2020届高考数学(理科)总复习课时跟踪练(五十九)抛物线含解析
高考数学专题《抛物线》习题含答案解析
专题9.5 抛物线1.（2020·全国高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C.2．（2020·北京高三二模）焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（ ） A ．x 2＝4y B ．y 2＝4x C ．x 2＝8y D ．y 2＝8x【答案】D 【解析】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上， 设其标准方程为22(0)y px p =>， 又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4， 故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ， 故选：D.3.（全国高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=，故选D. 4．（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)练基础【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线，则抛物线的方程为（ ） A.216y x =- B.28y x =-C.216y x =D.24y x =【答案】C 【解析】∵抛物线22y px =的准线方程为x=2p-，垂直于x 轴． 而圆2240x y x ++=垂直于x 轴的一条切线为4x =-， 则42p=，即8p =． 故抛物线的方程为216y x =． 故选：C ．6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________． 【答案】(x -1)2+y 2=4. 【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2， 焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1， 以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.7.（2019·山东高三月考（文））直线l 与抛物线22x y =相交于A ，B 两点，当AB 4=时，则弦AB 中点M 到x 轴距离的最小值为______. 【答案】32【解析】由题意，抛物线22x y =的焦点坐标为（0，12），根据抛物线的定义如图，所求d=111A B AF BF 113M 2222A B AB M ++--==≥= 故答案为：32． 8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且直线AB 的倾斜角为4π，则线段AB 的长是____，焦点F 到A ，B 两点的距离之积为_________.【答案】8 8 【分析】由题意可得直线AB 的方程为1y x =-，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去y 后，利用根与系数的关系，结合抛物线的定义可求得答案 【详解】解：由题意得(1,0)F ，则直线AB 的方程为1y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2610x x -+=， 所以12126,1x x x x +==， 所以12628AB x x p =++=+=，因为11221,122=+=+=+=+p pAF x x BF x x ， 所以()()1212121116118AF BF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++=++=， 故答案为：8，89．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点(),3A m -到焦点F 的距离为5，则m 的值为__________；抛物线方程为__________. 【答案】答案见解析 答案见解析 【分析】由于抛物线的开口方向未定，根据点(),3A m -在抛物线上这一条件，抛物线开口向下，向左、向右均有可能，以此分类讨论，利用焦半径公式列方程可得p 的值，根据点(),3A m -在抛物线上可得m 的值. 【详解】根据点(),3A m -在抛物线上，可知抛物线开口向下，向左、向右均有可能， 当抛物线开口向下时，设抛物线方程为22x py =-（0p >）， 此时准线方程为2py =，由抛物线定义知(3)52p --=，解得4p =.所以抛物线方程为28x y ，这时将(),3A m -代入方程得m =±当抛物线开口向左或向右时，可设抛物线方程为22y ax （0a ≠），从p a =知准线方程为2ax =-，由题意知()25232am am⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解此方程组得11192a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，22192a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，33912a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，44912a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，综合（1）、（2）得92m =，22y x =； 92m =-，22y x =-；12m =，218y x =； 12m =-，218y x =-；m =±28xy .故答案为：92，92-，12，12-，±22y x =，22y x =-，218y x =，218y x =-，28x y .10.（2019·广东高三月考（理））已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-= 【解析】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3.3FC =--， 由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC =， 整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-， 所以直线l 的方程为3240x y +-=.1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，若以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=，则FM 等于（ ） A ．2 B C ．D ．4【答案】D 【分析】设点200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取()1,0a =，可得1cos ,2FM a <>=，求出20y 的值，利用抛物线的定义可求练提升得FM 的值. 【详解】设点()00,M x y ，其中2004y x =，则()1,0F ，2001,4y FM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取()1,0a =，则211cos ,2y FM a FM a FM a-⋅<>===⋅⎛，可得4200340480y y -+=，因为20104y ->，可得204y >，解得2012y =，则20034y x ==，因此，014MF x=+=. 故选：D.2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线交C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MNl ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（）A. B. D.【答案】A 【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ，设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠=，所以||4,||2QF QM m ==， 所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=， 所以03x=，0y =，所以sin sin 42NP MNF NFP NF ∠=∠===，所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ⋅∠=⋅=3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（ ）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=【答案】B 【解析】过Q 点作QH PM ⊥于H ，因为PQ =，由抛物线的定义得PQ =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--， 即20x y +-=， 故选B.4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ， 同理2=CD x ，所以12cos01︒⋅=⋅⋅==AB CD AB CD x x . 故选C5．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线21:C y mx =与双曲线222:13y C x -=有相同的焦点，点()02,P y 在抛物线1C 上，则下列结论正确的有（ ）A ．双曲线2C 的离心率为2B ．双曲线2C 的渐近线为y x = C ．8m =D ．点P 到抛物线1C 的焦点的距离为4【答案】ACD 【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A 、B 、C 的正误，根据所得抛物线方程求0y ，即知D 的正误. 【详解】双曲线2C 的离心率为2e ==，故A 正确；双曲线2C 的渐近线为y =，故B 错误； 由12,C C 有相同焦点，即24m=，即8m =，故C 正确； 抛物线28y x =焦点为()2,0，点()02,P y 在1C 上，则04y =±，故()2,4P 或()2,4P -，所以P 到1C 的焦点的距离为4，故D 正确． 故选：ACD ．6．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（ ）A ．当a 为任意实数时，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x -y =0，则双曲线的标准方程为221205x y -= C ．抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程14y a=-D ．已知双曲线2214x y m +=，其离心率()1,2e ∈，则m 的取值范围(-12，0)【答案】ACD 【分析】求出直线定点设出抛物方程即可判断A ；根据渐近线方程与焦点坐标求出,a b 即可判断B ；根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C ；利用双曲线离心率公式即可判断D ． 【详解】对A 选项，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点为()2,3P -，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程设为22x py =，将点()2,3P -代入可得23p =，所以243x y =，故A 正确；对B 选项，知5,2bc a==，又22225a b c +==，解得225,20a b ==，所以双曲线的标准方程为221520x y -=，故B 错； 对C 选项，得21x y a =，所以准线方程14y a=-，正确；对D 选项，化双曲线方程为2214x y m-=-，所以()1,2e =，解得()12,0m ∈-，故正确．故选：ACD7．（2021·全国高二课时练习）已知点M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，若点M 到两定点(,)A p p ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和最小，则点M 的坐标为______．【答案】,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，根据抛物线的定义可得||||MF MB =， 易知当A ，B ，M 三点共线时||MB MA +取得最小值且为||AB ，进而可得结果. 【详解】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，由抛物线的定义，知点M 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点M 到准线的距离相等，即||||MF MB =，所以||||||||MF MA MB MA +=+， 易知当A ，B ，M 三点共线时，||MB MA +取得最小值， 所以min 3(||||)||2p MF MA AB +==，此时点M 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为：2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，8．（2021·全国高二课时练习）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______.【分析】设=AF a ，=BF b ，根据中位线定理以及抛物线定义可得()12MN a b =+，在AFB △中，由余弦定理以及基本不等式可得)AB a b ≥+，即可求得MN AB 的最大值．【详解】设=AF a ，=BF b ，作AQ 垂直抛物线的准线于点Q ，BP 垂直抛物线的准线于点P .由抛物线的定义，知AF AQ =，BF BP =.由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+=︒=++=+-.又22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()22221344a b ab a b a b a b +-≥+-+=+，当且仅当a b =时，等号成立，∴)AB a b ≥+，∴()1a b MN AB +≤=MN AB9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________.【答案】1,02⎛⎫⎪⎝⎭9【解析】抛物线C ：22y x =的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭． 过A 作AM ⊥准线交准线于M ，过B 作BN ⊥准线交准线于N ，过P 作PK ⊥准线交准线 于K ，则由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+． 再根据P 为线段AB 的中点，119(||||)||4222AM BN PK +==+=， ∴9AF BF +=，故答案为：焦点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，9AF BF +=．10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p .（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（Ⅱ）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.【答案】（Ⅰ）抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由221p p =⨯，得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-.（Ⅱ）根据题意直线AB 的斜率一定存在，又焦点()0,1F ，设过F 点的直线方程为1y kx =+，联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，得，2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-.∴()22221212122168x x x x x x k +=+-=+.由214y x =得，1'2y x =，过A ，B 的抛物线的切线方程分别为 ()()1112221212y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 即21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相加，得()()2212121148y x x x x x =+-+，化简，得()221y kx k =-+，即()21y k x k =--， 所以，两条切线交于点()2,1k -，该点显然在抛物线C 的准线l ：1y =-上.1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．D ．4【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.2．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（ ） A B C ．2D ．3练真题【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c ya b-=，解得2b y a =±，所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a c ，所以222212a cbc =-=，所以双曲线的离心率ce a== 故选：A.3．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）． A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP【答案】B 【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.4.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直， 所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =， (6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.5．的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1636．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【答案】（Ⅰ）1(,0)32；【解析】 （Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++， 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤ 所以，p，此时A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==p .。
高三数学(理)一轮总复习(人教通用)课时跟踪检测(五十六) 抛物线 Word版含解析
