重积分-高等数学
高数大一知识点总结重积分
高数大一知识点总结重积分高数大一知识点总结：重积分高等数学中的重积分是一种扩展了二重积分的概念，它在多变量函数的积分中扮演重要的角色。
本文将对高数大一课程中的重积分进行总结和讲解。
一、重积分的概念和性质重积分是定义在三维空间内的函数的积分，通常用来计算多变量函数在某个区域上的累积效应。
与二重积分类似，重积分可以通过分割区域，将其近似为无穷小的小区域，然后对每个小区域进行积分，再将这些积分进行累加而得到。
重积分的计算通常与坐标系的选择有关，常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和柱坐标系等。
根据实际问题的特点和对称性的分析，选择合适的坐标系可以简化计算过程。
在计算重积分时，需要注意积分顺序的选择。
根据题目给定的区域和函数的特点，可以选择先对哪个自变量进行积分，这样有助于简化计算，并得到准确的结果。
重积分具有一些重要的性质，例如线性性、划分性和保号性等。
这些性质在具体计算过程中可以灵活运用，简化计算和分析。
二、重积分的计算方法1. 直角坐标系下的重积分计算方法直角坐标系下的重积分计算通常通过多次积分来实现。
根据题目给定的区域和函数的特点，可以选择先对哪个自变量进行积分，再对另一个自变量进行积分。
通过逐步积分，最终可以得到准确的结果。
2. 极坐标系下的重积分计算方法极坐标系下的重积分计算常常适用于具有旋转对称性的问题。
在极坐标系下，将函数和区域表示成极坐标形式，通过选择合适的积分顺序和极角范围，可以简化计算过程，得到准确的结果。
3. 柱坐标系下的重积分计算方法柱坐标系下的重积分计算通常应用于具有柱对称性的问题。
在柱坐标系下，将函数和区域表示成柱坐标形式，通过选择合适的积分顺序和柱角范围，可以简化计算过程，得到准确的结果。
三、重积分的应用领域重积分在科学和工程领域有广泛的应用。
例如，在物理学中，用重积分可以计算物体的质量、质心和转动惯量等；在电磁学中，可以用重积分计算电荷、电场和电势等；在流体力学中，可以用重积分计算流体的质量、流速和流量等。
高等数学重积分
D
f ( x, y )d
f ( x, y) d .
D
在 D 上存在最大值 Ｍ 和最小值 m , 用 A
m A f ( x, y ) d MA.
D
表示D 的面积. 则有
(6) (积分中值定理)
用 A 表示D 的面积. 则存在点
在闭区域D上连续, 使
(7) 若在 D上
( k ,k ), 则第 k 小块的质量
x
( k , k )
k
(3) 求和: 得到质量的近似值
n
»
å
k= 1
( k , k ) k .
(4) 取极限: 令λ为个小区域直径的最大值, 则
n
M = lim å ( k , k ) k .
® 0
k= 1
两个问题的 共性： (1) 解决问题的步骤相同: “分割, 近似, 求和, 取极限” (2) 所求量的结构式相同
n
曲顶柱体体积: 平面薄片的质量:
V = lim å
® 0
k= 1
f ( k , k ) k .
n
M = lim å ( k , k ) k .
® 0
k= 1
定义 1.1 设 f ( x , y ) 是有界闭区域 D 上的有界函数. 将 D 任意分成 n 个小区域
上任取一点 径的最大值 . 若当 作和式
I
D
d xd y 100 cos x cos y
2
2
2
D : x y 10
y
10
解 D 的面积为 A = (10 2) = 200.
