实际流体动力学基础
4工程流体力学 第四章流体动力学基础
Fy F V•n dS = -V0 dS
= =
=
ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS
CS
S0
S1
S2
v = -V0 sin
0
0
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续18）
由于V1，V2在y方向上无分量，
忽略粘性摩擦力，控制体所受表面力包括两
端面及流管侧表面所受的压力，沿流线方向总压
力为：
FSl
pS p δpS δS
p
δp 2
δS
Sδ p 1 δpδS 2
流管侧表面所受压力在流 线方向分量，平均压强
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续27z）
控制体所受质量力只有重力，沿流线方向分
Q2
Q0 2
1 cosθ
注意：同一个问题，控制体可以有不同的取法，
合理恰当的选取控制体可以简化解题过程。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续23）
微元控制体的连续 方程和动量方程
从流场中取一段长度为l 的流管元，因
为流管侧面由流线组成，因此无流体穿过；流 体只能从流管一端流入，从另一端流出。
CS
定义在系统上 的变量N对时 间的变化率
定义在固定控制 体上的变量N对 时间的变化率
N变量流出控制 体的净流率
——雷诺输运定理的数学表达式，它提供了对
于系统的物质导数和定义在控制体上的物理量
变化之间的联系。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程 一、连续方程
在流场内取一系统其体积为 ，则系统内
的流体质量为：
根据物质导数的定义，有：
5.流体力学-实际流体动力学基础-wyj
学习重点
➢掌握实际流体能量方程、动量方程； ➢掌握流体运动总流的分析方法，能熟练运用
三大运动方程解决实际问题；
➢了解N—S 方程。
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学习内容
伯努利方程 (能量方程)
动量方程
实际流体运 动微分方程
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§5—1 实际流体运动微分方程
一、以应力表示的实际流体运动微分方程
式 5—5
13
三、N—S 方程
将以上关系式5—3、5—5代入实际流体运动微分方程 5—1，结合不可压缩、均质流体连续性微分方程整理即可
得N—S方程（p166 5—6式）。
此 N—S方程 + 连续性微分方程
共 4 个方程，解 4 个未知量。
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14
四、实际流体运动微分方程积分
1、积分条件：
( uz
y
u y z
)
zx
xz
( uz
x
ux z
)
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实际流体切 应力普遍表达 式，也称广义 的牛顿内摩擦
定律。
11
2、压应力的特性和大小： px= p+ px’ p y= p+ py’ pz= p+ pz’
p ——平均压应力
p=
1 3
（px+py+pz
）
切应力互等定律。原 方程减少3个变量。
4>列动量方程求解。
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几点说明：
1>方程是矢量式，正确取好外力和速度的正负号；
2> 建立坐标系应尽量使问题简化；
3> 计算断面为渐变流断面（中间可为急变流）；
流体动力学基础
流体动力学基础流体动力学是研究流体的运动规律和性质的科学，它是流体力学的分支之一，广泛应用于航空、航天、水力、能源等领域。
本文将介绍流体动力学的基础概念、基本方程以及常用方法。
一、流体动力学的基本概念1. 流体力学与流体静力学的区别流体力学研究流体在运动中的行为，包括流体的流动速度、压力、密度等参数的分布规律；而流体静力学则研究流体在静止状态下的平衡规律，主要关注流体的静压力和浮力等性质。
2. 流体的本构关系流体的本构关系描述了流体的应力与变形速率之间的关系。
常见的本构关系有牛顿黏性流体、非牛顿流体以及理想流体等。
3. 流体的运动描述流体的运动可以通过流体速度场来描述，流体速度场是空间中的矢量函数，它描述了流体的速度分布。
流体速度场的描述可以使用欧拉描述方法或者拉格朗日描述方法。
二、流体动力学的基本方程1. 连续性方程连续性方程描述了质量守恒的原理，即单位时间内通过某一截面的质量是恒定的。
对于稳定流动的不可压缩流体来说，连续性方程可表示为流体密度与速度之积在空间中的量级是恒定的。
