垂直关系的判定
几何中的垂直关系与判定
几何中的垂直关系与判定几何学是一门研究空间和图形属性的学科，其中垂直关系是其中一个重要的概念。
垂直关系不仅在几何中有广泛的应用，而且在我们日常生活中也随处可见。
本文将探讨几何中的垂直关系以及如何判定两条线段是否垂直。
首先，让我们来了解垂直关系的定义。
在几何学中，当两条线段或直线相交时，如果它们的交点与另外两条线段的交点之间的夹角为90度，那么我们称这两条线段或直线是垂直的。
垂直关系在几何学中非常重要，因为它涉及到许多其他重要的概念，如正交、垂直平分线等。
那么，如何判定两条线段是否垂直呢？有几种方法可以用来判定垂直关系。
一种常见的方法是使用直角三角形的性质。
我们可以通过测量两条线段之间的夹角来判断它们是否为90度。
如果夹角为90度，则可以确定这两条线段是垂直的。
另一种方法是使用垂直平分线的性质。
如果两条线段的垂直平分线相交于同一点，那么这两条线段也是垂直的。
除了判断垂直关系，我们还可以利用垂直关系来解决一些几何问题。
例如，在求解三角形的面积时，我们可以利用垂直关系来简化计算。
如果我们知道三角形的底边与高的长度，那么我们可以直接使用面积公式来计算三角形的面积。
同样，垂直关系也可以帮助我们解决平行线和垂直平分线的问题。
垂直关系在我们的日常生活中也有许多应用。
例如，在建筑设计中，我们经常需要保证墙壁与地面垂直，以确保建筑物的结构稳定。
此外，在道路规划中，我们也需要确保交叉路口的道路垂直相交，以确保交通流畅和安全。
总结一下，几何中的垂直关系是一个重要的概念，它不仅在几何学中有广泛的应用，而且在我们日常生活中也随处可见。
我们可以通过测量夹角或使用垂直平分线的性质来判断两条线段是否垂直。
垂直关系不仅可以帮助我们解决几何问题，还可以在建筑设计和道路规划中发挥作用。
通过深入理解垂直关系，我们可以更好地理解几何学的基本概念，并将其应用于实际生活中的各种情境中。
直线、曲线垂直的判定及其性质
直线、曲线垂直的判定及其性质
垂直是几何学中的重要概念，用于描述两条线段、线或曲线之
间的相对关系。
在判定直线或曲线是否垂直时，需要考虑两个主要
因素：斜率和相交关系。
直线垂直的判定方法
要判定两条直线是否垂直，可以根据它们的斜率来进行推断。
两条直线垂直的条件是它们的斜率之积为-1，即斜率为互为负倒数
的关系。
如果两条直线的斜率满足这个条件，那么它们就是垂直的。
曲线垂直的判定方法
与直线不同，曲线的判定方法更为复杂。
曲线之间的垂直关系
通常是通过它们的切线来确定。
两条曲线在某一交点处的切线斜率
相互乘积为-1时，可以判定它们在该点处垂直。
然而，需要注意的是，曲线之间的垂直性并非在所有点上都成立，而是在特定点的交
点处成立。
直线、曲线垂直的性质
如果两条直线或曲线垂直，那么它们在相交点处的角度为90度。
这是因为垂直的定义就是两个线段或线之间成直角的关系。
在几何学中，垂直具有一些重要的性质，例如：
- 垂直线段的长度相乘等于它们垂直线段的长度的平方。
- 两个垂直切线的斜率乘积为-1。
- 在直角三角形中，两条直角边互相垂直。
总之，垂直是几何学中重要的关系之一，用于描述直线和曲线之间的相对关系。
判定直线或曲线的垂直性可以通过斜率和相交关系来推断，而垂直的性质有助于我们在解决几何问题时的推导和证明。
更多关于直线和曲线垂直的知识可以通过几何学教材和学习资源进一步了解和深入研究。
第11讲 空间中垂直关系的判定与性质
空间中垂直关系的判定与性质一．基础知识整合1.直线与平面存垂直（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α.直线l 叫作平面α的垂线，平面α叫作直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫作垂足．（2）画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图（3）判定定理文字语言 符号语言 图形语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b a αb αa ∩b ＝P ⇒l ⊥α2.二面角（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．（2）二面角的记法：如图，记作：二面角α－AB －β，也可记作2∠α—AB —β.（3）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是直角的二面角叫作直二面角．3.平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（2）判定定理文字语言符号语言 图形语言 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫a αa ⊥β⇒α⊥β 4.直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言 符号语言 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b文字语言图形语言 符号语言 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝l a αa ⊥l ⇒a ⊥β 题型一：线面垂直的判定 例1：如图所示，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，且S 为所在平面外一点，满足SA ＝SB ＝SC .D为AC 的中点．求证：SD ⊥平面ABC . 证明：∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，且D 为AC 的中点，∴BD ＝AD ＝DC .又∵SA ＝SB ＝SC ，SD 为公共边，∴△SBD ≌△SAD ≌△SCD ，∴∠SDB ＝∠SDA ＝∠SCD ＝90°，∴SD ⊥AD ，SD ⊥BD ，∵AD ∩BD ＝D ，∴SD ⊥平面ABC .变式训练1：如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的点，P A ⊥⊙O 所在的平面，AF ⊥PC 于F ，求证：BC ⊥平面PAC . 证明：因为AB 为⊙O 的直径，所以BC ⊥AC .因为P A ⊥平面ABC ，BC平面ABC ，所以P A ⊥BC .因为P A ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面P AC .题型二：面面垂直的判定例2：已知四面体ABCD 的棱长都相等，E ，F ，G ，H 分别为AB ，AC ，AD ，BC 的中点．求证：平面EHG ⊥平面FHG .证明：如图，取CD 的中点M ，连接HM ，MG ，FM ，则四边形MHEG为平行四边形．连接EM 交HG 于O ，连接FO .在△FHG 中，O 为HG的中点，且FH ＝FG ，所以 FO ⊥HG .同理可证FO ⊥EM .又HG ∩EM ＝O ，所以FO ⊥平面EHMG .又FO 平面FHG ，所以平面EHG ⊥平面FHG .变式训练2：如图，在空间四边形ABDC 中，AB ＝BC ，CD ＝DA ，E 、F 、G 分别为CD 、DA 和对角线AC 的中点．:求证：平面BEF ⊥平面BDG .证明：∵AB ＝BC ，CD ＝AD ，G 是AC 的中点，∴BG ⊥AC ，DG ⊥AC ，又EF ∥AC ，∴EF ⊥BG ，EF ⊥DG .