课时跟踪检测(五十六) 抛物线一抓基础，多练小题做到眼疾手快．(·江西九校联考)若点到直线＝－的距离比它到点()的距离小，则点的轨迹为( )．圆．椭圆．抛物线．双曲线解析：选依题意，点到直线＝－的距离等于它到点()的距离，故点的轨迹是抛物线．．设抛物线＝－上一点到轴的距离是，则点到该抛物线焦点的距离是( )．．．．解析：选依题意，点到该抛物线的焦点的距离等于点到其准线＝的距离，即等于＋＝.．抛物线＝的焦点坐标是( )．．．．解析：选抛物线的标准方程为＝，所以焦点坐标是.．已知是抛物线＝的焦点，，是该抛物线上的两点，若＋＝，则线段的中点到轴的距离为．解析：设(，)，(，)，则由抛物线定义可得＋＝，即＋＋＋＝，解得＋＝，所以线段的中点到轴的距离＝.答案：．(·长春二模)过抛物线＝的焦点作倾斜角为°的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，则△的面积为．解析：由题意知，抛物线焦点为()，直线的方程为＝－，与抛物线方程联立，得(\\(＝－，＝，))消去，得－－＝，设，的坐标分别为(，)，(，)，则＋＝，＝－，两交点纵坐标差的绝对值为，从而△的面积为.答案：二保高考，全练题型做到高考达标．(·北京石景山模拟)设抛物线＝上一点到轴的距离是，则点到该抛物线准线的距离为( )．．．．解析：选依题意得，抛物线＝的准线方程是＝－，因此点到该抛物线准线的距离为＋＝.．(·绵阳二诊)若抛物线＝上一点到它的焦点的距离为，为坐标原点，则△的面积为( )．．．．解析：选由题意知，抛物线准线方程为＝－.设(，)，由抛物线的定义可知，点到准线的距离为，所以＝，代入抛物线方程＝，解得＝±，所以△＝××＝.．(·运城期末)已知抛物线＝与直线＝－相交于，两点，若中点的横坐标为，则此抛物线方程为( )．＝．＝．＝．＝－解析：选设点(，)，(，)．由(\\(＝，＝－))消去，得－＋＝，所以＝＝，即＝，因此所求的抛物线方程是＝.．(·铜川一模)已知抛物线＝的弦的中点的横坐标为，则的最大值为( )．．．．解析：选设(，)，(，)，则＋＝，利用抛物线的定义可知，＋＝＋＋＝，由图可知＋≥⇒≤，当且仅当直线过焦点时，取得最大值.．(·长春一模)过抛物线＝(>)的焦点且倾斜角为°的直线与抛物线在第一、四象限分别交于，两点，则的值等于( )．．．．解析：选记抛物线＝的准线为′，如图，作⊥′，⊥′，⊥，垂足分别是，，，则有∠＝＝＝，即°＝＝，由此得＝.。
高三数学抛物线试题答案及解析
高三数学抛物线试题答案及解析1.设双曲线的离心率为2，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为__________．【答案】.【解析】抛物线的焦点坐标为（0，2），所以双曲线的焦点在y轴上且c=2，所以双曲线的方程为，即a2=n＞0，b2=-m＞0，所以a＝，又e＝，解得n=1，所以b2=c2-a2=4-1=3，即-m=3，m=-3，所以双曲线的方程为，故答案为：．【考点】１．抛物线的简单性质；２．双曲线的简单性质．2.已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.（1）证明: 为定值;（2）若△POM的面积为，求向量与的夹角；(3)证明直线PQ恒过一个定点.【答案】（1）见解析； (2) ；(3)直线PQ过定点E（1，－4）.【解析】（1）设点根据、M、A三点共线，得计算得到=5；(2)设∠POM=α，可得结合三角形面积公式可得tanα="1."根据角的范围，即得所求.(3)设点、B、Q三点共线，据此确定进一步确定的方程，化简为得出结论.试题解析：（1）设点、M、A三点共线，2分5分(2)设∠POM=α，则由此可得tanα=1. 8分又 10分(3)设点、B、Q三点共线，即 12分即 13分由（*）式，代入上式，得由此可知直线PQ过定点E（1，－4）. 14分【考点】抛物线及其几何性质，直线方程，直线与抛物线的位置关系，转化与化归思想.3.已知抛物线C: y2 =2px（p>0）的准线L，过M（l，0）且斜率为的直线与L相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=____ 。
【答案】2【解析】由题意可得，抛物线的焦点为，准线为．，为AB的中点．直线方程为，由题意可得,故由中点公式可得，把点B的坐标代入抛物线可得,解得.【考点】直线与抛物线的位置关系4.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．【答案】（1）－y2＝1（2）(－1，－)∪(，1)【解析】(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．由已知得a＝，c＝2，再由c2＝a2＋b2得b2＝1，所以双曲线C的方程为－y2＝1．(2)将y＝kx＋代入－y2＝1中，整理得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，由题意得，故k2≠且k2<1①．设A(xA ，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝，xAxB＝，由·>2得xA xB＋yAyB>2，x A xB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2＝(k2＋1)·＋k·＋2＝，于是>2，即>0，解得<k2<3②．由①②得<k2<1，所以k的取值范围为(－1，－)∪(，1)．5.已知圆P：x2+y2=4y及抛物线S：x2=8y，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D，如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l的斜率为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】圆的方程为，则其直径长圆心为，设的方程为，代入抛物线方程得：设，有∴线段的长按此顺序构成一个等差数列，，即，解得，故选A.【考点】1.抛物线的几何性质；2.直线与抛物线相交问题.6.已知F是抛物线的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1C．D．【答案】C【解析】过A，B及线段AB的中点C向抛物线的准线作垂线，垂足分别为M，N，Q，CQ交y轴于T，由抛物线的定义知|AM|+|BN|=|AF|+|BF|=3，因为CQ是直角梯形AMNB的中位线所以CQ|=(|AM|+|BN)=，所以|CT|=|CQ|－|TQ|=－=7.已知抛物线的准线与x轴交于点M，过点M作圆的两条切线，切点为A、B，.（1）求抛物线E的方程；（2）过抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P、Q，若P，Q，O（O为原点）三点共线，求点N的坐标.【答案】（1）y2＝4x；（2）点N坐标为或.【解析】本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、圆的标准方程及其几何性质、圆的切线的性质等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，利用抛物线的准线，得到M点的坐标，利用圆的方程得到圆心C的坐标，在中，可求出，在中，利用相似三角形进行角的转换，得到的长，而，从而解出P的值，即得到抛物线的标准方程；第二问，设出N点的坐标,利用N、C点坐标写出圆C的方程，利用点C的坐标写出圆C的方程，两方程联立，由于P、Q是两圆的公共点，所以联立得到的方程即为直线PQ的方程，而O点在直线上，代入点O的坐标，即可得到s、t的值，即得到N点坐标.试题解析：（1）由已知得，C(2，0)．设AB与x轴交于点R，由圆的对称性可知，．于是，所以，即，p＝2．故抛物线E的方程为y2＝4x． 5分（2）设N(s，t)．P，Q是NC为直径的圆D与圆C的两交点．圆D方程为，即x2＋y2－(s＋2)x－ty＋2s＝0．①又圆C方程为x2＋y2－4x＋3＝0．②②－①得(s－2)x＋ty＋3－2s＝0．③ 9分P，Q两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ的方程．因为直线PQ经过点O，所以3－2s＝0，．故点N坐标为或． 12分【考点】抛物线的标准方程及其几何性质、圆的标准方程及其几何性质、圆的切线的性质.8.如图，已知抛物线C的顶点在原点，开口向右，过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦长为2，过C上一点A作两条互相垂直的直线交抛物线于P,Q两点.（1）若直线PQ过定点，求点A的坐标；（2）对于第（1）问的点A，三角形APQ能否为等腰直角三角形？若能，试确定三角形APD的个数；若不能，说明理由.【答案】（1）,（2）一个【解析】（1）确定抛物线标准方程只需一个独立条件，本题条件为已知通径长所以抛物线的方程为.直线过定点问题，实际是一个等式恒成立问题.解决问题的核心是建立变量的一个等式.可以考虑将直线的斜率列为变量，为避开讨论，可设的方程为，与联立消得，则，设点坐标为，则有，代入化简得：因此，点坐标为，（2）若三角形APQ为等腰直角三角形，则的中点与点A连线垂直于.先求出的中点坐标为，再讨论方程解的个数，这就转化为研究函数增减性，并利用零点存在定理判断零点有且只有一个.试题解析：(1)设抛物线的方程为,依题意,,则所求抛物线的方程为. (2分)设直线的方程为,点、的坐标分别为.由,消得.由,得,,.∵,∴.设点坐标为,则有.,,∴或.∴或, ∵恒成立. ∴.又直线过定点,即,代入上式得注意到上式对任意都成立,故有,从而点坐标为. (8分)(2)假设存在以为底边的等腰直角三角形,由第（1）问可知,将用代换得直线的方程为.设,由消,得.∴,.∵的中点坐标为,即,∵,∴的中点坐标为.由已知得,即.设,则,在上是增函数.又,,在内有一个零点.函数在上有且只有一个零点,所以满足条件的等腰直角三角形有且只有一个. (12分)【考点】直线与抛物线关系，零点存在定理9.在平面直角坐标系中，已知三点，直线AC的斜率与倾斜角为钝角的直线AB的斜率之和为，而直线AB恰好经过抛物线)的焦点F并且与抛物线交于P、Q两点（P在Y轴左侧）．则（）A．9B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，且．令，，则，所以，且，由此可解得．由抛物线的方程知焦点为，因此设直线的方程为，代入抛物线方程，得，解得或，所以由题意知，．由图形特征根据三角形相似易知．【考点】1、直线的斜率；2、直线方程；3、直线与抛物线的位置关系．10.抛物线y2＝－8x的准线方程是________．【答案】x＝2【解析】∵2p＝8，∴p＝4，故所求准线方程为x＝2.11.下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m后，水面宽________m.【答案】2【解析】设抛物线的方程为x2＝－2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，即x＝±，所以水面宽为2.12.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于()A．2B．2C．4D．2【答案】B【解析】由题意设抛物线方程为y2=2px(p>0),则M到焦点的距离为xM+=2+=3,∴p=2,∴y2=4x. ∴=4×2,∴|OM|===2.故选B.13.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点,|AF|=2,则|BF|=.【答案】2【解析】设A(x0,y),由抛物线定义知x+1=2,∴x=1,则直线AB⊥x轴,∴|BF|=|AF|=2.14.已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点,若·=0,则k等于()(A) (B) (C) (D)2【答案】D【解析】法一设直线方程为y=k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2),由得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,∴x1+x2=,x 1x2=4,由·=0,得(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=(x1+2)(x2+2)+[k(x1-2)-2][k(x2-2)-2]=0,代入整理得k2-4k+4=0,解得k=2.故选D.法二如图所示,设F为焦点,取AB中点P,过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为G、H,连接MF,MP,由·=0,知MA⊥MB,则|MP|=|AB|=(|AG|+|BH|),所以MP为直角梯形BHGA的中位线,所以MP∥AG∥BH,所以∠GAM=∠AMP=∠MAP,又|AG|=|AF|,|AM|=|AM|,所以△AMG≌△AMF,所以∠AFM=∠AGM=90°,则MF⊥AB,所以k=-=2.15.已知F是抛物线y2=4x的焦点,P是圆x2+y2-8x-8y+31=0上的动点,则|FP|的最小值是() A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】圆x2+y2-8x-8y+31=0的圆心C坐标为(4,4),半径为1,∵|PF|≥|CF|-1,∴当P、C、F三点共线时,|PF|取到最小值,由y2=4x知F(1,0),∴|PF|min=-1=4.故选B.16.已知点A(4,4)在抛物线y2=px(p>0)上,该抛物线的焦点为F,过点A作直线l:x=-的垂线,垂足为M,则∠MAF的平分线所在直线的方程为.【答案】x-2y+4=0【解析】点A在抛物线上,所以16=4p,所以p=4,所以抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,垂足M(-1,4),由抛物线的定义得|AF|=|AM|,所以∠MAF的平分线所在的直线就是线段MF的垂直平分线,kMF==-2,所以∠MAF的平分线所在的直线方程为y-4=(x-4),即x-2y+4=0.17.设M(x0,y)为抛物线C:y2=8x上一点,F为抛物线C的焦点,若以F为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则x的取值范围是()A．(2,+∞)B．(4,+∞) C．(0,2)D．(0,4)【答案】A【解析】∵(x0,y)为抛物线C:y2=8x上一点,∴x≥0,又∵以F为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,∴在水平方向上,点M应在点F的右侧,∴x>2.18.过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y)(y>0)作两直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,的值为.【答案】-2【解析】设直线PA的斜率为kPA ,PB的斜率为kPB,由=2px1,=2px,得kPA==,同理kPB=,由于PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,因此=-,即y1+y2=-2y(y>0),那么=-2.19.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点在圆x2+y2+2x-3=0上,则p=()A．B．1C．2D．3【答案】C【解析】由已知(,0)在圆x2+y2+2x-3=0上,所以有+2×-3=0,即p2+4p-12=0,解得p=2或p=-6(舍去).20.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】作出图形,可知点(0,1)在抛物线y2=4x外.因此,过该点可作抛物线y2=4x的切线有两条,还能作一条与抛物线y2=4x的对称轴平行的直线,因此共有三条直线与抛物线只有一个交点.21.如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.(1)求实数b的值.(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【答案】(1) b=-1 (2) (x-2)2+(y-1)2=4【解析】(1)由得x2-4x-4b=0(*)因为直线l与抛物线C相切,所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0.解得b=-1.(2)由(1)可知b=-1,故方程(*)为x2-4x+4=0.解得x=2,代入x2=4y,得y=1,故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.22.过抛物线焦点的直线交其于，两点，为坐标原点．若，则的面积为（）A．B．C．D．2【答案】C【解析】设直线的倾斜角为及，∵，∴点到准线的距离为，∴，则．∴的面积为．故选C.【考点】抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系.23.如图X15－3所示，已知圆C1：x2＋(y－1)2＝4和抛物线C2：y＝x2－1，过坐标原点O的直线与C2相交于点A，B，定点M的坐标为(0，－1)，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.(1)求证：MA⊥MB；(2)记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若＝λ，求λ的取值范围．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明：设直线AB的方程为y＝kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x2－kx－1＝0，所以x1＋x2＝k，x1x2＝－1.又·＝(x1，y1＋1)·(x2，y2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝－k2－1＋k2＋1＝0，∴MA⊥MB.(2)设直线MA的方程为y＝k1x－1，MB的方程为y＝k2x－1，k1k2＝－1.解得或∴A(k1，－1)，同理可得B(k2，－1)，∴S1＝|MA||MB|＝|k1k2|.又解得或∴D ，同理可得E . ∴S 2＝|MD||ME|＝.＝λ＝＝≥.故λ的取值范围是.24. 已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP|＝|PB|，求△FAB 的面积． 【答案】(1) y 2＝8x (2) 24【解析】解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴82＝2p×8， ∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x. (2)直线l 2与l 1垂直，故可设l 2：x ＝y ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M. 由得y 2－8y －8m ＝0，Δ＝64＋32m>0，∴m>－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ， ∴ x 1x 2＝＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍)， ∴l 2：x ＝y ＋8，M(8,0)．故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝·|FM|·|y 1－y 2|＝3＝24.25. 已知抛物线方程为x 2＝4y ，过点M (0，m )的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且x 1x 2＝－4，则m 的值为________． 【答案】1【解析】设直线方程为y ＝kx ＋m ，代入抛物线方程得x 2－4kx －4m ＝0，所以x 1x 2＝－4m ，所以m ＝1.26. 抛物线的焦点坐标是（ ） A ．（2，0） B ．（0，2） C ．（l ，0） D ．（0，1）【答案】D 【解析】因为，所以，因为焦点在的正半轴，所以焦点坐标为即。
【2020】人教版最新高中数学高考总复习抛物线习题及详解及参考答案
∴y1＋y2＝，y1·y2＝－4m.∴x1·x2＝m2，
∵以线段AB为直径的圆恒过原点，
∴OA⊥OB，∴x1·x2＋y1·y2＝0.
即m2－4m＝0⇒m＝0或4.当k不存在时，m＝0或4.
∴存在m＝0或4，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．
[点评] (1)点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，即点P到定点F(1,0)的距离与到定直线l：x＝－1的距离相等．∴P点轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，∴p＝2，∴方程为y2＝4x.
[解析] (1)设B(x，y)，C(x0,0)，M(0，y0)，x0≠0，
∵⊥，∴∠ACB＝，
∴·＝－1，于是x02＝2y0①
M在y轴上且＝(＋)，
所以M是BC的中点，可得
，∴
把②③代入①，得y＝x2(x≠0)，
所以，点B的轨迹E的方程为y＝x2(x≠0)．
(2)点F，设满足条件的直线l方程为：
y＝kx－，H(x1，y1)，G(x2，y2)，
A.B．3
C.D.
[答案] A
[解析] 记抛物线y2＝2x的焦点为F，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于＝，选A.
[答案] D
[解析] 椭圆中，a2＝6，b2＝2，∴c＝＝2，
∴右焦点(2,0)，由题意知＝2，∴p＝4.
