甘肃省天水一中2012届高三第一阶段考试数学理

天水市一中2009级2011-2012学年第一学期第一次考试数学理科试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，满分150分，考试时间120分钟.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的） 1．已知全集R U =，集合{}22≤≤-=y y A ，集合{}x y y B 2==，那么集合)(B C A U 等于 （ ）A.{}02≤≤-y y B ．{}20≤≤y y C ．{}2-≥y y D ．{}0≤y y2．若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则( )A.b a c >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 3．记函数12-=-xy 的反函数为)(x g y =，则g （３）等于（ ）A ．2B ．4C ．—4D ．—24．设f （x ）=⎩⎨⎧≥+<),0(),0(e x xa x x 若函数f （x ）在（－∞,+∞）内连续，则a =（ ）Ａ．－１ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．－２５．某射手射击一次，击中目标的概率是9.0，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互没有影响.给出下列结论：①他第3次击中目标的概率是9.0； ②他恰好3次击中目标的概率是1.09.03⨯； ③他至少有一次击中目标的概率是41.01-. 其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3６．已知⎩⎨⎧>≤+-=1,log 1,4)13()(x x x a x a x f a 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．1(0,)3C ．11[,)73D ．1[,1)7７．曲线轴有四个交点与x a x x y +-=2，则实数a 的取值范围是（ ）Ａ．]41,0[ Ｂ．)41,0( Ｃ．)45,1( Ｄ．]45,1[８．已知 f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且)()4(x f x f =+，当x ∈（0,1] 时，f (x )=2 x ，则()=⎪⎭⎫ ⎝⎛27fA ．2-B ．2C ．22- D ．22９．要从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣小组，如果按性别依比例分层随机抽样，则组成此课外兴趣小组的概率为（ ）()42105615C C A C ()33105615C C B C ()615615C C A ()42105615A A D C10．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭的图象是（ ）11．若不等式012≥++ax x 对于一切⎥⎦⎤ ⎝⎛∈21,0x 成立，则a 的最小值是（ ）A ．0 B.–2 C.25-D.-312．已知函数)(,1)(,12)(2x F x x g x f x构造函数-=-=，定义如下：当)(|)(|x g x f ≥叶，)(),()(,)(|)(||;)(|)(x F x g x F x g x f x f x F 那么时当-=<=（ ）A 有最大值1，无最小值B ．有最小值0，无最大值C ．有最小值—1，无最大值D ．无最小值，也无最大值第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，3每小题5分，共计20分）13．已知定义在实数集R 上的偶函数f(x)在区间[0,+∞）上是单调减函数，若f(1)<f(2x －1),则x 的取值范围是 ． 14．已知R x b bxx y 在3)2(3123++++=上不是单调函数，则b 的取值范围是15．如果kx 2+2kx －(k+2)<0恒成立，则实数k 的取值范围是 16．以下命题正确的是xx A ．B ．C ．D ．（1）i ii -=+-11（2）若{}1log },0)2)(2({2<=>-+=x x B x x x A ，则的是B x A x ∈∈必要非充分条件； （3）函数[)∞++=，的值域是4sin4sin22xx y ；（4）若奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，则函数图象关于直线2=x 对称．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内. 17. （本小题满分10分）已知函数283+-=x x y ，（１） 求函数在区间[2,3]上的值域；（２） 过原点作曲线的切线kx y l =:，求切线方程．18．（本小题满分12分）已知函数x x x f ln 8)(2-=（1）求函数)(x f 在点（1，f(1))处的切线方程；（2）若函数)(x f 在区间)1,(+a a 上为增函数，求a 的取值范围．19.（本小题满分12分）甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛，三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为13，甲、乙都闯关成功的概率为16，乙、丙都闯关成功的概率为15.每人闯关成功记2分，不成功为0分，三人得分之和记为小组团体总分. （1）求乙、丙各自闯关成功的概率； （2）求团体总分为4分的概率；（3）记团体总分为随机变量§，求§的概率分布列. 20．（本小题满分12分）已知函数.221)(xxx f -=（1）若x x f 求,2)(=的值；（2）解关于x 的不等式0)]1[lg()]2[lg(2>+-xf x f21 (本小题满分12分)已知函数)(x f 对一切实数)12()()(,++=-+y x x y f y x f y x 均有成立，且.0)1(=f（1）求)0(f 的值； （2）求)(x f 的解析式；（3）若函数])1([)()1()(x x f a x f x x g -+-+=在区间（—1，2）上是减函数，求实数a 的取值范围。

