高一数学二倍角公式应用
高一数学二倍角公式的应用
( 0 )
的最小正周期为
（Ⅰ）求 的值； 1 （Ⅱ）将函数 y f ( x ) 图像的横坐标缩短到原来的
纵坐标不变，得到函数 y g ( x ) 的图像，求函数
y g (x)
0, 16
2
在区间
上的最小值.
f (x )max =
[k p + p 8 ,kp + 5p 8 ](k Z)
2+ 2
f (x )min = 1
3 已知函数
f (x ) = 2a cos x ( 3 sin x + cos x ) + a (a > 0)
2
（1）若对任意x∈R都有 f (x ) < 4 成立， 求a的取值范围； p （2）若 f (- ) = 4 ，求关于x的不等式 6 f (x ) > 8 的解集.
(1) 当m=0时，求
f
x在
3 5
3 ， 8 上的取值范围； 4
(2) 当
ta n a 2
时，f a
，求m的值。
真题试炼
2.（2010山东文）已知函数
f ( x ) s in ( x ) c o s x c o s x
2
3.2.2二倍角在三角函数性质中的应用
例 1．已知
sin
5 13
, (
2
, ),
求 sin 2 , cos 2 , tan 2 的值。
（倍角公式的直接运用）
sin 2 120 169
cos
119 169
tan
120 119
例2、已知α为第二象限角，并且
高一数学二倍角公式讲解
在高中数学中同学们感到吃力的一部分是三角函数的学习，在这一部分有大量的公式需要同学们熟练记忆，并且在使用的时候不能够混淆。
为了方便同学们能够清楚掌握这部分内容，在考试中能够取得好成绩，下面小编给大家整理了高中书序中二倍角公式推导讲解。
正弦二倍角公式： sin2α = 2cosαsinα 推导：sin2A=sin(A+A)=sinAcosA+cosAsinA=2sinAcosA 拓展公式：sin2A=2sinAcosA=2tanAcosA^2=2tanA/[1+tanA^2] 1+sin2A=(sinA+cosA)^2余弦二倍角公式： 余弦二倍角公式有三组表示形式，三组形式等价： 1.Cos2a=Cosa^2-Sina^2=[1-tana^2]/[1+tana^2] 2.Cos2a=1-2Sina^2 3.Cos2a=2Cosa^2-1 推导：cos2A=cos(A+A)=cosAcosA-sinAsinA=cosA^2-sinA^2=2cosA^2-1 =1-2sinA^2正切二倍角公式： tan2α=2tanα/[1-tanα^2] 推导：tan2A=tan(A+A)=(tanA+tanA)/(1-tanAtanA)=2tanA/[1-tanA^2]降幂公式： cosA^2=[1+cos2A]/2 sinA^2=[1-cos2A]/2 tanA^2=[1-cos2A]/[1+cos2A] 变式： sin2α=sin^2(α+π/4)-cos^2(α+π/4)=2sin^2(a+π/4)-1=1-2cos^2(α+π/4); cos2α=2sin(α+π/4)cos(α+π/4)以上就是关于高中数学二倍角公式的分享，对于这些公式同学们要掌握他们的推到过程，认真对应三角图形，参考推导过程进行熟练记忆。
最后要强调同学们还是要进行适当的习题训练，加强公式记忆。
高一数学二倍角的正弦、余弦、正切公式
三、公式应用：
例1、（公式巩固性练习）求值
1、 sin 22。 30， cos22。 30，
2 2、 2 cos 1 8 2
2
2 4
2 3、 sin cos 8 8 2
2 2
试试看 伴你学134页8题
1 4、 8 sin cos cos cos 2 48 48 24 12
2 2 2 5 7 cos sin 4 2 4 2 2 原式 sin
cos
cos
sin
2
返回
五、归纳总结
