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重庆市2019届中考数学一轮复习《4.8正方形》讲解含答案

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中考数学复习----《正方形的性质》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《正方形的性质》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《正方形的性质》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2.正方形的性质：①具有平行四边形的一切性质。

②具有矩形与菱形的一切性质。

所以正方形的四条边都相等，四个角都是直角。

对角线相互平分且相等，且垂直，且平分每一组对角，把正方形分成了四个全等的等腰直角三角形。

正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。

对角线交点是对称中心，对角线所在直线是对称轴，过每一组对边中点的直线也是对称轴。

练习题1．（2022•黄石）如图，正方形OABC的边长为，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（）A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，2）【分析】连接OB，由正方形的性质和勾股定理得OB＝2，再由旋转的性质得B1在y轴正半轴上，且OB1＝OB＝2，即可得出结论．【解答】解：如图，连接OB，∵正方形OABC的边长为，∴OC＝BC＝，∠BCO＝90°，∠BOC＝45°，∴OB＝＝＝2，∵将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°后点B旋转到B1的位置，∴B 1在y 轴正半轴上，且OB 1＝OB ＝2，∴点B 1的坐标为（0，2），故选：D ．2．（2022•广州）如图，正方形ABCD 的面积为3，点E 在边CD 上，且CE ＝1，∠ABE 的平分线交AD 于点F ，点M ，N 分别是BE ，BF 的中点，则MN 的长为（ ）A ．26B ．23C ．2﹣3D ．226− 【分析】连接EF ，由正方形ABCD 的面积为3，CE ＝1，可得DE ＝﹣1，tan ∠EBC ＝＝＝，即得∠EBC ＝30°，又AF 平分∠ABE ，可得∠ABF ＝∠ABE ＝30°，故AF ＝＝1，DF ＝AD ﹣AF ＝﹣1，可知EF ＝DE ＝×（﹣1）＝﹣，而M ，N 分别是BE ，BF 的中点，即得MN ＝EF ＝． 【解答】解：连接EF ，如图：∵正方形ABCD 的面积为3，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝，∵CE ＝1，∴DE＝﹣1，tan∠EBC＝＝＝，∴∠EBC＝30°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°，∵AF平分∠ABE，∴∠ABF＝∠ABE＝30°，在Rt△ABF中，AF＝＝1，∴DF＝AD﹣AF＝﹣1，∴DE＝DF，△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝DE＝×（﹣1）＝﹣，∵M，N分别是BE，BF的中点，∴MN是△BEF的中位线，∴MN＝EF＝．故选：D．3．（2022•贵阳）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（）A．4B．8C．12D．16【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，然后即可得到小正方形的周长．【解答】解：由题意可得，小正方形的边长为3﹣1＝2，∴小正方形的周长为2×4＝8，故选：B．4．（2022•青岛）如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE 的长度为（ ）A ．26B ．6C ．22D ．23【分析】首先利用正方形的性质可以求出AC ，然后利用等边三角形的性质可求出OE ．【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形，AB ＝2，∴AC ＝2，∵O 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，△ACE 为等边三角形，∴∠AOE ＝90°，∴AC ＝AE ＝2，AO ＝，∴OE ＝×＝． 故选：B ．5．（2022•泰州）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为与点D 不重合的动点，以DE 为一边作正方形DEFG ．设DE ＝d 1，点F 、G 与点C 的距离分别为d 2、d 3，则d 1+d 2+d 3的最小值为（ ）A ．2B ．2C ．22D ．4【分析】连接AE ，那么，AE ＝CG ，所以这三个d 的和就是AE +EF +FC ，所以大于等于AC ，故当AEFC 四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案．【解答】解：如图，连接AE ，∵四边形DEFG 是正方形，∴∠EDG ＝90°，EF ＝DE ＝DG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADC ＝90°，∴∠ADE ＝∠CDG ，∴△ADE ≌△CDG （SAS ），∴AE ＝CG ，∴d 1+d 2+d 3＝EF +CF +AE ，∴点A ，E ，F ，C 在同一条线上时，EF +CF +AE 最小，即d 1+d 2+d 3最小，连接AC ，∴d 1+d 2+d 3最小值为AC ，在Rt △ABC 中，AC ＝AB ＝2，∴d 1+d 2+d 3最小＝AC ＝2， 故选：C ．6．