贵州省凯里市第一中学2019届高三数学下学期模拟考试试题3理(含解析)

凯里一中2019届高三模拟考试《黄金卷三》理科数学试卷第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则中元素的个数是（）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】【分析】解方程组求出解的个数即得中元素的个数．【详解】由，解得：或，的元素的个数是2个，故选：【点睛】本题主要考查集合的交集运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.已知复数在复平面内对应的点为，（为虚数单位），则（）A. B. C. 2 D. 1【答案】D【解析】【分析】根据在复平面内对应的点为，写出的代数形式，利用复数模的性质求解.【详解】在复平面内对应的点为，所以，所以，所以故选D项.【点睛】本题考查复数模的性质，属于简单题.3.如图给出的是某高校土木工程系大四年级55名学生期末考试专业成绩的频率分布折线图（连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点），其中组距为10，且本次考试中最低分为50分，最高分为100分.根据图中所提供的信息，则下列结论中正确的是（）A. 成绩是75分的人数有20人B. 成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多C. 成绩落在70-90分的人数有35人D. 成绩落在75-85分的人数有35人【答案】C【解析】【分析】结合频率分布折线图对每一个选项逐一分析得解.【详解】对于选项A,成绩落在70-80分的人数为，不能说成绩是75分的人数有20人，所以该选项是错误的；对于选项B, 频率分布折线图看不出成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多，只能看出成绩落在50-60的人数和成绩落在90-100的人数相等，所以该选项是错误的；对于选项C, 成绩落在70-90分的人数有人，所以该选项是正确的；对于选项D,由C得成绩落在70-90分的人数有35人，所以成绩落在75-85分的人数有35人是错误的,所以该选项是错误的.故选:C【点睛】本题主要考查频率分布折线图，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.的展开式中的系数是（）A. 27B. -27C. 26D. -26【答案】B【解析】【分析】展开式中的系数由和分别与展开式中和相乘后得到的系数之和.【详解】展开式中的系数中的与展开式中项相乘，但展开式中没有项中的与展开式中项相乘，所以的系数是，故选B项.【点睛】本题考查二项式的展开式与多项式相乘，得到项的系数，属于简单题.5.已知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先得到抛物线的焦点，再得到双曲线的，然后解得，再得到双曲线的渐近线.【详解】抛物线的焦点为，所以双曲线中，由双曲线方程，，所以因此双曲线的渐近线方程为故选C项.【点睛】本题考查抛物线的焦点，根据焦点求双曲线的方程和渐近线方程，属于简单题.6.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，若的图象关于对称，则的值为（ ）A. B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】 由题得，根据题意得，，所以=.【详解】由题得，因为的图象关于对称，所以，因为，所以=.故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换和对称性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则的值是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A 【解析】由题意结合所给的流程图可知：该流程图的功能是计算的值，裂项求和可得：，据此可得：，求解关于实数的方程可得：.本题选择A选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．8.已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故，即得，所以该球的体积，故选D.考点：正四棱柱的几何特征；球的体积.9.在数列中，已知，，则该数列前2019项的和（）A. 2019B. 2020C. 4038D. 4040【答案】A【解析】【分析】根据条件判断出为等差数列，利用等差数列的性质得到和之间的关系，得到答案. 【详解】为等差数列【点睛】本题考查等差中项，等差数列的基本性质，属于简单题.10.已知是椭圆的右焦点，是椭圆短轴的一个端点，若为过的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆几何性质可把椭圆内每条线段的长度用表示，然后利用余弦定理，在两个三角形里分别表示同一角的余弦，得到关系，求出离心率.【详解】延长交椭圆于点，设椭圆右焦点为，连接.根据题意，，所以根据椭圆定义，所以在中，由余弦定理得在中，由余弦定理得所以，解得，所以椭圆离心率为故选B项.【点睛】本题考查椭圆的定义，几何性质，余弦定理等，属于中档题.11.函数在区间上零点的个数为（）A. 4B. 5C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】令，，利用导数得到的单调性，从而得到在区间零点个数，而，因此零点个数为和零点个数之和，从而得到答案.