2-2.1导数及其应用1.1-1.4(家教版)
(word完整版)高中数学导数及其应用(2021年整理)
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高中数学导数及其应用一、知识网络二、高考考点1、导数定义的认知与应用；2、求导公式与运算法则的运用;3、导数的几何意义；4、导数在研究函数单调性上的应用；5、导数在寻求函数的极值或最值的应用；6、导数在解决实际问题中的应用.三、知识要点（一）导数1、导数的概念（1）导数的定义(Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x(△x可正可负）,则函数y相应地有增量 ,这两个增量的比，叫做函数在点到这间的平均变化率。
如果时，有极限,则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率),记作，即。
（Ⅱ）如果函数在开区间（ )内每一点都可导，则说在开区间（）内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数,我们把这个新函数叫做在开区间（）内的导函数（简称导数），记作或，即。
认知：(Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。
(Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲：①求函数的增量；②求平均变化率 ;③求极限上述三部曲可简记为一差、二比、三极限.(2）导数的几何意义:函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。
函数的可导与连续既有联系又有区别:（Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续；若函数在开区间(）内可导,则在开区间(）内连续(可导一定连续）。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 导数的概念(第2课时)教案 新人教A版选修2-2(20
江苏省铜山县高中数学第一章导数及其应用1.1.2 导数的概念（第2课时）教案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省铜山县高中数学第一章导数及其应用1.1.2 导数的概念（第2课时）教案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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导数的概念(第2课时)一、教学目标:1．了解导数的概念．2．掌握用导数的定义求导数的一般方法．3．在了解导数与几何意义的基础上，加深对导数概念的理解．二、教学重点:求导数的方法及其几何意义;教学难点：导数概念的理解． 三、教学用具:投影仪或多媒体四、教学过程：1．导数的定义考虑函数)(x f y =,如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，比值x y ∆∆叫做函数)(x f y =在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率，即xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00． 如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f 在0x 处的导数，记作)(0x f '或0x x y ='．即.)()(lim lim )(00000xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆ 请学生先看书，自学导数定义，教师边复述边板书．说明：（1)函数)(x f 在点0x 处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限．如果xy ∆∆不存在极限，就说函数在点0x 处不可导，或说无导数．(2）x ∆是自变量x 在0x 处的改变量，0≠∆x ，而y ∆是函数值的改变量，可以是零． 由导数的定义可知，求函数)(x f y =在0x 处的导数的步骤（可由学生来归纳）:（1）求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；（2）求平均变化率x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00; （3）取极限，得导数x y x f x ∆∆='→∆00lim )(． 例1 求2x y =在1=x 处的导数．解：见教科书第113页～114页．例2 求函数24x y =的导数． 解：2222)()2(44)(4x x x x x x x x x y ∆+∆+∆=-∆+=∆ 32200228)(24lim lim )(24x x x x x x x y x x x x x x y x x -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+∆+⋅-=∆∆∴∆+∆+⋅-=∆∆→∆→∆ ∴.83xy -=' 引导学生分析这两例的异同,弄清“函数)(x f 在点0x 处的导数”、“导函数"、“导数”它们之间的区别和联系，学生思考后，教师归纳以下几点：(1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变数．（2）如果函数)(x f 在开区间),(b a 内每一点处都可导，就说)(x f 在开区间),(b a 内可导．这时对于开区间),(b a 内每一个确定的值0x 都对应着一个确定的导数)(0x f '，这样就在开区间),(b a 内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做)(x f 的导函数,记作)(x f '或y '．即.)()(lim lim )(00xx f x x f x y y x f x x ∆-∆+=∆∆='='→∆→∆ （3）函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f '就是导函数)(x f '在0x x =处的函数值.)