小学5年级数的整除(奥数真题)

3. 在小于 5000 的自然数中，能被 11 整除，并且数字和为 13 的数，共有 个。 【分析】 （1）、两位数字中能被 11 整除的数字是 11 、 22 、…… 99 这些数字中显然没有这 样的数. （ 2 ）、三位数，设这个三位数为 abc ，有 a + b + c = 13 和 a + c − b = 11 ，显然有 a+c= 12 ， b = 1 ，所以就有 913 ， 814 ， 715 ， 616 ， 517 ， 418 ， 319 这 7 个. （ 3 ） 、 四 位 数 ， 设 这 个 四 位 数 为 abcd ， ① 有 a + b + c + d = 13 和 ( a + c ) − ( b + d ) = 11 中，若 a + c = 1 则 a = 3 或 4 有 2 种组合， b 和 d 12 ， b + d = 有 2 种.因此有 4 种；② 有 a + b + c + d = 13 和( b + d ) − ( a + c ) = 11 ， a + c = 1， b+d = 12 ，则只能 a = 1 ， c = 0 ， b 和 d 有 7 种组合. 综上所述，这样的数有 7 + 4 + 7 = 18 个。
22．对于两个不同的整数，如果它们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如 70 与 30。 那么在 1，2，......，16 这 16 个整数中，有好数多少对？
23 ．(2004 年希望杯第二届五年级二试第 4 题，6 分)若四位数 9a8a 能被 15 整除，则 a 代表 的数字是 。
24．三位数中能被 11 整除，且数字之和为 11 的有(
1 1 1 1 1 2
再考虑因数 2，其累积过程如下图。
0 2 5
0 2
0 2
2 3 4
7 9 9 16 25
5 14 30 55 7 21 51 106
1 2 0 1 0 2 0
由于 5 多于 2，则 c 方格内所填的自然数有 102 个 0。
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4
1 2 2
3
8 5 9 17 7 16 33
4 11 27 60 4 15 42 102
12．(2003 年希望杯第 1 届五年级 2 试第 3 题)六位数 2003□□能被 99 整除，它的最后两位数 是 。
13．六位数 20□□08 能被 99 整除，□□是
.
14．(第 7 届希望杯培训试题)在六位数 11 □□11 中的两个方框内各填入一个数字，使此数能 被 17 和 19 整除，那么方框中的两位数是多少？ ：
5 ．右图的方格表中已经填入了 9 个数，其余 20 个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘 以它上面方格中的数。比如 a=5×10=50，b=5×12=60。那么 c 方格内所填的自然数的末 尾有___个连续的 0。
10 12 14 16 5 a 10 15 20 25 c b
小学 5 年级 数的整除综合运用（奥数真题）
5. 右图的方格表中已经填入了 9 个数， 其余 20 个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘以 它上面方格中的数。比如 a=5×10=50，b=5×12=60。那么 c 方格内所填的自然数的末尾有 ___个连续的 0。
10 12 14 16 5 a 10 15 20 25 c b
【分析】由于考虑的是 c 末尾有多少个连续的 0，则只需考虑有多个 5，有多少个 2 即可。 先考虑因数 5，其累积如下图：
２．⑴从1～3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除？ ⑵从 1～3998 这 3998 个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被 4 整除？
3．在小于 5000 的自然数中，能被 11 整除，并且数字和为 13 的数，共有
个。
4． (第 2 届华杯赛初赛第 14 题)用 1、 9、 8、 8 这四个数字能排成几个被 11 除余 8 的四位数？
27．刘叔叔给 18 名工人发完工资后，把总钱数写在一张纸上，可是由于他吸烟不小心，火 星落在纸上，把这笔帐的总数烧去两个数字， 97 8 ，刘叔叔记得每名工人的工资都 一样，而且都是整数元，每名工人的工资最高可能是( )。
28．六位自然数，1082□□能被 12 整除，末两位数有
种情况。
29．(全国小学数学奥林匹克)如果 20052005 200501 能被 11 整除，那么 n 的最小值是
8 7
2 6
9 1
10 ．对怎样的最小值 n，数 122 221 9 整除？ 被 99
n个2 9个9
5 3 4
11．一个 19 位数 77 ⋅⋅⋅ 77 Ο 444 ⋅⋅⋅ 44 能被 13 整除，求 О 内的数字．
9个 9个
小学 5 年级 数的整除综合运用（奥数真题）
17．如果一个五位数，它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的 25 倍．那么，这个五位 数的前两位的最大值是_________。
18． N 是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每一个数字整除。 N 的最大值是多 少？
小学 5 年级 数的整除综合运用（奥数真题）
19．已知 ABABA 能被 22 整除，B-A 的最大值为
15．(2009 年迎春杯五年级初赛第 8 题) 将数字 4，5，6，7，8，9 各使用一次，组成一个被 667 整除的 6 位数，那么，这个 6 位数除以 667 的结果是 。
16．(2009 年学而思五升六竞赛班选拔考试第 20 题)把数字 1 到 9 各使用一次，组成一个被 555667 整除的 9 位数，这个 9 位数是 。
)个。
小学 5 年级 数的整除综合运用（奥数真题）
小学 5 年级 数的整除综合运用（奥数真题）
25．把 30 个自然数 1 ， 2 ， 3 ， 30 乘到一起，那么这个乘积的末尾会有(
)个 0。
26．要使 26abcd 2 能被 36 整除，而且所得的商最小，那么 a、b、c、d 的和是(
)。
小学 5 年级 数的整除综合运用（奥数真题）
小学 5 年级 数的整除综合运用（奥数真题）
6. 右图中最上排有五个数，将相邻两个数的乘积写在它们之间下方的圈内。第二排的四个 数填完后，再依次填第三、四、五排，第五排中的数 A 的末尾共有多少个 0 ？
12 15 20 25 29
A
【分析】 几个整数的乘积，如果要确定它后面的几个 0，可以用这样的办法：把每个乘数分 解质因数，把分解中 2 的重数加起来，5 的重数也加起来，看哪一个小，哪一个就 是乘积尾部 0 的个数． 我们可以分别计算质因数 2 和 5 的重数． 为此我们画两个图(如右上图)， 由图可知 A 中含有 14 个因数 2，18 个因数 5，所以末尾有 14 个 0。
.