【详解】因为令，，则当，当时，，所以单调递增.，所以在区间上有且只有一个零点.而在区间有个零点，分别是所以的零点有个，故选C项.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性和零点个数，属于中档题12.已知是边长为的正三角形，且，，设函数，当函数的最大值为-2时，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】用表示出，用表示出，然后表示出，代入，得到关于的函数，求出其最大值，令最大值等于，从而求出的值.【详解】,因为是边长为的正三角形，且，所以又因，代入得所以当时，取得最大，最大值为所以，解得，舍去负根.故选D项.【点睛】本题考查向量的计算和表示，以及向量数量积，二次函数求最值，有一定的综合性，属于中档题.第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若、满足约束条件，则的最大值与最小值之和为_______．【答案】0【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得到的最大值与最小值，即得的最大值与最小值之和.【详解】先作出不等式组对应的可行域，是图中的△ABC,设z=2x+y,所以y=-2x+z当直线经过点A（2，-1）时，纵截距z最大，当直线经过点B(-1,-1)时，纵截距z最小,所以的最大值与最小值之和为2×2-1+2×（-1）-1=0.故答案为：0【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.14.已知数列为等比数列，且，则__________．【答案】【解析】【分析】根据等比数列的性质得到和的值，判断的正负，然后利用等比数列的性质求得答案. 【详解】因为为等比数列而，所以，得，所以.【点睛】本题考查等比数列的性质，等比中项，属于简单题.15.某中学高三共有900人，一次数学考试的成绩（试卷满分150分）服从正态分布，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的，则此次考试成绩不低于120分的学生约有__________人．【答案】100【解析】∵数学考试成绩ξ～N(100,σ2),又∵P(ξ≤80)+P(ξ≥120)=1-P(80≤ξ≤100)-P(100≤ξ≤120)=,∴P(ξ≥120)=×=,∴成绩不低于120分的学生约为600×=100(人).16.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】如图所示，设分别为和的中点，则夹角为和夹角或其补角，，，作中点，则为直角三角形，中，由余弦定理得，，在中，；在中，由余弦定理得，又异面直线所成角的范围是，与所成角的余弦值为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角以及余弦定理，属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知，，函数.（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）在中，内角、、的对边分别为、、，若，，且外接圆的面积为，求的周长.【答案】（Ⅰ）递增区间为；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由已知条件整理得，再利用三角函数的单调性求函数的单调递增区间即可；（Ⅱ）由，即，由，知，因为外接圆的面积为，所以外接圆的半径，由正弦定理知的周长为即可得解.【详解】（Ⅰ）由已知条件得，整理得.由得，所以函数的单调递增区间为.（Ⅱ）由，∵，∴，由，知，因为外接圆的面积为，所以外接圆的半径，由正弦定理知的周长为.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理解三角形，考查三角函数单调性的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.某工厂生产、两种零件，其质量测试按指标划分，指标大于或等于的为正品，小于的为次品.现随机抽取这两种零件各100个进行检测，检测结果统计如下：零件零件（Ⅰ）试分别估计、两种零件为正品的概率；（Ⅱ）生产1个零件，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个零件，若是正品则盈利60元，若是次品则亏损15元，在（Ⅰ）的条件下：（i）设为生产1个零件和一个零件所得的总利润，求的分布列和数学期望；（ii）求生产5个零件所得利润不少于160元的概率.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）详见解析；（ii）.【解析】【分析】（Ⅰ）先得到两种零件指标大于等于80的频数，然后得到其概率（Ⅱ）（i）先得出可取的值，然后分别写出每种情况所对应的概率，列出分布列，求出数学期望. （ii）根据要求得到零件正品数大于或等于4件，得到其概率.【详解】解：（Ⅰ）因为指标大于或等于的为正品，且、两种零件为正品的频数分别为80和75，所以、两种零件为正品的概率估计值分别为，.（Ⅱ）（i）由题意知可能取值为-25，35，50，110，且，，，.所以的分布列为所以的数学期望为.（ii）因为生产1个零件是正品的概率为，生产5个零件所产生的正品数服从二项分布，即，生产5个零件所得利润不少于160元，则其正品数大于或等于4件，所以，生产5个零件所得利润不少于160元的概率为.