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2019高中数学第三章变化率与导数测评含解析北师大版选修1_1

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(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》检测(含答案解析)(3)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》检测(含答案解析)(3)

一、选择题1．已知函数32()2f x x x x =-+-，若过点()1,P t 可作曲线()y f x =的三条切线，则t 的取值范围是（ ） A ．1(0,)30B ．1(0,)29C ．1(0,)28D ．1(0,)272．设a R ∈，函数()x x f x e ae -=-的导函数为'()f x ，且'()f x 是奇函数，则a 为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-13．已知()f x '是函数()f x 的导函数，对任意x ∈R ，都有()()()21xf x f x e x '=+-，且()01f =，则不等式()3xf x e <的解集为（ ）A ．()2,1--B ．()2,1-C ．()1,1-D ．()1,2-4．若函数()(),011,13x e kx e x f x x kx x x⎧-+<≤⎪=⎨--<≤⎪⎩，有且仅有3个不同的零点，则实数k 的最大值为（ ）A ．1712-B ．29-C ．14-D ．05．若函数231()(0)3f x ax x x =->的图象存在与直线20x y -+=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．(],1-∞-C ．(][),11,-∞-+∞ D ．(](),11,-∞-+∞6．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图像关于点()0,2对称，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线过点()2,7，设曲线()y f x =在0x =处的切线的倾斜角为α，则sin(3)tan()+⋅-παπα的值为（ ）A．4B．4C．10D．10-7．已知函数()ln f x x = ，若f x （） 在1x x = 和()212x x x x =≠ 处切线平行，则（ ）A ．2212512x x +>B ．12128x x <C ．1232x x +<D12>8．已知函数3()2(1)f x x f x '=--，则函数()f x 的图象在2x =处的切线的斜率为（ ） A ．-21B ．-27C ．-24D ．-259．已知函数2()1f x x =-，()ln g x x =，下列说法中正确的是（ ） A ．(),()f x g x 在点(1,0)处有相同的切线 B ．对于任意0x >，()()f x g x ≥恒成立 C ．(),()f x g x 的图象有且只有一个交点 D ．(),()f x g x 的图象有且只有两个交点10．已知函数()1,0,3,0.x e a x f x x x x -⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩（a R ∈），若方程()20f x -=恰有3个不同的根，则a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞ B ．(,1)-∞ C ．(,0]-∞ D ．(,1]-∞11．三次函数()323212f x ax x x =-++的图象在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，则()f x 在区间()1,3上的最小值是（ ）A ．83B ．116C ．113D ．5312．已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有1条，则实数a 的取值是（ ） A ．0B ．4C ．0或-4D ．0或4二、填空题13．直线l 过坐标原点且与线x y e =相切，则l 的方程为___________.14．已知函数f （x ）=axlnx ﹣bx （a ，b ∈R ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y =3x ﹣e ，则a +b =_____.15．过点()0,1且与曲线11x y x +=-在点()3,2处的切线垂直的直线的方程为______． 16．已知函数()2sinxf x cosx=+，如果当0x >时，若函数()f x 的图象恒在直线y kx =的下方，则k 的取值范围是________ .17．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为___________． 18．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 19．已知点P 在曲线41xy e =+（其中e 为自然对数的底数）上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则tan α的取值范围是________.20．已知函数(),()xf x eg x kx ==：① 函数()f x 的单调递减区间为(,0)-∞；② 若函数()()()F x f x g x =-有且只有一个零点，则1k =±；③ 若(1,)(,)k e e ∈+∞，则b R ∃∈，使得函数()0f x b -=恰有2个零点1x ，2x ，()0g x b -=恰有一个零点3x ，且123x x x ≠≠，1231x x x ++=.其中，所有正确结论的序号是_______.三、解答题21．设函数423401234()(12)f x x a a x a x a x a x =-=++++.（Ⅰ）求1234234a a a a +++的值；（Ⅱ）设3131()()8g x a x a x =-，若过点(2,)(30)M t t ≠可作曲线()y g x =的三条切线，求实数t 的取值范围．22．已知函数f （x ）＝x 3﹣3x 2+a （a ∈R ）．（1）若f （x ）的图象在（1，f （1））处的切线经过点（0，2），求a 的值；（2）若对任意x 1∈[0，2]，都存在x 2∈[2，3]使得f （x 1）+f （x 2）≤2，求实数a 的范围．23．已知函数()()321453f x x ax ax a a R =+-+∈． ()1若曲线()y f x =存在两条垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围；()2若0a >且()()313g x f x x =-，()2x ax ϕ=+，当[]11,3x ∈-，[]01,3x ∈-时，不等式()()10x g x ϕ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 24．已知函数在处取得极值. （1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围.25．已知函数()()ln f x x a x =-()a R ∈． （1）若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若对于任意的正数x ，()0f x ≥恒成立，求实数a 的值； （3）若函数()f x 存在两个极值点，求实数a 的取值范围．26．设函数()()ln 1f x x a x =++,曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线l 与直线30x y -+=垂直.(1)求()y f x =的解析式; (2)求证:()0.f x >【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D解析：D 【分析】首先设过点P 的切线方程():1l y k x t =-+，切点()00,x y ，利用导数的几何意义列式，转化为320001254t x x x +=-+有三个解，通过设函数()32254g x x x x =-+，问题转化为1y t =+与()y g x =有三个交点，求t 的取值范围. 【详解】设过点P 的直线为():1l y k x t =-+，()2341f x x x '=-+-，设切点为()00,x y ，则()20032000034112x x k k x t x x x ⎧-+-=⎪⎨-+=-+-⎪⎩ ，得320001254t x x x +=-+有三个解， 令()32254g x x x x =-+，()()()261042132g x x x x x '=-+=--，当()0g x '>，得1x >或25x <，()0g x '<，得213x <<， 所以()g x 在2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()1,+∞单调递增，2,13⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 又228327g ⎛⎫=⎪⎝⎭，()11g =，()1g x t =+有三个解， 得281127t <+<，即1027t <<. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.2．D解析：D 【解析】∵函数()xxf x e ae -=-∴()x x f x e ae -'=+ ∵()'f x 是奇函数 ∴(0)0f '=，即10a +=. ∴1a =- 故选D.点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：（1）定义域关于原点对称是函数()f x 为奇函数或偶函数必要不充分条件；（2）()()f x f x -=-或()()f x f x -=是定义域上的恒等式.3．D解析：D 【分析】本题首先可以令()()xf xg x e=，然后根据()()()21xf x f x e x '=+-得出()21g x x '=-，再然后设2g x x x c ，通过()01f =求出1c =，最后将()3x f x e <转化为3g x，通过计算即可得出结果.【详解】 令()()xf xg x e=，则()()()x f x f x g x e '-'=， 因为()()()21xf x f x e x '=+-，所以()21g x x '=-，设2g xx x c ，因为()01f =，所以0001f g c e ，()21g x x x =-+，因为()3xf x e <，所以()3xf x e<， 即213g x x x ，()()210x x -+<，解得12x -<<，故选：D. 【点睛】本题考查利用导函数求函数解析式以及不等式的解法，考查导函数与函数之间的转化，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.4．B解析：B 【分析】由题意结合函数零点的概念可得(),0111,13x e e x g x x x⎧-<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩与y kx =的图象有且仅有3个不同的公共点，作出函数的图象，求出直线y kx =与()11g x x=-相切时的斜率及经过点23,3B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时的斜率，即可得解.【详解】当01x <≤时，令()0f x =得x e e kx -=；当13x <≤时，令()0f x =得1xkx x -=即11kx x-=， 设(),0111,13x e e x g x x x⎧-<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，在同一坐标系中作出()y g x =与y kx =的图象，如图所示：函数()f x 有且仅有3个不同的零点等价于函数()y g x =的图象与y kx =的图象有且仅有3个不同的公共点， 当直线y kx =与()11g x x =-相切时，两图象恰有两个公共点，设切点为001,1A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由()21g x x '=-可得此时直线y kx =的斜率()0201k g x x '==-， 所以0200111x x x -=-，解得02x =，14k =-； 当直线y kx =经过点23,3B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，此时22339k -==-. 所以实数k 的最大值为29-.故选：B. 【点睛】本题考查了函数零点、函数与方程相关问题的求解及导数的应用，考查了转化化归思想与数形结合思想，属于中档题.5．A解析：A 【分析】求出导函数()'f x ，由()1f x '=有正数解求解即可． 【详解】2()2f x ax x '=-，由题意2()21f x ax x '=-=有正数解，∵0x >，∴2112x a x +=≥=，当且仅当1x =时等号成立， ∴a 的取值范围是[1,)+∞．故选：A ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查二次方程的分布问题，掌握导数的几何意义是解题基础．6．C解析：C 【分析】由题意可得()()4f x f x +-=对任意x ∈R 恒成立，可得0a =，2c =，根据导数的几何意义可得在点()1,(1)f 处切线的斜率，进而可求出在点()1,(1)f 处切线的方程，将点()2,7代入切线的方程即可求出b ，进而可求出tan α，再利用诱导公式及同角三角函数关系，即可到答案． 【详解】因为函数32()f x x ax bx c =+++的图像关于点()0,2对称，所以()()4f x f x +-=对任意x ∈R 恒成立，即32324x ax bx c x ax bx c +++-+-+=对任意x ∈R 恒成立， 即22ax c +=对任意x ∈R 恒成立，所以0a =，2c =，所以3()2f x x bx =++，所以2()3f x x b '=+，所以函数()f x 在1x =处的切线的斜率(1)3k f b '==+，又(1)3f b =+， 所以切线的方程为(3)(3)(1)y b b x -+=+-，又切线过点()2,7， 所以7(3)(3)(21)b b -+=+-，解得12b =， 所以函数()f x 在0x =处的切线的斜率1(0)2k f b '===，所以1tan 2α=，所以sin α，所以1sin(3)tan()sin (tan )sin tan 5210+⋅-=-⋅-=⋅==παπααααα． 故选：C ． 【点睛】本题考查函数的对称中心方程应用，导数的几何意义及在一点处的切线的方程，同时考查诱导公式和同角基本关系，属于中档题．7．A解析：A 【分析】1211x x =-12=，则116≤，由x 1≠x 2，利用基本不等式求得x 12+x 22＞512． 【详解】由f （x）=lnx ，得f ′（x）1x=（x ＞0），∴1211x x -=，2112x x x x -=12+=，∴12=≥116≤， ∴x 1x 2≥256， ∵x 1≠x 2，∴x 1x 2＞256．∴2212x x +＞2x 1x 2＝512．故选：A ． 【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．8．A解析：A 【分析】由导数的运算可得：2()6(1)f x x f ''=--，再由导数的几何意义，即函数()f x 的图象在2x =处的切线的斜率为()2f '，求解即可. 【详解】由题得2()6(1)f x x f ''=--，所以()()161f f ''=--，解得()13f '=-，所以()221f '=-.故选A. 【点睛】本题考查了导数的运算及导数的几何意义，属基础题.9．D解析：D 【解析】 【分析】根据导数与切线，函数的关系求解. 【详解】因为()2f x x '=，(1)2f '=，1()g x x'=，(1)1g '=， 所以(),()f x g x 在点(1,0)处的切线不同。

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试(包含答案解析)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试(包含答案解析)

一、选择题1．设函数的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为k ,则函数k=g(t)的部分图象为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知P 与Q 分别为函数260x y -+=与函数2ln 2y x =+ 的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为（ ）A ．65B 5C ．55D ．63．已知：函数()cos f x x x =，其导函数()cos sin f x x x x '=-.若函数()g x 的导函数()sin g x x x '=，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()g π的值为（ ）A ．-1B ．1C ．1π-D ．1π+4．已知函数()0sin cos f x x x =+，()()'10f x f x =，()()'21f x f x =，…，()()'1n n f x f x +=，n N ∈，那么()2020f x =（ ）A ．cos sin x x -B ．sin cos x x -C ．sin cos x x +D ．sin cos x x --5．若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12 C ．y =12x +1 D ．y =12x +126．已知函数()2bf x x ax =+的导数()23f x x '=+，则数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n项和是（ ） A ．1nn + B ．()121n n -+C ．()22nn +D ．()()12nn n ++7．已知函数2()2(0)f x x x a x =++<，点1122(,())(,())A x f x B x f x 、为函数()f x 图象上两点，且过A B 、两点的切线互相垂直，若12x x <，则21x x -的最小值为（ ） A ．1 B ．12C ．32D ．28．设曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c 垂直，则ab =（ ）A ．13 B ．13-C ．3D ．-39．已知函数1()1x e f x x -=+，则函数()f x 在1x =处的切线方程为（ ）A ．410x y -+=B ．410x y ++=C ．0x y -=D ．430x y -+=10．已知函数()1,0,3,0.x e a x f x x x x -⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩（a R ∈），若方程()20f x -=恰有3个不同的根，则a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞ B ．(,1)-∞ C ．(,0]-∞ D ．(,1]-∞11．若直线l 与函数()x f x e =和()ln 2g x x =+的图象都相切，则k =（ ） A ．2或e B ．1或e C ．0或1 D ．e 12．已知直线y ＝3x ﹣1与曲线y ＝ax +lnx 相切，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为_________．14．已知函数2()2ln f x x x =-，则()f x 在()()1,1f 处的切线方程_____________.15．已知函数()ln x ax f x x-=，若有且仅有一个整数k ，使()()20f k f k -⎤⎣⎦>⎡，则实数a 的取值范围是__________．16．若倾斜角为α的直线l 与曲线3y x =相切于点()1,1，则2cos sin2αα-的值为_____. 17．曲线y=sin2x 在点（0，0）处的切线方程为______．18．若直线y x b =+是曲线x y e =的一条切线，则实数b 的值是_____. 19．若函数()()3'2211f x x f x =++，则f(-1)=____.20．已知点P 在曲线41xy e =+（其中e 为自然对数的底数）上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则tan α的取值范围是________.三、解答题21．已知函数()ln f x x x a =+在0x x =处的切线方程为2y x e =-. （1）求实数a 及0x 的值; （2）若1()()kg x f x x x x=--有两个极值点,求实数k 的取值范围. 22．已知曲线31433y x =+ （1）求曲线在点(2,4)P 处的切线方程；（2）求曲线过点(2,4)P 的切线方程 23．设函数()()32xf x x e e =--.（1）求()f x 在1x =处的切线方程；（2）当1x ≥时，()(1)f x a x ≤-，求a 的取值范围. 24．已知函数3()2f x x x =+-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,8)处的切线方程；（Ⅱ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标.25．已知函数()243f x ax ax b =-+，()()12,11f f '==。

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》检测(有答案解析)(1)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》检测(有答案解析)(1)

一、选择题1．已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的个数是（ ）①函数()f x 的值域与()g x 的值域相同；②若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点；③把函数()f x 的图像向右平移2π个单位长度，就可以得到()g x 的图像； ④函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内都是增函数.A ．0B ．1C ．2D ．32．已知P 与Q 分别为函数260x y -+=与函数2ln 2y x =+ 的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为（ ）A ．65BCD ．63．若函数()(),011,13x e kx e x f x x kx x x⎧-+<≤⎪=⎨--<≤⎪⎩，有且仅有3个不同的零点，则实数k 的最大值为（ ） A ．1712-B ．29-C ．14-D ．04．点P 在曲线321233y x x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ D ．3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 5．设函数()()2121ln 2f x f x x f x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，曲线()f x 在()()1,1f 处的切线方程是（ ）A ．540x y --=B ．320x y --=C ．0x y -=D ．1x =6．若过点(1,)P n 可作两条不同直线与曲线()2212y x x x -+=≤≤相切，则n （ ） A ．既有最大值又有最小值 B ．有最大值无最小值 C ．有最小值无最大值D ．既无最大值也无最小值7．已知函数()3237f x x ax x =+-+（a ∈R ），当01x ≠时，曲线()y f x =在点()()0,x f x 和点()()02,2x f x --处的切线总是平行，若曲线()y f x =与直线2y mx m =-+（m ∈R ）交于不同的三点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，则()31iii x y =+=∑（ ）A ．0B ．3C ．6D ．98．设点P 是曲线313y x =+， (11)x -<<上的任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ） A ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．50,,26πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭D ．5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭9．已知函数()ln af x x x =+，直线3y x =-+与曲线()y f x =相切，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知函数21()ln f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则曲线()f x 在1x =-处切线方程为（） A ．230x y -+=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．20x y ++=11．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，若数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2009S 的值为（ ）A ．20072008 B ．20092010 C ．20082009D ．2010201112．已知函数()sin f x x =的图象与直线(0)y kx k =>有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，令1sin 2A α=，212B αα+=，则（ ）A ．AB > B ．A B <C ．A B =D ．A 与B 的大小不确定二、填空题13．曲线2x y ae +=的切线方程为260x y -+=，则实数a 的值为_______.14．如图，直线l 是曲线()y f x =在4x =处的切线，则(4)(4)f f '+=____________.15．已知函数()2e ,143,13x x f x x x x ⎧≤=⎨-+-<<⎩，若函数()()1g x f x k x =-+有三个零点，则实数k 的取值范围是______. 16．函数3()sin 2f x x =-的图象在3x π=的切线方程为_____________。

高中数学第三章变化率与导数测评训练含解析北师大版选修1_1

高中数学第三章变化率与导数测评训练含解析北师大版选修1_1

北师大版高中数学选修1_1：第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知函数f(x)=2x2-1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy),则ΔyΔx等于()A.4B.4ΔxC.4+2ΔxD.4+2(Δx)2解析:ΔyΔx =2(1+Δx)2-1-1Δx=4Δx+2(Δx)2Δx=4+2Δx.答案:C2.若f'(x0)=-3,则limℎ→0f(x0+h)-f(x0-3h)h=()A.-3B.-12C.-9D.-6 解析:法一(注重导数概念的应用的解法):因为f'(x0)=limh→0f(x0+ℎ)-f(x0)ℎ=-3,所以limℎ→0f(x0+ℎ)-f(x0-3ℎ)ℎ=lim ℎ→0f(x0+ℎ)-f(x0)-[f(x0-3ℎ)-f(x0)]ℎ=lim ℎ→0f(x0+ℎ)-f(x0)ℎ−limℎ→0f(x0-3ℎ)-f(x0)ℎ=lim ℎ→0f(x0+ℎ)-f(x0)ℎ+3lim-3ℎ→0f(x0-3ℎ)-f(x0)-3ℎ=f'(x0)+3f'(x0)=4f'(x0)=-12,故选B.法二(注重导数定义中各变量的联系的解法):因为f'(x0)=limℎ→0f(x0+ℎ)-f(x0)ℎ=-3,所以limℎ→0f(x0+ℎ)-f(x0-3ℎ)ℎ=4limℎ→0f(x0+ℎ)-f(x0-3ℎ)4ℎ=4f'(x0)=-12,故选B.答案:B3.数列{c n }为等比数列,其中c 1=2,c 8=4,f (x )=x (x-c 1)(x-c 2)…(x-c 8),f'(x )为函数f (x )的导函数,则f'(0)=( )A.0B.26C.29D.212解析:∵c 1=2,c 8=4,∴c 1c 2…c 8=84=212,f'(x )=(x-c 1)(x-c 2)…(x-c 8)+x [(x-c 1)(x-c 2)…(x-c 8)]',则f'(0)=c 1c 2…c 8=212.答案:D4.已知函数f (x )的导函数f'(x ),且满足f (x )=2xf'(1)+ln x ,则f'(1)=( )A.-eB.-1C.1D.e 解析:∵f (x )=2xf'(1)+ln x , ∴f'(x )=[2xf'(1)]'+(ln x )'=2f'(1)+1x ,∴f'(1)=2f'(1)+1,即f'(1)=-1.答案:B5.函数f (x )=e x cos x 的图像在点(3,f (3))处的切线的倾斜角为( )A.π2B.0C.钝角D.锐角解析:∵f'(x )=e x cos x-e x sin x=e x (cos x-sin x )=√2e x cos (x +π4),∴f'(3)=√2e 3cos (3+π4),又∵cos (3+π4)<0,∴f'(3)<0, ∴切线的倾斜角为钝角.答案:C6.曲线y=x x -2在点(1,-1)处的切线方程为( )A.2x+y-1=0B.2x-y-3=0C.2x-y+1=0D.2x+y-3=0 解析:因为y'=-2(x -2)2,所以切线斜率k=-2(1-2)2=-2,于是切线方程为y+1=-2(x-1),即2x+y-1=0.答案:A7.若函数f (x )满足f (x )=13x 3-f'(1)·x 2-x ,则f'(1)的值为( ) A.0 B.2 C.1 D.-1解析:f'(x )=x 2-2f'(1)x-1,所以f'(1)=1-2f'(1)-1,则f'(1)=0.答案:A8.函数y=ln x 在x=e 2处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.92e 2B.12e 2C.2e 2D.e 2解析:y'=1x ,∴在x=e 2处的切线斜率为k=1e 2,∴切线方程为y-2=1e 2(x-e 2).令x=0,得y=1.令y=0,得x=-e 2,∴所求三角形的面积为12×1×e 2=12e 2. 答案:B9.已知函数f (x )=√32x-14x 2,若该函数图像在点(x 0,y 0)处的切线的倾斜角是图像在点(-√3,-94)的切线的倾斜角的两倍,则x 0的值等于( )A.3√3B.-3√3C.0D.√3 解析:f'(x )=√32−12x ,所以图像在点(-√3,-94)的切线的斜率k=√3,因此倾斜角为60°,从而图像在点(x 0,y 0)处的切线的倾斜角应为120°,斜率为-√3,于是√32−12x 0=-√3,解得x 0=3√3.答案:A10.函数y=(3x 2+x+1)(2x+3)的导数是( )A.(6x+1)(2x+3)B.2(6x+1)C.2(3x 2+x+1)D.18x 2+22x+5 解析:∵y=(3x 2+x+1)(2x+3)=6x 3+11x 2+5x+3,∴y'=18x 2+22x+5.答案:D11.函数f (x )=x 3+4x+5的图像在x=1处的切线与圆x 2+y 2=50的位置关系为( )A.相切B.相交但不过圆心C.过圆心D.相离解析:∵f (x )=x 3+4x+5,∴f'(x )=3x 2+4,∴f'(1)=7.当x=1时,f (1)=10,∴切线方程为y-10=7(x-1),即7x-y+3=0,∴圆心到切线的距离为d=√50<√50,∴切线与圆相交但不过圆心.答案:B12.已知f'(x 0)=limx →x 0f (x )-f (x 0)x -x 0,f (3)=2,f'(3)=-2,则lim x →32x -3f (x )x -3的值是( ) A.4B.6C.8D.不存在 解析:lim x →32x -3f (x )+3f (3)-3f (3)x -3=lim x→3-3[f(x)-f(3)]-3f(3)+2xx-3=-3limx→3f(x)-f(3)x-3+limx→32x-3f(3)x-3=-3f'(3)+limx→32(x-3) x-3=-3f'(3)+2=8.答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2017全国Ⅰ高考)曲线y=x2+1x在点(1,2)处的切线方程为.解析:设y=f(x),则f'(x)=2x-1x2,所以f'(1)=2-1=1.所以曲线y=x2+1x在点(1,2)处的切线方程为y-2=1×(x-1),即y=x+1.答案:y=x+114.(2017天津高考)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图像在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.解析:∵f(x)=ax-ln x,∴f'(x)=a-1x,f'(1)=a-1,f(1)=a,则切线l方程为y-a=(a-1)(x-1),即y=(a-1)x+1,则l在y轴上的截距为1.答案:115.(2016天津高考)已知函数f(x)=(2x+1)e x,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(0)的值为.解析:∵f'(x)=(2x+3)e x,∴f'(0)=3.答案:316.若曲线f(x)=x-2在点(a,a-2)(a>0)处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为3,则lo g√32a=.解析:求导得f'(x)=-2x-3,所以在点(a,a-2)处的切线方程为y-a-2=-2a-3(x-a).令x=0,得y=3a-2;令y=0,得x=3a2.所以切线与两条坐标轴围成的三角形的面积S=12×3a-2×32a=3,解得a=34,∴lo g√32a=2.答案:2三、解答题(本大题共6小题,需写出演算过程与文字说明,共70分)17.(本小题满分10分)设t≠0,点P(t,0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图像的一个公共点,两函数的图像在点P处有相同的切线.试用t表示a,b,c.解因为函数f(x),g(x)的图像都过点(t,0),所以f(t)=0,即t3+at=0.因为t≠0,所以a=-t2.g (t )=0,即bt 2+c=0,所以c=ab.又因为f (x ),g (x )在点(t ,0)处有相同的切线,所以f'(t )=g'(t ).而f'(x )=3x 2+a ,g'(x )=2bx ,所以3t 2+a=2bt.将a=-t 2代入上式得b=t.因此c=ab=-t 3.故a=-t 2,b=t ,c=-t 3.18.(本小题满分12分)设函数f (x )=x m +ax 的导函数为f'(x )=2x+1,求数列{1f (n )}(n ∈N +)的前n 项和S n . 解∵f'(x )=mx m-1+a=2x+1, ∴m=2,a=1,∴f (x )=x 2+x ,∴1f (n )=1n 2+n =1n −1n+1,∴S n =1-12+12−13+…+1n −1n+1=1-1n+1=n n+1.19.(本小题满分12分)已知函数f (x )=4x 3+ax 2+bx+5的图像在x=1处的切线方程为y=-12x ,求f (x )的解析式.解f'(x )=12x 2+2ax+b , ∵y=f (x )在x=1处的切线方程为y=-12x ,∴f'(1)=-12,f (1)=-12,∴{12+2a +b =-12,4+a +b +5=-12,解得a=-3,b=-18,∴f (x )=4x 3-3x 2-18x+5.20.导学号01844039(本小题满分12分)已知函数f (x )=13ax 3-14x 2+cx+d (a ,c ,d ∈R )满足f (0)=0,f'(1)=0,且f'(x )≥0在R 上恒成立.(1)求a ,c ,d 的值.(2)若h (x )=34x 2-bx+b 2−14,解不等式f'(x )+h (x )<0. 解(1)f'(x )=ax 2-12x+c ,∵f (0)=0,f'(1)=0,∴{d =0,a -12+c =0,即{d =0,c =12-a ,从而f'(x )=ax 2-12x+12-a. ∵f'(x )≥0在R 上恒成立,∴{a >0,Δ=14-4a (12-a)≤0,∴{a >0,(a -14)2≤0,解得a=14,c=14,d=0. (2)由(1)知,f'(x )=14x 2-12x+14, ∵h (x )=34x 2-bx+b 2−14,∴不等式f'(x )+h (x )<0化为14x 2-12x+14+34x 2-bx+b 2−14<0,即x 2-(12+b)x+b 2<0, ∴(x -12)(x-b )<0,①若b>12,则所求不等式的解集为(12,b);②若b=12,则所求不等式的解集为⌀;③若b<12,则所求不等式的解集为(b ,12).综上所述,当b>12时,所求不等式的解集为(12,b);当b=12时,所求不等式的解集为⌀;当b<12时,所求不等式的解集为(b ,12).21.导学号01844040(本小题满分12分)函数f (x )=1x -a ,x ∈(0,+∞),a>0.设0<x 1<2a ,曲线y=f (x )在点M (x 1,f (x 1))处的切线为l.(1)求l 的方程.(2)设l 与x 轴交点是(x 2,0),求证:①0<x 2≤1a ;②若x 1<1a ,则x 1<x 2≤1a .(1)解∵f (x )=1x -a ,x ∈(0,+∞), ∴f'(x )=-1x 2.∵切线l 过点M (x 1,f (x 1)),其中0<x 1<2a ,∴切线l 的方程为y=-1x 12(x-x 1)+1x 1-a , 即y=-x x 12+2x 1-a. (2)证明①∵(x 2,0)是l 与x 轴的交点,∴-x 2x 12+2x 1-a=0,∴x 2=x 1(2-ax 1).∵0<x 1<2a ,∴2>2-ax 1>0,∴0<x 1(2-ax 1)=a (2x 1a -x 12)=1a -a (1a -x 1)2≤1a , 当且仅当x 1=1a 时取等号,∴0<x 2≤1a .②∵0<x 1<1a ,∴1<2-ax 1<2.由①知x 2≤1a ,且x 2=x 1(2-ax 1), ∴x 1<x 2≤1a .22.导学号01844041(本小题满分12分)设函数f (x )=ax-b x ,曲线y=f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f (x )的解析式.(2)求证:曲线y=f (x )上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x 所围成的三角形面积为定值,并求此定值.解(1)方程7x-4y-12=0可化为y=74x-3. 当x=2时,y=12.又f'(x )=a+bx 2,于是{2a -b 2=12,a +b 4=74,解得a=1,b=3,故f (x )=x-3x .(2)设P (x 0,y 0)为曲线上任一点. ∵f'(x 0)=1+3x 02, ∴在点P (x 0,y 0)处的切线方程为y-y 0=(1+3x 02)(x-x 0), 即y-(x 0-3x 0)=(1+3x 02)(x-x 0), 令x=0,得y=-6x 0, ∴切线与直线x=0的交点坐标为(0,-6x 0). 令y=x ,得y=x=2x 0,∴切线与直线y=x 的交点坐标为(2x 0,2x 0),∴点P(x0,y0)处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为12|-6x0|·|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,此定值为6.。