2．已知点M是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与y轴的关系是( )
2020高三数学一轮复习(人教版理)：课时作业59抛物线
(2)设点 M 在线段 AB 上运动，原点 O 关于点 M 的对称点为点 C，求
四边形 OACB 面积的最小值。
解 (1)依题意可得，抛物线的焦点为 F(1,0)，设直线 AB：x＝my＋1，将
x＝my＋1， 直线 AB 与抛物线联立y2＝4x
⇒y2－4my－4＝0。设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
答案 C
4．(2019·安徽一模)已知圆 C：(x－a)2＋y2＝1 与抛物线 y2＝－4x 的准线
相切，则 a 的值是( )
A．0
B．2
C．y2＝－4x 的准线方程为 x＝1，(x－a)2＋y2＝1 的圆心(a,0)到直线 x＝1 的距离为|a－1|，因为圆 C：(x－a)2＋y2＝1 与直线 x＝1 相切，所以|a －1|＝1，a＝0 或 a＝2。故选 D。
答案 4
10．已知直线 y＝a 交抛物线 y＝x2 于 A，B 两点。若该抛物线上存在点
C，使得∠ACB 为直角，则实数 a 的取值范围为________。
→ 解析 如图，设 C(x0，x20)(x20≠a)，A(－ a，a)，B( a，a)，则CA＝(－
→
→→
a－x0，a－x20)，CB＝( a－x0，a－x20)。因为 CA⊥CB，所以CA·CB＝0，
则 y1＋y2＝4m，y1y2＝－4。 因为A→F＝3F→B⇒y1＝－3y2⇒m2＝13，
所以斜率为m1 ＝ 3或－ 3。
(2)S 四边形 OACB＝2S△AOB＝2×12|OF||y1－y2|＝|y1－y2|＝ y1＋y22－4y1y2＝ 16m2＋16≥4，
当 m＝0 时，四边形 OACB 的面积最小，最小值为 4。
所以 N81k2，41k。 设抛物线 Γ 在点 N 处的切线 l 的方程为 y－41k＝mx－81k2，将 x＝2y2 代入上式，
2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《抛物线及其性质》
2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《抛物线及其性质》【题型一】：抛物线的标准方程 【题型二】：抛物线定义的理解 【题型三】：抛物线定义的应用 【题型四】：与抛物线有关的综合问题 【题型一】：抛物线的标准方程例1.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： （1）过点(3,2)-；（2）焦点在直线l ：240x y --=上【思路点拨】从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数；从实际分析，一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件，否则，应展开相应的讨论【解析】（1）∵点(3,2)-在第二象限，∴抛物线开口方向上或者向左当抛物线开口方向左时，设所求的抛物线方程为22y px =-（0p >）， ∵过点(3,2)-，∴222(3)p =-⋅-，∴23p =，∴243y x =-，当抛物线开口方向上时，设所求的抛物线方程为22x py =（0p >）， ∵过点(3,2)-，∴2322p =⨯，∴94p =，∴292x y =，∴所求的抛物线的方程为243y x =-或292x y =，对应的准线方程分别是13x =，98y =-.（2）令0x =得2y =-，令0y =得4x =，∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,2)-当焦点为(4,0)时，42p=，∴8p =， 此时抛物线方程216y x =； 焦点为(0,2)-时，22p=，∴4p =， 此时抛物线方程为28x y =-∴所求的抛物线的方程为216y x =或28x y =-， 对应的准线方程分别是4x =-，2y =.【总结升华】这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求出焦参数P.举一反三：【变式1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. （1）焦点为F(4,0)；（2）准线为1y 2=- ；（3）焦点到原点的距离为1； （4）过点（1，－2）； （5）焦点在直线x-3y+6=0上.【解析】（1）所求抛物线的方程为y 2=16x ； （2）所求抛物线的标准方程为x 2=2y ； （3）所求抛物线的方程y 2=±4x 或x 2=±4y ； （4）所求抛物线的方程为24y x =或212x y =-； （5）所求抛物线的标准方程为y 2=－24x 或x 2=8y.【变式2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴负半轴上，过顶点且倾角为43π的弦长为22，求抛物线的方程.【解析】设抛物线方程为22y px =-(0p >)，又弦所在直线方程为y x =-由⎩⎨⎧-=-=x y px y 22，解得两交点坐标(0,0), (2,2)p p - ∴22(2)(2)22p p -+=，解得1p =.∴抛物线方程为22y x =-. 【题型二】：抛物线定义的理解【例2】已知点(),P x y 在以原点为圆心的单位圆上运动，则点(),Q x y xy +的轨迹是( ) A ．圆 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线 【答案】B【解析】设(),Q u v ，则u x yv xy=+⎧⎨=⎩221x y +=22221u v x y ∴-=+=∴点Q 的轨迹为抛物线.故选B.【变式训练】：【变式1】动圆C 经过点F(1,0),并且与直线x=-1相切，若动圆C 与直线221y x =++总有公共点，则圆C 的面积( )A.有最大值8πB.有最小值2πC.有最小值3πD.有最小值4π 【答案】D【解析】由题意可得：动圆圆心C(a,b)的方程为24y x =.即24b a = 动圆C 与直线221y x =++总有公共点，∴圆心C 到此直线的距离11d r a a ≤=+=+即22112a b a -++≤+又24b a = 化简整理得()()22144210b b -+-+≥解得2b ≥或()642b ≤-+当2b =时，a 取得最小值1，此时圆C 由最小面积4π.故选D.【变式2】抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0 【答案】B方法一：由题意抛物线为214x y =，则焦点为1(0,)16F ，准线为：116y =-； 由抛物线上的点M （x 0，y 0）到焦点的距离与到准线的距离相等，得01516y =， 即M 点的纵坐标为1516，故选择B 。
【新课改专版】2020年高考数学一轮复习课时练50《抛物线》附答案解析
【新课改专版】2020年高考数学一轮复习课时精练50.抛物线[A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2019·石家庄模拟)抛物线y ＝2x 2的准线方程是( ) A ．x ＝12 B ．x ＝－12 C ．y ＝18 D ．y ＝－182．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A ．y 2＝±22x B ．y 2＝±2x C ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42x3．(2019·齐齐哈尔一模)若抛物线x 2＝4y 上的点P (m ，n )到其焦点的距离为5，则n ＝( ) A ．194 B ．92C ．3D ．44．(2019·衡水金卷高三联考)抛物线有如下光学性质：由焦点发出的光线，经抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上的一点反射后，必经过抛物线的焦点．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3,1)射入，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( )A.43 B ．－43C ．±43D ．－1695．(2019·珠海模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( )A.7π12B.2π36．(2019·江苏高邮模拟)抛物线y 2＝14x 的焦点坐标是________．、[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·武汉调研)过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，若|NF |＝4，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 3 C ．3 3D ．2 22．(2019·长沙质检)设经过抛物线C 的焦点的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，那么抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交但不经过圆心D ．相交且经过圆心3．(2019·河南中原名校质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|NF |＝32|MN |，则点F 到MN 的距离为( )A.12 B ．1 C. 3D ．24．(2019·辽宁五校协作体模考)抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为33的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则△AHF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．85．(2019·邯郸质检)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，其准线与x 轴交于点B ，直线AB 与抛物线的另一个交点为M ，若MB ―→＝λAB ―→，则实数λ为( )A ．13B ．12C ．2D ．36．(2019·辽宁葫芦岛期中)已知直线l ：3x －y －a ＝0与抛物线x 2＝4y 交于P ，Q 两点，过P ，Q 分别作l 的垂线与y 轴交于M ，N 两点，若|MN |＝1633，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．27．(2019·华大新高考质检)已知抛物线C ：y 2＝4x ，点D (2,0)，E (4,0)，M 是抛物线C 上异于原点O 的动点，连接ME 并延长交抛物线C 于点N ，连接MD ，ND 并分别延长交抛物线C 于点P ，Q ，连接P Q ，若直线MN ，P Q 的斜率存在且分别为k 1，k 2，则k 2k 1＝( )A ．4B ．3C ．2D ．18．(2019·辽宁五校联考)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，N 为准线l 上一点，M 为y 轴上一点，∠MNF 为直角，若线段MF 的中点E 在抛物线C 上，则△MNF 的面积为( )A ．22 B ． 2C ．322D ．3 29．(2019·河南百校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且|MO |＝|MF |＝32(O 为坐标原点)，则OM ―→·MF ―→＝( )A ．－74B ．74C ．94D ．－9410．(2019·石家庄毕业班摸底)若抛物线y 2＝4x 上有一条长度为10的动弦AB ，则AB 的中点到y 轴的最短距离为________．11．(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．12．(2019·广州海珠区一模)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为________．13．(2019·唐山五校摸底)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.14．(2019·武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N .(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程．15．(2019·贵阳摸底)过抛物线C：y2＝4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|＝8.(1)求直线l的方程；(2)若A关于x轴的对称点为D，抛物线的准线与x轴的交点为E，求证：B，D，E三点共线．解析50.抛物线[A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2019·石家庄模拟)抛物线y ＝2x 2的准线方程是( ) A ．x ＝12 B ．x ＝－12 C ．y ＝18 D ．y ＝－18解析：选D 抛物线y ＝2x 2的标准方程为x 2＝12y ，其准线方程为y ＝－18.2．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A ．y 2＝±22x B ．y 2＝±2x C ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42x解析：选D 由题意知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线C 的方程为y 2＝±2px (p ＞0)，则p2＝2，所以p ＝22，所以抛物线C 的方程为y 2＝±42x .故选D.3．(2019·齐齐哈尔一模)若抛物线x 2＝4y 上的点P (m ，n )到其焦点的距离为5，则n ＝( ) A ．194 B ．92C ．3D ．4解析： 选D 抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1，根据抛物线的定义可知，5＝n ＋1，得n ＝4，故选D.4．(2019·衡水金卷高三联考)抛物线有如下光学性质：由焦点发出的光线，经抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上的一点反射后，必经过抛物线的焦点．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3,1)射入，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( )A.43 B ．－43C ．±43D ．－169解析：选B 将y ＝1代入y 2＝4x 可得x ＝14，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.由题可知，直线AB 经过焦点F (1,0)，所以直线AB 的斜率k ＝1－014－1＝－43，故选B.5．(2019·珠海模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( )A.7π12B.2π3 C.3π4D.5π6解析：选B 由抛物线y 2＝4x 知焦点F 的坐标为(1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，由抛物线定义可知|PA |＝|PF |＝4，所以点P 的坐标为(3,23)，因此点A 的坐标为(－1，23)，所以k AF ＝23－0－1－1＝－3，所以直线AF 的倾斜角等于2π3，故选B.6．(2019·江苏高邮模拟)抛物线y 2＝14x 的焦点坐标是________．解析：由于抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，因此抛物线y 2＝14x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·武汉调研)过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，若|NF |＝4，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 3 C ．3 3D ．2 2解析：选B ∵直线MF 的斜率为3，MN ⊥l ，∴∠NMF ＝60°，又|MF |＝|MN |，且|NF |＝4，∴△NMF 是边长为4的等边三角形，∴M 到直线NF 的距离为2 3.故选B.2．(2019·长沙质检)设经过抛物线C 的焦点的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，那么抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交但不经过圆心D ．相交且经过圆心解析：选B 设圆心为M ，过点A ，B ，M 分别作准线 l 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，M 1，则|MM 1|＝12(|AA 1|＋|BB 1|)．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，∴|AB |＝|BB 1|＋|AA 1|，|MM 1|＝12|AB |，即圆心M 到准线l 的距离等于圆的半径，故以AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切．3．(2019·河南中原名校质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|NF |＝32|MN |，则点F 到MN 的距离为( )A.12B ．1C. 3 D ．2解析：选B 由题可知|MF |＝2，设点N 到准线的距离为d ，由抛物线的定义可得d ＝|NF |，因为|NF |＝32|MN |，所以cos ∠NMF ＝d |MN |＝|NF ||MN |＝32，所以sin ∠NMF ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫322＝12，所以点F 到MN 的距离为|MF |sin ∠NMF ＝2×12＝1，故选B.4．(2019·辽宁五校协作体模考)抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为33的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则△AHF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8解析：选C 由抛物线的定义可得|AF |＝|AH |，∵直线AF 的斜率为33，∴直线AF 的倾斜角为30°，∵AH 垂直于准线，∴∠FAH ＝ 60°，故△AHF 为等边三角形．设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 24，m ＞0，由|AF |＝|AH |，得m 24－1＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24＋1，解得m ＝23，故等边△AHF 的边长|AH |＝4，∴△AHF 的面积是12×4×4sin 60°＝4 3.故选C.5．(2019·邯郸质检)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，其准线与x 轴交于点B ，直线AB 与抛物线的另一个交点为M ，若MB ―→＝λAB ―→，则实数λ为( )A ．13B ．12C ．2D ．3解析：选C 把点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入抛物线的方程得2＝2p ×12，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，则B (－1,0)，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2M 4，y M ，则AB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－2，MB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－y 2M 4，－y M ，由MB ―→＝λAB ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧－1－y 2M 4＝－32λ，－y M ＝－2λ，解得λ＝2或λ＝1(舍去)，故选C.6．(2019·辽宁葫芦岛期中)已知直线l ：3x －y －a ＝0与抛物线x 2＝4y 交于P ，Q 两点，过P ，Q 分别作l 的垂线与y 轴交于M ，N 两点，若|MN |＝1633，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：选D ∵直线l 的方程为3x －y －a ＝0，∴直线l 的倾斜角为60°，∵直线l 与抛物线x 2＝4y 交于P ，Q 两点，过P ，Q 分别作l 的垂线与y 轴交于M ，N 两点，且|MN |＝1633，∴|P Q|＝1633sin 60°＝8.设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎨⎧3x －y －a ＝0，x 2＝4y ，得x 2－43x ＋4a ＝0，由Δ＞0得a ＜3，∴x 1＋x 2＝43，x 1x 2＝4a ，∴|P Q|＝1＋3·x 1＋x 22－4x 1x 2＝8，即48－16a ＝16，∴a ＝2，故选D.7．(2019·华大新高考质检)已知抛物线C ：y 2＝4x ，点D (2,0)，E (4,0)，M 是抛物线C 上异于原点O 的动点，连接ME 并延长交抛物线C 于点N ，连接MD ，ND 并分别延长交抛物线C 于点P ，Q ，连接P Q ，若直线MN ，P Q 的斜率存在且分别为k 1，k 2，则k 2k 1＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q(x 4，y 4)，则直线MD 的方程为x ＝x 1－2y 1y ＋2，代入抛物线C ：y 2＝4x ，整理得y 2－x 1－y 1y －8＝0，所以y 1y 3＝－8，即y 3＝－8y 1，从而x 3＝16y 21，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫16y 21，－8y 1，同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫16y 22，－8y 2，因为M ，E ，N 三点共线，所以y 1x 1－4＝y 2x 2－4，得y 1y 2＝－16，所以k 2＝－8y 2＋8y 116y 22－16y 21＝8y 1＋y 2，k 1＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 224－y 214＝4y 1＋y 2，所以k 2k 1＝2.故选C.8．(2019·辽宁五校联考)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，N 为准线l 上一点，M 为y 轴上一点，∠MNF 为直角，若线段MF 的中点E 在抛物线C 上，则△MNF 的面积为( )A ．22 B ． 2C ．322D ．3 2解析：选C 如图所示，不妨设点N 在第二象限，连接EN ，易知F (1,0)，因为∠MNF 为直角，点E 为线段MF 的中点，所以|EM |＝|EF |＝|EN |，又E 在抛物线C 上，所以EN ⊥l ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，所以N (－1，2)，M (0，22)，所以|NF |＝6，|NM |＝3，所以△MNF 的面积为322，故选C.9．