2018届广州市番禺区中考一模数学试题--有答案
人教版广东省广州市番禺区六校联合体2018-2019学年七年级(下)期中数学试题A卷(含解析)
2018-2019学年广东省广州市番禺区六校联合体七年级（下）期中数学试卷（A卷）一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（2分）下面四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是（）A．B．C．D．2．（2分）下面计算正确的是（）A．＝±6B．±＝6C．﹣＝﹣6D．＝﹣363．（2分）点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，P A＝4cm，PB＝5cm，PC ＝2cm，则点P到直线m的距离为（）A．4cm B．5cm C．小于2cm D．不大于2cm 4．（2分）若，则a的取值范围是（）A．a＞3B．a≥3C．a＜3D．a≤35．（2分）如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C＝32°，则∠BED的度数是（）A．32°B．16°C．49°D．64°6．（2分）点P（m，﹣2）与点P1（﹣4，n）关于x轴对称，则m，n的值分别为（）A．m＝4，n＝﹣2B．m＝﹣4，n＝2C．m＝﹣4，n＝﹣2D．m＝4，n＝2 7．（2分）如图所示，在数轴上表示实数的点可能是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q8．（2分）已知x、y满足方程组，则x+y的值是（）A．3B．5C．7D．99．（2分）在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，已知点A（﹣2，1）的对应点为A′（1，﹣2），点B的对应点为B′（2，0）．则B点的坐标为（）A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）10．（2分）如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，……，依此规律跳动下去，点P第200次跳动至点P200的坐标是（）A．（51，100）B．（50，100）C．（﹣50，100）D．（﹣51，100）二、填空题（每题2分，共12分）11．（2分）在，，3.1415926，2π中，其中无理数个．12．（2分）命题“同位角相等”是命题（填“真”或“假”）．13．（2分）一块直角三角板放在两平行直线上，如图所示，∠1+∠2＝度．14．（2分）已知AB平行于y轴，A点的坐标为（﹣3，﹣2），并且AB＝3，则B点的坐标为．15．（2分）已知点A（2a+3，a﹣4）在二、四象限的角平分线上，则a＝．16．（2分）如图，将△ABC向左平移3cm得到△DEF，AB、DF交于点G，如果△ABC的周长是12cm，那么△ADG与△BGF的周长之和是．三、解答题（共68分）17．（6分）计算：（1）++|﹣2|（2）﹣+18．（16分）解方程（1）（x﹣1）2＝9（2）8（x+2）3＝﹣27（3）（4）19．（6分）△ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图（1）分别写出下列各点的坐标：A′；B′；C′（2）若点P（m，n）是△ABC内部一点，则平移后△A′B′C′内的对应点P′的坐标为．（3）求△ABC的面积．20．（6分）某村为了尽早摆脱贫穷落后的现状，积极响应国家号召，15位村民集资8万元，承包了一些地产土地种植有机蔬菜和水果，种这两种作物每公顷需要人数和投入资金如表：作物种类每公顷所需人数/人每公顷投入资金/万元蔬菜42水果53在现有条件下，这15位村民应承包多少公顷土地，怎样安排能使每人都有事可做，并且资金正好够用？21．（6分）已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．（1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数；（2）求证：BE∥CD．22．（5分）已知＝1，且+（z﹣3）2＝0，求x+y3+z3的平方根．23．（5分）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是3的平方根，求﹣+x 的值．24．（6分）若方程组和方程组有相同的解，求a，b的值．25．（12分）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．（1）填空：∠BAN＝°；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD 的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．2018-2019学年广东省广州市番禺区六校联合体七年级（下）期中数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：A、∠1、∠2是邻补角，∠1+∠2＝180°；故本选项错误；B、∠1、∠2是对顶角，根据其定义；故本选项正确；C、根据平行线的性质：同位角相等，同旁内角互补，内错角相等；故本选项错误；D、根据三角形的外角一定大于与它不相邻的内角；故本选项错误．故选：B．2．【解答】解：A、＝6，故选项错误；B、±＝±6，故选项B错误；C、﹣＝﹣6，故选项C正确；D、＝36，故选项D错误．故选：C．3．【解答】解：当PC⊥l时，PC是点P到直线l的距离，即点P到直线l的距离2cm，当PC不垂直直线l时，点P到直线l的距离小于PC的长，即点P到直线l的距离小于2cm，综上所述：点P到直线l的距离不大于2cm，故选：D．4．【解答】解：，即a﹣3≥0，解得a≥3；故选：B．5．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCE，∵BC平分∠ABE，∴∠ABC＝∠EBC，∴∠BCE＝∠EBC＝32°，∴∠BED＝∠C+∠EBC＝64°，故选：D．6．【解答】解：∵点P（m，﹣2）与点Q（﹣4，n）关于x轴对称，根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴m＝﹣4，n＝2，故选：B．7．【解答】解：∵＜＜，即3＜＜4又∵＞7，即2＞3+4可转化为＞由此可说明与3的距离大于与4的距离即：距离4更近．故选：D．8．【解答】解：，①+②得：3（x+y）＝15，则x+y＝5．故选：B．9．【解答】解：∵点A（﹣2，1）的对应点为A′（1，﹣2），∴﹣2+3＝1，1﹣3＝﹣2，∴平移规律是横坐标向右平移3个单位，纵坐标向下平移3个单位，设点B的坐标为（x，y），则x+3＝2，y﹣3＝0，解得x＝﹣1，y＝3，所以点B的坐标为（﹣1，3）．故选：C．10．【解答】解：由题中规律可得出如下结论：设点P m的横坐标的绝对值是n，则在y轴右侧的点的下标分别是4（n﹣1）和4n﹣3，在y轴左侧的点的下标是：4n﹣2和4n﹣1；判断P200的坐标，就是看200＝4（n﹣1）和200＝4n﹣3和200＝4n﹣2和200＝4n﹣1这四个式子中哪一个有整数解，从而判断出点的横坐标，点P第200次跳动至点P200的坐标是（50，100）．故选：B．二、填空题（每题2分，共12分）11．【解答】解：，2π是无理数，故答案为：2．12．【解答】解：两直线平行，同位角相等，命题“同位角相等”是假命题，因为没有说明前提条件．故答案为：假．13．【解答】解：如图，∵∠1＝∠3，∠2＝∠4，而∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠2＝90°．故答案为：90．14．【解答】解：∵AB∥y轴，点A的坐标为（﹣3，﹣2），∴点B的横坐标为﹣3，∵AB＝3，∴点B在点A的上边时，点B的纵坐标为﹣2+3＝1，点B在点A的下边时，点B的纵坐标为﹣2﹣3＝﹣5，∴点B的坐标为：（﹣3，1）或（﹣3，﹣5）．故答案为：（﹣3，1）或（﹣3，﹣5）．15．【解答】解：∵点A（2a+3，a﹣4）在二、四象限的角平分线上，∴2a+3+a﹣4＝0，解得a＝．故答案为：．16．【解答】解：∵将△ABC向左平移3cm得到△DEF，∴AD＝EB，∴△ADG与△CEG的周长之和＝AD+DG+GF+AG+BG+BF＝EF+AB+DF＝BC+AB+AC＝12cm，故答案为：12cm三、解答题（共68分）17．【解答】解：（1）原式＝+4+2﹣＝6；（2）原式＝﹣1﹣6+7＝0．18．【解答】解：（1）（x﹣1）2＝9x﹣1＝±3∴x1＝4，x2＝﹣2（2）8（x+2）3＝﹣27（x+2）3＝﹣x+2＝﹣x＝﹣（3）②﹣①得：3y＝﹣3∴y＝﹣1把y＝﹣1代入①得：x+1＝3∴x＝2∴原方程组的解为（4）整理化简②得：3x+2y＝7 ③①×2得：2x+2y＝8④③﹣④得：x＝﹣1把x＝﹣1代入①得：﹣1+y＝4∴y＝5∴原方程组的解为19．【解答】解：（1）如图所示：A′（﹣3，﹣4），B′（0，﹣1）、C′（2，﹣3）；（2）A（1，0）变换到点A′的坐标是（﹣3，﹣4），横坐标减4，纵坐标减4，∴点P的对应点P′的坐标是（m﹣4，n﹣4）；（3）△ABC的面积为：3×5﹣×2×5﹣×2×2﹣×3×3＝3.5．故答案为：（﹣3，﹣4），（0，﹣1）、（2，﹣3）；（m﹣4，n﹣4）．20．【解答】解：设种植有机蔬菜x公顷，种植水果y公顷，依题意，得：，解得：，∴x+y＝3.5．答：这15位村民应承包3.5公顷土地，种植有机蔬菜2.5公顷，种植水果1公顷．21．【解答】解：（1）∵∠A＝∠ADE，∴AC∥DE，∴∠EDC+∠C＝180°，又∵∠EDC＝3∠C，∴4∠C＝180°，即∠C＝45°；（2）∵AC∥DE，∴∠E＝∠ABE，又∵∠C＝∠E，∴∠C＝∠ABE，∴BE∥CD．22．【解答】解：∵＝1，∴x＝1，∵+（z﹣3）2＝0，∴y﹣2x＝0，z﹣3＝0，解得y＝2，z＝3，∴x+y3+z3的平方根是：±＝±6．23．【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是3的平方根，∴a+b＝0，cd＝1，x＝±，∴﹣+x＝0﹣±＝﹣2或0．24．【解答】解：解方程组解得：把x＝﹣1，y＝﹣10代入另外两方程得：解得：25．【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，∴∠BAN＝180°×＝60°，故答案为：60；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当0＜t＜90时，如图1，∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM＝∠BDA，∴∠CAM＝∠PBD∴2t＝1•（30+t），解得t＝30；②当90＜t＜150时，如图2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA＝180°，∵AC∥BD，∴∠CAN＝∠BDA∴∠PBD+∠CAN＝180°∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，解得t＝110，综上所述，当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化．理由：设灯A射线转动时间为t秒，∵∠CAN＝180°﹣2t，∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，又∵∠ABC＝120°﹣t，∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°，∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°，∴∠BAC：∠BCD＝2：1，即∠BAC＝2∠BCD，∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．。
广东省广州市番禺区2018-2019学年九年级上学期数学期末考试试卷
广东省广州市番禺区2018-2019学年九年级上学期数学期末考试试卷一、选择题（共10题；共20分）1.一元二次方程是的根的是（）A. B. C. D.2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.在⊙O中，弦AB的长为，圆心O到AB的距离为1cm，则⊙O的半径是（）A. 2B. 3C.D.4.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则二次项系数a的取值范围是（）A. B. C. 且 D. 且5.如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（）A. （3，3）B. （4，3）C. （3，1）D. （4，1）6.某公司2018年10月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，12月份的生产成本是361万元。
若该公司这两月每个月生产成本的下降率都相同，则每个月生产成本的下降率是（）A. 12%B. 9%C. 6%D. 5%7.一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号1、2、3，随机摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号之和为5的概率是（）A. B. C. D.8.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数为（）A. 60°B. 50°C. 40°D. 30°9.如图，在等边△ABC中，AB=6，点D是BC的中点，将△ABC绕点A逆时针旋转后得到△ACE，那么线段DE的长为（）A. B. 6 C. D.10.如图，抛物线与x轴交于点A和B，线段AB的长为2，则k的值是（）A. 3B. −3C. −4D. −5二、填空题（共6题；共6分）11.方程的解为________．12.点A（2，3）关于原点对称的坐标为________．13.用配方法将变形为，则m=________．14.将抛物线向右平移1个单位所得到抛物线的解析式是________．15.如图，要使△ABC∽△DBA，则只需要添加一个合适的条件是________．16.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC与∠ACB的平分线相较于点E，过点E作EF∥BC 交AC于点F，则EF的长为________．三、解答题（共9题；共100分）17.（1）解方程：；（2）用配方法解方程：18.如图，平面直角坐标系中，A、B、C坐标分别是（−2，4）、（0，−4）、（1，−1）．将△ABC绕点O 逆时针方向旋转90°后得到△A′B′C′（1）①画出△A′B′C′，并写出A′、B′、C′的坐标；②画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；（2）以O为圆心，OA为半径画圆，求扇形OA′A1．19.画出函数的图象，写出它的开口方向，对称轴和顶点，并说明当y随x的增大而增大时，x的取值范围．20.如图，D、E分别是⊙O两条半径OA、OB的中点，．（1）求证：CD=CE．（2）若∠AOB=120°，OA=x，四边形ODCE的面积为y，求y与x的函数关系式．21.有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字−1，−2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M的坐标为（x，y）．（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；（2）求点M（x，y）在函数的图象上的概率；（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．22.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG=x mm，EF=y mm．（1）写出x与y的关系式；（2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值．23.如图，已知，⊙O的半径，弦AB，CD交于点E，C为的中点，过D点的直线交AB 延长线与点F，且DF=EF．（1）如图1，试判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图2，连接AC，若AC∥DF，BE= AE，求CE的长．24.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB与点D，以A为圆心，AD长为半径画弧，交边AC于点E，连接CD．（1）若∠A=28°，求∠ACD的度数；（2）设BC=a，AC=b．①线段AD的长是方程的一个根吗？为什么？②若AD=EC，求的值．25.如图，已知，抛物线过点A（−2，5），过A点作x轴的平行线，交抛物线与另一点C，交y轴与点Q，点D（m，5）为线段QC上一动点（不与Q、C重合），作点Q关于直线OD的对称点P，连接PC，PD．（1）当点P落在抛物线的对称轴上时，求△OPD的面积；（2）若直线PD交x轴与点E．试探究四边形OECD能否为平行四边形？若能，求出m的值，若不能，请说明理由．（3）设点P（h，k）．①求PC取最小值时k的值；②当0<m≤5时，试探究h与m之间的关系．答案解析部分一、选择题1.【答案】C【解析】【解答】解：x2+x=0x（x+1）=0x1=0，x2=-1故答案为：C.【分析】利用因式分解解一元二次方程即可得到答案。
2018年广州中考数学一模第10题和16题专题汇编参考答案
2018一模计算题汇编——参考答案【例题分析】例题1、C因为∠ADE+∠2+∠FDC＝∠FDC+∠C+∠CFD＝180°但∠A＝∠2＝∠C所以∠ADE＝∠CFD又因为DE＝DF所以△ADE≌△CFDAE＝DC, AD＝CF所以AE+CF＝AD+DC＝AC例题2、C①，利用抛物线与轴有个交点和判别式的意义，知，，故①错误。
②，由抛物线开口方向得到，由抛物线对称轴位置可知，即，由抛物线与y轴交点位置得到，得，故②正确。
③，将代入得，又对称轴为直线，所以，解得，代入不等式得，即。
故③正确。
④，利用抛物线的对称性得到和时的函数值相等，即时，，则，故④正确。
综上所述，结论正确的个数为3个。
例题3、①②③.解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF等边三角形，∴AE=EF=AF，∠EAF=60°，∴∠BAE+∠DAF=30°.在Rt△ABE和Rt△ADF中，AE=AF，AB=AD，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF（故①正确），∠BAE=∠DAF，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°（故②正确）.∵BC=CD，BE=DF，∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF.∵AE=AF，CE=CF，∴AC垂直平分EF（故③正确）.设EC=x，由勾股定理，得EF=x，CG=x，AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x，∴AC=，∴AB=，∴BE=-x=，∴BE+DF=x-x≠x（故④错误）.例题4、①②③①项，在矩形中，，根据“两直线平行，内错角相等”可得，因为，所以，所以。
故①项正确。
②项，由对顶角的性质可得，又因为，所以，因此。
又因为，是的中点，所以，故。
故②项正确。
③项，如图所示，过作，交于点。
在矩形中，且，由“两直线平行，内错角相等”可得，因为，所以。
2018年广州中考数学一模计算题汇编参考答案
2018一模计算题汇编——参考答案一、一元一次方程1、（育才一模）解方程：()4321x x -=-解： 2234-=-x x3224+-=-x x 12=x21=x2、（广州中学一模）解方程：1615312=--+x x 解：-3x 3x - 2-1-65x -4x 61524 6)15(1226====+-+=--+x x x x ）（得，等式两边同时二、解不等式/组1、（海珠区一模）解不等式组⎩⎨⎧≥--+1)1(2042x x x ＞解：解①得：2-＞x解②得：1≤x此不等式组的解集为：12-≤x ＜2、（二中一模）解不等式 2123+-x x ＞，并把它的解集在数轴上表示出来. 解：146+-x x ＞416+-＞x x 55＞x 1＞x解集1＞x 在数轴上表示如下：3、（荔湾区一模）解不等式组⎩⎨⎧++≥7)2(251-3x x x ＜，并把解集在数轴上表示出来.解：解①得：2≥x解②得：3＜x此不等式组的解集为：32＜x ≤ 解集32＜x ≤在数轴上表示如下：4、（汇景实验一模）解不等式：)1(35-≥+x x解： 335-≥+x x533---≥x x 82--≥x 4≤x5、（越秀八一一模）解不等式组 ⎩⎨⎧-≤-4)2(36-2x x x ＞.解：解①得：3-＞x解②得：1≤x此不等式组的解集为：13-≤x ＜6、（增城一模）解不等式组 ⎩⎨⎧≤-+0203x x ＞，并把它的解集在数轴上表示出来。
解：解①得：3-＞x解②得：2≤x此不等式组的解集为：23-≤x ＜解集23-≤x ＜在数轴上表示如下：7、（黄埔区一模）解不等式组 ⎩⎨⎧--+2453x43x x x ＜＞.解：解①得：2-＞x解②得：3-＞x此不等式组的解集为：2-＞x三、二元一次方程组1、（番禺区一模）解方程组⎩⎨⎧=-=+1323y x y x解：由①得，y x -=3③③代入②得，13)3(2=--y y 即55-=-y 解得1=y把1=y 代入③得，2=x∴原方程组的解为⎩⎨⎧==12y x ．2、（天河区九校）解方程组⎩⎨⎧=-=+112332y x y x解：①+②得， 144=x解得27=x 把27=x 代入①得，3227=+y即212-=y解得41-=y① ②∴原方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==41-27y x ．四、分解因式1、（白云区一模）分解因式：822-x解：原式()422-=x)2(22-+=x x ）（五、一元二次方程1、（花都一模）解方程：0562=+-x x解：1,532234)3(95965621222==+±=±=-=-+-=+--=-x x x x x x x x x2、（广大附中一模）解方程：（1）22)1(3-=-x x x 解：32,1023010)23)(1(0253022332122===-=-=--=+-=+--x x x x x x x x x x x 或六、分式方程1、（省实一模）解方程：312-=x x解：6x 6x -2x 62 323===-=--⨯xx x x x x ）（得，）（等式两边同时经检验，6=x 是原方程的解2、（一中一模）解方程：141-x 21x 12-=++x解：1x 33x 12-4x 2x 4221 4)1(21)1)(1(==+=+=++-=++-+-⨯x x x x x x ）得，（等式两边同时 经检验，1=x 时01,012=-=-x x ，所以原方程无解。
广东省广州市番禺区2018-2019学年八年级上学期统考期末数学试题 (解析版)
广东省广州市番禺区2018-2019学年八年级上学期统考期末数学试题一、选择题（每小题2分，满分20分）1．如图，△ABO关于x轴对称，点A的坐标为（1，﹣2），则点B的坐标为（）A．（2，1）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）2．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a6C．a6÷a2＝a3D．23＝63．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．2，3，5B．3，6，11C．6，8，10D．3，2，14．小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约0.000326毫米，用科学记数法表示为（）A．3.26×10﹣4毫米B．0.326×10﹣4毫米C．3.26×10﹣4厘米D．32.6×10﹣4厘米5．如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形，若拿掉边长为2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一个矩形，则这个矩形的面积为（）A．9a2﹣4b2B．3a+2b C．6a2+2b2D．9a2﹣6ab6．要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠1B．x≠﹣1C．x≠±1D．任何数都可以7．若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于（）A．3B．﹣5C．7D．7或﹣18．一个n边形的内角和为540°，则n的值为（）A．4B．5C．6D．79．如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点，若∠CAE＝16°，则∠B的大小为（）A．32°B．36°C．37°D．74°10．已知＝3，则代数式的值是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题2分，满分12分．）11．计算：（x+1）（x+2）＝．12．分式方程＝1的解是．13．因式分解：x2﹣9＝．14．一个等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角的度数是．15．等腰三角形的底角是15°，腰长为10，则其腰上的高为．16．如图，点D、E在△ABC边上，沿DE将△ADE翻折，点A的对应点为点A′，∠A′EC＝，∠A′DB＝，且＜，则∠A等于（用含、的式子表示）．三、解答题（本大题共9小题，满分68分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（6分）分解因式：（1）ax+ay（2）x4﹣b4（3）3ax2﹣6axy+3ay218．（6分）如图，已知△ABC，AC＜BC，（1）尺规作图：作△ABC的边BC上的高AD（不写作法，保留作图痕迹）．（2）试用尺规作图的方法在线段BC上确定一点P，使P A+PC＝BC，并说明理由．19．（7分）（1）计算：（x﹣8y）（x﹣y）；（2）解分式方程：．20．（7分）在如图所示的方格纸中，（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1．（2）说明△A2B2C2可以由△A1B1C1经过怎样的平移变换得到？（3）以MN所在直线为x轴，AA1的中点为坐标原点，建立直角坐标系xOy，试在x轴上找一点P，使得P A1+PB2最小，直接写出点P的坐标．21．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA．（1）求证：BE∥DF；（2）若∠ABC＝56°，求∠ADF的大小．22．（8分）（1）计算：÷；（2）先化简，再求值：，其中x＝﹣23．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连接CD，过点C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE交BC于点F，连接BE．（1）求证：AB⊥BE；（2）当AD＝BF时，求∠BE F的度数．24．（8分）某校为创建“书香校园”，购置了一批图书，已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普类图书的数量与购买文学类图书的数量相等．求科普类图书平均每本的价格．25．（10分）阅读下面的学习材料（研学问题），尝试解决问题：（a）某学习小组在学习时遇到如下问题：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为边BC上一点，DA＝DB，E为AD延长线上一点，∠AEB＝120°，猜想BC、EA、EB的数量关系，并证明结论．大家经探究发现：过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F，如图②所示，构造全等三角形使问题容易求解，请写出解答过程．参考上述思考问题的方法，解答下列问题：（b）如图③，等腰△ABC中，AB＝AC，H为AC上一点，在BC的延长线上顺次取点E、F，在CB的延长线上取点BD，使EF＝DB，过点E作EG∥AC交DH的延长线于点G，连接AF，若∠HDF+∠F＝∠BAC．（1）探究∠BAF与∠CHG的数量关系；（2）请在图中找出一条和线段AF相等的线段，并证明你的结论．参考答案一、选择题1．如图，△ABO关于x轴对称，点A的坐标为（1，﹣2），则点B的坐标为（）A．（2，1）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）【分析】根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得出结果．解：由题意，可知点B与点A关于x轴对称，又∵点A的坐标为（1，﹣2），∴点B的坐标为（1，2）．故选：B．【点评】本题考查了平面直角坐标系中关于x轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．能够根据题意得出点B与点A关于x轴对称是解题的关键．2．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a6C．a6÷a2＝a3D．23＝6【分析】结合选项分别进行同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方和积的乘方等运算，然后选择正确选项．解：A、a2•a3＝a5，原式错误，故本选项错误；B、（a2）3＝a6，计算正确，故本选项正确；C、a6÷a2＝a4，原式错误，故本选项错误；D、23＝8，原式错误，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方和积的乘方等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．