3.5随机变量函数的分布

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随机变量的函数的概率分布

《概率论与数理统计》第二章随机变量与概率分布
随机变量的函数的概率分布： 1．离散型的求法设离散型随机变量 X 的分布律为： Y P g(x1) p1 X P x1 x2 p1 p2 … xk … … pk … , 则 X 的函数 Y=g(X) 的分布律为：
g(x2) …g(xk) … , 当 g(xj)有相同情况时，概率为相应之和。 p2 … pk …
例 2 设随机变量 X 的分布函数为 FX(x)，求随机变量 Y=3X+2 的分布函数 FY(y). y-2 y-2 [解]：FY(y)=P{Yy}= P{3X+2y}= P{X }= FX( ) 3 3 3 2 x 例 3 设随机变量 X 的密度函数为 fX(x)= 2 0 -1<x<1 其它 ,求随机变量 Y=3X+2 的密度函数 fY(y). y-2 3 y-2 , -1< <1 -1<y<5, 3 1 3
[解]：用公式法：设 y=g(x)=3x+2, y=g(x)的反函数为 x=h(y)= 则 Y=g(X)的密度函数为
|h(y)|=
2 1 3 y-2 1 (y-2) ( ) -1<y<5 fX(h(y))|h(y)| <y< 3 fY(y)= = 2 3 = 18 0 其它 0 0 其它
2
3
3
1 dx，fY(y)= F Y(y)= 0 2
y
1 1 2 3 1
2 (y) 3 =
2 3 1 3 ,当 y8 时, FY(y)=P{Yy}= P{X y}= P{X y}= dx =1，fY(y)= FY(y)= 0. fY(y)= 3 2 02 6 y 1 0<y<8 其它

概率论-随机变量的分布函数

如果一个函数具有上述性质，则一定是某个随机变量X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(４)是鉴别一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要条件.
连续型随机变量及其概率密度函数
例在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在 [0, a]中意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数.
因此，只要知道了随机变o 量x X1 的X分x 2布函x数，它
的统计特性就可以得到全面的描述.
F (x ) P (X x ) , x
oX
x
x
分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用高等数学的工具来研究随机变量的概率
问题.
例1 设随机变量 X 的分布律为 X 012
p k 13 16 12 求 X 的分布函数 F (x) .
连续型随机变量的分布函数在 R上连续
二、概率密度的性质
1 o f (x)0
2 o f (x)dx1
这两条性质是判定一个 f(x)是否为某随机变量X 的
概率密度的充要条件
f (x)
面积为1
o
x
3 o 对于任意实数 x1 , x2 , (x1 < x2 ) ,
P { x 1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x 1 ) x x 1 2f( x ) d x
P ( a X b ) P ( a X b )
P(aXb)
P(aXb)
注意
设X为连续型随机变量，X=a 是不可能
事件,则有
P{Xa}0.
连
若P{Xa}0,
续型
不能确定 { X a } 是不可能事件

§3.5 随机变量函数的分布

( ii ) 若Y = X 2 , 则有 1 fY ( y ) = [ f X ( y ) + f X ( − y )], y ∈ R(Y ). 2 y 这里a , b为常数且a ≠ 0, R(Y )为Y的值域 .
证明由于 R(Y ) = [0,+∞ ), 取 y ≥ 0, 有
FY ( y ) = P ( X ≤ y ) = P ( − y ≤ X ≤
2 2 ∑ ci X i ~ N ( ∑ ci µi , ∑ ci σ i ). n i =1 n i =1 n i =1
其中, 为常数. 其中 c1 , c2 ,⋯, cn为常数
3.5.2 二维随机变量函数的分布一、一般方法是二维连续型随机变量,其联合密设 ( X ,Y )是二维连续型随机变量其联合密的函数, 度为 f ( x , y ).又设Z = g( X ,Y ) 是 ( X ,Y ) 的函数又设类似于一维,求的密度的一般方法为的密度的一般方法为: 类似于一维求Z的密度的一般方法为 (i)确定的值域 R(Z )；确定Z的值域确定 (ii)对任意 z ∈ R(Z )，对任意求出Z的分布函数的分布函数；求出的分布函数；
f Z ( z ) = ∫− ∞ f ( x , z − x )dx，或 f Z ( z ) = ∫− ∞ f ( z − y , y )dy .
+∞ +∞
当 X与Y 独立时则与独立时,则
f Z ( z ) = ∫− ∞ f X ( x ) fY ( z − x )dx，或 f Z ( z ) = ∫− ∞ f X ( z − y ) fY ( y )dy .
−1 −1
用上述定理求例3.5.1中Y的密度函数例3.5.3 用上述定理求例中的密度函数

