等差数列知识点总结及练习(学生版)

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小学奥数等差数列(1) 知识点+例题+练习 (分类全面)

例2、全部三位数的和是多少？
巩固、从2开始的连续100个偶数的和是。
例4、求下列方阵中100个数的和。
0、1、2、3、……8、9；
1、2、3、4、……9、10；
2、3、4、5、……10、11；
……
9、10、11、12、……17、18。
巩固、求下列方阵中所有各数的和：
1、2、3、4、……49、50；
2、3、4、5、……50、51；
例6、若干人围成16圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少6人，如果共有912人，问最外圈有多少人？最内圈有多少人？
巩固、若干人围成8圈，一圈套一圈，从外向内各圈人数依次少4人，如果共有304人，最外圈有几人？
巩固、一个五层书架共放了600本书，已知下面一层都比上面一层多10本书。最上面一层放多少本书，最下面一层多少放本书？
教学过程
1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称
为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。
2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这
样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。
3、常用公式
等差数列的总和=（首项+末项）项数 2
3、一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,第一层有3根，下一层比上一层多1根，已知最下面一层有70根。一共有多少根圆木？
4、有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次?
5、一辆公共汽车有66个座位,空车出发后,第一站上一位乘客,第二站上两位乘客,第三站上三位乘客,依次类推,第几站后,车上坐满乘客?
6、在等差数列0、3、6、9、12、……、45是这个数列的第项。

(完整版)等差数列知识点及类型题

等差数列知识点及类型题一、数列由n a 与n S 的关系求n a由n S 求n a 时，要分n=1和n ≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩。

〖例1〗根据下列条件，确定数列{}n a 的通项公式。

nn n S a a 222,0=+>分析：将无理问题有理化，而后利用n a 与n S 的关系求解。

二、等差数列及其前n 项和（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，1()(2)n n a a d n --=≥常数，第二种是利用等差中项，即112(2)n n n a a a n +-=+≥。

2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。

（1）通项法：若数列{n a }的通项公式为n 的一次函数，即n a =An+B,则{n a }是等差数列；（2）前n 项和法：若数列{n a }的前n 项和n S 是2n S An Bn =+的形式（A ，B 是常数），则{n a }是等差数列。

注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。

〖例2〗已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足111120(2),2n n n n S S S S n a ---+=≥=g （1）求证：{1nS }是等差数列；（2）求n a 的表达式。

【变式】已知数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1.其前n 项和S n 满足2S n ＝2pa 2n ＋a n－p (p ∈R)，则{a n }的通项公式为________．（二）等差数列的基本运算1、等差数列的通项公式n a =1a +（n-1）d 及前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+，共涉及五个量1a ，n a ，d,n, n S ,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a 和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。