2，3，5B．3，6，11C．6，8，10D．3，2，1【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得A中，2+3＝5，不能组成三角形；B中，3+6＝9＜11，不能组成三角形；C中，6+8＝14＞10，能够组成三角形；D中，1+2＝3，不能组成三角形．故选：C．【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．4．小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约0.000326毫米，用科学记数法表示为（）A．3.26×10﹣4毫米B．0.326×10﹣4毫米C．3.26×10﹣4厘米D．32.6×10﹣4厘米【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：0.000326毫米，用科学记数法表示为3.26×10﹣4毫米．故选：A．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5．如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形，若拿掉边长为2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一个矩形，则这个矩形的面积为（）A．9a2﹣4b2B．3a+2b C．6a2+2b2D．9a2﹣6ab【分析】依据阴影部分的三块拼成一个矩形，求得阴影部分的面积即可得到这个矩形的面积．解：∵阴影部分面积＝9a2﹣4b2，∴将阴影部分的三块拼成一个矩形，则这个矩形的面积为9a2﹣4b2，故选：A．【点评】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解题时注意：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积．6．要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠1B．x≠﹣1C．x≠±1D．任何数都可以【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分母不等于0，即x﹣1≠0，解得x的取值范围．解：要使分式有意义，则x﹣1≠0，解得x≠1．故选：A．【点评】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．7．若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于（）A．3B．﹣5C．7D．7或﹣1【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．解：∵x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，∴m﹣3＝±4，解得：m＝7或﹣1，故选：D．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．8．一个n边形的内角和为540°，则n的值为（）A．4B．5C．6D．7【分析】本题可利用多边形的内角和为（n﹣2）•180°解决问题．解：根据题意，得（n﹣2）•180°＝540°，解得：n＝5．故选：B．【点评】考查了多边形内角与外角，本题需仔细分析题意，利用多边形的内角和公式结合方程即可解决问题．9．如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点，若∠CAE＝16°，则∠B的大小为（）A．32°B．36°C．37°D．74°【分析】先判断出∠AEC＝90°，进而求出∠ADC＝∠C＝74°，最后用等腰三角形的外角的性质即可得出结论．解：∵AD＝AC，点E是CD中点，∴AE⊥CD，∴∠AEC＝90°，∴∠C＝90°﹣∠CAE＝74°，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠C＝74°，∵AD＝BD，∴2∠B＝∠ADC＝74°，∴∠B＝37°，故选：C．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质的综合运用，解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．10．已知＝3，则代数式的值是（）A．B．C．D．【分析】由＝3得出＝3，即x﹣y＝﹣3xy，整体代入原式＝，计算可得．解：∵＝3，∴＝3，∴x﹣y＝﹣3xy，则原式＝＝＝＝，故选：D．【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运用．二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．）11．计算：（x+1）（x+2）＝x2+3x+2．【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果．解：原式＝x2+2x+x+2＝x2+3x+2，故答案为：x2+3x+2【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．分式方程＝1的解是x＝2．【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：去分母得：2x﹣1＝3，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解．故答案为：x＝2．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．13．因式分解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．【分析】原式利用平方差公式分解即可．解：原式＝（x+3）（x﹣3），故答案为：（x+3）（x﹣3）．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．14．一个等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角的度数是50°或80°．【分析】等腰三角形一内角为50°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．解：（1）当50°角为顶角，顶角度数即为50°；（2）当50°为底角时，顶角＝180°﹣2×50°＝80°．故填50°或80°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．15．等腰三角形的底角是15°，腰长为10，则其腰上的高为5．【分析】根据题意作出图形，利用等腰三角形的两底角相等求出三角形的顶角等于150°，所以顶角的邻补角等于30°，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出．解：如图，△ABC中，∠B＝∠ACB＝15°，∴∠BAC＝180°﹣15°×2＝150°，∴∠CAD＝180°﹣150°＝30°，∵CD是腰AB边上的高，∴CD＝AC＝×10＝5cm．故答案为：5．【点评】本题考查了等腰三角形的性质与30°所对的直角边等于斜边的一半的性质，根据题意作出图形是解题的关键，对学生来说也是难点．16．如图，点D、E在△ABC边上，沿DE将△ADE翻折，点A的对应点为点A′，∠A′EC＝，∠A′DB＝，且＜，则∠A等于β﹣α（用含、的式子表示）．【分析】根据翻转变换的性质得到ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，根据三角形的外角的性质计算，得到答案．解：由折叠的性质可知，∠ADE＝∠A′DE＝（180°﹣β）＝90°﹣β，∠AED＝∠A′ED，设∠DEC＝x，则180°﹣x＝α+x，解得，x＝90°﹣α，∴∠A＝∠DEC﹣∠ADE＝β﹣α，故答案为：β﹣α．【点评】本题考查的是翻转变换的性质，三角形的外角的性质，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答题（本大题共9小题，满分68分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（6分）分解因式：（1）ax+ay（2）x4﹣b4（3）3ax2﹣6axy+3ay2【分析】（1）提取公因式a分解因式即可；（2）两次利用平方差公式分解因式得出答案；（3）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式分解因式即可．解：（1）ax+ay＝a（x+y）；（2）x4﹣b4＝（x2+b2）（x2﹣b2）＝（x2+b2）（x+b）（x﹣b）；（3）3ax2﹣6axy+3ay2＝3a（x2﹣2xy+y2）＝3a（x﹣y）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．18．（6分）如图，已知△ABC，AC＜BC，（1）尺规作图：作△ABC的边BC上的高AD（不写作法，保留作图痕迹）．（2）试用尺规作图的方法在线段BC上确定一点P，使P A+PC＝BC，并说明理由．【分析】（1）直接利用过一点作已知直线的垂线作法得出答案；（2）利用线段垂直平分线的作法与性质得出答案．解：（1）如图所示：AD即为所求；（2）如图所示：点P即为所求．理由：∵MN垂直平分线段AB，∴AP＝BP，∴P A+PC＝BP+PC＝BC．【点评】此题主要考查了复杂作图，正确应用线段垂直平分线的性质是解题关键．19．（7分）（1）计算：（x﹣8y）（x﹣y）；（2）解分式方程：．【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：（1）原式＝x2﹣9xy+8y2；（2）去分母得：x2﹣3x+2+2x＝x2﹣2x，解得：x＝﹣2，经检验x＝﹣2是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．20．（7分）在如图所示的方格纸中，（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1．（2）说明△A2B2C2可以由△A1B1C1经过怎样的平移变换得到？（3）以MN所在直线为x轴，AA1的中点为坐标原点，建立直角坐标系xOy，试在x轴上找一点P，使得P A1+PB2最小，直接写出点P的坐标．【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；（2）依据△A2B2C2与△A1B1C1的位置，即可得到平移的方向和距离；（3）连接AB2，交x轴于P，连接A1P，依据两点之间，线段最短，即可得到P A1+PB2最小，进而得到点P的坐标．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）△A2B2C2可以由△A1B1C1向右平移6个单位，向下平移2个单位得到；（3）如图，连接AB2，交x轴于P，连接A1P，则P A1+PB2最小，此时，点P的坐标为（1，0）．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题以及利用轴对称变换作图，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．21．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA．（1）求证：BE∥DF；（2）若∠ABC＝56°，求∠ADF的大小．【分析】（1）根据四边形的内角和定理和∠A＝∠C＝90°，得∠ABC+∠ADC＝180°；根据角平分线定义、等角的余角相等易证明和BE与DF两条直线有关的一对同位角相等，从而证明两条直线平行；（2）根据四边形的内角和和角平分线的定义即可得到结论．（1）证明：∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠1＝∠2＝∠ABC，∠3＝∠4＝∠ADC，∴∠1+∠3＝（∠ABC+∠ADC）＝×180°＝90°，又∠1+∠AEB＝90°，∴∠3＝∠AEB，∴BE∥DF；（2）解：∵∠ABC＝56°，∴∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC＝124°，∵DF平分∠CDA，∴∠ADF＝∠ADC＝62°．【点评】本题考查了平行线的判定，角平分线定义，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出∠EBC和∠DFC的度数，难度适中．22．（8分）（1）计算：÷；（2）先化简，再求值：，其中x＝﹣【分析】（1）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．解：（1）原式＝•＝﹣；（2）原式＝•＝•＝﹣2（3+x）＝﹣2x﹣6，当x＝﹣时，原式＝3﹣6＝﹣3．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连接CD，过点C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE交BC于点F，连接BE．（1）求证：AB⊥BE；（2）当AD＝BF时，求∠BEF的度数．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠A＝∠ABC＝45°，根据“SAS”可证△ACD ≌△BCE，可得∠A＝∠CBE＝45°＝∠ABC，即AB⊥BE；（2）由全等三角形的性质可得AD＝BE＝BF，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BEF的度数．证明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵CE⊥CD，∴∠DCE＝90°，∴∠ACB＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE，且AC＝BC，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠A＝∠CBE＝45°∵∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝45°+45°＝90°，∴AB⊥BE（2）∵△ACD≌△BCE∴AD＝BE∵AD＝BF∴BE＝BF，且∠CBE＝45°∴∠BEF＝∠BFE＝67.5°【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定和性质解决问题是本题的关键．24．（8分）某校为创建“书香校园”，购置了一批图书，已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普类图书的数量与购买文学类图书的数量相等．求科普类图书平均每本的价格．【分析】设科普类图书平均每本的价格为x元，则文学类图书平均每本的价格为（x﹣5）元，根据数量＝总价÷单价结合用10000元购买科普类图书和用9000元购买文学类图书数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论．解：设科普类图书平均每本的价格为x元，则文学类图书平均每本的价格为（x﹣5）元，根据题意得：＝，解得：x＝50，经检验，x＝50是所列分式方程的解，且符合题意．答：科普类图书平均每本的价格为50元．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式是解题的关键．25．（10分）阅读下面的学习材料（研学问题），尝试解决问题：（a）某学习小组在学习时遇到如下问题：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为边BC上一点，DA＝DB，E为AD延长线上一点，∠AEB＝120°，猜想BC、EA、EB的数量关系，并证明结论．大家经探究发现：过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F，如图②所示，构造全等三角形使问题容易求解，请写出解答过程．参考上述思考问题的方法，解答下列问题：（b）如图③，等腰△ABC中，AB＝AC，H为AC上一点，在BC的延长线上顺次取点E、F，在CB的延长线上取点BD，使EF＝DB，过点E作EG∥AC交DH的延长线于点G，连接AF，若∠HDF+∠F＝∠BAC．（1）探究∠BAF与∠CHG的数量关系；（2）请在图中找出一条和线段AF相等的线段，并证明你的结论．【分析】（a）如图2中，结论：BC＝AE+BE．理由如下，只要证明△BAF≌△ABC，推出BC＝AF，再证明EF＝BE，可得BC＝AF＝AE+EF＝AE+BE；（b）（1）由∠F+∠FDG＝∠BAC，推出∠CHG＝∠FDG+∠DCH＝∠FDG+∠F+∠CAF＝∠BAC+∠CAF＝∠BAF；（2）结论：AF＝DG．如图3中，延长BD到R，使得BR＝CF，连接AR，作AJ∥CF 交EG的延长线于J，连接FJ．首先证明四边形ACEJ，四边形AJDR是平行四边形，再证明△ABF≌△JED，想办法证明∠1＝∠2，即可解决问题．解：（a）如图2中，结论：BC＝AE+BE．理由如下，∵DA＝DB，∴∠DBA＝∠DAB，∵AF⊥BF，∴∠F＝∠C＝90°，在△BAF和△ABC中，，∴△BAF≌△ABC（AAS），∴BC＝AF，∵∠AEB＝120°＝∠F+∠FBE，∴∠FBE＝30°，∴EF＝BE，∴BC＝AF＝AE+EF＝AE+BE，∴BC＝AE+BE；（b）（1）如图3中，∵∠HDF+∠F＝∠BAC，∴∠CHG＝∠FDG+∠DCH＝∠FDG+∠F+∠CAF＝∠BAC+∠CAF＝∠BAF，∴∠CHG＝∠BAF；（2）结论：AF＝DG．理由如下，如图3中，延长BD到R，使得BR＝CF，连接AR，作AJ∥CF交EG的延长线于J，连接FJ．∵AJ∥CE，AC∥JE，∴四边形ACEJ是平行四边形，∴AJ＝CE，AC＝JE，∵AB＝CA，∴JE＝AB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABR＝∠ACF，在△ABR和△ACF中，，∴△ABR≌△ACF（SAS），∴AR＝AF，∵BR＝CF，BD＝EF，∴DR＝CE＝AJ，EF＝BF，∵AJ∥RD，∴四边形ARDJ是平行四边形，∴JD＝AR＝AF，在△ABF和△JED中，，∴△ABF≌△JED（SSS），∴∠1＝∠BAF，∵∠BAF＝∠CHG＝∠2，∴∠1＝∠2，∴DG＝FJ，∴AF＝DG．【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、直角三角形30度角性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形或特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．。
浙教版九年级数学上册：4.5 相似三角形的性质及应用 同步练习(含答案)
4.5 相似三角形的性质及其应用一．填空题1．（2019•奉贤区一模）联结三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是．2．（2019•南关区一模）利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝18米，则建筑物的高AB为米．3．（2019•曲阜市二模）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，BD 足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为．4．（2019春•广陵区校级期末）如图，∠ACB＝90°，CD是Rt△ABC斜边上的高，已知AB＝25cm，BC＝15cm，则BD＝．5．（2019春•滨湖区期末）如图，平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，AE和BD交于点F，已知△ABF的面积等于6，△BEF的面积等于4，则四边形CDFE的面积等于．二．选择题（共10小题）6．（2019春•海州区校级月考）若P是Rt△ABC斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有（）条．A．1 B．2 C．3 D．47．（2018秋•嘉兴期末）如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（）A．60mm B．mm C．20mm D．mm8．（2019•新乐市二模）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB、AD中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝（）A．1.2 里B．1.5 里C．1.05 里D．1.02 里9．（2018春•南票区期末）如图，在平行四边形ABCD中，O1、O2、O3分别是对角线BD上的三点，且BO1＝O1O2＝O2O3＝O3D，连接AO1并延长交BC于点E，连接EO3并延长交AD于点F，则AF：DF等于（）A．19：2 B．9：1 C．8：1 D．7：110．（2018秋•秀洲区期末）如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（）①＝；②＝；③△EDG∽△CBG；④＝．A．1个B．2个C．3个D．4个11．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：12．（2018秋•道里区期末）如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则的值为（）A．B．C．D．13．（2018秋•南岗区校级月考）两个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23，它们周长的差是40，则这两个三角形的周长分别为（）A．75，115 B．60，100 C．85，125 D．45，8514．（2019•毕节市）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．100cm2B．150cm2C．170cm2D．200cm215．（2018秋•襄州区期末）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝18米，那么该古城墙的高度是（）A．6米B．8米C．12米D．24米三．解答题16．（2019•余杭区二模）如图，在△ABC中，AD、BE是中线，它们相交于点F，EG∥BC，交AD于点G．（1）求证：△FGE∽△FDB；（2）求的值．17．（2018秋•梁溪区校级期中）（1）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，点P是边AB上一点，若△PAD∽△CBP，请利用没有刻度的直尺和圆规，画出满足条件的所有点P；（2）在（1）的条件下，若AB＝8，AD＝3，BC＝4，则AP的长是．18．（2018秋•德清县期末）如图，点C，D在线段AB上，CD2＝AC•DB，且△PCD是等边三角形．（1）证明：△ACP∽△PDB；（2）求∠APB的度数．19．（2018秋•昌图县期末）如图，路灯（点P）距地面6m，身高1.5m的学生小明从路灯的底部点O处，沿射线OH走到距路灯底部9m的点B处，此时小明的身影为BN，接着小明走到点N处，此时的身影为AM．求学生小明的身影长度变长了多少米．（小明如图中BD、AC所示）20．（2018秋•番禺区期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG＝xmm，EF＝ymm．（1）写出x与y的关系式；（2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值．参考答案一．填空题1．（2019•奉贤区一模）联结三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是1：2．【思路点拨】根据D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，求证△DEF∽△ABC，然后利用相似三角形周长比等于相似比，可得出答案．【答案】解：如图，∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，∴DE+DF+EF＝AC+BC+AB，∵△DEF∽△ABC，∴所得到的△DEF与△ABC的周长之比是：1：2．故答案为：1：2．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质和三角形中位线定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用了相似三角形周长比等于相似比．2．（2019•南关区一模）利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝18米，则建筑物的高AB为15米．【思路点拨】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可．【答案】解：∵AB∥CD，∴△EBA∽△ECD，∴＝，即＝，∴AB＝15（米）．故答案为：15．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形，难度不大．3．（2019•曲阜市二模）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，BD 足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.4m．【思路点拨】由∠ABO＝∠CDO＝90°、∠AOB＝∠COD知△ABO∽△CDO，据此得＝，将已知数据代入即可得．【答案】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABO＝∠CDO＝90°，又∵∠AOB＝∠COD，∴△ABO∽△CDO，则＝，∵AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，∴＝，解得：CD＝0.4，∴栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.4m．故答案为：0.4．【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．4．（2019春•广陵区校级期末）如图，∠ACB＝90°，CD是Rt△ABC斜边上的高，已知AB＝25cm，BC＝15cm，则BD＝9cm．【思路点拨】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【答案】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠ACB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△ACB∽△CDB，∴，∴，解得：BD＝9cm，故答案为：9cm．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．5．（2019春•滨湖区期末）如图，平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，AE和BD交于点F，已知△ABF的面积等于6，△BEF的面积等于4，则四边形CDFE的面积等于11．【思路点拨】利用三角形面积公式得到AF：FE＝3：2，再根据平行四边形的性质得到AD∥BE，S△ABD＝S△CBD，则可判断△AFD∽△EFB，利用相似的性质可计算出S△AFD＝9，所以S△ABD＝S△CBD＝15，然后用△BCD的面积减去△BEF的面积得到四边形CDFE的面积．【答案】解：∵△ABF的面积等于6，△BEF的面积等于4，即S△ABF：S△BEF＝6：4＝3：2，∴AF：FE＝3：2，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BE，S△ABD＝S△CBD，∴△AFD∽△EFB，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△AFD＝×4＝9，∴S△ABD＝S△CBD＝6+9＝15，∴四边形CDFE的面积＝15﹣4＝11．故答案为11．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质．二．选择题6．（2019春•海州区校级月考）若P是Rt△ABC斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有（）条．A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．【答案】解：由于△ABC是直角三角形，过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．故选：C．【点睛】本题主要考查三角形相似判定定理及其运用．解题时运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似．7．（2018秋•嘉兴期末）如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（）A．60mm B．mm C．20mm D．mm【思路点拨】利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．【答案】解：如图，设AD交PN于点K．∵PM：PQ＝3：2，∴可以假设MP＝3k，PQ＝2k．∵四边形PQNM是矩形，∴PM∥BC，∴△APM∽△ABC，∵AD⊥BC，BC∥PM，∴AD⊥PN，∴＝，∴＝，解得k＝20mm，∴PM＝3k＝60mm，故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．