∴EF ⊥平面BGD .∵EF 平面BEF ，∴平面BDG ⊥平面BEF .题型三：垂直关系的综合应用例3：如图，在三棱锥P—ABC中，P A⊥底面ABC，P A＝AB，∠BCA＝90°.点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．证明：(1)∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.(2)存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角．由(1)知BC⊥平面P AC，又∵DE∥BC，∴DE⊥平面P AC.又∵AE平面P AC，PE平面P AC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．又∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥AC.∴∠P AC＝90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时，∠AEP＝90°.故存在点E使得二面角A—DE—P是直二面角．变式训练3：如图所示，P A⊥平面ABC，AC⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝6，求二面角P—BC—A的大小．解：∵P A⊥平面ABC，BC平面ABC，∴P A⊥BC.又AC⊥BC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.又PC平面P AC，∴BC⊥PC.又BC⊥AC，∴∠PCA为二面角P—BC—A的平面角．在Rt△PBC中，∵PB＝6，BC＝2，∴PC＝2.在Rt△ABC中，∵AB＝2，BC＝2，∴AC＝ 2.∴在Rt△P AC中，cos∠PCA＝2，∴2∠PCA＝45°，即二面角P—BC—A的大小为45°.题型四：线面垂直性质定理的应用例4：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.证明：如图所示，连接AB1、B1C、BD.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD.∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1.∵BD1平面BDD1，∴BD1⊥AC.同理可证BD1⊥B1C.∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又EF⊥AC，且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.变式训练3：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.若G是AB的中点，则E在A1D上什么位置时，能使EG⊥平面AB1C?解：若EG⊥平面AB1C，因为BD1⊥平面AB1C，所以EG∥BD1.因为G为AB的中点，所以E为AD1的中点，即E为A1D的中点时，EG⊥平面AB1C.题型五：面面垂直性质定理的应用例5：已知平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，求证：P A⊥平面ABC.证明：如图所示，在BC上任取一点D，作DF⊥AC于F，DG⊥AB于G，∵平面P AC⊥平面ABC，且平面P AC∩平面ABC＝AC，∴DF⊥平面P AC，又∵P A平面P AC，∴DF⊥P A，同理DG⊥P A，又∵DF∩DG＝D且DF平面ABC，DG平面ABC，∴P A⊥平面ABC.变式训练5：如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．求证：AM⊥PM.证明：如图连接AP.矩形ABCD中，AD⊥DC，BC⊥DC，又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝DC，∴AD⊥平面PDC，BC⊥平面PDC，又∵PD平面PDC，PC平面PDC，∴AD⊥PD，BC⊥PC，在Rt△P AD和Rt△PMC中，易知AP2＝AD2＋PD2＝(22)2＋22＝12，PM2＝PC2＋MC2＝22＋(2)2＝6，又∵Rt△ABM中，AM2＝AB2＋BM2＝22＋(22)2＝6，∴AP2＝PM2＋AM2，∴AM⊥PM.题型六：垂直关系的综合应用例6：如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，F A＝FE，∠AEF＝45°.(1)求证：EF⊥平面BCE；(2)设线段CD、AE的中点分别为P，M，求证：PM∥平面BCE.证明：(1)因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD ＝AB，所以BC⊥平面ABEF.所以BC⊥EF.因为△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，所以∠AEB＝45°.又因为∠AEF＝45°，所以∠FEB＝90°，即EF⊥BE.因为BC平面BCE，BE平面BCE，BC∩BE＝B，所以EF⊥平面BCE.(2)取BE的中点N，连接CN，MN，则MN綊12AB綊PC，所以PMNC为平行四边形．所以PM∥CN.因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，所以PM∥平面BCE.变式训练6：如图，四棱锥S－ABCD中，SD⊥平面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD ＝1，SD＝2，BC⊥BD，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC.(1)证明：DE⊥平面SBC；(2)证明：SE＝2EB.证明：(1)连接BD，∵SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，又∵BC⊥BD，BD∩SD＝D，∴BC⊥平面BDS，∴BC⊥DE. 作BK⊥EC，K为垂足，因平面EDC⊥平面SBC，故BK⊥平面EDC，BK⊥DE. 又∵BK平面SBC，BC平面SBC，BK∩BC＝B，∴DE⊥平面SBC. (2)由(1)知DE⊥SB，DB＝2AD＝ 2.∴SB＝SD2＋DB2＝6，DE＝SD·DBSB＝233，EB＝DB2－DE2＝63，SE＝SB－EB＝263，∴SE＝2EB.三.方法规律总结1．线面垂直的判定定理是证明线面垂直的主要方法，证明的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直．2．在证明面面垂直时，一般方法是从一个平面内寻找另一个平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决(所作辅助线要有利于题目的证明)，即由线面垂直证面面垂直．3．空间中线线、线面、面面之间的垂直关系可以相互转化，其转化关系如下：4．会用线面垂直的性质定理证明平行问题，用面面垂直的性质定理证明垂直问题．四：课后练习作业一、选择题1．设l、m为不同的直线，α为平面，且l⊥α，下列为假命题的是(B)A．若m⊥α，则m∥l B．若m⊥l，则m∥αC．若m∥α，则m⊥l D．