2. 动量方程动量方程是描述质点运动定律的基本方程，对流体来说，动量方程体现了运动流体的动力学行为。
对于稳定流动的不可压缩流体来说，动量方程可表示为流体的密度乘以速度与压力梯度的叠加等于外力的结果。
3. 能量方程能量方程描述了热力学系统的能量守恒原则，对于流体来说，能量方程考虑了流体的流动对能量转移的影响，以及热源、做功所导致的能量变化。
三、流体动力学的常用方法1. 数值模拟方法数值模拟是流体动力学研究的重要工具，通过在计算机上建立流体动力学方程的数值解，可以模拟复杂流动现象，如湍流、多相流等。
2. 实验方法实验方法是流体动力学研究的另一重要手段，通过搭建实验平台，测量流体的压力、速度等参数，从而验证理论和数值模拟结果的准确性。
3. 理论分析方法理论分析方法是流体动力学研究中的基础，通过建立假设和推导数学表达式，可以得到流体动力学问题的解析解，为实验和数值模拟提供参考。
流体动力学基本原理的内容及成立条件
流体动力学基本原理的内容及成立条件一、流体动力学的基本概念流体动力学是研究流体在运动中所表现出来的各种力学现象的科学。
它是研究流体的物理性质、运动规律和应用的基础。
流体包括气体和液体，其特点是没有固定的形状，在受到外力作用时能够变形。
二、流体动力学基本方程1.连续性方程连续性方程描述了质量守恒原理，即在任意给定时刻，单位时间内通过任意给定截面积内的质量保持不变。
2.动量守恒方程动量守恒方程描述了牛顿第二定律，即物体受到外力作用时会发生加速度变化。
3.能量守恒方程能量守恒方程描述了能量守恒原理，即系统内总能量保持不变。
三、成立条件为了使上述基本方程成立，需要满足以下条件：1.连续性假设：假设流体是连续不断的介质，在微观尺度下不存在空隙或孔隙。
这个假设在实际应用中通常是成立的。
2.牛顿第二定律适用：流体的运动速度相对于光速较慢，所以牛顿第二定律可以适用于流体运动。
3.稳态假设：假设流体的物理状态在空间和时间上是恒定不变的。
这个假设在实际应用中通常是成立的。
4.不可压缩性假设：假设流体密度不随时间和位置而变化。
这个假设在实际应用中通常是成立的。
5.粘性效应：粘性是流体内部分子之间相互作用力导致的，它会影响流体的运动规律。
当流体处于高速运动状态时，粘性效应可以忽略不计；但当流体处于低速运动状态时，粘性效应就会显著影响流体运动规律。
四、结论综上所述，流体动力学基本原理包括连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
为了使这些基本方程成立，需要满足一定条件，如连续性假设、牛顿第二定律适用、稳态假设、不可压缩性假设以及粘性效应等。
这些基本原理和条件对于研究流体的物理性质、运动规律和应用具有重要意义。
第三章 流体动力学基础
1、在水位恒定的情况下： （1）A®A¢不存在时变加速 度和位变加速度。 （2）B®B¢ 不存在时变加速 度，但存在位变加速度。 2、在水位变化的情况下： （1）A®A¢ 存在时变加速度， 但不存在位变加速度。 （2）B®B¢ 既存在时变加速 度，又存在位变加速度。
图3-19
第二节 流体质点运动特点和有旋流
图3-13
非均匀流——流线不是平行直线的流 动， 。 非均匀流中流场中相应点的流速大 小或方向或同时二者沿程改变，即沿流 程方向速度分布不均。例：流体在收缩 管、扩散管或弯管中的流动。（非均匀 流又可分为急变流和渐变流）
4.渐变流与急变流
非均匀流中如流动变化缓 慢，流线的曲率很小接近平行， 过流断面上的压力基本上是静 压分布者为渐变流(gradually varied flow)，否则为急变流。
图3-17
（3）三元流
三元流（threedimensional flow):流动 流体的运动要素是三 个空间坐标函数。例 如水在断面形状与大 小沿程变化的天然河 道中流动，水对船的 绕流等等，这种流动 属于三元流动。（图 3-18）
图3-18
三.描述流体运动的方法
1.拉格朗日法 拉格朗日方法（lagrangian method）是以 流场中每一流体质点作为描述流体运动 的方法，它以流体个别质点随时间的运 动为基础，通过综合足够多的质点（即 质点系）运动求得整个流动。——质点 系法
一、流体质点的运动 特点 刚体的运动是由 平移和绕某瞬时轴 的 转动两部分组成，如 图3-20(a)。
图3-20(a)
流体质点的运动， 一般除了平移、转 动外，还要发生变 形（角变形和线变 形），如图3-20(b)。
图3-20(b)
二、角速度的数学表达式 流体质点的旋转用角速度表征，习 惯上是把原来互相垂直的两邻边的角速 度平均值定义为该转轴的角速度。
流体力学 第三章 流体动力学
7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流
量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s） 表示。显然，对于均质不可压缩流体有
