北师大版七年级数学上册第三章 3.5.1探索规律 同步测试题
七年级数学上册《第三章探索与表达规律》练习题-带答案(北师大版)
七年级数学上册《第三章探索与表达规律》练习题-带答案(北师大版)一、选择题1.如图，用黑白两种颜色的纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2020个白色纸片，则n的值为( )A.671B.672C.673D.6742.下图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为125，则第2 016次输出的结果为( )A.125B.25C.1D.53.观察下列各式： - 2x，4x2， - 8x3，16x4， - 32x5，…则第n个式子是( )A.- 2n - 1x nB.( - 2)n - 1x nC.- 2n x nD.( - 2)n x n4.观察如图所示图形，则第n个图形中三角形的个数是( )A.2n＋2B.4n＋4C.4nD.4n-45.下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形…依此规律，第五个图形中三角形的个数是( )A.22B.24C.26D.286.下列是由一些火柴搭成的图案，图①用了5根火柴，图②用了9根火柴，图③用了13根火柴，按照这种方式摆下去，摆第n○个图案用多少根火柴( )A.4n＋3B.5n－1C.4n＋1D.5n－47.小明用棋子摆放图形来研究数的规律，图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，…称为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数，下列数既是三角形数又是正方形数的是 ( )A.2010B.2012C.2014D.20168.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）A.21B.24C.27D.30二、填空题9.观察一组数2，5，10，17，26，37…则第n个数是.10.《庄子•天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图.由图易得：＝ .11.当n等于1，2，3，…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示，则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 .(用含n的代数式表示，n是正整数)12.将从1开始的连续自然数按以下规律排列：第1行 1第2行 2 3 4第3行9 8 7 6 5第4行10 11 12 13 14 15 16第5行25 24 23 22 21 20 19 18 17 …则2023在第行.13.观察等式：1＋3＝4＝22，1＋3＋5＝9＝32，1＋3＋5＋7＝16＝421＋3＋5＋7＋9＝25＝52……猜想：(1)1＋3＋5＋7…＋99 ＝；(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n﹣1)＝ _______.14.观察下列各式：13＝1213＋23＝3213＋23＋33＝6213＋23＋33＋43＝102…猜想13＋23＋33＋…＋103＝.三、解答题15.探究题.用棋子摆成的“T”字形图如图所示：(1)填写下表：图形序号①②③④…⑩每个图案中棋子个数 5 8 …)；(3)第20个“T”字形图案共有棋子多少个？(4)计算前20个“T”字形图案中棋子的总个数.(提示：请你先思考下列问题：第1个图案与第20个图案中共有多少个棋子？第2个图案与第19个图案中共有多少个棋子？第3个图案与第18个图案呢？)16.我们发现了一种“乘法就是减法”的非常有趣的运算：①1×12＝1﹣12：②2×23＝2﹣23；③3×34＝3﹣34；…(1)请直接写出第4个等式是；(2)试用n(n为自然数，n≥1)来表示第n个等式所反映的规律是；(3)请说明(2)中猜想的结论是正确的．17.察下列各式：第1个：1×3＝3＝22﹣1第2个：2×4＝8＝32﹣1第3个：3×5＝15＝42﹣1第4个：4×6＝24＝52﹣1第5个：5×7＝35＝62﹣1…这些等式反映出自然数间的某种运算规律.(1)请你根据规律写出下一个等式：；(2)设n(n≥1)表示自然数，请根据这个规律把第n个等式表示出来，并通过你所学过的整式运算知识来验证这个等式成立.18.阅读解题：1111212=-⨯，3121321-=⨯，4131431-=⨯， ... 计算：+⨯+⨯+⨯431321211...200520041⨯+ ＝+-+-+-413131212111 (2005)120041-+＝120051-＝20052004 理解以上方法的真正含义，计算：(1)111 (10111112100101)+++⨯⨯⨯ (2)19.用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案.(1)第4个图案中，三角形的个数有 个，六边形的个数有 个； (2)第n(n 为正整数)个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (3)第2018个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？(4)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由. (2027)20251531311⨯++⨯+⨯20.阅读材料：求1＋2＋22＋23＋24＋…＋22023的值.解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋22022＋22023，将等式两边同时乘以2得：2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋22023＋22024将下式减去上式得2S﹣S＝22024﹣1即S＝22024﹣1即1＋2＋22＋23＋24＋…＋22023＝22024﹣1请你仿照此法计算：(1)1＋2＋22＋23＋24＋…＋210(2)1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n(其中n为正整数).参考答案1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】B9.【答案】n2＋1.10.【答案】1﹣.11.【答案】n2＋4n.12.【答案】45.13.【答案】502；n2.14.【答案】55215.解：(1)11 14 32 (2)3n＋2 (3)3n＋2＝3×20＋2＝62(个)(4)(5＋62)×202＝670(个).16.【答案】解：等式左侧乘积的第一个因数是从1开始的连续自然数，第二个因数的分子和这个自然数相同，分母比分子大1；右侧恰是左侧两个因数的差； (1)第4个等式：4×＝4﹣ (2)第n 个等式：n ×＝n ﹣ (3)证明：n ×＝，n ﹣＝∴n ×＝n ﹣∴(2)中猜想的结论是正确的．17.【答案】解：(1)第6个：6×8＝48＝72﹣1；故【答案】6×8＝48＝72﹣1； (2)第n 个等式为n(n ＋2)＝(n ＋1)2﹣1.n(n ＋2)＝n 2＋2n (n ＋1)2﹣1＝n 2＋2n ＋1﹣1＝n 2＋2n 所以n(n ＋2)＝(n ＋1)2﹣1. 18.【答案】解：①根据题意得：1111111111011111210010110111112100101+++=-+-++-⨯⨯⨯ ＝1191101011010-= ②根据题意得：＝21(1﹣20271)＝20272013 19.【答案】解：(1)10 4;(2)观察发现，第1个图案中有4个三角形与1个六边形 以后每个图案都比它前一个图案增加2个三角形与1个六边形则第n 个图案中三角形的个数为4＋2(n-1)=(2n ＋2)个，六边形的个数为n. (3)第2018个图案中，三角形的个数为2×2018＋2=4038(个)，六边形的个数为2018个.)(4)不存在.理由如下：假设存在这样的一个图案，其中有30个六边形，则这个图案是第30个图案 而第30个图案中三角形的个数为2×30＋2=62≠100… 202720251531311⨯++⨯+⨯所以这样的图案不存在.20.【答案】解：(1)设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋210将等式两边同时乘以2得：2S＝2＋22＋23＋24＋…＋210＋211 将下式减去上式得：2S﹣S＝211﹣1，即S＝211﹣1则1＋2＋22＋23＋24＋…＋210＝211﹣1；(2)设S＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n①两边同时乘以3得：3S＝3＋32＋33＋34＋…＋3n＋3n＋1②②﹣①得：3S﹣S＝3n＋1﹣1，即S＝12(3n＋1﹣1)则1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n＝12(3n＋1﹣1).。
北师大版七年级上册数学第三章测试题(附答案)
北师大版七年级上册数学第三章测试题（附答案）一、单选题（共 12题；共 24 分）1. 有三个连续偶数，最大一个是 2n+2，则最小一个可以表示为（ ）A. 2n－2B. 2C. 2n+1－D. 12n2.单项式﹣的系数和次数分别是（ ）3. 下列各组代数式中，属于同类项的是（ ）6. 若 x=2 时，代数式 ax 4+bx 2+5 的值是 3，则当 x=﹣2 时，代数式 ax 4+bx 2+7 的值为（ ） A. ﹣37. 用棋子摆出下列一组 “口”字，按照这种方法摆，则摆第 n 个“口”字需用棋子（ ）11.观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 n 个图形中共有五角星的个数为 （n 为正整数 ）（ ）A. B. 4n C . 4n+1D . 3n+412.一个多项式与 x 2-2x+1 的和是 3x-2，则这个多项A. ﹣ 和 3 2和﹣C3和A. 2x 2y 与 2xy 2B. x y 与－ x yC . 2x 与 2xy4.若﹣ 2a m b 4与 5a n+2b 2m+n 可以合并成一项，则 m n 的值是（ A. 0B. -1C. 15. 设实数 x 、 y 、 z 满足 ， ，则 xyz 的值为（ A. 1C . -1D . 2x 2 与2y 2D. 2)D . -2A. 4n 枚 B （. 4n ﹣ 4）枚 8. 单项式﹣ 3πxy 2z 3 的系数和次数分别是（ A. ﹣ π， 5B . ﹣ 1， 69. 下列各组中，不是同类项的是（ ） A. x 3y 4与 x 3z 4B. 3x 与﹣x10. 下列关于单项式 -5xy 3 的说法中，正确的是A. 系数是－ 5，次数是 4C. 系数是－ 3，次数是 4C (. 4n+4 )枚)C . ﹣ 3 π， 6D. n 2 枚D . ﹣ 3，7 C. 5ab 与﹣ 2baD. ﹣3x 2y 与（ ）B . 系数是－ 5 ，次数是 3 D . 系数是－ 2π，次数是 3式为（）2 2 2 2A. x2-5x+3 B . -x2+x-1 C . -x2+5x-3 D . x2-5x-13二、填空题（共8题；共9 分）13. 多项式 ___ 是_______ 次项式．14. 用代数式表示：小明沿一条直路跑3千米后，再以4km/h 的速度继续往前走了t 小时，小明离起点_______ 千米.15. 一列方程如下排列：的解是，的解是，的解是，根据观察得到的规律，写出其中解是的方程 _________________ 。
北师版七年级数学上册第3章 规律探索 专项训练
北师版七年级上册第三章整式及其加减规律探索 专项训练一、填空题1．已知：一组数1，3，5，7，9，…，按此规律，则第n 个数是___________． 2．已知：一组数1，4，7，10，13，…，按此规律，则第n 个数是__________．3．观察下列一组数：32，1，710，1917，1126，…，它们是按一定规律排列的，那么这组数的第n 个数是____________．(n 为正整数)4．按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，221，….若x ，y ，z 表示这列数中的连续三个数，猜想x ，y ，z 满足的关系式是______________．5．观察一列数：a 1＝3，a 2＝9，a 3＝27，a 4＝81……则a 6＝________，a n ＝________． 6．观察下列数表：请猜想第n 行第n 列交叉点上的数应为___________．7．小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第1个图案有1枚棋子，第2个图案有3枚棋子，第3个图案有4枚棋子，第4个图案有6枚棋子……那么第9个图案的棋子数是________枚．8．观察下列一组数：－1，12，－13，14，－15，16……则第7个数是_______，第8个数是_______，第n 个数是 ．9. 找出下列各图形中数的规律，依此判断，a的值为________．10．观察下列式子：1×3＋1＝22；7×9＋1＝82；25×27＋1＝262；79×81＋1＝802；……可猜想第n个式子为_____________________________．11. 如图，该数表是由1开始的连续自然数组成，观察规律并完成下列各题．(1)表中第8行的最后一个数是_______，它是自然数________的平方，第8行共有________个数；(2)用含n的代数式表示：第n行的第一个数是____________，最后一个数是__________，第n行共有_____________个数．12．观察下列等式：9×0＋1＝1；9×1＋2＝11；9×2＋3＝21；9×3＋4＝31；9×4＋5＝41；……猜想第n(n为正整数)个等式应为___________________________．13. 观察下列式子：1×3＋1＝22；7×9＋1＝82；25×27＋1＝262；79×81＋1＝802；……可猜想第2019个式子为____________________________．14．观察下列一组图形：它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第n个图形共有_______________个.15．按如下规律摆放三角形：(1)第④堆三角形的个数为___________；(2)第○n堆三角形的个数为__________二、选择题16. 我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”(如1，3，6，10，…)和“正方形数”(如1，4，9，16，…)，在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m＋n的值为( )A．33 B．301C．386 D．57117. 把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个角形第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为( )A．12 B．14C．16 D．1818. 观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是( )A．43颗B．45颗C．51颗D．53颗19．如图用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n个“口”需用棋子( ) A．4n枚B．(4n－4)枚C．(4n＋4)枚D．n2枚20. 用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是( )A．(2n＋1)个B．(n2－1)个C．(n2＋2n)个D．(5n－2)个21．某校组织若干师生到活动基地进行社会实践活动．若学校租用45座的客车x辆，则余下20人无座位；若租用60座的客车则可少租用2辆，且最后一辆还没坐满，则乘坐最后一辆60座客车的人数是( )A．200－60xB．140－15xC．200－15xD．140－60x三、解答题22．一串数字的排列规律是：第一个数是20，从第二个数起，每一个数比前一个数小8.(1)第10个数是多少？(2)第n个数是多少？(3)第几个数是－60?23．仔细观察下列三组数：第一组：1，4，9，16，25……第二组：1，8，27，64，125……第三组：－2，－8，－18，－32，－50……(1)写出每组的第6个数各是多少？(2)第二组的第100个数是第一组的第100个数的多少倍？(3)取每组数的第n个数，计算这三个数的和．24．观察图中的棋子：(1)按照这样的规律摆下去，第4个图形中的棋子个数是多少？(2)用含n的式子表示第n个图形的棋子个数．25．观察下列算式：22－02＝4＝4×1，42－22＝12＝3×4，62－42＝20＝5×4，82－62＝28＝7×4，….(1)按照此规律，写出第五个等式；(2)按照此规律，写出第n个等式；参考答案 一、填空题 1. 2n －1 2. 3n －2 3. 2n+1n 2+14. xy ＝z5. 729，3n6. 2n －17. 138. －17，18，(－1)n 1n9. 22610. (3n －2)×3n ＋1＝(3n －1)2 11. (1)64，8，15 (2)(n －1)2＋1，2n －1。
