高二寒假第6讲：复数的平方根及立方根及实系数一元二次方程
08复数的平方根、立方根、实系数一元二次方程【教师版】
复数的平方根、立方根、实系数一元二次方程 这节课我们学什么1.复数的平方根、立方根的求法；2.实系数一元二次方程的虚根问题；3.虚系数一元二次方程；4.“1”的立方根问题。
知识框图知识点梳理1、,,a b R ∈则对于复数z a bi =+：（1）z 为虚数0;b ⇔≠（2）z 为纯虚数0,0;a b ⇔=≠（3）z =（4） z =a −bi ;（5）z 的实部;a =（6）z 的虚部();b bi =≠（7）0z R z z b ∈⇔=⇔=2、i 的运算规律：44142431;;1;nn n n i i i i i i +++===−=−（以上n Z ∈）3、复数相等得充要条件试题它们的实部和虚部对应相等，即：,,,a b c d R ∈，则a bi c di a c b d+=+⇔==且4、复数模的性质：2212112121122(1);(2);(3);(4); n nz z z z z z z z zz z z z z z ======121212(5)z z z z z z −≤±≤+5、实系数一元二次方程在复数范围内解的性质 （1）当042≥−=Δac b 时，方程有两个实根21,x x . （2）当042<−=Δac b 时，方程有两个共轭虚根，其中 21x x =.此时有ac x x x x ===212221且a ib x 22,1Δ−±−=.注意两种题型：12(1)||x x −12(2)||||x x +虚系数一元二次方程有实根问题：不能用判别式法，一般用两个复数相等求解.但仍然适用韦达定理.已知1x ，2x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，求12||x x −的方法：（1）当042≥−=Δac b 时，aacb x x x x x x 44)(22122112−=−+=−(2)当042<−=Δac b 时，ab ac x x x x x x 2212211244)(−=−+=−已知1x ，2x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，求12||||x x +的方法： （1）当042≥−=Δac b 时，①,021≥⋅x x 即0≥ac，则a b x x x x =+=+2112②,021<⋅x x 即0<ac，则aac b x x x x x x x x 44)(2212212112−=−+=−=+（2）当042<−=Δac b 时，ac x x x x x 22221112=⋅==+7、解方程000(0,,,)nn n n a x a a a a C n N +=≠∈∈的思路：将其化为0,nna x a =−问题转化为求0na a −的n 次方根8、关于含有,,z z z 等的方程，通常设(,)z x yi x y R =+∈代入方程，利用复数相等的充要条件求解典型例题分析1、 复数的平方根、立方根的求法； 例1、已设 z =1+i （是虚数单位），则复数2z+z 2对应的点位于象限。
平方根、立方根和二次根式的知识要点
平方根的式子
（或一元二次方程）
平方根的定义
立方根的定义
定义
算术平方根
X2=4
2
X2=5
X2=a
正数
（互为相反数）2=同一个正数
一个正数有两个平方根，且互为相反数
有算术平方根，
（正数）3=一个正数正数有一个正的立方根
002=00有Fra bibliotek个平方根，就是它本身
有算术平方根，
03=00有一个立方根，就是0
5、最简二次根式的条件：
（1）被开方数不能含有开得尽的因数。
（2）被开方数不能含有分母。
负数
（任何数）2≠负数
负数没有平方根，即 a≥0、 ≥0
无
（负数）3=一个负数负数有一个负的立方根
二次根式的知识要点：
3、二次根式的乘除法：
归纳：系数相乘、相除，被开方数相乘、相除。注意：“同类”、“对应”的思想方法
4、二次根式的加减：
解法：把每一项二次根式化成最简根式，然后找同类项（同类根式）进行合并，不是同类项的照写。
高二数学复数的平方根和立方根
例题选讲
例3：设 1 3 i，求证：
22
（1） , 2 , 1都是1的立方根 ； （2）1 2 0
例4：利用1的立方根，求复数64的立方根
解：设z为64的立方根，则：
a+bi,c+di （a,b,c,d∈R）满足：
(a bi)2 c di
则称a+bi是c+di的一个平方根
例题选讲
例1：求下列复数的平方根
(1) 3
(2)7 24i
.
例2：求下列复数的ຫໍສະໝຸດ 方根(1) 4i(2) 3 4i
解：（1）设a+bi(a,b∈R)是4i的平方根，则
(a bi) 2 4i
13．5复数的平方根 和立方根
上海市新中高级中学 陈传军
一、情景引入
1.复习
（1）复数相等的定义 （2）复数乘法和乘方的运算法则
二、学习新课
我们引入虚数的目的之一就是 为了解决负数开平方的问题.
问题1：请同学们根据前面所学的 知识，回答1和-1的平方根分别是 多少？
1.复数的平方根
我们知道在实数集R内开方是乘 方的逆运算. 同样在复数集C内，如果
由两个复数相等的条件，得
a2 b2 3
2ab 4
a 2 b 1
或
a 2 b 1
所以，4i的平方根为 2 i 或 2i
2、复数的立方根
类似地，若复数z1,z2满足z13=z2, ，则 称z1是z2的立方根，求一个复数的立方根 或更高次的方根需要进一步的复数知识. 下面我们中研究1的立方根.