由于
1 102
1 100 cos x cos y
高等数学-重积分PPT课件
重积分的性质
线性性质
若α、β为常数，则∫[αf+βg]=α∫f+β∫g。
积分区域的可加性
若D1、D2是两个不相交的区域，则∫[D1∪D2]f=∫[D1]f+∫[D2]f。
保序性
若在D上，f(x,y)≤g(x,y)，则∫[D]f≤∫[D]g。
绝对可积性
若f在D上可积，则|f|在D上也可积，且|∫[D]f|≤∫[D]|f|。
课件内容与结构
课件内容
本课件主要介绍重积分的基本概念、性质、计算方法和应用实例，包括二重积分和三重积分的定义、性质、计算 方法和应用等。
课件结构
课件按照“概念引入-性质探讨-计算方法-应用实例”的逻辑顺序进行编排，层次分明，条理清晰，便于学生理解 和掌握。
02
重积分的定义与性质
重积分的定义
二重积分的定义
计算消费者剩余和生产者剩余
02 重积分可用于计算消费者剩余和生产者剩余，通过对
需求函数和供给函数进行积分得到。
计算社会福利
03
重积分可用于计算社会福利，通过对消费者剩余和生
产者剩余进行加总得到。
06
重积分的数值计算方法
矩形法则与梯形法则
矩形法则
将积分区间划分为若干个小矩形，每个小矩形的面积近似等于其底边长度与高的乘积，将所有小矩形 的面积相加得到积分的近似值。
计算转动惯量
重积分可用于计算物体绕某轴的 转动惯量，通过对物体质量分布 和到轴距离的平方进行积分得到。
计算引力
重积分可用于计算两个物体之间 的引力，通过对两物体间的质量 分布和距离进行积分得到。
在工程学中的应用
计算面积和体积
重积分可用于计算平面图形或立体图形的面积和体积，通过对图形 的边界函数进行积分得到。
重积分高等数学.pptx
连续必可积
六、极坐标系下面积元素
y
( )
取r :[r, r dr] 取 :[ , d ]
x r cos
y
r
sin
r x2 y2
arctan
y
x
d
o
d
r r dr x
则d rdrd -------极坐标系下面积元素
f (x, y)d f (r cos, r sin k , 做乘积f (M k )k ;
共
n
3 求和 f (M k )k ;
性
4
记
k 1
max
1k nn
k
,当 0
如果 lim 0
k 1
f
(M k )k存在,则称此极限为
f (M )在上的积分,记作 f (M )d. ()
注 : (1)区域 k的直径k : (2) maxk , k 1, 2, n
f (i ,i ) i.
9
第10页/共23页
2) 物体为薄板。
y
1.分( ) : k (k 1, 2, , n)
2.取M k (k ,k ) k , f (k ,k )
则mk f (k ,k ) k
o
n
3.
m
lim 0
k 1
f
(k ,k ) k
z
3) 物体为空间物质块。
1.分(V ) : Vk (k 1, 2, , n)
f (M )g(M )d f (C) g(M )d
()
()
证明 在上f (M )连续,则: m f (M ) M
mg(M ) f (M )g(M ) Mg(M )
(C )
m g(M )d f (M )g(M )d M g(M )d
高等数学第十章重积分
高等数学第十章重积分1. 引言在高等数学中，积分是一个重要的概念。
在之前的学习中，我们学习了定积分和不定积分的概念和性质。
在本章中，我们将进一步学习一种扩展的积分形式，即重积分。
2. 重积分的引入和定义重积分是一种将函数在二维或更高维空间内的区域上进行积分的方法。
它的引入主要是为了解决在二维平面上对非矩形区域进行积分的问题。
在计算重积分之前，我们首先需要定义积分区域。
对于二维平面上的区域，我们可以使用极坐标或直角坐标来描述。
对于更高维的区域，我们则需要使用其他的坐标系。
一般来说，重积分可以分为两类：累次积分和二重积分。
累次积分是指先对一个变量进行积分，然后再对另一个变量进行积分。
而二重积分则是指在一个积分符号下同时对两个变量进行积分。
对于二重积分，我们可以使用迭代积分和换元积分的方法来计算。
迭代积分是将一个二重积分转化为两个累次积分的过程，而换元积分是利用变量替换的方法来简化计算。
3. 重积分的性质重积分具有一些和定积分相似的性质。
例如，重积分具有线性性质和保号性质。
线性性质指的是对于两个函数的重积分，其和函数的重积分等于两个函数分别取重积分后再相加。
保号性质指的是如果函数在积分区域上恒大于等于0，则函数的重积分也大于等于0。
此外，重积分还具有可加性和可积性。
可加性指的是如果一个积分区域可以被分割为多个不相交的子区域，则重积分可以拆分成多个子区域的重积分之和。
可积性指的是如果一个函数在有界闭区域上连续或只有有限个间断点，那么该函数的重积分存在。
4. 重积分的应用重积分在物理学、经济学和几何学等领域中有着广泛的应用。
在物理学中，我们可以使用重积分来计算物体的质心、面积、体积等性质。
在经济学中，我们可以使用重积分来计算市场需求曲线和供给曲线之间的面积，从而得到市场的总需求量和总供给量。
在几何学中，重积分可以用来计算平面和空间中的曲线长度、曲面面积和体积。
例如，我们可以使用重积分来计算球体的体积和球冠的体积。
高等数学 课件 PPT 第九章 重积分
若函数ρ(x,y)=常数，则薄片的质量可用公式 质量=面密度×面积 来计算.现在面密度ρ(x,y)是变化的，故不能用上述公式来求. 这时仍可采用处理曲顶柱体体积的方法来求薄片的质量.分为下列 几个步骤：
一、二重积分的概念
(1)分割将D分成n个小闭区域Δσ1,Δσ2,…,Δσn（小区域 的面积也用这些符号表示），第i个小块的质量记为 ΔMi(i=1,2,…,n)，则平面薄片的质量
于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-11
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例3】
计算
，D是由抛物线y2=2x与直线y=x－4所
围成的区域．
解 画出积分区域D的草图如图9-12所示．若先对x积分，
则有
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-12
一、在直角坐标系下计算二重积分
若先对y积分，则需将D分为两个区域D1和D2， 于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例1】
试将
化为两种不同次序的累次积分，其中
D是由y=x,y=2－x和x轴所围成的区域．
解 积分区域D如图9-9所示．首先说明如何用“穿线法”
确定累次积分的上、下限．如果先积x后积y，即选择Y型积
分区域，将区域D投影到y轴，得区间［0,1］，0与1就是对y
积分的下限与上限，即0≤y≤1，在［0,1］上任意取一点y，
二、二重积分的性质
二重积分与定积分有类似的性质.假设 下面所出现的积分是存在的.