（2022•黔东南州）如图，在边长为2的等边三角形ABC 的外侧作正方形ABED ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，则DF 的长为（ ）A ．23+2B ．5﹣33C ．3﹣3D ．3+1【分析】方法一：如图，延长DA 、BC 交于点G ，利用正方形性质和等边三角形性质可得：∠BAG ＝90°，AB ＝2，∠ABC ＝60°，运用解直角三角形可得AG ＝2，DG ＝2+2，再求得∠G ＝30°，根据直角三角形性质得出答案．方法二：过点E 作EG ⊥DF 于点G ，作EH ⊥BC 于点H ，利用解直角三角形可得EH ＝1，BH ＝，再证明△BEH ≌△DEG ，可得DG ＝BH ＝，即可求得答案．【解答】解：方法一：如图，延长DA、BC交于点G，∵四边形ABED是正方形，∴∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠BAG＝180°﹣90°＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∴AG＝AB•tan∠ABC＝2×tan60°＝2，∴DG＝AD+AG＝2+2，∵∠G＝90°﹣60°＝30°，DF⊥BC，∴DF＝DG＝×（2+2）＝1+，故选D．方法二：如图，过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠DGE＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∵四边形ABED是正方形，∴BE＝DE＝2，∠ABE＝∠BED＝90°，∴∠EBH＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴EH＝BE•sin∠EBH＝2•sin30°＝2×＝1，BH＝BE•cos∠EBH＝2cos30°＝，∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°，∴四边形EGFH是矩形，∴FG＝EH＝1，∠BEH+∠BEG＝∠GEH＝90°，∵∠DEG+∠BEG＝90°，∴∠BEH＝∠DEG，在△BEH和△DEG中，，∴△BEH≌△DEG（AAS），∴DG＝BH＝，∴DF＝DG+FG＝+1，故选：D．7．（2022•随州）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．则在剪开之前，关于该图形，下列说法正确的有（）①图中的三角形都是等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的．A．只有①B．①②C．①③D．②③【分析】①利用正方形的性质和中位线的性质可以解决问题；②利用①的结论可以证明OM≠MP解决问题；③如图，过M作MG⊥BC于G，设AB＝BC＝x，利用正方形的性质与中位线的性质分别求出BE和MG即可判定是否正确．【解答】解：①如图，∵E，F分别为BC，CD的中点，∴EF为△CBD的中位线，∴EF∥BD，∵AP⊥EF，∴AP⊥BD，∵四边形ABCD为正方形，∴A、O、P、C在同一条直线上，∴△ABC、△ACD、△ABD、△BCD、△OAB、△OAD、△OBC、△OCD、△EFC都是等腰直角三角形，∵M，N分别为BO，DO的中点，∴MP∥BC，NF∥OC，∴△DNF、△OMP也是等腰直角三角形．故①正确；②根据①得OM＝BM＝PM，∴BM≠PM∴四边形MPEB不可能是菱形．故②错误；③∵E，F分别为BC，CD的中点，∴EF∥BD，EF＝BD，∵四边形ABCD是正方形，且设AB＝BC＝x，∴BD＝x，∵AP⊥EF，∴AP⊥BD，∴BO＝OD，∴点P在AC上，∴PE＝EF，∴PE＝BM，∴四边形BMPE是平行四边形，∴BO＝BD，∵M为BO的中点，∴BM＝BD＝x，∵E为BC的中点，∴BE＝BC＝x，过M作MG⊥BC于G，∴MG＝BM＝x，∴四边形BMPE的面积＝BE•MG＝x2，∴四边形BMPE的面积占正方形ABCD面积的．∵E、F是BC，CD的中点，∴S△CEF＝S△CBD＝S四边形ABCD，∴四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的（1﹣﹣﹣）＝．故③正确．故选：C．8．（2022•宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．正方形纸片的面积B．四边形EFGH的面积C．△BEF的面积D．△AEH的面积【分析】根据题意设PD＝x，GH＝y，则PH＝x﹣y，根据矩形纸片和正方形纸片的周长相等，可得AP＝x+y，先用面积差表示图中阴影部分的面积，并化简，再用字母分别表示出图形四个选项的面积，可得出正确的选项．【解答】解：设PD＝x，GH＝y，则PH＝x﹣y，∵矩形纸片和正方形纸片的周长相等，∴2AP+2（x﹣y）＝4x，∴AP＝x+y，∵图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣2△ADH﹣2S△AEB＝（2x+y）（2x﹣y）﹣2ו（x﹣y）（2x+y）﹣2ו（2x﹣y）•x＝4x2﹣y2﹣（2x2+xy﹣2xy﹣y2）﹣（2x2﹣xy）＝4x2﹣y2﹣2x2+xy+y2﹣2x2+xy＝2xy，A、正方形纸片的面积＝x2，故A不符合题意；B、四边形EFGH的面积＝y2，故B不符合题意；C、△BEF的面积＝•EF•BQ＝xy，故C符合题意；D、△AEH的面积＝•EH•AM＝y（x﹣y）＝xy﹣y2，故D不符合题意；故选：C．9．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（）A．45°B．60°C．67.5°D．77.5°【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到∠ADF的度数，从而可以求得∠CDF的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°，在△DAF和△ABE中，，△DAF≌△ABE（SAS），∠ADF＝∠BAE，∵AE平分∠BAC，四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠BAC＝22.5°，∠ADC＝90°，∴∠ADF＝22.5°，∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣22.5°＝67.5°，故选：C．