等差数列知识点总结及考点练习

等差数列知识点总结一、等差数列知识点回顾与技巧点拨1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．2．等差数列的通项公式若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －m )d ＝p .3．等差中项如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，如果A 是x 和y 的等差中项，则A ＝x ＋y2.4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n .(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 5．等差数列的前n 项和公式若已知首项a 1和末项a n ，则S n ＝n a 1＋a n2，或等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其前n 项和公式为S n ＝na 1＋n n －12d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，数列{a n }是等差数列的充要条件是S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．7．最值问题在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值，若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值．一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n 项和公式： S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，① S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1，②①＋②得：S n ＝n a 1＋a n2.两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．四种方法等差数列的判断方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数；(2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ；(4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．回顾：1．已知等差数列{a n }中，a 3=9，a 9=3，则公差d 的值为（） A ．B ．1 C ．D ． ﹣12．已知数列{a n }的通项公式是a n =2n+5，则此数列是（） A ．以7为首项，公差为2的等差数列 B ．以7为首项，公差为5的等差数列 C ．以5为首项，公差为2的等差数列 D ．不是等差数列 3．在等差数列{a n }中，a 1=13，a 3=12，若a n =2，则n 等于（） A ． 23 B ． 24 C ． 25 D ． 26 4．两个数1与5的等差中项是（） A ． 1 B ． 3 C ． 2 D ． 5．（2005•黑龙江）如果数列{a n }是等差数列，则（） A ． a 1+a 8＞a 4+a 5 B ． a 1+a 8=a 4+a 5 C ． a 1+a 8＜a 4+a 5 D ． a 1a 8=a 4a 5考点1:等差数列的通项与前n 项和题型1：已知等差数列的某些项，求某项【解题思路】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法【例1】已知{}n a 为等差数列，，则解：方法1：方法2：，方法3：令，则方法4：{}n a 为等差数列，也成等差数列，设其公差为，则为首项，20,86015==a a =75a 154,156420598141160115==⇒⎩⎨⎧=+==+=d a d a a d a a ∴2415474156474175=⨯+=+=d a a 1544582015601560=-=--=a a d ∴241541520)6075(6075=⨯+=-+=d a a b an a n +=38,45162060815==⇒⎩⎨⎧=+=+b a b a b a ∴24384516757575=+⨯=+=b a a ∴7560453015,,,,a a a a a 1d 15a为第4项.方法5：{}n a 为等差数列，三点共线对应练习：1、已知{}n a 为等差数列，（互不相等），求.2、已知个数成等差数列，它们的和为，平方和为，求这个数.题型2：已知前项和及其某项，求项数.【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式求出及，代入可求项数；⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出，代入可求项数.【例2】已知为等差数列{}n a 的前项和，，求解：设等差数列的首项为，公差为，则对应练习：3、若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数.4.已知为等差数列{}n a 的前项和，，则60a ∴438203111560=⇒+=⇒+=d d d a a ∴2442016075=+=+=d a a ∴),75(),,60(),,15(756015a a a 2415204582060751560757560751560=⇒-=-⇒--=--a a a a a a q a p a n m ==,k n m ,,k a 551655n n S dn a a n )1(1-+=1a dnS n n a a +1n S n n S n 63,6,994=-==n S a a n 1a d3,186893111-==⇒⎩⎨⎧-=+=+d a d a d a ∴7,663)1(231821==⇒=--=n n n n n S n n n S n100,7,141===n S a a.题型3：求等差数列的前n 项和【解题思路】（1）利用求出，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.（2）含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论.【例3】已知为等差数列{}n a 的前项和，.（1）；⑵求； ⑶求.解：，当时，，当时，，当时，， .由，得，当时，；当时，.（1）；⑵；（3）时，，当时，对应练习：5、已知为等差数列{}n a 的前项和，，求.=n n S n a n S n 212n n S n -=321a a a ++10321a a a a ++++ na a a a ++++ 321212n n S n -=∴1=n 1111211=-==S a 2≥n n n n n n S S a n n n 213)1()1(12)12(221-=-+---=-=-1=n 1111213a ==⨯-∴n a n 213-=0213≥-=n a n 213≤n ∴61≤≤n 0>n a 7≥n 0<n a 27331223321321=-⨯==++=++S a a a a a a )(10987632110321a a a a a a a a a a a a +++-++++=++++ 52)101012()6612(2222106=-⨯--⨯=-=S S 61≤≤n 232132112n n a a a a a a a a n n -=++++=++++ 7≥n )(876321321n n a a a a a a a a a a a +++-++++=++++ .7212)12()6612(222226+-=---⨯=-=n n n n S S n n S n 10,10010010==S S 110S考点2 ：证明数列是等差数列【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有：1、定义法：（，是常数）{}n a 是等差数列；2、中项法：(){}n a 是等差数列；3、通项公式法：（是常数）{}n a 是等差数列；4、项和公式法：（是常数，）{}n a 是等差数列.【例4】已知为等差数列{}n a 的前项和，. 求证：数列是等差数列.解：方法1：设等差数列{}n a 的公差为，，（常数）数列是等差数列.方法2：，，，数列是等差数列.d a a n n =-+1+∈N n d ⇔212+++=n n n a a a +∈N n ⇔b kn a n +=b k ,⇔BnAn S n +=2B A ,0≠A ⇔n S n )(+∈=N n nS b nn {}n b d d n n na S n )1(211-+=∴d n a n S b n n )1(211-+==∴2)1(2121111dd n a nd a b b n n =---+=-+∴{}n bd n a n S b n n )1(211-+==∴nd a b n 2111+=+d n a b n )1(2112++=+∴1111222)1(21)1(21++=+=-++++=+n n n b nd a d n a d n a b b ∴{}n b对应练习：6、设为数列{}n a 的前项和，，（1）常数的值；（2）证：数列是等差数列.考点3 :等差数列的性质【解题思路】利用等差数列的有关性质求解.【例5】1、已知为等差数列{}n a 的前项和，，则；2、知为等差数列{}n a 的前项和，，则.解：1、；2、方法1：令，则. ，，；方法2：不妨设.，；方法3：{}n a 是等差数列，为等差数列三点共线..nS n)(+∈=N n pna S n n .21a a =p {}n a n S n 1006=a =11S nS n)(,m n n S m S m n ≠===+n m S 11001122112)(116611111==⨯=+=a a a a S Bn An S n +=2n m m n B m n A nBm Am mBn An -=-+-⇒⎩⎨⎧=+=+)()(2222 m n ≠∴1)(-=++B m n A ∴)()()(2n m n m B n m A S n m +-=+++=+n m >mn a a n m a a a a a S S m n m m n n n n m -=+-=+++++=-+-+++2))((11321 ∴211-=+=+++m n n m a a a a ∴)(2))((1n m a a n m S n m n m +-=++=++∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n ∴⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m S n m m S m n S n n m m n ,,,,,∴)(n m S nm nn m S n m n m m n n m n m +-=⇒-+=--++对应练习：7、含个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（） 8.设、分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前项和，，则. 考点4：等差数列与其它知识的综合【解题思路】1、利用与的关系式及等差数列的通项公式可求； 2、求出后，判断的单调性. 【例6】已知为数列{}n a 的前项和，；数列满足：，，其前项和为⑴ 数列{}n a 、的通项公式；⑵设为数列的前项和，，求使不等式对都成立的最大正整数的值. 解：⑴，当时，；当时，当时，，；，是等差数列，设其公差为.则，.12+n .A n n 12+.B n n 1+.C n n 1-.D nn 21+n S nT n 327++=n n T S nn=55b a n a n S n T n T nS nn n S n 211212+={}n b 113=b nn n b b b -=++1229.153{}n b nT {}n c n)12)(112(6--=n n n b a c 57kT n >+∈∀N n k n n S n 211212+=∴1=n 611==S a 2≥n 5)1(211)1(2121121221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n 1=n 1651a ==+∴5+=n a n 222112+++++=⇒-=n n n n n n b b b b b b ∴{}n b d3,5153369112111==⇒⎩⎨⎧=+=+d b d b d b ∴23)1(35+=-+=n n b n⑵，是单调递增数列. 当时，对都成立所求最大正整数的值为.对应练习：9.已知为数列{}n a 的前项和，，.⑴ 数列{}n a 的通项公式；⑵数列{}n a 中是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都成立？若存在，求最小的正整数，若不存在，说明理由.课后练习：1.(2010广雅中学)设数列是等差数列，且，，是数列的前项和，则A ．B ．C ．D ．2.在等差数列{}n a 中，，则 .3.数列{}n a 中，，当数列{}n a 的前项和取得最小值时，.4.已知等差数列{}n a 共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则其公差是 .5.设数列中，，则通项 .6.从正整数数列中删去所有的平方数，得到一个新数列，则这个新数列的第[][]1)23(211)5(26)12)(112(6-+-+=--=n n b a c n n n 121121)12)(12(2+--=+-=n n n n ∴1211)121121()7151()5131()311(+-=+--++-+-+-=n n n T n +∈N n ∴n T ∴1=n ()323111min =-==T T n ∴57k T n >+∈∀N n ()38573257min <⇔>⇔>⇔k k k T n ∴k 37n S n 31=a )2(21≥=-n a S S n n n k 1+>k ka a k k {}n a 28a =-155a =n S {}n a n 1011S S =1011S S >910S S =910S S <1205=a =+++8642a a a a 492-=n a n nnS =n 101030{}n a 112,1n n a a a n +==++n a = ,5,4,3,2,1项是 .答案与解析：对应练习：1、【解析】2、【解析】设这个数分别为则解得当时，这个数分别为：；当时，这个数分别为：3、【解析】4、【解析】设等差数列的公差为，则.5、【解析】方法1：设等差数列的公差为，则；方法2：6、【解析】⑴，，⑵由⑴知：，当时，，，数列是等差数列.1964n m k m q n k p a n k q a n m q p n k a a n m a a k k n k n m --+-=⇒--=--⇒--=--)()(5.2,,,,2d a d a a d a d a ++--⎩⎨⎧=+=⇒⎩⎨⎧=+++++-+-=+++++-+-1651051165)2()()()2(5)2()()()2(2222222d a a d a d a a d a d a d a d a a d a d a 4,1±==d a 4,1==d a 59,5,1,3,7--4,1-==d a 5.7,3,1,5,9--124,363214321=+++=+++---n n n n a a a a a a a a 3423121---+=+=+=+n n n n a a a a a a a a ∴40160)(411=+⇒=+n n a a a a ∴39780207802)(1=⇒=⇒=+=n n a a n S n n d 23171414=-=--=a a d 101002)1(21=⇒=⨯-+=n n n n S n d⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+=+100109950111049501001004510111d a d a d a ∴110109110211101110-=⨯⨯+=d a S 2902)(90100111001110100-=+⇒-=+=-a a a a S S 1102)(1102)(110100*********-=+=+=a a a a Sn n pna S =21a a =∴111=⇒=p pa a n n na S =2≥n 0))(1()1(111=--⇒--=-=---n n n n n n n a a n a n na S S a ∴)2(01≥=--n a a n n ∴{}n a7、【解析】（本两小题有多种解法），.选B. 8、【解析】填. 9、【解析】⑴当时，，且，{}n a 是以为公差的等差数列，其首项为.当时，当时，，； ⑵，得或，当时，恒成立，所求最小的正整数课后练习：1、【解析】C ．另法：由，，得，2))(1(12112531++++=++++=n n a a n a a a a S 奇2)(222642n n a a n a a a a S +=++++= 偶n n a a a a 22121+=++∴nn S S 1+=偶奇∴12652525514225143)12(2)12(7551212=+⨯-⨯=⇒+-=+-+-==--b a n n n n T S b a n n n n ∴12652≥n )(22111----=⇒=n n n n n n n S S S S a S S ∴21111-=--n n S S 3111=S ∴21-31∴nS n n S S n n 356635)1(21111-=⇒-=--=∴2≥n )53)(83(18211--==-n n S S a n n n 1=n 11018)53)(83(18a ≠=--∴⎪⎩⎪⎨⎧≥--=)2()53)(83(18)1(3n n n n 0)23)(53)(83(181>---=-+k k k a a k k 3532<<k 38>k ∴3≥k 1+>k k a a .3=k 1091521015216292)(,22S S a d a S d a a a a S =⇒++=++=+=28a =-155a =713815)8(5=---=d11 / 11 ，计算知 2、【解析】 3、【解析】由知{}n a 是等差数列，4、【解析】已知两式相减，得5、【解析】利用迭加法（或迭代法），也可以用归纳—猜想—证明的方法.6、【解析】76921=-=d a a 910S S =480.480458642==+++a a a a a 24492-=n a n .250>⇒>n a n ∴.24=n 4.4205=⇒=d d 1)1(21++n n 2008。