二、二重积分的性质
性质1
设c1,c2为常数,则
性质2
若闭区域D分为两个闭区域D1与D2，则
二、二重积分的性质
性质3
(σ为D的面积）.
性质4
高等数学讲义第九章重积分
性质6:(二重积分的中值 ) 定理
设函数 f (x, y)在闭区D域上连续 ,是D的面,积 则(,)D,使得
f(x,y)d f(,)
D
a
4
§2. 二重积分的计算法
1。利用直角坐标计算二重积分 z
A(x) y2(x) f(x,y)dy y1(x)
A(x)
o
a
yy1(x)
x
b x
a
y yy2(x)
5
d dr r
则极坐标下二重积分可化为二次积分
f(x,y)d f(rco ,rs si)n rdrd
D
D
dr2()f(rco ,srsin )rdrd r1()
a
11
设积分区域是由不等式
0rr(),
r r()
来表示r， ()在 其 [,中 ]上连0 续 β α。
则极坐标下二重积分可化为二次积分
z z=z2(x,y)
1 : z z1 ( x , y )，
2 : z z 2 ( x , y )，
其中 z1 ( x , y ), z 2 ( x , y ) 都是 D xy 上的连续函数，
z=z1(x,y)
o
y
且 z1(x, y) z2 (x, y)
Dxy
(如图所示 )
x
F(x,y) z2(x,y) f(x,y,z)dz z1(x,y)
a
13
例 11.计算二重积 R2分 x2y2d，
D
其中区 D:x域 2y2Rx
例 12.计算二重 ln积 1(x分 2y2)d，
D
其中区 D:x域 2y21,x0,y0
a
14
§3. 三重积分的计算法
高等数学-重积分的 计算 及应用
D
例如计算： I x2d
D:
D
I y2d
D
I 1
(x2 y2 )d
a4
2D
4
14
x2 y2 a2
例6
d
D (a2 x2 y2 )3/ 2
其中 D : 0 x a ; 0 y a
y yx
a
解：如图D是关于直线 y x 对称。
D2
D1
r a
cos
原式 2
D1
o 4
D1 D2 D
x
连续, 所以
6
D (x y) d D2 (x y) d D1 (x y) d
4
dy
6
12 y
y2 (x y)d x
2
dy
4
4 y
y2 (x y)d x
2
2
54311 15
9
例2. 计算 x2 y2 4 d , 其中 D : x2 y2 9
F(0) 0
利用洛必达法则与导数定义,得
lim
t0
F
(t ) t4
lim
t 0
4 f (t) 4 t3
t
2
lim
t 0
f (t) t
f
(0)
f (0)
33
f (x, y, z) d v
x
D
z2 (x, y) f (x, y, z)dz dxdy
z1( x, y)
记作 dxdy z2 (x, y) f (x, y, z)dz
D
z1( x, y)
20
y D
dxd y
微元线密度≈
f (x, y, z) dxdy
方法2. 截面法 (“先二后一”)
高等数学重积分总结
高等数学重积分总结重积分是高等数学中的一个重要章节，包括了二重积分和三重积分。
本文将对重积分的相关概念、性质、计算方法等进行总结。
一、重积分的定义和性质重积分可以看作是对多元函数在一个区域内的积分，其中二重积分和三重积分分别对应了二元函数和三元函数。
对于一个区域D，其可以用极限值对角线的方法划分成n个微小的小区域Di，其中i的取值范围为1到n。
设函数f(x,y)在小区域Di上的面积为S，且S趋近于0，则重积分可以表示为：$$\iint_D f(x,y)dxdy=\lim_{\substack{n,m\to \infty}} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m f(x_{ij},y_{ij})\Delta S$$其中$\Delta S$为小区域Di的面积，$(x_{ij},y_{ij})$为小区域Di的任意一点。
与一元函数的积分类似，重积分也具有线性性、可加性、区间可减性和保号性等数学特征。
同时，由于重积分的定义，其也满足如下性质：1.积分与被积函数与积分区域的连续性，即对于在区域D上连续的函数f(x,y)，有：2.积分与区域的可加性，即对于一个区域D可以分割成两个没有公共点的子区间，则：同时还有极坐标和柱面坐标下的重积分公式：对于极坐标，有：$$\iint_D f(x,y)dxdy=\iint_D f(rcos\theta,rsin\theta)rdrd\theta$$$$\iiint_W f(x,y,z)dxdydz=\int_a^b\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\int_{\rho_1}^{\rho_2} f(\rho cos\varphi,\rho sin\varphi, z)\rho d\rho d\varphi dz$$其中W为三维区域，$(\rho,\varphi,z)$为柱面坐标系。