10．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝OC．∵OE＝OF，∴△OEF为等腰直角三角形，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∵∠AFE＝25°，∴∠AFO＝∠AFE+∠OFE＝70°，∴∠F AO＝20°．在△AOF和△BOE中，，∴△AOF ≌△BOE （SAS ）．∴∠F AO ＝∠EBO ＝20°，∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等腰直角三角形，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°，∴∠CBE ＝∠EBO +∠OBC ＝65°．故选：C ．11．（2022•益阳）如图，将边长为3的正方形ABCD 沿其对角线AC 平移，使A 的对应点A ′满足AA ′＝31AC ，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是 ．【分析】由正方形边长为3，可求AC ＝3，则AA ′＝AC ＝，由平移可得重叠部分是正方形，根据正方形的面积公式可求重叠部分面积．【解答】解：∵正方形ABCD 的边长为3，∴AC ＝3，∴AA ′＝AC ＝， ∴A ′C ＝2，由题意可得重叠部分是正方形，且边长为2，∴S 重叠部分＝4．故答案为：4．12．（2022•海南）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，AE ＝AF ，∠EAF ＝30°，则∠AEB ＝ °；若△AEF 的面积等于1，则AB 的值是 ．【分析】利用“HL”先说明△ABE与△ADF全等，得结论∠BAE＝∠DAF，再利用角的和差关系及三角形的内角和定理求出∠AEB；先利用三角形的面积求出AE，再利用直角三角形的边角间关系求出AB．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．∴∠BAE＝∠DAF．∴∠BAE＝（∠BAD﹣∠EAF）＝（90°﹣30°）＝30°．∴∠AEB＝60°．故答案为：60．过点F作FG⊥AE，垂足为G．∵sin∠EAF＝，∴FG＝sin∠EAF×AF．∵S△AEF＝×AE×FG＝×AE×AF×sin∠EAF＝1，∴×AE2×sin30°＝1．即×AE2×＝1．∴AE＝2．在Rt△ABE中，∵cos∠BAE＝，∴AB＝cos30°×AE＝×2＝．故答案为：．13．（2022•广西）如图，在正方形ABCD中，AB＝42，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是．【分析】作辅助线，构建全等三角形，先根据翻折的性质得△EGH'≌△EGH，所以△EGH′的周长＝△EGH的周长，接下来计算△EGH的三边即可；证明△BME≌△FNE（ASA）和△BEO≌△EFP（AAS），得OE＝PF＝2，OB＝EP＝4，利用三角函数和勾股定理分别计算EG，GH和EH的长，相加可得结论．【解答】解：如图，过点E作EM⊥BC于M，作EN⊥CD于N，过点F作FP⊥AC于P，连接GH，∵将△EFH沿EF翻折得到△EFH′，∴△EGH'≌△EGH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝4，∠BCD＝90°，∠ACD＝∠ACB＝45°，∴BD＝BC＝8，△CPF是等腰直角三角形，∵F是CD的中点，∴CF＝CD＝2，∴CP＝PF＝2，OB＝BD＝4，∵∠ACD＝∠ACB，EM⊥BC，EN⊥CD，∴EM＝EN，∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴∠MEN＝90°，∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°，∴∠BEM＝∠FEN，∵∠BME＝∠FNE，∴△BME≌△FNE（ASA），∴EB＝EF，∵∠BEO+∠PEF＝∠PEF+∠EFP＝90°，∴∠BEO＝∠EFP，∵∠BOE＝∠EPF＝90°，∴△BEO≌△EFP（AAS），∴OE＝PF＝2，OB＝EP＝4，∵tan∠OEG＝＝，即＝，∴OG＝1，∴EG＝＝，∵OB∥FP，∴∠OBH＝∠PFH，∴tan∠OBH＝tan∠PFH，∴＝，∴＝＝2，∴OH＝2PH，∵OP＝OC﹣PC＝4﹣2＝2，∴OH＝×2＝，在Rt△OGH中，由勾股定理得：GH＝＝，∴△EGH′的周长＝△EGH的周长＝EH+EG+GH＝2+++＝5+．故答案为：5+．14．（2022•无锡）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE 且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝．【分析】设CG＝x，则BG＝8﹣x，根据勾股定理可得AB2+BG2＝CE2+CG2，可求得x 的值，进而求出BG的长．【解答】解：连接AG，EG，∵E是CD的中点，∴DE＝CE＝4，设CG＝x，则BG＝8﹣x，在Rt△ABG和Rt△GCE中，根据勾股定理，得AB2+BG2＝CE2+CG2，即82+（8﹣x）2＝42+x2，解得x＝7，∴BG＝BC﹣CG＝8﹣7＝1．故答案是：1．15．（2022•江西）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为．【分析】根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，然后利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，则长方形的对角线长＝＝．故答案为：．。

