空间中直线与直线所成的角

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2.如图， a, c , ca, b , a b A, 求证：b, c为异面直线.
证明：假设b, c不是异面直线， 则b, c平行或相交. （1）若b, c平行，由ca得ba.
c
A
a

b
这与a b A矛盾，所以b, c不平行.
注1：异面直线a、b所成角，只与a、b的相互位置有关， 而与点O位置无关，一般常把点O取在直线a或b上；
注2：规定两条平行直线的夹角为0°，则异面直线所成角 的取值范围是：0 90 ， 如果两条异面直线所成的角是90°，则称这两条异面 直线互相垂直，记作：a b .
四.异面直线所成的角
等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补.
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1.如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原 为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在 直线是异面直线的有多少对?
C G D
H E F E A B H A
D
B G C
F
key：AB与CD，AB与GH，EF与GH
B' D B
C'
哪些棱所在的直线与直线A ' B垂直？
C
A 想一想：在正方体里棱与棱的夹角是多少？
0或90
再想想：在正方体里面对角线与棱的夹角是多少？
45或90
典型例题
例1.如图，在正方体ABCD A ' B ' C ' D '中， D'
(3)直线A ' B和B ' C的夹角是多少？
解：连接BD
EH 是ABD的中位线 EH BD，且EH BD 同理FG BD，且FG BD EH FG，且EH FG B
四边形EH FG是平行四边形
A E
H
D G C
F
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3.如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是 AB，BC，CD，DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形. 变一变： (1)若AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形? (2)若AC⊥BD，那么四边形EFGH是什么图形? A 解：(1)若AC=BD， H 那么四边形EFGH是菱形； E (2)若AC⊥BD， D 那么四边形EFGH是矩形.
例1.如图，在正方体ABCD A ' B ' C ' D '中， D'
B' D
C'
哪些棱所在的直线与直线A ' B垂直？
解： (1) BB ' CC ' A B A ' BB '即异面直线A ' B和CC ' 所成的角或其补角 A ' BB ' 45异面直线A ' B和CC '的夹角为45. (2)与直线AA ' 垂直的直线有AB, BC, CD, DA,
C'
B'
A'
解： (3)连结A ' D，DB， A ' B ' DC, A ' B ' DC D C 四边形A ' B ' CD是平行四边形 A B A ' DB ' C, A ' D B ' C BA ' D即异面直线A ' B和B ' C所成的角或其补角 A ' D DB A ' B BA ' D 60,即异面直线A ' B和B ' C的夹角为60.
空间中直线与直线所成的 角（夹角）
知识回顾
异面直线 不同在任何一个平面内的两条直线
①从有无公共点的角度： 有且仅有一个公共点---------相交直线 平行直线 没有公共点--------异面直线 ②从是否共面的角度 不同在任何一个平面内---------异面直线 相交直线 在同一平面内-------平行直线 三线平行公理 平行同一条直线的两条直线互相平行
（2）若b, c相交，设b c B. b , c B是平面 和的公共点 c与a相交，这与ca矛盾 又 a B a b, c不相交 综上，假设不成立，b, c是异面直线.
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3.如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是 AB，BC，CD，DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形.
E
B'
C'
解：连结A ' C ' 与D ' B ' 交于点E，
D 取AA '中点F，连结EF , FD '. C AA ' C '中，EF AC ' A B FED '即异面直线AC ' 和B ' D ' 所成的角或其补角 1 3 2 设正方体棱长为a，则EF AC ' a, ED ' a, 2 2 2 5 FD ' a EF 2 ED '2 FD '2 FED ' 90 2 直线AC ' 和B ' D '的夹角是90
想一想：在平面几何中，垂直于同一条直线的两直线互相 平行，在空间中这个结论还成立吗 ? 不成立 再想想：如果两条平行直线中有一条与某一条直线垂直, 那么另一条是否也与这条直线垂直？为什么？成立（定理）
若ab，a c，则b c.
典型例题
(1)直线A ' B和CC '的夹角是多少？ A' (2)哪些棱所在的直线与直线AA ' 垂直？
F
思考：如图，在棱长为4正四面体ABCD中，求异面 直线AB和CD所成的角.（以后可以证明）
解：取BC中点E，AC中点M , AD中点F , 连结EM , MF , FE, FB, FC. MF CD, EM EMF即异面直线AB和CD所成 的角或其补角 M MF ME 2, EF 2 2 B MF 2 ME 2 EF 2 E EMF 90 异面直线AB和CD的夹角是90 C
典型例题
例1.如图，在正方体ABCD A ' B ' C ' D '中， D'
(3)直线A ' B和B ' C的夹角是多少？
C'
B'
A' D A
还要想： 在正方体里面对角线与 ຫໍສະໝຸດ Baidu对角线的夹角是多少？
0或60或90
C
B
典型例题
例1.如图，在正方体ABCD A ' B ' C ' D '中，D ' A' (4)直线AC ' 和B ' D '的夹角是多少？
A
F D
B
G C
F
四.异面直线所成的角
思考1:两条异面直线之间有一个相对倾斜度，若将两异面 直线分别平行移动，它们的相对倾斜度是否发生变化？ 思考2:设想用一个角反映异面直线的相对倾斜度，但不能 直接度量，你有什么办法解决这个矛盾？
b
bˊ a aˊ

o
四.异面直线所成的角
定义：直线a、b为异面直线，经过空间任一点O， 分别引a′∥a，b′∥b，则相交直线a′，b′所 成的锐角（或直角）叫做两条异面直线a、b所成 的角(或夹角)
C
A ' B ', B ' C ', C ' D ', D ' A '; 与直线A ' B垂直的直线有A ' D ', B ' C ', BC, AD.
典型例题
(1)直线A ' B和CC '的夹角是多少？ A' (2)哪些棱所在的直线与直线AA ' 垂直？
例1.如图，在正方体ABCD A ' B ' C ' D '中， D'