若m∥l，则m⊥α【解析】A中，若l⊥α，m⊥α，则m∥l，所以A正确；B中，若l⊥α，m⊥l，则m∥α或mα，所以B错误；C中，若l⊥α，m∥α，则m⊥l，所以C正确；若l⊥α，m∥l，则m⊥α，所以D正确．2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是(A)A．平面A1DCB1 B．平面DD1C1C C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB【解析】连接A1D、B1C，由ABCD—A1B1C1D1为正方体可知，AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D.故AD1⊥平面A1DCB1.3．如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是(C)A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面P AE⊥平面ABC【解析】由题意知BC∥DF，且BC⊥PE，BC⊥AE.∵PE∩AE＝E，∴BC⊥平面P AE，∴BC∥平面PDF成立，DF⊥平面P AE成立，平面P AE⊥平面ABC也成立．4．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是(C) A．若l⊥α，α⊥β，则lβB．若l∥α，α∥β，则lβC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【解析】A错，可能l∥β；B错，可能l∥β；C正确；D错，不一定l⊥β.5．设平面α⊥平面β，且α∩β＝l，直线aα，直线bβ，且a不与l垂直，b不与l垂直，那么a与b (B)A．可能垂直，不可能平行B．可能平行，不可能垂直C．可能垂直，也可能平行D．不可能垂直，也不可能平行【解析】当a，b都平行于l时，a与b平行，假设a与b垂直，如图所示，由于b与l不垂直，在b上任取一点A，过点A作b′⊥l，∵平面α⊥平面β，∴b′⊥平面α，从而b′⊥a，又由假设a⊥b易知a⊥平面β，从而a⊥l，这与已知a不与l垂直矛盾，∴假设不正确，a与b不可能垂直．6．空间四边形ABCD，若AB、AC、AD与平面BCD所成角相等，则A点在平面BCD的射影是△BCD的(A)A．外心B．内心C．重心D．垂心【解析】设A点在平面BCD内的射影为O.可知，△OAB≌△OAC≌△OAD.∴OB＝OC＝OD，∴点O为外心．7．下列说法中正确命题的个数为(B)①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；③如果一条直线与平面内的一条直线垂直，则该直线与此平面必相交；④如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必在这个平面内；⑤如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任一直线．A．0B．1C．2D．3【解析】如图(1)所示，l与α相交(不垂直)，此时也有无数条直线与l垂直．故①②错误；如图(2)所示，l与α平行，此时平面内也存在无数条直线与l垂直，故③④错误；如图(3)所示，直线l与平面α的垂线m垂直，但l不在平面α内；由线面垂直的定义可知，⑤正确．8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边BC，CD的中点，H是EF的中点，现沿AE、AF，EF把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是(A)A．AG⊥平面EFG B．AH⊥平面EFGC．GF⊥平面AEF D．GH⊥平面AEF【解析】∵AG⊥GF，AG⊥GE，GF∩GE＝G，∴AG⊥平面EFG.9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列命题正确的是(B)A．平面ADC⊥平面BDCB．平面ABD⊥平面ABCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC【解析】在图①中，∵∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠ADB＝∠ABD＝45°.∵AD∥BC，∴∠DBC＝45°.又∵∠BCD＝45°.∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD.在图②中，此关系仍成立．∵平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD.∵BA平面ADB，∴CD⊥AB.∵BA⊥AD，∴BA⊥平面ACD.∵BA平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD.10．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P在(A)A．线段B1C上B．线段BC1上C．BB1中点与CC1中点的连线上D．B1C1中点与BC中点的连线上【解析】连接AC，B1C，AB1，由线面垂直的判定可知BD1⊥平面AB1C.若AP平面AB1C，则AP⊥BD1.这样只要P在B1C上移动即可．二、填空题11．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ACD1与平面BB1D1D的位置关系是________．垂直【解析】∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又∵D1D⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴D1D⊥AC.∵D1D∩DB＝D，∴AC⊥平面BB1D1D.∵AC平面ACD 1，∴平面ACD1⊥平面BB1D1D.12．如图所示，已知P A⊥平面α，PB⊥平面β，垂足分别为A、B，α∩β＝l，∠APB＝50°，则二面角α－l－β的大小为________．130°【解析】如图，设平面P AB∩l＝O，连接AO，BO，AB，∵P A⊥α，lα，∴P A⊥l.同理PB⊥l，而PB∩P A＝P，∴l⊥平面P AB，∴l⊥AO，l⊥BO，∴∠AOB即为二面角α－l－β的平面角．结合图形知∠AOB＋∠APB＝180°，∴∠AOB＝130°.13．如图，已知平面α⊥平面β，在α与β的交线l上，取线段AB＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3 cm，BD＝12 cm，则CD＝______.13 cm【解析】连接BC.因为平面α⊥平面β，且α∩β＝l，又因为BD平面β，且BD⊥l，所以BD⊥平面α.又∵BC平面α，∴BC⊥BD.所以△CBD也是直角三角形．在Rt△BAC中，BC＝32＋42＝5.在Rt△CBD中，CD＝52＋122＝13.所以CD长为13 cm.14．α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α与β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.若①③④，则②(或若②③④，则①)【解析】利用面面垂直的判定，可知①③④⇒②为真；利用面面垂直的性质，可知②③④⇒①为真．15．