§10.4第二型曲面积分1

Σ Σ1 Σ2
（3） ∫∫ A n dS = ∫∫ A n dS ( Σ 与 Σ 是同一曲面的两侧)。
Σ Σ
四、第二型曲面积分的数量表达式
设 A( x, y, z ) = P ( x, y, z )i + Q( x, y, z ) j + R ( x, y, z )k ，
n = cos α i + cos β j + cos γk ，则
例 1．计算 ∫∫ zdx ∧dy ，
Σ
（1） Σ 为锥面 z = x 2 + y 2 在 0 ≤ z ≤ 1 部分的下侧；
（2） Σ 为锥面 z = x 2 + y 2 与平面 z =1 所围曲面的内侧。
z
z
Σ2 Σ1
Dxy o
x
1
1
y
Dxy o
x
1
1
y
例 2．计算 I = ∫∫ y ( x z )dy ∧ dz + x 2 dz ∧ dx + ( y 2 + xz )dx ∧ dy ，
例如，将长方形纸条的一端扭转180 ，再与另一端 粘合起来，就是单侧曲面。
对于双侧曲面可以通过曲面上法向量的指向来确定 曲面的侧。这种取定了法向量的指向亦即确定了曲面 的侧，称为有向曲面 有向曲面。 有向曲面
z
一般封闭曲面有内侧与外侧之分； n 曲面 Σ ： z = f ( Σ y ) 有上侧与下侧之分； x, 曲面 Σ ： x = f ( y, z ) 有前侧与后侧之分；n 曲面 Σ ： y = f ( x, z ) 有左侧与右侧之分。 o o
Σ D yz
（前侧取正，后侧取负。 ）
若曲面为 Σ ： y = y ( x, z ) ，则有

∫∫Q( x, y, z )dx ∧ dz = ± ∫∫Q( x, y( x, z ), z )dxdz
Σ Dxz
（右侧取正，左侧取负。 ）
将第二型曲面积分化为二重积分的方法
一代：将曲面 Σ 的方程 代入被积函数； 一代 二投：将曲面 Σ 投影 到坐标平面。 二投 （例如：积分中含 dx∧ dy ，则应向 xoy 面投影。 ） dx ∧ 三定号：由曲面所给定的方向即其侧来决定取正号还 三定号 是取负号； 四换域：改变积分域，曲面 Σ 变为投影域 。 四换域
其中 Σ 是正六面体的外侧（如图所示） 。
Σ
z a
∑5
∑4
∑1
∑ 2 ∑3
o
∑6
ay
a
x
例 1．计算 ∫∫ zdx ∧dy ，
Σ
（1） Σ 为锥面 z = x 2 + y 2 在 0 ≤ z ≤ 1 部分的下侧；
（2） Σ 为锥面 z = x 2 + y 2 与平面 z =1 所围曲面的内侧。
解： （1） Σ ： z = x 2 + y 2 ， 0 ≤ z ≤ 1 ，下侧，
Σ
∫∫Qdz ∧ dx 称 为 Q 对 坐标 z, x 的曲面积分；
Σ Σ
∫∫ Rdx ∧ dy 称 为 R 对 坐标 x, y 的曲面积分。
10.4.3 第二型曲面积分的计算
以 ∫∫ R ( x, y, z )dx ∧dy 为例说明第二型曲面积分的计算方法。
Σ
设有向光滑曲面 Σ ： z = z ( x, y ) ， Σ 取 上侧。
2 2 D xy
例 2．计算 I = ∫∫ y ( x z )dy ∧ dz + x 2 dz ∧ dx + ( y 2 + xz )dx ∧ dy ，
其中 Σ 是正六面体的外侧（如图所示） 。
Σ
解： Σ = Σ1 + Σ 2 +Σ 6 ，
Σ1 ： x = a (0 ≤ y ≤ a, 0 ≤ z ≤ a ) 的前侧； Σ 2 ： x = 0 (0 ≤ y ≤ a, 0 ≤ z ≤ a) 的后侧；
§10.4 第二型曲面积分
10.4.1 曲面侧的概念
在光滑曲面 Σ 上任取一 点P ，过 点P 作曲面 Σ 的法向量，
它有两个方向，选定其中一个方向 设为 n 。如果当 点P 在曲面 Σ 上不越过边界而任意连续变动又回到原来位置 时，法向量 n 总不改变方向 ，则称这种曲面为双侧曲面 双侧曲面， 双侧曲面 否则称为单侧曲面 单侧曲面。 单侧曲面
z
D xy ： x + y ≤ 1 ，
2
2
∫∫ zdx ∧ dy =
Σ
∫∫
D xy
x 2 + y 2 dxdy
Dxy o
1 2 2 = d ρ dρ = π. 0 0 3
∫
2π
∫
x
1
1
y
（2） Σ = Σ1 + Σ 2 ，
Σ1 ： z = x + y ， 0 ≤ z ≤ 1 ，上侧；
2 2
z
上侧 下侧
z
Σ
y
y
x
x
10.4.2 第二型曲面积分的概念
一、引例：求稳定流动的不可压缩流体流向有向曲面 Σ 引例
指定侧的 流量 Φ （假定密度为 1） 。
设流体的速度场为 v ( x, y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x, y , z ) k ，
有向曲面指向侧的单位法向量 n = cos αi + cosβ j + cos γk 。
若 Σ 为平面上面积为 A 的区域，而流速 v 是常向量， 则在单位时间内流过 Σ 的流体组成一个底面积为 A ， 斜高为 v 的斜柱体，
其体积为 A v cos θ = Av n ，即
v
A
θ
Φ= Avn.