2.随机变量的分布函数、连续型

4 2 4 0, x 0,
故X的分布函数为
1 , 0 x 1,
F(x)
4 3 ,
1 x 2,
4
F(x)
1, 2 x.
1
O
0O
1
O
它是一条阶梯形曲线，
2
x
设离散型随机变量X 的分布律为
P( X xi ) pi , i 1,2, ,
则离散型随机变量X的分布函数
F( x) P( X x) P( X xi )
a, 2
得a 2
于是X的密度函数为 2e2 x ,
f (x) 0,
x0 x0
P( X 1) 2e2xdx e2 . 1
3、正态分布如果连续型随机变量X的密度函数为
f (x)
1
( x )2
e
2 2
,xR
2
那么称随机变量X服从参数为， 2的正态分布，
～记为X N（， 2）, R, 0.
本节我们来研究一维随机变量取值的统计规律性。为此先考虑下面的例子。
例1 设随机变量X在区间[0，1]上取值，当0 a 1
时，概率P（0 X a）与a2成正比例。
试求X的分布函数F（x）
解：X的分布函数为：
y
0
F
(
x)
x2
1
x0 0 x1
1 x
1 o1x
由此例我们看到，F ( x)处处连续，并且其
2
2
x, (3)
x 1 1 x F (xx).1
1
（3）当x 1时, F( x)
x
f (t)dt
x
0dt 0
当 1 x 1时, F( x)
x f (t )dt

概率论2-5 (1)

2
y
fY
( y)
1
y
e 2, y 0
2 y
0
其它
设X ~ N（0，1），其概率密度为：
x
1
x2 ,
e 2 x
2
则 Y X 2 概率密度函数为：
fY
y
1
2
1 y
y 2e 2 ,
0,
y0 y0
此时称Y服从自由度为1的 2分布,记作 Y ~ 2 1
结论：若 X ~ N 0,1 则 X 2 ~ 2 1
机变量。求Y的分布律.
例:已知
X -1 0
Pk
1 3
1 3
求：Y=X2的分布律
1
Y1 0
1 3
Pk
2 3
1 3
一般地
X
x1
x2 xk
Pk p1
p2 pk
Y=g(X) g(x1) g(x2 ) g(xk )
如果g( x i )与g( x j )相同，此时将两项合并，对应概率相加．
例设随机变量X的分布律为
1、一般方法
(1) 求Y的分布函数 FY(y)
根据分布函数的定义
FY ( y)
P{Y y} P{g(X ) y}
(2) 对FY(y) 求导，得到 fY(y)
f (x)dx
g ( x) y
fY ( y) (FY ( y)) '
设随机变量X的密度函数为
fX
(x)
x
8
,0
x
4
0, 其它
求随机变量Y=2X+8的概率密度。
2
pk 0.2 0.3 0.4 0.1
解由题设可得如下表格

随机变量的分布函数

x < −1 , −1 ≤ x < 2, 2 ≤ x < 3, x ≥ 3.
-1 0 1 2 3
4
1
x
§3
随机变量的分布函数
1 1 1 P{X ≤ } = F( ) = , 2 2 4 3 5 5 3 3 1 1 P{ < X ≤ } = F( ) − F( ) = − = , 2 2 2 2 4 4 2
9
§3
随机变量的分布函数
用分布函数计算某些事件的概率
P{a ≤ X ≤ b} = P{X ≤ b}− P{X < a}
= F (b) − F (a − 0)
P{a < X < b} = P{X < b}− P{X ≤ a} P{a ≤ X < b} = P{X < b}− P{X < a}
= F (b − 0 ) − F (a − 0 )
设 F ( x) = P{ X ≤ x} 是随机变量 X 的分布函数，则 P{ X = a} = P{ X ≤ a} − P{ X < a} P{a < X ≤ b} = P{ X ≤ b} − P{ X ≤ a} P{ X < a} = F ( a − 0)
= F ( a ) − F ( a − 0) = F ( b) − F ( a )
随机变量的分布函数
1. 概念
定义设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数
F(x) = P{X ≤ x}
称为 X 的分布函数．
X x 0 F(x) = P{X ≤ x} x2) ，有：： X
o
P{x1 < X ≤ x2} = P{X ≤ x2}− P{X ≤ x1} = F(x2 ) − F(x1).

