为 abc ，有 a + b + c = 13 和 a + c − b = 11 ，显然有 a+c= 12 ， b = 1 ，所以就有 913 ， 814 ， 715 ， 616 ， 517 ， 418 ， 319 这 7 个. （ 3 ） 、 四 位 数 ， 设 这 个 四 位 数 为 abcd ， ① 有 a + b + c + d = 13 和 ( a + c ) − ( b + d ) = 11 中，若 a + c = 1 则 a = 3 或 4 有 2 种组合， b 和 d 12 ， b + d = 有 2 种.因此有 4 种；② 有 a + b + c + d = 13 和( b + d ) − ( a + c ) = 11 ， a + c = 1， b+d = 12 ，则只能 a = 1 ， c = 0 ， b 和 d 有 7 种组合. 综上所述，这样的数有 7 + 4 + 7 = 18 个。
8 7
2 6
9 1
10 ．对怎样的最小值 n，数 122 221 9 整除？ 被 99
n个2 9个9
5 3 4
11．一个 19 位数 77 ⋅⋅⋅ 77 Ο 444 ⋅⋅⋅ 44 能被 13 整除，求 О 内的数字．
9个 9个
小学 5 年级 数的整除综合运用（奥数真题）
)个。
小学 5 年级 数的整除综合运用（奥数真题）
小学 5 年级 数的整除综合运用（奥数真题）
25．把 30 个自然数 1 ， 2 ， 3 ， 30 乘到一起，那么这个乘积的末尾会有(
)个 0。
26．要使 26abcd 2 能被 36 整除，而且所得的商最小，那么 a、b、c、d 的和是(
)。
5 ．右图的方格表中已经填入了 9 个数，其余 20 个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘 以它上面方格中的数。比如 a=5×10=50，b=5×12=60。那么 c 方格内所填的自然数的末 尾有___个连续的 0。
10 12 14 16 5 a 10 15 20 25 c b
小学 5 年级 数的整除综合运用（奥数真题）
22．对于两个不同的整数，如果它们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如 70 与 30。 那么在 1，2，......，16 这 16 个整数中，有好数多少对？
23 ．(2004 年希望杯第二届五年级二试第 4 题，6 分)若四位数 9a8a 能被 15 整除，则 a 代表 的数字是 。
24．三位数中能被 11 整除，且数字之和为 11 的有(
1 1 1 1 1 2
再考虑因数 2，其累积过程如下图。
0 2 5
0 2
0 2
2 3 4
7 9 9 16 25
5 14 30 55 7 21 51 106
1 2 0 1 0 2 0
由于 5 多于 2，则 c 方格内所填的自然数有 102 个 0。
1 4
4
1 2 2
3
8 5 9 17 7 16 33
4 11 27 60 4 15 42 102
２．⑴从1～3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除？ ⑵从 1～3998 这 3998 个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被 4 整除？
3．在小于 5000 的自然数中，能被 11 整除，并且数字和为 13 的数，共有
个。
4． (第 2 届华杯赛初赛第 14 题)用 1、 9、 8、 8 这四个数字能排成几个被 11 除余 8 的四位数？
6．右图中最上排有五个数，将相邻两个数的乘积写在它们之间下方的圈内。第二排的四个 数填完后，再依次填第三、四、五排，第五排中的数 A 的末尾共有多少个 0 ？
15 20 25 29
12
A
7 ．(2008 年数学解题能力展示初赛试题)已知九位数 2007□□ 12 2 既是 9 的倍数，又是 11 的 倍数；那么，这个九位数是多少？
12．(2003 年希望杯第 1 届五年级 2 试第 3 题)六位数 2003□□能被 99 整除，它的最后两位数 是 。
13．六位数 20□□08 能被 99 整除，□□是
.