(2019·河南百校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且|MO |＝|MF |＝32(O 为坐标原点)，则OM ―→·MF ―→＝( )A ．－74B ．74C ．94D ．－94解析：选A 不妨设M (m ，2pm )(m ＞0)，易知抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，因为|MO |＝|MF |＝32，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2pm ＝94，m ＋p 2＝32，解得m ＝12，p ＝2，所以OM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，MF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，所以OM ―→·MF ―→＝14－2＝－74.故选A.10．(2019·石家庄毕业班摸底)若抛物线y 2＝4x 上有一条长度为10的动弦AB ，则AB 的中点到y 轴的最短距离为________．解析：设抛物线的焦点为F ，准线为l ：x ＝－1，弦AB 的中点为M ，则点M 到准线l 的距离d ＝|AF |＋|BF |2≥|AB |2，所以点M 到准线l 的距离的最小值为5，所以点M 到y 轴的最短距离为5－1＝4. 答案：411．(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．解析：由题知直线l 的方程为x ＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2a )(a ＞0)．又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4a ＝4，即a ＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．答案：(1,0)12．(2019·广州海珠区一模)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为________．解析：∵双曲线x 23－y 2＝1的右焦点为(2,0)，∴抛物线方程为y 2＝8x ，∵|AF |＝3，∴x A ＋2＝3，得x A ＝1，代入抛物线方程可得y A ＝±2 2.∵点A 在第一象限，∴A (1，22)，∴直线AF 的斜率为221－2＝－2 2.答案：－2 213．(2019·唐山五校摸底)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.解析：法一：设直线AB 的倾斜角为α，分别过A ，B 作准线l 的垂线AA ′，BB ′，垂足分别为A ′，B ′，则|AA ′|＝6，|BB ′|＝3，过点B 作AA ′的垂线BC ，垂足为C ，则|AC |＝3，|BC |＝62，∠BAC ＝α，所以sin α＝629＝223，所以|AB |＝2psin 2α＝9，解得p ＝4. 法二：设直线AB 的倾斜角为α，不妨设A 在x 轴上方，B 在x 轴下方，则|AF |＝p1－cos α，|BF |＝p1＋cos α，则有p 1－cos α＝2×p 1＋cos α，解得cos α＝13，又|AF |＝p1－cos α＝6，所以p ＝4.法三：由结论1|AF |＋1|BF |＝2p ，得16＋13＝2p ，解得p ＝4.答案：414．(2019·武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N .(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程．解：由题意知，直线AB 的斜率一定存在，∴设直线AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .① (1)由x 2＝2py 得y ′＝x p ，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2＝－2p， ∵点N 在以AB 为直径的圆上， ∴AN ⊥BN ，∴－2p＝－1，∴p ＝2.(2)易得直线AN ：y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BN ：y －y 2＝x 2p(x －x 2)，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y －y 1＝x1px －x 1，y －y 2＝x2px －x 2，结合①式，解得⎩⎨⎧x ＝pk ，y ＝－1，即N (pk ，－1)．|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2， 则S △ABN ＝12·|AB |·d ＝ppk 2＋3≥22p ，当k ＝0时，取等号，∵△ABN 的面积的最小值为4，∴22p ＝4，∴p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .15．(2019·贵阳摸底)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且|AB |＝8.11 (1)求直线l 的方程；(2)若A 关于x 轴的对称点为D ，抛物线的准线与x 轴的交点为E ，求证：B ，D ，E 三点共线． 解：(1)F 的坐标为(1,0)，则l 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由题意知k ≠0，且[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1， 由抛物线的定义知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8，∴2k 2＋4k 2＝6，∴k 2＝1，即k ＝±1， ∴直线l 的方程为y ＝±(x －1)．(2)证明：由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x 1，－y 1)，又E (－1,0)，∴k EB －k ED ＝y 2x 2＋1－－y 1x 1＋1＝y 2x 1＋＋y 1x 2＋x 1＋x 2＋，y 2(x 1＋1)＋y 1(x 2＋1)＝y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋1＋y 1⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224＋1 ＝y 1y 24(y 1＋y 2)＋(y 1＋y 2)＝(y 1＋y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 24＋1. 由(1)知x 1x 2＝1，∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16，又y 1与y 2异号，∴y 1y 2＝－4，即y 1y 24＋1＝0，∴k EB ＝k ED ，又ED 与EB 有公共点E ，∴B ，D ，E 三点共线．。
2020高考数学理科大一轮复习导学案《抛物线》含答案
第七节抛物线知识点一抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．1．判断正误(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(×)(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.(×)(3)若一抛物线过点P(－2,3)，其标准方程可写为y2＝2px(p>0)．(×)2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(B)A．9 B．8C．7 D．6解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.知识点二抛物线的标准方程与几何性质3．以x＝1为准线的抛物线的标准方程为(D)A．y2＝2x B．y2＝－2x C．y2＝4x D．y2＝－4x解析：由准线x＝1知，抛物线方程为：y2＝－2px(p>0)且p2＝1，p＝2，∴抛物线的方程为y2＝－4x.4．(选修2－1P72练习第1(1)题改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为y2＝－8x 或x2＝－y.解析：很明显点P在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x轴负半轴上或y轴负半轴上．当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p>0)，把点P(－2，－4)的坐标代入得(－4)2＝－2p×(－2)，解得p＝4，此时抛物线的标准方程为y2＝－8x；当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2＝－2py(p>0)，把点P(－2，－4)的坐标代入得(－2)2＝－2p×(－4)，解得p＝12，此时抛物线的标准方程为x2＝－y.综上可知，抛物线的标准方程为y2＝－8x或x2＝－y.5．(2018·北京卷)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴．若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为(1,0)．解析：由题意知，a>0，对于y2＝4ax，当x＝1时，y＝±2a，由于l 被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，所以4a＝4，所以a＝1，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．1．抛物线定义的两点理解 (1)定点不在定直线上．(2)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线． 2．抛物线的方程特点(1)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线．(2)y 2＝2px (p >0)：①p 表示焦点到准线的距离； ②2p 为通径长． 3．抛物线的图形特点抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形，不是中心对称图形．考向一 抛物线的定义及标准方程【例1】 (1)(2019·河南豫南九校联考)若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( )A ．2 B.135 C.145D ．3(2)(2019·湖北四地七校联考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，点C (－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线方程是( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x【解析】 (1)由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离．∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值为点F (1,0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.故选A.(2)因为AB ⊥x 轴，且AB 过点F ，所以AB 是焦点弦，且|AB |＝2p ，所以S △CAB ＝12×2p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋4＝24，解得p ＝4或－12(舍)，所以抛物线方程为y 2＝8x ，所以直线AB 的方程为x ＝2，所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2＝－8x ，故选D.【答案】 (1)A (2)D1.应用抛物线定义的两个关键点,(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p2或|PF |＝|y 0|＋p 2.2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(1)已知椭圆y 25＋x 2＝1与抛物线x 2＝ay 有相同的焦点F ，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且|AF |＝4，则|P A |＋|PO |的最小值为( A )A ．213B ．4 2C ．313D ．4 6(2)(2019·保定模拟)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点A (0,2)，则C 的方程为( C )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析：(1)∵椭圆y 25＋x 2＝1，∴c 2＝5－1＝4，即c ＝2，则椭圆的焦点为(0，±2)，不妨取焦点(0,2)，∵抛物线x 2＝ay ，∴抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4，∵椭圆y 25＋x 2＝1与抛物线x 2＝ay 有相同的焦点F ，∴a4＝2，即a ＝8，则抛物线方程为x 2＝8y ，准线方程为y ＝－2，∵|AF |＝4，由抛物线的定义得A 到准线的距离为4，y ＋2＝4，即点A 的纵坐标y ＝2，又点A 在抛物线上，∴x ＝±4，不妨取点A 坐标为(4,2)，A 关于准线的对称点的坐标为B (4，－6)，则|P A |＋|PO |＝|PB |＋|PO |≥|OB |，即O ，P ，B 三点共线时，有最小值，最小值为|OB |＝42＋(－6)2＝16＋36＝52＝213，故选A.(2)由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， 设点M (x 0，y 0)，则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF →·AM→＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p ，4.由|MF |＝5， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5.又p >0，解得p ＝2或p ＝8. 考向二 抛物线的几何性质【例2】 (2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.【解析】 解法1：设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．又M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.解法2：由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4(1k y ＋1)，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，由∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.【答案】 2在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.(2019·安徽滁州模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线l ：x ＝－54，点M 在抛物线C 上，点A 在准线l 上，若MA ⊥l ，直线AF 的倾斜角为π3，则|MF |＝5.解析：设准线与x 轴交点为B ，由于AF 的倾斜角为π3， 所以∠F AM ＝π3，又|MA |＝|MF |， 所以|MA |＝|MF |＝|F A |＝2|FB |， 又由已知p ＝54×2＝52， 即|FB |＝52， 所以|MF |＝5.考向三 直线与抛物线的位置关系 方向1 焦点弦问题【例3】 已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10【解析】 由抛物线y 2＝4x 知F (1,0)，故可设直线l 1的方程为y ＝k (x－1)，直线l 1的方程与y 2＝4x 联立并消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1·x 2＝k 2k 2＝1，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k 2，同理l 2的方程为y ＝－1k (x －1)，与y 2＝4x 联立可得|DE |＝4＋4k 2.∴|AB |＋|DE |＝8＋4k 2＋4k 2＝8＋4(k 2＋1k 2)≥8＋4×2＝16.当k ＝±1时取等号．故选A.【答案】 A方向2 直线与抛物线的位置关系【例4】 (2019·武汉调研测试)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N .(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程．【解】 设直线AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p . ① (1)由x 2＝2py 得y ′＝xp ，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2＝－2p ， ∵点N 在以AB 为直径的圆上，∴AN ⊥BN ，∴－2p ＝－1，∴p ＝2.(2)易得直线AN ：y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BN ：y －y 2＝x 2p (x －x 2)，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y －y 1＝x 1p (x －x 1)，y －y 2＝x 2p (x －x 2)，结合①式，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pk ，y ＝－1，即N (pk ，－1)．|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 24p 2k 2＋8p ， 点N 到直线AB 的距离 d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k2， 则△ABN 的面积S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p (pk 2＋2)3≥22p ，当k ＝0时，取等号，∵△ABN 的面积的最小值为4，∴22p ＝4，∴p ＝2， 故抛物线C 的方程为x 2＝4y .1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.2.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝|x 1|＋|x 2|＋p 或|AB |＝|y 1|＋|y 2|＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.,提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.1．(方向1)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长为( D )A ．4B ．8C ．12D ．16解析：抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2,0)，直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB 的方程为y ＝－x ＋2，代入抛物线方程y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦AB 的长|AB |＝x 1＋x 2＋4＝12＋4＝16.2．(方向2)(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( D )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：解法1：过点(－2,0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎨⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0，解得x ＝1或x ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，不妨设M (1,2)，N (4,4)，易知F (1,0)，所以FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)，所以FM →·FN →＝8.故选D.解法2：过点(－2,0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎨⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1>0，y 2>0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F (1,0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2)，所以FM →·FN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x 1x 2＝4－5＋1＋8＝8.故选D.抛物线的拓展结论对抛物线y 2＝2px (p >0)，设θ为过焦点的弦AB 的倾斜角，则有：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ≥2p ；(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p ；(4)抛物线焦点三角形面积公式：S △OAB ＝p 22sin θ；(5)以AB 为直径的圆与准线相切；(6)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．典例 设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则直线l 的斜率为________．【解析】 设直线AB 的倾斜角为θ，由题意知p ＝2，F (1,0)，|AF ||BF |＝3.因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，所以13|BF |＋1|BF |＝1，所以|BF |＝43，|AF |＝4，所以|AB |＝163.又由抛物线焦点弦公式|AB |＝2p sin 2θ，可得163＝4sin 2θ，所以sin 2θ＝34，所以sin θ＝32，所以斜率k ＝tan θ＝±3.【答案】 ±3。
2020届高考数学(理科)总复习课时跟踪练(五十九)抛物线含解析
