2017学年浦东新区第一学期八年级数学
2017-2018学年上海市浦东新区第四教育署八年级(下)期中数学试卷(五四学制)(解析版)
2017-2018学年上海市浦东新区第四教育署八年级(下)期中数学试卷(五四学制)(解析版)2017-2018学年上海市浦东新区第四教育署八年级（下）期中数学试卷（五四学制）一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.下列函数中，是一次函数的是（）A. y=1x+2 B. y=x+2C. y=x2+2 D. y=kx+b2.已知一次函数y=kx+b，k＜0，b＞0，那么下列判断中，正确的是（）A. 图象不经过第一象限B. 图象不经过第二象限C. 图象不经过第三象限D. 图象不经过第四象限3.若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（）A. 3B. 4C. 5D. 64.下列方程中，有实数根的是（）A. √x−2+3=0B.xx−2=2x−2C. 2x2+3x+1=0 D. 2x4+3=05.点A、B、C、D在同一平面内，若从①AB∥CD②AB=CD③BC∥AD④BC=AD这四个条件中选两个，不能推导出四边形ABCD是平行四边形的选项是（）A. ①②B. ①④C. ②④D. ①③6.如图，直线y=-4x+4与x轴，y轴分别交于3A，B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是（）A. (7,3)B. (4,5)C. (7,4)D. (3,4)二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）7.一次函数y=-4x-2的图象在y轴上的截距是______．8.已知一次函数y=（k-1）x-2，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是______．9.一次函数的图象经过点（0，2）和（-2，0），那么这个一次函数的解析式是______．10.方程√x+1=x-1的根是______．11.将二元二次方程x2-2xy+y2=1化为二个二元一次方程为______．12.13. 将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F 处．若△FDE 的周长为5，△FCB 的周长为17，则FC 的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）14. 解方程：1x−1=4x 2+2x−3+1．四、解答题（本大题共7小题，共46.0分）15. 解方程：√x -√x −7=1．16. 解方程组：{x +y =2x 2+5xy+6y 2=017.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销量y（件）之间的关系如下表：若日销量y是销售价x 的一次函数．（1）求出日销量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；（2）求销售定价为30元时，每日的销售利润．x（元）152025……y（件）252015……18.上周六，小明一家共7人从家里出发去公园游玩．小明提议：让爸爸开车载着爷爷、奶奶、外公、外婆去，自己和妈妈坐公交车去，最后在公园门口汇合．图中l1，l2分别表示公交车与小轿车在行驶中的路程（千米）与时间（分钟）的关系，试观察图象并回答下列问题：（1）公交车在途中行驶的平均速度为______千米/分钟；此次行驶的路程是______千米．（2）写出小轿车在行驶过程中s与t的函数关系式：______，定义域为______．（3）小明和妈妈乘坐的公交车出发______分钟后被爸爸的小轿车追上了．19.甲、乙两家便利店到批发站采购一批饮料，共25箱，由于两店所处的地理位置不同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元．当两店将所进的饮料全部售完后，甲店的营业额为1000元，比乙店少350元，求甲乙两店各进货多少箱饮料？20.已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且∠BAE=∠DCF．求证：四边形AECF是平行四边形．21.将直角坐标系中一次函数的图象与坐标轴围成三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y=kx-7的图象与x，y轴分别交于点A，B，那么△ABO为此一次函数的坐标三角形（也称直线AB的坐标三角形）．（1）如果点C在x轴上，将△ABC沿着直线AB翻折，使点C落在点D（0，18）上，求直线BC的坐标三角形的面积；（2）如果一次函数y=kx-7的坐标三角形的周长是21，求k的值；（3）在（1）条件下，如果点E的坐标是（0，8），直线AB上有一点P，使得△PDE周长最小，且点P正好落在某一个反比例函数的图象上，求这个反比例函数的解析式．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、y=+2，不符合一次函数的定义，故此选项错误；B、y=x+2，是一次函数，故此选项正确；C、y=x2+2，是二次函数，故此选项错误；D、y=kx+b（k≠0），故此选项错误；故选：B．直接利用一次函数的定义分析得出答案．此题主要考查了一次函数的定义，正确把握一次函数中自变量的次数与系数关系是解题关键．2.【答案】C【解析】解：∵一次函数y=kx+b，k＜0，∴一次函数的图象经过第二、四象限，又∵b＞0，∴一次函数的图象与y轴的交点在x轴的上方，∴一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限．故选：C．由一次函数y=kx+b，k＜0，b＞0，根据一次函数y=kx+b（k≠0）的性质得到图象经过第二、四象限，并且图象与y轴的交点在x轴的上方，因此图象经过第一、二、四象限．本题考查了一次函数y=kx+b（k≠0）的性质：当k＞0，图象经过第一、三象限；当k＜0，图象经过第二、四象限；当b＞0，图象与y轴的交点在x轴的上方；当b=0，图象过原点；当b＜0，图象与y轴的交点在x轴的下方．3.【答案】A【解析】解：设边数为n，根据题意得（n-2）•180°＜360°解之得n＜4．∵n为正整数，且n≥3，∴n=3．故选：A．由于任何一个多边形的外角和为360°，由题意知此多边形的内角和小于360°．又根据多边形的内角和定理可知任何一个多边形的内角和必定是180°的整数倍，则此多边形的内角和等于180°．由此可以得出这个多边形的边数．本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，还需要懂得挖掘此题隐含着边数为正整数这个条件．本题既可用整式方程求解，也可用不等式确定范围后求解．4.【答案】C【解析】解：A、∵≥0，∴≥3，∴方程无解；B、，方程有意义，则x-2≠0，x≠2，解得，x=2；∴方程无解；C、2x2+3x+1=0，∵△=9-4×2×1=1＞0，∴方程有实数根；D、2x4+3=0，∵2x4≥0，∴2x4+3≥3，∴方程无解；故选：C．分别根据分式方程、无理方程的解法，判断、解答即可．本题考查了无理方程、分式方程及一元二次方程以及高次方程的解法，在解答无理、分式方程时，x的取值必须使方程有意义，注意验根．5.【答案】B【解析】解：A、由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；B、一组对边平行而另一组对边相等不能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确．故选：B．根据平行四边形的判定方法逐一进行选择判断．本题考查了平行四边形的判定，属于基础题型，关键要记准平行四边形的判定方法．6.【答案】A【解析】解：直线y=-x+4与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0，4）两点．旋转前后三角形全等．由图易知点B′的纵坐标为OA长，即为3，∴横坐标为OA+OB=OA+O′B′=3+4=7．故选：A．旋转不改变图形的大小和性质，所得图形与原图形全等，根据全等三角形的性质，即可得到相应线段的长．要注意，解题的关键是：旋转前后线段的长度不变．7.【答案】-2【解析】解：在y=-4x-2中，令x=0，可得y=-2，∴一次函数y=-4x-2的图象与y轴的交点坐标为（0，-2），∴一次函数y=-4x-2的图象在y轴上的截距为-2，故答案为：-2．在y轴上的截距，求与y轴的交点坐标即可．本题主要考查函数与坐标轴的交点，掌握截距与坐标的关系是解题的关键．8.【答案】k＜1【解析】解：∵一次函数y=（k-1）x-2，y随x的增大而减小，∴k-1＜0，解得，k＜1．故答案是：k＜1．一次函数y=kx+b，当k＜0时，y随x的增大而减小．据此列式解答即可．本题主要考查了一次函数的性质．一次函数y=kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．9.【答案】y=x+2【解析】解：设函数解析式为y=kx+b，则，解得，所以这个一次函数的解析式是y=x+2．故答案为：y=x+2．设一次函数解析式为y=kx+b，利用待定系数法列式求解即可．本题考查了待定系数法求一次函数解析式，是求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握．10.【答案】x=3【解析】解：方程两边平方得，x+1=（x-1）2，解方程x2-3x=0得x1=3，x2=0，经检验x2=0是原方程的增根，所以原方程的根为x=3．故答案为x=3．先把方程两边平方，使原方程化为整式方程x+1=（x-1）2，解此一元二次方程得到x1=3，x2=0，把它们分别代入原方程得到x2=0是原方程的增根，由此得到原方程的根为x=3．本题考查了无理方程：根号内含有未知数的方程叫无理方程；解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，常常采用平方法去根号．11.【答案】x-y=1和x-y=-1【解析】解：x2-2xy+y2=1，（x-y）2=1，开方得：x-y=±1．故答案为：x-y=1和x-y=-1．根据完全平方公式得出（x-y）2=1，开方得出x-y=±1，即可得出答案．本题考查了解高次方程和完全平方公式，注意：x2-2xy+y2=（x-y）2．12.【答案】y2+2y-3=0【解析】解：设y=，则=，代入得：y-+2=0，整理得：y2+2y-3=0；故答案为：y2+2y-3=0．如果设y=，则=，代入整理可得答案．本题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，使方程简单化．13.【答案】4【解析】解：分式方程去分母得：x+2=k+x2-4，把x=2代入整式方程，得k=4，故答案为：4分式方程去分母转化为整式方程，把x=2代入整式方程计算即可求出k的值．此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．14.【答案】140x+140x+21=14【解析】解：读前一半用的时间为：，读后一半用的时间为：．方程应该表示为：+=14．故答案为：+=14．关键描述语为：“在两周借期内读完”；等量关系为：读前一半用的时间+读后一半用的时间=14．本题考查了分式方程的应用，列分式方程是解决此类问题的关键，本题主要考查的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．15.【答案】36【解析】解：∵十边形的内角和=（10-2）•180°=1440°，又∵十边形的每个内角都相等，∴每个内角的度数=1440°÷10=144°．则每个外角度数为180°-144°=36°，故答案为：36．根据多边形的内角和公式即可求得每个内角度数，再根据内角与相邻外角互补可得答案．本题考查多边形的内角和计算公式．多边形内角和定理：多边形内角和等于（n-2）•180°．16.【答案】AB∥CD【解析】解：添加条件AB∥CD，∵∠A+∠B=180°，∴AD∥CB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故答案为：AB∥CD．由条件∠A+∠B=180°可推出AD∥BC，再加上条件AB∥CD，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形ABCD是平行四边形．此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．17.【答案】x＜1【解析】解：∵一次函数不经过第三象限，∴一定经过二、四象限，∴k＜0，由图中可以看出，当x＜1时，kx+b＞2，故答案为x＜1．根据一次函数不经过第三象限可得k的值，进而可得所求解集在1的左边．考查用一次函数的图象解决一元一次不等式问题；判断出相应的函数图象是解决本题的关键．18.【答案】6【解析】解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，AB=DC；由题意得：AE=FE，AB=BF；∵△FDE的周长为5，△FCB的周长为17，∴DE+DF+EF=5，CF+BC+BF=17，∴（DE+EA）+（DF+CF）+BC+AB=22，即2（AB+BC）=22，∴AB+BC=11，即BF+BC=11；∴FC=17-11=6，故答案为6．根据翻折变换的性质、平行四边形的性质证明AB+BC=11，此为解题的关键性结论；运用△FCB的周长为17，求出FC的长，即可解决问题．该题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点及其应用问题，解题的方法是准确找出图形中隐含的等量关系；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点来分析、判断、解答．19.【答案】解：去分母得：x+3=4+x2+2x-3，即x2+x-2=0，解得：x1=1，x2=-2，经检验：x=1是增根，x=-2是原方程的根．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．20.【答案】解：∵√x-√x−7=1，∴√x-1=√x−7，两边平方得：x +1-2√x =x -7，即√x =4，解得：x =16，经检验x =16是原方程的根，∴x =16是原方程的根．【解析】将原方程经过移项得到-1=，然后经过两次平方无理方程化为有理方程求解即可．本题考查了无理方程的解法，其基本思路是通过平方化整式方程，注意方程的根需要检验，难度不大．21.【答案】解：由①得：（x +2y ）（x +3y ）=0，∴x +2y =0③或x +3y =0④．由②③，②④联立得方程组，{x +y =2x+2y=0，{x +y =2x+3y=0解方程组{x +y =2x+2y=0，得{x 2=−2x 1=4 解方程组{x +y =2x+3y=0，得{y 2=−1x 2=3 所以原方程组的解为：{x 2=−2x 1=4，{y 2=−1x 2=3． 【解析】由于组中的第一个方程右边是0，左边能因式分解，所以先把组中的第一个方程转化为两个二元一次方程，再和组中的第二个方程组成二元一次方程组，求解即可．本题考查了二元二次方程组的解法，把二次方程转化为两个一次方程，是解决此类题目常用的办法．解决本题亦可变形组中的一次方程，代入二次方程先求出其中一个未知数的值，再求另一个未知数的值．22.【答案】解：（1）设此一次函数解析式为y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）．15k+b=25．则{20k+b=20k=−1，解得{b=40即一次函数解析式为y=-x+40．（2）当x=30时，每日的销售量为y=-30+40=10（件）每日所获销售利润为（30-10）×10=200（元）【解析】（1）已知日销售量y是销售价x的一次函数，可设函数关系式为y=kx+b（k，b 为常数，且k≠0），代入两组对应值求k、b，确定函数关系式．（2）把x=30代入函数式求y，根据：（售价-进价）×销售量=利润，求解．本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，解题的关键是理解题意，学会构建一次函数解决实际问题．23.【答案】0.8；36；s=t-5；5≤t≤41；25【解析】解：（1）4÷5=0.8（千米/分钟），0.8×45=36（千米）．故答案为：0.8；36．（2）设小轿车在行驶过程中s与t的函数关系式为s=kt+b，将（5，0）、（41，36）代入s=kt+b，，解得：，∴小轿车在行驶过程中s与t的函数关系式为s=t-5（5≤t≤41）．故答案为：s=t-5；5≤t≤41．（3）公交车在行驶中s与t的函数关系式为s=0.8t．联立两函数关系式成方程组，，解得：，∴小明和妈妈乘坐的公交车出发25分钟后被爸爸的小轿车追上了．故答案为：25．（1）根据速度=路程÷时间可求出公交车在途中行驶的平均速度，再由路程=速度×时间可求出此次行驶的路程；（2）观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出小轿车在行驶过程中s 与t的函数关系式，观察图象即可找出其定义域；（3）先求出公交车在行驶中s与t的函数关系式，再联立两函数关系式成方程组，解方程组即可得出结论．本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）观察图象找出点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（3）联立两函数关系式成方程组，通过解方程组求出交点坐标．24.【答案】解：设甲店进货x箱，乙店进货（25-x）箱（1分）由题意可得1000x −135025−x=10（4分）x2-260x+2500=0，（2分）x1=10；x2=250（不符合题意，舍去）．（2分）经检验x=10是原分式方程的解，且符合题意，25-x=25-10=15（箱）答：甲店进货10箱，乙店进货15箱．（1分）【解析】设甲店进货x箱，乙店进货（25-x）箱，根据甲、乙两家便利店到批发站采购一批饮料，共25箱，由于两店所处的地理位置不同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元．当两店将所进的饮料全部售完后，甲店的营业额为1000元，比乙店少350元，可列方程求解．本题考查分式方程的应用，设出进货数，以价格差做为等量关系可列方程求解．25.【答案】证明：在平行四边形ABCD中，∵∠B=∠D，∠BAE=∠DCF，∴∠AEB=∠CFD．（1分）∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD．（2分）∴∠CFD=∠EAD．（1分）∴AE∥CF．（1分）∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形．（2分）【解析】平行四边形的对边平行，对角相等，根据此可求出四边形AECF另一组对边平行，根据两组对边平行的四边形是平行四边形，从而可证明．本题考查平行四边形的性质定理和判定定理，以及平行线的判定定理，本题用两组对边平行的四边形是平行四边形进行证明．26.【答案】解：（1）∵将x =0代入y =kx -7得y =-7，∴B （0，-7）．∴OB =7．又∵D （0，18），∴OD =18．∴BD =25．由翻折的性质可知；BC =BD ．∵BC =25，OB =7，∴OC =√BC 2−OB 2=24．∴直线BC 的坐标三角形的面积=12OC •OB =12×24×7=84． （2）设OA =x ，则AB =14-x ．∵在Rt △AOB 中，由勾股定理得：AB 2=OA 2+OB 2，即（14-x ）2=x 2+72，解得：x =5.25，∴A （-214，0）．∵将点A 的坐标代入y =kx -7得：-214k -7=0，解得：k =-43，∴直线AB 的解析式为y =-43x -7．（3）如图：连接CE 交AB 于点P ．∵点C 与点D 关于AB 对称，∴PC =PD ．∴PD +PE =PC +PE ．∴当点C 、P 、E 在一条直线上时，PC +PE 有最小值．又∵DE 的长度不变，∴当点C 、P 、E 在一条直线上时，△DPE 的周长最小．设直线CE 的解析式为y =kx +b ．∵将C （-24，0），E （0，8）代入得：{−24k +b =0b=8，解得：k =13，b =8， ∴直线EC 的解析式为y =13x +8．∵点C 与点D 关于AB 对称，∴直线AB 与CD 的交点坐标为（-12，9）． 将（-12，9）代入y =kx -7得：-12k -7=9，解得：k=-43．∴直线AB的解析式为y=-43x-7．∵将y=13x+8与y=-43x-7联立，解得：{y=5x=−9，∴P（-9，5）．设反比例函数的解析式为y=kx．∵k=xy=-9×5=-45，∴反比例函数的解析式为y=-45x．【解析】（1）先求得点B的坐标，从而得到OB=7，由翻折的性质可知BC=BD=25，依据勾股定理可求得OC的长，依据三角形的面积公式求解即可；（2）设OA=x，则AB=14-x，在Rt△AOB中，由勾股定理可求得OA的长，从而得到点A的坐标，由A、B的坐标可求得直线AB的解析式；（3）连接CE交AB于点P，由轴对称的性质可知当点C、P、E在一条直线上时，△DPE的周长最小，然后再求得直线CE的解析式，将AB的解析式与CE 的解析式联立可求得点P的坐标，从而可求得反比例函数的解析式．本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式、方程组与交点坐标、轴对称路径最短等知识点，明确当点C、P、E在一条直线上时，△DPE的周长最小是解题的关键．。
沪教版八年级数学第一学期18.1：函数的概念、正比例函数
第七讲 函数的概念、正比例函数函数的概念 一、知识点 1. 变量与常量在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量，保持数值不变的量叫做常量. 2. 函数的定义在某个变化过程中有两个变量x 和y ，如果在x 的允许取值范围内，变量y 随着x 的变化而变化，它们存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量。
3. 函数的定义域与函数值函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域. 如果y 是x 的函数，那么对于x 在定义域内取定的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x a =时的函数值.符号“()y f x =”表示y 是x 的函数，f 表示y 随x 变化而变化的规律. 二、例题讲解例1 物体所受的重力与它的质量之间有如下的关系：G mg =，其中，m 表示质量，G 表示重力，9.8g =牛/千克，物体所受的重力G 是不是它的质量m 的函数？解：物体所受的重力G 随它的质量m 的变化而变化，由G mg =可知，这两个变量之间存在确定的依赖关系，所以物体所受的重力G 是它的质量m 的函数.例2 汽车的速度为50千米/时，写出汽车匀速运动时行驶的路程y （千米）关于时间x （时）的函数解析式及定义域.分析： 本题依据公式“路程=时间Ｘ速度”列出数量关系，因为时间为非负数，所以定义域为0x ≥. 解：函数解析式为50y x =，定义域为0x ≥. 例3 求下列函数的定义域：（1）23y x =+; （2）11y x =-； （3）y = 解：（1）对于整式23x +，无论x 取什么实数，它都有意义，所以函数23y x =+的定义域是一切实数；（2）对于分式11x -，当1x =时，它没有意义.所以函数11y x =-的定义域是1x ≠；（3，当12x ≥-时，它有意义，所以函数y = 域是12x ≥-.说明：求函数的定义域应该根据解析式的特征进行思考. 例4 已知()f x =12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 分析：函数与函数值是不同的概念.函数是指两个变量之间的某种关系，而函数值指的是当自变量取某一数值时，函数的一个对应值.求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，就是当12x =-时，求21y x =-+的值，只需要把12x =-代入后计算即可. 解：131322.241212f ⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭-==- ⎪⎝⎭⎛⎫-⨯-+ ⎪⎝⎭例5 等腰三角形的周长等于20cm ，请写出这个等腰三角形的底边长()x cm 和腰长()y cm 之间的解析式. 分析 根据周长的定义，得220x y +=，整理得20220,2xy x y -=-=， 即 1102y x =-+.函数解析式就是一个等式，求函数解析式时，有时可以利用一些现成的等式或公式，比如周长公式、面积公式等等.答案：1102y x =-+ 说明：1. 变量2x +是不是变量x 的函数？解： 对于代数式2x +，给定x 的一个值，可以求出这个代数式的一个值.所以2x +与x 有着确定的依赖关系，可以把变量2x +看做y .由函数的概念：在某个变化过程中有两个变量x 和y ，如果在x 的允许取值范围内，变量y 随着x 的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的2. 对于“”中的“f ”怎样理解？答：记号“()f x ”表示“y 是x 的函数”，这个记号比较抽象，“f ”并不是表示一个变量，()f x 也不是表示“f ”与“x ”的积，而是指明在变化过程中的自变量为x ，用f 表示变量y 随着x 的变化而变化的规律；在同时研究几个函数时，应选用不同字母表示不同函数变量间相互依赖的变化规律，如()()g x h x 、等，以免引起混乱.三、 巩固练习1. 说出下列变化过程中，哪些量是常量，哪些量是变量，变量之间是函数关系吗？ （1）正方形的周长C 与它的边长a ；（2）银行一年定期存款的本金x 元与利息y 元； （3）等腰三角形顶角的度数x 与底角的度数y ； （4）长方形的宽一定时，其长与面积； （5）等腰三角形的底边长与面积；（6）关系式y x=中的y 与x .答案：（1）变量是周长C 与边长a ，是函数关系；（2）变量是本金x 元与利息y 元，是函数关系； （3）变量是顶角的度数x 与底角的度数y ，是函数关系；（4）变量是长方形的宽与面积，是函数关系； （5）变量是等腰三角形的底边长与面积，不是函数关系；（6）变量是y 与x ，不是函数关系. 2. 写出下列个函数的定义域；（1）2y x =-； （2）y =答案： 一切实数 答案：1x ≥- （3）234y x x =+-； （4）11y x =-；答案：一切实数 答案：1x ≠（5）1y x x =+； （6）y =答案：0x ≠ 答案：0x ≥≠且x 23. 在ABC 中，它的底边长是a ，底边上的高是h ，则三角形面积12S ah=，当a 为定长时，在此式子中（ A ）.A. S 、h 是变量，a 是常量B. ,,S h a 是变量，12是常量 C. ,a h 是变量，1,2S 是常量 D. S 是变量，1,,2a h是常量4. 下列函数中，自变量的取值范围是113x <<的是（ D ）.A.y =B.y =C.y = D.y = 5. 如果()f x =()3f =___6. 已知()234x f x x +=+，则()0f =___34____,f=____814_____. 7. 若12y x y -=+，则y 用x 的代数式表示为y =___211x x+-___.8. 设某种电报收费标准是每个字0.1元，写出电报费y （元）与字数x （个）之间的函数关系式，并求自变量x 的取值范围.答案：()0.10y x x x =≥且是整数 提高题1. 若函数2221x x y x --=-，则与函数值0y =对应的x 的值是（ D ）. A. 1x =-或2x =B. 1x =或2x =-C. 1x =-且2x =D. 2x = 2. 把一块边长为20厘米的正方形铁皮，四角各截去边长为x 厘米的小正方形后折成一个无盖盒子，则盒子的容积V （立方厘米）关于自变量x （厘米）的函数解析式为__()2202V x x =-__,定义域为_010x <<_. 3. 洗衣机在洗衣的过程中经历了进水、清洗、排水等过程.下图能反映洗衣机工作时的水量y （升）与时间x （分）之间关系的图像大致是（ C ）A.正比例函数 一、知识点1. 正比例函数的概念如果两个变量的每一组对应值的比值是一个非零常数，那么称两个变量成正比例.用数学符号语言记为yk x =或()0y kx k =≠.解析式形如()0y kx k =≠的函数叫做正比例函数，其中，常数k 叫做比例系数，正比例函数y kx =的定义域是一切实数.2. 正比例函数的图像和基本性质 XXX二、例题 例1 若函数()31m y m x -=-是正比例函数，则m =_________,函数的图像经过_________象限.分析 由正比例函数的解析式可知，31m -=，所以4m =.把4m =代入函数解析式，得3y x =，再由正比例函数的性质，得到它的图像经过第一、三象限. 解：4m =，图像经过第一、三象限. 例2 若y 与21x +成正比例，且函数图像经过点()3,1A -,求y 与x 的函数解析式. 分析 由y 与21x +成正比例，可以设()()210y k x k =+≠.再把点A 的坐标()3,1-代入函数解析式，即可求出k 的值，这种求函数解析式的方法叫做待定系数法.解:y 与21x +成正比例，∴ 设()()210y k x k =+≠.把点A()3,1-代入，得15k =-，()1215y x ∴=-+例3 已知点()11,x y 和()22,x y 在正比例函数()2y k x =-的图像上，当12x x >时，12y y <，那么k 的取值范围是多少？ 分析 由条件当12x x >时，12y y <，联系正比例函数的图像和性质，可知函数值y 随着x 的值增大而减小，即比例系数小于零.解 ：由题意，函数值y 的值随着x 的值增大而减小，0,2k k ∴<<例4 直角三角形的一条直角边是6，写出它的面积y 关于另一条直角边x 的函数关系式并画出这个函数的图像.解：由直角三角形的面积公式，得162x y ⨯=.()30y x x ∴=>说明：由于直角三角形的边长为正数，在画函数图像时要特别注意自变量x 的取值范围，因为定义域为X0x >，此时函数图像为一条射线，并且要除去端点.1. 如何理解正比例函数的性质：当0k >时，y 随着x 的值增大而逐渐增大，当0k <时，y 随着x 的值增大而逐渐减小？答：从解析式来看，当0k >时，若12x x <，由不等式的性质有12kx kx <，即12y y <；当0k <时，若12x x <由不等式的性质有12kx kx >，即12y y >;也可以结合正比例函数的图像去理解：当0k >时，从左往右看，直线上的点的横坐标从小到大逐渐变化，点的位置随着从低到高逐渐变化，说明此时函数值y 相应地从小到大逐渐变化.当0k <时类似.2. 学习函数的性质要掌握的一个重要数学思想是“数形结合”，学会利用函数的图像直观的研究函数的性质.三、 巩固练习 1. 填空：（1）如果正比例函数的图像过点（1，-2），那么它的解析式是_2y x =-__;函数的图像经过第__二、四__象限.（2）正比例函数2y x =-的图像上一点横坐标为2，纵坐标是__-4___, 函数值随x 的值增大而__减小___. （3）由图写直线PO 的解析式：___34y x =___. （4）某函数具有下列两条性质：① 它的图像是经过 原点（0,0）的一条直线；② y 的值随x 的值增大而增大.