等差数列知识点总结及练习(精华word版)

等差数列的性质总结1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈，首项:1a ，公差:d ，末项:n a推广： d m n a a m n )(-+=．从而mn a a d mn --=；3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+ 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项5．等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．7.提醒：等差数列的通项公式n a 及前n 项和n S 公式中，涉及到5个元素：n n S a n d a 及、、、1，其中d a 、1称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2. 8. 等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

等差数列知识点、例题。练习

等差数列知识点、例题。

练习数列的概念和性质（一）练习一、定义：按一定次序排成的一列数叫做数列.：1. 从函数的角度看，数列可以是定义域为N*(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值;2. 如果两个数列的数完全相同而顺序不同，则它们不是相同的数列;3. 在同一个数列中，一个数可以重复出现;4. 数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做第1项，第2项。

. 二、数列的表示：通项公式：an f(n)1.解析法递推公式：an 1 f(an)一、巩固提高1. 数列1，3，6，10，15，。

的通项an可以等于( ) (A)n2 (n 1) (B)n(n 1)n(n＋1)2(C) (D) n 2n＋2 222. 数列－1，0，－13，0，－25，0，－37，0，。

的通项an可以等于( )nn（－1）1（－1）1(6n 5) (B)(6n 5) (A)22nn（－1）1（－1）1(6n 5) (D) (6n 5) (C)223..巳知数列{an}的首项a1＝1，an 1 2an 1(n 2)，则a5为( )(A) 7 (B)15 (C)30 (D)31 二、能力提升5. 根据数列的前几项，写出数列{an}的一个通项公式: （1）__，，，，，。

; 3__4，，，。

; __（2）2，－6，12，－20，30，。

; （3）一、巩固提高数列的概念和性质（二）练习1.若数列{an}的前n项和Sn 2n 1，则a1与a5的值依次为( )2(A) 2，14 (B)2，18 (C)3，4 (D)3，18 2.若数列{an}的前n项和Sn 4n2 n 2，则该数列的通项公式为( ) (A)an 8n 5 (n N*) (B) an 8n 5(n N*)(n 1) 5(C)an 8n 5(n 2) (D)an *8n 5(n 2,n N)5.已知数列{an}满足a1＝1，当n 2时，恒有a1a2。