北师大版数学7年级上册3.5《探索与表达规律》同步练习
《探索与表达规律》同步练习A 100 B. 125 C. 150 D.175答案：C解析：解答：∵2=1+1=13+12，12=8+4=23+22，36=27+9=33+32，80=64+16=43+42，∴下一个数是53+52=125+25=150．（第n个数为n3+n2）．故选C分析:所给的数正好可以分成同一个数的立方与平方的和，从而得解.2.现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若S0可以为任意序列，则下面的序列可作为S1的是（）A．（1，2，1，2，2）B．（2，2，2，3，3）C．（1，1，2，2，3）D．（1，2，1，1，2）答案：D解析：解答:A.∵ 2有3个，∴不可以作为S1，故A选项错误；B.∵ 2有3个，∴不可以作为S1，故B选项错误；C.3只有1个，∴不可以作为S1，故C选项错误；D.符合定义的一种变换，故D选项正确．选：D．分析:根据题意可知，S1中2有2的倍数个，3有3的倍数个，据此即可作出选择3.将正奇数按下表排成5列：第一列第二列第三列第四列第五列第一行 1 3 5 7第二行15 13 11 9第三行17 19 21 23第四行31 29 27 25…根据上面规律，2007应在（）A．125行，3列B．125行，2列C．251行，2列D．251行，5列答案：D解析：解答: 因为（2007+1）÷2=2008÷2=1004所以2007是第1004个奇数；因为1004÷4=251，所以2007在第251行；又因为奇数行的数从小到大排列，偶数行的数从大到小排列，所以2007应在第5列，综上，可得2007应在第251行第5列．选：D．分析: 首先判断出2007是第1004个奇数；然后根据每行有4个奇数，用1004除以4，判断出2007在第251行；最后根据奇数行的数从小到大排列，偶数行的数从大到小排列，可得2007应在第5列，据此判断4. 一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（）A．8 B．9 C．13 D．15答案:A解析：解答:∵每个数都等于它前面的两个数之和，∴x=1+2=3，∴y=x+5=3+5=8，即这组数中y表示的数为8．故选：A分析: 根据每个数都等于它前面的两个数之和，可得x=1+2=3，y=x+5=3+5=8，据此解答即可.5.多位数139713…、684268…，都是按如下方法得到的：将第1位数字乘以3，积为一位数时，将其写在第2位；积为两位数时，将其个位数字写在第2位．对第2位数字进行上述操作得到第3位数字…后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字为4时，所得多位数前2014位的所有数字之和是（）A．10072 B．10066 C．10064 D．10060答案:B解析：解答:当第1位数字为4时，得到42684268…，每四个数字一循环，∵2014÷4=503…2，∴第2014位的数字是2，则（4+2+6+8）×503+4+2=20×503+6=10066．选：B．分析: 通过计算发现，每4位数为一个循环组依次循环，然后用2014除以4即可得出第2014位数字是第几个循环组的第几个数字，由此进一步计算得出答案6.小张在做数学题时，发现了下面有趣的结果：3-2=1，8+7-6-5=4，15+14+13-12-11-10=9，24+23+22+21-20-19-18-17=16，…根据以上规律可知，第20行左起第一个数是（）A．360 B．339 C．440 D．483答案:C解析：解答: ∵3=22-1，8=32-1，15=42-1，24=52-1，…∴第20个式子左起第一个数是：212-1=440．选：C．分析: 根据左起第一个数3，8，15，24…的变化规律得出第n行左起第一个数为（n+1）2-1，由此求出7.四个小朋友站成一排，老师按图中的规则数数，数到2015时对应的小朋友可得一朵红花．那么得红花的小朋友是（）A．小沈B．小叶C．小李D．小王答案:A解析：解答: 去掉第一个数，每6个数一循环，（2015-1）÷6=2014÷6=335…4，则2015时对应的小朋友与5对应的小朋友是同一个．选：C．分析: 从图上可以看出，去掉第一个数，每6个数一循环，用（2015-1）÷6算出余数，再进一步确定2015的位置8.观察下列数据：0，3，8，15，24…它们是按一定规律排列的，依照此规律，第201个数据是（）A．40400 B．40040 C．4040 D．404答案:A解析：解答: ∵0=12-1，3=22-1，8=32-1，15=42-1，24=52-1，…，∴第201个数据是：2012-1=40400．选A．分析: 观察不难发现，各数据都等于完全平方数减1，然后列式计算即可得解9.对于每个正整数n，设f（n）表示n（n+1）的末位数字．例如：f（1）=2（1×2的末位数字），f（2）=6（2×3的末位数字），f（3）=2（3×4的末位数字），…则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）的值为（）A．6 B．4022 C．4028 D．6708答案:C解析：解答:∵f（1）=2（1×2的末位数字），f（2）=6（2×3的末位数字），f（3）=2（3×4的末位数字），f（4）=0，f（5）=0，f（6）=2，f（7）=6，f（8）=2，f（9）=0，…，∴每5个数一循环，分别为2，6，2，0，0…∴2012÷5=402..2∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=2+6+2+0+0+2+6+2+…+2+6=402×（2+6+2）+8=4028．选：C．分析: 首先根据已知得出规律，f（1）=2（1×2的末位数字），f（2）=6（2×3的末位数字），f（3）=2（3×4的末位数字），f（4）=0，f（5）=0，f（6）=2，f（7）=6，f（8）=2，f（9）=0，…，进而求出10.两列数如下：7，10，13，16，19，22，25，28，31，…7，11，15，19，23，27，31，35，39，…第1个相同的数是7，第10个相同的数是（）A．115 B．127 C．139 D．151答案:A解析：解答: 第一组数7，10，13，16，19，22，25，28，31，…第m个数为：3m+4，第二组数7，11，15，19，23，27，31，35，39，…第n个数为：4n+3，∵3与4的最小公倍数为12，∴这两组数中相同的数组成的数列中两个相邻的数的差值为12，∵第一个相同的数为7，∴相同的数的组成的数列的通式为12a-5，第10个相同的数是：12×10-5=120-1=115．选：A．分析: 根据两组数的变化规律写出两组数的通式，从而得到它们的相同数列中两个相邻的数的差值，再结合第一个相同的数写出通式，然后把序数10代入进行计算11.对正整数n，记n!=1×2×3×…×n，则1!+2!+3!+…+10!的末尾数为（）A．0 B．1 C．3 D．5答案:C解析：解答: ∵1!=1，2!=1×2=2，3!=1×2×3=6，4!=1×2×3×4=24，而5!、…、10!的数中都含有2与5的积，∴5!、…、10!的末尾数都是0，∴1!+2!+3!+…+10!的末尾数为3．选C．分析: 根据n!=1×2×3×...×n得到1!=1，2!=1×2=2，3!=1×2×3=6，4!=1×2×3×4=24，且5!、...、10!的数中都含有2与5的积，则5!、...、10!的末尾数都是0，于是得到1!+2!+3!+ (10)的末尾数为312.一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（）A．8 B．9 C．13 D．15答案:A解析：解答: ∵每个数都等于它前面的两个数之和，∴x=1+2=3，∴y=x+5=3+5=8，即这组数中y表示的数为8．选：A．分析: 根据每个数都等于它前面的两个数之和，可得x=1+2=3，y=x+5=3+5=8，据此解答13.下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为（）A．135 B．170 C．209 D．252答案:C解析：解答: ∵a+（a+2）=20，∴a=9，∵b=a+1，∴b=a+1=9+1=10，∴x=20b+a=20×10+9=200+9=209选：C．分析: 首先根据图示，可得第n个表格的左上角的数等于n，左下角的数等于n+1；然后根据4-1=3，6-2=4，8-3=5，10-4=6，…，可得从第一个表格开始，右上角的数与左上角的数的差分别是3、4、5、…，n+2，据此求出a的值是多少；最后根据每个表格中右下角的数等于左下角的数与右上角的数的积加上左上角的数，求出x的值14.把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（）A．（31，50）B．（32，47）C．（33，46）D．（34，42）答案:B解析：解答：2015是第201512+=1008个数，设2015在第n组，则1+3+5+7+…+（2n-1）≥1008，即()1212n n+-≥1008，解得：当n=31时，1+3+5+7+…+61=961；当n=32时，1+3+5+7+…+63=1024；故第1008个数在第32组，第1024个数为：2×1024-1=2047，第32组的第一个数为：2×962-1=1923，则2015是（201512923-+1）=47个数．故A2015=（32，47）．选B．分析:先计算出2015是第1008个数，然后判断第1008个数在第几组，再判断是这一组的第几个数15.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，请根据这组数的规律写出第10个数是（）A．25 B．27 C．55 D．120答案:C解析：解答：1+1=2，1+2=3，2+3=5，3+5=8，5+8=13，8+13=21，13+21=34，21+34=55．所以第10个数是55．选C．分析: 观察发现，从第三个数开始，后一个数是前两个数的和，依次计算求解得之差在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，-1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可以产生一个新数串：3，3，6，3，9，-10，9，8，依此类推，则从数串，开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是___答案:520解析：解答:一个依次排列的n个数组成一个数串：a1，a2，a3，…，a n，依题设操作方法可得新增的数为：a2- a1，a3- a2，a4- a3，a n- a n -1，所以，新增数之和为：（a2- a1）+（a3- a2）+（a4- a3）+…+（a n - a n -1）= a n - a1，原数串为3个数：3，9，8，第1次操作后所得数串为：3，6，9，-1，8，根据（*）可知，新增2项之和为：6+（-1）=5=8-3，第2次操作后所得数串为：3，3，6，3，9，-10，-1，9，8，根据（*）可知，新增2项之和为：3+3+（-10）+9=5=8-3，按这个规律下去，第100次操作后所得新数串所有数的和为：（3+9+8）+100×（8-3）=520，答案为：520．分析: 根据题意，计算可得第1次操作后所得数串为：3，6，9，-1，8；进而可得第2次操作后所得数串；分析可得其规律，运用规律可得答案17.将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第10行从左至右的第5个数是______答案: 50解析：解答: 由排列的规律可得，第n-1行结束的时候排了1+2+3+…+n-1=12n（n-1）个数．所以第n行从左向右的第5个数12n（n-1）+5．所以n=10时，第10行从左向右的第5个数为50．答案为：50．分析：先找到数的排列规律，求出第n-1行结束的时候一共出现的数的个数，再求第n行从左向右的第5个数，即可求出第10行从左向右的第5个数18.甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依次循环报数，规定：①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，按此规律，当报到的数是50时，报数结束；②若报出的数为3的倍数，则该报数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为_________答案:4解析：解答: ∵甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1．当报到的数是50时，报数结束；∴50÷4=12余2，∴甲共报数13次，分别为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，49，∴报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．在此过程中，甲同学需报到：9，21，33，45这4个数时，应拍手4次．答案为：4．分析: 根据报数规律得出甲共报数13次，分别为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，49，即可得出报出的数为3的倍数的个数，即可得出答案19.观察下列等式：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42，…，则1+3+5+7+…+2015= _________ 答案：1016064解析：解答：因为1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，所以1+3+5+…+2015=1+3+5+…+（2×1008-1）=10082=1016064答案为：1016064．分析: 根据1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，可得1+3+5+…+（2n-1）=n2，据此求出1+3+5+…+2015的值20.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是________ 答案：45解析：解答: 第9个三角形数是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45分析: 根据所给的数据发现：第n个三角形数是1+2+3+…+n，由此代入分别求得答案52-1=24=8×3，72-1=48=8×6，92-1=80=8×10，…你发现了什么？答案:（2n+1）2-1=8×（1+2+3+…+n）解答: （1）n=1时，（2×1+1）2-1=8×1；n=2时，（2×2+1）2-1=24=8×（1+2）；n=3时，（2×3+1）2-1=48=8×（1+2+3）；n=4时，（2×4+1）2-1=80=8×（1+2+3+4）；…n=n时，（2n+1）2-1=8×（1+2+3+…+n）．即发现的规律为：（2n+1）2-1=8×（1+2+3+…+n）解析：分析: 式子的左边是一个奇数的平方减去1；等式右边是8的倍数，即（2n+1）2-1=8×（1+2+3+…+n）22.观察下列各式你会发现什么规律？1×5=5，而5=32-222×6=12，而12=42-223×7=21，而21=52-22…（1）求10×14的值，并写出与题目相符合的形式；答案:解答: 10×14=140=122-22；（2）将你猜想的规律用只含一个字母n的等式表示出来，并说明等式的正确性．答案: n（n+4）=（n+2）2-22．解答:第n个等式为n（n +4）=（n+2）2-22．∵左边= n（n +4）=n2+4n右边=（n +2）2-22=n2+4n+4-4═n2+4n左边=右边∴n（n+4）=（n+2）2-22．解析：分析: 由1×5=5，而5=5=32-22；2×6=12，而12=42-22；3×7=21，而21=52-22…可以看出两个因数相差4，所得的积是大的因数减去2的差的平方再减去2的平方，由此规律计算23.有规律排列的一列数：2、4、6、8…它的每一项可用式子2n（n是正整数）来表示；有规律的一列数：1、-2、3、-4、5、-6、7、-8…它的第100个数是什么？第n个数是什么？答案：100个数是-100，第n个数，（-1）n+1n；解析：解答：（1）奇数为正数，偶数为负数，并且第n个数的绝对值为n，所以100个数是-100，第n个数，（-1）n+1n；分析: 先得到符号的规律，再得到绝对值的规律即可；24.观察下列等式：12-02 ①，22-12 ②，32-22 ③，42-32 ④，…（1）按此规律猜想写出第⑥和第⑩个算式；答案：观察所给的4个算式，可知⑥、⑩个算式为：62-52，102-92；（2）请用含自然数n的等式表示这种规律．答案：用含自然数n的式子表示这种规律为：n2-（n-1）2解析：解答：（1）观察所给的4个算式，可知⑥、⑩个算式为：62-52，102-92；（2）用含自然数n的式子表示这种规律为：n2-（n-1）2分析: 本题考查规律型终端额数字变化问题，比较简单，考查学生的观察和总结能力25.观察：4×6=24，14×16=224，24×26=624，34×36=1224…，（1）上面两数相乘后，其末尾的两位数有什么规律？答案：末尾都是24；（2）如果按照上面的规律计算：124×126（请写出计算过程）．答案：124×126=12×（12+1）×100+24=15600+24=15624；答案：（10a+4）（10a+6）=100a2+100a+24=100a（a+1）+24．解析：分析:本题考查了数字的变化类问题，仔细观察算式发现规律是解答本题的关键。