a2 b2 2abi 4i
由两个复数相等的条件，得
复数的平方根与立方根
04
复数平方根与立方根的应 用
在数学领域的应用
1 2 3
解决代数方程
复数的平方根和立方根可以用于求解代数方程， 例如求解x^2=a或x^3=a等。
三角函数与极坐标
复数的平方根和立方根可以用于计算三角函数和 极坐标的转换，例如计算sin(x)和cos(x)的平方 根和立方根。
复数分析
在复数分析中，平方根和立方根是重要的概念， 用于研究函数的性质和行为。
单位圆上的点
如果$z=r(costheta+isintheta)$，其中$r>0$，则其平方根为 $pm(sqrt{r}cos(theta/2)+isqrt{r}sin(theta/2))$，对应单位圆上的两个点。
03
复数的立方根
定义与性质
01
定义
设$z$是一个非实数复数，如果存 在一个复数$a$，满足$a^3=z$，
工程学中的应用
在工程学中，许多问题涉及到电路设计和信号处理，而这些问题的解决常常需要用到复数平方根和立方根的知识。例 如，在计算交流电路中的电压和电流时，就需要用到复数平方根和立方根的知识。
金融学中的应用
在金融学中，许多问题涉及到资产评估和风险控制，而这些问题的解决常常需要用到复数平方根和立方 根的知识。例如，在计算股票价格波动率和风险时，就需要用到复数平方根和立方根的知识。
定义与性质
定义
对于任意复数$z=a+bi$（其中$a$和 $b$是实数，$i$是虚数单位，满足 $i^2=-1$），其平方根定义为满足 $(pmsqrt{z})^2=z$的复数。
性质
复数的平方根有两个值，即正平方根 和负平方根，因为$(-a)^2=a^2$。
平方根的求法
上海高二数学下册--02—复数的方根与实系数一元二次方程
高二数学春季班（教师版）一、复数的平方根与立方根 1．复数的平方根的定义若复数1z ，2z 满足212z z =，则称1z 是2z 的平方根．2．复数的平方根的求法2()(,,,)a bi c di a b c c +=+∈R即利用复数相等，把复数平方根问题转化为实数方程组来求． 3．复数的平方根的性质复数(0)z z ≠总有两个平方根1z ，2z ，且120z z +=（见图1）． 4．复数的立方根的定义类似的，若复数1z ，2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．5．1的立方根设复数12ω=-+，则21,,ωω都是1的立方根． 6．ω的性质 ①210ωω++=， ②31ω=，③212ωω==-． 可运用这些性质化简相关问题（见图2）． 7．其他有用结论2(1)2i i -=-，2(1)2i i +=二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根2b a-±；复数的方根与实系数一元二次方程知识梳理（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-； （3）0∆<⇔，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）． （3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．三、常见几何图形的复数表达式复数1z ，2z 为定值，且12z z ≠．（1）线段12Z Z 的中垂线方程：12||||z z z z -=-； （2）以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程：1||z z r -=； （3）以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为2(0)a a >的椭圆方程：12||||2z z z z a -+-=（其中12||2z z a -<）； （4）以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为2(0)a a >的双曲线方程：12||||||2z z z z a ---=（其中12||2z z a ->）．1、复数的平方根与立方根 【例1】求4-及86i -的平方根．【难度】★【答案】4-的平方根为2i 或2i -；86i -的平方根为3i -或3i -+ 【例2】计算：（112112(1)22i i i ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）50820028)i +-++⎝⎭． 【难度】★★【答案】（1）513；（2）247+【例3】记12ω=-，求1ωω+，221ωω+． 【难度】★★ 【答案】11ωω+=-，2211ωω+=-【例4】已知等比数列123,,,,n z z z z ，其中11z =，2z x yi =+，3z y xi =+（,,0x y x ∈>R ）．（1）求,x y 的值； （2）试求使1230n z z z z ++++=的最小正整数n ；（3）对（2）中的正整数n ，求123n z z z z 的值．【难度】★★【答案】（1）12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）12n =；（3）1-．【巩固训练】1．复数34i +的平方根是 ．例题解析【难度】★ 【答案】(2)i ±+2．计算：（11996= ． （2）151512(1)(1)(1)i -+=-+ ．【难度】★ 【答案】（1）12-；（2）03．已知ω满足等式210ωω++=．（1）计算4(1)ωω++；304050ωωω++；224(1)(1)ωωωω-+-+；（2）求证：对任意复数u ，有恒等式33233(1)()()3(1)u u u u ωω+++++=+； （3）计算：21n n ωω++，*n ∈N ． 【难度】★★【答案】（1）1-；0；4；（2）略；（3）*2**33()1031()032()n n n k k n k k n k k ωω⎧=∈⎪++==-∈⎨⎪=-∈⎩N N N2、复数中的代数式和方程【例5】在复数范围内分解因式：2223x x ++ 【难度】★【答案】22232x x x x ⎛++=-⎝⎭⎝⎭11222x x ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【例6】复数z 满足方程210z z ++=，求()41z z ++的值 【难度】★★【答案】由210z z ++=得，21102z w z w w w ==-+=∴++=或 所以原式()()4428211w w ww w w w w =++=-+=+=+=-【巩固训练】1．若虚数z 满足327z =，则32315z z z +++的值为 ． 【难度】★★ 【答案】332．，，求的值.【难度】★★【答案】12ω=-时，原式=15-；12ω=-时，原式；3、实系数一元二次方程【例7】已知方程2350()x x m m -+=∈R ，求方程的解． 【难度】★【答案】920m ∆=- 当0∆>时，即920m <时，32x ±=；当0∆=时，即920m =时，32x =； 当0∆<时，即920m >时，32i x =．【例8】已知βα,是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的两个虚根，且2αβ∈R ，求βα的值．【难度】★★【答案】∵2αβ∈R ，∴2222ααβαββαβ=⇒=，即330αβ-=∴12αβ=-± 1≠ω13=ω32302ωωω+++【例9】已知12,x x 是实系数方程20x x p ++=的两个根，且满足12||3x x -=，求实数p 的值． 【难度】★★ 【答案】14p ∆=-， （1）当0∆≥时，即14p ≤时，12,x x 是实根，∴12||3x x -==，即32p =⇒=-； （2）当0∆<时，即14p >时，12,x x 是共轭虚根，设1(,)x a bi a b =+∈R ，则2x a bi =-， ∴123|||2|2||32x x bi b b -===⇒=±，由1221x x a +==-，得12a =-．从而21215||2p x x x ===．综上，2p =-或52．【例10】已知,αβ是实系数一元二次方程230x mx -+=的两个根，求||||αβ+的值． 【难度】★★【答案】212m ∆=-，（1）当0∆≥时，即m ≥m ≤-30αβ=>，∴||||||||m αβαβ+=+=； （2）当0∆<时，即m -<<||||2||αβα+===．【例11】已知复数12,z z 满足1||2z =，2||1z =，12||2z z -=，求12z z ． 【难度】★★【答案】212121211121222||()()4z z z z z z z z z z z z z z -=--=⋅-⋅-⋅+⋅=， ∴12121z z z z ⋅+⋅=， ∴122211211z zz z z z z z ⋅⋅+⋅⋅=， ∴122141z zz z +=． 