3.5两个随机变量的函数的分布

1
2
x2 y2 z
x2 y2
e 2 dxdy
x2 y2 z
作极坐标变换 x r cos ， y r sin ，则有
FZ
z
1
2
z r2
z r2
d e 2 rdr e 2 rdr
2 0 0
0
z r2
FZ
z
0
e
2 rdr 0
z0 z0
Z= X2 +Y2的概率密度
f
Z
z
ze
Fm ax( z )
FX
( z ) FY
(z)
(1 0,
ez
)(1
e z
),
z 0, z 0.
于是Z的概率密度为
fmax(z)
ez
0,
e z
(
)
e(
)z
,
z 0, z 0.
(3)备用的情况
由于这时当系统L1损坏时系统L2才开始工作, 因此整个系统L的寿命Z是L1,L2两者寿命之和, 即 Z=X+Y 按(5.3)式, 当z>0时Z=X+Y的概率密度为
f (z)
fX (z y) fY ( y) d y
e (z y) ey d y
ez
z 0
e( ) y
d
y
[ez
ez ].
当z0时, f(z)=0, 于是Z=X+Y的概率密度为
f
(
z
)
[ez
e
z
],
z 0,
0,
z 0.
作业第三章习题
第106-108页第19、21题
PX 10 PY 6 0.3 0.6 0.5 0.4 0.38 PZ=17 PX 10,Y 7 PX 11,Y 6 PX 10 PY 7

随机变量的函数的变量分布

01
02
均匀分布
在一定区间内均匀分布的随机变量，如时间间隔、长度等。
03
04
二项分布
成功次数的问题中常用，如抛硬币、抽奖等。
03
随机变量的函数的变量分布
随机变量函数的分布类型
1
离散型随机变量函数
离散型随机变量函数的取值是离散的，其分布可以用概率分布列或概率质量函数来表示。常见的离散型随机变量函数包括二项式随机变量、泊松随机变量等。
统计推断
通过分析随机变量的分布，可以进行统计推断，例如参数估计和假设检验等。
02
随机变量的分布
离散随机变量的分布
伯努利分布
适用于独立重复试验，如抛硬币、抽奖等。
二项分布
适用于成功次数的问题，如投掷n次硬币，成功k次的概率。
泊松分布
适用于单位时间内随机事件的次数，如放射性衰变次数。
连续随机变ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的分布
科学研究
随机变量的函数变量分布在科学研究中也具有广泛的应用价值，例如在物理学、生物学、社会科学等领域中，可以通过研究随机现象来揭示自然规律和社会现象。
研究展望与未来发展方向
拓展应用领域
将随机变量的函数变量分布应用到更多的领域中，例如在人工智能、大数据分析、物联网等领域中，可以利用这些知识进行数据分析和预测。
随机变量的函数的方差
方差的性质
如果$X$是一个随机变量，那么对于任意的常数$a$，有
Var(aX)=a^2Var(X)。
方差的交换律
对于任何两个随机变量$X$和$Y$，有Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)。
方差的非负性
对于任何随机变量$X$，有 Var(X)>=0。

高等数学3.3 随机变量及其函数分布

, ,
1 y 1 其它
例3.4 设二维随机变量(X , Y)具有密度函数
2e (2 x + y ) , f ( x, y ) = 0 , 求概率 P{Y ≤X} .
x 0, y 0 其它
解将(X , Y)看作是平面上随机点的坐标 . 即有 {Y ≤X}= {(X , Y) G } , 其中G为xOy平面上直线 y=x 及其下方的部分 , 如右图所示 . 于是
却未必服从二元正态分布 . 这是因为不同的
对应于不同的二维正态分布, 但它们的边缘分布却可能一样 .
二、两个随机变量函数的分布:
1、Z = X + Y 的分布: 设(X , Y)的概率密度为 f (x , y) , 则Z = X + Y 的分布函数为
FZ (z ) = P Z z
=
x yz
??????221211exp2121fxy????设二维随机变量xy的密度函数为???????????????????2211222212122xxyy??22121212其中为参数数且?????????????????????????2212120xy称服从参数为????????????????????二元正态分布的记作221212xyn??????????????????二元正态分布的边缘分布是一元注正态分布4它们的参数对应于二元正态分布的前前个参数
2 0 称 X Y 服从参数为 1 2 12 2
的二元正态分布, 记作
X Y N 1 2
2 1 2 2
注二元正态分布的边缘分布是一元正态分布, 它们的参数对应于二元正态分布的前4个参数. 但两个边缘分布为正态分布的二维随机向量