2019高中数学 第三章 变化率与导数单元测试2 北师大版选修1-1

2019高中数学 第三章 变化率与导数单元测试2 北师大版选修1-1

第三章 变化率与导数(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f (x )＝13，则f ′(x )等于( )A ．－33B ．0 C.33D. 3解析：选B.∵f (x )＝13，∴f ′(x )＝(13)′＝0.2．已知某质点的运动规律为s ＝t 2＋3(s 的单位：m ，t 的单位：s)，则该质点在t ＝3 s 到t ＝(3＋Δt )s 这段时间内的平均速度为( )A ．(6＋Δt )m/sB ．(6＋Δt ＋9Δt)m/sC ．(3＋Δt )m/sD ．(9Δt ＋Δt )m/s解析：选A.平均速度为Δs Δt ＝（3＋Δt ）2＋3－（32＋3）Δt＝(6＋Δt )m/s.3．函数f (x )＝x 3＋x ＋1，则lim Δx →0 f （1＋Δx ）－3Δx ＝( ) A ．1 B ．4 C ．5 D ．0解析：选B.由已知得f (1)＝3，故lim Δx →0 f （1＋Δx ）－3Δx＝lim Δx →0 f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝f ′(1)＝3x 2＋1|x ＝1＝4，故选B. 4．已知函数y ＝f (x )的图像如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )＞f ′(xB ) B ．f ′(x A )＜f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：选B.由图像可知，f ′(x A )＜f ′(x B )． 5．下列求导运算中正确的是( )A ．(x ＋1x )′＝1＋1x 2 B ．(lg x )′＝1x ln 10C ．(ln x )′＝xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x解析：选B.(x ＋1x )′＝1－1x 2，故A 错；(ln x )′＝1x，故C 错；(x 2cos x )′＝2x cos x－x 2sin x ，故D 错，故选B.6．已知y ＝2x 3＋3x ＋cos x ，则y ′等于( )A ．6x 2＋x －23－sin xB ．6x 2＋x －23＋sin xC ．6x 2＋13x －23＋sin xD ．6x 2＋13x －23－sin x解析：选D.y ′＝(2x 3)′＋(x 13)′＋(cos x )′＝6x 2＋13x －23－sin x .7．已知曲线y ＝x 3－1与曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为( )A.33B.333C. 3D.393 解析：选D.因为y ＝x 3－1⇒y ′＝3x 2，y ＝3－12x 2⇒y ′＝－x ，由题意得3x 20·(－x 0)＝－1，解得x 30＝13，即x 0＝313＝393，故选D.8．已知函数y ＝f (x )的图像是下列四个图像之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则该函数的图像是( )解析：选B.从导函数的图像可以看出，导函数值先增大后减小，x ＝0时最大，所以函数f (x )的图像的变化率也先增大后减小，在x ＝0时变化率最大．A 项，在x ＝0时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的，故错误．B 项正确．9．在函数y ＝x 3－8x 的图像上，其切线的倾斜角小于π4的点中，坐标为整数的点的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选D.由于y ′＝(x 3－8x )′＝3x 2－8，由题意，得0＜3x 2－8＜1，83＜x 2＜3，解得－3＜x ＜－236，236＜x ＜3，所以整数x 不存在，故不等式的整数解有0个．10．定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝2x ，h (x )＝ln x ，φ(x )＝x 3(x ≠0)的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c解析：选B.g ′(x )＝2，h ′(x )＝1x，φ′(x )＝3x 2(x ≠0)．解方程g (x )＝g ′(x )，即2x ＝2，得x ＝1，即a ＝1；解方程h (x )＝h ′(x )，即ln x ＝1x，在同一坐标系中画出函数y＝ln x ，y ＝1x的图像(图略)，可得1＜x ＜e ，即1＜b ＜e ；解方程φ(x )＝φ′(x )，即x3＝3x 2(x ≠0)，得x ＝3，即c ＝3.所以c ＞b ＞a .二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)等于________．解析：f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0得 f ′(0)＝3f ′(0)，∴f ′(0)＝0， f ′(x )＝x 2，∴f ′(1)＝1. 答案：112．正弦曲线y ＝sin x 上切线斜率等于12的点的横坐标为________．解析：y ′＝cos x ，令cos x ＝12，x ＝2k π±π3，k ∈Z .答案：2k π±π3，k ∈Z13．f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c 的图像存在与直线y ＝1平行的切线，则b 的取值范围是________．解析：由题意知，存在x 使f ′(x )＝3x 2－x ＋b ＝0，故Δ＝1－12b ≥0，得b ≤112.答案：(－∞，112]14．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f ′(－1)＝0，则a ＝________．解析：f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，f ′(x )＝3x 2－2ax －4，f ′(－1)＝3＋2a －4＝0，∴a ＝12.答案：1215．对正整数n ，设曲线y ＝x n(1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和的公式为________． 解析：由y ＝x n (1－x )得y ′＝nx n －1(1－x )＋x n(－1)，∴f ′(2)＝－n ·2n －1－2n.又∵切点为(2，－2n)． ∴切线方程为：y ＋2n ＝－(n ·2n －1＋2n )(x －2)．令x ＝0，得a n ＝(n ＋1)·2n.则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的通项公式为2n ，由等比数列前n 项和公式求得其和为2n ＋1－2. 答案：2n ＋1－2三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分)求下列函数的导数： (1)f (x )＝ln(8x )；(2)f (x )＝x (x ＋1)(x 2－x ＋1)；(3)f (x )＝e x＋1e x －1.解：(1)f (x )＝2ln 2＋ln x ，f ′(x )＝(2ln 2)′＋(ln x )′＝1x.(2)f (x )＝x (x ＋1)(x 2－x ＋1)＝x (x 3＋1)＝x 4＋x ，∴f ′(x )＝4x 3＋1.(3)法一：f ′(x )＝（e x＋1）′（e x－1）－（e x＋1）（e x －1）′（e x －1）2＝－2ex（e x －1）2.法二：因为f (x )＝e x＋1e x －1＝1＋2e x －1，所以f ′(x )＝－2（e x －1）′（e x －1）2＝－2ex（e x －1）2.17．(本小题满分10分)某物体按照s (t )＝3t 2＋2t ＋4的规律作直线运动，求物体运动4 s 时的瞬时速度．解：由于Δs ＝3(t ＋Δt )2＋2(t ＋Δt )＋4－(3t 2＋2t ＋4)＝(2＋6t )Δt ＋3(Δt )2. ΔsΔt＝2＋6t ＋3Δt ， 所以当t 趋于4s 时，即Δt 趋于0时，平均变化率趋于26，s ′(4)＝26 m/s. 导数s ′(4)表示当t ＝4 s 时物体运动的瞬时变化率，即运动的瞬时速度．18．(本小题满分10分)求曲线y ＝1x和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x y ＝x2得x ＝1，y ＝1.即交点为(1，1)，y ′＝(1x )′＝－1x 2，y ′＝(x 2)′＝2x ，y ′|x ＝1＝－1，y ′|x ＝1＝2，过交点的切线为y －1＝－(x －1)和y －1＝2(x －1)．令y ＝0分别得x ＝2和x ＝12，即它们与x 轴的交点分别为(2，0)和(12，0)，三角形面积S ＝12×1×|2－12|＝34.19．(本小题满分12分)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋1.求y ＝f (x )的函数表达式．解：∵f ′(x )＝2x ＋1，∴f (x )＝x 2＋x ＋c (c 为常数)，又∵方程f (x )＝0有两个相等的实根，即x 2＋x ＋c ＝0有两个相等的实根，Δ＝12－4c＝0，即c ＝14，∴f (x )的表达式为f (x )＝x 2＋x ＋14.20．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x . (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a ≥1时，求证：当x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，其中e 为自然对数的底数．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－3x ＋ln x ，f ′(x )＝2x －3＋1x，因为f ′(1)＝0，f (1)＝－2.所以切线方程是y ＝－2.(2)证明：函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax －(a ＋2)＋1x，即f ′(x )＝2ax 2－（a ＋2）x ＋1x ＝（2x －1）（ax －1）x，当a ≥1时，在x ∈[1，e]上，2x －1＞0，ax －1≥0， 可得f ′(x )≥0.。

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试题(含答案解析)(1)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试题(含答案解析)(1)

一、选择题1．设函数的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为k ,则函数k=g(t)的部分图象为（ ） A ． B ．C ．D ．2．已知：函数()cos f x x x =，其导函数()cos sin f x x x x '=-.若函数()g x 的导函数()sin g x x x '=，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()g π的值为（ ） A ．-1 B ．1 C ．1π- D ．1π+ 3．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象关于(0,2)对称，()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，若图象在点0x =处的切线的倾斜角为α，则cos tan()2παπα⎛⎫+⋅-⎪⎝⎭的值为（ ）A ．10-B ．10 C ．4 D ．4 4．已知函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2018S 的值为（ ） A ．20152016 B ．20162017 C ．20172018 D ．201820195．下列函数求导：①()222log x x e '=；②()31log ln 3x x '=；③()x x e e '=；④1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭；⑤()1x x x e e '⋅=+；运算正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．已知函数()()ln 211f x x f x '=+--，则函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ）A ．320x y --=B ．350x y --=C ．20x y ++=D ．10x y ++= 7．设()'f x 是()f x 的导函数,若2()2(2)12f x x xf '=++在闭区间[0, ]m 上有最大值12,最小值4-,则m 的取值范围是( )A ．[2, )+∞B ．[2, 4]C ．[4, )+∞D ．[4, 8]8．已知函数1()1x e f x x -=+，则函数()f x 在1x =处的切线方程为（ ） A ．410x y -+=B ．410x y ++=C ．0x y -=D ．430x y -+=9．若函数()f x 的导函数．．．的图象关于y 轴对称，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．()2cos f x x =B ．()32f x x x =+C ．()sin cos 1f x x x =⋅+D ．()xf x e x =+ 10．函数()2x a f x x+=，过()1,0作()f x 的两条切线，切点为A ，()0A B B x x <<，若在区间(),A B x x 中存在唯一的整数，则a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞-B ．4,13⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．()1,0-D ．()1- 11．已知()21cos 4f x x x =+，f x 为f （x ）的导函数，则()y f x ='的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．若直线y x =与曲线x m y e +=（m R ∈，e 为自然对数的底数）相切，则m =（ ） A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-2二、填空题13．直线l 过坐标原点且与线x y e =相切，则l 的方程为___________.14．若()()321111322f x f x x x '=-++，则曲线() y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是______________________． 15．在ABC ∆中，已知角A 的正切值为函数2ln y x x=-在1x =处切线的斜率，且10,2a b ==，则sin B =__________．16．已知函数()()1,1ln ,1x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，若方程()=f x ekx 恰有两个实数解，其中e 是自然对数的底数，则实数k 的取值范围为________．17．函数()ln 2f x a x ax b =-+，若()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，则ab =______.18．已知函数()()f x xg x =，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是10x y --=，则曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程是_________.19．若指数函数x y a =(0a >且1)a ≠与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是_________.20．已知函数()11,03ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩若函数()0f x ax -=恰有3个零点，则实数a 的取值范围为________.三、解答题21．已知函数()()x f x x k e =-，若1k =，求()f x 在1x =处的切线方程.22．已知曲线()3:C f x x x =-. (1)求曲线C 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求与直线53y x =+平行的曲线C 的切线方程.23．已知函数()()f ln x x a x a R =-∈.（1）当2a =时,求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）设函数()()1a h x f x x+=+,求函数()h x 的单调区间. 24．已知函数1()ln f x a x b x =++，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为21y x =+. （Ⅰ）求实数a 和b .（Ⅱ）求()f x 的最小值.25．设函数()b f x ax x=-，若曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为5x-4y-4=0．（Ⅰ）求f （x ）的解析式； （Ⅱ）求证：在曲线y=f （x ）上任意一点处的切线与直线x=0和y=x 所围成的三角形面积为定值，并求出此定值．26．已知函数()243f x ax ax b =-+，()()12,11f f '==。

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》检测卷(含答案解析)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》检测卷(含答案解析)

一、选择题1．一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度()25731v t t t=-++（t 的单位:s ,v 的单位:/m s ）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是（ ） A ．125ln5+ B ．11825ln3+ C ．425ln5+D ．450ln 2+2．若曲线2ln (0)y a x x a =+>的切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则a =（ ） A ．124 B ．38C ．34D ．323．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图像关于点()0,2对称，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线过点()2,7，设曲线()y f x =在0x =处的切线的倾斜角为α，则sin(3)tan()+⋅-παπα的值为（ ）A B C D ．-4．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象关于(0,2)对称，()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，若图象在点0x =处的切线的倾斜角为α，则cos tan()2παπα⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．BCD 5．设函数的定义域为D ，若满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”．若函数()2xt f x e =+为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(],1ln 2-∞-- B ．(),1ln2-∞--C ．[)1ln 2,++∞D ．()1ln 2,++∞6．设点P 是曲线313y x =+， (11)x -<<上的任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ）A ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．50,,26πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭D ．5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭7．设a R ∈，函数()xxf x e a e -=+⋅为奇函数，曲线()y f x =的一条切线的切点的纵坐标是0，则该切线方程为（ ） A ．20x y -= B ．20x y +=C ．40x y -=D ．40x y +=8．设曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c 垂直，则ab =（ ）A ．13 B ．13-C ．3D ．-39．已知函数()ln f x x = ，若f x （） 在1x x = 和()212x x x x =≠ 处切线平行，则（ ）A ．2212512x x +>B ．12128x x <C ．1232x x +<D12> 10．已知函数3()2(1)f x x f x '=--，则函数()f x 的图象在2x =处的切线的斜率为（ ） A ．-21B ．-27C ．-24D ．-2511．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，若数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2009S 的值为（ ） A ．20072008B ．20092010C ．20082009D ．2010201112．设函数()f x 在R 上可导，()()2121f x x f x '=-+，则()22f a a -+与()1f 的大小关系是（ ）A ．()()221f a a f -+>B ．()()221f a a f -++C ．()()221f aa f -+<D ．不确定二、填空题13．已知函数()ln x ax f x x-=，若有且仅有一个整数k ，使()()20f k f k -⎤⎣⎦>⎡，则实数a 的取值范围是__________．14．若倾斜角为α的直线l 与曲线3y x =相切于点()1,1，则2cos sin2αα-的值为_____. 15．若直线y kx b =+是曲线2x y e -=的切线，也是曲线1x y e =-的切线，则b =__________．16．如果曲线4y x x =-在点P 处的切线垂直于直线13y x =-，那么点P 的坐标为___________．17．函数3()sin f x x =-的图象在3x π=的切线方程为_____________。

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》检测(包含答案解析)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》检测(包含答案解析)

一、选择题1．已知函数()()()()()()12345f x x x x x x =-----，则曲线()y f x =在点()3,0处的切线方程为（ ） A ．412y x =+ B ．412y x =-+ C ．412y x =--D ．412y x =-2．直线:l y kx b =+是曲线()()ln 1f x x =+和曲线()()2ln g x e x =的公切线，则b =（ ） A ．2B ．12C ．ln2e D ．()ln 2e3．若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12 C ．y =12x +1 D ．y =12x +124．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象关于(0,2)对称，()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，若图象在点0x =处的切线的倾斜角为α，则cos tan()2παπα⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的值为（ ） A．BCD．45．已知函数21,0()12,02x e x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，函数()(1)g x k x =-，若方程()()f x g x =恰有三个实数解，则实数k 的取值范围为（ ） A．[1 B．C．(0,3-D．(0,36．已知点P 在直线y ＝2x +1上，点Q 在曲线y ＝x +ln x 上，则P ，Q 两点间距离的最小值为（ ） ABC．D ．7．设a R ∈，函数()xxf x e a e -=+⋅为奇函数，曲线()y f x =的一条切线的切点的纵坐标是0，则该切线方程为（ ） A ．20x y -=B ．20x y +=C ．40x y -=D ．40x y +=8．已知函数21()ln f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则曲线()f x 在1x =-处切线方程为（） A ．230x y -+=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．20x y ++=9．曲线3215()433f x x x =--在点()3,(3)f 处的切线的倾斜角为( )． A ．－135°B ．135°C ．45°D ．45-10．函数()2x af x x+=，过()1,0作()f x 的两条切线，切点为A ，()0A B B x x <<，若在区间(),A B x x 中存在唯一的整数，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞- B ．4,13⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．()1,0-D ．()2,1--11．已知函数，若方程()()F x f x ax =-有4个零点，则 a的可能的值为（ ） A ．14B ．1C ．12D ．1e12．函数f （x ）＝xsinx+cosx 的导函数为'()f x ，则导函数'()f x 的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．定义：如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在()1212,,x x a x x b <<<满足()()()1f b f a f x b a -'=-，()()()2f b f a f x b a-'=-，则称函数()y f x =是在区间[],a b 上的一个双中值函数已知函()3265f x x x =-是区间[]0,t 上的双中值函数，则实数t 的取值范围是___________.14．曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为_________． 15．设函数()()1xf x ex =+的图象在点()01，处的切线为y ax b =+，若方程x a b m -=有两个不等实根，则实数m 的取值范围是__________．16．已知函数()1f x -的图像关于直线1x =对称，当0x ≤时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是________． 17．曲线y=sin2x 在点（0，0）处的切线方程为______． 18．若函数()()3'2211f x x f x =++，则f(-1)=____.19．已知直线1l 是曲线ln y x =在1x =处的切线，直线2l 是曲线x y e =的一条切线，且12l l //，则直线2l 的方程是__________.20．已知a b ，为正实数，直线y x a =-与曲线1ln()y x b y x b '⎛⎫=+=⎪+⎝⎭相切于点()00x y ，，则11ab+的最小值是______. 三、解答题21．定义在实数集上的函数2()f x x x =+，31()23g x x x m =-+． （1）求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程；（2）若()()f x g x ≥对任意的[]4,4x ∈-恒成立，求实数m 的取值范围． 22．已知函数()()x f x x k e =-，若1k =，求()f x 在1x =处的切线方程. 23．已知函数()2xf x e x =-()1求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;()2若函数()()g x f x a =-，[]1,1x ∈-恰有2个零点，求实数a 的取值范围24．已知函数()()()()2ln ,1f x x x g x x λλ==-为常数.(1)若函数()y f x =与函数()y g x =在1x =处有相同的切线,求实数λ的值; (2)当1≥x 时, ()()f x g x ≤,求实数λ的取值范围.25．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于点P 的直线方程y ＝g (x )．26．已知函数()243f x ax ax b =-+，()()12,11f f '==。

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试题(答案解析)(1)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试题(答案解析)(1)