()(00x x x f x f ='='（4）求函数在一点处的导数,一般是先求出函数的导数，再计算这点的导数值． 练习：已知x y =，求y '．解见教科书第114页例2．点评时应强调,求xx x x x y ∆-∆+=∆∆的极限，要作如下变形（分子有理化）：x x x x x x x +∆+=∆-∆+1 2．导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率，也就是说,曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率是)(0x f '．相应地，切线方程为))((000x x x f y y -'=-例3 已知曲线331x y =上一点⎪⎭⎫ ⎝⎛38,2P ．求：（1)点P 处的切线的斜率;（2)点P 处的切线方程．解见教科书第114页~115页．例4 已知曲线512++=x x y 上一点⎪⎭⎫ ⎝⎛219,2P ，求点P 处的切线方程． 解见教科书第115页．由以上两例,归纳出求切线方程的两个步骤：（1）先求出函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f '．（2）根据直线方程的点斜式，得切线方程为))((000x x x f y y -'=-．3．课堂练习（1）求曲线42+=x y 在点M （1，3）处的切线方程．（2）求曲线xy 9=在点M （3，3）处的切线的斜率及倾斜角． 答:(1)012=+-y x ；（2）1-=k ，倾斜角＝135°．4．课堂小结（1）导数的定义．（2)求导数的一般步骤．（3）“函数的某一点的导数"、“导函数”、“导数”的区别和联系．（4）导数的几何意义．五、布置作业：1．求曲线x x y 42+-=在点A (4，0）和B （2,4）处的切线的斜率及切线的方程．2．求曲线x x y 23+-=在点(－1，－1）处的切线的倾斜角．答：1．4,0:.0164,4===-+-=y k B y x k ；2．.43πα=思考题：若在点))(,(00x f x 处切线PT 的倾斜角为2πα=，求切线的方程．解：因为这时切线平行于y 轴，而导数不存在，不能用上面方法求切线方程，根据切线定义可直接得切线方程0x x =．。
高中数学第一章导数及其应用1.1.2导数的概念教案(可编辑修改word版)
§1.1.2导数的概念教学目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2.理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3.会求函数在某点的导数。
教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．（一）、情景引入，激发兴趣【教师引入】：“生活中有一些现象值得我们去研究，比如，子弹离开枪管那一瞬间的速度，奥运会上百米赛跑运动员冲向终点那一时刻的速度。
科学上对瞬时速度的研究也是非常有必要的，比如在天宫一号与神州八号的成功对接，最关键的就是它们每个瞬间的速度都相等。
(二)、探究新知，揭示概念求平均速度 ht求时间增量t求位移增量h求瞬时速度v = limh t →0t求割线的斜率 yx增量x增量y函数在点x 处的变化率limyx→0x= lim f (x+x) -f (x),并对x→0 x猜想的合理性进行分析后，引出定义 1：（函数在一点处可导及其导数）③剖析概念加深理解【探讨 1】怎样判断函数在一点是否可导？判断函数y =f (x) 在点x0处是否可导转化判断极限lim f (x+x) -f (x)是否存在x→0 x【探讨 2】导数是什么？y limx→0 x学生动手解答，老师强调符号语言的规范使用，对诸如(x)2忘写括号的现象加以纠正.练习：1．已知y=x3－2x+1，求y′，y′|x=2.2.设函数f(x)在x0处可导，则limx→0f (x0 +x) -f (x-x)等于xA. f′(x0)B.0C.2 f′(x0)D.－2 f′(x0)3.已知一个物体运动的位移 S（m）与时间 t（s）满足关系S（t）＝-2t2+5t（1）求物体第 5 秒和第 6 秒的瞬时速度；（2）求物体在 t 时刻的瞬时速度；（3）求物体 t 时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动？。
最新人教版选修2-2高中数学第1章导数及其应用1.4公开课课件
2． 炼油厂某分厂将原油精炼为汽油， 需对原油进行冷却和 1 3 2 加热，如果第 x 小时，原油温度(单位：℃)为 f(x)＝3x －x ＋ 8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( A．8 20 B． 3 )
C．－8 D．－1 • 解析： 原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－ 1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值 －1. • 答案： D
•1．4 生活中的优化问题举例
• 1．通过实例体会导数在解决实际问题中的应用． • 2．能够利用导数解决简单的实际生活中的优化问题． • 3．提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归转化的 思想意识．
• 下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格 如下表所示，则对消费者而言，选择哪一种更合算呢？
解决优化问题的基本思路
• 解决优化问题的一般步骤： • (1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清问题和结论，找 出问题的主要关系． • (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建 立相应的数学模型，主要是函数模型：引入恰当的变量，把待 求最值的对象表示为该变量的函数．
• (3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方 法求解．此处主要是利用导数求函数最值． • (4)结合实际问题的实际意义，对结果进行验证评估，定性 定量分析，作出正确的判断，并确定其答案．
解析： 设长方体的宽为 x m，长为 2x m，
18－12x 3 则高为 h＝ 4 ＝4.5－3x0<x<2.