22．（本小题满分12分）已知函数ln 1af x x a x =+∈+R ()()．（Ⅰ）当92a =时，如果函数g x f x k =-()()仅有一个零点，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）当2a =时，试比较f x ()与1的大小； （Ⅲ）求证：1111ln 135721n n +>+++++ ()n ∈*N ()．天水市一中2009级2011-2012学年第一学期第一次考试数学（理）试题答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的）ABDBC,CBAAA,CC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．（0,1） 14．)1,(),2(--∞⋃+∞ 15．]0,1(- 16．(1),(2)三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内. 17. （本小题满分10分） 答案：xy 5)2(]5,6)[1(-=-18．（本小题满分12分） 答案：（1）ｙ＝－６ｘ＋７ （2）2≥a19.（本小题满分12分）解：（1）设乙闯关成功的概率为1P ，丙闯关成功的概率为2P …………1分因为乙丙独立闯关，根据独立事件同时发生的概率公式得：11211,361.5P P P ⎧=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩…………3分 解得52,2121==P P …………4分答：乙闯关成功的概率为21，丙闯关成功的概率为52.（2）团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关. 设“团体总分为4分”为事件A ，则1121121123()(1)(1)(1).32532532510P A =-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=答：团体总分为4分的概率为310. …………8分3）§=0,2,4,6 （1分） P(§=0)=51306532132==⨯⨯P(§=2)=3013522132532132532131=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯由（2）P(§=4)=103P(§=6)=151302522131==⨯⨯…………10分§0246P…………12分20．（本小题满分12分） 解：（1）∵,2)(=x f∴.0122)2(,22212=-⋅+=-xx xx即……………2分∴).0212(122舍<--=-=xx……………………4分∴).12(log 2-=x …………………………5分 （2）上的奇函数为R x f x f x f )()()(∴-=-即)]1[lg()]2[lg(2xf x f ->-∴ )][lg()]2[lg(2x f x f >-∴易得f(x)在R 上为减函数，)lg()2lg(2x x <-∴ 解不等式得)2,2(∈x 21．（本小题满分12分）21．解：（1）令2)0(0)1(,2)0()1(0,1-=⇒=∴=-⇒==f f f f y x …………2分 （2）令2)1()0()(02-+=++=⇒=x x x x f x f y …………4分 （3）])1([)()1()(x x f a x f x x g -+-+=上恒成立在即上恒成立在上是减函数即在)2,1(0)21()2(23)2,1(0)()2,1()()21()2(23)(2)21()2(222]2)1()1[()2)(1(2223222322-≤+--+-≤'-+--+='----+=---++-+=--+++--++=a x a x x g x g a x a x x g x a x a x axax x x x x x x x x a x x x令61902148120214230)2(0)1(≥⇒⎩⎨⎧≤---+≤---+⇒⎩⎨⎧≤≤-⇔a a a a a g g …………12分 22．（本小题满分12分） 解析：（Ⅰ）当29=a 时，)1(29ln )(++=x x x f ，定义域是),0(+∞，22)1(2)2)(12()1(291)(+--=+-='x x x x x xx f ，令0)(='x f ，得21=x 或2=x ． …2分当210<<x 或2>x 时，0)(>'x f ，当221<<x 时，0)(<'x f ，∴函数1()(0,)2f x 在、(2,)+∞上单调递增，在1(,2)2上单调递减． ……………4分)(x f ∴的极大值是2ln 3)21(-=f ，极小值是2ln 23)2(+=f ．当0+→x 时，-∞→)(x f ；当+∞→x 时，+∞→)(x f ， ∴当)(x g 仅有一个零点时，k 的取值范围是2ln 3->k 或2ln 23+<k ．………5分（Ⅱ）当2=a 时，12ln )(++=x x x f ，定义域为),0(+∞．令112ln 1)()(-++=-=x x x f x h ，0)1(1)1(21)(222>++=+-='x x x x xx h ，)(x h ∴在),0(+∞上是增函数． …………………………7分 ①当1>x 时，0)1()(=>h x h ，即1)(>x f ； ②当10<<x 时，0)1()(=<h x h ，即1)(<x f ；③当1=x 时，0)1()(==h x h ，即1)(=x f ． …………………………………9分 （Ⅲ）（法一）根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ．令kk x 1+=，则有1211ln+>+k k k ，∑∑==+>+∴nk nk k kk 111211ln． ……………12分∑=+=+nk kk n 11ln )1ln( ，1215131)1ln(++++>+∴n n ． …………………………14分（法二）当1n =时，ln(1)ln 2n +=． 3ln 2ln 81=> ，1ln 23∴>，即1n =时命题成立． ……………………10分设当n k =时，命题成立，即 111ln(1)3521k k +>++++ ．1n k ∴=+时，2ln(1)ln(2)ln(1)ln 1k n k k k ++=+=+++1112ln 35211k k k +>++++++ ． 根据（Ⅱ）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ， 即11ln +->x x x ．令21k x k +=+，则有21ln 123k k k +>++，则有1111ln(2)352123k k k +>++++++ ，即1n k =+时命题也成立．……………13分因此，由数学归纳法可知不等式成立． (14)。