2015年秋季新版华东师大版九年级数学上学期22.2、一元二次方程的解法导学案9
华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 配方法》公开课课件_11
一元二次方程的解法
例2 用配方法解下列方你程知：道用配方法解一
(1) x2 -4x +1 = 0
元二次方程的步骤了
解: 移项,得 x2 - 4x =-1
吗？
1、移项：常数项 移到方程右
方程左边配方，得
边.
x2 –2·x·2 + 22 = -1+ 22 2、配方：将方程左边配成一个
完全平方式。(两边都加上一次
例1. 解下列方程：
一元二次方程的解法
x2 + 2x = 5
思考：能否经过适当变形，将它们转化为 2 a
的形式，用直接开平方法求解？
解: 原方程两边都加上1，得
x2 + 2x +1 = 6 _(x__+_1_)_2 = __6__
即: __x_+_1_ = ±__√_6_ ∴ _x_1____6__1_ , _x_2 ____6__1
xΒιβλιοθήκη 52
41
2 4
x 5 41
2
2
x1
5 2
41
,
x2
5 2
41
课堂
演练三
一元二次方程的解法
试讨论关于x的一元二次方程 x2 -2x -m = 0的解的情况
小结
请你和同桌讨论一下： 1、配方 法的步骤？2、我们在配方的过程中 应该注意什么问题？
课堂作业:
一元二次方程的解法
演练二
用配方法解下列方程:
(1) x2 -2x -1 = 0 (2) x2–4 = 5x
解: x2 2x 1
3 x2 2x 111
解: x2 5x 4
华东师大版九年级上册22.2一元二次方程的的解法拓展导学案
2121222=-+-x x x x 0624=--x x 06)1(5)1(2=+---x x x x 华东师大版九年级上册导学案§22.2一元二次方程的解法拓展【课前预习学案】★(一)温故知新：1、若一元二次方程通过适当变形为(x -m )2=n (n ≥0)，可用 法求解较为简便； 方程通过适当变形为(x +a )(x +b )=0，可用 法求解；对任意一个一元二次方程 如果有解，都可以用 法和 法。
2、掌握好了上述方法的同学，请按要求解下列方程：(有一定的难度哦，相信你能行的!)（用因式分解法）（用公式法）（用配方法）（用开平方法）；；； .0154)53(2)4( 2312)3( 03161)2( )0(0)1(2222=++--==-+≠=-x x p p y y m n mx★(二)自我探究：1、上述几种方法是解一元二次方程的基本方法，但对于一些特殊的一元二次方程或更高次数的一元方程，这些方法就有一定的局限了。
我们一起来看看一种新的解方程的方法： 解一元二次方程：(3x +5)2- 9(3x +5)+20=0分析：若用常规思路，即整理成一般形式，再选用适当方法求解；还可以将(3x +5)看作一个整体，进行“换元”，从而达到降次的目的，将原方程转化为一元一次方程求解。
解：设3x +5= y ，则原方程化为y 2- 9y +20=0，解得y 1=4，y 2=5.当y =4时，即3x +5=4，解得x =31-； 当y =5时，即3x +5=5，解得x =0. ∴原方程的解为x 1=31-，x 2=0. 模仿上面的思路方法，用换元法解下列方程：(1) (x +2)2-13(x +2)+36=0 (2) (x 2-x )2-7(x 2-x )-8=02、换元法不只是在解这种特殊的一元二次方程时可用，它真正的威力在解某些高次方程或分式方程时才会显现出来，以下面三个题为例：解方程：(1) (2) (3) 解：(1),65,12+-=-y y y x x 则原方程化为设.3,221==y y 解得 ；解得时，即当2,212==-=x x x y 5.1,313==-=x x x y 解得时，即当 .5.1221是原方程的解，经检验，==x x6151=+++x x x x 0241124=+-y y 0324)12(22=----xx x x 06,)2(22=--=m m m x 则原方程化为设,.2,321-==m m 解得；，解得时，即当3332±===x x m .,222此时方程无解时，即当-=-=x m.3321-==∴x x ，原方程的解为 (3),21,122=+=-y y y x x 则原方程化为令,112,1,01222=-==+-x x y y y 即解得去分母得 .10122==+-x x x ，解得去分母整理得.1是原方程的解经检验，=x模仿上面的思路方法，用换元法解下列方程：(1) (2) (3)【课后练习题案】一、填空：1、若一元二次方程x 2-4x -5=0的一根是直角三角形斜边上中线的长，则该直角三角形两直角 边长平方的和是 .2、. )252(63301322的值为，则一元二次方程--+÷--=-+x x x x x x x 3、. ,0212的值为则若分式a a a a =--- 二、用换元法解下列方程：(1)(3x -1)2+1-3x=6 (2)04)1(3122=++-+x x x x (3)22322=+-+x x x x (4)0)5)(2(22=--x x三、.,4)1(22222的值求已知y x y x +=++四、已知m 是方程x 2-2020x +1=0的一个根，求m 2-2019m +120202+m 的值。
华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 配方法》教学案例_4
用配方法解一元二次方程 教学设计【教学目标】：1.理解配方法的意义；2.经历探索用配方法解一元二次方程的步骤,体验数学发现的过程,感悟转化思想在解一元二次方程中的运用.【重点难点】：1.重点 用配方法解简单的数字系数的一元二次方程2.难点 如何对一元二次方程正确进行配方【教学过程】：（一）知识回顾1、(x+a ）2=x 2+2ax+a 22、(x-a ）2=x 2-2ax+a 22.解下列方程：(1)(x 2+8x+ ) = (x+ )2(2) (x 2-10x+ ) = (x- )2(3) (x 2+ x+ 25) = ( )2（二）合作探究你会解方程 你会将它变成（x+m ）²=n （n 为非负数）的形式吗?试试看.如果是方程 x²-4x+3=0呢?（三）定义像这样将一个一元二次方程转化为﹙x+m ﹚²=n （n 为非负数）的形式,从而能够直接开平方求解的方法,叫做配方法.（四）规范过程例 解方程 x² - 4x + 3 = 0移项,得X² - 4x = -3方程左边配方,得x² - 2•x•2 + 2² = -3 + 2²822=+x x即 ﹙x - 2﹚² = 1所以 x – 2 = ±1得 x1= 3,x2 =1（五）用配方法解一元二次方程的步骤:•移项 ：把常数项移到方程的右边•配方：依据二次项和一次项配常数项（即方程两边都加上一次项系数的绝对值的一半的平方）•整理：将上式写成﹙ ﹚² =a 的形式•开方 ：根据平方根意义,方程两边开平方•求解 ：解两个一元一次方程•定解 ：写出原方程的解.【随堂练习】：（一）用配方法解下列方程：(1) x² - 6x – 7 = 0（2） x² -4x +3 = 0(二)勇攀高峰方程 能用配方法解吗?若能,请求解；若不能,请说明理由. 提示：与上题相比,有什么不同?能否变成二次项系数是1的一元二次方程呢?（三）比一比,看谁争第一用配方法解下列方程：⑴ x² - 3x – 4 = 0⑵ （一）课后感悟•通过本节课的学习,你都有那些收获?•这节课的重、难点是什么?有哪些是你需要注意的?（二）作业课后习题05822=-+x x 02532=-+x x。
华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 根的判别式》精品课件_1
根的判别式情况
写出根
根的情况
△＞0 △＝0 △＜0
x1 = -b +
b 2 - 4ac 2a
x2 = -b -
b 2 - 4ac 2a
-b? 0 b
x1 =x2 =
2a
=2a
方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根
b 2 - 4ac ＜0 x1,x2不存在 方程没有实数根
你能迅速判断下列方程根的情况吗？ （1）x2 + 3x +2=0 （2）x2 - 4x + 4=0 （3）x2 + 2x + 3=0
判断方没程有化根成一的般形情式况： 3x2 + 5x =4
解：化为一般形式，得
解：∵a=3，b=5，c=4 3x2 + 5x -4=0
∴ △=52-4×3×4 = 25-48 =-24＜0
∵a=3，b=5，c=-4 ∴ △=52-4×3×（-4）
= 25+48 =73＞0
∴方程没有实数根 ∴方程有两个不相等的实数根
选做题：
说明不论ｋ取何值，关于x的方程x2＋(2ｋ＋１)x＋ｋ－１＝0.