课时跟踪练(五十九)A组基础巩固1．(2019·黄山模拟)若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为()A．(8，8) B．(8，－8)C．(8，±8) D．(－8，±8)解析：设P(x P，y P)，因为点P到焦点的距离等于它到准线x＝－2的距离，所以x P＝8，则y P＝±8，所以点P的坐标为(8，±8)．故选C.答案：C2．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为()A．2 B．2 2 C．2 3 D．4解析：如图，设点P的坐标为(x0，y0)，由|PF|＝x0＋2＝42，得x0＝32，代入抛物线方程得，y20＝42×32＝24，所以|y0|＝26，所以S△POF＝12|OF||y0|＝12×2×26＝2 3.答案：C3．(2019·珠海模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|＝4，则直线AF 的倾斜角等于()A.7π12B.2π3C.3π4D.5π6解析：由抛物线y 2＝4x 知焦点F 的坐标为(1，0)，准线l 的方程为x ＝－1，由抛物线定义可知|PA |＝|PF |＝4，所以点P 的坐标为(3，23)，因此点A 的坐标为(－1，23)，所以k AF ＝23－0－1－1＝－3，所以直线AF 的倾斜角等于2π3，故选B. 答案：B4．(2019·河南百校联盟联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且|MO |＝|MF |＝32(O 为坐标原点)，则OM →·MF →＝( )A ．－74B.74C.94D ．－94解析：不妨设M (m ，2pm )(m >0)，易知抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，因为|MO |＝|MF |＝32，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2pm ＝94，m ＋p 2＝32，解得m ＝12，p ＝2，所以OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，MF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，所以OM →·MF →＝14－2＝－74.故选A.答案：A5．(2019·长沙模拟)已知点P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆C ：(x ＋2)2＋(y －4)2＝1上的一个动点，则x 0＋|PQ |的最小值为( )A ．25－1B ．2 5C ．3D ．4解析：设抛物线y 2＝4x 的焦点F (1，0)，过点P (x 0，y 0)作准线l ：x ＝－1的垂线，垂足为N ，则x 0＋|PQ |＝|PN |＋|PQ |－1＝|PF |＋|PQ |－1≥|CF |－2＝（1＋2）2＋42－2＝5－2＝3，当且仅当C ，P ，F 三点共线且点Q在线段CF 上时取等号，则x 0＋|PQ |的最小值是3，故选C.答案：C6．(2019·福州模拟)函数y ＝a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过点P ，则焦点在x 轴上且过点P 的抛物线的标准方程是________________．解析：设抛物线的方程为y 2＝mx (m ≠0)，由题意知点P 的坐标为(1，1)，代入y 2＝mx ，可得m ＝1，所以焦点在x 轴上且过点P 的抛物线的标准方程是y 2＝x .答案：y 2＝x7．(2019·玉溪模拟)已知F 是抛物线y ＝x 2的焦点，M 、N 是该抛物线上的两点，|MF |＋|NF |＝3，则线段MN 的中点到x 轴的距离为________．解析：抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，准线为y ＝－14，过M ，N 作准线的垂线，垂足分别为M ′，N ′，则|MM ′|＝|MF |，|NN ′|＝|NF |， 所以|MM ′|＋|NN ′|＝|MF |＋|NF |＝3，设线段MN 的中点为P ，过P 作准线的垂线，垂足为P ′， 则|PP ′|＝|MM ′|＋|NN ′|2＝32，所以线段MN 的中点P 到x 轴的距离为|PP ′|－14＝32－14＝54.答案：548．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作斜率大于0的直线l 交抛物线于A ，B 两点(A 在B 的上方)，且l 与准线交于点C ，若CB →＝4BF →，则|AF ||BF |＝________．解析：根据题意，设|AF |＝a ，|BF |＝b ，过A ，B 作准线的垂线，垂足分别为M ，N ， 则有|BF |＝|BN |＝b ，|AF |＝|AM |＝a ， 因为CB →＝4BF →，所以|CB |＝4|BF |， 即|CB |＝4|BN |， 又BN ∥AM ，所以|CA |＝4|AM |，即4b ＋b ＋a ＝4a ， 变形可得a b ＝53，即|AF ||BF |＝53. 答案：539．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)由(1)知点A 的坐标是(4，4)，由题意得B (0，4)，M (0，2)． 又因为F (1，0)，所以k FA ＝43.因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34，所以FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y ＝－34x ＋2，②由①②联立得x ＝85，y ＝45，所以点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.10．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． 解：(1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由(1)知p ＝4，4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0， 又x 1＜x 2，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4，42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.B 组 素养提升11．(2019·太原模拟)抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A ，B 是抛物线上的两个动点，|AF |＋|BF |＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为( )A.π3B.3π4C.5π6D.2π3解析：设|AF |＝m ，|BF |＝n ， 因为|AF |＋|BF |＝233|AB |，所以233|AB |≥2mn ，所以mn ≤13|AB |2，在△AFB 中，由余弦定理得cos ∠AFB ＝m 2＋n 2－|AB |22mn ＝（m ＋n ）2－2mn －|AB |22mn ＝13|AB |2－2mn2mn≥－12，所以∠AFB 的最大值为2π3.故选D. 答案：D12．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5B ．2 2C ．2 3D ．3 3解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF 的方程为y ＝3(x －1)．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －1），y 2＝4x ，解得⎩⎨⎧x ＝13，y ＝－233，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2 3.因为点M 在x 轴的上方， 所以M (3，23)． 因为MN ⊥l ， 所以N (－1，23)．所以|NF |＝（1＋1）2＋（0－23）2＝4， |MF |＝|MN |＝（3＋1）2＋（23－23）2＝4. 所以△MNF 是边长为4的等边三角形． 所以点M 到直线NF 的距离为2 3. 故选C. 答案：C13．[一题多解](2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________．解析：法一 由题意可知C 的焦点坐标为(1，0)，所以过焦点(1，0)，斜率为k 的直线方程为x ＝yk＋1，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1k ＋1，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2k ＋1，y 2，将直线方程与抛物线方程联立得⎩⎨⎧x ＝y k ＋1，y 2＝4x ，整理得y 2－4k y －4＝0， 从而得y 1＋y 2＝4k，y 1·y 2＝－4.因为M (－1，1)，∠AMB ＝90°，所以MA →·MB →＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1k ＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2k ＋2＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， 即k 2－4k ＋4＝0，解得k ＝2.法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②②－①得y 22－y 21＝4(x 2－x 1)，从而k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4y 1＋y 2. 设AB 的中点为M ′，连接MM ′. 因为直线AB 过抛物线y 2＝4x 的焦点，所以以线段AB 为直径的⊙M ′与准线l ：x ＝－1相切． 因为M (－1，1)，∠AMB ＝90°，所以点M 在准线l ：x ＝－1上，同时在⊙M ′上， 所以准线l 是⊙M ′的切线，切点为M ，且M ′M ⊥l ， 即MM ′与x 轴平行，所以点M ′的纵坐标为1，即y 1＋y 22＝1⇒y 1＋y 2＝2，故k ＝4y 1＋y 2＝42＝2.答案：214．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．解：(1)依题意知F (1，0)， 设直线AB 的方程为x ＝my ＋1.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得 y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.联立上述三式，消去y 1，y 2，得m ＝±24.所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点， 从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB . 因为2S △AOB ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.。
【人教版】2020高考数学理科一轮复习课时练解析卷54《抛物线》
【人教版】2020高考数学理科一轮复习课时练解析卷54《抛物线》一、选择题1．已知抛物线x 2＝2py (p >0)的准线经过点(1，－1)，则抛物线的焦点坐标为(A )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,0)D ．(2,0)解析：由抛物线x 2＝2py (p >0)的准线为y ＝－p2＝－1，得p ＝2，故所求抛物线的焦点坐标为(0,1)．2．(2019·河北五名校联考)直线l 过抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是(B )A ．y 2＝－12xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝－6xD ．y 2＝－4x解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8.又AB 的中点到y 轴的距离为2，∴－x 1＋x 22＝2，∴x 1＋x 2＝－4，∴p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝－8x .故选B.3．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，过抛物线C 上一点P 作准线l 的垂线，垂足为Q .若△QAF 的面积为2，则点P 的坐标为(A )A ．(1,2)或(1，－2)B ．(1,4)或(1，－4)C ．(1,2)D ．(1,4)解析：设点P 的坐标为(x 0，y 0)．因为△QAF 的面积为2，所以12×2×|y 0|＝2，即|y 0|＝2，所以x 0＝1，所以点P 的坐标为(1,2)或(1，－2)．4．(2019·福州四校联考)已知抛物线C 的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，直线l 过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，且|AB |＝8，M 为抛物线C 准线上一点，则△ABM 的面积为(A )A ．16B ．18C ．24D ．32解析：不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，如图，因为直线l 过抛物线C 的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，所以线段AB 为通径，所以2p ＝8，p ＝4，又M 为抛物线C 的准线上一点，所以点M 到直线AB 的距离即焦点到准线的距离，为4，所以△ABM 的面积为12×8×4＝16，故选A.5．(2019·陕西质量检测)抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3,1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为(B )A.43B ．－43C ．±43D ．－169解析：将y ＝1代入y 2＝4x ，可得x ＝14，即A (14，1)．由抛物线的光学性质可知，直线AB 过焦点F (1,0)，所以直线AB 的斜率k ＝1－014－1＝－43.故选B.6．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点N 在x 轴上且在点F 的右侧，线段FN 的垂直平分线l 与抛物线在第一象限的交点为M ，直线MN 的倾斜角为135°，O 为坐标原点，则直线OM 的斜率为(A )A ．22－2B ．22－1C.2－1D ．32－4解析：解法1：设点M (m 22p ，m )(m >0)，因为点M 在FN 的垂直平分线上且点N 在焦点F 的右侧，所以N (2m 2－p 22p ，0)，又MN 的倾斜角为135°，所以2pmp 2－m 2＝－1，解得m ＝(2＋1)p ，所以点M (3＋222p ，(2＋1)p )，所以直线OM 的斜率为2(2＋1)3＋22＝22－2，故选A.解法2：如图，设直线L 为抛物线的准线，过点M 向准线引垂线，垂足为A ，交y 轴于点B ，设|MF |＝t ，因为点M 在FN 的垂直平分线上，且直线MN 的倾斜角为135°，所以直线MF 的倾斜角为45°，由抛物线的定义得t ＝|MA |＝p ＋22t ，即t ＝2p 2－1＝(2＋2)p ，所以|OB |＝22t ＝(2＋1)p ，|BM |＝t －p2＝(3＋22)p 2，设直线OM 的倾斜角为θ，则∠OMB ＝θ，所以直线OM 的斜率为tan θ＝|OB ||MB |＝2(2＋1)3＋22＝22－2，故选A.7．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为(B )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝92xD ．y 2＝9x解析：如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则|BC |＝2a ，由抛物线的定义得，|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为|AE |＝|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ，2|AE |＝|AC |，所以6＝3＋3a ，从而得a ＝1，因为BD ∥FG ，所以|DB ||FG |＝|BC ||FC |.即1p ＝23，解得p ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x .二、填空题8．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为2.解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x P x P －(－1)＝12，解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2.9．(2019·合肥市质量检测)抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点A ，过抛物线E 上一点P (在第一象限内)作l 的垂线PQ ，垂足为Q .若四边形AFPQ 的周长为16，则点P 的坐标为(4,4)．解析：设P (x ，y )，其中x >0，y >0，由抛物线的定义知|PF |＝|PQ |＝x ＋1.根据题意知|AF |＝2，|QA |＝y ，则2(x ＋1)＋2＋y ＝16，y 2＝4x⇒x ＝4，y ＝4或x ＝9，y ＝－6(舍去)．所以点P 的坐标为(4,4)．10．(2019·潍坊市统一考试)已知抛物线y 2＝4x 与直线2x －y －3＝0相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，设OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，则1k 1＋1k 2的值为12.解析：设A (y 214，y 1)，B (y 224，y 2)，易知y 1y 2≠0，则k 1＝4y 1，k 2＝4y 2，所以1k 1＋1k 2＝y 1＋y 24，将x ＝y ＋32代入y 2＝4x ，得y 2－2y －6＝0，所以y 1＋y 2＝2，1k 1＋1k 2＝12.三、解答题11．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且|AB |＝8.(1)求直线l 的方程；(2)若A 关于x 轴的对称点为D ，抛物线的准线与x 轴的交点为E ，求证：B ，D ，E 三点共线．解：(1)F 的坐标为(1,0)，则l 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由题意知k ≠0，且[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，由抛物线的定义知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8，∴2k 2＋4k 2＝6，∴k 2＝1，即k ＝±1，∴直线l 的方程为y ＝±(x －1)．(2)证明：由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x 1，－y 1)，又E (－1,0)，∴k EB －k ED ＝y 2x 2＋1－－y 1x 1＋1＝y 2(x 1＋1)＋y 1(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)，y 2(x 1＋1)＋y 1(x 2＋1)＝y 2(y 214＋1)＋y 1(y 224＋1)＝y 1y 24(y 1＋y 2)＋(y 1＋y 2)＝(y 1＋y 2)(y 1y 24＋1)．由(1)知x 1x 2＝1，∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16，又y 1与y 2异号，∴y 1y 2＝－4，即y 1y24＋1＝0，∴k EB ＝k ED ，又ED 与EB 有公共点E ，∴B ，D ，E三点共线．12．(2019·洛阳高三统考)已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝(A )A ．16B ．4C.83D.53解析：解法1：因为直线4x －3y －2p ＝0过C 1的焦点F (C 2的圆心)，故|BF |＝|CF |＝p2，所以|AB ||CD |＝|AF |－p 2|DF |－p2.由抛物线的定义得|AF |－p 2＝x A ，|DF |－p2＝x D .由4x －3y －2p ＝0，y 2＝2px整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0，即(8x －p )(x －2p )＝0，可得x A ＝2p ，x D ＝p8，故|AB ||CD |＝x A x D ＝2p p8＝16.故选A.解法2：同解法1得|AB ||CD |＝|AF |－p 2|DF |－p2.过A ，D 作抛物线准线的垂线，垂足分别为A 1，D 1，该直线AF 交准线于点E ，准线交x 轴于点N ，则由FN ∥AA 1得|EF ||EA |＝|NF ||AA 1|，由直线AF 的斜率为43得tan ∠A 1AF ＝43，故|AA 1||AE |＝35.又|AA 1|＝|AF |，故|NF ||AA 1|＝|EF ||EA |＝25，所以|AF |＝|AA 1|＝52|NF |＝52p .同理可得|DD 1||NF |＝|ED ||EF |，又|DD 1|＝|DF |，所以|DD 1||NF |＝53|NF |－|DD 1|53|NF |，故|DF |＝|DD 1|＝58|NF |＝58p ，故|AB ||CD |＝52p －p 258p －p2＝218＝16.故选A.13．(2019·河北名校联考)如果点P 1，P 2，P 3，…，P 10是抛物线y 2＝2x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，x 3，…，x 10，F 是抛物线的焦点，若x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10＝5，则|P 1F |＋|P 2F |＋|P 3F |＋…＋|P 10F |＝10.解析：由抛物线的定义可知，抛物线y 2＝2px (p >0)上的点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝x 0＋p2，在y 2＝2x 中，p ＝1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 10F |＝x 1＋x 2＋…＋x 10＋5p ＝10.14．(2019·惠州市调研考试)在平面直角坐标系xOy 中，过点C (2,0)的直线与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)求证：y 1y 2为定值；(2)是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线的方程和弦长，如果不存在，说明理由．解：(1)证法1：当直线AB 垂直于x 轴时，不妨取y 1＝22，y 2＝－22，所以y 1y 2＝－8(定值)．当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，由y ＝k (x －2)，y 2＝4x ，得ky 2－4y －8k ＝0，所以y 1y 2＝－8.综上可得，y 1y 2＝－8为定值．证法2：设直线AB 的方程为my ＝x －2.由my ＝x －2，y 2＝4x得y 2－4my －8＝0，所以y 1y 2＝－8.因此有y 1y 2＝－8为定值．(2)存在．理由如下：设存在直线l ：x ＝a 满足条件，则AC 的中点E (x 1＋22，y 12)，|AC |＝(x 1－2)2＋y 21，因此以AC 为直径的圆的半径r ＝12|AC |＝12(x 1－2)2＋y 21＝12x 21＋4，点E 到直线x ＝a 的距离d ＝|x 1＋22－a |，所以所截弦长为2r 2－d 2＝214(x 21＋4)－(x 1＋22－a )2＝x 21＋4－(x 1＋2－2a )2＝－4(1－a )x 1＋8a －4a 2，当1－a ＝0，即a ＝1时，弦长为定值2，这时直线的方程为x ＝1.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·福州市测试)已知圆C ：(x －5)2＋(y －12)2＝8，抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上两点A (－2，y 1)与B (4，y 2)，若存在与直线AB 平行的一条直线和C 与E 都相切，则E 的准线方程为(C )A ．x ＝－12B ．y ＝－1C ．y ＝－12D ．x ＝－1解析：由题意知，A (－2，2p )，B (4，8p )，∴k AB ＝8p －2p 4－(－2)＝1p ，设抛物线E 上的切点为(x 0，y 0)，由y ＝x 22p ，得y ′＝x p ，∴x 0p ＝1p ，∴x 0＝1，∴切点为(1，12p )，∴切线方程为y －12p ＝1p (x －1)，即2x －2py －1＝0，∵切线2x －2py －1＝0与圆C 相切，∴圆心C (5，12)到切线的距离为22，即|9－p |4＋4p 2＝22，∴31p 2＋18p －49＝0，∴(p －1)(31p ＋49)＝0，∵p >0，∴p ＝1.∴抛物线x 2＝2y 的准线方程为y ＝－12，故选C.。