3.5 两个随机变量的函数的分布

第五节
两个随机变量的函数的分布
一、问题的引入二、离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布四、小结
一、问题的引入
有一大群人 , 令 X 和 Y 分别表示一个人的年龄和体重, Z 表示该人的血压 ,并且已知 Z 与
X , Y 的函数关系 Z = g ( X ,Y ),如何通过 X ,Y 的分
(iii)备用的情况
由于这时当系统 L1 损坏时,系统 L2 才开始工作, 因此整个系统 L 的寿命 Z 是 L1 , L2 两者之和：两者之和：
Z = X +Y
当 z > 0 时 Z = X + Y 的概率密度为
f (z ) = ∫
∞
−∞
f X ( z − y ) fY ( y ) d y
= ∫ αe − α ( z − y ) βe − βy d y
(1 − e − αz )(1 − e − βz ), z > 0, Fmax ( z ) = FX ( z ) ⋅ FY ( z ) = 0, z ≤ 0.
Z = max{ X , Y }的概率密度为
αe − αz + βe − βz − (α + β )e −( α + β ) z , z > 0, f max ( z ) = z ≤ 0. 0,
分布函数为
Fmax ( z ) = P { M ≤ z } = P { X ≤ z ,Y ≤ z }
=P { X ≤ z } P {Y ≤ z }.
即有 Fmax ( z ) = FX ( z )FY ( z ). 类似地, 类似地
可得 N = min{ X , Y }的分布函数为
Fmin (z ) = P { N ≤ z } = 1 − P{ N > z } (z

概率统计课件3.5两个随机变量的函数的分布.

2018/10/8
e
1

k 2
k!
e
2

1
1!
e
1

k 1 2
( k 1)!
e
2

k 1
k!
e
1
e
2
1 ( 1 2 ) k k e [2 12k 1 k! 1!
1k ]
k
(1 2 ) ( 1 2 ) 1 ( 1 2 ) k e (1 2 ) e k! k!
参数为 i , 的分布, 则其和 X1 X 2
服从参数为 2018/10/8
Xn

i 1
n
i
, 的分布.
1 1 ▲ 特别当 1 2 n , 时， 2 2 X X1 X 2 X n 的密度函数为：
x n 1 1 2 2 x e x0 n f X ( x ) 2 2 ( n 2 ) 0 x0 此时则称 X 服从自由度为 n 的开平方分布，记 2 X ~ (n) 为：
第五节两个随机变量的函数的分布
Z X Y
的分布
M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布
小结
研究的问题在一维随机变量中讨论了：已知随机变量 X 及它的分布，如何求其函数 Y g( X ) 的分布。在多维随机变量中需讨论：已知随机变量X1, X2, …,Xn 及其联合分布，如何求出它们的函数： Yi =gi (X1, X2, …,Xn ), i = 1, 2,…, m 的联合分布。
X 与 Y 的取值均为： 0, 1, 2,
Z 的取值也为非负的整数 k P (Z k) P ( X Y k)

《概率论》第3章§5两个随机变量的函数的分布

FP( X i z1 P n } 设 Xi ~ = Xi {x),≤=},2,{Y,≤,z且 X1 , X2 ,, Xn 相互独立
= P{X ≤ z,Y ≤ z}
则
Fmax (z) = F (z)
F (z) = P{min(X ,Y) ≤ z} min = FX1 (z)FX,2 (z)z} FXn (z) = 1 P{min(X Y) > F (z) =1P{{min(,Y 1,zX2 ,, Xn ) ≤ z } = P X > z X> } min n = 1∏ > } P(z > [ =1 P{X1zFXi {Y )] z} i =1 =1 ,[1,,{X 独立同分布于 F(x)时有 X1 X2 P Xn ≤ z}][1 P{Y ≤ z}] 特别当 n = 1[1 FX (z)][1 F (z)] n Y
z
2σ 2
∴
z e ,z ≥0 2 fZ (z) = σ 分布) (瑞利Rayleigh分布) 0 , z第三章多维随机变量及其分布 <0
ρ d 2 =1 e 2σ2 2σ 2
z 2σ 2
(z ≥ 0)
§5 两个随机变量的函数的分布
11/15 11/15
设 X ~ FX (x),Y ~ F ( y) ,且 X,Y 相互独立 ,则 Y F (z) = P{max(X ,Y) ≤ z} max
∵ Fmax (z) = F (z) ∴ fmax (z) = 2 f (z)F(z)
2
= 2 f (z)∫∞ f (t)dt ∵ Fmin (z) = 1[1 F(z)]2
∴ fmax (z) = 2 f (z)[1 F(z)]
= 2 f (z)[1 ∫∞ f (t)dt]