三、重积分的计算方法对于重积分的具体计算，常用的有以下几种方法：1.累次积分法累次积分法就是将多重积分化为多个一元积分，以二重积分为例，若：$$\iint_D f(x,y)dxdy$$其中D为一个平面区域，那么可以先将y作为常数，对x进行积分，再将x作为常数，对y积分，即可得到：其中a、b、c、d为D中x、y坐标的极值。
高等数学第九章重积分
第9章 重积分典型例题一、二重积分的概念、性质 1、二重积分的概念：d 01(,)lim(,)niiii Df x y f λσξησ→==∆∑⎰⎰其中：D ：平面有界闭区域，λ：D 中最大的小区域的直径（直径：小区域上任意两点间距离的最大值者）， i σ∆：D 中第i 个小区域的面积2、几何意义：当(,)0f x y ≥时，d (,)Df x y σ⎰⎰表示以曲面(,)z f x y =为曲顶，D 为底的曲顶柱体的体积。
所以d 1Dσ⎰⎰表示区域D 的面积。
3、性质（与定积分类似）：:线性性、对积分区域的可加性、比较性质、估值性质、二重积分中值定理二、二重积分的计算1、在直角坐标系下计算二重积分（1） 若D 为X 型积分区域：12,()()a x b y x y y x ≤≤≤≤，则21()()(,)(,)by x ay x Df x y dxdy dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰（2）若D 为Y 型积分区域：12,()()c y d x y x x y ≤≤≤≤，则21()()(,)(,)dx y cx yf x y dxdy dy f x y dx =⎰⎰（3X －型或者Y －型区域之和，如图，则123(,)(,)(,)(,)D D D f x y d x d y f x y d x d y f x y d x d y f x y d x d y=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（4（5）对称性的应用1(,)2(,),(,)0(,)DD f x y dxdy f x y dxdy f x y y D x f x y y ⎧=⎪⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰关于为偶函数区域关于轴对称， 关于为奇函数1(,)2(,),(,)0(,)D D f x y dxdy f x y dxdy f x y x D y f x y x ⎧=⎪⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰关于为偶函数区域关于轴对称， 关于为奇函数（6）积分顺序的合理选择：不仅涉及到计算繁简问题，而且又是能否进行计算的问题。
大一高数重积分知识点
大一高数重积分知识点重积分是高等数学中的重要概念，主要是对二重积分的推广和拓展。
在本篇文章中，将介绍一些大一高数课程中涉及的重积分的基本知识点和相关概念。
一、重积分的概念重积分是对多变量函数在某个区域上的积分，主要用于计算空间内的体积、重心以及质心等物理量。
在二维情况下，重积分被称为二重积分，表示对平面上的区域进行积分；在三维情况下，重积分被称为三重积分，表示对空间内的区域进行积分。
二、二重积分的计算对于二重积分的计算，常用的方法有直角坐标法和极坐标法。
1. 直角坐标法通过将二重积分化为两个一重积分的形式来计算。
例如，对于函数f(x, y)，其在矩形区域D上的二重积分可以表示为：∬D f(x, y) dxdy通过确定积分的上下限，将二重积分转化为两个单变量函数的积分。
2. 极坐标法对于具有极坐标对称性的函数，可以采用极坐标来进行计算。
通过将二重积分转化为极坐标下的一重积分，可以简化计算过程。
三、三重积分的计算对于三重积分的计算，也可以采用直角坐标法或柱坐标法进行计算。
1. 直角坐标法对于函数f(x, y, z)，其在空间内的三重积分可以表示为：∭E f(x, y, z) dxdydz通过逐次进行积分，将三重积分转化为三个一重积分的形式。
2. 柱坐标法对于具有柱坐标对称性的函数，可以采用柱坐标来进行计算。
通过将三重积分转化为柱坐标下的一重积分，可以简化计算过程。
四、变量替换法在计算重积分时，有时可以通过变量替换法来简化积分的计算过程。
通过适当选择变量替换，可以将原先复杂的积分问题转化为更简单的形式。
变量替换法在求解一些特殊的积分问题时非常有用。
五、应用领域重积分在物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。
在物理学中，通过重积分可以计算物体的质量、质心、转动惯量等物理量。
在工程学中，通过重积分可以计算流体的流量、电荷分布等问题。
总结：大一高数课程中的重积分是深入学习积分学的重要内容，涵盖了二重积分和三重积分的计算方法，以及变量替换法的应用。
重积分高等数学课件.ppt
于是 ln(x2 y2 ) d x d y 0
x y 1