2020年山东省高考数学一轮冲刺复习汇编：抛物线(含解析)
2020年山东省高考数学一轮冲刺复习汇编：抛物线（含解析）一、【知识精讲】 1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. (2)其数学表达式：{M ||MF |＝d }(d 为点M 到准线l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质【注意点】1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p 2，也称为抛物线的焦半径.二、【典例精练】考点一 抛物线的定义及应用【例1】 (1)(2019·厦门外国语模拟)已知抛物线x 2＝2y 的焦点为F ，其上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)满足|AF |－|BF |＝2，则y 1＋x 21－y 2－x 22＝( )A.4B.6C.8D.10(2)（2019全国II ）若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8 【答案】 (1)B (2)D【解析】 (1)由抛物线定义知|AF |＝y 1＋12，|BF |＝y 2＋12，∴|AF |－|BF |＝y 1－y 2＝2，又知x 21＝2y 1，x 22＝2y 2，∴x 21－x 22＝2(y 1－y 2)＝4，∴y 1＋x 21－y 2－x 22＝(y 1－y 2)＋(x 21－x 22)＝2＋4＝6.(2) 由题意可得：232p p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得8p =．故选D ．【解法小结】 应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p2或|PF |＝|y 0|＋p2.考点二 抛物线的标准方程及其性质【例2】 (1)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当|MA ||MF |＝2时，△AMF 的面积为( )A.1B. 2C.2D.2 2(2) （2012山东）已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2．若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程。
2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测五十九二项式定理含解析
课时跟踪检测（五十九） 二项式定理[A 级 基础题——基稳才能楼高]1．⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5D ．20解析：选A 由二项展开式的通项可得，第四项T 4＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2(－2y )3＝－20x 2y 3，故x 2y 3的系数为－20，选A.2．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 210的展开式中的常数项是( )A ．180B ．90C ．45D ．360解析：选A ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 210的展开式的通项为T k ＋1＝C k 10·(x )10－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2k ＝2k C k10，令5－52k ＝0，得k ＝2，故常数项为22C 210＝180.3．在(1＋x )n(x ∈N *)的二项展开式中，若只有x 5的系数最大，则n ＝( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11解析：选C 二项式中仅x 5项系数最大，其最大值必为C n2n ，即得n2＝5，解得n ＝10.4．(2019·东北三校联考)若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝( )A ．0B ．1C ．32D ．－1解析：选A 由(1－x )5的展开式的通项T r ＋1＝C r5(－x )r＝C r5(－1)r x r，可知a 1，a 3，a 5都小于0.则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.在原二项展开式中令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝0.故选A.5．(2019·广西阳朔中学月考)(x －y )(x ＋2y ＋z )6的展开式中，x 2y 3z 2的系数为( ) A ．－30 B ．120 C ．240D ．420解析：选B [(x ＋2y )＋z ]6的展开式中含z 2的项为C 26(x ＋2y )4z 2，(x ＋2y )4的展开式中xy 3项的系数为C 34×23，x 2y 2项的系数为C 24×22，∴(x －y )(x ＋2y ＋z )6的展开式中x 2y 3z 2的系数为C 26C 34×23－C 26C 24×22＝480－360＝120，故选B.6．(2019·太原模拟)在多项式(1＋2x )6(1＋y )5的展开式中，xy 3的系数为________．解析：因为二项式(1＋2x )6的展开式中含x 的项的系数为2C 16，二项式(1＋y )5的展开式中含y 3的项的系数为C 35，所以在多项式(1＋2x )6(1＋y )5的展开式中，xy 3的系数为2C 16C 35＝120.答案：120[B 级 保分题——准做快做达标]1．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 展开式中的第5项是常数，则自然数n 的值为( )A ．6B ．10C ．12D ．15解析：选C 由二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 展开式的第5项C 4n (x )n －4⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 4＝是常数项，可得n2－6＝0，解得n ＝12.2．(2019·新乡模拟)(1－3x )7的展开式的第4项的系数为( ) A ．－27C 37 B ．－81C 47 C ．27C 37D ．81C 47解析：选A (1－3x )7的展开式的第4项为T 3＋1＝C 37×17－3×(－3x )3＝－27C 37x 3，其系数为－27C 37，选A.3．(2019·益阳、湘潭高三调考)若(1－3x )2 018＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 018x 2 018，x ∈R ，则a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32 018的值为( )A ．22 018－1 B ．82 018－1C ．22 018D ．82 018解析：选B 由已知，令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝3，得a 0＋a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32 018＝(1－9)2 018＝82 018，所以a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32 018＝82 018－a 0＝82 018－1，故选B.4．在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为( )A ．6B ．9C ．12D ．18解析：选B 在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，令x ＝1得各项系数之和为4n ，即A ＝4n，二项展开式中的二项式系数之和为2n ，即B ＝2n .∵A ＋B ＝72，∴4n ＋2n＝72，解得n ＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x 3的展开式的通项为T r ＋1＝C r 3(x )3－r⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝3r C r 3x 3－3r 2，令3－3r 2＝0，得r ＝1，故展开式中的常数项为T 2＝3×C 13＝9，故选B.5．(2019·山西五校联考)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－3x ＋4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 5的展开式中常数项为( ) A ．－30 B ．30 C ．－25D ．25解析：选C ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－3x ＋4x⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 5＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 5－3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 5＋4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 5，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(－1)r⎝⎛⎭⎪⎫1x r ，易知当r ＝4或r ＝2时原式有常数项，令r ＝4，T 5＝C 45(－1)4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4，令r ＝2，T 3＝C 25(－1)2·⎝⎛⎭⎪⎫1x 2，故所求常数项为C 45－3×C 25＝5－30＝－25，故选C. 6．(2019·武昌调研)若⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3x n的展开式中所有项系数的绝对值之和为1 024，则该展开式中的常数项为( )A ．－270B ．270C ．－90D ．90解析：选C ⎝⎛⎭⎪⎫3x－3x n 的展开式中所有项系数的绝对值之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3x n的展开式中所有项系数之和．令x ＝1，得4n＝1 024，∴n ＝5.则⎝⎛⎭⎪⎫3x －3x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3x 5，其通项T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 5－r ·(－3x )r ＝C r 5·35－r·(－1)r·，令r －52＋r3＝0，解得r ＝3，∴该展开式中的常数项为T 4＝C 35·32·(－1)3＝－90，故选C.7．(2018·四川双流中学月考)在(x －2)6展开式中，二项式系数的最大值为m ，含x 5项的系数为n ，则nm＝( ) A.53 B ．－53C.35D ．－35解析：选D 因为n ＝6是偶数，所以展开式共有7项，其中中间一项的二项式系数最大，其二项式系数为m ＝C 36＝20，含x 5项的系数为n ＝(－1)C 16×2＝－12，则n m ＝－1220＝－35.故选D.8．(2019·河南师范大学附属中学月考)已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( )A ．39B ．310C ．311D ．312解析：选D 由题意得，因为(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，两边同时求导，可得9(x ＋2)8＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋9a 9x 8，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋9a 9＝310，令x ＝－1，得a 1－2a 2＋3a 3－4a 4＋…＋9a 9＝9，又(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＋6a 6＋7a 7＋8a 8＋9a 9)·(a 1－2a 2＋3a 3－4a 4＋5a 5－6a 6＋7a 7－8a 8＋9a 9)＝310×9＝312.9．(2019·衡水调研)若(x －2y )6的展开式中的二项式系数和为S ，x 2y 4的系数为P ，则PS为( )A.152 B ．154C ．120D ．240解析：选B 由题意知，S ＝C 06＋C 16＋…＋C 66＝26＝64，P ＝C 46(－2)4＝15×16＝240，故P S ＝24064＝154. 故选B.10．(2019·达州期末)已知(3x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n (n ∈N *)，设(3x －1)n展开式的二项式系数和为S n ，T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n (n ∈N *)，S n 与T n 的大小关系是( )A ．S n ＞T nB ．S n ＜T nC ．n 为奇数时，S n ＜T n ，n 为偶数时，S n ＞T nD ．S n ＝T n解析：选C S n ＝2n，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n，令x ＝0，得a 0＝(－1)n，所以T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝S n －a 0＝S n －(－1)n ，所以当n 为偶数时，T n ＝S n －1＜S n ，当n 为奇数时，T n ＝S n ＋1＞S n ，故选C.11．(2019·成都检测)在二项式⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中，若常数项为－10，则a ＝________.解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r×⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝，令10－5r2＝0，得r ＝4，所以C 45a5－4＝－10，解得a ＝－2.答案：－212．(2019·济南模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x 4项的系数为________．解析：因为展开式中各项系数的和为2，所以令x ＝1，得(1－a )×1＝2，解得a ＝－1.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 25－r C r 5x 5－2r ，令5－2r ＝3，得r ＝1，展开式中含x 3项的系数为T 2＝(－1)×24C 15＝－80，令5－2r ＝5，得r ＝0，展开式中含x 5项的系数为T 1＝25C 05＝32，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x ⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中含x 4项的系数为－80＋32＝－48.答案：－4813．(2019·贵阳调研)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x9的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________．解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x9－r⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r ＝a r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，所以a 3C 39＝－84，所以a＝－1，所以二项式为⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 9，令x ＝1，则(1－1)9＝0，所以展开式的各项系数之和为0.答案：014．(2019·天水一中一模)已知(1－2x )5(1＋ax )4的展开式中x 的系数为2，则实数a 的值为________． 解析：因为(1－2x )5的展开式中的常数项为1，x 的系数为C 15×(－2)＝－10；(1＋ax )4的展开式中的常数项为1，x 的系数为C 14·a ＝4a ，所以(1－2x )5(1＋ax )4的展开式中x 的系数为1×4a ＋1×(－10)＝2，所以a ＝3.答案：3。
2020年高三一轮总复习理科数学课时跟踪检测：8-7抛物线 Word版含解析.doc
[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫116a ，0解析：将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14a y (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a ，所以选C. 答案：C2．以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：由准线x ＝1知，抛物线方程为 y 2＝－2px (p >0)且p2＝1，p ＝2， ∴抛物线的方程为y 2＝－4x ，故选D. 答案：D3．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12解析：由已知，得准线方程为x ＝－2，所以F 的坐标为(2,0)．又A (－2,3)，所以直线AF 的斜率为k ＝3－0－2－2＝－34.答案：C4．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB→|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|F A →|＋|FB→|＋|FC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3. 答案：C5．已知P 为抛物线y ＝12x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为点M ，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫6，172，则|P A |＋|PM |的最小值是( )A ．8B ．192 C ．10D ．212解析：依题意可知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，准线方程为y ＝－12，延长PM 交准线于点H (图略)．则|PF |＝|PH |，|PM |＝|PF |－12， |PM |＋|P A |＝|PF |＋|P A |－12， 即求|PF |＋|P A |的最小值． 因为|PF |＋|P A |≥|F A |， 又|F A |＝62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫172－122＝10.所以|PM |＋|P A |≥10－12＝192，故选B. 答案：B6．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知AB 所在的直线方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，得x 2－5p 3x ＋p 24＝0，所以x 1＝3p 2，x 2＝p 6，所以|AF ||BF |＝32p ＋p 2p 2＋p 6＝3.答案：C7．(2018届豫南九校联考)已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8,7)，则|P A |＋|PQ |的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：抛物线的焦点为F (0,1)，准线方程为y ＝－1，延长PQ 交准线于M ，如图所示，根据抛物线的定义知，|PF |＝|PM |＝|PQ |＋1.所以|P A |＋|PQ |＝|P A |＋|PM |－1＝|P A |＋|PF |－1≥|AF |－1＝82＋(7－1)2－1＝10－1＝9.答案：C8．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则下列关于|AB |·|CD |的值的说法中，正确的是()A ．等于1B ．等于4C ．最小值是1D ．最大值是4解析：设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，根据抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝(y 1y 2)216.而y 1y 2＝－4，故|AB |·|CD |＝1. 答案：A9．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________． 解析：解法一：如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎨⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0，消去y整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－435＝43.解法二：由y ＝－x 2，得y ′＝－2x .如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|x ＝m＝－2m ＝－43，所以m ＝23，即切点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43.