北师大版七年级数学上册《探索与表达规律》专项练习(含答案)
试题汇编——找规律1、如图所示，观察小圆圈的摆放规律，第一个图中有5个小圆圈，第二个图中有8个小圆圈，第100个图中有__________个小圆圈．（1） （2） （3）2、 找规律．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，则第4幅图中有 个菱形,第n 幅图中有 个菱形．3、用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需棋子 枚（用含n 的代数式表示）.4、观察表一，寻找规律．表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中a 、b 、c 的值分别为______________．5、如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面．如果铺成一个22⨯的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个33⨯的正方形1 2 3 n … … 第1个图 第2个图 第3个图…图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个44⨯的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．若这样铺成一个1010⨯的正方形图案， 则其中完整的圆共有 个．6、 如下图,用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n 个图案需要用白色棋子 枚（用含有n 的代数式表示，并写成最简形式）.○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ ○ ○ ○ ● ● ○ ○ ● ● ● ○○ ● ○ ○ ● ● ○ ○ ● ● ● ○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ● ● ● ○○ ○ ○ ○ ○7、用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第334个图形 需 根火柴棒。
8、将正整数按如图5所示的规律排列下去，若有序实数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数17的有序实数对是 ．9、如图 2 ，用n 表示等边三角形边上的小圆圈，f(n)表示这个三角形中小圆圈的总数，那么f(n)和n 的关系是第一排 第二排 第三排 第四排 6 ┅┅ 10 9 87 32 15 410、观察图4的三角形数阵，则第50行的最后一个数是 （ ）1-2 3-4 5 -67 -8 9 -10。
北师大版数学七年级上《3.5探索与表达规律》同步练习(有答案)
北师大版数学七年级上册同步练习3.5 探索与表达规律学校:___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共10小题）1．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（）A．2B． C．5 D．2．观察图中的“品”字形中个数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）A．75 B．89 C．103 D．1393．农夫将苹果树种在正方形的果园内．为了保护苹果树不怕风吹，他在苹果树的周围种针叶树．在下图里，你可以看到农夫所种植苹果树的列数（n）和苹果树数量及针叶树数量的规律：当n为某一个数值时，苹果树数量会等于针叶树数量，则n为（）A．6 B．8 C．12 D．164．观察下列关于自然数的式子：4×12﹣12①4×22﹣32②4×32﹣52③…根据上述规律，则第2021个式子的值是（）A．8068 B．8069 C．8070 D．80715．如图，四个小朋友站成一排，老师按图中所示的规则数数，数到2021时对应的小朋友可得一朵红花，那么得红花的小朋友是（）A．小沈B．小叶C．小李D．小王6．把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：第一组：2，4；第二组：6，8，10，12；第三组：14，16，18，20，22，24第四组：26，28，30，32，34，36，38，40……则现有等式A m=（i，j）表示正偶数m是第i组第j个数（从左到又数），如A10=（2，3），则A2021=（）A．（31，63）B．（32，17）C．（33，16）D．（34，2）7．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值应是（）A．110 B．158 C．168 D．1788．将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则2021应在（）A．A处B．B处 C．C处 D．D处9．如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M与m、n的关系是（）A．M=mn B．M=m（n+1）C．M=mn+1 D．M=n（m+1）10．将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，……，按如图所示有序排列，根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰6”中D的位置是有理数（），2022应排在A、B、C、D、E中的（）位置．其中两个填空依次为（）A．29，C B．﹣29，D C．30，B D．﹣31，E二．填空题（共5小题）11．已知a＞0，S1=，S2=﹣S1﹣1，S3=，S4=﹣S3﹣1，S5=，…（即当n为大于1的奇数时，S n=；当n为大于1的偶数时，S n=﹣S n﹣1﹣1），按此规律，S2021=．12．按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，，，，…，则这个数列前2021个数的和为．13．根据下列各式的规律，在横线处填空：，，=，…，+﹣=14．将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是．15．将数1个1，2个，3个，…，n个（n为正整数）顺次排成一列：1，，…，记a1=1，a2=，a3=，…，S1=a1，S2=a1+a2，S3=a1+a2+a3，…，S n=a1+a2+…+a n，则S2021=．三．解答题（共4小题）16．观察以下等式：第1个等式： ++×=1，第2个等式： ++×=1，第3个等式： ++×=1，第4个等式： ++×=1，第5个等式： ++×=1，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．17．（1）根据下列算式的规律填空：﹣=，﹣=，﹣=，﹣=，第n个算式为；（2）利用上述规律计算： ++…=．18．如图，将连续的奇数1，3，5，7…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用a，b，c，d，x表示．（1）若x=17，则a+b+c+d=．（2）移动十字框，用x表示a+b+c+d=．（3）设M=a+b+c+d+x，判断M的值能否等于2022，请说明理由．19．观察下列等式的规律，解答下列问题：a1=（+），a2=（+），a3=（+），a4=（+），……．（1）第5个等式为；第n个等式为（用含n的代数式表示，n 为正整数）；（2）设S1=a1﹣a2，S2=a3﹣a4，S3=a5﹣a6，……，S1008=a2021﹣a2021．求S1+S2+S3+……+S1008的值．参考答案一．选择题（共10小题）1．B．2．A．3．B．4．D．5．B．6．B．7．B．8．A．9．B．10．C．二．填空题（共5小题）11．﹣．12．．13．．14．2021．15．63．三．解答题（共4小题）16．（1）根据已知规律，第6个分式分母为6和7，分子分别为1和5故应填：（2）根据题意，第n个分式分母为n和n+1，分子分别为1和n﹣1故应填：证明：=∴等式成立17．（1）∵第1个算式为﹣==，第2个算式为﹣==，第3个算式为﹣==，∴第4个算式为﹣==，…∴第n个算式为﹣=．故答案为，﹣=；（2）由（1）可知﹣=，∴=﹣．∴++…=（++…+）=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=．故答案为．18．观察图1，可知：a=x﹣12，b=x﹣2，c=x+2，d=x+12．（1）当x=17时，a=5，b=15，c=19，d=29，∴a+b+c+d=5+15+19+29=68．故答案为：68．（2）∵a=x﹣12，b=x﹣2，c=x+2，d=x+12，∴a+b+c+d=（x﹣12）+（x﹣2）+（x+2）+（x+12）=4x．故答案为：4x．（3）M的值不能等于2022，理由如下：令M=2022，则4x+x=2022，解得：x=404．∵404是偶数不是奇数，∴与题目x为奇数的要求矛盾，∴M不能为2022．19．（1）由题意得：a5=；∴a n=（+）=；故答案为： +，；（2）由（1）可知a n=，∴S1=a1﹣a2=（1+）﹣（+）=1﹣，S2=a3﹣a4=（+）﹣（+）=﹣，S3=a5﹣a6=（+）﹣（+）=﹣，………S1008=a2021﹣a2021=（+）﹣（+）=﹣，∴S1+S2+S3+…+S1008，=（1﹣）+（）+（﹣）+…+（），=1﹣，=．。
北师大版初中数学七年级上册《3.5 探索与表达规律》同步练习卷(含答案解析
北师大新版七年级上学期《3.5 探索与表达规律》同步练习卷一．解答题（共37小题）1．阅读材料，求值：1+2+22+23+24+ (22015)解：设S=1+2+22+23+24+…+22015①，将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+…+22015+22016②②式减①式得2S﹣S=22016﹣1即S=22016﹣1所以1+2+22+23+24+…+22015=22016﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+ (2)（2）利用（1）的结论计算1×1+2×2+3×22+4×23+…+99×298+100×299．2．计算：1+3+32+33+34+…+399+3100时，可设S=1+3+32+33+34+…+399+3100 ①则：3S=3+32+33+34+…+3100+3101②②﹣①得2S=3101﹣1∴S=试利用上述方法计算：1+8+82+ (82006)3．阅读下列材料：因为=，=，=，=，…所以+++…+=．解答下列问题：（1）在和式+++…中，第五项为，第n项为．（2）利用上述结论计算：+++…+．4．若=+，对任意自然数n都成立，（1）求a，b的值；（2）试根据（1）的变式，计算：+++…+．5．（1）先观察，然后想一想其中的规律，并利用你所想的规律计算．==，==，==，请你计算：+．（2）试计算（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）的值．6．看清题目，奇思妙算．规定：正整数的“运算”是①当n为奇数时，H=3n+13；②当n为偶数时，H=n×××…（其中H为奇数）如：数n=3经过1次“运算”的结果是22（=3×3+13），经过2次“运算”的结果是11（=22×），经过3次“运算”的结果是46（=11×3+13），经过4次“运算”的结果是23（=46×），请解答：数257经这257次“H运算”得到的结果．7．观察下列计算过程，发现规律，利用规律猜想并计算：1+2==3；1+2+3==6，1+2+3+4==10；1+2+3+4+5= =15；…（1）猜想：1+2+3+4+…+n=．（2）利用上述规律计算：1+2+3+4+ (200)（3）尝试计算：3+6+9+12+…3n的结果．8．观察下列各等式：13=1=×11×2213+23=9=×22×3213+23+33=36=×32×42…用你发现的规律解答下列问题：（1）填空：13+23+33+…+（n﹣1）3+n3=×（）2×（）2（n为正整数）；（2）计算：①13+23+33+…+493+503；②23+43+63+…+983+10039．阅读下列材料：1×2=（1×2×3﹣0×1×2）2×3=（2×3×4﹣1×2×3）3×4=（3×4×5﹣2×3×4）由以上三个等式相加，可得：1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20读完以上材料，请你计算下列各题：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（写出过程）（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=；（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+9×10×11=．10．观察下列等式：=（1﹣），=（﹣），=（﹣），…（1）猜想并写出第n个等式；【猜想】（2）计算：+++…+．11．求1+2+22+23+…+22016的值，令S=1+2+22+23+…+22016，则2S=2+22+23+…+22016+22017，因此2S﹣S=22017﹣1，S=22017﹣1．参照以上推理，计算5+52+53+…+52016的值．12．观察下列等式：=1﹣，=﹣，，将以上三个等式两边分别相加得：++=1﹣+﹣+﹣=1﹣=（1）猜想并写出：=（2）直接写出下列各式的计算结果：+++…+=（3）探究并计算：+++…+．13．观察下列各等式，并回答问题：=1﹣；=；=；=；…（1）填空：=（2）猜想：=（n是正整数）（3）计算：…．14．观察下列等式：=1﹣，=﹣，=﹣，…，=﹣将以上等式两边分别相加，可得+++…=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣+﹣﹣+…﹣=1﹣=用你发现的规律解答下列问题（1）猜想并写出：=（2）直接写出下列各式的计算结果：①+++…+=；②+++…+=；（3）探究并计算：+++…+．15．观察下列算式：①1×3﹣22=3﹣4=﹣1②2×4﹣32=8﹣9=﹣1③3×5﹣42=15﹣16=﹣1④…（1）请你按以上规律写出第4个算式；（2）再按以上规律写出第n个算式（n为正整数）．16．先阅读下面例题的解题过程，再解答后面的题目：例：计算：1+2+22+23+…+2100解：设S=1+2+22+23+…+2100（1）则2S=2+22+23+24+…+2101（2）（2）﹣（1）得：S=2101﹣1请计算：1+5+52+53+ (52018)17．阅读观察下列解题过程：例：计算+++…++解：因为==﹣所以+++…++=﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣=1﹣=计算：+++…+．