元流体积流量 总流的体积流量
Qm Qv
dQv vdA
Qv
dQ vdA vA
b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般
不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度
都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的
流量与实际流量相同。
vAQv
vdA
A
8 均匀流与非均匀流
流管——在流场中任意取不与流线重合的封 闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管 状表面
流束——流管内的流体
5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
1
例：
注意：只有均匀流的过流断面才是平面
2
1
Hale Waihona Puke 1处过流断面2处过流断
2
面
6.元流与总流 元流——过流断面无限小的流束 总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转
流线微分方程： 流线上任一点的切线方向 (dr)与该点速度矢量 (v)一致
i jk drv dx dy dz0
dx dy dz vx vy vz
vx vy vz
——流线微分方程
（2）迹线——质点运动的轨迹 迹线微分方程：对任一质点
第五章 实际流体动力学基础分解
图4-15
例2：水深1.5m、水平截面积为3m×3m的水箱，箱底接一直径为 200mm，长为2m的竖直管，在水箱进水量等于出水量情况下作恒 定出流，略去水头损失，试求点2的压强。
故有：
得：hp=16.47N· m/N 所需轴功率Np为：
图4-26
3.气流的能量方程
总流的能量方程式是对不可压缩流体导出的，气 体是可压缩流体，但是对流速不很大（u<60m/s）压 强变化不大的系统，如工业通风管道、烟道等，气流 在运动过程中密度的变化很小，在这样的条件下，伯 努利方程仍可用于气流。由于气流的密部空气的密度 是相同的数量级，在用相对压强进行计算时，需要考 虑外部大气压在不同高度的差值。
判断：测压管水头线若低于管轴心，则该处水流一 定处于真空状态。 你的回答： 对 错
问题：粘性流体总水头线沿程的变化是：
A.沿程下降； B.沿程上升； C.保持水平； D.前三种情况都有可能。 问题：粘性流体测压管水头线的沿程变化是：
A.沿程下降； B.沿程上升； C.保持水平； D.前三种情况都有可能。
例1：如图所示的虹吸管泄水，已知断面1,2及2,3的损 失分别为hw1,2=0.6v2/(2g)和hw2,3=0.5v2/(2g) ，试求断 面2的平均压强。 解：取0-0，列断面1，2的能量方程a（取α 1=α 2=1） 而v2=v3=v（因d2=d1=d），因此可对断面1，3写出能量 方程b a 可得： b
Байду номын сангаас
4.总流能量与元流能量方程有什么不同点？
参考答案： 1）以断面的平均流速v代替元流中的点流速
5实际(粘性)流体的动力学基础2
FRx p1 A1 1QV1
FRx p1 A1 1QV1
沿z方向列动量方程为：
沿y方向列动量方程为：
p2 A2 FG FRz Q(2V2 0)
FRy p2 A2 Q(2V2 0)
FRz p2 A2 FG 2 QV2
FRy p2 A2 2 QV2
x y z
Q(2V2 x 1V1x ) Q(2V2 y 1V1y ) Q(2V2 z 1V1z )
适用条件：不可压缩流体、恒定流、过水断面为均匀流或 渐变流过水断面、无支流的汇入与分出。 如图所示的一分叉管路，动量 方程式应为：
ρ Q1
1
1
v1 v2 v3
3 3 ρ Q3
扬 扬 程 程 提水 高度
QH m Np p
分 子
单位时间 水流获得 总能量
水泵轴功率
水泵效率
分 母
三、水轮机管路系统
1 引水渠 1 o 压力钢管
z
水轮机
2 o
2 p1 1v12 p2 2v2 z1 H t z2 hl12 2g 2g
2
=
z
=
0
管轴竖直放置
弯管内水流对管壁的作用力
1
管轴水平放置
FR
FRx
V1
FRz
V1
Fry
z
1
FP1=p1A1
V2
FP1=p1A1 x y
V2
FR
FRx
2
2
y
x
FG FP2=p2A· 2
FP2=p2A· 2
沿x方向列动量方程为：
沿x方向列动量方程为：
p1 A1 FRx Q(0 1V1 )
水力学5.1(2、3)实际流体的动力学基础(N-S方程,能量方程)
水力坡度J: 当总水头线为直线时,
J hw l
当总水头线为曲线时, J dhw dH dl dl
5.3.3 实际流体恒定总流能量方程的意义
能量方程的几何意义:
(2)测管水头线可沿程降 低或升高.为什么?