8．（2019•新乐市二模）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB、AD中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝（）A．1.2 里B．1.5 里C．1.05 里D．1.02 里【思路点拨】首先根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可．【答案】解：如图所示：∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过A点，∴FA∥EG，EA∥FH，∴∠HFA＝∠AEG＝90°，∠FHA＝∠EAG，∴△GEA∽△AFH，∴＝．∵AB＝9里，DA＝7里，EG＝15里，∴FA＝3.5里，EA＝4.5里，∴＝，解得：FH＝1.05里．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形．9．（2018春•南票区期末）如图，在平行四边形ABCD中，O1、O2、O3分别是对角线BD上的三点，且BO1＝O1O2＝O2O3＝O3D，连接AO1并延长交BC于点E，连接EO3并延长交AD于点F，则AF：DF等于（）A．19：2 B．9：1 C．8：1 D．7：1【思路点拨】根据题意，易得△BO3E∽△DO3F和△BO1E∽△DO1A，利用相似的性质得出DF：BE的值，再求出BE：AD的值，进而求出AF：DF．【答案】解：根题意，在平行四边形ABCD中，易得△BO3E∽△DO3F∴BE：FD＝3：1∵△BO1E∽△DO1A∴BE：AD＝1：3∴AD：DF＝9：1∴AF：DF＝（AD﹣FD）：DF＝（9﹣1）：1＝8：1故选：C．【点睛】考查了平行四边形的性质，对边相等．利用相似三角形三边成比例列式，求解即可．10．（2018秋•秀洲区期末）如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（）①＝；②＝；③△EDG∽△CBG；④＝．A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】根据三角形的重心的概念和性质得到AE，CD是△ABC的中线，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，根据相似三角形的性质定理判断即可．【答案】解：∵点G是△ABC的重心，∴AE，CD是△ABC的中线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△DGE∽△BGC，∴＝，①正确；＝，②正确；△EDG∽△CBG，③正确；＝（）2＝，④正确，故选：D．【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．11．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：【思路点拨】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．【答案】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，∴△ABC与△DEF的相似比为：：2，∴△ABC与△DEF的周长比为：：2．故选：C．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．12．（2018秋•道里区期末）如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则的值为（）A．B．C．D．【思路点拨】根据相似三角形的性质解答即可．【答案】解：∵△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，∴，∴，故选：B．【点睛】此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．13．（2018秋•南岗区校级月考）两个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23，它们周长的差是40，则这两个三角形的周长分别为（）A．75，115 B．60，100 C．85，125 D．45，85【思路点拨】根据两个相似三角形的对应边的长，可求出它们的相似比，也就求出了它们的周长比，再根据它们的周长差为40，即可求出两三角形的周长．【答案】解：∵两相似三角形的一组对应边为15和23，∴两相似三角形的周长比为15：23，设较小的三角形的周长为15a，则较大三角形的周长为23a，依题意，有：23a﹣15a＝40，a＝5，∴15a＝75，23a＝115，因此这两个三角形的周长分别为75，115．故选：A．【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解：相似三角形周长的比等于相似比．14．（2019•毕节市）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．100cm2B．150cm2C．170cm2D．200cm2【思路点拨】设AF＝x，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【答案】解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，解得，x＝2，∴AC＝6，BC＝12，∴剩余部分的面积＝×12×6﹣4×4＝100（cm2），故选：A．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．15．（2018秋•襄州区期末）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝18米，那么该古城墙的高度是（）A．6米B．8米C．12米D．24米【思路点拨】因为小明和古城墙均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．【答案】解：由题意知：∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP＝90°，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴＝，∴CD＝＝12（米）．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问．三．解答题16．（2019•余杭区二模）如图，在△ABC中，AD、BE是中线，它们相交于点F，EG∥BC，交AD于点G．（1）求证：△FGE∽△FDB；（2）求的值．【思路点拨】（1）由GE∥BC，可得出∠GEF＝∠DBF，再结合对顶角相等即可得出△FGE∽△FDB；（2）根据三角形中位线定理以及中线的定义得出GE＝BD、AG＝DG，再利用相似三角形的性质得出DF＝DG，进而即可得出＝．【答案】（1）证明：∵GE∥BC，∴∠GEF＝∠DBF．又∵∠GFE＝∠DFB，∴△FGE∽△FDB；（2）∵AD、BE是中线，EG∥BC，∴GE为△ADC的中位线，BD＝DC，∴GE＝DC＝BD，AG＝DG．∵△FGE∽△FDB，∴＝＝，∴DF＝DG，∴＝＝．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中线的定义以及中位线定理，解题的关键是：（1）由GE（2）根据相似三角形的性质结合中位线定理得出DF＝DG、∥BC利用相似三角形的判定定理证出△EGF∽△BDF；AG＝DG．17．（2018秋•梁溪区校级期中）（1）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，点P是边AB上一点，若△PAD∽△CBP，请利用没有刻度的直尺和圆规，画出满足条件的所有点P；（2）在（1）的条件下，若AB＝8，AD＝3，BC＝4，则AP的长是2或6．【思路点拨】（1）先作CD中垂线得出CD的中点，再以中点为圆心，CD为半径作圆，与AB的交点即为所求；（2）证△APD∽△BPC得＝，即＝，解之可得．【答案】解：（1）如图所示，点P1和点P2即为所求．（2）∵AB⊥BC，∴∠B＝90°．∵AD∥BC，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴∠PAD＝∠PBC＝90°．∴∠ADP+∠APD＝90°，由（1）知，∠CPD＝90°，∴∠APD+∠BPC＝90°，∴∠ADP＝∠BPC，∴△APD∽△BPC，∴＝，即＝，解得：AP＝2或AP＝6．故答案为：2或6．【点睛】本题主要考查作图﹣相似变换，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图及圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识点．18．（2018秋•德清县期末）如图，点C，D在线段AB上，CD2＝AC•DB，且△PCD是等边三角形．（1）证明：△ACP∽△PDB；（2）求∠APB的度数．【思路点拨】（1）根据PC＝PD＝CD，以及CD2＝AC•DB，可得，又∠ACP＝∠PDB，则△ACP∽△PDB；（2）根据（1）的结论求出∠APC+∠BPD度数，最后加上∠CPD度数即可．【答案】（本小题8分）解：（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∵CD2＝AC•DB，由PC＝PD＝CD可得：PC•PD＝AC•DB，即，∴△ACP∽△PDB；（2）∵△ACP∽△PDB，∴∠APC＝∠PBD．∵∠PDB＝120°，∴∠DPB+∠DBP＝60°，∴∠APC+∠BPD＝60°．∴∠APB＝∠CPD+∠APC+∠BPD＝120°．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．19．（2018秋•昌图县期末）如图，路灯（点P）距地面6m，身高1.5m的学生小明从路灯的底部点O处，沿射线OH走到距路灯底部9m的点B处，此时小明的身影为BN，接着小明走到点N处，此时的身影为AM．求学生小明的身影长度变长了多少米．（小明如图中BD、AC所示）【思路点拨】根据相似三角形的性质解答即可．【答案】解：由题意知，∠PON＝∠DBN＝90°，△PON∽△DBN∴又∵OB＝9∴BN＝3，OA＝12由题意知，∠POM＝∠CAM＝90°，△POM∽△CAM∴又∵OA＝12∴AM＝4，OM＝16∴身影长BN＝3，AM＝4，AM﹣BN＝4﹣3＝1∴小明的身影长度变长了1米．【点睛】此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的性质解答．20．（2018秋•番禺区期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG＝xmm，EF＝ymm．（1）写出x与y的关系式；（2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值．【思路点拨】（1）证明△AEF∽△ABC，利用相似比得到＝，从而得到y与x的关系式；（2）计算矩形的面积S＝xy＝﹣x2+120x，则S＝﹣（x﹣40）2+2400，根据二次函数的性质得到当x＝40时，S有最大值2400，由于y＝60，此时矩形不为正方形，所以这个同学的说法错误．【答案】解：（1）易得四边形EGDK为矩形，则KD＝EG＝x，∴AK＝AD﹣DK＝80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝，即＝，∴y＝﹣x+120（0＜x＜80）；（2）这个同学的说法错误．理由如下：S＝xy＝﹣x2+120x＝﹣（x﹣40）2+2400，当x＝40时，S有最大值2400，此时y＝﹣×40+120＝60，即矩形EGHF的长为60mm，宽为40mm时，矩形EGHF的面积最大，最大值为2400mm2，此时矩形不为正方形，所以这个同学的说法错误．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长．也考查了二次函数的性质和矩形的性质．。
2018年广东省广州中学中考数学一模试卷
2018年广东省广州中学中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，满分30分）1．（3分）下列图案中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球，下列事件是必然事件的是（）A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球B．摸出的三个球中至少有一个球是白球C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球D．摸出的三个球中至少有两个球是白球3．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（）A．18°B．24°C．30°D．36°4．（3分）下列运算正确的是（）A．3﹣＝3B．＝4﹣3＝1C．3x＝D．（ab2）3÷（a2b﹣1）＝ab75．（3分）如图，是由4个相同小正方体组合而成的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．6．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1+x2的值是（）A．2B．﹣2C．3D．﹣37．（3分）亮亮想用一块铁皮制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长为12cm，底面圆的半径为5cm．那么，这个圆锥模型的侧面展开扇形铁皮的圆心角度数应为（）A．90°B．120°C．150°D．240°8．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，C是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO、AD、OD，∠BAD＝22.5°，则下列说法中不正确的是（）A．CE＝EO B．OC＝CD C．∠OCE＝45°D．∠BOC＝2∠BAD9．（3分）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝．则方程x⊗（﹣2）＝﹣1的解是（）A．x＝4B．x＝5C．x＝6D．x＝710．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，交x轴的正半轴于（1，0），则下列结论：（1）﹣abc＜0；（2）a﹣b+c＜0；（3）2a+b＜0；（4）a+c＜0，正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每小题3分，满分18分）11．（3分）因式分解：ab2﹣16a＝．12．（3分）方程组的解是．13．（3分）方程x2﹣9x+8＝0的解是．14．（3分）把抛物线y＝x2﹣2向左平移3个单位，然后向下平移4个单位，则平移后的抛物线解析式（用y＝ax2+bx+c 的形式作答）为．15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE＝2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为．16．（3分）问题：如图，点O是等边△ABC内部一点，OA＝1，OB＝2，OC＝3，求∠AOB的度数，四位同学为了解决此题，分别作了各自的辅助线，具体如下：甲：旋转使得△AOB≌△APC：乙翻折使得△AOB≌△AOD，使得点B的对应点D落在边BC上；丙旋转使得△AOB≌△CEB；丁旋转使得△BOC≌△BMA，那么辅助线有利于实现解题的是（只填序号）．三、解答下列各题（满分102分）17．（9分）解方程：﹣＝118．（9分）如图，点E、F在线段BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C＝78°，∠DEC＝42°，求sin A的值．19．（10分）有两把不同的锁和四把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁．（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述事件所有可能的结果；（2）求一次打开锁的概率．20．（10分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于第二、四象限内的A，B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH＝3，tan∠AOH＝，点B的坐标为（m，﹣2）．（1）求k的值；（2）求的值．21．（12分）如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12．（1）动手操作：利用尺规作以BC为直径的⊙O，⊙O交AB于点D，⊙O交AC于点E，并且过点D作DF⊥AC交AC于点F．（2）求证：直线DF是⊙O的切线；（3）连接DE，记△ADE的面积为S1，四边形DECB的面积为S2，求的值．22．（12分）某校九年级二班为开展“迎五一劳动最光荣”的主题班会活动，派小明和小丽两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品，已知该超市的宝克牌钢笔每支8元，英雄牌钢第每支4.8元．他们要购买这两种笔共40支．小明和小丽根据主题班会活动的设奖情况，决定所购买的宝克牌钢笔的数量要少于英雄牌钢笔的数量的，但又不少于英雄牌钢笔的数量的，如果他们买了宝克牌钢笔x支，买这两种笔共花了y元．（1）请写出y（元）关于x（支）的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）请帮助他们计算一下，这两种笔各购买多少支时，所花的钱最少，此时花了多少元？23．（12分）已知：关于x的方程（a+2）x2﹣2ax+a＝0有两个不相等的实数根x1和x2，并且抛物线y＝x2﹣（2a+1）x+2a﹣5与x轴的两个交点A、B分别位于点（2，0）的两旁．（1）求实数a的取值范围；（2）点A和B是否可能都在原点的右侧？为什么？24．（14分）如图，AP是△ABC的外接圆⊙O的直径，AD是△ABC的高，直径AP交边BC于点M，延长AD交⊙O于点E，连接OE交边BC于点N．（1）求证：OA＝；（2）按边分类，试判断△OMN的形状，并证明你的结论；（3）已知AB＝15；BC＝14，cos∠ABC＝，求MN的长．25．（14分）如图，二次函数y＝x2+bx﹣3的图象l交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C，将图象l 沿坐标轴翻折得到新的图象，与图象l开口方向相同的新的图象l1交x轴于点A1（在x轴的正半轴上）（1）求出b的值，并写出点A1的坐标以及新的图象所对应的函数解析式；（2）若P为y轴上的一个动点，E为直线A1C上的一个动点，请找出点P，使得PB+PE最小，并求出最小值；（3）在y轴的正半轴上有一点M，使得∠MA1O＝k∠OCB，直线A1M交图象l1于点D（点D在第二象限）．①若k＝2，试求点D的坐标；②若k＝3，请直接写出OM的长．2018年广东省广州中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，满分30分）1．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：C．2．【解答】解：A、是必然事件；B、是随机事件，选项错误；C、是随机事件，选项错误；D、是随机事件，选项错误．故选：A．3．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°∵BD是AC边上的高，∴BD⊥AC，∴∠DBC＝90°﹣72°＝18°．故选：A．4．【解答】解：A、原式＝2，所以A选项错误；B、原式＝，所以B选项错误；C、原式＝，所以C选项错误；D、原式＝a3b6÷（a2b﹣1）＝ab7，所以D选项正确．故选：D．5．【解答】解：从正面看易得第一层右边有1个正方形，第二层最有3个正方形．故选：C．6．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一次项系数是a＝1，二次项系数b＝2，∴由韦达定理，得x1+x2＝2．故选：A．7．【解答】解：＝10π，解得n＝150°．故选C．8．【解答】解：∵AB⊥CD，∴CE＝DE，＝，∴∠BOC＝2∠BAD＝2×22.5°＝45°，∴△OCE为等腰直角三角形，∴∠OCE＝45°，OC＝CE，CE＝OE，∴OC＝CD．故选：B．9．【解答】解：根据题意，得＝﹣1，去分母得：1＝2﹣（x﹣4），解得：x＝5，经检验x＝5是分式方程的解．故选：B．10．【解答】解：①由图象可得a＜0，c＞0，对称轴在y轴右侧，又可知a、b异号，故b＞0，故﹣abc＜0，正确；②x＝﹣1时，y＜0，正确；③对称轴在y轴右侧，即﹣＞0，2a+b＞0，错误；④（1，0）在图象上，所以a+b+c＝0，且b＞0；故a+c＜0，正确．正确个数有3个，故选C．二、填空题（每小题3分，满分18分）11．【解答】解：ab2﹣16a＝a（b2﹣16）＝a（b+4）（b﹣4）．故答案为：a（b+4）（b﹣4）．12．【解答】解：，①+②得：5x＝15，x＝3，将x＝3代入2x﹣y＝4，∴y＝2，∴方程组的解为，故答案为：13．【解答】解：∵x2﹣9x+8＝0，∴（x﹣1）（x﹣8）＝0，∴x＝1或x＝8，故答案为：1或814．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2向左平移3个单位，然后向下平移4个单位，∴平移后的抛物线的解析式为：y＝（x+3）2﹣2﹣4，即y＝x2+6x+3故答案是：y＝x2+6x+3．15．【解答】解：如图，在BE上截取BG＝CF，连接OG，∵RT△BCE中，CF⊥BE，∴∠EBC＝∠ECF，∵∠OBC＝∠OCD＝45°，∴∠OBG＝∠OCF，在△OBG与△OCF中∴△OBG≌△OCF（SAS）∴OG＝OF，∠BOG＝∠COF，∴OG⊥OF，在RT△BCE中，BC＝DC＝6，DE＝2EC，∴EC＝2，∴BE＝＝＝2，∵BC2＝BF•BE，则62＝BF，解得：BF＝，∴EF＝BE﹣BF＝，∵CF2＝BF•EF，∴CF＝，∴GF＝BF﹣BG＝BF﹣CF＝，在等腰直角△OGF中OF2＝GF2，∴OF＝．故答案为：．16．【解答】解：甲，丁的辅助线，有利于解题．理由：如图甲①中，连接OP．由题意：AO＝AP，∠OAP＝∠BAC＝60°，∴△AOP是等边三角形，∴OP＝OA＝1，∠APO＝60°，∵PC＝OB＝2，OC＝3，∴OP2+PC2＝OC2，∴∠OPC＝90°，∴∠APC＝∠APO+∠OPC＝60°+90°＝150°，∵∠AOB＝∠APC，∴∠AOB＝150°．如图丁④中，连接OM．同法可证：∠BOM＝60°，∠AOM＝90°，可得∠AOB＝150°，故答案为甲，丁．三、解答下列各题（满分102分）17．【解答】解：去分母得：2（2x﹣1）﹣（5x﹣1）＝6，去括号得：4x﹣2﹣5x+1＝6，移项得：4x﹣5x＝6+2﹣1，合并同类项得：﹣x＝7，系数化成1得：x＝﹣7．18．【解答】解：∵∠C＝78°，∠DEC＝42°，∴∠D＝180°﹣78°﹣42°＝60°，∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SAS），∴∠A＝∠D＝60°，∴sin A＝sin60°＝．19．【解答】解：（1）分别用A与B表示锁，用A、B、C、D表示钥匙，画树状图得：则可得共有8种等可能的结果；（2）∵一次打开锁的有2种情况，∴一次打开锁的概率为：＝．20．【解答】解：（1）由OH＝3，tan∠AOH＝，得AH＝4．即A（﹣4，3），将A点坐标代入y＝（k≠0），得k＝﹣4×3＝﹣12．（2）∵反比例函数的解析式为y＝﹣．将B点坐标代入y＝﹣中，得﹣2＝﹣，解得m＝6．即B（6，﹣2），将A、B两点坐标代入y＝ax+b，得，解得∴＝＝﹣．21．【解答】解：（1）如右图所示，图形为所求；（2）证明：连接OD∵DF⊥AC，∴∠AFD＝90°，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠A＝∠ODB∴OD∥AC，∴∠ODF＝∠AFD＝90°，∴直线DF是⊙O的切线；（3）连接DE；∵BC是⊙O的直径，∴∠CDB＝90°，即CD⊥AB，∵AC＝BC，CD⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝6，∵四边形DECB是圆内接四边形，∴∠BDE+∠C＝180°，∵∠BDE+∠ADE＝180°，∴∠C＝∠ADE，∵在△ADE和△ACB中，∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴＝，∵S△ABC＝S△ADE+S四边形DECB，∴＝＝，∴＝，即＝．22．【解答】解：（1）买了宝克牌钢笔x支，则购买英雄牌钢笔（40﹣x）支，y＝8x+4.8（40﹣x）＝3.2x+192，∵所购买的宝克牌钢笔的数量要少于英雄牌钢笔的数量的，但又不少于英雄牌钢笔的数量的，∴，解得，8≤x＜13，∵x为整数，∴8≤x≤13，即y（元）关于x（支）的函数关系式是y＝3.2x+192（8≤x≤13且x为整数）；（2）∵y＝3.2x+192，8≤x≤13且x为整数，∴x＝8时，y取得最小值，此时y＝3.2×8+192＝217.6，40﹣x＝32，答：买了宝克牌钢笔8支，购买英雄牌钢笔32支时，所花钱最少，此时花了217.6元．23．【解答】解：（1）∵关于x的方程（a+2）x2﹣2ax+a＝0有两个不相等的实数根∴解得：a＜0，且a≠﹣2 ①设抛物线y＝x2﹣（2a+1）x+2a﹣5与x轴的两个交点的坐标分别为（α，0）、（β，0），且α＜β∴α、β是关于x的方程x2﹣（2a+1）x+2a﹣5＝0的两个不相等的实数根∵△＝[﹣（2a+1）]2﹣4×1×（2a﹣5）＝（2a﹣1）2+21＞0∴a为任意实数②由根与系数关系得：α+β＝2a+1，αβ＝2a﹣5∵抛物线y＝x2﹣（2a+1）x+2a﹣5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁∴α＜2，β＞2∴（α﹣2）（β﹣2）＜0∴αβ﹣2（α+β）+4＜0∴2a﹣5﹣2（2a+1）+4＜0解得：a＞﹣③由①、②、③得a的取值范围是﹣＜a＜0；（2）点A和B不可能都在原点的右侧，∵抛物线y＝x2﹣（2a+1）x+2a﹣5与x轴的两个交点都在原点的右侧，则α＞0，β＞0，∴αβ＞0，∵αβ＝2a﹣5，∴2a﹣5＞0，解得a＞，这与关于x的方程（a+2）x2﹣2ax+a＝0有两个不相等的实数根，a＜0且a≠﹣2无公共解，故A和B不可能都在原点的右侧．24．【解答】（1）证明：∵AP是⊙O的直径，∴∠ABP＝90°，AP＝2OA，∵AD是△ABC的高，∴∠BDE＝∠ADB＝∠ADC＝90°＝∠ABP，∵∠P＝∠C，∴△ABP∽△ADC，∴＝，∴AP＝，∴OA＝；（2）解：△OMN是等腰三角形；理由如下：∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∵∠OMN+∠OAE＝90°，∠DNE+∠OEA＝90°，∠ONM＝∠DNE，∴∠OMN＝∠ONM，∴OM＝ON，即△OMN是等腰三角形；（3）解：∵∠ADB＝90°，AB＝15，cos∠ABC＝＝，∴BD＝AB＝×15＝9，∴AD＝＝＝12，CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5，∴AC＝＝＝13，由相交弦定理得：AD×DE＝BD×CD，∴DE＝＝＝，∴AE＝AD+DE＝12+＝，作OF⊥AE于F，连接PE，如图所示：则OF∥BC，∴△DEN∽△FEO，∴＝，∵OA＝OE＝＝＝，∴EF＝AE＝，AP＝2OA＝，∴OF＝＝＝2，∴＝，解得：DN＝，∵AP是⊙O的直径，∴∠AEP＝90°，∴PE＝＝＝4，∴PE⊥AE，∵BC⊥AD，∴BC∥PE，∴△ADM∽△AEP，∴＝，即＝，解得：DM＝，∴MN＝DM﹣DN＝﹣＝．25．【解答】解：（1）函数l的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），即﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，故函数l的表达式为：y＝x2+2x﹣3，b＝2，点A、A1关于y轴对称，故点A1（3，0）；（2）点B′是点B关于y轴的对称点，过点B′作B′E⊥A1C交于点E，B′E交y轴于点P，则此时，PB+PE最小，最小值为B′E，∵OA1＝OC＝3，故直线A1C的表达式为：y＝x﹣3…①，B′E⊥A1C，则B′E的函数表达式为：y＝﹣x+s，将点B′坐标代入上式并解得：直线B′E的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，联立①②并解得：x＝1，故点E（1，﹣2），则PB+PE的最小值B′E＝2；（3）将图象A、B、C区域放大为图2，连接OB′，则∠BCB′＝2OCB＝2α，在点B右侧作∠BCB″＝α，交x轴于点B″，则∠B′CB″＝3α，则tan∠OCB＝＝＝tanα，B′C＝BC＝，设∠CB′B＝β，则tanβ＝3，则sinβ＝当k＝2时，即∠MA1O＝2∠OCB＝2α，故点B作BH⊥CB′，BH＝B′B sinβ＝2×＝，tan∠HCB＝tan2α＝＝，当k＝3时，同理tan∠MA1O＝tan3α＝；①当k＝2时，tan∠MA1O＝tan2α＝，则直线A1M的表达式为：y＝﹣x+b，将点A1（3，0）的坐标代入上式并解得：直线A1M的表达式为：y＝﹣x+，将A1M表达式与l的表达式联立并解得：x＝﹣（正值也舍去），故点D（﹣，），②k＝3时，tan∠MA1O＝tan3α＝；则OM＝OA1tan∠MA1O＝×3＝．。
中考数学复习方案第四单元三角形第20课时等腰三角形
[解析(jiě xī)]由AB=AC可得△ABC是等腰
) 三角形,根据等腰三角形的“三线合一”
A.BC
B.CE
性质可知点B与点C关于直线AD对称,因
C.AD
D.AC
此连接CP,则BP=CP,所以BP+EP的最小
值为CE,故选B.