1、二倍角公式是和角公式的特例，体现将 一般化归为特殊的基本数学思想方法。 2、二倍角公式与和角、差角公式一样，反 映的都是如何用单角的三角函数值表示 复角（和、差、倍）的三角函数值，结 合前面学习到的同角三角函数关系式和 诱导公式可以解决三角函数中有关的求 值、化简和证明问题。
cos2 cos sin (C2 )
2 2
2 tan tan 2 1 tan 2
cos2 1 2 sin 2 cos2 2 cos 1 1 cos 2 2 sin 2 2 2 cos sin 1
2
(T2 )
讲授新课
令
sin( ) sin cos sin cos sin( ) sin cos sin cos
sin 2 2 sin cos
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
13 169 5 2 119 2 cos 2 1 2 sin 1 2 ( ) 13 169 sin 2 120 169 120 tan 2 ( ) cos 2 169 119 119
二倍角公式高一还是高二内容
二倍角公式高一还是高二内容在学习高中数学的过程中，二倍角公式是一个重要的知识点。
它是基于三角函数的基础知识，并在高中数学的三角函数部分起到承前启后的作用。
那么，二倍角公式是在高一还是高二学习呢？答案是，二倍角公式在高一和高二数学课程中都有一定的涉及。
首先，我们来了解一下二倍角公式的定义和用途。
二倍角公式指的是，如果一个角的弧度数为θ，那么它的二倍角θ"的弧度数为2θ。
在数学和物理领域，二倍角公式被广泛应用于求解各种问题，如求解三角函数值、计算角度等。
在高一数学课程中，二倍角公式主要用于引入正弦、余弦、正切等三角函数的概念，并通过二倍角公式来求解相关问题。
例如，已知一个角的正弦值或余弦值，可以通过二倍角公式来求解另一个角的正弦值或余弦值。
进入高二阶段，二倍角公式的应用更加广泛。
在这个阶段，学生将学习更为复杂的三角函数问题，如和差化积、倍角公式等。
二倍角公式在这一部分起到了关键作用，它可以简化问题，帮助学生更快地求解问题。
同时，二倍角公式还为后续学习三角函数的性质和恒等式奠定基础。
那么，如何学习和掌握二倍角公式呢？首先，要熟练掌握三角函数的基础知识，如角度与弧度的转换、三角函数的定义等。
其次，要理解二倍角公式的推导过程，这样才能更好地应用它。
最后，通过大量的练习来提高解题能力。
以下是一些练习题及解答，供大家参考：1.题目：已知sinθ=0.6，求cos2θ。
解答：利用二倍角公式cos2θ=1-2sin^2θ，代入已知条件得cos2θ=1-2*(0.6)^2=0.52。
2.题目：已知cosθ=0.8，求sin2θ。
解答：利用二倍角公式sin2θ=2sinθcosθ，代入已知条件得sin2θ=2*sinθ*cosθ=2*(√(1-cos^2θ))*cosθ。
由于cos^2θ=0.8^2=0.64，所以sin2θ≈0.28。
通过以上解答，我们可以看出二倍角公式在求解三角函数问题中的实用性。
二倍角公式课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
°
=(
×
.
)
=
=
− . °
二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α = 2sinα cosα
S(2α)
cos2α = cos2α - sin2α
= 2cos2α - 1
= 1-2sin2α
C(2α)
2tanα
tan2α = ————
1 - tan2α
T(2α)
正弦：SCCS
符号同
(∓) : ( ∓ = ±
余弦：CCSS
符号异
(∓) :
∓
( ∓ ) =
1 ±
正切：
子同母异
探究1：你能利用S(α+β)， C(α+β)，T(α+β)推导出sin2α，cos2α，
2
1 tan 2 A B
11 117
1
2
.
课堂检测
教材P223练习1
4
1.已知cos =− ，8
8
5
解： ∵ 8 < <
< < 12，求sin ，cos ，tan 的值.