18．探究与应用请观察下列各式：①，②，③，④．（1）第10个算式为=；（2）请计算：+++…+；（3）请参照以上各式特点计算：+++…+．19．观察下列等式：第1个等式：a1==（1﹣）第2个等式：a2==（﹣）第3个等式：a3==（﹣）第4个等式：a4==（﹣）…请回答下列问题：（1）按上述等式的规律，列出第5个等式：a5==（2）用含n的式子表示第n个等式：a n==（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．20．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22016+22017，等式两边同时乘2得：2S=2++22+23+24+25…+22017+22018将下式减去上式得：2S﹣S=22018﹣1S=22018﹣1即1+2+22+23+24+…+22017=22018﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．21．如果我们要计算1+2+22+23+…+299+2100的值，我们可以用如下的方法：解：设S=1+2+22+23+…+299+2100•式在等式两边同乘以2，则有2S=2+22+23+…+299+2100+2101‚式‚式减去 式，得2S﹣S=2101﹣1即S=2101﹣1即1+2+22+23+…+299+2100=2101﹣1【理解运用】计算（1）1+3+32+33+…+399+3100（2）1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100．22．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22017，将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+25+…+22018将下式减去上式得2S﹣S=22018﹣1 即S=22018﹣1即1+2+22+23+24+…+22017=22018﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+ (32016)23．阅读理解并解答：为了求1+2+22+23+24+…+22013的值．可令S=1+2+22+23+24+…+22013，则2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014因此2S﹣S=（2+22+23+…+22013+22014）﹣（1+2+22+23+…+22013）=22014﹣1．所以：S=22014﹣1．即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1．请依照此法，求：1+5+52+53+54+…+52016的值．24．德国著名数学家高斯在上小学时，有一次老师让同学计算“从1到100这100个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程．解：设S=1+2+3+…+100，①则S=100+99+98+…+1．②①+②，得2S=101+101+101+ (101)所以2S=100×101，S=×100×101=50×101=5050所以1+2+3+…+100=5050．后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．阅读上面扥文字，解答下面的问题：（1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：1+2+3+ (200)（2）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：1+2+3+…+n．（3）请你利用（2）中的结论计算：1+2+3+ (2000)25．请先阅读下列一组内容，然后解答问题：因为：=1﹣，=﹣，=﹣…=﹣所以：+++…+=+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣+﹣+…+﹣=1﹣=问题：计算：①+++…+；②+++…+．26．观察下列等式：=1，，．再以上三个等式两边分别相加得：=1=1﹣．（1）猜想并写出：=．（2）直接写出下列各式的计算结果：①=．②．（3）探究并计算：．27．观察下列等式=﹣，=﹣，=1﹣，++=1﹣+﹣+﹣=1﹣=以上三个等式两边分别相加得：（1）猜想并写出：=；（2）直接写出下列各式的计算结果：+++…+ =；（3）探究并计算：+++…+．28．连续整数之间有许多神奇的关系，如：32+42=52，这表明三个连续整数中较小两个数的平方和等于最大数的平方，称这样的正整数组为“奇幻数组”，进而推广：设三个连续整数为a，b，c（a ＜b＜c）若a2+b2=c2，则称这样的正整数组为“奇幻数组”；若a2+b2＜c2，则称这样的正整数组为“魔幻数组”；若a2+b2＞c2，则称这样的正整数组为“梦幻数组”（1）若有一组正整数组为“魔幻数组”，写出所有的“魔幻数组”；（2）现有几组“科幻数组”具有下面的特征：若有3个连续整数：=2；若有5个连续整数：=2；若有7个连续整数：=2；…由此获得启发，若存在n（7＜n＜11）个连续正整数也满足上述规律，求这n个数．29．计算：观察下面的变形规律：=1﹣；=﹣；=﹣；…解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想=；（2）求和：+++…+；（3）求和：+++…+；（4）求和+++…+．30．观察下列三行数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…①0，6，﹣6，18，﹣30，…②﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…③（1）第①行的数按什么规律排列？写出第①行的第n个数；（2）第②、③行数与第①行数分别有什么关系？（3）取每行第7个数，计算这三个数的和．31．阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，1+2+3+…10=？经过研究，这个问题的一般结论是1+2+3+…+n=n（n+1），其中n是正整数，现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）=？观察下面三个特殊的等式：1×2=（1×2×3﹣0×1×2）2×3=（2×3×4﹣1×2×3）3×4=（3×4×5﹣2×3×4）将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20读完这段材料，请你计算：（1）1×2+2×3+…+100×101（2）1×2+2×3+…+n（n+1）（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）32．阅读下列材料：1×2=（1×2×3﹣0×1×2），2×3=（2×3×4﹣1×2×3），3×4=（3×4×5﹣2×3×4），由以上三个等式相加，可得：1×2+2×3+3×4=（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）=（1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+3×4×5﹣2×3×4）=×3×4×5=20．根据以上材料，请你完成下列各题：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11；（写出过程）（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=；（用含n的代数式表示）（3）根据以上学习经验，猜想1×2×3+2×3×4+…+18×19×20=．（写出最后结果）33．阅读理解：为了求1+3+32+33+…+3100的值，可M=1+3+32+33+…+3100，则3M=3+32+33+34+…+3101，因此3M﹣M=3101﹣1．所以M=，即1+3+32+33+…+3100=．问题解决：仿照上述方法求下列式子的值．（1）1+4+42+43+ (420)（2）5101+5102+5103+ (52016)34．先阅读并填空，再解答问题：我们知道，，，那么（1）=；=．（2）用含有n的式子表示你发现的规律：．（3）依据（2）中的规律计算：．（写解题过程）（4）的值为．35．阅读与理解在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算法则“⊕”：a⊕b⊕c=（|a﹣b﹣c|+a+b+c）．如：（﹣1）⊕2⊕3=[|﹣1﹣2﹣3|+（﹣1）+2+3]=5解答下列问题：（1）计算：3⊕（﹣2）⊕（﹣3）的值；（2）在﹣，﹣，﹣，…，﹣，0，，，，…，这15个数中，任意取三个数作为a，b，c的值，进行“a⊕b⊕c”运算，求在所有计算结果中的最大值．36．观察下列算式，你发现了什么规律？13=；13+23=，13+23+33=；13+23+33+43=；…（1）根据你发现的规律，计算下面算式的值：13+23+33+43+53；（2）请用一个含n的算式表示这个规律：13+23+33+…+n3=．37．观察下列式子：=1﹣，=﹣，=﹣…将以上三个等式两边分别相加得：++=1﹣+﹣+﹣=1﹣=用你发现是规律解答下列问题：（1）①+++…+=．②+++…+=（其中n为大于1的自然数）．（2）探究并计算：+++…+．北师大新版七年级上学期《3.5 探索与表达规律》同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共37小题）1．阅读材料，求值：1+2+22+23+24+ (22015)解：设S=1+2+22+23+24+…+22015①，将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+…+22015+22016②②式减①式得2S﹣S=22016﹣1即S=22016﹣1所以1+2+22+23+24+…+22015=22016﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+ (2)（2）利用（1）的结论计算1×1+2×2+3×22+4×23+…+99×298+100×299．【分析】（1）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到1+2+22+23+…+2n的值；（2）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到结果．【解答】解：（1）设S=1+2+22+23+24+…+2n，则2S=2+22+23+24+…+2n+1，∴2S﹣S=S=2n+1﹣1，则1+2+22+23+24+…+2n=2n+1﹣1；（2）设S=1×1+2×2+3×22+4×23+…+99×298+100×299，①∴2S=2+2×22+3×23+…+99×299+100×2100，②①﹣②得，﹣S=1+2+22+23+24+…+299﹣100×2100=2100﹣1﹣100×2100，∴1×1+2×2+3×22+4×23+…+99×298+100×299=1+99×2100．【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．2．计算：1+3+32+33+34+…+399+3100时，可设S=1+3+32+33+34+…+399+3100 ①则：3S=3+32+33+34+…+3100+3101②②﹣①得2S=3101﹣1∴S=试利用上述方法计算：1+8+82+ (82006)【分析】仿照阅读材料中的方法求出所求即可．【解答】解：设S=1+8+82+ (82006)则8S=8+82+ (82007)∴8S﹣S=7S=82007﹣1，则S=1+8+82+…+82006=．【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．3．阅读下列材料：因为=，=，=，=，…所以+++…+=．解答下列问题：（1）在和式+++…中，第五项为，第n项为．（2）利用上述结论计算：+++…+．【分析】（1）由已知等式得出第n项为，据此可得；（2）利用裂项法得出原式=×（﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣），进一步运算可得．【解答】解：（1）∵第1项=，第2项=，第3项=，∴第5项为=，第n项为，故答案为：，；（2）原式=×（﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣）=×（﹣+﹣+﹣+…+﹣）=×（﹣）=×=．【点评】本题主要考查数字的变化规律和分式的化简，根据题意得出第n项为且=（﹣）是解题的关键．4．若=+，对任意自然数n都成立，（1）求a，b的值；（2）试根据（1）的变式，计算：+++…+．【分析】（1）由+=结合=+对任意自然数n都成立得出，解之可得；（2）利用（1）中的结论可得，原式=×（1﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣），进一步计算可得．【解答】解：（1）+==，∵=+对任意自然数n都成立，∴，解得：；（2）由（1）知，+++…+=×（1﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣）=×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=×（1﹣）=×=．【点评】本题主要考查分式的化简、解方程组的能力及数字的变化规律，将分式变形由等式对任意自然数n都成立得出关于a、b的方程组及利用已得结论裂项求解是解题的关键．5．（1）先观察，然后想一想其中的规律，并利用你所想的规律计算．==，==，==，请你计算：+．（2）试计算（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）的值．【分析】（1）利用连续整数乘积的倒数等于两整数倒数的差，将原式拆解开，再计算即可得；（2）先计算括号内的减法，再计算乘法即可得．【解答】解：（1）原式=﹣+﹣+﹣+…+﹣=﹣=﹣=；（2）原式=××…××=．【点评】本题主要考查数字的变化规律，根据题意得出连续整数乘积的倒数等于两整数倒数的差是解题的关键．6．看清题目，奇思妙算．规定：正整数的“运算”是①当n为奇数时，H=3n+13；②当n为偶数时，H=n×××…（其中H为奇数）如：数n=3经过1次“运算”的结果是22（=3×3+13），经过2次“运算”的结果是11（=22×），经过3次“运算”的结果是46（=11×3+13），经过4次“运算”的结果是23（=46×），请解答：数257经这257次“H运算”得到的结果．【分析】按照①②运算一次一次的输入，得出它们的结果，从中发现规律，从第10次开始偶数次等于1，奇数次等于16．从而求数257经过257次“H运算”得到的结果．【解答】解：1次=3×257+13=7842次=784×0.5×0.5×0.5×0.5=493次=3×49+13=1604次=160×0.5×0.5×0.5×0.5×0.5=55次=3×5+13=286次=28×0.5×0.5=77次=3×7+13=348次=34×0.5=179次=3×17+13=6410次=64×0.5×0.5×0.5×0.5×0.5×0.5=111次=3×1+13=1612次=16×0.5×0.5×0.5×0.5=1=第10次所以从第10次开始，偶数次等于1、奇数次等于16，∵257是奇数所以第257次是16．【点评】此题考查了数字的变化规律；关键是找出规律：从第10次开始，偶数次等于1、奇数次等于16．7．观察下列计算过程，发现规律，利用规律猜想并计算：1+2==3；1+2+3==6，1+2+3+4==10；1+2+3+4+5= =15；…（1）猜想：1+2+3+4+…+n=．（2）利用上述规律计算：1+2+3+4+ (200)（3）尝试计算：3+6+9+12+…3n的结果．【分析】（1）从1开始连续自然数的和，等于两端的数相加乘数的个数，再除以2，由此得出答案即可；（2）利用（1）的规律计算即可；（3）把整体和提公因式3可进行计算．【解答】解：（1）1+2+3+4+…+n=；故答案为：；（2）1+2+3+4+…+200==20100．（3）3+6+9+12+…3n=3（1+2+3+4+…+n）=．【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律是解决问题的关键．8．