图20-8
第十七页，共三十三页。
基
础
知
识
巩
固
3.[2018·娄底]如图20-9,△ABC中,AB=AC,
60°
;
性质 (2)等边三角形三条角平分线的交点、三条高的交点、三条中线的交点重合;
(3)等边三角形是轴对称图形,有⑥
3
条对称轴
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形(定义);
判定 (2)三个角都相等的三角形是等边三角形;
(3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
面积 S=
3
4
a2,a是等边三角形的边长
∵DE∥BC,∴∠EDB=∠DBC=36°,∴∠ABD=∠EDB=∠A,
∴AD=BD,EB=ED,即△ ABD 和△ EBD 是等腰三角形.
∵∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°,∴∠BDC=∠C,∴BD=BC,
即△ BCD 是等腰三角形.
∵DE∥BC,∴∠AED=∠ABC,∠ADE=∠C,∴∠AED=∠ADE,∴AE=AD,
[答案(dáàn)] A
△ABC中,BO和CO分别(fēnbié)平分∠ABC和∠ACB, [解析]∵BO平分∠ABC,
过O作DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E,若
∴∠DBO=∠OBC.∵DE∥BC,
BD+CE=5,则线段DE的长为(
∴∠DOB=∠OBC,
2018广州市番禺区中考数学一模试题(附答案)
2018广州市番禺区中考数学一模试题（附答案）番禺区2018年九年级数学科综合测试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分150分．考试时间为120分钟．注意事项： 1.答卷前，考生务必在答题卡第1、3、5页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名；填写考场试室号、座位号，再用2B铅笔把对应这两个号码的标号涂黑． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．第一部分选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列运算正确的是（※）. （A）（B）（C）（D） 2. 若、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（※）. （A）（B）（C）（D） 3. 如下图，将一张四边形纸片沿虚线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，则下列四种剪法中，符合要求的是（※）. （A）①② （B）①③ （C）②④ （D）③④ 4. 已知、两数在数轴上对应的点如图所示，则下列结论正确的是（※）. （A）（B）（C）（D） 5. 一袋中有同样大小的个小球，其中个红色，个白色．随机从袋中同时摸出两个球，这两个球颜色相同的概率是（※）. （A）（B）（C）（D）6. 如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠ABC=60°，则对角线AC的长为（※）. （A）12 （B）9 （C）6 （D）3 7. 如图，是直径，是的切线，连接交于点，连接，，则的度数是（※）. （A）（B）（C）（D） 8. 桌子上摆放了若干碟子，分别从三个方向上看其三视图如图所示，则桌子上共有碟子（※）. （A）17个（B）12个（C）9个（D）8个 9. 如图所示，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，它的底面半径高则这个圆锥漏斗的侧面积是（※）. （A）（B）（C）（D） 10. 抛物线与轴交于A、B两点，点P在函数的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（※）. （A）2个（B）3个（C）4个（D）6个第二部分非选择题（共120分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11. 函数自变量的取值范围是※ ． 12. 分解因式：= ※ ． 13. 某射击俱乐部将名成员在某次射击训练中取得的成绩绘制成如图所示的条形统计图．由图可知，名成员射击成绩的中位数是※ 环． 14. 不等式组的解集为※ ． 15. 直线与轴交于点C，与轴交于点B，与反比例函数的图象在第一象限交于点A，连接OA，若，则k的值为※ ． 16．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A处观测停放于B、C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向150米处，船C在点A南偏东15°方向120米处，则船B与船C之间的距离为※ 米（精确到0.1 ）．三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分９分）解方程组：18．（本小题满分９分）已知，如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD 和BC上的点，AE＝CF．求证：BE＝DF．19．（本小题满分10分）已知，，求的值.20．（本小题满分10分）如图，四边形是平行四边形，把△ABD沿对角线BD翻折180°得到△ . （1）利用尺规作出△ .（要求保留作图痕迹，不写作法）；（2）设与BC交于点E，求证：△ ≌△ . 21．（本题满分12分）初三（1）班针对“你最喜爱的课外活动项目”对全班学生进行调查（每名学生分别选一个活动项目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图．根据以上信息解决下列问题：（1）求，；（2）求扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数；（3）从选航模项目的名学生中随机选取名学生参加学校航模兴趣小组训练，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的名学生中恰好有名男生、名女生的概率．22．（本小题满分12分）为了提升阅读速度，某中学开设了“高效阅读”课．小周同学经过2个月的训练，发现自己现在每分钟阅读的字数比原来的2倍还多300字，现在读9100字的文章与原来读3500字的文章所用的时间相同．求小周现在每分钟阅读的字数.23．（本小题满分12分）如图，在Rt△ABC中，，角平分线交BC 于O，以OB为半径作⊙O. （1）判定直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由; （2）连接AO交⊙O于点E，其延长线交⊙O于点D，，求的值; （3）在（2）的条件下，设的半径为3，求AC的长. 24．（本小题满分14分）如图本题图①，在等腰Rt 中， , ，为线段上一点，以为半径作交于点 ,连接、，线段、、的中点分别为、、 . （1）试探究是什么特殊三角形？说明理由；（2）将绕点逆时针方向旋转到图②的位置，上述结论是否成立？并证明结论；（3）若 ,把绕点在平面内自由旋转，求的面积y的最大值与最小值的差.25．（本小题满分14分）已知：二次函数，当时，函数有最大值5. （1）求此二次函数图象与坐标轴的交点；（2）将函数图象x 轴下方部分沿x轴向上翻折，得到的新图象与直线恒有四个交点，从左到右，四个交点依次记为，当以为直径的圆与轴相切时，求的值. （3）若点是(2)中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，若关于m的一元二次方程恒有实数根时，求实数k的最大值.2018年九年级数学一模试题参考答案及评分说明一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 分数答案 C B B A A D D B C D 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 11. ；12. ；13. ；14. ； 15. 192.1；16. . 三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）【评卷说明】1．在评卷过程中做到“三统一”：评卷标准统一，给分有理、扣分有据，始终如一；掌握标准统一，宽严适度，确保评分的客观性、公正性、准确性. 2．如果考生的解法与下面提供的参考解答不同，凡正确的，一律记满分；若某一步出现错误，则可参照该题的评分意见进行评分. 3. 评卷时不要因解答中出现错误而中断对该题的评阅，当解答中某一步出现错误，影响了后继部分，但该步后的解答未改变这一道题的内容和难度，在未发生新的错误前，可视影响的程度决定后面部分的记分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半；如有严重概念性错误，就不记分，在一道题解答过程中，对发生第二次错误起的部分，不记分.17.（本小题满分9分）解：由得, .............3分解得, . (5)分把代入①得，. …………7分∴原方程组的解为…………9分18．（本小题满分９分）解：证法1：在矩形ABCD中证法2：在矩形ABCD中AB=CD,∠A=∠C=90° ....………3分AD=BC,AD∥BC∵AE=CF ∴ED∥BF .............3分∴△ABE≌△CDF(SAS) . (6)分∵AE=CF ∴BE=DF ...………9分∴AD-AE=BC-CF∴ED=BF ....………6分∴四边形EBFD是平行四边形，∴BE=DF ....………9分证法3：在RT△ABE中，∠B=90° 据勾股定理有: ....………3分同理：....………6分∵AB=CD,AE=CF∴BE=DF ....………9分19．（本小题满分10分）解：∵ .............1分. (2)分.............3分∵ ，∴ ，.............6分，. (8)分，....………9分....………10分20．（本小题满分10分）解：（1）如图，为所求．....………5分（2）四边形是平行四边形，．.............6分又，. (7)分，．....………8分，．....………9分在和中，，．....………10分21．（本题满分12分）解：（1）由题意，航模人数为4人，是总人数的10%，所以初三（一）班共有40人，由统计表可得：； (4)分 (2)机器人项目16人，所对应扇形圆心角大小为：. (6)分 (3)将选航模项目的名男生编上号码，将名女生编上号码 . 用表格列出所有可能出现的结果：……9分表格可知，共有种可能出现的结果，并且它们都是等可能的……10分其中“ 名男生、名女生”有种可能，分别是（3,1）（4,1）（3,2）（4,2）（1,3）（2,3）（1,4）（2,4）………11分. ( 名男生、名女生) ....………12分 (如用树状图，画出树状图9分，其它对应分数相同，如果用枚举法对应给分) .22．（本题满分12分）解：设小周原来每分钟阅读个字． (1)分由题意，得. ...………5分解得. ...………9分经检验，是原方程的解，且符合题意. ...………10分∴ ．...………11分答：小周现在每分钟阅读1300个字. ...………12分23．（本小题满分12分）解：（1）AC是⊙O的切线. ...………1分理由：，，...………2分作于，是的角平分线，， AC是⊙O 的切线. ...………3分 (2) 连接，是⊙O的直径， ,即. . ............5分又 (同角) ，∽ ,............6分 (7)分 (3) 设在和中，由三角函数定义有：...………9分得：解之得：...………11分即的长为...………12分24．（本小题满分14分）解：（1）为等腰直角三角形. (2)分分别为的中点，且同理：...………3分 . 又即为等腰直角三角形. ..………4分（2）如图②，仍然为等腰直角三角形. ..………5分证明：由旋转的性质，. ≌ , ..………6分 . 分别为的中点，且同理：, ..………7分在等腰Rt 中, 同理： = . 为等腰直角三角形. ..………9分 (3), 如图，设⊙ 交于点 ,交延长线于点，连接 ,而，同理，.………11分由题意， , 的最小值为..………12分同理，最大值为，.………13分从而得的最大值与最小值的差为：.………14分25．（本小题满分14分）解: (1) 抛物线的对称轴为：. (1)分，抛物线开口向上，大致图象如图所示. 当时，随增大而增大；由已知：当时，函数有最大值5. 当时，，. (2)分令得，令得，抛物线与轴交于，…………3分抛物线与轴交于. ……………4分（2） , 其折叠得到的部分对应的解析式为：，其顶点为…5分图象与直线恒有四个交点，..........6分由，解得 , ，. (7)分当以为直径的圆与轴相切时， . 即：，………8分 , , 得，，.………9分（另法：∵BC直径，且⊙F与x轴相切，∴FC=y=n, ∵对称轴为直线x=1,∴F(1,n),则C（1+n,n),.………7分又∵C在上，∴ ，………8分得，，.………9分（3）若关于m的一元二次方程恒有实数根，则须恒成立，………10分即恒成立，即恒成立.………11分点是(2)中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，，………12分，………13分（取值之下限）实数k的最大值为3. ………14分。
广东省广州市番禺中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)
高二数学9月月考试题一、单选题（每小题5分）1.已知，则（ ）A. B.C.D.2.函数）A. B. C. D.3.函数是（ ）A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数4.若函数是定义在上的奇函数，，，则（ ）A.2B.0C.60D.625.已知空间向量，，则在上的投影向量坐标是（ ）A. B. C. D.6.在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（ ）A. B.C. D.7.在空间直角坐标系中，若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）A B. C.或 D.与斜交8.已知向量，，且平面，平面，若平面与平面的夹角的余弦的值为（ ）A.或 B.或1 C.或2D.二、多选题（每小题6分）9.三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，，若，则二面角2i z =+izz =+3i 4-1i 4-3i4+1i 4+y =[3,4)(,3]-∞[3,)+∞(,4]-∞2π2cos 14y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭πππ2π2()f x R (2)()f x f x -=(1)2f =(1)(2)(30)f f f ++⋅⋅⋅+=(3,4,0)a =(3,1,4)b =- b a (3,4,0)--34,,055⎛⎫--⎪⎝⎭314,,555⎛⎫--⎪⎝⎭(3,1,4)--P ABC -A PBC H M 34AM AH = PM =131444PA PB PC -+111444PA PB PC ++111424PA PB PC -+113444PA PB PC -+l (1,2,1)a =-α(2,3,4)n =//l αl α⊥l α⊂//l αl α(1,2,1)m =- (,1,)n t t =- m ⊥ αn ⊥βαβt 121-151-12-A BCD -ABD BCD 1n 2n 12π,3n n =的大小可能为（ ）A. B. C.D.10.随机抽取8位同学对2024年数学新高考|卷的平均分进行预估，得到一组样本数据如下：97，98，99，100，101，103，104，106，则下列关于该样本的说法正确的有（ ）A.均值为101 B.极差为9C.方差为8D.第60百分位数为10111.已知空间中三点，，，则（ ）A.与是共线向量B.与向量方向相同的单位向量坐标是C.与D.在三、填空题（每小题5分）12.已知是定义在上的奇函数，当时，，当时，，则_______.13.已知向量，，，若，，共面，则_______.14已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_______.四、解答题（五个大题共77分）15.（本题13分）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求.（2）若，求的周长.16（本题15分）某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.（1）求与的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”A BD C --π6π32π35π6(0,1,0)A (2,2,0)B (1,3,1)C -AB AC AB ⎫⎪⎪⎭AB BC BC AB ()f x R 0x >2()22xxf x -=+0x <()22x x f x m n -=⋅+⋅m n +=(2,3,4)a x = (0,1,2)b = (1,0,0)c =a b c x =(2,,1)a t =--(2,1,1)b = a b t ABC △A B C a b c sin 2A A +=A 2a =sin sin 2C c B =ABC △m 13n 12434m n >m n社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率.17.（本题15分）如图，在以，，，，，为顶点的六面体中（其中平面），四边形是正方形，平面，，且平面平面.（1）设为棱的中点，证明：，，，四点共面；（2）若，求六面体的体积.18.（本题17分）一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg ），将全部数据按区间，，，分成5组，得到图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果？（3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率.19（本题17分）（2022年新高考天津数学高考真题）直三棱柱中，，，为的中点，为的中点，为的中点.A B C D E F F ∈EDC ABCD ED ⊥ABCD BF FE =FEB ⊥EDB M EB A C F M 24ED AB ==EFABCD [50,60)[60,70)⋅⋅⋅[90,100]a 85%[70,90]kg [80,90]111ABC A B C -12AA AB AC ===AC AB ⊥D 11A B E 1AA F CD（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值.//EF ABC BE 1CC D 1ACD 1CC D高二数学9月月考试题参考答案一、单选题（每小题5分共40分）1.A2.A3.A4.A【详解】由题意，所以的周期为4，且关于直线对称，而，所以.5.B【详解】因为空间向量，，所以，，，则在上的投影向量坐标是：.6.B【详解】在正四面体中，因为平面，所以是的中心，连接，则，所以.7.C【解析】由可得，所以或，即可得正确选项.【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为，因为，所以，所以或.8.B【详解】因为，所以，，，因为平面，平面，若平面与平面，，解得或1.二、多选题（每小题6分共18分）9.BC【详解】二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，二面角的大小可能为或.10.ABD【详解】A选项，均值为，A正确；(2)()()(2)f x f x f x f x-==--=--()f x()f x1x=(1)(2)(3)(4)(0)(1)(1)(2)(2)(0)0f f f f f f f f f f+++=++-+===(1)(2)(30)(29)(30)(1)(2)(0)(1)022f f f f f f f f f++⋅⋅⋅+=+=+=+=+=(3,4,0)a=(3,1,4)b=-9405a b⋅=-++=-5a==b==ba 5134(3,4,0),,05555a b aa a⋅-⎛⎫⋅=⨯=--⎪⎝⎭P ABC-AH⊥PBC H PBC△PH()()211323PH PB PC PB PC=⨯+=+()33334444PM PA AM PA AH PA PH PA PA PH PA=+=+=+-=+-()3331311144434444PA PH PA PA PB PC PA PA PB PC=+-=+⨯+-=++a n⋅=a n⊥lα⊂//lαl(1,2,1)a=-α(2,3,4)n=(2,3,4)(1,2,1)2640a n⋅=⋅-=-+=a n⊥lα⊂//lα(1,2,1)m=-(,1,)n t t=-22m n t⋅=+m=n=m⊥αn⊥βαβ=25610t t-+=15t=∴A BD C--π3π2ππ33-=9798991001011031041061018+++++++=B 选项，极差为，B 正确；C 选项，方差为，C 错；D 选项，因为，故从小到大，选择第5个数作为第60百分位数，即101.11.BD 【详解】由已知，，，，因此与不共线，A 错；，所以与向量，B 正确；，，，C 错；在上的投影是，D 正确.三、填空题（每小题5分共15分）12.【详解】令，则，所以.因为是定义在上的奇函数，所以，所以，所以，，所以.13.【详解】由题意得，存在，使得，即，故解得，.14.【详解】由，得，解得，又，得，解得，所以与夹角为钝角，实数的取值范围为且.四、解答题（五个大题共77分）15.（本题13分）【解析】（1）由可得，即，由于，故，解得.（2）由题设条件和正弦定理，106979-=222(97101)(98101)(106101)169410492517882-+-+⋅⋅⋅+-+++++++==60%8 4.8⨯=(2,1,0)AB = (1,2,1)AC =- (3,1,1)BC =-1221-≠AB AC AB = AB ⎫=⎪⎪⎭6105AB BC ⋅=-++=- BC = cos ,AB BC AB BC AB BC⋅〈〉===BC AB BC AB AB⋅==5-0x <0x ->2()22xx f x -+-=+()f x R ()()f x f x -=-2()22422xx x x f x +--=--=-⨯-4m =-1n =-5m n +=-23m n a mb nc =+ (2,3,4)(0,1,2)(1,0,0)x m n =+2342nx m m=⎧⎪=⎨⎪=⎩2m =23x =(,1)(1,5)-∞-- 0a b ⋅<(2)2(1)10t -⨯++-⨯<5t <//a b 21211t --==1t =-a b t 5t <1t ≠-67=+sin 2A A +=1sin 12A A +=πsin 13A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ4π(0,π),333A A ⎛⎫∈⇒+∈ ⎪⎝⎭ππ32A +=π6A =sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=又，，则，进而，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，，故的周长为.16.（本题15分）【详解】（1）依题，解得.（2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为，获得本选修课学分分数不低于4分为事件A ，则；；.故.17.（本题15分）【详解】（1）连接，由四边形是正方形，故，又平面，平面，故，由，，平面，故平面，又为棱的中点，，故，又平面平面，平面平面，平面，故平面，故，所以，，，四点共面；（2）设与交于点，连接，则，又平面，平面，则平面，又因为六面体，则平面平面，又平面，故，则四边形为矩形，则，且平面，又，故，则.18（本题17分）【详解】（1）由直方图可得，样本落在，，，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3，由，解得.B (0,π)C ∈sin sin 0B C ≠cos B =π4B =7π12C A B π=--=sin sin(π)sin()sin cos sin cos C A B A B A B B A =--=+=+=sin sin sin a b c A B C ==2ππ7πsin sin sin 6412b c==b =c =+ABC △2++78=+11324131(1)1(1)34mn m n m n ⎧=⎪⎪⎪⎛⎫----=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩1214m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩i X ()4121123412P X =⨯⨯=()5111123424P X =⨯⨯=()6111123424P X =⨯⨯=1111()1224246P A =++=78+AC ABCD AC DB ⊥ED ⊥ABCD AC ⊂ABCD ED AC ⊥DE BD D = DE BD ⊂EDB AC ⊥EDB M EB BF FE =FM EB ⊥FEB ⊥EDB FEB EDB EB =FM ⊂EFB FM ⊥EDB //FM AC A C F M AC BD O OM //OM DE OM ⊂ACFM DE ⊂/ACFM //DE ACFM EFABCD CDEF ACFM CF =DE ⊂CDEF //DE CF OCFM 1CF =CF ⊥ABCD BF FE =122CF DE ==11204422333EFABCD E ABCD B EFC V V V --=+=⨯⨯+⨯⨯=557=++[50,60)[60,70)⋅⋅⋅[90,100]10a 10a 10100.20.40.31a a ++++=0.005a =则样本落在，，，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，所以，该苹果日销售量的平均值为：.（2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数.依题意，日销售量不超过90kg 的频率为，则该店苹果日销售量的分位数在，所以日销售量的分位数为.所以，每天应该进95kg 苹果.（3）由日销售量为，的频率分别为0.2，0.4知，抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为，，来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为，，，，任意抽取2个苹果，有，，，，，，，，，，，，，，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，由古典概型可得.19.（本题17分）【解析】（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、、、，则，易知平面的一个法向量为，则，故，平面，故平面.[50,60)[60,70)⋅⋅⋅[90,100]5060607070808090901000.050.050.20.40.383.5(kg)22222+++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=85%85%10.03100.7-⨯=85%[90,100]85%0.850.7901095(kg)10.7-+⨯=-[70,80)[80,90][70,80)1a 2a [80,90]1b 2b 3b 4b ()12,a a ()11,a b ()12,a b ()13,a b ()14,a b ()21,a b ()22,a b ()23,a b ()24,a b ()12,b b ()13,b b ()14,b b ()23,b b ()24,b b ()34,b b [80,90]62155P ==557++111ABC A B C -1AA ⊥111A B C AC AB ⊥1111A C A B ⊥1A 1A A 11A B 11A C x y z (2,0,0)A (2,2,0)B (2,0,2)C 1(0,0,0)A 1(0,2,0)B 1(0,0,2)C (0,1,0)D (1,0,0)E 11,,12F ⎛⎫⎪⎝⎭10,,12EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ABC (1,0,0)m =0EF m ⋅= EF m ⊥ EF ⊂/ ABC //EF ABC（2），，，设平面的法向量为，则，取，可得，.因此，直线与平面夹角的正弦值为.（3），，设平面的法向量为，则，取，可得，则因此，平面与平面.1(2,0,0)C C = 1(0,1,2)C D =- (1,2,0)EB =1CC D ()111,,u x y z = 111112020u C C x u C D y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 12y =(0,2,1)u =4cos ,5EB u EB u EB u ⋅==⋅BE 1CC D 451(2,0,2)AC = 1(0,1,0)A D =1ACD ()222,,v x y z = 122122200v A C x z v A D y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 21x =(1,0,1)v =-cos ,u v u v u v ⋅〈〉===⋅ 1ACD 1CC D。