一、选择题1．设函数的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为k ,则函数k=g(t)的部分图象为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ） A ．ln 2B ．1C ．1ln2-D ．1ln2+3．若点P 在函数3()3f x x x =-+的图象上，且函数3()3f x x x =-+的图象在点P 处的切线平行于直线21y x =+，则点P 的坐标为（ ） A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(1,3)和(1,3)-D ．(1)3-， 4．已知函数2()2(0)f x x x a x =++<，点1122(,())(,())A x f x B x f x 、为函数()f x 图象上两点，且过A B 、两点的切线互相垂直，若12x x <，则21x x -的最小值为（ ）A ．1B ．12C ．32D ．25．设()'f x 是()f x 的导函数,若2()2(2)12f x x xf '=++在闭区间[0, ]m 上有最大值12,最小值4-,则m 的取值范围是( ) A ．[2, )+∞ B ．[2, 4] C ．[4, )+∞D ．[4, 8]6．已知函数1()1x e f x x -=+，则函数()f x 在1x =处的切线方程为（ ）A ．410x y -+=B ．410x y ++=C ．0x y -=D ．430x y -+=7．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()23x f x e x f x '=++，()01f =，则不等式()5x f x e <的解集为（ ）A ．()4,1-B ．(1,4)-C ．(,4)(1,)-∞-+∞D ．(,1)(4,)-∞-+∞8．已知函数()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程是210x y -+=，若()()f x h x x=，则()2h '=（ ） A ．12 B ．12-C ．18-D ．589．函数()2x af x x+=，过()1,0作()f x 的两条切线，切点为A ，()0A B B x x <<，若在区间(),A B x x 中存在唯一的整数，则a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞-B ．4,13⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．()1,0-D ．()1-10．若点()0,A t 与曲线ln y x =上点B 距离最小值为t 为（ ） A ．ln 23+B ．ln32+C ．1ln 332+ D ．1ln 222+ 11．若直线2y x =是曲线()y f x =的一条切线，则()f x 的解析式不可能为（ ） A ．()22xf x e =-B ．()2sin f x x =C ．()13f x x x=+ D ．()32f x x x =-- 12．若直线y x =与曲线x m y e +=（m R ∈，e 为自然对数的底数）相切，则m =（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-2二、填空题13．过坐标原点O 作曲线:C x y e =的切线l ，则曲线C 、直线l 与y 轴所围成的封闭图形的面积为______14．曲线y=sin2x 在点（0，0）处的切线方程为______． 15．曲线sin xy x=在点M(π，0)处的切线方程为________． 16．曲线2x y x e =+在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为_______． 17．点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线y=x-3的距离最小值_________ 18．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 19．已知函数()11xx f x e x +=--，下面四个结论：①函数()f x 在其定义域上为增函数；②对于任意的0a <，都有()1f a >-；③()f x 有且仅有两个零点；④若x y e =在点()0,x x e 处的切线也是ln y x =的切线，则0x 必是()f x 的零点，其中所有正确的结论序号是________.20．已知()f x 在R 上连续可导，()f x '为其导函数，且()2(0)x f x e f x '+=⋅，则()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为________________三、解答题21．已知函数()2f x x =，()h x =（1）令()()[),,,,x x t y f x x t ⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩，当2x =时4y =，求实数t 的取值范围； （2）令()()1,02,0f x x y a h x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩的值域为(],1-∞，求实数a 的取值范围；（3）已知函数在()F x ，()G x 数集D 上都有定义，对任意的12,x x D ∈，当12x x <时()()()()121212F x F x G x G x x x -≤≤-或()()()()122112F x F xG x G x x x -≤≤-成立，则称()G x 是数集D 上()F x 的限制函数；令函数()()()F x f x g x =-，求其在()0,D =+∞上的限制函数()G x 的解析式，并求()G x 在()0,D =+∞上的单调区间． 22．求下列函数的导数： （1）y ＝e x lnx ； （2）y 1cosxsinx+=． 23．（1）已知曲线3y x =，求曲线在1x =处的切线方程； （2）已知直线1y kx =-与曲线ln y x =相切，求k 的值．24．已知函数()1ln f x x x=-. （1）求函数()f x 在点()1,1-处的切线方程；（2）若函数()()1g x xf x =+，直线1:2l y ax e =+与函数()g x 在x e =处的切线2l 互相垂直，求直线12,l l 与x 轴围成的封闭图形的面积.25．已知曲线()()1xf x e ax =+在1x =处的切线方程为y bx e =-.（Ⅰ）求,a b 值.（Ⅱ）若函数()()3xg x f x e m =--有两个零点，求实数m 的取值范围.26．已知函数322()2(63)1216f x x a x ax a =-+++.（1）若11a -≤≤，曲线()y f x =在点(,())a f a 处的切线经过点0(0,)y ，求0y 的最小值；（2）若()f x 只有一个零点0x ，且00x <，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【详解】 ∵，∴，∴，可知应该为奇函数，且当02t π<<时，故选B ．考点：利用导数研究函数的单调性.2．D解析：D 【解析】由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，000002ln y kx y x x =-⎧⎨=⎩，0002ln kx x x ∴-=，002ln k x x ∴=+，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.3．B解析：B 【分析】对()f x 求导，由于在点P 处的切线平行于直线21y x =+，故2312m -=，求解m ，又点(1,3)在直线21y x =+，排除即得解.【详解】设P 点坐标为(,)P m n ，则33n m m =-+2()31x f x '=-由于在点P 处的切线平行于直线21y x =+ 故2312m -=，1m ∴=±，代入33n m m =-+， 故点P 坐标为(1,3)和(1,3)-又点(1,3)在直线21y x =+，此时切线与21y x =+重合，排除 故点P 坐标为(1,3)- 故选：B 【点睛】本题考查了导数在曲线切线中的应用，考查了学生概念理解，数学运算，综合分析的能力，属于中档题.4．A解析：A 【分析】根据题意，对函数求导，且过A B 、两点的切线互相垂直，则有21()()1f x f x ''⋅=-，构造()2112122222x x x x -=-+++⎡⎤⎣⎦根据基本不等式，即可求解最值. 【详解】()22f x x '=+120x x <<，过,A B 两点的切线互相垂直，()()1222221x x ∴++=-，12220,220x x ∴+<+>，()21121222212x x x x ⎡⎤∴-=-+++≥=⎣⎦， 当且仅当()1222221x x -+=+=， 即1231,22x x =-=-时等号成立，21x x ∴-的最小值为1.故选：A 【点睛】本题考查导数几何意义和基本不等式求最值问题，考查转化与化归思想，属于中等题型.5．D解析：D【分析】首先对函数()f x 求导，令2x =，得到关于()2f '的方程，即可求出()2f '，再利用二次函数的图象和性质，即可确定m 的取值范围． 【详解】依题可得，()()222f x x f ''=+，令2x =，得()()2422f f ''=+，解得()24f '=-，所以()22()81244f x x x x =-+=--，因为()012f =，()44f =-，而由二次函数的对称性可知，()812f =，故48m ≤≤． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查导数的四则运算法则和基本初等函数导数公式的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，属于中档题．6．A解析：A 【分析】求出导函数，求出切点坐标，则求出该点处的导数即为切线的斜率，利用点斜式表示出直线方程即可． 【详解】由题意1()1x e f x x -=+，12()(1)x xe f x x -'=+， ∴f ′（1）＝14，又f （1）＝12，则切点为（1，12）， ∴所求的切线方程为：y ﹣12＝14（x ﹣1），化简得x ﹣4y +1＝0， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，关键是正确求导．7．A解析：A 【分析】首先构造函数()()x f x G x e=，利用导函数求出()G x 的解析式，即可求解不等式． 【详解】 令()()x f x G x e =，则()()()23xf x f x G x x e '-'==+， 可设2()3G x x x c =++，(0)(0)1G f ==，1c ∴=所以2()()31x f x G x x x e==++ 解不等式()5xf x e <，即()5x f x e<，所以2315x x ++< 解得41x -<<，所以不等式的解集为()4,1- 故选A 【点睛】本题考查利用导函数解不等式，解题的关键是根据问题构造一个新的函数，此题综合性比较强．8．C解析：C 【解析】 【分析】根据切线方程计算1'(2)2f =，3(2)2f =，再计算()h x 的导数，将2代入得到答案. 【详解】函数()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程是210x y -+=1'(2)2f ⇒=3(2)2f = ()()2'()()'()f x f x x f x h x h x x x-=⇒= ()3112248h -'==- 故答案选C 【点睛】本题考查了切线方程，求函数的导数，意在考查学生的计算能力.9．B解析：B 【分析】求出导数()f x '，设切点为00(,)x y ，写出切线方程，由切线过点(1,0)可得0x 的方程，此方程的解就是,A B x x ，由根的分布可求得a 的范围． 【详解】由题意22()x af x x -'=，设切点为00(,)x y ，则切线方程为200020()x a y y x x x --=-， 切线过点(1,0)，则22000200(1)x a x a x x x +--=-，化简得20020x ax a +-=，由题意此关于0x 的方程的两根为,A B x x ，由0A B x x <<得0A B x x a =->，0a <，2440a a ∆=+>，0a >或1a <-，∴1a <-，记2000()2g x x ax a =+-，则(1)10g a =+<，所以1(,)A B x x ∈，∵1是(,)A B x x 上的唯一整数，∴(0)0(2)430g a g a =->⎧⎨=+≥⎩，解得43a ≥-，∴413a -≤<-．故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查方程根的分布问题．解题方法是求出导数，设出切点坐标得出切线方程，由切线过点10（，）得出0x 的方程，此方程的解就是,A B x x ，问题转化为二次方程根的分布问题．10．C解析：C 【分析】设点B 的坐标为(),ln m m ，根据直线AB 与曲线ln y x =在点B 处的切线垂直，得到t 关于m 的表达式，再利用两点间的距离公式结合AB 的最小值为m 的值，即可得出实数t 的值. 【详解】设点B 的坐标为(),ln m m ，对函数ln y x =求导得1y x'=， 由题意可知，直线AB 与曲线ln y x =在点B 处的切线垂直，则ln AB t mk m m-==--， 得2ln t m m =+，由两点间的距离公式得AB ==由于AB 的最小值为4212m m +=，0m >，解得m =，因此，133ln 32t =+=+.故选：C. 【点睛】本题考查根据点到曲线上一点距离的最小值求参数，解本题的关键在于分析出直线AB 与曲线ln y x =在点B 处的切线垂直这个条件，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．C解析：C 【分析】由导数为2，求出斜率为2的切线的切点坐标，此切点在直线2y x =上，2y x =就是切线，不在，就不是切线． 【详解】若()22x f x e =-，则由()'22xf x e ==，得0x =，(0)0f =，点()0,0在直线2y x=上，则直线2y x =与曲线22x y e =-相切；若()2sin f x x =，则由()'2cos 2f x x ==，得()2x k k =π∈Z ，()20f k π=，则直线2y x =与曲线2sin y x =相切； 若()13f x x x=+，则由()2'132f x x -==，得1x =±，(1)4,(1)4f f =-=-，点()1,4，()1,4--都不在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线13y x x=+不相切； 若()32f x x x =--，则由()2'312f x x =-=，得1x =±，其中(1)2f -=-，()1,2--在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线32y x x =--相切. 故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.12．C解析：C 【分析】 设切点坐标为()00,x mx e+，求得切线的方程()000x mx m y e e x x ++-=-，根据切线方程为y x =，分别代入(0,0),(1,1)点，即可求解.【详解】 设切点坐标为()00,x mx e +，由函数x my e+=，则x my e+'=，所以切线的斜率为0x m k e +=，所以切线方程为()000x mx m y ee x x ++-=-，又因为切线为y x =过(0,0)，代入切线方程，解得01x =， 即切线方程为()111m m y ee x ++-=-将(1,1)代入切线方程，可得11m e +=，解得1m =-， 故选C . 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义求得切线的方程，合理应用切线方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】设切点为先求函数导数得切线斜率进而得切线方程代入点可得切线方程进而由定积分求面积即可【详解】设切点为因为所以因此在点处的切线斜率为所以切线的方程为即；又因为切线过点所以解得所以即切点为切线方解析：112e -. 【分析】设切点为()00x y ，，先求函数导数得切线斜率，进而得切线方程，代入点()00，可得切线方程，进而由定积分求面积即可. 【详解】设切点为()00x y ，，因为xy e =，所以'xy e =，因此在点()00x y ，处的切线斜率为0x k e =，所以切线l 的方程为()000x y y e x x -=-，即()000-=-x xy e e x x ；又因为切线过点()00，，所以()000xx e e x -=-，解得01x=，所以00x y e e ==，即切点为()1e ，，切线方程为y ex =，作出所围图形的简图如下：因此曲线C 、直线l 与y 轴所围成的封闭图形的面积为()1201111e 110222x x S e ex dx e ex e e ⎛⎫⎛⎫=-=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，考查了利用微积分基本定理求解图形面积，属于中档题.14．【解析】【分析】欲求曲线y=sin2x 在点（00）处的切线方程只须求出其斜率即可故先利用导数求出在x=2处的导函数值再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而解决问题【详解】解：∵y=sin2x ∴f 解析：20x y -=【解析】 【分析】欲求曲线y=sin2x 在点（0，0）处的切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而解决问题． 【详解】 解：∵y=sin2x ， ∴f'（x ）=2cos2x ，当x=0时，f'（0）=2，得切线的斜率为2， 所以k=2；所以曲线在点（0，0）处的切线方程为： y-0=2×（x-0），即y=2x ． 故答案为：20x y -=． 【点睛】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．15．【分析】由题意可得据此可得切线的斜率结合切点坐标即可确定切线方程【详解】由函数的解析式可得：所求切线的斜率为：由于切点坐标为故切线方程为：【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要 解析：1()y x ππ=--【分析】 由题意可得2cos sin 'x x xy x⋅-=，据此可得切线的斜率，结合切点坐标即可确定切线方程. 【详解】由函数的解析式可得：2cos sin 'x x xy x ⋅-=，所求切线的斜率为：2cos sin 1'x k y ππππππ=-===-，由于切点坐标为(),0π，故切线方程为：()1y x ππ=--.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.16．【解析】【分析】利用导数的几何意义求得切线方程求得与坐标轴的交点即可利用三角形的面积公式求得三角形的面积【详解】由函数可得导数为当时所以曲线在点处的切线方程为即令可得令可得所以曲线在处的切线与两坐标解析：23【解析】 【分析】利用导数的几何意义，求得切线方程，求得与坐标轴的交点，即可利用三角形的面积公式，求得三角形的面积. 【详解】由函数2xy x e =+，可得导数为12xy e '=+，当0x =时，3y '=，所以曲线2xy x e =+在点()0,2处的切线方程为23y x -=，即320x y -+=，令0x =，可得2y =，令0y =，可得23x =-， 所以曲线2xy x e =+在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为1222233⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求切线方程，即切线方程的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，合理、准确求解切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.17．【分析】由题意知当曲线上过点P 的切线和直线y=x-3平行时点P 到直线y=x-3的距离最小求出曲线对应的函数的导数令导数值等于1可得切点的坐标此切点到直线y=x-3的距离即为所求【详解】点P 是曲线y=解析：2【分析】由题意知，当曲线上过点P 的切线和直线y=x-3平行时，点P 到直线y=x-3的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线y=x-3的距离即为所求． 【详解】点P 是曲线y=x 2-lnx 上任意一点，当过点P 的切线和直线y=x-3平行时，点P 到直线y=x-3的距离最小．直线y=x-3的斜率等于1，令y=x 2-lnx 的导数 y′=2x -1x =1，x=1，或 x=-12（舍去），故曲线y=x 2-lnx 上和直线y=x-2平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y=x-3的距离为2.故答案为2. 【点睛】本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想．18．【解析】设则所以所以曲线在点处的切线方程为即点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一用导数求切线方程的关键在于求出斜率其求法为：设是曲线上的一点则以为切点的切线方程是若曲线在点处的切线平行于轴（即 解析：1y x =+【解析】设()y f x =，则21()2f x x x'=-，所以(1)211f '=-=， 所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+． 点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．19．②③④【分析】利用特殊值法可判断①的正误;推导出当时从而可判断②的正误；对函数化简得定义域为利用函数单调性的性质得到函数的单调性结合零点存在定理可判断③的正误;利用导数的几何意义得到进而可判断④的正解析：②③④ 【分析】利用特殊值法可判断①的正误 ; 推导出当 0a < 时 20,1ae a ->- 从而可判断②的正误；对函数()11xx f x e x +=--，化简得2()11xf x e x =---，定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞， 利用函数单调性的性质，得到函数的单调性，结合零点存在定理可判断③的正误; 利用导数的几何意义得到00011x x e x +=-，进而可判断④的正误. 【详解】(0)2f =，33223()5352(0)2f e f =-<-<=，所以，函数()y f x =在其定义域上不是增函数，①错； 当0a <时，0a e >，201a ->-， 则2()11af a e a =---1>-，②正确； 函数()11x x f x e x +=--，化简得2()11xf x e x =---， 定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞，由函数单调性的性质，知函数在(,1)-∞，(1,)+∞单调递增；22111(2)0,(0)2033f e f e --=-=-<=>(2)(0)0,f f ∴-⋅< 即函数 ()y f x = 在区间():1-∞上有且仅有 1个零点224545559330,(2)30,(2)044f e f e f f ⎛⎫⎛⎫=-<-<=->∴⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以，函数()y f x =区间(1,)+∞上有且仅有1个零点.因此，函数()y f x =有且仅有两个零点，③正确；x y e =在点 ()()000,1xx e x≠ 处的切线l 的方程 ()000-=-x x y e e x x ，即:l 000(1)xxy e x x e =--，又l 也是ln y x =的切线, 设切点为11(,ln )x x ， 则1111ln ()-=-y x x x x ，即:l 1111ln y x x x =-+， 则011x e x =且001(1)1ln x x e x -=-，化简得000(1)1xx e x -=+， 则00011x x ex +=-,则00001()01x x f x e x +=-=-， 故0x 必是函数()y f x =的零点，④正确； 故答案为：②③④. 【点睛】本题考查了函数单调性、零点个数以及不等式的判断，同时也考查了导数的几何意义，考查了推理能力，属于中等题.20．【分析】求导得斜率利用点斜式求解直线方程【详解】由题意所以因此所以易知切线为故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义考查切线方程求法是基础题 解析：1y x =-+【分析】求导得斜率，利用点斜式求解直线方程 【详解】由题意， 2()(0)x f x e f '+'=，所以0(0)(0)(02)12f e f f +='+''=， 因此(0)1f '=-，所以()2xf x e x =-，易知切线为1y x =-+故答案为：1y x =-+ 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查切线方程求法，是基础题三、解答题21．（1）(],2-∞ （2）(]0,1（3）()2G x x x=- 增区间为在()0,∞+ 【分析】（1）由分段函数求值问题，讨论2x =落在哪一段中，再根据函数值即可得实数t 的取值范围；（2）由分段函数值域问题，由函数的值域可得(]()(]0,1,,1a ⋃-∞=-∞，再求出实数a 的取值范围；（3）先阅读题意，再由导数的几何意义求得()2G x x x=-，再利用导数研究函数的单调性即可. 【详解】解: （1）由()()[),,,,x x t y f x x t ⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩,且2x =时4y =， 当2t >时,有2x =时, 2y x ==,与题设矛盾, 当2t ≤时,有2x =时,2(2)24y f ===,与题设相符, 故实数t 的取值范围为:(],2-∞;（2）当0x ≤，212x y ⎛⎫=⎪⎝⎭，因为0x ≤，所以20x ≥，即(]0,1y ∈， 当0x >，y a =-0x >0>，即(),y a ∈-∞， 又由题意有(]()(]0,1,,1a ⋃-∞=-∞， 所以01a <≤，故实数a 的取值范围为(]0,1；（3）由()()()2F x f x g x x =-=-()'2F x x =-， 由导数的几何意义可得函数()F x 在任一点处的导数即为曲线在这一点处切线的斜率，由限制函数的定义可知()2G x x x=-， 由()'20G x =+>，即函数()G x 在()0,D =+∞为增函数，故函数()G x 在()0,∞+为增函数. 【点睛】本题考查了分段函数求值问题、分段函数值域问题及导数的几何意义，重点考查了阅读理解能力，属中档题. 22．（1）y ′＝e x （lnx 1x +）；（2）y ′21cosx sin x--=【分析】（1）根据导数的积的运算法则和求导公式计算即可； （2）根据导数商的求导法则和求导公式进行求解即可． 【详解】 （1）y ′＝e x lnx +e x 1x⋅=e x （lnx 1x +）．（2）y ′＝（1cosxsinx +）′()2222211sinxsinx cosx cosx sin x cos x cosx cosx sin x sin x sin x --+-----===． 【点睛】本题主要考查函数的导数的计算，根据函数的导数的运算法则是解决本题的关键．23．（1）320x y --= （2）1 【分析】（1）利用导数几何意义求斜率即可（2）设切点为()00,x y ，根据两函数在该点导数相等及该点为公共点列方程组即可求解. 【详解】（1）切点为()1,1 又2'3y x = 所以=3k 切所以切线方程为：320x y --= （2）设切点为()00,x y ，又1'y x=所以00000011101y kx x k y x k y lnx ⎧=+=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=⎩ 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及切线方程的求法，属于中档题. 24．（1）230x y --=（2）24920e 【分析】（1）求导，将切点分别代入导函数和原函数利用切线方程公式得到答案.（2）()g x xlnx =, 切点坐标为(),e e ,计算得到12,l l 方程，得到交点，再计算三角形面积. 【详解】 (1)()211´f x x x=+, ()()´1 2,1 21f y x =+=-,230x y --=(2)由已知, ()g x xlnx =, 切点坐标为(),e e ,()()'1,'2g x lnx g e =+=,所以2l :的方程为：()2y e x e -=-,2y x e =-…………① 于是，1l 的方程为：122y x e =-+,……………………② 联立①②，解得67,55e e （） 2l 与x 轴交点,02e ⎛⎫⎪⎝⎭, 1l 与x 轴交点()4,0e此封闭图像面积为三角形，底边为7422e e m e =-=,高75h e = 所以三角形面积为2117749222520e S mh e e ==⨯⨯= 【点睛】本题考查了切线方程，直线的垂直，三角形面积，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.25．(Ⅰ)1,3a b e ==；(Ⅱ)0e m -<< 【分析】（Ⅰ）利切点()()1,1f 为曲线()y f x =和直线y bx e =-的公共点，得出()1f b e =-，并结合()1f b '=列方程组求出实数a 、b 的值； （Ⅱ）解法1：由()0g x =，得出()2xm ex =-，将问题转化为直线y m =与曲线()u x =()2x e x -的图象有两个交点时，求出实数m 的取值范围，然后利用导数研究函数()u x =()2x e x -的单调性与极值，借助数形结合思想得出实数m 的取值范围；解法2：利用导数得出函数()y g x =的极小值为()1g ，并利用极限思想得出当x →-∞时，()g x m →-，结合题意得出()10g m ⎧<⎨->⎩，从而得出实数m 的取值范围．【详解】（Ⅰ）()()1x f x e ax =+，()()()'11x x xf x e ax e a e ax a =++⋅=++，()()()()12111f e a b f e a b e ⎧=⋅+=⎪∴⎨=⋅+=-'⎪⎩1,3a b e ∴==；（Ⅱ）解法1：()()()32x xg x f x e m e x m =--=--，函数()()2x g x e x m =--有两个零点，相当于曲线()()2xu x e x =⋅-与直线y m =有两个交点.()()()'21x x xu x e x e e x =⋅-+=-，当(),1x ∈-∞时，()'0,u x <()u x ∴在(),1-∞单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()'0,u x >()u x ∴在()1,+∞单调递增，1x ∴=时，()u x 取得极小值()1u e =-，又x →+∞时，()u x →+∞；2x <时，()0u x <，0e m ∴-<<；解法2：()()()32x xg x f x e m e x m =--=--，()()()'21x x x g x e x e e x =⋅-+=-，当(),1x ∈-∞时，()'0,g x <()g x ∴在(),1-∞上单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()'0,g x >()g x ∴在()1,+∞上单调递增，1x ∴=时，()g x 取得极小值()1g e m =--，又x →-∞时，()g x m →-，()100g m ⎧<⎨->⎩0e m ∴-<<.【点睛】本题考查导数的几何意义，以及函数的零点个数问题，对于直线与函数曲线相切的问题，一般要抓住以下两点：（1）切点为切线和函数曲线的公共点，于此可列等式； （2）导数在切点处的导数值等于切线的斜率． 26．（1）0（2）117(,)(,)282-∞-⋃ 【分析】（1）先对函数()f x 求导，结合导数的几何意义即可求出结果； （2）用分类讨论的思想，分别讨论12a <和12a =和12a >三种情况，利用导数的方法研究函数的极值，即可求出结果. 【详解】解：（1）()()()'612f x x x a =--，()()'61f a a a =--，()32425f a a a =-+则曲线()y f x =在点()(),a f a 处的切线方程为()()3242561y a a a a x a +-=---，令0x =，得320219y a a =+.设()32219p x x x =+ ()11x -≤≤，()()'2319p x x x =+，当10x -≤<，()'0p x <；当01x <≤时，()'0p x >. 故()()min 00p x p ==，即0y 的最小值为0. （2）（i ）若12a <，21a <，当2x a <或1x >时，()'0f x >；当21a x <<时，()'0f x <.故()f x 的极小值为()211661f a a =+-，因为00x <，所以216610a a +->，又12a <，则12a <-或1182a <<. (ii)若12a =，21a =，()()2'1610f x =-≥，则()f x 为增函数， 因为()201640f a ==>，所以()f x 只有一个零点0x ，且00x <，从而12a =满足题意. (iii)若12a >，21a >，当1x <或2x a >时，()'0f x >；当12x a <<时，()'0f x <. 故()f x 的极小值为()()22828f a a a =-+，因为00x <，()20160f a =>，所以()28280a a -+>，又12a >，则1722a <<. 综上，a 的取值范围为117,,282⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，以及导数在函数中的应用，通常需要先对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性以及极值等，结合题中条件即可求解，属于常考题型.。

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》检测卷(包含答案解析)(4)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》检测卷(包含答案解析)(4)

一、选择题1．直线:l y kx b =+是曲线()()ln 1f x x =+和曲线()()2ln g x e x =的公切线，则b =（ ） A ．2B ．12C ．ln2e D ．()ln 2e2．若函数()(),011,13x e kx e x f x x kx x x⎧-+<≤⎪=⎨--<≤⎪⎩，有且仅有3个不同的零点，则实数k 的最大值为（ ） A ．1712-B ．29-C ．14-D ．03．下列函数求导：①()222log x x e '=；②()31log ln 3x x '=；③()x x e e '=；④1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭；⑤()1x x x e e '⋅=+；运算正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．设a R ∈，函数()xxf x e a e -=+⋅为奇函数，曲线()y f x =的一条切线的切点的纵坐标是0，则该切线方程为（ ） A ．20x y -= B ．20x y +=C ．40x y -=D ．40x y +=5．设曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c 垂直，则ab =（ ）A ．13 B ．13-C ．3D ．-36．已知函数21()ln f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则曲线()f x 在1x =-处切线方程为（） A ．230x y -+=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．20x y ++=7．若32()25f x x x =+-，则(1)f '=( ) A ．3B ．8C ．8-D ．3-8．已知函数()ln 2f x x x =+，则其在1x =处的切线方程是（ ） A ．20x y -=B ．20x y +=C ．10x y -+=D ．10x y +-=9．已知函数()sin f x x =的图象与直线(0)y kx k =>有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，令1sin 2A α=，212B αα+=，则（ ）A ．AB > B ．A B <C ．A B =D ．A 与B 的大小不确定10．若曲线y ＝x 3﹣2x 2+2在点A 处的切线方程为y ＝4x ﹣6，且点A 在直线mx +ny ﹣2＝0（其中m ＞0，n ＞0）上，则（ ） A ．m +7n ﹣1＝0 B ．m +n ﹣1＝0C ．m +13n ﹣3＝0D ．m +n ﹣1＝0或m +13n ﹣3＝011．设函数()f x 在R 上可导，()()2121f x x f x '=-+，则()22f a a -+与()1f 的大小关系是（ ）A ．()()221f a a f -+>B ．()()221f a a f -++C ．()()221f aa f -+<D ．不确定12．给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即'()f x 存在，且导函数'()f x 在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记''()('())'f x f x =，若''()0f x <在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数．以下四个函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不是凸函数的是 （ ） A ．()sin cos f x x x =+ B ．()ln 2f x x x =- C ．3()21f x x x =-+-D ．()e x f x x -=-二、填空题13．已知函数32()(,)f x ax bx x a b =++∈R ，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =+，则(1)f '-=_________.14．若曲线()xf x xe =在点()01,P y 处的切线垂直于直线10x ay ++=，则a =______.15．设曲线()1*N n y xn +=∈在点()1,1处的切线与x 轴交点的横坐标为nx ，则20191201922019320192018log log log log x x x x ++++的值为________.16．若直线y kx b =+是曲线2x y e -=的切线，也是曲线1x y e =-的切线，则b =__________．17．已知函数()1f x -的图像关于直线1x =对称，当0x ≤时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是________．18．函数()2ln 2f x x x x =-+过原点的切线方程为____________________．19．函数()1ln x f x ex -=+的图象在1x =处的切线方程为__________.20．设函数()()321f x x a x ax =+-+为奇函数，则曲线()y f x =在点1x =处的切线方程为______________．三、解答题21．已知函数()()x f x x k e =-，若1k =，求()f x 在1x =处的切线方程.22．已知函数32()3f x x x x m =+-+，2()23g x x x -=+，若直线2y x a =-与函数()f x ，()g x 的图象均相切.（1）求实数,a m 的值；（2）当0m >时，求()()()F x f x g x =-在[]1,1-上的最值.23．已知曲线32:32C y x x x =-+，直线:l y kx =，且直线l 与曲线C 相切于点()()000,0x y x ≠，求直线l 的方程及切点的坐标．24．已知曲线31433y x =+ （1）求曲线在点(2,4)P 处的切线方程；（2）求曲线过点(2,4)P 的切线方程 25．函数()()1ln xf x e x a =---．（Ⅰ）若函数()f x 在点()2(2)f ，处的切线过点()1,0，求a 的值； （Ⅱ）若不等式()0f x >在定义域上恒成立，求a 的取值范围．26．已知函数()ln f x x x =，2()2g x x ax =-+-（e 为自然对数的底数，a R ∈）. （1）判断曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =的公共点个数； （2）当1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若函数()()y f x g x =-有两个零点，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由()f x k '=可求得直线l 与曲线()()ln 1f x x =+的切点的坐标，由()g x k '=可求得直线l 与曲线()()2ln g x e x =的切点坐标，再将两个切点坐标代入直线l 的方程，可得出关于k 、b 的方程组，进而可求得实数b 的值. 【详解】设直线l 与曲线()()ln 1f x x =+相切于点()11,A x y ，直线l 与曲线()()2ln g x e x =相切于点()22,B x y ，()()ln 1f x x =+，则()11f x x '=+，由()1111f x k x '==+，可得11k x k-=， 则()()111ln 1ln y f x x k ==+=-，即点1,ln k A k k -⎛⎫-⎪⎝⎭，将点A 的坐标代入直线l 的方程可得1ln kk k b k--=⋅+，可得ln 1b k k =--，① ()()2ln 2ln g x e x x ==+，则()1g x x'=，由()221g x k x '==，可得21x k =，()222ln y g x k ==-，即点1,2ln B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点B 的坐标代入直线l 的方程可得12ln 1k k b b k-=⋅+=+，1ln b k ∴=-，② 联立①②可得2k =，1ln 2ln 2e b =-=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用两曲线的公切线求参数，要结合切点以及切线的斜率列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.2．B解析：B 【分析】由题意结合函数零点的概念可得(),0111,13x e e x g x x x⎧-<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩与y kx =的图象有且仅有3个不同的公共点，作出函数的图象，求出直线y kx =与()11g x x=-相切时的斜率及经过点23,3B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时的斜率，即可得解.【详解】当01x <≤时，令()0f x =得x e e kx -=； 当13x <≤时，令()0f x =得1xkx x -=即11kx x-=， 设(),0111,13x e e x g x x x⎧-<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，在同一坐标系中作出()y g x =与y kx =的图象，如图所示：函数()f x 有且仅有3个不同的零点等价于函数()y g x =的图象与y kx =的图象有且仅有3个不同的公共点， 当直线y kx =与()11g x x =-相切时，两图象恰有两个公共点，设切点为001,1A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由()21g x x '=-可得此时直线y kx =的斜率()0201k g x x '==-， 所以0200111x x x -=-，解得02x =，14k =-； 当直线y kx =经过点23,3B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，此时22339k -==-. 所以实数k 的最大值为29-. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数零点、函数与方程相关问题的求解及导数的应用，考查了转化化归思想与数形结合思想，属于中档题.3．B解析：B 【分析】根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断 【详解】①()22ln 2x x '=，故①错误②()31log ln 3x x '=，故②正确 ③()xxe e '=，故③正确④()211ln ln x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故④错误⑤()x x x x e e xe '⋅=+，故⑤错误故选：B 【点睛】本题考查的是导数的计算，较简单.4．A解析：A 【分析】根据奇函数的定义先求得1a =-的值，再利用导数的几何意义求得切线方程. 【详解】因为函数()xxf x e a e -=+⋅是奇函数，所以()()f x f x -=-对一切x ∈R 恒成立，所以x x x x e a e e a e --+⋅=--⋅对一切x ∈R 恒成立， 所以()()10xxe a e-++=对一切x ∈R 恒成立，所以10a +=，解得1a =-，所以()xxf x e e -=-，所以()'xxf x e e -=+.因为曲线()y f x =的一条切线的切点的纵坐标是0， 所以令()0xxf x e e-=-=，解得0x =.所以曲线()y f x =的这条切线的切点的坐标为()0,0， 切线的斜率为()'0002fe e -=+=.故曲线()y f x =的这条切线方程为()020y x -=-，即20x y -=. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意涉及切线问题时，要先明确切点坐标.5．B解析：B 【分析】 求得曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线的斜率，根据切线与直线0ax by c 垂直列方程，由此求得ab的值. 【详解】依题意()()()'2221322x x y x x --+-==--，'1|3x y ==-，由于曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c 垂直，所以()131,3a a b b ⎛⎫-⋅-=-=- ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本小题主要考查利用导数求切线的斜率，考查两条直线垂直的条件，属于基础题.6．A解析：A 【分析】先求出0x <时，()f x 的解析式，求出其导数，由导数的几何意义即可求出方程。

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》检测卷(有答案解析)(3)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》检测卷(有答案解析)(3)