故长方体的体积为 V(x)＝2x (4.5－3x)＝9x －6x 从而 V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．
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高中数学选修2-2人教版课件第一章1.1-1.1.3导数的几何意义
2．已知曲线 y＝f(x)＝2x2 上一点 A(2，8)，则点 A 处 的切线斜率为( )
A．4 B．16 C．8 D．2
解析：f′(2)＝
f（2＋Δx）－f（2） Δx
＝
2（2＋Δx）2－8 Δx
＝ (8＋2Δx)＝8，即 k＝8. 答案：C
3．已知曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 2x －y＋2＝0，则 f′(1)＝( )
A．4 B．－4 C．－2 D．2 解析：由导数的几何意义知 f′(1)＝2.
答案：D
4．已知函数 f(x)在 x0 处的导数为 f′(x0)＝1，则函数 f(x)在 x0 处切线的倾斜角为________．
解析：设切线的倾斜角为 α，则 tan α＝f′(x0)＝1，
π 又 α∈[0，π)，所以α＝4.
π 答案： 4
5．设曲线 y＝ax2 在点(1，a)处的切线与直线 2x－y －6＝0 平行，则 a 等于__________．
解析：因为 y′|x＝1＝
a（1＋Δx）2－a·12 ＝
Δx
2aΔx＋a（Δx）2 ＝
Δx
(2a＋aΔx)＝2a，
所以 2a＝2，所以 a＝1.
答案：1
类型 1 求曲线上某点处的切线方程(自主研析) [典例❶] 已知曲线 y＝f(x)＝2x2 上一点 A(1，2)，求： (1)点 A 处的切线的斜率； (2)点 A 处的切线方程．
(2)导数的几何意义． 函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k，即 k＝lim f（x0＋ΔΔx）x－f（x0）＝f′(x0)． 温馨提示 若函数在某点不存在导数，不能认为函数
的图象在该点没有切线，切线可能垂直于 x 轴．
高中数学第1章导数及其应用1.2导数的运算1.2.1常见函数的导数讲义含解析苏教选修2_2
常有函数的导数几个常有函数的导数已知函数(1) f ( x ) ＝ c ， (2) f ( x ) ＝ x ， (3) f ( x ) ＝ x 2，1(4) f ( x ) ＝ x ， (5) f ( x ) ＝ x.问题 1：函数 f ( x ) ＝ x 的导数是什么？提示：∵y ＝f(x ＋ x) － f(x) ＝x ＋ x －x ＝ 1，xxx∴当x → 0 时，y→ 1，即 x ′＝ 1.x1 问题 2：函数 f ( x ) ＝ 的导数是什么？x11y f(x ＋ x) － f(x) x ＋ x －x提示：∵x ＝x＝xx － (x ＋ x) 1 x ， ＝ x(x ＋ x) x ＝－ x2＋x ·∴当 x → 0 时，y111x →－ x2，即 x ′＝－ x2.1． ( kx ＋ b ) ′＝ k ( k ， b 为常数 ) ； 2．C ′＝ 0( C 为常数 ) ； 3． ( x ) ′＝ 1； 4． ( x 2) ′＝ 2x ；5． ( x3) ′＝ 3x2；116.x′＝－x2；17． ( x) ′＝.2 x基本初等函数的导数公式1． ( xα ) ′＝αxα－1( α为常数 ) ；2． ( a x ) ′＝a x ln_ a( a>0，且a≠ 1) ；1 13． (log a x) ′＝x log a e＝x ln a ( a>0，且a≠ 1) ；x x4． (e ) ′＝ e ；15． (ln x)′＝x；6． (sin x)′＝cos_ x；7． (cos x)′＝－sin_ x.