广东省广州市番禺区执信中学2022-2023学年九年级上学期数学期中试题(原卷版)
2022-2023学年度第一学期初三级数学科期中考试试卷第一部分选择题（共30分）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B.C. D.2.若一元二次方程250x x b -+=的一个根是3x =，则另一个根是（）A.6 B.5C.-3D.23.抛物线2256y x x =-+的对称轴是（）.A.直线54x = B.直线52x = C.直线54x =- D.直线52x =-4.如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，40ABC ∠=︒．将ABC 绕点B 逆时针旋转得到A BC ''△．使点C 的对应点C '恰好落在边AB 上，则'的度数是（）A.100︒B.110︒C.120︒D.140︒5.如图，AB 是半圆O 的直径，点C ，D 在半圆O 上．若50ABC ∠=︒，则BDC ∠的度数为（）A.90︒B.100︒C.130︒D.140︒6.如果关于x 的一元二次方程，()21220k x x --+=有实数根，则整数k 的最大值是（）A .1.5 B.0 C.1- D.17.二次函数2222y x x c c =--+-在32x -≤≤的范围内有最小值为5-，则c 的值（）A.3或1- B.1- C.3-或1 D.38.如图，过⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA ，PB ，切点分别是A ，B ，OP 交⊙O 于点C ，点D 是 ABC 上不与点A 、点C 重合的一个动点，连接AD ，CD ，若∠APB=80°，则∠ADC 的度数是（）A.15°B.20°C.25°D.30°9.抛物线2y ax bx c =++的图象经过()0,1A -，()1,0B -，()3,0C 三点，下列结论中正确的是（）A.抛物线开口向下 B.当1x =时，y 取最小值23-C.当1m >-时，一元二次方程2ax bx c m ++=必有两个相等实根 D.直线()0y kx c k =+≠经过点A C ，，当2kx c ax bx c +>++时，x 的取值范围是03x <<10.如图，O 是等边ABC 内一点，3OA =，4OH =，5OC =，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60︒得到线段BO '，下列结论：①BO A '△可以由BOC 绕点B 逆时针旋转60︒得到；②点O 与O '的距离为4；③点150AOB ∠=︒；④6AOBO S '=+四边形；⑤3364AOC AOB S S =++△△．其中正确的有多少（）个A.5B.4C.3D.2第二部分非选择题（共90分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.点()2,3P 关于原点对称点P '的坐标是________．12.将抛物线()2213y x =-+向右移1单位，上移2单位所得到的新抛物线解析式为________．13.在平面直角坐标系xOy 中，以点()3,2-为圆心，2为半径的圆与y 轴的位置关系为________．14.如图，四边形ABCD 的两条对角线,AC BD 互相垂直，且8AC BD +=，则四边形ABCD 面积的最大值为_____．15.如图1，△ABC 中，AB ＞AC ，D 是边BC 上的动点．设B 、D 两点之间的距离为x ，A 、D 两点之间的距离为y ，表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则线段AB 的长为_____．16.如图，抛物线21116y x =-+与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,3C -为圆心，2为半径的圆上的动点，E 是线段BD 的中点，连接OE ，则线段OE 的最大值是________．三、解答题（本题共9小题，满分72分，解答题需写出文字说明，推理过程和演算步骤）17.解方程：242x x -=-．18.已知关于x 的一元二次方程()2120x t x t --+-=．（1）求证：对于任意实数t ，方程都有实数根；（2）当t 为何值时，方程的两个根互为倒数．19.如图，在平面直角坐标中，ABC ∆的顶点坐标分别是()0,4A ，()0,2B ，()3,2C ．（1）将ABC ∆以О为旋转中心旋转180︒，画出旋转后对应的111A B C ∆；（2）将ABC ∆平移后得到222A B C ∆，若点A 的对应点2A 的坐标为()2,2，求112A C C ∆的面积20.如图，在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点．（1）求证：AC ＝BD ；（2）连接OA 、OC ，若OA ＝6，OC ＝4，∠OCD ＝60°，求AC 的长．21.如图，抛物线的顶点为C (1，9)，与x 轴交于A ，B (4，0)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线与y 轴交点为D ，求BCD S △．22.将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于217cm ，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2）两个正方形的面积之和是否存在最小值？若存在，请求出最小值及此时两段铁丝的长度；若不存在，请说明理由．23.如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是BC 中点．（1）尺规作图：以AC 为直径作O ，交AB 于点E （保留作图痕迹，不需写作法）；（2）求证：DE 是O 的切线；（3）若8AC =，10AB =，求O 到CE 的距离．24.给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）以下四边形中，是勾股四边形的为________（填序号即可）；①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意四边形；④有一个角为60°的菱形．（2）如图1，将ABC 绕顶点C 按顺时针方向旋转n ︒得到EDC △．①连接AD ，当60n =，30BAD ∠=︒时，求证：四边形ABCD 是勾股四边形．②如图2，将DE 绕点E 顺时针方向旋转得到EF ，连接BF ，BF 与AE 交于点P ．连接CP ．若()180DEF n ∠=-︒，2CP =，8AE =，求AC 的长度．25.如图抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．直线22y x =+经过点A ，C ．（1）抛物线的解析式为________________________，点B 的坐标为________________；（2）若点P 是第一象限内抛物线上一点，连接BP 并延长交直线AC 于点E ，当CE AC =时，求点P 的横坐标．（3）若点G 是抛物线上一点，点H 是x 轴上一点，是否存在这样的点G ，H ，使以点A ，C ，G ，H 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．。
2019年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷和答案
2019年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）下列运算正确的是（）A．3a﹣2a＝1B．|﹣3|＝3C．﹣＝2D．2．（3分）今年春节，我区某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学记数法表示为（）A．0.778×105B．7.78×103C．7.78×104D．7.78×1053．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠4B．x＝4C．x≠0D．x＝04．（3分）如图，由5个相同正方体组合而成的几何体的主视图是（）A．B．C．D．5．（3分）方程的解是（）A．x＝2B．x＝C．x＝﹣2D．x≠16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝5，则AB的长为（）A．2.5B．7.5C．8.5D．107．（3分）点A（4，3）经过某种图形变化后得到点B（﹣3，4），这种图形变化可以是（）A．关于x轴对称B．绕原点逆时针旋转90°C．关于y轴对称D．绕原点顺时针旋转90°8．（3分）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，其半径为3，图中阴影部分的面积是（）A．πB．C．2πD．3π9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为（）A．m≥﹣l B．m＞0C．m≠﹣1D．m＞﹣110．（3分）如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的点，某同学探索出如下结论，其中不正确的是（）A．当E，F，G，H是各边中点且AC＝BD时，四边形EFGH为菱形B．当E，F，G，H是各边中点且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形二、填空题（共6题，每题3分，共18分）11．（3分）计算（﹣2）×（﹣3）+（﹣4）的结果为．12．（3分）分解因式：a2b﹣9b＝．13．（3分）计算的结果为．14．（3分）如图，已知圆O经过▱ABCD点A，C，D三个顶点，与边BC交于点E，连接AE，若∠D＝72°，则∠BAE＝．15．（3分）已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为S甲2、S乙2，则S甲2S乙2（填“＞”、“＝”、“＜”）16．（3分）如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB ＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为．三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（9分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．18．（9分）如图，点C，F，E，B在一条直线上，∠CFD＝∠BEA，CE＝BF，DF＝AE．（1）求证：CD＝AB．（2）判断CD∥AB是否成立，并说明理由．19．（10分）先化简，再求值：（1+），其中x是方程x2﹣4x+1＝0的实数根．20．（10分）如图，某公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200m，且点H，A，B在同一水平直线上，试求这条江的宽度AB（结果精确到0.1m）．（参考数据：4，）21．（12分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次活动共调查了人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为；（2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“”；（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．22．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°．（1）作∠ABC的平分线交AC边于点P，再以点P为圆心，P A长为半径作⊙P（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）；（2）请你判断（1）中BC与⊙P的位置关系：．23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+1（m≠0）的图象与反比例函数y＝的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，点M在x轴负半轴上，四边形OCMB是平行四边形，点A的坐标为（，n）．（1）写出点B、C的坐标，并求一次函数的表达式；（2）连接AO，求△AOB的面积；（3）直接写出关于x的不等式mx的解集．24．（14分）如图，抛物物y＝ax2过点（﹣，2），点P（h，k）是抛物线上在第一象限内的动点．连结OP，过点O作OP的垂线交抛物线于另一点N，连结PN，交y轴于点M，作P A⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）求a的值，写出抛物线的对称轴；（2）如图①，当h＝时，在y轴上找一点C，使△OCN是等腰三角形，求点C的坐标；（3）如图②，连结AM，BM，试猜想线段AM与线段BM之间的位置关系，并证明结论．25．（14分）如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于A，B两点，在半径OB 上取一点M（m，0）（其中0＜m＜3），过点M作y轴的平行线交⊙O于C，D，直线AD，CB交于点P．（1）当m＝1时，求sin∠PCD的值；（2）若AD＝2DP，试求m的值及点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将经过点A，B，C的抛物线向右平移n个单位，使其恰好经过P点，求n的值．2019年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）下列运算正确的是（）A．3a﹣2a＝1B．|﹣3|＝3C．﹣＝2D．【分析】根据合并同类项的法则，绝对值的意义，零指数的意义解答即可．【解答】解：A、3a﹣2a＝a，故错误；B、|﹣3|＝3，故正确；C、﹣（）2＝﹣2，故错误；D、（）0＝1，故错误；故选：B．【点评】本题考查了合并同类项的法则，绝对值的意义，零指数的意义，熟记法则是解题的关键．2．（3分）今年春节，我区某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学记数法表示为（）A．0.778×105B．7.78×103C．7.78×104D．7.78×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将77800用科学记数法表示为7.78×104，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠4B．x＝4C．x≠0D．x＝0【分析】根据分式有意义的条件即可求出x的范围；【解答】解：由代数式有意义可知：x﹣4≠0，∴x≠4，故选：A．【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型．4．（3分）如图，由5个相同正方体组合而成的几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．5．（3分）方程的解是（）A．x＝2B．x＝C．x＝﹣2D．x≠1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x＝2x﹣2，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解．故选：A．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝5，则AB的长为（）A．2.5B．7.5C．8.5D．10【分析】利用直角三角形斜边的中线的性质求出AC即可解决问题．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵AE＝EC，∴AC＝2DE＝10，∴AB＝AC＝10，故选：D．【点评】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（3分）点A（4，3）经过某种图形变化后得到点B（﹣3，4），这种图形变化可以是（）A．关于x轴对称B．绕原点逆时针旋转90°C．关于y轴对称D．绕原点顺时针旋转90°【分析】画出图形即可判断．【解答】解：观察图象可知：点A（4，3）绕原点逆时针旋转90°得到点B（﹣3，4），故选：B．【点评】本题考查旋转变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（3分）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，其半径为3，图中阴影部分的面积是（）A．πB．C．2πD．3π【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再利用圆周角定理得到∠BOC＝120°，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠BOC＝2∠A＝120°，∴图中阴影部分的面积＝＝3π．故选：D．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为（）A．m≥﹣l B．m＞0C．m≠﹣1D．m＞﹣1【分析】由题意可得△＝（m+3）2﹣4（m+2）＝（m+1）2＞0，即可求解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（m+3）2﹣4（m+2）＝（m+1）2＞0∴m≠﹣1故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根，上面的结论反过来也成立．10．（3分）如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的点，某同学探索出如下结论，其中不正确的是（）A．当E，F，G，H是各边中点且AC＝BD时，四边形EFGH为菱形B．当E，F，G，H是各边中点且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线定理、矩形、菱形的判定定理判断即可．【解答】解：连接AC、BD，当E，F，G，H是各边中点时，EH∥BD，EH＝BD，FG∥BD，FG＝BD，EF∥AC，EF＝AC，∴四边形EFGH为平行四边形，∵AC＝BD，∴EF＝EH，∴四边形EFGH为菱形，A正确，不符合题意；当E，F，G，H是各边中点，AC⊥BD时，∠EFG＝90°，∴四边形EFGH为矩形，B正确，不符合题意；当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可能为菱形，C错误，符合题意；当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形，D正确，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形和菱形的判定定理是解题的关键．二、填空题（共6题，每题3分，共18分）11．（3分）计算（﹣2）×（﹣3）+（﹣4）的结果为2．【分析】根据有理数的乘法和加法可以解答本题．【解答】解：（﹣2）×（﹣3）+（﹣4）＝6+（﹣4）＝2，故答案为：2．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．12．（3分）分解因式：a2b﹣9b＝b（a+3）（a﹣3）．【分析】首先提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：a2b﹣9b＝b（a2﹣9）＝b（a+3）（a﹣3）．故答案为：b（a+3）（a﹣3）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．13．（3分）计算的结果为1．【分析】分子分母约去公因式即可．【解答】解：，故答案为：1【点评】本题考查了分式的约分，当分子、分母是多项式时，首先要把分子分母分解因式．14．（3分）如图，已知圆O经过▱ABCD点A，C，D三个顶点，与边BC交于点E，连接AE，若∠D＝72°，则∠BAE＝36°．【分析】根据平行四边形的性质得到∠DCB＝（180°﹣∠D）＝108°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB＝∠D＝72°，由三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝72°，∴∠DCB＝（180°﹣∠D）＝108°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB＝∠D＝72°，∠DAC＝180°﹣∠DCB＝72°∴∠BAE＝180°﹣72°﹣72°＝36°，故答案为：36°．【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．15．（3分）已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为S甲2、S乙2，则S甲2＞S乙2（填“＞”、“＝”、“＜”）【分析】结合图形，根据数据波动较大的方差较大即可求解．【解答】解：从图看出：乙组数据的波动较小，故乙的方差较小，即S甲2＞S乙2．故答案为：＞．【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．16．（3分）如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为．【分析】由等边三角形的性质得出∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，求出∠APC＝120°，当PB⊥AC时，PB长度最小，设垂足为D，此时P A＝PC，由等边三角形的性质得出AD＝CD＝AC＝1，∠P AC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，求出PD ＝AD•tan30°＝AD＝，BD＝AD＝，即可得出答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，∵∠P AB＝∠ACP，∴∠P AC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴点P的运动轨迹是，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：此时P A＝PC，OB⊥AC，则AD＝CD＝AC＝1，∠P AC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴PD＝AD•tan30°＝AD＝，BD＝AD＝，∴PB＝BD﹣PD＝﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握等边三角形的性质是解决问题的关键．三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（9分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据解集在数轴上的表示即可确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式﹣2x＜6，得：x＞﹣3，解不等式3（x﹣2）≤x﹣4，得：x≤1，将不等式解集表示在数轴如下：则不等式组的解集为﹣3＜x≤1【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18．（9分）如图，点C，F，E，B在一条直线上，∠CFD＝∠BEA，CE＝BF，DF＝AE．