总有两个不相等的实根
A．x2＋1＝0
B. x2+x-1＝0
C. x2+2x＋3＝0 D. 4x2-4x＋1＝0
2、关于x的一元二次方程kx2-6x+1=0有两个
不相等的实数根，则k的取值范围是( D )
A.k＜9 C. k≤9且且k≠0
B.k ＞9 D. k<9且k≠0
必做题：
1、不解方程判定下列方程根的情况 （1）2x-x2-2=0 （2）4（y2－y）+1＝0 2、当k取何值时，关于x的方程x2-（2k+1）x+k2=2没有实数根？
华师大版-数学-九年级上册-22.2 一元二次方程的解法导学案
22.2 一元二次方程的解法学习目标：1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如2x=a(a≥0)或（mx+n）2=a(a≥0)的方程；会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些一元二次方程；2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法；3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。
重点：掌握用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的步骤。
难点：理解并应用直接开平方法和因式分解法解特殊的一元二次方程。
导学流程：修改批注复习导入：如果 x2=a(a≥0) ，则 x就叫做a的，x=如果 x2=64,则x=把下列各式分解因式：（1）x2-3x(2)x2+4/3x+4/9 (3)2χ2－χ－3自主探索试一试解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.（1）x2＝4；（2）x2－1＝0;解:x=____ 解: 左边用平方差公式分解因式，得x=____ ____________＝0，必有x－1＝0，或______＝0,得x1＝___，x2＝_____.精讲点拨对于方程(1),可以这样想:∵χ2=4 根据平方根的定义可知:χ是4的( ).即: χ=±2∴χ=4这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ的一元二次方程的两个根。
∴方程χ2=4的两个根为χ1=2，χ2=－2.利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。
巩固练习：利用直接开平方法解下列方程:)()13(2=+x4-x0-25x0)1(2=)2(2=9004） 12（2－χ）2－9=0精讲点拨：对于方程（2）χ2－1=0 ，你可以怎样解它？还有其它的解法吗？还可以这样解：将方程左边分解因式，得（χ+1）（χ－1）=0则必有：χ＋1=0，或χ－1=0分别解这两个一元一次方程，得χ1=－1,χ2=1.利用因式分解的方法解方程，这种方法叫做因式分解法。
巩固练习：利用因式分解法解下列方程:χ2－3χ=0； 2） 16χ2=25；（2χ+3）2－25=0.小结：采用因式分解法解方程的一般步骤：（1）将方程右边的各项移到方程的左边，使方程右边为0；（2）将方程左边分解为两个一次因式的乘积形式：（3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程：（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
华师大版数学九年级上册教案：22.2一元二次方程的解法教案(1)
华师大版九年级上册22.2一元二次方程的解法教案（1）教学内容：直接开平方法教学目标1、 理解直接开平方法，会用直接开平方法解一些特殊的方程；2、 通过列解一元二次方程，解决一些实际的问题；3、 体会降次的思想。
教学重点：直接开平方法。
教学难点：解决实际问题。
教学准备：课件教学方法：练习引导法一、练习把下列一元二次方程化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。
1、13)1()3(22-=--+x x x x （2）13632352+=--+x x x x2、如果一元二次方程05)3()9(22=----x m x m 是一元二次方程，则m ；3、如果一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有一个根是—1，则c b a ,,之间的关系是 ；二、学习直接开平方法。
1、复习平方根。
如果)0(,2≥=a a x ，那么 x 叫做a 的平方根，记作)0(,≥±=a a x 。
2、利用直接开平方法解一元二次方程例1、解下列方程（1）02432=-x （2）045)32(2=--x 解：（1）移项，得 2432=x化二次项系数为1，得82=x直接开平方，得228±=±=x即，22,2221-==x x（2）移项，得 45)32(2=-x直接开平方，得534532±=±=-x转化为二个一元一次方程，得 ,5332=-x 或,5332-=-x解这两个一元一次方程，得2533,253321-=+=x x 例2、解下列方程（1）0121)1(642=--x （2）0)32(25)13(922=--+x x解：（1）移项，得 121)1(642=-x两边同时除以64，得 64121)1(2=-x 直接开平方，得 8111±=-x 移项，得 8111±=x 计算，得83,81921-==x x （2）移项，得 22)32(25)13(9-=+x x两边同时除以9，得 22)32(925)13(-=+x x 直接开平方，得 )32(3513-±=+x x解这两个一元一次方程，得1912,1821==x x 练习：课后练习1。
华东师大版九年级上册22.2一元二次方程的解法2.一元二次方程的解法二：配方法(共20张PPT)
t1 2， t2 1
答：在1秒时，小球上升到10米；至最高点 后下落，在2秒时，其高度又为10米。
古题今解： 某古算书中有这样一首诗:“一群猴子分两队, 高高兴兴在游戏,八分之一再平方,蹦蹦跳跳树 林里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮.告我总 数共多少”？ 解：设总共有 x 只猴子，
温故知新
3、用直接开平方法解一元二次方程适用于解 形如：x2=b(b≥0), (x+a)2=b(b≥0)的方程.