随机变量的分布函数、连续型

02
偏度是描述数据分布不对称性的量，即三阶中心矩与三阶原点矩的比值。偏度大于0表示分布右偏，偏度小于0表示分布左偏。
03
峰度是描述数据分布形态陡峭或扁平程度的量，即四阶中心矩与四阶原点矩的比值。峰度大于3表示分布比正态分布更陡峭，峰度小于3表示分布比正态分布更扁平。
PART 04
连续型随机变量的应用
用。
PART 03
连续型随机变量的性质
REPORTING
WENKU DESIGN
概率密度函数（PDF）
概率密度函数（PDF）描述了随机变量取值在某个区间的概率，即密度函数值与该区间长度之积等于该区间内事件发生的概率。
PDF具有非负性，即对于所有实数x， PDF(x)≥0。
整个实数轴上的概率总和为1，即 ∫∞−∞f(x)dx=1，其中f(x)是随机变量的概率密度函数。
在模拟连续型随机变量时，蒙特卡洛方法通过产生大量随机样本，并计算其统计量，来估计随机变量的分
布函数和概率密度函数。
蒙特卡洛方法的优点是简单易行，适用于各种类型的分布函数，但缺点是精度取决于样本数量，样本数量
越多，精度越高。
逆变换采样法
逆变换采样法是一种基于概率分布的反向抽样方法，即先从均匀分布的随机数中抽取样本，再通过概率分布的反函数变换得到所需的随机变量。
THANKS
感谢观看
REPORTING
https://
正态分布的实际应用案例
金融领域
正态分布被广泛用于描述金融数据的分布，如股票价格、收益率等。
自然现象
许多自然现象的分布呈现正态分布特征，如人类的身高、智商等。
统计学
在统计学中，正态分布是最常用的分布之一，用于描述数据的集中趋势和离散程度。

概率论与数理统计(二维随机变量函数的分布)

将上述x与z的关系描绘在xOz平面上便是图中的阴影部分．
3.5.2
二维连续型随机变量函数的分布
e y , y 0 , 1 , 0 x 1 , fY ( y ) fX ( x) 0 , 其它 , 0 , 其它,
fZ ( z )

f X ( x ) fY ( z x )dx
定理3.1（正态分布的重要性质）若X1，X2 ，…，Xn 为相互独立的随机变量，且 X i ~ N (i , i 2 ), i 1,2,...,n C1，C2，…，Cn为n个任意常数，则
C X
i 1 i
n
i
~ N ( C i i , C i i )
2 2 i 1 i 1
i 1 n
3.5.2
二维连续型随机变量函数的分布
(2) 将Xi共同的分布函数F(x)代入(1)的结果中，得 n
FY ( y) [F ( y)] FZ ( z ) 1 [1 F ( z )]n
(3) Y和Z的分布函数仍为上述两式，概率密度可由上述两式分别对y和z求导得到
fY ( y) n[F ( y)]n1 f ( y) fZ ( z ) n[1 F ( z )]n1 f ( z )
二维连续型随机变量函数的分布
【例3.22】（和的分布）设(X，Y)的概率密度为
f(x，y)，求Z = X + Y的概率密度．
解：事件X + Y Z所占有的区域如图，
由 FZ ( z ) P{ X Y z }
x y z
f ( x, y)dxdy
f ( x, y)dx]dy
t 2

随机变量函数的分布解读

X Y 2 1 0
1
1
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
12 12 12
1
2
6
例2 设 X pk
1 1 6
1 2 6
2 3 6
求 Y X 2 5的分布律.
解 Y 的分布律为
Y 4
1
1
1
p
2
2
7
三、连续型随机变量函数的分布
例3 设随机变量X 的概率密度为
f
X
(
x)
x 8
,
0 x 4,
0, 其他.
求随机变量Y 2X 8 的概率密度.
解先求随机变量Y X 2 分布函数,
FY ( y) P{Y y} P{X 2 y} P{ y X y}
y
y
FX ( y) FX ( y) f X ( x)d x f X ( x)d x.
再由分布函数求概率密度. fY ( y) FY ( y) fX ( y)( y) fX ( y)( y)
证明 X 的概率密度为
fX (x)
1
e
(
x μ)2 2σ2
,
x
.
2πσ
设 y g( x) ax b,
得 x h( y) y b , 知 h( y) 1 0.
a
a
14
由公式
fY
( y)
fX [h( y)]h( y) , y
0,
其它.
,
得 Y aX b 的概率密度为
fY ( y)
16
有一大群人,令 X 和 Y 分别表示一个人的年龄和体重, Z 表示该人的血压,并且已知 Z 与 X , Y 的函数关系 Z g( X ,Y ), 如何通过 X ,Y 的分布确定 Z 的分布.