（1）求证：CD＝AB．（2）判断CD∥AB是否成立，并说明理由．【分析】（1）欲证明CD＝AB，只要证明△CDF≌△BAE（SAS）即可解决问题．（2）只要证明∠C＝∠D即可．【解答】证明：（1）∵CE＝BF，∴CE﹣EF＝BF﹣EF，即：CF＝BE，在△CDF和△BAE中，，∴△CDF≌△BAE（SAS），∴CD＝BA．（2）结论：CD∥AB．理由：由（1）知△CDF≌△BAE，∴∠C＝∠B，∴CD∥AB，【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．19．（10分）先化简，再求值：（1+），其中x是方程x2﹣4x+1＝0的实数根．【分析】首先计算括号里面，再将分式的分子与分母分解因式，进而化简，进而解方程，把x的值代入求出答案．【解答】解：原式＝×，＝×＝，∵x是方程x2﹣4x+1＝0的实数根，∴x＝2±，当x＝2+时，原式＝＝，当x＝2﹣时，原式＝＝﹣．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．20．（10分）如图，某公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200m，且点H，A，B在同一水平直线上，试求这条江的宽度AB（结果精确到0.1m）．（参考数据：4，）【分析】在Rt△ACH和Rt△HCB中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．【解答】解：由于CD∥HB，∴∠CAH＝∠ACD＝45°，∠B＝∠BCD＝30°，在Rt△ACH中，∵∠CAH＝45°，∴∠CAH＝∠ACH＝45°，∴AH＝CH＝1200m，在Rt△HCB，∵tan B＝，∴HB＝＝＝1200m，∴AB＝HB﹣HA＝1200﹣1200＝1200×（1.732﹣1）＝878.4m，答：这条江的宽度AB＝878.4 m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角、俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是用含CH的式子表示出AH和BH．21．（12分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次活动共调查了200人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为81°；（2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“微信”；（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．【分析】（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘以“支付宝”人数所占比例即可得；（2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）本次活动调查的总人数为（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）＝200人，则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×＝81°，故答案为：200、81°；（2）微信人数为200×30%＝60人，银行卡人数为200×15%＝30人，补全图形如下：由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”，故答案为：微信；（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，画树状图如下：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为＝．【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°．（1）作∠ABC的平分线交AC边于点P，再以点P为圆心，P A长为半径作⊙P（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）；（2）请你判断（1）中BC与⊙P的位置关系：相切．【分析】（1）作∠ABC的平分线交AC于P，然后以点P为圆心，P A为半径作圆即可；（2）先利用角平分线的性质得到点P到BC的距离等于P A，然后根据直线与圆的位置关系进行判断．【解答】解：（1）如图，⊙P为所作；（2）∵PB平分∠ABC，∴点P到BC的距离等于P A，∴BC为⊙P的切线．故答案为：相切．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直线与圆的关系．23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+1（m≠0）的图象与反比例函数y＝的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，点M在x轴负半轴上，四边形OCMB是平行四边形，点A的坐标为（，n）．（1）写出点B、C的坐标，并求一次函数的表达式；（2）连接AO，求△AOB的面积；（3）直接写出关于x的不等式mx的解集．【分析】（1）先确定出点C坐标，再用平行四边形的性质设出点B坐标，进而利用点B 在反比例函数是，求出点B，最后代入直线解析式中，即可得出结论；（2）先求出点A坐标，再用面积之和即可得出结论；（3）直接根据图象，即可得出结论．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝mx+1＝1，则C的坐标为（0，1），∴OC＝1，∵四边形OCMB是平行四边形，∴BM∥OC，且BM⊥x轴，∴BM＝1，故可设B（h，﹣1），∵B（h，﹣1）在反比例函数y＝的图象上，∴﹣1＝，∴h＝﹣1，即B的坐标为（﹣1，﹣1）把B（﹣1，﹣1）代入y＝mx+1中得﹣1＝m×（﹣1）+1，解得m＝﹣2∴一次函数解析式为y＝2x+1．（2）连接OA，点A（，n）在直线y＝2x+1上，n＝2×+1＝2．则A（，2），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×1×+×1×1＝；（3）∵mx，∴mx+1＜∴当x＜﹣1或0＜x＜时，mx，∴不等式mx的解集为x＜﹣1或0＜x＜．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了平行四边形的性质，待定系数法，三角形的面积的计算方法，求出直线解析式是解本题的关键．24．（14分）如图，抛物物y＝ax2过点（﹣，2），点P（h，k）是抛物线上在第一象限内的动点．连结OP，过点O作OP的垂线交抛物线于另一点N，连结PN，交y轴于点M，作P A⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）求a的值，写出抛物线的对称轴；（2）如图①，当h＝时，在y轴上找一点C，使△OCN是等腰三角形，求点C的坐标；（3）如图②，连结AM，BM，试猜想线段AM与线段BM之间的位置关系，并证明结论．【分析】（1）由题意可求得a＝1，对称轴为y轴；（2）先求出N点坐标，可分三种情况：当ON＝OC或者CN＝OC或者ON＝CN，求出C点坐标；（3）证得△NBO∽△MOA，可得NO∥MA，同理可证：EM∥OD，证出四边形OEMD 为矩形，则AM⊥BM．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2过点（﹣，2），∴2＝，∴a＝1，抛物线y＝x2对称轴为y轴．（2）当h＝时，P（，2），∵PO⊥ON，∴∠PON＝90°，∵P A⊥x轴，∴∠P AO＝90°，同理∠NBO＝90°．由题意可得：P A＝2，OA＝，OP＝，∴设N（n，n2），∠POA＝θ，则∠NOM＝90°﹣∠MOP＝∠POA＝θ，∴∠BNO＝90°﹣∠NOB＝∠NOM＝θ，∴tanθ＝，∴n＝﹣，∴N（），∴，要使△OC N为等腰三角形，只需ON＝OC或者CN＝OC或者ON＝CN，∴当ON＝OC时，点C的坐标为，，当ON＝CN时，由对称性可得，点C的坐标为C3（0，1），当CN＝OC时，可得点C的坐标为．（3）AM⊥BM．∵，∠NBO＝∠MOA＝90°，∴△NBO∽△MOA，∴∠MAO＝∠NOB，∴NO∥MA，同理可证：EM∥OD，又∵∠EOD＝90°，∴四边形OEMD为矩形，∴AM⊥BM．【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象的轴对称性，等腰三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等重要知识．25．（14分）如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于A，B两点，在半径OB 上取一点M（m，0）（其中0＜m＜3），过点M作y轴的平行线交⊙O于C，D，直线AD，CB交于点P．（1）当m＝1时，求sin∠PCD的值；（2）若AD＝2DP，试求m的值及点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将经过点A，B，C的抛物线向右平移n个单位，使其恰好经过P点，求n的值．【分析】（1）m＝1，可求出AM、DM的长度，则sin∠PCD＝sin∠DAM可求．（2）作PN⊥CD于点N，连接OD，则△PDN∽△ADM，可得DN＝DM，PN＝AM，设CM＝DM＝a，则DN＝，CN＝，根据△PNC∽△BMC，可推出，可算出点P（，）．（3）当m＝2时，C（2，﹣），A（﹣3，0），B（3，0），则抛物线为：y＝（x2﹣9），向右平移n个单位后的解析式为：y＝（x﹣n）2﹣，将点P（，）代入抛物线解析式中，解得n＝，则n的值为或．【解答】解：（1）当m＝1时，如图1所示，连接OD，∵OM＝1，OD＝3，∴DM＝2，∵AD＝＝2，∴sin∠PCD＝sin∠BAD＝．（2）如图2所示，PN⊥CD于点N，连接OD，∵∠PND＝∠AMD＝90°，∠PDN＝∠ADM，∴△PDN∽△ADM，又∵AD＝2DP，∴，∴DN＝DM，PN＝AM，∵CD∥y轴，∴∠OMD＝∠OMC＝90°，∴CM＝DM，设CM＝DM＝a，∴DN＝，CN＝DN+MD+CM＝，∴∠PNC＝∠BMC＝90°，又∵∠PCN＝∠BCM，∴△PNC∽△BMC，∴，由题意：BM＝3﹣m，AM＝3+m，∴，解得m＝2，当m＝2时，MD＝，∴MN＝MD+DN＝，CM＝MD＝，又NP＝，∴P（，）．（3）当m＝2时，C（2，﹣），A（﹣3，0），B（3，0），∴经过点A、B的抛物线的解析式可设为：y＝a（x+3）（x﹣3），∵抛物线过点C，∴﹣＝a（2+3）×（2﹣3），解得a＝．∴经过点A、B、C的抛物线为：y＝（x2﹣9），向右平移n个单位后的解析式为：y＝（x﹣n）2﹣，将点P（，）代入抛物线解析式中，＝（﹣n）2﹣，解得n＝，∴n的值为或．【点评】此题考查了圆的相关性质，相似三角形的性质及判定，二次函数的平移规律，构造相似三角形利用对应边之间的比例关系得出相关线段长度为解题关键．。
2018年广州中考数学一模几何综合压轴题汇编参考答案
∴
=
=．
②如图 2 中，作 DH⊥AB 于 H．
在 Rt△ADH 中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，
∴DH= AD= x，AH=
= x，
∴BH=2 ﹣ x，
在 Rt△BDH 中，BD=
=
∴DE= BD=
，
∴矩形 BDEF 的面积为 y= [
即 y= x2﹣2 x+4 ，
∴y= （x﹣3）+ ，
（1）当 BC＝2 时，求线段 OD 的长及B⌒C；
（2）在点 C 的运动过程中，△DOE 中是否存在长度保 持不变的边或度数保持不变的角？如果存在，请指出并 求其长度或度数（只求一种即可）；如果不存在，请说 明理由； （3）作 DF⊥OE 于点 F（如图 2），当 DF2＋EF＝y， BD＝x，求 y 关于 x 的函数关系式，并求出 DF2＋EF 的 最大值．
（3）如图 3，设 EF=x，由（2）可知 DE= 在 Rt△DFE 中，DF2=DE2﹣EF2=2﹣x2 ∴DF 2+EF=﹣x2+x+2 ∴当 ，即 EF= 时，DF 2+EF 取得最大值， 此时，DF=
例题 6、如图，等腰△ABC 中，AC＝BC，点 O 在 AB 边上，以 O 为圆心的圆与 AC 相切于点 C，交 AB 边 于点 D，EF 为⊙O 的直径，EF⊥BC 于点 G． （1）求证：D 是弧 EC 的中点； （2） 如图 2，延长 CB 交⊙O 于点 H，连接 HD 交 OE 于点 K，连接 CF，求证：CF＝OK＋DO； （3）如图 3，在（2）的条件下，延长 DB 交⊙O 于点 Q，连接 QH，若 DO＝265 ，KG＝2，求 QH．
解：（1）∵四边形 AOCB 是矩形， ∴BC=OA=2，OC=AB=2 ，∠BCO=∠BAO=90°， ∴B（2 ，2）． 故答案为（2 ，2）．
广东中考数学复习各地区2022年模拟试题分类(广州专版)(8)——图形的变化(含解析)
广东中考数学复习各地区2018-2022年模拟试题分类（广州专版）（8）——图形的变化一．选择题（共12小题）1．（2022•海珠区一模）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在DA 的延长线上，且AE =13AD ，连接CE 交BD 于点F ，交AB 于点G ，则S △BGC ：S 四边形ADCG 的值是（ ）A ．35B ．53C ．57D ．34 2．（2022•增城区一模）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉； ②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2022次操作时，余下纸片的面积为（ ）A ．22022B ．2022C ．2022D ．1220213．（2022•越秀区一模）在如图网格中，小正方形的边长为1，点A 、B 、C 、D 都在格点上，AB 与CD 相交于点O ，则∠AOC 的正切值是（ ） A ．23 B ．32 C ．35 D ．53 4．（2022•番禺区模拟）如图，E ，F 分别是▱ABCD 的边AD ，BC 上的点，∠DEF ＝60°，EF ＝2，将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到四边形EFC ′D ′，ED ′交BC 于点G ，则△GEF 的周长为（ ）A ．6B ．12C ．6√2D ．2（1+√2）5．（2022•白云区二模）如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 与点E 重合，折痕为线段DF ，已知矩形ABCD 的面积为6，四边形CDEF 的面积为4，则AC ＝（ ）A ．√5B ．√10C ．√13D ．√156．（2022•白云区二模）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，过点C 作CE ∥BD ，交AB 延长线于点E ，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列结论中，错误的是（ ）A ．△AOB ∽△CODB ．∠AOB ＝∠ACBC ．四边形BDCE 是平行四边形D ．S △AOD ＝S △BOC7．（2022•番禺区一模）点A （4，3）经过某种图形变化后得到点B （﹣3，4），这种图形变化可以是（ ）A ．关于x 轴对称B ．绕原点逆时针旋转90°C ．关于y 轴对称D ．绕原点顺时针旋转90°8．（2022•花都区一模）如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ．现将其沿AE 对折，使得点B 落在边AD 上的点B 1处，折痕与边BC 交于点E ，则CB 1的长为（ ）A ．3√5cmB ．2√10cmC ．8cmD ．10cm 9．（2022•白云区一模）如图，过△ABC 内任一点P ，作DE ∥BC ，GF ∥AC ，KH ∥AB ，则DE BC +GF AC +KH AB =（ ）A ．1B ．43C ．2D ．83 10．（2022•荔湾区校级一模）如右图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE ．若FN =2−√3，则CD ＝（ ）A ．2B ．√3C ．√2D ．111．（2022•天河区模拟）如图，将边长为3的正方形纸片ABCD 对折，使AB 与DC 重合，折痕为EF ，展平后，再将点B 折到边CD 上，使边AB 经过点E ，折痕为GH ，点B 的对应点为M ，点A 的对应点为N ，那么折痕GH 的长为（ ）A ．√10B ．103C ．72D ．√1512．（2022•番禺区一模）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝AC ，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的点，且AE ＝BF ，连接CE 、AF 交于点H ，连接DH 交AC 于点O ，则下列结论：①△ABF ≌△CAE ；②∠FHC ＝∠B ；③△AEH ～△DAH ；④AE •AD ＝AH •AF ；其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题（共21小题）13．（2022•白云区模拟）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，在△ABC 的外部和内部（不包括边）分别取一点D ，E ，若AD ＝AE ＝4，BD ＝8，CE ＝2，∠CAD 的补角等于∠CAE ，则下列结论：①点A 在线段DE 的垂直平分线上；②△ACE ∽△BAD ；③∠ACB +∠ABC ＝∠BAD +∠CAE ；④BC 的最大值是14．其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．14．（2022•越秀区一模）如图所示是若干个大小相同的小正方体搭成的几何体从三个不同方向看到的图形，则搭成这个几何体的小正方体的个数是 ．15．（2022•白云区模拟）如图，将一副三角板中的两块三角板ABC （∠C ＝30°），DEF 的两个直角顶点A ，D 重合放置，且DE ⊥BC ．将三角板DEF 绕点A （D ）顺时针旋转α（0°＜α＜90°）．使得三角板DEF 的斜边EF 所在直线与BC 垂直，则α的度数为 ．16．（2022•番禺区模拟）如图，⊙O 是正△ABC 的外接圆，过点A 的直线l 交⊙O 于点D ，分别过点B ，C作直线l 的垂线，垂足分别为点E 、F ，连接BD 、CD ．已知BE ＝3，CF ＝2，现在有如下4个结论： ①∠CDF ＝60°；②△EDB ∽△FDC ；③BC =2√213；④S △ADB =23S △EDB ． 其中所有正确结论的序号为 ．17．（2022•天河区校级模拟）如图1，分别沿矩形纸片ABCD 和正方形EFGH 纸片的对角线AC ，EG 剪开，拼成如图2所示的平行四边形KLMN ，若中间空白部分恰好是正方形OPQR ，且平行四边形KLMN 的面积为50，则正方形EFGH 的面积为 ．18．（2022•从化区一模）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM ＝4米，AB ＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC ＝30°，则警示牌的高CD 为 米（结果精确到0.1，参考数据：√2=1.41，√3=1.73）19．（2022•越秀区校级一模）如图，将矩形ABCD 点A 逆时针方向旋转一定角度后，BC 的对应边B 1C 1交CD 边于点G ，AB 1＝B 1G 时，AD =√31，CG ＝3，连接BB 1，CC 1，则CC 1BB 1= ．20．（2022•越秀区校级二模）如图，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 与BC 边的中点F 重合，下列结论中：①EF =12AB ；②∠BAF ＝∠CAF ；③S 四边形ADFE =12AF ×DE ；④∠BDF +∠FEC ＝2∠BAC ，正确的是 （填序号）21．（2022•白云区二模）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 垂直平分BD ，∠BAD ＝120°，AB ＝4，点E是AB 的中点，点F 是AC 上一动点，则EF +BF 的最小值是 ．22．（2022•海珠区一模）如图，把矩形ABCD 翻折，使得点A 与BC 边上的点G 重合，折痕为DE ，连结AG 交DE 于点F ，若EF ＝1，DG =√6，则BE ＝ ．23．（2022•增城区一模）如图所示，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于E 点，对角线BD 交AG 于F 点．已知FG ＝2，则线段AE 的长度为 ．24．（2022•天河区校级一模）问题：如图，点O 是等边△ABC 内部一点，OA ＝1，OB ＝2√2，OC ＝3，求∠AOB 的度数，四位同学为了解决此题，分别作了各自的辅助线，具体如下：甲：旋转使得△AOB ≌△APC ：乙翻折使得△AOB ≌△AOD ，使得点B 的对应点D 落在边BC 上；丙旋转使得△COA ≌△CEB ；丁旋转使得△BOC ≌△BMA ，那么辅助线有利于实现解题的是 （只填序号）．25．（2022•越秀区校级一模）如图所示，在平行四边形ABCD 中，CE 是∠DCB 的平分线，且交AB 于E ，DB 与CE 相交于O ，已知AB ＝6，BC ＝4，则OB DB 等于 ．26．（2022•荔湾区模拟）如图，AB 是半圆O 的直径，AD 、BC 、CD 分别切⊙O 与点A 、B 、E ，连结OD ．OC ，则下列结论中，①∠DOC ＝90°，②AD +BC ＝CD ，③OC ：OD ＝EC ：DE ，④OC 2＝DC •CE ，正确的是27．（2022•荔湾区校级二模）如图△ABC 中，BE 平分∠ABC ，DE ∥BC ，若DE ＝2AD ，AE ＝2，那么AC ＝ ．28．（2022•荔湾区校级一模）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC ，垂足为点F ，连接DF ．分析下列四个结论：①△AEF ∽△CAB ；②CF ＝2AF ；③DF ＝DC ；④tan ∠CAD =34．其中正确的结论是 ．29．（2022•越秀区二模）如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转至△DEC ，使点D 落在BC 的延长线上，已知∠A ＝27°，∠B ＝40°，则∠ACE ＝ ．30．（2022•荔湾区校级一模）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，若BD ＝1，tan ∠ABC ＝3，∠C＝45°，则AC ＝ ．31．（2022•增城区一模）如图，正方形ABCD 的边长是3，BP ＝CQ ，连接AQ 、DP 交于点O ，并分别与边CD 、BC 交于点F 、E ，连接AE ，下列结论：①AQ ⊥DP ；②OA 2＝OE •OP ；③S △AOD ＜S 四边形OECF ；①当BP ＝1时，tan ∠OAE =1316，其中正确结论的是 ．（请将正确结论的序号填写在横线上） 32．（2022•花都区一模）如图，已知点E ，H 在矩形ABCD 的AD 边上，点F ，G 在BC 边上，将矩形ABCD沿EF ，GH 折叠，使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处．折叠后，点A 的对应点为点A '，点D 的对应点为点D '，若∠FPG ＝90°，A 'E ＝3，D 'H ＝1，则矩形ABCD 的周长等于 ．33．（2022•越秀区校级二模）如图，把菱形ABCD 沿AH 折叠，使B 点落在BC 上的E 点处，若∠B ＝70°，则∠EDC 的大小为 ．三．解答题（共9小题）34．（2022•番禺区模拟）如图，在正方形网格图中，△ABC 的顶点和点O 都在格点上，其小正方形的边长为1．（1）将△ABC 向右平移3个单位，得到△A 0B 0C 0，请在网格中画出△A 0B 0C 0；（1）把△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1；（3）尺规作图：分别作△ABC的边AB、AC的垂直平分线，并标出两条垂直平分线的交点P（要求保留作图痕迹，不写作法），指出点P是△ABC的内心，外心，还是重心？35．（2022•越秀区校级一模）根据道路管理规定，在广州某段笔直公路上行驶的车辆，限速40千米/时；已知交警测速点M到该公路A点的距离为10√2米，∠MAB＝45°，∠MBA＝37°（如图所示），现有一辆汽车由A往B方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用的时间为2秒．（1）求测速点M到该公路的距离．（2）通过计算判断此车是否超速．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）36．（2022•越秀区校级一模）如图，一般捕鱼船在A处发出求救信号，位于A处正西方向的B处有一艘救援艇决定前去数援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达．救援艇决定马上调整方向，先向北偏东60°方向以每小时30海里的速度航行，同时捕鱼船向正北低速航行．30分钟后，捕鱼船到达距离A处1.5海里的D处，此时救援艇在C处测得D处在南偏东53°的方向上．（1）求C、D两点的距离；（2）捕鱼船继续低速向北航行，救援艇决定再次调整航向，沿CE方向前去救援，并且捕鱼船和救援艇同达时到E处，若两船航速不变，求∠ECD的正弦值．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈4 3）37．（2022•荔湾区校级模拟）画一个正方体的三种平面展开图，要求展开图是中心对称图形．（画出的图是正方体的展开图，但不是中心对称图形每种可得2分．）38．（2022•荔湾区模拟）如图，在矩形ABCD中，∠CAB＝30°，BC＝4√3cm，将△ABC沿AC边翻折，使点B到点B′，AB′与DC相交于点O．（1）求证：△ADO∽△ABC；（2）点P（不与点A重合）是线段AB′上一动点，沿射线AB′的方向以2cm/s的速度匀速运动，请你求出△APC的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）在（2）中，以AP、B′P、BC的长为边能否构成直角三角形？若能，求出点P的位置；若不能，请说明理由．39．