能量及动量衡算

p2 p1

p
2 p2 ub 故：gZ vdp ＝We h f 可改写为 p 1 2
2 ub p gZ ＝We h f 2 2 2 ub u p p2 1 b2 1 或gZ1 We gZ 2 h f 2 2
1 v1 p1 2 p2 ub gZ vdp ＝We h f p 1 2 2 v2 p2
稳态流动时的机械能衡算式。表示1kg流体流动时的机械能 的变化关系。适用于可压缩流体和不可压缩流体。
1.4.3.4 柏努利方程式
对不可压缩流体，比容υ或密度ρ为常数，则：

p2
p1
vdp v( p2 p1 )
则：
稳态流动系统的总能量衡算式，也是流动系统中热 力学第一定律的表达式。
1.4.3.3 流动系统的机械能衡算式
据热力学第一定律：
U Qe pdv
v1
v2
实际上， Qe 由两部分组成：一部分是流体与环境所交换的 热 Q ；另一部分是由于液体在两截面间流动时，由于粘性引起 的能量损失。设1kg流体在系统中流动时的能量损失为∑hf，单 位J/kg，则：
②以单位体积(1m3)流体为基准： 将以单位质量流体为衡算基准的柏努利方程式的各项乘以 流体密度，得： 2 2 ub u 1 gZ1 p1 We gZ 2 b 2 p2 h f
2 2
各项单位为 (N· m/kg)· (kg/m3)=N· m/m3=J/m3=Pa ，表示单位体 积流体所具有的能量。 1.4.3.6 柏努利方程式的应用 (一)应用柏努利方程式解题要点 1.做图并标明流向及有关数据 2.截面的选取应注意： 1)两截面应与流向相垂直 2)两截面间流体应连续 3)两截面应选在已知量多的地方
不可压缩流体的柏努利方程
1.4.3.5 柏努利方程式的讨论
1.理想流体的柏努利方程式的讨论 理想流体：∑hf=0；We=0
2 2 ub u p p2 1 b2 1 gZ1 gZ2 2 2
理想流体在管道内定态流动，且没有外功加入时，在任一 截面上单位质量的流体所具有的位能、动能、静压能之和为常 数，以E表示，即：
其中：z1=0,p1=1200Pa(表压)， We=0，z2=0,p2=800Pa(表压)， Σhf=1.60J/kg
1
2
1'
2'
(二)柏努利方程式的应用(续)
1 ( p1 p2 )M 1 ( 100 1.2 100 0.8 ) 29 1.20kg / m 3 2 2 RT 2 8.315 293 2 2 ub u 1200 800 1 b2 1.6 (1 ) 2 1.2 2 1.2 d 300 又连续性方程式： ub 2 ub1( 1 )2 ub1( ) 2.25ub1 (2) d2 200
(p1-p2)/p1=(1200-800)/(100×103+1200)=0.4%<20% 努利方程。
故可应用柏
选粗管压力表处为1-1′截面，细管压力表处为2-2′截面，并以 管中心线截面所在平面为基准水平面，在两截面间列柏努利方程：
gz1+ub12/2+p1/ρm+We=gz2+ub22/2+p2/ρm+Σhf
2 2 ub u p p gZ1 1 1 We gZ2 b 2 2 h f 2 m 2 m
ρm的获得： •Pm=(p1+p2)/2
ρ m=(ρ1 + ρ2)/2 → ρm
4.静止流体的讨论
静止流体：ub1=ub2=0,Σhf=0,We=0,即：
gZ1
m
p1
gZ2
m
p2
整理： p2=p1+ρg(z1-z2)
方程式即为静力学基本方程式。可见，静止为
流动的一种特例。
5.衡算基准不同的讨论
①以单位重量(1N)流体为基准： 将前述方程式各项除以g，得：
2 2 ub W u p p2 h f 1 e b2 1 Z1 Z2 2 g g g 2 g g g
输送设备有效功率、轴功率的计算：
有效功率Ne：单位时间内输送设备所做的有效功，kW；、 轴功率N：泵轴所需功率，kW。计算公式： Ne=We· W N=Ne/η 3.可压缩流体的柏努利方程式的讨论 对于可压缩流体，当两截面压力变化小于原来绝对压力的 20％，即(p1-p2)/p1<20%时，仍可使用，但式中密度一项应采用 平均密度ρm代替，即：
Qe=Q+ ∑hf
代入上式，得：
v2 v1
U Q h f pdv
U Q h v2 pdv f v1 2 u U gZ b ( p v )＝Q We 将 U Q v2 pdv e v1 2 2 代入 v2 ub gZ ( p v ) pdv ＝We h f v 1 2 ( p v ) d ( pv ) pdv vdp
2
2 b1 2 b2
1
1′
H
2′
式中，Z1=H,p1=pa,ub1=0,z2=0,p2=pa,ub2=ub ∴ gH=ub2/2 〖结论〗位能逐渐减小，动能逐渐 增加，位能转化成动能 右图：静压能部分转变为动能。
1