概率论第三章(3,4,5)

e x y
y
x0
对y>0 P{ X>1| Y=y }

1
ex y dx e x y
1 y
y 1
e
例3 设( X, Y )服从单位圆上的均匀分布，概率密度为:
1 2 2 , x y 1 f ( x , y ) 0, 其它
2
求 fY |X ( y | x ) y 1 x 解：
体重X 的分布
身高Y 的分布
现在若限制1.7<Y<1.8(米), 在这个条件下去求X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高在1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布. 容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布会很不一样.
一、离散型r.v.的条件分布定义1：设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，
f ( x, y) f X ( x) fY ( y)
故X和Y不独立 .
对于正态分布有如下结论：
二维随机变量 ( X , Y ) ~ N (1, 2 ,1, 2 , ),
则X,Y相互独立 0
n维随机变量的边缘分布与独立性
1.边缘分布
设n维随机变量(X1,X2,...,Xn)的分布函数为 F(x1,x2,...,xn), (X1,X2,...,Xn)的k（1k<n)维边缘分布函数就随之确定，
P( X xi |Y y j ) 0,
i = 1,2, …
i 1
P( X xi | Y y j ) 1

例1 一射手进行射击，击中目标的概率为 p，(0<p<1)，射击进行到击中目标两次为止。以 X 表示首次击中目标所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行的射击次数。试求 X 和 Y 的联合分布及条件分布.

01-3.5两个随机变量的函数的分布

−∞ −∞3.5 两个随机变量的函数的分布一、知识点1、离散型随机变量（X , Y ）的分布律P {X = x i , Y = y j } = p ij ,则Z = g (X , Y )的分布为：P {Z = z k } = P {g (X , Y ) = z k } = ∑g (x i ,y j )=z k p ij .2、连续型随机变量（X , Y ）的概率密度为f (x , y )，则Z = g (X , Y )的分布函数为：F Z (z ) = P {Z ≤ z } = ∬g (x ,y )≤z f (x , y )dxdy ，f Z (z ) = F Z ′(z ).3、随机变量Z = X + Y 的分布： F Z (z ) = P (Z ≤ z ) = P ( X + Y ≤ z ) ,f Z (z ) =f Z (z ) = ∫+∞ f (x , z − x )dx ∫+∞ f (z − y , y )dy 特别，当X 与Y 相互独立时，f (z ) = f ∗ f =+∞f (x )f (z − x )dx = +∞ f (z − y )f (y )dy . Z X Y ∫−∞ X Y ∫−∞ X Y4、最值函数Z = max (X , Y ) , Z = min (X , Y )： X , Y 相互独立，F max (z ) = F X (z ) ∙ F Y (z )F min (z ) = 1 − [1 − F X (z )] ∙ [1 − F Y (z )]5、正态分布的推广性质：（1）两个独立的正态分布的和仍为正态分布（μ1 + μ2，σ2 + σ2）. 1 2（2）n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布，且μ = ∑i C i μi ，σ2 = ∑i C 2σ2. i i6、泊松分布可加性：X 1~π(λ1),X 2~π(λ2), X 1与X 2相互独立，则Z = X 1 + X 2~π(λ1 + λ2).7、二项分布可加性：X 1~B (n 1, p ), X 2~B (n 2, p ), X 1与X 2相互独立，则Z = X 1 + X 2~B (n 1 + n 2, p ).二、重点：1、求离散型随机变量函数的分布；2、求连续型随机变量函数的分布；3、重要公式和结论；4、Z = X + Y 和最值函数的概率分布.三、难点：Z = X + Y 和最值函数的概率密度及分布函数的求解.。

3.4-3.5 二维随机变量的函数的分布

§3.4
二维随机变量的函数的分布
一、离散型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布
Z=X+Y 的分布
三、最大值、最小值的分布
一、离散型随机变量的函数的分布
例1 设(X,Y)的分布律为
Y X 求 (1) Z=X+Y (2) Z=XY -1 (3) Z=max(X,Y) (4)Z=min(X,Y) 2
的分布律.
0 0.2 0.1
1 0.3 0.1
2 0.1 0.2
解
(X,Y) (-1,0) (-1,1) (-1,2) (2,0) (2,1) (2,2) -1 0 1 2 3 4 Z=X+Y Z=XY 0 -1 -2 0 2 4 Z= max(X,Y) 0 1 2 2 2 2 0.2 0.3 0.1 0.1 0.1 0.2 Z=XY -2 -1 0 2 4 0.1 0.3 0.3 0.1 0.2
FZ ( z ) P{ Z z} P{ g( X , Y ) z }
P{( X ,Y ) DZ }
f ( x , y )dxdy
Dz
DZ {( x, y) | ( x, y) g( x, y) z}
H (u)du

z
(z) H (z) f Z ( z ) FZ
例1. 设二维随机变量（x,y）服从二维均匀分布，联合概率密度为 1 , 0 x 2， 0 y 2, f ( x, y ) 4 其它. 0, 令Z=X-Y，求Z的概率密度函数。（P90）
0， 1 (2 z ) 2 , 8 答案：FZ ( z ) 1 1 (2 z ) 2 , 8 1, z 2, 2 z 0, 0 z 2, z 2.