14．(第 7 届希望杯培训试题)在六位数 11 □□11 中的两个方框内各填入一个数字，使此数能 被 17 和 19 整除，那么方框中的两位数是多少？ ：
5. 右图的方格表中已经填入了 9 个数， 其余 20 个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘以 它上面方格中的数。比如 a=5×10=50，b=5×12=60。那么 c 方格内所填的自然数的末尾有 ___个连续的 0。
10 12 14 16 5 a 10 15 20 25 c b
【分析】由于考虑的是 c 末尾有多少个连续的 0，则只需考虑有多个 5，有多少个 2 即可。 先考虑因数 5，其累积如下图：
小学 5 年级 数的整除综合运用（奥数真题）
4. （第 2 届华杯赛初赛第 14 题）用 1、9、8、8 这四个数字能排成几个被 11 除余 8 的四 位数？ 【分析】 用 1、9、8、8 可排成 12 个四位数，即 1988，1898，1889，9188，9818，9881， 8198，8189，8918，8981，8819，8891 它们减去 8 变为 1980，1890，1881，9180，9810，9873，8190，8181，8910，8973， 8811，8883。其中被 11 整除的仅有 1980，1881，8910，8811，即用 1、9、8、8 可排成 4 个被 1 除余 8 的四位数，即 1988，1889，8918，8819。
小学 5 年级 数的整除综合运用（奥数真题）
崔氏五年级第七八讲 数的整除的综合运用㈠㈡
特说明： 数的整除综合应用共分 2 讲，所选高频考题与今年真题均为这 2 讲范围之内的，共 30 道题 目。今后如有类似情况(连续两讲为同一知识点的一，二)，2 讲补充题均合并为 1 讲，共出 30 道题。 1 ．在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使 4□32□是 9 的倍数。 ⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； ⑵一共有多少种满足条件的填法？
27．刘叔叔给 18 名工人发完工资后，把总钱数写在一张纸上，可是由于他吸烟不小心，火 星落在纸上，把这笔帐的总数烧去两个数字， 97 8 ，刘叔叔记得每名工人的工资都 一样，而且都是整数元，每名工人的工资最高可能是( )。
28．六位自然数，1082□□能被 12 整除，末两位数有
种情况。
29．(全国小学数学奥林匹克) 整除，那么 n 的最小值是
n 99的倍数为奇数时 8．试证明 n位原序数与位反序数 的差一定是 n n 9的倍数为偶数时
(如： 12365 为原序数，那么它对应的反序数为 56321 ，它们的差 43956 是 99 的倍数.)
9．如图，把 1～9 这 9 个数字放在一个圆圈上。请在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和 逆时针次序形成两个九位数(比如在 7 和 8 之间剪开， 就形成了 826543197 和 791345628 这两个九位数)．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被 396 整除，那么可以从 哪两个数字之间剪开？
17．如果一个五位数，它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的 25 倍．那么，这个五位 数的前两位的最大值是_________。
18． N 是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每一个数字整除。 N 的最大值是多 少？
小学 5 年级 数的整除综合运用（奥数真题）
19．已知 ABABA 能被 22 整除，B-A 的最大值为
15．(2009 年迎春杯五年级初赛第 8 题) 将数字 4，5，6，7，8，9 各使用一次，组成一个被 667 整除的 6 位数，那么，这个 6 位数除以 667 的结果是 。
16．(2009 年学而思五升六竞赛班选拔考试第 20 题)把数字 1 到 9 各使用一次，组成一个被 555667 整除的 9 位数，这个 9 位数是 。
n个 2005
。
30．把三位数 3ab 接连重复写下去，共写 1993 个 3ab ，所得的数 3 ab3 ab 3 ab 恰是 91 的倍
1993个 3 ab
数，试求 ab = ？
小学 5 年级 数的整除综合运用（奥数真题）
特说明：数的整除综合应用共分 2 讲，所选高频考题与今年真题均为这 2 讲范围之内的，共 30 道题目。今后如有类似情况（连续两讲为同一知识点的一，二） ，2 讲补充题均合并为 1 讲，共出 30 道题。 1. 在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使 4□32□是 9 的倍数． （1） 、请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； （2） 、一共有多少种满足条件的填法？ 【分析】 一个数是 9 的倍数，那么它的数字和就应该是 9 的倍数，即 4 + □ + 3 + 2 + □是 9 的倍数，而 4 + 3 + 2 = 9, 所以只需要两个方框中的数的和是 9 的倍数． ⑴依次填入 3、6，因为 4 + 3 + 3 + 2 + 6 = 18 是 9 的倍数，所以 43326 是 9 的倍数； ⑵经过分析容易得到两个方框内的数的和是 9 的倍数，如果和是 9,那么可以是 （9,0） ； （8,1） ； （7,2） ； （6,3） ； （5,4） ； （4,5） ； （3,6） ； （2,7） ； （1,8） ； （0,9） ， 共 10 种情况，还有（0,0）和（9,9） ，所以一共有 12 种不同的填法。 2. (1）从1～3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除？ （2）从 1～3998 这 3998 个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被 4 整除？ 【分析】 （1）第一问比较简单，3998÷4=999…6所以1～3998中有996个能被4整除的 （2）考虑数字和，如果一个一个找规律我们会发现规律是不存在的，因此我们考 虑分组的方法，我们补充2个数，0000和3999，此外所有的一位两位三位数都在前 面加上0补足4位，然后对这4000个数做如下分组：（0000，1000，2000，3000）， （0001，1001，2001，3001），（0002，1002，2002，3002）， …(0999，1999， 2999，3999)，共1000组，容易发现每一组恰好有个数字和是4的倍数，因此共有 1000个数字和是4的倍数，但注意到我们补充了一个0000进去．所以原来的3998个 数里，有999个数字和是4的倍数． 方法二、考虑个位，选法有10种；十位，选法有10种；百位选法有10种；选定之 后个位、十位、百位数字之和除以4的余数有3种情况，余0、余1、余2、余3，对 应这四种在千位上刚好有一种与之对应，共有1000个，1000-1=999.