令12z t z =，则141t t+=，∴240t t -+=，∴122t =±，即12122z i z =±．【例12】（1）方程20()x px k p -+=∈R 有一个根为12i +，求实数k 的值； （2）方程240x x k -+=有一个根为12i +，求k 的值． 【难度】★【答案】（1）由题意：另一个根为12i -，∴(12)(12)5k i i =+-=； （2）由题意2(12)4(12)074i i k k i +-++=⇒=+．【例12】关于x 的方程2(2i)i 0x a b x a b --+-=有实根，且一个根的模是2，求实数a 、b 的值． 【难度】★★【答案】设()t t ∈R 是方程的一实根，则2(2)()i 0t at a bt b -++-=．则220,0t at a bt b ⎧-+=⎨-=⎩．（1）当0b =时，此方程为220x ax a -+=． ①有实根，0∆≥即1a ≥或0a ≤．当根为2时，440a a -+=．得43a =． 当根为2-时，440a a ++=．得45a =-．②有一对共轭虚根即01a <<．模为2，即有4a =（舍）．（2）当0b ≠时，则1t =，此时1a =．又因为模为2，所以b =所以4,30a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩或4,50a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩【巩固训练】1．下列命题在复数集中是否正确？为什么？（1）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且240b ac -≥，则方程20ax bx c ++=有两个实数根；（2）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则12b x x a +=-，12cx x a=； （3）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则221212||()x x x x -=-；（4）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且α是方程20ax bx c ++=的根，则α也是方程的根． 【难度】★★ 【答案】（1）、（2）、（4）正确，（3）不正确2．若12,x x 为方程270x x -+=的两个根，则212||x x -= ．【难度】★★ 【答案】273．已知,0x y ≠且，求20092009()(x y x y x y+++的值. 【难度】★★【答案】14．关于x 的方程222(31)10x m x m --++=的两根为αβ、，且||||3αβ+=，求实数m 的值． 【难度】★★【答案】53m =-或2m =5．设αβ、为方程220x x t ++=，（t ∈R ）的两个根，()||||f t αβ=+， （1）求()f t 的解析式；（2）证明关于t 的方程()f t m =，当2m >时恰有两个不等的根，且两根之和为定值． 【难度】★★【答案】（1）0()2,010t f t t t ⎧<⎪=<≤⎨⎪<⎩．．．（2）证明：函数()y f t =的图像关于直线12t =对称（证略） 当(1,)t ∈+∞时，()f t 为增函数，且()(2,)f t ∈+∞；022=++y xy x当(,0)t ∈-∞时，()f t 为减函数，且()(2,)f t ∈+∞．所以当2m >，方程()f t m =在区间(1,)+∞上有唯一解1t ，在区间(,0)-∞上也有唯一解2t ， 则121212t t +=⨯=．4、复数方程综合问题【例13】关于x 的二次方程2120x z x z m +++=中，1z ，2z ，m 都是复数，且21241620z z i -=+，设这个方程的两个根α、β满足||αβ-=||m 的最大值和最小值． 【难度】★★【答案】根据韦达定理有12z z mαβαβ+=-⎧⎨=+⎩∵22212()()444z z m αβαβαβ-=+-=-- ∴2212|()||4(4)|28m z z αβ-=--=．∴2121|(4)|74m z z --=，即|(45)|7m i -+=， 这表明复数m 在以(4,5)C 为圆心，7为半径的圆周上，∴max ||7m =min ||7m =当5001,150log 22m t m t >⎧⎪<<⎨<-⎪⎩即2log 215050m t -<<．【例14】已知22016220160122016(1)x x a a x a x a x ++=++++，试求0362016a a a a ++++的值。
高中数学-学生-实系数一元二次方程
教学内容
知识精要
1．复数的平方根与立方根：
和实数一样，复数 和 ,若满足 ，则称 是 的平方根。因为 ，所以 的平方根是 两个数。
（1）求法：利用复数相等求复数的平方根
（2）1的立方根：
的常用结论： ； ；
思考：当 时， 取何值？
2．实系数一元二次方程 在复数集中恒有解．当判别式 时，方程有两个实数解 ；当判别式 时，方程有两个虚根，且互为共轭 ．
（1）在复数集中，实系数一元二次方程的根的性质：实系数一元二次方程在复数集中一定有两个根，它们是两个实根或者是一对共轭虚根。此性质可推广到实系数一元n次方程在复数集中的情况也成立。
（2）实系数一元二次方程 在复数范是一元二次方程 的根，则
2.在复数范围内分解因式 ________
7.设等比数列 其中 ：
（1）求 的值；
（2）试求使 的最小自然数
（3）对于（2）中的 ，求 的值。
例4.求与自身的平方共轭的复数
例5.已知复数 是 的平方根，求 的值。
例6.设方程 的两根为 ，且 ，求实数m的值。
例7.已知 为实系数一元二次方程 的两个根， 为虚数，且 ,求 的值。
例8.若关于 的方程 至少有一个模为1的根，求实数 的值。
例9. 是方程 的两个根，其中 求 的值。
备选例题
1.对任意非零复数 ，定义集合 ，设 是方程
3.已知复数 满足 且 ，则 ________
4.方程 的解集是________
5.方程 的两根为__________
6.已知 是实系数方程 的根，则 ______
7.复数 的平方根是（）
8.下列命题在复数集中是否正确？为什么？
复数的平方根和立方根
复数的平方根和立方根复数是数学中的一个重要概念，它包含了实数和虚数。
在实数中，我们可以轻松地计算平方根和立方根，但是在复数中，情况就有所不同了。
本文将介绍如何计算复数的平方根和立方根。
一、复数的表示形式复数可以用a+bi的形式表示，其中a和b为实数，i为虚数单位。
复数的实部为a，虚部为b。
二、复数的平方根要计算一个复数的平方根，我们需要使用泰勒级数展开和极坐标表示法。
1. 泰勒级数展开对于一个复数z=a+bi，其平方根z1的泰勒级数展开公式为：z1 = ±√[(|z|+a)/2] ± i√[(|z|-a)/2]其中，|z|为z的模，记作|r|。
2. 极坐标表示法我们也可以使用复数的极坐标来计算其平方根。
假设一个复数z在极坐标系中的表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。
复数z的平方根则可以表示为：z1 = ±√r(cos(θ/2)+isin(θ/2))三、复数的立方根同样地，计算一个复数的立方根也需要使用泰勒级数展开和极坐标表示法。
1. 泰勒级数展开对于一个复数z=a+bi，其立方根z1的泰勒级数展开公式为：z1 = ±[(|z|^(1/3)+a/3)^(1/2) + i√3(|z|^(1/3)-a/3)^(1/2)]2. 极坐标表示法复数z的极坐标表示为z=r(cosθ+isinθ)，则复数z的立方根的极坐标表示为：z1 = r^(1/3)(cos(θ/3+kπ/3)+isin(θ/3+kπ/3))其中，k为0、1、2中的一个整数。
结论在本文中，我们学习了如何计算复数的平方根和立方根。
通过泰勒级数展开和极坐标表示法，我们可以轻松地得出复数的平方根和立方根的表达式。
这些计算方法在数学和工程领域中有着广泛的应用，对于解决实际问题具有重要的意义。
以上是关于复数的平方根和立方根的讨论。
通过泰勒级数展开和极坐标表示法，我们可以计算复数的平方根和立方根，这对于解决实际问题具有重要的意义。
高二寒假第6讲：复数的平方根及立方根及实系数一元二次方程
10.已知方程 有两个虚根,且 ,则实数 的值为
11.若 ,则方程 至少有一个实根的条件是( )
或
12.在复数集内分解因式
(1) (2Leabharlann (3)13.已知关于 的实系数方程 有一个模为1的虚根,求实数 的值
14.已知关于 的方程 的两根 ,满足 ,求实数 的值.