等差数列知识点归纳总结

等差数列知识点归纳总结
等差数列是一种非常重要的数学概念，它广泛应用于几乎所有数学分支，包括代数、统计、优化等。

本文将介绍等差数列的基本概念、定义、性质及应用，以此对此知识点进行归纳总结。

一、等差数列的定义
等差数列是一种特殊的的数列，它的元素保持一定的差值相等，例如： 1,4,7,10...，元素之间的差值都为3.
二、等差数列的性质
（1）等差数列的前n项和
若等差数列的前n项和为Sn,公差为d，则Sn = n(a1 + an) / 2 = n(a1 + a1 + (n 1)d) / 2 = n(2a1 + (n 1)d) / 2
（2）等差数列的等比数列
如果一个数列所有元素都是正数，且满足等比数列的性质，则称这个数列为等比数列。

例如：2 ,4 ,8, 16...，元素之间的比值都为
2.
三、等差数列的应用
（1）数学问题
等差数列在解决数学问题时很有用，可以用来计算总和、平均数和对数等。

（2）统计分析
等差数列也可以用于统计分析，可以用来判断数据的变化趋势，并进行回归分析。

（3）其他
等差数列也可以在其它领域有用。

例如，它可以用来帮助用户在购物时进行折扣，并可以帮助用户在预测股票价格变化时做出正确的决策。

综上所述，等差数列是一种非常重要的数学概念，它广泛应用在几乎所有数学分支，具有明显的规律性，可以被用来解决各种数学问题，并可以用于统计分析和其他应用。

因此，掌握等差数列的相关知识是数学学习中必不可少的一部分。

等差数列知识点总结及练习(含答案)

等差数列的性质总结1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈，首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=．从而mn a a d mn --=；3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+ 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 5．等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．8. 等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

等差数列知识点归纳总结公式小学

等差数列知识点归纳总结公式小学等差数列是数学中的一个重要概念，它在小学的数学教学中就开始了解并应用。

下面，我将对小学等差数列的知识点进行归纳总结，包括公式和相关概念，希望对你有所帮助。

1. 知识点一：等差数列的定义等差数列是指一个数列中的每个数与它的前后两个数的差值相等。

这个差值称为公差，用字母d表示。

比如，数列1、3、5、7、9就是一个公差为2的等差数列。

2. 知识点二：等差数列的通项公式等差数列可以使用通项公式来表示，通项公式可以帮助我们快速找到数列中任意一项的数值。

对于公差为d的等差数列，其通项公式为an=a1+(n-1)d，其中an表示数列中第n个数，a1表示数列的第一个数。

比如，对于公差为2的等差数列1、3、5、7、9，其通项公式就是an=1+(n-1)2。

3. 知识点三：等差数列的前n项和公式除了通项公式，等差数列还有一个重要的公式，即前n项和公式。

前n项和公式可以帮助我们求得等差数列的前n项之和，这在实际问题中很常见。

对于公差为d的等差数列，其前n项和公式为Sn=(a1+an)*n/2，其中Sn表示数列的前n项和。

比如，对于公差为2的等差数列1、3、5、7、9，其前n项和公式就是Sn=(1+1+(n-1)2)*n/2。

4. 知识点四：等差数列的性质等差数列有一些重要的性质，有助于我们更深入地理解和应用等差数列。

其中一些性质包括：- 等差数列的任意三项成等差数列；- 等差数列中，如果已知数列的前几项和公式，则可以求得该等差数列的通项公式；- 等差数列中，如果已知数列的前几项，并且知道其中两项之和以及之差，则可以求得该等差数列的通项公式。

5. 知识点五：等差数列的应用等差数列不仅仅是理论上的概念，它在实际问题中也有广泛的应用。

例如，在计算机科学中，等差数列的知识可以帮助我们优化循环操作；在经济学中，等差数列的知识可以帮助我们计算投资收益；在物理学中，等差数列的知识可以帮助我们描述连续变化的物理量等。

等差数列知识点总结和题型总结

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等差数列知识点总结与题型归纳
一．等差数列知识点：
知识点 1、等差数列的定义:
①如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么
这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示
知识点 2、等差数列的判定方法:
②定义法：对于数列an ，若 an1 an d (常数)，则数列an 是等差数列
n
项和，求使得 Tn
m 20
对所有 n N 都成立的
最小正整数 m
6
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五、等差数列习题精选
1、等差数列{an}的前三项依次为 x ， 2x 1 ， 4x 2 ，则它的第 5 项为（）
A、 5x 5
B、 2x 1
C、5
D、4
2、设等差数列{an}中， a4 5, a9 17 ,则 a14 的值等于（）
1
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也就是： a1 an a2 an1 a3 an2
⑨若数列 an 是等差数列， Sn 是其前 n 项的和， k N * ，那么 Sk ， S2k Sk ，
S3k S2k 成等差数列如下图所示：
S3k a1 a2 a3 ak ak 1a2k a2k1a3k
11、在等差数列an 中， a2 a8 4 ,则其前 9 项的和 S9 等于（）
A．18
B 27
C 36
D9
12、设等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，若 S3 9 ， S6 36 ，则 a7 a8 a9 （）
A．63
B．45
C．36
D．27
13、在等差数列 an 中， a1 a2 a3 15, an an1 an2 78 ， Sn 155 ，

(完整版)等差数列知识点总结及练习(精华版)

等差数列的性质总结1.等差数列的定义：（d 为常数）（）；d a a n n =--12≥n 2．等差数列通项公式：，首项:，公差:d ，末项:*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈1a n a 推广：．从而；d m n a a m n )(-+=mn a a d mn --=3．等差中项（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或a A b A a b 2ba A +=b a A +=2（2）等差中项：数列是等差数列{}n a )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项21n +1n a +5．等差数列的判定方法（1）定义法：若或(常数) 是等差数列． d a a n n =--1d a a n n =-+1*∈N n ⇔{}n a （2）等差中项：数列是等差数列． {}n a )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a （3）数列是等差数列（其中是常数）。