4、用因式分解法解满足a·b=0形式的一元二次 方程.这种方法的一般步骤：
(1)将方程化为一元二次方程的一般形式； (2)将方程的左边分解为两个一次因式的积； (3)令每一个一次因式分别为0，就得到两个
2
2
即 x 6 0或 x 6 0
2
2
x1
6 2
，x2
6 2
温故知新
分别用直接开平方法和因式分解法解方程：
(2)4(x-1)2=9
解法一： 变形，得 (x 1)2 9
4
直接开平方得
解法二：
变形，得 (x 1)2 ( 3)2 0
2
左边因式分解，得
(x 1 3)(x 1 3) 0
2
2
(1)x2 2x 5 (2)x2 4x 1 2
解：(1)方程两边同时加上1，得x2-2x+1=6 即 (x-1)2=6
直接开平方，得x-1= 6
x1 1 6， x2 1 6
(2)方程两边同时加上3，得x2+4x+4=5 即 (x+2)2=5
直接开平方，得x+2= 5
x1 2 5， x2 2 5
的解为 x1 b
b2 2a
【新华东师大版】九年级数学上册：22.2《一元二次方程的解法》第5课时教案(表格式)+导学案
22.2一元二次方程的解法第五课时一元二次方程的根与系数的关系教学任务分析教学过程学们展示自己的证明。
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么我们再来看二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0的根与系数的关系．6、总结归纳：如果方程)0(02≠=++acbxax的根是x1和x2，那么21xx+= ；21xx=三、例题学习：1、例(教材P34例8)2、已知方程022=--cxx的一个根是3，求方程的另一个根及c的值。
3、已知方程0652=--xx的根是x1和x2，求下列式子的值：（1）2221xx+ +21xx（2）1221xxxx+交流与点拨：教师要示范例题，可以让学生尝试应用根与系数的关系解题。
牢牢把握一元二次方程根与系数的关系四、课堂练习：1教材P35练习学生板演，教师点评。
通过练习加深学生对一元二次方程根与系数的关系的理解。
五、布置作业1、教材P36习题22.2第10，11题六、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。
22.2一元二次方程的解法第五课时 一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1．理解并掌握根与系数关系：a b x x -=+21，ac x x =21； 2．会用根的判别式及根与系数关系解题. 重点、难点重点：理解并掌握根的判别式及根与系数关系. 难点：会用根的判别式及根与系数关系解题； 【课前预习】阅读教材P40 — 42 ， 完成课前预习 1、知识准备( 1 ) 一元二次方程的一般式： （2）一元二次方程的解法： （3）一元二次方程的求根公式： 2、探究1：完成下列表格①用语言叙述你发现的规律；②x 2+px +q =0的两根1x ，2x 用式子表示你发现的规律。
探究2：完成下列表格请完善规律；①用语言叙述发现的规律；② ax 2+bx +c =0的两根1x ，2x 用式子表示你发现的规律。
2015年秋季新版华东师大版九年级数学上学期第22章、一元二次方程单元复习导学案
一元二次方程学习目标了解一元二次方程及相关概念，会用适当的方法解一元二次方程。
3.能以一元二次方程为工具解决一些简单的实际问题。
学习重点：一元二次方程的解法及应用。
难点：运用一元二次方程解决一些简单的实际问题。
复习过程： 修改批注知识回顾一：1、一元二次方程的概念只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程.2、一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a 、b 、c 为常数，a ．≠．0．）及二次项系数，一次项系数、常数项。
典型例题：例1、下列关于x 的方程：1)4(,02)3(,53)2(,032)1(223222=+=+-=+=--y x x x x x x x其中是一元二次方程的有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个例2、关于x 的方程（m+3)x |m|-1-2x+4=0是一元二次方程，则m= 。
.反馈练习：1.下列方程是一元二次方程的是（ ）A2x 2=9, B.x+3/x 2=5, Cx(x+5)=x 2-2x, D.x 2+y=12若关于x 的方程(a-2)22-a x +2x-5=0 是一元二次方程，则a= 。