请你举出一个满足上述条件的函数：____2y x =_（答案不唯一）___. 2. 选择：（1）下列函数中，正比例函数的是（ B ）A.3y x =B. 32y x =- C.213x y += D. 2y x = （2）下列各点中，在直线2y x =上的点有（ A ）.A.21⎫-⎪⎪⎝⎭ B. (2,2 C. 5,10D. ()2,1-（3）函数y kx =的图像经过点（1,4），那么()2y k x=-的图像经过第（ B ）象限.P-3/2-20yXA. 一、三B. 二、四C. 一、二D. 三、四 3. 已知y 是x 的正比例函数，当2x =时，12y =（1）求y 与x 的函数解析式； （2）求当x =y 的值； （3）在直角坐标系内画出该函数的图像. 答案：（1）14y x =；（2）4y =；（3）略 4. 正比例函数2112y k x k ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭的图像经过第二、四象限，求函数的解析式.答案：12y x =-5. 已知3y -与x 成正比例函数，且它的图像经过点（2,7） （1）求y 与x 的函数解析式； （2）求当4x =时，y 的值； （3）求当3y =-时，x 的值.答案：（1）23y x =+； （2）11； （3）-3 6. 如果28my mx -=是正比例函数，而且对于它的每一组非零的对应值(),x y ，有0xy <.求m 的值.答案：-37. 小明早上骑自行车离开家去学校，下图反映了小明离开家的距离y （米）与时间x （分）之间的关系.根据图像回答：（1） 小明家与学校的距离是___3000__米；（2） 小明骑自行车的平均速度是___200___米/分； （3） 写出小明汽车途中，离开家的距离y （米）与时间x （分）的函数关系式及定义域：___()200015y x x =≤≤提高题1. 正比例函数y kx =的图像上有一点A ，过点A 向x 轴作垂线，垂足为点B ，点B 的坐标为（2,0）.若三角形OAB 的面积为6，试求k 的值. 答案：3或-32. 已知正比例函数的自变量x 减小2时，对应的函数值增加4.求该正比例函数的解析式. 答案：2y x =-3. 已知点()()122,,1,A y B y -是正比例函数y kx =的图像上的两个点.若12y y >，试判断k 的取值范围. 答案：0k <家庭作业一、 填空题： 1. 若()21m y m x=+是正比例函数，则m =___1___.2. 已知函数()g x =，则()2g =___3___. 3. 在直角坐标系中，若点(),4M x -和点()3,N y 关于x 轴对称，则x y +=_7__.4. 如果正比例函数3xy =的图像过点()6,k ，那么k =___2___. 5. 已知矩形的周长为12，若矩形一边长为x ，面积为y ，则y 与x 的函数关系式及定义域是__()2606y x x x =-+<<___.6. 若等腰三角形顶角的度数为y ，底角的度数为x ，则y 与x 的函数关系式及定义域是__()1802090y x x =-<<___.7. 若等腰三角形的周长是20cm ，腰长与底边长分别是ycm 和xcm ，那么y 与x 的函数关系式为__102xy =-__,定义域为__010x <<__. 8. 若()25y a x b =+-+是正比例函数，且其图像恰为第二、四象限的角平分线，则a b +=__2__. 9. 若等腰梯形的周长为20cm ，上底长ycm ，底角为30，腰长xcm ，则y 与x 的函数关系式为__2102y x +=-__.10. 若y 成正比例，且当4x =时，3y =-则当32x =时，y =__-___. 二、选择题11. 若()2,P x y 是1P 关于y 轴的对称点，而点1P 在第三象限内，则（ A ）A. 0,0x y >>B. 0,0x y ><C. 0,0x y <<D. 0,0x y <> 12. 若点()111,P x y 与()222,P x y 在同一个正比例函数的图像上，则（ D ）A. 1212x x y y +=+；B. 1212x x y y -=-；C.1212y y x x =； D. 1221x y x y =. 13. 平面直角坐标系中有点()4,3A -,那么点A 到x 轴的距离是（ A ）A. 3 ;B. -3 ;C. 4 ;D. -4. 14. 点()11,A x y 与()11,B y y 之间的距离是（ A ）A. 11x y -；11y - ；C.D. 15. 下列问题中，两个变量成正比例的是（ D ） A. 三角形的面积一定，它的底边与底边上的高； B. 等边三角形的面积与它的高；C. 长方形的一边长确定，它的周长与另一边长；D. 商品的价格确定时，销售额与销售量；E. 点到横坐标的距离确定时，它的纵坐标与横坐标；F. 商品的价格确定时，利润与成本. 三、 简答题16. 求下列函数的定义域：（1）322612y x x x =--+； （2）y =；答案：一切实数 答案：72x ≥（3）6y x =-； （3）y =答案：126x x ≥-≠且 答案：143x <17. 已知()225f x x =-+，求()()5+13f f a f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭、、.答案：5539f ⎛⎫-=-⎪⎝⎭；()225f a a =-+；2243a a --+ 18. 已知正比例函数23y x =-. (1) 当x 取何值时，3y >-； (2) 当x 取何值时，3y =-； (3) 当x 取何值时，3y <-；(4) 画出图像，并结合图像说明理由. 答案：（1）()()999;2;3(4)222x x x <=>略 四、综合题已知函数()0y kx k =≠的图像与函数34y x =的图像关于y 轴对称，依照要求画图，并完成以下各 （1） 在函数34y x =的图像上取一点A （横坐标为4），点A 的坐标是__()4,3__;设点A 关于y 轴对称的点为A ’，那么A ’的坐标是__()4,3-__;（2） 过原点和点A ’画直线OA ’，它与直线34y x =关于y 轴对称吗？___对称____; （3） 如果在函数34y x =的图像上选取另一点B ，点B 关于y 轴对称的点B ’在直线OA ’上吗？ ________在_______;（4） 已知函数()0y kx k =≠的图像与函数34y x =的图像关于y 轴对称，那么k 的值是多少？ _____34y x =-____.x(分)。
第08讲 一元二次方程求根公式及解方程综合(原卷版)-【暑假预习】2024年新八年级数学核心知识点与
第08讲 一元二次方程求根公式及解方程综合【知识梳理】一：一元二次方程求根公式1、公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b ac x a a -+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >①当240b ac -≥时，22404b ac a -≥利用开平方法，得：2b x a += 即：x = ②当240b ac -<时，22404b ac a -< 这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b ac x a a -+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．2、求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac -≥时，有两个实数根：1x =，2x 这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式．3、用公式法解一元二次方程一般步骤①把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）；②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac -的值（或代数式）；④若240b ac -≥，则把a 、b 、c 及24b ac -的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac -<，则方程无解．二：一元二次方程解法综合①开平方法：形如20 (0)ax c a +=≠及2()0 (0)a x k c a ++=≠的一元二次方程，移项后直接开平方法解方程．②因式分解法：通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，即：若0A B ⋅=，则0A =或0B =．③配方法：通过添项或拆项，把方程左边配成完全平方式，剩余的常数项全部移到方程右边，再通过开平方法求出方程的解 即：222222440()0()2424b b ac b b ac ax bx c a x x a a a a --++=⇒+-=⇒+=，再用开平方法求解． ④公式法：用求根公式解一元二次方程一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，当240b ac -≥时，有两个实数根：12 x x ==，【考点剖析】题型一：一元二次方程求根公式例1.求下列方程中24b ac -的值：（1）220x x -=；（2）2220x x --+=；（3）224(32)26x x x -+=-；（42+．【变式1】用公式法解下列方程：（1）2270x x -+=；（2）211042x x -=．【变式2】用公式法解下列方程：（1）2320x x +-=；（2）25610x x -++=．【变式3】用公式法解下列方程：（1）(24)58x x x -=-；（2）2(53)(1)(1)5x x x -+=++．【变式4】用公式法解下列方程：（1）20.2 2.5 1.30.1x x x +-=；（2）22(3)(31)(23)1552x x x x +--+-=．【变式5】用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+-．【变式6】用公式法解方程：21)30x x ++-．【变式7】当x 为何值时，多项式21122x x +与220x +的值相等？题型二：一元二次方程解法综合例2.口答下列方程的根：（1）(2)0x x +=；（2）(1)(3)0x x --=；（3）(32)(4)0x x +-=；（4）()()0x m x n -+=．【变式1】用开平方法解下列方程：（1）21(3)63x +=；（2）224(1)(2)x x +=-．【变式2】用因式分解法解下列方程：（1）23)x x =；（2）2(21)(21)0x x x ---=．【变式3】用因式分解法解下列方程：（1）23250x x -+-=； （2）2184033x x ++=；（3）(1)(2)10x x -+=； （4）(31)(1)(41)(1)x x x x +-=--．【变式4】用配方法解下列方程：（1）213402x x ++=；（2）263150x x --=．【变式5】用配方法解下列关于x 的方程：（1）230x x t +-=；（2）220ax x ++=（0a ≠）．【变式6】用公式法解下列方程：（1）2356x x =+；（2）2(3)(28)1025x x x +++=．【变式7】用公式法解下列方程：（120x -=；（2）210.20.3020x x -+=；（3）226(21)2x x x -++=-．【变式8】用公式法解下列关于x 的方程：（1）20x bx c --=； （2）2100.1a x a -=．【变式9】用适当方法解下列方程：（1）2(21)9x -=； （2）212455250x x --=；（3）22(31)(1)0x x --+=；（4）2(2)(2)0x x x -+-=；（5）21102x -+=； （6）20.30.50.3 2.1x x x +=+．【变式10】用因式分解法和公式法2种方法解方程：2222x -+．【变式11】如果对于任意两个实数 a b 、，定义：2a b a b =+．试解方程：2(2)210x x +=．【变式12】．已知2220x x --=，求代数式2(1)(3)(3)(3)(1)x x x x x -++-+--的值．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2020秋•浦东新区校级期末）方程（x +1）（x ﹣3）＝5的解是（ ）A ．x 1＝1，x 2＝﹣3B ．x 1＝4，x 2＝﹣2C ．x 1＝﹣1，x 2＝3D ．x 1＝﹣4，x 2＝22．（2023春•浦东新区期末）方程2x 2﹣2＝0的解是（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝0C ．x ＝1D ．x ＝±1．3．（2022春•上海期中）下列关于x 的方程一定有实数根的是（ ）A ．ax +1＝0B ．ax 2+1＝0C ．x +a ＝0D ．x 2+a ＝04．（2021秋•奉贤区校级期末）用配方法解方程x 2+5x +2＝0时，下列变形正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2022秋•奉贤区校级期中）要使方程ax 2+b ＝0有实数根，则条件是（ ）A ．a ≠0，b ＞0B ．a ≠0，b ＜0C ．a ≠0，a ，b 异号或b ＝0D ．a ≠0，b ≤06．（2020秋•杨浦区校级月考）若方程（2016x ）2﹣2015•2017x ﹣1＝0较大的根为m ，方程x 2+2015x ﹣2016＝0较小的根为n，则m﹣n＝（）A．2016B．2017C．D．二．填空题（共12小题）7．（2022秋•青浦区校级期末）方程x2＝3的根是．8．（2022秋•长宁区校级期中）一元二次方程x2＝2x的根是．9．（2022秋•虹口区校级期中）方程（x﹣2）2＝0的解是．10．（2022秋•宝山区校级期中）方程x2﹣5x＝4的根是．11．（2022秋•闵行区校级期中）已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣7）＝8，那么x2+y2＝．12．（2022秋•浦东新区校级月考）若m、n为实数，且（m2+n2）（m2﹣1+n2）＝30，则m2+n2＝．13．（2023春•长宁区校级月考）把二次方程x2﹣2xy﹣8y2＝0化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是和．14．（2021秋•奉贤区校级期末）方程x（3x+2）﹣6（3x+2）＝0的根是．15．（2022•普陀区二模）如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是．16．（2021秋•宝山区期末）方程2（x﹣3）＝x（x﹣3）的根为．17．（2022秋•静安区校级期中）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max{a，b}表示a，b中的较大值，如：Max{2，4}＝4，按照这个规定，方程Max{x，﹣x}＝x2﹣2的解为．18．（2022秋•奉贤区校级期中）方程x2+x﹣1＝0的根是．三．解答题（共12小题）19．（2023春•杨浦区期中）解关于x的方程：（k2﹣4）x2﹣（5k﹣2）x+6＝0．20．（2022秋•徐汇区校级期末）解方程：y+＝．21．（2022秋•闵行区校级期中）解方程：x2+3x＝222．（2022秋•奉贤区期中）解方程：（x﹣2）（x+4）＝1．23．（2022秋•嘉定区月考）解方程：4x2﹣（x﹣2）2＝11．24．（2023春•虹口区期末）解方程：x2﹣4x＝9996．25．（2022秋•浦东新区期中）解方程：．26．（2022秋•虹口区校级期中）解关于x的方程：ax2+4x﹣6＝0．27．（2022秋•虹口区校级期中）解关于x的方程：（a﹣b+c）x2+2ax+（a+b﹣c）＝0．28．（2022秋•黄浦区校级月考）解方程：2x2+4x﹣1＝0．29．（2022秋•黄浦区校级期末）用配方法解方程：x2﹣4x﹣2＝0．30．（2022秋•闵行区期中）已知：a、b是实数，且满足+|b+2|＝0，求关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0的根．。
上海市浦东新区2019-2020学年八年级数学上期中质量调研试题有答案(加精)
上海市浦东新区2019-2020学年八年级数学上学期期中质量调研试题（测试时间100分钟，满分100分）一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）1( )（A （B （C ．2．下列化简错误的是………………………………………………………………………( )（A ）542516=；（B 314=；（C ）3836427=；（D ）556517-=- ． 3．下列一元二次方程没有实数解的是……………………………………………………( ) （A ）2320x x --=； （B ）2320x x -+=； （C ）2230x x +-=； （D ）2230x x -+=． 4．关于x 的方程022=++k x x 有两个相等的实数根，则k 满足（ ）(A)k >1; (B)k ≥1; (C) k =1; (D) k <1.5．用配方法解方程2420x x -+=时，配方后所得的方程是……………………( ) （A ）2(2)6x -=； （B ）2(2)2x -=-； （C ）2(2)2x -= （D ）2(2)2x +=6．下列命题中是假命题的是………………………………………………………………( ) （A ）直角的补角是直角；（B ）两直线平行，一组同旁内角的角平分线互相垂直； （C ）等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一；（D ）有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等. 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）7．当x 在实数范围内有意义.8．在48,72,162是同类二次根式的有 个.9．计算：+= .10．方程2x=的根是 .11．关于x 的方程0222=-+mx x 的一个根是2 ，则=m .12．在实数范围内因式分解21--=x x .13．当a = 时，关于x 的方程2210x ax -+=有两个相等的实数根.14．把一个正方形的一边增加cm 2，另一边增加4cm ，所得的长方形面积比正方形面积增加226cm ，那么原来正方形的边长应是 cm ．15．一家今年刚成立的小型快递公司业务量逐月攀升，今年7月份和9月份完成投送的快递件数分别是20万件和24.2万件.若假设该公司每月投送的快递件数的增长率相同，则这家公司投送快递件数的月平均增长率为 ________________．16.把命题“等角对等边”，改写成如果 那么 . 17．如图，先画线段AB ，再分别点A 、B 为圆心，大于12AB 的同样长为半径画弧，两弧相交于点C ，联结AC 、BC ，延长AC 到D ，使=CD CA ,联结DB . 则0__.∠=DBA(第17题图) (第18题图)18．如图∆ABC 中, D 是AC 边的中点,过D 作直线交AB 于点E ,交BC 的延长线于点F ,且AE CF =.若6,5BC CF ==,则_______.AB =三、简答题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 19.计算：(1).-2+A20．选择适当方法解下列方程：⑴241230x x -+=． ⑵23(1)(1)x x x -=-- ．四、解答题（本大题共2题，第23题7分，第22题8分，满分15分） 21.当m 取何值时，关于x 的方程2330-+=mx x ． （1）有实数根？ （2）没有实数根？22．某校的分校区规划时决定在长为32米，宽为20米的长方形草坪中央修筑同样宽的两条互相垂直的小路，把长方形草坪分割成同样面积的的四块小草坪，每块小草坪的面积为135平方米，问道路的宽是多少米？五、几何证明题（本大题共2题，第23题8分，第24题9分，满分17分）23．如图点D 、E 分别在等边∆ABC 边BC 、CA上，且CD AE =,联结AD 、 BE .(1)求证：BE AD =(2)延长DA 交BE 于F ,求BFD ∠的度数.24. 如图，在∆ABC 中，90o ACB ∠=，D 是AB 上一点，且BD AD CD ==,过B 作BE CD ⊥,分别交AC 于点E 、交CD 于点F .(1)求证：A EBC ∠=∠;(2)如果2AC BC =,请猜想BE 和CD 的数量关系，并证明你的猜想.第一学期期中初二年级数学调研试卷参考答案一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1.C. 2.B. 3.D . 4.C. 5.C. 6.C.二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）1277.0,3;212.;13.1;14.3;15.10%;x x x x ≥==-⎛± ⎝⎭⎝⎭16.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等. 17.90;18.16.三、简答题（本大题共4题，第19、20题每小题5分，满分20分）'19.(1))-==-((252(3')7+=++-=-20．选择适当方法解下列方程： 其他解法相应给分.()2212(1)41230236(2')2333,(2')22x x x x x x -+=-=-=+== 212(2)3(1)(1)(43)(1)0(2')430;10(1')3;1(2')4x x x x x x x x x -=----=-=-=== ．四、解答题（本大题共2题，第23题7分，第22题8分，满分15分） 21.当m 取何值时，关于x 的方程2330-+=mx x ． （1）有实数根？ （2）没有实数根？解：(1)当0m =时，方程为330x -+=，此时原方程只有一个实数根为1;x =(2’) 当0≠m 时，方程为一元二次方程，9120∆=-≥m ，所以当34≤m 且0≠m 时，方程有两个实数根.(2’)(2)当9120∆=-m 即当34≥m 时，原方程没有实数根.(3’)22.解：设道路的宽度为x 米. 1' 由题意得，(32)(20)1354(3')--=⨯x x整理得， .不合题意，舍去答：道路的宽度为2米.（1'）五、几何证明题（本大题共2题，第23题8分，第24题9分，满分17分）23．如图点D 、E 分别在等边∆ABC 边BC 、CA 上，且CD AE =,联结AD 、 BE . (1)求证：BE AD =(2)延长DA 交BE 于F ,求BFD ∠的度数. （1）证明：在等边∆ABC 中，00,60(1')180(1')(1')=∠=∠=∠+∠=∠+∠=∴∠=∠AB CA BAC ACB BAC BAE ACB ACD BAE ACD 在∆ABE 和∆CAD 中， ()(1')(1')=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴=AE CD BAE ACD AB CA ABE CAD SAS BE AD0(2)(1')(1')60.(1')∆≅∆∴∠=∠∠=∠∴∠=∠+∠=∠+∠=ABE CAD E D EAF DAC BFD E EAF D DAC24. 如图，在∆ABC 中，90oACB ∠=，D 是AB 上一点，且212521000(2')2,50(1')-+===x x x x 50=x于点F .(1)求证：A EBC ∠=∠;(2)如果2AC BC =,请猜想BE 和CD 的数量关系，并证明你的猜想.0000(1)90(1')18090(1')90(1')(1')(1')⊥∴∠=∴∠+∠=-∠=∠=∠+∠=∴∠=∠=∴∠=∠∴∠=∠BE CDBFC EBC BCF BFC ACB BCF ACD EBC ACD AD CD A ACD A EBC(2) =CD BE过D 作⊥DG AC 于.(1')G在∆DGC 和∆ECB 中，,22(1')90,90=⊥∴==∴=∠=∠=∴∠=∠DA DC DG AC AC CG AC BC CG BC DGC ECB DGC ECB(1')(1')∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴∆=∆=DGC ECB CG BC DCG EBC DCG EBC CD BE。
2017学年浦东新区特级教师区级贡献绩效考核结果汇总表
2017学年浦东新区特级教师区级贡献绩效考核结果汇总表类别姓名学校考核结果担任基地主持人的特级教师陈璞川沙中学优秀担任基地主持人的特级教师陆虹东方小学良好担任基地主持人的特级教师王雅琴傅雷小学良好担任基地主持人的特级教师李百艳建平实验中学优秀担任基地主持人的特级教师虞涛建平中学优秀担任基地主持人的特级教师郑朝晖建平中学良好担任基地主持人的特级教师吴文涛建平中学合格担任基地主持人的特级教师广德宏交大附中浦东实验高中良好担任基地主持人的特级教师张韶龙南汇中学优秀担任基地主持人的特级教师兰保民浦东教育发展研究院优秀担任基地主持人的特级教师章健文浦东教育发展研究院优秀担任基地主持人的特级教师陈珍国浦东教育发展研究院优秀担任基地主持人的特级教师张新浦东教育发展研究院优秀担任基地主持人的特级教师谢忠新浦东教育发展研究院优秀担任基地主持人的特级教师朱一军浦东教育发展研究院优秀担任基地主持人的特级教师瞿剑宛浦东教育发展研究院优秀担任基地主持人的特级教师张广录浦东教育发展研究院良好担任基地主持人的特级教师车建琴 浦东教育发展研究院良好担任基地主持人的特级教师黄敏君浦东教育发展研究院良好担任基地主持人的特级教师沈华浦东外国语学校优秀担任基地主持人的特级教师杨正家三林中学北校良好担任基地主持人的特级教师王海平洋泾中学优秀不担任基地主持人的特级教师王珏川沙中学优秀二等不担任基地主持人的特级教师朱静华东师范大学附属东昌中学优秀一等不担任基地主持人的特级教师唐增富华东师范大学附属东昌中学优秀一等不担任基地主持人的特级教师沈正东建平中学优秀一等不担任基地主持人的特级教师张强建平中学优秀一等不担任基地主持人的特级教师金松建平中学优秀二等不担任基地主持人的特级教师卜文雄建平中学优秀二等不担任基地主持人的特级教师区桦建平中学优秀二等不担任基地主持人的特级教师张玉林进才中学优秀一等不担任基地主持人的特级教师蒋金珍进才中学优秀二等不担任基地主持人的特级教师王绪岩进才中学优秀二等不担任基地主持人的特级教师刘玉华南汇二中优秀二等不担任基地主持人的特级教师周宁医浦东教育发展研究院优秀一等不担任基地主持人的特级教师陆志英浦东教育发展研究院合格不担任基地主持人的特级教师任玉芬上海市浦东外事服务学校优秀二等不担任基地主持人的特级教师彭学军洋泾中学优秀一等不担任基地主持人的特级教师关伟洋泾中学优秀一等不担任基地主持人的特级教师董鹏洋泾中学优秀一等类别姓名学校考核结果/课时数担任基地主持人的学科带头人谢忠平浦东教育发展研究院优秀担任基地主持人的学科带头人姚瑜洁浦东教育发展研究院优秀担任基地主持人的学科带头人黄建军浦东教育发展研究院良好担任基地主持人的学科带头人刘瑞浦东教育发展研究院良好担任基地主持人的学科带头人沈冬梅浦东教育发展研究院良好担任基地主持人的学科带头人瞿美芳南汇中学合格不担任基地主持人的学科带头人潘丽君北蔡幼儿园165不担任基地主持人的学科带头人唐敏北蔡镇中心小学110不担任基地主持人的学科带头人曹忠北蔡镇中心小学20不担任基地主持人的学科带头人葛筱宁北蔡中学25不担任基地主持人的学科带头人沈婷冰厂田滴水湖幼儿园205不担任基地主持人的学科带头人蒋嬿壘冰厂田前滩幼儿园110不担任基地主持人的学科带头人沈祎冰冰厂田幼儿园20不担任基地主持人的学科带头人王劲青冰厂田幼儿园20不担任基地主持人的学科带头人金春花潮和幼儿园20不担任基地主持人的学科带头人费莉莉晨阳幼儿园20不担任基地主持人的学科带头人李青大团高级中学125不担任基地主持人的学科带头人赵艳雯第二中心小学25不担任基地主持人的学科带头人王惠莉第六师范附属小学20不担任基地主持人的学科带头人张娟东昌中学东校115不担任基地主持人的学科带头人唐月丽东昌中学东校30不担任基地主持人的学科带头人周雯东昌中学南校25不担任基地主持人的学科带头人周密东方江韵幼儿园20不担任基地主持人的学科带头人周敏莉东方锦绣幼儿园80不担任基地主持人的学科带头人佘瑛东方小学35不担任基地主持人的学科带头人张文钧东方幼儿园25不担任基地主持人的学科带头人申晨东方幼儿园20不担任基地主持人的学科带头人孙晓岚东方幼儿园20不担任基地主持人的学科带头人张丽东沟幼儿园125不担任基地主持人的学科带头人徐慧东蕾幼儿园35不担任基地主持人的学科带头人侯赬东南幼儿园20不担任基地主持人的学科带头人梁莉福山花园外国语小学95不担任基地主持人的学科带头人钱宏毅福山唐城外国语小学80不担任基地主持人的学科带头人秦映傅雷幼儿园100不担任基地主持人的学科带头人刘忠霞高桥-东陆学校80不担任基地主持人的学科带头人万晓春高桥镇小学90不担任基地主持人的学科带头人任忠高桥中学65不担任基地主持人的学科带头人凌春戎高桥中学45不担任基地主持人的学科带头人黄志庆高行中学55不担任基地主持人的学科带头人陆耀青高行中学45不担任基地主持人的学科带头人徐珏青龚路中心小学40不担任基地主持人的学科带头人丁建敏龚路中心小学35不担任基地主持人的学科带头人周伟顾路中学45不担任基地主持人的学科带头人杨冬华顾路中学25不担任基地主持人的学科带头人倪国清光明学校80不担任基地主持人的学科带头人晏秋雁海事大学附属职业学校100不担任基地主持人的学科带头人曹冬梅海事大学附属职业学校25不担任基地主持人的学科带头人黄裕程海事大学附属职业学校202017学年浦东新区学科带头人区级贡献绩效考核结果/课时数汇总表不担任基地主持人的学科带头人钱惠娟海桐小学50不担任基地主持人的学科带头人范春梅航空服务学校20不担任基地主持人的学科带头人施海华航头学校50不担任基地主持人的学科带头人王振贤洪山中学35不担任基地主持人的学科带头人施晓红洪山中学35不担任基地主持人的学科带头人刘贤沪新中学35不担任基地主持人的学科带头人孙丽杰华东师范大学附属东昌中学130不担任基地主持人的学科带头人杨文强华东师范大学附属东昌中学115不担任基地主持人的学科带头人傅亚维华东师范大学附属东昌中学80不担任基地主持人的学科带头人汤慧华林小学35不担任基地主持人的学科带头人尹永刚华林中学55不担任基地主持人的学科带头人蔡亚忠惠南小学25不担任基地主持人的学科带头人张飞飞建平实验小学35不担任基地主持人的学科带头人倪晓军建平实验中学85不担任基地主持人的学科带头人张燕军建平实验中学30不担任基地主持人的学科带头人王佩芳建平实验中学20不担任基地主持人的学科带头人庄越建平世纪中学20不担任基地主持人的学科带头人张晓冬建平中学25不担任基地主持人的学科带头人杨术林建平中学20不担任基地主持人的学科带头人董永刚建平中学南校45不担任基地主持人的学科带头人李莉交大附中浦东实验高中115不担任基地主持人的学科带头人尹瑶芳教育学院附属学校105不担任基地主持人的学科带头人陈敏金爵幼儿园110不担任基地主持人的学科带头人张秋华金陆小学115不担任基地主持人的学科带头人曹莉萍金囡幼儿园20不担任基地主持人的学科带头人邢春金杨中学35不担任基地主持人的学科带头人金晔金豫幼儿园20不担任基地主持人的学科带头人汪培锦绣幼儿园105不担任基地主持人的学科带头人华萍进才实验小学80不担任基地主持人的学科带头人林燕进才实验小学45不担任基地主持人的学科带头人徐萌进才实验中学45不担任基地主持人的学科带头人吕飞进才中学北校75不担任基地主持人的学科带头人施礼进才中学北校20不担任基地主持人的学科带头人徐丽珍巨野幼