4
4
4
3
3
12 ，∴ < < ∴sin
，8 =− 5
S(2α)
cos2α = cos2α - sin2α
= 1-2 sin2α=2cos2α-1
C(2α)
2tanα
tan2α = ————
1 - tan2α
T(2α)
作业：教材P223 ：练习：3、4题
二倍角公式高一还是高二内容
二倍角公式高一还是高二内容摘要：一、二倍角公式简介1.二倍角公式的定义2.二倍角公式在高中数学中的重要性二、二倍角公式的推导1.余弦的二倍角公式2.正弦的二倍角公式3.切线的二倍角公式三、二倍角公式的应用1.解三角形中的二倍角问题2.求解二倍角函数的值3.二倍角公式在其他数学问题中的应用四、二倍角公式的记忆方法与技巧1.理解记忆法2.关联法3.练习巩固正文：【二倍角公式简介】二倍角公式，顾名思义，是关于角度的公式，主要用于计算两个角的两倍关系。
在高中数学中，二倍角公式是一个重要的知识点，无论是在三角函数的学习，还是在解三角形、平面几何等题目中都有着广泛的应用。
因此，掌握二倍角公式对于高中学生来说是非常有必要的。
【二倍角公式的推导】要理解并掌握二倍角公式，首先需要了解它的推导过程。
这里我们以余弦的二倍角公式为例进行说明：设两个角分别为α和β，那么α+β的余弦值可以表示为：cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ通过一些三角恒等式变换，我们可以将cos(α+β) 表示为：cos(α+β) = (cosαcosβ - sinαsinβ) / (cosα + cosβ)再进一步变换，我们可以得到：cos(α+β) = (cosα - sinα)(cosβ + sinβ) / (cosα + cosβ)这样，我们就得到了余弦的二倍角公式。
正弦的二倍角公式和切线的二倍角公式也可以通过类似的方法推导出来。
【二倍角公式的应用】掌握了二倍角公式后，我们就可以开始利用它来解决实际问题了。
这里我们列举几个典型的应用场景：1.解三角形中的二倍角问题：在解三角形问题时，我们常常需要计算某个角的二倍角，这时就可以利用二倍角公式来求解。
2.求解二倍角函数的值：在求解三角函数问题时，有时需要求解某个二倍角函数的值，这时也可以利用二倍角公式进行计算。
3.二倍角公式在其他数学问题中的应用：除了上述两种情况外，二倍角公式还可以应用于其他一些数学问题中，例如求解最值问题、证明恒等式等。
4.3 二倍角的三角函数公式
教师辅导讲义半角三角函数的公式(半角公式)sin α2＝± 1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tanα2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.在这些公式中，根号前面的符号由α2所在象限相应的三角函数值的符号确定，若α2所在象限无法确定，则应保留根号前面的正、负两个符号.【知识点讲解三：二倍角余弦公式的运用】在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛.常用形式： ①1＋cos 2α＝2cos 2 α；②cos 2 α＝1＋cos 2α2；③1－cos 2α＝2sin 2 α；④sin 2 α＝1－cos 2 α2. 【例题解析1】利用二倍角公式求值[例1] (1)求下列各式的值：①23－43sin 2 15°； ②cos π5cos 2π5.(2)已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值.【巩固练习1】1.(1)已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( )【本知识点小结2】【例题解析3】三角函数性质与恒等变换的综合应用[例3] 已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性.【巩固练习3】3.(1)函数y ＝32sin x ＋cos 2 x2的最小正周期为________. (2)函数y ＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π2的最大值是________，最小值是________.【本知识点小结3】 四、当堂检测限时（分钟） 用时（分钟）难度 分值 得分 得分率1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于任意的角α，都有sin 2α＝2sin α成立.( )(2)存在角α，使cos 2α＝2cos α成立.( ) (3)cos 3αsin 3α＝12sin 6α对任意的角α都成立.( )(4)cosα2＝1＋cos α2.( ) 2.若sin α＝13，则cos 2α＝( )A.89B.79C.－79D.－893.已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为( )A.2B.－2C.34D.－344.已知2π<θ<4π，且sin θ＝－35，cos θ<0，则tan θ2的值等于( )A.－3B.3C.－13D.135.