2020版高考数学一轮复习课后限时集训33二元一次不等式组与简单的线性规划问题理含解析新人教A版

课后限时集训(三十三)　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
(建议用时：40分钟)A 组　基础达标
一、选择题
1．(2018·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件Error!则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( )A ．6 B ．19 C ．21
D ．45
C [不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－x ，平移该直线，当经过
3
5点C 时，z 取得最大值，由Error!得Error!即C (2,3)，所以z max ＝3×2＋5×3＝21，故选C.
]
2．不等式组Error!所表示的平面区域内的整点个数为( )A ．2 B ．3 C ．4
D ．5
C [由不等式2x ＋y ＜6得y ＜6－2x ，且x ＞0，y ＞0，则当x ＝1时，0＜y ＜4，则y ＝1,2,3，此时整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)；当x ＝2时，0＜y ＜2，则y ＝1，此时整点有(2,1)；当x ＝3时，y 无解．故平面区域内的整点个数为4，故选C.]
3．若x ，y 满足条件Error!则目标函数z ＝x 2＋y 2的最小值是( )
A. B ．2 C ．4 D.
268
9
B [作出不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分所示．过原点O (0,0)作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂线段的长度d ＝＝，易知z min ＝d 2＝2，故选B.]
|0＋0－2|12＋12
24．点P (x ，y )为不等式组Error!所表示的平面区域内的动点，则的最小值为( )y x
A ．－
B ．－2
C ．－3
D ．－
1
2
13
D [作出不等式组Error!所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由Error!可得Error!故A (3，－1).
的几何意义为直线OP 的斜率，故当点P 与点A 重合时直线OP 的斜率最小，此时k OP ＝－.y x 13
]
5．某颜料公司生产A ，B 两种产品，其中生产每吨A 产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨；生产每吨B 产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨、200吨．如果A 产品的利润为300元/吨，B 产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天内可获得的最大利润为( )A ．14 000元 B ．16 000元C ．18 000元 D ．20 000元
A [设生产A 产品x 吨，
B 产品y 吨，则Error!
利润z ＝300x ＋200y ，
可行域如图阴影部分所示．
由图可知，当直线y ＝－x ＋经过点A 时，z 最大．
32z
200由Error!可得x ＝40，y ＝10，即A (40,10)．
z max ＝300×40＋200×10＝14 000.]
6．已知x ，y 满足约束条件Error!若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3 B ．2
C ．－2
D ．－3
B [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，若z ＝ax ＋
y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0
符合题意，∴2a ＋0＝4，此时a ＝2，故选B.]
7．(2019·皖南八校联考)设不等式组Error!，所表示的平面区域为M ，若直线y ＝k (x －2)－1的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.[－3
2，－1
]
C.
D ．[－1,3]
(
－∞，－3
2
]
A [画出不等式组
Error!表示的可行域如图阴影部分所示，
y ＝k (x －2)－1恒过C (2，－1)，k ＝
即为可行域内的点(x ，y )与C (2，－1)连线的斜率，y ＋1
x －2
由图可知，k ≤k BC ＝－1，
即实数k 的取值范围是(－∞，－1]，故选A.]
二、填空题
8．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)表示区域D 的不等式组为________；
(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，则a 的取值范围为________．
(1)Error!　(2)(－18,14)　[(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为Error!(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]＜0，即(14－a )(－18－a )＜0，得a 的取值范围是－18＜a ＜14.]
9．(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件Error!则z ＝3x －4y 的最小值为________．
－1　[不等式组Error!表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x －4y 得y ＝x －z .
341
4平移直线y ＝x ，易知经过点A 时，z 有最小值．
3
4由Error!得Error!∴A (1,1)．∴z min ＝3－4＝－1.]
10．已知约束条件Error!若目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)恰好在点(2,2)处取到最大值，则a 的取值范围为________．
　[作出不等式对应的平面区域，如图阴影部分所示，(
1
3
，＋∞)
当a ＝0时，z ＝x ，即x ＝z ，此时不成立．故a ≠0.由z ＝x ＋ay 得y ＝－x ＋.
1a z
a
由Error!解得Error!即A (2,2)．
要使目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)仅在点A (2,2)处取得最大值，则阴影部分区域在直线y ＝－x ＋
1
a
的下方，即目标函数的斜率k ＝－，满足k ＞k AC ，即－＞－3.z a 1a 1
a
∵a ＞0，∴a ＞，即a 的取值范围为.]
13(
1
3
，＋∞)
B 组　能力提升
1．若x ，y 满足约束条件Error!则
的取值范围是( )x ＋1
y
A. B.[5
3
，11][111，35
]C. D.[3
5，11]
[111，53]
A [约束条件对应的平面区域是以点，和为顶点的三角形及其内部，
(45，45)(32，32)(83，13)
y
x ＋1的几何意义是可行域上的点(x ，y )与点(－1,0)连线所在直线的斜率，当(x ，y )取点时，
(83，1
3)
取得最小值；当(x ，y )取点时，取得最大值，则∈，所以∈y
x ＋1111(32，32)y x ＋135y x ＋1[111，35]
x ＋1
y
，故选A.][
5
3
，11]
2．已知实数x ，y 满足Error!若目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |－1≤a ≤1} B ．{a |a ≤－1}
C ．{a |a ≤－1或a ≥1}
D ．{a |a ≥1}
A [不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，所以目标函数z ＝
ax ＋y 的图象经过点A (3,9)时，z 取得最大值，经过点B (3，－3)时，z
取得最小值，由图象得，－1≤－a ≤1，所以－1≤a ≤1，故选A.]3．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)．若点M (x ，y )为平面区域Error!上的一个动点，则·的取值范围是________．
OA → OM →
[0,2]　[满足约束条件Error!的平面区域如图阴影部分所示．将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式．当x ＝1，y ＝1时，·＝－1×1＋1×1＝0；
OA → OM →
当x ＝1，y ＝2时，·＝－1×1＋1×2＝1；
OA → OM →
当x ＝0，y ＝2时，·＝－1×0＋1×2＝2.
OA → OM →
故·的取值范围为[0,2]．OA → OM →
]
4．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为________元．
2 400　[设生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，每天的利润为z 元，x ，y ∈N.根据题意，有
Error!目标函数为z ＝300x ＋400y .
作出Error!所表示的可行域，如图中的阴影部分中的整点所示，
作出直线3x＋4y＝0并平移，当直线经过点A(0,6)时，z有最大值，z max＝400×6＝2 400.]。