儿园25不担任基地主持人的学科带头人周蓉聚航幼儿园20不担任基地主持人的学科带头人徐丽萍康城学校55不担任基地主持人的学科带头人李海康城学校45不担任基地主持人的学科带头人奚爱玲康城学校35不担任基地主持人的学科带头人王蓉萍康桥第二幼儿园25不担任基地主持人的学科带头人卢洁康桥实验小学45不担任基地主持人的学科带头人朱卫萍澧溪小学55不担任基地主持人的学科带头人王美君澧溪小学40不担任基地主持人的学科带头人张颖颖澧溪幼儿园30不担任基地主持人的学科带头人傅燕澧溪幼儿园20不担任基地主持人的学科带头人郑秀红澧溪中学60不担任基地主持人的学科带头人施建忠澧溪中学50不担任基地主持人的学科带头人王秀华澧溪中学25不担任基地主持人的学科带头人谢学德历城中学70不担任基地主持人的学科带头人凌玉芳凌兆小学95不担任基地主持人的学科带头人董凤芳六团幼儿园20不担任基地主持人的学科带头人宋萍六一幼儿园70不担任基地主持人的学科带头人杨雅文六一幼儿园25不担任基地主持人的学科带头人沈悦六一幼儿园25不担任基地主持人的学科带头人刘颖陆行中学100不担任基地主持人的学科带头人胡铮陆行中学北校30不担任基地主持人的学科带头人刘明诚陆行中学南校75不担任基地主持人的学科带头人顾佩琴绿川学校50不担任基地主持人的学科带头人杨静霞绿川幼儿园105不担任基地主持人的学科带头人蔡春梅罗山幼儿园25不担任基地主持人的学科带头人毛燕菁梅园小学150不担任基地主持人的学科带头人马宇萍明珠森兰小学30不担任基地主持人的学科带头人陆彩华明珠小学70不担任基地主持人的学科带头人徐钧华明珠小学30不担任基地主持人的学科带头人钱萌明珠小学25不担任基地主持人的学科带头人陈毓华明珠小学20不担任基地主持人的学科带头人陈美琴明珠小学20不担任基地主持人的学科带头人陶志军南汇二中125不担任基地主持人的学科带头人周春燕南汇二中25不担任基地主持人的学科带头人许国华南汇实验学校35不担任基地主持人的学科带头人徐正忠南汇实验学校30不担任基地主持人的学科带头人张明军南汇一中65不担任基地主持人的学科带头人尹根龙南汇一中30不担任基地主持人的学科带头人傅宏伟南汇中学55不担任基地主持人的学科带头人周惠英南汇中学45不担任基地主持人的学科带头人周飚南码头小学180不担任基地主持人的学科带头人杨昀南码头小学35不担任基地主持人的学科带头人翟伟荣南门幼儿园90不担任基地主持人的学科带头人郭钰婷南门幼儿园20不担任基地主持人的学科带头人褚红宇南门幼儿园20不担任基地主持人的学科带头人李洁南门幼儿园20不担任基地主持人的学科带头人陆益蒲公英幼儿园20不担任基地主持人的学科带头人胡少舜浦东教育发展研究院205不担任基地主持人的学科带头人聂剑平浦东教育发展研究院185不担任基地主持人的学科带头人沈惠华浦东教育发展研究院180不担任基地主持人的学科带头人胡向武浦东教育发展研究院180不担任基地主持人的学科带头人金社平浦东教育发展研究院145不担任基地主持人的学科带头人吴耀忠浦东教育发展研究院140不担任基地主持人的学科带头人沈学文浦东教育发展研究院140不担任基地主持人的学科带头人童燕丽浦东教育发展研究院140不担任基地主持人的学科带头人陈久华浦东教育发展研究院135不担任基地主持人的学科带头人周文彪浦东教育发展研究院130不担任基地主持人的学科带头人陆君珍浦东教育发展研究院120不担任基地主持人的学科带头人王伟杰浦东教育发展研究院115不担任基地主持人的学科带头人张曦浦东教育发展研究院110不担任基地主持人的学科带头人吴广伦浦东教育发展研究院110不担任基地主持人的学科带头人郭松梅浦东教育发展研究院105不担任基地主持人的学科带头人朱仲敏浦东教育发展研究院105不担任基地主持人的学科带头人王瑛浦东教育发展研究院100不担任基地主持人的学科带头人纪波浦东教育发展研究院100不担任基地主持人的学科带头人张卫萍浦东教育发展研究院100不担任基地主持人的学科带头人周玉枝浦东教育发展研究院95不担任基地主持人的学科带头人陆耀芳浦东教育发展研究院90不担任基地主持人的学科带头人王爱莉浦东教育发展研究院85不担任基地主持人的学科带头人丁明娟浦东教育发展研究院85不担任基地主持人的学科带头人吴建新浦东教育发展研究院85不担任基地主持人的学科带头人刘颖浦东教育发展研究院80不担任基地主持人的学科带头人盛桂兴浦东教育发展研究院80不担任基地主持人的学科带头人周东红浦东教育发展研究院80不担任基地主持人的学科带头人欧阳书伟浦东教育发展研究院80不担任基地主持人的学科带头人夏智浦东教育发展研究院75不担任基地主持人的学科带头人王顺民浦东教育发展研究院75不担任基地主持人的学科带头人徐颖浦东教育发展研究院75不担任基地主持人的学科带头人张展红浦东教育发展研究院75不担任基地主持人的学科带头人叶建军浦东教育发展研究院70不担任基地主持人的学科带头人秦红斌浦东教育发展研究院70不担任基地主持人的学科带头人李彦荣浦东教育发展研究院70不担任基地主持人的学科带头人姚霞浦东教育发展研究院65不担任基地主持人的学科带头人谢琳浦东教育发展研究院60不担任基地主持人的学科带头人张伟平浦东教育发展研究院55不担任基地主持人的学科带头人胡根林浦东教育发展研究院45不担任基地主持人的学科带头人王利霞浦东教育发展研究院45不担任基地主持人的学科带头人朱伟浦东教育发展研究院45不担任基地主持人的学科带头人杨颖浦东教育发展研究院40不担任基地主持人的学科带头人俞大海浦东教育发展研究院40不担任基地主持人的学科带头人张肖芹浦东教育发展研究院40不担任基地主持人的学科带头人汤军琳浦东教育发展研究院35不担任基地主持人的学科带头人吴俊琳浦东教育发展研究院30不担任基地主持人的学科带头人陆爱桢浦东教育发展研究院25不担任基地主持人的学科带头人沈建忠浦东教育发展研究院20不担任基地主持人的学科带头人严红浦东教育发展研究院20不担任基地主持人的学科带头人董俊浦东外国语学校80不担任基地主持人的学科带头人谢莉莎浦东外国语学校45不担任基地主持人的学科带头人高云霞浦东外国语学校40不担任基地主持人的学科带头人何红兵浦东外国语学校35不担任基地主持人的学科带头人孙雯浦东外国语学校20不担任基地主持人的学科带头人项冰浦泾中学120不担任基地主持人的学科带头人王红裕浦南幼儿园35不担任基地主持人的学科带头人何青浦三路小学20不担任基地主持人的学科带头人邱丽萍七色花幼儿园55不担任基地主持人的学科带头人刘弘群星职校140不担任基地主持人的学科带头人沈平三墩学校80不担任基地主持人的学科带头人张颖三林镇幼儿园20不担任基地主持人的学科带头人姚惠娟三林镇中心小学25不担任基地主持人的学科带头人张惠英三林中学北校40不担任基地主持人的学科带头人吕彩玲上海科技大学附属中学145不担任基地主持人的学科带头人康逸红上海市实验学校东校85不担任基地主持人的学科带头人白云云上海市实验学校东校45不担任基地主持人的学科带头人严寅上炼三村幼儿园100不担任基地主持人的学科带头人方琦上南二村小学60不担任基地主持人的学科带头人吴丽凤上南中学北校115不担任基地主持人的学科带头人董蔚上南中学南校45不担任基地主持人的学科带头人张芸语尚博实验小学65不担任基地主持人的学科带头人潘亮宇书院小学45不担任基地主持人的学科带头人张爱军书院中学50不担任基地主持人的学科带头人潘慧芳坦直幼儿园35不担任基地主持人的学科带头人茅琴美天虹幼儿园20不担任基地主持人的学科带头人邱丽霞瓦屑幼儿园105不担任基地主持人的学科带头人陆玮外高桥保税区实验小学85不担任基地主持人的学科带头人胡春华万科实验小学50不担任基地主持人的学科带头人王坚万科实验小学20不担任基地主持人的学科带头人张剑敏五三中学50不担任基地主持人的学科带头人邹喻梅香山小学20不担任基地主持人的学科带头人董磊小螺号幼儿园100不担任基地主持人的学科带头人王丽小螺号幼儿园20不担任基地主持人的学科带头人龚彦新城小学65不担任基地主持人的学科带头人曹美华新陆职业技术学校25不担任基地主持人的学科带头人沈华莉新陆中学85不担任基地主持人的学科带头人翟正荣新苗幼儿园30不担任基地主持人的学科带头人邱慧新世界实验小学20不担任基地主持人的学科带头人常永和杨思高级中学85不担任基地主持人的学科带头人江振岚洋泾东校75不担任基地主持人的学科带头人王瑛洋泾东校25不担任基地主持人的学科带头人张宏洋泾-菊园实验学校40不担任基地主持人的学科带头人屠彦林洋泾-菊园实验学校35不担任基地主持人的学科带头人丁炯洋泾实验小学175不担任基地主持人的学科带头人徐琳洋泾中学110不担任基地主持人的学科带头人沈文艳洋泾中学30不担任基地主持人的学科带头人史克洋泾中学南校45不担任基地主持人的学科带头人王军华逸夫小学100不担任基地主持人的学科带头人吴铭逸夫小学85不担任基地主持人的学科带头人柴建荣育民中学90不担任基地主持人的学科带头人史炯华育人中学100不担任基地主持人的学科带头人桂耀樑育童小学100不担任基地主持人的学科带头人张悦育童小学35不担任基地主持人的学科带头人郁秀敏园西小学160不担任基地主持人的学科带头人张瑜园西小学30不担任基地主持人的学科带头人华雪莲园西小学25不担任基地主持人的学科带头人蔡毅萍园西幼儿园20不担任基地主持人的学科带头人朱幸嫣云台幼儿园115不担任基地主持人的学科带头人陈冰美云台幼儿园20不担任基地主持人的学科带头人楼坚张江高科实验小学135不担任基地主持人的学科带头人谢建樑张江实验中学25不担任基地主持人的学科带头人冯国群振华外经职业技术学校100不担任基地主持人的学科带头人黄达明振华外经职业技术学校40不担任基地主持人的学科带头人徐爱琴振华外经职业技术学校40不担任基地主持人的学科带头人万燕庆致远中学65不担任基地主持人的学科带头人康燕周浦第二小学45不担任基地主持人的学科带头人王微周浦第二小学40不担任基地主持人的学科带头人唐韶红周浦幼儿园25不担任基地主持人的学科带头人傅小英周浦育才学校40不担任基地主持人的学科带头人张怀玉周浦育才学校20不担任基地主持人的学科带头人赵善华周浦中学30不担任基地主持人的学科带头人袁润竹园小学60不担任基地主持人的学科带头人戴传伟祝桥高级中学1602017学年浦东新区骨干教师区级贡献绩效考核课时数汇总表类别姓名学校课时数骨干教师沈旭露白玉兰小学5骨干教师孟宪全白玉兰小学5骨干教师陈志刚白玉兰小学5骨干教师许锡芬百灵鸟幼儿园10骨干教师张静百灵鸟幼儿园5骨干教师范燕敏百熙幼儿园20骨干教师廖佳北蔡高级中学15骨干教师刘季青北蔡高级中学15骨干教师倪菊北蔡幼儿园5骨干教师潘翠林北蔡幼儿园5骨干教师徐敏红北蔡幼儿园5骨干教师沈睿贇北蔡镇中心小学5骨干教师赵薇莉北蔡镇中心小学5骨干教师黄益民北蔡镇中心小学5骨干教师许利华北蔡镇中心小学5骨干教师罗丽萍北蔡镇中心小学5骨干教师李祎祎北蔡中学100骨干教师奚文华北蔡中学20骨干教师杨旭华北蔡中学5骨干教师何桂黎北蔡中学5骨干教师赵方红北蔡中学5骨干教师苏靓冰厂田幼儿园10骨干教师蔡春燕冰厂田幼儿园5骨干教师张彪蔡路逸夫小学5骨干教师杨哲明蔡路中学40骨干教师毛赛英蔡路中学5骨干教师顾蔚曹路打一小学30骨干教师戚群曹路打一小学5骨干教师陆天星昌里幼儿园10骨干教师贾悦静常青幼儿园10骨干教师黄晓红潮和幼儿园5骨干教师马卫平晨阳小学5骨干教师王华川沙中学45骨干教师吴岚川沙中学20骨干教师徐军川沙中学5骨干教师张艳川沙中学5骨干教师凌军川沙中学5骨干教师陆春芬川沙中学华夏西校10骨干教师张美君川沙中学华夏西校5骨干教师张颖川沙中学华夏西校5骨干教师陆勇川沙中学南校15骨干教师王珍川沙中学南校10骨干教师顾敏劼川沙中学南校5骨干教师陈爱娟春之声幼儿园15骨干教师张兆英大团高级中学5骨干教师闵英大团幼儿园5骨干教师沈春燕德州二村小学5骨干教师卓静德州一村小学85。
2017-2018学年第一学期初二数学期末试题和答案
2017-2018学年第一学期期末测试卷初二数学一、选择题（每小题2分，本题共16分）1．剪纸是古老的汉族民间艺术,剪纸的工具材料简便普及，技法易于掌握，有着其他艺术门类 不可替代的特性，因而，这一艺术形式从古到今，几乎遍及我国的城镇乡村，深得人民群 众的喜爱.请你认真观察下列四幅剪纸图案, 其中不是．．轴对称图形的是A ．B ．C ．D ．2. 若代数式4xx -有意义，则实数x 的取值范围是 A ．0x = B ．4x = C ．0x ≠ D ．4x ≠3. 实数9的平方根是A ．3B ．±3C．3± D ．814. 在下列事件中，是必然事件的是A ．买一张电影票，座位号一定是偶数B ．随时打开电视机，正在播新闻C ．通常情况下，抛出的篮球会下落D ．阴天就一定会下雨5. 下列变形中，正确的是A. (23)2＝2×3＝6B.2)52(-＝－52C.169+＝169+ D. )4()9(-⨯-＝49⨯6. 如果把yx y322-中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值A ．扩大5倍B ．不变C ．缩小5倍D ．扩大4倍7. 如图，将ABC △放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A ，B ，C 恰好在网格图中的格点上，那么ABC △中BC 边上的高是A. B. C. D.8. 如图所示，将矩形纸片先沿虚线按箭头方向向右对折，对折后的纸片沿虚线向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是A. B. C. D.二、填空题（每小题2分,本题共16分）9. 写出一个比3大且比4小的无理数：______________．10. 如图，AE ＝DF ，∠A ＝∠D ，欲证ΔACE ≌ΔDBF ，需要添加条件 ____________,证明全等的理由是________________________；AE P BCD11. 一个不透明的盒子中装有6张生肖邮票，其中有3张“猴票”，2张“鸡票”和1张“狗票”，这些邮票除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张邮票，恰好是“鸡票”的可能性为 .12. 已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为______________． 13.mn ＝______________． 14. 小明编写了一个如下程序：输入x →2x →立方根→倒数→算术平方根→21， 则x 为 .15. 如图，等边△ABC 的边长为6，AD 是BC 边上的中线，点E 是AC 边上的中点. 如果点P 是AD 上的动点，那么EP+CP 的最小值 为______________．16. 如图，OP =1，过P 作OP PP ⊥1且11=PP ，根据勾股定理，得21=OP ；再过1P 作121OP P P ⊥且21P P =1，得32=OP ；又过2P 作232OP P P ⊥且132=P P ，得 =3OP 2；…依此继续，得=2018OP ， =n OP （n 为自然数，且n ＞0）三、解答题（本大题共9小题，17—25小题，每小题5分，共45分） 17．计算：238)3(1230-+----π18. 计算：1)P 4P 3P 2PP 1O19. 如图，点A 、F 、C 、D 在同一条直线上. AB ∥DE ，∠B =∠E ，AF=DC. 求证：BC =EF .20. 解分式方程：3x 3x 211x x +=-+21. 李老师在黑板上写了一道题目，计算：23311x x x---- .小宇做得最快，立刻拿给李老 师看，李老师看完摇了摇头，让小宇回去认真检查. 请你仔细阅读小宇的计算过程，帮 助小宇改正错误．23311x x x ----=()()33111x x x x --+-- （A ） =()()()()()3131111x x x x x x +--+-+- （B ） = 33(1)x x --+ （C ） = 26x -- （D ）（1） 上述计算过程中， 哪一步开始．．出现错误？ ；(用字母表示) （2） 从（B ）到（C ）是否正确？ ；若不正确，错误的原因是 ； （3） 请你写出此题完整正确的解答过程．D22.如图：在△ABC 中，作AB 边的垂直平分线，交AB 于点E ，交BC 于点F ，连结AF （1（2）你的作图依据是 .（3）若AC=3，BC=5，则△ACF 的周长是23. 先化简，再求值：121112++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a aa ，其中13-=a ．24. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于 DE ⊥AB 于E, 当时，求DE 的长。
2017-2018学年上海市浦东新区进才外国语中学八年级(上)期中数学试卷(五四学制)(含答案)
2017-2018学年上海市浦东新区进才外国语中学八年级（上）期中数学试卷（五四学制）一、选择题：（本大题共5小题，每题2分，共10分）1．（2分）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（）A．与B．与C．与D．与2．（2分）下列根式的运算中，正确的是（）A．=1 B．C．=D．﹣3=﹣3．（2分）下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．x2=﹣1 C．5x2﹣7+2x3=0 D．4．（2分）下列一元二次方程中，没有实数解的方程是（）A．B．3x2﹣5x﹣2=0 C．y2﹣2y+9=0 D．5．（2分）下列命题中是真命题的是（）A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直C．三角形的一个外角等于两个内角的和D．等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形二、填空题：（本大题共13小题，每题3分，共39分）6．（3分）当x满足时，代数式有意义．7．（3分）计算：=．8．（3分）如果最简根式与是同类根式，则b=．9．（3分）写出的一个有理化因式．10．（3分）不等式x﹣1＜x的解集是．11．（3分）方程x2=﹣x的解是．12．（3分）在实数范围内分解因式：x2﹣2x﹣5=．13．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1=0的常数项为0，则m的值是．14．（3分）某种商品原价100元，经过两次降价后，该种商品的价格减少了36元，设平均每次降价的百分率为x，依题意可列出关于x的方程15．（3分）将命题“在同一个三角形中，等角对等边”改写成“如果…那么…”形式为．16．（3分）如图，已知AC=DB，要使△BAC≌△CDB成立，还需填加一个条件，那么这个条件可以是：（只需写出一个即可）17．（3分）根据图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出：已知：求证：．18．（3分）已知a、b、c是等腰△ABC的三条边，其中b=2，如果a、c是关于y 的一元二次方程y2﹣6y+n=0的两个根，则n的值是．三、简答题：（本大题共2小题，每小题10分，共20分）19．（10分）计算：（1）（2）（m＞0）．20．（10分）解方程：（1）（x﹣1）（x+3）=5（2）2x2﹣4x+1=0（用配方法）四、解答题（本大题共5小题，共31分）21．（4分）已知，求x2﹣2x+3的值．22．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0．（1）若﹣1是方程的一个根，求m的值和方程的另一个根．（2）对于任意实数m，判断方程根的情况，并说明理由．23．（6分）如图，要建一个面积为140平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙垂直的一边要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库的宽和长分别为多少米？24．（6分）已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB=CD，求证：BC=DE．25．（9分）已知：如图，∠ADC=90°，DC∥AB，BA=BC，AE⊥BC，垂足为点E，点F为AC的中点．（1）求证：∠AFB=90°；（2）求证：△ADC≌△AEC；（3）连接DE，试判断DE与BF的位置关系，并证明．2017-2018学年上海市浦东新区进才外国语中学八年级（上）期中数学试卷（五四学制）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共5小题，每题2分，共10分）1．（2分）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（）A．与B．与C．与D．与【分析】各式化简后，利用同类二次根式定义判断即可．【解答】解：A、=2，=3，不符合题意；B、=，=，不符合题意；C、=，，不符合题意；D、=2x，，符合题意，故选：D．【点评】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．2．（2分）下列根式的运算中，正确的是（）A．=1 B．C．=D．﹣3=﹣【分析】根据二次根式的定义对A进行判断；根据二次根式的加减法对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D 进行判断．【解答】解：A、与没有意义，所以A选项错误；B、与不能合并，所以B选项错误；C、原式==，所以C选项错误；D、原式=﹣3=﹣，所以D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．3．（2分）下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．x2=﹣1 C．5x2﹣7+2x3=0 D．【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可．【解答】解：A、a=0时，不是一元二次方程，故此选项错误；B、是一元二次方程，故此选项正确；C、不是一元二次方程，故此选项错误；D、不是一元二次方程，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．4．（2分）下列一元二次方程中，没有实数解的方程是（）A．B．3x2﹣5x﹣2=0 C．y2﹣2y+9=0 D．【分析】分别计算四个方程的根的判别式△=b2﹣4ac，然后根据△的意义分别判断方程根的情况．【解答】解：A、△=（﹣3）2﹣4××9=0，方程有两个相等的实数根，所以A 选项错误；B、△=（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）=49＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B 选项错误；C、△=（﹣2）2﹣4×1×9=﹣32＜0，方程没有实数根，所以C选项正确；D、原方程即为﹣y2﹣y+=0，△=（﹣1）2﹣4×（﹣）×=25＞0，方程有两个不相等的实数根，所以D选项错误．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．5．（2分）下列命题中是真命题的是（）A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直C．三角形的一个外角等于两个内角的和D．等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形【分析】利用全等三角形的判定方法对A进行判断；根据平行线的性质和角平分线的定义对B进行判断；根据三角形外角性质对C进行判断；根据等边三角形的性质和中心对称的定义对D进行判断．【解答】解：A、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，所以A选项为假命题；B、两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直两直线平行，所以B选项为真命题；C、三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和，所以C选项为假命题；D、等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，所以D选项为假命题．故选：B．【点评】本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．二、填空题：（本大题共13小题，每题3分，共39分）6．（3分）当x满足x≤1时，代数式有意义．【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．【解答】解：由题意得，1﹣x≥0，解得x≤1．故答案为：x≤1．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．7．（3分）计算：=4﹣π．【分析】首先判断π﹣4的符号，然后根据绝对值的性质即可化简．【解答】解：∵π＜4，∴π﹣4＜0，∴原式=4﹣π．故答案是：4﹣π．【点评】本题考查了绝对值的性质，正确理解当a＞0时|a|=a；当a=0时|a|=0；当a＜0时|a|=﹣a，是关键．8．（3分）如果最简根式与是同类根式，则b=7．【分析】根据同类二次根式的定义列方程组求解即可．【解答】解：∵最简根式与是同类根式，∴，解得．故答案为：7．【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．9．（3分）写出的一个有理化因式（答案不唯一）．【分析】利用有理化因式的定义求解．【解答】解：的一个有理化因式（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是熟记有理化因式的定义．10．（3分）不等式x﹣1＜x的解集是x＞﹣﹣．【分析】根据不等式的基本性质解答．【解答】解：原不等式的两边同时减去﹣x，得（﹣）x﹣1＜0，不等式的两边同时加上1，得（﹣）x＜1，不等式的两边同时除以（﹣），得x＞，即x＞﹣﹣；故答案是：x＞﹣﹣．【点评】本题考查了不等式的解集．解答此题时需要注意：＜0．11．（3分）方程x2=﹣x的解是0或﹣1．【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为左边是两式相乘，右边是0的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．【解答】解：原方程变形为：x2+x=0x（x+1）=0x=0或x=﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．12．（3分）在实数范围内分解因式：x2﹣2x﹣5=．【分析】将原式变形为（x﹣1）2﹣6，再利用平方差公式分解即可得．【解答】解：原式=x2﹣2x+1﹣6=（x﹣1）2﹣6=，故答案为：【点评】本题主要考查实数范围内分解因式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式．13．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1=0的常数项为0，则m的值是﹣1．【分析】根据一元二次方程的定义判断即可确定出m的值．【解答】解：根据题意得：m2﹣1=0，解得：m=1或m=﹣1，当m=1时，方程为2x=0，不合题意，则m的值为﹣1，故答案为：﹣1【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．14．（3分）某种商品原价100元，经过两次降价后，该种商品的价格减少了36元，设平均每次降价的百分率为x，依题意可列出关于x的方程100（1﹣x）2=64【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据某件商品原价100元，经过两次降价后，售价为64元，可列方程求解．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，100（1﹣x）2=64．故答案为：100（1﹣x）2=64．【点评】本题考查理解题意的能力，本题是个增长率问题，找到降价前为100元，两次降价后为64元，可列方程求解．15．（3分）将命题“在同一个三角形中，等角对等边”改写成“如果…那么…”形式为如果在同一个三角形中，有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【分析】分析原命题，找出其条件与结论，然后写成“如果…那么…”形式即可．【解答】解：因为条件是：在同一个三角形中有两个角相等，结论为：这两个角所对的边也相等．所以改写后为：如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．故答案为：如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【点评】本题主要考查了命题的定义，难度适中，正确理解定义是关键．16．（3分）如图，已知AC=DB，要使△BAC≌△CDB成立，还需填加一个条件，那么这个条件可以是：AB=DC（答案不唯一）（只需写出一个即可）【分析】添加条件AC=BD，根据“边边边”判定三角形全等即可解题．【解答】解：AB=DC（答案不唯一）理由：在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SSS）．故答案为：AB=DC（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．17．（3分）根据图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出：已知：△ABC中，AB=AC，D为BC中点（或BD=DC）求证：AD平分∠BAC．【分析】结合几何图形写出已知条件和结论．【解答】解：已知：△ABC中，AB=AC，D为BC中点（或BD=DC）；求证：AD平分∠BAC．故答案为△ABC中，AB=AC，D为BC中点（或BD=DC）；AD平分∠BAC．【点评】本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．18．（3分）已知a、b、c是等腰△ABC的三条边，其中b=2，如果a、c是关于y 的一元二次方程y2﹣6y+n=0的两个根，则n的值是9．【分析】分b=2为腰长及底长两种情况考虑：当b=2为腰长时，代入y=2求出n 值，进而可得出原方程为y2﹣6y+8=0，解之可得出底边长度，由2、2、4不能围成三角形，可得出n=8不符合题意；当b=2为底长时，由根的判别式△=0可求出n值，进而可得出原方程为y2﹣6y+9=0，解之可得出腰长，由2、3、3能围成三角形，可得出n=9符合题意．综上即可得出结论．【解答】解：当b=2为腰长时，将y=2代入原方程，得：4﹣12+n=0，解得：n=8，此时原方程为y2﹣6y+8=0，解得：y1=2，y2=4．∵2、2、4不能围成三角形，∴n=8不符合题意；当b=2为底长时，方程y2﹣6y+n=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣6）2﹣4n=0，∴n=9，此时原方程为y2﹣6y+9=0，解得：y1=y2=3．∵2、3、3能围成三角形，∴n=9符合题意．故答案为：9．【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、三角形三边关系以及等腰三角形的性质，分b=2为腰长及底长两种情况考虑是解题的关键．三、简答题：（本大题共2小题，每小题10分，共20分）19．（10分）计算：（1）（2）（m＞0）．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据二次根式的乘除法法则运算．【解答】解：（1）原式=﹣6++=﹣5+；（2）原式==．