综合巩固强化
强化练习
15. 的平方根为
课堂练习
1.若关于 的方程 有虚根,则实数 的取值范围是
2.已知方程 的两个为 ,则 =
3.分解 成一次因式的积为
4.方程 的一个虚根为 ,则 的值是
5.设复数 满足 且 ,求实数 的值.
6.已知 是互不相等的复数,且 ,求 .
7.已知 是实系数方程 的一个根,则另一个根是,
8.在复数集内因式分解 =
16.若 ,则
17. =
18.已知 ,则 等于
19. 则 在复平面内所表示的点位于( )
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
20.若 ,求 的值
21.利用 求值:
(1)
(2)
(3)
8、已知关于 的方程 的一个根为 ,求 的值.
9、已知方程 有两个虚根 ,且 ,求实数 的值,并解此方程.
10、已知关于 的方程 至少有一个模为 的复数根,求实数 的值.
17程 有两个虚根 ，且 ，则实数p=___________；
18、如果 ，那么 __________；
19、如复数z同时满足 （i为虚数单位），则z=__________；
20、已知 且 ，
（1）求 的最大值与最小值；
（2）求 的最大值和最小值；
11、 ，则实数m的值为（ ）
高中数学-教师-实系数一元二次方程
因为实系数一元二次方程的共轭虚根成对出现，所以设模为1的虚根为 ，则另一根为 。
由韦达定理得 又 （舍）或
或
例9. 是方程 的两个根，其中 求 的值。
解：当
（1） （2）
当
备选例题
1.对任意非零复数 ，定义集合 ，设 是方程
的一个根，试用例举法表示集合
解： 是 的根，则 或
（1）若 且 ，则方程 有两个实数根。
（2）若 且 是方程 的两个根，则 ；
（3）若 且 是方程 的两个根，则 ；
（4）若 且 是方程 的根，则 也是方程的根。
答案：（1）、（2）（4）正确，（3）不正确
精解名题
例1．关于 的方程 的两根的模的和为 ，求实数 的值。
解：解：
(1)当 ，即 时，
，且
与 同号
当 时，
当 时，有
2.设复数 是实系数方程 的根，又 为实数，求点 的轨迹。
解： 实系数方程的根， 也是此方程的根。
为实数( )
，即
得判别根的虚实，运用判别式，求根公式，这些方法要熟练
2．一元二次方程的系数含有虚数时，判别式失去了功能，运用韦达定理求解方法。
3．分类讨论是重要的思想方法。复数里也会有这样的题目，虚根、实根不同情况下，解的形式是不同的。
高中数学备课组
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主课题：实系数一元二次方程
教学内容
知识精要
1．复数的平方根与立方根：
和实数一样，复数 和 ,若满足 ，则称 是 的平方根。因为 ，所以 的平方根是 两个数。
（1）求法：利用复数相等求复数的平方根
（2）1的立方根：
(完整版)平方根与立方根及实数知识点总结
“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点 1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平。
2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3有意义的条件是a ≥0。
4、公式：⑴)2=a （a ≥0）=（a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根 （1）64；（2）2)3(-； （3）49151； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-.（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ 10227-； ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a的非算术平方根.练习①已知233(2)0x y z -+-++=，求xyz 的值。
高二数学复数的平方根和立方根
(a bi)2 c di
则称a+bi是c+di的一个平方根
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；
刚刚听到蒙古民歌的人，听出悠远，是第一楼台；听出蒙古民歌的苍凉悲抑，乃第二楼台；在第三重境界，会听到蒙古人的心肠多么柔软，像绸子一样柔软。粗糙的北地，像一块磨石，把人的筋骨磨硬，心肠磨软了，这就是蒙古。因此，他们会把更好的肉食和乳品送给借宿的陌生人。 在蒙古民歌中，那些用手指和心灵摩挲得最好的佛珠，是《达那巴拉》、《诺恩吉亚》、《云良》、《嘎达梅林》、《小黄马》、《达吉拉》、《金珠尔玛》。按气功的说法，这些歌的信息能量太丰富太辽远了。像这样的好歌，还可以像百科全书一样列下去。 这时需要一位歌者，贯历 史而达现今，如油然之云把歌中的含金量沛然化雨，一泻而出，那么，在大师级的歌王哈扎布、朝鲁、宝音德力格尔之后，在马头琴王齐·宝力高之后，在卓越的歌唱家牧兰、拉苏荣、金花之后，在优秀的作曲家通福、美丽齐格和最早的电子音乐家图力古尔之后，漫漫地平线上的巨星是 腾格尔。 腾格尔的意思是“天”，蒙古人没有几个如此作名，但腾格尔称名不妨。天者，辽远无碍，又具王者之尊。腾格尔是鄂尔多斯人，幼时随外祖母牧羊，领会草原襟抱，及长入歌舞团而后考入音乐学院学作曲，定居京华而下派宁夏锻炼，终于崛起。他由民族而升腾，非个人能力 所及也，这是他与流行歌手最大的区别。人若成器，后腰须要支撑，台港雨巷支撑、情郎妹子支撑……均不如有一个强韧的民族和苍凉的天地来支撑。因此，腾格尔有福了，用蒙古话说，他“Baoyuntie”。听腾格尔的歌，像在饮牛的水洼前捧水泼在脸上，像在沙粒迎面的大风中前行， 有暗夜饮醪的热肠感受，是长歌当哭的抒纾。当烈辣过喉的时候，当男人宽温的手放在女人背上的时候，当目睹落日悲壮的时候，去听腾格尔的歌吧。 