【点睛】本题考查频率估计概率，求变量的分布列和数学期望，属于中档题.19.如图所示，三棱锥放置在以为直径的半圆面上，为圆心，为圆弧上的一点，为线段上的一点，且，，.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）当二面角的平面角为时，求的值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）通过勾股定理，证明，得到平面，再证明平面，得到平面平面.（Ⅱ）建立空间直角坐标系，设，表示出面的一个法向量和面的一个法向量，然后将二面角转化为两个法向量之间的夹角，利用向量的夹角公式，求出，从而得到的值.【详解】解：（Ⅰ）证明：由，，∴，又且，∴平面.∵平面，∴，由，圆心为中点，所以.因，故平面，又平面，所以平面平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，且，过点作的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，，，，设，则，，设为平面的一个法向量，则，令，则，所以，取平面的一个法向量为.因为二面角的平面角为，所以，解得或（舍去），所以当二面角的平面角为时，.，【点睛】本题考查由线线垂直证明线面垂直，再证明面面垂直，利用空间坐标系表示二面角，求线段比，属于中档题.20.已知抛物线：.（Ⅰ）、是抛物线上不同于顶点的两点，若以为直径的圆经过抛物线的顶点，试证明直线必过定点，并求出该定点的坐标；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，抛物线在、处的切线相交于点，求面积的取值范围. 【答案】（Ⅰ）必过定点；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）直线与抛物线联立，得到，为直径的圆经过抛物线的顶点，则，代入的关系，得到解出的值，从而求出直线过的定点.（Ⅱ）抛物线在、处的切线分别表示出来，解得点坐标，求出线段的长和到直线的距离，表示出的面积，得到取值范围.【详解】解：（Ⅰ）显然直线的斜率存在，设的方程为，，，由消去整理得，∴即，，，∵为直径的圆经过抛物线的顶点，∴，∴，即直线方程为，所以必过定点.（Ⅱ）由得，∴，∴抛物线在、处的切线分别为和，解得.∵,到直线的距离,∴，∴面积的取值范围是. 【点睛】本题考查抛物线与直线的位置关系，直线过定点问题，抛物线切线的表示，弦长公式等，运用了设而不求的方法，属于难题.21.已知函数.（Ⅰ）当时，函数在区间上的最小值为-5，求的值；（Ⅱ）设，且有两个极值点，.（i ）求实数的取值范围；（ii ）证明：.【答案】（Ⅰ）8；（Ⅱ）（i ）；（ii）详见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）对求导，可得，单调递增，得到最小值，从而得到的值. （Ⅱ）（i ）有两个极值点，，通过参变分离转化为有两个不相等的实数根，再转化成两个函数交点问题，从而得到的取值范围.（ii ）根据题意得到，，两式相加、减消去，设构造出关于的函数，利用导数得到单调性，进行证明.【详解】解：（Ⅰ），∵，，∴，所以在区间上为单调递增.所以，又因为，所以的值为8.（Ⅱ）（i）∵，且的定义域为，∴.由有两个极值点，，等价于方程有两个不同实根，.由得：.令，则，由.当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减.所以，当时，取得最大值，∵，∴当时，，当时，，所以，解得，所以实数的取值范围为. （ii）证明：不妨设，且①，②，①+②得：③②-①得：④③÷④得：，即，要证：，只需证.即证：.令，设，.∴在上单调递增，∴，即，∴.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值问题，参变分离，数形结合讨论参数范围，构造函数等，比较综合，属于难题.22.在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求圆的极坐标方程；（Ⅱ）射线：与圆的交点为、，与曲线：的交点为，求线段的长.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）先把圆普通方程，再把普通方程化为极坐标方程得解；（Ⅱ）设，求出P的极坐标.设，求出点Q的极坐标.最后根据求出线段的长.【详解】（Ⅰ）圆的普通方程为，又，，∴圆的极坐标方程为.（Ⅱ）设，则由解得.：化为极坐标方程，设，由解得.∴.【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程的互化，考查极坐标系下弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23.已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若函数的最小值为3，且，，证明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）利用零点分类讨论法解绝对值不等式得解；（Ⅱ）利用绝对值三角不等式得解得，即，再用柯西不等式即可证明.【详解】（Ⅰ）当时，，故不等式可化为：或或，解得：或.所求解集：.（Ⅱ）因为.又函数的最小值为3，，所以，解得，即，由柯西不等式得，所以.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式和柯西不等式，考查不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。