测管水头线坡度JP:
d(z p)
JP
dl
水力学中规定:所有沿 程下降的坡度为正,所 以式中有一负号.
5.3.3 实际流体恒定总流能量方程的意义
能量方程的几何意义:
(3)在流速不变的流段内, 测管水头线与总水头线 平行.为什么?
5.3.4 实际流体恒定总流能量方程的应用
能量方程的应用条件及注意事项: (1)必须是恒定流,且为不可压缩的均质流体.
(2)作用于流体上的质量力只有重力,所研究的流 体边界是静止的.
流速分布越均匀,α越接近于1. 流速分布越不均匀,α的值越大. 一般渐变流, α≈1.05~1.10
为简便，常常取α=1.0
5.3.2 实际流体恒定总流的能量方程
Q (z1i
p1i
)dQi
Q
u12i 2g
dQi
Q (z2i
p2i
)dQi
Q
u22i 2g
dQi
Q hw idQi
(3)第三类积分: Q hw dQ
5 实际(粘性)流体的动力学基础
实际(粘性)流体
仅有连续性方程远远不能解决实际 问题,如:作用力,能量问题等
本章主要任务:
给出实际(粘性)流体的运动微分方程 (N-S方程),在此基础上讨论元流和恒定 总流的伯努利方程(能量方程),动量方程 的推导以及它们的意义和应用
5 实际(粘性)流体的动力学基础
第五章 实际(粘性)流体动力学基础
hw----能量损失
能量损失包括：沿程损失和局部损失。
物理意义：总流各过流断面上单位重力流体所具有的平均势
能和平均动能之和，机总机械能平均值沿程减少，部分机械 能转化为热能而损失；同时，各项机械能之间可以相互转化。
2、几何意义 z——位置水头 hw----水头损失
p
——压强水头
v 2
2g
——流速水头
p
p
(5.12)
上式表示总流重力流量（γQ）所具有的势能。
u2 （2）第二类积分 Q dQ A u3dA ，表示总流重力流量 2g 2g
所具有的动能。 总流在同一过流断面上的流速分布一般是不均匀的，即
3 3 u dA v A A
引入修正系数α，即令
3 3 u dA u dA A A 3 v A Qv 2
下降，平均测压管水头线可以上升，
可以下降。
总水头线的坡度叫做水力坡度， 表示单位重力流体在单位长度的 流程上所损失的平均水头。以H 表示总流的平均总水头，则水力
坡度为
dH dhw J ds ds
(5.21)
5.3.3
恒定总流伯努利方程的应用
总流伯努利方程适用条件：
（1）不可压缩流体；
（2）恒定流； （3）作用于流体上的质量力不可压缩流体； （4）所取过流断面1-1，2-2都在渐变流区域，但两断面之
式中，
(5.5)
g
( 2 ux dx 2 u y dy 2 uz dz ) 为单位质量流体粘性
，代入（5.5）式 力所作的微功，记为 dhw
u2 0 d ( gz ) dhw 2g p
对上式沿流线（或元流）由点1到点2积分，得
液压流体力学第五章流体动力学基础
南京工程学院
夏庆章
20150720
第五章 流体动力学基础
• • • • • • 流体动力学概述 5.1理想流体的运动微分方程式 5.3理想流体的伯努利方程式 5.4实际流体总流的伯努利方程式 5.7伯努利方程的应用 5.8动量、动量矩定理及其应用
流体动力学概述
流体动力学是研究流体在外力作用下的运
动规律即研究流体动力学物理量和运动学 物理量之间的关系的科学。 流体动力学主要研究内容就是要建立流体 运动的动量平衡定律、动量矩平衡定律和 能量守恒定律（热力学第一定律）。
5.1 理想流体的运动微分方程式
1、选取控制体：在所研究的运动流体中，任取一 微小平行六面体，如图5-1所示。六面体边长分别 为dx、dy、dz，平均密度为 ，顶点A 处的压强 为 p。 2、受力分析 质量力：fxdxdydz , fydxdydz , fzdxdydz 表面力：设A点压强为p时，则与其相邻的ABCD 、 ADEH、ABGH三个面上的压强均为p，而与这三个 面相对应的EFGH、 BCFG、 CDEF 面上的压强可 由泰勒级数展开略去二阶以上无穷小量而得到，分 p p p p dz p dx p dy 别为 z x y
p V p V z1 1 1 z 2 2 2 h w g 2 g g 2 g
2 2
式（5-1）的几何解释如图5-1所示，实际总水头线沿微元流 束下降，而静水头线则随流束的形状上升或下降。
图5-1 伯努利方程的几何解释