这么小的小风 最小的小风俯在水面，柳树的倒影被蒙上了马赛克，像电视上的匿名人士。亭子、桑树和小叶柞的倒影都有横纹，不让你 看清楚。而远看湖面如镜，移着白云。天下竟有这么小的风，脸上无风感(脸皮薄厚因人而异)，柳枝也不摆。看百年柳树的深沟粗壑，想不出还能发出柔嫩的新枝。 在湖面的马赛克边上，一团团鲜红深浅游动———红鲤鱼。一帮孩子把馒头搓成球儿，放鱼钩上钓鱼。一条鱼张嘴含馒头， 吐出，再含，不肯咬钩。孩子们笑，跺脚，恨不能自己上去咬钩。 此地亭多，或许某一届的领导读过醉翁亭记，染了亭子癖。这里的山、湖心岛、大门口，稍多的土积之成丘之地，必有一亭。木制的、水泥的、铁管焊的亭翘起四个角，像裙子被人同时撩起来。一个小亭子四角飞檐之上， 又有三层四角，亭子尖是东正教式的洋葱头，设计人爱亭之深，不可自拔。最不凡的亭，是在日本炮楼顶上修的，飞檐招展，红绿相间，像老汉脖上骑一个扭秧歌的村姑。 干枯的落叶被雨浇得卷曲了，如一层褐色的波浪。一种不知名的草，触须缠在树枝上。春天，这株草张开枣大的荚， 草籽带一个个降落伞被风吹走。伞的须发洁白晶莹，如蚕丝，比蒲公英更漂亮。植物们，各有各的巧劲儿。深沟的水假装冻着，已经酥了，看得清水底的草。我想找石头砸冰，听一下“噗”或“扑通”，竟找不到。出林子见一红砖甬道，两米宽。道旁栽的雪松长得太快，把道封住了，过 不去人。不知是松还是铺甬道的人，总之有一方幽默。打这儿往外走，有一条小柏油路，牌子上书：干道。更宽的大道没牌子。 看惯了亭子，恍然想起这里有十几座仿古建筑，青砖飞檐，使后来的修亭人不得不修亭，檐到处飞。我想在树林里找到一棵对早春无动于衷的树，那是杨树。 杨树没有春天的表情，白而青的外皮皲裂黑斑，它不飘舞枝条，也不准备开花。野花开了，蝴蝶慢吞吞地飞，才是春天，杨树觉得春天还没到。杨树腰杆太直，假如低头看一下，也能发现青草。青草于地，如我头上的白发，忽东忽西，还没连成片。杨树把枝杈举向天空，仿佛去年霜降的 那天被冻住了，至今没缓过来。 鸟儿在英不落的上空飞，众多的树，俯瞰俱是它的领地。落在哪一棵上好呢？梨树疏朗透光，仪态也优雅，但隐蔽性差。柏树里面太挤了，虽然适合调情。小叶柞的叶子还不叶，桑树也未桑。小鸟飞着，见西天金红，急忙找一棵树歇息。天暗了，没看清 这是一棵什么树。 ——英不落札记之二 雪地贺卡 今年沈阳的雪下得大，埋没膝盖，到处有胖乎乎的雪人。 下班时，路过院里的雪人，我发现一个奇怪的迹象：雪人的颏下似有一张纸片。我这人好奇心重，仔细看，像是贺卡，插在雪人怀里。 抽出来，果然是贺卡，画面是一个满脸雀 斑的男孩，穿着成人的牛仔装，在抹鼻涕。里面有字，歪歪扭扭，是小孩写的。 雪人：你又白又胖，桔子皮嘴唇真好看。你一定不怕冷，半夜里自己害怕吗？饿了就吃雪吧。咱俩做个好朋友！ 祝愿：新年快乐心想事成！ 沈阳岐山三校二年四班李小屹 我寄出也接受过一些贺卡，这张却 让人心动。我有点嫉妒雪人，能收到李小屹这么诚挚的关爱。 我把贺卡放回雪人的襟怀，只露一点小角。回到家，放不下这件事，给李小屹写了一张贺卡，以雪人的名义。我不知这样做对不对，希望不至伤害孩子的感情。 李小屹：真高兴得到你的贺卡，在无数个冬天里面，从来都没人 送给我贺卡。你是我的好朋友！ 祝愿：获得双百永远快乐！ 岐山中路10号三单元门前雪人 我寄了出去，几天里，我时不时看一眼雪人，李小屹是否会来？认识一下也很好。第三天，我看见雪人肩膀又插上了一张贺卡，忙抽出来读。 雪人：我收到你的贺卡高兴得跳了起来，咱们不是已 经实现神话了吗？但我的同学说这是假的。是假的吗？我爸说这是大人写的。我也觉得你不会写贺卡，大人是谁？十万火急！告诉我！（15个惊叹号）你如果不方便，也可通知我同学，王洋，电话621XX10；张弩电话684XX77。 祝愿：万事如意心想事成！ 李小屹 我把贺卡放回去，生出 别样心情。李小屹是个相信神话的孩子，多么幸福，我也有过这样的年月。在这场游戏中，我应该小心而且罢手了。尽管李小屹焦急地期待回音。 就在昨天，星期日的下午，雪人前站着一个女孩，背对着我家的窗。她装束臃肿．胳膊都放不下来了。这必是李小屹。她痴痴地站在雪人边 上，不时捧雪拍在它身上。雪人桔子皮嘴唇依然鲜艳。 我不忍心让李小屹就这么盼望着，像骗了她。但我更不忍心破坏她的梦。不妨让她惊讶着，甚至长成大人后跟自己的男友讲这件贺卡的奇遇。 一个带有秘密的童年是多么地幸福。 月光手帕 很多年以前，我在医院为父亲陪床。陪床 的人逼并没有床可以睡，时间已在后半夜，我散步在一楼和三楼的楼梯之间。这时医院没什么人走动了，几个乡下人披着棉衣蹲在楼梯口吸烟。偶尔，有戴着口罩的忽视手执葡萄糖轻盈往来。 我下到一楼，又拾阶上楼，走在我前面的一个小姑娘，大约是个中学生，行走间蹲下，拣一样 东西，旋又走开了，回头瞅我一眼。她走开后，地上一个薄白之物仍放着，像一方手帕。 我走近一看，这不是手帕，而是一小片月光摊在楼梯上。为什么是一小片呢？原来是从被钉死的落地长窗斜照进来的，只有一方手帕大的小窗为钉死。子夜之时，下弦月已踱到西天。这一片月光射 入，在昏黄的楼道灯光下，弥足珍贵。 小姑娘误以为这是奶白色的手帕，她弯腰时，手指触到冰凉的水泥地上便缩回了。她瞅我一眼，也许是怕笑话。 我不会笑她，这一举动里充满生机。小姑娘也是一个病人的家属，我不知她的病人在床上忍受怎样的煎熬，但她这样敏感，心里盛着美， 不然不会把月光误作手帕。 在她发现这块“月光手帕”前，我已将楼梯走了几遍，对周围无动于衷。正是因为她的弯腰，才诱使我把这一小片月色看成了手帕，或者像手帕。但我感伤自己已没有她那样的空灵，走过来也不会弯下腰去。因为一双磨炼得很俗的研究极易发现月光的破绽， 也就失去了一次美的愉悦。 许多年过去了，我对此事有了新的想法。多么希望她能够把这块“手帕”拣起来，抖一下，但那是不可能的事情。我替月光遗憾，它辜负了小姑娘轻巧的半蹲拣手帕的样子。 培植善念 过去，西藏有一位高僧叫潘公杰，每天打坐，在面前放黑白两堆小石子， 来辩识善念恶念。善念出现时，拿一颗白石子放在一边，恶念出现时，取黑石子。 