如图平面ABC ⊥平面BDC ，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝AC ＝a ，则AD ＝_______a【解析】如图所示，取BC 的中点E ，连接ED ，AE ，∵AB ＝AC ，∴AE ⊥BC ，∵平面ABC ⊥平面BDC .∴AE ⊥平面BDC ，∴AE ⊥ED .在Rt △ABC 和Rt △BCD 中，AE ＝ED ＝12BC ＝22a ，∴在Rt △AED 中，AD ＝AE 2＋ED 2＝a .三、解答题16．如图所示，AB 是圆O 的直径，P A 垂直于圆O 所在的平面，M 是圆周上任意一点，AN⊥PM ，垂足为N .求证：AN ⊥平面PBM .证明:设圆O 所在的平面为α，∵P A ⊥α，且BM α，∴P A ⊥BM .又∵AB 为⊙O 的直径，点M 为圆周上一点，∴AM ⊥BM ，∵直线P A ∩AM ＝A ，∴BM ⊥平面P AM .又AN 平面P AM ，∴BM ⊥AN .这样，AN 与PM ，BM 两条相交直线垂直．故AN ⊥平面PBM .17．如图所示，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA ，SB ，SC 且∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∠BSC ＝90°.求证：平面ABC ⊥平面BSC .【证明】（法一）取BC 的中点D ，连接AD ，SD .∵∠ASB ＝∠ASC ，且SA ＝SB＝AC ，∴AS ＝AB ＝AC .∴AD ⊥BC .又△ABS 是正三角形，△BSC 为等腰直角三角形，∴BD ＝SD .∴AD 2＋SD 2＝AD 2＋BD 2＝AB 2＝AS 2.由勾股定理的逆定理，知AD ⊥SD .又∵SD ∩BC ＝D ，∴AD ⊥平面BSC .又AD 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC .（法二）同法一证得AD ⊥BC ，SD ⊥BC ，则∠ADS即为二面角A —BC —S 的平面角．∵∠BSC ＝90°，令SA＝1，则SD ＝22，AD ＝22，∴SD 2＋AD 2＝SA 2.∴∠ADS ＝90°.∴平面ABC ⊥平面BSC .18．如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，分别交AC 、SC 于D 、E ，且SA ＝AB ＝a ，BC ＝2a . (1)求证：SC ⊥平面BDE ；(2)求平面BDE 与平面BDC 所成二面角的大小．(1)证明：∵SA ⊥平面ABC ，又AB 、AC 、BD 平面ABC ，∴SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，SA ⊥BD ，∴SB ＝SA 2＋AB 2＝2a .∵BC ＝2a ，∴SB＝BC .∵E 为SC 的中点，∴BE ⊥SC .又DE ⊥SC ，BE ∩DE ＝E ，∴SC ⊥平面BDE .(2)由(1)及BD 平面BDE ，得BD ⊥SC .又知BD ⊥SA ，∴BD ⊥平面SAC .∴BD ⊥AC 且BD ⊥DE .∴∠CDE 为平面BDE 与平面BDC 所成二面角的平面角．∵AB ⊥BC ，AC ＝AB 2＋BC 2＝3a .∴Rt △SAC 中，tan ∠SCA ＝SA AC ＝33，∴∠SCA ＝30°.∴∠CDE ＝60°，即平面BDE 与平面BDC 所成二面角为60°.19.如图，已知三棱锥A BPC -中，AP PC ⊥，AC BC ⊥，M为AB 中点，D 为PB 中点，且PMB ∆为正三角形.（1）求证：DM APC ∥平面；（2）求证：ABC APC ⊥平面平面.证明:（1）∵M 为AB 中点，D 为PB 中点，∴MD //AP ,又MD不在平面APC 上，∴MD //平面APC .（2）∵△PMB 为正三角形，又D 为PB 中点. ∴MD ⊥PB .又由（1）知MD //A P , ∴AP ⊥PB . 又AP ⊥PC , 且PB ∩PC =P ，∴AP ⊥平面PBC , ∴AP ⊥BC , 又∵AC ⊥BC , 且AP ∩AC =A ∴BC ⊥平面APC , 又BC 在平面ABC 内，∴平面ABC ⊥平面APC .20．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中 点，MN ⊥平面A 1DC .求证：(1)MN ∥AD 1；(2)M 是AB 的中点．证明：(1)∵ADD 1A 1为正方形，∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，AD 1平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1.∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC .又∵MN ⊥平面A 1DC ，∴MN ∥AD 1. MD B P C A(2)连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC .∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM .又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM .∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点．21．如图所示，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，ABCD 是∠DAB ＝60°且边长为a 的菱形，侧面P AD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD . (1)若G 为AD 边的中点，求证：BG ⊥平面P AD ；(2)求证：AD ⊥PB .证明：(1)连接PG ，BD .由题知△P AD 为正三角形，G 是AD 的中点，∴PG ⊥AD .又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PG 平面P AD ，∴PG ⊥平面ABCD ，∴PG ⊥BG .又∵四边形ABCD 是菱形且∠DAB ＝60°，∴△ABD 是正三角形，∴BG⊥AD .又AD 平面P AD ，PG 平面P AD ，且AD ∩PG ＝G ，∴BG ⊥平面P AD .(2)由(1)可知BG ⊥AD ，PG ⊥AD .又BG 平面PBG ，PG 平面PBG ，且BG ∩PG ＝G ，AD ⊥平面PBG ，∴AD ⊥PB .。
直线与平面垂直的判定定理符号语言
直线与平面垂直的判定定理符号语言直线与平面垂直的判定定理是几何学中的一个重要定理，用来判断一条直线与一个平面是否垂直相交。
本文将使用符号语言来描述这一定理，以增强准确性和简洁性。
1. 引言直线与平面垂直的判定定理是研究三维空间中直线和平面相互关系的基本内容之一。
通过使用符号语言，我们可以更加准确地描述这个定理，并帮助读者更好地理解其中的数学原理。
2. 符号定义在使用符号语言描述直线与平面垂直的判定定理之前，我们首先需要明确一些符号的定义：- 直线：用L表示；- 平面：用P表示；- 垂直关系：用⊥表示。
3. 直线向量首先，我们需要定义直线的向量表示。
对于直线L，我们可以用向量→d⃗来表示。