答案：4310．若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值为________．解析：由题意得抛物线与圆不相交， 且圆的圆心为A (3,0)，半径为1， 则|PQ |≥|P A |－|AQ |＝|P A |－1，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时取等号， 所以当|P A |取得最小值时，|PQ |最小． 设P (x 0，y 0)，则y 20＝x 0，|P A |＝(x 0－3)2＋y 20＝x 20－6x 0＋9＋x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－522＋114，当且仅当x 0＝52时，|P A |取得最小值112，此时|PQ |取得最小值112－1.答案：112－111．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2. 所以抛物线方程为y 2＝4x . (2)因为点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又因为F (1,0)，所以k F A ＝43， 因为MN ⊥F A ，所以k MN ＝－34. 所以F A 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，② 联立①②，解得x ＝85，y ＝45， 所以N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.12．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． 解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9， 所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)． 设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)． 又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2. 故λ的值为0或2.[能 力 提 升]1．如图，由部分抛物线：y 2＝mx ＋1(m >0，x ≥0)和半圆x 2＋y 2＝r 2(x ≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C ”，若“黄金抛物线C ”经过点(3,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.(1)求“黄金抛物线C ”的方程；(2)设P (0,1)和Q (0，－1)，过点P 作直线l 与“黄金抛物线C ”相交于A ，P ，B 三点，问是否存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)∵“黄金抛物线C ”过点(3,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，∴r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1,4＝3m ＋1，∴m ＝1.∴“黄金抛物线C ”的方程为y 2＝x ＋1(x ≥0)和x 2＋y 2＝1(x ≤0)． (2)假设存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ，显然直线l 的斜率存在且不为0，设直线l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，y 2＝x ＋1，消去y ，得k 2x 2＋(2k －1)x ＝0， ∴x B ＝1－2k k 2，y B ＝1－k k ， 即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k k 2，1－k k ， ∴k BQ ＝k1－2k.联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 2＝1，消去y ，得(k 2＋1)x 2＋2kx ＝0，∴x A ＝－2kk 2＋1，y A ＝1－k 2k 2＋1，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k 2＋1，1－k 2k 2＋1，∴k AQ ＝－1k . ∵QP 平分∠AQB ，∴k AQ ＋k BQ ＝0， ∴k 1－2k－1k ＝0， 解得k ＝－1±2，由图形可得k ＝－1－2应舍去， ∴k ＝2－1，∴存在直线l ：y ＝(2－1)x ＋1，使得QP 平分∠AQB .2．(2017届湖南六校联考)已知抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，其焦点为F ，点O 为坐标原点，过焦点F 作斜率为k (k ≠0)的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M .(1)求OA →·OB→； (2)设直线MF 与抛物线交于C ，D 两点，且四边形ACBD 的面积为323p 2，求直线AB 的斜率k .解：(1)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋p2，得x 2－2pkx －p 2＝0，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2pk ，x 1·x 2＝－p 2，所以OA →·OB →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝－34p 2. (2)由x 2＝2py ，知y ′＝xp ，所以抛物线在A ，B 两点处的切线的斜率分别为x 1p ，x 2p ，所以直线AM 的方程为y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BM 的方程为y －y 2＝x 2p (x －x 2)，则可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫pk ，－p 2.所以k MF ＝－1k ，所以直线MF 与AB 相互垂直．由弦长公式知，|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·4p 2k 2＋4p 2＝2p (k 2＋1)， 用－1k 代替k 得，|CD |＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1，四边形ABCD 的面积S ＝12·|AB |·|CD |＝2p 22＋k 2＋1k 2＝323p 2，解得k 2＝3或k 2＝13，即k ＝±3或k ＝±33.。
抛物线的方程及性质59
课时跟踪检测(五十九) 抛物线的方程及性质[高考基础题型得分练]1．若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0,1)，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.14 答案：D解析：因为抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，所以其焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，14a ，则有14a ＝1，a ＝14，故选D.2．[2018·山西运城期末]已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线方程为( )A ．x 2＝32yB ．x 2＝6yC ．x 2＝－3yD ．x 2＝3y答案：D解析：设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧x 2＝ay ，y ＝2x －2，消去y ，得x 2－2ax ＋2a ＝0，所以x 1＋x 22＝2a2＝3，即a ＝3， 因此所求的抛物线方程是x 2＝3y .3．[2018·吉林长春一模]过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |＝( )A.13B.23C.34D.43 答案：A解析：记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1， 垂足分别是A 1，B 1，C ，则有cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝13.4．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 24－y 25＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则点A 的横坐标为( )A ．2 2B ．3C ．2 3D ．4 答案：B解析：记抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2.双曲线的右焦点为(3,0)，所以p2＝3，即p ＝6，即y 2＝12x .过A 作准线的垂线，垂足为M ，则|AK |＝2|AF |＝2|AM |，即|KM |＝|AM |，设A (x ，y )，则y ＝x ＋3，代入y 2＝12x ，解得x ＝3.5．[2018·北京密云模拟]已知两点A (1,0)，B (b,0)．如果抛物线y 2＝4x 上存在点C ，使得△ABC 为等边三角形，那么实数b ＝________.答案：5或－13解析：依题意，线段AB 的垂直平分线x ＝b ＋12(b >－1)与抛物线y 2＝4x 的交点C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋12，n 满足|CA |＝|AB |＝|b －1|(其中n 2＝2(b ＋1))， 于是有⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋12－12＋n 2＝(b －1)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋12－12＋2(b ＋1)＝(b －1)2， 化简得3b 2－14b －5＝0，即(3b ＋1)(b －5)＝0， 解得b ＝5或b ＝－13.6．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱桥离水面2 m ，水面宽4 m ，水位下降1 m 后，水面宽________m.答案：26解析：建立如图所示的平面直角坐标系，A ，B 是抛物线与水面的交点． 由题意，得点A 的坐标为(－2，－2)．设抛物线的方程为x2＝ay，把点A的坐标代入，得a＝－2，即抛物线的方程为x2＝－2y.当水位下降1(单位：m)时，水面的纵坐标为－3，把y＝－3代入抛物线的方程，得x＝±6.∴水位下降1 m后，水面宽为2 6 m.7．[2017·宁夏银川五模]如图，抛物线y2＝4x的一条弦AB经过焦点F，取线段OB的中点D，延长OA至点C，使|OA|＝|AC|，过点C，D分别作y轴的垂线，垂足分别为E，G，则|EG|的最小值为________．答案：4解析：设直线AB的方程为x＝my＋1，与y2＝4x联立并消去x，可得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且y1<0，y2>0，则y1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，所以|EG |＝y 22－2y 1＝y 22＋8y 2≥4，当且仅当y 22＝8y 2，即y 2＝4时，取等号．故|EG |的最小值为4.8．已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB →＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足(x －1)2＋y 2－x ＝1(x ＞0)． 化简得y 2＝4x (x ＞0)．(2)设过点M (m,0)(m ＞0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4m ＝0， Δ＝16(t 2＋m )＞0，于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m .①又F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，F A →·FB →＜0. (x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＜0.②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋y 224＋1＜0，即(y 1y 2)216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1＜0.③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1＜4t 2.④ 对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1＜0，即3－22＜m ＜3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB →＜0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．[冲刺名校能力提升练]1．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，则|P A |＋|PM |的最小值是( )A.72 B ．4 C.92 D ．5 答案：C解析：设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12.又|P A |＋d ＝|P A |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|P A |＋|PM |≥92.2．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP→＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3 D ．2 答案：C解析：过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP→＝4FQ →，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4， 又焦点F 到准线l 的距离为4， 所以|QF |＝|QQ ′|＝3.3．设F 为抛物线y 2＝6x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点．若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB→|＋|FC →|＝( ) A ．4 B ．6 C ．9 D ．12 答案：C解析：由题意得，抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， ∵F A →＋FB →＋FC →＝0， ∴点F 是△ABC 的重心， ∴x 1＋x 2＋x 3＝92.由抛物线的定义，可得|F A |＝x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝x 1＋32， |FB |＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝x 2＋32， |FC |＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝x 3＋32，∴|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋32＋x 2＋32＋x 3＋32＝9.4．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为________．答案：322解析：由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1＞0，y 2＜0)，如图所示，|AF |＝x 1＋1＝3，∴x 1＝2，y 1＝2 2. 设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x －1＝ty ，消去x ，得y 2－4ty －4＝0. ∴y 1y 2＝－4，∴y 2＝－2， ∴S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322.5.双曲线y 2a 2－x 24＝1(a >0)的离心率为5，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点在双曲线的顶点上．(1)求抛物线C 的方程；(2)过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 交于E ，F 两点，又过E ，F 作抛物线C 的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．解：(1)双曲线的离心率e ＝1＋4a 2＝5，又a >0，∴a ＝1，双曲线的顶点为(0,1)， 又p >0，∴抛物线的焦点为(0,1)， ∴抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)由题意知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， ∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴切线l 1，l 2的斜率分别为x 12，x 22， 当l 1⊥l 2时，x 12·x 22＝－1，∴x 1x 2＝－4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4k ＝0，∴Δ＝(－4k )2－4(－4k )>0，∴k <－1或k >0.①由根与系数的关系，得x 1x 2＝－4k ＝－4，∴k ＝1，满足①，即直线l 的方程为x －y ＋1＝0.6．已知抛物线y 2＝4x ，直线l ：y ＝－12x ＋b 与抛物线交于A ，B 两点．(1)若以AB 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的方程；(2)若直线l 与y 轴负半轴相交，求△AOB (O 为坐标原点)面积的最大值．解：(1)联立⎩⎨⎧ y ＝－12x ＋b ，y 2＝4x ，消去x 并化简整理，得y 2＋8y －8b ＝0.依题意有Δ＝64＋32b ＞0，解得b ＞－2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－8，y 1y 2＝－8b ，设圆心Q (x 0，y 0)，则应有x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22＝－4.因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，则圆的半径为r ＝|y 0|＝4， 又|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋4)(y 1－y 2)2＝5[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2] ＝5(64＋32b ).所以|AB |＝2r ＝5(64＋32b )＝8，解得b ＝－85.所以x 1＋x 2＝2b －2y 1＋2b －2y 2＝4b ＋16＝485，所以圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫245，－4. 故所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2452＋(y ＋4)2＝16. (2)因为直线l 与y 轴负半轴相交，所以b ＜0， 又l 与抛物线交于两点，由(1)知b ＞－2，所以－2＜b ＜0，直线l ：y ＝－12x ＋b ，整理得x ＋2y －2b ＝0，点O 到直线l 的距离d ＝|－2b |5＝－2b 5， 所以S △AOB ＝12|AB |d ＝－4b 2·2＋b＝42·b 3＋2b 2.令g (b )＝b 3＋2b 2，－2＜b ＜0，g ′(b )＝3b 2＋4b ＝3b ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋43， 当b 变化时，g ′(b )，g (b )的变化情况如下表：由上表可得g (b )的最大值为g ⎝ ⎭⎪⎫－43＝3227. 故S △AOB ≤42×3227＝3239.所以当b ＝－43时，△AOB 的面积取得最大值3239.。
三年高考(2020)高考数学试题分项版解析 专题19 抛物线 理(含解析)
专题19 抛物线考纲解读明方向考点内容解读要求常考题型预测热度1.抛物线的定义及其标准方程掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质掌握选择题解答题★★★2.抛物线的几何性质掌握选择题解答题★★★3.直线与抛物线的位置关系掌握选择题解答题★★★分析解读 1.熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准方程形式.2.会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质,会由几何性质确定抛物线的标准方程.3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求抛物线的方程和研究抛物线的性质为主,分值约为12分,属偏难题.2020年高考全景展示1．【2020年理新课标I卷】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.2．【2020年浙江卷】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B 满足PA，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】分析: （Ⅰ）设P,A,B的纵坐标为，根据中点坐标公式得PA,PB的中点坐标，代入抛物线方程，可得，即得结论，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△PAB面积为，利用根与系数的关系可表示为的函数，根据半椭圆范围以及二次函数性质确定面积取值范围.详解：（Ⅰ）设，，．因为，的中点在抛物线上，所以，为方程，即的两个不同的实数根．所以．因此，垂直于轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以，．因此，的面积．因为，所以．因此，面积的取值范围是．点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.3．【2020年理北京卷】已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．【答案】(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）(2)证明过程见解析详解：解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．由得．依题意，解得k<0或0<k<1．又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由（I）知，．直线PA的方程为y–2=．令x=0，得点M的纵坐标为．同理得点N的纵坐标为．由，得，．所以．所以为定值．点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.2020年高考全景展示1.【2020课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【解析】试题分析：设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y ，直线1l 方程为1(1)y k x =-联立方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222111240k x k x x k --+=∴21122124k x x k --+=-212124k k += 同理直线2l 与抛物线的交点满足22342224k x x k ++= 由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p +=++++22122222121224244448816k k k k k k ++=++=++≥= 当且仅当121k k =-=（或1-）时，取得等号. 【考点】抛物线的简单性质【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式、韦达定理是通法，需要重点掌握.考查到最值问题时要能想到用函数方法进行解决和基本不等式.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则22||cos pAB α=，则2222||sin cos ()2p pDE παα==-，所以22222211||||4()cos sin cos sin p p AB DE αααα+=+=+ 2222222211sin cos 4()(cos sin )4(2)4(22)16cos sin cos sin αααααααα=++=++≥⋅+=2.【2020课标II ，理16】已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N 。