观察下列各等式：13=1=×11×2213+23=9=×22×3213+23+33=36=×32×42…用你发现的规律解答下列问题：（1）填空：13+23+33+…+（n﹣1）3+n3=×（n）2×（n+1）2（n为正整数）；（2）计算：①13+23+33+…+493+503；②23+43+63+…+983+1003【分析】（1）括号内是两个连续的自然数，最小的数与等号左边的最大底数相同；（2）①根据规律得所有底数和的平方，计算即可；②提公因式23，可得结论．【解答】解：（1）13+23+33+…+（n﹣1）3+n3=×n2×（n+1）2（n为正整数）；故答案为：n，n+1；（2）计算：①13+23+33+…+493+503；=（1+2+3+…+50）2，=[]2，=12752，=1625625，②23+43+63+…+983+1003，=23（13+23+33+…+503），=8×1625625，=13005000．【点评】此题考查算式的规律，注意结果与等式左边的各个数的关系是解题的关键，并进一步利用规律解决问题．9．阅读下列材料：1×2=（1×2×3﹣0×1×2）2×3=（2×3×4﹣1×2×3）3×4=（3×4×5﹣2×3×4）由以上三个等式相加，可得：1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20读完以上材料，请你计算下列各题：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（写出过程）（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=n（n+1）（n+2）；（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+9×10×11=2970．【分析】根据给定等式的变化找出变化规律“n（n+1）=[n（n+1）（n+2）﹣（n ﹣1）n（n+1）]”．（1）根据变化规律将算式展开后即可得出原式=×10×11×12，此题得解；（2）根据变化规律将算式展开后即可得出原式=n（n+1）（n+2），此题得解；（3）通过类比找出变化规律“n（n+1）（n+2）=[n（n+1）（n+2）（n+3）﹣（n ﹣1）n（n+1）（n+2）]”，依此规律将算式展开后即可得出结论．【解答】解：观察，发现规律：1×2=（1×2×3﹣0×1×2），2×3=（2×3×4﹣1×2×3），3×4=（3×4×5﹣2×3×4），…，∴n（n+1）=[n（n+1）（n+2）﹣（n﹣1）n（n+1）]．（1）原式=（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+（10×11×12﹣9×10×11），=×10×11×12，=440．（2）原式=（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+[n（n+1）（n+2）﹣（n﹣1）n（n+1）]，=n（n+1）（n+2）．故答案为：n（n+1）（n+2）．（3）观察，发现规律：1×2×3=（1×2×3×4﹣0×1×2×3），2×3×4=（2×3×4×5﹣1×2×3×4），3×4×5=（3×4×5×6﹣2×3×4×5），…，∴n（n+1）（n+2）=[n（n+1）（n+2）（n+3）﹣（n﹣1）n（n+1）（n+2）]，∴原式=（1×2×3×4﹣0×1×2×3）+（2×3×4×5﹣1×2×3×4）+（3×4×5×6﹣2×3×4×5）+…+（9×10×11×12﹣8×9×10×11），=×9×10×11×12，=2970．故答案为：2970．【点评】本题考查了规律型中数字的变化类以及有理数的混合运算，根据等式的变化找出变化规律是解题的关键．10．观察下列等式：=（1﹣），=（﹣），=（﹣），…（1）猜想并写出第n个等式；【猜想】（2）计算：+++…+．【分析】（1）根据所给出的等式找出规律，即可得出第n个算式；（2）根据（1）得出的规律解答即可．【解答】解：（1）第n个等式为：；（2）===．【点评】此题考查数字的变化规律，发现规律，利用规律解决问题．11．求1+2+22+23+…+22016的值，令S=1+2+22+23+…+22016，则2S=2+22+23+…+22016+22017，因此2S﹣S=22017﹣1，S=22017﹣1．参照以上推理，计算5+52+53+…+52016的值．【分析】仿照例题可设S=5+52+53+…+52016，从而得出5S=52+53+…+52017，二者做差后即可得出结论．【解答】解：设S=5+52+53+...+52016，则5S=52+53+ (52017)∴5S﹣S=52+53+…+52017﹣（5+52+53+…+52016）=52017﹣5，∴S=．【点评】本题考查了规律型中数字的变化类以及有理数的混合运算，仿照例题找出4S=52017﹣5是解题的关键．12．观察下列等式：=1﹣，=﹣，，将以上三个等式两边分别相加得：++=1﹣+﹣+﹣=1﹣=（1）猜想并写出：=﹣（2）直接写出下列各式的计算结果：+++…+=（3）探究并计算：+++…+．【分析】（1）先根据题中所给出的列子进行猜想，写出猜想结果即可；（2）根据（1）中的猜想计算出结果；（3）根据乘法分配律提取，再计算即可求解．【解答】解：（1）=﹣，故答案为：﹣，；（2）+++…+=1﹣+…+﹣=1﹣=，故答案为：；（3）+++…+=（+++…+）=（1﹣）=×=．【点评】本题考查的是有理数的混合运算，根据题意找出规律是解答此题的关键．13．观察下列各等式，并回答问题：=1﹣；=；=；=；…（1）填空：=﹣（2）猜想：=﹣（n是正整数）（3）计算：…．【分析】（1）根据已知等式的规律：两个连续整数乘积的倒数等于这两个数倒数的差，即可得；（2）根据（1）中的规律可得；（3）利用（1）中的规律，裂项求和可得．【解答】解：（1）根据题意，得：=﹣，故答案为：﹣；（2）猜想：=﹣，故答案为：﹣；（3）原式=1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．【点评】本题主要考查数字的变化规律，根据已知等式得出两个连续整数乘积的倒数等于这两个数倒数的差是解题的关键．14．观察下列等式：=1﹣，=﹣，=﹣，…，=﹣将以上等式两边分别相加，可得+++…=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣+﹣﹣+…﹣=1﹣=用你发现的规律解答下列问题（1）猜想并写出：=﹣（2）直接写出下列各式的计算结果：①+++…+=；②+++…+=1﹣；（3）探究并计算：+++…+．【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（2）两式利用得出的规律变形，计算即可得到结果；（3）先探索当分母为连续偶数时如何写成差的形式，再计算．【解答】解：（1）=﹣；故答案为：﹣；（2）①+++…+=1﹣+﹣+﹣，…+﹣=；②+++…+=﹣1﹣+﹣+﹣，…+﹣=1﹣；故答案为：；1﹣；（3）+++…+=（+++…+）=（1﹣+﹣+﹣，…+﹣）=（1﹣）=．【点评】此题考查了分式的加减法，弄清拆项法则是解本题的关键．15．观察下列算式：①1×3﹣22=3﹣4=﹣1②2×4﹣32=8﹣9=﹣1③3×5﹣42=15﹣16=﹣1④4×6﹣52=24﹣25=﹣1…（1）请你按以上规律写出第4个算式﹣1；（2）再按以上规律写出第n个算式（n为正整数）n（n+2）﹣（n+1）2=﹣1．【分析】根据题目给出的规律即可求出当．【解答】解：（1）4×6﹣52=24﹣25=﹣1（2）n（n+2）﹣（n+1）2=﹣1故答案为：（1）﹣1；（2）n（n+2）﹣（n+1）2=﹣1【点评】本题考查数字规律，解题的关键是正确理解题目给出的规律，本题属于基础题型．16．先阅读下面例题的解题过程，再解答后面的题目：例：计算：1+2+22+23+…+2100解：设S=1+2+22+23+…+2100（1）则2S=2+22+23+24+…+2101（2）（2）﹣（1）得：S=2101﹣1请计算：1+5+52+53+ (52018)【分析】根据题意设出5S，进而解答即可．【解答】解：设S=1+5+52+53+…+52018（1）则5S=5+52+53+…+52019（2）（2）﹣（1）得：4S=52019﹣1∴S=．【点评】此题考查规律型：数字的变化，关键是设出5S，进而解答．17．阅读观察下列解题过程：例：计算+++…++解：因为==﹣所以+++…++=﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣=1﹣=计算：+++…+．【分析】利用=×（﹣）列项求解可得．【解答】解：+++…+=×（1﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣）=×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=×（1﹣）=×=．【点评】本题主要考查数字的变化规律，熟练掌握=×（﹣）列项求解是解题的关键．18．探究与应用请观察下列各式：①，②，③，④．（1）第10个算式为=﹣；（2）请计算：+++…+；（3）请参照以上各式特点计算：+++…+．【分析】（1）第1个算式的分子为1，分母为1×2，第2个算式的分子为1，分母为2×3，…第10个算式的分子为1，分母为10×11，第n个算式的分子为1，分母为n×（n+1）；（2）依据上面这种算式的规律把各个分数分解为2个分数的差，化简后只剩2个数的差，计算即可；（3）把各个分数分解为2个分数的差乘，化简后计算即可．【解答】解：（1）第10个算式为=﹣；（2）+++…+=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=；（3）+++…+=×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=×（1﹣）=×=．【点评】此题考查数字的变化规律；得到分子为1，分母为两个相邻数的分数的计算规律是解决本题的关键．19．观察下列等式：第1个等式：a1==（1﹣）第2个等式：a2==（﹣）第3个等式：a3==（﹣）第4个等式：a4==（﹣）…请回答下列问题：（1）按上述等式的规律，列出第5个等式：a5==×（﹣）（2）用含n的式子表示第n个等式：a n==（﹣）（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．【分析】（1）观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的2倍减1和序号的2倍加1．（2）运用（1）中变化规律计算得出即可．（3）运用以上规律裂项求和即可．【解答】解：（1）观察下列等式：第1个等式：a1==（1﹣）第2个等式：a2==（﹣）第3个等式：a3==（﹣）第4个等式：a4==（﹣）…则第5个等式：a5==×（﹣）；故答案为，×（﹣）；（2）由（1）知，a n==（﹣），故答案为：，（﹣）；（3）原式=+++…+=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=×=．【点评】此题考查了数字的规律及运用规律计算．寻找规律大致可分为2个步骤：不变的和变化的；变化的部分与序号的关系．20．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22016+22017，等式两边同时乘2得：2S=2++22+23+24+25…+22017+22018将下式减去上式得：2S﹣S=22018﹣1S=22018﹣1即1+2+22+23+24+…+22017=22018﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．【分析】（1）设原式=S，两边乘2变形后，相减求出S即可；（2）设原式=S，两边乘3变形后，相减求出S即可．【解答】解：（1）设S=1+2+22+ (210)两边乘2得：2S=2+22+ (211)两式相减得：2S﹣S=S=211﹣1，则原式=211﹣1；（2）设S=1+3+32+33+…+3n，两边乘3得：3S=3+32+33+…+3n+1，两式相减得：3S﹣S=3n+1﹣1，即S=（3n+1﹣1），则原式=（3n+1﹣1）．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，读懂题目信息，理解运算方法是解题的关键．21．如果我们要计算1+2+22+23+…+299+2100的值，我们可以用如下的方法：解：设S=1+2+22+23+…+299+2100•式在等式两边同乘以2，则有2S=2+22+23+…+299+2100+2101‚式‚式减去 式，得2S﹣S=2101﹣1即S=2101﹣1即1+2+22+23+…+299+2100=2101﹣1【理解运用】计算（1）1+3+32+33+…+399+3100（2）1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100．【分析】（1）利用题中的方法求出原式的值即可；（2）根据题中的方法利用加法即可．【解答】解：（1）设S=1+3+32+33+…+3100，①①式两边都乘以3，得3S=3+32+33+…+3101，②②﹣①得：2S=3101﹣1，即S=，则原式=；（2）设S=1﹣3+32﹣33+…+3100，①①式两边都乘以3，得3S=3﹣32+33﹣…+3101，②②+①得：4S=3101+1，即S=，则原式=．【点评】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．22．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22017，将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+25+…+22018将下式减去上式得2S﹣S=22018﹣1 即S=22018﹣1即1+2+22+23+24+…+22017=22018﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+ (32016)【分析】（1）设原式=S，两边乘以2变形后，相减求出S即可；（2）设原式=S，两边乘以3变形后，相减求出S即可．【解答】解：（1）设S=1+2+22+ (210)两边乘以2得：2S=2+22+ (211)两式相减得：2S﹣S=S=211﹣1，则原式=211﹣1；（2）设S=1+3+32+33+ (32016)两边乘以3得：3S=3+32+33+ (32017)两式相减得：3S﹣S=32017﹣1，即S=（32017﹣1），则原式=（32017﹣1）．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，读懂题目信息，理解运算方法是解题的关键．23．阅读理解并解答：为了求1+2+22+23+24+…+22013的值．可令S=1+2+22+23+24+…+22013，则2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014因此2S﹣S=（2+22+23+…+22013+22014）﹣（1+2+22+23+…+22013）=22014﹣1．所以：S=22014﹣1．即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1．请依照此法，求：1+5+52+53+54+…+52016的值．【分析】根据题目信息，设S=1+5+52+53+…+52016，求出5S，然后相减计算即可得解．【解答】解：设S=1+5+52+53+ (52016)则5S=5+52+53+54 (52017)两式相减得：4S=52017﹣1，则S=．∴1+5+52+53+54+…+52016的值为．【点评】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．24．德国著名数学家高斯在上小学时，有一次老师让同学计算“从1到100这100个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程．解：设S=1+2+3+…+100，①则S=100+99+98+…+1．②①+②，得2S=101+101+101+ (101)所以2S=100×101，S=×100×101=50×101=5050所以1+2+3+…+100=5050．后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．阅读上面扥文字，解答下面的问题：（1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：1+2+3+ (200)（2）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：1+2+3+…+n．