若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725 B.15 C.－15D.－7256.若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，则sin 2α的值为( )A.－78B.78C.－47D.477.设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A.3α－β＝π2B.2α－β＝π2C.3α＋β＝π2D.2α＋β＝π28.(多选题)下列各式中，值为32的是( ) A.2sin 15°cos 15° B.cos 2 15°－sin 2 15° C.1－2sin 2 15°D.sin 2 15°＋cos 2 15°9.(多选题)设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则下列结论不正确的是( )A.a >b >cB.a <b <cC.a <c <bD.b <c <a10.已知|cos θ|＝35且5π2<θ<3π，则tan θ2的值为________.11.已知tan α＝2，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2 α＝________.12.函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最大值是________.13.若tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝12，则tan 2α＋1cos 2α＝________. 14.已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值； (2)求cos 2xcos⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin （π＋x ）的值.15.设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2 x －12.(1)当x ∈[0，π]时，求f (x )的单调递减区间； (2)当f ⎝⎛⎭⎫α－π8＝33时，求f (2α)的值.。
高中高一数学《二倍角的三角函数》教案设计
高中高一数学《二倍角的三角函数》教案设计一、教学目标1.知识与技能：掌握二倍角的正弦、余弦、正切函数公式，能够运用这些公式进行计算和化简。
2.过程与方法：通过探究、讨论、练习等方式，培养学生的数学思维能力，提高解题技巧。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的精神。
二、教学重点与难点1.教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切函数公式的推导与应用。
2.教学难点：二倍角公式的推导过程及运用过程中的符号变化。
三、教学过程1.导入新课（1）复习回顾：引导学生回顾初中阶段学习的正弦、余弦、正切函数的定义及性质。
（2）提出问题：如何利用已知的三角函数公式来推导二倍角的三角函数公式？2.探究新知（1）引导学生利用正弦、余弦、正切的定义，结合三角形的面积公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切函数公式。
（2）教师引导学生进行推导，并解释推导过程中的关键步骤。
3.应用练习（1）教师给出一些简单的二倍角问题，让学生运用新学的公式进行解答。
（2）学生互相交流，分享解题过程和心得。
（3）教师点评，指出学生解题过程中的优点和不足。
4.拓展延伸（1）引导学生探讨二倍角公式在解三角形、化简三角函数表达式等方面的应用。
（2）学生举例说明，教师点评。
（2）学生反馈学习过程中的疑问和收获。
6.作业布置（1）教材P页习题1、2、3。
（2）思考：如何利用二倍角公式化简三角函数表达式？四、教学反思1.本节课通过引导学生探究二倍角公式的推导过程，让学生体会到了数学的严谨性和美感，提高了学生的学习兴趣。
2.在应用练习环节，学生能够积极参与，互相交流，提高了解题技巧。
3.在拓展延伸环节，学生能够将二倍角公式应用于实际问题，培养了学生的数学思维能力。
4.教学过程中，部分学生对二倍角公式的符号变化掌握不够熟练，需要在课后加强练习。
5.教师在课堂上要关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，提高教学效果。
五、教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思维活跃度、合作交流情况等。
二倍角公式的灵活应用
二倍角公式
一、教学目标
1、知识与技能：
① 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。
② 运用上述公式进行简单的三角函数式求值、化简。
2、过程与方法：
① 理解二倍角公式引入的意义。
② 研究三角函数化简求值的方法。
3、情感态度与价值观：
鼓励学生大胆猜想，勇于实践的探索精神。