一、选择题1．直线2y x m =+与函数()2ln 3xf x xe x =-+的图象相切于点()00A x y ，，则00ln x x +=（ ）A ．2B ．ln 2C ．2eD ．ln 2- 2．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ） A ．ln 2B ．1C ．1ln2-D ．1ln2+3．已知()f x '是函数()f x 的导函数，对任意x ∈R ，都有()()()21xf x f x e x '=+-，且()01f =，则不等式()3xf x e <的解集为（ ）A ．()2,1--B ．()2,1-C ．()1,1-D ．()1,2-4．若关于x 的方程|x 2﹣4x |﹣kx ﹣k ＝0有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围为（ ）A ．（0，6﹣B ．（﹣∞，6﹣C ．（0，D ．（6﹣5．已知函数34(x)sin 1xf x x e =+++，其导函数为'()f x ，则(2020)'(2020)(2020)'(2020)f f f f ++---的值为（ ）A ．4040B ．4C ．2D ．06．已知P 与Q 分别为函数260x y -+=与函数2ln 2y x =+ 的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为（ ）A ．65B C D ．67．若曲线3222y x x =-+在点A 处的切线方程为46y x =-，且点A 在直线10mx ny +-=（其中0m >，0n >）上，则12m n+的最小值为（ ）A ．B ．3+C ．6+D ．8．点P 在曲线321233y x x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ D ．3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦9．函数()()23ln 0,f x x x bx a b a R =+-+>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ） A ．3B ．23C ．2D ．2210．已知函数()ln af x x x =+，直线3y x =-+与曲线()y f x =相切，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．若直线2y x =是曲线()y f x =的一条切线，则()f x 的解析式不可能为（ ） A ．()22xf x e =-B ．()2sin f x x =C ．()13f x x x=+ D ．()32f x x x =--12．设，则在点处的切线的斜率为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题13．设函数()()1xf x ex =+的图象在点()01，处的切线为y ax b =+，若方程x a b m -=有两个不等实根，则实数m 的取值范围是__________．14．函数()ln 2f x a x ax b =-+，若()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，则ab =______.15．过坐标原点O 作曲线:C x y e =的切线l ，则曲线C 、直线l 与y 轴所围成的封闭图形的面积为______16．曲线y ＝2ln （x +2）在点（﹣1，0）处的切线方程为_____. 17．函数的图象在点处的切线方程为______．18．已知函数ln ()(0)xf x x a ax=-≠在点(1,(1))f 处的切线1l 与在点(,())e f e 处的切线2l 互相垂直，则1l 与2l 的交点坐标为_____．19．若过点32(,)(0,0,3)P a b a b b a a >>≠-可作曲线32()3f x x x =-的切线恰有两条，则11a b+的最小值为__________ 20．已知函数()11xx f x e x +=--，下面四个结论：①函数()f x 在其定义域上为增函数；②对于任意的0a <，都有()1f a >-；③()f x 有且仅有两个零点；④若x y e =在点()0,x x e 处的切线也是ln y x =的切线，则0x 必是()f x 的零点，其中所有正确的结论序号是________.三、解答题21．设()2(0)f x ax bx c a =++≠，()22f x x '=+.且方程()0f x =有两个相等的实根.（1）求y ＝f (x )的表达式；（2）求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积.22．已知函数21()ln 2()2f x ax x a =--∈R . （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间.23．已知函数()2()1xf x eax=+，其中12a >. （1）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率；（2）记函数()()xg x f x xe =+的极大值为M ，若1M >，求实数a 的取值范围.24．已知函数()2xf x e x =-()1求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;()2若函数()()g x f x a =-，[]1,1x ∈-恰有2个零点，求实数a 的取值范围25．已知函数()()323,f x ax bx x a b R =+-∈,在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=. (1)求函数()f x 的解析式;(2)若方程()f x m =有三个根,求m 的取值范围．26．设函数f (x )=13x 3－2a x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y =(x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y =1，确定b 、c 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由切线的斜率计算两次可得000022x xe x e x +-=，再对等式变形，两边取对数，即可得答案； 【详解】由已知，00x >且()0'2f x =.因为()2x xf x e xe x'=+-，所以000022x x e x e x +-=，即()()00002110x x x e x ++-=， 所以()000210xx e x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以0020x e x -=，即002x e x =， 两边同时取自然对数得00ln 2ln x x =-， 整理的00ln ln 2x x +=， 故选：B. 【点睛】曲线在某点处的切线与过某点的切线是不一样的，要注意区别.由于点()00A x y ，是公切点，所以也就等价于都是在某点处的切线.2．D解析：D 【解析】由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，000002ln y kx y x x =-⎧⎨=⎩，0002ln kx x x ∴-=，002ln k x x ∴=+，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.3．D解析：D 【分析】本题首先可以令()()xf xg x e=，然后根据()()()21xf x f x e x '=+-得出()21g x x '=-，再然后设2g x x x c ，通过()01f =求出1c =，最后将()3x f x e <转化为3g x，通过计算即可得出结果.【详解】 令()()xf xg x e=，则()()()x f x f x g x e '-'=， 因为()()()21xf x f x e x '=+-，所以()21g x x '=-，设2g xx x c ，因为()01f =，所以0001f g c e ，()21g x x x =-+，因为()3xf x e <，所以()3xf x e<，即213g x x x ，()()210x x -+<，解得12x -<<，故选：D. 【点睛】本题考查利用导函数求函数解析式以及不等式的解法，考查导函数与函数之间的转化，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.4．A解析：A 【分析】将方程根有四个根，转化为函数图象有四个交点，利用导数的几何意义，数形结合即可求得结果. 【详解】关于x 的方程|x 2﹣4x |﹣kx ﹣k ＝0有四个不同的实数根， 即方程()241x x k x -=+有四个不同的实数根，不妨设()()()24,1f x x x g x k x =-=+，则只需()(),f x g x 有四个交点即可， 又()g x 表示斜率为k ，且过点()1,0-的直线. 画出()(),f x g x 的图象如下所示：数形结合可知，当直线()1y k x =+与()f x 在0x >时相切为临界情况. 设切点为(),m n ，显然()0,2m ∈ 又相切时，24,24y x x y x '=-+=-+，故可得242411n m mk m m m -+==-+=++，解得51m =，则相切时斜率6k =-故要满足题意，只需(0,6k ∈-. 故选：A . 【点睛】本题考查由方程根的个数求参数范围，涉及导数的几何意义，属综合中档题.5．B解析：B 【分析】计算得到()()4f x f x +-=，()()''0f x f x --=，代入数据得到答案. 【详解】函数34(x)sin 1x f x x e =++⇒+()()44411x x x e f x f x e e +-=+=++， ()()224'3cos 1xxe f x x x e=-+++，()()''0f x f x --=，(2020)'(2020)(2020)'(2020)=4f f f f ++---，故答案选B . 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，计算出()()4f x f x +-=是解题的关键.6．C解析：C 【分析】求出函数2ln 2y x =+的图象上与直线260x y -+=平行的切线方程，由两平行线间距离公式可得结论． 【详解】由2ln 2y x =+得2y x'=，令22y x '==得1x =，2ln122y =+=，函数2ln 2y x =+的图象在点(1,2)处的切线方程为22(1)y x -=-，即20x y -=，直线20x y -=与直线260x y -+=间的距离为d ==∴线段||PQ的最小值为5． 故选：C ． 【点睛】本题考查直线与函数图象上点间距离的最小值，解题关键是掌握转化与化归思想，转化为求函数图象的切线，求两平行线间的距离．7．C【分析】设点A 的横坐标为t ，利用切线斜率求得t 的值，可求得点A 的坐标为()2,2，可得出221m n +=，将代数式22m n +与12m n +相乘，展开后利用基本不等式可求得12m n+的最小值. 【详解】设点A 的横坐标为t ，对函数3222y x x =-+求导得234y x x '=-， 由题意可得2344t t -=，即23440t t --=，解得2t =或23t =-. ①若2t =，则点A 的坐标为()2,2，此时点A 在直线46y x =-上，合乎题意； ②若23t =-，则点A 的坐标为222,327⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时点A 不在直线46y x =-上，不合乎题意.所以，点A 的坐标为()2,2，由于点A 在直线10mx ny +-=，可得221m n +=，0m >，0n >，()12124222666m n m n m n m n n m ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭当且仅当n =时，等号成立，因此，12m n+的最小值为6+. 故选：C. 【点睛】本题考查利用曲线的切线方程求切点坐标，同时也考查了利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.8．A解析：A 【分析】利用二次函数值域可求得导函数的范围，即切线斜率的范围，根据斜率和倾斜角的关系可求得结果. 【详解】243y x x '=-+，1y '∴≥-，即切线斜率tan 1k α=≥-，30,,24ππαπ⎡⎫⎡⎫∴∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭. 故选：A . 【点睛】本题考查利用直线斜率求解倾斜角所处范围的问题，关键是能够利用导数几何意义和二次函数值域求得切线斜率所处的范围.9．B【分析】先求导,再将x b =代入,即()k f b '=,进而根据均值不等式求得最小值. 【详解】由题,()23232x bx f x x b x x-+'=+-=, 则函数()f x 的图像在点()(),b f b 处的切线斜率为()22233b b k f b b b b-+'===+,设()3g b b b =+≥当且仅当3b b=,即b =, 所以()g b的最小值为即min k = 故选:B 【点睛】本题考查利用导数求函数图像某点处的切线斜率,考查利用均值不等式求最值.10．B解析：B 【分析】设切点为()00,x y ,利用导数的几何意义与()00,x y 在()ln af x x x=+与3y x =-+上联立求解即可. 【详解】设切点为()00,x y ,则()21'af x x x=-,又直线3y x =-+与曲线()y f x =相切故20000000113ln a x x y x a y x x ⎧-=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+⎪⎩,消去0y 有0000003ln 3ln a a x x x x x x -+=+⇒=-+-,代入第一个式子有 ()0000013ln 2ln 20x x x x x --+-=-⇒+-=.易得01x =.代入20011ax x -=-有2a =. 故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.11．C解析：C 【分析】由导数为2，求出斜率为2的切线的切点坐标，此切点在直线2y x =上，2y x =就是切线，不在，就不是切线． 【详解】若()22x f x e =-，则由()'22xf x e ==，得0x =，(0)0f =，点()0,0在直线2y x=上，则直线2y x =与曲线22x y e =-相切；若()2sin f x x =，则由()'2cos 2f x x ==，得()2x k k =π∈Z ，()20f k π=，则直线2y x =与曲线2sin y x =相切； 若()13f x x x=+，则由()2'132f x x -==，得1x =±，(1)4,(1)4f f =-=-，点()1,4，()1,4--都不在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线13y x x=+不相切； 若()32f x x x =--，则由()2'312f x x =-=，得1x =±，其中(1)2f -=-，()1,2--在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线32y x x =--相切. 故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.12．A解析：A 【解析】 【分析】 曲线在点处的切线的斜率为.【详解】，.【点睛】本题考查函数求导及导数的几何意义，属于基础题.二、填空题13．【分析】首先由导数的几何意义可知切线的斜率将切点代入切线方程可得的值即可得有两个不等实根转化为与图象有两个不同的交点数形结合即可求解【详解】由可得在点处的切线斜率为所以将点代入可得所以方程即有两个不 解析：()0,1【分析】首先由导数的几何意义可知切线的斜率()0a k f '==，将切点()01，代入切线方程可得b的值，即可得21xm -=有两个不等实根，转化为21xy =-与y m =图象有两个不同的交点，数形结合即可求解. 【详解】 由()()1xf x ex =+可得()()()12x x x e x e x x e f =++=+'，在点()01，处的切线斜率为()0022k f e '===，所以2a =， 将点()01，代入y ax b =+可得1b =，所以方程xa b m -=即21xm -=有两个不等实根， 等价于21x y =-与y m =图象有两个不同的交点，作21xy =-的图象如图所示：由图知：若21xy =-与y m =图象有两个不同的交点则01m <<吗，故答案为：()0,1 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.14．【分析】由函数在处的切线方程为得出即可求解【详解】由题意函数则因为函数在处的切线方程为所以即解得所以故答案为：【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用其中解答中熟记利用导数研究曲线在某点处的切线方 解析：2【分析】由函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，得出()(1)213f f '=⎧⎨=⎩，即可求解.【详解】由题意，函数()ln 2f x a x ax b =-+，则()2afx a x'=-， 因为函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，所以()(1)212113f f =⎧⎨=⨯+='⎩，即2223a a a b -=⎧⎨-+=⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩，所以2ab =.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记利用导数研究曲线在某点处的切线方程的方法，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.15．【分析】设切点为先求函数导数得切线斜率进而得切线方程代入点可得切线方程进而由定积分求面积即可【详解】设切点为因为所以因此在点处的切线斜率为所以切线的方程为即；又因为切线过点所以解得所以即切点为切线方解析：112e -. 【分析】设切点为()00x y ，，先求函数导数得切线斜率，进而得切线方程，代入点()00，可得切线方程，进而由定积分求面积即可. 【详解】设切点为()00x y ，，因为xy e =，所以'xy e =，因此在点()00x y ，处的切线斜率为0x k e =，所以切线l 的方程为()000x y y e x x -=-，即()000-=-x xy e e x x ；又因为切线过点()00，，所以()000xx e e x -=-，解得01x=，所以00x y e e ==，即切点为()1e ，，切线方程为y ex =，作出所围图形的简图如下：因此曲线C 、直线l 与y 轴所围成的封闭图形的面积为()1201111e 110222xx S e ex dx e ex e e ⎛⎫⎛⎫=-=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，考查了利用微积分基本定理求解图形面积，属于中档题.16．2x ﹣y+2＝0【解析】【分析】求得函数的导数可得切线的斜率由点斜式方程可得所求切线方程【详解】的导数为可得切线的斜率为即有曲线在处的切线方程为即故答案为【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程考查直解析：2x ﹣y +2＝0 【解析】 【分析】求得函数y 的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线方程． 【详解】()2ln 2y x =+的导数为22y x '=+，可得切线的斜率为2k =， 即有曲线在()10-，处的切线方程为()21y x =+， 即220x y -+=，故答案为220x y -+=． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．17．x-y-1=0【解析】【分析】求得f(x)的导数可得切线的斜率和切点坐标由点斜式方程可得所求切线方程【详解】函数f(x)=lnxx 的导数为f(x)=1-lnxx2可得f(x)在x=1处的切线斜率为k 解析：【解析】 【分析】 求得的导数，可得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程可得所求切线方程．【详解】 函数的导数为， 可得在处的切线斜率为，，即，可得切线方程为，即， 故答案为：．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．要求函数在某点处的切线方程，则先对函数求导，求得函数的导函数，将切点的横坐标代入原函数求得切点的坐标，将切点的横坐标代入导函数得到切线的斜率，由点斜式写出切线方程并化简为一般式，求得切线的方程.18．【分析】根据导数的几何意义得到在点处的切线的斜率为在点处的切线的斜率为根据两直线垂直可得到参数值再求出在两点处的切线方程求出两直线的交点即可【详解】对函数求导得到在点处的切线的斜率为在点处的切线的斜解析：11(1,1)e e+-【分析】根据导数的几何意义得到在点()()1,1f 处的切线1l 的斜率为()111f a'=-，在点()(),e f e 处的切线2l 的斜率为()1f e '=，根据两直线垂直可得到参数值，再求出在两点处的切线方程，求出两直线的交点即可. 【详解】对函数求导得到()21ln 1x f x ax -'=-，在点()()1,1f 处的切线1l 的斜率为()111f a'=-，在点()(),e f e 处的切线2l 的斜率为()1f e '=，因为两直线垂直，故得到a=12,()22(1ln )1x f x x'-=-, 切线1l 的切点为()()1,1f ，即()1,1，切线2l 的切点为2,e e e ⎛⎫-⎪⎝⎭，根据点斜式写出直线方程得到：1l 为y=-x+2,2l 为2y x e =-，联立两条直线得到交点坐标为111,1ee ⎛⎫+- ⎪⎝⎭.故答案为111,1ee ⎛⎫+- ⎪⎝⎭. 【点睛】点睛：这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.19．【解析】【分析】求出f （x ）的导数设切点（x0f （x0））求得切线的方程代入切点整理化简可得2x03﹣（3+3a ）x02+6ax0+b=0（*）由条件切线恰有两条方程（*）恰有两根令u （x ）=2x3解析：4+【解析】 【分析】求出f （x ）的导数，设切点（x 0，f （x 0）），求得切线的方程，代入切点，整理化简可得2x 03﹣（3+3a ）x 02+6ax 0+b=0（*）由条件切线恰有两条，方程（*）恰有两根．令u （x ）=2x 3﹣（3+3a ）x 2+6ax+b ，求出导数，求得极值点，令其中一个极值为0，可得3a+b=1，运用乘1法和基本不等式，计算即可得到所求最小值． 【详解】 f′（x ）=3x 2﹣6x ，过点P （a ，b ）作曲线的切线，设切点（x 0，f （x 0）），则切线方程为：y ﹣b=（3x 02﹣6x 0）（x ﹣a ）， 将（x 0，f （x 0））代入得：f （x 0）=（3x 02﹣6x 0）（x 0﹣a ）+b=x 03﹣3x 02， 即2x 03﹣（3+3a ）x 02+6ax 0+b=0（*） 由条件切线恰有两条，方程（*）恰有两根．令u （x ）=2x 3﹣（3+3a ）x 2+6ax+b ，u′（x ）=6x 2﹣（6+6a ）x+6a=6（x ﹣a ）（x ﹣1）， 可得u （1）=0或u （a ）=0， 即有3a+b=1或b=a 3﹣3a 2（舍去）， 则11a b +=（3a+b ）（11a b +）=4+3b a a b +当且仅当a=12时，取得等号． 即有11a b+的最小值为， 故答案为：【点睛】（1）本题考查导数的运用，考查求切线的方程和极值，考查基本不等式的运用（注意乘1法），考查转化思想和化简整理的运算能力．（2）本题的解题关键是常量代换，即把11a b +化成11a b +=（3a+b ）（11a b+），再利用基本不等式求函数的最小值. 利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.20．②③④【分析】利用特殊值法可判断①的正误;推导出当时从而可判断②的正误；对函数化简得定义域为利用函数单调性的性质得到函数的单调性结合零点存在定理可判断③的正误;利用导数的几何意义得到进而可判断④的正解析：②③④ 【分析】利用特殊值法可判断①的正误 ; 推导出当 0a < 时 20,1ae a ->- 从而可判断②的正误；对函数()11xx f x e x +=--，化简得2()11xf x e x =---，定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞， 利用函数单调性的性质，得到函数的单调性，结合零点存在定理可判断③的正误; 利用导数的几何意义得到00011x x e x +=-，进而可判断④的正误. 【详解】(0)2f =，33223()5352(0)2f e f =-<-<=， 所以，函数()y f x =在其定义域上不是增函数，①错； 当0a <时，0a e >，201a ->-， 则2()11af a e a =---1>-，②正确； 函数()11xx f x e x +=--，化简得2()11xf x e x =---，定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞，由函数单调性的性质，知函数在(,1)-∞，(1,)+∞单调递增；22111(2)0,(0)2033f e f e --=-=-<=>(2)(0)0,f f ∴-⋅< 即函数 ()y f x = 在区间():1-∞上有且仅有 1个零点224545559330,(2)30,(2)044f e f e f f ⎛⎫⎛⎫=-<-<=->∴⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以，函数()y f x =区间(1,)+∞上有且仅有1个零点.因此，函数()y f x =有且仅有两个零点，③正确；x y e =在点 ()()000,1xx e x≠ 处的切线l 的方程 ()000-=-x x y e e x x ，即:l 000(1)xxy e x x e =--，又l 也是ln y x =的切线, 设切点为11(,ln )x x ， 则1111ln ()-=-y x x x x ，即:l 1111ln y x x x =-+， 则011x ex =且001(1)1ln x x e x -=-，化简得000(1)1xx e x -=+， 则00011x x e x +=-,则00001()01x x f x e x +=-=-， 故0x 必是函数()y f x =的零点，④正确； 故答案为：②③④. 【点睛】本题考查了函数单调性、零点个数以及不等式的判断，同时也考查了导数的几何意义，考查了推理能力，属于中等题.三、解答题21．（1）()221f x x x =++；（2）13【分析】（1）求导得到()222f x ax b x '=+=+，得到1a =，2b =，再根据0∆=解得答案. （2）直接利用定积分计算面积得到答案. 【详解】（1）()2(0)f x ax bx c a =++≠，故()222f x ax b x '=+=+，故1a =，2b =，方程()0f x =有两个相等的实根，故()220f x x x c =+=+，440c ∆=-=，故1c =，故()221f x x x =++.（2）()01f =，取()2210f x x x =+=+，则1x =-，故()()0023211111121011333S f x dx x x dx x x x ---⎛⎫==++=++=--+-= ⎪⎝⎭⎰⎰.【点睛】本题考查了根据导数求参数，定积分求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力. 22．（1）32y =-（2）当0a ≤时， ()f x 的减区间是()0,∞+.当0a >时，()f x 的减区间是0,a ⎛ ⎝⎭，增区间是⎫+∞⎪⎪⎝⎭. 【分析】 （1）根据21()ln 2()2f x ax x a =--∈R ，求导1()f x ax x '=-，因为1a =，求得3(1)0,(1)2f f '==-，写出切线方程；（2）由（1）知1(),(0)f x ax x x'=->，分0a ≤， 0a >两种情况，按照求单调区间的步骤求解. 【详解】 （1）因为21()ln 2()2f x ax x a =--∈R . 所以1()f x ax x'=-， 当1a =时，3(1)0,(1)2f f '==-， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程32y =-； （2）由（1）知1(),(0)f x ax x x'=-> 当0a ≤时，()0f x '<()f x 在()0,∞+上递减， 当0a >时，令()0f x '=，得x a=，当0x <<时，()0f x '<，()f x在⎛ ⎝⎭上递减，当x >()0f x '>，()f x在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上递增， 综上：当0a ≤时， ()f x 的减区间是()0,∞+.当0a >时，()f x 的减区间是⎛ ⎝⎭，增区间是⎫+∞⎪⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义和导数与函数的单调性，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.23．（1）7e ；（2）21,4e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）将2a =代入函数解析式，并求得导函数()f x '.代入(1)f '即可求得曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率；（2）将()f x 代入可得()g x ，并求得导函数'()g x .由12a >，列表讨论'(),()g x g x 的变化情况.即可求得()g x 的极大值，结合1M >即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）当2a =时，()2()e 21xf x x=+，依题意()()22()214241xx x f x e xxe e x x '=++=++，故(1)7f e '=.（2）依题意，()2()()1,xxx g x f x xe e axxe =+=++则()(2)(1)xg x e x ax '=++ 当12a >时，当x 变化时，'(),()g x g x 的变化情况如下表：由上表可知，2(2)(41)1M g e a -=-=->，解得14e a +>，故实数a 的取值范围为21,4e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，利用导数分析函数的单调性与极值，根据极值的情况求参数的取值范围，属于中档题. 24．(1) x+y-1=0. (2) 22ln 22a e -<≤-.【分析】(1)求得f （x ）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程；(2) 函数()()[],1,1g x f x a x =-∈-恰有2个零点转化为两个图象的交点个数问题，数形结合解题即可. 【详解】（1）因为()e 2xf x x =-，所以()e 2xf x '=-.所以()0 1.f '=- 又()01,f =所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1,y x -=- 即10x y +-=.（5分）（2）由题意得，()e 2xg x x a =--，所以()e 2xg x '=-.由()e 20xg x ='-=，解得ln2x =，故当1ln2x -≤<时，()0g x '<，()g x 在[)1,ln2-上单调递减； 当ln21x <≤时，()0g x '>，()g x 在(]ln2,1上单调递增. 所以()()min ln222ln2g x g a ==--. 又()11e +2g a --=-，()1e 2g a =--，若函数恰有两个零点，则()()()11e 20,1e 20,ln22220,g a g a g ln a -⎧-=+-≥⎪=--≥⎨⎪=--<⎩解得22ln2e 2a -<≤-.所以实数a 的取值范围为(]22ln2,e 2--. 【点睛】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解. 25．（1）()33f x x x =-；（2）22m -<<.【分析】（1）求得()f x 的导数，可得切线的斜率和切点，由已知切线方程，可得a ，b 的方程组，即可得到所求解析式；（2）求得()f x 的导数和单调区间、极值，由题意可得m 介于两极值之间． 【详解】解：（1）函数32()3f x ax bx x =+-的导数为2()323f x ax bx '=+-，根据在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=， 得12f ，()10f '=，即32a b +-=-，3230a b +-=，解得1a =，0b =， 则3()3f x x x =-； （2）令2()330f x x '=-=， 解得1x =-或1，令()0f x '>，得1x >或1x <-； 令()0f x '<，得11x -<<；()f x ∴的单调增区间是(,1)-∞-，(1,)+∞，单调减区间是(1,1)-，有两个极值为()12f -=，12f ，图象如图所示：方程()f x m =有三个根，即为()y f x =和y m =有三个交点，22m ∴-<<． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值，考查方程思想和转化思想，以及运算能力，属于中档题． 26．b ＝0，c ＝1 【解析】试题分析：先求出函数 ()f x 的导函数()'f x ，再根据曲线()y f x =在点()()0,0P f 处的切线方程为1y =，可得()()01,'00f f ==，解方程组即可求出求,b c 的值. 试题由题意得，f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由切点P (0，f (0))既在曲线f (x )＝x 3－x 2＋bx ＋c 上又在切线y ＝1上知，即，故b ＝0，c ＝1.【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解。

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》检测卷(有答案解析)(1)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》检测卷(有答案解析)(1)