随机变量函数的分布

1 1 2
三、连续型随机变量函数的分布一般地，连续型随机变量的函数不一定是连续型随机变量，但我们主要讨论连续型随机变量的函数还是连续型随机变量的情形，此时我们不仅希望求出随机变量函数的分布函数，而且还希望求出其概率密度函数. 设已知 X 的分布函数 FX ( x ) 或概率密度函数 f X ( x ), 则随机变量函数 Y g( X ) 的分布函数
1 y b fX ( ). k k
例
设X ~ N ( , 2 ), Y aX b,(a, b为常数, 且a 0), 则Y ~ N (a b, a 2 2 ).
f X ( x)
1 2
1
e

( x )2 2 2
,( x )
1 2 a
2
P{Y x } P{ X 2 x } P{ X x } P{ X x }.
完
二、离散型随机变量函数的分布
设 X 为离散型随机变量，其概率分布已知。 Y g( X )为X的函数.
若X 为D.r .v.
问题
Y g( X ) 为D.r .v .
如何根据随机变量 X 的分布求得随机变量 Y g( X )的分布 ?
一、随机变量的函数主要我们讨论变量间的函数关系时，在微积分中，注：研究函数关系的确定性特征，例如：导数、积分等. 而在概率论中，我们主要研究的是随机变量函数的随机
即由自变量 X 的统计规律性出发研究因变量 Y 特征，
的统计性规律. 一般地，对任意区间 I , 令 C { x | g( x ) I }, 则
( y ( a b ))2 2 a 2 2
1 yb 1 fY ( y ) fX ( ) k k a

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求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数和概率密度.
解
FZ(z)=P{Zz}= P{X+2Yz}
f(x,y)dxdy
x2yz
0z[0z20x,2ex2ydzy] dx0,; z0.
y
0.
z0;
1ezzez, z0.
f(x,y)的非0区域
解: 用x和y分别表示随机抽取的两个数，则x 和y 均服从(0,1)上的均匀分布且相互独立
（X，Y）的联合密度函数为
1 0x1 0y1 f(x,y)= 0 其他
P{Z6}=1-144=17 5 2 5 5 25
y
4 5
x
续问：对于任意的z，求: p{Zz} 即 F(z)
解： z0, 则 p{Zz}0
解由题意知 X与 Y 的概率密度为
fY(y)
1
(y)2
e 22
2
fX(x)
(x)2
1

e 22
2
因此 Z的概率密度
fZ (z)
1 e dx
1[x ()2(zx)2] 22
2 2
令 tx

1[t2(z2t)2]
z = 1+x
（1,2）
z=x
（1,1）
1
x
综上Z得 XY的概率密度为：
z, 0 z 1;
fzz2z, 1 z 2;
0,
其他.
概率密度曲线为
fz(z)
1
称为辛普生分布
o
1
2z
例7 设 X和 Y 相互独立，
且都服从正态分布 N( ,2)，求 ZXY
的概率密度 fZ(z) .
解: F M ( z ) P ( Z z ) P ( M a x ( X ,Y ) z )
M a x ( X ,Y ) z X z且 Y z
P (Z z) P (X z 且 Y z)
P (Xz)P (Yz)
Fx(z)Fy(z)
例题12 N=Min(X,Y) X,Y 相互独立求F N(z)
F Z (z) P { Z z} P {X 2 Y 2 z}
①当Z<0时， FZ(z)0
当 z 0 时， F Z (z) P {X 2 Y 2 z } f(x ,y )d x d y
X 2 Y 2 z
FZ(z)
1
2
x2y2
e 2 dxdy
多维随机变量函数的分布
例题1
求：z=xy的分布列
x y －1 0 1
1 0.07 0.28 0.15 2 0.09 0.22 0.19
Z的取值 -1 0 1 -2 0 2
于是，我们可以得到Z的分布律
z
-2 -1 0 1 2
p
0.09 0.07 0.50 0.15 0.19
例题3 在区间(0,1) 中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6/5”的概率为?
解: F N ( z ) P ( Z z ) P ( M i n ( X ,Y ) z )
M in ( X ,Y ) z X z或 Y z
P (Z z) P (X z 或 Y z)
1 -P (Xz)P (Yz)
1-(1-Fx(z))(1-Fy(z))
故 ZXY~N (2,2 2),即 XY
也服从正态分布，其均值和方差都是原来的二倍。
以上结果可推广到一般情况：若 X1,X2,,Xn
相互独立，且 Xk ~N(k,k2) k1,2,,n
n
n
n
则 Z kX k~N ( kk, k2k2)
k 1
k 1
k 1
k
f(x,y)dydx
其中区域 xyz ，则 Z的概率密度
d

fZ(z)dzF Z(z) f(x,zx)dx
如果将上面的累次积分交换顺序，又可得

fZ(z)f(zy,y)dy

fZ(z)f(x,zx)dx
例9 已知二维随机变量（X,Y）的联合
概率密度为
k2
P{Yk2}k2 2!e2,
k20,1,2,
Z的所有可能取值为 0,1,2, ，而
P {Zi}P {XYi}
i
i
P {Xk,Yik}) P {Xk}P {Yik}
k0
k0
i
k
ik