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20．（10分）解方程：（1）（x﹣1）（x+3）=5（2）2x2﹣4x+1=0（用配方法）【分析】（1）整理成一般式后利用因式分解法求解可得；（2）配方法求解即可得．【解答】解：（1）原方程整理可得x2+2x﹣8=0，则（x+4）（x﹣2）=0，∴x+4=0或x﹣2=0，解得：x=﹣4或x=2；（2）∵，∴，∴，则或，∴原方程的解为【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键四、解答题（本大题共5小题，共31分）21．（4分）已知，求x2﹣2x+3的值．【分析】将x分母有理化后，代入原式计算即可求出值．【解答】解：x===+1，则x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2=3+2=5．【点评】此题考查了分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0．（1）若﹣1是方程的一个根，求m的值和方程的另一个根．（2）对于任意实数m，判断方程根的情况，并说明理由．【分析】（1）把x=﹣1代入原方程即可求出m的值，解方程进而求出方程的另一个根；（2）由方程的判别式△=b2﹣4ac计算的结果和0比较大小即可知道方程根的情况．【解答】解：（1）把x=﹣1代入原方程得：1+m﹣2=0，解得：m=1，∴原方程为x2﹣x﹣2=0．解得：x=﹣1或2，∴方程另一个根是2；（2）∵△=b2﹣4ac=m2+8＞0，∴对任意实数m方程都有两个不相等的实数根．【点评】本题主要是根据方程的解的定义求得未知系数，把判断一元二次方程的根的情况转化为根据判别式判断式子的值与0的大小关系的问题．23．（6分）如图，要建一个面积为140平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙垂直的一边要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库的宽和长分别为多少米？【分析】首先设这个仓库的长为x米，则宽表示为（32+2﹣x），再根据面积为140平方米的仓库可得x×（32+2﹣x）=140，再解一元二次方程即可．【解答】解：设这个仓库的长为x米，由题意得：x×（32+2﹣x）=140，解得：x1=20，x2=14，∵这堵墙的长为18米，∴x=20不合题意舍去，∴x=14，宽为：×（32+2﹣14）=10（米）．答：这个仓库的宽和长分别为14米、10米．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，正确表示出长方形的长和宽．24．（6分）已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB=CD，求证：BC=DE．【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等．【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE（已知）∴∠ACE=∠B=∠D=90°（垂直的意义）∵∠BCA+∠DCE+∠ACE=180°（平角的意义）∠ACE=90°（已证）∴∠BCA+∠DCE=90°（等式性质）∵∠BCA+∠A+∠B=180°（三角形内角和等于180°）∠B=90°（已证）∴∠BCA+∠A=90°（等式性质）∴∠DCE=∠A （同角的余角相等）在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（ASA）∴BC=DE．（全等三角形对应边相等）【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．25．（9分）已知：如图，∠ADC=90°，DC∥AB，BA=BC，AE⊥BC，垂足为点E，点F为AC的中点．（1）求证：∠AFB=90°；（2）求证：△ADC≌△AEC；（3）连接DE，试判断DE与BF的位置关系，并证明．【分析】（1）由BA=BC，F是AC的中点，根据等腰三角形的三线合一，可得BF ⊥AC，即可证得∠AFB=90°；（2）易证DC∥AB，又由BA=BC，根据等边对等角，证得∠ECA=∠CAB，即可根据AAS证得△ADC≌△AEC；（3）首先设DE交AC于点H，由△ADC≌△AEC，即可得AD=AE，∠DAH=∠EAH，根据等腰三角形的三线合一，则可证得BH⊥DE，则可得∠AFB=∠AHE，又由同位角相等，两直线平行，证得DE∥BF．【解答】（1）证明：∵BA=BC，F是AC的中点（已知），∴BF⊥AC（等腰三角形的三线合一）．（1分）∴∠AFB=90°（垂直的定义）．（1分）（2）证明：∵AE⊥BC（已知），∴∠AEC=90°（垂直的定义）．∵∠ADC=90°（已知），∴∠ADC=∠AEC（等量代换）．（1分）∵DC∥AB（已知），∴∠DCA=∠CAB（两直线平行，内错角相等）．∵BA=BC（已知），∴∠ECA=∠CAB（等边对等角）．∴∠DCA=∠ECA（等量代换）．（1分）在△ADC和△AEC中，∴△ADC≌△AEC（AAS）．（1分）（3）DE与BF平行．（1分）证明：设DE交AC于点H，∵△ADC≌△AEC（已证），∴AD=AE，∠DAH=∠EAH（全等三角形对应边相等、对应角相等）．（1分）∴AH⊥DE（等腰三角形的三线合一）．（1分）∴∠AHE=90°（垂直的定义）∵∠AFB=90°（已证），∴∠AFB=∠AHE（等量代换）．（1分）∴DE∥BF（同位角相等，两直线平行）．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．。
2019—2020上浦东新区初二期末数学试卷
2019—2020上浦东新区初二期末数学试卷初二数学试卷〔完卷时刻：90分钟，总分值：100分〕一、填空题：〔本大题共16题，每题2分，总分值32分〕 1．运算：16= 4 ．2．运算：31278⎪⎭⎫ ⎝⎛= 2/3 ．3．34．53=b a ，那么ba ba -+3= 2 ． 5．假如6是a 与9的比例中项，那么a = ． 6．函数3)(+=x x f 的定义域是 x ≥-3 ． 7．假如反比例函数xk y 2-=的图象在第二、四象限内，那么k 的取值范畴是 k ＜2 ． 8．点P 在y 轴的正半轴上，且到x 轴的距离为5，那么点P 的坐标为 〔5，0〕 ． 9．假如y 与x +3成正比例，且当x =2时，y =-10，那么那个函数的解析式为 y=2k ． 10．假如把20千克米分装两袋，甲袋装x 千克〔0<x <20〕，乙袋装y 千克，那么y 与x 的函数解析式是 y=20-x 〔0<x <20〕 ．11．假如直角三角形的斜边长为12cm ，那么这条边上的中线长为 6 cm ． 12．假如等腰三角形底边上的中线长等于腰长的一半，那么那个等腰三角形的顶角60 度． 13．在长方形ABCD 中，假如∠BAC =60°，AB =5cm ，那么对角线AC = cm ． 14．：如图，在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC ，AD =DC ，BC >BA ，那么∠A 与∠C 的和等于 180 度．15．把命题〝等边对等角〞改写成〝假如……，那么……〞的形式 是： 在一个三角形中，假如有两条边相等，那么这两条边所对的ABCD角也相等 ．16．把三角形纸片ABC 折叠，使点A 与点B 重合，折痕交边AC 于点D ．假如AC =12，BC =8，那么△BCD 的周长等于 20 ．二、选择题：〔本大题共4题，每题2分，总分值8分〕17．以下各组二次根式中，是同类二次根式的是…………………………………………〔 c 〕 〔A 〕2和6； 〔B 〕53和15； 〔C 〕12和31； 〔D 〕8和32． 18．正比例函数y =kx 的图象通过点〔2，-4〕、〔1，y 1〕、〔-1，y 2〕，那么y 1与y 2的大小关系是……………………………………………………………………………………〔 a 〕 〔A 〕y 1<y 2； 〔B 〕y 1=y 2； 〔C 〕y 1>y 2； 〔D 〕无法确定． 19．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AH 是高，AM 是中线，那么在结论①∠B =∠BAM ，②∠B =∠MAH ，③∠B =∠CAH 中错误的个数有………………………………………〔 a 〕 〔A 〕0个； 〔B 〕1个； 〔C 〕2个； 〔D 〕3个．20．以下命题中，逆命题是真命题的是…………………………………………………〔 d 〕 〔A 〕对顶角相等； 〔B 〕直角都相等；〔C 〕全等三角形对应角相等； 〔D 〕两个锐角互余的三角形是直角三角形．三、〔本大题共6题，每题7分，总分值42分〕 21．运算：ab b a 2)(2+-． =a+b22．：如图，正比例函数的图象通过点P 和点Q 〔-m ，m +3〕，求m 的值． 因为P 〔-1，2〕 因此设y=kx(k ≠0) 将P 〔-1，2〕代入C因此k=-223．x 与y 的关系是112-+=y y x ． 〔1〕把它改写成)(x f y =的形式； 〔2〕求)3(f ．24．：如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，AB =CD ．求证：∠OBA =∠ODC ．25．：如图，在△ABC 中，MN 是边AB 的中垂线，∠MAC =50°，∠C =3∠B ，求∠B 的度数．ABCNA M26．：21y y y +=，1y 与2x 成正比例，2y 与x 成反比例，当x =1时，y =1；当x =-1时，y =3．求x =-2时，y 的值．四、〔本大题共2题，第27题8分，第28题10分，总分值18分〕 27．：如图，AD ∥OB ，OC 平分∠AOB ，P 是OC 上一点，过点P 作直线MN ，分不交AD 、OB 于点M 和N ，且MP =NP ．求证：点P 到AO 和AD 的距离相等．A ONB MDPC28．：如图，D 是等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上一动点，CE ⊥CD ，且CE =CD ．试探究：〔1〕在点D 的运动过程中，是否存在与线段AD 始终相等的线段？假如存在，请证明；假如不存在，请讲明理由．〔2〕△ACD 与△EDB 能否全等？假如能，请指出这两个三角形全等时点D 的位置，并证明你的判定；假如不能，请讲明理由．CABDE浦东新区2006学年度第一学期期末质量抽测初二数学试卷参考答案与评分讲明一、填空题：1．4； 2．32； 3．3等； 4．2； 5．4； 6．3-≥x ； 7．2<k ； 8．〔0，5〕；9．y =-2x -6； 10．y =20-x ； 11．6； 12．120； 13．10； 14．180； 15．假如三角形的两条边相等，那么这两条边所对的角相等； 16．20．二、选择题：17．C ； 18．A ； 19．B ； 20．D ． 三、21．解：原式=ab b ab a 22++-………………………………………………………〔4分〕 =a +b ．…………………………………………………………………………〔3分〕 22．解：设正比例函数的解析式为y =kx ．…………………………………………………〔1分〕∵它图象通过点P 〔-1，2〕，∴2=-k ，即k =-2．………………………………〔2分〕 ∴正比例函数的解析式为y =-2x ．………………………………………………〔1分〕 又∵它图象通过点Q 〔-m ，m +3〕，∴m +3=2m ．………………………………〔2分〕 ∴m =3．……………………………………………………………………………〔1分〕23．解：〔1〕由题意，得12+=-y x xy ．………………………………………………〔1分〕1)2(+=-x y x ．……………………………………………………………〔1分〕 ∴21-+=x x y ．………………………………………………………………〔2分〕 〔2〕2313)3(-+=f ………………………………………………………………〔1分〕=)23)(23()23)(13(+-++ …………………………………………………〔1分〕=335--．…………………………………………………………〔1分〕24．证法一：连结AO 、CO ．………………………………………………………………〔1分〕∵AO =BO =CO =DO ，AB =CD ，∴△AOB ≌△COD ．……………………〔4分〕 ∴∠OBA =∠ODC ．…………………………………………………………〔2分〕证法二：分不作OE ⊥AB 于点E ，OF ⊥CD 于点F ．………………………………〔1分〕∵AB =CD ，∴OE =OF ．……………………………………………………〔2分〕 ∵BO =DO ，∴Rt △BOE ≌Rt △DOF ．……………………………………〔2分〕 ∴∠OBA =∠ODC ．…………………………………………………………〔2分〕25．解：∵MN 是边AB 的中垂线，∴AM =BM ．…………………………………………〔2分〕∴∠BAM =∠B ．…………………………………………………………………〔1分〕 设∠B =x ，那么∠BAM =x ．∵∠C =3∠B ，∴∠C =3x ．………………………………………………………〔1分〕 由三角形内角和定理，得x +x +3x +50°=180°．………………………………〔2分〕 ∴x =26°，即∠B =26°． ………………………………………………………〔1分〕 26．解：∵1y 与2x 成正比例，∴211x k y =．……………………………………………〔1分〕∵2y 与x 成反比例，∴x k y 22=．………………………………………………〔1分〕 由21y y y +=，得xkx k y 221+=．……………………………………………〔1分〕∵当x =1时，y =1，当x =-1时，y =3，∴⎩⎨⎧-=+=.3,12121k k k k ……………………………………………………………………〔1分〕解得⎩⎨⎧-==.1,221k k ……………………………………………………………………〔1分〕∴xx y 122-=．…………………………………………………………………〔1分〕 当x =-2时，218=y ．……………………………………………………………〔1分〕四、27．证明：作PE ⊥OB 于点E ，PF ⊥OA 于点F ，PG ⊥AD 于点G ．…………………〔1分〕∵OC 平分∠AOB ，PE ⊥OB 于点E ，PF ⊥OA 于点F ， ∴PE =PF ．…………………………………………………………………………〔2分〕 ∵AD ∥OB ，∴∠PNE =∠PMG ．………………………………………………〔1分〕 ∵∠PEN =∠PGM =90°，PM =PN ，∴△PEN ≌△PGM ．……………………〔2分〕 ∴PE =PG ．…………………………………………………………………………〔1分〕 ∴PF =PG ，即点P 到AO 和AD 的距离相等．…………………………………〔1分〕28．解：〔1〕存在，BE =AD ．………………………………………………………………〔1分〕证明：∵∠ACB =∠DCE =90°，∴∠ACD =∠BCE ．……………………〔1分〕∵AC =BC ，CD =CE ，∴△ACD ≌△BCE ．………………………〔2分〕 ∴BE =AD ．〔2〕能，点D 为AB 的中点．……………………………………………………〔1分〕证明：∵∠ACB =90°，AC =BC ，∴∠ABC =∠A =45°．………………〔1分〕∵△ACD ≌△BCE ，∴∠CBE =∠A =45°．………………………〔1分〕 ∴∠DBE =90°．……………………………………………………〔1分〕 要使△ACD 与△EDB 全等，必须有∠ADC =∠DBE =90°．……〔1分〕 现在点D 为AB 的中点，CD =DB ，AD =BE ，……………………〔1分〕 ∴△ACD ≌△EDB ．。
专题126多项式乘多项式-2021-2022学年八年级数学上(解析版)【华师大版】
2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【华师大版】专题12.6多项式乘多项式姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2017秋•浦东新区期中）若（x2+px+q）（x2+7）的计算结果中，不含x2项，则q的值是（）A．0B．7C．﹣7D．±7【分析】把式子展开，找到所有x2项的系数，令它的系数分别为0，列式求解即可．【解析】∵（x2+px+q）（x2+7）＝x4+7x2+px3+7px+qx2+7q＝x4+px3+（7+q）x2+7px+7q．∵乘积中不含x2项，∴7+p＝0，∴q＝﹣7．故选：C．2．（2020秋•鱼台县期末）若（x+m）（x﹣8）中不含x的一次项，则m的值为（）A．8B．﹣8C．0D．8或﹣8【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开式子，并合并，不含x的一次项就是含x项的系数等于0，求解即可．【解析】∵（x+m）（x﹣8）＝x2﹣8x+mx﹣8m＝x2+（m﹣8）x﹣8m，又结果中不含x的一次项，∴m﹣8＝0，∴m＝8．故选：A．3．（2021•长丰县模拟）如果（x﹣2）（x+3）＝x2+px+q，那么p、q的值为（）A．p＝5，q＝6B．p＝1，q＝﹣6C．p＝1，q＝6D．p＝5，q＝﹣6【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出p与q的值即可．【解析】∵（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6＝x2+px+q，∴p＝1，q＝﹣6，故选：B．4．（2019秋•普陀区月考）设P是关于x的五次多项式，Q是关于x的三次多项式，则下面说法可能正确的是（）A．P+Q是关于x的八次多项式B．P﹣Q是关于x的二次多项式C．P+Q是关于x的五次多项式D．P•Q是关于x的十五次多项式【分析】根据整式的加减只能是同类项间的加减，非同类项之间不能进行合并，多项式相加时次数等于次数高的哪个多项式的次数可判断各选项，或根据P是关于x的五次多项式，Q是关于x的三次多项式，利用乘法法则得出P•Q的次数．【解析】A、两式相加只能为5次多项式，故本选项错误；B、P﹣Q是只能为关于x的5次多项式，故本选项错误；C、P+Q只能为关于x的5次多项式，故本选项正确；D、P•Q只能为关于x的8次多项式，故本选项错误；故选：C．5．（2020秋•南关区校级期中）计算（a+3）（﹣a+1）的结果是（）A．﹣a2﹣2a+3B．﹣a2+4a+3C．﹣a2+4a﹣3D．a2﹣2a﹣3【分析】运用多项式乘以多项式法则，直接计算即可．【解析】（a+3）（﹣a+1）＝﹣a2﹣3a+a+3＝﹣a2﹣2a+3．故选：A．6．（2021春•鹿邑县期末）若M＝（x﹣3）（x﹣4），N＝（x﹣1）（x﹣6），则M与N的大小关系为（）A．M＞N B．M＝NC．M＜N D．由x的取值而定【分析】求出M和N的展开式，计算M﹣N的正负性，即可判断M与N的大小关系．【解析】M＝（x﹣3）（x﹣4）＝x2﹣7x+12；N＝（x﹣1）（x﹣6）＝x2﹣7x+6；∵M﹣N＝6＞0；∴M＞N；故选：A．7．（2020春•商河县期末）在下列多项式中，与﹣x﹣y相乘的结果为x2﹣y2的多项式是（）A．x﹣y B．x+y C．﹣x+y D．﹣x﹣y【分析】依据多项式乘多项式法则进行判断即可．【解析】（x﹣y）（﹣x﹣y）＝y2﹣x2，故A错误；（﹣x﹣y）（x+y）＝﹣x2﹣2xy﹣y2，故B错误；（﹣x+y）（﹣x﹣y）＝x2﹣y2，故C正确；（﹣x﹣y）（﹣x﹣y）＝x2+2xy+y2，故D错误．故选：C．8．（2020春•东平县期末）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式，你认为其中正确的有（）①（2a+b）（m+n）；②2a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；④2am+2an+bm+bn．A．①②B．③④C．①②③D．①②③④【分析】根据图中长方形的面积可表示为总长×总宽，也可表示成各矩形的面积和，【解析】表示该长方形面积的多项式①（2a+b）（m+n）正确；②2a（m+n）+b（m+n）正确；③m（2a+b）+n（2a+b）正确；④2am+2an+bm+bn正确．故选：D．9．（2020秋•定西期末）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax+b，则a、b的值分别为（）A．a＝5，b＝6B．a＝1，b＝﹣6C．a＝1，b＝6D．a＝5，b＝﹣6【分析】已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出a与b的值即可．【解析】∵（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6＝x2+ax+b，∴a＝1，b＝﹣6．故选：B．10．（2021春•萧山区期末）如图是一所楼房的平面图，下列式子中不能表示它的面积的是（）A．a2+5a+15B．（a+5）（a+3）﹣3aC．a（a+5）+15D．a（a+3）+a2【分析】分别用不用的方法表示楼房的面积，逐个排除即可得到正确的答案．【解析】A．是三个图形面积的和，正确，不符合题意；B．是补成一个大长方形，用大长方形的面积减去补的长方形的面积，正确，不符合题意；C．是上面大长方形的面积加上下面小长方形的面积，正确，不符合题意；D．不是楼房的面积，错误，符合题意．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•浦东新区期中）若（x+4）（x﹣2）＝x2﹣mx﹣n，则mn＝﹣16．【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行化简，再求出m、n的值，最后代入求出即可．【解析】（x+4）（x﹣2）＝x2﹣2x+4x﹣8＝x2+2x﹣8，∵（x+4）（x﹣2）＝x2﹣mx﹣n，∴﹣m＝2，﹣n＝﹣8，∴m＝﹣2，n＝8，∴mn＝﹣2×8＝﹣16，故答案为：﹣16．12．（2019秋•徐汇区校级月考）若计算2x﹣1与ax+1相乘的结果中不含有x的项，则a的值为2．【分析】先根据多项式与多项式相乘的法则进行计算，由不含有x的项，即x的一次项的系数为0，列式可得结论．【解析】（2x﹣1）（ax+1）＝2ax2+2x﹣ax﹣1，∵不含有x的项，∴2﹣a＝0，∴a＝2，故答案为：2．13．（2019秋•黄浦区月考）若x+y＝3，xy＝2，则（x+1）（y+1）＝6．【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后将已知等式代入计算即可求出值．【解析】∵x+y＝3，xy＝2，∴原式＝xy+x+y+1＝2+3+1＝6，故答案为：6．14．（2020秋•奉贤区期末）计算：（2x﹣y）（x﹣2y）＝2x2﹣5xy+2y2．【分析】利用多项式乘以多项式计算法则进行计算即可．【解析】原式＝2x•x﹣2x•2y﹣y•x+y•2y＝2x2﹣4xy﹣xy+2y2＝2x2﹣5xy+2y2．故答案为：2x2﹣5xy+2y2．15．（2021春•金牛区校级期中）若（x2+px−13）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项，则p＝3，q＝−13．【分析】利用多项式乘以多项式的法则将式子展开后，令x和x3的系数为0，得到p，q的方程，解方程可得结论．【解析】（x2+px−13）（x2﹣3x+q）＝x4﹣3x3+qx2+px3﹣3px2+pqx−13x2+x−13q＝x4+（p﹣3）x3+（q﹣3p−13）x2+（pq+1）x−13q．∵积中不含x项与x3项，∴p﹣3＝0，pq+1＝0．解得：p＝3，q=−1 3．故答案为：p＝3，q=−1 3．16．（2020秋•西峰区期末）若（x+m）（x+n）＝x2﹣7x+mn，则﹣m﹣n的值为7．【分析】按照多项式的乘法法则展开运算后【解析】∵（x+m）（x+n）＝x2+（m+n）x+mn＝x2﹣7x+mn，∴m+n＝﹣7，∴﹣m﹣n＝7，故答案为：7．17．（2020秋•沙坪坝区校级期末）若（2x﹣a）（x+1）的积中不含x的一次项，则a的值为2．【分析】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．【解析】（2x﹣a）（x+1）＝2x2+（2﹣a）x﹣a，∵积中不含x的一次项，∴2﹣a＝0，∴a＝2，故答案为：2．18．（2020•浙江自主招生）设a，b，c为整数，且对一切实数x都有（x﹣a）（x﹣8）+1＝（x﹣b）（x﹣c）恒成立，则a+b+c＝20或28．【分析】等式两边化简之后，利用一次项系数相等和常数项相等得到两个等式a+8＝b+c和8a+1＝bc；消去a结合b，c都是整数得到b﹣8＝1，c﹣8＝1或b﹣8＝﹣1，c﹣8＝﹣1，分别计算出a，b，c的值即可分析出答案．【解析】∵（x﹣a）（x﹣8）+1＝x2﹣（a+8）x+8a+1，（x﹣b）（x﹣c）＝x2﹣（b+c）x+bc又∵（x﹣a）（x﹣8）+1＝（x﹣b）（x﹣c）恒成立，∴﹣（a+8）＝﹣（b+c）∴8a+1＝bc消去a得：bc﹣8（b+c）＝﹣63即（b﹣8）（c﹣8）＝1∵b，c都是整数，故b﹣8＝1，c﹣8＝1或b﹣8＝﹣1，c﹣8＝﹣1解得b＝c＝9或b＝c＝7当b＝c＝9时，解得a＝10，当b＝c＝7时，解得a＝6故a+b+c＝9+9+10＝28或7+7+6＝20故答案为：20或28三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：（1）（2a﹣1）（a﹣4）﹣（a+3）（a﹣1）；（2）t2﹣（t+1）（t﹣5）；（3）（x+1）（x2+x+1）；（4）（2x+3）（x2﹣x+1）．【分析】（1）根据多项式的乘法和合并同类项解答即可；（2）根据多项式的乘法和合并同类项解答即可；（3）根据多项式的乘法和合并同类项解答即可；（4）根据多项式的乘法和合并同类项解答即可．【解析】（1）（2a﹣1）（a﹣4）﹣（a+3）（a﹣1）＝2a2﹣8a﹣a+4﹣a2+a﹣3a+3＝a2﹣11a+7；（2）t2﹣（t+1）（t﹣5）＝t2﹣t2+5t﹣t+5＝4t+5；（3）（x+1）（x2+x+1）；＝x3+x2+x+x2+x+1＝x3+2x2+2x+1；（4）（2x+3）（x2﹣x+1）＝2x3﹣2x2+2x+3x2﹣3x+320．计算：（1）（﹣7x2﹣8y2）•（﹣x2+3y2）；（2）（3x+2y）（9x2﹣6xy+4y2）；（3）（3x﹣2y）（y﹣3x）﹣（2x﹣y）（3x+y）．【分析】（1）（2）先利用多项式乘多项式法则，再合并同类项；（3）先利用多项式乘多项式法则作乘法，再加减．【解析】（1）原式＝7x4﹣21x2y2+8x2y2﹣24y4＝7x4﹣13x2y2﹣24y4；（2）原式＝（3x+2y）[（3x）2﹣3x×2y+（2y）2]＝（3x）3+（2y）3＝27x3+8y3；（3）原式＝3xy﹣9x2﹣2y2+6xy﹣（6x2+2xy﹣3xy﹣y2）＝3xy﹣9x2﹣2y2+6xy﹣6x2﹣2xy+3xy+y2＝10xy﹣15x2﹣y2．21．（2019秋•浦东新区校级期中）已知x2﹣x﹣3＝0，求（x2+3x﹣7）（x3+2x2﹣2x﹣5）﹣16x的值．【分析】若本题利用多项式乘以多项式法则，直接展开，次数高项数多，考虑把已知整体代入两个多项式因式，从而使运算简便．【解析】∵x2﹣x﹣3＝0，∴x2＝x+3，x2﹣x＝3，∵x2+3x﹣7＝x2﹣x+4x﹣7＝3+4x﹣7＝4x﹣4，x3+2x2﹣2x﹣5＝x3﹣x2+3x2﹣3x+x﹣5＝x（x2﹣x）+3（x2﹣x）+x﹣5＝3x+9+x﹣5＝4x+4∴（x2+3x﹣7）（x3+2x2﹣2x﹣5）﹣16x＝（4x﹣4）（4x+4）﹣16x＝16x2﹣16x﹣16∵x2﹣x＝3，∴原式＝16×3﹣16＝32．22．（2019秋•闵行区校级月考）在（x2+ax+b）（2x3﹣3x﹣1）的积中，x3的系数为﹣5，x2的系数为﹣6，求a，b．【分析】根据多项式与多项式相乘的法则进行计算，根据题意列式计算，得到答案．【解析】（x2+ax+b）（2x3﹣3x﹣1）＝2x5﹣3x3﹣x2+2ax4﹣3ax2﹣ax+2bx3﹣3bx﹣b＝2x5﹣（1+3a）x2+2ax4+（2b﹣3）x3﹣（a+3b）x﹣b，由题意得，2b﹣3＝﹣5，1+3a＝6，解得，a=53，b＝﹣1．23．（2019秋•嘉定区校级月考）已知：A＝1+2x，B＝1﹣2x+4x2，C＝1﹣4x3求：（1）A•B﹣C；（2）求当x=−32时，求A•B﹣C的值．【分析】（1）直接利用多项式乘法运算法则结合整式的加减运算法则分别计算得出答案；（2）直接把x的值代入原式求出答案．【解析】（1）∵A＝1+2x，B＝1﹣2x+4x2，C＝1﹣4x3，∴A•B﹣C＝（1+2x）（1﹣2x+4x2）﹣1+4x3＝1﹣2x+4x2+2x﹣4x2+8x3﹣1+4x3＝12x3；（2）当x=−32时，A•B﹣C＝12x3＝12×（−32）3＝﹣40.5．24．（2019秋•潮州期末）欢欢与乐乐两人共同计算（2x+a）（3x+b），欢欢抄错为（2x﹣a）（3x+b），得到的结果为6x2﹣13x+6；乐乐抄错为（2x+a）（x+b），得到的结果为2x2﹣x﹣6．（1）式子中的a、b的值各是多少？（2）请计算出原题的正确答案．【分析】（1）根据由于欢欢抄错了第一个多项式中的a符号，得出的结果为6x2﹣13x+6，可知（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2﹣13x+6，于是2b﹣3a＝﹣13①；再根据乐乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣x﹣6，可知常数项是﹣6，可知（2x+a）（x+b）＝2x2﹣x﹣6，可得到2b+a＝﹣1②，解关于①②的方程组即可求出a、b的值；（2）把a、b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．【解析】（1）根据题意可知，由于欢欢抄错了第一个多项式中的a的符号，得到的结果为6x2﹣13x+6，那么（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2﹣13x+6，可得2b﹣3a＝﹣13 ①乐乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣x﹣6，可知（2x+a）（x+b）＝2x2﹣x﹣6即2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣x﹣6，可得2b+a＝﹣1 ②，解关于①②的方程组，可得a＝3，b＝﹣2；（2）正确的式子：（2x+3）（3x﹣2）＝6x2+5x﹣6。
人教版 八年级数学 二次根式有意义讲义 (含解析)
【解析】根据 ≥0，即可求得a的值，以及所求式子的最小值．
解：∵ ≥0，
∴当a=﹣ 时， 有最小值，是0．
则 +1的最小值是1．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了二次根式的性质，任何非负数的算术平方根是非负数．
教学建议：熟记二次根式有意义，保证被开方数为非负数.
难度：3适应场景：当堂例题例题来源：白云区期中年份：2011
故选：C．
讲解用时：2分钟
解题思路：此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．
教学建议：熟练掌握二次根式里面的被开方数为非负数.