二、教学重点
二倍角公式的推导、C2的两种变形公式及应用。
（四）、问题变形
学生自主探究。
设计意图
遗忘的规律是先快后慢，过程的再现是深刻记忆的重要途径，在经历思考问题－观察发现－到一般化结论的探索过程，从特殊到一般，数形结合，学生对知识的理解与掌握以深入脑中，此时以类同问题的提出，大胆的放手让学生分组讨论，重现了探索的整个过程，加深了知识的深刻记忆，对学生无形中鼓舞了气势，增强了自信，加大了挑战.而新知识点的自主探讨，对教师驾驭课堂的能力也充满了极大的挑战.彼此相信，彼此信任，产生了师生的默契，师生共同进步.展示学生自主探究的结果给出本节课的课题 ：三角函数公式。设计意图
cos22cos21，cos212sin2.二、应用训练 ㈠、公式的正用：
已知cos34,1800,2700,求sin2、cos2的值.解：因为cos3,1800,2700,43132
所以，sin1cos2144,所以，sin22sincos21334439,82cos22cos21234来自5.8㈡公式的反用：求下列各式的值
sinsincoscossincoscoscossinsin
tantantan1tantan
要求：
掌握三个公式的形式与结构并熟记公式 新授：
一、二倍角的正弦、余弦以及正切公式的导出
在上述正弦、余弦以及正切的和角公式中
高一数学必修四课件第章二倍角的三角函数
简化计算
利用二倍角公式可以将一些复杂的三 角函数表达式化简为更简单的形式， 从而方便计算。
求解方程
证明恒等式
二倍角公式在证明一些三角函数恒等 式时非常有用，可以通过将等式两边 转化为相同的二倍角形式来证明等式 成立。
在解三角函数方程时，有时可以利用 二倍角公式将方程转化为更容易求解 的形式。
02 二倍角的正弦、 余弦、正切函数
方法一
利用正切的定义tanα=sinα/cosα，将tan2α表示为 sin2α/cos2α，再利用正弦、余弦的二倍角公式化简得到 tan2α=(2tanα)/(1-tan²α)。
方法二
利用正切的加法公式，将tan2α表示为(tanα+tanα)/(1tanαtanα)，化简得到tan2α=(2tanα)/(1-tan²α)。
04 二倍角公式的应 用举例
在三角函数求值中的应用
利用二倍角公式将非特殊角的三角函 数转化为特殊角的三角函数进行求值 。
结合其他三角函数公式，如和差化积 、积化和差等，进行复杂表达式的求 值。
通过二倍角公式将高次三角函数降次 ，简化计算过程。
在解三角形中的应用
利用二倍角公式求解 三角形中的角度和边 长问题。
余弦函数的二倍角公式
公式表述
$cos 2alpha = cos^2 alpha sin^2 alpha$
推导过程
利用三角函数的和差化积公式， 将$cos 2alpha$表示为$cos
alpha$和$sin alpha$的平方差 形式。
应用举例
求$cos 2x$的值，可以通过已知 的$cos x$和$sin x$值代入公式
余弦二倍角公式的推导
方法一
利用三角函数的和差化积公式，将 cos2α表示为两个cosα的和差，通 过化简得到cos2α=cos²α-sin²α。
高一数学二倍角的正余弦、正切2
4
2
sin
4
2
cos
３、应用公式化简三角函数式
1 1 例3．化简： 1- tan 1+ tan
1+ tan 1- tan 解：原式 (1- tan )(1+ tan ) (1- tan )(1+ tan ) 1+ tan -1+ tan 2 tan tan 2 2 (1- tan )(1+ tan ) 1- tan
（一） 二倍角公式
二倍角公式：
sin 2 2 sin cos S 2 cos 2 cos2 sin 2 C 2 2 tan tan 2 T2 2 1 tan
问题(1) 对于C 2 能否有其它表示形式？
cos 2 2 cos 1
2
cos 2 1 2 sin
4 3 练习．1、已知： cos , , 5 2 求： sin 2 , cos 2 , tan 2
1 练习．2、已知：tan 2 求：tan 2 , co t 2
练习．3、 求：2sin
2
1、应用公式求三角函数值
12
1 的值
- sin
sin b
tan 2 ？ cos2 ， sin 2 ， 能否通过上述公式利用单角表示：
cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin tan tan tan 1 tan tan
作业
１、（课外作业）Ｐ２６５练习A 2、3 Ｐ２６５习题A ２、复习本单元内容，写出总结提纲
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
3 ,α∈ ( ,π),求 sin2α，cos2α 的值. 5 2
【二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导】 问题 1 你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？试一试？ sin 2α＝sin(α＋α)＝ cos 2α＝cos(α＋α)＝ tan 2α＝tan(α＋α) ＝
0 0 0
＋ － ＝
0
＝ ＝ .