函数 f ( x)＝log a x 的导数公式为 f ′( x)＝(log a x)′＝1，当 a＝e时，上述公式就x ln a变形为 (ln1 ax)′＝x，即 f ( x)＝ln x 是函数 f ( x)＝log x 当 a＝e时的特别状况．近似地，还有 f ( x)＝ a x与 f ( x)＝e x.[ 对应学生用书 P7]求函数的导数[ 例 1]求以下函数的导数．(1)y＝x8；1(2)y＝x3；(3)y＝x x；(4)y＝log2x.[ 思路点拨 ] 解答此题可先将分析式化为基本初等函数，再利用公式求导．[ 精解详析 ] (1) y′＝ ( x8) ′＝ 8x7；1′＝ ( x－3) ′＝－ 3·x－4＝－ 3 ；(2) y′＝x3 x43 3 1 3 x(3)y′＝( x x)′＝( x2)′＝2· x2＝2；1(4) y′＝ (log 2x) ′＝x·ln 2 .[ 一点通 ]用导数公式求导，能够简化运算过程、降低运算难度．解题时应依据所给函数的特点，合适地选择求导公式，有时需将题中函数的构造进行调整，如根式、分式转变为指数式，利用幂函数的求导公式求导．1．函数y＝ sinπ －x的导数是________．2π分析： y＝sin 2 －x＝cos x，因此y′＝－sin x.答案：－ sin x2．以下结论中不正确的选项是________．①若 y＝3，则 y′＝0；② sin π ′＝ cos π；3 3③ 1 1；－′＝x2xx④若 y ＝ x ，则 y ′＝ 1.分析：①正确； ② sinπ 3 3 1 1＝，而 () ′＝ 0，不正确；关于③， －x′＝ ( － x － ) ′32221 31＝－ ＝2x，正确；④正确．2x2 x答案：②3．求以下函数的导函数．x1(1) y ＝10 ； (2) y ＝log 2x ；4x x 2(3) y ＝ x3； (4) y ＝ sin2＋cos 2 － 1.解： (1) y ′＝ (10 x ) ′＝ 10x ln 10 ；(2)y1 ) 1 1′＝ (log ′＝＝－；2x xln1 xln 2243(3) ∵ y ＝ x3＝ x 4，3 3 1 3∴ y ′＝ ( x 4) ′＝ 4x － 4＝ ；4 4xxx 2(4) ∵ y ＝ (sin 2＋ cos 2) － 1＝ sin2x＋2sin xcos x ＋ cos 2x － 1＝ sin x ，2 2 2 2∴ y ′＝ (sin x ) ′＝ cos x .求函数在某一点处的导数1[ 例 2]求函数f(x)＝在x＝1处的导数．6x5[ 思路点拨 ]先求导函数，再求导数值．[ 精解详析 ]∵f(x)＝1＝x－5，6 6x55511∴ f ′( x)＝x－6′＝－6 x－6，5∴f ′(1)＝－6.[ 一点通 ]求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，而后求导，最后将变量的值代入导函数即可求解．34．若函数 f ( x)＝x，则f′ (1) ＝ ________.311 2分析：∵ f ′( x)＝(x) ′＝ ( x3) ′＝3x－3，1∴ f ′(1)＝3.1答案：35．若函数 f ( x)＝sin x，则 f ′(6π)＝________.分析：∵ f ′( x)＝(sin x)′＝cos x.∴f ′(6π)＝cos 6π＝1.答案： 11 16．已知f ( x) ＝且 f ′(1)＝－2，求 n.nx1 1 11 1 n＋ 1 解： f ′( x)＝n ′＝ ( x－n) ′＝－n x－n－1＝－n x－n ，x1∴ f ′(1)＝－n，由f1 1 1＝2.′(1) ＝－得－＝－，得2 n 2 n求切线方程[ 例 3]已知曲线方程y＝ x2，求：(1)曲线在点 A(1,1)处的切线方程；(2)过点 B(3,5)且与曲线相切的直线方程．[ 思路点拨 ] (1) 点 A 在曲线上，故直接求导数，再求直线方程；(2) B点不在曲线上，故解答此题需先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出斜率，从而求出切点坐标，获得切线的方程．