（3）请你利用（2）中的结论计算：1+2+3+ (2000)【分析】（1）通过观察可知，题目中的加数构成一个公差为1的等差数列，则本题根据高斯求和的有关公式计算即可；（2）根据等差数列和=（首项+末项）×项数÷2，即可解答；（3）根据（2）中的规律，即可解答．【解答】解：（1）1+2+3+4+5+…+200=（1+200）×200÷2=201×200÷2=20100．（2）1+2+3+…+n=（1+n）•n÷2=．（3）1+2+3+…+2000==2001000．【点评】本题考查了有理数的加法，解决本题的关键是明确等差数列和=（首项+末项）×项数÷2．25．请先阅读下列一组内容，然后解答问题：因为：=1﹣，=﹣，=﹣…=﹣所以：+++…+=+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣+﹣+…+﹣=1﹣=问题：计算：①+++…+；②+++…+．【分析】观察阅读材料中的运算过程，得到拆项规律，将所求式子变形，计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式=1﹣﹣+﹣+…+﹣=1﹣=；（2）原式=×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=．【点评】此题考查了有理数的混合运算，有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算．26．观察下列等式：=1，，．再以上三个等式两边分别相加得：=1=1﹣．（1）猜想并写出：=﹣．（2）直接写出下列各式的计算结果：①=．②．（3）探究并计算：．【分析】（1）利用规律即可写成结果；（2）①②把一个式子写成两个式子的差，再加减即可．（3）模仿（2）进行恒等变形，即可解决问题；【解答】解：（1）=﹣．故答案为﹣．（2）①=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．②=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．故答案为，（3）=（﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=．【点评】本题考查规律型：数字的变化类、有理数的混合运算等知识，解题的关键是学会利用规律解决问题，属于中考常考题型．27．观察下列等式=﹣，=﹣，=1﹣，++=1﹣+﹣+﹣=1﹣=以上三个等式两边分别相加得：（1）猜想并写出：=﹣；（2）直接写出下列各式的计算结果：+++…+=；（3）探究并计算：+++…+．【分析】（1）根据已知等式做出猜想，写出即可；（2）原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果；（3）仿照（2）将：+++…+转换成×（﹣+﹣+﹣+…+﹣）就可轻易算出结果．【解答】解：（1）猜想得到=﹣；（2）+++…+=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=；（3）+++…+=×（﹣+﹣+﹣+…+﹣）=×（﹣）=×=；故答案为：（1）﹣，（2）．【点评】本题考查了数字的变换规律问题，解题的关键是能够总结出规律等式=﹣并应用于求和运算．28．连续整数之间有许多神奇的关系，如：32+42=52，这表明三个连续整数中较小两个数的平方和等于最大数的平方，称这样的正整数组为“奇幻数组”，进而推广：设三个连续整数为a，b，c（a ＜b＜c）若a2+b2=c2，则称这样的正整数组为“奇幻数组”；若a2+b2＜c2，则称这样的正整数组为“魔幻数组”；若a2+b2＞c2，则称这样的正整数组为“梦幻数组”（1）若有一组正整数组为“魔幻数组”，写出所有的“魔幻数组”；（2）现有几组“科幻数组”具有下面的特征：若有3个连续整数：=2；若有5个连续整数：=2；若有7个连续整数：=2；…由此获得启发，若存在n（7＜n＜11）个连续正整数也满足上述规律，求这n个数．【分析】（1）根据“魔幻数组”的定义，找出所有的“魔幻数组”即可得出结论；（2）根据规律找出n=9，设出这9个数，再根据“科幻数组”的特征找出关于m 的一元二次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：（1）若a2+b2＜c2，则称这样的正整数组为“魔幻数组”，∴“魔幻数组”为：1，2，3及2，3，4．（2）由已知可得：32+42=52，102+112+122=132+142，212+222+232+242=252+262+272，…故可知n=9，可设这9个数为m﹣4，m﹣3，m﹣2，m﹣1，m，m+1，m+2，m+3，m+4，则有：（m﹣4）2+（m﹣3）2+（m﹣2）2+（m﹣1）2+m2=（m+1）2+（m+2）2+（m+3）2+（m+4）2，整理得：m2﹣40m=0，由题意m不为0，故m=40，∴这9个数为36，37，38，39，40，41，42，43，44．【点评】本题考查了数字的变化类问题以及新定义的应用，根据新定义的意义找出方程是解题的关键．29．计算：观察下面的变形规律：=1﹣；=﹣；=﹣；…解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想=﹣；（2）求和：+++…+；（3）求和：+++…+；（4）求和+++…+．【分析】（1）根据已知等式做出猜想，写出即可；（2）原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果；（3）原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果；（4）仿照（2）将：转换成×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）就可轻易算出结果．【解答】解：（1）猜想得到=﹣；（2）原式=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=；（3）原式=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=；（4）原式=×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=×（1﹣）=×=；故答案为：（1）﹣．【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的拆项规律是解本题的关键．30．观察下列三行数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…①0，6，﹣6，18，﹣30，…②﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…③（1）第①行的数按什么规律排列？写出第①行的第n个数；（2）第②、③行数与第①行数分别有什么关系？（3）取每行第7个数，计算这三个数的和．【分析】（1）第①行有理数是按照﹣2的正整数次幂排列的；（2）第②行为第①行的数加2；第③行为第①行的数的一半，分别写出第n个数的表达式；（3）根据各行的表达式求出第7个数，然后相加即可得解．【解答】解：（1）第①行的有理数分别是﹣2，（﹣2）2，（﹣2）3，（﹣2）4，…，故第n个数为（﹣2）n（n是正整数）；（2）第②行的数等于第①行相应的数加2，即第n的数为（﹣2）n+2（n是正整数），第③行的数等于第①行相应的数的一半，即第n个数是×（﹣2）n（n是正整数）；（3）∵第①行的第7个数为（﹣2）7=﹣128，第②行的第7个数为（﹣2）7+2=﹣126，第③的第7个数为×（﹣2）7=﹣64，所以，这三个数的和为：（﹣128）+（﹣126）+（﹣64）=﹣318．【点评】本题是对数字变化规律的考查，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，观察出第②③行的数与第①行的数的联系是解题的关键．31．阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，1+2+3+…10=？经过研究，这个问题的一般结论是1+2+3+…+n=n（n+1），其中n是正整数，现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）=？观察下面三个特殊的等式：1×2=（1×2×3﹣0×1×2）2×3=（2×3×4﹣1×2×3）3×4=（3×4×5﹣2×3×4）将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20读完这段材料，请你计算：（1）1×2+2×3+…+100×101（2）1×2+2×3+…+n（n+1）（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）【分析】（1）根据题目中的信息可以解答本题；（2）根据题目中的信息可以解答本题；（3）根据题目中的信息，运用类比的数学思想可以解答本题．【解答】解：（1）1×2+2×3+…+100×101==343400；（2）1×2+2×3+…+n（n+1）=；（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=++…+[n（n+1）（n+2）（n+3）﹣（n﹣1）n（n+1）（n+2）]=n（n+1）（n+2）（n+3）．【点评】本题考查数字的变化类，解题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．32．阅读下列材料：1×2=（1×2×3﹣0×1×2），2×3=（2×3×4﹣1×2×3），3×4=（3×4×5﹣2×3×4），由以上三个等式相加，可得：1×2+2×3+3×4=（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）=（1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+3×4×5﹣2×3×4）=×3×4×5=20．根据以上材料，请你完成下列各题：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11；（写出过程）（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=n×（n+1）×（n+2）；（用含n的代数式表示）（3）根据以上学习经验，猜想1×2×3+2×3×4+…+18×19×20=35910．（写出最后结果）【分析】（1）利用已知材料得出原式=×10×11×12，进而求出即可；（2）利用（1）中所求，进而求出即可；（3）仿照已知得出原式=（1×2×3×4）+（2×3×4×5﹣1×2×3×4）+（3×4×5×6﹣2×3×4×5）+…+（18×19×20×21﹣17×18×19×20），进而求出即可．【解答】解：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11=（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+（10×11×12﹣9×10×11）=（1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+3×4×5﹣2×3×4+…+10×11×12﹣9×10×11）=×10×11×12=440；（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+ [n×（n+1）×（n+2）﹣（n﹣1）×n×（n+1）]=n×（n+1）×（n+2）．故答案为n×（n+1）×（n+2）；（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+18×19×20=（1×2×3×4）+（2×3×4×5﹣1×2×3×4）+（3×4×5×6﹣2×3×4×5）+…+（18×19×20×21﹣17×18×19×20）=×18×19×20×21=35910．故答案为35910．【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用找出的规律解决问题．33．阅读理解：为了求1+3+32+33+…+3100的值，可M=1+3+32+33+…+3100，则3M=3+32+33+34+…+3101，因此3M﹣M=3101﹣1．所以M=，即1+3+32+33+…+3100=．问题解决：仿照上述方法求下列式子的值．（1）1+4+42+43+ (420)（2）5101+5102+5103+ (52016)【分析】（1）根据题目信息，设S=1+4+42+43+…+420 ，求出4S，然后相减计算即可得解；（2）设P=5101+5102+5103+…+52016，求出5P，两式相减计算即可得．【解答】解：（1）设S=1+4+42+43+…+420 ①，则4S=4+42+43+…+420+421②，②﹣①得：3S=421﹣1，∴S=，即1+4+42+43+…+420=；（2）设P=5101+5102+5103+…+52016①，则5P=5102+5103+…+52016+52017②，②﹣①得：4P=52017﹣5101，∴P=，即5101+5102+5103+…+52016=．【点评】本题考查了有理数的乘方和数字的变化类，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．34．先阅读并填空，再解答问题：我们知道，，，那么（1）=﹣；=﹣．（2）用含有n的式子表示你发现的规律：=﹣．（3）依据（2）中的规律计算：．（写解题过程）（4）的值为．【分析】（1）根据题意可得；（2）由已知等式可得=﹣；（3）利用（2）中的结论，裂项求和可得；（4）根据=（﹣）裂项求和可得．【解答】解：（1）根据题意得，=﹣；=﹣，故答案为：﹣，﹣；（2）由题意知=﹣，故答案为：=﹣；（3）原式=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=；（4）原式=×（﹣+﹣+﹣+…+﹣）=×（﹣）=×=，故答案为：．【点评】本题主要考查数字的变化规律和有理数的混合运算，根据题意得出=﹣和=（﹣）及裂项求和的方法是解题的关键．35．阅读与理解在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算法则“⊕”：a⊕b⊕c=（|a﹣b﹣c|+a+b+c）．如：（﹣1）⊕2⊕3=[|﹣1﹣2﹣3|+（﹣1）+2+3]=5解答下列问题：（1）计算：3⊕（﹣2）⊕（﹣3）的值；（2）在﹣，﹣，﹣，…，﹣，0，，，，…，这15个数中，任意取三个数作为a，b，c的值，进行“a⊕b⊕c”运算，求在所有计算结果中的最大值．【分析】（1）根据给定的新定义，代入数据即可得出结论；（2）分a﹣b﹣c≥0和a﹣b﹣c≤0两种情况考虑，分别代入定义式中找出最大值，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：3⊕（﹣2）⊕（﹣3），=（|3﹣（﹣2）﹣（﹣3）|+3+（﹣2）+（﹣3）），=（8﹣2），=3．（2）当a﹣b﹣c≥0时，原式=（a﹣b﹣c+a+b+c）=a，此时最大值为a=；当a﹣b﹣c≤0时，原式=（﹣a+b+c+a+b+c）=b+c，此时最大值为b+c=+=．∵＞，。
北师大版七年级数学上册 3.5 探索与表达规律 同步测试试题(无答案)