知识回顾二：一元二次方程的解法最常用的方法是因式分解法；最通用的方法是公式法；最具有局限性的方法是直接开平方法；最繁琐的方法是配方法.典型例题：例3.用配方法解方程：2x 2-3x=2例4.用适当的方法解下列方程.（1） 2（x-1)2=32 (2) 3x 2+4x=2反馈练习：请用四种方法解方程：（2x-3)2=x2知识回顾三：一元二次方程根的判别式一元二次方程 ax2+bx+c=0(a ≠0) 根的判式是: Δ =b 2—4acΔ =b 2—4ac >0,方程有两个不相等的实数根。
Δ =b 2—4ac=0,方程有两个相等的实数根。
Δ =b 2—4ac <0,方程没有实数根。
反之，也成立。
典型例题：例5.不解方程，判别方程3x 2+2x-9=0根的情况.例6.是否存在k ，使方程（k-1)x 2-(k+2)x+4=0出k 的值；若不存在，请说明理由。
华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 根的判别式》公开课课件_19
①本节课你学到了那些知识？ ②本节课你还有什么疑问?
作业：
课本第53面第1，2 ，3，5题
有两个相等的实数根，且 a ，b，c
满足 b 3a 2c。试判断ABC的
形状。
解 原方程有两个相等的实数根
a 41 1 (2b c) 0 4
a 2b c 0 b 3a 2c
a 2 (3a 2c) c 0 a 6a 4c c 0 5a 5c 0 a c 又 b 3a 2c c a b c
一元二次方程的根 的判别式
利用公式法解下列方程
15x2 3x 2 0 2 25y2 4 20 y 3 2x2 3x 1 0
想一想
对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
你能谈论一下它的根的情况吗? 在什么情况下，一元二次方程有解?有什 么样的解? 什么情况下一元二次方程无解?
解：原方程可变形为 25y2 20 y 4 0
（ 20）2 4 25 4 0 原方程有两个相等的实数根。
3 2x2 3x 1 0
解： （ 3）2 4 21 5＜0
原方程没有实数根。
练一练
1.不解方程，判别下列方程的根的情况。
1 2x2 5x 4 0 2 7t2 5t 2 0 3 x(x 1) 3 43y2 25 10 3y
2.在一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)中
若a与c异号,则方程 （ A ） A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
例1. 不解方程，判别下列方程 的根的情况。
15x2 3x 2 0 2 25y2 4 20 y 3 2x2 3x 1 0
华东师大版九年级上册22.2一元二次方程的解法3.公式法导学案
§22.2.2 一元二次方程的解法(三)【课前预习学案/参考课本P28-30】★(一)温故知新：1、用配方法解下列一元二次方程：(1)x2+10=15x (2)3y2-12y+1=0(1)解：移项，得= (2)解：移项，得=配方，得= 二次项系数化为1，得=即( )2 = 配方，得=直接开平方，得= ±即( )2 =∴x1= ，x2= . 直接开平方，得= ±∴y1= ，y2= .2、通过对直接开平方法、因式分解法、配方法这三种方法的探讨，我们可发现：形如(x+a)2=b 的用法；能变形成a·b=0的用法；上述两种方法都不行的，用法变形成可用直接开平方法的形式再求解。
前面两种方法更简便，但很多方程用这两种方法都无法迅速求解，目前只能求助于配方法，而配方法的缺点是计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？★(二)自我探究：1、先试试能否用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)解：移项，得=二次项系数化为1，得=两边都加上，得=即( )2 =直接开平方，得= ±∴x1= ，x2= .注意：在用配方法求解过程中，有一个条件很关键，即≥0.只有满足了该条件才能继续用直接开平方法求解。
2、从上面这个题的求解过程，可得出结论：当b2-4ac≥0时，一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根为a acbbx24 2-±-=，即x1= ，x2= .这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
2、试试用公式法解方程：(1)2x2- x-2=0(2)3y2 +3y+1=31-6y(1)解：∵a=，b=，c=，(2)解：移项整理，得= 0b2- 4ac== ∵a=，b=，c=，∴x== b2- 4ac==即x1= ，x2= . ∴x==即x1= ，x2= .3、用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程化为形式；(2)确定、、的值；(3)计算代数式的值；(4)当≥0时，把a、b、c的值代入求根公式求解。
华师版数学九年级上册-22.2一元二次方程的解法
注意：配方时，等式两边同时加上的是一次项系数 一半的平方.