[ 精解详析 ] (1) y′＝2x，当 x＝1时，y′＝2，故过点 A(1,1) 的切线方程为 y－1＝2( x －1) ，即 2x－y－ 1＝ 0.(2)∵ B(3,5)不在曲线 y＝x2上，∴可设过 B(3,5)与曲线 y＝ x2相切的直线与曲线的切点为( x0，y0) ．∵ y′＝2x，∴当 x＝ x0时， y′＝2x0.故切线方程为y－ x20＝2x0( x－ x0)．又∵直线过B(3,5)点，∴5－x20＝ 2x0(3 －x0) ．即 x02－6x＋5＝0.解得 x0＝1或 x0＝5.故切线方程为2x－y－ 1＝0 或 10x－y－ 25＝0.[一点通 ](1)求切线方程是导数的应用之一，有两种状况：①求曲线在点 P处的切线方程， P 为切点，在曲线上；②求过点 P 与曲线相切的直线方程， P 不必定为切点，不必定在曲线上．(2)求曲线上某点 ( x0，y0) 处的切线方程的步骤：①求出 f ′( x0)，即切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简切线方程．(3)求过点 P 与曲线相切的直线方程的步骤：①设出切点坐标为 ( x0，y0) ；②写出切线方程 y－ y0＝ f ′( x0)( x－ x0)；③代入点 P 的坐标，求出方程．7．已知直线y＝x＋a与曲线y＝ ln x 相切，则 a 的值为________．分析：设切点为 ( 0， 0)，∵1 1＝ 1，∴0＝1，∴点P的坐标为 (1,0) ，′＝，由题意得P x yy x x0 x把点 P 的坐标代入直线y＝ x＋ a，得 a＝－1.答案：－ 18．求曲线y＝2x2－1的斜率为4的切线的方程．解：设切点为P( x0， y0)， y′＝4x，由题意知，当x＝ x0时， y′＝4x0＝4，因此 x0＝1.当 x0＝1时，y0＝1，∴切点 P 的坐标为(1,1)．故所求切线的方程为y－1＝4( x－1)，即4x－ y－3＝0.1．对公式y＝ x n的理解：(1)y＝x n中， x 为自变量， n 为常数；(2)它的导数等于指数 n 与自变量的( n－1)次幂的乘积．公式中 n∈Q，对 n∈R也建立．2．在应用正、余弦函数及指数、对数函数的求导公式时应注意的问题：(1) 关于公式 (sin x)′＝cos x，(cos x)′＝－sin x，一要注意函数的变化，二要注意符号的变化．(2) 关于公式 (lnx 1 x x很好记，但关于公式 (log a1ax ) ′) ′＝和 (e ) ′＝ e ) ′＝ log a e 和(x x x＝a x ln a 的记忆就较难，特别是两个常数log a e 与 ln a 很简单混杂．[ 对应课时追踪训练( 三 )]一、填空题1．已知f ( x) ＝xα，若f′ ( － 1) ＝－ 4，则α的值是 ________．分析：∵ f ( x)＝xα，∴ f ′( x)＝α xα －1，∴f ′(－1)＝α(－1)α－1＝－4.∴α＝4.答案： 42．过曲线y＝1上一点 P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为 ________．x1分析：设 P( x0， y0)，则 f ′( x0)＝－x20＝－4.1 1 1因此 x0＝±2，因此P 2，2 或 P －2，－ 2 .1 1答案：2，2 或－2，－ 23．已知f ( x) ＝x2，g( x) ＝x3，则合适方程 f ′( x)＋1＝g′( x)的 x 值为________．分析：由导数公式可知 f ′( x)＝2x， g′( x)＝3x2.因此 2x＋ 1＝ 3x2，即 3x2－ 2x－ 1＝ 0.1解之得 x＝1或 x＝－3.1答案：1或－34．