（2022•海珠区一模）矩形ABCD 中，点E 是DC 上一点，连接AE ．（1）在BC 上取一点F ，使∠AFE ＝90°，且BF ＜FC ．（用尺规作图，找出点，保留作图痕迹）；（2）连接AF ，EF ，延长EF 与AB 的延长线交于点G ，求证：BF 2＝BG •AG ﹣BG 2．40．（2022•海珠区一模）如图，已知△ABC 中，AB ＝BC ＝10，tan ∠ABC =34．（1）求边AC 的长；（2）设边BC 的垂直平分线EF 与边AB 、BC 的交点分别为E ，F ，求AE BE 的值．41．（2022•荔湾区一模）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是过点A 的⊙O 的切线上一点，连接OC ，过点A 作OC 的垂线交OC 于点D ，交⊙O 于点E ，连接CE ．（1）求证：CE 与⊙O 相切；（2）连结BD 并延长交AC 于点F ，若OA ＝5，sin ∠BAE =√55，求AF 的长．42．（2022•天河区一模）如图，为测量某条河的宽度BC ，工程队用无人机在距地面高度为200米的A 处测得B ，C 两点的俯角分别为30°和45°，且点B ，C ，D 在同一水平直线上，求A ，C 之间的距离和这条河的宽度BC ．（结果保留根号）广东中考数学复习各地区2022-2022年模拟试题分类（广州专版）（8）——图形的变化参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，AB ∥CD ，∵AE ∥BC ，∴△AEG ∽△BCG ，∴S △AEGS △BCG =（AE BC ）2＝（AE AD ）2＝（13）2=19， 即S △BCG ＝9S △AEG ，∵AG ∥CD ，∴△EAG ∽△EDC ，∴S △EAGS △EDC =（EA ED ）2＝（EA EA+AD ）2＝（14）2=116， 即S △EDC ＝16S △EAG ，∴S 四边形ADCG ＝15S △EAG ，∴S △BGC ：S 四边形ADCG ＝9S △AEG ：15S △EAG ＝3：5．故选：A ．2．【答案】C【解答】解：正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，第一次：余下面积S 1=12，第二次：余下面积S 2=122， 第三次：余下面积S 3=123， 当完成第2022次操作时，余下纸片的面积为S 20222022．故选：C ．3．【答案】A【解答】解：如图取格点K ，连接BK ，则CD ∥BK ．过点K 作KH ⊥AB 于H ．∵S △ABK =12•AK •4=12•AB •KH ，AB =√42+72=√65，∴HK=65=4√6513，∵BH=√BK2−HK2=20−(46513)2=6√6513，∵CD∥BK，∴∠AOC＝∠ABK，∴tan∠AOC＝tan∠ABK=HKBH=4√65136√6513=23，方法二：如图取格点M，连接AM，BM．证明∠AMB＝90°，求出tan∠ABM即可解决问题．故选：A．4．【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEG＝∠EGF，∵将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，∴∠GEF＝∠DEF＝60°，∴∠AEG＝60°，∴∠EGF＝60°，∴△EGF是等边三角形，∴EG＝FG＝EF＝2，∴△GEF的周长＝2×3＝6，故选：A．5．【答案】C【解答】解：由折叠可得，∠DEF＝∠DCF＝∠CDE＝90°，∴四边形CDEF是矩形，由折叠可得，CD＝DE，∴四边形CDEF是正方形，∴CD=√4=2，又∵矩形ABCD的面积为6，∴AD＝3，∴Rt△ACD中，AC=√22+32=√13，故选：C．6．【答案】B【解答】解：∵CD∥AB，∴△AOB∽△COD，故A正确；∵CD∥BE，DB∥CE，∴四边形BDCE是平行四边形，故C正确；∵△ABC 的面积＝△BOC 的面积+△AOB 的面积＝△ADB 的面积＝△AOD 的面积+△AOB 的面积， ∴△AOD 的面积＝△BOC 的面积，故D 正确；∵∠AOB ＝∠COD ，∴∠DOC ＝∠OCE ＞∠ACB ，故B 错误；故选：B ．7．【答案】B【解答】解：观察图象可知：点A （4，3）绕原点逆时针旋转90°得到点B （﹣3，4），故选：B ．8．【答案】B【解答】解：∵∠AB 1E ＝∠B ＝90°，∠BAB 1＝90°，∴四边形ABEB 1为矩形，又∵AB ＝AB 1，∴四边形ABEB 1为正方形，∴BE ＝AB ＝6cm ，∴EC ＝BC ﹣BE ＝2cm ，∴CB 1=√62+22=2√10cm ．故选：B ．9．【答案】C【解答】解：∵DE ∥BC∴△ADE ∽△ABC∴AD AB =DE BC 同理可得：GG GG =GG GG∵DE ∥BC ，GF ∥AC ，KH ∥AB ，∴四边形AGPK 是平行四边形，四边形BDPH 是平行四边形，∴PK ＝AG ，PH ＝BD ，∴GG GG +GG GG +GG GG =GG GG +GG GG +GG GG =GG +GG +GG +GG +GG +GG GG=2 故选：C ． 10．【答案】A 【解答】解：设CD ＝x ，则BF ＝AB ＝x ，BM =12BC =12x ，∴Rt △BFM 中，MF =√GG 2−GG 2=12√3x ，又∵MN ＝AB ＝x ，GG =2−√3，∴2−√3+12√3x ＝x ，解得x ＝2，∴CD ＝2，故选：A ．11．【答案】A【解答】解：设CM ＝x ，设HC ＝y ，则BH ＝HM ＝3﹣y ，故y 2+x 2＝（3﹣y ）2，整理得：y =−16x 2+32，即CH =−16x 2+32，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，由题意可得：ED ＝1.5，DM ＝3﹣x ，∠EMH ＝∠B ＝90°，故∠HMC +∠EMD ＝90°，∵∠HMC +∠MHC ＝90°，∴∠EMD ＝∠MHC ，∴△EDM ∽△MCH ，∴GG GG =GG GG ， 即1.5G =3−G−16G 2+32， 解得：x 1＝1，x 2＝3（不合题意），∴CM ＝1，如图，连接BM ，过点G 作GP ⊥BC ，垂足为P ，则BM ⊥GH ， ∴∠PGH ＝∠HBM ，在△GPH 和△BCM 中 {∠GGG =∠GGG GG =GG ∠GGG =∠G ，∴△GPH ≌△BCM （SAS ），∴GH ＝BM ，∴GH ＝BM =√32+12=√10．故选：A ．12．【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∵AB ＝AC ，∴AB ＝BC ＝AC ，即△ABC 是等边三角形，同理：△ADC 是等边三角形∴∠B ＝∠EAC ＝60°，在△ABF 和△CAE 中，{GG =GG ∠G =∠GGG GG =GG ，∴△ABF ≌△CAE （SAS ）；∴∠BAF ＝∠ACE ，EC ＝AF ，∵∠FHC ＝∠ACE +∠F AC ＝∠BAF +∠F AC ＝∠BAC ＝60°，∴∠FHC ＝∠B ，故①正确，②正确；∵∠AHC +∠ADC ＝120°+60°＝180°，∴点A ，H ，C ，D 四点共圆，∴∠AHD ＝∠ACD ＝60°，∠ACH ＝∠ADH ＝∠BAF ，∴∠AHD ＝∠FHC ＝∠AHE ＝60°，∴△AEH ～△DAH ，故③正确；∵∠ACE ＝∠BAF ，∠AEH ＝∠AEC ，∴△AEH ∽△CEA ，∴GG GG =GG GG ，∴AE •AC ＝AH •EC ，∴AE •AD ＝AH •AF ，故④正确；故选：D ．二．填空题（共21小题）13．【答案】①③．【解答】解：∵AD ＝AE ＝4，∴点A 在线段DE 的垂直平分线上，故①正确；∵AD ＝AE ＝4，BD ＝8，CE ＝2，∴GG GG =GG GG =2，但题中并没有∠ADB ＝∠CEA ，∴△ACE 不一定相似于△BAD ，故②错误；延长DA 至F ，如图：∵在△ABC 中，∠BAC ＝120°，∴∠ACB +∠ABC ＝60°，∵∠CAD +∠CAE ＝180°，∠CAD +∠CAF ＝180°，∴∠CAE ＝∠CAF ，∵∠BAC ＝120°，∴∠BAD +∠CAE ＝∠BAD +∠CAF ＝60°，∴∠ACB +∠ABC ＝∠BAD +∠CAE ，故③正确；∵2＜AC ＜6，4＜AB ＜12，∴6＜AB +AC ＜18，∴不能确定BC 的最大值，故④错误．∴正确的结论是①③．故答案为：①③．14．【答案】见试题解答内容【解答】解：在俯视图标出相应位置摆放小立方体的个数，如图所示：因此需要小立方体的个数为7，故答案为：7．15．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图1中，当EC⊥BC于J，∵∠CJO＝90°，∠C＝30°，∴∠COJ＝60°，∴∠FOA＝∠COJ＝60°，∴∠CAF＝180°﹣∠F﹣∠FOA＝75°，即α＝75°﹣30°＝45°如图2中，当EF⊥CB交CB的延长线于J，AF交CJ于O．∵∠F＝45°，∠FJO＝90°，∴∠BOA＝∠FOJ＝45°，∵∠CBA＝∠AOB+∠BAO，∴∠BAO＝15°，∴∠CAF＝90°+15°＝105°，∴α＝360°﹣105°﹣30°＝225°（舍弃，不合题意）综上所述，α的值为45°．16．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠CDF＝∠ABC＝60°，故①正确．∵∠BDE＝∠ACB＝60°，∴∠BDE＝∠CDF＝60°，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠E＝∠F＝90°，∴△EDB∽△FDC，故②正确．∵BE=√3DE＝3，CF=√3DF＝2，∴DE=√3，DF=2√3 3，∴EF＝DE+DF=5√3 3．过点C作CG⊥BE于点G．如图：∴四边形EGCF是矩形，∴EG＝FC＝2，CG＝EF=5√3312+(533)2，∴BG＝BE﹣EG＝1．在Rt△BGC中，由勾股定理可得：BC=√BG2+CG2=2√213，故③正确．在Rt△AEB中，AB＝BC=2√21 3，由勾股定理可得：AE=√AB2−BE2=(2√213)2−32=√33，∴AD＝DE﹣AE=√3−√33=2√33，∴AD：DE＝2：3．∴S△ADB=23S△EDB，故④正确．故答案为：①②③④．17．【答案】见试题解答内容【解答】解：设PM＝PL＝NR＝KR＝a，正方形ORQP的边长为b．由题意：a2+b2+（a+b）（a﹣b）＝50，∴a2＝25，∴正方形EFGH的面积＝a2＝25，故答案为：25．18．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意可得：∵AM＝4米，∠MAD＝45°，∴DM＝4m，∵AM＝4米，AB＝8米，∴MB＝12米，∵∠MBC＝30°，∴BC＝2MC，∴MC2+MB2＝（2MC）2，MC2+122＝（2MC）2，∴MC＝4√3，则DC＝4√3−4≈2.9（米），故答案为：2.9．19．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接AC ，AG ，AC 1，如图所示：由旋转可得，AB ＝AB 1，AC ＝AC 1，∠BAB 1＝∠CAC 1， ∴AB AC =AB 1AC 1， ∴△ABB 1∽△ACC 1， ∴CC 1BB 1=AC AB，∵AB 1＝B 1G ，∠AB 1G ＝∠ABC ＝90°，∴△AB 1G 是等腰直角三角形，∴AG =√2AB 1，设AB ＝AB 1＝x ，则AG =√2x ，DG ＝x ﹣3，∵Rt △ADG 中，AD 2+DG 2＝AG 2，∴（√31）2+（x ﹣3）2＝（√2x ）2，解得：x 1＝4，x 2＝﹣10（舍去），∴AB ＝4，∴Rt △ABC 中，AC =√AB 2+BC 2=√42+(√31)2=√47， ∴CC 1BB 1=AC AB =√474，故答案为：√474．20．【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵△ABC 沿DE 折叠点A 与BC 边的中点F 重合， ∴AE ＝EF ，AF ⊥DE ，∠ADE ＝∠EDF ，∠AED ＝∠DEF ， 只有AB ＝AC 时，∠BAF ＝∠CAF ＝∠AFE ，EF ∥AB ， 故①②错误；∵AF ⊥DE ，∴S 四边形ADFE =12AF •DE ，故③正确；由翻折的性质得，∠ADE =12（180°﹣∠BDF ），∠AED =12（180°﹣∠FEC），在△ADE 中，∠ADE +∠AED +∠BAC ＝180°， ∴12（180°﹣∠BDF ）+12（180°﹣∠FEC ）+∠BAC ＝180°， 整理得，∠BDF +∠FEC ＝2∠BAC ，故④正确．综上所述，正确的是③④共2个．故答案为：③④．21．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示，连接DF ，过E 作EG ⊥BD 于G ， ∵AC 垂直平分BD ，∴FB ＝FD ，AB ＝AD ，∴EF +BF ＝EF +FD ，当E ，F ，D 三点共线时，EF +BF 的最小值等于DE 的长， ∵∠BAD ＝120°，∴∠ABD ＝30°，又∵AB ＝4，点E 是AB 的中点，∴EG =12BE ＝1，AH =12AB ＝2，∴BG =√3，BH ＝2√3，GH =√3，∴DH ＝2√3，DG ＝3√3，∴Rt △DEG 中，DE =√EG 2+DG 2=√12+(3√3)2=2√7， 故答案为：2√7．22．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝CD ，AD ＝BC ， 由折叠的性质得：∠DGE ＝∠DAE ＝90°，AD ＝DG =√6，AE ＝GE ，DE 垂直平分AG ， ∴∠DFG ＝∠EFG ＝∠DGE ＝90°，∵∠FDG ＝∠GDE ，∴△DFG ∽△DGE ，∴DG DE =DF DG ，∴DF ×DE ＝DG 2＝6，即DF （DF +1）＝6，解得：DF ＝2，或DF ＝﹣3（舍去），∴DF ＝2，DE ＝3，同理：GE 2＝EF ×DE ＝3，∴AE ＝GE =√3，∵∠BEG +∠BGE ＝90°，∠BGE +∠CGD ＝90°， ∴∠BEG ＝∠CGD ，∴△BEG ∽△CGD ，∴BE CG =BG CD =GE DG =√3√6=√2， 设BE ＝x ，则CG =√2x ，CD ＝AB ＝x +√3，BG =√6−√2x ， ∴√6−√2x x+√3=√2， 解得：x =√33，即BE =√33；故答案为：√33． 23．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠ABF ＝∠GDF ，∠BAF ＝∠DGF ， ∴△ABF ∽△GDF ，∴AF GF =AB GD =2，∴AF ＝2GF ＝4，∴AG ＝6．∵CG ∥AB ，AB ＝2CG ，∴CG 为△EAB 的中位线，∴AE ＝2AG ＝12．故答案是：12．24．【答案】见试题解答内容【解答】解：甲，丁的辅助线，有利于解题． 理由：如图甲①中，连接OP ．由题意：AO ＝AP ，∠OAP ＝∠BAC ＝60°，∴△AOP 是等边三角形，∴OP ＝OA ＝1，∠APO ＝60°，∵PC ＝OB ＝2√2，OC ＝3，∴OP 2+PC 2＝OC 2，∴∠OPC ＝90°，∴∠APC ＝∠APO +∠OPC ＝60°+90°＝150°， ∵∠AOB ＝∠APC ，∴∠AOB ＝150°．如图丁④中，连接OM ．同法可证：∠BOM ＝60°，∠AOM ＝90°，可得∠AOB ＝150°，如图丙中，连接OE ，同法可得∠AOC ＝∠BEC ＝60°+60°＝120°，∠BOC ＝30°+60°＝90°，可得∠AOB ＝360°﹣120°﹣90°＝150°故答案为甲，丙，丁．25．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵CE 是∠DCB 的平分线，DC ∥AB∴∠DCO ＝∠BCE ，∠DCO ＝∠BEC∴∠BEC ＝∠BCE∴BE ＝BC ＝4∵DC ∥AB∴△DOC ∽△BOE∴OB ：OD ＝BE ：CD ＝2：3∴OB DB =25． 故答案为：25．26．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示：∵AD 与圆O 相切，DC 与圆O 相切，BC 与圆O 相切，∴∠DAO ＝∠DEO ＝∠OBC ＝90°，∴DA ＝DE ，CE ＝CB ，AD ∥BC ，∴CD ＝DE +EC ＝AD +BC ，选项②正确；在Rt △ADO 和Rt △EDO 中，{OD =OD DA =DE ， ∴Rt △ADO ≌Rt △EDO （HL ），∴∠AOD ＝∠EOD ，同理Rt △CEO ≌Rt △CBO ，∴∠EOC ＝∠BOC ，又∠AOD +∠DOE +∠EOC +∠COB ＝180°，∴2（∠DOE +∠EOC ）＝180°，即∠DOC ＝90°，选项①正确；∴∠DOC ＝∠DEO ＝90°，又∠EDO ＝∠ODC ，∴△EDO ∽△ODC ，∴OD CD =DE OD ，即OD 2＝DC •DE ，选项④正确； 同理△ODE ∽△OEC ， ∴OD OC =DE OE ，选项③错误；故答案为：①②④．27．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵DE ∥BC ，∴∠DEB ＝∠EBC ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠EBC ，∴∠DEB ＝∠DBE ，∴DB ＝DE ，∵DE ＝2AD ，∴BD ＝2AD ，∵DE ∥BC ，∴AD BD =AE EC ， ∴12=2EC ，∴EC ＝4，∴AC ＝AE +EC ＝2+4＝6，故答案为6．28．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，过D 作DM ∥BE 交AC 于N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝BC ，∵BE ⊥AC 于点F ，∴∠EAC ＝∠ACB ，∠ABC ＝∠AFE ＝90°，∴△AEF ∽△CAB ，故①正确；∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF ，∴AE BC=AF CF ， ∵AE =12AD =12BC ， ∴AF CF =12，∴CF ＝2AF ，故②正确；∵DE ∥BM ，BE ∥DM ，∴四边形BMDE 是平行四边形，∴BM ＝DE =12BC ，∴BM ＝CM ，∴CN ＝NF ，∵BE ⊥AC 于点F ，DM ∥BE ，∴DM 垂直平分CF ，∴DF ＝DC ，故③正确；设AE ＝a ，AB ＝b ，则AD ＝2a ，由△BAE ∽△ADC ，有b a =2a b ，即b =√2a ，∴tan ∠CAD =CD AD =b 2a =√22．故④错误；故答案为：①②③．29．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠A ＝27°，∠B ＝40°，∴∠ACD ＝∠A +∠B ＝27°+40°＝67°，∵△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转至△DEC ，∴△ABC ≌△DEC ，∴∠ACB ＝∠DCE ，∴∠BCE ＝∠ACD ，∴∠BCE ＝67°，∴∠ACE ＝180°﹣∠ACD ﹣∠BCE ＝180°﹣67°﹣67°＝46°．故答案为：46°．30．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°，∵BD ＝1，tan ∠ABC ＝3，∴AD ＝3，∵∠C ＝45°，∴CD ＝3，∴AC ＝3√2，故答案为3√2．31．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝BC ，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，∵BP ＝CQ ，∴AP ＝BQ ，在△DAP 与△ABQ 中，{AD =AB∠DAP =∠ABQ AP =BQ，∴△DAP ≌△ABQ （SAS ），∴∠P ＝∠Q ，∵∠Q +∠QAB ＝90°，∴∠P +∠QAB ＝90°，∴∠AOP ＝90°，∴AQ ⊥DP ，故①正确；∵∠DOA ＝∠AOP ＝90°，∠ADO +∠P ＝∠ADO +∠DAO ＝90°，∴∠DAO ＝∠P ，∴△DAO ∽△APO ，∴AO OD =OP OA ，∴AO 2＝OD •OP ，∵AE ＞AB ，∴AE ＞AD ，∴OA 2≠OE •OP ；故②错误；在△CQF 与△BPE 中{∠FCQ =∠EBPCQ =BP ∠Q =∠P，∴△CQF ≌△BPE （ASA ），∴CF ＝BE ，∴DF ＝CE ，在△ADF 与△DCE 中，{AD =CD∠ADC =∠DCE DF =CE ，∴△ADF ≌△DCE （SAS ），∴S △ADF ＝S △DCE ，∴S △ADF ﹣S △DFO ＝S △DCE ﹣S △DOF ，即S △AOD ＝S 四边形OECF ；故③错误；∵BP ＝1，AB ＝3，∴AP ＝4，∵△PBE ∽△P AD ，∴PB BE =PA DA =43， ∴BE =34， ∴QE =134， ∵△QOE ∽△P AD ， ∴OQ PA =OE AD =QE PD =1345，∴QO =135，OE =3920， ∴AO ＝5﹣QO =125，∴tan ∠OAE =OE OA =1316，故④正确， 故答案为：①④．32．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，设AB ＝CD ＝x ，由翻折可知：P A ′＝AB ＝x ，PD ′＝CD ＝x ，∠C ＝∠D 'PG ＝90°，∠B ＝∠A 'PF ＝90°， ∵∠FPG ＝90°，∴∠FPG +∠A 'PF ＝180°，∠FPG +∠D 'PG ＝180°，∴点A '，点P ，点G 共线，点D '，点P ，点F 共线，∵A 'E ∥PF ，∴∠A 'EP ＝∠D 'PH ，∴tan ∠A 'EP ＝tan ∠D 'PH ，∴A ′PA ′E =D ′H D ′P ， ∴x 3=1x ，∴x =√3，∴P A ′＝AB ＝2＝PD ′＝CD ，∴EP =√A ′P 2+A ′E 2=√3+9=2√3，PH=√D′H2+D′P2=√1+3=2，∴AD＝2√3+6，∴矩形ABCD的周长等于＝2×（6+2√3+√3）＝12+6√3，故答案为：12+6√3．33．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据菱形的对角相等得∠ADC＝∠B＝70°．∵AD＝AB＝AE，∴∠AED＝∠ADE．根据折叠得∠AEB＝∠B＝70°．∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝70°，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠DAE）÷2＝55°．∴∠EDC＝70°﹣55°＝15°．故答案为：15°三．解答题（共9小题）34．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图（1）△A0B0C0即为所求；（1）△A1B1C1即为所求；（3）点P即为所求．因为三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．所以点P是△ABC外心．35．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）过M作MN⊥AB，在Rt△AMN中，AM＝10√2，∠MAN＝45°，∴sin∠MAN=MNAM，即102=√22，解得：MN＝10，则测速点M到该公路的距离为10米；（2）由（1）知：AN＝MN＝10米，在Rt△MNB中，∠MBN＝37°，由tan∠MBN=MNBN，得：10BN≈0.75，解得：BN ＝1313（米）， ∴AB ＝AN +NB ＝10+1313≈23.3（米），∴汽车从A 到B 的平均速度为23.3÷2＝11.65（米/秒），∵11.65米/秒＝41.94千米/时＞40千米/时，∴此车超速36．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）过点C 、D 分别作CG ⊥AB ，DF ⊥CG ，垂足分别为G ，F ， ∵在Rt △CGB 中，∠CBG ＝90°﹣60°＝30°，∴CG =12BC =12×（30×12）＝7.5海里，∵∠DAG ＝90°，∴四边形ADFG 是矩形，∴GF ＝AD ＝1.5海里，∴CF ＝CG ﹣GF ＝7.5﹣1.5＝6海里，在Rt △CDF 中，∠CFD ＝90°，∵∠DCF ＝53°，∴COS ∠DCF =CF CD ，∴CD =CF cos 53°=60.6=10（海里）． 答：CD 两点的距离是10海里；（2）如图，设渔政船调整方向后t 小时能与捕渔船相会合，由题意知CE ＝30t ，DE ＝1.5×2×t ＝3t ，∠EDC ＝53°，过点E 作EH ⊥CD 于点H ，则∠EHD ＝∠CHE ＝90°，∴sin ∠EDH =EH ED ，∴EH ＝ED sin53°＝3t ×0.8＝2.4t ，∴在Rt △EHC 中，sin ∠ECD =EH CE =2.4t 30t =0.08． 答：sin ∠ECD 的正弦值是0.08．37．【答案】见试题解答内容【解答】解：符合条件的正方体的平面展开图如图所示：38．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）在矩形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝∠BAD ＝90°，∵∠CAB ＝30°，∴∠CAD ＝60°，由折叠得，∠B'AC＝∠CAB＝30°，∴∠DAO＝∠CAD﹣∠B'AC＝30°＝∠BAC，∵∠ADO＝∠ABC＝90°，∴△ADO∽△ABC；（2）如图，连接PC，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝4√3，∴AB=√3BC＝12，由折叠知AB'＝AB＝12，由运动知，AP＝2t，由折叠得，B'C＝BC＝4√3cm，∴S＝S△APC=12AP•B'C=12×2t×4√3=4√3t（0＜t≤6）；（3）能构成直角三角形，由运动知，AP＝2t，B'P＝AB'﹣AP＝12﹣2t，∵以AP、B′P、BC的长为边构成直角三角形，∴①AP2+B'P2＝BC2，∴（2t）2+（12﹣2t）2＝48，∴此方程无解；②AP2+BC2＝B'P2，∴（2t）2+48＝（12﹣2t）2，∴t＝2，∴AP＝2t＝4cm，此时，点P在AB'上距点A4cm处③B'P2+BC2＝AP2，（12﹣2t）2+48＝（2t）2，∴t＝4，∴AP＝2t＝8cm，此时，点P在AB'上，距点A8cm处．即：点p距点A是4cm和8cm处时，以AP、B′P、BC的长为边构成直角三角形．39．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意作图如下，（2）如图2，∵∠AFE＝90°，∴∠AFG＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝∠GBF＝90°，∴∠BAF+∠AFB＝∠BAF+∠G＝90°，∴∠AFB＝∠G，∴△ABF∽△FBG，∴BFBG =ABFB，∴BF2＝BG•AB，∴BG2＝BG（AG﹣BG），∴BF2＝BG•AG﹣BG2．40．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）作A作AE⊥BC，如图1，在Rt△ABD中，tan∠ABC=ADBD=34，AB＝10，∴AD＝6，BD＝8，∴CD＝BC﹣BD＝10﹣8＝2，在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AC=√22+62=2√10；（2）如图2，连接CE，∵EF垂直平分BC，∴BE＝CE，BF＝CF＝5，∵tan∠EBF=EFBF=34，∴EF=15 4，在Rt △BEF 中，根据勾股定理得：BE =√BF 2+EF 2=254， ∴AE ＝10−254=154， 则AE BE =35．41．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：连接OE ，∵OA ＝OE ，OD ⊥AE ，∴∠AOD ＝∠EOD ，∵OC ＝OC ，∴△AOC ≌△EOC （SAS ），∴∠CAO ＝∠CEO ，∵CA 为⊙O 的切线，∴∠CAO ＝90°，∴∠CEO ＝90°，即OE ⊥CE ，∴CE 与⊙O 相切；（2）过点D 作DH ⊥AB 于点H ，∵OA ＝5，sin ∠BAE =√55，∴在Rt △ADO 中，sin ∠DAO =DO OA =√55，∴OD =√5∴AD =√OA 2−OD 2=2√5，∵S △ADO =12×OD ×AD =12OA ×OH ， ∴DH =√5×2√55=2， ∴OH =√OD 2−DH 2=1，∴BH ＝5+1＝6，∵DH ⊥AB ，AF ⊥AB ，∴DH ∥AF ，∴△BDH ∽△BF A ，∴DH AF =BH AB ，∴2AF =610， ∴AF =103． 42．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AE ∥DB ，∴∠ACD ＝∠EAC ＝45°，在Rt △ACD 中，∠ACD ＝45°，AD ＝200米， ∴AC =AD sin 45°=200√22=200√2（米），∵AE ∥DB ，∴∠ABD ＝∠EAB ＝30°，∴在Rt △ABD 中，BD =AD tan 30°=33=200√3（米）， 在Rt △ACD 中，∠ACD ＝∠CAD ＝45°， ∴CD ＝AD ＝200，∴BC ＝BD ﹣CD ＝（200√3−200）（米）． 答：AC 为200√2米．这条河的宽度BC 为（200√3−200）米．。