1 e1 2
e2
k0 k!
(ik)!
第一步求联合密度第二步求z的分布函数
第三步求密度函数
由于X，Y相互独立，因此Z的概率密度为：
ey, 0x 1 , y0 f(x ,y)fX (x )fY (y) 0 , 其他
因此，Z=2X+Y 分布函数为:
F z(z) P 2 X Y zf(x ,y )d x d y
fZ(z) FZ (z) 0,
zez ,
z 0; z 0.
x+2y=z x
例题5
设随机变量 X,Y 相互独立，其概率密度分别为
1, 0x1 fX(x)0, 其他
ey, y 0 fY(y) 0, y0
求随机变量Z概率密度函数， Z2XY
基本步骤：
当 0z1时 p{Z z}＝1 z2
2
当 1z2时 p{Zz}＝ 1－1（ 2－z） 2
2
当 z2 时， F(Z)=1
0 z 0

1
z2
0 z 1
F (z)

2
1
1
(2
z)2
当
2
1
z2
1 z2
（上例续）求：Z=X+Y的密度函数
0 z 0
例题分析13
设X,Y 服从区域 G = { ( x ,y ) |0 X 1 ,0 Y 2 }
的均匀分布, Z =Max(X ,Y) 求 P(Z>1/2)=?
解: p{z 1} 1 p{z 1}
2
2
1 p{X 1 且Y 1}
2
2
1 1 1 7 24 8
解： Y 的可能的取值为 0 ， 1 ， 2 ， L n 1 + n 2
对于上述范围内的 k ，有
p ( Y k ) p (X 1 k 1 )p (X 2 k 2 ) k 1 k 2 k
其中为常数。
例题10 求 M=Max(X,Y)
Y X
0
1
N=Min(X,Y) 的分布律
0
P(M=1)=1/20+2/20+3/20=6/20 1
51 25 20
23 20 20
M0 1
2
p
5
6
9
20
20
20
2
63 20 20
N 01
p
14
6
20
20
例题11 M=Max(X,Y) X,Y 相互独立求F M(z)
0x1 其他
0y1
Z|XY|
当 z 0 F Z (z) 0
当 0 z 1 时 F Z (z) d x d y ＝ 2 z -z 2
当 1 z时 F Z (z) 1D
0
z0
故FZ(z)2zz2 0z1
1
z1
2(1z) 0z1
fz(z) 0
例题15
1ex F(x)
0
x0 x0
设x1,X2,X3…Xn 独立同分布,
求Y=Min(X1,..Xn)×n 的分布函数
解 : F Y ( y ) = P ( Y y ) = 1 - P ( Y > y )
y
==11--P [1{M -Fi(n(yx1),]xn2=,..1.x-en)-> yn} n
X2Y2z
xrco,syrsin
1
2
d
z r2
z2
e2rdr1e2
2 0
0
fZ(z)FZ' (z)z
z2
e2
,
z0
0, z0
例6 设二维随机变量(X,Y )的联合概率密度为:
f(x,y) 2e(x2y), 0,
x,y0; 其.它

1
z2
0 z 1
F (z)

2
1
1
(2
z)2
当
2
1
z2
1 z2
z 1 z 1
f (z) 2 z 1 z 2
0
其他
例题4 求z 的概率密度。 Z X2Y2
解：
设(X,Y)~f(x,y)21ex2 2y2,
Z X2Y2 的分布函数为：
e(12)i1!ki0Cik
k 1
ik 2
( 1
i
) e 2
( 1 2)
i!
i 0,1,2,
故 Z X Y ~ (1 2 )
例题设 X 1 ， X 2 独立，分别服从二项分布 B ( n 1 ,p ) ,B ( n 2 ,p ) ,求 Y ＝ X 1 ＋ X 2 的分布
以上公式卷公式： fX*fy
例8 设随机变量X, Y 相互独立,均服从区间(0，1) 上的均匀分布, 求: Z = X +Y 的
概率密度 fZ(z).
解
随机变 X,Y相量互独 , 立
fz(z ) f X (x )fY (z x )dx
在XOZ平面上作出区域G
G ( x ,z ) 0 x 1 , 0 z x 1