即：L:→d⃗。
4. 平面法线向量接下来，我们定义平面的法线向量。
对于平面P，我们用向量→n⃗来表示。
即：P:→n⃗。
5. 垂直关系表示根据垂直关系的定义，直线L与平面P垂直相交等价于直线L的方向向量→d⃗与平面P的法线向量→n⃗互相垂直。
因此，我们可以用数学形式来表示这一关系：L⊥P，当且仅当→d⃗⋅→n⃗ = 0。
解释：当直线的方向向量与平面的法线向量的点积等于0时，表示直线与平面垂直相交。
6. 应用举例为了更好地理解直线与平面垂直的判定定理的应用，我们来看一个实际的例子。
假设直线L的向量表示为→d⃗ = (1, 2, 3)，平面P的法线向量表示为→n⃗ = (2, -1, 1)。
我们可以通过计算点积来判断直线与平面的关系：→d⃗⋅→n⃗ = 1 × 2 + 2 × (-1) + 3 × 1 = 2 - 2 + 3 = 3。
由于→d⃗⋅→n⃗≠ 0，我们可以得出结论：直线L与平面P不垂直相交。
7. 其他判定定理除了上述直线与平面垂直的判定定理，还存在其他几个相关的定理：- 平行判定定理：两个向量的点积等于0时，表示它们垂直相交。
- 一般平面垂直判定定理：对于平面Ax + By + Cz = D 和直线P0(r0, s0, t0) + t(a, b, c)，当且仅当Aa + Bb + Cc = 0时，平面与直线垂直相交。
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
线面垂直判定定理解析稿
线面垂直判定定理解析稿简介本文档旨在解析线面垂直判定定理，介绍其概念、原理和应用。
线面垂直判定定理是几何学中的基本定理之一，它描述了直线和平面之间的垂直关系。
通过理解和应用该定理，我们可以在几何问题中判断直线和平面是否垂直，从而解决相应的几何问题。
定理表述线面垂直判定定理表述如下：定理：如果一条直线与一个平面垂直，则它在该平面上的任意一条垂线也垂直于该平面。
如果一条直线与一个平面垂直，则它在该平面上的任意一条垂线也垂直于该平面。
定理证明定理的证明可以通过反证法进行。
假设直线与平面垂直，但存在一条直线在该平面上的垂线不垂直于该平面。
根据垂直的定义，直线与平面垂直时，它在该平面上的任意一条垂线都应该垂直于该平面。
因此，我们得出矛盾，假设不成立。
所以，定理得证。
定理应用线面垂直判定定理在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些应用示例：1. 判断直线与平面的垂直关系通过使用线面垂直判定定理，我们可以判断一条直线与给定平面是否垂直。
这对于解决几何问题中的垂直关系非常有用。
2. 求解垂直平面的交点当我们已知一条直线与一个垂直平面相交时，我们可以使用线面垂直判定定理来确定交点的位置。
这有助于我们确定几何图形的具体位置。
3. 证明几何性质线面垂直判定定理可以用于证明其他几何性质。
通过将垂直关系引入证明过程，我们可以得出更多的结论和性质。
结论线面垂直判定定理是几何学中的重要定理，它描述了直线和平面之间的垂直关系。
通过理解和应用该定理，我们可以解决与直线和平面垂直关系相关的几何问题，并得出更多的几何性质和结论。
在实际应用中，我们可以利用该定理进行判断、求解和证明，从而解决复杂的几何问题。
垂直线的性质与判定方法
垂直线的性质与判定方法在几何学中，垂直线是一种重要的概念，常用于描述线段、直线或平面之间的关系。
本文将详细探讨垂直线的性质以及判定方法，旨在帮助读者更好地理解和运用这一概念。
一、垂直线的性质1. 垂直线的定义垂直线是指两条直线或线段之间相互垂直的关系。
两条垂直线之间的角度为90度，也即是直角。
2. 垂直线的特点垂直线有以下几个主要特点：- 两条垂直线之间的夹角为90度，即两者之间是直角。
- 垂直线与水平线相交，形成交角为90度的交点。
- 垂直线可以用于确定两个平面之间的关系，若两个平面相互垂直，则它们的交线为垂直线。
3. 垂直线与平行线的关系垂直线和平行线是几何学中的两个重要概念。
两条垂直线之间不存在平行关系，但垂直线与同一直线上的一条平行线呈直角关系。
二、判定垂直线的方法1. 角度判定法通过测量两条线或线段之间的夹角来判定垂直线的存在。
若两条线之间的夹角为90度，则可以断定它们是垂直的。
这种方法适用于平面上的直线、线段、射线等形态。
2. 斜率判定法斜率判定法适用于已知两条直线的斜率的情况。
若两条直线的斜率之积为-1，则可以确定它们是垂直的。
即设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，则当k1 * k2 = -1时，L1与L2垂直。
3. 三角形判定法此判定法适用于已知三角形的情况。
如果一个三角形的两条边互相垂直，那么可以判定它们所在的线段或直线是垂直线。
4. 垂直平分线判定法垂直平分线是指将一条线段垂直平分的线，该线段的两个中点通过这条线都与线段呈90度的角。
若已知一条垂直平分线，则可以判定被它垂直平分的线段是垂直线。
总结：本文介绍了垂直线的性质以及判定方法。
垂直线是指两条直线或线段之间垂直的关系，具有直角特点。
判定垂直线的方法包括角度判定法、斜率判定法、三角形判定法和垂直平分线判定法。
通过运用这些方法，我们可以准确地判断垂直线的存在与否，进一步应用于解决几何问题中。
在实际应用中，我们要善于使用这些判定方法，以提高几何问题的解决效率。
垂直判定定理
垂直判定定理一、引言垂直判定定理是几何学中的一条重要定理，它关于垂直关系的性质和判定方法。
垂直是几何学中最基本和常见的关系之一，我们在日常生活和各种学科中都会遇到垂直关系的概念。
垂直判定定理在几何学的研究和实际应用中具有重要的作用，不仅可以用于解决几何问题，还可以应用于建筑设计、机械工程等领域。
二、垂直关系的概念在几何学中，如果两条线或两个平面相交成直角（90°角），则它们被称为垂直的。
垂直关系是指两个或多个物体之间的直角关系。
例如，在平面几何中，两条相互垂直的直线可以通过垂直判定定理来判断。
垂直关系常用于测量、定位和导航等领域，有着广泛的应用。
三、垂直判定定理的表述垂直判定定理可以表述为：如果两条直线的斜率互为负倒数，那么这两条直线互相垂直。
1. 斜率的定义斜率是直线的重要特征之一，它表示了直线的倾斜程度。
斜率定义为直线上任意两点之间纵坐标的差与横坐标的差的比值。
如果两条直线的斜率乘积为-1，则它们互为负倒数。
2. 垂直判定定理的推导为了证明垂直判定定理，我们可以利用斜率的性质进行推导。
假设有两条直线L1和L2，它们的斜率分别为k1和k2。
我们需要证明的是，如果k1和k2的乘积为-1，那么L1和L2是垂直的。
已知k1 * k2 = -1，可以得出k2 = -1 / k1。
由斜率的定义可知，如果两条直线是垂直的，则它们的斜率满足k1 * k2 = -1，而我们已知k1 * k2 = -1，所以可以得出结论：L1和L2是垂直的。
四、垂直判定定理的应用垂直判定定理在几何学的研究和实际应用中有着广泛的应用。
下面将介绍一些垂直判定定理的应用场景。
1. 建筑设计在建筑设计中，垂直关系是非常重要的。
建筑物的垂直性能够带来美观和结构的稳定性。
设计师可以利用垂直判定定理来确定建筑物中的垂直关系，如墙壁和地板的垂直关系，柱子和天花板的垂直关系等。
2. 机械工程在机械工程中，垂直关系可以用于定位和装配。
例如，在机械装配过程中，需要确保零件之间的连接是垂直的。
直线与平面垂直的判定定理符号语言
直线与平面垂直的判定定理符号语言
摘要：
1.直线与平面垂直的判定定理简介
2.符号语言的解释