{}n a ⇔b kn a n +=b k ,（4）数列是等差数列,（其中A 、B 是常数）。

{}n a ⇔2n S An Bn =+6．等差数列的证明方法定义法：若或(常数) 是等差数列．d a a n n =--1d a a n n =-+1*∈N n ⇔{}n a 7.提醒：等差数列的通项公式及前n 项和公式中，涉及到5个元素：，其中n a n S n n S a n d a 及、、、1称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2.d a 、18. 等差数列的性质：（1）当公差时，0d ≠等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；11(1)n a a n d dn a d =+-=+-n d 前和是关于的二次函数且常数项为0.n 211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-n （2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

等差数列（总结和例题）

等差数列知识清单1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母公差通常用字母d 表示。

用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=³或1(1)n n a a d n+-=³。

根据定义，当我们看到形如：d a a n n =--1、da a n n =--212、d aa n n=--1d a a n n =--111、211-++=n n na a a 、d S S n n =--1时，应能从中得到相应的等差数列。

的等差数列。

等差数列的判定方法1. 定义法：若d aa n n=--1或da an n =-+1(常数*ÎN n )Û {}n a 是等差数列．是等差数列．2.2.等差中项：数列等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-³+=Û+n a a a n n n 212+++=Ûn n n a a a ． 3.3.数列数列{}n a 是等差数列Ûbkn a n+=（其中b k ,是常数）。

是常数）。

4.4.数列数列{}n a 是等差数列Û2n S An Bn =+,（其中（其中A A 、B 是常数）。

是常数）。

等差数列的证明方法定义法：若d aa n n=--1或d a ann =-+1(常数*ÎN n )Û {}n a 是等差数列．例1．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是（是（）A.等比数列，但不是等差数列等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列既非等比数列又非等差数列答案：B ；解法一：a n =îíì³-==Þîíì³-=-)2( 12)1( 1)2( )1( 11n n n a n S S n S n n n ∴a n =2n －1（n ∈N ）又a n +1－a n =2为常数，12121-+=+n n a a n n ≠常数≠常数 ∴{a n }是等差数列，但不是等比数列. 2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-Î ，，首项首项首项::1a ，公差，公差:d :d :d，末项，末项，末项::n a＝1，＝1得＝2，＝1＋×2，项起开始为正数，则公差的取值范围是______ ______ ______ ；；11<11<＝19(a 119)＝＝120＝ac（C ）8 8 （（D ）10 【答案】A 【解析】由角标性质得1952a a a +=，所以5a =5.=5.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝3π2，则sin(2a 4－π3)＝( ) A.32 B.12 C ．－32 D ．－12 答案 D 解析 ∵a 2＋a 6＝3π2，∴2a 4＝3π2，∴sin(2a 4－π3)＝sin(3π2－π3)＝－cos π3＝－12，选D. 1. (2009北京东城高三第一学期期末检测，理9）已知{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9＝π,则cos(a 2+a 8)的值为________________.答案：21-2。

(完整版)等差数列知识点总结

(完整版)等差数列知识点总结1. 等差数列的定义等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项之差都相等的数列。

2. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则第 n 项的通项公式为 an = a1 + (n - 1) * d。

3. 等差数列的前 n 项和公式设等差数列的首项为 a1，末项为 an，项数为 n，公差为 d，则前 n 项的和公式为 Sn = n * (a1 + an) / 2。

4. 判断数列是否为等差数列- 检查数列中连续两项的差是否相等，即是否满足等差数列的定义。

- 可以通过计算数列的前 n 项和是否满足 Sn = n * (a1 + an) / 2 来判断。

5. 求等差数列的公差设等差数列的首项为 a1，第二项为 a2，则公差可以通过计算差值 d = a2 - a1 获得。

6. 求等差数列的项数设等差数列的首项为 a1，末项为 an，公差为 d，则项数可以通过以下公式计算：n = (an - a1 + d) / d。

7. 求等差数列的首项设等差数列的第一项为 a1，公差为 d，已知项数为 n，末项为an，则首项可以通过以下公式计算：a1 = an - (n - 1) * d。

8. 求等差数列的末项设等差数列的首项为 a1，公差为 d，已知项数为 n，末项可以通过以下公式计算：an = a1 + (n - 1) * d。

9. 等差数列的性质- 等差数列的任意三项成等差数列。

- 等差数列中的取任意几项可以组成一个等差数列。

- 等差数列的平均数等于首项与末项的平均数。

10. 应用场景等差数列的应用非常广泛，常见的应用场景包括：- 数学题中的数列问题，如求和、推导等。

- 统计学中的数据分析，如平均数、标准差等。

- 金融学中的投资计算，如等额本息还款、定期存款等。

- 工程学中的时间序列分析，如温度变化、电压波动等。

以上是等差数列的一些重要知识点总结，希望能对你有所帮助！。

等差数列知识点复习总结含习题.doc

AP等差数列1:(概念\通项公式)定义\等差中项\等差数列的通项公式\・等差数列的通项公式:a n =血+ (?1 - l)d 等差数列通项公式的推导：①归纳法(由特殊到一般的思想)l)d②逐差法③累加法④迭代法等差数列通项公式的变形：对任意正整数m, 71 6叭有％ = a m + (ji- m)d,即d = Cln~am等差数列的性质(重点)：设｛aj是公爭为d的等莽数列■那么(1)在等差数列｛。