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第三节 三重积分
一、三重积分的概念 二、三重积分的计算
第九章
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一、三重积分的概念
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
物质, 密度函数为(x, y, z) C,求分布在 内的物质的
的正负号.
y
D3 D2 o 1 32 x
D1
舍去此项
猜想结果为负
D1 d x d y
但不好估计 .
3 2 (4 3) (1 3 2) 0
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例3. 估计下列积分之值
I
D
dxd y 100 cos2 x cos2
y
D : x y 10
y
解: D 的面积为 (10 2)2 200
体积, 则存在 ( ,, ) , 使得
f (x, y, z) d v f ( ,, )V
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二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数 f (x, y, z) 0, 并将它看作某物体
的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法:
n
M
lim
0 k 1
(k , k
) k
(k ,k )
x
k
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两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限”
(2) 所求量的结构式相同
曲顶柱体体积:
n
V
lim
0 k 1
高等数学第十章重积分PPT课件
总结词
矩形区域上的重积分计算是重积分中最基础的一种计算方 法。
详细描述
在矩形区域上，可以将积分区域划分为若干个小矩形，然后对每个小矩形进行 积分，最后将所有小矩形的积分结果相加即可得到整个矩形区域的积分值。
公式
$int_{a}^{b}int_{c}^{d}f(x,y)dxdy$
圆形区域上的重积分计算
公式
根据具体情况而定，一般需要通过微分几何和拓扑学知识 进行推导和计算。
03
重积分的应用
重积分在几何学中的应用
80%
计算立体体积
通过重积分可以计算三维空间中 物体的体积，如旋转体、曲面和 不规则体的体积。
100%
计算表面积
重积分可以用来计算封闭曲面或 复杂曲面的表面积，如球面、椭 球面和抛物面等。
化简积分表达式
在计算过程中，尽量化简积分 表达式，以减少计算量。
避免重积分的常见错误
上下限错误
确保上下限的确定是正确的，特别是对于复杂区 域。
公式应用不当
使用不合适的公式可能导致计算错误或无法得出 结果。
积分次序错误
选择错误的积分次序可能导致计算结果不正确。
计算失误
在计算过程中，可能会因为疏忽或笔误导致结果 不准确。
求解流体动力学问 题
重积分在流体动力学中有重要应 用，如计算流体压力、速度和密 度等。
重积分济活动中 涉及到的成本和收益，如生产成 本、销售收入和利润等。
预测经济趋势
通过重积分可以建立经济模型， 预测未来经济趋势和市场变化， 为决策提供依据。
优化资源配置
二重积分的定义
二重积分是计算平面区域上的面积的数学工具，其值等于二元函数在平面区域上的所有点的函数值与该点处面积微元 相乘后累加的总和。
高等数学重积分求解题技巧
高等数学重积分求解题技巧高等数学中的重积分是一种对多变量函数进行积分运算的方法，其求解需要掌握一定的技巧。
下面我将介绍一些常用的高等数学重积分求解题技巧。
一、确定积分区域在求解重积分时，首先需要确定积分区域。
常用的方法有：图形法、参数方程法、立体体积法、坐标轴法等。
根据题目给出的条件，选择合适的方法确定积分区域。
二、确定积分次序在确定积分次序时，需要考虑到函数在积分区域上的表达式。
通常可以将多变量函数的积分次序调整为适合计算的方式。
常用的方法有：先积x后积y、先积y后积x、极坐标系下积分等。
三、利用对称性在一些情况下，积分区域具有对称性，可以利用对称性简化求解过程。
例如，当积分区域关于x轴对称时，可以将积分区域进行对称延拓，然后将求解的结果乘以2。
利用对称性可以减少计算量，加快解题速度。
四、变量代换在求解一些复杂的重积分时，可以采用变量代换的方法进行简化。
变量代换可以将复杂的积分转化为简单的形式。
常见的变量代换有：平铺代换、柱坐标代换、球坐标代换等。
选择合适的变量代换可以使原始的积分更容易计算。
五、利用奇偶性在一些情况下，被积函数具有奇偶性。
可以利用奇偶性进行简化。
例如，当被积函数为奇函数时，其在对称区域上的积分结果为0，只需要计算对称区域上的一个部分即可。