华师版数学九年级上册
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
第 3 课时 公式法
回顾与思考
“配方法”解方程的基本步骤： 1. 化1：把二次项系数化为 1； 2. 移项：把常数项移到方程的右边； 3. 配方： 方程两边同加一次项系数一半的平方； 4. 变形：化成 (x + m)2 = a(a≥0)； 5. 开平方，求解.
解：将原方程化为一般形式，得
运用公式法解一元二次方程的步骤：
（1）把方程化为一般形式，确定 a、b、c 的值；
（2）求出 b2 4ac的值；
（3）若
，把 a、b、c 及 b2 4ac的值
代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；
若
，此时方程无实数解.
练一练
1.
用公式法解下列一元二次方程：23
用配方法解一元二次方程 x2－4x＋1＝0 变形为 (x－2)2 = 3
变 形
这种方程
为
怎样解？
•• • • 2 a 的形式．（a 为非负常数）
像这种通过方程的简单变形，将左边配成一个含有 未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可 以直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫 做配方法.
(1) x2＋8x＋ 16 =(x＋4)2
(2) x2－4x＋ 4 =(x－2 )2
(3) x2－_6__x＋ 9 =(x－ 3 )2
配方时，等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方
典例精析 例 用配方法解下列方程: (1) x2 - 4x - 1 = 0； (2) 2x2 - 3x - 1 = 0.
【新华东师大版】九年级数学上册：22.2《一元二次方程的解法》第2课时教案+导学案
22.2一元二次方程的解法第二课时 直接开平方法和因式分解法（2）教学目标：知识技能目标1.通过对形如(ax +b )2＝c （其中a 、b 、c 是常数且c ≥0）的一元二次方程解法的探讨，让学生进一步熟悉直接开平方法；2.熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程；过程性目标1.体会运用直接开平方法与因式分解法解某些一元二次方程；2.进一步了解，解一元二次方程的方法虽然有所不同，但结果是一样的；3.经历各种类型的一元二次方程，灵活选取适当的方法解一元二次方程．情感态度目标1.通过新方法的学习，培养学生分析问题解决问题的能力及探索精神；2.让学生在实际解题中进一步体会转化的思想．重点和难点：合理选择直接开平方法与因式分解法解某些一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程.教学过程：一、创设情境问题 如何解下列方程：(1) (x +1)2-4＝0；(2)12(2-x )2-9＝0．对于这两个方程，你想到了哪些求解方法？你能从上一课学习的内容中得到一些启发吗？二、探究归纳分析 对于(1)，如果退一步解x 2－4＝0，同学们都能想到运用直接开平方法求解；那么将这里的x 换成x ＋1，不是同样的思考方法吗？实际上，这两个方程都可以化成( )2=a 的形式．解 (1)原方程可以变形为(x +1)2＝4，直接开平方，得 x ＋1＝±2，即x ＋1＝2或 x ＋1＝－2．所以原方程的解是x 1＝1，x 2＝-3．(2)原方程可以变形为()4322=-x ， 直接开平方，得232±=-x ，即232=-x 或232-=-x ．所以原方程的解是232,23221+=-=x x ． 思考 你对上面两个方程还有其他解法吗？三、实践应用例1 用因式分解法解方程：(1)(x +1)2-4＝0；(2)12(2-x ) 2-9＝0．分析 对(1)左边容易分解为(x ＋1＋2)(x ＋1－2)；而对(2)左边应分解为()()3243243--+-x x .（为什么？）