一、选择题1．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ）A ．ln 2B ．1C ．1ln2-D ．1ln2+2．已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的个数是（ ）①函数()f x 的值域与()g x 的值域相同；②若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点； ③把函数()f x 的图像向右平移2π个单位长度，就可以得到()g x 的图像； ④函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内都是增函数. A ．0 B ．1 C ．2D ．33．若关于x 的方程|x 2﹣4x |﹣kx ﹣k ＝0有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围为（ ）A ．（0，6﹣B ．（﹣∞，6﹣C ．（0，D ．（6﹣4．已知函数34(x)sin 1xf x x e =+++，其导函数为'()f x ，则(2020)'(2020)(2020)'(2020)f f f f ++---的值为（ ）A ．4040B ．4C ．2D ．05．若曲线3222y x x =-+在点A 处的切线方程为46y x =-，且点A 在直线10mx ny +-=（其中0m >，0n >）上，则12m n+的最小值为（ ）A ．B ．3+C ．6+D ．6．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图像关于点()0,2对称，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线过点()2,7，设曲线()y f x =在0x =处的切线的倾斜角为α，则sin(3)tan()+⋅-παπα的值为（ ）A ．4B ．4C ．10D ．10-7．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象关于(0,2)对称，()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，若图象在点0x =处的切线的倾斜角为α，则cos tan()2παπα⎛⎫+⋅-⎪⎝⎭的值为（ ）A ．BCD 8．已知函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2018S 的值为（ ）A ．20152016B ．20162017C ．20172018D ．201820199．若32()25f x x x =+-，则(1)f '=( ) A ．3B ．8C ．8-D ．3-10．若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0123452345a a a a a a +++++为（） A ．－233B ．10C ．20D ．23311．若曲线y ＝x 3﹣2x 2+2在点A 处的切线方程为y ＝4x ﹣6，且点A 在直线mx +ny ﹣2＝0（其中m ＞0，n ＞0）上，则（ ） A ．m +7n ﹣1＝0 B ．m +n ﹣1＝0C ．m +13n ﹣3＝0D ．m +n ﹣1＝0或m +13n ﹣3＝012．已知函数()f x 在R 上可导，且2()=2(1)f x x xf +'，则函数()f x 的解析式为（ ） A ．2()4f x x x =- B ．2()4f x x x =+ C ．2()2f x x x =-D ．2()2f x x x =+二、填空题13．直线2y x =与()2ln f x a x x =+的图象相切，则a 的值为___________. 14．直线l 过坐标原点且与线x y e =相切，则l 的方程为___________. 15．曲线y=sin2x 在点（0，0）处的切线方程为______． 16．设曲线1cosx y sinx +=在点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与直线x ay 10-+=平行，则实数a =______．17．若直线y x b =+是曲线x y e =的一条切线，则实数b 的值是_____. 18．函数1y x =-在1-22⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线方程是____________________ 19．已知函数()11xx f x e x +=--，下面四个结论：①函数()f x 在其定义域上为增函数；②对于任意的0a <，都有()1f a >-；③()f x 有且仅有两个零点；④若x y e =在点()0,x x e 处的切线也是ln y x =的切线，则0x 必是()f x 的零点，其中所有正确的结论序号是________.20．已知直线1l 是曲线ln y x =在1x =处的切线，直线2l 是曲线x y e =的一条切线，且12l l //，则直线2l 的方程是__________.三、解答题21．已知函数()x af x e-=，()ln g x x b =-．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,1处的切线方程；（2）若2a b =+，是否存在直线与曲线()y f x =和()y g x =都相切？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，请说明理由．22．已知函数32()3f x x x x m =+-+，2()23g x x x -=+，若直线2y x a =-与函数()f x ，()g x 的图象均相切.（1）求实数,a m 的值；（2）当0m >时，求()()()F x f x g x =-在[]1,1-上的最值.23．设函数423401234()(12)f x x a a x a x a x a x =-=++++.（Ⅰ）求1234234a a a a +++的值；（Ⅱ）设3131()()8g x a x a x =-，若过点(2,)(30)M t t ≠可作曲线()y g x =的三条切线，求实数t 的取值范围．24．已知曲线3()f x x ax b =++在点(2,6)P -处的切线方程是13320x y --=. （1）求a ，b 的值；（2）如果曲线()y f x =的某一切线与直线l ：134=-+y x 垂直，求切点坐标与切线的方程.25．已知函数2()ln ()f x tx x t =∈R ． （1）求()f x 在点(1, (1))f 处的切线方程． （2）若不等式1()ef x ≥恒成立，求实数t 的取值范围． （3）已知0a >，0b >，求证：22ln ln 1a b b a->-． 26．设函数f (x )=13x 3－2a x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y =(x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y =1，确定b 、c 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题解析：D 【解析】由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，000002ln y kx y x x =-⎧⎨=⎩，0002ln kx x x ∴-=，002ln k x x ∴=+，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.2．B解析：B 【分析】求出函数f (x )的导函数g (x )，再分别判断f (x )、g (x )的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题即可一一做出判断，从而得到答案. 【详解】()sin cos 224f x x x x x x π⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，()sin +cos ++224g x x x x x x π⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， ①，()4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，两函数的值域相同，都是[，故①正确；②，若0x 是函数()f x 的极值点，则042x k πππ-=+，k Z ∈，解得034x k ππ=+，k Z ∈，()03044g x k πππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，0x ∴也是函数()g x 的零点，故②正确； ③，把函数()f x 的图象向右平移2π个单位，得sin cos cos sin ()222f x x x x x g x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=--≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故③错误；④，,44x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，,042x ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 是单调增函数，0,42x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()g x 也是单调增函数，故④正确. 综上所述，以上结论中错误的个数是1. 故选B. 【点睛】本题考查了两角和与差的正弦公式，正弦函数的单调性，以及三角函数图象的变换，熟练掌握公式和正弦函数的性质是解本题的关键，属中档题.解析：A 【分析】将方程根有四个根，转化为函数图象有四个交点，利用导数的几何意义，数形结合即可求得结果. 【详解】关于x 的方程|x 2﹣4x |﹣kx ﹣k ＝0有四个不同的实数根， 即方程()241x x k x -=+有四个不同的实数根，不妨设()()()24,1f x x x g x k x =-=+，则只需()(),f x g x 有四个交点即可， 又()g x 表示斜率为k ，且过点()1,0-的直线. 画出()(),f x g x 的图象如下所示：数形结合可知，当直线()1y k x =+与()f x 在0x >时相切为临界情况. 设切点为(),m n ，显然()0,2m ∈ 又相切时，24,24y x x y x '=-+=-+，故可得242411n m mk m m m -+==-+=++，解得51m =， 则相切时斜率625k =-故要满足题意，只需(0,625k ∈-. 故选：A . 【点睛】本题考查由方程根的个数求参数范围，涉及导数的几何意义，属综合中档题.解析：B 【分析】计算得到()()4f x f x +-=，()()''0f x f x --=，代入数据得到答案. 【详解】函数34(x)sin 1x f x x e =++⇒+()()44411x x x e f x f x e e +-=+=++， ()()224'3cos 1xxe f x x x e=-+++，()()''0f x f x --=，(2020)'(2020)(2020)'(2020)=4f f f f ++---，故答案选B . 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，计算出()()4f x f x +-=是解题的关键.5．C解析：C 【分析】设点A 的横坐标为t ，利用切线斜率求得t 的值，可求得点A 的坐标为()2,2，可得出221m n +=，将代数式22m n +与12m n +相乘，展开后利用基本不等式可求得12m n+的最小值. 【详解】设点A 的横坐标为t ，对函数3222y x x =-+求导得234y x x '=-， 由题意可得2344t t -=，即23440t t --=，解得2t =或23t =-. ①若2t =，则点A 的坐标为()2,2，此时点A 在直线46y x =-上，合乎题意； ②若23t =-，则点A 的坐标为222,327⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时点A 不在直线46y x =-上，不合乎题意.所以，点A 的坐标为()2,2，由于点A 在直线10mx ny +-=，可得221m n +=，0m >，0n >，()12124222666m n m n m n m n n m ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭当且仅当n =时，等号成立，因此，12m n+的最小值为6+. 故选：C. 【点睛】本题考查利用曲线的切线方程求切点坐标，同时也考查了利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.6．C解析：C 【分析】由题意可得()()4f x f x +-=对任意x ∈R 恒成立，可得0a =，2c =，根据导数的几何意义可得在点()1,(1)f 处切线的斜率，进而可求出在点()1,(1)f 处切线的方程，将点()2,7代入切线的方程即可求出b ，进而可求出tan α，再利用诱导公式及同角三角函数关系，即可到答案． 【详解】因为函数32()f x x ax bx c =+++的图像关于点()0,2对称，所以()()4f x f x +-=对任意x ∈R 恒成立，即32324x ax bx c x ax bx c +++-+-+=对任意x ∈R 恒成立， 即22ax c +=对任意x ∈R 恒成立，所以0a =，2c =， 所以3()2f x x bx =++，所以2()3f x x b '=+，所以函数()f x 在1x =处的切线的斜率(1)3k f b '==+，又(1)3f b =+， 所以切线的方程为(3)(3)(1)y b b x -+=+-，又切线过点()2,7， 所以7(3)(3)(21)b b -+=+-，解得12b =， 所以函数()f x 在0x =处的切线的斜率1(0)2k f b '===，所以1tan 2α=，所以sin α，所以1sin(3)tan()sin (tan )sin tan 2+⋅-=-⋅-=⋅==παπααααα． 故选：C ． 【点睛】本题考查函数的对称中心方程应用，导数的几何意义及在一点处的切线的方程，同时考查诱导公式和同角基本关系，属于中档题．7．B解析：B 【分析】首先根据函数()f x 的图象关于点(0,2)对称得到0a =，2c =，即3()2f x x bx =++.利用导数的切线过点(2,7)得到12b =，再求函数()f x 在0x =处的切线倾斜角的正切值和正弦值，代入式子cos()tan()2παπα+-计算即可.【详解】因为函数()f x 的图象关于点(0,2)对称，所以()()4f x f x +-=. 即：32324x ax bx c x ax bx c +++-+-+=，解得0a =，2c =.所以3()2f x x bx =++，(1)3f b =+，切点为(1,3)b +.2()3f x x b '=+，(1)3k f b '==+.切线为：(3)(3)(1)y b b x -+=+-.因为切线过点(2,7)，所以7(3)(3)(21)b b -+=+-，解得12b =. 所以31()22f x x x =++，21()32f x x '=+. 1(0)tan 2f α'==，所以sin α=.所以51cos()tan()sin tan 22παπααα+-==⨯=故选：B【点睛】本题主要考查导数的切线问题，同时考查三角函数的诱导公式，属于中档题.8．D解析：D 【分析】求出原函数的导函数，得到()y f x =在1x =时的导数值，进一步求得m ，可得函数解析式，然后利用裂项相消法可计算出2018S 的值． 【详解】由()2f x x mx =+，得()2f x x m '=+，()12f m '∴=+，因为函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，()123f m '∴=+=，解得1m =，()2f x x x ∴=+，则()()21111111f n n n n n n n ===-+++. 因此，20181111112018112232018201920192019S =-+-++-=-=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．9．B解析：B 【分析】利用求导法则求出()f x 的导函数，把1x =代入导函数中求得结果. 【详解】求导得：2'()62f x x x =+， 把1x =代入得：'(1)628f =+=， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关函数在某点处的导数的求解问题，涉及到的知识点有函数的求导公式以及求导法则，属于简单题目.10．A解析：A 【解析】 【分析】对等式两边进行求导，当x ＝1时，求出a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5的值，再求出a 0的值，即可得出答案． 【详解】对等式两边进行求导，得：2×5（2x ﹣3）4＝a 1+2a 2x +3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4， 令x ＝1，得10＝a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5； 又a 0＝（﹣3）5＝﹣243，∴a 0+a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5＝﹣243+10＝﹣233． 故选A ． 【点睛】本题考查了二项式定理与导数的综合应用问题，考查了赋值法求解二项展开式的系数和的方法，利用导数得出式子a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5是解题的关键．11．B解析：B 【分析】设32(,),22A x t y x x =-+的导数234y x x '=-，可得切线的斜率为234x x -，然后根据切线方程尽量关于,x t 的方程组，再结合条件，即可求得,m n 的关系，得到答案． 【详解】设32(,),22A x t y x x =-+的导数234y x x '=-， 可得切线的斜率为234x x -，又由切线方程为46y x =-，所以232344,4622x x t x x x -==-=-+， 解得2,2x t ==，因为点A 在直线20+-=mx ny 上，所以10m n +-=，故选B ． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，利用切线方程列出相应的方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．12．A解析：A 【分析】先对函数()f x 求导，然后将1x =代入导函数中，可求出(1)2f '=-，从而得到()f x 的解析式. 【详解】由题意，()22(1)f x x f ''=+，则(1)22(1)f f ''=+，解得(1)2f '=-，故2()4f x x x =-.故答案为A. 【点睛】本题考查了函数解析式的求法，考查了函数的导数的求法，属于基础题.二、填空题13．【分析】设切点坐标为求导数由切线斜率得的关系再由切点在函数图象可求得参数值【详解】设切点为因为所以切线斜率为得又因为切点在的图象上所以得即所以即故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义已知解析：2e【分析】设切点坐标为00(,2)x x ，求导数，由切线斜率得0,a x 的关系，再由切点在函数图象可求得参数值． 【详解】设切点为()00,2x x ，因为2()1af x x'=+，所以切线斜率为0212a x +=，得02x a =，又因为切点在()f x 的图象上，所以0002ln 2a x x x +=，得002ln a x x =，即2ln22a a a =，所以2a e =，即2ea =.故答案为：2e ． 【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，已知函数()y f x =，00(,)P x y ，导数为()y f x '='，（1）若P 在()y f x =图象，则函数图象过P 点的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-；（2）若求过P 点的切线方程，则诮设切点为11(,())x f x ，写出切线方程111()()()y f x f x x x '-=-，然后代入P 点坐标00(,)x y ，求得1x ，从而得切线方程．14．【分析】设切点为坐标为由导数几何意义求出切线方程由切线过原点得从而得切线方程【详解】设切点为由得时又所以切线方程为而切线过原点所以解得代入后得切线方程为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几 解析：y ex =【分析】设切点为坐标为00(,)P x y ，由导数几何意义求出切线方程，由切线过原点得0x ，从而得切线方程． 【详解】设切点为00(,)P x y ，由x y e =得e xy '=，0x x =时，0x y e '=，又0x y e =，所以切线方程为00()-=-x x y e e x x ，而切线过原点，所以000()x x ee x -=⨯-，解得01x =．代入后得切线方程为y ex =．故答案为：y ex =． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，在求函数图象的切线时要注意是求在某点处的切线不是求过某点的切线，如果求()y f x =在点00(,())x f x 处的切线，则只要求得()'f x 后可得切线方程000()()()y f x f x x x '-=-，若是求()y f x =过00(,)P x y 的切线方程，则设切点为11(,)Q x y ，由切点求出切线方程111()()()y f x f x x x '-=-，代入00(,)x y ，求出1x 后得切线方程．15．【解析】【分析】欲求曲线y=sin2x 在点（00）处的切线方程只须求出其斜率即可故先利用导数求出在x=2处的导函数值再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而解决问题【详解】解：∵y=sin2x ∴f 解析：20x y -=【解析】 【分析】欲求曲线y=sin2x 在点（0，0）处的切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而解决问题． 【详解】 解：∵y=sin2x ， ∴f'（x ）=2cos2x ，当x=0时，f'（0）=2，得切线的斜率为2， 所以k=2；所以曲线在点（0，0）处的切线方程为：y-0=2×（x-0），即y=2x ． 故答案为：20x y -=． 【点睛】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．16．【解析】【分析】对函数求导求得得到a 的方程求解即可【详解】切线与直线平行斜率为又所以切线斜率所以的斜率为即解得故答案为【点睛】本题考查根据切线的斜率求参数熟记基本初等函数的求导公式准确计算是关键是基 解析：1-【解析】 【分析】 对函数1cosx y sinx +=求导，求得πf 2⎛⎫⎪⎝⎭',得到a 的方程求解即可. 【详解】切线与直线x ay 10-+=平行，斜率为1a， 又21cosxy sin x--='， 所以切线斜率πk f'12⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以x ay 10-+=的斜率为1-， 即11a=-，解得a 1=-． 故答案为1-． 【点睛】本题考查根据切线的斜率求参数，熟记基本初等函数的求导公式，准确计算是关键，是基础题.17．1【解析】【分析】设出切点坐标P （x0ex0）利用导数的几何意义写出在点P 处的切线方程由直线y ＝x+b 是曲线y ＝ex 的切线根据对应项系数相等可求出实数b 的值【详解】∵y ＝ex ∴y′＝ex 设切点为P （解析：1 【解析】 【分析】设出切点坐标P （x 0，e x 0），利用导数的几何意义写出在点P 处的切线方程，由直线y ＝x +b 是曲线y ＝e x 的切线，根据对应项系数相等可求出实数b 的值． 【详解】∵y ＝e x ，∴y ′＝e x ， 设切点为P （x 0，e x 0），则在点P 处的切线方程为y ﹣e x 0＝e x 0（x ﹣x 0），整理得y ＝e x 0x ﹣e x 0•x 0+e x 0，∵直线是y ＝x +b 是曲线y ＝e x 的切线， ∴e x 0＝1，x 0＝0， ∴b ＝1． 故答案为1． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查曲线在某点处的切线方程的求法，属于基础题.18．【解析】【分析】首先利用求导公式对函数求导将代入导函数解析式求得导函数在处的函数值根据导数的几何意义可知导数即为切线的斜率根据点斜式方程写出切线的方程化简求得结果【详解】由得所以所以切线的斜率为4根 解析：44y x =-【解析】 【分析】首先利用求导公式对函数求导，将12x =代入导函数解析式，求得导函数在12x =处的函数值，根据导数的几何意义，可知导数即为切线的斜率，根据点斜式方程，写出切线的方程，化简求得结果. 【详解】由1y x=-得21'y x =，所以12'|4x y ==，所以切线的斜率为4， 根据点斜式可知所求的切线方程为1(2)4()2y x --=-，化简得44y x =-，故答案为44y x =-.【点睛】该题考查的是导数的几何意义，首先要求出函数的导数，涉及到的知识点有函数的求导公式，直线方程的点斜式，熟练掌握基础知识是解题的关键.19．②③④【分析】利用特殊值法可判断①的正误;推导出当时从而可判断②的正误；对函数化简得定义域为利用函数单调性的性质得到函数的单调性结合零点存在定理可判断③的正误;利用导数的几何意义得到进而可判断④的正解析：②③④ 【分析】利用特殊值法可判断①的正误 ; 推导出当 0a < 时 20,1ae a ->- 从而可判断②的正误；对函数()11xx f x e x +=--，化简得2()11xf x e x =---，定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞， 利用函数单调性的性质，得到函数的单调性，结合零点存在定理可判断③的正误; 利用导数的几何意义得到00011x x e x +=-，进而可判断④的正误.【详解】(0)2f =，33223()5352(0)2f e f =-<-<=，所以，函数()y f x =在其定义域上不是增函数，①错；当0a <时，0a e >，201a ->-， 则2()11af a e a =---1>-，②正确； 函数()11x x f x e x +=--，化简得2()11xf x e x =---， 定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞，由函数单调性的性质，知函数在(,1)-∞，(1,)+∞单调递增；22111(2)0,(0)2033f e f e --=-=-<=>(2)(0)0,f f ∴-⋅< 即函数 ()y f x = 在区间():1-∞上有且仅有 1个零点224545559330,(2)30,(2)044f e f e f f ⎛⎫⎛⎫=-<-<=->∴⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，函数()y f x =区间(1,)+∞上有且仅有1个零点. 因此，函数()y f x =有且仅有两个零点，③正确；x y e =在点 ()()000,1xx e x≠ 处的切线l 的方程 ()000-=-x x y e e x x ，即:l 000(1)xxy e x x e =--，又l 也是ln y x =的切线, 设切点为11(,ln )x x ， 则1111ln ()-=-y x x x x ，即:l 1111ln y x x x =-+， 则011x e x =且001(1)1ln x x e x -=-，化简得000(1)1xx e x -=+， 则00011x x e x +=-,则00001()01x x f x e x +=-=-， 故0x 必是函数()y f x =的零点，④正确； 故答案为：②③④. 【点睛】本题考查了函数单调性、零点个数以及不等式的判断，同时也考查了导数的几何意义，考查了推理能力，属于中等题.20．【分析】求出直线的斜率得直线的斜率再求出直线的切点坐标得方程【详解】的导数为时即的导数为设切点为则∴直线的方程为故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义求切线方程未知切点时可设切点坐标由其他条件求出解析：1y x =+【分析】求出直线1l 的斜率，得直线2l 的斜率，再求出直线2l 的切点坐标，得方程． 【详解】ln y x =的导数为1y x'=,1x =时，1y '=，即1k =， x y e =的导数为e x y '=，设切点为11(,)x y ，则11x e =，10x =，011y e ==，∴直线2l 的方程为1y x =+． 故答案为：1y x =+． 【点睛】本题考查导数的几何意义．求切线方程未知切点时，可设切点坐标，由其他条件求出切点坐标，得切线方程．三、解答题21．（1）y x =；（2）存在；1a y e x -=或1y x a -=-． 【分析】（1）当1a =时，()1x f x e -=，()1x f x e-'=，故()11k f ='=，再根据点斜式方程求解即可；（2）设直线与曲线()y f x =相切于点()11,A x y ，与曲线()y g x =相切于点()22,B x y ，则根据切点在切线上，也在曲线上得()11122211ln x a x a x a e x x b e e x x ---⎧=---⎪⎨⎪--=----⎩①②，整理得()()12110x x --=，再分当11x =时和21x =时两种情况求解即可.【详解】（1）当1a =时，()1x f x e-'=，()11f =，()11f '=曲线()y f x =在点()1,1处的切线方程为：()()()111y f f x -='-， 代入整理得：y x =.（2）设直线与曲线()y f x =相切于点()11,A x y ，与曲线()y g x =相切于点()22,B x y ，()x a f x e -'=，()1g x x'=曲线()y f x =在点A 处的切线为：()111x ax a y e e x x ---=-与曲线()y g x =相切于点B ，则()11122211ln x a x a x a e x x b e e x x ---⎧=---⎪⎨⎪--=----⎩①②由①得：1221ln ln x a x x -==-，则21ln x a x =- 将121x aex -=、21ln x a x =-代入②得：()1212211a xb x x x x ---=-， 整理得：()()12110x x --=当11x =时，()111a ay e e x ---=-，即1a y e x -=当21x =时，12ln 0a x x -==，1x a =，因此1y x a -=-，即1y x a -=- 存在这样的直线，直线为1a y e x -=或1y x a -=- 【点睛】本题考查导数的几何意义，解题的关键在于把握切点即在曲线上又在切线上且切点处的导数值为切线的斜率这三个方面列方程求解，考查运算求解能力，是中档题. 22．（1）1a =，2m =或20227m =-；（2）min ()19F x =--，max ()19F x =-. 【分析】（1）由直线与二次函数相切，可由直线方程与二次函数关系式组成的方程组只有一个解，然后由判别式等于零可求出a 的值，再设出直线与函数32()3f x x x x m =+-+图像的切点坐标，由切点处的导函数值等于切线的斜率可求出切点坐标，从而可求出m 的值； （2）对函数()()()F x f x g x =-求导，使导函数为零，求出极值点，然后比较极值和端点处的函数值大小，可求出函数的最值. 【详解】（1）联立2223y x ay x x =-⎧⎨=-+⎩可得2430x x a -++=，164(3)0a ∆=-+=，1a设直线与()f x 的图象相切于点00(,)x y ，则2000()3232f x x x '=+-=，01x ∴=或05=3x -当01x =时，01y =，11312m m ∴+-+=⇒= 当05=3x -时，0133y =-，12525132025279327m m ∴-+++=-⇒=- 2m ∴=或20227m =-（2）由（1）2m =，3()1F x x x ∴=--，2()31F x x '∴=-令()0F x '≥则x -≤≤11x ≤≤；令()0F x '<则x << ()F x ∴在1,3⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在33⎡-⎢⎣⎦，上单调递减又(1)(1)1F F -==-，(139F -－＝，139⎛ ⎝⎭＝min ()1F x F ∴==，max ()(1F x F == 【点睛】此题考查导数的几何意义，利用导数求最值，属于基础题. 23．（Ⅰ）8（Ⅱ）230t -<< 【分析】（Ⅰ）根据二项定理展开式展开，即可确定对应项的系数，即可求解.（Ⅱ）代入值后可求得()y g x =的解析式，经过检验可知点(2,)(30)M t t ≠不在曲线上，即可设切点坐标为00(,)x y ，代入曲线方程并求得0()g x '，由导数的几何意义及两点间斜率公式，可得方程320082420x x t -++=，且由题意可知该方程有三个不同的实数根；分离参数并构造函数32()8242h x x x =-+，进而求得()h x '，令()0h x '=求得极值点和极值，由直线y t =-截此图象有三个交点即可确定t 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）根据二项式定理展开式的应用，展开可得4234(12)18243216x x x x x -=-+-+所以1234234a a a a +++()()()()8224332416=-+⨯+⨯-+⨯ 8=（Ⅱ）由题意33131()()48g x a x a x x x =-=- 因为点(2,)(2)M t t ≠不在曲线()y g x =上，所以可设切点为00(,)x y ．则30004y x x =-．因为200()121g x x '=-，所以切线的斜率为20121x -．则32000041212x x t x x ---=-，即320082420x x t -++=．因为过点(2,)(2)M t t ≠可作曲线()y g x =的三条切线，所以方程320082420x x t -++=有三个不同的实数解．分离参数328242t x x -=-+， 设函数32()8242h x x x =-+， 所以2()244824(2)h x x x x x '=-=-， 令()0h x '=，可得0,2x x ==， 令()0h x '>，解得0x <或2x >，所以()h x 在(,0),(2,)-∞+∞单调递增，在(0,2)单调递减． 所以()h x 的极大值为(0)2h =，极小值为(2)30h =-.用直线y t =-截此图象，当302t -<-<两图象有三个交点，即230t -<<时，即可作曲线()y g x =的三条切线. 【点睛】本题考查了二项式定理展开式的简单应用，两点间斜率公式及导数的几何意义应用，分离参数及构造函数研究三次函数性质的综合应用，属于中档题.24．（1）1,16-；（2）()(1,14)1,18，---,418y x =-或414y x =-. 【解析】试题分析：（1）先求出函数的导数，由导数的几何意义可得()'21213f a =+=，()2826f a b =++=-，解方程可得,a b 的值；（2）设切点的坐标为()00,x y ，由两直线垂直的条件，斜率之积为1-，可得切线的斜率，解方程可得切点坐标，进而可得切线方程. 试题（1）∵()3f x x ax b =++的导数()2'3f x x a =+，由题意可得()'21213f a =+=，()2826f a b =++=-， 解得1a =，16b =-. （2）∵切线与直线134y x =-+垂直， ∴切线的斜率4k =.设切点的坐标为()00,x y ，则()200'314f x x =+=，∴01x =±.由()316f x x x =+-，可得0111614y =+-=-，或0111618y =---=-.则切线方程为()4114y x =--或()4118y x =+-. 即418y x =-或414y x =-.25．（1）(1)y t x =-；（2）[2,0)-；（3）证明见解析． 【解析】分析：（1）利用导数的几何意义求切线的斜率，再求切线方程.(2)先对t 分类讨论求f(x)的最大值，即得实数t 的取值范围.(3)利用分析法证明22ln ln 1a b b a ->-． 详解：（1）()10f =，()()2ln f x t x x x '=+， ∴()1f t '=，∴()f x 在()()1,1f 处切线方程为()1y t x =-． （2）()12ln2f x tx x ⎛⎫=+⎪⎝⎭'，0x >，令()0f x '=，解得x =①0t =时，()10ef x =≤恒成立，符合要求， ②0t >时，函数()f x 在0,e ⎛ ⎪⎝⎭上单调递增，在,e ⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，x →+∞时，()f x →+∞，不满足()1ef x ≤恒成立，舍去．③0t <时，函数()f x 在0,e ⎛ ⎪⎝⎭上单调递减，在,e ⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∴ex =时，()f x 取得极大值即最大值， 由()111e 22f t t ⎛⎫=⨯⨯-≥ ⎪⎝⎭恒成立，解得2t ≥-， 综上所述[)2,0t ∈-．（3）证明：0a >，0b >，要证明22ln ln 1a b b a ->-， 只需证明2ln a b b a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，令a x b =，只需证明0x >，2ln 1x x -<即可， 由（2）知，当1t =-时，211ln ln 1e 2e e e x x f -≤=-=< ⎪⎝⎭， ∴0x >时，2ln 1x x -<， ∴0a >，0b >时，22ln ln 1a b b a->-． 点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，考查利用导数求最值和极值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的难点在第3问，突破的关键是分析转化，先转化为证明2ln a b b a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，再换元转化，令ax b=，只需证明0x >，2ln 1x x -<即可. 26．b ＝0，c ＝1 【解析】试题分析：先求出函数 ()f x 的导函数()'f x ，再根据曲线()y f x =在点()()0,0P f 处的切线方程为1y =，可得()()01,'00f f ==，解方程组即可求出求,b c 的值. 试题由题意得，f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由切点P (0，f (0))既在曲线f (x )＝x 3－x 2＋bx ＋c 上又在切线y ＝1上知，即，故b ＝0，c ＝1.【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解。

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》检测卷(包含答案解析)(2)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》检测卷(包含答案解析)(2)