六、利用分部积分在求解重积分时，可以利用分部积分的方法进行简化。
分部积分可以将积分的被积函数分解为两个因子之积，然后进行积分操作。
通过反复应用分部积分法，可以逐步简化积分表达式。
七、利用定积分的性质重积分实际上可以看作多个定积分的组合。
因此，可以运用定积分的性质进行求解。
例如，定积分可以与求导、极限运算交换次序，可以通过定积分的积分区间的变化进行转化等。
八、利用对数、指数性质在一些特殊情况下，重积分可以转化为对数、指数的形式。
可以利用对数、指数的性质进行求解。
例如，当积分的被积函数具有指数型形式时，可以利用指数函数的积分性质进行简化。
九、利用对数函数的导数当被积函数可以表示为某个对数函数的导数时，可以利用对数函数的导数来简化积分过程。
高等数学重积分计算复习PPT课件
三重积分的几何意义
总结词
理解三重积分的几何意义有助于直观地理解 其物理意义和应用。
详细描述
三重积分表示三维空间中体积和质量的量值， 其几何意义可以通过三维图形或实体模型来 解释。例如，一个密度不均匀的物体质量可 以通过三重积分来计算。
04
重积分的应用
重积分在几何学中的应用
计算立体体积
通过重积分可以计算出三维空间中物体的体积，如球 体、圆柱体等。
纠正方法
针对这些常见错误，提供有效的纠正方法和 技巧，帮助学生避免类似错误再次发生。
综合练习与提高
要点一
综合练习题
设计一些涉及多个知识点和技巧的综合练习题，以提高学 生的综合运用能力和解题技巧。
要点二
解题方法总结
对综合练习题的解题方法进行总结和归纳，帮助学生掌握 更多的解题技巧和策略。
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利用直角坐标系将二重积分转化为累次积分，再逐一计算。
极坐标系下的计算方法
利用极坐标变换将二重积分转化为极坐标形式，再逐一计算。
二重积分的几何意义
面积的近似计算
二重积分可以用来近似计算平面区域的面积。
体积的近似计算
二重积分可以用来近似计算空间区域的体积。
03
三重积分计算
三重积分的定义与性质
总结词
高等数学重积分计算复习 ppt课件
目录
• 重积分概述 • 二重积分计算 • 三重积分计算 • 重积分的应用 • 复习与巩固
01
重积分概述
重积分的定义与性质
重积分的定义
重积分是定积分概念的推广，它涉及到二维 或更高维度的积分计算。在二维情况下，重 积分可以看作是面积的积分，而在三维情况 下，重积分可以看作是体积的积分。
重积分的数学基础和研究方法
重积分的数学基础和研究方法重积分是高等数学中的重要分支，它在数学、物理、工程等领域中都有重要的应用。
重积分的概念、性质和研究方法是学习重积分必不可少的知识点。
本文将从数学基础和研究方法两方面入手，对重积分进行详细介绍。
一、数学基础1. 重积分的概念在平面直角坐标系中，对于一个有界区域$D$，设$f(x,y)$在$D$上有定义，那么$f(x,y)$在$D$上的二重积分为：$$\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$类似地，对于三维空间中的有界区域$E$，设$f(x,y,z)$在$E$上有定义，那么$f(x,y,z)$在$E$上的三重积分为：$$\iiint\limits_{E}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ $而对于$f(x,y)$和$f(x,y,z)$不同函数，其重积分的计算方法也略有不同。
2. 重积分的计算方法（1）二重积分对于二重积分，常用的计算方法是直接计算面积。
在不规则图形中，可以采用以下两种方法：①分区域法：把不规则图形分成若干个小块，对每个小块分别求面积，然后将所有小块的面积相加。
②积分法：通过积分把不规则图形分成若干个小块，然后对每个小块进行积分，最后将结果相加。
（2）三重积分对于三重积分，计算方法可以类比于二重积分。
常用的计算方法有以下几种：①直接计算体积：对于规则立体图形，可以直接计算体积。
②三重积分的划分求和：将立体分割成若干个小块，对每个小块进行三重积分的求和。
③极坐标变换法：当积分区域对极坐标变换有利时，可采用极坐标变换求三重积分。
④柱坐标变换法和球坐标变换法：对于某些立体图形，采用柱坐标变换或球坐标变换可以简化计算过程，提高求解效率。
二、研究方法1. 计算机辅助研究随着计算机技术的不断发展，计算机辅助研究已经成为现代研究中的重要手段之一。
在重积分的研究中，计算机技术也发挥了巨大的作用。
张卓奎《高等数学(第3版)》第8章重积分-本章提要