3.判定定理的应用实例
4.总结与启示
正文：
【提纲】
1.直线与平面垂直的判定定理简介
在几何学中，直线与平面的关系是一个核心研究领域。
垂直性是其中一种重要的关系，而判定定理则是帮助我们判断直线与平面是否垂直的依据。
这个判定定理可以用如下符号语言来表示：
设直线L和平面α，若存在直线L"α，使得L"与L平行，则称直线L与平面α垂直。
记作：L⊥α。
【提纲】
2.符号语言的解释
在这个符号语言中，“⊥”表示垂直，“”表示包含关系，“∥”表示平行。
这个判定定理告诉我们，如果存在一条直线L"在平面α内，且与直线L平行，那么我们可以判断直线L与平面α是垂直的。
【提纲】
3.判定定理的应用实例
举个例子，假设有一根直线L位于平面α上，我们需要判断L与α的关系。
如果我们在α内找到一条直线L"，使得L"与L平行，那么我们可以确定L 与α是垂直的。
反之，如果无论我们如何选择L"，都无法使L"与L平行，那么我们可以推断出L与α不是垂直的。
【提纲】
4.总结与启示
直线与平面垂直的判定定理为我们提供了一种有效的方法来判断直线与平面的垂直关系。
通过运用符号语言和寻找平面内与直线平行的直线L"，我们可以快速地确定直线与平面的垂直性。
这个判定定理在几何学和相关领域具有广泛的应用，是几何学基础中的重要知识。
高中数学平面几何垂直关系判定技巧
高中数学平面几何垂直关系判定技巧在高中数学中，平面几何是一个重要的内容，其中垂直关系的判定是常见的题型之一。
本文将介绍几种常见的垂直关系判定技巧，并通过具体的例题进行说明，以帮助高中学生更好地理解和应用这些技巧。
一、垂直关系的定义和性质在开始讲解垂直关系的判定技巧之前，我们先来回顾一下垂直关系的定义和性质。
在平面几何中，两条直线或线段相交于一点，并且相交点的四个角都为直角时，我们称这两条直线或线段是垂直的。
垂直关系具有以下性质：1. 垂直关系是对称的，即如果直线l1垂直于直线l2，那么直线l2也垂直于直线l1。
2. 如果两条直线分别与第三条直线垂直，那么这两条直线平行。
3. 如果两条直线分别与同一条直线垂直，那么这两条直线平行。
二、垂直关系的判定技巧1. 垂直线段的判定当我们需要判定两个线段是否垂直时，可以通过计算斜率来进行判断。
如果两个线段的斜率的乘积为-1，那么这两个线段垂直。
例如，已知线段AB的两个端点坐标分别为A(1, 2)和B(3, 4)，线段CD的两个端点坐标分别为C(2, 1)和D(4, 3)，我们可以通过计算斜率来判定线段AB和线段CD是否垂直。
线段AB的斜率为(4-2)/(3-1)=1，线段CD的斜率为(3-1)/(4-2)=1。
由于斜率的乘积为1*1=1，所以线段AB和线段CD不垂直。
2. 垂直直线的判定当我们需要判定两条直线是否垂直时，可以通过计算斜率来进行判断。
如果两条直线的斜率的乘积为-1，那么这两条直线垂直。
例如，已知直线l1的方程为y=2x+1，直线l2的方程为y=-1/2x+3，我们可以通过计算斜率来判定直线l1和直线l2是否垂直。
直线l1的斜率为2，直线l2的斜率为-1/2。
由于斜率的乘积为2*(-1/2)=-1，所以直线l1和直线l2垂直。
3. 垂直平面的判定当我们需要判定两个平面是否垂直时，可以通过计算法向量来进行判断。
如果两个平面的法向量的点积为0，那么这两个平面垂直。
直线与平面的垂直关系与判定
直线与平面的垂直关系与判定直线与平面的垂直关系一直是几何学中的重要概念。
在几何学中，垂直被定义为与直角（90度）相交或成直角的关系。
本文将探讨直线与平面垂直关系的性质，并介绍几种判定直线与平面垂直的方法。
一、直线与平面的垂直性质1. 定理1：如果一条直线与一个平面垂直，则与这条直线在同一平面内的另外一条直线也与这个平面垂直。
证明：首先，设一条直线L与一个平面P垂直。
在平面P内，我们可以找到另外一条直线M与直线L垂直。
如果我们在直线M上选取一点N，并以N为中心作一个圆，圆上的任意点都在平面P内。
因此，直线M上任意一点到平面P的距离都是相等的，即直线M与平面P垂直。
2. 定理2：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。
证明：设一条直线L与平面P内的两条相交直线AB和CD垂直。
构造两个平面，一个是由直线L和线段AB所确定的平面，另一个是由直线L和线段CD所确定的平面。
这两个平面的交线就是直线L，因此，直线L与平面P的夹角为90度，即直线L与平面P垂直。
二、判定直线与平面垂直的方法1. 方法1：通过判定直线的方向向量与平面的法向量是否相互垂直来确定直线与平面的垂直关系。
- 若直线的方向向量与平面的法向量相互垂直，即两个向量的点积为0，则可以判定直线与平面垂直。
- 例如，给定直线L：(x,y,z) = (1+t, 2+2t, 3+3t)，平面P：2x + 4y + 6z = 10。
直线L的方向向量为(1, 2, 3)，平面P的法向量为(2, 4, 6)。
计算两个向量的点积(1*2 + 2*4 + 3*6)，得到的结果是20，不为0，所以直线L与平面P不垂直。
2. 方法2：通过判定直线上的一点到平面的距离是否为0来确定直线与平面的垂直关系。
- 若直线上的一点到平面的距离为0，则可以判定直线与平面垂直。
- 例如，给定直线L：(x,y,z) = (1+t, 2+2t, 3+3t)，平面P：x - 2y + z = 4。
线段垂直平行线的判定
线段垂直平行线的判定在几何学中，我们经常会遇到线段垂直或平行的情况。
这两种关系在解决几何问题时非常重要。
因此，我们需要学会如何判定线段是否垂直或平行。
我们来介绍线段的垂直关系。
两条线段垂直的条件是它们之间的夹角为90度。
如果两条线段的夹角为90度，则可以判定这两条线段垂直。
接下来，我们来介绍线段的平行关系。
两条线段平行的条件是它们之间的夹角为0度。
也就是说，两条线段在同一平面上，且它们的方向相同或相反。
如果两条线段满足这个条件，则可以判定它们平行。
那么，我们应该如何判定线段是否垂直或平行呢？下面是一些常用的判定方法：1.利用斜率：我们可以通过计算两条线段的斜率来判定它们的关系。
如果两条线段的斜率相乘为-1，则可以判定它们垂直。
如果两条线段的斜率相等，则可以判定它们平行。
2.利用向量：我们可以将两条线段表示为向量，并计算它们的内积。
如果两条线段的内积为0，则可以判定它们垂直。
如果两条线段的内积为非零常数，则可以判定它们平行。
3.利用长度比较：我们可以比较两条线段的长度来判定它们的关系。
如果两条线段的长度相等，则可以判定它们平行。
如果两条线段的长度比较有规律，例如一个是另一个的两倍或三倍，则可以判定它们垂直。
除了以上的方法，我们还可以利用几何定理来判定线段的垂直或平行关系。
例如，根据垂直平分线定理，如果一条线段平分了另一条线段，并且与另一条线段垂直，则可以判定这两条线段垂直。
根据平行线定理，如果一条直线与两条平行线相交，则可以判定这两条平行线互相平行。
需要注意的是，判定线段的垂直或平行关系时，我们应该先确定这些线段是否在同一平面上。
如果线段不在同一平面上，则无法判定它们的关系。
在实际问题中，线段的垂直或平行关系经常被用于解决各种几何问题。
例如，在建筑设计中，我们需要确保墙壁之间的线段是垂直或平行的，以保证建筑的稳定性和美观性。
在地图绘制中，我们需要确保道路之间的线段是垂直或平行的，以方便人们的出行。
2.3垂直关系的判定与性质
C
【变式 3】 如图所示，PA⊥平面 ABC，PA＝ 2，AB＝1，BC ＝ 3，AC＝2， 求证：平面 PBC⊥平面 PAB.