48
cos
48cos24cos
12
注意：二倍角公式不仅限于 2α 是 α 的二倍的形式，其他如 4α 是 是
的二倍，
a 的二倍， （ -α）是（ ）的二倍等， 6 2 a a a a a a 所有这些都可以应用二倍角公式.例如:sin =2sin cos ,cos =cos2 -sin2 等等. 2 4 4 3 6 6 5 例2 已知 sin2α= , <α< ,求 sin4α,cos4α,tan4α 的值. 13 4 2 a 的二倍，3α 是 4
2.(2007 年高考海南卷,9) 若
cos 2a sin(a
4
)
2 ,则 cosα+sinα 的值为 2
3.证明
1 sin 2 cos 2 =tanθ. 1 sin 2 cos 2
4. 在△ ABC 中,cosA=
4 ,tanB=2,求 tan(2A+2B)的值. 5
．
cos 2x＋4sin x=
．
1 函数 f(x)＝ 3sin xcos x＋cos2x－ 的最小正周期是________． 2 函数 f(x)＝cos 2x＋4sin x 的值域是________．
3
鸡西市第十九中学高一数学组
【倍角公式常用变形】 sin 2α (1) ＝ ， 2sin α (3)sin2α＝
6.2二倍角公式(第4课时)(课件)高一数学(沪教版2020必修第二册)
ta n 1 5
.
2
1 ta n 1 5
5
5 1
5 1
cos
sin
12
12 2
6
4
2
2
(2) cos 22.5 sin 22.5 cos 45
2
tan15
1
2 tan15
1
3
(3)
tan 30
2
2
1 tan 15 2 1 tan 15 2
=
24 4
−
7 3
24
4
1− ×(− )
7
3
3
=
4
− .
3
=
44
.
117
2×4
3
1−(4)2
=
24
.
7
2.在∆中， =
4
，
5
= 2，求(2 + 2)的值.
解法2：在∆中，由 =
= 1
− 2
所以 �� =
< < ，得
) 1
5
5
sin 2a
4
tan 2a
.
cos 2a
3
sin 2a 2 sin a cos a 2
３． 证明下列恒等式 ：
（1） （ sin a cos a ) 2 1 sin 2 a ;
(2)cos4 a sin4 a cos2a;
(3)sin3a 3sin a 4sin3 a.