第8章 重 积 分一、 重积分的概念二重积分01(,)lim (,) ni i i i Df x y d f λσξησ→==∆∑⎰⎰三重积分1(,,)lim (,,)niiiii f x y z dV f v λξηζ→=Ω=∆∑⎰⎰⎰ 二、 重积分的性质 齐次性质 (,)(,)DD kf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰可加性质[(,)(,)](,)(,)DDDf x yg x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰分域性质 设12D D D =+，则12(,)(,)(,)DD D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
不等式性质 若在D 上，(,)(,),f x y g x y ≤则(,)(,)DDf x y dg x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰。
绝对值性质(,)(,)DDf x y d f x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰估值性质 若在D 上有(,)m f x y M ≤≤，且D 的面积为σ，则有(,)Dm f x y d M σσσ≤≤⎰⎰中值定理 若(,)f x y 在闭区域D 上连续，D 的面积为σ，则(,)D ξη∃∈，使得(,)(,)Df x y d f σξησ=⋅⎰⎰三、二重积分的对称性质D 关于x 轴对称 1D 是D 的0y ≥的部分，若(,)(,)f x y f x y -=-则(,)d d 0Df x y x y =⎰⎰若(,)(,)f x y f x y -=则1(,)d d 2(,)d d DD f x y x y f x y x y =⎰⎰⎰⎰D 关于x 轴，y 轴都对称 若(,)(,)f x y f x y -=-(,)(,)f x y f x y -=-或则(,)d d 0Df x y x y =⎰⎰若(,)(,)(,)f x y f x y f x y -==-则3(,)d d 4(,)d d DD f x y x y f x y x y =⎰⎰⎰⎰四、重积分的计算直角坐标系下二重积分计算 若积分域D 为X 区域，则先积分y ，后积分x ，即(,)d Df x y σ=⎰⎰21 ()()d (,)d bx ax x f x y y ϕϕ⎰⎰若积分域D 为Y 区域，则先积分x ，后积分y ，即(,)d Df x y σ=⎰⎰21 ()()d (,)d dx cx y f x y x ψψ⎰⎰极坐标系下二重积分计算 若极点O 在积分域D 之外，则(,)d Df x y σ=⎰⎰21()()d (cos ,sin )d .f r r r r βϕθαϕθθθθ⎰⎰若极点O 在积分域D 的边界上，则(,)d Df x y σ=⎰⎰()d (cos ,sin )d .f r r r r βϕθαθθθ⎰⎰若极点O 在积分域D 的内部，则(,)d Df x y σ=⎰⎰2()d (cos ,sin )d .f r r r r πϕθθθθ⎰⎰三重积分的计算积分区域为长方体，多面体或任意形体，采用直角坐标系，即21(,)(,)(,,)d d d (,,)d xyz x y z x y D f x y z v x y f x y z z Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2211 ()(,)()(,)d d (,,)d .by x z x y ay x z x y x y f x y z z =⎰⎰⎰积分区域在xOy 面的投影域为圆域或部分圆域，采用柱面坐标系，即cos sin x r y r z z θθ===，，，则(,,)d d d (cos ,sin ,)d d d f x y z x y z f r r z r r z θθθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰积分区域是球体、部分球体、球面与平、或球面与锥面所围立体，采用球面坐标系，即sin cos sin cos cos x y z ρϕθρϕθρϕ===，，，则(,,)d d d f x y z x y z Ω⎰⎰⎰2(sin cos ,sin sin ,cos )sin d d d f ρϕθρϕθρϕρϕρϕθΩ=⎰⎰⎰五、重积分的应用曲顶柱体的体积 (,)d d DV f x y x y =⎰⎰（曲面为(,)z f x y =）平面区域的面积 d d DA x y =⎰⎰空间区域的体积 d d d V x y z Ω=⎰⎰⎰空间曲面的面积d DA x y = 平面薄片的质心坐标 (,)(,)DDx x y d x x y d μσμσ=⎰⎰⎰⎰，(,)(,)DDy x y d y x y d μσμσ=⎰⎰⎰⎰平面薄片的转动惯量 2(,)x DI y x y d μσ=⎰⎰，2(,)y DI x x y d μσ=⎰⎰。
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第六章多元函数积分学
§1 重积分
【考试要求】
1. 理解二重积分的概念，了解二重积分的性质, 了解二重积分的中值定理.