B
理论迁移
例1 如图，⊙O在平面α内，AB 是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上 不同于A、B的任意一点，求证： 平面PAC⊥平面PBC.
P
C A O
B
例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面 为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，M 为AB的中点，求证：平面PMC⊥平面 PCD.
P
F
E
D A M
B
(1)证明：∵ AB是⊙O的直径， P C是圆周上不同于A，B的任 意一点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC C 又∵平面PAC⊥平面ABC， 平面PAC∩平面ABC＝AC, A BC平面ABC O ∴BC⊥平面PAC (2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
B
练习2：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
A
O
D
C
B
三.随堂练习：
1.如图，直四棱柱ABCD ABCD （侧棱与底面垂直 的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形 ABCD 满足什么 条件时AC B D ？
A D
底面四边形 ABCD 对角 线相互垂直．
B
C
A D B
C
2. 在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，
平面几何的垂直关系与判定
平面几何的垂直关系与判定在平面几何中，垂直是一个非常重要且常见的关系。
垂直关系指的是两条线段、直线或者矢量在某一点上相互交叉成直角的情况。
本文将介绍平面几何中垂直关系的定义、性质以及判定方法。
一、垂直关系的定义与性质当两条线段、直线或者矢量在某一点上相互交叉成直角时，我们说它们垂直于彼此。
垂直关系具有以下性质：1. 垂直关系是对称的：如果线段AB垂直于线段CD，则线段CD也垂直于线段AB。
2. 垂直关系是传递的：如果线段AB垂直于线段CD，线段CD垂直于线段EF，则线段AB也垂直于线段EF。
根据垂直关系的定义和性质，我们可以进行垂直关系的判定。
二、垂直关系的判定方法1. 斜率法判定垂直关系在平面几何中，两条线段、直线或者矢量垂直的一种常见判定方法是通过比较它们的斜率。
如果两条线段的斜率互为倒数，即一个线段的斜率为k，另一个线段的斜率为-1/k，则它们垂直于彼此。
2. 向量法判定垂直关系另一种常见的判定方法是向量法。
我们可以通过向量的内积来判断两个向量是否垂直。
若向量A和向量B的内积为0，则向量A与向量B垂直。
3. 坐标法判定垂直关系在笛卡尔坐标系中，我们可以通过线段或者直线的坐标来判断它们是否垂直。
如果线段AB的斜率为k，线段CD的斜率为-1/k，则线段AB与线段CD垂直。
需要注意的是，在使用坐标法判定垂直关系时，应先判断线段或者直线是否存在，避免分母为零或者其他非法情况的发生。
三、实例分析为了更好地理解垂直关系的判定方法，我们来看一个实例。
假设有两条线段AB和CD，坐标分别为A(2,3)，B(4,7)，C(5,1)，D(1,5)。
我们需要判断线段AB是否垂直于线段CD。
首先，我们可以计算线段AB的斜率：k = (7-3) / (4-2) = 2然后，计算线段CD的斜率：k' = (5-1) / (1-5) = -1/2由于斜率k和斜率k'互为倒数，即2 * (-1/2) = -1，所以线段AB垂直于线段CD。
垂直线的性质和判定方法
垂直线的性质和判定方法垂直线是几何学中一个基本概念，它在许多数学问题和实际应用中都具有重要的地位。
本文将探讨垂直线的性质和判定方法。
一、垂直线的性质1. 垂直线与水平线垂直线与水平线是两种基本直线关系。
在平面几何中，垂直线与水平线互为对立关系。
垂直线与水平线的交点形成一个直角。
直角是一个重要的度量单位，常用于计算角度的大小以及证明几何定理。
垂直线可以垂直于水平地面或者与之垂直的物体。
2. 垂直线的长度垂直线的长度可以根据需要进行调整。
在几何建模、工程设计等领域中，垂直线经常用于测量高度、长度以及实物的垂直关系。
通过使用垂直线可以更加准确地确定不同对象之间的相对位置。
3. 垂直线与平行线垂直线与平行线也是几何学中的重要关系。
垂直线与平行线互为对立关系，垂直线垂直于平行线。
在平面几何中，如果两条直线相交，且交角为90度，则这两条直线是垂直的。
而如果两条直线没有相交点，那么它们是平行线。
二、垂直线的判定方法1. 通过观察直角判定两条线是否垂直的一种常见方法是通过观察直角。
如果两条直线相交，且交角为90度，则可以判定这两条直线是垂直的。
2. 通过斜率判定在解析几何中，我们可以使用直线的斜率来判定直线的垂直性。
如果两条直线的斜率为互为倒数的关系，即乘积为-1，则可以判定这两条直线是垂直的。
3. 通过几何图形的特征在几何图形中，某些形状具有固定的垂直性。
例如，矩形的对边是垂直的；正方形的对角线是垂直的；圆的半径与切线是垂直的等等。
通过观察图形的特征和性质，可以判定其中的垂直线。
三、总结垂直线在几何学和实际应用中都扮演着重要的角色。
通过了解垂直线的性质和判定方法，我们可以更好地理解和应用几何学中的各类知识。
垂直线的判定方法可以根据具体情况和需求进行选择，可以通过观察直角、斜率判定以及几何图形的特征等方法来确定垂直线的存在与否。
需要注意的是，在进行垂直线的判定时，我们需要准确应用相关概念和定理，同时注意思维的严谨性和逻辑的合理性。
垂直关系的判定
∵BC 平面PBC ∴平面PAC⊥平面PBC
小结
1、二面角及其它的平面角
A O
l
二面角－ l－
B
二面角的范围： 0°, 180 ° ．
2、平面与平面垂直的判定定理
β
l
l l
α
平面与平面垂直的判定方法：
1 定义法：如果两个平面所成的二面角是直二 面角,我们就说这两个平面互相垂直
2 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 一条垂线,那么这两个平面互相垂直 线面垂直则 面面垂直
线线垂直
线面垂直
面面垂直
例2：如图,AB是⊙O的直径,⊙O所在的平面为 ,
PA ⊥ 于A,C是圆（ZHOU）上不同于A,B的
任意一点.
P
求证：平面PAC⊥平面PBC.
证明 由AB为⊙O的直径知，
BC ⊥AC。
又∵PA ⊥ ，BC ，
C
∴ PA ⊥ BC ∵ PA∩AC=A
A
·O
B
∴BC ⊥平面PAC.