一、选择题1．直线2y x m =+与函数()2ln 3xf x xe x =-+的图象相切于点()00A x y ，，则00ln x x +=（ ）A ．2B ．ln 2C ．2eD ．ln 2- 2．直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为（ ） A ．-1B ．eC ．ln 2D ．13．设函数()4cos f x x x =--的导函数为()g x ，则()g x 图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．()0,eB ．()0,2eC ．(,)e +∞D ．(2,)e +∞5．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图像关于点()0,2对称，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线过点()2,7，设曲线()y f x =在0x =处的切线的倾斜角为α，则sin(3)tan()+⋅-παπα的值为（ ）A ．624B ．264C ．510D ．510-6．已知函数2()2(0)f x x x a x =++<，点1122(,())(,())A x f x B x f x 、为函数()f x 图象上两点，且过A B 、两点的切线互相垂直，若12x x <，则21x x -的最小值为（ ） A ．1B ．12C ．32D ．27．已知函数()()ln 211f x x f x '=+--，则函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．320x y --= B ．350x y --= C ．20x y ++=D ．10x y ++=8．若函数()f x 的导函数．．．的图象关于y 轴对称，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．()2cos f x x =B ．()32f x x x =+C ．()sin cos 1f x x x =⋅+D ．()xf x e x =+9．若直线2y x =是曲线()y f x =的一条切线，则()f x 的解析式不可能为（ ） A ．()22xf x e =-B ．()2sin f x x =C ．()13f x x x=+D ．()32f x x x =--10．若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0123452345a a a a a a +++++为（） A ．－233B ．10C ．20D ．23311．若直线y x =与曲线x m y e +=（m R ∈，e 为自然对数的底数）相切，则m =（ ） A ．1B ．2C ．-1D ．-212．已知函数()f x 在R 上可导，且2()=2(1)f x x xf +'，则函数()f x 的解析式为（ ） A ．2()4f x x x =- B ．2()4f x x x =+ C ．2()2f x x x =-D ．2()2f x x x =+二、填空题13．曲线2x y ae +=的切线方程为260x y -+=，则实数a 的值为_______.14．若直线y kx b =+是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e -=的切线，则k =________. 15．已知直线()()20y a x a =+> 与函数cos y x =的图像恰有四个公共点()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y ,()44,D x y ,其中1234x x x x <<<,则441tan x x +=________． 16．已知曲线1n y x +=在2x =处的切线与y 轴交点的织坐标为n a ，其中*n N ∈，则数列1{}2nn a +的前50项和的值为________. 17．已知函数3()2ln f x x x =+，若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线经过圆22:()2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________．18．若指数函数x y a =(0a >且1)a ≠与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是_________.19．已知直线l 与曲线()sin f x x =切于点(,sin )A αα，且直线l 与曲线()sin f x x =交于点(,sin )B ββ ，若-αβπ=，则tan α的值为________.20．已知()f x 在R 上连续可导，()f x '为其导函数，且()2(0)x f x e f x '+=⋅，则()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为________________三、解答题21．已知函数()2ln f x ax b x =+在点M (1,1)处的切线方程为230x y +-=.（1）求函数()y f x =的解析式； （2）求函数()y f x =的单调区间和极值.22．（1）已知曲线3y x =，求曲线在1x =处的切线方程； （2）已知直线1y kx =-与曲线ln y x =相切，求k 的值． 23．已知函数在处取得极值.（1）求函数在点处的切线方程；（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围.24．已知函数()2e 2xf x ax x x =--．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当0x >时，若曲线()y f x =在直线y x =-的上方，求实数a 的取值范围． 25．已知函数，其中. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求证: 当时，.26．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于点P 的直线方程y ＝g (x )．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由切线的斜率计算两次可得000022x x e x e x +-=，再对等式变形，两边取对数，即可得答案； 【详解】由已知，00x >且()0'2f x =.因为()2x xf x e xe x'=+-，所以000022x x e x e x +-=，即()()00002110x x x e x ++-=，所以()000210x x e x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以0020x e x -=，即002x e x =，两边同时取自然对数得00ln 2ln x x =-， 整理的00ln ln 2x x +=， 故选：B. 【点睛】曲线在某点处的切线与过某点的切线是不一样的，要注意区别.由于点()00A x y ，是公切点，所以也就等价于都是在某点处的切线.2．D解析：D 【解析】切线的斜率为1，令11,1y x x==='，故切点为()1,1，代入曲线方程得1a =. 3．D解析：D 【分析】求出导函数()g x ，然后研究()g x 的性质，用排除法确定正确选项． 【详解】因为()4cos f x x x =--，所以()3'sin 4f x x x =-，所以()3sin 4g x x x =-，所以函数()g x 是奇函数，其图象关于原点成中心对称，而函数()g x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以选项B ，C 错误；又因为其图象过原点O ，所以选项A 错误. 故选：D. 【点睛】本题考查导数的运算，考查由函数解析式选择函数图象，解题时可根据解析式确定函数的性质，利用排除法得出正确选项．4．D解析：D 【分析】原问题等价于函数()x h x xe =与函数1()()2g x m x =-有两个不同的交点，求出两函数相切时的切线斜率，再结合函数特征，求出m 的取值范围即可. 【详解】解：函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，等价于()x h x xe =与1()()2g x m x =-有两个不同的交点，()g x 恒过点1(,0)2，设()g x 与()h x 相切时切点为(,)a a ae ，因为'()(1)x h x e x =+，所以切线斜率为(1)a e a +，则切线方程为(1)()a a y ae a e x a -=+-，当切线经过点1(,0)2时，解得1a =或12a =-（舍），此时切线斜率为2e ，由函数图像特征可知：函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则实数m 的取值范围是(2,)e +∞. 故选：D. 【点睛】本题考查导数的综合应用，由函数零点求参数的取值范围，难度中等.5．C解析：C 【分析】由题意可得()()4f x f x +-=对任意x ∈R 恒成立，可得0a =，2c =，根据导数的几何意义可得在点()1,(1)f 处切线的斜率，进而可求出在点()1,(1)f 处切线的方程，将点()2,7代入切线的方程即可求出b ，进而可求出tan α，再利用诱导公式及同角三角函数关系，即可到答案． 【详解】因为函数32()f x x ax bx c =+++的图像关于点()0,2对称，所以()()4f x f x +-=对任意x ∈R 恒成立，即32324x ax bx c x ax bx c +++-+-+=对任意x ∈R 恒成立， 即22ax c +=对任意x ∈R 恒成立，所以0a =，2c =， 所以3()2f x x bx =++，所以2()3f x x b '=+，所以函数()f x 在1x =处的切线的斜率(1)3k f b '==+，又(1)3f b =+， 所以切线的方程为(3)(3)(1)y b b x -+=+-，又切线过点()2,7， 所以7(3)(3)(21)b b -+=+-，解得12b =， 所以函数()f x 在0x =处的切线的斜率1(0)2k f b '===，所以1tan 2α=，所以sin α，所以1sin(3)tan()sin (tan )sin tan 2+⋅-=-⋅-=⋅==παπααααα． 故选：C ． 【点睛】本题考查函数的对称中心方程应用，导数的几何意义及在一点处的切线的方程，同时考查诱导公式和同角基本关系，属于中档题．6．A解析：A 【分析】根据题意，对函数求导，且过A B 、两点的切线互相垂直，则有21()()1f x f x ''⋅=-，构造()2112122222x x x x -=-+++⎡⎤⎣⎦根据基本不等式，即可求解最值. 【详解】()22f x x '=+120x x <<，过,A B 两点的切线互相垂直，()()1222221x x ∴++=-，12220,220x x ∴+<+>，()21121222212x x x x ⎡⎤∴-=-+++≥=⎣⎦， 当且仅当()1222221x x -+=+=， 即1231,22x x =-=-时等号成立，21x x ∴-的最小值为1.故选：A 【点睛】本题考查导数几何意义和基本不等式求最值问题，考查转化与化归思想，属于中等题型.7．A解析：A 【分析】 对函数求导，可得fx 的表达式，令1x =-，可得()1f '-的值，进而可求得()1f 、()1f '的值，即可得到切点及切线斜率，进而可求得切线方程.【详解】 由题意，()()121f x f x''=+-，则()()1121f f ''-=-+-，解得()11f '-=， 所以()ln 21f x x x =+-，()12f x x'=+， 则()1ln1211f =+-=，()1123f '=+=，故切点为()1,1，切线斜率为3，所以切线方程为()131y x -=-，即320x y --=. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.8．C解析：C 【分析】根据导函数关于y 轴对称知其为偶函数，对每个选线逐一判断得到答案. 【详解】若函数()f x 的导函数．．．的图象关于y 轴对称，则其导函数为偶函数. A. ()2cos '()2sin f x x f x x =⇒=-是奇函数，不满足.B. ()322'()32f x f x x x x x ==⇒++是非奇非偶函数，不满足C. ()sin cos 1'()cos2f x x x f x x =⋅+⇒=是偶函数，满足D. ()'()1xxf x e x f x e =+⇒=+是非奇非偶函数，不满足故答案选C 【点睛】本题考查了导函数与偶函数，综合性强，意在考查学生的计算能力.9．C解析：C 【分析】由导数为2，求出斜率为2的切线的切点坐标，此切点在直线2y x =上，2y x =就是切线，不在，就不是切线． 【详解】若()22x f x e =-，则由()'22xf x e ==，得0x =，(0)0f =，点()0,0在直线2y x=上，则直线2y x =与曲线22xy e =-相切；若()2sin f x x =，则由()'2cos 2f x x ==，得()2x k k =π∈Z ，()20f k π=，则直线2y x =与曲线2sin y x =相切； 若()13f x x x=+，则由()2'132f x x -==，得1x =±，(1)4,(1)4f f =-=-，点()1,4，()1,4--都不在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线13y x x=+不相切； 若()32f x x x =--，则由()2'312f x x =-=，得1x =±，其中(1)2f -=-，()1,2--在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线32y x x =--相切. 故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.10．A解析：A 【解析】 【分析】对等式两边进行求导，当x ＝1时，求出a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5的值，再求出a 0的值，即可得出答案． 【详解】对等式两边进行求导，得：2×5（2x ﹣3）4＝a 1+2a 2x +3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4， 令x ＝1，得10＝a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5； 又a 0＝（﹣3）5＝﹣243，∴a 0+a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5＝﹣243+10＝﹣233． 故选A ． 【点睛】本题考查了二项式定理与导数的综合应用问题，考查了赋值法求解二项展开式的系数和的方法，利用导数得出式子a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5是解题的关键．11．C解析：C 【分析】 设切点坐标为()00,x mx e+，求得切线的方程()000x mx m y e e x x ++-=-，根据切线方程为y x =，分别代入(0,0),(1,1)点，即可求解.【详解】 设切点坐标为()00,x mx e +，由函数x my e+=，则x my e+'=，所以切线的斜率为0x m k e +=，所以切线方程为()000x mx m y ee x x ++-=-，又因为切线为y x =过(0,0)，代入切线方程，解得01x =， 即切线方程为()111m m y ee x ++-=-将(1,1)代入切线方程，可得11m e +=，解得1m =-， 故选C . 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义求得切线的方程，合理应用切线方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．A解析：A 【分析】先对函数()f x 求导，然后将1x =代入导函数中，可求出(1)2f '=-，从而得到()f x 的解析式. 【详解】由题意，()22(1)f x x f ''=+，则(1)22(1)f f ''=+，解得(1)2f '=-，故2()4f x x x =-.故答案为A. 【点睛】本题考查了函数解析式的求法，考查了函数的导数的求法，属于基础题.二、填空题13．2【分析】根据题意设直线与曲线的切点坐标为利用导数求出切线的方程与比较分析可得且解可得即可得切点的坐标将切点坐标代入曲线方程分析可得答案【详解】根据题意设曲线与的切点的坐标为其导数则切线的斜率又由切解析：2 【分析】根据题意，设直线与曲线的切点坐标为2m m ae +（，），利用导数求出切线的方程，与260x y -+=比较分析可得22m ae +=且226m -+=，解可得2m =-，即可得切点的坐标，将切点坐标代入曲线方程，分析可得答案． 【详解】根据题意，设曲线2x y ae +=与260x y -+=的切点的坐标为2m m ae +（，），其导数2x y ae+'=，则切线的斜率2m k ae += ，又由切线方程为260x y -+=，即26y x =+，则22m k ae +==， 则切线的方程为22m m y aeae x m ++-=-（），又由22m ae +=，则切线方程为22y x m -=-（），即222y x m =-+，则有226m -+=，解可得2m =- ，则切点的坐标为22-（，） ，则有(2)22a e -+=⨯ ， 2a ∴=. 故答案为：2． 【点睛】本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是求出切点的坐标．14．1或【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标求出导数值得到两切线方程由两切线重合得斜率和截距相等从而求得切线方程的答案【详解】设与和的切点分别为由导数的几何意义可得曲线在在点处的切线方程为即曲线在点处解析：1或1e【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得斜率和截距相等，从而求得切线方程的答案． 【详解】设y kx b =+与ln y x =和2x y e-=的切点分别为12122(,),(,ln )x x e x x -，由导数的几何意义可得1221x k ex -==，曲线在2x y e -=在点121(,)x x e -处的切线方程为11221()x x y e e x x ---=-，即11221(1)x x y e x x e --=+-，曲线ln y x =在点22(,ln )x x 处的切线方程为2221ln ()y x x x x -=-，即221ln 1y x x x =+-，则11222121(1)ln 1x x e x x e x --⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，解得21x =，或2x e =，所以1k =或1e． 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题．15．【分析】因为直线恒过画出图像可知符合条件时点为切点此时则进而求得的值【详解】由题直线恒过则画出图像如图所示因为直线与函数的图像恰有四个公共点则是切点即与相切且则所以因为所以则所以故答案为：【点睛】本 解析：2-【分析】因为直线()()20y a x a =+>恒过()2,0-,画出图像,可知符合条件时,点()44,D x y 为切点,此时4,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则444cos sin 2x a x x -==+,进而求得441tan x x +的值 【详解】由题,直线()()20y a x a =+>恒过()2,0-,则画出图像如图所示,因为直线()()20y a x a =+>与函数cos y x =的图像恰有四个公共点,则()44,x y 是切点,即()2y a x =+与cos y x =-相切,且4,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭,则()442cos a x x +=-,所以44cos 2x a x -=+, 因为()cos sin x x '-=,所以444cos sin 2x x x -=+,则4412tan x x --=, 所以4412tan x x +=- 故答案为：2- 【点睛】本题考查已知零点求参问题,考查导数几何意义的应用,考查数形结合思想16．【分析】求导得到根据切线公式得到切线方程故再计算前50项和得到答案【详解】则故故切线方程为：取得到前50项和为故答案为：【点睛】本题考查了切线方程通项公式数列求和意在考查学生的计算能力和综合应用能力 解析：1275-【分析】求导得到()()'1nf x n x =+，根据切线公式得到切线方程()()11222nn y n x +=+-+，故()12122n n n a n +=-++，12nn a n +=-，再计算前50项和得到答案. 【详解】()1n y f x x +==，则()()'1n f x n x =+，故()()'212n f n =+，()122n f +=故切线方程为：()()11222nn y n x +=+-+，取0x =，得到()12122n n n a n +=-++.()1112n n a n n +=-++=-，前50项和为()1505012752+-⨯=-.故答案为：1275-. 【点睛】本题考查了切线方程，通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.17．【解析】【分析】利用导数求出切线斜率根据点斜式求得切线方程将圆心坐标代入切线方程进而可得结果【详解】因为切线的斜率所以切线方程为即因为圆的圆心为所以所以实数的值为-4故答案为-4【点睛】本题主要考查 解析：4-【解析】 【分析】利用导数求出切线斜率，根据点斜式求得切线方程，将圆心坐标代入切线方程，进而可得结果. 【详解】因为(1)12ln11f =+=，22()3f x x x'=+， 切线的斜率(1)325k f '==+=，所以切线方程为15(1)y x -=-，即540x y --=. 因为圆22:()2C x y a +-=的圆心为()0,a ，所以40a --=，所以实数a 的值为-4,故答案为-4. 【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在P 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'000()()y y f x x x -=⋅-.18．【分析】根据题意可判断利用函数的导数转化求解的最大值从而求出的取值范围【详解】由题意当时函数且的图象与一次函数的图象没有交点设当时指数函数且的图象与一次函数的图象恰好有两个不同的交点则设且与相切于则 解析：1(1,)e e【分析】根据题意可判断1a >，利用函数的导数，转化求解a 的最大值，从而求出a 的取值范围. 【详解】由题意，当0x ≤时，函数(0xy a a =>且)1a ≠的图象与一次函数y x =的图象没有交点，设当0x >时，指数函数(0x y a a =>且)1a ≠的图象与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点，则1a >， 设(0xy aa =>且)1a ≠与y x =相切于(),A m m ，则m a m =，ln x y a a '=，所以，ln 1m a a =，解得m e =，此时1e a e =.即(0xy a a =>且)1a ≠与y x =恰好有两个不同的交点时实数a 的取值范围为11,e e ⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：11,e e ⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了指数函数的性质，函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.19．【分析】由导数的几何意义求出切线方程代入点坐标由代入后可求得【详解】由题意∴直线的方程为又直线过∴由得∴整理得∴故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义考查同角间的三角函数关系与诱导公式解题时只要由解析：2π 【分析】 由导数的几何意义求出切线方程，代入B 点坐标，由βαπ=-代入后可求得tan α． 【详解】由题意()cos f x x '=，∴直线l 的方程为sin cos ()y x ααα-=-，又直线l 过(,sin )B ββ，∴sin sin cos ()βααβα-=-，由得βαπ=-，∴sin()sin cos ()απααπ--=-，整理得2sin cos απα=，∴tan 2πα=．故答案为：2π． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查同角间的三角函数关系与诱导公式．解题时只要由导数几何意义写出切线方程，代入已知条件即可求解．20．【分析】求导得斜率利用点斜式求解直线方程【详解】由题意所以因此所以易知切线为故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义考查切线方程求法是基础题 解析：1y x =-+【分析】求导得斜率，利用点斜式求解直线方程 【详解】由题意， 2()(0)x f x e f '+'=，所以0(0)(0)(02)12f e f f +='+''=， 因此(0)1f '=-，所以()2xf x e x =-，易知切线为1y x =-+故答案为：1y x =-+ 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查切线方程求法，是基础题三、解答题21．（1）f (x )=x 2-4lnx （2）函数()f x 的单调递增区间是(，单调递减区间是)+∞.极小值为22ln 2-，无极大值【分析】（1）求出函数的导数，根据切线方程得到关于,a b 的方程组，解出即可．（2）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极值即可． 【详解】（1）()2b f x ax x'=+， 因为点M (1,1)处的切线方程为2x +y -3=0， 所以()()11122f a f a b ⎧==⎪⎨=+=-'⎪⎩,所以14a b =⎧⎨=-⎩，则f (x )=x 2-4lnx ;（2）定义域为(0,+∞),()24242x f x x x x-'=-=,令()0f x '=，得x =. 列表如下：x ()0,22()2,+∞f '(x ) - 0+f (x )递减极小值 递增故函数()f x 的单调递增区间是()0,2，单调递减区间是()2,+∞.极小值为()224ln222ln 2f =-=-，无极大值.【点睛】本题（1）是根据切点在曲线上以及函数在切点处的导数就是切线的斜率这两点来列方程求参数的值，（2）是考查函数的单调性和极值,本题是一道简单的综合题． 22．（1）320x y --= （2）1 【分析】（1）利用导数几何意义求斜率即可（2）设切点为()00,x y ，根据两函数在该点导数相等及该点为公共点列方程组即可求解. 【详解】（1）切点为()1,1 又2'3y x = 所以=3k 切所以切线方程为：320x y --= （2）设切点为()00,x y ，又1'y x=所以00000011101y kx x k y x k y lnx ⎧=+=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=⎩ 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及切线方程的求法，属于中档题. 23．（1）（2）【解析】 【分析】（1）求得函数的导数，由是函数的极值点，得到，求得，再利用导数的几何意义，即可求解切线的方程； （2）由，得，令，又由方程在上恰有两个不同的实数根，转化为上恰有两个不同实数根，利用导数取得函数的单调性和最值，即可求解.【详解】（1）由题意，求得函数的导数时，取得极值，故解得.经检验符合题意.（2）由知，得 令则在上恰有两个不同的实数根， 等价于上恰有两个不同实数根.当时，，于是上单调递增； 当时，，于是在上单调递增； 依题意有解得 .【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线方程，以及利用导数研究方程的根的问题，其中解答中熟记导数的几何意义求解切线的方程，以及把方程的根转化为在上恰有两个不同实数根，利用导数取得函数的单调性和最值，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 24．（1）y x =-；（2）[)1,+∞ 【分析】（1）根据题意，求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，求出切点的坐标，由直线的点斜式方程分析可得答案；（2）根据题意，原问题可以转化为1ex x a +>恒成立，设()1x x g x e+=，求出()g x 的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得其最大值，分析可得答案． 【详解】（1）当1a =时，()22x f x xe x x =--，其导数()()122xf x e x x =+--'，()01f '=-．又因为()00f =，所以曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y x =-； （2）根据题意，当0x >时，“曲线y=f （x ）在直线y x =-的上方”等价于“2e 2x ax x x x -->-恒成立”， 又由x ＞0，则2e 2x ax x x x -->-10x ae x ⇒-->⇒1e xx a +>， 则原问题等价于1e xx a +>恒成立； 设()1x x g x e +=，则()x xg x e '=-， 又由0x >，则()0g x '<，则函数()g x 在区间()0,∞+上递减， 又由()0101g e ==，则有11x x e+<， 若1ex x a +>恒成立，必有1a ≥， 即a 的取值范围为[)1,+∞． 【点睛】本题考查利用导数分析函数的切线方程以及最值，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为()a h x >或()a h x <恒成立，即()max a h x >或()min a h x <即可，利用导数知识结合单调性求出()max h x 或()min h x 即得解，属于中档题. 25．(Ⅰ)y=2e (Ⅱ)见证明 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出导函数，求出切点坐标，切线的斜率，然后求解曲线y ＝f （x ）在（﹣1，f （﹣1））处的切线方程； （Ⅱ）法一：，令f '（x ）＝0，求出极值点，判断导函数的符号，得到函数的单调性，求出函数的最小值，只需证明，，，设，其中x ＞2，利用导函数转化求解即可；法二：设，其中x ＞0，，推出F （x ）在区间（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，所以函数F （x ）在x ＝2时取得最小值，而，推出结果即可；法三：因为“对任意的x＞0，”等价于“对任意的x＞0，”，只需证“x＞0时，2e x+e（a﹣x2）＞0”，设g（x）＝2e x+e（a﹣x2），其中x≥0，g'（x）＝2e x﹣2ex，设h（x）＝g'（x），h'（x）＝2e x﹣2e，求出函数的极小值，通过g（x）在（0，+∞）上单调递增，得g（x）＞g（0），转化证明即可．【详解】（Ⅰ）因为所以当时，所以，而曲线在处的切线方程为（Ⅱ）法一：因为，令得显然当时，所以，，在区间上的变化情况如下表:极小值所以在上的最小值为，所以只需证明因为，所以设，其中所以当时，，所以在区间单调递增，因为，所以，问题得证法二：因为，所以当时，设，其中所以所以，，的变化情况如下表:所以在区间上单调递减，在上单调递增，所以函数在时取得最小值，而所以时所以，问题得证法三：因为“对任意的，”等价于“对任意的，”即“，”，故只需证“时，”设，其中所以设，,令，得所以，，的变化情况如下表:极小值所以所以时，，所以在上单调递增，得而，所以问题得证【点睛】本题考查导数的应用，切线方程的求法以及函数的导数判断函数的单调性，构造法的应用，转化思想以及计算能力． 26．（1）y ＝－2（2）y ＝－94x ＋14【分析】（1）由已知可得斜率函数为()233f x x '=-，进而求出所过点切线的斜率，代入点斜式公式即可；（2）设另一切点为()3000,3x x x -，求出该点切线方程，将点P 代入得到关于0x 的方程，解出0x 即可得结果．【详解】（1）由()33f x x x =-，得()233f x x '=-，过点P 且以()12P -，为切点的直线的斜率()10f '=， ∴所求直线方程为2y =-． (2)设切点坐标为()3000,3x x x -， 则直线l 的斜率k 2＝f ′(x 0)＝320x －3，∴直线l 的方程为y －(30x －3x 0)＝(320x －3)(x －x 0)， 又直线l 过点P (1，－2)，∴－2－(30x －3x 0)＝(320x －3)(1－x 0)，∴30x －3x 0＋2＝(320x －3)(x 0－1)，解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12， 故所求直线斜率k ＝320x －3＝－94， 于是()()9214y x --=--，即9144y x =-+. 【点睛】本题较为简单，主要考查的是直线的点斜式方程的求解，掌握好这一方法即可．注意区分曲线在P 点处的切线和曲线过P 点的切线，前者P 点为切点；后者P 点不一定为切点，P 点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点.。

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》检测卷(答案解析)(3)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》检测卷(答案解析)(3)

一、选择题1．已知函数()()xx af x e a R e=+∈，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为（ ） A ．2y x =- B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =2．已知过点P 作曲线y ＝x 3的切线有且仅有两条，则点P 的坐标可能是( )A ．(0,1)B ．(0,0)C ．(1,1)D ．(－2，－1)3．已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的个数是（ ）①函数()f x 的值域与()g x 的值域相同；②若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点； ③把函数()f x 的图像向右平移2π个单位长度，就可以得到()g x 的图像； ④函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内都是增函数. A ．0B ．1C ．2D ．34．已知()f x '是函数()f x 的导函数，对任意x ∈R ，都有()()()21xf x f x e x '=+-，且()01f =，则不等式()3xf x e <的解集为（ ）A ．()2,1--B ．()2,1-C ．()1,1-D ．()1,2-5．若关于x 的方程|x 2﹣4x |﹣kx ﹣k ＝0有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围为（ ）A ．（0，6﹣B ．（﹣∞，6﹣C ．（0，D ．（6﹣6．若曲线21C y lnx ax =+：（a 为常数）不存在斜率为负数的切线,则实数a 的取值范围是 A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．()0,+∞D ．[)0,+∞ 7．若曲线3222y x x =-+在点A 处的切线方程为46y x =-，且点A 在直线10mx ny +-=（其中0m >，0n >）上，则12m n+的最小值为（ ）A ．B ．3+C ．6+D ．8．已知函数()0sin cos f x x x =+，()()'10f x f x =，()()'21f x f x =，…，()()'1n n f x f x +=，n N ∈，那么()2020f x =（ ）A ．cos sin x x -B ．sin cos x x -C ．sin cos x x +D ．sin cos x x --9．已知函数()f x 满足()11f =-，()12f '=，则函数()x y f x e ⋅=在1x =处的瞬时变化率为（ ） A ．1B ．2C ．eD ．2e10．设函数的定义域为D ，若满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”．若函数()2xt f x e =+为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(],1ln 2-∞-- B ．(),1ln2-∞--C ．[)1ln 2,++∞D ．()1ln 2,++∞11．已知函数21,0()12,02x e x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，函数()(1)g x k x =-，若方程()()f x g x =恰有三个实数解，则实数k 的取值范围为（ ） A．[1B．C．(0,3-D．(0,312．已知函数()f x 在R 上可导，且2()=2(1)f x x xf +'，则函数()f x 的解析式为（ ） A ．2()4f x x x =- B ．2()4f x x x =+ C ．2()2f x x x =-D ．2()2f x x x =+二、填空题13．二项展开式012233(1),N n n n n n n n n x C C x C x C x C x n ++=+++++∈，两边对x 求导，得112321(1)23n n n n n n n n x C C x C x nC x --+=++++，令1x =，可得1231232nn n n n n C C C nC n -++++=⋅，类比上述方法，则2122232123nn n n n C C C n C ⋅+⋅+⋅++⋅=______．14．曲线2x y x e =+在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为_______． 15．若函数()()3'2211f x x f x =++，则f(-1)=____.16．已知函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a =______．17．已知函数f(x)＝e x －mx ＋1的图像是曲线C ，若曲线C 不存在与直线y ＝ex 垂直的切线，则实数m 的取值范围是_________.18．设函数()()321f x x a x ax =+-+为奇函数，则曲线()y f x =在点1x =处的切线方程为______________．19．已知函数(),()xf x eg x kx ==：① 函数()f x 的单调递减区间为(,0)-∞；② 若函数()()()F x f x g x =-有且只有一个零点，则1k =±；③ 若(1,)(,)k e e ∈+∞，则b R ∃∈，使得函数()0f x b -=恰有2个零点1x ，2x ，()0g x b -=恰有一个零点3x ，且123x x x ≠≠，1231x x x ++=.其中，所有正确结论的序号是_______.20．已知()f x 在R 上连续可导，()f x '为其导函数，且()2(0)x f x e f x '+=⋅，则()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为________________三、解答题21．求下列函数的导数： （1）y ＝e x lnx ； （2）y 1cosxsinx+=． 22．已知函数()x f x e =，x ∈R ．（Ⅰ）求()f x 的反函数的图象上点（1，0）处的切线方程； （Ⅱ）证明：曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点． 23．函数在点处的切线方程为，若在区间上，恒成立，求的取值范围.24．函数()1xf x x0x <（），令1()=()f x f x ，*1()=(())n n f x f f x n N +∈． （1）求23()()f x f x ，并猜想()n f x 的表达式（不需要证明）；（2）()()n g x f x =与250x y n --=相切，求n 的值． 25．已知函数3()2f x x x =+-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,8)处的切线方程；（Ⅱ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标. 26．已知函数()()323,f x ax bx x a b R =+-∈,在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=.(1)求函数()f x 的解析式;(2)若方程()f x m =有三个根,求m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由函数()f x 为奇函数，解得1a =-，得到1()xx f x e e=-，求得(0)f '，得到切线的斜率，进而可求解切线的方程. 【详解】由题意，因为函数()()xxa f x e a R e =+∈为奇函数，则()000a f e e =+=，解得1a =-，即1()xx f x e e =-，则1()x x f x e e +'=，所以1(0)2f e e '=+=，即2k =， 且当0x =时，01(0)0f e e =-=，即切点的坐标为(0,0)， 所以切线的方程为2y x =，故选C. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解在某点处的切线方程，其中熟记导数的几何意义求解切线的斜率，再利用直线的点斜式求解切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．C解析：C 【分析】求出函数的导数，设切点为3(,)m m ，求得切线的斜率，以及切线的方程，运用代入法，将选项代入切线的方程，解方程即可得到结论． 【详解】3y x =的导数为23y x '=，设切点为3(,)m m ，可得切线的斜率为23m ，切线的方程为323y m m x m -=-（），若(0,0)P ，则3230)(m m m -=-，解得0m =，只有一解；若(01)P ，，则32130)(m m m -=-，可得312m =-，只有一解； 若(1,1)P ，则32131m m m -=-（），可得322310m m -+=， 即为2(1)20(1)m m -+=，解得1m =或12-，有两解； 若(2,1)P --，则32132)m m m --=-(-， 可得322610m m +-=，由322()261()612f m m m f m m m '=-=++，，当20m -<<时，()f m 递减；当0m >或2m <-时，()f m 递增． 可得(0)1f =-为极小值，(2)7f -=为极大值， 则322610m m +-=有3个不等实数解． 故选：C ． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和设出切点是解题的关键，注意运用排除法，属于中档题．3．B解析：B 【分析】求出函数f (x )的导函数g (x )，再分别判断f (x )、g (x )的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题即可一一做出判断，从而得到答案. 【详解】()sin cos 4f x x x x x x π⎫⎛⎫=-==-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，()sin +cos +4g x x x x x x π⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，①， ()4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，两函数的值域相同，都是[，故①正确；②，若0x 是函数()f x 的极值点，则042x k πππ-=+，k Z ∈，解得034x k ππ=+，k Z ∈，()03044g x k πππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，0x ∴也是函数()g x 的零点，故②正确； ③，把函数()f x 的图象向右平移2π个单位，得sin cos cos sin ()222f x x x x x g x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=--≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故③错误；④，,44x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，,042x ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 是单调增函数，0,42x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()g x 也是单调增函数，故④正确. 综上所述，以上结论中错误的个数是1. 故选B. 【点睛】本题考查了两角和与差的正弦公式，正弦函数的单调性，以及三角函数图象的变换，熟练掌握公式和正弦函数的性质是解本题的关键，属中档题.4．D解析：D 【分析】本题首先可以令()()xf xg x e=，然后根据()()()21xf x f x e x '=+-得出()21g x x '=-，再然后设2g x x x c ，通过()01f =求出1c =，最后将()3x f x e <转化为3g x，通过计算即可得出结果.【详解】 令()()xf xg x e=，则()()()x f x f x g x e '-'=， 因为()()()21xf x f x e x '=+-，所以()21g x x '=-，设2g xx x c ，因为()01f =，所以0001f g c e ，()21g x x x =-+，因为()3xf x e <，所以()3xf x e<， 即213g x x x ，()()210x x -+<，解得12x -<<，故选：D. 【点睛】本题考查利用导函数求函数解析式以及不等式的解法，考查导函数与函数之间的转化，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.5．A解析：A 【分析】将方程根有四个根，转化为函数图象有四个交点，利用导数的几何意义，数形结合即可求得结果. 【详解】关于x 的方程|x 2﹣4x |﹣kx ﹣k ＝0有四个不同的实数根， 即方程()241x x k x -=+有四个不同的实数根，不妨设()()()24,1f x x x g x k x =-=+，则只需()(),f x g x 有四个交点即可， 又()g x 表示斜率为k ，且过点()1,0-的直线. 画出()(),f x g x 的图象如下所示：数形结合可知，当直线()1y k x =+与()f x 在0x >时相切为临界情况. 设切点为(),m n ，显然()0,2m ∈ 又相切时，24,24y x x y x '=-+=-+，故可得242411n m mk m m m -+==-+=++，解得51m =， 则相切时斜率625k =-故要满足题意，只需(0,625k ∈-. 故选：A . 【点睛】本题考查由方程根的个数求参数范围，涉及导数的几何意义，属综合中档题.6．D解析：D 【解析】1'2,y ax x=+x ∈(0,+∞)， ∵曲线y =ln x +ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线， ∴120y ax x=+≥'在(0,+∞)上恒成立， ∴212a x -恒成立,x ∈(0,+∞). 令f (x )=212x -,x ∈(0,+∞),则f (x )在(0,+∞)上单调递增， 又f (x )=212x -<0，∴a ⩾0. 故选D.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④讨论参数. 7．C解析：C 【分析】设点A 的横坐标为t ，利用切线斜率求得t 的值，可求得点A 的坐标为()2,2，可得出221m n +=，将代数式22m n +与12m n +相乘，展开后利用基本不等式可求得12m n+的最小值. 【详解】设点A 的横坐标为t ，对函数3222y x x =-+求导得234y x x '=-， 由题意可得2344t t -=，即23440t t --=，解得2t =或23t =-. ①若2t =，则点A 的坐标为()2,2，此时点A 在直线46y x =-上，合乎题意； ②若23t =-，则点A 的坐标为222,327⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时点A 不在直线46y x =-上，不合乎题意.所以，点A 的坐标为()2,2，由于点A 在直线10mx ny +-=，可得221m n +=，0m >，0n >，()12124222666m n m n m n m n n m ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭当且仅当n =时，等号成立，因此，12m n+的最小值为6+. 故选：C. 【点睛】本题考查利用曲线的切线方程求切点坐标，同时也考查了利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.8．C解析：C 【分析】由题意，依次求出1234(),(),(),()f x f x f x f x ，观察所求的结果，归纳出周期性规律，求解即可【详解】由题意得，()0sin cos f x x x =+，()10'()cos sin f x f x x x ==-， ()21'()sin cos f x f x x x ==--， ()32'()cos sin f x f x x x ==-+，()43()sin cos f x f x x x ==+，以此类推，可得()4()n n f x f x +=， 所以()20200()sin cos f x f x x x ==+， 故选：C. 【点睛】此题考查三角函数的导数，关键是通过求导计算分析其变化的规律，属于中档题.9．C解析：C 【分析】求得函数的导数)(()xx y f x e f x e ⋅+''⋅=，代入1x =，结合题设条件，代入即可求解. 【详解】由函数()x y f x e ⋅=，可得)(()xx y f x e f x e ⋅+''⋅=，所以函数在1x =的导数为111|(1)(1)x y f e f e =⋅+'⋅'=，又由()11f =-，()12f '=，所以11|2x e y e e =⨯-⨯'==， 即函数()xy f x e ⋅=在1x =处的瞬时变化率为e . 故选：C. 【点睛】本题主要考查了导数的四则运算，以及瞬时变化率的概念与计算，其中解答中熟记瞬时变化率的概念，以及熟练应用导数的运算法则求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.10．B解析：B 【分析】判处出()2xt f x e =+单调递增，可得2222a b t a e t b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，进而可得a ，b 为方程2x x t e -=的两个实根，进一步转化为函数1xy e =与22x t y -=有两个交点，求出斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，切线在y 轴上的截距为1ln 22+，只需1ln 222t +->即可. 【详解】因为函数()2xtf x e =+为“倍缩函数”， 所以存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，由于()2xt f x e =+单调递增，所以2222a b t ae t b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即a ，b 为方程2xx te -=的两个实根， 进一步转化为函数1xy e =与22x ty -=有两个交点， 不妨先求出与函数1xy e =相切且斜率为12的直线方程． 对于数1x y e =，求导得1x y e '=，令12xe =，解得1ln 2x =，112y =， 所以斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，该直线在y 轴上的截距为1ln 22+， 要使函数1xy e =与22x t y -=有两个交点，则1ln 222t +->，所以1ln 2t <--，故选：B ． 【点睛】本题是函数的新定义题目，考查了函数的单调性求值域、导数的几何意义求切线方程，属于中档题.11．D解析：D 【分析】要使方程()()f x g x =恰有三个实数解，则函数(),()f x g x 的图象恰有三个交点，再分别作出函数(),()f x g x 的图象，观察图像的交点个数即可得解. 【详解】解：依题意，画出21,0()12,02x ex f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的图象，如图．直线()(1)g x k x =-过定点(1,0)，由图象可知，函数()g x 的图象与21()2,02f x x x x =+<的图象相切时，函数(),()f xg x 的图象恰有两个交点．下面利用导数法求该切线的斜率． 设切点为00(,)P x y ，由()2,0f 'x x x =+<，得00()2k f 'x x ==+=20001221x x x +-，化简得20024=0x x --，解得015x =-或015x =+（舍去），要使方程()()f x g x =恰有三个实数解，则函数(),()f x g x 的图象恰有三个交点， 结合图象可知035k <<-， 所以实数k 的取值范围为(0,35)-， 故选：D ．【点睛】本题考查了方程的解的个数与函数图像交点个数的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.12．A解析：A 【分析】先对函数()f x 求导，然后将1x =代入导函数中，可求出(1)2f '=-，从而得到()f x 的解析式. 【详解】由题意，()22(1)f x x f ''=+，则(1)22(1)f f ''=+，解得(1)2f '=-，故2()4f x x x =-.故答案为A. 【点睛】本题考查了函数解析式的求法，考查了函数的导数的求法，属于基础题.二、填空题13．【分析】依据类比推理观察式子的特点可得然后进行求导并对取特殊值可得结果【详解】两边对求导左边右边令故答案为：【点睛】本题考查类比推理以及二项式定理与导数的结合难点在于找到式子属中档题 解析：2(1)2n n n -+⋅【分析】依据类比推理观察式子的特点，可得112233(1)23n n nn n n n nx x C x C x C x nC x -+=++++，然后进行求导并对x 取特殊值，可得结果. 【详解】112233(1)23n n nn n n n nx x C x C x C x nC x -+=++++， 两边对x 求导，左边12(1)(1)(1)n n n x n x x --⎡⎤=++-+⎣⎦右边212223221123n n n n n n C C x C x n C x -=⋅+⋅+⋅++⋅令1x =，21222322123(1)2nn n n n n C C C n C n n -⋅+⋅+⋅++⋅=+⋅．故答案为：2(1)2n n n -+⋅【点睛】本题考查类比推理以及二项式定理与导数的结合，难点在于找到式子112233(1)23n n nn n n n nx x C x C x C x nC x -+=++++，属中档题.14．【解析】【分析】利用导数的几何意义求得切线方程求得与坐标轴的交点即可利用三角形的面积公式求得三角形的面积【详解】由函数可得导数为当时所以曲线在点处的切线方程为即令可得令可得所以曲线在处的切线与两坐标解析：23【解析】 【分析】利用导数的几何意义，求得切线方程，求得与坐标轴的交点，即可利用三角形的面积公式，求得三角形的面积. 【详解】由函数2xy x e =+，可得导数为12xy e '=+，当0x =时，3y '=，所以曲线2xy x e =+在点()0,2处的切线方程为23y x -=，即320x y -+=，令0x =，可得2y =，令0y =，可得23x =-，所以曲线2xy x e =+在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为1222233⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求切线方程，即切线方程的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，合理、准确求解切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.15．-2【解析】【分析】根据题意由的解析式对其求导可得令可得：可解得的值即可得函数的解析式将代入解析式计算可得答案【详解】根据题意函数则其导函数令可得：解得则所以故答案是：【点睛】该题考查的是有关求函数解析：-2 【解析】 【分析】根据题意，由()f x 的解析式对其求导可得2'()34'(1)f x x f x =+，令1x =可得：'(1)34'(1)f f =+，可解得'(1)f 的值，即可得函数()f x 的解析式，将1x =-代入解析式，计算可得答案. 【详解】根据题意，函数32()2'(1)1f x x f x =++， 则其导函数2'()34'(1)f x x f x =+，令1x =可得：'(1)34'(1)f f =+，解得'(1)1f =-，则32()21f x x x =-+，所以(1)1212f -=--+=-，故答案是：2-. 【点睛】该题考查的是有关求函数值的问题，涉及到的知识点有函数的求导公式，根据函数解析式求自变量所对应的函数值，在解题的过程中，注意总结此类问题的解法.16．【详解】由题意设切点为由导数的定义可得即又∴【点睛】本题考查导数定义以及导数几何意义考查基本求解能力属基础题解析：14【详解】由题意，设切点为00,x y ，由导数的定义，可得()22000000()11lim lim 22x x a x x ax k a x ax ax x∆→∆→+∆+--==∆+=∆切线,即021ax =． 又2001ax x +=，∴012,4x a ==. 【点睛】本题考查导数定义以及导数几何意义,考查基本求解能力,属基础题.17．【分析】先求存在与直线垂直的切线即切线斜率为根据切线的斜率求再取的子集即可【详解】若曲线上存在与直线垂直的切线则对任意的使故所求的取值范围是【点睛】本题考查曲线在某个点处的导数与曲线在这个点处切线斜解析：1(,]e-∞ 【分析】先求存在与直线y ex ＝垂直的切线,即切线斜率为－，根据切线的斜率求m ,再取m 的子集即可. 【详解】()e x f x m '＝－，若曲线C 上存在与直线y ex ＝垂直的切线，则对任意的x ，使e xm －＝－ 1e ，e x m ＝＋ 1e ＞ 1e ，故所求m 的取值范围是1,e ⎛⎤-∞⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查曲线在某个点处的导数与曲线在这个点处切线斜率的关系.求解中运用了正难则反的补集思想，这是本题解题的突破口.18．【分析】首先根据函数是奇函数求的值再利用导数的几何意义求切线方程【详解】是奇函数即即所以函数在处的切线方程为即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义函数的性质重点考查计算能力属于基础题型 解析：420x y --=【分析】首先根据函数是奇函数，求a 的值，再利用导数的几何意义求切线方程. 【详解】()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，即()()()()()323211x a x a x x a x ax -+--+-=----， 即1a =，()3f x x x ∴=+，()231f x x ='+ ()12f ∴=，()14f '=，所以函数在1x =处的切线方程为()241y x -=-， 即420x y --=. 故答案为：420x y --= 【点睛】本题考查导数的几何意义，函数的性质，重点考查计算能力，属于基础题型.19．①③【分析】根据绝对值定义分类讨论函数单调性即可判断①；结合函数图象以及利用导数求切线斜率可判断②；根据函数图象得即可确定进而可判断③【详解】当时单调递增；当时单调递减所以函数的单调递减区间为；即①解析：①③ 【分析】根据绝对值定义分类讨论函数()f x 单调性，即可判断①；结合函数图象以及利用导数求切线斜率可判断②；根据函数图象得1230,1x x x +==，即可确定b ，进而可判断③. 【详解】当0x ≥时()xx f x e e ==单调递增；当0x <时1()()x xx f x e ee-===单调递减，所以函数()f x 的单调递减区间为(,0)-∞；即①正确；由图可知y kx =分别与,(0)x y e x =≥以及,(0)xy e x -=<相切时，()()()F x f x g x =-有且只有一个零点，设y kx =与,(0)xy e x =≥切点为00(,)xx e ，因为0000,1,x xx y e e =k e kx x k e '=∴=∴==；同理可得y kx =与,(0)xy e x -=<相切时，k e =-，因此②错误；由图可知1230,1x x x +==,则b k =，所以③正确； 故答案为：①③ 【点睛】本题考查函数单调性、函数图象与零点、导数几何意义，考查数形结合思想方法以及基本分析求解能力，属中档题.20．【分析】求导得斜率利用点斜式求解直线方程【详解】由题意所以因此所以易知切线为故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义考查切线方程求法是基础题 解析：1y x =-+【分析】求导得斜率，利用点斜式求解直线方程 【详解】由题意， 2()(0)x f x e f '+'=，所以0(0)(0)(02)12f e f f +='+''=， 因此(0)1f '=-，所以()2xf x e x =-，易知切线为1y x =-+故答案为：1y x =-+ 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查切线方程求法，是基础题三、解答题21．（1）y ′＝e x （lnx 1x +）；（2）y ′21cosx sin x--= 【分析】（1）根据导数的积的运算法则和求导公式计算即可；（2）根据导数商的求导法则和求导公式进行求解即可． 【详解】 （1）y ′＝e x lnx +e x 1x⋅=e x （lnx 1x +）．（2）y ′＝（1cosxsinx +）′()2222211sinxsinx cosx cosx sin x cos x cosx cosx sin x sin x sin x --+-----===． 【点睛】本题主要考查函数的导数的计算，根据函数的导数的运算法则是解决本题的关键． 22．（1）1y x =-（2）见解析【解析】试题分析：()1先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可()2法一：等价函数()2112x x e x x ϕ=---零点的个数，由()00ϕ=，求导()1x x e x ϕ='--，再次求导()1x h x e '=-，判定出单调性，()x ϕ在R 上是单调递增故()x ϕ在R 上有唯一的零点 法二：等价于曲线2112xx x y e ++=与1y =的公共点的个数，当0x =时，两曲线有公共点，求导得函数单调性进行判定（Ⅰ）()f x 的反函数为()ln g x x =，设所求切线的斜率为k ． ∵()1g x x'=，∴()11k g ='=，于是在点（1，0）处的切线方程为1y x =-（Ⅱ）证法一：曲线()xf x e =与曲线2112y x x =++公共点的个数等于函数()2112x x e x x ϕ=---零点的个数∵()0110ϕ=-=，∴()x ϕ存在零点0x =…又()1xx e x ϕ='--，令()()1xh x x e x ϕ==--'，则()1xh x e '=-． 当0x <时，()0h x '<，∴()x ϕ'在(),0-∞上单调递减； 当0x >时，()0h x '>，∴()x ϕ'在()0,+∞上单调递增，∴()x ϕ'在0x =处有唯一的极小值()00ϕ'=即()x ϕ'在R 上的最小值为()00ϕ'=． ∴()0x ϕ'≥（当且仅当0x =时等号成立），∴()x ϕ在R 上是单调递增的，∴()x ϕ在R 上有唯一的零点，故曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点 证法二：∵0x e >，21102x x ++>， ∴曲线x y e =与曲线2112y x x =++公共点的个数等于曲线2112xx xy e ++=与1y =的公共点的个数设()2112xx x x e ϕ++=，则()01ϕ=，即当0x =时，两曲线有公共点． 又()()2221111220x x x xx e x x e x x e e ϕ⎛⎫+-++-⎪⎝⎭='=≤（当且仅当0x =时等号成立），∴()x ϕ在R 上单调递减，∴()x ϕ与1y =有唯一的公共点，故曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点 点睛：本题考查了运用导数求两函数交点问题，在解析中给了两种方法，一种构造新函数解决函数零点问题，另一种转化为函数与直线的交点个数问题，在计算过程中注意二阶导数的应用。