二、黏性流体总流的伯努利方程 流体的实际流动都是由无数微元流束所组成的有效截面为 有限值的总流流动，例如流体在管道中和渠道中的流动等。 微元流束的有效截面是微量，因而在同一截面上流体质点 的位置高度 z 、压强 p 和流速 V 都可认为是相同的。而 总流的同一有效截面上，流体质点的位置高度 z 、压强 p 和流速 V 是不同的。总流是由无数微元流束所组成的。 因此，由黏性流体微元流束的伯努利方程来推导总流的伯 努利方程，对总流有效截面进行积分时，将遇到一定的困 难，这就需要对实际流动作某些必要的限制。为了便于积 分，首先考虑在什么条件下总流有效截面上各点的 p z 常数？这只有在有效截面附近处有缓变流动时 g 才能符合这个要求。
流体力学 流体动力学基础
x xa,b, c,t
y ya,b, c,t
（3—1）
z za,b, c,t
式中a，b，c，t 统称为拉格朗日变量，不同的运动质点， 起始坐标不同。
用拉格朗日法分析流体运动，在数学上将会遇到困难。 除少数情况外（如研究波浪运动），在流体运动中多采用欧拉 法。
5
二、欧拉法 定义：
uy
u y y
uz
u y z
fz
p
z
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
（3—17）
上面二式即是理想流体运动的微分方程式，也叫做欧拉 运动微分方程式。
式中x，y，z，t为四个变量， , ux , u y,uz 为x，y，z，t的函
数，是未知量。 f x, f y , f z 也是x，y，z的函数，一般是已知的。
一、理想流体的伯努利方程
在稳定条件下
ux uy uz p 0 t t t t
将式（3—16）中各式分别乘以 dx, dy, dz 。相加得
(
fxdx
f ydy
fzdz)
1
( p x
dx
p y
dy
流经过流断面的体积流量Q除以过流断面面积A，即
Q Au ndA
A
A
（3—11）
即为断面平均速度。
五、一元流动、二元流动、与三元流动
定义：
运动要素是一个坐标的函数，称为一元流动。 运动要素是二个坐标的函数，称为二元流动。 运动要素是三个坐标的函数，称为三元流动。
16
§3-4 连续方程式
流体动力学基础
1.3 流体动力学基础 教案目录 电子课件【掌握内容】（1）基本概念：流量、流速、压头等（2）质量流量、体积流量之间关系（3）流态判断（4）连续性方程的表达式、物理意义及计算（5）伯努利方程的表达式、物理意义及计算（6）流体阻力的种类及产生的原因【理解内容】（1）管道截面上的速度分布（2）阻力计算（3）简单管路、串联管路、并联管路计算【了解内容】（1）伯努利方程的应用（2）动量方程1.3.1基本概念1.3.1.1流量与流速(1)流量：单位时间内流过管道任一截面的流体量，称为流量。
①体积流量：单位时间内流过管道任一截面的流体体积，以符号V 表示，单位为m 3/s ②质量流量：单位时间内流过管道任一截面的流体质量，以符号M 表示，单位为kg/s(2)流速：单位时间内流体的质点在流动方向上流过的距离称为流速.FV w = （m/s ） (3)质量流量与体积流量和平均流速间的关系。
wF V =（m 3/s ）ρρwF V M == （kg/s ）对于气体： 222111T V p T V p = 122112T T p p V V = （m 3/s ） 122111221122T T p p w T T p p F V F V w === （m/s ） [例题1-4] 某硅酸盐窑炉煅烧后产生的烟气量为10万m 3/h ，该处压强为负100Pa ，气温为800℃,经冷却后进入排风机，这时的风压为负1000Pa ，气温为200℃，求这时的排风量（不计漏风等影响）。
解： 1p =101325-100=101225Pa ， 2p =101325-1000=100325Pa1T =273+800=1073K 2T =273+200=473K1V =1.0×105m 3/h 2V =1073473100325101225100.15⨯⨯⨯ =4.44×104 (m 3/h)硅酸盐窑炉系统中，可近似认为1p =2p =0p （大气压），1211212273273t t V T T V V ++== （m 3/s ） 1.3.1.2稳定流与非稳定流运动流体全部质点所占的空间称为流场。
工程流体力学(水力学)闻德第五章_实际流体动力学基础课后答案.