则是小巧玲珑，温婉和融，往往显出简洁，奇峻之
美．三角函数的和(差)角的正弦、余弦、正切公式
中的角都是带有一般性的，一般性中又蕴含着特殊
高一数学二倍角公式的应用
高一数学二倍角公式的应用课题：二倍角公式的应用 教学目标：1. 要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明。
2. 增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力。
3. 培养学生解决实际问题的能力。
教学重点：灵活运用倍角公式及其变形。
教学过程： 一、 复习公式：例一、（板演或提问）化简下列各式： 1．=αα4cos 4sin42sin 2α2．=-40tan 140tan 280tan 21 3．2sin 2157.5︒ - 1 = 22315cos -=-4．=ππ125sin 12sin416sin 2112cos 12sin =π=ππ 5．cos20︒cos40︒cos80︒ =20sin 80cos 40cos 20cos 20sin20sin 80cos 40cos 40sin 21=8120sin 160sin 8120sin 80cos 80sin 41===例二、求证：[sin θ(1+sin θ)+cos θ(1+cos θ)]×[sin θ(1-sin θ)+cos θ(1-cos θ)] = sin2θ 证：左边 = (sin θ+sin 2θ+cos θ+cos 2θ)×(sin θ-sin 2θ+cos θ-cos 2θ) = (sin θ+ cos θ+1)×(sin θ+cos θ -1) = (sin θ+ cos θ)2 -1 = 2sin θcos θ= sin2θ = 右边∴原式得证二、 关于“升幂”“降次”的应用注意：在二倍角公式中，“升次”“降次”与角的变化是相对的。
在解题中应视题目的具体情况灵活掌握应用。
（以下四个例题可视情况酌情选用） 例三、求函数x x x y sin cos cos 2+=的值域。
解：21)42sin(222sin 2122cos 1+π+=++=x x x y ——降次 ∵1)42sin(1≤π+≤-x ∴]221,221[+-∈y 例四、求证：)6(sin )3cos(cos sin 22α-π-α+πα+α的值是与α无关的定值。
二倍角公式高一还是高二内容
二倍角公式高一还是高二内容
二倍角公式是高二数学内容。
二倍角公式是三角函数中的重要公式，它描述了某个角的两倍角
与该角本身的三角函数之间的关系。
在高一阶段，学生会学习到三角
函数的基本性质和基本关系，如正弦函数、余弦函数、正切函数等的
定义和性质。
而在高二阶段，学生会进一步探究三角函数的特殊角和
二倍角的性质。
在欧几里得几何中，二倍角公式被广泛应用于求解各种几何问题。
例如，通过二倍角公式可以推导出正弦定理、余弦定理和正切定理等
重要定理。
在解决几何问题中，二倍角公式可以将原问题转化为一个
更简单的问题，从而更容易求解。
另外，二倍角公式在三角函数的图像和性质研究中也扮演着重要
的角色。
通过二倍角公式，可以推导出正弦函数、余弦函数和正切函
数的周期性和对称性等特点。
这些性质对于进一步研究三角函数的图
像变化规律以及解决相关数学问题都具有重要的意义。
总之，二倍角公式是高中数学中的重要内容，它在几何问题的求解以及三角函数的性质研究中都具有重要的作用。
掌握和理解二倍角公式对于学生进一步深入学习数学和解决相关问题都有非常重要的意义。
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【知识点】由公式：ααααα2222
sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=，可得降幂（半
角）公式：2
2cos 1sin ;2
1
2cos cos 22
α
ααα-=
+=。
【注意等号两边的角度关系！】
【作业】1、已知5
3
2cos ,542sin
-==αα
，则角α所在的象限是（ C ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限
2. 2
(sin cos )1y x x =--是（ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数
3.如果21)4tan(,43)tan(=-=+πββα，那么)4
tan(π
α+的值等于（ ） A. 1110 B. 112 C. 5
2
D. 2
4、已知α为第三象限角，24sin 25=-
α，则tan 2
=α
（ ） 4A.