难度：2适应场景：当堂练习例题来源：怀柔区期末年份：2017
【例题2】
如果代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣3B．x≠0C．x≥﹣3且x≠0D．x≥3
解：∵ 为二次根式，
∴x的取值范围是：x﹣3≠0．
即x≠3.
讲解用时：2分钟
解题思路：此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的性质是解题关键．
教学建议：灵活运用二次根式定义法进行解题.
难度：3适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018
【例题5】
当a取什么值时，代数式 取值最小？并求出这个最小值．
课堂精讲精练
【例题1】
在下列代数式中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
解：A、 ，是二次根式，故此选项错误；
B、 ，是二次根式，故此选项错误；
C、 ，是二次根式，故此选项错误；
D、 ，不是二次根式，故此选项正确；
故选：D．
上海市浦东新区2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷 (解析版)
2022-2023学年上海市浦东新区八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. 2a b B. 32 C. 22+a b D. 0.5【答案】C【解析】【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 2a b b =； 32不是二次根式，故本选项不符合题意； 22+a b 120.5==22，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：C ．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，判断时，被开方数要同时满足两个条件，一是被开方数的因数是整数，因式是整式；二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，两个条件缺一不可．2. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ）A. 270xy −=B. 22330x x +=C. 220ax x +=D. 22(2)1x x +=− 【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可．【详解】因为A 选项的方程是二元二次方程，故本选项不符合题意；因为B 选项的方程是一元二次方程，故本选项符合题意；因为当0a =时，C 选项的方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；将22(2)1x x +=−整理可得250x +=，是一元一次方程，故D 选项不合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的判断，掌握定义是解题的关键．即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程．3. 下列等式正确的是（ ）A. 32=3B. 2(3)−﹣3C. 33=3D. （﹣32=﹣3 【答案】A【解析】【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可．详解】解：32=3，A 正确,符合题意； ()23−，B 错误，不符合题意；3327=33C 错误，不符合题意； （32=3，D 错误，不符合题意；故选A ． 【点睛】本题考查2a a |是解题的关键． 4. 下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ）A. 244x x −+；B. 22352x xy y −−；C. 229y y −+；D. 221y −−．【答案】C【解析】【分析】利用完全平方公式把A 分解，利用十字乘法把B 分解，再分别令229=0,y y −+221=0,y −再计算根的判别式，从而可判断C ，D ，从而可得答案.【详解】解：()22442,x x x −+=−故A 不符合题意；()()22352=32,x xy y x y x y −−+−故B 不符合题意；令229=0,y y −+则4419320,=−⨯⨯=−<所以229y y −+在实数范围内不能分解，故C 符合题意；令221=0,y −则()2=4241160,b ac −=−⨯⨯−=>26y ±∴= 122626,22y y ∴== 【的2262621=,y y y ⎛+−∴−−− ⎝⎭⎝⎭故D 不符合题意；故选：C【点睛】本题考查的是因式分解，一元二次方程的解法，根的判别式，掌握利用公式法解一元二次方程，进而分解因式是解题的关键.5. 在下列各命题中，是假命题是（ ）A. 在一个三角形中，等边对等角B. 全等三角形的对应边相等C. 同旁内角相等，两直线平行D. 等角的补角相等 【答案】C【解析】【分析】分别判断命题的真假即可得出答案．【详解】在一个三角形中，等边对等角，正确，是真命题，则A 不符合题意；全等三角形的对应边相等，正确，是真命题，则B 不符合题意；同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，则C 符合题意；等角的补角相等，正确，是真命题，则D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了命题的真假，掌握定义是解题的关键．即条件和结论相矛盾的命题是假命题．6. 定义：如果一元二次方程200ax bx c a ++≠＝（）满足a +b +c ＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知200ax bx c a ++≠＝（）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A. a ＝cB. a ＝bC. b ＝cD. a ＝b ＝c 【答案】A【解析】【分析】根据a +b +c ＝0得b ＝﹣a ﹣c ，根据方程有两个相等的实数根得240b ac −∆＝＝，将b ＝﹣a ﹣c 代入240b ac −＝得到()20a c −＝，进而即可求解．【详解】解：∵一元二次方程200ax bx c a ++≠＝（）有两个相等的实数根， ∴240b ac −∆＝＝，又a +b +c ＝0，即b ＝﹣a ﹣c ，代入240b ac −＝得()24a c ac −−−＝0，即()()22222242420a c ac a ac c ac a ac c a c −+=++−=−−=+＝， 的∴a ＝c ．∴b ＝﹣a ﹣c =﹣2a故选：A ．【点睛】本题考查根的判别式，将a +b +c ＝0变形成b ＝﹣a ﹣c 再代入240b ac −∆＝＝化简是解题的关键．二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）7. 当x=______时，二次根式1x +取最小值，其最小值为_______.【答案】 ①. -1 ②. 0【解析】【详解】根据二次根式有意义的条件，得x+1⩾0，则x ⩾−1.所以当x=−1时，该二次根式有最小值，即为0.故答案为−1，0.8. 将命题“两个全等三角形的周长相等”改写成“如果…那么…”的形式 _____．【答案】如果两个三角形全等，那么它们的周长相等【解析】【分析】根据如果的后面是条件，那么的后面是结论，即可求解．【详解】解：将命题“两个全等三角形的周长相等”改写成“如果…，那么…”的形式： 如果两个三角形全等，那么它们周长相等，故答案为：如果两个三角形全等，那么它们的周长相等． 【点睛】本题主要考查了命题的“如果…那么…”形式，熟练掌握如果的后面是条件，那么的后面是结论是解题的关键．9. 920+5＝_____． 【答案】1355【解析】【分析】根据二次根式的性质进行化简，再合并二次根式即可． 【详解】原式3513525+55==． 故答案为：1355 ． 【点睛】此题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握根据二次根式的性质化简的方法是解题的关键．的10. 6+5a 8+3a =a _____．【答案】1【解析】【分析】被开方式相同的最简二次根式，叫做同类二次根式，根据同类二次根式的定义列式计算即可． 6+5a 8+3a∴6583a a +=+，∴1a =．故答案为：1．【点睛】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 11. 方程213x x =的根是 _____． 【答案】1203x x ==，【解析】【分析】按照解一元二次方程的步骤进行求解即可．【详解】解：213x x =， 2103x x −=， 1103x x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭， 1203x x ==，．故答案为：1203x x ==，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的步骤和方法．12. 531x x ≥+的解集是 _____． 【答案】534x ≤−【解析】【分析】按照解不等式的步骤，先移项，再合并同类项，系数化为1，最后对结果进行化简即可． 531x x ≥+ 531x x −≥)531x ≥ 53x ≤− ()()55353x ≤−+534x ≤−， 故答案为：53x +≤． 【点睛】本题考查了不等式的解法以及二次根式的分母有理化，根据不等式的性质，确定未知系数的有理化因式是解题的关键．13. 若2|2|3(4)0a b c −−−=则a b c −+=___________．【答案】3【解析】【分析】根据绝对值、二次根式与平方的非负性即可求解【详解】解：∵2|2|3(4)0a b c −−−=∴2=03=04=0a b c −−−，，∴=2=3=4a b c ，，∴2-3+4=3a b c −+=故答案为：3【点睛】此题主要考查了绝对值、二次根式与平方的非负性,解题的关键是熟知绝对值、二次根式与平方的非负性．14. 已知关于x 的方程2210mx x −+=有两个不相等的实数根，则m 可取的最大整数是______．【答案】1−【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到0m ≠且0∆>，然后求出两不等式的公共部分，最后解得m 可取的最大整数．【详解】解：已知关于x 的方程2210mx x −+=有两个不相等的实数根，∴0m ≠，且0∆>，∵a m =，2b =−，1c =，∴224(2)40b ac m ∆=−=−−⨯>，即440m −>，解得1m <且0m ≠，∴其中m 可取的最大整数是1−，故答案为：1−．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程无实数根．本题中二次项系数不为零是易错点． 15. 在实数范围内分解因式：233x x −−=_____． 【答案】2132122x x ⎛⎫⎛⎫−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】令2330x x −−=，解得1212x =，2321x −=233x x −−写成因式分解的形式即可．【详解】解：令2330x x −−=，则1,3,3a b c ==−=−，∵()()224341321b ac −=−−⨯⨯−=， ∴3212x ±=， 即1212x =，23212x −=， 则2332132122x x x x ⎛⎫−−⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎝=⎪⎭⎭． 故答案为：3+2132122x x ⎛⎫−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】此题考考查了实数范围内的因式分解，正确求解一元二次方程是解题的关键．16. 2022年3月，某单位发放防疫物品总计5万元，5月发放防疫物资增加到9万元，设每月发放金额平均增长率为x ，则根据题意可列出方程 _____．【答案】25(1)9x +=【解析】【分析】利用该单位5月发放防疫物资金额=该单位3月发放防疫物资金额(1⨯+每月发放金额平均增长率）2，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：依题意得：25(1)9x +=．故答案为：25(1)9x +=．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．17. “若0ab ＞，则0a ＞，0b ＞”_____命题（选填“是”或“不是”）．【答案】是【解析】【分析】根据命题的定义判断即可．【详解】若0ab ＞，则0a ＞，0b ＞是一个命题.故答案为：是．【点睛】本题主要考查了命题的判断，掌握定义是解题的关键．即是表示判断一件事情的句子是命题.18. 把四张形状大小完全相同宽为1cm 的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面21cm ，宽为4cm ）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是_________．【答案】16cm【解析】【分析】根据题意分别列出关系式，得出关于图②中两块阴影部分的长和宽，再利用周长公式时行计算，去括号合并即可得到结果．【详解】解：设小长方形卡片的长为xcm ，小长方形卡片的宽为1cm ，根据题意得： x 21－2， 21－2和2，宽分别为：2和4－x ＝621，∴图②中两块阴影部分的周长和是：2212＋2）＋2（2＋621）＝2116－22116（cm ）．故答案为：16cm ．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，在解题时要根据题意结合图形得出两块阴影部分的长和宽是解题的关键．三、简答题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）19. 计算：216+0.2(24435． 5【解析】【分析】先将二次根式化简，再去括号、合并即可． 【详解】解：160.2244235 545226+556=− 55=5=【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算，注意二次根式的加减法实质是合并同类二次根式．20. 计算: )3231023b ab a b a b a ⎛> ⎝ 【答案】29a ab b【解析】【分析】先确定式子的符号，将除法转化为乘法，利用二次根式的乘法法则计算．【详解】原式=3231-23b ab a b b a ⎛⋅÷⋅÷⎝ =59a b b=29a ab b【点睛】本题考查了二次根式的混合运算．关键是先分母有理化，乘法转化为乘法，再根据二次根式的乘法法则计算．21. ()2x xy y x y x y −+÷−． 【答案】0【解析】【分析】根据二次根式的混合运算法则求解即可． ()2x xy y x y x y ++÷− 2x y x y x y x yx y=−+ x y x y =−0=．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式．22. 解方程：()()23430x x x −+−=． 【答案】1x =3，2x =35. 【解析】 【详解】试题分析：方程的左边提取公因式x ﹣3，即可分解因式，因而方程利用因式分解法求解．试题解析：原式可化为：（x ﹣3）（x ﹣3+4x ）=0，∴x ﹣3=0或5x ﹣3=0， 解得1x =3，2x =35. 考点：解一元二次方程——因式分解法．23. 解方程：2210y −−=． 【答案】123y =，223y = 【解析】【分析】利用公式法求出解即可． 【详解】∵1221a b c ==−=−，，，∴(()222411120∆=−−⨯⨯−=>， ∴22122321y ==⨯， ∴123y =223y =【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解本题关键． 24. 用配方法解方程：23520x x −−=．【答案】12x =，213x =−【解析】 【分析】根据配方法即可求解．【详解】解：23520x x −−=， 整理，得25233x x −=， 配方，得2549()636x −=， 即5766x =± ∴12x =，213x =−． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．四、解答题（本大题共4题，第25、26、27每小题6分，第28题10分，共28分）25. 已知322x =−,求代数式2623x x x −+−的值. 【答案】24【解析】 【分析】先将x 进行化简，然后再代入求值即可. 【详解】解：()()22322322322322x ===+−−+， 原式2322632223223+−+++− 1221222222=24. 【点睛】本题考查二次根式的化简与计算，掌握化简方法及运算法则是解题关键. 26. 已知关于x 的一元二次方程210x mx −+=有两个相等的实数根，求m 的值并求出两个实数根．【答案】2m =±；当2m =时，两个实数根为121x x ==，当2m =−时，两个实数根为121x x ==−．【解析】【分析】根据方程有两个相等的实数根可得240m ∆=−=，求出2m =±，然后分2m =和2m =−两种情况，分别求出方程的解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程210x mx −+=有两个相等的实数根，∴240m ∆=−=，解得2m =±，当2m =时，原方程为：2210x x −+=，∴()210x −=，解得121x x ==，当2m =−时，原方程为：2210x x ++=，∴()210x +=，解得121x x ==−．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法和根的判别式，熟记一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的解与24b ac ∆=−的关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根是解决问题的关键．27. 观察下列运算： ①由)21211−==212+1− ②由32321==323+2 ……问题：（1）通过观察你得出什么规律？用含n 的式子表示出来；（2）利用（1）中发现的规律计算：)201912132432018201720192018++++++++++． 【答案】（1111n n n n =+−++n 为正整数）（2）2018【解析】 【分析】（1）根据题意即可得出规律；（2）根据规律将式子化简，再运用平方差公式求解即可．【小问1详解】 111n n n n =+−++n 为正整数）；【小问2详解】 )201912132432018201720192018++++++++++ )213243201820172019201820191=−++ )2019120191=− 20191=−2018=．【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化及数字的规律探索，掌握平方差公式()()22a b a b a b +−=−的结构特征是解题的关键．28. 某商店如果将进货价为每件10元的商品按每件12元出售，每天可销售200件，这种商品如果每涨价一元，其销售量就减少10件．（1）将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润达到1200元？（2）将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润最大？最大的利润是多少？【答案】（1）把售价定为每件20元或22元能使每天利润达到1200元（2）将售价定位每件21元时，能使这天可获的利润最大，最大利润是1210元【解析】【分析】对于（1），设商品的售价定为x 元，再表示出单间利润和销售量，然后根据单间利润×销售量=总利润列出方程，再求出解即可；对于（2），设这天的利润为y 元，结合（1）列出函数关系式，再配方讨论极值即可．【小问1详解】设每件商品的售价定为x 元，依题意，得(10)[20010(12)]1200x x −−−=，整理得：2424400x x −+=，解得：120x =，222x =，∴把售价定为每件20元或22元能使每天利润达到1200元；【小问2详解】设这天的利润为y 元，则2(10)[20010(12)]10(21)1210y x x x =−−−=−−+，∵-100＜，∴当21x =时，y 有最大值，最大值为1210，答：将售价定位每件21元时，能使这天可获的利润最大，最大利润是1210元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，函数最大值的问题等，根据等量关系列出关系式（方程）是解题的关键．。
沪教版(上海)数学八年级第一学期18.1 函数的概念(1) 教案
18.1 函数的概念（1）[教学目标]1、知道数量、变量与常量的意义，并能在具体问题中认识并分清变量和常量；2、在具体情境中，用运动变化的观点看待事物，理解变化过程中的两个变量之间的相互依存，初步理解函数概念，初步感受变化与对应的思想；3、在参与变量的发现和函数概念的形成过程，提高观察、概括、分析问题和解决问题的能力；4、探索实际问题中的数量关系，感受现实生活中函数的普遍性，初步感受函数的应用价值。
教学重点：结合具体实例归纳、概括函数的概念教学难点：初步理解函数的概念[教学过程]一、课题导入——两分钟预备铃观看视频在刚才的视频中，我们感受到了四季的变化、日出和日落、怒放的花朵、舞蹈中律动的节奏，可见，我们生活在一个充满运动的世界里，万事万物都在不断运动变化着。
为了更好地认识世界，改造世界，我们不妨从数学的角度来研究身边的运动。
设计意图：通过观看记录日常生活中的变化过程的视频，让学生感受到自己其实生活在一个充满运动变化的世界，要学会用运动变化的观点去观察事物。
而函数正是体现运动变化的基本数学概念，它从数值角度刻画事物变化的过程，表达变量之间的变化联系。
二、创设情境，观察概括情境1视频《加油的过程》（观看过程中随意按暂停键）问题1在汽车加油的过程中，涉及了哪些量?此处用体积描述油量，用金额描述汽油的单价和总价。
在认识和描述某一事物时，经常会用像时间、面积、速度、温度、长度、体积等来具体表达事物的某些特征（属性），称之为“量”，同时我们用“数”来表示量的大小。
数与度量单位合在一起，就是我们常说的“数量”。
问题2在加油这个变化的过程中，哪几个量发生了改变？哪几个量没有发生改变？油量和总价一直在不停地变化着，可以取不同的数值，像这样的量叫做变量。
而单价一直保持数值不变，是 6.51，像这样的量叫做常量。
在汽车加油的过程中，汽油的单价是一个常量，始终是6.51，而油量和总价是两个变量，他们不断变化着。
为了方便描述，不妨用字母表示变量，用x表示油量即变量x，用y表示总价即变量y。
初中八年级数学重点学习课件：正方形(知识点串讲)(解析版)
专题10 正方形知识网络重难突破一. 正方形的性质正方形：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 如图：正方形ABCD.正方形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有矩形和菱形的所有性质，如下：①正方形的对边平行且相等；（AB∥CD，AB=CD；BC∥AD，BC=AD）②正方形的四条边都相等；（AB=BC=CD=AD）③正方形的四个角都是直角；（∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°）④正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；（AC=BD，AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，AC是∠DAB和∠DCB的角平分线，BD是∠ADC和∠CBA的角平分线）⑤对称性：正方形是一个轴对称图形，它有四条对称轴.（对称轴是它对边中点的连线和它的两条对角线所在的直线（AC，BD））典例1．（2018春•随县期末）已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝1．其中正确结论的序号是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④【答案】A【解析】解：①∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，∴∠EAB＝∠PAD，又∵AE＝AP，AB＝AD，∵在△APD和△AEB中，，∴△APD≌△AEB（SAS）；故此选项成立；③∵△APD≌△AEB，∴∠APD＝∠AEB，∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠PAE，∴∠BEP＝∠PAE＝90°，∴EB⊥ED；故此选项成立；②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，∵AE＝AP，∠EAP＝90°，∴∠AEP＝∠APE＝45°，又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，∴∠FEB＝∠FBE＝45°，又∵BE，∴BF＝EF，故此选项正确；④如图，连接BD，在Rt△AEP中，∵AE＝AP＝1，∴EP，又∵PB，∴BE，∵△APD≌△AEB，∴PD＝BE，∴S△ABP+S△ADP＝S△ABD﹣S△BDP S正方形ABCD DP×BE（4）．故此选项不正确．综上可知其中正确结论的序号是①②③，故选：A．【点睛】①利用同角的余角相等，易得∠EAB＝∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP＝90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；③利用①中的全等，可得∠APD＝∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP＝90°，即可证；④连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可．典例2．（2018春•宿松县期末）如图，正方形ABCD的边长为2，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是___．【答案】2【解析】解：由图知，阴影部分的面积等于正方形的面积减去△AQD和△BCP的面积．而点P到BC的距离与点Q到AD的距离的和等于正方形的边长，即△AQD和△BCP的面积的和等于正方形的面积的一半，故阴影部分的面积22＝2．故答案为：2．【点睛】阴影部分的面积等于正方形的面积减去△AQD和△BCP的面积和．而两个三角形等底即为正方形的边长，它们的高的和等于正方形的边长，得出阴影部分的面积＝正方形面积的一半即可．本题考查正方形的性质，正方形的面积，三角形的面积公式灵活运用，注意图形的特点．典例3．（2018春•长清区期末）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…记正方形ABCD的边为a1＝1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2、a3、a4、…a n，根据以上规律写出的表达式_______．【答案】2n﹣1【解析】解：∵a2＝AC，且在直角△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴a2a1，同理a3a2＝2，a4a3＝2，…由此可知：a n＝（）n﹣1，则2n﹣1．故答案为：2n﹣1．【点睛】求a2的长即AC的长，根据直角△ABC中AB2+BC2＝AC2可以计算，同理计算a3、a4．由求出的a2a1，a3a2…，a n，a n﹣1＝（）n﹣1，可以找出规律，得到第n个正方形边长的表达式．本题考查了正方形的性质，以及勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到a n的规律是解题的关键．典例4．（2018春•东城区期末）正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD于E，连接EO，AE．（1）若∠PBC＝α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）；（2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．【答案】见解析【解析】解：（1）在正方形ABCD中，BC＝DC，∠C＝90°，∴∠DBC＝∠CDB＝45°，∵∠PBC＝α，∴∠DBP＝45°﹣α，∵PE⊥BD，且O为BP的中点，∴EO＝BO，∴∠EBO＝∠BEO，∴∠EOP＝∠EBO+∠BEO＝90°﹣2 α；（2）连接OC，EC，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BE＝BE，∴△ABE≌△CBE，∴AE＝CE，在Rt△BPC中，O为BP的中点，∴CO＝BO，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠COP＝2 α，由（1）知∠EOP＝90°﹣2α，∴∠EOC＝∠COP+∠EOP＝90°，又由（1）知BO＝EO，∴EO＝CO．∴△EOC是等腰直角三角形，∴EO2+OC2＝EC2，∴EC OC，即BP，∴BP．【点睛】（1）先根据正方形的性质得：∠DBC＝∠CDB＝45°，则∠DBP＝45°﹣α，根据直角三角形斜边中线的性质可得EO＝BO，由等腰三角形性质和外角的性质可得结论；（2）作辅助线，证明△ABE≌△CBE，则AE＝CE，根据直角三角形斜边中线的性质得：OC＝OB＝OP ＝OE，证明△EOC是等腰直角三角形，最后由勾股定理可得：BP，所以BP．本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，第（2）问有难度，作辅助线，构建全等三角形和等腰直角三角形是解决问题的关键．典例5．（2018春•永康市期末）如图，点A是x轴上的一个动点，点C在y轴上，以AC为对角线画正方形ABCD，已知点C的坐标是C（0，4），设点A的坐标为A（n，0）．（1）当n＝2时，正方形ABCD的边长AB＝_______．（2）连结OD，当OD时，n＝_____．【答案】见解析【解析】解：（1）当n＝2时，OA＝2，在Rt△COA中，AC2＝CO2+AO2＝20．∵ABCD为正方形，∴AB＝CB．∴AC2＝AB2+CB2＝2AB2＝20，∴AB．故答案为：．（2）如图所示：过点D作DM⊥y轴，DN⊥x轴．∵ABCD为正方形，∴A、B、C、D四点共圆，∠DAC＝45°．又∵∠COA＝90°，∴点O也在这个圆上，∴∠COD＝∠CAD＝45°．又∵OD，∴DN＝DM＝1．∴D（﹣1，1）．在Rt△DNA和Rt△DMC中，DC＝AD，DM＝DN，∴△DNA≌△DMC．∴CM＝AN＝OC﹣MO＝3．∵D（﹣1，1），∴A（2，0）．∴n＝2．如下图所示：过点D作DM⊥y轴，DN⊥x轴．∵ABCD为正方形，∴A、B、C、D四点共圆，∠DAC＝45°．又∵∠COA＝90°，∴点O也在这个圆上，∴∠AOD＝∠ACD＝45°．