设函数 f ( x)＝log a x， f ′(1)＝－1，则 a＝________.1 1分析：∵ f ′( x)＝x ln a ，∴ f ′(1)＝ln a＝－1.1∴ln a＝－ 1，即a＝ .e1答案：e5．已知直线y＝ kx 是曲线 y＝ln x 的切线，则k 的值等于________．1分析：∵ y′＝(ln x)′＝x，设切点坐标为( x0，y0) ，1则切线方程为y－ y0＝x0( x－x0)．1即 y＝x＋ln x0－1.由ln x0－1＝0，知 x0＝e.x01∴k＝e.1答案：e二、解答题6．求以下函数的导数．(1)y＝lg 2；(2)y＝2x；x2(3)y＝；x2x(4) y＝2cos 2－ 1.解： (1) y′＝ (lg 2)′＝0；(2) y′＝ (2 x ) ′＝ 2x ln 2 ；3 3 1 (3)y′＝( x2)′＝2x2；(4) ∵＝ 2cos 2x－1＝ cos ，∴′＝ (cosx) ′＝－ sinx.y 2 x y7．已知点P( － 1,1) ，点Q(2,4) 是曲线 y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线 y＝x2的切线方程．解：∵ y′＝( x2)′＝2x，设切点为 M( x0， y0)，则当 x＝ x0时， y′＝2x0.4－ 1又∵ PQ的斜率为 k＝2＋1＝1，而切线平行于PQ，∴ k＝2x0＝1，11 1即 x0＝2，因此切点为 M 2，4，1 1∴所求的切线方程为 y－4＝ x－2，即4x－4y－1＝0.1 28．求曲线y＝x和 y＝ x 在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．高中数学第1章导数及其应用1.2导数的运算1.2.1常有函数的导数讲义含分析苏教选修2_2 11 / 11 1解：由 y ＝ x ， 解得交点为 (1,1) ．y ＝ x21 1∵ y ′＝ x ′＝－ x2，1∴曲线 y ＝ x 在 (1,1) 处的切线方程为y － 1＝－ x ＋ 1，即 y ＝－ x ＋ 2.又 y ′＝ ( x 2) ′＝ 2x ，∴曲线 y ＝ x 2 在 (1,1) 处的切线方程为y － 1＝2( x － 1) ，即 y ＝ 2x － 1.y ＝－ x ＋ 2 与 y ＝ 2x － 1 和 x 轴的交点分别为(2,0) ， 12，0 .1 1 3∴所求面积 S ＝ 2× 1× 2－ ＝ 4.2 11。
2020学年高中数学第1章导数及其应用1.2导数的运算1.2.1常见函数的导数课件苏教版选修2_2
(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 ①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数． ②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率 公式进行求解． (2)求过点 P 与曲线相切的直线方程的三个步骤
4.已知曲线 y＝ln x 的一条切线方程为 x－y＋c＝0， 求 c 的值．
(cos x)′＝－sin x，因记不住公式出错较多．
1．下列函数中，导函数是奇函数的是( )
A．y＝sin x
B．y＝ex
C．y＝ln x
D．y＝cos x
解析：选 D．y＝cos x，y′＝－sin x 为奇函数，故选 D．
2．曲线 y＝cos x 在点 Pπ3，12处的切线与 y 轴交点的纵坐标是
在本例(2)中是否存在与直线 PQ 垂直的切线，若有，求出切线方
程，若没有，说明理由． 解：假设存在与直线 PQ 垂直的切线， 因为 PQ 的斜率为 k＝42－＋11＝1， 所以与 PQ 垂直的切线斜率 k＝－1， 设切点为(x′0，y′0)，则 y′|x＝x′0＝2x′0， 令 2x′0＝－1，则 x′0＝－12，y′0＝14， 切线方程为 y－14＝－x＋12，即 4x＋4y＋1＝0.