佛法中的善念即利益大众，恶念则不简单指杀人越货，在脑中转瞬即逝的享乐之念，以及贪慕、忌妒、嗔恼等都可以称之恶念，而欺诈偷盗已是罪恶了。 以现在的角度阐述，善念即仁爱，而恶念不过是欲 望。欲望是什么？“是我们保持生存的主要工具”（卢梭）。由于欲望的指引，人生克服种种困难走向满足。“因此，为了保持我们的生存，我们必须看自己，爱自己要胜过看其他一切东西”（卢梭）。可见自私的本性已经深植人性之中，所谓欲望实为生存之道，不应有善恶之分。然而， 爱自己须有一个限度，超过此限，就可能变成恶，甚至罪。而人的欲望恰恰是永无止境的。因此，为了共同的利益，爱自己还应该爱我们生存的环境，注意到别人也需要爱。不能推及他人与环境的爱，叫做冷酷，这就是恶的生成。 一个人把爱兼及他人与环境，包括植物、动物，佛法称 之为“慈”。如果目睹苦寒之中的贫儿老妇，心中深出一点点同情心，则是另一种大善。这种情怀，即所谓“悲”。慈悲两字，听起来有些苍老，有人甚至会觉得它陈腐，实际它穿越时代，是凝注苍生的大境界。今天流行的“关怀”以及“温馨”，不过是它的现代版，内涵如一。 善念 其实是小小的火苗，倘若不精心护佑，它在心中也就旋生旋灭了。并非说，只有造福万代才叫善。譬如有人建议削平喜马拉雅山，让印度洋的暖流涌入，使干旱的西北大地变成热带雨林。此善大则大矣，却要我们等待太久。古人有诗：“为鼠常留饭，怜蛾不点灯。”虽然琐细，读后感觉 心中暖暖的，大过印度洋的暖流。 潘公杰大师在黑白石子中辨别善恶二念，到晚上检点，开始时黑石子多。他掴自己的耳光，甚至痛苦、自责：你在苦海里轮回，还不知悔过吗？三十多年之后，他手下全变成白石子了，大师修成菩提道。 我们达不到高僧那种至纯之境。爱自己原本也没 有错，我们是凡人，然而无论“利己心”走得多远，有善念相伴，你都会是一个好人。 跟穷人一起上路 那一次，我从油麻地去香港岛看维多利亚湾的夜景，途中步行经过一个隧道。隧道的名字已忘记了，印象是宽亮如昼。走着，目光被左壁招贴画吸引。———一个风尘仆仆的汉子迎面 而来，他刚毅精悍，左腿是机械假肢，肩膀有些前斜，吃力地、渴盼
高二数学复数的平方根与立方根,实系数一元二次方程(学生版)
19、已知复数 ，且 ，求实数 的值。
【课堂总结】
1、关于复系数一元二次方程
一般不能用来判断这个方程根的情况，然而实系数一元二次方程中根与系数的关系对于复系数一元二次方程仍适用，即有 。一元二次方程的求根公式仍然成立，只不过两根不一定成共轭复数。
2、实系数二次三项式在复数范围内的因式分解
若 是实系数一元二次方程 的根，则有 ，这样就可以利用一元二次方程的求根公式在复数范围内将实数系的二次三项式分解因式。
3、解题方法指导
（1）实系数一元二次方程若有虚根，则其虚根是成对出现的，即为共轭复数
（2）已知实数系一元二次方程的一根或两根的关系，求其系数时，一般对根的情况分类讨论，即分实根和虚根，利用根与系数的关系加以求解。
例8、设方程 的两根为 ，且 ，求实数 的值。
变式练习：设 ， 是关于 的方程 的两根， ，且 ，试求 的值。
【课堂小练】
1、已知关于 的二次方程 有实根，求复数 的模的最小值。
2、设 则 。·
3、若 是方程 的一个根，则 __________， _________。
4、在复数范围内分解因式： =_________________________。
【注】（1）一个非零复数的平方根都有相应的两个复数；
（2）复数的平方根一般不要记为 。
2、复数的立方根
若复数 满足 ，则称 是 的立方根。
【注】1的立方根有三个：1， ， （其中 ），满足 。
3、实系数的一元二次方程:
实系数的一元二次方程 （ 、 、 ，且 ）
(1)当 时，方程有两个不相等的实数根；
(A) 17 (B) (C) 8 (D） 4
高中数学知识点归纳平方根与立方根
高中数学知识点归纳平方根与立方根在高中数学中，平方根与立方根是重要的概念和运算。
它们在解方程、求平方、立方、根号下的运算等方面都有广泛的应用。
本文将对平方根和立方根进行详细的归纳和阐述，以帮助同学们更好地理解和掌握这些数学知识点。
一、平方根平方根是指一个数的算术平方的反运算。
在数学中，平方根可分为正平方根和负平方根。
具体定义如下：1. 正平方根：对于非负数a，如果存在一个非负数b，使得b的平方等于a，即b² = a，则b称为a的正平方根，记作√a。
2. 负平方根：对于非负数a，如果存在一个负数b，使得b的平方等于a，即b² = a，则b称为a的负平方根，记作-√a。
需要注意的是，负数没有实数域中的实数平方根，而只有虚数平方根。
平方根具有以下的基本性质：1. 非负数的平方根是非负数；负数的平方根是虚数。
2. 非零实数的平方根有两个，一个是正数，一个是负数。
3. 0的平方根是0。
4. 平方根的运算性质：- 两个非负数的平方根相乘等于这两个数的平方根的积。
- 两个非负数的平方根相除等于这两个数的平方根的商。
二、立方根立方根是指一个数的算术立方的反运算。
在高中数学中，我们主要讨论非负实数的立方根。
具体定义如下：对于非负数a，如果存在一个非负数b，使得b的立方等于a，即 b³= a，则b称为a的立方根，记作³√a。
与平方根类似，立方根也有以下的基本性质：1. 非负数的立方根是唯一的。
2. 0的立方根是0。
3. 负数的立方根是虚数。
4. 立方根的运算性质：- 两个非负数的立方根相乘等于这两个数的立方根的积。
- 两个非负数的立方根相除等于这两个数的立方根的商。
三、平方根与立方根的应用平方根和立方根在数学中有广泛的应用，特别是在解方程和求根的过程中。
1. 解方程：平方根和立方根经常用于解一元二次方程和一元三次方程。
通过求解方程中的平方根和立方根，可以得到方程的实数解或复数解。
高二数学复数的平方根和立方根(中学课件201910)
2、复数的立方根
类似地，若复数z1,z2满足z13=z2, ，则 称z1是z2的立方根，求一个复数的立方根 或更高次的方根需要进一步的复数知识. 下面我们中研究1的立方根.