2020版高考数学理科(人教B版)一轮复习课时规范练50 抛物线 含解析
课时规范练50抛物线基础巩固组1.(2018山东春季联考)已知抛物线x2=ay(a≠0)的焦点为F,准线为l,该抛物线上的点M到x轴的距离为5,且|MF|=7,则焦点F到准线l的距离是()A.2B.3C.4D.52.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为抛物线C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为() A.2 B.2C.2D.43.(2018云南昆明一中模拟,5)已知点F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,O为坐标原点,若以F为圆心,|FO|为半径的圆与直线x-y+3=0相切,则抛物线C的方程为()A.x2=2yB.x2=4yC.x2=6yD.x2=8y4.(2018广东江门一模,10)F是抛物线y2=2x的焦点,点P在抛物线上,点Q在抛物线的准线上,若=2,则|PQ|=()A. B.4 C. D.35.(2018湖南郴州二中模拟,9)已知抛物线C:x2=2py(p>0),直线2x-y+2=0交抛物线C于A、B两点,过线段AB的中点作x轴的垂线,交抛物线C于点Q.若|2|=|2|,则p=()A. B.C. D.6.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为()A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2=x7.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为.8.(2018黑龙江哈尔滨模拟(二),15)已知抛物线y2=4x,过焦点F作直线与抛物线交于点A,B,设|AF|=m,|BF|=n,则m+n的最小值为.9.F是抛物线y2=2x的焦点,以F为端点的射线与抛物线相交于点A,与抛物线的准线相交于点B,若=4,则=.综合提升组10.(2018北京昌平质检,6)已知点M(0,)及抛物线y2=4x上一动点N(x,y),则x+|MN|的最小值为()A. B.2C.3D.411.如图,已知抛物线的方程为x2=2py(p>0),过点A(0,-1)作直线与抛物线相交于P,Q两点,点B的坐标为(0,1),连接BP,BQ,设QB,BP与x轴分别相交于M,N两点.如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3,则∠MBN的大小等于()A. B. C. D.12.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线为l,若l与圆x2+y2+6x+5=0的交点为A,B,且|AB|=2,则p的值为.13.(2018广东汕头冲刺,20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F垂直于x轴的直线与抛物线C相交于A,B两点,抛物线C在A,B两点处的切线及直线AB所围成的三角形面积为4.(1)求抛物线C的方程;(2)设M,N是抛物线C上异于原点O的两个动点,且满足k OM·k ON=k OA·k OB,求△OMN面积的取值范围.创新应用组14.(2018安徽合肥一中冲刺,12)点P在直线l:y=x-1上,若存在过P的直线交抛物线y=x2于A,B两点,且|PA|=2|AB|,则称点P为“δ点”.下列结论中正确的是()A.直线l上的所有点都是“δ点”B.直线l上仅有有限个点是“δ点”C.直线l上的所有点都不是“δ点”D.直线l上有无穷多个点(点不是所有的点)是“δ点”15.(2018福建莆田九中模拟,20)已知椭圆C1:=1(a>b>0)和抛物线C2:x2=2py(p>0),在C1,C2上各取两个点,这四个点的坐标为(2,1),(-,0),1,,(-4,4).(1)求C1,C2的方程;(2)设P是C2在第一象限上的点,C2在点P处的切线l与C1交于A,B两点,线段AB的中点为D,过原点O的直线OD与过点P且垂直于x轴的直线交于点Q,证明:点Q在定直线上.课时规范练50抛物线1.C因为|MF|=7,点M到x轴的距离为5,所以=7-5,所以|a|=8,因此焦点F到准线l的距离是=4,故选C.2.C利用|PF|=x P+=4,可得x P=3∴y P=±2S△POF=|OF|·|y P|=2故选C.3.B由抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则焦点坐标F0,,所以焦点F0,到直线x-y+3=0的距离为d=-,解得p=2,所以抛物线的方程为x2=4y,故选B.4.A设抛物线的准线和对称轴的交点为K.过点P作准线的垂线,垂足为M,则|PF|=|PM|.由△QFK∽△QPM,得,即,所以|MP|=3.故|PF|=3,|QF|=,所以|PQ|=|PF|+|QF|=故选A.5.B联立抛物线x2=2py与直线y=2x+2的方程,消去y得x2-4px-4p=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则Δ=16p2+16p>0,x1+x2=4p,x1x2=-4p,∴Q(2p,2p).∵|2|=|2|,=0,∴(x1-2p)(x2-2p)+(y1-2p)(y2-2p)=0,即(x1-2p)(x2-2p)+(2x1+2-2p)(2x2+2-2p)=0,∴5x1x2+(4-6p)(x1+x2)+8p2-8p+4=0,将x1+x2=4p,x1x2=-4p代入,得4p2+3p-1=0,得p=或p=-1(舍去).故选B.6.C如图,分别过点A,B作AA1⊥l于点A1,BB1⊥l于点B1,由抛物线的定义知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|.∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|.∴∠BCB1=30°,∴∠AFx=60°.连接A1F,则△AA1F为等边三角形,过点F作FF1⊥AA1于点F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于点K,则|KF|=|A1F1|=|AA1|=|AF|,即p=,故抛物线方程为y2=3x.7.2由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.8.4由题意知,抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1,当斜率k存在时,设直线AB的方程为y=k(x-1),与抛物线方程联立,可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2+>2,x1x2=1,由抛物线定义,得m=x1+1,n=x2+1⇒m+n=x1+x2+2>4,当斜率k不存在时,m+n=4,则m+n的最小值是4.9由题意,设点A的横坐标为m,过点A向准线作垂线交准线于点C,设准线与x轴的交点为D, 则由抛物线的定义,|FA|=m+,由△BAC∽△BFD,得,∴m=∴|FA|=,|FB|=3,=|FA||FB|=10.C设抛物线的焦点为F(1,0),连接NF,由抛物线的定义可得|NF|=x+1.∵|NF|+|NM|≥|MF|=4,当且仅当三点共线时等号成立,∴x+|NM|≥3.∴x+|MN|的最小值为3.11.D设直线PQ的方程为y=kx-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),由-得x2-2pkx+2p=0,则x1+x2=2pk,x1x2=2p,k BP=-,k BQ=-,k BP+k BQ=--=--=-=-=0,即k BP+k BQ=0,①又k BP·k BQ=-3,②联立①②解得k BP=,k BQ=-,所以∠BNM=,∠BMN=,故∠MBN=π-∠BNM-∠BMN=,故选D.12.4或8抛物线y2=2px的焦点F,0,准线x=-,准线与x轴相交于点H.圆x2+y2+6x+5=0的标准方程为(x+3)2+y2=4,则圆心E(-3,0),半径为2,假设抛物线的准线在圆心的右侧,由|AB|=2,则A-,则|AH|=,|AE|=2,∴|EH|=1,则|EH|+=|OE|,即1+=3,则p=4.设抛物线的准线在圆心的左侧,由|AB|=2,则A-,则|AH|=,|AE|=2,则|OE|+|EH|=,即3+1=,则p=8,∴p的值为4或8.13.解(1)由题意得A,p,B,-p,由y=,得y'=,∴抛物线C在A处的切线斜率为1,由抛物线C的对称性,知抛物线C在B处的切线斜率为-1,∴抛物线在A处的切线方程为y-p=x-,令y=0,得x=-,∴S=2p·p=4,解得p=2.∴抛物线C的方程为y2=4x.(2)由已知可得k OA·k OB=-4,设M,y1,N,y2,则k OM·k ON==-4,∴y1y2=-4.设直线MN的方程为x=ty+n,联立方程组消去x得y2-4ty-4n=0,则y1y2=-4n,y1+y2=4t,∵y1y2=-4,∴n=1.∴直线MN过定点(1,0),∴S△OMN=|y1-y2|=-==2∵t2≥0,∴S△OMN≥2.综上所述,△OMN面积的取值范围是[2,+∞).14.A如图所示,设A(m,n),P(x,x-1),因为|PA|=2|AB|,直线l:y=x-1与抛物线y=x2相离,所以=2,(m-x,n-x+1)=2(x B-m,y B-n),所以B(3m-x),(3n-x+1),A,B在y=x2上,由--消去n,整理得关于x的方程x2+(2-6m)x+3m2-2=0,因为Δ=24m2-24m+12>0恒成立,所以方程恒有实数解,因为点P在直线l:y=x-1上,总存在过P的直线交抛物线y=x2于A,B两点, 且|PA|=2|AB|,所以直线l上的所有点都是“δ点”,故选A.15.(1)解由已知,点(-,0),1,在椭圆C1上,所以=1,=1,解得a2=2,b2=1,所以C1:+y2=1;因为点(2,1),(-4,4)在抛物线C2上,所以p=2,所以C2:x2=4y.(2)证明设P m,(m>0),由x2=4y,得y'=x,所以切线l的方程为y-(x-m),--设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(m2+2)x2-m3x+-4=0.由Δ>0,x1+x2=得x D=,代入y-(x-m),得y D=-,所以k OD==-,所以l OD:y=-x,由-得y=-1,所以点Q在定直线y=-1上.。
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课时跟踪练(五十九)A 组 基础巩固1．(2019·黄山模拟)若抛物线y 2＝8x 上一点P 到其焦点的距离为10，则点P 的坐标为( )A ．(8，8)B ．(8，－8)C ．(8，±8)D ．(－8，±8)解析：设P (x P ，y P )，因为点P 到焦点的距离等于它到准线x ＝－2的距离， 所以x P ＝8，则y P ＝±8，所以点P 的坐标为(8，±8)．故选C. 答案：C2．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析：如图，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由|PF |＝x 0＋2＝42，得x 0＝32，代入抛物线方程得，y 20＝42×32＝24，所以|y 0|＝26，所以S △POF ＝12|OF ||y 0|＝12×2×26＝2 3.答案：C3．(2019·珠海模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( )A.7π12B.2π3C.3π4D.5π6解析：由抛物线y 2＝4x 知焦点F 的坐标为(1，0)，准线l 的方程为x ＝－1，由抛物线定义可知|PA |＝|PF |＝4，所以点P 的坐标为(3，23)，因此点A 的坐标为(－1，23)，所以k AF ＝23－0－1－1＝－3，所以直线AF 的倾斜角等于2π3，故选B.答案：B4．(2019·河南百校联盟联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且|MO |＝|MF |＝32(O 为坐标原点)，则OM →·MF →＝( )A ．－74B.74C.94D ．－94解析：不妨设M (m ，2pm )(m >0)，易知抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，因为|MO |＝|MF |＝32，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2pm ＝94，m ＋p 2＝32，解得m ＝12，p ＝2，所以OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，MF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，所以OM →·MF →＝14－2＝－74.故选A.答案：A5．(2019·长沙模拟)已知点P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆C ：(x ＋2)2＋(y －4)2＝1上的一个动点，则x 0＋|PQ |的最小值为( )A ．25－1B ．2 5C ．3D ．4解析：设抛物线y 2＝4x 的焦点F (1，0)，过点P (x 0，y 0)作准线l ：x ＝－1的垂线，垂足为N ，则x 0＋|PQ |＝|PN |＋|PQ |－1＝|PF |＋|PQ |－1≥|CF |－2＝（1＋2）2＋42－2＝5－2＝3，当且仅当C ，P ，F 三点共线且点Q 在线段CF 上时取等号，则x 0＋|PQ |的最小值是3，故选C.答案：C6．(2019·福州模拟)函数y ＝ax －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过点P ，则焦点在x 轴上且过点P 的抛物线的标准方程是________________．解析：设抛物线的方程为y 2＝mx (m ≠0)，由题意知点P 的坐标为(1，1)，代入y 2＝mx ，可得m ＝1，所以焦点在x 轴上且过点P 的抛物线的标准方程是y 2＝x .答案：y 2＝x7．(2019·玉溪模拟)已知F 是抛物线y ＝x 2的焦点，M 、N 是该抛物线上的两点，|MF |＋|NF |＝3，则线段MN 的中点到x 轴的距离为________．解析：抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，准线为y ＝－14，过M ，N 作准线的垂线，垂足分别为M ′，N ′，则|MM ′|＝|MF |，|NN ′|＝|NF |， 所以|MM ′|＋|NN ′|＝|MF |＋|NF |＝3，设线段MN 的中点为P ，过P 作准线的垂线，垂足为P ′， 则|PP ′|＝|MM ′|＋|NN ′|2＝32，所以线段MN 的中点P 到x 轴的距离为|PP ′|－14＝32－14＝54.答案：548．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作斜率大于0的直线l 交抛物线于A ，B 两点(A 在B 的上方)，且l 与准线交于点C ，若CB →＝4BF →，则|AF ||BF |＝________．解析：根据题意，设|AF |＝a ，|BF |＝b ，过A ，B 作准线的垂线，垂足分别为M ，N ， 则有|BF |＝|BN |＝b ，|AF |＝|AM |＝a ， 因为CB →＝4BF →，所以|CB |＝4|BF |， 即|CB |＝4|BN |， 又BN ∥AM ，所以|CA |＝4|AM |，即4b ＋b ＋a ＝4a ， 变形可得a b ＝53，即|AF ||BF |＝53. 答案：539．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)由(1)知点A 的坐标是(4，4)，由题意得B (0，4)，M (0，2)． 又因为F (1，0)，所以k FA ＝43.因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34，所以FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y ＝－34x ＋2，②由①②联立得x ＝85，y ＝45，所以点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.10．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． 解：(1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由(1)知p ＝4，4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0， 又x 1＜x 2，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4，42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.B 组 素养提升11．(2019·太原模拟)抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A ，B 是抛物线上的两个动点，|AF |＋|BF |＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为( )A.π3B.3π4C.5π6D.2π3解析：设|AF |＝m ，|BF |＝n ， 因为|AF |＋|BF |＝233|AB |， 所以233|AB |≥2mn ，所以mn ≤13|AB |2，在△AFB 中，由余弦定理得cos ∠AFB ＝m 2＋n 2－|AB |22mn ＝（m ＋n ）2－2mn －|AB |22mn ＝13|AB |2－2mn 2mn ≥－12，所以∠AFB 的最大值为2π3.故选D. 答案：D12．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5B ．2 2C ．2 3D ．3 3解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF 的方程为y＝3(x －1)．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －1），y 2＝4x ，解得⎩⎨⎧x ＝13，y ＝－233，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2 3.因为点M 在x 轴的上方， 所以M (3，23)． 因为MN ⊥l ， 所以N (－1，23)．所以|NF |＝（1＋1）2＋（0－23）2＝4， |MF |＝|MN |＝（3＋1）2＋（23－23）2＝4. 所以△MNF 是边长为4的等边三角形． 所以点M 到直线NF 的距离为2 3. 故选C. 答案：C13．[一题多解](2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________．解析：法一 由题意可知C 的焦点坐标为(1，0)，所以过焦点(1，0)，斜率为k 的直线方程为x ＝yk＋1，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1k ＋1，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2k ＋1，y 2，将直线方程与抛物线方程联立得⎩⎨⎧x ＝y k ＋1，y 2＝4x ，整理得y 2－4k y －4＝0， 从而得y 1＋y 2＝4k，y 1·y 2＝－4.因为M (－1，1)，∠AMB ＝90°，所以MA →·MB →＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫y 1k ＋2·⎝⎛⎭⎪⎫y 2k ＋2＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， 即k 2－4k ＋4＝0，解得k ＝2.法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②②－①得y 22－y 21＝4(x 2－x 1)，从而k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4y 1＋y 2. 设AB 的中点为M ′，连接MM ′. 因为直线AB 过抛物线y 2＝4x 的焦点，所以以线段AB 为直径的⊙M ′与准线l ：x ＝－1相切． 因为M (－1，1)，∠AMB ＝90°，所以点M 在准线l ：x ＝－1上，同时在⊙M ′上， 所以准线l 是⊙M ′的切线，切点为M ，且M ′M ⊥l ， 即MM ′与x 轴平行， 所以点M ′的纵坐标为1，即y 1＋y 22＝1⇒y 1＋y 2＝2， 故k ＝4y 1＋y 2＝42＝2.答案：214．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．解：(1)依题意知F (1，0)， 设直线AB 的方程为x ＝my ＋1.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得 y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.联立上述三式，消去y 1，y 2，得m ＝±24.所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点， 从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB . 因为2S △AOB ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.。