工程流体力学闻德课后习题答案 第五章 实际流体动力学基础5—1设在流场中的速度分布为u x =2ax ，u y =-2ay ，a 为实数，且a >0。
试求切应力τxy 、τyx 和附加压应力p ´x 、p ´y 以及压应力p x 、p y 。
解：0y x xy yx u u x y ττμ∂⎛⎫∂==+= ⎪∂∂⎝⎭24xxu p a xμμ∂'=-=-∂，24y y u p a y μμ∂'=-=∂， 4x x p p p p a μ'=+=-，4y y p p p p a μ'=+=+5－2 设例５－1中的下平板固定不动，上平板以速度v 沿x 轴方向作等速运动（如图所示），由于上平板运动而引起的这种流动，称柯埃梯（Couette ）流动。
试求在这种流动情况下，两平板间的速度分布。
（请将d 0d px=时的这一流动与在第一章中讨论流体粘性时的流动相比较）解：将坐标系ox 轴移至下平板，则边界条件为 y ＝０，0X u u ==；y h =，u v =。
由例５－1中的（11）式可得2d (1)2d h y p y yu v h x h h μ=-- （１） 当d 0d p x =时，y u v h=，速度ｕ为直线分布，这种特殊情况的流动称简单柯埃梯流动或简单剪切流动。
它只是由于平板运动，由于流体的粘滞性带动流体发生的流动。
当d 0d px≠时，即为一般的柯埃梯流动，它是由简单柯埃梯流动和泊萧叶流动叠加而成，速度分布为(1)u y y yp v h h h=-- （２） 式中2d ()2d h pp v xμ=- （３） 当p ＞０时，沿着流动方向压强减小，速度在整个断面上的分布均为正值；当p ＜０时，沿流动方向压强增加，则可能在静止壁面附近产生倒流，这主要发生p ＜－１的情况．5－3 设明渠二维均匀（层流）流动，如图所示。
若忽略空气阻力，试用纳维—斯托克斯方程和连续性方程，证明过流断面上的速度分布为2sin (2)2xg u zhz ，单宽流量3sin 3gh q。
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第五章实际流体动力学基础5—1设在流场中的速度分布为u x =2ax ，u y =-2ay ，a 为实数，且a >0。
试求切应力τxy 、τyx 和附加压应力p ′x 、p ′y 以及压应力p x 、p y 。
解：0y x xy yx u u x y ττμ∂⎛⎫∂==+=⎪∂∂⎝⎭24xx u p a xμμ∂'=-=-∂，24y y u p a y μμ∂'=-=∂， 4x x p p p p a μ'=+=-，4y y p p p p a μ'=+=+5－2设例５－1中的下平板固定不动，上平板以速度v 沿x 轴方向作等速运动（如图所示），由于上平板运动而引起的这种流动，称柯埃梯（Couette ）流动。
试求在这种流动情况下，两平板间的速度分布。
（请将d 0d px=时的这一流动与在第一章中讨论流体粘性时的流动相比较）解：将坐标系ox 轴移至下平板，则边界条件为 y ＝０，0X u u ==；y h =，u v =。
由例５－1中的（11）式可得2d (1)2d h y p y yu v h x h h μ=-- （１） 当d 0d p x =时，yu v h=，速度ｕ为直线分布，这种特殊情况的流动称简单柯埃梯流动或简单剪切流动。
它只是由于平板运动，由于流体的粘滞性带动流体发生的流动。
当d 0d px≠时，即为一般的柯埃梯流动，它是由简单柯埃梯流动和泊萧叶流动叠加而成，速度分布为(1)u y y yp v h h h=-- （２） 式中2d ()2d h pp v xμ=-（３） 当p ＞０时，沿着流动方向压强减小，速度在整个断面上的分布均为正值；当p ＜０时，沿流动方向压强增加，则可能在静止壁面附近产生倒流，这主要发生p ＜－１的情况．5－3设明渠二维均匀（层流）流动，如图所示。
若忽略空气阻力，试用纳维—斯托克斯方程和连续性方程，证明过流断面上的速度分布为2sin (2)2xg u zhz ，单宽流量3sin 3gh q。