訂中,若m + n = p + q(m, n, p f q E AT),则Q/n + a?i = Qp +注：①若m + n = 2k(m,n, k G N*),贝hm + 知=a2fc-②若｛aj是有穷等差数列，则与首尾两项等距离的两项之和都相等，且等于首位两项之和，即a± + a n = a2 + a n_± =・••・(2)数列仇窃+ b｝(入b为非零常数)是公差为久d的等差数列.(3)若数列｛b n｝也是等差数歹山则数^J｛a n ±b n], ｛ka n + mb^Cm, k ER)是等差数列.(4)等差数列的单调性：(三种情况)1 •等差数列的判定:方法：(1)定义法；(2)等差中项法；(3)通项公式法.(不再举例)还是举一个例子吧：例15:已知各项均为正数的两个数列｛%｝和｛%｝满足:尙+]=半坐皿G J醯+处N* •设也 =l+^,ne AT,求证:数列｛住)｝是等差数列.2.灵活设项求解等差数列问题：方法：⑴ 若所给等差数列为2n(n G N J项,则这个数列可设为:a-(2n- l)d, ...,a — 3d, a + d,a + 3d, ...,a + (2n — l)d,此数列公差为2d.(2)若所给等差数列的项数为加+ l(n 6 NJ项，则这个等差数列可设为：a —nd, a — (n —l)d,…，a — d, a, a + d, ...,a + (n —l)d,a + nd,此数列的公差为d.例：成等差数列的四个书之和为26,第二个数与第三个数之枳为40,求这四个数.分析：总共四个数，即2/1(兀G NJ个,用对称设法:解：设这四个数为a —3d, a— d, a + d, a + 3d,出斬音可一加)+一 ")+ ⑺ + ")+(Q + 加)=26 ( 4a = 26‘ 2[ («— d)(a + d) = 40 ' la2— d2 = 40.13 ( 13(a = —I a =—d ：或仃 % 故这四个数为2,5,8,11或门，8,5,2.(今后也许会遇到这种设法了解一下即可)变式：一直四个数依次成等差数列，且这四个数的平方和为94,首尾两数之枳比中间两素数之积少18,求这四个数.（等差数列的性质应用）例：在数列｛a訂中，也=1且对任意大于1的正整数弘点（何LJan+1）在直线兀_ y —靖=0上，则.例16:若｛aJ是等羌数列,如，Qio,是方程%2 - 3% - 5 = 0的两根，则% + 口6 + 口7 + 口8 = ____________例17喏数列｛aj为等差数列，且如+a7 + a13 =兀则tan（a2 + a12） = _____________例18:在AABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边，如果a,b,c成等差数列,B =30°,AABC的面积为1.5,那么b= _____________ ・例19:己知AABC的一个内角为120。

完整版等差数列知识点总结

完整版等差数列知识点总结等差数列是数学中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。

本文将对等差数列的定义、通项公式、前n项和等差数列的性质等知识点进行全面总结。

一、等差数列的定义等差数列是指一个数列中相邻两项之差都相等的数列。

数列中的每一项我们称之为等差数列的项，其中第一项通常用a1表示，等差用d表示。

例如，数列2，5，8，11，14就是一个等差数列，其中a1=2，d=3。

二、等差数列的通项公式等差数列通项公式是指根据等差数列的首项和公差，求出任意一项的求值公式。

通项公式的推导有多种方法，这里我们介绍其中一种常用的方法。

设等差数列的首项是a1，公差是d，第n项是an，则通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d根据这个公式，我们可以轻松地求得等差数列中任意一项的值。

三、等差数列前n项和公式在等差数列中，求前n项和也是一个常见的问题。

我们可以通过求和公式来解决这个问题。

设等差数列的首项是a1，公差是d，第n项是an，前n项和用Sn表示，则前n项和公式可以表示为：Sn = (n/2)(a1 + an)利用前n项和公式，我们可以方便地求得等差数列的前n项和。