2'
1'
2.实际流体的柏努利方程式的讨论
2 2 ub u p p2 1 b2 1 gZ1 We gZ2 h f 2 2
4.位能：流体因处于地球重力场而具有的能量，为质量为m 的流体自基准水平面升举到某高度Z所做的功，即： 位能=mgZ 位能单位=kg· m/s2· m=N· m=J 1kg流体的位能为gZ，单位为J/kg 流体受重力作用，在不同高度具有不同的位能，且位能是 一个相对值，随所选的基准水平面位置而定，在基准面以上为 正值，以下为负值。 5. 动能： 流体因流动而具有的能量，为将流体从静止加速 到流速ub所做的功，即： 动能=mub2/2 动能单位= kg· (m/s)2=N· m=J 1kg流体的动能为ub2/2 ，单位为J/kg
4)两截面应包括待求解的未知量
5)两截面应与阻力损失∑hf相一致
6)方程式左端的机械能为起始截面处流体的机械能，右端 的机械能为终止截面处流体的机械能
3.基准水平面的选取应注意：
两截面应选用同一基准水平面 尽量使其中某一截面的位能为零 4.单位及压力的表示法要一致： 单位：各物理量采用同一单位制即可
m
1 2

联立(1)(2) ub1=12.8m/s, ub2=28.8m/s
Vs

4
d u
2 1 b1

4
0.32 12.8 0.904 m3 / s
2.确定容器间的相对位置
[ 例 1-6] 将密度为 900kg/m3 的料液从高位槽送入塔中，高位槽内 液面恒定，塔内真空度为 8.0kPa ，进料量为 6m3/h ，输送管规格为 φ45×2.5mm 钢管，料液在管内流动能量损失为 30J/kg( 不包括出口 ) ， 计算高位槽内液面至出口管高度h。 解：选高位槽液面为 1-1′截面，管出口内侧为 2-2′截面，并以 2-2′截面为基准水平面， gz1+ub12/2+p1/ρ+We=gz2+ub22/2+p2/ρ+Σhf 其中：z1=h,ub1≈0,p1=0(表压)，We=0,z2=0， 1 1' ub2=6/(3600×π/4×0.042)=1.33m/s， p2=-8.0×103Pa(表压)，Σhf=30J/kg h 2 h=(ub2 /2+p2/ρ+Σhf)/g =(1.332/2-8.0×103/900+30)/9.81=2.24m 2 2' 其高度是为了提高位能，用于提供 动能和克服流动阻力。
因为 则上式可写为：
推广到任意截面，
ω=ub1A1ρ1=ub2A2ρ2=…=ubAρ=
〖结论〗流体流经各截面的质量流量不变。 若流体不可压缩，ρ为常数， Vs=ub1A1=ub2A2=…=ubA= 对圆形管道，A=πd2/4， ub2/ub1=(d1/d2)2 〖结论〗不可压缩流体流经各截面的体积流量也不变；流量 一定时，不可压缩流体的流速与管内径平方成反比。 〖说明〗1. 上述管路各截面上流速的变化规律与管路的安排 及管路上是否装有管件、阀门或输送设备等无关；
2 p ub E gZ 2
常数意味着1kg理想流体在各截面上所具有的总机械能相等， 而每一种形式的机械能不一定相等，但各种形式的机械能可以 相互转换。
例如：
如图示系统
以2-2′为基准面，在 1-1′，2-2′ 间列柏努利方程式：
gZ1 u u p p 1 gZ2 2 2 2
压力：表压、绝压均可，但两截面必须一致。
5.对可压缩流动系统，要判断压力变化
(二)柏努利方程式的应用
1.确定管路中流体的流量
[ 例 1-5] 20℃空气流过水平通风管道 ，在内径自 300mm 渐缩到 200mm处的锥形段测得表压为1200Pa和800Pa，空气流过锥形段的能量 损失为1.60J/kg，当地大气压力为100kPa，求空气流量。 解：因气体属可压缩流体，
方程式中gZ、ub2/2、p/ρ指某截面流体具有的能量，We、 ∑hf指流体在两截面间所获得和消耗的能量。 能量损失(阻力损失) ∑hf ： 总机械能从某一截面到另一截面的损失量； 是永久损失，不能恢复； “∑”指直管和局部阻力损失量。 外功We： 补充流体的总机械能； 是输送设备对单位质量流体所做的有效功。因此，根据这 一数据可以选择流体输送设备。
令He=We/g, Hf=∑hf/g，则：