3
4B.3
-
3C.4
3D.4
-
5．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．无法判定
6、若θθθ2sin 21
cos ,31tan 2+=则=（ D ） A 、56- B 、54- C 、54 D 、5
6
7、若)8,6(-=a ，则与a 平行的单位向量是 。
8、已知α,β都是锐角,21)cos(,21sin =+=
βαα,则βcos 等于 ( ) A.2
1
B. 23
C. 231-
D. 213-
9、求值：（1
）0
tan 20tan 4020tan 40++=_____________。
（2）若=
-=x x x 44sin cos ,6
则π
2
1
10、一个等腰三角形的一个底角的余弦为2
3
，那么这个三角形顶角的余弦值是________
11、若παπα
128,214
cos <<=
，则8sin α= ，8
cos α
= 。
12、若2
cos 2sin 1
2sin 2tan 2)(2
x x x
x x f --=，则)12(πf =8
13、已知函数x x x y 2
2
cos 2)cos (sin ++=，（1）求函数的递减区间； （2）求函数的最值。
14、已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中(0,
)2
π
θ∈．
（1）求θsin 和θcos 的值；（2
）若sin()2
π
θϕϕ-=<<，求cos ϕ的值．
15
、已知向量5
2
8),2,(),cos ,sin 2()sin ,(cos =∈-==n m 和ππθθθθθ， 求：（1
（2）用角θ
+； （3）求)8
2
cos(π
θ+
的值。
解法一：)sin cos ,2sin (cos θ+θ+θ-θ=+n m
22)sin (cos )2sin (cos θ+θ++θ-θ=
+n m
)sin (cos 224θ-θ+=
)4cos(44π+θ+=
)4
cos(12π
+θ+=
528=，得25
7)4cos(=π+θ 又1)82(cos 2)4cos(2-π
+θ=π+
θ 所以25
16
)82(cos 2=π+θ
0)8
2cos(898285,2<π
+θ∴π<π+θ<π∴π<θ<π
54
)82cos(-=π+θ∴
解法二：n m n m n n m m n m n m
⋅++=+⋅+=+=+22)(222222
]cos sin )sin 2([cos 2)cos )sin 2(()sin cos (2222222θθ+θ-θ+θ+θ-+θ+θ=
)8
2(cos 8)]4cos(1[4)sin (cos 2242π+θ=π+
θ+=θ-θ+=
528=
+，得5
4
)82cos(=π+θ 0)82cos(898285,2<π+θ∴π<π+θ<π∴
π<θ<π 5
4)82cos(-=π+θ∴。
已知)2,2
3
(,43cos ),23,(,32sin ππββππαα∈=∈-=,则=-)cos(αβ125372-
（2010天津理数）（17）（本小题满分12分）
已知函数2
()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值； （Ⅱ）若006(),,542f x x ππ⎡⎤
=
∈⎢⎥⎣⎦
，求0cos 2x 的值。
【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数sin()y A x ωϕ=+的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。
（1）解：由2
()cos 2cos 1f x x x x =+-，得
2()cos )(2cos 1)2cos 22sin(2)6
f x x x x x x x π
=+-=+=+
所以函数()f x 的最小正周期为π
因为()2sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
在区间0,
6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，在区间,62ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为减函数，又 (0)1,2,
162f f f ππ⎛⎫
⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，所以函数()f x 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为2，最小值为-1
（Ⅱ）解：由（1）可知00()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
又因为06()5f x =
，所以03sin 265x π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
由0,42x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦，得0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
从而04cos 265x π⎛
⎫
+==- ⎪⎝
⎭ 所以
00003cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 66666610x x x x ππππππ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+-=+++=
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
13、已知1212cos(),cos()1313αβαβ-=-
+=，且(,)2παβπ-∈，3(,2)2
π
αβπ+∈， （1）求cos2α的值 （2）求sin 2β的值
13．(2008珠海一模文、理)向量、3=5=7=-，则、的夹角为__︒120___．
5、(2008惠州一模文)若平面向量b 与向量a =（1，－2）的夹角是180°，且|b |=则b =（ B ） A ．（－1，2） B ．（－3，6） C ．（3，－6） D ．（－3，6）或（3，－6）
1. 平面向量),,2(),,2(),4,,3(y c x b a ==-=已知∥，⊥，求及与夹角。
解：),,2(),4,3(x =-=∥x 423-=⇔
38-=∴x ，2
3
),2(=⇔⊥=y y 0),2
3
,2(),38,2(=⋅=-=∴ 90,>=∴<。