又∵OD，∴DN＝DM＝1．∴D（1，﹣1）．同理：△DNA≌△DMC，则AN＝CM＝5．∴OA＝ON+AN＝1+5＝6．∴A（6，0）．∴n＝6．综上所述，n的值为2或6．故答案为：2或6．【点睛】（1）在Rt△AOC中，利用勾股定理求出AC的长度，然后再求得正方形的边长即可；（2）先求得OD与y轴的夹角为45°，然后依据OD的长，可求得点D的坐标，过点D作DM⊥y轴，DN⊥x轴，接下来，再证明△DNA≌△DMC，从而可得到CM＝AN，从而可得到点A的坐标．本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质、四点共圆，证得OD与两坐标轴的夹角为45°是解题的关键．典例6．（2018春•鹿泉区期末）如图（1），正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）如图2若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM交DB的延长线于点F，其他条件不变，结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．【答案】见解析【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，∴∠MEA＝∠AFO．在△BOE和△AOF中，∵，∴△BOE≌△AOF．∴OE＝OF．（2）OE＝OF成立．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠F+∠MBF＝90°，∠E+∠OBE＝90°，又∵∠MBF＝∠OBE，∴∠F＝∠E．在△BOE和△AOF中，∵，∴△BOE≌△AOF．∴OE＝OF．【点睛】（1）根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB＝OA，又因为AM⊥BE，所以∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，从而求证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE＝OF．（2）根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到OB＝OA，再根据已知条件求证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE＝OF．本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，将待求线段放到两个三角形中，通过证明三角形全等得到对应边相等是解题的关键．典例7．（2018春•梁山县期末）以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，连接EB、FD，交点为G．（1）当四边形ABCD为正方形时（如图1），EB和FD的数量关系是_______；（2）当四边形ABCD为矩形时（如图2），EB和FD具有怎样的数量关系？请加以证明；（3）四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD的度数．【答案】见解析【解析】（1）EB＝FD，理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∵以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，∴AF＝AE，∠FAB＝∠EAD＝60°，∵∠FAD＝∠BAD+∠FAB＝90°+60°＝150°，∠BAE＝∠BAD+∠EAD＝90°+60°＝150°，∴∠FAD＝∠BAE，在△AFD和△ABE中，，∴△AFD≌△ABE，∴EB＝FD；（2）EB＝FD．证：∵△AFB为等边三角形∴AF＝AB，∠FAB＝60°∵△ADE为等边三角形，∴AD＝AE，∠EAD＝60°∴∠FAB+∠BAD＝∠EAD+∠BAD，即∠FAD＝∠BAE∴△FAD≌△BAE∴EB＝FD；（3）解：同（2）易证：△FAD≌△BAE，∴∠AEB＝∠ADF，设∠AEB为x°，则∠ADF也为x°于是有∠BED为（60﹣x）°，∠EDF为（60+x）°，∴∠EGD＝180°﹣∠BED﹣∠EDF＝180°﹣（60﹣x）°﹣（60+x）°＝60°．【点睛】（1）EB＝FD，利用正方形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的证明方法可证明△AFD ≌△ABE，由全等三角形的性质即可得到EB＝FD；（2）当四边形ABCD为矩形时，EB和FD仍旧相等，证明的思路同（1）；（3）四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD不发生变化，是一定值，为60°．本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质以及矩形的性质，题目的综合性很强，难度也不小，解题的关键是对特殊几何图形的性质要准确掌握．二. 正方形的判定正方形的判定方法：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形.典例1．（2018春•宿豫区期末）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．要使四边形ABCD 是正方形，还需添加一组条件．下面给出了五组条件：①AB＝AD，且AC＝BD；②AB⊥AD，且AC ⊥BD；③AB⊥AD，且AB＝AD；④AB＝BD，且AB⊥BD；⑤OB＝OC，且OB⊥OC．其中正确的是________（填写序号）．【答案】①②③⑤【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，又∵AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形，①正确；∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥AD，∴四边形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形，②正确；∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥AD，∴四边形ABCD是矩形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形，③正确；④AB＝BD，且AB⊥BD，无法得出四边形ABCD是正方形，故④错误；∵四边形ABCD是平行四边形，OB＝OC，∴四边形ABCD是矩形，又∵OB⊥OC，∴四边形ABCD是正方形，⑤正确；故答案为：①②③⑤．典例2 ．（2018春•浦东新区期末）已知：如图，在等边三角形ABC中，过边AB上一点D作DE⊥BC，垂足为点E，过边AC上一点G作GF⊥BC，垂足为点F，BE＝CF，联结DG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）连接AF，当∠BAF＝3∠FAC时，求证：四边形DEFG是正方形．【答案】见解析【解析】证明：（1）在等边三角形ABC中，∵DE⊥BC，GF⊥BC，∴∠DEF＝∠GFC＝90°，∴DE∥GF，∵∠B＝∠C＝60°，BE＝CF，∠DEB＝∠GFC＝90°，∴△BDE≌△CGF，∴DE＝GF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）在平行四边形DEFG中，∵∠DEF＝90°，∴平行四边形DEFG是矩形，∵∠BAC＝60°，∠BAF＝3∠FAC，∴∠GAF＝15°，在△CGF中，∵∠C＝60°，∠GFC＝90°，∴∠CGF＝30°，∴∠GFA＝15°，∴∠GAF＝∠GFA，∴GA＝GF，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠B＝60°，∴△DAG是等边三角形，∴GA＝GD，∴GD＝GF，∴矩形DEFG是正方形．【点睛】（1）根据等边三角形的性质和平行四边形的判定证明即可；（2）根据等边三角形的判定和性质以及正方形的判定解答即可．此题考查正方形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质以及正方形的判定解答．典例3．（2017秋•南海区期末）如图，以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG．（1）求证：△BDE≌△BAC；（2）求证：四边形ADEG是平行四边形．（3）直接回答下面两个问题，不必证明：①当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？②当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？【答案】见解析【解析】解析：（1）证明：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），（2）∵△BDE≌△BAC，∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（3）①当四边形ADEG是矩形时，∠DAG＝90°．则∠BAC＝360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，即当∠BAC＝135°时，平行四边形ADEG是矩形；②当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．由①知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．∵四边形ABDI是正方形，∴AD AB．又∵四边形ACHG是正方形，∴AC＝AG，∴AC AB．∴当∠BAC＝135°且AC AB时，四边形ADEG是正方形．【点睛】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得△BDE≌△BAC，（2）由△BDE≌△BAC，可得全等三角形的对应边DE＝AG．然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知∠EDA+∠DAG＝180°，易证ED∥GA；最后由“一组对边平行且相等”的判定定理证得结论；（3）①根据“矩形的内角都是直角”易证∠DAG＝90°．然后由周角的定义求得∠BAC＝135°；②由“正方形的内角都是直角，四条边都相等”易证∠DAG＝90°，且AG＝AD．由□ABDI和□ACHG 的性质证得，AC AB．巩固练习1．（2018春•琼中县期末）如图，在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，连接AE交CD于F，则∠AFC等于（）A．112.5°B．120°C．135°D．145°【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ACD＝90°，∴∠DCE＝90°，又∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠ACF＝45°，∴∠ACE＝∠DCE+∠ACF＝135°，∵CE＝CA，∴∠FAC＝∠E（180°﹣135°）＝22.5°∴∠AFD＝∠FAC+∠ACF＝22.5°+45°＝67.5°，∴∠AFC＝180°﹣67.5°＝112.5°，故选：A．2．（2018春•花都区期末）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．B．C．D．2【答案】A【解析】解：连接AC、CF，如图，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴∠ACD＝45°，FCG＝45°，AC BC，CF CE＝3，∴∠ACF＝45°+45°＝90°，在Rt△ACF中，AF2，∵H是AF的中点，∴CH AF．故选：A．3．（2018春•济南期末）如图，P为边长为2的正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，给出以下4个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③EF最短长度为；④若∠BAP＝30°时，则EF的长度为2．其中结论正确的有（）A．①②③B．①②C．②③④D．①③④【答案】B【解析】解：①如图，连接PC，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴AP＝PC，∵PE⊥BC，PF⊥CD，且∠FCE＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，∴AP＝EF，故①正确；②延长AP交BC于点G，由①可得∠PCE＝∠PFE＝∠BAP，∵PE∥AB，∴∠EPG＝∠BAP，∴∠EPG＝∠PFE，∵∠EPF＝90°，∴∠EPG+∠PEF＝∠PEG+∠PFE＝90°，∴AP⊥EF，故②正确；③当AP⊥BD时，AP有最小值，此时P为BD的中点，由①可知EF＝AP，∴EF的最短长度为，故③错误；④当点P在点B或点D位置时，AP＝AB＝2，∴EF＝AP≤2，∴当∠BAP＝30°时，AP＜2，即EF的长度不可能为2，故④错误；综上可知正确的结论为①②．故选：B．4．（2018春•苍南县期末）如图，点B在线段AC上，且BC＝2AB，点D，E分别是AB，BC的中点，分别以AB，DE，BC为边，在线段AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）．其面积分别记作S1，S2，S3，若S1+S3＝15，则S2＝___．【答案】6【解析】解：设DB＝x，则S1＝x2，S2＝x×2x＝2x2，S3＝2x×2x＝4x2．由题意得，S1+S3＝15，即x2+4x2＝15，解得x2＝3，所以S2＝2x2＝6，故答案为：6．5．（2018春•丰台区期末）菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件，使得菱形ABCD 成为正方形，这个条件可以是_______________________．（写出一种情况即可）【答案】AC＝BD（或∠ABC＝90°）【解析】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC＝BD；根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：∠ABC＝90°；故添加的条件为：AC＝BD或∠ABC＝90°．故答案为AC＝BD（或∠ABC＝90°）6．（2018秋•普宁市期末）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去第n个正方形的边长为____．【答案】（）n﹣1【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝1，∠B＝90°，∴AC2＝12+12，AC同理可得：AE＝（）2，AG＝（）3…，∴第n个正方形的边长a n＝（）n﹣1．故答案为（）n﹣1．7．（2018春•惠山区期末）如图，正方形ABCD的边长为2，顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，则OD 的最大值是___．【答案】1【解析】解：取AB的中点K，连接OK、DK．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OK＝1，再根据正方形的性质可得DK，∵OK+DK＞OD，∴当O、K、D三点共线时OD最长，∴OD的最大值为1，故答案为：1．8．（2018春•洛宁县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ABDE、AGFC都是正方形．求证：BG＝EC．【答案】见解析【解析】证明：∵四边形ABDE，AGFC都是正方形，∴AE＝AB，AC＝AG，∠EAB＝∠CAG＝90°.∵∠EAC+∠CAB＝∠EAB＝90°，∠GAB+∠CAB＝90°，∴∠EAC＝∠BAG，在△EAC和△BAG中，∴△EAC≌△BAG（SAS），∴BG＝CE．9．（2018春•庆云县期末）探究：如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC、BE交于点P．求证：∠ANC＝∠ABE．应用：Q是线段BC的中点，若BC＝6，则PQ的长度是多少？【答案】见解析【解析】证明：∵四边形ANMB和ACDE是正方形，∴AN＝AB，AC＝AE，∠NAB＝∠CAE＝90°，∵∠NAC＝∠NAB+∠BAC，∠BAE＝∠BAC+∠CAE，∴∠NAC＝∠BAE，在△ANC和△ABE中，ANAN＝AB，∠NAC＝∠BAE，AC＝AE ∴△ANC≌△ABE（SAS），∴∠ANC＝∠ABE．解：如图所示：∵四边形NABM是正方形，∴∠NAB＝90°，∴∠ANC+∠AON＝90°，∵∠BOP＝∠AON，∠ANC＝∠ABE，∴∠ABP+∠BOP＝90°，∴∠BPC＝∠ABP+∠BOP＝90°，∵Q为BC中点，BC＝6，∴PQ BC＝3．10．（2018春•徐州期末）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、AD、CD上，AB＝6，AE＝2，DG＞AE，BF＝EG，BF与EG交于点P．（1）求证：BF⊥EG；（2）连接DP，则DP的最小值为____．【答案】见解析【解析】（1）证明：如图1，过点E作EM⊥CD于M，交BF于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠A＝∠D＝∠DME＝90°，∴四边形ADME是矩形，∴EM＝AD＝AB，∵BF＝EG，∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL），∴∠ABF＝∠MEG，在Rt△BEN中，∵∠ABF+∠ENB＝90°，∴∠MEG+∠ENB＝90°，∴∠EPF＝90°，∴BF⊥EG；（2）如图2，取BE的中点O，连接OP、OD，∵△EPB是直角三角形，∴OP BE，∵AB＝6，AE＝2，∴BE＝6﹣2＝4，OB＝OE＝2，∵OD﹣OP≤DP，∴当O、P、D共线时，DP有最小值，如图3，∵PO2，∴OD2，∴PD＝22，即DP的最小值为22；故答案为：22；11．（2018春•平定县期末）如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N，PE⊥PB交AD于点E．（1）求证：四边形MANP是正方形；（2）求证：EM＝BN．【答案】见解析【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴∠PMA＝∠PNA＝90°，∴四边形MANP是矩形，∵AC平分∠DAB，PM⊥AD，PN⊥AB，∴PM＝PN，（3分）∴四边形MANP是正方形；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴PM＝PN，∠MPN＝90°，∵∠EPB＝90°，∴∠MPE+∠EPN＝∠NPB+∠EPN＝90°，∴∠MPE＝∠NPB，在△EPM和△BPN中，∵，∴△EPM≌△BPN（ASA），∴EM＝BN．12．（2018春•秦淮区期末）如图，在矩形ABCD中，Q是BC的中点，P是AD上一点，连接PB、PC，E、F分别是PB、PC的中点，连接QE、QF．（1）求证：四边形PEQF是平行四边形．（2）①当点P在什么位置时，四边形PEQF是菱形？证明你的结论；②矩形ABCD的边AB和AD满足什么条件时，①中的菱形PEQF是正方形？（直接写出结论，不需要说明理由）【答案】见解析【解析】解：（1）证明：在△PBC中，E、F分别是PB、PC的中点，Q是BC的中点，∴QE、QF为△PBC的中位线，∴QE∥PF，QF∥PE，∴四边形PEQF是平行四边形；（2）①当点P为AD的中点时，四边形PEQF是菱形，理由是：当P为AD的中点时，AP＝PD，由勾股定理得：PB，PC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∴PB＝PC，∵E、F分别是PB、PC的中点，∴PE＝PF，由（1）知：四边形PEQF是平行四边形，∴四边形PEQF是菱形；②矩形ABCD的边AB和AD满足AD＝2AB时，①中的菱形PEQF是正方形，理由是：∵AD＝2AB，AD＝2AP，∴AB＝AP，∴△ABP是等腰直角三角形，∴∠APB＝45°，同理可得∠CPD＝45°，∴∠EPF＝90°，∴①中的菱形PEQF是正方形．。
2021-2022学年上海市浦东新区多校联考八年级(上)期末数学试卷(解析版)
2021-2022学年上海市浦东新区多校联考八年级第一学期期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．2．下列三个数为边长的三角形不是直角三角形的是（）A．3，3，3B．4，8，4C．6，8，10D．5，5，53．已知正比例函数y＝kx（k≠0），y的值随x的值的增大而减小，那么它和反比例函数y ＝﹣（k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（）A．B．C．D．4．下列命题中，逆命题不正确的是（）A．两直线平行，同旁内角互补B．对顶角相等C．直角三角形的两个锐角互余D．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方5．如图，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE ⊥BC，若BC＝10cm，则△DEC的周长为（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm6．在反比例函数y＝的图象上有三点A1（x1，y1）、A2（x2，y2）、A3（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则下列各式中，正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）7．已知函数f（x）＝，那么f（2）＝．8．计算：＝．9．函数：的定义域是．10．已知关于x的方程mx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是．11．随着网络购物的兴起，增加了快递公司的业务量．一家今年刚成立的小型快递公司业务量逐月攀升，今年9月份和11月份完成投送的快递件数分别是20万件和24.2万件，若该公司每月投送的快递件数的平均增长率是x，由题意列出关于x的方程：．12．在实数范围内因式分解：2x2﹣4x﹣1＝．13．到点A的距离等于6cm的点的轨迹是．14．已知：点A坐标为（3，4），点B坐标为（﹣1，1），那么点A和点B两点间的距离是．15．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，线段AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，如果∠EBC＝42°，那么∠A＝．16．如图，在△ABC中，∠ABC＝52°，三角形的两个外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠ABE＝．17．如图，P是正方形ABCD内的一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转到与△CBQ重合，若PB＝5cm，则PQ＝cm．18．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与x轴夹角为30°，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线y＝（k≠0）上，则k的值为．三、简答题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）19．计算：．20．解方程：2y（y﹣2）＝y2﹣2．21．已知y＝y1+y2，并且y1与x成正比例，y2与x﹣2成反比例．当x＝3时，y＝7；当x＝1时，y＝1，求：y关于x的函数解析式．22．某中学初二年级游同学在学习了勾股定理后对《九章算术》勾股章产生了学习兴趣．今天，他学到了勾股章第7题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”本题大意是：如图，木柱AB⊥BC，绳索AC比木柱AB长三尺，BC的长度为8尺，求：绳索AC的长度．23．初二年级小王同学坚持环保理念，每天骑自行车上学，学校离家3000米．某天，小王上学途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，还是按时赶到了学校、如图描述的是他离家的距离和离家的时间t之间的函数图象，根据图象解决下列问题：（1）修车时间为分钟；（2）到达学校时共用时间分钟；（3）小王从离家时到自行车发生故障时，离家的距离S和离家的时间t之间的函数关系式为，定义域为；（4）自行车故障排除后他的平均速度是每分钟米．四、解答题（本大题共4小题，第24、25、26每小题6分，第27题9分，共27分）24．如图，已知△ABC，（1）根据要求作图，在边BC上求作一点D，使得点D到点AB、AC的距离相等，在边AB上求作一点E，使得点E到A、D的距离相等；（不要求写作法，但需要保留作图痕迹和结论）（2）在第（1）小题所作的图中，求证：DE∥AC．25．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，DE⊥AB，联结AE交CD与点F，点M是AE的中点，联结CM并延长与AB交于点H．（1）点F是CD中点时，求证：AE⊥CD；（2）求证：MH2+HD2＝AM2．26．如图，在平面直角坐标系内，双曲线y＝（k≠0）上有A，B两点，且与直线y＝ax （a＞0）交于第一象限内的点A，点A的坐标为（4，2），点B的坐标为（n，1），过点B作y轴的平行线，交x轴与点C，交直线y＝ax（a＞0）与点D，（1）求：点D的坐标；（2）求：△AOB的面积；（3）在x轴正半轴上是否存在点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出P的坐标．27．如图，△ABC中，AC＝2，BC＝4，AB＝6．点P是射线CB上的一点（不与点B 重合），EF是线段PB的垂直平分线，交PB与点F，交射线AB与点E，联结PE、AP．（1）求∠B的度数；（2）当点P在线段CB上时，设EF＝x，△APE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果EF＝1，请直接写出△APE的面积．参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】把各个选项化简，判断是否与是同类二次根式即可．解：A、＝＝，故选项错误；B、是最简二次根式，故选项错误；C、＝，故正确；D、＝，故选项错误．故选：C．2．下列三个数为边长的三角形不是直角三角形的是（）A．3，3，3B．4，8，4C．6，8，10D．5，5，5【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．解：A．∵32+32＝18，（）2＝18，∴32+32＝（）2，∴以3，3，三个数为边长的三角形是直角三角形，故A不符合题意；B．∵42+（）2＝64，82＝64，∴42+（）2＝82，∴以4，8，三个数为边长的三角形是直角三角形，故B不符合题意；C．∵62+82＝100，102＝100，∴62+82＝102，∴以6，8，10三个数为边长的三角形是直角三角形，故B不符合题意；D．∵52+52＝50，（）2＝75，∴52+52≠（）2，∴以5，5，三个数为边长的三角形不是直角三角形，故D符合题意；故选：D．3．已知正比例函数y＝kx（k≠0），y的值随x的值的增大而减小，那么它和反比例函数y ＝﹣（k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】首先由“y＝kx（k≠0）中y随x的增大而减小”判定k＜0，然后根据k的符号来判断函数y＝﹣所在的象限．解：∵函数y＝kx（k≠0）中y随x的增大而减小，∴k＜0，该函数图象经过第二，四象限；∴函数y＝﹣的图象经过第一、三象限；故选：C．4．下列命题中，逆命题不正确的是（）A．两直线平行，同旁内角互补B．对顶角相等C．直角三角形的两个锐角互余D．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方【分析】首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．解：A、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，正确，故本选项错误；B、逆命题是相等的角是对顶角，为假命题，故本选项正确；C、逆命题是：若一个三角形两锐角互余，则为直角三角形，正确，故本选项错误；D、逆命题是：若一个三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方则为直角三角形，正确，故本选项错误．故选：B．5．如图，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE ⊥BC，若BC＝10cm，则△DEC的周长为（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝AD，利用“HL”证明Rt△ABD和Rt△EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝AE，然后求出△DEC的周长＝BC，再根据BC＝10cm，即可得出答案．解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∠A＝90°，∴DE＝AD，在Rt△ABD和Rt△EBD中，∵，∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），∴AB＝AE，∴△DEC的周长＝DE+CD+CE＝AD+CD+CE，＝AC+CE，＝AB+CE，＝BE+CE，＝BC，∵BC＝10cm，∴△DEC的周长是10cm．故选：B．6．在反比例函数y＝的图象上有三点A1（x1，y1）、A2（x2，y2）、A3（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则下列各式中，正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2【分析】根据反比例函数解析式画出草图，再找出符合条件的点，可以直观的得到答案．解：如图所示：根据函数图象可得y2＜y1＜y3，故选：C．二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）7．已知函数f（x）＝，那么f（2）＝﹣1．【分析】把x＝2代入函数关系式即可解答．解：当x＝2时，f（2）＝＝＝﹣1，故答案为：﹣1．8．计算：＝3﹣．【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．解：＝3﹣．故答案为：3﹣．9．函数：的定义域是x≥2．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：x﹣2≥0，解得x的范围．