解：（1）因是恒定二维流动，0y x z u u u ttt，u u x =，0yu ，0zu ，由纳维——斯托克斯方程和连续性方程可得2210x x u p f x z μρρ∂∂-+=∂∂，10z p f z ρ∂-=∂，0x u x∂=∂ sin xf g ，cos zf g 。
因是均匀流，压强分布与x 无关，0xp=∂∂，因此，纳维——斯托克斯方程可写成22sin 0x u g z μθρ∂+=∂，1cos 0pg zθρ∂--=∂ 因u x 只与z 方向有关，与x 无关，所以偏微分可改为全微分，则22d sin0d x u g z ，积分得1d sin d x u gz C z ρθμ-=+， 212sin 2x gu z C z C ρθμ=-++，当0z ，0x u ；h z =，d 0d x u z，得1sin gC h ，0C 2=，2sin sin 2x g g u z hz ρρθθμμ=-+，2sin (2)2x g u zh z （2）2d sin (2)d 2h h x g qu zzh z z333sin ()sin 233g h gh h。
5－4设有两艘靠得很近的小船，在河流中等速并列向前行驶，其平面位置，如图a 所示。
（1）试问两小船是越行越靠近，甚至相碰撞，还是越行越分离。
为什么？若可能要相碰撞，则应注意，并事先设法避免。
（2）设小船靠岸时，等速沿直线岸平行行驶，试问小船是越行越靠岸，还是越离岸，为什么？（3）设有一圆筒在水流中，其平面位置如图b 所示。
当圆筒按图中所示方向（即顺时针方向）作等角转速旋转，试问圆筒越流越靠近D 侧，还是C 侧，为什么？解：（1）取一通过两小船的过流断面，它与自由表面的交线上各点的22p u zgg应相等。
现两船间的流线较密，速度要增大些，压强要减小些，而两小船外侧的压强相对要大一些，致使将两小船推向靠近，越行越靠近，甚至可能要相碰撞。
事先应注意，并设法避免、预防。
（2）小船靠岸时，越行越靠近岸，理由基本上和上面（1）的相同。
（3）因水流具有粘性，圆筒旋转后使靠D 侧流速增大，压强减小，致使越流越靠近D 侧。
5-5设有压圆管流（湍流），如图所示，已知过流断面上的流速分布为71max (r yu u =，max u 为管轴处的最大流速。
试求断面平均流速v （以u max 表示）和动能修正系数α值。
解：设17n， 5－6 设用一附有水银压差计的文丘里管测定倾斜管内恒定水流的流量，如图所示。
已知d 1=0.10m ，d 2=0.05m ，压差计读数h ＝0.04ｍ，文丘里管流量系数μ=0.98，试求流量Q 。
解：由伯努利方程得22111222p v p v αα 数Q 与倾斜角无关．5－8 利用文丘里管的喉道负压抽吸基坑中的积水，如图所示。
已知d 1=50mm ，d 2=100mm ，h =2m ，能量损失略去不计，试求管道中的流量至少应为多大，才能抽出基坑中的积水。
解：对过流断面1－１、２－２写伯努利方程，得332m /s 0.0127m /s 12419Q >=，30.0127m /s 所以管道中流量至少应为。
5－9 密度为860kg/m 3的液体，通过一喉道直径d 1=250mm 的短渐扩管排入大气中，如图所示。
已知渐扩管排出口直径d 2=750mm ，当地大气压强为92kPa ，液体的汽化压强（绝对压强）为5kPa ，能量损失略去不计，试求管中流量达到多大时，将在喉道发生液体的汽化。
解：对过流断面1－1，2－2写伯努利方程管道中流量大于0.703m 3/s 时，将在喉道发生液体的汽化。
5－10 设一虹吸管布置，如图所示。
已知虹吸管直径d =150mm ，喷嘴出口直径d 2=50mm ，水池水面面积很大，能量损失略去不计。
试求通过虹吸管的流量Q 和管内A 、B 、C 、D 各点的压强值。
解：对过流断面1-1，2-2写伯努利方程，可得28.85m/s v =，223322ππ0.058.85m /s 0.0174m /s 44==⨯⨯=Q d v 由连续性方程得222A B C D 250()8.85()m/s 0.983m/s 150d v v v v v d =====⨯=对过流断面1-1、A -A 写伯努利方程，可得同上，可得20.48kN/m =-B p ，220.08kN/m =-C p ，238.72kN/m =D p5－11设有一实验装置，如图所示。