四、等差数列的性质等差数列具有一些特点和性质，我们在解题过程中可以利用它们来简化计算。

1. 通项差是公差的倍数：an - an-1 = d这个性质意味着等差数列中，相邻两项之差都是公差的倍数。

2. 对称性：an = a1 + (n-1)d，an+k = a1 + (n+k-1)d根据等差数列的通项公式，我们可以发现等差数列具有对称性。

一个等差数列中的第k项和倒数第k项之和等于第一项与最后一项之和。

3. 求和公式与项数有关：Sn = (n/2)(a1 + an)求和公式中的项数n对和值Sn有影响，这个公式可以帮助我们快速计算一个等差数列的前n项和。

五、等差数列的应用领域等差数列在数学中有广泛的应用，它们不仅仅出现在数学题目中，还出现在其他许多领域。

等差数列知识点总结含习题

AP等差数列1:(概念\通项公式)定义\等差中项\等差数列的通项公式\.等差数列的通项公式:a n=a1+(n−1)d等差数列通项公式的推导:○1归纳法(由特殊到一般的思想)○2逐差法○3累加法○4迭代法等差数列通项公式的变形:.对任意正整数m,n∈N∗,有a n=a m+(n−m)d,即d=a n−a mn−m等差数列的性质(重点):设{a n}是公差为d的等差数列,那么(1)在等差数列{a n}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N∗),则a m+a n=a p+a q.注:○1若m+n=2k(m,n,k∈N∗),则a m+a n=a2k.○2若{a n}是有穷等差数列,则与首尾两项等距离的两项之和都相等,且等于首位两项之和,即a1+a n=a2+a n−1=⋯.(2)数列{λa n+b}(λ,b为非零常数)是公差为λd的等差数列.(3)若数列{b n}也是等差数列,则数列{a n±b n},{ka n+mb n}(m,k∈R)是等差数列.(4)等差数列的单调性:(三种情况)1.等差数列的判定:方法:(1)定义法;(2)等差中项法;(3)通项公式法.(不再举例)还是举一个例子吧:例15:已知各项均为正数的两个数列{a n }和{b n }满足:a n+1=n n√a n +b nn ∈N ∗.设b n+1=1+b na n,n ∈N ∗,求证:数列{(b n a n)2}是等差数列.2.灵活设项求解等差数列问题:方法:(1)若所给等差数列为2n (n ∈N ∗)项,则这个数列可设为:a −(2n −1)d,…,a −3d,a +d,a +3d,…,a +(2n −1)d ,此数列公差为2d.(2)若所给等差数列的项数为2n +1(n ∈N ∗)项,则这个等差数列可设为:a −nd,a −(n −1)d,…,a −d,a,a +d,…,a +(n −1)d,a +nd,此数列的公差为d .例:成等差数列的四个书之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数.分析:总共四个数,即2n(n ∈N ∗)个,用对称设法:解:设这四个数为a −3d,a −d,a +d,a +3d,由题意可知{(a −3d )+(a −d )+(a +d )+(a +3d )=26(a −d )(a +d )=40 ,即{4a =26a 2−d 2=40.解的{a =132d =32 或 {a =132d =−32. 故这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.(今后也许会遇到这种设法了解一下即可)变式:一直四个数依次成等差数列,且这四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两素数之积少18,求这四个数.(等差数列的性质应用)例:在数列{a n}中,a1=1且对任意大于1的正整数n,点(√a n,√a n+1)在直线x−y−√3=0上,则a n= .例16:若{a n}是等差数列,a3,a10,是方程x2−3x−5=0的两根 ,则a5+a6+a7+a8= .例17:若数列{a n}为等差数列,且a1+a7+a13=π,则tan(a2+a12)= .例18:在∆ABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边,如果a,b,c成等差数列,B= 30°,∆ABC的面积为1.5,那么b= .例19:已知∆ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则∆ABC的面积为.(需要使用余弦定理)例20:若{a n}是等差数列,且a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则a3+a6+a9= .例21:若等差数列{a n},a3+a4+a5=12,那么a1+a2+⋯+a7= .例22:在数列{a n}中,若a3+a5+a7+a9+a11=100,则3a9−a13= .a8= .例23:在数列{a n}中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,则a7−12例24:已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32 ,若a m=8,则m为.例25:若{a n}为等差数列,且a1+a5+a8=π,则cos(a2+a8)的值为.例26:已知在等差数列{a n }中,a 3+a 4=1,则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6= .例27:已知数列{a n }中,a 1=0,a 2=2,且a n+1+a n−1=2(a n +1)(n ≥2) (1)求证:数列{a n+1−a n }是等差数列. (2)求{a n }的通项公式.等差数列2:(等差数列的前n 项和)a n 与S n 的关系:若数列的前n 项和为S n ,则通项公式a n ={S 1 (n =1),S n −S n−1 (n ≥2).已知S n 求a n ,不能直接用a n =S n −S n−1,必须有n ≥2,因为S 0是没有意义的. a 1应单独解出,在验证是否符合a n =S n −S n−1(n ≥2).若符合,写成统一的式子;若不符合,则用分段函数的形式给出.等差数列前n 项和公式:S n =n(a 1+a n )2或S n =na 1+n(n−1)2d .(知道)等差数列前n 项和的公式的推导(仅有一个倒叙相加法):1.等差数列前n项和的性质:(重点)设S n是等差数列{a n}的前n项和,d是{a n}的公差,那么:(1)S k,S2k−S k,S3k−S2k,…(k∈N∗)构成公差为k2d的等差数列.(2)设等差数列{a n}的项数为2n,(n∈N∗),则有:○1S2n=n(a n+a n+1)○2S偶−S奇=nd,S偶S奇=a n+1a n,(S偶,S奇分别为数列{a n}的所有奇数项的和,偶数项和.)○3设等差数列{a n}的项数为2n−1(n∈N∗),则S2n−1=(2n−1)a n(a n是数的列中间项),S奇−S偶=a n,S奇S偶=nn+1.(3)数列{S nn}是等差数列,首项为a1,公差为d2.(4)在等差数列{a n}中,若a1>0,d<0,则S n存在最大值;若a1<0,d>0,则S n 存在最小值.(注:若等差数列{a n}中,若a1>0,d<0,且a k>0,a k+1<0,则S k为最大值;若a k>0,a k+1=0,则S k=S k+1且S k与S k+1均为最大值.若等差数列{a n}中,a1>0,d> 0,情况与此相似.)(5)在等差数列{a n}中,○1若a n=m,a m=n(m≠n),则a m+n=0;○2若S n=m,S m=n(m≠n),则S m+n=−(m+n).○3若S n=S m(m≠n),则S m+n=0.2.等差数列前n项和比值的问题:(难点\重点):(1)设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d1,等差数列{b n}的公差为b1,公差为d2,它们的前n项和分别为S n,T n,则它们的前n项和的比S n Tn有下列性质:○1等差数列{a n}的前n项和S n与等差数列{b n}的前n项和T n的比S nT n是关于n的一次函数,即S nT n =an+bcn+d.○2若等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n,T n,则a mb m=S2m−1T2m−1.a mb n=2n−12m−1∙S2m−1T2n−1(证明:a mb n =2a m2b n(分子分母同乘2)=a1+a2m−1b1+b2n−1(化为a1+a n的模式)=a1+a2m−12b1+b2n−12(分子分母同乘12)=(2m−1)∙a1+a2m−12(2n−1)∙b1+b2n−12×2n−12m−1(这步,分子分母同乘a n,只不过此时的n为(2m−1)⋅(2n−1) )特别地:当n=m时:a mb m=S2m−1T2m−1) (详细的不能再详细了(*^_^*))(上面的公式需要记忆,证明过程看懂就行)(2)设等差数列{a n}的前n项和为S n,则S m,S n与a m,a n有如下性质:○1S2k−1S2l−1=(2k−1)a k(2l−1)a l○2S mS n=am2+bman2+bn.3.等差数列的前n项和公式与函数的关系:等差数列前n项和公式: S n=na1+n(n−1)2d可以写成S n=d2n2+(a1−d2)n.若令d2=A,a1−d2=B,则上式可以写成S n=An2+Bn,即S n是关于n的函数.则有以下总结:(1)一个数列{a n}是等差数列的前提条件是其前n项和的公式S n=f(n)是关于n的二次函数或一次函数或常函数,且其常数项为0,即S n=An2+Bn(A,B为常数).(2)若一个数列的前n 的项和的表达式为S n =An 2+Bn +C(A,B,C 为常数),则当C ≠0时,函数{a n }不是等差数列,但从第2项起是等差数列.例28:已知数列{a n }的前n 项和为S n =n 2,则a 8的值为 .例29:已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2+a 9=10,则S 10= .例30:等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,且S n T n=7n+45n−3,则是得an b n为正整数n 的和数是 .例31:已知S n 表示数列{a n }的前n 项和,且S 5S 10=13,那么S5S 20= .例32:等差数列{a n },{b n }的前n 项和之比为(5n+13)(4n+5),求a10b10的值.有关数列的基本量计算题目不举例了.例33:(1)等差数列{a n }中,a 2+a 7+a 14=24,求S 13.(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为377,项数n 为奇数,且前n 项和中奇数项和与偶数项和之比为7:6,求中间项.例34:已知等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n,和T n,若S nT n =2n3n+1,求a8b8.例35:若数列{a n}的通项公式为a n=1n(n+1),求其前n项和.1.裂项(拆项)相消法求和:方法:把数列的通项拆成两项之差,数列的每一项按如此拆法拆成两项之差,在求和时一些项正负抵消,于是前n项和变成首尾如若干项之和.此法对通项公式如1(an+b)(cn+d)的数列尤为适用.例36:若数列{a n}的通项公式为a n=1(3n−2)(3n−1),求其前n项和S n.例37:已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n+2S n S n−1=0(n≥2),a1=12.(1)求证:{1S n}是等差数列;(2)求a n的表达式;(3)若b n=2(1−n)a n(n≥2),求b2b3+b3b4+⋯+b n b n+1.2.等差数列前n项和最值的求法:方法:(1)设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d.○1当a1>0,d<0时,{a n}只有前面有限的几项为非负数,从某项开始其余所有项均为负数,所以由{a m≥0a m+1<0可得S n的最大值为S m.○2当a1<0,d>0时,{a n}只有前面有限的几项为负数,从某项开始其余所有项均为非负数,所以由{a m<0a m+1≥0可得S n的最小值为S m.(2)二次函数法(具体不再详细说了,没什么内容,看例题)例38:设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1=−11,a4+a6=−6,则当S n 取最小值时,n等于 .例39:在等差数列{a n}中,a1=25,S17=S9,求其前n项和S n的最大值.例40:设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m−1=−2,S m=0,S m+1=3,则m= .例41:等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1+a2=5,a3+a4=9,则S10的值为 .例42:已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S n=S n−1+n+2(n∈N∗,n≥2),则S5的值为 .例43: 已知等差数列{a n}满足:a3=7,a5+a7=26,{a n}的前n项和为S n.(1)求{a n}及S n;(n∈N∗),求数列b n的前n项和T n.(2)令b n=1a n2−1例44:已知数列{a n},{b n}满足a1=2,2a n=1+a n a n+1,b n=a n−1,设数列{b n}的前n项和为S n,令T n=S2n−S n.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)求证:T n+1>T n(n∈N∗).例45:已知等差数列{a n}的前n项和为S n满足S3=0,S5=−5.(1)求{a n}的通项公式;}的前n项和.(2)求数列{1a2n−1a2n+1= .例46:已知等差数列{a n}的前n项和为S n,S100=100S10,则a100a10例47:已知数列{a n}的前n项和为S n=n2−n+1,则数列{a n}的通项公式为 .例48:求下面各数列的前n项和S n:(1)11×3,13×5,15×7,17×9…;(2)11×2×3,12×3×4,13×4×5,14×5×6….例49:一个等差数列共10项,其中奇数项的和为1212,偶数项的和为15,则公差是 .例50:已知等差数列{a n},首项a1>0,a2005+a2006>0,a2005⋅a2006<0,则使前n项和S n>0成立的最大自然数n是 .例51:在等差数列{a n}中,其前n项和为100,其后的2n项和为500,则紧随其后的3n项和为 .例52:已知等差数列{a n}的公差d<0,若a3a7=9,a1+a9=10,则该数列的前n项和S n的最大值为 .例53:设数列{a n}(n∈N)满足a0=0,a1=2,且对一切n∈N,有a n+2=2a n+1−a n+2.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设T n=13a1+14a2+15a3+⋯+1(n+2)a n,求T n的取值范围.。

等差数列知识点及类型题详解(含精细化答案)

数列——等差数列【考纲解读】◆ 理解等差数列的概念。

◆ 掌握等差数列的通项公式n a 及前n 项和公式。

◆ 能根据具体条件识别等差数列，并灵活运用等差数列的性质解决问题。

◆ 了解等差数列通项公式与一次函数、等差数列前n 项和与二次函数的关系。

【知识储备】知识点1、等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

知识点2、等差数列的通项公式如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则有d a a n n =-+1（d 是常数）或n n n n a a a a -=-+++112，叠加得到等差数列的通项为：d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数。

例1：已知{}n a 是一个等差数列，请在下表中填入适当的数或式子。

知识点3、等差中项A ，b 成等差如果a ，数列，那么A 叫做a 与b即：2b a A +=的等差中项b a A +=2或例2：已知{}n a 是等差数列。

（1）有3122a a a +=，那么7352a a a +=是否成立？ 9152a a a +=呢？为什么？（2）)1(211n >+=+-n a a a n n 是否成立？（3）)0(2k k n >>+=+-k n a a a n n 是否成立？据此你能得出什么结论？知识点4、等差数列的前n 项和2)(1n n a a n S +=将d n a a n )1(1-+=带入可得 d n n na S n 2)1(1-+=该公式整理后是关于n 的二次函数。

例3：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的前n 项和n S 。

（1）；，，8n 18481=-=-=a a （2）7.0185.141=-==d a a n ，，。

知识点5、等差数列的判定方法❖ 定义法：若d a a n n =-+1（d 是常数）或n n n n a a a a -=-+++112，则数列{}n a 是等差数列。

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