解：根据题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2．10．已知关于x的方程mx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是m＞﹣且m≠0．【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得Δ＝9+4m＞0且m≠0，求出m的取值范围即可．解：∵关于x的方程mx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0且m≠0，∴9+4m＞0且m≠0，∴m＞﹣且m≠0，故答案为：m＞﹣且m≠0．11．随着网络购物的兴起，增加了快递公司的业务量．一家今年刚成立的小型快递公司业务量逐月攀升，今年9月份和11月份完成投送的快递件数分别是20万件和24.2万件，若该公司每月投送的快递件数的平均增长率是x，由题意列出关于x的方程：20（1+x）2＝24.2．【分析】利用11月份完成投送的快递件数＝9月份完成投送的快递件数×（1+平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：依题意得：20（1+x）2＝24.2．故答案为：20（1+x）2＝24.2．12．在实数范围内因式分解：2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣）（x﹣）．【分析】令原式为0求出x的值，即可确定出因式分解的结果．解：令2x2﹣4x﹣1＝0，这里a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，∵△＝16+8＝24，∴x＝＝，则原式＝2（x﹣）（x﹣），故答案为：2（x﹣）（x﹣）13．到点A的距离等于6cm的点的轨迹是以点A为圆心，6cm为半径的圆．【分析】根据圆的定义直接得出答案即可．解：由题知，到点A的距离等于6cm的点的轨迹是以点A为圆心，6cm为半径的圆，故答案为：以点A为圆心，6cm为半径的圆．14．已知：点A坐标为（3，4），点B坐标为（﹣1，1），那么点A和点B两点间的距离是5．【分析】根据勾股定理、两点间的距离公式计算即可．解：由勾股定理得：AB＝＝5，则点A和点B两点间的距离是5，故答案为：5．15．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，线段AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，如果∠EBC＝42°，那么∠A＝32°．【分析】由线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，可得∠A＝∠EBA，且可得∠ABC＝∠C，在△ABC中利用三角形内角和可求得∠A．解：∵DE为AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠A＝∠EBA，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，又∵∠EBC＝42°，∴∠C＝42°+∠EBA＝42°+∠A，又∵∠A+∠C+∠ABC＝180°，∴∠A+2（42°+∠A）＝180°，∴∠A＝32°．故答案为：32°．16．如图，在△ABC中，∠ABC＝52°，三角形的两个外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠ABE＝26°．【分析】过点E作EM⊥AB于M、EN⊥BC于N、EO⊥AC于O，根据角平分线的性质即可得出EM＝EO＝EN，结合EM⊥AB于M、EN⊥BC于N，即可得出BE平分∠ABC，再根据角平分线的定义即可得出结论．解：过点E作EM⊥AB于M、EN⊥BC于N、EO⊥AC于O，如图所示．∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴EM＝EO，EN＝EO，∴EM＝EN，∵EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝26°．故答案为：26°．17．如图，P是正方形ABCD内的一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转到与△CBQ重合，若PB＝5cm，则PQ＝5cm．【分析】依题意得，旋转中心为点B，旋转角∠PBQ＝∠ABC＝90°，对应点P、Q到旋转中心的距离相等，即PB＝BQ＝5，可证△BPQ为等腰直角三角形，由勾股定理求PQ．解：根据旋转的性质可知，∠PBQ＝∠ABC＝90°，PB＝BQ＝5，∴△BPQ为等腰直角三角形，由勾股定理，得PQ＝＝5．故答案为：5．18．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与x轴夹角为30°，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线y＝（k≠0）上，则k的值为﹣．【分析】先过点C作CD⊥x轴于D，作CE⊥y轴于E，构造矩形CDOE，再根据折叠的性质求得AC＝2，∠ACD＝30°，根据直角三角形的性质以及勾股定理，求得AD与CD 的长，得出点C的坐标，最后计算反比例函数解析式即可．解：过点C作CD⊥x轴于D，作CE⊥y轴于E，则CE＝DO，CD＝EO，∵A（﹣2，0），∴AO＝2，由折叠得，AC＝AO＝2，∠CAO＝2∠BAO＝60°，∴Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴AD＝AC＝1，CD＝＝，∴DO＝AO﹣AD＝2﹣1＝1，OE＝，又∵点C在第二象限，∴C（﹣1，），∵点C在双曲线y＝（k≠0）上，∴k＝﹣1×＝﹣，故答案为：﹣三、简答题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）19．计算：．【分析】化简二次根式，然后先算乘除，再算加减．解：原式＝+9×﹣+＝3+﹣（）+＝3+﹣﹣+＝2+．20．解方程：2y（y﹣2）＝y2﹣2．【分析】先整理为一般式，再利用公式法求解即可．解：∵2y（y﹣2）＝y2﹣2，∴y2﹣4y+2＝0，∵a＝1，b＝﹣4，c＝2，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0，则y＝＝2±，∴y1＝2+，y2＝2﹣．21．已知y＝y1+y2，并且y1与x成正比例，y2与x﹣2成反比例．当x＝3时，y＝7；当x＝1时，y＝1，求：y关于x的函数解析式．【分析】设所求的函数解析式为y＝k1x+（k1≠0，k2≠0），再将所给的点代入可求得，即可求函数解析式．解：设所求的函数解析式为y＝k1x+（k1≠0，k2≠0），当x＝3时，y＝7；当x＝1时，y＝1，代入y＝k1x+，∴，解得，∴函数解析式是y＝2x+．22．某中学初二年级游同学在学习了勾股定理后对《九章算术》勾股章产生了学习兴趣．今天，他学到了勾股章第7题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”本题大意是：如图，木柱AB⊥BC，绳索AC比木柱AB长三尺，BC的长度为8尺，求：绳索AC的长度．【分析】设AC＝x尺，则AB＝（x﹣3）尺，由勾股定理得出方程（x﹣3）2+82＝x2，解方程即可．解：设AC＝x尺，则AB＝（x﹣3）尺，∵AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形，由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，即（x﹣3）2+82＝x2，解得：x＝12（尺），答：绳索AC的长度是12尺．23．初二年级小王同学坚持环保理念，每天骑自行车上学，学校离家3000米．某天，小王上学途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，还是按时赶到了学校、如图描述的是他离家的距离和离家的时间t之间的函数图象，根据图象解决下列问题：（1）修车时间为5分钟；（2）到达学校时共用时间20分钟；（3）小王从离家时到自行车发生故障时，离家的距离S和离家的时间t之间的函数关系式为S＝150t，定义域为0≤t≤10；（4）自行车故障排除后他的平均速度是每分钟300米．【分析】（1）观察图象，线段AB对应的这段时间为修车时间；（2）根据C点横坐标为20，得出到达学校时共用时间；（3）利用待定系数法解答即可；（4）根据线段BC表示修车后行使情况：5分钟行使了1500米，即可求出行驶速度．解：（1）由图知，线段AB对应的这段时间为修车时间，故修车时间为：15﹣10＝5（分钟）；故答案为：5；（2）利用C点横坐标为20，得出从家到学校用时20分钟，故答案为：20；（3）小王从离家时到自行车发生故障时，离家的距离S和离家的时间t之间的函数关系式为为S＝kt，则10t＝1500，解得：k＝150，∴S＝150t（0≤t≤10），故答案为：S＝150t；0≤t≤10；（4）线段BC表示修车后行使情况：5分钟行使了1500米，故速度为1500÷5＝300（米/秒）；故答案为：300．四、解答题（本大题共4小题，第24、25、26每小题6分，第27题9分，共27分）24．如图，已知△ABC，（1）根据要求作图，在边BC上求作一点D，使得点D到点AB、AC的距离相等，在边AB上求作一点E，使得点E到A、D的距离相等；（不要求写作法，但需要保留作图痕迹和结论）（2）在第（1）小题所作的图中，求证：DE∥AC．【分析】（1）由题意可知，D是∠BAC的角平分线与BC的交点，点E是AD的中垂线与AB的交点；（2）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得∠CAD＝∠ADE，再根据平行线的判定即可求解．【解答】（1）解：如图所示：（2）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD＝∠BAD，∵EF是AD的中垂线，∴ED＝EA，∴∠ADE＝∠BAD，∴∠CAD＝∠ADE，∴DE∥AC．25．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，DE⊥AB，联结AE交CD与点F，点M是AE的中点，联结CM并延长与AB交于点H．（1）点F是CD中点时，求证：AE⊥CD；（2）求证：MH2+HD2＝AM2．【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出MD＝MC，再利用点F是CD中点，即可得出结论；（2）根据直角三角形斜边上中线的性质可以得到C，M在线段AD的垂直平分线上，从而得到CH⊥AD，再利用勾股定理得出结论．【解答】证明：（1）连接MD，∵DE⊥AB，∴∠EDA＝90°，∵M是AE的中点，∴MD＝AE，同理可证：CM＝AE，∴CM＝MD，∵点F是CD中点，AE⊥CD；（2）∵DE⊥AB，∴∠EDA＝90°，∵点M是AE的中点，∴MD＝MA＝AE，∵CD＝CA，∴点M，点C在线段AD的垂直平分线上，∴CM是线段AD的垂直平分线，∴CH⊥AD，HA＝HD，∴∠MHA＝90°，在Rt△MAH中，MH2+HA2＝AM2，∴MH2+HD2＝AM2．26．如图，在平面直角坐标系内，双曲线y＝（k≠0）上有A，B两点，且与直线y＝ax （a＞0）交于第一象限内的点A，点A的坐标为（4，2），点B的坐标为（n，1），过点B作y轴的平行线，交x轴与点C，交直线y＝ax（a＞0）与点D，（1）求：点D的坐标；（2）求：△AOB的面积；（3）在x轴正半轴上是否存在点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出P的坐标．【分析】（1）求出直线OA解析式，根据反比例函数确定B点坐标，再根据B点和D 点横坐标相同求出D点坐标即可；（2）连接AB、OB，过A点作AH⊥BD于H，根据S△AOB＝S△OCD﹣S△COB﹣S△ADB计算即可；（3）分OA＝OP和OA＝AP两种情况分别求出P点坐标即可．解：（1）∵直线y＝ax（a＞0）与双曲线y＝交于第一象限内的点A（4，2），∴a＝，∴直线OA的解析式为y＝x，∵点B（n，1）在双曲线y＝上，∴n＝8，即B（8，1），由题知D点与B点横坐标相同都为8，当x＝8时，y＝，∴D（8，4）；（2）连接AB、OB，过A点作AH⊥BD于H，由（1）知C（8，0），B（8，1），D（8，4），A（4，2），∴OC＝8，CD＝4，BD＝3，BC＝1，AH＝4，∴S△AOB＝S△OCD﹣S△COB﹣S△ADB＝OC•CD﹣OC•BC﹣BD•AH＝×8×4﹣﹣＝16﹣4﹣6＝6，即△AOB的面积为6；（3）存在点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形，分以下两种情况：①当OA＝OP时，∵A（4，2），∴OA＝＝2，∴OP＝2，即P（2，0）；②当OA＝AP时，OP＝2x A＝2×4＝8，即P（8，0），综上，符合条件的B点坐标为（2，0）或（8，0）．27．如图，△ABC中，AC＝2，BC＝4，AB＝6．点P是射线CB上的一点（不与点B 重合），EF是线段PB的垂直平分线，交PB与点F，交射线AB与点E，联结PE、AP．（1）求∠B的度数；（2）当点P在线段CB上时，设EF＝x，△APE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果EF＝1，请直接写出△APE的面积．【分析】（1）先根据勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，再由AC＝BC即可得出答案；（2）作AD⊥BC，垂足为点D．由直角三角形30°角所对边等于斜边一半知AD＝AB ＝3，BE＝2EF＝2x，根据勾股定理知BF＝x，继而由S△APE＝S△APB﹣S△EPB可得出答案．（3）①当点P在线段BC上时，②当点P在线段CB的延长线上时，由三角形的面积公式可得出答案．解：（1）在△ABC中，∵AC＝2，BC＝4，AB＝6，∴AC2+AB2＝48，BC2＝48，∴AC2+AB2＝BC2．∴∠BAC＝90°．又∵AC＝2，BC＝4，∴AC＝BC，∴∠B＝30°．（2）过点A作AD⊥BC，垂足为点D．在△ADB中，∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，∴AD＝AB＝3，同理，BE＝2EF＝2x．在Rt△EFB中，EF2+FB2＝EB2，∴BF＝x，∴BP＝2FB＝2x，∴S△EPB＝，S△APB＝x，∴S△APE＝S△APB﹣S△EPB＝3x﹣，所求的函数解析式为y＝﹣x2+3x，函数的定义域为0≤x＜．（3）①当点P在线段BC上时，由（2）可知，S△APE＝S△APB﹣S△EPB ＝3x﹣＝3﹣＝2．②当点P在线段CB的延长线上时，S△APE＝S△APB+S△EPB＝3x+＝3+＝4．综合以上可得，△APE的面积为2或4．。
。2017-2018学年上海市浦东新区八年级(下)期末数学试卷(五四学制)
2017-2018学年上海市浦东新区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）一、选择题：（本大题共4题，每题3分，满分12分）1．（3分）在下列方程中，分式方程是（）A．=1B．=1C．=1D．=12．（3分）函数y=﹣x﹣3的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（3分）在下列事件中，确定事件共有（）①买一张体育彩票中大奖；②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；③在只装有2只红球、3只黄球的袋子中，摸出1只白球；④初二（1）班共有37名学生，至少有3名学生的生日在同一个月．A．1个B．2个C．3个D．4个4．（3分）在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AB=CD，添加下列条件后能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．AD∥BC B．AO=CO C．∠ABC=∠ADC D．∠BAC=∠DCA二、填空题：（本大题共14题，每题2分，满分28分）5．（2分）方程2x3+54=0的解是．6．（2分）方程=x的解是x=．7．（2分）如果是方程mx2+y2=xy的一个解，那么m=．8．（2分）当k=时，方程kx+4=3﹣2x无解．9．（2分）当m=时，函数y=（m﹣1）x+m是常值函数．10．（2分）已知一次函数y=kx+b的图象经过第一象限，且它的截距为﹣5，那么函数值y随自变量x值的增大而．11．（2分）已知一次函数y=2x+5，当函数值y＜0时，自变量x值的取值范围是．12．（2分）已知一辆匀速行驶汽车的路程S（千米）与时间t（时）的函数关系如图所示，那么这辆汽车的速度是每小时千米．13．（2分）若一个多边形的内角和等于外角和，那么这个多边形的边数是．14．（2分）已知菱形一组对角的和为240°，较短的一条对角线的长度为4厘米，那么这个菱形的面积为平方厘米．15．（2分）已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=13厘米，AD=4厘米，高AH=12厘米，那么这个梯形的中位线长等于厘米．16．（2分）从0，1，2，3四个数字中任取三个数字组成没有重复数字的三位数，那么组成的三位数是奇数的概率是．17．（2分）如图，已知在矩形ABCD中，AB=，BC=2，将这个矩形沿直线BE 折叠，使点C落在边AD上的点F处，折痕BE交边CD于点E，那么∠DCF等于度．18．（2分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+4与x轴交于点A、与y轴交于点B，四边形AOBC是梯形，且对角线AB平分∠CAO，那么点C的坐标为．三、解答题：（本大题共8题，满分60分）19．（6分）解方程：=+2．20．（6分）解方程组：．21．（6分）已知直线y=kx+b与直线y=﹣x+k都经过点A（6，﹣1），求这两条直线与x轴所围成的三角形面积．22．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是对角线BD上的两点，且BE=DF，=，=，=．（1）用向量、、表示下列向量：向量=，向量=，向量=；（2）求作：+．23．（8分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为点D，M是边AB的中点，AB=20，AC=10，求线段DM的长．24．（8分）已知：如图，在等边三角形ABC中，过边AB上一点D作DE⊥BC，垂足为点E，过边AC上一点G作GF⊥BC，垂足为点F，BE=CF，联结DG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）连接AF，当∠BAF=3∠FAC时，求证：四边形DEFG是正方形．25．（8分）从甲地到乙地有两条公路：一条是全长400千米的普通公路，一条是全长360千米的高速公路．某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度快50千米/时，从甲地到乙地由高速公路上行驶所需的时间比普通公路上行驶所需的时间少6小时．求该客车在高速公路上行驶的平均速度．26．（10分）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，P是下底BC上一动点（点P 与点B不重合），AB=AD=10，BC=24，∠C=45°，45°＜∠B＜90°，设BP=x，四边形APCD的面积为y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）联结PD，当△APD是以AD为腰的等腰三角形时，求四边形APCD的面积．2017-2018学年上海市浦东新区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共4题，每题3分，满分12分）1．（3分）在下列方程中，分式方程是（）A．=1B．=1C．=1D．=1【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．【解答】解：A、该方程是整式方程，故本选项错误；B、该方程是无理方程，故本选项错误；C、该方程符合分式方程的定义，故本选项正确；D、该方程属于无理方程，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．2．（3分）函数y=﹣x﹣3的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据比例系数得到相应的象限，进而根据常数得到另一象限，判断即可．【解答】解：∵k=﹣1＜0，∴一次函数经过二四象限；∵b=﹣3＜0，∴一次函数又经过第三象限，∴一次函数y=﹣x﹣3的图象不经过第一象限，故选：A．【点评】此题考查一次函数的性质，用到的知识点为：k＜0，函数图象经过二四象限，b＜0，函数图象经过第三象限．3．（3分）在下列事件中，确定事件共有（）①买一张体育彩票中大奖；②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；③在只装有2只红球、3只黄球的袋子中，摸出1只白球；④初二（1）班共有37名学生，至少有3名学生的生日在同一个月．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】直接利用随机事件以及确定事件的定义分别分析得出答案．【解答】解：①买一张体育彩票中大奖，是随机事件，故此选项错误；②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故此选项错误；③在只装有2只红球、3只黄球的袋子中，摸出1只白球，是不可能事件，属于确定事件；④初二（1）班共有37名学生，至少有3名学生的生日在同一个月，是必然事件，属于确定事件．故选：B．【点评】此题主要考查了随机事件以及确定事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．4．（3分）在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AB=CD，添加下列条件后能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．AD∥BC B．AO=CO C．∠ABC=∠ADC D．∠BAC=∠DCA【分析】根据四边形的判定方法即可解决问题；【解答】解：A、不能判断四边形是平行四边形，四边形可能是等腰梯形，故本选项不符合题意；B、无法判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；C、无法判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；D、由∠BAC=∠DCA推出AB∥CD，结合AB=CD，可以推出四边形是平行四边形；故选：D．【点评】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、填空题：（本大题共14题，每题2分，满分28分）5．（2分）方程2x3+54=0的解是x=﹣3．【分析】方程整理后，利用立方根定义求出解即可．【解答】解：方程整理得：x3=﹣27，开立方得：x=﹣3．故答案为：x=﹣3．【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．6．（2分）方程=x的解是x=2．【分析】本题含根号，计算比较不便，因此可先对方程两边平方，得到x+2=x2，再对方程进行因式分解即可解出本题．【解答】解：原方程变形为：x+2=x2即x2﹣x﹣2=0∴（x﹣2）（x+1）=0∴x=2或x=﹣1∵x=﹣1时不满足题意．∴x=2．故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法和平方法．7．（2分）如果是方程mx2+y2=xy的一个解，那么m=﹣．【分析】依据方程的解概念，将方程的解代入方程进行计算，即可得到m的值．【解答】解：把方程的解代入方程mx2+y2=xy，可得4m+1=﹣2，∴4m=﹣3，解得m=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了二元一次方程的解，方程的解就是满足方程的未知数的值，把解代入方程即可．8．（2分）当k=﹣2时，方程kx+4=3﹣2x无解．【分析】方程kx+4=3﹣2x无解时，x的系数是0，据此求解即可．【解答】解：∵kx+4=3﹣2x，∴（k+2）x=﹣1，∴k+2=0时，方程kx+4=3﹣2x无解，解得k=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了一元一次方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．9．（2分）当m=1时，函数y=（m﹣1）x+m是常值函数．【分析】直接利用常值函数的定义分析得出答案．【解答】解：当m﹣1=0时，函数y=（m﹣1）x+m是常值函数，故m=1时，y=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了函数的概念，正确把握函数的定义是解题关键．10．（2分）已知一次函数y=kx+b的图象经过第一象限，且它的截距为﹣5，那么函数值y随自变量x值的增大而增大．【分析】直接根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过第一象限，且它的截距为﹣5，∴一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，即一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，∴k＞0，b＜0．所以函数值y随自变量x的值增大而增大，故答案为：增大；【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b（k ≠0）中，当k＞0，b＜0时，函数的图象在第一、三、四象限是解答此题的关键．11．（2分）已知一次函数y=2x+5，当函数值y＜0时，自变量x值的取值范围是x＜﹣．【分析】根据题意列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵一次函数y=2x+5中y＜0，∴2x+5＜0，解得x＜﹣．故答案为：x＜﹣．【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．12．（2分）已知一辆匀速行驶汽车的路程S（千米）与时间t（时）的函数关系如图所示，那么这辆汽车的速度是每小时48千米．【分析】根据图象得出汽车的速度即可．【解答】解：这辆汽车的速度是km/h，故答案为：48【点评】此题考查函数图象，关键是根据图象得出汽车的路程和时间．13．（2分）若一个多边形的内角和等于外角和，那么这个多边形的边数是4．【分析】设多边形的边数为n，根据题意得出方程（n﹣2）×180°=360°，求出即可．【解答】解：设多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°=360°，解得：n=4，故答案为：4．【点评】本题考查了多边形的内角和和外角和定理，能根据题意列出方程是解此题的关键．14．（2分）已知菱形一组对角的和为240°，较短的一条对角线的长度为4厘米，那么这个菱形的面积为8平方厘米．【分析】只要证明△ABC，△ADC是等边三角形即可解决问题；【解答】解：如图，第11页（共21页）∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD +∠BCD=240°，∴∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC=60°∵AB=BC=AD=DC ，∴△ABC ，△ADC 是等边三角形，∴AB=BC=AC=4，∴S 菱形ABCD =2?S △ABC =2××42=8，故答案为8．【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15．（2分）已知在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=13厘米，AD=4厘米，高AH=12厘米，那么这个梯形的中位线长等于9厘米．【分析】过D 作DM ⊥BC 于M ，得出四边形AHDM 是矩形，求出HM ，根据勾股定理求出BH 、CM ，求出BC ，根据梯形的中位线求出即可．【解答】解：过D 作DM ⊥BC 于M ，∵AH ⊥BC ，∴AH ∥DM ，∠AHM=90°，∵AD ∥BC ，∴四边形AHDM 是矩形，∴AH=DM=12厘米，AD=HM=4厘米，由勾股定理得：BH===5（厘米），同理CM=5（厘米），∴BC=BH +HM+CM=14厘米，。
部编数学八年级下册专题13与中点有关的计算与证明(解析版)含答案