例题选讲
例3：设 1 3 i，求证：
22
（1） , 2 , 1都是1的立方根 ； （2）1 2 0
(2) 3 4i
解：（1）设a+bi(a,b∈R)是4i的平方根，则
(a bi) 2 4i
a2 b2 2abi 4i
由两个复数相等的条件，得
a 2
b2
0
a
2或
a 2
2ab 4
2
b 2
所以，4i的平方根为 2 2i 或 2 2i
例4：利用1的立方根，求复数64的立方根
解：设z为64的立方根，则：
z3 64
∴ ( z )3 1
4
z 1 或 或 2
4
∴ z 4 或 4 或 4 2
1.复数的平方根
我们知道在实数集R内开方是乘 方的逆运算. 同样在复数集C内，如果
a+bi,c+di （a,b,c,d∈R）满足：
(a bi)2 c di
则称a+bi是c+di的一个平方根
例题选讲
例1：求下列复数的平方根
(1) 3
(2)7 24i
.
例2：求下列复数的平方根
(1) 4i
（2）设a+bi(a,b∈R)是3-4i的平方根，则
(a bi)2 3 4i a2 b2 2abi 3 4i
由两个复数相等的条件，得
根据实数知识点总结,解释复数的平方根和立方根的概念。
根据实数知识点总结，解释复数的平方根
和立方根的概念。
根据实数知识点总结，解释复数的平方根和立方根的概念
根据实数知识，我们知道平方根是指一个数的平方等于给定数的一个实数解。
而立方根则是指一个数的立方等于给定数的一个实数解。
但是，对于复数来说，平方根和立方根的概念略有不同。
复数的平方根
对于一个复数，平方根是指一个数的平方等于给定复数的一个复数解。
我们可以通过以下步骤来计算复数的平方根：
1. 将复数表示为实数和虚数部分的和，即 a + bi，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分。
2. 使用解析性方法（即将复数表示为指数形式）将复数转化为极坐标形式。
这可以通过计算模数（复数到原点的距离）和幅角（复数与正实轴的夹角）来实现。
3. 在极坐标形式下，平方根可以通过计算模数的平方根和幅角的一半来获得。
4. 将得到的极坐标形式转化回实数和虚数形式，即得到了复数的平方根。
复数的立方根
对于一个复数，立方根是指一个数的立方等于给定复数的一个复数解。
与平方根类似，我们可以通过以下步骤来计算复数的立方根：
1. 将复数表示为实数和虚数部分的和，即 a + bi，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分。
2. 使用解析性方法将复数转化为极坐标形式。
3. 在极坐标形式下，立方根可以通过计算模数的立方根和幅角的三分之一来获得。
4. 将得到的极坐标形式转化回实数和虚数形式，即得到了复数的立方根。
需要注意的是，对于复数来说，平方根和立方根有多个解（即多个复数解），因此我们需要考虑所有可能的解。
希望这份文档能够帮助你理解复数的平方根和立方根的概念。
复数开平方根
复数开平方根
摘要：
一、平方根的定义
二、复数的引入
三、复数开平方根的概念
四、复数开平方根的计算方法
五、复数开平方根的性质与应用
正文：
一、平方根的定义
在数学中，平方根是一个数的二次方等于另一个数的运算。
简单来说，如果a = b，那么a 就是b 的平方根。
平方根通常用符号"√b"表示。
二、复数的引入
复数是实数与虚数的组合，形式为a + bi，其中a 和b 是实数，i 是虚数单位，满足i = -1。
复数广泛应用于数学、物理等领域，如求解微分方程、表示向量等。
三、复数开平方根的概念
复数开平方根是指在复数域中求一个数的平方根。
由于复数的平方是一个四次方等于实数，因此复数开平方根需要考虑虚部，不能简单地套用实数的平方根公式。
四、复数开平方根的计算方法
对于复数a + bi，它的平方根可以通过以下公式计算：
√(a + bi) = √a * (1 + i√b)
其中，√a 是a 的平方根，√b 是b 的平方根。
五、复数开平方根的性质与应用
1.虚数单位i 的平方根为i，即√i = i。
2.对于纯虚数bi（b≠0），它的平方根为i√b。
3.对于复数a + bi，如果a ≥ 0，那么其平方根存在；如果a < 0，那么其平方根为虚数。
4.复数开平方根在求解复数方程、表示复数函数的极值点等方面有广泛应用。
总之，复数开平方根是一个在复数域中求解平方根的概念，有其独特的计算方法和性质。
复数的方根
复数的方根
复数的方根
复数的方根是一种特殊的复数，它是由一个实数和一个虚数组成的数，也就是说它是一种复数形式。
它是一些特殊的复数值，这些值可以用来解决特定的算术方程。
复数的方根可以通过复平方根函数来求得，这个函数可以简写为： z=√a+ib，其中z为复数，a为实部，b为虚部。
复数的方根可以用来求解特定的方程，并且它也可以用来表示复数的平方根。
例如，一个复数的平方根可以表示为√z = √a + ib，其中a是实部，b是虚部。
另外，复数的方根也可以用来解决复平方根的方程，这种方程的形式为：z2 = x2 + y2，其中x2和y2是实部，z2是虚部。
解决这种方程的方法就是对z2求平方根，即z = ±√(x2 + y2)。
复数的方根也可以用来解决一元二次方程，即ax2 + bx + c = 0，其中a，b，c是实数。
通过复数的方根，可以从这个一元二次方程中求出方程的根，即x = ±√(b2 – 4ac)/2a。
复数的方根还可以用来解决立方方程，即ax3 + bx2 + cx + d = 0，其中a，b，c，d是实数。
通过复数的方根，可以从这个立方方程中求出方程的根，即x = ±√(b3 – 3abc + 2ad2)/3a。
复数的方根也可以用来求解几何中的问题。
例如，可以用它来求解直角三角形的三边长。
由于复数的方根的灵活性，它可以用来解决许多复杂的数学问
题。
因此，学习复数的方根的知识对求解数学问题是非常重要的。
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强化练习 15. 3 4i 的平方根为
16. 若
1
3 i , 则 (1
2)4
22
4
3i
17.