2023年广东省番禺区中考一模数学试题
2023年广东省番禺区中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．a b c <<-B ．b c a <-<A ．14．要使分式1x +A ．0x ≠5．不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机A ．9B ．6C ．6π+D ．9π-9．如图，在ABC V 中，120BAC ∠=︒，将ABC V 绕点C 逆时针旋转得到DEC V ，点A ，B 的对应点分别为D ，E ，连接AD ．当点A ，D ，E 在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）A ．B BCD ∠=∠B ．CB CD=C ．DE DC BC+=D ．90BCD ADC ∠+∠=︒10．如图，菱形ABCD 中，60,2B AB ∠=︒=．动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA AC →运动到点C ，同时动点Q 从点A 出发，以相同速度沿折线AC CD →运动到点D ，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设APQ △的面积为y ，运动时间为x 秒．则下列图象能大致反映y 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C．D．16．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点三、解答题2(1)请补全条形统计图；(2)获得一等奖的同学中有14来自七年级，有12来自八年级，其他同学均来自九年级．准备从获得一等奖的同学中任选两人参加市内书法大赛，请通过列表或画树状图求所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率．22．如图，平面直角坐标系xOy 中，OABC Y 的边OC 在x 轴上，对角线AC 点M ，函数()0ky x x=>的图象经过点()3,4A 和点M ．（1）求k 的值和点M 的坐标；（2）求OABC Y 的周长．23．如图，AB 是O e 的直径，点C 在O e (1)尺规作图：过点O 作AC 的垂线，交劣弧参考答案：一共有5条对称轴．故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，二次函数的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．11．6x ≥【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．【详解】解：根据题意得：60x -≥，解得：6x ≥．故答案为：6x ≥【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．12．()()11x y y +-【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．【详解】2xy x-()21x y =-()()11x y y =+-故答案为：()()11x y y +-．【点睛】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解．13．7×10－7【详解】考点：科学记数法—表示较小的数．分析：科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n 次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n 表示整数．即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n 次幂．本题0.000 000 7＜1时，n 为负数．解：0.000 000 7=7×10-7．故答案为7×10-7．14．乙【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．【详解】解：∵2s 1.45=甲，2s 0.85=乙，0.85 1.45<，且平均成绩相同∠=由切线长的性质可得OBA ∴tan23 AO AB OBA=⋅∠=，∴光盘的直径为43，【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．（2）用A表示七年级，B表示八年级，C表示九年级第二次第一次A1B2BCC C A（2）解：由题意知90ACB ∠=︒，∵OD AC ⊥，∴点E 是AC 中点，∴OE 是ABC V 的中位线，∴OE BC ∥，132OE BC ==，∴90AEO ∠=︒，∴点O 到AC 的距离是3，【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，求出线段之间的关系．25．（1）见解析；（2）92；（3）529【分析】（1）由EAD CAD ≌△△得60ADE ADC ∠=∠=︒，因而BDE ∠=ADB ∠；（2）先证明BDE CDG ∽△△，其中CD ED =，再由相似三角形的对应边成比例求出长；（3）根据角平分线的特点，在AB 上截取AF AD =，连结CF ，构造全等三角形和相似三角ADQ平分BAC∠，EAD CAD∴∠=∠，AE AC=Q，AD AD=，(SAS)EAD CAD∴V V≌，60ADE ADC∴∠=∠=︒，180BDE ADE ADC ∠=︒-∠-∠= QBDE ADE∴∠=∠，FB FC=Q，EBD GCD∴∠=∠；60BDE CDG∠=∠=︒Q，BDE CDG∴V V∽，∴BD DE CD DG=；EAD CADQV V≌，∵AC 平分BAD ∠，∴FAC DAC ∠=∠，又∵AF AD =，AC AC =，∴ACD ACF△≌△∴ACF ACD CD CF DE ∠=∠==，，∵2BCA DCA∠=∠。
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番禺区2018年九年级数学科综合测试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分150分．考试时间为120分钟．注意事项：1.答卷前，考生务必在答题卡第1、3、5页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名；填写考场试室号、座位号，再用2B 铅笔把对应这两个号码的标号涂黑．2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）1. 下列运算正确的是（※）. （A ）2325a a a +=（B 93=± （C ）2222x x x += （D ）623x x x ÷=2. 若α、β是一元二次方程0252=--x x 的两个实数根，则+αβ的值为（※）. （A ）5-（B ）5（C ）2-（D ）253. 如下图，将一张四边形纸片沿虚线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，则下列四种剪法中，符合要求的是（※）.（A ）①②（B ）①③（C ）②④（D ）③④4. 已知a 、b 两数在数轴上对应的点如图所示，则下列结论正确的是（※）.（A ）a b >（B ）0ab < （C ）0b a ->（D ）0a b +>5. 一袋中有同样大小的4个小球，其中3个红色，1个白色．随机从袋中同时摸出两个球，这两个球颜色相同的概率是（※）. （A ）12（B ）13（C ）23（D ）346. 如图，在菱形ABCD 中，AB =3，∠ABC =60°，则对角线AC 的长为（※）.（A ）12（B ）9（C ）6 （D ）37. 如图，AB 是O 直径，AC 是O 的切线，连接OC 交O 于点D ，连接BD ，42C ∠=︒，则ABD∠的度数是（※）.（A ）48︒ （B ）28︒（C ）34︒ （D ）24︒ 8. 桌子上摆放了若干碟子，分别从三个方向上看其三视图如图所示，则桌子上共有碟子（※）.（A ）17个（B ）12个（C ）9个（D ）8个9. 如图所示，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，它的底面半径6cm OB =，高8cm OC =．则这个圆锥漏斗的侧面积是（※）. （A ）230cm（B ）236cm π（C ）260cm π（D ）2120cm10. 抛物线29y x =-与x 轴交于A 、B 两点，点P 在函数3y =的图象上，若△P AB 为直角三角形，则满足条件的点P 的个数为（※）.（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）6个第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 函数5y x =-x 的取值范围是 ※ ．12. 分解因式：244a b ab b -+= ※ ．13. 某射击俱乐部将11名成员在某次射击训练中取得的成绩绘制成如图所示的条形统计图．由图可知，11名成员射击成绩的中位数是 ※ 环．14. 不等式组302(1)33x x x +>⎧⎨-+≥⎩的解集为 ※ ．15. 直线2y x =- 与y 轴交于点C ，与x 轴交于点B ，与反比例函数(0)ky k x =>的图象在第一象限交于点A ，连接OA ， 若:1:2AOBBOCSS=，则k 的值为 ※ ．16．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A 处观测停放于B 、C 两处的小船，测得船B 在点A 北偏东75°方向150米处，船C 在点A 南偏东15°方向120米处，则船B 与船C 之间的距离为 ※ 米（精确到0.1m ）．三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分９分）解方程组： 323 1. x y x y +=⎧⎨-=⎩， ①②18．（本小题满分９分）已知，如图，E 、F 分别为矩形ABCD 的边AD 和BC 上的点，AE ＝CF ． 求证：BE ＝DF ．19．（本小题满分10分）已知22440a ab b -+=，0ab ≠，求22222()2a b a b a b a b +-⋅-+-（）的值.20．（本小题满分10分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，把△ABD 沿对角线BD 翻折180°得到△A BD '. （1）利用尺规作出△A BD '.（要求保留作图痕迹，不写作法）； （2）设 D A ' 与BC 交于点E ，求证：△BA E '≌△DCE .21．（本题满分12分）初三（1）班针对“你最喜爱的课外活动项目”对全班学生进行调查（每名学生分别选一个活动项目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图．第21题根据以上信息解决下列问题：（1）求m，n；（2）求扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数；（3）从选航模项目的4名学生中随机选取2名学生参加学校航模兴趣小组训练，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率．22．（本小题满分12分）为了提升阅读速度，某中学开设了“高效阅读”课．小周同学经过2个月的训练，发现自己现在每分钟阅读的字数比原来的2倍还多300字，现在读9100字的文章与原来读3500字的文章所用的时间相同．求小周现在每分钟阅读的字数.23．（本小题满分12分）如图，在Rt △ABC 中，90ABC ∠︒＝，BAC ∠角平分线交BC 于O ，以OB 为半径作⊙O . （1）判定直线AC 是否是⊙O 的切线，并说明理由;（2）连接AO 交⊙O 于点E ，其延长线交⊙O 于点D ，12tan D ∠＝，求AEAB的值;（3）在（2）的条件下，设O 的半径为3，求AC 的长.24．（本小题满分14分）如图本题图①，在等腰Rt OAB △中，=3OA OB = ,OA OB ⊥，P 为线段AO 上一点，以OP 为半径作O 交OB 于点Q ,连接BP 、PQ ，线段BP 、AB 、PQ 的中点分别为D 、M 、N .（1）试探究DMN △是什么特殊三角形？说明理由；（2）将OPQ △绕点O 逆时针方向旋转到图②的位置，上述结论是否成立？并证明结论；（3）若(03)OP x x =＜＜,把OPQ △绕点O 在平面内自由旋转，求DMN △的面积y 的最大值与最小值的差.25．（本小题满分14分）已知：二次函数223(0)y ax ax a =--＞，当24x ≤≤时，函数有最大值5. （1）求此二次函数图象与坐标轴的交点；（2）将函数223(0)y ax ax a =--＞图象x 轴下方部分沿x 轴向上翻折，得到的新图象与直线y n =恒有四个交点，从左到右，四个交点依次记为,,,A B C D ，当以BC 为直径的圆与x 轴相切时，求n 的值. （3）若点00(,)P x y 是(2)中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，若关于m 的一元二次方程20040m y m k y -+-+= 恒有实数根时，求实数k 的最大值.2018年九年级数学一模试题参考答案及评分说明11. 5x ≥；12. 2(2)b a -；13.12（，-）；14. 31x -<≤； 15. 341=192.1；16.3k =. 三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）【评卷说明】1．在评卷过程中做到“三统一”：评卷标准统一，给分有理、扣分有据，始终如一；掌握标准统一，宽严适度，确保评分的客观性、公正性、准确性.2．如果考生的解法与下面提供的参考解答不同，凡正确的，一律记满分；若某一步出现错误，则可参照该题的评分意见进行评分.3. 评卷时不要因解答中出现错误而中断对该题的评阅，当解答中某一步出现错误，影响了后继部分，但该步后的解答未改变这一道题的内容和难度，在未发生新的错误前，可视影响的程度决定后面部分的记分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半；如有严重概念性错误，就不记分，在一道题解答过程中，对发生第二次错误起的部分，不记分.17.（本小题满分9分）解：由3+⨯①②得,510x = ....………3分 解得, 2x =. …………5分把2x =代入①得， 1y =. …………7分∴原方程组的解为2,1.x y =⎧⎨=⎩ …………9分18．（本小题满分９分）解：证法1：在矩形ABCD 中 证法2：在矩形ABCD 中 AB =CD ,∠A =∠C =90° ....………3分 AD =BC ,AD ∥BC∵AE =CF ∴ED ∥BF .............3分 ∴△ABE ≌△CDF (SAS ) ..........6分 ∵AE =CF ∴BE =DF ............9分 ∴AD -AE =BC -CF ∴ED =BF . (6)分∴四边形EBFD 是平行四边形，∴BE =DF ....………9分 证法3：在RT △ABE 中，∠B =90°据勾股定理有:222AE AB BE += ....………3分同理：222CF CD DF += ....………6分∵AB =CD ,AE =CF∴BE =DF ....………9分 19．（本小题满分10分） 解：∵22440,a ab b -+= ....………1分2(2)0.a b -=∴ ....………2分2.a b =∴ ....………3分∵0ab ≠，∴22222)2()()02()()a b a b a b a b a b a b a b a b +-+⋅-=⋅-+--+（+， ....………6分 2a ba b+=+ ， ....………8分 222b bb b+=+ ， ....………9分 4.3= ....………10分 20．（本小题满分10分） 解：（1）如图，A BD '∆ 为所求．....………5分（2）四边形ABCD 是平行四边形， A B C D A C ∴=∠=∠． ....………6分 又ABD A BD '∆≅∆， ....………7分∴ A B A B '= ， A A '∠=∠． ....………8分∴ A B C D '= ， A C '∠=∠． ....………9分 在A BE '∆和CDE ∆中， BEA DEC A C A B CD '∠=∠⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩， ∴ BA E DCE '∆≅∆． ....………10分 21．（本题满分12分）解：（1）由题意，航模人数为4人，是总人数的10%，所以初三（一）班共有40人，由统计表可得：7+9+422340+4=4030%m n m +++++=⎧⎨⨯⎩， ∴ 8,3m n ==； ...………4分 (2)机器人项目16人，所对应扇形圆心角大小为：16360=14440⨯︒︒. ...………6分 (3)将选航模项目的2名男生编上号码12、，将2名女生编上号码34、. 用表格列出所有可能出现的结果：……9分表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的……10分其中“1 名男生、1 名女生”有8种可能，分别是（3,1）（4,1）（3,2）（4,2）（1,3）（2,3）（1,4）（2,4）………11分.P ∴( 1 名男生、1 名女生)82123==....………12分 (如用树状图，画出树状图9分，其它对应分数相同，如果用枚举法对应给分) . 22．（本题满分12分）解：设小周原来每分钟阅读x 个字． ...………1分 由题意，得300291003500+=x x . ...………5分 解得 500=x . ...………9分 经检验，500=x 是原方程的解，且符合题意. ...………10分 ∴130030050023002=+⨯=+x ． ...………11分 答：小周现在每分钟阅读1300个字. ...………12分23．（本小题满分12分）解：（1）AC 是⊙O 的切线. ...………1分理由：90ABC ∠︒＝，∴ OB AB ⊥，...………2分作OF AC ⊥于F ，AO 是BAC ∠ 的角平分线， OF OB ∴=，∴ AC 是⊙O 的切线. ...………3分(2)连接BE ，DE 是⊙O 的直径，∴ 90DBE ∠=︒,即2+3=90∠∠︒.1+2=90∠∠︒，∴1=3∠∠.,OB OD = 3,D ∴∠=∠∴1.D ∠=∠ ...………5分又BAE DAB ∠=∠(同角) ，∴ABE ∆∽ ADB ∆,...………6分 ∴AE ABBE BD =12=tan .D ∠＝...………7分 (3) 设,.FC n OC m == 在t R ABC ∆和t R ABC ∆中，由三角函数定义有：tan ,sin ,AB OF AB OFC C BC FC AC OC∠==∠==...………9分 得：43,3+43.4m nn m⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩解之得：72,7n =...………11分 ∴10047AC n =+=，即AC 的长为100.7...………12分24．（本小题满分14分）解：（1）DMN △为等腰直角三角形. ...………2分D M 、 分别为PB AB 、的中点，∴//,DM AP 且1=.2DM AP同理：1//,2DN BQ DN BQ =...………3分,,OA OB OP OQ ==∴AP BQ =.又AP BQ ⊥，∴,,DM DN DM DN =⊥即DMN △为等腰直角三角形. ..………4分（2）如图②，DMN △仍然为等腰直角三角形. ..………5分 证明：由旋转的性质，AOP BOQ ∠=∠ .,,OA OB OP OQ ==∴AOP △≌BOQ △, ..………6分 ∴,15AP BQ =∠=∠ .D M 、 分别为PB AB 、的中点，∴//,DM AP 且1=.2DM AP 同理：1//,2DN BQ DN BQ =,∴.DM DN =..………7分在等腰Rt OAB △中,45.OAB OBA ∠=∠=︒第24题图①第24题图②54321DQ P N AO∴2451,3445.∠=︒-∠∠+∠=︒//,DM AP ∴2,DMB ∠=∠同理：45,NDP ∠=∠+∠ ∴(3)45MDN PDM PDN DMB ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=2345∠+∠+∠+∠=(451)(455)90︒-∠+︒+∠=︒ .∴.DM DN ⊥∴DMN △为等腰直角三角形. ..………9分(3), 如图，设⊙O 交AO 于点0P ,交AO 延长线于点1P ， 连接011,,.P P PP OP00AP OP AO AP OP +≥=+ ,而0=OP OP x =， 03,AP AP x ∴≥=- 同理，13+,AP AP x ≤=.………11分由题意，22211113)2288y DM DN DM AP x =⨯==≥-（, ∴ y 的最小值为213)8x -（..………12分 同理，y 最大值为213+)8x （，.………13分从而得y 的最大值与最小值的差为：221133+)3).882x x x --=（（.………14分25．（本小题满分14分）解: (1) 抛物线223(0)y ax ax a =--＞的对称轴为：212x a-=-=. ………1分 a ＞0，抛物线开口向上，大致图象如图所示. ∴当1x ≥时，y 随x 增大而增大；由已知：当24x ≤≤时，函数有最大值5.∴当4x =时， 5y =， 16835,1a a a ∴--==得：. 223y x x ∴=--…………………2分令0,x = 得3y =- ，令0,y = 得13x x =-=或， ∴ 抛物线与y 轴交于0（，-3），…………3分 抛物线与x 轴交于-（1，0）、（3,0）. ……………4分（2）2223(1)4y x x x =--=--,其折叠得到的部分对应的解析式为：2(1)43)y x x =--+<<（-1，其顶点为…5分图象与直线y n =恒有四个交点， ∴04n <<.………6分3-1-44ABCDx=1y=n oxy11 由2(1)4x n --+=，解得14x n =±-(14,),(14,)B n n C n n ∴-+-，24BC n =-………7分 当以BC 为直径的圆与x 轴相切时，2BC n =. 即：242n n -=，………8分2n =24n n ∴=- , 得117n -±=，04n <<，∴117n -+=.………9分 （另法：∵BC 直径，且⊙F 与x 轴相切，∴FC =y =n ,∵对称轴为直线x =1,∴F (1,n ),则C （1+n ,n ),.………7分又∵C 在2(1)43)y x x =--+<<（-1上， ∴2(11)4n n =-+-+，………8分 得1172n -=，04n <<，∴1172n -=.………9分 （3）若关于m 的一元二次方程20040m y m k y -+-+= 恒有实数根，则须 200=)4(4)0y k y ∆---+≥（ 恒成立，………10分即2004416k y y ≤-+恒成立，即202124y k -+≤（）恒成立.………11分 点00(,)P x y 是(2)中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，004y ∴<≤，………12分 ∴ 20212344y -+<≤（），………13分 （ k 取 202124y -+（）值之下限） ∴ 实数k 的最大值为3. ………14分。