专题13 与中点有关的计算与证明（解析版）类型一构造直角三角形斜边的中线典例1如图，△CDE中，∠CDE＝135°，CB⊥DE于B，EA⊥CD于A，求证：CE=．思路引领：取CE的中点F，连接AF、BF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AF＝EF＝BF＝CF，根据三角形的内角和等于180°求出∠ACE+∠BEC＝45°，然后求出∠AEC+∠BCE＝135°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BFC+∠AFE＝90°，然后求出∠AFB＝90°，从而判断出△ABF是AF，然后证明即可．证明：如图，取CE的中点F，连接AF、BF，∵CB⊥DE，EA⊥CD，∴AF＝EF＝BF＝CF=12 CE，在△CDE中，∵∠CDE＝135°，∴∠ACE+∠BEC＝180°﹣135°＝45°，∴∠AEC+∠BCE＝（90°﹣∠ACE）+（90°﹣∠BEC）＝180°﹣45°＝135°，∴∠BFC+∠AFE＝（180°﹣2∠BCE）+（180°﹣2∠AEC）＝360°﹣2（∠AEC+∠BCE）＝360°﹣2×135°＝90°，∴∠AFB＝180°﹣（∠BCF+∠AFE）＝180°﹣90°＝90°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF，∴CE＝2AF＝2，即CE．总结提升：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键，作出图形更形象直观．典例2 （2020秋•浦东新区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AC＝26，BD＝24，联结AC、BD，取AC和BD的中点M、N，联结MN，则MN的长度为 ．思路引领：连接MB、MD，利用直角三角形斜边上中线的性质得出△MBD为等腰三角形，再利等腰三角形“三线合一”得出MN⊥BD，BN＝ND=12BD＝12，最后利用勾股定理即可求出MN的长度．解：如图，连接MB、MD，∵∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴MB=12AC，MD=12AC，∵AC＝26，∴MB＝MD=12×26＝13，∵N是BD的中点，BD＝24，∴MN⊥BD，BN＝DN=12BD=12×24＝12，∴MN=5，故答案为：5．总结提升：本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，灵活应用直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．针对训练1．（2021秋•上蔡县校级月考）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点，（1）请你猜测EF与AC的位置关系，并给予证明；（2）当AC＝8，BD＝10时，求EF的长．思路引领：（1）结论：EF⊥AC．利用直角三角形斜边中线以及等腰三角形的性质即可解决问题．（2）在Rt△ECF中，利用勾股定理即可解决问题．解：（1）EF⊥AC．理由如下：连接AE、CE，∵∠BAD＝90°，E为BD中点，∴AE=12 DB，∵∠DCB＝90°，∴CE=12 BD，∴AE＝CE，∵F是AC中点，∴EF⊥AC；（2）∵AC＝8，BD＝10，E、F分别是边AC、BD的中点，∴AE＝CE＝5，CF＝4，∵EF⊥AC．∴EF=3总结提升：本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．类型二捕捉三角形的中位线典例3（2021•瑶海区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为中线，E为AD的中点，DF ∥CE交BE于点F．若AC＝8，BC＝12，则DF的长为（ ）A．2B．4C．3D．2.5思路引领：根据勾股定理求出AD，根据直角三角形的性质求出CE，再根据三角形中位线定理解答即可．解：∵AD为中线，BC＝12，∴CD=12BC=12×12＝6，在Rt△ACD中，AD==10，∵∠ACB＝90°，E为AD的中点，∴CE=12AD＝5，∵DF∥CE，D为BC的中点，∴DF=12CE＝2.5，故选：D．总结提升：本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．针对训练1．（2021春•介休市期末）如图，AD和BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，垂足为点F，且G、E为AC的三等分点，若BE＝8，则BF的长为 ．思路引领：根据三角形中位线定理得到DG=12BE＝4，DG∥BE，证明△DBF≌△ABF，根据全等三角形的性质得到AF＝FD，根据三角形中位线定理解答即可．解：∵CD＝DB，CG＝GE，∴DG是△CEB的中位线，∴DG=12BE＝4，DG∥BE，在△DBF和△ABF中，∠DBF=∠ABFBF=BF∠BFD=∠BFA，∴△DBF≌△ABF（SAS）∴AF＝FD，∵DG∥BE，AF＝FD，∴FE=12DG＝2，∴BF＝BE﹣EF＝6，故答案是：6．总结提升：本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．类型三构造三角形的中位线典例4 （2022春•吴中区校级期中）如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，PQ的取值范围 ．思路引领：取AC的中点M，A1B1的中点N，连接PM，MQ，NQ，PN，根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论．解：取AC的中点M，A1B1的中点N，连接PM，MQ，NQ，PN，∵将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，∴B1C1＝BC＝3，PN＝5，∵点P、Q分别是AB、A1C1的中点，∴NQ=12B1C1=32，∴5―32≤PQ≤5+32，即72≤PQ≤132，∴PQ的取值范围为72≤PQ≤132，故答案为：72≤PQ≤132．总结提升：本题考查了平移的性质，三角形的三边关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键．典例5（2021秋•北海月考）如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点，将△BCE 沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝（ ）cm．A ．5B ．6C ．245D ．思路引领：连结AC ，MC ，可得MN 是△ACF 的中位线，则MN =12AC ，求出AC 即可求解．解：连结AC ，MC ，由折叠可知，M 是CF 的中点，∵N 是AD 的中点，∴MN 是△ACF 的中位线，∴MN =12AC ，∵AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，在Rt △ABC 中，AC 10，∴MN ＝5，故选：A ．总结提升：本题考查图形的翻折变换，熟练掌握图形的折叠的性质，矩形的性质，三角形中位线的性质是解题的关键．针对训练1．（2021春•荔湾区期中）如图，在△ABC 中，延长BC 至D ，使得CD =12BC ，过AC 中点E 作EF ∥CD （点F 位于点E 右侧），且EF ＝2CD ，连接DF ，若AB ＝6，则DF 的长为 ．思路引领：延长FE交AB于H，求出H为AB的中点，求出BH长，求出BD＝FH，根据平行四边形的判定得出四边形BHFD是平行四边形，根据平行四边形的性质得出DF＝BH即可．解：延长FE交AB于H，∵E为AC的中点，EF∥CD，∴H为AB的中点，即AH＝BH，EH=12 BC，∵AB＝6，∴BH＝3，∵CD=12BC，EF＝2CD，EH=12BC，∴FH＝BD，∵FH∥BD，∴四边形BHFD是平行四边形，∴DF＝BH＝3，故答案为：3．总结提升：本题考查了三角形的中位线，平行四边形的性质和判定等知识点，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．2．（2021•安徽二模）如图．在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（ ）A．1B C D．5 3思路引领：延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME＝EB，根据三角形中位线定理得到DE=12AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可．解：延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ABC的周长，∴ME＝EB，又AD＝DB，∴DE=12AM，DE∥AM，∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＝120°，∵CM＝CA，∴∠ACN＝60°，AN＝MN，∴AN＝AC•sin∠ACN=∴AM=∵BD＝DA，BE＝EM，∴DE故选：B．总结提升：本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形的知识，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助线是解题的关键．3．如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，点P、M、N分别为AC，AD、CE的中点．（1）求证：PM＝PN；（2）求∠MPN的度数．思路引领：（1）连接DC和AE，AE交CD于点Q，证明△ABE≌△DBC，得到AE＝DC，利用中位线的性质证明PM＝PN；（2）根据中位线的性质把∠MPA+∠NPC转化成∠MCA+∠MAC，根据∠DMA＝∠MCA+∠MAC可知求出∠DMA度数即可．（1）证明：连接DC和AE，AE交CD于点Q，∵△ABD和△BCE都是等边三角形，∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°，∴∠ABE＝∠DBC＝60°+∠DBE，在△ABE和△DBC中，AB=BD∠ABE=∠DBCBE=BC，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE＝DC，∵点P、M、N分别为AC，AD、CE的中点，∴PN=12AE，PM=12DC，所以PM＝PN．（2）解：∵P为AC中点，N为EC中点，∴PN∥AE，∴∠NPC＝∠EAC，同理可得∠MPA＝∠DCA，∴∠MPA+∠NPC＝∠EAC+∠DCA，又∠DQA＝∠EAC+∠DCA，∴∠MPA+∠NPC＝∠DQA，∵△ABE≌△DBC，∴∠QDB＝∠BAQ，∴∠DQA＝∠DBA＝60°，∴∠MPA+∠NPC＝60°，∴∠MPN＝180°﹣60°＝120°．总结提升：本题主要考查全等三角形的判定和性质、中位线的性质、等边三角形的性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．类型四中点四边形问题1．（2020•菏泽）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（ ）A．互相平分B．相等C．互相垂直D．互相垂直平分思路引领：由于顺次连接四边各边中点得到的四边形是平行四边形，有对应边与原对角线平行，由矩形的性质可知，应为对角线互相垂直的四边形．解：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD，故选：C．总结提升：此题主要考查了矩形的性质（有一个角为直角的平行四边形为矩形），难度不大．2．（2021春•青川县期末）如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD和DA的中点，连接EF，FG，GH和HE．若EH＝3EF，则下列结论正确的是（ ）A．AB=B．AB＝C．AB＝3EF D．AB=思路引领：连接AC、BD交于O，根据菱形的性质得到AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形EFGH是矩形，根据勾股定理计算即可．解：连接AC、BD交于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，∴EF=12AC，EF∥AC，EH=12BD，EH∥BD，∵EH＝3EF，∴OB＝3OA，∴AB=，∴AB=，故选：D．总结提升：本题考查的是中点四边形，掌握菱形的性质、三角形中位线定理是解题的关键．3．（2017春•新泰市期中）如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB＝CD，下列结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG；④EG=12(BC―AD)；⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的是 ．思路引领：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与AB＝CD可得四边形EFGH是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断．解：∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，∴EF=12CD，FG=12AB，GH=12CD，HE=12AB，∵AB＝CD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形，∴①EG⊥FH，正确；②四边形EFGH是矩形，错误；③HF平分∠EHG，正确；④当AD∥BC，如图所示：E，G分别为BD，AC中点，∴连接CD，延长EG到CD上一点N，∴EN=12BC，GN=12AD，∴EG=12（BC﹣AD），只有AD∥BC时才可以成立，而本题AD与BC很显然不平行，故本小题错误；⑤四边形EFGH是菱形，正确．综上所述，①③⑤共3个正确．故答案为：①③⑤总结提升：本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与AB＝CD判定四边形EFGH是菱形是解答本题的关键．4．（2021春•召陵区期末）如图，5个全等的阴影小正方形镶嵌于一个单位正方形内部，且互不相交，中间小正方形各边的中点恰为另外4a、b是正整数），则a+b的值为 ．思路引领：连接MN，FH，由勾股定理可求FH的长，由三角形中位线定理可求MN的长，由题意列出等式可求a，b的值，即可求解．解：如图，连接MN，FH，∵正方形EFGH∴FH∵M，N是EF，EH的中点，∴MN=∵AD＝1，∴2×+1，∴4a﹣2﹣2b﹣0，且a、b为正整数，∴a＝4，b＝7，∴a+b＝11，故答案为：11．总结提升：本题考查了中点四边形，正方形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，求出MN的长是本题的关键．5．（2019•安徽一模）如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝8，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA 的中点，则EG2+FH2的值为 ．思路引领：连接HE、EF、FG、GH，根据三角形中位线定理、菱形的判定定理得到平行四边形HEFG 是菱形，根据菱形的性质、勾股定理计算即可．解：连接HE、EF、FG、GH，∵E、F分别是边AB、BC的中点，∴EF=12AC＝4，EF∥AC，同理可得，HG=12AC＝4，HG∥AC，EH=12BD＝4，∴HG＝EF，HG∥EF，∴四边形HEFG为平行四边形，∵AC＝BD，∴EH＝EF，∴平行四边形HEFG是菱形，∴HF⊥EG，HF＝2OH，EG＝2OE，∴OE2+OH2＝EH2＝16∴EG2+FH2＝（2OE）2+（2OH）2＝4（OE2+OH2）＝64，故答案为：64．总结提升：本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定和性质定理是解题的关键．6．（2021秋•雁塔区校级月考）在四边形ABCD中，AC＝BD＝8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA 的中点，则EG2+FH2的值为（ ）A．64B．18C．36D．48思路引领：作辅助线，构建四边形EFGH，证明它是菱形，利用对角线互相垂直和勾股定理列等式，再利用中位线性质等量代换可得结论．解：连接EF、FG、GH、EH，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF∥AC，HG∥AC，EF=12AC，FG=12BD，∴EF∥HG，同理EH∥FG，∴四边形EFGH为平行四边形，∵AC＝BD，∴EF＝FG，∴平行四边形EFGH为菱形，∴EG⊥FH，EG＝2OG，FH＝2OH，∴EG2+FH2＝（2OE）2+（2OH）2＝4（OE2+OH2）＝4EH2＝4×（12BD）2＝82＝64；故选：A．总结提升：本题考查了中点四边形，运用了三角形中位线的性质，将三角形和四边形有机结合，把边的关系由三角形转化为四边形中，可以证明四边形为特殊的四边形；对于线段的平方和可以利用勾股定理来证明．7．（2021•江川区模拟）如图，在菱形ABCD 中，边长为1，∠A ＝60，顺次连接菱形ABCD 各边中点，可得四边形A 1B 1C 1D 1；顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，可得四边形A 2B 2C 2D 2；顺次连接四边形A 2B 2C 2D 2各边中点，可得四边形A 3B 3C 3D 3；按此规律继续下去，…，则四边形A 2019B 2019C 2019D 2019的面积是 ．思路引领：利用已知数据求出菱形ABCD 的面积，得到四边形A 2B 2C 2D 2的面积等于矩形A 1B 1C 1D 1的面积的12，同理可得四边形A 3B 3C 3D 3的面积等于四边形A 2B 2C 2D 2的面积12，那么等于矩形A 1B 1C 1D 1的面积的（12）2，同理可得四边形A 2019B 2019C 2019D 2019的面积．解：连接AC 、BD ．则AC ⊥BD ，∵菱形ABCD 中，边长为1，∠A ＝60°，∴S 菱形ABCD =12AC •BD ＝1×1×sin60°∵顺次连接菱形ABCD 各边中点，可得四边形A 1B 1C 1D 1，∴四边形A 1B 1C 1D 1是矩形，矩形A 1B 1C 1D 1的面积=12AC •12BD =14AC •BD =12S 菱形ABCD =菱形A 2B 2C 2D 2的面积=12×矩形A 1B 1C 1D 1的面积=14S 菱形ABCD ，则四边形A 2019B 2019C 2019D 2019的面积=总结提升：本题考查的是菱形以及中点四边形的性质，找到中点四边形的面积与原四边形的面积之间的关系是解决本题的关．8．（2022春•开封期末）如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，点M，N分别为BO，CO的中点，连接ED，EM，MN，ND．（1）求证：四边形EMND是平行四边形．（2）当△ABC的边满足 时，四边形EDNM为矩形．思路引领：（1）由中位线定理，可得ED∥BC，MN∥BC，且都等于边长BC的一半．分析到此，此题证明即可；（2）当AB＝AC时，由SAS证明△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，证出DM＝EN，即可得出四边形EDNM 是矩形．（1）证明：△ABC的边AC、AB上的中线BD、CE相交于点O，M、N分别是BO、CO的中点，∴ED∥BC且ED=12 BC，MN∥BC且MN=12 BC，∴ED∥MN且ED＝MN，∴四边形MNDE是平行四边形；（2）解：当AB＝AC时，四边形EDNM为矩形．理由如下：∵四边形MNDE是平行四边形，∴OE＝ON，OD＝OM，∵AB＝AC，∴AE＝AD，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠A=∠A，AD=AE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，又∵OE＝ON，OD＝OM，OM＝BM，ON＝CN，∴DM＝EN，∴四边形EDNM是矩形．故答案为：AB＝AC．总结提升：本题考查了等腰三角形的性质、三角形中位线定理、矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形中位线定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．9．（2022春•洪山区期末）给出下列定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，DA的中点，则中点四边形EFGH 形状是 ．（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD＝90°，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，求证：中点四边形EFGH是正方形．思路引领：（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH＝FG即可．（2）首先证明四边形EFGH是菱形．再证明∠EHG＝90°．利用△APC≌△BPD，得∠ACP＝∠BDP，即可证明∠COD＝∠CPD＝90°，再根据平行线的性质即可证明．（1）证明：如图1中，连接BD．∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH=12 BD，∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG=12 BD，∴EH∥FG，EH＝GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形．故答案为平行四边形；（2）四边形EFGH是正方形．理由：如图2中，连接AC，BD．∵∠APB＝∠CPD，∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD，即∠APC＝∠BPD，在△APC和△BPD中，AP=PB∠APC=∠BPDPC=PD，∴△APC≌△BPD，∴AC＝BD∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF=12AC，FG=12BD，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．∵△APC≌△BPD，∴∠ACP＝∠BDP，∵∠DMO＝∠CMP，∴∠COD＝∠CPD＝90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．总结提升：本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．。
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浦东新区2017学年度第一学期初二年级数学学科 期末教学质量监控测试题一、单项选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）1、在式子4、5.0、321、22b a +中，是最简二次根式的有………………（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、已知关于x 的一元二次方程1x 2x )1m (2=++有实数根,则m 的取值范围是……（ ）A ．2m ->B ．2m -≥C ．1m 2m -≠->且D ． 1m 2m -≠-≥且 3、ΔABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c 根据下列条件，不是直角三角形的是……（ ）A a 5,b 12,c 9===、B 、C =、D a 1,b 1===、4、下列命题中，假命题是………………………………………………………………（ ）A ．两直线平行，内错角相等；B ．邻补角的角平分线互相垂直； C．互为补角的两个角都是锐角； D ．在一个三角形中，等边对等角。
5、在ABC ∆内到三条边距离相等的点是………………………………………………（ ） A 、ABC ∆的三个内角平分线的交点 B 、ABC ∆三边上的垂直平分线的交点 C 、ABC ∆的三边上的高的交点 D 、ABC ∆的三边上的中线的交点6、如图，△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交BC 的延长线于点E ，交AC 于F ，连结BF ，∠A=50°，AB+BC=16cm ，则△BCF 的周长和∠EFC 分别等于……………… （ ）A 、16cm , 40°B 、8cm , 40°C 、16cm , 50°D 、8cm ，50°二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）7、式子1-a 是二次根式，那么a 的取值范围是____________。
ＣＡＦ ＢＥ8、化简：)0(33>x yx =___________ 。
92的倒数是______________。
10、已知方程0m x 9x 32=+-有一个根是1，则m 的值是_________。
11、在实数范围内因式分解：=--422x x _________________________。
12、用100cm 长的铅丝，弯成一个长方形的模型，写出长方形的面积y （平方米）与长x （米）的函数解析式___________________13、三角形三个角的度数比是3∶2∶1，它的最大边的长是16，则最小边的长是_____________。
14、已知点M （-6，7）和点N （-3，y ）间的距离是5，则y 的值是__________。
15、如果m ，反比例函数xm y 2+=的图像在第二、四象限。
16、经过定点A 、B 的圆的圆心的轨迹是 __ _______________________。
17、点N 在∠ABC 的平分线上，且点N 到边BA 的距离是2cm ， 则点N 到边BC 的距离为 cm 。
18、如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ， BE 平分ABC ∠，AB AC 2=，则=∠AOE °。
第18题图三、简答题（本大题共5题，每题5分，满分25分）19、计算 20、计算 ⎛÷ ⎝21、解方程： 0342=--x x 22、解方程 6)2(5)2y (2=+-+y23、按要求作图：（1）如图，求作一点P ，使点P 到已知∠AOB 的两边距离相等，且到定点M 的距离为a 。
四、解答题（本大题共6题，满分39分）24、（本题满分6分）已知正比例函数1y k x =（10k ≠）的图像经过A （2，-4）、B （m ，2）两点． （1）求m 的值；（2）如果点B 在反比例函数2k y x=（20k ≠）的图像经过，求反比例函数的解析式。
25、（本题满分6分）某木器厂今年一月份生产了课桌500张；后因管理不善，二月份的产量减少了10%；从三月份起加强了管理，产量逐月上升，四月份产量达到648张。
如果三、四月份的增长率相同，求这个增长率。
26、（本题满分5分）已知：如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F 。
求证：AD 是EF 的垂直平分线。
27、（本题满分6分）已知：如图，在ABC ∆中，BC AD ⊥于D ，CD BD AB =+。
求证：C B ∠=∠2aＡＢ. ＭＯABCDEFDCB A28、（本题满分8分）已知：如图，∠ADC=90°，DC ∥AB ，BA=BC ，AE BC ，垂足为E ，点F 是AC 的中点。
（1）求证：∠AFB=90°（2）求证：△ADC ≌△AEC （3）联结DE ，试判断DE 与BF 的位置关系，并证明。
29、（本题满分8分）在等腰直角三角形ABC 中，O 是斜边AC 的中点，P 是斜边AC 上的一个动点，且PB=PD ，DE ⊥AC ，垂足为E 。
（1） 求证：PE=BO（2） 设AC=2a ，AP=x,四边形PBDE 的面积为y, 求y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域。
BDCEFC2013学年度第一学期八年级数学期末模拟练习卷参考答案及评分标准一、单项选择题（每题2分，满分12分）1、B2、D3、A4、C5、A6、A二、填空题（每题2分，满分24分）7、1a ≥ 8、xy yx33 9、23-- 10、6 11、)51)(51(+---x x 12、250y x x =-+ (0<x<50) 13、8 14、3或11 15、2-< 16、联结A 、B 两点的线段的垂直平分线 17、2 18、75°三、简答题（每题5分，满分25分）19解：原式 =16264-⨯3分4………………………………1分=4………………………………1分20、计算：⎛÷ ⎝解：原式32)3433236(÷+-= …………………3分 323328÷=………………………………1分 =314 ………………………………1分21、解方程： 0342=--x x （配方法）解： 243x x -= ………………………1分2447x x -+= ………………………1分 2(2)7x -= ………………………1分2x -= ………………………1分∴原方程的根是 12x = 22x = …………… 1分22、解方程6)2(5)2y (2=+-+y解：06)2(5)2y (2=-+-+y ………………………1分 0)12)(62y (=++-+y ………………………1分0)3)(4y (=+-y04y =-或03=+y ………………………1分 ∴原方程的根是4y 1=，3y 2-= ………………………2分23、尺规作图：作出∠AOB 的平分线 ………………………2分 截取PM=a (两种情况) ………………………2分 结论 ………………………1分五、解答题（满分35分）解：设这个增长率为x ……………………………………………………………………1分 500（1-10%）（1+x ）2=648 ………………………………………………………………3分解得：x=20%………………………………………………………………………………1分答：…………………………………………………………………………………………1分 26、（本题满分5分） 证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC∴DE=DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)………………………（1分）∴点D在线段EF的垂直平分线上（和线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）………………………（1分）∵DE=DF，AE=AE，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），………………………（1分）∴AE=AF；………………………（1分）∴点A在线段EF的垂直平分线上（和线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）∴AD垂直平分EF………………………（1分）27、（本题满分6分）方法一：延长CB到E，使得BE=BA，连接AE。
………………………（1分）∵ED=EB+BD=AB+BD=DC ………………………（1分）AD⊥∵BC∴∠ADB=∠ADE=90°………………………（1分）∵AD=AD∴△AED≌△ACD………………………（1分）∠AED=∠C又∵BE=EA∴∠AED=∠EAD………………………（1分）∴∠B =∠AED+∠EAD=2∠AED=2∠C………………………（1分）方法二：在CD上取一点E，使BD＝DE。
………………………（1分）∵AB+BD=DE+EC=BD+EC………………………（1分）∴AB=ECAD⊥∵BC∴∠ADB=∠ADE=90°………………………（1分）∵AD=AD∴△AED≌△ABD………………………（1分）∴AE=AB∴AE=EC∴∠C=∠CAE∴∠B=∠AEB=∠C+∠CAE ………………………（1分）∴∠B =2∠C………………………（1分）28、（本题满分8分）证明：（1）证明：∵BA=BC，F是AC的中点（已知），∴BF⊥AC（等腰三角形的三线合一）………………………（1分）∴∠AFB=90°（垂直的定义）………………………（1分）（2）证明：∵AE⊥BC（已知），∴∠AEC=90°（垂直的定义）． ∵∠ADC=90°（已知），∴∠ADC=∠AEC （等量代换）………………………（1分） ∵DC ∥AB （已知），∴∠DCA=∠CAB （两直线平行，内错角相等）． ∵BA=BC （已知），∴∠ECA=∠CAB （等边对等角）．∴∠DCA=∠ECA （等量代换）………………………（1分） 在△ADC 和△AEC 中，∠ADC=∠AEC(已证) ∠DCA=∠ECA(已证) AC=AC(公共边)∴△ADC ≌△AEC （AAS ） ………………………（1分）（3）DE 与BF 平行 ………………………（1分） 证明：设DE 交AC 于点H ， ∵△ADC ≌△AEC （已证），∴AD=AE ，∠DAH=∠EAH （全等三角形对应边相等、对应角相等） ∴BH ⊥DE （等腰三角形的三线合一）………………………（1分） ∴∠AHE=90°（垂直的定义） ∵∠AFB=90°（已证），∴∠AFB=∠AHE （等量代换）………………………（1分） ∴DE ∥BF （同位角相等，两直线平行）．29、（本题满分8分）解：(1)∵ΔABC 是等腰直角三角形，O 为斜边AC 中点，∴BO ⊥AC ，BO=CO=21AC ，∠C=∠OBC=45。