解 (1)原方程左边分解因式，得(x ＋1＋2)(x ＋1－2)＝0.所以x ＋3＝0，或x －1＝0．原方程的解是x 1＝1，x 2＝－3．(2)方程左边分解因式，得3(4－2x ＋3)(4－2x －3)＝0．所以4－2x ＋3＝0，4－2x －3＝0． 原方程的解是2321-=x ，2322+=x ． 例2 用适当的方法解方程(1)5(3x ＋1)2＝20；(2) 4(x -1)2-(x +2)2＝0． 分析 (1)变形为(3x ＋1)2＝4时，用直接开平方法来解简单；(2)把左边分解因式成[2(x -1)+(x +2)] [2(x -1)-(x +2)]，再进一步化成两个一元一次方程求解．解 (1)原方程可以变形为(3x ＋1)2＝4．直接开平方，得3x ＋1＝±2，即3x ＋1＝2或 3x ＋1＝－2． 所以原方程的解是1,3121-==x x ． (2)原方程左边分解因式，得[2(x -1)+(x +2)] [2(x -1)-(x +2)]＝0．整理为3x (x －4)＝0．所以3x ＝0，或x －4＝0．原方程的解是x 1＝0，x 2＝4．例3 小张和小林一起解方程x (3x +2)-6(3x +2)＝0．小张将方程左边分解因式，得(3x +2)(x -6)＝0所以3x ＋2＝0，或x －6＝0， 方程的两个解为6,3221=-=x x ． 小林的解法是这样的：移项得x (3x +2)＝6(3x +2)，方程两边都除以3x ＋2，得x ＝6．小林说：“我的方法多简便！”可另一个解32-=x 哪里去了？小林的解法对吗？为什么？ 分析 小林的解法中有一步“方程两边都除以3x ＋2”是错误的，根据等式的性质，在方程两边只能乘以或除以同一个不等于零的数，等式才成立，现在小林在方程两边都除以3x ＋2，就会丢失一个解．因此，在解一元二次方程时，不可以在方程两边都除以一个含有未知数的代数式．四、交流反思1.若方程是( )2＝a 的形式，用直接开平方法求解简单；有时方程经过变形后可以得到形如( )2＝a 的形式，也适合用直接开平方法；2.所谓因式分解，是将一个多项式分解成几个一次因式积的形式．如果一元二次方程的左边是一个易于分解成两个一次因式积的二次三项式，而右边为零．用因式分解法更为简单．例如：x 2＋5x ＋6＝0，因式分解后(x ＋2)(x ＋3)＝0，得x ＋2＝0或x ＋3＝0，这样就将原来的一元二次方程转化为一元一次方程，方程便易于求解．可以说二次三项式的因式分解是因式分解法解一元二次方程的关键．“如果两个因式的积等于零，那么两个因式至少有一个等于零”是因式分解法解方程的理论依据．方程的左边易于分解，而方程的右边等于零是因式分解法解方程的条件．满足这样条件的一元二次方程用因式分解法最简单；3.因式分解法解一元二次方程的步骤是：(1)化方程为一般形式；(2)将方程左边因式分解；(3)至少有一个因式为零，得到两个一元二次方程；(4)两个一元一次方程的解就是原方程的解．4.运用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程．两种方法的选择，要具体情况具体分析．五、检测反馈1.解下列方程：(1)(x ＋2)2－16＝0； (2)(x －1)2－18＝0；(3)(1－3x )2＝1； (4)(2x ＋3)2－25＝0．2.用适当的方法解下列方程：(1) 3(x -5)2＝2(5-x )； (2) x 2-x -6＝0；(3) (x -1)2＝(2x +3) 2； (4)2(3x -1)2＝16．3.当x 为何值时，代数式3x 2-2x +1的值与2x +1的值相等．六、布置作业习题22．2的2，3. 22.２一元二次方程的解法第二课时 直接开平方法和因式分解法（2）【学习目标】1了解用因式分解法解方程的根据是：“如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式中一个等于0，它们的积就等于0.”2、会用因式分解法解某些一元二次方程。
华东师大版九年级数学上册导学案：22.2.1一元二次方程的解法—直接开方法因式分解法