二、直线和平面垂直的判定定理
定理6.1 如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线都垂直,那么这条 直线垂直于这个平面,
直线和平面垂直的判定定理
定理6.1 如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线都垂直,那么这条 直线垂直于这个平面,
注：m α
nα
m∩n=B
l ⊥m l ⊥n
l ⊥α
小结
这个定理还说明这样一个事实,的确存在 着和一个平面内一切直线都垂直的直线,从而 得证了直线和平面垂直的合理性,
直线与平面垂直的判定
一、直线与平面垂直的定义
• 如果一条直线 l 和一个平面α内的任意 一条直线都垂直,我们就说直线 l 和平面 α互相垂直,记作 l ⊥α, 如图
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AB 面BCD 面ABC 面BCD AB 面BCD 面ABD 面BCD CD 面ABC 面ABC 面ACD
B
A
D C
小结 1. 知识小结 1）二面角及其平面角 2）两个平面互相垂直 • 2. 思想方法
线线垂直 线面垂直 面面垂直
例1.在正方体中，找出二面角C1-AB-C的平面角，并指 D1 出大小. C1
A1 B1
N M D C
A
B
端点
例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B1AC-B的正切值.
C1 B1 C B
O
D1 A1 D A
二面角的取值范围
0 0
0 ,180 或 [0， ]
β l α
180度角
LOGO
1.6.1 、垂直关系的判定
直线与平面垂直的判定
复习1 直线和平面的位置关系
直线在平面内
直线与平面相交
直线与平面平行
观察 旗杆与地面的位置关系
大桥的桥柱与水面的位置关系 线面垂直
思考1
旗杆与地面中的直线的位置关系如何？
思考2 将一本书打开直立在桌面上， 观察书脊（想 象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此 时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？
O
B
m
记为：二面角-m-
二面角的图示
二面角的记号 （1）以直线 l 为棱，以 , （2）以直线AB为棱，以 , 为半平面的二面角记为： 为半平面的二面角记为： l AB
l
B
A
思考3
两个相交平面有几个二面角？
探究
如何用平面角来表示二面角的大小？
a m, a n.
根据直线与平面垂直的定义知 又因为 b // a 所以 b m, b n.
m
n
又 m , n , m, n 是两条相交直线， 所以 b .
例2 已知：正方体中，AC是面对角线，BD'是与AC 异 面的体对角线.求证：AC⊥BD'
证明：连接BD 因为正方体ABCD-A'B'C'D' 所以DD‘⊥平面ABCD 又因为 AC 平面ABCD 所以 AC DD' 因为AC、BD 为对角线 所以AC⊥BD 因为DD'∩BD=D 所以AC⊥平面D'DB 所以AC⊥BD'
la l b a b a b A
l
l
b
A
a
作用： 判定直线与平面垂直． 思想： 直线与平面垂直 直线与直线垂直
例1. 如图，已知
a // b, • a ，求证 b .
a
b
证明：在平面 内作 两条相交直线m，n． 因为直线 a ，
例2 在四面体ABCD中，已知AC⊥BD,∠ BAC=∠CAD=45°， ∠BAD=60°，求证：平面ABC⊥平面ACD.
D
C E A
B
例3 如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA⊥底 面ABCD，PA=AD，M为AB的中点，求证：平面PMC⊥平 面PCD.
P
F E
D A M
C
B
探究： 已知AB 面BCD, BC CD
思考3
一条直线与一平面垂直的特征是什么？
特征：直线垂直于平面内的任意一条直线．
A C
B
C
B
直线和平面垂直
定义
如果直线 l 与平面内的任意一条直线都 垂直，我们说直线 l 与平面 互相垂直.
记为l
平面 的垂线 垂足
l
P
直线 l 的垂面
平面内任意一 条直线
思考4 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线， 那么这条直线是否与这个平面垂直？
A D B
C
A D B
C
答：底面四边形ABCD对角线相互垂直．
小结
直线与平面垂直的判定定理可简述为 “线线垂直，则线面垂直” 思想方法 通过直线间的垂直，推证直线与平面垂 直，即将直线与平面的垂直关系（空间问题） 转化为直线间的垂直关系（平面问题）.
平面与平面垂直的判定
地球赤道面 卫星轨道面
思考5 （1）有人说，折痕AD所在直线与桌面所在平面 上的一条直线垂直，就可以判断AD 垂直平面 ，你 同意他的说法吗？ （2）如图，由折痕 AD BC ，翻折之后垂直关系 不变， AD CD ， AD BD ．由此你能得到什么结 论？
A
C
A
D
B
D
C
B
线面垂直的判定
定理6.1 如果一条直线与一个平面内的两条 相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．
l α
有可能相交或 平行
探究
如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：
A
C
A
D
B
D
C
B
过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后 的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触）． （1）折痕AD与桌面垂直吗？ （2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直．ACAD NhomakorabeaB
D
C
B
当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时，AD 所在 直线与桌面所在平面α垂直．
β
二面角-l-
B
O l
A
α β B l O A α
二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分 别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做 二面角的平面角.
∠AOB即为二面角α-AB-β的 平面角
注意：二面角的平面角必须满足： （1）角的顶点在棱上. （2）角的两边分别在两个面内. （3）角的边都要垂直于二面角的棱.
C
A O
B
证明:
PA 面 , BC 面
PA BC AC BC
又 AB为圆的直径
AC BC PA AC A PA 面PAC AC 面PAC
PA BC
BC 面PAC
BC 面PBC
面PAC 面PBC
记为 β a A α b
平面与平面垂直的判定定理 定理6.2：如果一个平面经过另一个平面的垂线， 则这两个平面垂直．
β
a a 面
α
a
A
线线垂直
线面垂直
面面垂直
例1 如图，⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径， PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点，求证： 平面PAC⊥平面PBC. P
0度角
00~1800
1.定义法： 根据定义作出来.
小结二面角的平面角的作法：
A o
l
B
2.作垂面： 作与棱垂直的平面与两半平面 的交线得到. 3.应用三垂线定理： 应用三垂线定理或其逆定理作 出来.
o
A
l
B A
l
o
l
B
平面与平面垂直的判定 定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面 角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
为了讨论两个平面相交的情况，我们需要引入相关概念:
1.半平面概念 直线上的一点将直线分割成两部分，每一部 分都叫做射线. 平面上的一条直线将平面分割成 两部分，每一部分叫半平面.
射线 射线
半平面
半平面
2、二面角概念
A
从一点出发的两条射线， 构成平面角. 记作AOB 同样,从一条直线出发的 两个半平面所组成的图形叫 做二面角.这条直线叫做二面 角的棱，这两个半平面叫做 二面角的面.
D ′ A′ D A B′
C′
C
B
例3.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB，D 为PB的中点，求证：AD⊥PC.
P D C
A B
探究 如图，直四棱柱 ABCD ABCD （侧棱与底面垂 直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形 ABCD 满足 什么条件时， AC BD ？