3.5 探索和表达规律同步测试题（满分120分；时间：120分钟）真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！题号一二三总分得分一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 一组数据：，，，，，，…，满足“从第三个数起，若前两个数依次为、，则紧随其后的数就是”，例如这组数中的第三个数“”是由“”得到，那么该组数据中的为（）A. B. C. D.2. 有个数排成一行，其中任意相邻的三个数中，中间的数等于它前后两数的和，若第一个数和第二个数都是，则这个数的和等于A. B. C. D.3. 一列数、、…，其中（为不小于的整数），则的值为A. B. C. D.4. 有依次排列的个数：，，，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：，，，，，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：，，，，，，，，，继续依次操作下去，问：从数串，，开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是（）A. B. C. D.5. 观察下面的数的排列规律，在□内填上恰当的数：，，，，□，，…（）A. B. C. D.6. 下列定义一种关于正整数的“运算”：①当是奇数时，；②为偶数时，结果是（其中是奇数），并且运算重复进行．例如：取，如图，若，则第次“运算”的结果是（）A. B. C. D.7. 观察下列算式中的规律：，，，…，下列等式中符合规律的是（）A. B.C. D.8. 某些整数的所有正约数之和可以按如下方法求得，如：，则的所有正约数之和为；，则的所有正约数之和为；，则的所有正约数之和为．参照上述方法，那么的所有正约数之和为（）A. B. C. D.9. 数列、，满足（其中的整数），当时，则为（）A. B. C. D.10. 在下列的方格中找出规律，则的值应为（）A. B. C. D.二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 定义一种“*”新运算：观察下列等式：，，，．根据以上各等式，请你探究：________．12. 如图各正方形中的四个数之间有相同的规律，根据此规律，可以判定的值是________13. 先阅读再计算：取整符号表示取不超过实数的最大整数，如，，；如果在一列数，，，…，中，已知，且当，满足（），则________．14. 观察这一列数：，，，，，，依此规律下一个数是________．15. 观察下面的一列数：，，，…请你找出其中排列的规律，并按此规律填空．第个数是________，第个数是________．16. 已知，，，…，若（，为正整数），则的值为________．17. 小明写出如下一组数：，，，，…，请用你发现的规律，猜想第个数为________．18. 有规律排列的一列数：,,,,,…，其中从左到右第个数是________．19. 若，，，，…，则的值为________．20. 找规律：第一个等式是，第二个等式是，第三个等式是，第四个等式是，第五个等式是…观察并猜想第七个等式是________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 观察下面各式规律：…写出第个式子，写出第个式子，并证明你的结论．22. 观察下面三行数：，，，，，，…；，，，，，，…；，，，，，，…（1）第一行数按什么规律排列？（2）同一列数中，第二、三行数与第一行数分别有什么数量关系？（3）若第列数的三个数的和为，求并写出这三个数．23. 观察下列式子：；；；…．（1）请你以上规律写出第个等式：________；（2）根据你发现的规律，请写出第个等式________；（3）你认为（2）中所写的等式一定成立吗？并说明理由．24. 观察下面的一列式子：…利用上面的规律回答下列问题：（1）填空：________；（2）计算：．25. 观察下列三行数：，，，，，，…；①，，，，，，…；②，，，，，，…；③（1）第①行数按什么规律排列？（2）第②③行数与第①行数分别有什么关系？（3）取每行数的第个数，这三个数的和能否等于？如果能，指出是每行的第几个数，并求出这三个数；如果不能，请说明理由．26. 有依次排列的个数：，，，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：，，，，，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：，，，，，，，，，继续依次操作下去．问：从数串，，开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？。
北师大七年级数学上3.5探索与表达规律同步练习含答案试卷分析详解
第三章整式及其加减5 探索与表达规律基础巩固1.（题型一）观察下列各数：1，43，97，1615，…．则这列数的第6个数为（）A．2531B．3635C．47D．62632.（题型二）用菱形纸片按规律依次拼成如图3-5-1的图案．第1个图案中有5张菱形纸片；第2个图案中有9张菱形纸片；第3个图案中有13张菱形纸片．按此规律，第6个图案中的菱形纸片的张数为（）图3-5-1A．21 B．23 C．25 D．293.（题型二）如图3-5-2，在日历中，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的数为a，则这三个数之和为________．4.（题型一）从2开始，连续的偶数相加，和的情况如下表：2＋4+6＋8＝20＝4×52＋4+6＋8＋10＝30＝n个从2开始的连续偶数相加时，它们的和S与n之间有什么样的关系？用公式表示出来，并由此计算下列各题：（1）2＋4＋6＋8＋ (202)（2）126＋128＋130＋ (300)5.（题型三）观察下列一组图形（如图3-5-3），它反映了图中点的个数与第n个图形之间的某种变化规律.（1）填写下表：（2）设第n个图形中点的个数为S，写出S与n的关系式：；（3）求出第10个图形中S的值．图3-5-3能力提升6.（题型一）将从1开始的自然数，按如图3-5-4的规律排列，在2，3，5，7，10，13，17，…，处分别拐第1，2，3，4，5，6，7，…，次弯，则第33次拐弯处的那个数是（ ）图3-5-4A ．290B ．226C ．272D ．302答案基础巩固1.C 解析：因为1=11 ，所以这些数的分子分别是1，4，9，16，…，则第n 个数的分子是n 2；这些数的分母分别为1，3，7，15，…，则第n 个数的分母是2n -1（注：分母数据还具备的规律特征是前一个数的2倍加1就是后一个数），即第n 个数为221n n -，故第6个数为26621-=47．故选C ．2.C 解析：观察题图可以发现，第1个图案中有（5=4×1+1）张菱形纸片；第2个图案中有（9=4×2+1）张菱形纸片；第3个图案中有（13=4×3+1）张菱形纸片；……第n个图案中有（4n+1）张菱形纸片.当n=6时，4×6+1=25，即第6个图案中有25张菱形纸片.故选C. 3. 3a解析：由题图知，若任意圈出一竖列上相邻的三个数，中间的数为a，则另两个数分别为a-7，a+7.所以这三个数之和为a-7+a+a+7=3a.4.解：S＝n（n＋1）.（1）2+4+6+8+…+202=101×（101＋1）＝10 302.（2）126+128+130+…+300=（2+4+6+8+…+300）-（2+4+6+8+…+124）= 150×（150＋1）-62×（62＋1）＝18 744.5.解：（1）填写下表：（2）S=12（n+1）（n+2）.（3）当n=10时，S=12×（10+1）×（10+2）=66．故第10个图形中S的值为66.能力提升6.A解析：拐弯处的数与其序数的关系如下表：数拐弯处的数拐弯6由此可见相邻两数的差是1，1，2，2，3，3，4，4，…，则第33次拐弯处的数是1+2×（1+2+…+16）+17=290.故选A.。
七年级数学上册 3.5 探索与表达规律试题 (新版)北师大版
3.5 探索与表达规律专题一探索规律1．找出一列数2，3，5，8，13，□，34的规律，在□里的数应为（）A．20 B．21 C．22 D．242．在一列数1，2，3，4，…，200中，数字“0”出现的次数是（）A．30 B．31 C．32 D．333．观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（）A．2n+2 B．4n+4 C．4n﹣4 D．4n4．观察如下图形，按照这种方式摆下去，第（n）个图形需用枚棋子．5．, ……，若符合前面式子的规律，则 a + b = ___ __．6．如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想，然后填空：当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖为_____块；白色瓷砖为2n（n为正整数）块时，黑色瓷砖为______块．7．实践与探索：将连续的奇数1，3，5，7…排列成如下的数表，用十字框框出5个数（如图）．（1）若将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为a，用a的代数式表示十字框框住的5个数字之和；（2）十字框框住的5个数之和能等于2020吗？若能，分别写出十字框框住的5个数；若不能，请说明理由；（3）十字框框住的5个数之和能等于365吗？若能，分别写出十字框框住的5个数；若不能，请说明理由．8．用如图形状的三角形砖，按一定的方式搭起一个金字塔：（1）观察图形，并填空：当金字塔分别搭到3层、4层、5层时，所用三角形砖的块数分别为：、、，又推断，当金字塔搭了n层时共用去三角形砖块；（2）试推断，当金字塔搭到第99层时，底层需要多少三角形砖块；反之，若底层用了99块三角形砖时，则金字塔能搭几层？状元笔记：【知识要点】学会用语言、用符号、用字母表示数和表示规律，并体会字母表示数的意义及获得初步数学建模思想．【温馨提示】通过生活中对日历等情景的观察与分析，从不同角度进行思考，用本章学过的字母表示数、代数式、代数式的值等知识去探索数与数或图形之间的变化规律，再用去括号、合并同类项等知识去验证规律．探索规律的一般步骤：观察特例，猜想规律，表示规律，验证规律．参考答案：1．B2．B 解析：∵100个数字中，只有整十的数字含有0，共11个，101～109中又有9个，110～200中又有11个，∴共11+9+11=31（个）．3．D 解析：根据给出的3个图形可以知道：第1个图形中三角形的个数是4，第2个图形中三角形的个数是8，第3个图形中三角形的个数是12，从而得出一般的规律，第n 个图形中三角形的个数是4n ．４．3n 解析：观察图形，第一个图形有2×3﹣3=3（个），第二个图形有3×3﹣3=6（个），第三个图形有4×3﹣3=9（个），第n 个图形有3（n+1）﹣3=3n （个）．5．109 解析：观察每个等式，可以发现等式左边的“+”后的分数的分母正好是“+”前的整数的平方减1，“+”后的分数的分子正好是“+”前的整数，可猜想其规律为1122-⨯=-+n n n n n n ，由此得出10,991102==-=b a ，因此109=+b a ．6．16 ()n 44+ 解析：图中的黑白瓷砖数见下表：由上表可得当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖为16块；当白色瓷砖为2n 块时，黑色瓷砖为()n 44+块．7．解：（1）从表格知道中间的数为a ，上面的为a ﹣12，下面的为a+12，左面的为a ﹣2，右面的为a+2，a+（a ﹣2）+（a+2）+（a ﹣12）+（a+12）=5a ．（2）令5a=2020，a=404，所以可以，５个数分别是392、402、404、406、416．（3）令5a=365，a=73，所以可以，５个数分别是61、71、73、75、85．8．解：（1）9 16 25 n 2（2）①当金字塔搭到共99层时，底层需要的三角形砖块数为：2×99﹣1=197（块）； ②若底层用了99块三角形砖时，可设金字塔能搭n 层，则2n ﹣1=99，∴n=50（层）． 答：当金字塔搭到共50层时，底层三角形砖块数刚好为99块．。
北师大版七年级数学上册_典中点《探索与表达规律》综合练
典中点《3.5 探索与表达规律》综合练练点一 数式的变化规律1.将从1开始的连续自然数按如图所示的方式排列：则2022在第_______行.2.阅读下列内容：111122=-⨯， 1112323=-⨯， 1113434=-⨯， 1114545=-⨯，… 根据观察到的规律解决以下问题：（1）第5个等式是_______；（2）若n 是正整数，则第n 个等式是_______；（3）计算：111111223344520212022+++++⨯⨯⨯⨯⨯. 练点二 图形的变化规律3.用同样规格的灰白两种颜色的正方形瓷砖，按如图的方式铺地板，则第n 个图形中需要灰色瓷砖的块数为（ ）A .4nB.3n+1C.4n+3D.3n+24.【中考·随州】我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称为“三角形数”（如1，3，6，10，…）和“正方形数”（如1，4，9，16，…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（）A.33B.301C.386D.5715.【中考·随州】在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n=11时，芍药的数量为（）A.84株B.88株C.92株D.121株纠易错找图形规律时易忽视图形重叠部分而导致重复计算6.将黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的方式拼成若干个图案.（1）第4个图案中有白色地砖_______块；（2）第n 个图案中有白色地砖_______块.发散点一 利用代数式表示数据中的排列规律7.【教材99P 习题2T 变式】将连续的奇数1，3，5，7，9，…排列成如图所示的数表.（1）十字形框中的五个数之和与中间数25有什么关系？（2）设中间的数为a ，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？（3）若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述规律吗？（4）十字形框中的五个数之和能等于2020吗？能等于2025吗？发散点二 利用代数式找规律求值8.寻找公式，求代数式的值，从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如图所示.（1）当从2开始的n 个连续偶数相加时，它们的和S 和n 之间有什么样的关系？用公式表示出来；（2）按此规律计算2+4+6+…+100的值.技法一利用表格法求计数规律9.将图①中的平行四边形剪开得到图②，则图②中共有4个平行四边形；将图②中的1个平行四边形剪开得到图③，则图③中共有7个平行四边形，…，如此剪下去，请结合图形解决问题.（1）按图示规律填写下表：（2）按照这种方式剪下去，则第n个图中共有_______个平行四边形；（3）按照这种方式剪下去，则第2021个图中共有_______个平行四边形.技法二利用从特殊到一般的思想找简算规律10.我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好多地方都存在，观察下列等式：215=1×2×100+25=225，225=2×3×100+25=625，235=3×4×100+25=1225，…95=_______=_______.（1）根据上述等式反映出的规律填空：2（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，请用一个含a的代数式表示其结果.（3）这种简便计算也可以推广应用：个位数字是5的三位数的平方，请写出2195的简便计算过程及结果.参考答案1.答案：452.答案：解：（1）111 5656=-⨯（2）111 (1)1 n n n n=-++（3）11111 1223344520212022 +++++⨯⨯⨯⨯⨯=111111111 1223344********* -+-+-+-++-=1 12022 -=2021 2022.3.答案：B4.答案：C点拨：由图形知第a个“三角形数”为(1)1232a aa+++++=，第b个“正方形数”为2b，当a=19时，(1)2a a+=190<200，当a=20时，(1)2a a+=210>200，所以在小于200的数中，最大的“三角形数”m=190；当b=14时，2b=196<200，当b=15时，2b=225>200，所以在小于200的数中，最大的“正方形数”n=196，则m+n=386.5.答案：B点拨：根据题目中的图形，可以发现其中的规律，从而可以求得当n=11时芍药的数量.6.答案：（1）18（2）（2+4n）错解：（1）24（2）6n诊断：错解的原因是错把第n个图案当成由n个第1个图案组成，忽略了重叠部分.7.答案：解：（1）25+23+27+15+35=125，125÷25=5，所以十字形框中的五个数之和是中间数的5倍.（2）a +10+a +a -10+a -2+a +2=5a（3）有.（4）2020÷5=404，2025÷5=405，因为404是偶数，所以十字形框中的五个数之和不能等于2020，能等于2025.8.答案：解：（1）由已知得，从2开始的n 个连续偶数的和S =2+4+…+2n =n （n +1）.（2）2+4+6+…+100=50×51=2550.9.答案：（1）10；13（2）（3n -2）（3）606110.答案：解：（1）9×10×100+25；9025（2）由题可以得出2(105)(1)10025a a a +=+⨯+=100a （a +1）+25.（3）结合规律可知：2195=19×20×100+25=38025.。