若 Σ 为曲面，流速 v 不是常向 量，则用下面的方法计算流量 Φ 。
Σ
∫∫ A( x, y, z )ndS = dlim0∑ A(ξi , ηi , ζ i ) ni Si →
Σ i=1
n
（ （1）当 注： 1）当 A( x, y, z ) 在有向曲面 Σ上 连续时，其第二型 曲面积分存在。
（2）流体 v ( x, y, z ) 流向有向曲面 Σ 指定侧的流量
Φ = ∫∫ v( x, y, z ) n dS 。
A( x, y, z ) n dS = ( P cos α + Q cosβ + R cos γ )dS
其中 dS 为曲面 Σ 的面积元素。
记 dS = n dS = {cos αdS , cosβdS , cos γdS }={dy ∧ dz , dz ∧ dx, dx ∧ dy} ，
称 dS 为曲面 Σ 的面积元向量 面积元向量。 面积元向量
1≤i ≤ n
令 d ′ = max{σ i的直径} ，当 d → 0 时， d ′ → 0 ，
∴ ∫∫ R ( x, y, z )dx ∧ dy = lim ∑ R (ξ i , ηi , ζ i ) cos γ i S i
Σ d →0 i =1
n
= lim ∑ R(ξ i , ηi , z(ξ i , ηi ))σ i =
n
） （1）分割 将 Σ任 意分成 n 小块 S i (i =1,2,, n) ，
S i 同时代表其面积。
） （2）近似
M i (ξ i , ηi , ζ i )∈ S i ，
z
ni
Mi
vi
在 Σ是 光滑和 v 连续 的 前提下，以点 M i 处的 流速 vi = v ( M i ) 和单位 法向量 ni 分别代替 S i
则 An dS = A dS = Pdy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy ，
从而 ∫∫ A n dS = ∫∫ Pdy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy 。
Σ Σ
∫∫
Σ
A( x, y, z ) n dS = ∫∫ Pdy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy
Σ 在 xy 面上的投影区域为 D xy ，
A( x, y, z ) = R ( x, y, z ) k 在 Σ 上连续，则
∫∫ R( x, y, z )dx ∧ dy = ∫∫ A( x, y, z )ndS = dlim0 i∑1R(ξ i, ηi , ζ i ) cos γ i S i → =
Σ
dy ∧ dz 是 dS 在 x 轴上的 投影； dz ∧ dx 是 dS 在 y 轴上的
投影； dx ∧ dy 是 dS 在 z 轴上的 投影。
它们的取值可正、可负、也可为零。如当 cos γ > 0 时，
dy ∧ dz 取正号；当 cos γ < 0 时， dy∧ dz 取负号。
特殊形式： 特殊形式 ∫∫ Pdy ∧dz 称 为 P 对 坐标 y, z 的曲面积分；
1≤i ≤ n
处的单位法向量 为 ni ，作和式 ∑ A(ξ i , ηi , ζ i ) ni S i ，如果
i =1
n
当 d → 0 时，对 Σ 的任意分法及点 M i 的任意选取，上述和 式恒有同一极限，则称此极限值为 A( x, y, z ) 在有向曲面 Σ上
的第二型曲面积分，记为 ∫∫ A( x, y, z ) n dS ，即
Σ
三、第二型曲面积分的性质
设 A = A( x, y, z ) ， B = B ( x, y , z ) ，
（1） ∫∫ (a A + b B)n dS = a ∫∫ A n dS + b ∫∫ B n dS ( a, b 为常数)；
Σ Σ Σ
（2） ∫∫ A n dS = ∫∫ An dS + ∫∫ An dS ( Σ 可分为Σ1与Σ 2 )；