20．(2010 年“数学解题能力展示”五年级初赛)已知一个五位回文数等于 45 与一个四位回文 数的乘积(即 abcba = 45 × deed )，那么这个五位回文数最大的可能值是_____.
21．(2009 年迎春杯高年级复赛试题第 15 题) 老师给前来参加“迎春晚会”的 31 位同学发放编号：1，2，⋯31。如果有两位同学的编 号的乘积是它们编号和的倍数，则称这两位同学是“好朋友”。从这 31 位同学中至少需 要选出 人，才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是“好朋友”。
6．右图中最上排有五个数，将相邻两个数的乘积写在它们之间下方的圈内。第二排的四个 数填完后，再依次填第三、四、五排，第五排中的数 A 的末尾共有多少个 0 ？
15 20 25 29
12
A
7 ．(2008 年数学解题能力展示初赛试题)已知九位数 2007□□ 12 2 既是 9 的倍数，又是 11 的 倍数；那么，这个九位数是多少？
n个 2005
。
30．把三位数 3ab 接连重复写下去，共写 1993 个 3ab ，所得的数 3 ab3 ab 3 ab 恰是 91 的倍
1993个 3 ab
数，试求 ab = ？
小学 5 年级 数的整除综合运用（奥数真题）
特说明：数的整除综合应用共分 2 讲，所选高频考题与今年真题均为这 2 讲范围之内的，共 30 道题目。今后如有类似情况（连续两讲为同一知识点的一，二） ，2 讲补充题均合并为 1 讲，共出 30 道题。 1. 在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使 4□32□是 9 的倍数． （1） 、请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； （2） 、一共有多少种满足条件的填法？ 【分析】 一个数是 9 的倍数，那么它的数字和就应该是 9 的倍数，即 4 + □ + 3 + 2 + □是 9 的倍数，而 4 + 3 + 2 = 9, 所以只需要两个方框中的数的和是 9 的倍数． ⑴依次填入 3、6，因为 4 + 3 + 3 + 2 + 6 = 18 是 9 的倍数，所以 43326 是 9 的倍数； ⑵经过分析容易得到两个方框内的数的和是 9 的倍数，如果和是 9,那么可以是 （9,0） ； （8,1） ； （7,2） ； （6,3） ； （5,4） ； （4,5） ； （3,6） ； （2,7） ； （1,8） ； （0,9） ， 共 10 种情况，还有（0,0）和（9,9） ，所以一共有 12 种不同的填法。 2. (1）从1～3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除？ （2）从 1～3998 这 3998 个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被 4 整除？ 【分析】 （1）第一问比较简单，3998÷4=999…6所以1～3998中有996个能被4整除的 （2）考虑数字和，如果一个一个找规律我们会发现规律是不存在的，因此我们考 虑分组的方法，我们补充2个数，0000和3999，此外所有的一位两位三位数都在前 面加上0补足4位，然后对这4000个数做如下分组：（0000，1000，2000，3000）， （0001，1001，2001，3001），（0002，1002，2002，3002）， …(0999，1999， 2999，3999)，共1000组，容易发现每一组恰好有个数字和是4的倍数，因此共有 1000个数字和是4的倍数，但注意到我们补充了一个0000进去．所以原来的3998个 数里，有999个数字和是4的倍数． 方法二、考虑个位，选法有10种；十位，选法有10种；百位选法有10种；选定之 后个位、十位、百位数字之和除以4的余数有3种情况，余0、余1、余2、余3，对 应这四种在千位上刚好有一种与之对应，共有1000个，1000-1=999.
小学 5 年级 数的整除综合运用（奥数真题）
4. （第 2 届华杯赛初赛第 14 题）用 1、9、8、8 这四个数字能排成几个被 11 除余 8 的四 位数？ 【分析】 用 1、9、8、8 可排成 12 个四位数，即 1988，1898，1889，9188，9818，9881， 8198，8189，8918，8981，8819，8891 它们减去 8 变为 1980，1890，1881，9180，9810，9873，8190，8181，8910，8973， 8811，8883。其中被 11 整除的仅有 1980，1881，8910，8811，即用 1、9、8、8 可排成 4 个被 1 除余 8 的四位数，即 1988，1889，8918，8819。
n 99的倍数为奇数时 8．试证明 n位原序数与位反序数 的差一定是 n n 9的倍数为偶数时
(如： 12365 为原序数，那么它对应的反序数为 56321 ，它们的差 43956 是 99 的倍数.)
9．如图，把 1～9 这 9 个数字放在一个圆圈上。请在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和 逆时针次序形成两个九位数(比如在 7 和 8 之间剪开， 就形成了 826543197 和 791345628 这两个九位数)．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被 396 整除，那么可以从 哪两个数字之间剪开？
小学 5 年级 数的整除综合运用（奥数真题）
崔氏五年级第七八讲 数的整除的综合运用㈠㈡
特说明： 数的整除综合应用共分 2 讲，所选高频考题与今年真题均为这 2 讲范围之内的，共 30 道题 目。今后如有类似情况(连续两讲为同一知识点的一，二)，2 讲补充题均合并为 1 讲，共出 30 道题。 1 ．在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使 4□32□是 9 的倍数。 ⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； ⑵一共有多少种满足条件的填法？