北师大版七年级上册3.5探索和表达规律 数的规律同步练习
本套试卷主要考查数的规律，训练学生找规律的方法：标序号，找结构，处理符号，验证．同时训练学生观察特征、猜测、验证的能力．思考问题问题1：学习找规律的方法：①_________；②________；③_________；④__________．问题2：找结构需要考虑：①_________；②________；③_________；④__________．数的规律（北师版）一、单选题(共10道，每道10分)1.给定一列按规律排列的数：7，9，11，13，…，则这列数的第100个数为( )A.201B.203C.205D.2072.给定一列按规律排列的数：-9，-6，-3，0，…，则这列数的第50个数为( )A.135B.138C.141D.1443.观察一列有规律的数：4，8，16，32，．．．，它的第2015个数是( )A. B. C. D.4.给定一列按规律排列的数：2，5，10，17，…，则这列数的第30个数为( )A.842B.899C.901D.9625.观察一列有规律的数：2，6，12，20，．．．，它的第20个数是( )A.420B.400C.380D.4406.研究下面的一列数：-3，5，-7，9，…，照此规律，第20个数应该是( )A.-41B.-39C.41D.397.总结规律：-4，8，-16，32，…，照此规律，第n个数应该是( )A. B. C. D.8.给定一列按规律排列的数：根据前四个数的规律，第n个数是( )A. B. C. D.9.给定一列按规律排列的数：1，，，，…，则这列数的第9个数为( )A. B. C. D.10.按一定规律排列的一组数据：，，，，，…，则第n个数据可表示为( )A. B. C. D. CBCCA CDDBA。
北师版七年级数学上册第3章 3.5 探索与表达规律 培优训练
北师版七年级上册第三章整式及其加减3.5探索与表达规律培优训练一．选择题（共10小题，3*10=30）1. 观察以下一列数的特点：0，1，－4，9，－16，25，…，则第11个数是( ) A．－121 B．－100C．100 D．1212．如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M与m，n 的关系是( )A．M＝mnB．M＝n(m＋1)C．M＝mn＋1D．M＝m(n＋1)3. 观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为( ) A．23 B．75 C．77 D．1394．如图是将正整数从小到大按1，2，3，4……n，的顺序组成的鱼状图案，则数“n”出现的个数为( )A．(2n－1)个B．(2n)个C．(2n＋1)个D．(2n＋2)个5．用棋子摆出下列一组图形：按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为( ) A．3n B．6nC．3n＋6 D．3n＋36. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈……按此规律排列，则⑦个图形中小圆圈的个数为( )A．64个B．77个C．80个D．85个7. 在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数(n)和芍药的数量规律，那么当n＝11时，芍药的数量为( )A．84株B．88株C．92株D．121株8. 观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点……按此规律第5个图中共有点的个数是( )A．31个B．46个C．51个D．66个9. 在一列数：a 1，a 2，a 3，…，a n 中，a 1＝3，a 2＝7，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2017个数是( ) A ．1 B ．3 C ．7 D ．910. 下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为( ) A ．73 B ．81 C ．91 D ．109二．填空题（共8小题，3*8=24）11．已知一组数1，4，9，16……则第5个数是____，第n 个数是____． 12．已知一组数2，5，10，17……则第5个数是____，第n 个数是____． 13．已知一组数2，4，8，16，32，…，按此规律，则第n 个数是____．14．观察：a 1＝1－13，a 2＝12－14，a 3＝13－15，a 4＝14－16，…，则a n ＝_____________ (n ＝1，2，3，…)15. 如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：则第⑦个图案有_____个黑色棋子．16. 如图，下列图形都由同样大小的十字星图案按一定的规律组成，其中第一个图形有1个十字星图案，第二个图形有2个十字星图案，第三个图形有5个十字星图案，第四个图形有10个十字星图案……则第101个图形有 个十字星图案．17. 如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有_________根小棒．18．观察下列的“蜂窝图”：则第n个图案中的“”的个数是____________.(用含有n的代数式表示)三．解答题（共7小题，46分）19. (6分) 观察下列关于自然数的等式：32－4×12＝5；①52－4×22＝9；②72－4×32＝13；③……根据上述规律解决下列问题：(1)完成第四个等式：92－4×( 4 )2＝( )；(2)写出你猜想的第n个等式．(用含n的式子表示)20. (6分) 在日历中画一个正方形，使它圈起3行3列的9个日期，如果左上角的日期设为n，分别写出第一行的三个日期、第二行的三个日期和第三行的三个日期.21. (6分) 观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律：①↔4×0＋1＝4×1－3②↔4×1＋1＝4×2－3③↔4×1＋2＝4×3－3④↔；⑤↔；(1)请你在④和⑤后面的横线上写出相对应的等式。
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北师大版七年级数学上册第三章 3.5.1探索规律同步测试题一、选择题1．观察一串数：0，2，4，6，…，则第n个数是( )A．2(n－1) B．2n－1 C．2(n＋1) D．2n＋1 2．已知a1＝3＋1，a2＝32＋2，a3＝33＋3，a4＝34＋4，…，则a n的值为( )A．3n＋n B．3n C．3n＋3 D．3＋3n 3．观察以下一列数的特点：0，1，－4，9，－16，25，…，则第11个数是( )A．－121 B．－100 C．100 D．121 4．按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，…，第n个单项式是( )A．(－1)n－1x2n－1B．(－1)n x2n－1 C．(－1)n－1x2n＋1D．(－1)n x2n＋1 5．在某月的月历上用长方形圈出a，b，c，d四个数(如图)，如果d＝20，那么a＋b＋c＝( )A．38 B．44 C．48 D．586．如图所示，下列图形都是由相同的五角星按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第6个图形中共有五角星的个数是( )A ．23B ．24C ．25D ．267．如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，若按此规律排列下去，则第7个图形中小圆圈的个数为( )A ．46B ．52C ．56D ．608．a 是不为1的有理数，我们把11－a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为11－2＝－1，－1的差倒数为11－（－1）＝12.已知a 1＝5，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数…，依此类推，a 2 019的值是( )A ．5B ．－14C.43D.459．已知一列数：1，－2，3，－4，5，－6，…，将这列数排成下列形式：按照上述规律排列下去，第10行数的第1个数是( ) A ．－46B ．－36C ．37D ．4510．观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2 401，75＝16 807，…，根据其中的规律可得70＋71＋72＋…＋72 019的结果的个位数字是( )A．0 B．1 C．7 D．82．假设嘉嘉抽到牌的点数为x，淇淇猜中的结果应为y，则y＝( )A．2 B．3 C．6 D．x＋3二、填空题11．如图所示，图1表示1张餐桌和6把椅子(三角形表示餐桌，每个小圆表示一把椅子)，图2表示2张餐桌和8把椅子，图3表示3张餐桌和10把椅子，….若按这种方式摆放25张桌子，需要_____把椅子．…图1 图2 图312．观察下列各式：22－1＝1×3，32－1＝2×4，42－1＝3×5，52－1＝4×6，…，根据上述规律，第n个等式应表示为_____13．已知一列数：a，b，a＋b，a＋2b，2a＋3b，3a＋5b，…，按照这个规律写下去，第9个数是_____14．假设有足够多的黑白棋子，按照一定的规律排列成一行：请问第2 020个棋子是_____．(填“黑棋”或“白棋”)15．有一列数：1，2，3，4，5，6，…，当按顺序从第二个数数到第n个数时，共数了(n －1)个数；当按顺序从第m个数数到第n个数(n>m)时，共数了_____个数．16．如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有_____根小棒．17．用火柴棍按如图所示的方式摆大小不同的“F”，第1个“F”需要4根，第2个需要7根，第3个需要10根，依此规律，第6个需要19根，第n个需要_____根(用含n的代数式表示)．三、解答题18．观察下列单项式：－x，3x2，－5x3，7x4，…，－37x19，39x20，…，回答下列问题：(1)这组单项式的系数的规律是什么？(2)这组单项式的次数的规律是什么？(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？(4)请你根据猜想，写出第2 019，2 020个单项式．19．如图所示是一个数表，现用一个长方形在数表中任意框出4个数．(1)写出a，c的关系式；(2)当a＋b＋c＋d＝32时，求a的值．20．如图，用长度相等的小木棒搭成的三角形网格，根据图示填写下列表格：…21．将连续偶数2，4，6，…排成如下形式，用十字框框出5个数，问：…(1)十字框框出的5个数分别与框中间的数32有什么关系？(2)5个数的和与32有什么关系？(3)如果将十字框上下左右移动，仍框住5个数，这5个数还有这种规律吗？(4)设中间的数为a，用代数式表示十字框框住的5个数的和．参考答案一、选择题1．观察一串数：0，2，4，6，…，则第n个数是(A)A．2(n－1) B．2n－1 C．2(n＋1) D．2n＋1 2．已知a1＝3＋1，a2＝32＋2，a3＝33＋3，a4＝34＋4，…，则a n的值为(A)A．3n＋n B．3n C．3n＋3 D．3＋3n 3．观察以下一列数的特点：0，1，－4，9，－16，25，…，则第11个数是(B)A．－121 B．－100 C．100 D．121 4．按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，…，第n个单项式是(C)A．(－1)n－1x2n－1B．(－1)n x2n－1 C．(－1)n－1x2n＋1D．(－1)n x2n＋1 5．在某月的月历上用长方形圈出a，b，c，d四个数(如图)，如果d＝20，那么a＋b＋c＝(B)A．38 B．44 C．48 D．586．如图所示，下列图形都是由相同的五角星按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第6个图形中共有五角星的个数是(B)A．23 B．24 C．25 D．267．如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，若按此规律排列下去，则第7个图形中小圆圈的个数为(D)A．46 B．52 C．56 D．608．a 是不为1的有理数，我们把11－a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为11－2＝－1，－1的差倒数为11－（－1）＝12.已知a 1＝5，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数…，依此类推，a 2 019的值是(D)A ．5B ．－14C.43D.459．已知一列数：1，－2，3，－4，5，－6，…，将这列数排成下列形式：按照上述规律排列下去，第10行数的第1个数是(A) A ．－46B ．－36C ．37D ．4510．观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2 401，75＝16 807，…，根据其中的规律可得70＋71＋72＋…＋72 019的结果的个位数字是(A) A ．0B ．1C ．7D ．82．假设嘉嘉抽到牌的点数为x ，淇淇猜中的结果应为y ，则y ＝(B)A ．2B ．3C ．6D ．x ＋311．如图所示，图1表示1张餐桌和6把椅子(三角形表示餐桌，每个小圆表示一把椅子)，图2表示2张餐桌和8把椅子，图3表示3张餐桌和10把椅子，….若按这种方式摆放25张桌子，需要54把椅子．…图1 图2 图3二、填空题12．观察下列各式：22－1＝1×3，32－1＝2×4，42－1＝3×5，52－1＝4×6，…，根据上述规律，第n个等式应表示为(n＋1)2－1＝n(n＋2)．13．已知一列数：a，b，a＋b，a＋2b，2a＋3b，3a＋5b，…，按照这个规律写下去，第9个数是13a＋21b．14．假设有足够多的黑白棋子，按照一定的规律排列成一行：请问第2 020个棋子是黑棋．(填“黑棋”或“白棋”)15．有一列数：1，2，3，4，5，6，…，当按顺序从第二个数数到第n个数时，共数了(n －1)个数；当按顺序从第m个数数到第n个数(n>m)时，共数了(n－m＋1)个数．16．如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有(5n＋1)根小棒．17．用火柴棍按如图所示的方式摆大小不同的“F”，第1个“F”需要4根，第2个需要7根，第3个需要10根，依此规律，第6个需要19根，第n个需要(3n＋1)根(用含n的代数式表示)．三、解答题18．观察下列单项式：－x，3x2，－5x3，7x4，…，－37x19，39x20，…，回答下列问题：(1)这组单项式的系数的规律是什么？(2)这组单项式的次数的规律是什么？(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？(4)请你根据猜想，写出第2 019，2 020个单项式．解：(1)这组单项式的系数的符号规律是(－1)n，系数的绝对值规律是2n－1.(2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数．(3)第n个单项式是(－1)n(2n－1)x n.(4)第2 019个单项式是－4 037x2 019，第2 020个单项式是4 039x2 020.19．如图所示是一个数表，现用一个长方形在数表中任意框出4个数．(1)写出a，c的关系式；(2)当a＋b＋c＋d＝32时，求a的值．解：(1)a，c的关系式是：a＝c－5.(2)因为a＋b＋c＋d＝32，所以a＋a＋1＋a＋5＋a＋6＝32.所以a＝5.20．如图，用长度相等的小木棒搭成的三角形网格，根据图示填写下列表格：…21．将连续偶数2，4，6，…排成如下形式，用十字框框出5个数，问：…(1)十字框框出的5个数分别与框中间的数32有什么关系？(2)5个数的和与32有什么关系？(3)如果将十字框上下左右移动，仍框住5个数，这5个数还有这种规律吗？(4)设中间的数为a，用代数式表示十字框框住的5个数的和．解：(1)十字框框出的5个数，上面的数比中间的数小12，下面的数比中间的数大12，左面的数比中间的数小2，右面的数比中间的数大2.(2)因为5个数的和为20＋30＋32＋34＋44＝160，160＝32×5，所以5个数的和是32的5倍．(3)仍有这种规律．(4)十字框框住的5个数的和为(a－12)＋(a－2)＋a＋(a＋2)＋(a＋12)＝5a.。