已知当闸阀关闭时，点A 处的压力表读数为27.44×104Pa （相对压强）；闸阀开启后，压力表读数为5.88×104Pa ；水管直径d =0.012m ，水箱水面面积很大，能量损失略去不计，试求通过圆管的流量Q 。
1122解：由题意得，水箱高度是ρAp g。
对过流断面1-1，2-2，写伯努利方程可得：5－12设有一管路，如图所示。
已知A 点处的管径d A =0.2m ，压强p A =70kPa ；B 点处的管径d B =0.4m ，压强p B =40kPa ，流速v B =1m/s ；A 、B 两点间的高程差△z =1m 。
试判别A 、B 两点间的水流方向，并求出其间的能量损失w AB h 。
解：220.41m/s 4m/s 0.2==⨯=B A B A d v v d （）（），22w 22ρρ++=+++A A B B A B AB P v p v z z h g g g g 3232w 3370104 4.010119.81029.89.81029.8⨯⨯+=+++⨯⨯⨯⨯AB h w 2.83m =AB h H 2O水流由A 点流向B 点。
5－13一消防水枪，从水平线向上倾角α=30°，水管直径d 1=150mm ，喷嘴直径d 2=75mm ，压力表M 读数为0.3×1.013×105Pa ，能量损失略去不计，且假定射流不裂碎分散。
试求射流喷出流速v 2和喷至最高点的高度H 及其在最高点的射流直径d 3。
（断面1-1，2-2间的高程差略去不计，如图所示。
）22M 212g p v v gρ-=，52420.07520.3 1.01310[1()]60.780.151000v ⨯⨯⨯-==，28.05m/s v = 由自由落体公式得5-14一铅垂立管，下端平顺地与两水平的平行圆盘间的通道相联，如图所示。
已知立管直径d =50mm ，圆盘的半径R =0.3m ，两圆盘之间的间隙δ=1.6mm ，立管中的平均流速v =3m/s ，A 点到下圆盘顶面的高度H =1m 。
试求A 、B 、C 、D 各点的压强值。
能量损失都略去不计，且假定各断面流速均匀分布。
解：由连续性方程得221.95m/s 3.90m/s ==⨯=C D v v ，B 0v =由伯努利方程得：0=D p ，222ρ-=-C D C D v v p p g g（）5-15水从铅垂立管下端射出，射流冲击一水平放置的圆盘，如图所示。
已知立管直径D =50mm ，圆盘半径R =150mm ，水流离开圆盘边缘的厚度δ=1mm ，试求流量Q 和水银压差计中的读数Δh 。
能量损失略去不计，且假定各断面流速分布均匀。
解：设立管出口流速为1v ，水流离开圆盘边缘的流速为2v ，根据连续性方程得2122π4D v R v πδ=，2211210.05 2.08880.150.001D v v v v R δ===⨯⨯ 由伯努利方程得221230002g 2g v v ++=++，2211(2.08)32g 2gv v +=，1 4.20m/s v =水银压差计反映盘面上的驻点压强p ，即222gv p g ρ=，Hg 1.5g h p g h g ρρρ∆=++∆Q d 2，闸阀 损失水头：221j1j1 1.410.5m 0.05m 229.8v h g ζ==⨯=⨯ 22j2j20.03m 2v h g ζ==，22f2f20.66m 2v h gζ==22j3j30.42m 2v h g ζ==，234j40.05m 2j v h gζ==校核：223w 03 3.18(0.050.620.030.660.420.05)m 2.35m 229.8-=+=++++++=⨯v H h g 总水头线和测压管水头线分别如图中实线和虚线所示。
5—17设水流在宽明渠中流过闸门（二维流动），如图所示。
已知H ＝2m ，h ＝0.8m ，若不计能量损失，试求单宽（b ＝1m ）流量q ，并绘出总水头线和测压管水头线。
解：由伯努利方程得221220.822v v gg（1） 由连续性方程得 12210.81v v （2）联立解（1）（2）式得2 1.2m 0.23m 29.8，2m 1.43m 229.8g水箱中的水通过一铅垂渐扩管满流向下泄去，如图所示。