(2)(ex)′＝ex 是(ax)′＝axln a(a＞0 且 a≠1)当 a＝e 时的特例．( √ )
(3)(ln x)′＝1x是(logax)′＝xln1 a(a＞0 且 a≠1)的特例． ( √ )
Байду номын сангаас
(4)sin
π3′＝cos
π3＝12.(
×)
2．已知 f(x)＝ x，则 f′(4)＝( A．－14 C．－2
4．已知 f(x)＝1x，则 ff′15＝________． 解析：因为 f(x)＝1x，所以 f′(x)＝－x12， 所以 f′15＝－25，所以 ff′15＝－215. 答案：－215
高中数学 第1章 导数及其应用 1.4 导数在实际生活中的应用学案 苏教版选修2-2(2021年整
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1.4 导数在实际生活中的应用1．能应用导数解决实际问题．（重点）2．审清题意,正确建立函数关系式．（难点)3．忽视变量的实际意义，忽略函数定义域．(易错点)[基础·初探]教材整理导数在生活中的应用阅读教材P35～P38“练习”以上部分,完成下列问题．1．导数的实际应用导数在实际生活中有着广泛的应用，如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决．2．用导数解决实际生活问题的基本思路1．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时,它的高为____m。
【解析】设底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256，所以h＝错误!。
所用材料的面积设为S m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·错误!＋x2＝错误!＋x2。
S′＝2x－错误!，令S′＝0,得x ＝8，因此h＝错误!＝4(m)．【答案】42．某一件商品的成本为30元,在某段时间内,若以每件x元出售，可卖出(200－x)件,当每件商品的定价为______元时，利润最大．【解析】利润为S(x)＝(x－30）（200－x）＝－x2＋230x－6 000,S′（x）＝－2x＋230，由S′（x)＝0，得x＝115，这时利润达到最大．【答案】115［质疑·手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们"探讨交流:疑问1：_______________________________________________解惑:_______________________________________________疑问2：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问3：_______________________________________________解惑:_______________________________________________［小组合作型］面积、体积的最值问题的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x（cm）．图1 4.1（1）某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2）某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．【精彩点拨】弄清题意，根据“侧面积＝4×底面边长×高”和“体积＝底面边长的平方×高”这两个等量关系，用x将等量关系中的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值．【自主解答】设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm。
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选修2-2 第一章 导数及其应用（教案）1.1-1.4§1.1.1变化率问题=∆∆x f 1212)()(x x x f x f -- 例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
解：2020)(x x x y -∆+=∆，所以x x x x x y ∆-∆+=∆∆220)(x x xx x x x x ∆+=∆-∆+∆+=020202022所以2x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02 §1.1.2导数的概念0000()()limlim x x f x x f x fxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 例1．（1）求函数y =3x 2在x =1处的导数.分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2再求6f x x∆=+∆∆再求0lim 6x f x∆→∆=∆ 解：法一 定义法（略） 法二：222211113313(1)|limlim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- （2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)limlim(3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ §1.1.3导数的几何意义例1:（1）求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程. （2）求函数y =3x 2在点(1,3)处的导数.解：（1）222100[(1)1](11)2|limlim 2x x x x x x y x x=∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆,所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为22(1)y x -=-即20x y -=（2）因为222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=--所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为36(1)y x -=-即630x y --=（2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)limlim(3)3x x y x x f x x x→→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ §1.2.1几个常用函数的导数§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±3．[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+（2）y =（3）sin ln y x x x =⋅⋅；（4）4x x y =；（5）1ln 1ln x y x -=+．（6）2(251)xy x x e =-+⋅；（7）sin cos cos sin x x x y x x x-=+解：（1）'3'3'''2(23)()(2)(3)32y x x x x x =-+=-+=-，'232y x =-。