=
13
综合巩固强化
6
18. 已知 a i ,b 1i
3 i , z a b(i 1) , 则 z2 等于
19. z1
5 2i, z2
4 3i , 则 z
z1 在复平面内所表示的点位于 z2
()
A 第一象限
B 第二象限
记
1
3 i ，则： , 2,1 都是 1 的立方根； 1
2 0,
1 ,1
；
22
例题讲解
复数的开方运算问题
【例 1】设 z C ，且 z2 3 4i ，求 z 。
【例 2】求 16 30i 的平方根；
复数集上因式分解问题
1
【例 3】在复数范围内分解因式： (1) x4 9; (2)x 2 i ; (3) x2 2x 3; (4) x3 i
C 第三象限
D 第四象限
20. 若 x 2 x 1 0 , 求 x 30 x 40 x 50 的值
21. 利用
1 3 i 求值 : 22
(1) ( 2 2 ) 2 (2
2)2
1
(2)
1
(3) 2
1013i3i1 Nhomakorabea2
8、 已知关于 x 的方程 x 2 ax b 0(a,b R) 的一个根为 3 4i , 求 a, b 的值 .
3
D、
4
31
A、
i
62
31
B、
i
62
31
C、
i
62
31
D、
i
62
2
2
13、设复数 z 满足 z 1 z 1 4 ，则 z 对应点的集合是（
）
A、直线
B、半圆
C、圆
D、椭圆
14、若 z1
1
3 i , z2
1
3 i 且 z1n z2n i n ，则 n 可以取（
）
22
22
A、 6
B、 8
C、 10
D、 12
利用 进行复数的计算问题
【例 4】计算 (1 3i )6 (1 2i (1 i )12 ( 1 2
3i )15 ； 1 i)2 2
2、变式练习：已知 x2 x 1 0 ，求 x30 x40 x 50 的值；
,
知识要点
实系数一元二次方程
2
1. 实系数一元二次方程
一元二次方程 ax2 bx c 0(a,b, c R, a 0)
【例 2】已知方程 x2 4x k 0有一个虚根为 1 2i ，求 k 的值；
3
【例 3】方程 x2 (k 2i) x 2 ki 0( k R) 有实根，求 k 的值并解方程。
【例 4】设关于 x 的方程 3x2 ( 6m 1) x m2 1 0 的两根分别为 , 且
2 ，求实数 m 的值；
课堂练习 1. 若关于 x 的方程 x2 kx 3 0 有虚根 , 则实数 k 的取值范围是 2. 已知方程 x 2 x 1 0 的两个为 x1, x2 , 则 x14 x24 = 3. 分解 x 3 y 3 成一次因式的积为
15、复数 z 1 2i ，则
2 ( z 1) =__________； 2i
16、在复数集上因式分解： x3 4 y3 x 2 y 4 xy2 =___________________;
17 程 x2 2 3x p 0 有两个虚根 , ，且
2 2 ，则实数 p=___________；
8
18、如果 x2 x 1 0 ，那么 1 x x2
12. 在复数集内分解因式
(1)
x 3 8 (2)
3x 2 7 x 5 (3) x4 4
5
13. 已知关于 x 的实系数方程 x2 kx k 2 3k 0 有一个模为 1 的虚根 , 求实数 k 的值 14. 已知关于 x 的方程 3 x2 6(m 1)x m 2 1 0 的两根 x1, x2, 满足 x1 x2 2 , 求实数 m 的值 .
9、已知方程 x2 x p 0 有两个虚根 , , 且
3 , 求实数 p 的值 , 并解此方程 .
7
10、已知关于 x 的方程 2 x 2 3ax a 2 a 0 至少有一个模为 1的复数根 , 求实数 a 的值 .
11、 (m i) 3 R ，则实数 m 的值为（
）
A、 2 3
B、 3
3
C、
3
12、适合方程 2x x i 0 的复数 x 是（ ）
,
p
q
8. 在复数集内因式分解 x 2 x 1 = 9. 若 z 3i ( z 3)i 6 0 , 则复数 z 10. 已知方程 x 2 x t 0 有两个虚根 , 且 x1 x2 3 , 则实数 t 的值为
11. 若 t R , 则方程 x 2 (t 2i )x (2 ti ) 0 至少有一个实根的条件是 ( ) A 2 3 t 2 3 B t 2 3或t 2 3 C t 2 2 D t 2 2
9
（ 1） 0 方程有两个不相等的实数根
b b2 4ac
；
2a
（ 2）
0 方程有两个相等的实数根
b
；
2a
（ 3）
0 方程有两个共轭虚根
b 4ac b2 i ； 2a
注：（ 1）实系数一元二次方程的根只可能两个都是实根或两个共轭虚根；
（ 2）解实系数一元二次方程先判断
的符号，以确定根的情况；
2. 实系数一元二次方程根与系数的关系
x 99 x100 __________ ；
19、如复数 z 同时满足 z z 2i, z iz （ i 为虚数单位） ，则 z=__________；
20、已知 z C 且 zz (1 2i) z (1 2i )z 3 ， （ 1）求 z 的最大值与最小值； （ 2）求 Re( z) Im( z) 的最大值和最小值；
方程
2
ax
bx
c
0(a, b, c
R, a
0) 的两个根为 x1, x2
C ，则
x1 x2 x1 x2
b a； c a
注：若 x1 C 则 x2 x1 且 x1 x2 2 Re x1 典型例题
b ; x1 x2
2
x1
c
；
a
a
实系数一元二次方程
【例 1】已知方程 x2 ax b 0( a, b R) 的一个根是 1 3i ，求 a,b 的值；
学员编号： 学员姓名：
授课类型
T
授课日期及时段
年 级： 辅导科目：
C
教学内容
课 时 数： 学科教师：
T
复数的平方根和立方根
知识要点
1. 复数的立方根：
（ 1）如果复数 z1, z2 满足 z12 z2 ，则称 z1是 z2 的立方根；
（ 2） 1 的立方根有 1, 1 3 i, 1 3 i 。 22 22
4
4. 方程 x 3 1 0 的一个虚根为 z, n N , 则 z2n zn 1 的值是 5. 设复数 z 满足 z 2 且 ( z a) 2 a , 求实数 a 的值 .
6. 已知 x, y, z 是互不相等的复数 , 且 x y y z z x k , 求 k .
x
y
z
7. 已知 1 2i 是实系数方程 x 2 px q 0 的一个根 , 则另一个根是