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试(含答案解析)(1)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试(含答案解析)(1)

一、选择题1．已知函数()ln f x x =，()1g x ax =+，若存在01x e≥使得()()00f x g x =-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．212,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ）A ．ln 2B ．1C ．1ln2-D ．1ln2+3．若曲线2ln (0)y a x x a =+>的切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则a =（ ） A ．124 B ．38C ．34D ．324．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象关于(0,2)对称，()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，若图象在点0x =处的切线的倾斜角为α，则cos tan()2παπα⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．10-B ．10C ．4D 5．设()f x 为可导函数，且满足0(1)(1)lim 12x f f x x→-+=，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．2-6．已知函数()()ln 211f x x f x '=+--，则函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．320x y --= B ．350x y --= C ．20x y ++=D ．10x y ++=7．设()'f x 是()f x 的导函数,若2()2(2)12f x x xf '=++在闭区间[0, ]m 上有最大值12,最小值4-,则m 的取值范围是( ) A ．[2, )+∞ B ．[2, 4] C ．[4, )+∞D ．[4, 8]8．函数()|cos |f x x =(0)x ≥的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为θ，则()21sin 2θθθ+（ ）A ．-2B ．2C ．12-D ．129．已知函数2()1f x x =-，()ln g x x =，下列说法中正确的是（ ） A ．(),()f x g x 在点(1,0)处有相同的切线 B ．对于任意0x >，()()f x g x ≥恒成立 C ．(),()f x g x 的图象有且只有一个交点 D ．(),()f x g x 的图象有且只有两个交点 10．已知函数，若方程()()F x f x ax =-有4个零点，则 a的可能的值为（ ） A ．14B ．1C ．12D ．1e11．三次函数()323212f x ax x x =-++的图象在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，则()f x 在区间()1,3上的最小值是（ ）A ．83B ．116C ．113D ．5312．已知函数()f x 的导函数为()()()2,232ln f x f x x xf x ''=-+，则()2f '=（ ） A ．92B ．94C ．174D ．178二、填空题13．若直线y kx b =+是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e -=的切线，则k =________. 14．已知曲线2()x f x e x =+,则曲线在(0,(0))f 处的切线与坐标轴围成的图形面积为_______.15．在1x =附近,取0.3x ∆=,在四个函数①y x =；②2y x ；③3y x =；④1y x=中,平均变化率最大的是__________.16．已知函数()1f x -的图像关于直线1x =对称，当0x ≤时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是________．17．过坐标原点O 作曲线:C x y e =的切线l ，则曲线C 、直线l 与y 轴所围成的封闭图形的面积为______ 18．曲线sin xy x=在点M(π，0)处的切线方程为________．19．函数2()ln f x x x =在点()1,0处的切线方程为___． 20．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 三、解答题21．设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3240x y --=. （1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，并求此定值. 22．已知函数1()ln f x x x b x=++的图像与直线2y =相切. （1）求b 的值；（2）当1[,]x e e∈时，()f x ax ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 23．设函数()()224ln ,R.f x x ax x a =-∈（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若对任意[)()21,,0x f x x a ∈+∞+->恒成立,求实数a 的取值范围.24．求下列函数的导函数（1）y = x 4－3x 2－5x ＋6 （2）21y x x=+ （3）y = x 2cos x （4）y ＝tan x 25．已知函数()()ln f x x a x =+．（1）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当0a >时，若()f x 有极小值，求实数a 的取值范围． 26．已知函数，其中. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求证: 当时，.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B【分析】利用()()00f x g x =-，把问题转化为ln y x =与1y ax =-+在1x e≥有交点，利用数形结合进行分析，即可求解 【详解】()()00f x g x =-，所以，00ln 1x ax =-+，即ln y x =与1y ax =-+在1x e≥有交点，分情况讨论：①直线1y ax =-+过点1(,1)e -，即11a e-=-+，得2a e =；②直线1y ax =-+与ln y x =相切，设切点为(,)m n ，得1ln 1am ma m -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩⇒221m e a e ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，切点为2(,2)e ，故实数a 的取值范围是21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：B 【点睛】本题考查函数方程的交点问题，主要考查学生的数形结合能力，属于中档题2．D解析：D由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，000002ln y kx y x x =-⎧⎨=⎩，0002ln kx x x ∴-=，002ln k x x ∴=+，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.3．B解析：B 【分析】先求得2a y x x '=+≥=，根据曲线切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，得到k ≥.【详解】由题意，函数2ln (0)y a x x a =+>，可得2a y x x '=+≥= 当且仅当2a x x=时，即x =时，等号成立，又由曲线2ln (0)y a x x a =+>的切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，可得切线的斜率的取值范围是k ≥=，解得38a =.故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟练利用导数的几何意义求得切线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.4．B解析：B 【分析】首先根据函数()f x 的图象关于点(0,2)对称得到0a =，2c =，即3()2f x x bx =++.利用导数的切线过点(2,7)得到12b =，再求函数()f x 在0x =处的切线倾斜角的正切值和正弦值，代入式子cos()tan()2παπα+-计算即可.【详解】因为函数()f x 的图象关于点(0,2)对称，所以()()4f x f x +-=. 即：32324x ax bx c x ax bx c +++-+-+=，解得0a =，2c =.所以3()2f x x bx =++，(1)3f b =+，切点为(1,3)b +.2()3f x x b '=+，(1)3k f b '==+.切线为：(3)(3)(1)y b b x -+=+-.因为切线过点(2,7)，所以7(3)(3)(21)b b -+=+-，解得12b =. 所以31()22f x x x =++，21()32f x x '=+. 1(0)tan 2f α'==，所以sin α=.所以51cos()tan()sin tan 25210παπααα+-==⨯=. 故选：B【点睛】本题主要考查导数的切线问题，同时考查三角函数的诱导公式，属于中档题.5．D解析：D 【分析】由导数的几何意义0(1)(1)li )m'(1x f x f xk f →+-==，结合题设0(1)(1)lim12x f f x x →-+=，找到倍数关系，即得解. 【详解】由导数的几何意义，可知：0(1)(1)(1)(1)lim2lim 21212'()x x f x f k f f xf x x →→+--+=-=-⋅==-=故选：D 【点睛】本题考查了导数的几何意义和导数的定义，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.6．A解析：A 【分析】 对函数求导，可得fx 的表达式，令1x =-，可得()1f '-的值，进而可求得()1f 、()1f '的值，即可得到切点及切线斜率，进而可求得切线方程.【详解】 由题意，()()121f x f x''=+-，则()()1121f f ''-=-+-，解得()11f '-=， 所以()ln 21f x x x =+-，()12f x x'=+， 则()1ln1211f =+-=，()1123f '=+=，故切点为()1,1，切线斜率为3，所以切线方程为()131y x -=-，即320x y --=. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.7．D解析：D 【分析】首先对函数()f x 求导，令2x =，得到关于()2f '的方程，即可求出()2f '，再利用二次函数的图象和性质，即可确定m 的取值范围． 【详解】依题可得，()()222f x x f ''=+，令2x =，得()()2422f f ''=+，解得()24f '=-，所以()22()81244f x x x x =-+=--，因为()012f =，()44f =-，而由二次函数的对称性可知，()812f =，故48m ≤≤． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查导数的四则运算法则和基本初等函数导数公式的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，属于中档题．8．A解析：A 【分析】依题意，过原点的直线与函数()|cos |f x x =(0)x ≥在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图像相切，利用导数知识可求得切线方程，利用直线过原点，可求得1tan θθ=-，代入所求关系式即可得到答案. 【详解】函数()|cos |f x x =(0)x ≥的图象与过原点的直线恰有四个交点，∴直线与函数|cos |y x =(0)x ≥在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象相切， 在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，y 的解析式为cos y x =，故由题意切点坐标为(,cos )θθ，∴切线斜率sin sin ,x k y x θθ===-=-' ∴由点斜式得切线方程为：cos sin (),y x θθθ-=--sin sin cos y x θθθθ∴=-++，直线过原点，sin cos 0θθθ∴+=，得1tan θθ=-， ()21sin 2θθθ+∴211sin 2tan =1tan θθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-1tan sin 2tan θθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭sin cos 2sin cos cos sin θθθθθθ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭()222sin cos 2θθ=-+=-.故选：A. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、点斜式方程、二倍角公式以及同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题.9．D解析：D 【解析】 【分析】根据导数与切线，函数的关系求解. 【详解】因为()2f x x '=，(1)2f '=，1()g x x'=，(1)1g '=， 所以(),()f x g x 在点(1,0)处的切线不同。

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试卷(包含答案解析)(4)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试卷(包含答案解析)(4)

一、选择题1．直线2y x m =+与函数()2ln 3xf x xe x =-+的图象相切于点()00A x y ，，则00ln x x +=（ ）A ．2B ．ln 2C ．2eD ．ln 2-2．已知过点P 作曲线y ＝x 3的切线有且仅有两条，则点P 的坐标可能是( )A ．(0,1)B ．(0,0)C ．(1,1)D ．(－2，－1)3．已知函数()2ln f x x x =+，则函数()f x 在1x =处的切线方程是（ ） A ．320x y --= B ．320x y +-= C ．320x y -+= D ．320x y ++=4．设函数()()2121ln 2f x f x x f x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，曲线()f x 在()()1,1f 处的切线方程是（ ）A ．540x y --=B ．320x y --=C ．0x y -=D ．1x =5．已知函数21,0()12,02x e x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，函数()(1)g x k x =-，若方程()()f x g x =恰有三个实数解，则实数k 的取值范围为（ ） A．[1B．C．(0,3-D．(0,36．设()f x 为可导函数，且满足0(1)(1)lim12x f f x x→-+=，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．2-7．已知函数()()ln 211f x x f x '=+--，则函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．320x y --= B ．350x y --= C ．20x y ++=D ．10x y ++=8．设a R ∈，函数()xxf x e a e -=+⋅为奇函数，曲线()y f x =的一条切线的切点的纵坐标是0，则该切线方程为（ ） A ．20x y -=B ．20x y +=C ．40x y -=D ．40x y +=9．已知函数1()1x e f x x -=+，则函数()f x 在1x =处的切线方程为（ ）A ．410x y -+=B ．410x y ++=C ．0x y -=D ．430x y -+=10．已知函数sin a x y x =在点M (π，0)处的切线方程为xb y π-+=，则( ) A ．a ＝－1，b =1 B ．a =－1，b =－1C ．a ＝1，b =1D ．a =1，b =－111．已知函数()ln f x x = ，若f x （） 在1x x = 和()212x x x x =≠ 处切线平行，则（ ）A ．2212512x x +>B ．12128x x <C ．1232x x +<D12> 12．已知函数()1,0,3,0.x e a x f x x x x -⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩（a R ∈），若方程()20f x -=恰有3个不同的根，则a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞ B ．(,1)-∞ C ．(,0]-∞ D ．(,1]-∞二、填空题13．直线l 过坐标原点且与线x y e =相切，则l 的方程为___________.14．已知函数2()2ln f x x x =-，则()f x 在()()1,1f 处的切线方程_____________. 15．已知直线()()20y a x a =+> 与函数cos y x =的图像恰有四个公共点()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y ,()44,D x y ,其中1234x x x x <<<,则441tan x x +=________． 16．已知函数()()2f x f '1e x 1x =+-，其()f 'x 是()f x 的导函数，则曲线y f (x)=在点（1，f (1)）处的切线方程为____________________ 17．已知P 为直线1y x =+上的动点，Q 为函数()ln xf x x=图象上的动点，则PQ 的最小值为______．18．若函数()xxf x e ae -=+的导函数是奇函数,并且曲线()y f x =的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标是___． 19．若指数函数x y a =(0a >且1)a ≠与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是_________.20．已知直线1l 是曲线ln y x =在1x =处的切线，直线2l 是曲线x y e =的一条切线，且12l l //，则直线2l 的方程是__________.三、解答题21．已知函数2()ln f x x x =.（Ⅰ）求函数()y f x =的图象在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若过点()0,0的直线l 与函数()y f x =图象相切，求l 的方程. 22．设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3240x y --=. （1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.23．设抛物线2:4C x y =的焦点为F ，P 为直线:2l y =-上的动点，过P 作C 的两条切线，切点分别为,M N .（1）若P 的坐标为()0,2-，求MN ； （2）证明：2PFMF NF =⋅.24．已知曲线31433y x =+ （1）求曲线在点(2,4)P 处的切线方程；（2）求曲线过点(2,4)P 的切线方程 25．已知函数，其中. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求证: 当时，.26．已知函数()243f x ax ax b =-+，()()12,11f f '==。

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试(答案解析)(3)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试(答案解析)(3)

一、选择题1．已知函数32()2f x x x x =-+-，若过点()1,P t 可作曲线()y f x =的三条切线，则t 的取值范围是（ ） A ．1(0,)30B ．1(0,)29C ．1(0,)28D ．1(0,)272．已知函数()1f x xx=+，若()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x +=，则曲线()7y f x =在点()()71,1f 处切线的斜率为（ ）A ．164-B ．149-C ．164D ．1493．已知P 与Q 分别为函数260x y -+=与函数2ln 2y x =+ 的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为（ ）A ．65BCD ．64．已知函数21,0()12,02x e x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，函数()(1)g x k x =-，若方程()()f x g x =恰有三个实数解，则实数k 的取值范围为（ ） A．[1B．C．(0,3-D．(0,35．函数()|cos |f x x =(0)x ≥的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为θ，则()21sin 2θθθ+（ ）A ．-2B ．2C ．12-D ．126．已知函数3()2(1)f x x f x '=--，则函数()f x 的图象在2x =处的切线的斜率为（ ） A ．-21B ．-27C ．-24D ．-257．已知函数2()1f x x =-，()ln g x x =，下列说法中正确的是（ ） A ．(),()f x g x 在点(1,0)处有相同的切线 B ．对于任意0x >，()()f x g x ≥恒成立 C ．(),()f x g x 的图象有且只有一个交点 D ．(),()f x g x 的图象有且只有两个交点8．若直线2y x =是曲线()y f x =的一条切线，则()f x 的解析式不可能为（ ） A ．()22xf x e =-B ．()2sin f x x =C ．()13f x x x=+D ．()32f x x x =--9．若曲线y ＝x 3﹣2x 2+2在点A 处的切线方程为y ＝4x ﹣6，且点A 在直线mx +ny ﹣2＝0（其中m ＞0，n ＞0）上，则（ ） A ．m +7n ﹣1＝0 B ．m +n ﹣1＝0C ．m +13n ﹣3＝0D ．m +n ﹣1＝0或m +13n ﹣3＝010．已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有1条，则实数a 的取值是（ ） A ．0 B ．4 C ．0或-4 D ．0或4 11．已知直线y ＝3x ﹣1与曲线y ＝ax +lnx 相切，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．函数f （x ）＝xsinx+cosx 的导函数为'()f x ，则导函数'()f x 的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．函数()ln 2f x a x ax b =-+，若()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，则ab =______.14．已知函数f （x ）=axlnx ﹣bx （a ，b ∈R ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y =3x ﹣e ，则a +b =_____. 15．设曲线1cosx y sinx +=在点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与直线x ay 10-+=平行，则实数a =______．16．直线l 经过点(,0)A t ，且与曲线2x y =相切，若直线l 的倾斜角为4π，则t =__________．17．已知函数ln ()(0)xf x x a ax=-≠在点(1,(1))f 处的切线1l 与在点(,())e f e 处的切线2l 互相垂直，则1l 与2l 的交点坐标为_____．18．点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线y=x-3的距离最小值_________ 19．已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b 等于____． 20．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 三、解答题21．已知函数()2f x x =，()h x =（1）令()()[),,,,x x t y f x x t ⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩，当2x =时4y =，求实数t 的取值范围； （2）令()()1,02,0f x x y a h x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩的值域为(],1-∞，求实数a 的取值范围； （3）已知函数在()F x ，()G x 数集D 上都有定义，对任意的12,x x D ∈，当12x x <时()()()()121212F x F x G x G x x x -≤≤-或()()()()122112F x F xG x G x x x -≤≤-成立，则称()G x 是数集D 上()F x 的限制函数；令函数()()()F x f x g x =-，求其在()0,D =+∞上的限制函数()G x 的解析式，并求()G x 在()0,D =+∞上的单调区间． 22．求下列函数的导函数（1）y = x 4－3x 2－5x ＋6 （2）21y x x =+ （3）y = x 2cos x （4）y ＝tan x 23．已知函数()ln f x x =，e 是自然对数的底数.（Ⅰ）若过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线l ，求切线l 的方程；（Ⅱ）当0a >时，不等式()()f x ax b b ≤+∈R 恒成立，求2b f a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值.24．函数()()1ln xf x e x a =---．（Ⅰ）若函数()f x 在点()2(2)f ，处的切线过点()1,0，求a 的值； （Ⅱ）若不等式()0f x >在定义域上恒成立，求a 的取值范围． 25．已知函数()()ln f x x a x =-()a R ∈． （1）若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若对于任意的正数x ，()0f x ≥恒成立，求实数a 的值； （3）若函数()f x 存在两个极值点，求实数a 的取值范围．26．已知函数()ln f x x x =，2()2g x x ax =-+-（e 为自然对数的底数，a R ∈）. （1）判断曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =的公共点个数； （2）当1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若函数()()y f x g x =-有两个零点，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】首先设过点P 的切线方程():1l y k x t =-+，切点()00,x y ，利用导数的几何意义列式，转化为320001254t x x x +=-+有三个解，通过设函数()32254g x x x x =-+，问题转化为1y t =+与()y g x =有三个交点，求t 的取值范围. 【详解】设过点P 的直线为():1l y k x t =-+，()2341f x x x '=-+-，设切点为()00,x y ，则()20032000034112x x k k x t x x x ⎧-+-=⎪⎨-+=-+-⎪⎩ ，得320001254t x x x +=-+有三个解， 令()32254g x x x x =-+，()()()261042132g x x x x x '=-+=--，当()0g x '>，得1x >或25x <，()0g x '<，得213x <<， 所以()g x 在2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()1,+∞单调递增，2,13⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 又228327g ⎛⎫=⎪⎝⎭，()11g =，()1g x t =+有三个解， 得281127t <+<，即1027t <<. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.2．C解析：C 【分析】根据题意依次计算得()717xf x x=+，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】解：因为函数()1f x xx=+，若()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x +=， 所以()11x f x x =+，()212x f x x =+，()313x f x x =+，…，()717x f x x=+， 所以()()72117f x x '=+，所以()()721116417f '==+． 故()7y f x =在点()()71,1f 处切线的斜率为164. 故选：C. 【点睛】本题考查函数解析式的求解，导数的几何意义，考查运算能力，是中档题.3．C解析：C 【分析】求出函数2ln 2y x =+的图象上与直线260x y -+=平行的切线方程，由两平行线间距离公式可得结论． 【详解】由2ln 2y x =+得2y x'=，令22y x '==得1x =，2ln122y =+=，函数2ln 2y x =+的图象在点(1,2)处的切线方程为22(1)y x -=-，即20x y -=，直线20x y -=与直线260x y -+=间的距离为d ==∴线段||PQ 的最小值为5． 故选：C ． 【点睛】本题考查直线与函数图象上点间距离的最小值，解题关键是掌握转化与化归思想，转化为求函数图象的切线，求两平行线间的距离．4．D解析：D 【分析】要使方程()()f x g x =恰有三个实数解，则函数(),()f x g x 的图象恰有三个交点，再分别作出函数(),()f x g x 的图象，观察图像的交点个数即可得解. 【详解】解：依题意，画出21,0()12,02x e xf x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的图象，如图．直线()(1)g x k x =-过定点(1,0)，由图象可知，函数()g x 的图象与21()2,02f x x x x =+<的图象相切时，函数(),()f x g x 的图象恰有两个交点．下面利用导数法求该切线的斜率． 设切点为00(,)P x y ，由()2,0f 'x x x =+<，得00()2k f 'x x ==+=20001221x x x +-，化简得20024=0x x --，解得015x =-或015x =+（舍去），要使方程()()f x g x =恰有三个实数解，则函数(),()f x g x 的图象恰有三个交点， 结合图象可知035k <<-， 所以实数k 的取值范围为(0,35)-， 故选：D ．【点睛】本题考查了方程的解的个数与函数图像交点个数的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.5．A解析：A 【分析】依题意，过原点的直线与函数()|cos |f x x =(0)x ≥在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图像相切，利用导数知识可求得切线方程，利用直线过原点，可求得1tan θθ=-，代入所求关系式即可得到答案. 【详解】函数()|cos |f x x =(0)x ≥的图象与过原点的直线恰有四个交点，∴直线与函数|cos |y x =(0)x ≥在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象相切， 在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，y 的解析式为cos y x =，故由题意切点坐标为(,cos )θθ，∴切线斜率sin sin ,x k y x θθ===-=-' ∴由点斜式得切线方程为：cos sin (),y x θθθ-=--sin sin cos y x θθθθ∴=-++，直线过原点，sin cos 0θθθ∴+=，得1tan θθ=-， ()21sin 2θθθ+∴211sin 2tan =1tan θθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-1tan sin 2tan θθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭sin cos 2sin cos cos sin θθθθθθ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭()222sin cos 2θθ=-+=-.故选：A. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、点斜式方程、二倍角公式以及同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题.6．A解析：A 【分析】由导数的运算可得：2()6(1)f x x f ''=--，再由导数的几何意义，即函数()f x 的图象在2x =处的切线的斜率为()2f '，求解即可. 【详解】由题得2()6(1)f x x f ''=--，所以()()161f f ''=--，解得()13f '=-，所以()221f '=-.故选A.【点睛】本题考查了导数的运算及导数的几何意义，属基础题.7．D解析：D 【解析】 【分析】根据导数与切线，函数的关系求解. 【详解】因为()2f x x '=，(1)2f '=，1()g x x'=，(1)1g '=， 所以(),()f x g x 在点(1,0)处的切线不同。