（2）'''y =-====='y =（3）'''(sin ln )[(ln )sin ]y x x x x x x =⋅⋅=⋅⋅''(ln )sin (ln )(sin )x x x x x x =⋅⋅+⋅⋅1(1ln )sin (ln )cos x x x x x x x =⋅+⋅⋅+⋅⋅sin ln sin ln cos x x x x x x =+⋅+⋅⋅'sin ln sin ln cos y x x x x x x =+⋅+⋅⋅（4）''''224(4)144ln 41ln 4()4(4)(4)4x x x x x x x xx x x x x y ⋅-⋅⋅-⋅-====，'1ln 44x x y -=。
（5）''''2211ln 212()(1)2()21ln 1ln 1ln (1ln )(1ln )x x y x x x x x x -==-+==⋅=+++++'22(1ln )y x x =+ （6）'2'2'(251)(251)()x x y x x e x x e =-+⋅+-+⋅22(45)(251)(24)x x x x e x x e x x e =-⋅+-+⋅=--⋅，'2(24)x y x x e =--⋅。
（7）''sin cos ()cos sin x x x y x x x-=+''2(sin cos )(cos sin )(sin cos )(cos sin )(cos sin )x x x x x x x x x x x x x x x -⋅+--⋅+=+ 2(cos cos sin )(cos sin )(sin cos )(sin sin s )(cos sin )x x x x x x x x x x x x xco x x x x -+⋅+--⋅-++=+ 2sin (cos sin )(sin cos )s (cos sin )x x x x x x x x xco x x x x ⋅+--⋅=+22(cos sin )x x x x =+。
2'2(cos sin )x y x x x =+ §1.2.3复合函数的求导法则[]''()()cf x cf x =例1（课本例4）求下列函数的导数： （1）2(23)y x =+；（2）0.051x y e-+=；（3）sin()y x πϕ=+（其中,πϕ均为常数）．解：（1）函数2(23)y x =+可以看作函数2y u =和23u x =+的复合函数。
根据复合函数求导法则有x u x y y u '''=⋅=2''()(23)4812u x u x +==+。
（2）函数0.051x y e-+=可以看作函数uy e =和0.051u x =-+的复合函数。
根据复合函数求导法则有x u x y y u '''=⋅=''0.051()(0.051)0.0050.005u u x e x e e -+-+=-=-。
（3）函数sin()y x πϕ=+可以看作函数sin y u =和u x πϕ=+的复合函数。
根据复合函数求导法则有 x u x y y u '''=⋅=''(sin )()s s()u x co u co x πϕπππϕ+==+。
例2求2sin(tan )y x =的导数．解：'2'222[sin(tan )]cos(tan )sec ()2y x x x x ==⋅⋅2222cos(tan )sec ()x x x =⋅'2222cos(tan )sec ()y x x x =⋅例3求y =的导数．解：'y =2==，'22(2)a y x ax =-- 例4求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋41cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ． 【解法二】y ′＝(sin 4x )′＋(cos 4x )′＝4 sin 3x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′ ＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2x ) ＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x §1.3.1函数的单调性与导数 函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．3．求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．例1．已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >；当4x >，或1x <时，'()0f x <；当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增； 当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减； 当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示． 例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =-- （3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+ 解：（1）因为3()3f x x x =+，所以， '22()333(1)0f x x x =+=+> 因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=-当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增； 当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减； （3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-< 因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示． （4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以 ．当'()0f x >，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 当'()0f x <，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图3.3-5（4）所示． 说明：证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性步骤： （1）求导函数()'f x ；（2）判断()'f x 在(),a b 内的符号；（3）做出结论：()'0f x >为增函数，()'0f x <为减函数．§1.3.2函数的极值与导数结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数． 3．求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =； （3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 例1．（课本例4）求()31443f x x x =-+的极值 解： 因为()31443f x x x =-+，所以()'24(2)(2)f x x x x =-=-+。