九年级数学导学稿课题：一元二次方程的直接开方法和因式分解法共 4课时，第 1 课时。
主备人：一、学习目标：1、会用直接开平方法解形如（a ≠0,ab ≥0）的方程；2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。
3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换元方法。
二、教学过程：（一）1、自己认真看课本第20页到第22页例题、 结合课本提示，独立思考直接开平方法和因式分解法解方程的方法。
2、自主练习 解下列方程：（1）（x ＋2）2－16＝0； （2）(x －1)2－18＝0；（3）( x-2)2 — x+2 =0 （4）(2x+1)2=(x-1)2（二）自学检测（8分钟）（1）(x+2)2=3(x+2) （2）2y(y-3)=9-3y （3）(1－3x)2＝1；（4）(2x ＋3)2－25＝0. （5）49122=+-x x 。
4、 教师点拨（1分钟）1、用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：b x =2（b ≥0）；b ax =2（a ≠0,a b ≥0）。
解法的根据是平方根的定义。
要特别注意，由于负数没有平方根，所以括号中规定了范围，否则方程无实数解。
2、把一元二次方程化为一般形式后，如方程左边可因式分解，则此一元二次方程可用因式分解法解。
当堂检测一、选择1．x 2－16=0的根是( )．A ．只有4B ．只有－4C ．±4D ．±82．3x 2＋27=0的根是( )．A ．x 1=3，x 2=－3B ．x =3C ．无实数根D ．以上均不正确3．方程(x －a )(x ＋b )=0的两根是( )．A ．x 1=a ，x 2=bB ．x 1=a ，x 2=－bC ．x 1=－a ，x 2=bD ．x 1=－a ，x 2=－b4．下列解方程的过程，正确的是( )．A ．x 2=x ．两边同除以x ，得x =1．B ．x 2＋4=0．直接开平方法，可得x =±2．C ．(x －2)(x ＋1)=3×2．∵x －2=3，x ＋1=2， ∴x 1=5， x 2=1．D ．(2－3x )＋(3x －2)2=0．整理得3(3x －2)(x －1)=0，.1,3221==∴x x 二、解答题 (用适当方法解下列方程，*题用十字相乘法因式分解解方程)1．2y 2=8．2．.25)1(412=+x3．3x (x －2)=2(x －2)．4．.32x x =*5．x 2－3x －28=0．6．(2x ＋1)2=(x －1)2．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一元二次方程的解法
一、 学习目标
掌握用因式分解方法解一元二次方程。
二、 学习重点
重点：掌握用因式分解方法解一元二次方程的步骤。
难点：理解并应用因式分解方法解特殊的一元二次方程。
三、 自主预习
我们学过因式分解的方法有： ， ， ， 将下列各式因式分解：
（1）232y x -y x 612 （2）25x 2-9y 2 （3）x 2-4xy+4y 2 （4） 322
-+x x
四、 合作探究
探究1.用因式分解法解一元二次方程：
（1）x 2
-2x=0 （2） x （3x ＋2）－6(3x ＋2)＝0
（3）4x 2-12x=-9 （4）(2x-1)2-x 2-4x-4=0
探究2.下列各方程解题中是否有错误，有的请改正。
（1）解方程x 2=81 （2）解方程x 2=2x
解：因为x 2=81，所以x=9 解：由方程x 2=2x 两边都除以x ，得x=2
互为相反数，则x
x-1
4.用因式分解解下列方程：
（1）（t－2）（t +1）=0 （2）x（x＋1）－5x＝0.
（3）（3y+1）2-4=0 （4）9(x-2)2=4(x+1)2
（5）2x+2x-3=0 （6）2x-50x+225=0
5.已知三角形的两边分别为3和8，第三边长是方程x(x-7)-10(x-7)=0的一个根，求这个三角形的周长。