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试(有答案解析)(3)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试(有答案解析)(3)

一、选择题1．已知函数()()()()()()12345f x x x x x x =-----，则曲线()y f x =在点()3,0处的切线方程为（ ） A ．412y x =+ B ．412y x =-+ C ．412y x =--D ．412y x =-2．若曲线21C y lnx ax =+：（a 为常数）不存在斜率为负数的切线,则实数a 的取值范围是 A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．()0,+∞D ．[)0,+∞ 3．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设()f x '是函数()f x 的导函数，若()0f x '>，且对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，则下列选项正确的是（ ） A ．()()()π2f f e f << B ．()()()2πf f e f '''<< C ．()()()()1212f f f f <-'<' D ．()()()()2211f f f f ''<-<4．点P 在曲线321233y x x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ D ．3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 5．设函数的定义域为D ，若满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”．若函数()2xt f x e =+为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(],1ln 2-∞--B ．(),1ln2-∞--C ．[)1ln 2,++∞D ．()1ln 2,++∞6．已知点P 在直线y ＝2x +1上，点Q 在曲线y ＝x +ln x 上，则P ，Q 两点间距离的最小值为（ ）A ．355B ．255C ．25D ．357．设()'f x 是()f x 的导函数,若2()2(2)12f x x xf '=++在闭区间[0, ]m 上有最大值12,最小值4-,则m 的取值范围是( ) A ．[2, )+∞ B ．[2, 4] C ．[4, )+∞ D ．[4, 8]8．设曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c 垂直，则ab =（ ）A ．13 B ．13-C ．3D ．-39．已知函数21()ln f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则曲线()f x 在1x =-处切线方程为（） A ．230x y -+=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．20x y ++=10．函数()2x af x x+=，过()1,0作()f x 的两条切线，切点为A ，()0A B B x x <<，若在区间(),A B x x 中存在唯一的整数，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞-B ．4,13⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．()1,0-D ．()2,1--11．若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0123452345a a a a a a +++++为（） A ．－233B ．10C ．20D ．23312．已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有1条，则实数a 的取值是（ ） A ．0B ．4C ．0或-4D ．0或4二、填空题13．曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为_________． 14．直线2y x =与()2ln f x a x x =+的图象相切，则a 的值为___________.15．函数()ln 2f x a x ax b =-+，若()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，则ab =______.16．曲线224x y e x x =+-在1x =处的切线方程是_____________17．点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线y=x-3的距离最小值_________ 18．直线12y x b =+是曲线的一条切线，则实数b =___________．19．对于三次函数32()f x ax bx cx d =+++(,,,,0)a b c d R a ∈≠有如下定义：设()'f x 是函数()f x 的导函数，()''fx 是函数()'f x 的导函数，若方程()''0f x =有实数解m ，则称点()(),m f m 为函数()y f x =的“拐点”.若点()1,3-是函数32()5(,)g x x ax bx a b R =-+-∈的“拐点”，也是函数()g x 图像上的点，则函数()211sin cos 32h x a x b x =+的最大值是__________．20．已知函数(),()x f x e g x kx ==：① 函数()f x 的单调递减区间为(,0)-∞；② 若函数()()()F x f x g x =-有且只有一个零点，则1k =±；③ 若(1,)(,)k e e ∈+∞，则b R ∃∈，使得函数()0f x b -=恰有2个零点1x ，2x ，()0g x b -=恰有一个零点3x ，且123x x x ≠≠，1231x x x ++=.其中，所有正确结论的序号是_______.三、解答题21．设函数()()224ln ,R.f x x ax x a =-∈（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若对任意[)()21,,0x f x x a ∈+∞+->恒成立,求实数a 的取值范围.22．已知函数()()()()2ln ,1f x x x g x x λλ==-为常数.(1)若函数()y f x =与函数()y g x =在1x =处有相同的切线,求实数λ的值; (2)当1≥x 时, ()()f x g x ≤,求实数λ的取值范围. 23．已知函数()ln 1x af x x x=-- （I ）若()f x 在2x =处的切线的斜率为1ln2-，求a 的值； （Ⅱ）1x ∀>，不等式()11f x x >--恒成立，求整数a 的最大值. 24．已知曲线3212313y x x x =-+-+. （1）求该曲线斜率为-3的切线方程；（2）当曲线的切线斜率最大时，切点为P ，过点P 作直线l 与x 轴、y 轴的正半轴交于,A B 两点，求OAB ∆面积的最小值.25．已知函数()2e 2xf x ax x x =--．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当0x >时，若曲线()y f x =在直线y x =-的上方，求实数a 的取值范围． 26．已知函数()()323,f x ax bx x a b R =+-∈,在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=.(1)求函数()f x 的解析式;(2)若方程()f x m =有三个根,求m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】对多项式函数求导，结合导数的几何意义，可得选项. 【详解】设函数()(1)(2)(4)(5)g x x x x x =----，则'''()(3)()(3)()()(3)()f x x g x x g x g x x g x '=-+-=+-，所以'(3)(3)(31)(32)(34)(35)4f g ==----=，则曲线()y f x =在点(3,0)处的切线方程为()43412y x x =-=-. 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属于中档题.2．D解析：D 【解析】1'2,y ax x=+x ∈(0,+∞)， ∵曲线y =ln x +ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线， ∴120y ax x=+≥'在(0,+∞)上恒成立， ∴212a x-恒成立,x ∈(0,+∞). 令f (x )=212x -,x ∈(0,+∞),则f (x )在(0,+∞)上单调递增， 又f (x )=212x -<0， ∴a ⩾0. 故选D.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④讨论参数.3．D解析：D 【分析】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，并且由()f x 的图象是向上凸，进而判断选项. 【详解】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，因为2e π>>，所以()()()2f f e f π>>，故A 不正确；对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，由()f x '表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知， 随着x 的增大，()f x 的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小， 所以()()()2f f e f π'''<<，故B 不正确；()()()()212121AB f f f f k --==-，表示点()()1,1f 与点()()22f ,连线的斜率，由图可知()()21AB f k f ''<<，所以D 正确，C 不正确. 故选：D . 【点睛】本题考查以数学文化为背景，导数的几何意义，根据函数的单调性比较函数值的大小，属于中档题型.4．A解析：A 【分析】利用二次函数值域可求得导函数的范围，即切线斜率的范围，根据斜率和倾斜角的关系可求得结果. 【详解】243y x x '=-+，1y '∴≥-，即切线斜率tan 1k α=≥-，30,,24ππαπ⎡⎫⎡⎫∴∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.故选：A . 【点睛】本题考查利用直线斜率求解倾斜角所处范围的问题，关键是能够利用导数几何意义和二次函数值域求得切线斜率所处的范围.5．B解析：B 【分析】判处出()2xt f x e =+单调递增，可得2222a b t a e t b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，进而可得a ，b 为方程2x x t e -=的两个实根，进一步转化为函数1xy e =与22x t y -=有两个交点，求出斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，切线在y 轴上的截距为1ln 22+，只需1ln 222t +->即可. 【详解】因为函数()2xtf x e =+为“倍缩函数”， 所以存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，由于()2xt f x e =+单调递增，所以2222a b t ae t b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即a ，b 为方程2xx te -=的两个实根， 进一步转化为函数1xy e =与22x ty -=有两个交点， 不妨先求出与函数1xy e =相切且斜率为12的直线方程． 对于数1x y e =，求导得1x y e '=，令12xe =，解得1ln 2x =，112y =， 所以斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，该直线在y 轴上的截距为1ln 22+， 要使函数1xy e =与22x t y -=有两个交点，则1ln 222t +->，所以1ln 2t <--， 故选：B ． 【点睛】本题是函数的新定义题目，考查了函数的单调性求值域、导数的几何意义求切线方程，属于中档题.6．B解析：B 【分析】易得当在Q 点处的切线与21y x =+平行,且过Q 作21y x =+的垂线垂足为P 时,P Q 的距离最小,再利用公式求距离即可. 【详解】由题可知, 当在Q 点处的切线与21y x =+平行,且过Q 作21y x =+的垂线垂足为P 时,P Q 的距离最小.此时ln y x x =+的导函数1'1y x=+.设()00,Q x y ,则001121x x +=⇒=,000ln 1y x x =+=,即()1,1Q . 此时,P Q 的距离最小值为()1,1Q 到直线21y x =+即210x y -+=的距离d ===. 故选：B 【点睛】本题主要考查了曲线上与直线上点的最值问题,需要利用导数的几何意义进行求解,属于基础题.7．D解析：D 【分析】首先对函数()f x 求导，令2x =，得到关于()2f '的方程，即可求出()2f '，再利用二次函数的图象和性质，即可确定m 的取值范围． 【详解】依题可得，()()222f x x f ''=+，令2x =，得()()2422f f ''=+，解得()24f '=-，所以()22()81244f x x x x =-+=--，因为()012f =，()44f =-，而由二次函数的对称性可知，()812f =，故48m ≤≤． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查导数的四则运算法则和基本初等函数导数公式的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，属于中档题．8．B解析：B 【分析】 求得曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线的斜率，根据切线与直线0ax by c 垂直列方程，由此求得ab的值. 【详解】依题意()()()'2221322x x y x x --+-==--，'1|3x y ==-，由于曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c 垂直，所以()131,3a a b b ⎛⎫-⋅-=-=- ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本小题主要考查利用导数求切线的斜率，考查两条直线垂直的条件，属于基础题.9．A解析：A 【分析】先求出0x <时，()f x 的解析式，求出其导数，由导数的几何意义即可求出方程。

2019高中数学第三章变化率与导数单元测试1北师大版选修1-1

2019高中数学第三章变化率与导数单元测试1北师大版选修1-1

第三章变化率与导数(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f(x)＝13，则f′（x)等于( )A．－33B．0C.33D. 3解析：选 B.因为f(x)＝13，所以f′（x)＝(13)′＝0.2．已知某质点的运动规律为s＝t2＋3(s的单位：m，t的单位：s)，则该质点在t＝3 s到t＝(3＋Δt)s这段时间内的平均速度为( )A．(6＋Δt)m/s B．(6＋Δt＋9Δt)m/sC．(3＋Δt)m/s D．(9Δt＋Δt)m/s解析：选 A.平均速度为ΔsΔt＝（3＋Δt）2＋3－（32＋3）Δt＝(6＋Δt)m/s.3．设f(x)为可导函数，且满足limx→0f（1）－f（1－x）2x＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )A．2 B．－1 C．1 D．－2解析：选 D.k＝f′(1)＝limx→0f（1－x）－f（1）－x＝2limx→０f（1）－f（1－x）2x＝－2.4．已知函数f(x)在x＝1处的导数为3，则f(x)的解析式可能是( ) A．f(x)＝(x－1)3＋3(x－1)B．f(x)＝2(x－1)C．f(x)＝2(x－1)2D．f(x)＝x－1解析：选 A.利用排除法，分别对四个选项求导数f′（x)，再求f′(1)．5．已知曲线y＝x24－3ln x的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A．3 B．2C．1 D.1 2解析：选 B.设切点坐标为(x0，y0)，且x0＞0，因为y′＝12x－3x，所以k＝12x0－3x0＝－12，所以x0＝2.6．已知y＝2x3＋3x＋cos x，则y′等于( )A．6x2＋x－23－sin xB．6x2＋x－23＋sin xC．6x2＋13x－23＋sin xD．6x2＋13x－23－sin x解析：选 D.y′＝(2x3)′＋(x 13)′＋(cos x)′＝6x2＋13x－23－sin x.7．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′（x)存在，且导函数f′（x)在D上也可导，则称函数f(x)在D 上存在二阶导函数，记f″（x)＝(f′（x))′.若f″（x)＜0在D上恒成立，则称函数f(x)在D上为凸函数，以下四个函数在0，π2上不是凸函数的是( )A．f(x)＝sin x＋cos x B．f(x)＝ln x－2x C．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝x e x解析：选 D.对A，f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x＜00＜x＜π2，故f(x)在0，π2上是凸函数；对B，f′(x)＝1x－2，f″(x)＝－1x2＜00＜x＜π2，故f(x)在0，π2上是凸函数；对C，f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x＜00＜x＜π2，故f(x)在0，π2上是凸函数；对D，f′(x)＝e x＋x e x，f″(x)＝e x＋e x＋x e x＝e x(2＋x)＞00＜x＜π2，故f(x)在0，π2上不是凸函数，选 D.8．已知曲线C：y＝2x2，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要实现不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是( )A．(4，＋∞) B．(－∞，4)C．(10，＋∞) D．(－∞，10)解析：选 D.在曲线C：y＝2x2上取一点D(x0，2x20)(x0＞0)，因为y＝2x2，所以y′＝4x，所以y＝2x2在D点处切线的斜率为4x0，令2x20＋2x0＝4x0，解得x0＝1，此时D(1，2)，所以k AD＝2－（－2）1－0＝4，所以直线AD的方程为y＝4x－2，要实现不被曲线C挡住，则实数a＜4×3－2＝10，即实数a的取值范围是(－∞，10)．9．设a＞0，f(x)＝ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为0，π4，则P到曲线y＝f(x)对称轴距离的取值范围为( )A.0，1aB.0，12aC.0，b2aD.0，b－12a解析：选 B.因为过P(x0，f(x0))的切线的倾斜角的取值范围是0，π4，且a＞0，P在对称轴的右侧，所以P到曲线y＝f(x)对称轴x＝－b2a的距离d＝x0－－b2a＝x0＋b2a.又因为f′（x0)＝2ax0＋b∈[0，1]，所以x0∈－b2a，1－b2a.所以d＝x0＋b2a∈0，12a.10．定义方程f(x)＝f′（x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)＝2x，h(x)＝ln x，φ(x)＝x3(x≠0)的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为( )A．a＞b＞c B．c＞b＞aC．a＞c＞b D．b＞a＞c解析：选 B.g′(x)＝2，h′(x)＝1x，φ′(x)＝3x2(x≠0)．解方程g(x)＝g′（x)，即2x＝2，得x＝1，即a＝1；解方程h(x)＝h′（x)，即ln x＝1x，在同一坐标系中画出函数y＝ln x，y＝1x的图像(图略)，可得1＜x＜e，即1＜b＜e；解方程φ(x)＝φ′（x)，即x3＝3x2(x≠0)，得x＝3，即c＝3.所以c＞b＞a.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝________．解析：f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，f′(x)＝3x2－2ax－4，f′(－1)＝3＋2a－4＝0，所以a＝1 2 .答案：1 212．设f(x)＝e x＋x，若f′（x0)＝2，则在点(x0，y0)处的切线方程为________．解析：f′（x)＝e x＋1，f′(x0)＝2，所以e x0＋1＝2，所以x0＝0，y0＝e0＋0＝1，所以切线方程为y－1＝2(x －0)，即2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝013．已知函数f(x)＝sin x－x cos x，若存在x∈(0，π)，使得f′（x)＞λx成立，则实数λ的取值范围是________．解析：f′（x)＝(sin x－x cos x)′＝(sin x)′－(x cos x)′＝cos x－(cos x－x sin x)＝x sin x＞λx，因为x∈(0，π)，所以sin x＞λ，因为sin x∈(0，1]，所以λ＜1.答案：(－∞，1)14．抛物线y＝x2上到直线x＋2y＋4＝0距离最短的点的坐标为________．解析：y′＝2x，设P(x0，x20)处的切线平行直线x＋2y＋4＝0，则点P到直线x＋2y＋4＝0的距离最短，由抛物线y＝x2在点P(x0，x20)处的切线斜率为2x0，则2x0＝－12，解得x0＝－14，y0＝116，故所求点的坐标为(－14，116)．答案：(－14，116)15．对正整数n，设曲线y＝x n(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n，则数列a nn＋1的前n项和为________．解析：由y＝x n(1－x)得y′＝nx n－1(1－x)＋x n(－1)，所以f′(2)＝－n·２n－1－2n.又因为切点为(2，－2n)．所以切线方程为：y＋2n＝－(n·２n－1＋2n)(x－2)．令x＝0，得a n＝(n＋1)·２n.则数列a nn＋1的通项公式为a n＝2n，由等比数列前n项和公式求得其和为2n＋1－2.答案：2n＋1－2三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)将石块投入平静的水面，使它产生同心圆波纹，若最外一圈波纹半径R以 4 m/s的波速增加，求在 3 s末被扰动的水面面积的增长率．解：设被扰动水面面积为S，时间为t(t≥0)，所以S＝πR2＝π(4t)2＝16πt2，所以S′＝(16πt2)′＝32πt，所以当t＝3时，水面面积的增长率为96π.17．(本小题满分10分)求下列函数的导数．(1)f(x)＝ln(8x)；(2)y＝x3sin x2cosx2；(3)y＝x5＋x＋sin xx2.解：(1)f(x)＝3ln 2＋ln x，f′(x)＝(3ln 2)′＋(ln x)′＝1 x .(2)y＝x3sin x2cosx2＝12x3sin x，y′＝12(x3sin x)′＝12(3x2sin x＋x3cos x)＝32x2sin x＋12x3cos x.(3)y＝x5＋x＋sin xx2＝x3＋x－32＋x－2sin x，所以y′＝(x3)′＋(x－32)′＋(x－2sin x)′＝3x2－32x－52－2x－3sin x＋x－2cos x.18．(本小题满分10分)已知曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4.(1)求曲线C在点(1，－4)处的切线方程；(2)对于(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点？若有，求出公共点；若没有，请说明理由．解：(1)y′＝12x3－6x2－18x，所以当x＝1时，y′＝－12，所以在点(1，－4)处的切线的斜率为－12.所以所求的切线方程为y＋4＝－12(x－1)，即y＝－12x＋8.(2)由y＝3x4－2x3－9x2＋4，y＝－12x＋8，得3x4－2x3－9x2＋12x－4＝0，即(x＋2)(3x－2)(x－1)2＝0，所以x1＝－2，x2＝23，x3＝1.所以除切点外，曲线和切线还有交点(－2，32)和23，0.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a≥１时，求证：当x∈[1，e]时，f′(x)≥0，其中e为自然对数的底数．解：(1)当a＝1时，f(x)＝x2－3x＋ln x，f′(x)＝2x－3＋1x，因为f′(1)＝0，f(1)＝－2.所以切线方程是y＝－2.(2)证明：函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋1 x ，即f′（x)＝2ax2－（a＋2）x＋1x＝（2x－1）（ax－1）x，当a ≥１时，在x ∈［1，e]上，2x －1＞0，ax －1≥0，可得f ′（x )≥0.20．(本小题满分13分)设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a ＞0.曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)确定b ，c 的值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))及(x 2，f (x 2))处的切线都过点(0，2)，证明：当x 1≠x 2时，f ′(x 1)≠f ′（x 2)．解：(1)由f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，得f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，f ′(0)＝b .又由曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，得f (0)＝1，f ′(0)＝0.故b ＝0，c ＝1.(2)证明：f (x )＝13x 3－a 2x 2＋1，f ′(x )＝x 2－ax ，由于点(t ，f (t ))处的切线方程为y －f (t )＝f ′（t )(x －t )，而点(0，2)在切线上，所以2－f (t )＝f ′（t )(－t )，化简得23t 3－a 2t 2＋1＝0，即t 满足的方程为23t 3－a 2t 2＋1＝0.下面用反证法证明：假设f ′（x 1)＝f ′（x 2)，由于曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))及(x 2，f (x 2))处的切线都过点(0，2)，则下列等式成立：23x 31－a 2x 21＋1＝0，①23x 32－a 2x 22＋1＝0，②x 21－ax 1＝x 22－ax 2.③由③，得x 1＋x 2＝a .由①－②，得x 21＋x 1x 2＋x 22＝34a 2.④又x 21＋x 1x 2＋x 22＝(x 1＋x 2)2－x 1x 2＝a 2－x 1(a －x 1)＝x 21－ax 1＋a 2＝(x 1－a2)2＋34a 2≥34a 2，故由④得x 1＝a 2，此时x 2＝a2与x 1≠x 2矛盾，所以f ′（x 1)≠f ′（x 2)．。

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第三章变化率与导数测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知函数f(x)=2x2-1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy),则等于()A.4B.4ΔxC.4+2ΔxD.4+2(Δx)2解析:=4+2Δx.答案:C2.若f'(x0)=-3,则=()A.-3B.-12C.-9D.-6解析:法一(注重导数概念的应用的解法):因为f'(x0)==-3,所以===+3=f'(x0)+3f'(x0)=4f'(x0)=-12,故选B.法二(注重导数定义中各变量的联系的解法):因为f'(x0)==-3,所以=4=4f'(x0)=-12,故选B.答案:B3.数列{c n}为等比数列,其中c1=2,c8=4,f(x)=x(x-c1)(x-c2)…(x-c8),f'(x)为函数f(x)的导函数,则f'(0)=()A.0B.26C.29D.212解析:∵c1=2,c8=4,∴c1c2…c8=84=212,f'(x)=(x-c1)(x-c2)…(x-c8)+x[(x-c1)(x-c2)…(x-c8)]',则f'(0)=c1c2…c8=212.答案:D4.已知函数f(x)的导函数f'(x),且满足f(x)=2xf'(1)+ln x,则f'(1)=()A.-eB.-1C.1D.e解析:∵f(x)=2xf'(1)+ln x,∴f'(x)=[2xf'(1)]'+(ln x)'=2f'(1)+,∴f'(1)=2f'(1)+1,即f'(1)=-1.答案:B5.函数f(x)=e x cos x的图像在点(3,f(3))处的切线的倾斜角为()A. B.0 C.钝角 D.锐角解析:∵f'(x)=e x cos x-e x sin x=e x(cos x-sin x)=e x cos,∴f'(3)=e3cos,又∵cos<0,∴f'(3)<0,∴切线的倾斜角为钝角.答案:C6.曲线y=在点(1,-1)处的切线方程为()A.2x+y-1=0B.2x-y-3=0C.2x-y+1=0D.2x+y-3=0解析:因为y'=,所以切线斜率k==-2,于是切线方程为y+1=-2(x-1),即2x+y-1=0.答案:A7.若函数f(x)满足f(x)=x3-f'(1)·x2-x,则f'(1)的值为()A.0B.2C.1D.-1解析:f'(x)=x2-2f'(1)x-1,所以f'(1)=1-2f'(1)-1,则f'(1)=0.答案:A8.函数y=ln x在x=e2处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.e2B.e2C.2e2D.e2解析:y'=,∴在x=e2处的切线斜率为k=,∴切线方程为y-2=(x-e2).令x=0,得y=1.令y=0,得x=-e2,∴所求三角形的面积为×1×e2=e2.答案:B9.已知函数f(x)=x-x2,若该函数图像在点(x0,y0)处的切线的倾斜角是图像在点的切线的倾斜角的两倍,则x0的值等于()A.3B.-3C.0D.解析:f'(x)=x,所以图像在点的切线的斜率k=,因此倾斜角为60°,从而图像在点(x0,y0)处的切线的倾斜角应为120°,斜率为-,于是x0=-,解得x0=3.答案:A10.函数y=(3x2+x+1)(2x+3)的导数是()A.(6x+1)(2x+3)B.2(6x+1)C.2(3x2+x+1)D.18x2+22x+5解析:∵y=(3x2+x+1)(2x+3)=6x3+11x2+5x+3,∴y'=18x2+22x+5.答案:D11.函数f(x)=x3+4x+5的图像在x=1处的切线与圆x2+y2=50的位置关系为()A.相切B.相交但不过圆心C.过圆心D.相离解析:∵f(x)=x3+4x+5,∴f'(x)=3x2+4,∴f'(1)=7.当x=1时,f(1)=10,∴切线方程为y-10=7(x-1),即7x-y+3=0,∴圆心到切线的距离为d=,∴切线与圆相交但不过圆心.答案:B12.已知f'(x0)=,f(3)=2,f'(3)=-2,则的值是()A.4B.6C.8D.不存在解析:==-3=-3f'(3)+=-3f'(3)+2=8.答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2017全国Ⅰ高考)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为.解析:设y=f(x),则f'(x)=2x-,所以f'(1)=2-1=1.所以曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为y-2=1×(x-1),即y=x+1.答案:y=x+114.(2017天津高考)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图像在点(1,f(1))处的切线为l,则l 在y轴上的截距为.解析:∵f(x)=ax-ln x,∴f'(x)=a-,f'(1)=a-1,f(1)=a,则切线l方程为y-a=(a-1)(x-1), 即y=(a-1)x+1,则l在y轴上的截距为1.答案:115.(2016天津高考)已知函数f(x)=(2x+1)e x,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(0)的值为.解析:∵f'(x)=(2x+3)e x,∴f'(0)=3.答案:316.若曲线f(x)=x-2在点(a,a-2)(a>0)处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为3,则lo a=.解析:求导得f'(x)=-2x-3,所以在点(a,a-2)处的切线方程为y-a-2=-2a-3(x-a).令x=0,得y=3a-2;令y=0,得x=.所以切线与两条坐标轴围成的三角形的面积S=×3a-2×a=3,解得a=,∴lo a=2.答案:2三、解答题(本大题共6小题,需写出演算过程与文字说明,共70分)17.(本小题满分10分)设t≠0,点P(t,0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图像的一个公共点,两函数的图像在点P处有相同的切线.试用t表示a,b,c.解因为函数f(x),g(x)的图像都过点(t,0),所以f(t)=0,即t3+at=0.因为t≠0,所以a=-t2.g(t)=0,即bt2+c=0,所以c=ab.又因为f(x),g(x)在点(t,0)处有相同的切线,所以f'(t)=g'(t).而f'(x)=3x2+a,g'(x)=2bx,所以3t2+a=2bt.将a=-t2代入上式得b=t.因此c=ab=-t3.故a=-t2,b=t,c=-t3.18.(本小题满分12分)设函数f(x)=x m+ax的导函数为f'(x)=2x+1,求数列(n∈N+)的前n 项和S n.解∵f'(x)=mx m-1+a=2x+1,∴m=2,a=1,∴f(x)=x2+x,∴,∴S n=1-+…+=1-.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=4x3+ax2+bx+5的图像在x=1处的切线方程为y=-12x,求f(x)的解析式.解f'(x)=12x2+2ax+b,∵y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-12x,∴f'(1)=-12,f(1)=-12,∴解得a=-3,b=-18,∴f(x)=4x3-3x2-18x+5.20.导学号01844039(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax3-x2+cx+d(a,c,d∈R)满足f(0)=0,f'(1)=0,且f'(x)≥0在R上恒成立.(1)求a,c,d的值.(2)若h(x)=x2-bx+,解不等式f'(x)+h(x)<0.解(1)f'(x)=ax2-x+c,∵f(0)=0,f'(1)=0,∴从而f'(x)=ax2-x+-a.∵f'(x)≥0在R上恒成立,∴∴解得a=,c=,d=0.(2)由(1)知,f'(x)=x2-x+,∵h(x)=x2-bx+,∴不等式f'(x)+h(x)<0化为x2-x+x2-bx+<0,即x2-x+<0,∴(x-b)<0,①若b>,则所求不等式的解集为;②若b=,则所求不等式的解集为⌀;③若b<,则所求不等式的解集为.综上所述,当b>时,所求不等式的解集为;当b=时,所求不等式的解集为⌀;当b<时,所求不等式的解集为.21.导学号01844040(本小题满分12分)函数f(x)=-a,x∈(0,+∞),a>0.设0<x1<,曲线y=f(x)在点M(x1,f(x1))处的切线为l.(1)求l的方程.(2)设l与x轴交点是(x2,0),求证:①0<x2≤;②若x1<,则x1<x2≤.(1)解∵f(x)=-a,x∈(0,+∞),∴f'(x)=-.∵切线l过点M(x1,f(x1)),其中0<x1<,∴切线l的方程为y=-(x-x1)+-a,即y=--a.(2)证明①∵(x2,0)是l与x轴的交点,∴--a=0,∴x2=x1(2-ax1).∵0<x1<,∴2>2-ax1>0,∴0<x1(2-ax1)=a-a,当且仅当x1=时取等号,∴0<x2≤.②∵0<x1<,∴1<2-ax1<2.由①知x2≤,且x2=x1(2-ax1),∴x1<x2≤.22.导学号01844041(本小题满分12分)设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式.(2)求证:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.解(1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3.当x=2时,y=.又f'(x)=a+,于是解得a=1,b=3,故f(x)=x-.(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点.∵f'(x0)=1+,∴在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-(x-x0),令x=0,得y=-,∴切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x,得y=x=2x0,∴切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0),∴点P(x0,y0)处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为·|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,此定值为6.。

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