2. 掌握二重积分的计算方法(直角坐标，极坐标).
3. 了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算(数二不要求).
4. 理解三重积分的概念，会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面
153
154
坐标)(数二、三不要求).
5. 会用重积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、质量、质心、形心、转动惯量、引力等) (数二、三不要求).
一、基本概念 1. 二重积分的定义
设
(,)f x y 是有界闭区域D 上的有界函数.将D 任意分割成n 个小
区域1σ∆，2σ∆，…，n σ∆，其中i σ∆表示第i 个小区域，也表示它的面积. 在每个i σ∆上任取一点(,)i i ξη， 令λ是n 个小区域直径的最大
155
值， 若极限0
1
lim (,)n
i i i i f λξησ→=∆∑存在，
则称其值为函数(,)f x y 在
D 上的二重积分， 记作
1
(,)d d (,)d lim (,)n
i i i
i D
D
f x y x y f x y f λσξησ→===∆∑⎰⎰
⎰⎰.
注1 当二重积分存在时， 极限值与对D 的分法及(,)i i ξη的取法无
关.
注2 当
(,)f x y 在D 上连续时， 二重积分(,)d D
f x y σ⎰⎰存
156
在.
2. 三重积分的定义（数二、数三不要求）
1
(,,)d lim (,,)n
i i i i i f x y z v f v λξηζ→=Ω
=∆∑⎰⎰⎰
.
3. 二重积分的性质 设函数(,)f x y ，(,)g x y 在有界闭区域D 上可积，则
(1)
[(,)(,)]d (,)d (,)d D
D
D
f x y
g x y f x y g x y σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰
157
.
(2)
(,)(,) D
D
kf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰
(
k 为常数).
(3)
1
2
(,)d (,)d (,)d D
D D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰
⎰⎰⎰⎰，
其中
1
2D D D =，且1D 与2D 无重叠.
(4)
d D
A σ=⎰⎰
，其中A 表示D 的面积.
158
(5) 比较定理: 若在
D 上恒有(,)(,)f x y g x y ≤，则
(,)d (,)d D
D
f x y
g x y σσ≤⎰⎰
⎰⎰.
(6) 估值定理: 设M 与m 分别是(,)z f x y =在D 上的最大值和
最小值，
A 为D 的面积，则
(,)d D
mA f x y MA σ≤≤⎰⎰.
(7) 中值定理: 若(,)z f x y =在有界闭区域D 上连续，A 为D 的面
积
，
则
至少存在一点(,)D ξη∈，使得
159
(,)d (,)D
f x y f A σξη=⋅⎰⎰
.
(8) 对称性定理: 若区域
D 关于x 轴对称，则
1
02, (,)(,)d (,)d , (,)D
D f x y y f x y f x y f x y y σσ⎧⎪
=⎨⎪⎩⎰⎰
⎰⎰若于是奇函,若于是偶函,
其中
{}10D D
y =≥.
若区域
D 关于y 轴对称，则
160
2
02, (,)(,)d (,)d , (,)D
D f x y x f x y f x y f x y x σσ⎧⎪
=⎨⎪⎩⎰⎰
⎰⎰若于是奇函,若于是偶函,
其中
{}20D D
x =≥.
若积分区域
D 具有轮换对称性（,x y 互换，D 保持不变）
，即区域D 关于直线y x =对称，则
1
2(,)d d (,)d d [(,)(,)]d d .D D D
f x y x y f y x x y f x y f y x x y ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰。