高一三角函数题型总结
含绝对值的三角函数题型归纳
含绝对值的三角函数题型归纳1.sin .y x =的图象2.cos cos y x y x ==与的图象.3.tan y x =的图象.4.sin y x y x ==与的图象.5.tan y x y x ==与的图象.题型一：含绝对值的三角函数判断与应用1．关于三角函数的图像，有下列说法：①sin ||y x =与sin y x =的图像相同；②cos()y x =-与cos ||y x =的图像相同；③|sin |y x =与sin()y x =-图像关于x 轴对称；④cos y x =与cos()y x =-图像关于y 轴对称.其中正确的是__________.（写出所有正确说法的序号）【答案】②④【解析】对于②，()cos cos ,cos ||cos y x x y x x =-===，故其图像相同；对于④，()coscos y x x =-=，故其图像关于y 轴对称；由函数图像可知①③均不正确.故正确的说法是②④.故填②④2.图中的曲线对应的函数解析式是（）A．|sin |y x =B．sin ||y x =C．sin ||y x =-D．|sin |y x =-【答案】C【解析】当x>0,所以y=-sinx,又因为此函数为偶函数，所以y=－sin|x|.3（多选）.给出下列四个命题，其中正确的命题有（）A.函数tan y x =的图象关于点(),02k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭对称B.函数sin y x =是最小正周期为π的周期函数C.θ为第二象限的角，且cos tan θθ>，则sin cos θθ>.D.函数2cos sin y x x =+的最小值为1-答案AD 解：对于A：函数tan y x =的图象关于点(),02k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭对称，故A 正确；对于B：函数sin y x ==sin ,0sin ,0x x x x ≥⎧⎨-<⎩，图象关于y 轴对称，不是周期函数，故B 错误；对于C：由为第二象限的角,得tan sin θθ>,由cos tan θθ>,得sin cos θθ<,故C 错误;对于D：函数22215cos sin sin sin 1sin ,24y x x x x x ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭当sin 1x =-时，函数的最小值为-1，故D 正确．故选：AD．3．函数sin sin y x x =-的值域是（）A.0B.[]1,1- C.[]0,1D.[]2,0-【答案】D【解析】：00y sinx sinx 20sinx sinx sinx >⎧=-=⎨<⎩，，，由此值域为[]y 2,0∈-4．在()0,2π内使sin cos x x >成立的x 的取值范围是（）A.3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭B.53,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭D.57,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A，【解析】∵sin cos x x >，∴sin 0x >，∴()0,x π∈.在同一坐标系中画出sin y x =，()0,x π∈与cos y x =，()0,x π∈的图像，如图.观察图像易得使sin cos x x >成立的3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选A.5.已知函数()sin cos f x x x =，则（D ）A.()f x 的值域为[]1,1- B.()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上单调C.π为()f x 的周期D.,02π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的对称中心6.（多选）.已知函数()[]sin cos f x x x =（[]x 表示不超过实数x 的最大正数部分），则（AB）A.()f x 的最小正周期为2πB.()f x 是偶函数C.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D.()f x 的值域为[]sin1,sin1-.题型二：方程零点与函数交点问题1．（2022·全国课时练）方程cos x x =在(),-∞+∞内（）A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根【答案】C【解析】在同一坐标系中作出函数y x =及函数cos y x =的图象，如图所示．发现有2个交点，所以方程cos x x =有2个根．2．方程3sin ([2,2])xx x ππ=∈-的实数解有_______________个.【答案】2.【解析】在区间[]2π,2π-上，分别画出3x y =和sin y x =的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像在区间[]2π,2π-上有两个交点，也即3sin ([2,2])x x x ππ=∈-的实数解有2个.故填：2.3．函数()lg cos f x x x =-在(),-∞+∞内的零点个数为__________．【答案】6.【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数lg y x =和cos y x =的图像如图，结合图像的对称性可以看出两函数lg y x =和cos y x =的图像应有六个交点，即函数()lg cos f x x x =-在(),-∞+∞内有六个零点，应填答案6。
三角函数十大题型
三角函数十大题型三角函数是数学中的重要概念，与几何图形和三角形的关系密切相关。
在学习三角函数时，有一些常见的题型是必须要熟练掌握的。
下面将介绍三角函数的十大题型以及解题方法。
1. 求角度的正弦、余弦、正切值对于给定的三角函数值，如正弦值sinα=1/2，我们需要求出对应的角度α。
对于求解这类问题，我们可以通过查表法或使用计算器进行近似计算。
2. 求角度的值域与周期对于三角函数中的角度，不同的函数具有不同的值域和周期。
例如，正弦函数的值域是[-1, 1]，周期是2π。
需要掌握各个三角函数的值域和周期，以便在解题过程中进行合理的计算和判断。
3. 角度的性质和恒等变换三角函数中的角度具有一些特殊的性质和恒等变换，如正弦函数的奇偶性、余弦函数的周期性等。
掌握这些性质和变换可以简化问题的求解过程。
4. 通过图像求解问题三角函数的图像可以帮助我们理解和解决问题。
例如，通过观察正弦函数的图像，我们可以确定其最大值、最小值、零点等信息，从而解决与角度相关的问题。
5. 解三角函数方程三角函数方程是指包含三角函数的方程，需要求解其中的未知量。
解三角函数方程时，我们可以通过恒等变换、化简和换元等方法，将其转化为简化的方程组或方程，从而求解出未知量的值。
6.求三角函数的导数求三角函数的导数是解决曲线变化问题的基础。
通过计算三角函数的导数，我们可以求解与速度、加速度等相关的问题。
7. 三角函数的图像变换通过对三角函数进行平移、伸缩和翻转等图像变换，可以得到新的三角函数图像。
掌握这些图像变换可以帮助我们更好地理解和运用三角函数。
8. 三角函数的复合运算在三角函数的求解过程中，经常会遇到要求解三角函数的复合运算，如sin(2x)、cos(2x)等。
掌握三角函数的复合运算可以帮助我们简化问题，并得到更简洁的解答。
9. 三角函数与三角恒等式的运用三角函数与三角恒等式是数学中的重要工具，可以帮助我们简化问题，并得到更方便的解答。
掌握三角函数与三角恒等式的运用可以提高解题的效率和准确性。
高中三角函数常见题型与解法
三角函数的题型和方法一、思想方法1、三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。
（3）降次与升次。
即倍角公式降次与半角公式升次。
（4）化弦（切）法。
将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。
（5）引入辅助角。
asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。
（6）万能代换法。
巧用万能公式可将三角函数化成tan 2θ的有理式。
2、证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
4、解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
二、注意事项对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。
2、三角变换的一般思维与常用方法。
注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如ααββαββαα22122)()(⨯=⨯=+-=-+=．也要注意题目中所给的各角之间的关系。
全国通用2023高中数学必修一第五章三角函数题型总结及解题方法
全国通用2023高中数学必修一第五章三角函数题型总结及解题方法单选题1、已知函数f (x )=sin (2x +π3)，为了得到函数g (x )=cos (2x +π3)的图象只需将y =f (x )的图象（ ） A ．向左平移π4个单位B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π2个单位D ．向右平移π2个单位 答案：A分析：利用三角函数的平移结合诱导公式即可求解. 解：因为sin (2x +π3+π2)=cos (2x +π3) 所以sin(2x +π3)→sin(2x +π2+π3)，只需将f (x )的图象向左平移π4个单位， 故选：A.2、已知α，β为锐角，sinα=45，cos(α+β)=−√22，则cosβ=（ ）A ．3√210B ．√210C ．7√210D ．9√210答案：B分析：利用同角三角函数基本关系式，求出cosα,sin(α+β)，再利用角变换β=α+β−α，利用两角差的余弦公式求得答案．由α是锐角，sinα=45，则cosα=√1−sin 2α=35，又α，β是锐角，得α+β∈(0,π)， 又cos (α+β)=−√22，则sin(α+β)=√22， 则cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα =−√22×35+√22×45=−3√2+4√210= √210.故选：B ．3、中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇而的面积为（ ）A ．704cm 2B ．352cm 2C ．1408cm 2D ．320cm 2 答案：A解析：设∠AOB =θ，OA =OB =r ，由题意可得：{24=rθ64=(r +16)θ ，解得r ，进而根据扇形的面积公式即可求解．如图，设∠AOB =θ，OA =OB =r ， 由弧长公式可得：{24=rθ64=(r +16)θ ， 解得：r =485，所以，S 扇面=S 扇形OCD −S 扇形OAB =12×64×(485+16)−12×24×485=704cm 2．故选：A ．4、已知sin (π+α)=35，则sin(−α)cos(π−α)sin(π2−α)=（ ）A ．−45B ．45C ．−35D ．35答案：C解析：由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果. ∵sin(π+α)=35=−sinα，∴sinα=−35，则sin(−α)cos(π−α)sin(π2−α)=−sinα⋅(−cosα)cosα=sinα=−35，故选：C5、已知tanθ=2，则sin(π2+θ)−cos(π−θ)cosθ−sin(π−θ)=（ ）A ．2B ．-2C ．0D ．23答案：B分析：根据tanθ=2，利用诱导公式和商数关系求解. 因为tanθ=2， 所以sin(π2+θ)−cos(π−θ)cosθ−sin(π−θ)，=2cosθcosθ−sinθ， =21−tanθ=−2，故选：B6、若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r 为（ ） A ．5−1sin1B ．1sin1+32C ．5sin11+sin1D ．5+51+sin1答案：C分析：先根据扇形周长求解出面积取最大值时扇形的圆心角和半径，然后根据图形中的内切关系得到关于内切圆半径r 的等式，由此求解出r 的值.设扇形的半径为R ，圆心角为α，面积为S ，因为2R +αR =20， 所以S =12αR 2=(10−R )R ≤(10−R+R 2)2=25，取等号时10−R =R ，即R =5，所以面积取最大值时R =5,α=2， 如下图所示：设内切圆圆心为O ，扇形过点O 的半径为AP ，B 为圆与半径的切点， 因为AO +OP =R =5，所以r +r sin∠BPO=5，所以r +r sin1=5，所以r =5sin11+sin1， 故选：C.7、若f (x )=cos (x −π3)在区间[−a,a ]上单调递增，则实数a 的最大值为（ ）A ．π3B ．π2C ．2π3D ．π 答案：A分析：先求出函数的增区间，进而建立不等式组解得答案即可.易知将函数y =cosx 的图象向右平移π3得到函数f (x )=cos (x −π3)的图象，则函数f (x )=cos (x −π3)的增区间为[−23π+2kπ,π3+2kπ](k ∈Z )，而函数又在[−a,a ]上单调递增，所以{−a ≥−23πa ≤π3 ⇒a ≤π3，于是0<a ≤π3，即a的最大值为π3.故选：A.8、若tanθ=2，则sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ=（ ）A ．25B ．−25C ．65D ．−65 答案：A分析：由二倍角正弦公式和同角关系将sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ转化为含tanθ的表达式，由此可得其值. sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ=sinθ(sin 2θ+cos 2θ−sin2θ)sinθ−cosθ=sinθ(sinθ−cosθ)2sinθ−cosθ=sin 2θ−sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ−tanθtan 2θ+1=25．故选：A.9、小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”．小刘是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的水滴（如图），由线段AB ，AC 和优弧BC 围成，其中BC 连线竖直，AB ，AC 与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为74，则cos∠BAC =（ ）．A ．1725B ．4√37C ．45D ．57答案：A分析：设优弧BC 的圆心为O ，半径为R ，连接OA ，OB ，OC ，如图，进而可得“水滴”的水平宽度为|OA |+R，竖直高度为2R ，根据题意求得OA =52R ，由切线的性质和正弦函数的定义可得sin∠BAO =25，结合圆的对称性和二倍角的余弦公式即可得出结果.设优弧BC 的圆心为O ，半径为R ，连接OA ，OB ，OC ，如下图所示易知“水滴”的水平宽度为|OA |+R ，竖直高度为2R ，则由题意知OA+R 2R=74，解得OA =52R ，AB 与圆弧相切于点B ，则OB ⊥AB ，∴在Rt △ABO 中，sin∠BAO =OB OA=R 52R=25，由对称性可知，∠BAO =∠CAO ，则∠BAC =2∠BAO ，∴cos∠BAC =1−2sin 2∠BAO =1−2×(25)2=1725， 故选：A ．10、若角α的终边上一点的坐标为(1，−1)，则cosα=( ) A ．−1B ．−√22C ．√22D ．1 答案：C分析：根据任意角三角函数的定义即可求解.∵角α的终边上一点的坐标为(1，−1)，它与原点的距离r =√12+(−1)2=√2， ∴cosα=xr =√2=√22， 故选：C. 填空题11、已知cos (π6+α)=√33，则cos (5π6−α)=________.答案：−√33分析：本题可根据诱导公式得出结果.cos (5π6−α)=cos [π−(π6+α)]=−cos (π6+α)=−√33， 所以答案是：−√3312、若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________． 答案：π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）分析：根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得f(x)=√cos 2φ+(sinφ+1)2sin(x +θ)，可得√cos 2φ+(sinφ+1)2=2，即可解出.因为f(x)=cosφsinx +(sinφ+1)cosx =√cos 2φ+(sinφ+1)2sin(x +θ)， 所以√cos 2φ+(sinφ+1)2=2，解得sinφ=1，故可取φ=π2.所以答案是：π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）.小提示：本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.13、函数f(x)=sinx的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)的图象，则下列函数g(x)的结论：①一条对称轴方程为x=7π6；②点(5π6,0)是对称中心；③在区间(0,π3)上为单调增函数；④函数g(x)在区间[π2,π]上的最小值为−12.其中所有正确的结论为______.（写出正确结论的序号）答案：②③④解析：先求得g(x)，然后利用代入法判断①②，根据单调区间和最值的求法判断③④.函数f(x)=sinx的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)=sin(x+π6)，g(7π6)=sin(7π6+π6)=sin4π3=sin(π+π3)=−sinπ3=−√32≠±1，所以①错误.g(5π6)=sin(5π6+π6)=sinπ=0，所以②正确.由2kπ−π2≤x+π6≤2kπ+π2，解得2kπ−2π3≤x≤2kπ+π3，k∈Z.令k=0得−2π3≤x≤π3，所以g(x)在区间(0,π3)上为单调增函数，即③正确.由π2≤x≤π得2π3≤x+π6≤7π6，所以当x=π,x+π6=7π6时，g(x)有最小值为sin7π6=sin(π+π6)=−sinπ6=−12，所以④正确.所以答案是：②③④小提示：解决有关三角函数对称轴、对称中心的问题，可以考虑代入验证法.考查三角函数单调区间的问题，可以考虑整体代入法.解答题14、已知函数f(x)=2cos2ωx−1+2√3sinωxcosωx(0<ω<1)，直线x=π3是函数f(x)的图象的一条对称轴. （1）求函数f(x)的单调递增区间;（2）已知函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g(2α+π3)=65,α∈(0,π2),求sinα的值.答案：（1）[−2π3+2kπ,π3+2kπ],k∈Z；（2）4√3−310解析：（1）首先化简函数f(x)=2sin(2ωx+π6)，再根据x=π3是函数的一条对称轴，代入求ω，再求函数的单调递增区间；（2）先根据函数图象变换得到g(x)=2cos12x，并代入g(2α+π3)=65后，得cos(α+π6)=35，再利用角的变换求sinα的值.（1）f(x)=cos2ωx+√3sin2ωx=2sin(2ωx+π6)，当x =π3时，ω×2π3+π6=π2+kπ,k ∈Z ，得ω=12+3k 2,k ∈Z ，∵0<ω<1，∴ω=12，即f (x )=2sin (x +π6)，令−π2+2kπ≤x +π6≤π2+2kπ， 解得：−2π3+2kπ≤x ≤π3+2kπ，k ∈Z ，函数的单调递增区间是[−2π3+2kπ,π3+2kπ],k ∈Z ；（2）g (x )=2sin [12(x +2π3)+π6]=2cos 12x ， g (2α+π3)=2cos (α+π6)=65，得cos (α+π6)=35， ∵α∈(0,π2)，α+π6∈(π6,2π3)，sin (α+π6)=√1−cos 2(α+π6)=45， sinα=sin [(α+π6)−π6]=sin (α+π6)cos π6−cos (α+π6)sin π6=45×√32−35×12=4√3−310小提示：方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及y =Asin (ωx +φ)的性质，属于中档题型，y =Asin (x +φ)的横坐标伸长（或缩短）到原来的1ω倍，得到函数的解析式是y =Asin (ωx +φ)，若y =Asinωx 向右（或左）平移φ（φ>0）个单位，得到函数的解析式是y =Asin [ω(x −φ)]或y =Asin [ω(x +φ)].15、已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过函数f (x )=−3−a x−3（a >0且a ≠1）的定点M .(1)求sinα−2cosα的值；(2)求sin (π+α)+cos(π2+α)cos (2π+α)+sin (−α)−tan (5π+α)的值. 答案：(1)−2 (2)5221分析：（1）易知函数f (x )=−3−a x−3的定点M 的坐标为(3,−4)，利用三角函数的定义则可求出sinα=−45，cosα=35则可求出答案；（2）利用诱导公式化简，再将sinα=−45，cosα=35，tanα=−43代入，即可得出答案. （1）∵函数f (x )=−3−a x−3（a >0且a ≠1）的定点M 的坐标为(3,−4)， ∴角α的终边经过点M (3,−4)，∴OM =√32+(−4)2=5（O 为坐标原点）， 根据三角函数的定义可知sinα=−45，cosα=35，∴sinα−2cosα=−45−2×35=−2. （2）sin (π+α)+cos(π2+α)cos (2π+α)+sin (−α)−tan (5π+α)=−sinα−sinαcosα−sinα−tanα=−2sinαcosα−sinα−(−43) =−2×(−45)35−(−45)+43=87+43=5221.。
三角函数知识点及题型归纳
三角函数知识点及题型归纳一、三角函数的基本概念三角函数是数学中重要的函数类型，它们在几何、物理等领域有着广泛的应用。
首先，角的概念是基础。
我们把平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。
角可以用弧度制或角度制来度量。
弧度制是用弧长与半径之比来度量角的大小，公式为：弧长\（l ＝r\theta\），其中\（r\）为半径，＼（＼theta\）为圆心角的弧度数。
接下来是三角函数的定义。
在平面直角坐标系中，设点\（P(x,y)＼）是角\（＼alpha\）终边上非原点的任意一点，＼（r ＝＼sqrt{x^2 ＋y^2}＼），则有正弦函数\（＼sin\alpha ＝＼frac{y}｛r}＼），余弦函数\（＼cos\alpha ＝＼frac{x}｛r}＼），正切函数\（＼tan\alpha ＝＼frac{y}｛x}（x ＼neq 0)＼）。
二、三角函数的基本性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是\（2\pi\），正切函数的周期是\（＼pi\）。
2、奇偶性正弦函数是奇函数，即\（＼sin(＼alpha) ＝＼sin\alpha\）；余弦函数是偶函数，即\（＼cos(＼alpha) ＝＼cos\alpha\）。
3、单调性正弦函数在\（＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi, ＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递增，在\（＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi, ＼frac{3\pi}｛2} ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递减；余弦函数在\（2k\pi, ＼pi ＋2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递减，在\（＼pi ＋ 2k\pi, 2\pi ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递增；正切函数在\（（＼frac{＼pi}｛2} ＋ k\pi, ＼frac{＼pi}｛2} ＋ k\pi)（k ＼in Z)＼）上单调递增。
三角函数经典题型总结
三角函数的经典题型主要包括以下几个方面：
1. 三角函数的基本性质和公式应用：
-三角函数的基本关系：sin²θ+ cos²θ= 1，tanθ= sinθ/cos θ等。
-诱导公式：sin(α±β)，cos(α±β)，tan(α±β)等的公式。
-二倍角公式、半角公式、和差化积、积化和差公式等。
2. 解三角形问题：
-正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
-余弦定理：a²= b²+ c²- 2bc cosA，同理可得其他边和角的关系。
-利用正弦定理和余弦定理解决边角关系问题。
3. 三角函数图像和性质：
-正弦函数、余弦函数、正切函数的图像及其周期性、奇偶性、单调性、对称性等性质。
-利用图像解三角函数方程和不等式。
4. 三角函数的应用问题：
-在物理中的应用，如振动问题、波动问题、光学问题等。
-在地理学中的应用，如地图上的方位角、距离计算等。
-在工程学中的应用，如结构力学、电路分析等。
5. 三角函数的复合与逆运算：
-复合三角函数的运算，如sin(cosx)，cos(sinx)等。
-三角函数的反函数，如arcsin(x)，arccos(x)，arctan(x)等。
6. 三角恒等式的证明：
-利用三角函数的基本关系和公式进行恒等式的变形和证明。
以上就是三角函数的一些经典题型总结，掌握这些题型的解题方法和技巧，可以有效地提高解决三角函数问题的能力。
三角函数题型归纳
《三角函数》全章题型归纳一、三角函数的三大定义： 在直角三角形中，如果锐角∠A 确定1、正切：那么∠A 的对边和邻边之比随之确定,这个比值叫做∠A 的正切，记作tanA, 即：tanA= （可以描述斜坡的坡度）2、正弦：那么∠A 的对边和斜边之比随之确定,这个比值叫做∠A 的正弦，记作 ,即： = .3、余弦：那么∠A 的邻边和斜边之比随之确定,这个比值叫做∠A 的余弦，记作 . 即： = .4、注意：A 、一个角的 、 、 称为这个角的三角函数B 、一个角的大小确定以后，所对应的三角函数值也就确定了，与其所处的位置C 、三角形函数都是建立在 的锐角基础上的，找准各类函数的比值关系后，请熟练运用例题：在直角三角形ABC 中，∠C=90°，tanA 与tanB 有什么关系？若该三角形中，tanA=21，求sinA ，cosA 的值练习1：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB,CD=2,AD=3，求∠A 和∠B 的三角函数值练习2：在等腰直角三角形ABC 中,∠C=90°,AC=6.D 是AC 上一点.若tan ∠DBA=51,求AD 的长课堂秒杀：特殊的三角函数值1、特殊角的三角函数是数学中研究的重要依据，包含： 、 、2、快速写出的下列的函数值：Sin45°= tan60°= Sin30°= tan45°= sin60°= tan30°= tan 245°= tan 230°= sin 245°= tan 260°=今日课题：快速利用直角三角形模型解决实际生活问题例题：如图：已知楼房AB 高40米，铁塔CD 塔基中心C 到AB 楼房房基间水平距离B 为40米，从A 望D 的仰角30°求塔CD 的高.题型一：两个直角三角形例题：某中学在教学楼前新建了一座雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为，底部B 点的俯角为，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为（如图）．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．（结果精确到0．1米，参考数据73.13 ）．30°45°60°AB CD30°模型：45°模型：DA练习：小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C 处测得∠ADG=30°，在E处测得∠AFG=60°，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，求这棵树AB的高度（结果保留两位有效数字，3≈1.732）．题型二：运动形中的非特殊角例题：如图：甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼。
三角函数概念及定义5种题型总结-2022-2023学年高一数学(人教A版2019必修第一册)
第24讲 三角函数概念及定义5种题型总结【知识点梳理】知识点一：三角函数基本概念 1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{}Z k k S ∈+︒⋅==，αββ360． (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． (4)象限角的集合表示方法：2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． (2)角度制和弧度制的互化：rad 180π=︒,rad 1801π=︒,π︒=180rad 1．(3)扇形的弧长公式：r l ⋅=α，扇形的面积公式：22121r lr S ⋅==α．3．任意角的三角函数(1)定义：任意角α的终边与单位圆交于点)(y x P ，时，则y =αsin ，x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα． (2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点P )(y x P ，是角α终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点O 的距离为r ，则r y =αsin ，r x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα 三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 αsinR ＋ ＋ － － αcosR＋－－＋αtan }2|{Z k k ∈+≠，ππαα ＋ － ＋ －记忆口诀:三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦． 【题型目录】题型一：与角α终边相同的角的集合的表示 题型二：判断等分角的象限问题 题型三：扇形的弧长、面积公式的计算 题型四：任意角三角函数的定义 题型五：三角函数值的正负判断 【典例例题】题型一：与角α终边相同的角的集合的表示【例1】（2022·全国·高一课时练习）将－1485°化成()202,k k απαπ+≤<∈Z 的形式是（ ） A ．π8π4-B ．784π-πC ．104π-πD ．7104π-π【答案】D【分析】由3602rad π︒=或180rad π︒=转换．【详解】因为14855360315-︒=-⨯︒+︒，3602rad π︒=，7315rad 4π︒=，所以－1485°可化成7104π-π．故选：D ．【例2】（2022·陕西渭南·高一期末）与2022︒终边相同的角是（ ） A ．488-︒ B ．148-︒C ．142︒D ．222︒【答案】D【分析】与α终边相同的角可表示为2,Z k k απ+∈. 【详解】∵20225360222︒=⨯︒+︒， ∵与2022︒终边相同的角是222︒. 故选：D【例3】（2022·全国·高三专题练习）与角94π的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ） A ．245k π+，k Z ∈ B ．93604k π⋅+，k Z ∈ C ．360315k ⋅-，k Z ∈ D ．54k ππ+，k Z ∈ 【答案】C【分析】 要写出与94π的终边相同的角，只要在该角上加2π的整数倍即可． 【详解】首先角度制与弧度制不能混用，所以选项AB 错误； 又与94π的终边相同的角可以写成92()4k k Z ππ+∈，所以C 正确． 故选：C ．【例4】（2022·河南南阳·高一期末）已知角2022α=，则角α的终边落在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】利用象限角的定义判断可得出结论.【详解】因为20222225360α==+⨯，而222是第三象限角，故角α的终边落在第三象限. 故选：C.【例5】（2022·全国·高一课时练习）终边落在直线3y x =上的角α的集合为（ ） A ．{}18030,Z k k αα=⋅︒+︒∈ B ．{}18060,Z k k αα=⋅︒+︒∈ C ．{}36030,k k αα=⋅︒+︒∈Z D ．{}36060,Z k k αα=⋅︒+︒∈【答案】B【分析】先确定3y x =的倾斜角为60，再分当终边在第一和三象限时角度的表达式再求解即可. 【详解】易得3y x =的倾斜角为60，当终边在第一象限时，60360k α=︒+⋅︒，k ∈Z ；当终边在第三象限时，240360k α=︒+⋅︒，k ∈Z ．所以角α的集合为{}18060,Z k k αα=⋅︒+︒∈． 故选：B【例6】（2022·全国·高三专题练习（多选题））如果角α与角45γ+︒的终边相同，角β与45γ-︒的终边相同，那么αβ-的可能值为（ ） A ．90︒ B ．360︒C ．450︒D ．2330︒【答案】AC根据终边相同可得角与角之间的关系，从而可得αβ-的代数形式，故可得正确的选项. 【详解】因为角α与角45γ+︒的终边相同，故45360k γα，其中k Z ∈，同理145360k βγ=-︒+⋅︒，其中1k Z ∈， 故90360n αβ-=︒+⋅︒，其中n Z ∈，当0n =或1n =时，90αβ-=︒或450αβ-=︒，故AC 正确， 令36090360n ︒=︒+⋅︒，此方程无整数解n ；令903060233n =︒+⋅︒︒即569n =，此方程无整数解n ； 故BD 错误. 故选：AC.【例7】（2022·全国·高一课时练习）下列说法中正确的是（ ） A ．第二象限角大于第一象限角B ．若()360360180k k k α⋅︒<<⋅︒+︒∈Z ，则α为第一或第二象限角C ．钝角一定是第二象限角D ．三角形的内角是第一或第二象限角 【答案】C【分析】利用任意角的知识，对选项分别判断即可. 【详解】对A 选项，如21030-︒<︒，故A 错误.对B 选项，α为第一或第二象限角或终边落在y 轴正半轴上的角．故B 错误. 对C 选项，因为钝角大于90°且小于180°，所以钝角一定是第二象限角，故C 正确. 对D 选型，当三角形的一个内角为90°时，不是象限角，故D 错误. 故选: C.【例8】（2022·全国·高一课时练习）已知{}4536090360k k ααα∈︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒，则角α的终边落在的阴影部分是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】令0k =即可判断出正确选项.【详解】令0k =，得4590α︒≤≤︒，则B 选项中的阴影部分区域符合题意. 故选：B ． 【题型专练】1.（2022·河南安阳·高一期末）把375-︒表示成2πk θ+，k Z ∈的形式，则θ的值可以是（ ） A ．π12B ．π12-C ．5π12D ．5π12-【答案】B【分析】由37515360-=-︒-︒︒结合弧度制求解即可. 【详解】∵37515360-=-︒-︒︒，∵π3752πrad 12⎛⎫-︒=-- ⎪⎝⎭故选：B2.（2022·广西·北海市教育教学研究室高一期末）下列各角中，与1840︒ 角终边相同的角是（ ） A ．40︒ B ．220︒C ．320︒D ．400-︒【答案】A【分析】将1840︒化为405360︒+⨯︒，即可确定答案.【详解】因为1840405360︒=︒+⨯︒，故40︒角的终边与1840︒的终边相同， 故选：A3.（2022·全国·高一课时练习）与2022︒终边相同的角可以为___________.（填写一个符合题意的角即可） 【答案】222︒（答案不唯一）【分析】终边相同的角，相差360︒的整数倍，据此即可求解【详解】∵()2022360k k α︒=︒⨯+∈Z ，当5k =时，222α=︒，∵与2022︒终边相同的角可以为222︒， 故答案为：222°（答案不唯一）4.（2022·全国·高三专题练习）若角α的终边在直线y x =-上，则角α的取值集合为（ ）A ．2,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭ZB ．32,4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．3,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭ZD ．,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z【答案】D 【解析】 【分析】根据若,αβ终边相同，则2,k k Z βπα=+∈求解. 【详解】 解：，由图知，角α的取值集合为:()32,2,4421,2,44,4k k Z k k Z k k Z k k Z k k Z ππααπααπππααπααππααπ⎧⎫⎧⎫=+∈⋃=-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫⎧⎫==+-∈⋃=-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭故选：D. 【点睛】本题主要考查终边相同的角，还考查了集合的运算能力，属于基础题.5.（2022·全国·高一课时练习）如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合：______.【答案】π5π2π2πZ 612k k k αα⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，【分析】将角度化为弧度，结合任意角概念表示出来即可. 【详解】因为π5π757518012︒=⨯=，π306-︒=-，结合图像可看作π5π,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦范围内的角，结合任意角的概念可表示为π5π2π2π,Z 612k k k αα⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.故答案为:π5π2π2π,Z 612k k k αα⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.6．（2022·西藏·林芝市第二高级中学高一期末）5π3-的角化为角度制的结果为_______．【答案】300-【分析】利用角度与弧度的互化即可求得5π3-对应角度制的结果【详解】55π=18030033⎛⎫--⨯=- ⎪⎝⎭故答案为：300-7.（2022·全国·高三专题练习（多选题））下列条件中，能使α和β的终边关于y 轴对称的是（ ） A ．90αβ+=︒B ．180αβ+=︒C ．()36090k k αβ+=⋅︒+︒∈ZD ．()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z【答案】BD 【解析】 【分析】根据α和β的终边关于y 轴对称时()180360k k αβ+=︒+︒∈Z ，逐一判断正误即可. 【详解】根据α和β的终边关于y 轴对称时()180360k k αβ+=︒+︒∈Z 可知，选项B 中，180αβ+=︒符合题意；选项D 中，()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z 符合题意； 选项AC 中，可取0,90αβ=︒=︒时显然可见α和β的终边不关于y 轴对称. 故选：BD.8．（2022·全国·高一课时练习）如果角α与角x ＋45°具有相同的终边，角β与角x －45°具有相同的终边，那么α与β之间的关系是（ ） A ．0αβ+=︒B ．90αβ-=︒C ．()360k k αβ+=⋅︒∈ZD ．()36090k k αβ-=⋅︒+︒∈Z【答案】D【分析】先根据终边相同的角分别表达出,αβ，再分析αβ+，αβ-即可.【详解】利用终边相同的角的关系，得()36045n x n α=⋅︒++︒∈Z ，()36045m x m β=⋅︒+-︒∈Z . 则()()3602,m n x n m αβ+=+⋅︒+∈∈Z Z 与x 有关，故AC 错误；又()()36090,n m n m αβ-=-︒+︒∈∈Z Z ．因为m ，n 是整数，所以n －m 也是整数，用()k k ∈Z 表示，所以()36090k k αβ-=⋅︒+︒∈Z .故选：D ．9．（2022·全国·高一课时练习）若360k αθ=⋅︒+，()360,m k m βθ=⋅︒-∈Z ，则角α与角β的终边一定（ ）A ．重合B ．关于原点对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称【答案】C【分析】根据角θ与角θ-的终边关于x 轴对称即可得解.【详解】解：因为角θ与角θ-的终边关于x 轴对称，所以角α与角β的终边一定也关于x 轴对称． 故选：C10．（2023·全国·高三专题练习）集合|,4k k k Z παπαπ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】对k 按奇偶分类讨论可得．【详解】当k ＝2n (n ∵Z )时，2n π≤α≤2n π＋4π(n ∵Z )，此时α的终边和0≤α≤4π的终边一样，当k ＝2n ＋1(n ∵Z )时，2n π＋π≤α≤2n π＋π＋4π (n ∵Z )，此时α的终边和π≤α≤π＋4π的终边一样．故选：B ．题型二：判断等分角的象限问题【例1】（2022·浙江·高三专题练习）若18045,k k Z α=⋅+∈，则α的终边在（ ） A ．第一、三象限 B ．第一、二象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限【答案】A 【解析】 【分析】分21,k n n Z =+∈和2,k n n =∈Z 讨论可得角的终边所在的象限. 【详解】解：因为18045,k k Z α=⋅+∈，所以当21,k n n Z =+∈时，218018045360225,n n n Z α=⋅++=⋅+∈，其终边在第三象限； 当2,k n n =∈Z 时，21804536045,n n n Z α=⋅+=⋅+∈，其终边在第一象限. 综上，α的终边在第一、三象限. 故选：A.【例2】（2022·江西上饶·高一阶段练习多选）若α是第二象限角，则（ ） A ．πα-是第一象限角 B ．2α是第一或第三象限角 C ．32πα+是第二象限角 D ．α-是第三或第四象限角【答案】AB【分析】由α与α-关于x 轴对称，即可判断AD ；由已知可得222k k ππαππ+<<+，Z k ∈，再根据不等式的性质可判断B ；由32πα+是第一象限角判断C ． 【详解】解：因为α与α-关于x 轴对称，而α是第二象限角，所以α-是第三象限角， 所以πα-是第一象限角，故A 正确，D 错误； 因为α是第二象限角，所以222k k ππαππ+<<+，k Z ∈，所以422k k παπππ+<<+，Z k ∈，故2α是第一或第三象限角，故 B 正确； 因为α是第二象限角，所以32πα+是第一象限角，故C 错误． 故选：AB ． 【题型专练】1.（2022·全国·高三专题练习（理））角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】由题意知，222k k ππαπ<<+，k Z ∈，即可得3α的范围，讨论3k n =、31k n =+、32k n =+()n Z ∈对应3α的终边位置即可. 【详解】∵角α的终边在第一象限， ∴222k k ππαπ<<+，k Z ∈，则223363k k παππ<<+，k Z ∈， 当3()k n n Z =∈时，此时3α的终边落在第一象限，当31()k n n Z =+∈时，此时3α的终边落在第二象限， 当32()k n n Z =+∈时，此时3α的终边落在第三象限，综上，角α的终边不可能落在第四象限， 故选：D.2.（2022·全国·高三专题练习）θ是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是（ ）A ．sin 2θB ．cos2θ C ．sin 2θ D ．cos 2θ【答案】C 【解析】表示出第二象限角的范围，求出2θ和2θ所在象限，确定函数值的符号．【详解】因为θ是第二象限角， 所以22,2k k k Z ππθππ+<<+∈，则4242,k k k Z ππθππ+<<+∈，所以2θ为第三或第四象限角或终边在y 轴负半轴上，，所以sin 2θ<0. 而,422k k k Z πθπππ+<<+∈，2θ是第一象限或第三象限角，正弦余弦值不一定是负数．故选：C ．3.（2022·全国·高三专题练习）已知角α第二象限角，且cos cos22αα=-，则角2α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】C 【解析】 【分析】由α是第二象限角，知2α在第一象限或在第三象限，再由cos cos 22αα=-，知cos 02α≤，由此能判断出2α所在象限． 【详解】因为角α第二象限角,所以()90360180360Z k k k α+⋅<<+⋅∈， 所以()4518090180Z 2k k k α+⋅<<+⋅∈，当k 是偶数时，设()2Z k n n =∈，则()4536090360Z 2n n n α+⋅<<+⋅∈，此时2α为第一象限角； 当k 是奇数时，设()21Z k n n =+∈，则()225360270360Z 2n n n α+⋅<<+⋅∈，此时2α为第三象限角.；综上所述：2α为第一象限角或第三象限角， 因为cos cos 22αα=-，所以cos 02α≤，所以2α为第三象限角．故选：C ．题型三：扇形的弧长、面积公式的计算【例1】（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））已知扇形OAB 的圆心角为2，弦长2AB =，则扇形的弧长等于（ ） A ．1sin1B ．2sin1C ．1cos1D ．2cos1【答案】B【分析】求得扇形的半径，从而求得扇形的弧长.【详解】扇形的半径112sin1sin1ABr ==， 所以扇形的弧长等于122sin1sin1r α⨯=⨯=. 故选：B【例2】（2022·浙江·高三开学考试）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若122l l =，则12S S =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】通过弧长比可以得到OA 与OB 的比，接着再利用扇形面积公式即可求解 【详解】解：设AOD θ∠=，则12,l OA l OB θθ=⋅=⋅，所以122l OA l OB==，即2OA OB =， 所以12221222111222231122OA l OB l OB l OB l S S OB l OB l ⋅-⋅⋅-⋅===⋅⋅， 故选：C【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为________ cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm 2. 【答案】 1 2 1 【解析】 【详解】24l r +=，则()21142222S lr r r r r ==-=-+，则1,2r l ==时，面积最大为1，此时圆心角2lrα，所以答案为1；2；1.【例4】（2022·浙江·镇海中学模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 及其所对弦AB 围成的图形．若弧田的弦AB 长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧AB 长为_______，弧田的面积为_________．【答案】 2sin1; 211sin 1tan1-. 【解析】 【分析】（1）利用弧长公式解决，那么需要算出半径和圆心角；（2）用扇形的面积减去三角形的面积即可. 【详解】由题意可知：111,,sin1sin1tan1tan1======AC BC BC AC AO OC ，所以弧AB 长122sin1sin1=⨯=，弧田的面积22111111222sin12tan1sin 1tan1⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭扇形AOB AOB S S ， 故答案为：2sin1；211sin 1tan1-. 【例5】（2022·全国·高一课时练习多选题）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为1S ，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 51-时，扇面为“美观扇面”5 2.236）（ ）A ．122S S θπθ=- B ．若1212S S =，扇形的半径3R =，则12S π= C ．若扇面为“美观扇面”，则138θ≈D ．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径20R =，则此时的扇形面积为(20035 【答案】AC【分析】首先确定12,S S 所在扇形的圆心角，结合扇形面积公式可确定A 正确；由12122S S θπθ==-可求得θ，代入扇形面积公式可知B 错误；由125122S S θπθ-==-即可求得θ，知C 正确；由扇形面积公式可直接判断出D 错误.【详解】对于A ，1S 与2S 所在扇形的圆心角分别为θ，2πθ-，()2122121222r S S r θθπθπθ⋅⋅∴==--⋅，A 正确； 对于B ，12122S S θπθ==-，23πθ∴=，2111293223S R πθπ∴=⋅⋅=⨯⨯=，B 错误； 对于C ，125122S S θπθ-==-，()35θπ∴=-，()3 2.236180138θ∴≈-⨯≈，C 正确； 对于D ，()()2111354002003522S R θππ=⋅⋅=⨯-⨯=-，D 错误.故选：AC.【题型专练】1．（2022·上海市松江二中高一期末）已知扇形的圆心角为135︒，扇形的弧长为3π，则该扇形所在圆的半径为___________. 【答案】4【分析】利用弧长公式直接求得. 【详解】扇形的圆心角为135︒，为34π，设半径为r ， 由弧长公式可得：334r ππ=，解得：4r =. 故答案为：42.（2022·全国·高一学业考试）已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ） A ．1 B ．4C ．2D ．3【答案】AB【分析】利用扇形的弧长与面积公式建立方程组求解，再利用圆心角公式.【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S ，圆心角为α，则212l r +=，182S lr ==，解得2r =，8l =或4r =，4l ，则4lrα==或1．故C ，D 错误. 故选：AB ．3.（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（ ）A 1133-B 1143-C 933-D 943-【答案】B 【解析】 【分析】连接OC ，分别求出,,AB OC CD ，再根据题中公式即可得出答案. 【详解】解：如图，连接OC ， 因为C 是AB 的中点， 所以OC AB ⊥，又CD AB ⊥，所以,,O C D 三点共线， 即2OD OA OB ===， 又60AOB ∠=︒， 所以2AB OA OB ===， 则3OC =23CD = 所以(2223114322CD s AB OA -=+=+=故选：B.4．（2022·全国·高三专题练习）玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁面尺寸（单位：cm ）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ）A ．2160cmB ．23200cmC ．23350cmD ．24800cm【答案】D【分析】根据扇形的面积公式，利用大扇形面积减去小扇形面积即可求解. 【详解】易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到， 设大、小扇形所在圆的半径分别为1r ，2r ，相同的圆心角为θ， 则1216080r r θ==，得122r r =，又因为1240r r -=， 所以180r =，240r =，该扇形玉雕壁画面积12111608022S r r =⨯⨯-⨯⨯()2111608080404800cm 22=⨯⨯-⨯⨯=． 故选：D ．5.（2022·全国·高三专题练习）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为r 的圆面中剪下扇形OAB ，使剪下扇形OAB 51-，再从扇形OAB 中剪下扇环形ABDC 制作扇面，使扇环形ABDC 的面积与扇形OAB 51-.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（ ）A 51- B 51-C 352D 52【答案】D 【解析】 【分析】记扇形OAB 的圆心角为α，扇形OAB 的面积为1S ，扇环形ABDC 的面积为2S ，圆的面积为S ，根据扇形面积公式，弧长公式，以及题中条件，即可计算出结果. 【详解】记扇形OAB 的圆心角为α，扇形OAB 的面积为1S ，扇环形ABDC 的面积为2S ，圆的面积为S ，由题意可得，2112S r α=，2151S S -=，2S r π=， 所以)122515124S Sr αππ-==， 因为剪下扇形OAB 51-， 所以2512r r r παπ--=(35απ=， 所以))(2515135355355244S S απππ--+===.故选：D.6.（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为O ，墙壁截面ABCD 为矩形，且1AD =，则扇形OAD 的面积是__________.【答案】6π##16π【解析】 【分析】计算AOD ∠，再利用扇形的面积公式求解. 【详解】由题意可知，圆O 的半径为1，即1OA OD ==， 又1AD =，所以OAD △为正三角形，∵3AOD π∠=，所以扇形OAD 的面积是221112236S r AOD ππ=⨯⨯∠=⨯⨯=.故答案为：6π7.（2022·全国·模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC 的面积S 为22225cm π，若2BD DA =，则当该纸叠扇的周长C 最小时，BD 的长度为___________cm .【答案】10π 【解析】 【分析】设扇形ABC 的半径为r cm ，弧长为l cm ，根据扇形ABC 的面积S 为22225cm π，由212252rl π=得到rl ，然后由纸叠扇的周长2C r l =+，利用基本不等式求解. 【详解】解：设扇形ABC 的半径为r cm ，弧长为l cm ，则扇形面积12S rl =.由题意得212252rl π=，所以2450rl π=.所以纸叠扇的周长2222290060C r l rl ππ=+≥=，当且仅当22,450,r l rl π=⎧⎨=⎩即15r π=，30l π=时，等号成立， 所以()15BD DA cm π+=.又2BD DA =， 所以()1152BD BD cm π+=，所以()3152BD cm π=，故()10BD cm π=. 故答案为：10π题型四：任意角三角函数的定义【例1】（2021·天津市武清区杨村第一中学高一阶段练习）已知函数()log 23a y x =++的图象恒过定点A ，若角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，且点A 在角α的终边上，则sin α的值为（ ）A ．17B 417C 310D ．10【答案】C【分析】先由对数函数图象的特征求出定点()1,3A -，再由三角三函数的定义求解即可 【详解】函数()log 23a y x =++的图象恒过定点()1,3A -， 且点()1,3A -在角α的终边上， 所以()223sin 1331010α==-+，故选：C【例2】（2022·黑龙江·大庆市东风中学高一期末）已知角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，则sin α的值为（ ） A ．3B ．12-C 3D ．12【答案】C【分析】根据三角函数的定义即可求出．【详解】因为角α的终边与单位圆交于点13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以根据三角函数的定义可知，3sin 2y α==． 故选：C ．【例3】（2022·陕西渭南·高一期末）已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =（ ） A ．12 B ．1 C ．2D ．52【答案】C【分析】由三角函数定义求得m 值． 【详解】由题意31tan 2m m θ-==，解得2m =． 故选：C ．【题型专练】1.（2022·陕西渭南·高一期末）已知()2,P y -是角θ终边上一点，且22sin θ=y 的值是（ ） A ．22 B ．225 C ．434 D 434【答案】D【分析】根据sin 0θ>，可判断点()2,P y -位于第二象限，利用正弦函数的定义列方程求解即可.【详解】解：因为()2,P y -是角θ终边上一点，22sin 05θ=>，故点()2,P y -位于第二象限， 所以0y >，2222sin 5(2)yy θ==-+， 整理得：21732y =，因为0y >，所以43417y =. 故选：D.2.（2022·陕西渭南·高一期末）已知角α的终边经过点()2,1P -，则sin α=（ ）A 5B 5C ．12-D ．－2【答案】A【分析】根据三角函数的定义即可得解.【详解】解：因为角α的终边经过点()2,1P -，所以15sin 541α==+. 故选：A.3.（2022·江苏省如皋中学高一期末多选）已知函数()()log 2401a f x x a a =-+>≠且的图象经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则11tan sin θθ+的值可能是（ ） A ．2B ．3C 171+D 171+【答案】AC【分析】先由函数可知点A 的坐标，再由三角函数的定义可求解.【详解】由题意，可知(3,4)A 或(1,4)A ，当点是(3,4)A 时，由三角函数的定义有22444tan ,sin 3534θθ===+，所以11352tan sin 44θθ+=+=； 当点是(1,4)A 时， 由三角函数的定义有22444tan 4,sin 11714θθ====+， 所以11117171tan sin 444θθ++=+=. 故选：AC4.（2022·全国·高一课时练习）已知角α的终边上有一点()3,P m -，且2sin α=，则m 的值为______． 【答案】5±或0【分析】根据三角函数的定义列方程即可求解.【详解】由题意可知()222sin 43m m m α==-+，解得5m =±或0． 故答案为：5±或05.（2023·全国·高三专题练习）已知角α的终边与单位圆的交点为P 1(,)2y -，则sin tan αα＝______． 【答案】32- 【分析】根据单位圆求出y ，然后由三角函数定义求得sin ,tan αα，再相乘可得．【详解】由题意2114y +=，32y =±， 32y =时，3sin 2α=，tan 3α=-，3sin tan 2αα=-， 32y =-时，3sin 2α=-，tan 3α=，3sin tan 2αα=-， 综上，3sin tan 2αα=-． 故答案为：32-． 题型五：三角函数值的正负判断【例1】（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）若θ满足sin 0,tan 0θθ<>，则θ的终边在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【分析】直接由各象限三角函数的符号判断即可.【详解】由sin 0θ<可知θ的终边在第三象限或第四象限，又tan 0θ>，则θ的终边在第三象限.故选：C.【例2】（2022·全国·高一课时练习）若角θ是第四象限角，则sin cos tan sin cos tan y θθθθθθ=++=______． 【答案】－1【分析】根据在第四象限三角函数的符号，化简计算y 值.【详解】因为角θ是第四象限角，所以sin 0θ<，cos 0θ>，tan 0θ<，所以sin cos tan 1111sin cos tan y θθθθθθ=++=-+-=-． 故答案为：-1.【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知角θ在第二象限，且sinsin 22θθ=-，则角2θ在（ ） A ．第一象限或第三象限B ．第二象限或第四象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C 【分析】由题可得角2θ在第一或第三象限，再结合三角函数值的符号即得. 【详解】∵角θ是第二象限角，∵θ∵(2,2),Z 2k k k ππππ++∈，∵(,)242k k θππππ∈++，Z k ∈， ∵角2θ在第一或第三象限， ∵sinsin 22θθ=-，∵sin 02θ<， ∵角2θ在第三象限. 故选：C.【例4】（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列三角函数值中符号为负的是（ ）A ．sin100︒B ．()cos 220-︒C ．()tan 10-D ．cos π 【答案】BCD【分析】根据各交所在象限判断三角函数的正负情况.【详解】因为90100180︒<︒<︒，所以sin100︒角是第二象限角，所以sin1000︒>；因为270220180-︒<-︒<-︒，220-︒角是第二象限角，所以()cos 2200-︒<；因为71032ππ-<-<-，所以角10-是第二象限角，所以()tan 100-<；cos 10π=-<；故选：BCD ．【例5】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）若角α满足sin cos 0αα⋅<，cos sin 0αα-<，则α在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】根据sin cos 0αα⋅<可知α是第二或第四象限角；根据第二或第四象限角正余弦的符号可确定结果.【详解】 sin cos 0αα⋅<，α是第二或第四象限角；当α是第二象限角时，cos 0α<，sin 0α>，满足cos sin 0αα-<；当α是第四象限角时，cos 0α>，sin 0α<，则cos sin 0αα->，不合题意；综上所述：α是第二象限角.故选：B.【例6】（2022·全国·高三专题练习（理））我们知道，在直角坐标系中，角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角．已知点()cos ,tan P αα在第三象限，则角α的终边在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】【分析】本题首先可以根据题意得出cos 0α<、tan 0α<，然后得出sin 0α>，即可得出结果.【详解】因为点()cos ,tan P αα在第三象限，所以cos 0α<，tan 0α<，则sin 0α>，角α的终边在第二象限，故选：B.【题型专练】1.（2022·全国·高一课时练习）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点()1,P m -()0m ≠，则下列各式的值一定为负的是（ ）A ．cos αB ．sin cos αα-C ．sin cos ααD ．sin 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【答案】AD【分析】由已知角终边上的点可得2sin 1m m α=+，21cos 1m α=-+，tan m α=-，结合诱导公式判断各项的正负，即可得答案.【详解】由题意知：2sin 1m m α=+，21cos 01m α=-<+，tan m α=-.∵不确定m 的正负，∵sin cos αα-与sin cos αα的符号不确定. ∵sin cos 02παα⎛⎫-=< ⎪⎝⎭， ∵一定为负值的是A ，D 选项.故选：AD2.（2022河南开封·高一期末）已知点()tan ,sin P αα在第三象限，则角α在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】∵点()tan ,sin P αα在第三象限，∵tan 0sin 0αα<⎧⎨<⎩，∵α在第四象限.故选：D. 3.（2022全国高一课时练习）在ABC 中，A 为钝角，则点()cos ,tan P A B （ ）A ．在第一象限B ．在第二象限C ．在第三象限D ．在第四象限 【答案】B【解析】在ABC 中，A 为钝角，则B 为锐角，则cos 0,tan 0A B <>，则点()cos ,tan P A B 在第二象限， 故选：B4.（2021·全国高一课时练习）“角θ是第一或第三象限角”是“sin cos 0>θθ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】角θ是第一象限角时，sin 0,cos 0θθ，则sin cos 0>θθ；若角θ是第三象限角，sin 0,cos 0θθ<<，则sin cos 0>θθ.故“角θ是第一或第三象限角”是“sin cos 0>θθ”的充分条件.若sin cos 0>θθ，即sin 0,cos 0θθ或sin 0,cos 0θθ<<，所以角θ是第一或第三象限角.故“角θ是第一或第三象限角”是“sin cos 0>θθ”的必要条件.综上，“角θ是第一或第三象限角”是“sin cos 0>θθ”的充要条件.故选:C.5.（2022·全国·高三专题练习）如果cos 0θ<，且tan 0θ<，则sin cos cos θθθ-+的化简为_____.【答案】sin θ【解析】【分析】由cos 0θ<，且tan 0θ<，得到θ是第二象限角，由此能化简sin cos cos θθθ-+．【详解】解：∵cos 0θ<，且tan 0θ<，∵θ是第二象限角， ∵sin cos cos sin cos cos sin θθθθθθθ-+=-+=．故答案为：sin θ．6.（2022·浙江·模拟预测）已知R θ∈，则“cos 0θ>”是“角θ为第一或第四象限角”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要 【答案】B【解析】【分析】利用定义法进行判断.【详解】充分性：当cos 0θ>时，不妨取cos 1,0θθ==时轴线角不成立.故充分性不满足；必要性：角θ为第一或第四象限角，则cos 0θ>，显然成立.故选：B.。
三角函数题型分类总结(18篇)
三角函数题型分类总结第1篇sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (—a)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan(π/2+α)=-cotαtan(π/2-α)=cotαtan(π-α)=-tanαtan(π+α)=tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan^(α/2)]cosα=[1-tan^(α/2)]/1+tan^(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^(α/2)]三角函数题型分类总结第2篇诱导公式sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(—a)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαsin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαsin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαsin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtanA=sinA/cosAtan(π/2+α)=-cotαtan(π/2-α)=cotαtan(π-α)=-tanαtan(π+α)=tanα半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA。
sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)) 三角函数题型分类总结第3篇倒数关系：tanα ·cotα=1sinα ·cscα=1cosα ·secα=1商的关系：sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=11+tan^2(α)=sec^2(α)1+cot^2(α)=csc^2(α)平常针对不同条件的常用的两个公式sin^2(α)+cos^2(α)=1tan α _cot α=1一个特殊公式(sina+sinθ)_(sina-sinθ)=sin(a+θ)_sin(a-θ)证明：(sina+sinθ)_(sina-sinθ)=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] _2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin(a+θ)_sin(a-θ)坡度公式我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度(也叫坡比), 用字母i表示, 即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式,如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a(叫做坡角),那么 i=h/l=tan a.锐角三角函数公式正弦： sin α=∠α的对边/∠α 的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边二倍角公式sin2A=2sinA·cosA(a)-Sin^2(a)(a)(a)-1即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) tan2A=(2tanA)/(1-tan^2(A))三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 两角和公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ积化和差sinαsinβ =-[cos(α+β)-cos(α-β)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2公式一：设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)= sinαcos(2kπ+α)= cosαtan(2kπ+α)= tanαcot(2kπ+α)= cotα公式二：设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)= -sinαcos(π+α)= -cosαtan(π+α)= tanαcot(π+α)= cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)= -sinαcos(-α)= cosαtan(-α)= -tanαcot(-α)= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)= sinαcos(π-α)= -cosαtan(π-α)= -tanαcot(π-α)= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)= -sinαcos(2π-α)= cosαtan(2π-α)= -tanαcot(2π-α)= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)= cosαcos(π/2+α)= -sinαtan(π/2+α)= -cotαcot(π/2+α)= -tanαsin(π/2-α)= cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)= cotαcot(π/2-α)= tanαsin(3π/2+α)= -cosαcos(3π/2+α)= sinαtan(3π/2+α)= -cotαcot(3π/2+α)= -tanαsin(3π/2-α)= -cosαcos(3π/2-α)= -sinαtan(3π/2-α)= cotαcot(3π/2-α)= tanα(以上k∈Z)三角函数题型分类总结第4篇下文《雅思听力考试题型》由出国雅思频道为您整理，供您参考，了解更多考试信息，请收藏本章。
三角函数中的常考题型及其解法
三角函数中的常考题型及其解法三角函数中常考题型及解法：一、求解三角函数值1、求正弦函数值解法：使用正弦定理进行求解，总结如下：（1）正弦定理（用于直角三角形）：a/sinA=b/sinB=c/sinC；（2）正弦表：常记正弦值，如15°的正弦值是0.2588；（3）半角公式：sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]；（4）倍角公式：sin2x=2sinxcosex。
2、求余弦函数值解法：使用余弦定理进行求解，总结如下：（1）余弦定理（用于直角三角形）：a²=b²+c²-2bc·cosA；（2）余弦表：常记余弦值，如45°的余弦值是0.7071；（3）化简余弦值：常用公式或知识点化简余弦值，如极限化简，勾股定理等；（4）半角公式：cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]；（5）倍角公式：cos2x=cos²x-sin²x。
三、求解三角函数表达式1、求正弦函数表达式解法：（1）可用图像法求解，如求函数y=2sin(x+π/6)的图形，可将之前已知的普通正弦图形向右移动π/6，并放大2倍；（2）也可用公式求解，如求函数y=2sin(x+π/6)，用单位正弦函数表示法，则有y=2sin(x)·cos(π/6)+2cos(x)·sin(π/6)。
2、求余弦函数表达式解法：（1）可用图像法求解，如求函数y=2cos(x+π/6)的图形，可先求出正弦函数的图像，再进行垂直翻转；（2）也可用公式求解，如求函数y=2cos(x+π/6)，用单位余弦函数表示法，则有y=2cos(x)·cos(π/6)-2sin(x)·sin(π/6)。
三角函数正切函数题型总结(含答案)
三角函数正切函数题型总结（含答案）一、单选题（本大题共15小题，共75.0分） 1. 已知sinθ=45，θ∈(π2,3π2)，则tan θ2= A. −2B. −12C. 12D. 2【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同角三角函数的关系以及正弦、余弦的二倍角公式，属于基础题． 因为tan θ2=sinθ2cosθ2=sin θ2cosθ2cos 2θ2=sinθ1+cosθ，所以根据同角三角函数的关系求出cosθ，即可求出tan θ2．【解答】解：∵sinθ=45，θ∈(π2,3π2)，∴cosθ=−√1−sin 2θ=−√1−(45)2=−35，∴tan θ2=sinθ2cosθ2=sin θ2cos θ2cos 2θ2=sinθ1+cosθ=451−35=2．故选D ．2. 已知sinθ=35，且sin2θ<0，则tanθ=( )A. −34B. 34C. −34或34D. 45【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同角三角函数基本关系，属于基础题．由题意易知cosθ<0.然后根据同角三角函数基本关系即可求解． 【解答】解：∵sin 2θ=2sinθcosθ<0， ∵sinθ=35，则cosθ<0， 故cosθ=−√1−sin 2θ=−45，故tan θ=sinθcosθ=−34， 故选A ．3. 已知cos θ=−35，π<θ<2π，则sin θ2等于( )A. 45B. 25√5C. −25√5D. ±25√5【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同角三角函数关系式，二倍角公式及应用，属于较易题． 根据二倍角余弦公式可以得出答案． 【解答】解：因为π<θ<2π，所以π2<θ2<π， 所以sin θ2>0， 所以sin θ2=√1−cosθ2=√1+352=2√55． 故选B ．4. θ∈[0,π]，cosθ=34，则tan θ2=( )A. √7B. √77C. 7D. 17【答案】B 【解析】 【分析】由条件利用二倍角公式求得cos θ2 和sin θ2的值，再利用同角三角函数的基本关系式求得tan θ2的值．本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，属于中档题． 【解答】 解：∵cos 2θ2=1+cosθ2=78，又θ2∈[0,π2]，∴cos θ2=√144，∴sin θ2=√1−cos 2θ2=√24，∴tan θ2=sinθ2cosθ2=√77， 故选：B ．5. 已知θ∈(−π2,0)，且3cos2θ+4cosθ+1=0，则sin2θ=( )A. −4√29B. −2√23C. 4√29D. 2√23【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．化简可得3cos 2θ+2cosθ−1=0，解得cosθ的值，再根据同角三角函数的基本关系，可得出sinθ，再根据二倍角公式，可得出sin2θ的值． 【解析】解：因为θ∈(−π2,0)，则cosθ∈(0,1)，由已知得3(2cos 2θ−1)+4cosθ+1=0，即3cos 2θ+2cosθ−1=0， 解得cosθ=13，或cosθ=−1(舍去)， 从而可得sinθ= −√1−cos 2θ=−2√23， 所以sin2θ=2sinθcosθ=−4√29． 故选A ．6. 已知cosθsinθ=53cos (2π−θ)，|θ|<π2，则sin2θ=( )A. 625B. 1225C. 1825D. 2425【答案】D 【解析】 【分析】本题考查诱导公式、同角三角函数之间的关系及二倍角公式，属于基础题．根据题意可得sinθ=35，然后利用同角三角函数之间的关系可得cosθ=√1−sin 2θ=45，进而利用二倍角公式即可求得结果． 【解答】解：由cosθsinθ=53cos(2π−θ)，得cosθsinθ=53cosθ， 则sinθ=35， ∵|θ|<π2，∴cosθ=√1−sin 2θ=45， ∴sin2θ=2sinθcosθ=2425． 故选D ．7. 已知cosθ⋅tanθ=34，则sin (π2−2θ)=( )A. 3√78B. ±√74 C. −12D. −18【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同角间的基本关系式，诱导公式，二倍角公式，先求出sinθ的值，利用诱导公式得sin(π2−2θ)=cos2θ，再利用二倍角公式求解． 属于中档题． 【解答】解：∵cosθ⋅tanθ=sinθ=34，∴sin(π2−2θ)=cos2θ=1−2sin 2θ=1−2×(34)2=−18． 故选D ．8. 若tan α2=12，则sinα=A. 35B. ±45C. −45D. 45【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系及二倍角公式即可得解，本题考查三角函数同角关系，二倍角正弦及三角函数求值等．【解答】解：因为tanα2=12，所以sinα=2sinα2cosα2=2sinα2cosα2sin2α2+cos2α2=2tanα21+tan2α2=45．故选D．9.已知2π<θ<4π，且sinθ=−35,cosθ<0，则tanθ2的值等于()A. −3B. 3C. −13D. 13【答案】A【解析】【分析】本题考查三角恒等变换公式应用，基础题；利用已知求出cosθ，再利用二倍角公式求解即可，【解答】解：由题意，cosθ=−√1−sin2θ=−45所以tanθ2=sinθ2cosθ2=sinθ2cosθ2cos2θ2=12sinθcosθ+12=sinθcosθ+1=−35−45+1=−3故选：A．10.已知sin2A=−2425,A∈(π,2π)，则cosA=A. 35B. 45C. 35或45D. −35或−45【答案】C【解析】【分析】本题主要考查二倍角公式和同角三角函数基本关系．【解答】解：∵sin2A=2sinAcosA=−2425，∵(sinA+cosA)2=1−2425=125，，又∵A∈(π,2π)，sinAcosA=−1225，∴sinA−cosA=−7 5故cosA=35或45．故选C．11.已知θ∈(0,π)，，则tan(π+2θ)=()A. 2√23B. 4√27C. √23D. 2√27【答案】B【解析】【分析】本题考查同角三角函数关系，二倍角公式，属于基础题．【解答】解：由题意得，则，则．故选B．12.已知θ∈(−π2,0)，sin(π4+θ)=35，则tan2θ的值为()A. −724B. 247C. 724D. −247【答案】A【解析】【分析】本题考查同角三角函数的关系，和差角公式，属于基础题．先由同角三角函数关系，求得tan(θ+π4)=34，再把tan(θ+π4)=tanθ+11−tanθ，结合和差角公式和二倍角公式计算即得．【解答】解：因为θ∈(−π2,0)，所以，又sin (θ+π4)=35，所以cos(θ+π4)=√1−(35)2=45，可得tan(θ+π4)=sin(θ+π4)cos(θ+π4)=34则tan(θ+π4)=tanθ+11−tanθ=34，所以tanθ=−17．所以tan2θ=2tanθ1−tan2θ=2×(−17)1−(−17)2=−724．故选A．13.若tanθ=√3，则sin2θ1+cos2θ=()A. √3B. −√3C. √33D. −√33【答案】A【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式及其应用，属于基础题．由同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简可得tan θ，即可得结果．【解答】解：sin2θ1+cos2θ=2sinθcosθ1+2cos2θ−1=tanθ=√3．故选A．14.设θ∈(π4,π2),sin2θ=116，则cosθ−sinθ的值是()A. √154B. −√154C. 34D. −34【答案】B【解析】【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系以及二倍角公式，属于基础题．根据sin2θ=2sinθcosθ=116，结合，即可得到答案．【解答】解：∵sin2θ=2sinθcosθ=116，且θ∈(π4,π2)，，∴cosθ−sinθ=−√1−2sinθcosθ=−√154． 故选B ．15. 已知cosθ=35，tanθ<0，则sin(π−2θ)=A. −2425B. −1225C. −45D. 2425【答案】A 【解析】 【分析】此题考查诱导公式、二倍角公式和同角三角函数的基本关系，属于基础题． 利用同角三角函数的基本关系求得sinθ=−√1−cos 2θ=−√1−925=−45，再利用诱导公式和二倍角公式求解即可． 【解答】解：因为cosθ=35,tanθ<0，则θ为第四象限角， sinθ=−√1−cos 2θ=−√1−925=−45，则sin (π−2θ)=sin2θ=2sinθcosθ=2×(−45)×35=−2425， 故选A ．。
数学高中必修一三角函数题型总结
数学高中必修一三角函数题型总结
1.三角函数的基本概念与性质：
-三角函数（正弦、余弦、正切）的概念及定义域。
-同角三角函数基本关系：平方关系sin²α+cos²α=1，倒数关系tanα=sinα/cosα，商数关系cotα=1/tanα。
-诱导公式，包括终边相同的角的三角函数值相等，以及π±α，π/2±α，3π/2±α等特殊角度的三角函数值。
2.三角函数图象与性质：
-正弦函数y=sinx、余弦函数y=cosx、正切函数y=tanx的图象绘制及其周期性、奇偶性、单调性、对称性等性质。
-利用图象求解方程，如求使sinx=a或cosx=a成立的x的取值集合。
3.和差化积与积化和差公式：
-sin（A+B），sin（A-B），cos（A+B），cos（A-B）的和差公式。
-sinAcosB，cosAsinB转化为sin（A+B）和sin（A-B）的形式。
4.解三角形问题：
-已知两边及一边的对角求解三角形（正弦定理、余弦定理的应用）。
-利用三角函数知识解决实际问题，例如测量问题、方向角问题等。
5.三角函数的综合应用：
-求三角函数的最大值和最小值问题。
-在直角坐标系下，利用三角函数表示点的坐标或者线段长度等。
高一三角函数题型总结
高一三角函数题型总结1.已知角范围和其中一个角的三角函数值，可以求出任意角的三角函数值。
具体方法是，首先画出直角三角形，然后利用勾股定理算出三角形的大小，并根据角的范围判断三角函数的正负。
例如，已知角α为第二象限角，且sinα=，则可以求出cosα、tanα和cotα的值。
2.一个式子如果满足关于sinα和cosα的分式和齐次式，就可以实现tanα之间的转化。
例如，已知sinα-2cosα/3sinα+5cosα=-5，可以求出tanα的值。
3.已知三角函数sinα和cosα的和或差的形式，可以通过等式两边完全平方求出sinα.cosα的值。
需要注意的是，在三角函数中判断正负时，要利用角的范围进行取舍。
例如，已知角α在π/2和π之间，且sinα+cosα=，可以求出sinα.cosα的值。
4.利用“加减2kπ”大角化小角，负角化正角，可以求出三角函数的值。
例如，求值：sin(-1/4π)+cosπ·tan4π-cosπ=；可以利用大角化小角和负角化正角的方法求出sinα.cosα和cosα-sinα的值。
练题：1.已知sinα=4/5，且α为第二象限角，那么tanα的值等于-3/4.2.已知sinαcosα=3/4，且π<α<2π/3，那么cosα-sinα的值为-1/2.3.设α是第二象限角，则sinα/cosα-1/tan2α=-1.4.若tanθ=3/4，那么θ的值为arctan(3/4)。
5.已知13/23，π<θ<π，那么sinθ.cosθ的值为±10/23.6.若α是三角形的一个内角，且sinα+cosα=2/3，那么三角形为直角三角形。
三角函数诱导公式诱导公式可以概括为将 $\pi/2\cdot k\pm\alpha$ 的三角函数值转化为角度 $\alpha$ 的三角函数值。
（其中 $k$ 指奇数或偶数，$\alpha$ 相当于锐角）口诀“奇变偶不变，符号看象限。
高一数学必修一三角函数题型
高一数学必修一三角函数题型
高一数学必修一的三角函数部分主要包含以下几种题型：
1. 基本概念题：考察学生对三角函数的基本概念和性质的理解，例如求解角度的正弦、余弦、正切等比例关系，判断三角函数的正负性等。
2. 角度关系题：考察学生对角度关系的理解和运用，例如根据已知角度的三角函数值，求解其他角度的三角函数值，或者根据三角函数值的关系确定角度的范围等。
3. 三角函数的图像题：考察学生对三角函数图像的掌握，例如根据函数的周期、幅值、相位差等特征画出三角函数的图像，或者根据图像确定函数的性质和参数。
4. 三角函数的恒等式与方程题：考察学生对三角函数的恒等式和方程的理解和运用，例如根据恒等式化简三角函数表达式，或者解三角方程等。
5. 三角函数的应用题：考察学生运用三角函数解决实际问题的能力，例如求解三角形的面积、边长、角度等，或者求解物体运动的高度、速度等问题。
这些题型涵盖了三角函数的基本概念、性质、图像、恒等式、方程以及应用等方面的内容。
通过不断的练习和掌握，可以提高对三角函数的理解和运用能力，为学习高中数学打下坚实的基础。
三角函数与解三角形题型
三角函数和解三角形是高中数学中的重要内容，它们在实际中应用广泛，如测量高度、角度、距离等。
下面简单介绍一些常见的三角函数应用和解三角形的题型。
1. 三角函数应用题型
(1) 根据两边求角/根据一边和一个角求另一个角/根据两角求第三角
这类题目通常需要用到三角函数的反函数和三角函数关系式，根据给定的两边或一个边和一个角或两个角，求第三个角的大小。
需要注意使用对应的三角函数和反函数，或者利用正弦定理和余弦定理。
(2) 根据两角求角平分线/垂直平分线等
这类题目通常需要应用三角函数、对称性质等知识，利用角平分线定理和垂直平分线定理求解。
(3) 根据角度求高度/距离等
这类题目常常需要使用正弦函数、余弦函数和三角函数关系
式，得出高度或距离与角度之间的关系，然后求解。
2. 解三角形题型
(1) 已知三角形其中两边和一个角
可以使用余弦定理和正弦定理，根据所求角的三角函数求解。
(2) 已知三角形的三边
可以使用余弦定理计算出角度，然后使用正弦定理求出其他角度或者用正弦函数/余弦函数计算出所求角对应的边。
(3) 已知三角形其中一个角和两边之比
可以用正弦函数或余弦函数计算出所求角的正弦值/余弦值，并根据三角函数关系式求解其他角度或边长。
在应用三角函数和解三角形的题型中，需要注意应用公式的正确性和相应角度的变化，考虑各种情况的可能性，带上单位，不要忘记计算结果的合理性等问题。
高考三角函数重要题型总结1汇编
高考三角函数重要题型总结（一）1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域。
2.已知函数2()sin 3sin sin()(0)2f x x x x πωωωω=++的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f (x )在区间[0，23π]上的取值范围. 3.（本小题满分12分）已知向量(sin ,cos ),(1,2)m A A n ==-,且0.m n = (Ⅰ)求tan A 的值；(Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R )的值域.4.．（本小题满分13分）已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． （1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值． 5. 已知函数2()sin cos cos 2.222x x x f x =+- （Ⅰ）将函数()f x 化简成sin()(0,0,[0,2))A x B A ωϕϕϕπ++>>∈的形式，并指出()f x 的周期； （Ⅱ）求函数17()[,]12f x ππ在上的最大值和最小值 6.．已知函数x x x x f sin 2sin 2cos )(22+-=. （I ）求函数)(x f 的最小正周期； （II ）当)4,0(0π∈x 且524)(0=x f 时，求)6(0π+x f 的值。
7．已知1tan 3α=-，5cos ,5β=,(0,)αβπ∈ （1）求tan()αβ+的值； （2）求函数()2sin()cos()f x x x αβ=-++的最大值．8.已知函数()3sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+-+（0πϕ<<，0ω>）为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为π2．（Ⅰ）求π8f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位后，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间．9.已知函数()2sin cos 3cos 442x x x f x =+．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值； （Ⅱ）令π()3g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 10.求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值． （17）（本小题满分12分）已知函数22s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是2π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合．11.已知函数f (x )=sin2x ，g (x )=cos π26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，直线()x t t =∈R 与函数()()f x g x ，的图像分别交于M 、N 两点．（1）当π4t =时，求｜MN ｜的值；（2）求｜MN ｜在π02t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时的最大值．12．已知函数2π()2sin 3cos 24f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．（I ）求()f x 的最大值和最小值；（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围． 13．已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．求：（I ）函数()f x 的最小正周期；（II ）函数()f x 的单调增区间．14.设函数b a x f 、=)(.其中向量2)2π(R,),1,sin 1(),cos ,(=∈+==f x x b x m a 且.（Ⅰ）求实数m的值; （Ⅱ）求函数)f的最小值.(x。
三角函数的图象与性质6大题型
三角函数的图象与性质6大题型三角函数的图象与性质是高考的热点，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换以及三角函数的周期性、对称性、单调性之间逻辑关系则是重心。
随着新高考改革的推进，更加注重对以周期性为核心的三大性质之间的逻辑关系的考查，要求考生能用几何直观和代数运算来研究三角函数。
高考中的相关试题多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏下。
一、三角函数性质问题相关方法1、周期的计算公式:函数)0()cos(),sin(>+=+=ωϕωϕωx A y x A y 的周期为ωπ2=T ，函数)0()tan(>+=ωϕωx A y 的周期为ωπ=T 求解.2、奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为x A y ωsin =或x A y ωtan =的形式，而偶函数一般可化为b x A y +=ωcos 的形式.3、解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心.方法：整体处理法、代入验证法对于函数)0()cos(),sin(>+=+=ωϕωϕωx A y x A y ，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线0x x =或点)0,(0x 是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验)(0x f 的值进行判断.4、确定函数)0,0()sin(>>+=ωϕωA x A y 单调区间的方法采用“换元”法整体代换，将‘ϕω+x ’看作一个整体，可令“ϕω+=x z ”，即通过求z A y sin =的单调区间而求出函数的单调区间.若0<ω，则可利用诱导公式先将x 的系数转变为正数，再求单调区间.二、三角函数图形变换问题解决三角函数图像变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：1、定函数：一定要看准是将哪个函数的图像变换得到另一个函数的图像.2、变同名：函数的名称要一样.3、选方法：即选择变换方法.要注意：对于函数)0(sin >=ωωx y 的图像，向左平移ϕ个单位长度得到的是函数)(sin ϕω+=x y 的图象，而不是函数)sin(ϕω+=x y 的图像.【题型1【例1】（2023·湖南湘潭·统考二模）函数2cos2()sin xf x x+=的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【变式1-1】（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）函数()21sin 2f x x x x =-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【变式1-2】（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）函数()cos e =xf x 的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【变式1-3】（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）函数()cos ln xf x x xππ+=⋅-在(),ππ-上的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【变式1-4】（2022秋·四川遂宁·高三遂宁中学校考阶段练习）函数()(tan sin 2)22x x y x x -=--的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【题型2根据图象求三角函数解析式】【例2】（2023秋·湖南怀化·高三统考期末）已知函数()2cos()(0)f x x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则()0f =（）A ．1B ．1-CD ．【变式2-1】（2022秋·贵州铜仁·高三校考阶段练习）已知A ，B ，C ，D ，E 是函数sin()y x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫><< ⎪⎝⎭一个周期内的图像上的五个点，如图，A ,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 为y 轴上的点，C 为图像上的最低点，E 为该函数图像的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD 在x 轴上的投影为12π，则ωφ，的值为（）A ．2ω=，3πϕ=B ．2ω=，6πϕ=C ．12ω=，3πϕ=D ．12ω=，6πϕ=【变式2-2】（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图，BC x ∥轴，当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若不等式()sin 2f x m x ≥-恒成立，则m 的取值范围是（）A．⎛-∞ ⎝⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(-∞D ．(],1-∞【变式2-3】（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）已知函数π()sin()0,||2ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭f x x ，若()()1g x f x ⋅=，且函数()g x 的部分图象如图所示，则ϕ等于（）A ．π3-B ．π6-C ．π6D ．π3【变式2-4】（2023·全国·模拟预测）（多选）已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将()f x 的图象向右平移()0m m >个单位长度后得到函数()()sin 2g x A x ωϕ=-的图象，则m 的值可以是（）A ．π4B ．π3C ．4π3D ．9π4【题型3三角函数图象变换问题】【例3】（2023秋·江西赣州·高三统考期末）函数()()sin f x x ωϕ=+（其中0ω>，π2ϕ<）的图象如图所示，为了得到cos y x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有点（）A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π6个单位长度【变式3-1】（2022·四川·高三统考对口高考）为了得到函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有的点（）A ．向左平移4π个单位B ．向右平移4π个单位C ．向左平移2π个单位D ．向右平移2π个单位【变式3-2】（2022·陕西汉中·统考一模）为得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将sin2y x =的图象（）A ．向左平移512π个单位长度B ．向右平移512π个单位长度C ．向左平移23π个单位长度D ．向右平移23π个单位长度【变式3-3】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知函数π()3sin (0)6f x x ωω⎛⎫-> ⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度后与其导函数()y f x '=的图象重合，则()f ϕ的值为（）A ．0B ．32C ．62D ．32【变式3-4】（2022·全国·模拟预测）已知函数()3sin cos f x x x =-的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位长度后得到()f x 的导函数()f x '的图象，则()f ϕ=（）A ．3-B ．3C ．1D ．1-【变式3-5】（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）将函数()sin 2c 2πos π63f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象上的所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），然后再将其图象向左平移()0θθ>单位得到图象()g x ，若函数()g x 图象关于y 轴对称，则θ的最小值为（）A ．π3B ．π6C ．π12D ．π24【题型4三角函数的四种性质】【例4】（2023秋·河南南阳·高三统考期末）已知函数()()()sin cos f x x x ϕϕ=+++是偶函数,则3sin 2cos 2sin 3cos ϕϕϕϕ-=+______．【变式4-1】（2023秋·河北邢台·高三邢台市第二中学校考期末）函数9cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为______.【变式4-2】（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）已知函数()tan tan f x x x =+，则下列结论中正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心C ．()f x 的值域为[)0,∞+D ．不等式()2f x >的解集为()ππ2,2πZ 42k k k π⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭【变式4-3】（2023·四川内江·统考一模）已知函数()()1sin cos sin (0)2f x x x x ωωωω=-+>，若函数()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω不能取（）A ．23B ．13C ．58D ．14【变式4-4】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）（多选）设函数()()sin f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，3πϕ<.若1409f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，419f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于52π，则（）A ．14ω=B ．6πϕ=C ．()f x 在()2,3ππ上单调递增D ．()f x 在()0,3π上存在唯一的极值点【变式4-5】（2023·安徽淮南·统考一模）（多选）已知函数()()πsin ,12,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭图像过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，且存在12,x x ，当122πx x -=时，()()120f x f x ==，则（）A ．()f x 的周期为4π3B ．()f x 图像的一条对称轴方程为5π9x =-C ．()f x 在区间4π10π,99⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减D ．()f x 在区间()0,5π上有且仅有4个极大值点【变式4-6】（2023秋·湖北·高三统考期末）（多选）已知函数()2sin sin 2f x x x =，则下列说法正确的是（）A ．π是()f x 的一个周期B ．()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．()f x 在区间[]0,2π上的零点个数为4D ．()f x 的最大值为8【变式4-7】（2023春·浙江·高三校联考开学考试）（多选）已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A ．()0f =B ．()f x 的最小正周期为π2C ．()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【题型5三角函数的最值问题】【例5】（2022秋·北京·高三北京市八一中学校考阶段练习）定义运算,,,.a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩※例如，121=※，则函数()sin cos f x x x =※的值域为（）A ．1,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．22⎡-⎢⎣⎦【变式5-1】（2023秋·湖南株洲·已知定义域为R 的函数(),()f x g x 满足()()πf x f x +=-，且()()cos π,g x x f x =++()()sin πf x x g x =-+，则当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()y f x g x =的最小值为（）A ．0B ．2CD ．38【变式5-2】（2022秋·安徽·高三石室中学校联考阶段练习）如图是函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的部分图象，则()f x 在,9045⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π22π上的值域为（）A ．[]1,1-B ．1322⎡⎢⎣⎦C ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．32⎡-⎢⎣⎦【变式5-3】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）函数()25cos 4sin 53cos f x x x x -+的最大值为（）.A ．22B ．23C ．5D ．3【变式5-4】（2023秋·北京丰台·高三统考期末）已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+>⎪⎝⎭，若ππ62f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值无最大值，则ω=___________．【变式5-4】（2020秋·吉林白城·高三校考阶段练习）已知向量1(cos ,)2a x = ，(3,cos 2),Rb x x x =∈，设函数()f x a b =⋅ ．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在π[0,]2上的最大值和最小值．【题型6三角函数的零点问题】【例6】（2022·四川宜宾·统考模拟预测）若函数()π2sin 213f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()f x 在区间[]0,2π上零点的个数是_______．【变式6-1】（2023·全国·高三对口高考）已知0ω>，函数()πsin 16f x x ω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间[]0,π上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是________．【变式6-2】（2022秋·河南濮阳·高三统考阶段练习）已知函数5π()cos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有1个零点，则实数ω的取值范围为______.【变式6-3】（2023秋·福建宁德·高三校考阶段练习）若函数()1cos42f x x x m =-+-在π04⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上存在两个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．3522⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．3522⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C．1522⎛⎤+ ⎥⎝⎦，D．1522⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭，【变式6-4】（2023秋·山西·高三校联考阶段练习）已知函数()()221sin 2π,,3213,,x a x a f x x a x a x a ⎧⎡⎤⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥=⎝⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩.若()f x 在()0,∞+上恰好有5个零点，则a 的取值范围是（）A ．411,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．411717,,3636⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦C ．1167,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．43117,,3263⎛⎤⎛⎤⋃ ⎝⎦⎝⎦【变式6-5】（2022秋·广西桂林·高三校考阶段练习）已知定义在R 上的函数()y f x =是偶函数，当0x ≥时，()2sin ,01213,122x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()()20,R f x af x b a b ++=∈⎡⎤⎣⎦，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．34,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．74,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．7734,222⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪⎝⎭⎝⎭D ．324,1,27⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【变式6-6】（2023秋·山东烟台·高三统考期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足：2f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，且()()8sin ,021,02x x f x f x x ππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩；函数()lg 2g x x π=+，则当[]4,3x ππ∈-时，函数()()y f x g x =-的所有零点之和为（）A ．7π-B ．6π-C ．72π-D ．3π-（建议用时：60分钟）1．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）将函数()π3cos (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移π6ω个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()y g x =在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的最大值为（）A ．2B ．83C ．103D ．42．（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）已知函数()()sin f x x ϕ=-且2cos πcos 3ϕϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的一条对称轴是（）A ．5π6x =B ．7π12x =C ．π3x =D ．π6x =3．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）函数()πcos()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，且()302f =．则下列选项正确的是（）A ．π3ϕ=-B ．π122f ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 在区间2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数D ．()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数π()2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π上单调递增，且2π()3f x f ⎛⎫≥-⎪⎝⎭恒成立，则ω的值为（）A ．2B ．32C ．1D ．125．（2022·四川成都·成都市第二十中学校校考一模）已知函数()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论不正确的是（）A ．π为函数()f x 的一个周期B ．2π,03⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心C ．函数()f x 在区间[],a a -上单调递增，则实数a 的最大值为5π12D ．将函数()f x 的图象向右平移π12个单位长度后，得到一个偶函数的图象6．（2022·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）已知()()()π2tan 0,,02f x x f ωϕωϕ⎛⎫=+><= ⎪⎝，周期π3ππ,,446T ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是()f x 的对称中心，则π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A ．BC D ．3-7．（2023秋·山东东营·高三东营市第一中学校考期末）（多选）关于函数2()cos 4cos 1f x x x =++，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 在π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为6B ．函数()f x 在π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2C ．函数()f x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减8．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）（多选）设()sin 22cos f x x x =+，x ∈R ，则（）.A ．()f x 在区间[]0,2π上有2个零点B ．()f x 的单调递增区间为π7ππ,π26k k ⎛⎫++⎪⎝⎭，k ∈Z C ．()f x 的图象关于直线ππ3x k =+对称D ．()f x 的值域为0,2⎡⎢⎣⎦9．（2023·湖南长沙·统考一模）已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>,若函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,且关于直线π3x =轴对称,则ω的最小值为______．10．（2022秋·四川遂宁·高三校考阶段练习）已知函数()()7ππsin 12f x x x ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭则函数()f x 的对称中心_________11．（2021·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知函数23()sin sin cos (,,0)2f x a x x x a b a b a =-+<，（1）若当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域为[]5,1-，求实数,a b 的值；（2）在（1）条件下，求函数()f x 图像的对称中心和单调区间.12．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）已知函数()()(0,0f x x ωϕωϕ=+><<sin π的最小正周期为π，且直线π2x =-是其图像的一条对称轴.（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图像向右平移π4个单位，再将所得的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图像对应的函数记作()y g x =，已知常数R λ∈，*n ∈N ，且函数()()212sin F x x g x λ=-+在()0,πn 内恰有2021个零点，求常数λ与n 的值.参考答案【题型1三角函数的图象辨析】【例1】（2023·湖南湘潭·统考二模）函数2cos2()sin xf x x+=的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()f x 的定义域为{}π,Z x x k k ≠∈，关于原点对称，因为2cos(2)2cos2()()sin()sin x xf x f x x x+-+-==---，所以()f x 为奇函数，故排除C,D ,又π102f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以排除B,故选：A【变式1-1】（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）函数()21sin 2f x x x x =-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()f x 的定义域为R ，2211()()()sin()sin ()22f x x x x x x x f x -=----=-=，所以()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除C ，D 选项；()21ππ02f =>，排除B 选项.所以A 选项正确.故选：A【变式1-2】（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）函数()cos e =xf x 的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意得函数定义域为R ，且()()()cos cos ee --===x xf x f x ，∴()f x 为偶函数，故排除选项B ，∵()()cos e2πe xf x f k =≤=，Z k ∈，()0e f =为最大值，∴排除选项D ，∵()()()cos 2πcos 2πee x xf x f x ++===，∴()f x 是2π为周期的周期函数，∴排除选项A.故选：C【变式1-3】（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）函数()cos ln xf x x xππ+=⋅-在(),ππ-上的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为()()cos lnxf x x f x xππ--=⋅=-+，所以f （x ）是奇函数，排除A ，D ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，ln0xxπ+>π-，所以()0f x >，排除C ，故选：B ．【变式1-4】（2022秋·四川遂宁·高三遂宁中学校考阶段练习）函数()(tan sin 2)22x x y x x -=--的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题得函数的定义域为π{|π,}2x x k k Z ≠+∈，定义域关于原点对称.设()()(tan sin 2)22x xf x x x -=--，所以()()(tan sin 2)22x x f x x x --=-+-()(tan sin 2)22()x xx x f x -=--=，所以函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项D.又(π)=0f ，所以排除选项B.当π2x →时，tan ,sin 20,x x →+∞→()220x x-->，所以此时()0f x >.故选：A【题型2根据图象求三角函数解析式】【例2】（2023秋·湖南怀化·高三统考期末）已知函数()2cos()(0)f x x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则()0f =（）A ．1B ．1-CD ．【答案】C【解析】观察函数图象得，函数()f x 的周期413()3123T πππ=-=，则22Tπω==，而13212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即13cos 16πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则有132,Z 6k k πϕπ+=∈，因此132Z 6k k πϕπ=-∈，即有13()2cos(22)2cos(2)66f x x k x πππ=+-=-，所以()02cos()6f π=-故选：C【变式2-1】（2022秋·贵州铜仁高三校考阶段练习）已知A ，B ，C ，D ，E 是函数sin()y x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫><< ⎪⎝⎭一个周期内的图像上的五个点，如图，A ,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 为y 轴上的点，C 为图像上的最低点，E 为该函数图像的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD在x 轴上的投影为12π，则ωφ，的值为（）A ．2ω=，3πϕ=B ．2ω=，6πϕ=C ．12ω=，3πϕ=D ．12ω=，6πϕ=【答案】A【解析】因B 与D 关于点E 对称，CD 在x 轴上的投影为12π，则B 与图像最高点（最靠近B 点）连线所对应向量在x 轴上的投影为12π，又A ,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则A 与图像最高点(最靠近B 点)连线对应向量在x 轴上的投影为πππ6124+=，故函数最小正周期为24πππ=4ω⨯=，又0ω>，则2ω=.又因函数图像过点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2ππ,Z 3φk k -+=∈，得2ππ,Z 3φk k =+∈，又02πϕ<<，则0k =，得π3ϕ=.综上，有2ω=，π3ϕ=.故选：A【变式2-2】（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图，BC x ∥轴，当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若不等式()sin 2f x m x ≥-恒成立，则的取值范围是（）A ．⎛-∞ ⎝⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(-∞D ．(],1-∞【答案】A【解析】因为//BC x 轴，所以()f x 图象的一条对称轴方程为1π2π7π()22312x =+=，所以7πππ41234T =-=，则πT =，所以2π2T ω==，又π2π2π3k ϕ⨯+=+，Z k ∈，且0πϕ<<，所以π3ϕ=，故π()sin(23f x x =+，因为当π[0,]4x ∈时，不等式()sin 2f x m x ≥-恒成立，所以π3π()sin 2sin(2)sin 2sin 2cos 2sin(2)3226m f x x x x x x x ≤+=++=++，令()π26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ2π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以π())6g x x +的最小值为2，所以2m ≤，即m ⎛∈-∞ ⎝⎦．故选：A ．【变式2-3】（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）已知函数π()sin()0,||2ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭f x x ，若()()1g x f x ⋅=，且函数()g x 的部分图象如图所示，则ϕ等于（）A ．π3-B ．π6-C ．π6D ．π3【答案】B【解析】由图可知，函数()g x 过点π,13⎛⎫⎪⎝⎭和点5π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，即π135π16g g⎧⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，又因为()()1g x f x ⋅=，所以π135π16f f ⎧⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，结合正弦型函数的性质可知，5ππ263T =-，解得πT =，所以2ππω=，解得2ω=±，因为0ω>，所以2ω=所以()sin(2)f x x ϕ=+，所以πsin(2)13ϕ⨯+=，即2ππ2π32k ϕ+=+，Z k ∈解得π2π6k ϕ=-+，Zk ∈因为π||2ϕ<，所以π6ϕ=-，故选：B.【变式2-4】（2023·全国·模拟预测）（多选）已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将()f x 的图象向右平移()0m m >个单位长度后得到函数()()sin 2g x A x ωϕ=-的图象，则m 的值可以是（）A ．π4B ．π3C ．4π3D ．9π4【答案】AD【解析】由图象可知：2A =，最小正周期5ππ4π126T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，2π2T ω∴==，ππ2sin 263f ϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()ππ2π32k k ϕ∴+=+∈Z ，解得：()π2π6k k ϕ=+∈Z ，又π2ϕ<，π6ϕ∴=，()π2sin 26f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()π2sin 226f x m x m g x ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭ ，()ππ22π63m k k ∴-+=-+∈Z ，解得：()ππ4m k k =-∈Z ，当0k =时，π4m =；当2k =-时，9π4m =.故选：AD.【题型3三角函数图象变换问题】【例3】（2023秋·江西赣州·高三统考期末）函数()()sin f x x ωϕ=+（其中0ω>，π2ϕ<）的图象如图所示，为了得到cos y x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有点（）A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π6个单位长度【答案】C【解析】由图象可知，712344Tπππ-==，所以T π=，又因为2T πω=，所以2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，又因为771,sin 211212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=-∴⨯+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又||2ϕπ<，所以,3πϕ=所以()sin 2cos 2cos 2cos 2332612f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为()cos 2g x x =，所以只需把()y f x =的图象上所有点向左平移π12个单位长度可得()cos 2g x x=的图象.故选：C.【变式3-1】（2022·四川·高三统考对口高考）为了得到函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有的点（）A ．向左平移4π个单位B ．向右平移4π个单位C ．向左平移2π个单位D ．向右平移2π个单位【答案】A【解析】依题意，sin(2)sin(2)sin[2()]42444y x x x πππππ=+=+-=+-，所以把函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点向左平移4π个单位可以得到函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，A 正确.故选：A 【变式3-2】（2022·陕西汉中·统考一模）为得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将sin2y x =的图象（）A ．向左平移512π个单位长度B ．向右平移512π个单位长度C ．向左平移23π个单位长度D ．向右平移23π个单位长度【答案】A【解析】555cos 2cos 2sin 2sin 2362612y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故可由sin2y x =的图象向左平移512π个单位长度得到.故选：A.【变式3-3】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫-> ⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度后与其导函数()y f x '=的图象重合，则()f ϕ的值为（）A ．0B ．2C ．2D ．32【答案】D【解析】因为π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以()ππcos sin (0)63f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=-=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，而函数()f x 的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度后得到()()ππsin (0)66f x x x ϕωϕωωϕω⎡⎤⎛⎫++-+-> ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，由题意得()()f x f x ϕ+='，所以ππ2π,Z 63k k ωϕ=⎨-=+∈⎪⎩,解得1π2π,Z 2k k ωϕ=⎧⎪⎨=+∈⎪⎩且0ϕ>，所以πππ3()2π2632f k ϕ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，故选：D 【变式3-4】（2022·全国·模拟预测）已知函数()3sin cos f x x x =-的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位长度后得到()f x 的导函数()f x '的图象，则()f ϕ=（）A ．3-B ．3C ．1D ．1-【答案】B【解析】因为()3sin cos f x x x =-，所以()3cos sin f x x x =+'，而()()()3sin cos 3sin cos 3cos sin cos cos sin sin f x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕ+=+-+=+-+()()3cos sin sin 3sin cos cos x x ϕϕϕϕ=++-⋅，由题意得()()f x f x ϕ+='，所以3cos sin 13sin cos 3ϕϕϕϕ+=⎧⎨-=⎩,解得sin 1cos 0ϕϕ=⎧⎨=⎩，所以()3sin cos 3f ϕϕ=-=，故选：B.另解：因为()3sin cos f x x x =-，所以()3cos sin f x x x =+'，由题意知()()f x f x ϕ+='对一切实数x 恒成立，所以令0x =，得()()03cos 0sin 03f f ϕ'==+=，故选：B.【变式3-5】（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）将函数()sin 2c 2πos π63f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象上的所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），然后再将其图象向左平移()0θθ>单位得到图象()g x ，若函数()g x 图象关于y 轴对称，则θ的最小值为（）A ．π3B ．π6C ．π12D ．π24【答案】C 【解析】()πsin 2cos 2sin 2co i ππs 22s n26366πππ62f x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+++-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,由()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变）得到π2sin 46⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x ，将其图象向左平移()0θθ>单位得到图象()46π2sin 4g x x θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，而()g x 图象关于y 轴对称，∴4π,Z 6π2πk k θ+=+∈，∵0θ>，∴当0k =时，θ取最小值π12.故选：C.【题型4三角函数的四种性质】【例4】（2023秋·河南南阳·高三统考期末）已知函数()()()sin cos f x x x ϕϕ=+++是偶函数,则3sin 2cos 2sin 3cos ϕϕϕϕ-=+______．【答案】15【解析】由题知数()()()sin cos f x x x ϕ=+++是R 上偶函数，所以()()ππ22f f =-,即()()()()ππππsin cos sin cos 2222ϕϕϕϕ+++=-++-+，即cos sin cos sin ϕϕϕϕ-=-+，即cos sin ϕϕ=，tan 1ϕ=,所以3sin 23sin 2cos 321cos 2sin 2sin 3cos 2353cos ϕϕϕϕϕϕϕϕ---===+++.故答案为:15【变式4-1】（2023秋·河北邢台·高三邢台市第二中学校考期末）函数9cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为______.【答案】()π5ππ,πZ 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】由9πcos 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭＝cos π24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝cos π24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得2kπ≤2x －4π≤2k π＋π(k ∈Z )，解得kπ＋π8≤x ≤kπ＋58π(k ∈Z )，所以函数的单调递减区间为π5ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ).故答案为：()π5ππ,πZ 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.【变式4-2】（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）已知函数()tan tan f x x x =+，则下列结论中正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心C ．()f x 的值域为[)0,∞+D ．不等式()2f x >的解集为()ππ2,2πZ 42k k k π⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】()π2tan ,[π,π),Z 2tan tan π0,(π,π),Z 2x x k k k f x x x x k k k ⎧∈+∈⎪⎪=+=⎨⎪∈-+∈⎪⎩，作出()f x的图象，如图，观察图象，()f x 的最小正周期为π，A 错误；()f x 的图象没有对称中心，B 错误；()f x 的值域为[)0,∞+，C 正确；不等式()2f x >，即π[π,π)(Z)2x k k k ∈+∈时，2tan 2x >，得tan 1x >，解得ππππ,Z 42k x k k +<<+∈，所以()2f x >的解集为ππ(π,π)()42Z k k k +∈+，故D 错误.故选：C【变式4-3】（2023·四川内江·统考一模）已知函数()()1sin cos sin (0)2f x x x x ωωωω=-+>，若函数()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω不能取（）A ．23B ．13C ．58D ．14【答案】A【解析】因为()()1sin cos sin 2f x x x x ωωω=-+21sin cos sin 2x x x ωωω=⋅-+11cos 21sin 2222x x ωω-=-+1(sin 2cos 2)2x x ωω=+(sin 2cos 2)222x x ωω=⋅⋅π)4x ω=+由ππ3π2π22π242k x k ω+≤+≤+，Z k ∈，得ππ5ππ88k k x ωωωω+≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递减区间为ππ5ππ,88k k ωωωω⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .又函数()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭⊆ππ5ππ,88k k ωωωω⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ，所以πππ825πππ8k k ωωωω⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，Z k ∈，因为0ω>，所以15248k k ω+≤≤+，Z k ∈，当23ω=时，得1252438k k +≤≤+，得152424k ≤≤，不成立；所以23ω=不可取；当13ω=时，得1152438k k +≤≤+，得712412k -≤≤,因为Z k ∈，所以0k =时，13ω=可取到；当58ω=时，得1552488k k +≤≤+，得3016k ≤≤，因为Z k ∈，所以0k =时，58ω=可取到；当14ω=时，得1152448k k +≤≤+，得308k -≤≤，因为Z k ∈，所以0k =时，14ω=可取到.综上所述：ω不能取23.故选：A【变式4-4】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）（多选）设函数()()sin f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，3πϕ<.若1409f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，419f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于52π，则（）A ．14ω=B ．6πϕ=C ．()f x 在()2,3ππ上单调递增D ．()f x 在()0,3π上存在唯一的极值点【答案】BC【解析】函数()()sin f x x ωϕ=+的最小正周期为T ，由1409f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭及419f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得：414(21)()2,N 499T k k πππ*⋅-=--=∈，则8,N 21T k k π*=∈-，而52T π>，即有5822,N 1k k ππ*>∈-，解得21,N 10k k *<∈，即1k =或2k =，当1k =时，18,4T πω==，由419f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得1114,Z 492k k ππϕπ⨯+=+∈，有117,Z 18k k πϕπ=+∈，而3πϕ<，显然不存在整数1k ，使得3πϕ<，当2k =时，83,34T πω==，由419f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得2234,Z 492k k ππϕπ⨯+=+∈，有22,Z 6k k πϕπ=+∈，而3πϕ<，于是得20,6k πϕ==，符合题意，所以83,,346T ππωϕ===，A 不正确，B 正确；3()sin()46f x x π=+，当23x ππ<<时，532934612x πππ<+<，而函数sin y x =在529(,)312ππ上单调递增，所以函数()f x 在()2,3ππ上单调递增，C 正确；当03x π<<时，32964612x πππ<+<，而函数sin y x =在29(,)612ππ上两个极值点，一个极大值点，一个极小值点，所以函数()f x 在()0,3π上有两个极值点，一个极大值点，一个极小值点，D 不正确.故选：BC【变式4-5】（2023·安徽淮南·统考一模）（多选）已知函数()()πsin ,12,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭图像过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，且存在12,x x ，当122πx x -=时，()()120f x f x ==，则（）A ．()f x 的周期为4π3B ．()f x 图像的一条对称轴方程为5π9x =-C ．()f x 在区间4π10π,99⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减D ．()f x 在区间()0,5π上有且仅有4个极大值点【答案】ACD【解析】因为()f x 图像过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭且π2ϕ<，所以1sin 2ϕ=-，解得π6ϕ=-，因为存在12,x x ，当122πx x -=时，()()120f x f x ==，所以π2π2T k k ω⋅==，即2k ω=，*N k ∈，又因为12ω<<，所以32ω=，所以()3πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，选项A ：()f x 的周期2π4π332T ==，正确；选项B ：()f x 图像的对称轴为3πππ262x k -=+，解得4π2π93kx =+，Z k ∈，令5π4π2π993k-=+，k 无整数解，B 错误；选项C ：当4π10π,99x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，3ππ3π,2622x ⎡⎤-∈⎢⎣⎦，所以由正弦函数的图像和性质可得()f x 在区间4π10π,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，C正确；选项D ：当()0,5πx ∈时，3ππ22π,2663x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以由正弦函数的图像和性质可得()f x 在区间()0,5π有4个极大值点，3个极小值点，D 正确；故选：ACD【变式4-6】（2023秋·湖北·高三统考期末）（多选）已知函数()2sin sin 2f x x x =，则下列说法正确的是（）A ．π是()f x 的一个周期B ．()f x 的图象关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称C ．()f x 在区间[]0,2π上的零点个数为4D ．()f x 的最大值为8【答案】ABD 【解析】对于A ，因为()2(π)sin (π)sin 2(π)f x x x +=++()22sin sin 2sin sin 2()x x x x f x =-==，所以π是()f x 的一个周期，故A 正确；对于B ，()2π(2)(π)sin (π)sin 2(π)2f x f x x x ⨯-=-=--22sin sin(2)sin sin 2()x x x x f x =-=-=-，所以()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故B 正确；对于C ，由()2sinsin 2f x x x =0=，得πx k =或2πx k =，Z k ∈，得πx k =或π2k x =，Z k ∈，由0π2πk ≤≤及Z k ∈得0k =或1k =或2k =，所以0x =或2πx =或πx =，由π02π2k ≤≤及Z k ∈得0k =或1k =或2k =或3k =或4k =，所以0x =或π2x =或πx =或3π2x =或2πx =，所以()f x 在区间[]0,2π的零点为0x =，π2x =，πx =，3π2x =，2πx =,共5个,故C 错误；对于D ，()2sinsin 2f x x x =2sin 2sin cos x x x =⋅32sin cos x x =，所以()262()4sin cos f x x x =624sin (1sin )x x =-，设2sin [0,1]t x =∈，34(1)y t t =-3444(01)t t t =-≤≤，则23212164(34)y t t t t '=-=-，令0'>y ，得304t <<，令0'<y ，得314t <≤，所以3444(01)y t t t =-≤≤在3[0,)4上为增函数，在3(,1]4上为减函数，所以当3t 4=时，y 取得最大值为333274(1)4464⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，0=t 或1t =时，y 取得最小值为0，所以()2()f x y =27[0,64∈，所以()[f x ∈，所以()f x D 正确；故选：ABD 【变式4-7】（2023春·浙江·高三校联考开学考试）（多选）已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A ．()0f =B ．()f x 的最小正周期为π2C ．()f x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【答案】BD【解析】()ππ0tan tan 66f ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭A 错误；函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π2T =，故B 正确；π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,πππ666x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 错误；π,06x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2,π626ππx ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，故()f x 在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确．故选：BD ．【题型5三角函数的最值问题】【例5】（2022秋·北京·高三北京市八一中学校考阶段练习）定义运算,,,.a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩※例如，121=※，则函数()sin cos f x x x =※的值域为（）A．1,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．2⎡-⎢⎣⎦【答案】D【解析】根据题设中的新定义，得()sin ,sin cos cos ,sin cos x x x f x x x x≤⎧=⎨>⎩，由sin cos x x ≤可得sin cos 0x x -≤π04x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，所以π2ππ2π4k x k -≤-≤，Z k ∈，即3ππ2π2π+44k x k -≤≤，Z k ∈，由sin cos x x >可得sin cos 0x x ->π04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以π2π2π+π4k x k <-<，Z k ∈，即π5π2π+2π+44k x k <<，Z k ∈，所以()3ππsin ,2π2π,Z 44π5πcos ,2π2π,Z44x k x k k f x x k x k k ⎧-≤≤+∈⎪⎪=⎨⎪+<<+∈⎪⎩，当3ππ2π2π+44x k x k ∈-≤≤，Z k ∈，()()()2πsin 2πsin f x x x f x +=+==，当π5π2π+2π+44x k x k ∈<<，Z k ∈时，()()()2πcos 2πcos f x x x f x +=+==，所以函数()f x 为周期函数，周期为2π，作出函数()f x 在一个周期内的图象（实线部分），观察图象，可知函数()f x 的值域为22⎡-⎢⎣⎦，故选:D.【变式5-1】（2023秋·湖南株洲·高三校联考期末）已知定义域为R 的函数(),()f xg x满足()()πf x f x +=-，且()()cos π,g x x f x =++()()sin πf x x g x =-+，则当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()y f x g x =的最小值为（）A ．0B ．2CD 【答案】A【解析】()cos ()=-g x x f x ，()()()()πcos ππcos +=+-+=-+g x x f x x f x ，所以()sin cos ()f x x x f x =+-，得sin cos ()2x x f x +=，cos sin ()2x xg x -=，所以22cos sin 1()()cos 244x x y f x g x x -===，π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以0cos 21x ≤≤，10()()4≤≤f x g x ，得()()y f x g x =的最小值为0.故选：A.【变式5-2】（2022秋·安徽·高三石室中学校联考阶段练习）如图是函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的部分图象，则()f x 在,9045⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π22π上的值域为（）A ．[]1,1-B ．122⎡⎢⎣⎦C ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．⎡-⎢⎣⎦【答案】D【解析】由图象知函数的周期13ππ2π230103T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，即2π2π=3ω，即3ω=，由五点对应法得ππ32π+()102k k ϕ⨯+=∈Z ，得π2π+5k ϕ=，则π()cos 35f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为π22π,9045x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π3,563x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦，所以πcos 31,52x ⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦.故选：D【变式5-3】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）函数()3cos f x x 的最大值为（）.A ．B ．C ．D ．3【答案】D 【解析】2225cos 4sin 59cos 4cos 4sin 5x x x x x -+=--+()()22229cos 4sin 4sin 13cos 2sin 1x x x x x =+-+=+-，所以()3cos f x x ==故()f x 的最大值转化为点()3cos ,2sin P x x 到()0,1A 与()0,2sin B x 的距离之差的最大值，因为1sin 1x -≤≤，22sin 2x -≤-≤，112sin 3x -≤-≤，所以12sin 3PA PB AB x -≤=-≤，当且仅当sin 1x =-时，等号成立，则3PA PB -≤，经检验，此时cos 0x =，()303f x =⨯=，所以()3f x ≤，即()f x 的最大值为3.故选：D.【变式5-4】（2023秋·北京丰台·高三统考期末）已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+>⎪⎝⎭，若ππ62f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值无最大值，则ω=___________．【答案】4【解析】由于若ππ62f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值无最大值，πππ6223+=，则πππsin 1336f ω⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πππ2π,62,Z 362k k k ωω+=-=-∈，又ππππ,62366T ωω=≥-=≤，由于0ω>，所以ω的值为4.故答案为：4。
三角函数应用(常见题型)
三角函数应用(常见题型)一、求角的弧度和角度常用的角度单位有度和弧度两种，它们在三角函数的应用中经常被使用。
- 弧度是一个角所对应的弧长与半径之比，通常用符号“rad”表示。
角度为360度时，对应的弧度为2π弧度。
- 角度是用一个直角顶点处的一条封闭射线除以另外一条初始射线所得的比值。
通常用符号“°”表示。
角度为360度时，对应的弧度为2π弧度。
在实际计算中，经常需要将角度和弧度进行转换。
根据以上定义，可以得到下面的换算关系：- 弧度 = 角度× π / 180- 角度 = 弧度× 180 / π二、常见题型1. 根据已知边长求角度：题目描述：已知直角三角形一边长为a，另一边长为b，求其夹角C的度数。
解题思路：使用三角函数中的反函数来求解。
根据问题描述，已知a和b，可以计算出斜边长c，然后使用反正弦函数求解夹角C。
$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$$$C = \arcsin \left(\frac{b}{c}\right)$$2. 根据已知角度求边长：题目描述：已知直角三角形一边长为a，另一边长为b，其中夹角C的度数已知，求斜边的长度。
解题思路：使用三角函数中的正弦函数来求解。
根据问题描述，已知a、b和夹角C，可以使用以下公式求解斜边c的长度。
$$c = \frac{b}{\sin(C)}$$3. 角度和边长之间的关系：题目描述：已知直角三角形一边长为a，另一边长为b，其中夹角C的度数已知，求另一个夹角A的度数。
解题思路：注意，直角三角形中，角A和角C的和为90度。
所以可以利用该关系来求解角A的度数。
$$A = 90 - C$$三、总结三角函数的应用在几何学和物理学中有广泛的使用。
通过掌握常见题型的解法，我们可以更好地理解和应用三角函数，解决实际问题。
高中数学三角函数题型
高中数学三角函数题型
1.三角函数的基本计算：包括计算给定角度的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等函
数值。
2.三角函数的恒等式与解方程：通过使用三角函数的恒等式，解决各种类型的三角方程，
例如解三角方程sin(x) = 0或者cos(2x) = 1等。
3.三角函数的图像与性质：研究不同三角函数的图像特征、周期性、奇偶性、对称性以及
相应曲线的平移、伸缩等变换。
4.三角函数的复合与反函数：讨论如何计算和简化三角函数的复合表达式，并研究三角函
数的反函数及其应用。
5.三角函数的应用问题：将三角函数应用于实际问题，例如求解三角形中的边长或角度、
计算物体的运动轨迹等。
例题：
题目：已知直角三角形ABC，且∠C = 90°，AC = 5 cm，BC = 12 cm。
求角A的正弦值sin(A)和余弦值cos(A)。
解答过程：
根据直角三角形的性质，我们可以利用三角函数来求解该题。
首先，我们可以使用勾股定理求得边AB的长度。
根据勾股定理：c^2 = a^2 + b^2
代入已知数据：(12 cm)^2 = (5 cm)^2 + a^2
化简后得到：a^2 = (12 cm)^2 - (5 cm)^2
计算结果为：a ≈11.0 cm
接下来，可以求解正弦值sin(A)和余弦值cos(A)：
正弦值sin(A) = 对边/斜边= a/BC = 11.0 cm / 12 cm ≈0.917
余弦值cos(A) = 邻边/斜边= AC/BC = 5 cm / 12 cm ≈0.417
因此，角A的正弦值sin(A)约为0.917，余弦值cos(A)约为0.417。
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1.已知角围和其中一个角的三角函数值求任意角三角函数值 方法：✍画直角三角形 ✍利用勾股定理先算大小后看正负 例题：1.已知α∠为第二象限角，135sin =α求αcos 、αtan 、αcot 的值2.已知α∠为第四象限角，3tan -=α求αcos 、αsin 、αcot 的值2.一个式子如果满足关于αsin 和αcos 的✍分式 ✍齐次式 可以实现αtan 之间的转化例题：1.已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα-=-+那么的值为_____________.2.已知2tan =α，则1.ααααcos sin cos sin -+=_____________.2.αααα22cos sin cos sin -=_____________.3.1cos sin +αα=_____________.（“1”的代换）3.已知三角函数αsin 和αcos 的和或差的形式求αsin .αcos方法：等式两边完全平方（注意三角函数中判断正负利用角的围进行取舍） 例题：已知πα<∠<0，αsin +αcos =21，求✍αsin .αcos ✍αcos -αsin4.利用“加减πk 2”大角化小角，负角化正角，求三角函数值 例题：求值：sin(-236π)+cos 137π·tan4π -cos 133π= ;1.已知sin α=45，且α为第二象限角，那么tan α的值等于 （ ）(A)34 (B)43- (C)43(D)43-2.已知sin αcos α=81,且4π<α<2π，则cos α－sin α的值为 （ ）(A)23(B)43(C) (D)±233.设是第二象限角,则sin cos αα ( ) (A) 1 (B)tan 2α (C) - tan 2α (D) 1-4.若tan θ=31,π<θ<32π,则sin θ·cos θ的值为 （ ）(A)±310(B)3105.已知sin cos 2sin 3cos αααα-+=51,则tan α的值是 （ ）(A)±83 (B)83 (C)83-(D)无法确定*6.若α是三角形的一个角，且sin α+cos α=32,则三角形为 （ ） (A)钝角三角形(B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形三角函数诱导公式诱导公式可概括为把απ±⋅k 2的三角函数值转化成角α的三角函数值。
（k 指奇数或者偶数，α相当锐角）口诀“奇变偶不变，符号看象限。
”其中奇偶是指2π的奇数倍还是偶数倍，变与不变指函数名称的变化。
公式一：=+)2sin(απk =+)2cos(απk =+)2tan(απk公式二：=-)sin(α =-)cos(α =-)tan(α （可根据奇偶函数记忆） 公式三：=-)sin(απ =-)cos(απ =-)tan(απ （两角互补） 公式四：=+)sin(απ =+)cos(απ =+)tan(απ 公式五：=-)2sin(απ=-)2cos(απ（两角互余，实现αsin 与αcos 的转化） 公式六：=+)2sin(απ=+)2cos(απ两角互补的应用：=π65sinπ32cos = =π43tan 三角形角中：=+)sin(B A =+)cos(C B =+)tan(C A 两角互余应用：sin )4cos(=+απ（ ） cos )23sin(=-απ（ ）奇偶性质应用：=-)cos(πα )232sin(πα-三角函数诱导公式练习题1．若(),2,53cos παππα<≤=+则()πα2sin --的值是 （ ） A ． 53 B ． 53- C ． 54 D ． 54-2．sin （－6π19）的值是（ ） A ．21 B ．－21 C ．23 D ．－23 3．3、sin 34π·cos 625π·tan 45π的值是A ．－43 B ．43 C ．－43D ．434．若cos （π+α）=－510，且α∈（－2π，0），则tan （2π3+α）的值为（ ）A ．－36B ．36 C ．－26 D ．26 5．设A 、B 、C 是三角形的三个角，下列关系恒成立的是（ ） A ．cos （A +B ）=cos C B ．sin （A +B ）=sin C C ．tan （A +B ）=tan C D.sin 2B A +=sin 2C6．已知()21sin -=+πα，则()πα7cos 1+的值为 （ ）A ．332 B ． －2 C ． 332- D ． 332± 7．若1sin()22πα-=-，则tan(2)πα-=________．8．如果A 为锐角，21)sin(-=+A π，那么=-)cos(A π ________． 9.sin 2(3π－x )+sin 2(6π+x )= .10.α是第四象限角,1312cos =α,则αsin 等于________．三角函数图像及其性质1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像三角函数图像变换函数图象平移变换：即：“左加，右减” 针对x 变化即“上加，下减” 在等号右侧加或者减函数图像伸缩变换：如果x 扩大到原来A 倍（A>0)x A x 1→ 针对x 的变化 如果y 扩大到原来A 倍（A>0）y Ay 1→ 针对y 的变化可理解为“针对y x ,的相反变化”图像变换一：左右平移1、把函数R x x y ∈=,sin 图像上所有的点向左平移4π个单位，所得函数的解析式为 _________2、把函数R x x y ∈=,cos 图像上所有的点向右平移5π个单位，所得函数的解析式为 _________图像变换二：纵向伸缩3、对于函数R x x y ∈=,sin 3的图像是将R x x y ∈=,sin 的图像上所有点的______(“横”或”纵”)坐标______（伸长或缩短）为原来的______而得到的图像。
4、由函数R x x y ∈=,sin 4的图像得到R x x y ∈=,sin 的图像，应该是将函数R x x y ∈=,sin 4上所有点的______(“横”或“纵”)坐标______（“伸长”或“缩短”）为原来的______（横坐标不变）而得到的图像。
图像变换三：横向伸缩5、对于函数R x x y ∈=,3sin 的图像是将R x x y ∈=,sin 的图像上所有点的______(“横”或“纵”)坐标______（“伸长”或“缩短”）为原来的______（纵坐标不变）而得到的图像。
图像变换四：综合变换6、用两种方法将函数x y sin =的图像变换为函数)32sin(π+=x y 的图像解：方法一：x y sin =−−−−−→−)(x y 2sin =−−−−→−)()32sin(6(2sin ππ+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x x y方法二：x y sin =−−−−→−)()3sin(π+=x y −−−−→−)()32sin(π+=x y总结：方法一： 先伸缩后平移()A →→ϕω 方法二：先平移后伸缩()A →→ωϕ7、用两种方法将函数x y 2sin =的图像变换为函数)4sin(π+=x y 的图像方法一：x y 2sin =−−−−−→−)(x y sin =−−−−→−)()4sin(π+=x y方法二：x y 2sin =−−−−→−)()42sin()8(2sin ππ+=+=x x y −−−−→−)(1.要得到函数)42sin(3π+=x y 的图象，只需将函数x y 2sin 3=的图象（ ）（A ）向左平移4π个单位 （B ）向右平移4π个单位（C ）向左平移8π个单位 （D ）向右平移8π个单位 2.将函数y=sin3x 的图象作下列平移可得y=sin(3x+6π)的图象 （A) 向右平移 6π 个单位 (B) 向左平移6π个单位（C ）向右平移18π 个单位 （D ）向左平移18π个单3.将函数sin y x =的图象上每点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），再把所得图象向左平移6π个单位，得到的函数解析式为（ ）()sin 26A y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭()sin 23B y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ ()sin 26x C y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ()sin 212x D y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4.把函数x y cos =的图象上所有的点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，然后把图象向左平移4π个单位长度，得到新的函数图象，那么这个新函数的解析式为（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42cos πx y （B ）⎪⎭⎫⎝⎛+=42cos πx y （C ）x y 2sin = （D ）x y 2sin -=不同名三角函数图像的平移问题：化同名，✍利用ααπcos )2sin(=-，ααcos )cos(=-一定正弦化余弦。
✍把x 系数变成“1”再进行平移。
5.为了得到函数)62sin(π+=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）(A)向右平移6π个单位长度 (B)向右平移3π个单位长度 (C)向左平移6π个单位长度 (D)向左平移3π个单位长度6.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位 D ．向右平移5π6个长度单位 7.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象,可以将函数x y 2cos =的图象( )A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度根据图像求三角函数表达式)sin(ϕω+=x A y 三角函数一般表达式：2)()(min max x f x f A -=Tπω2=ϕ：代图像上已知点坐标（注意是图像上向上的点还是向下的点，最好代入图像的最高点或者最低点） 1.2.下列函数中，图像的一部分如右图所示的是( )（A ）sin()6y x π=+ （B ）cos(2)6y x π=- （C ）cos(4)3y x π=- （D ）sin(2)6y x π=-3．已知函数()⎪⎭⎫⎝⎛<>+=2,0sin πϕωϕωx y 的部分图象如右上图所示，则（ ） A. 6,1πϕω== B. 6,1πϕω-==C. 6,2πϕω== D. 6,2πϕω-==4.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是A.sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.cos 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭5.函数()ϕω+=x A y sin 的一个周期的图象如下图， 求y 的解析式。