2019重庆中考数学第24题专题训练---正方形(含答案)

2019重庆中考数学第24题专题训练---正方形(含答案)

2019重庆中考数学第24题专题训练---正方形201902121、重庆第一中学2018-2019学年初2019级初三年级上学期第二次定时作业数学试题如图，点M 是正方形ABCD 的边BC 上一点，连接AM ，点E 是线段AM 上一点，CDE ∠的平 分线交AM 延长线于点F .（1）如图1，若点E 为线段AM 的中点，:1:2BM CM =，BE =AB 的长；（2）如图2，若G 为AE 中点，延长DG 至N ，使DG NG =，连接EN ，且EDG ENG ∠=∠，求证：BF DF +=．2、在正方形ABCD 中，点F 是BC 延长线上一点，过点B 作BE ⊥DF 于点E ，交CD 于点G ，连接CE . （1）若正方形ABCD 边长为3，DF =4，求CG 的长； （2）求证：EF+EG =2CE .GEA B CDF3、如图1，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点,O H 为CD 边上一点，连接BH 交AC 于K ,E 为BH 上一点，连接AE 交BD 于点.F（1）若AE BH ⊥于E ,且6,CK ==求AF 的长； （2）如图2，若=AE BE ,且,BEO EAO ∠=∠求证：.AEH图1 图24、重庆市南开（融侨）中学初2019级暑假作业数学综合练习如图，正方形ABCD 中，CB 的延长线上有一点E,连接AC 、AE. (1)如图1，若AC=4，∠CAE=75°，求△ACE 的面积； (2)如图2，连接BD 交AC 于点O ，在线段AB 上取点F ，使BE=BF ，连接CF ，过点B 作BG ∥CF ，交AE 于点G ，连接OG 、BG.求证：.BG AG +=5、重庆市南岸区11中、二外、珊瑚2018-2019学年度上期三校期末联考九年级数学如图1,以正方形ABCD 边AD 为边作等边三角形ADE ,EF ⊥AD 于点F ,连接BE 交AD 于G . (1)若正方形的边长为2,求AG 的长；(2)如图2，∠EAD 的平分线交BE 于点P ，连接CP ，求证:AP +PC6、在正方形ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O,E 为OB 上一点,连接CE,F 为CE 的中点.(1)如图1,连接AE,OF,若 AB=6,求OF 的长；(2)如图2,连接BF,作BG ⊥BF 交CA 的延长线于点G ，求证：.CG BE =7、已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥C F于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．（1）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；（2）求证：CP=BM+2FN．8、重庆巴蜀中学初2018届九年级下第二次周考如图1,正方形ABCD中,AE为过顶点A的任意一条射线,过C作CE⊥AE于E.(1)己知AB=6.AE=8,求CE的长；(2)如图2,过D作DF⊥AE于F,求证:DF=EF.图1 图29、重庆一中初2018级初三下期期中如图，在正方形ABCD 中，点M 是边BC 上一点，连接AM ，过点C 作CH ⊥AM 交AM 的延长线于点H ，延长CH 于点M 连接MN 、BN ． （1）若AB =4，AH =528，求线段CH 的长度； （2）若∠MAD =∠BMN ，求证：AM =MN +CN ．2019重庆中考数学第24题专题训练---正方形答案1、重庆第一中学2018-2019学年初2019级初三年级上学期第二次定时作业数学试题如图，点M 是正方形ABCD 的边BC 上一点，连接AM ，点E 是线段AM 上一点，CDE ∠的平 分线交AM 延长线于点F .（3）如图1，若点E 为线段AM 的中点，:1:2BM CM =，BE =AB 的长；（4）如图2，若G 为AE 中点，延长DG 至N ，使DG NG =，连接EN ，且EDG ENG ∠=∠，求证：BF DF +=．（1）:1:2BM CM ==,2BM x CM x ∴=设则∵正方形ABCD 3,90AB x ABC ∴=∠=︒Rt ABM AM ∆在中，∵点E 为线段AM 的中点2AM BM ∴== 2x ∴=36AB x ∴==（2）G AE 为中点AG EG ∴=AGD EGN AG EG AGD EGN DG NG ∆∆=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩在和中AGD EGN ∴∆≅∆ 4N ∴∠=∠ EDG ENG ∠=∠,34ED EN ∴=∠=∠ DG NG = 90EGD ∴∠=︒AF CDE ∠平分12∴∠=∠123452FDG CDA ∴∠=∠+∠=∠=︒,90A AH AF FD H FAH ⊥∠=︒过作交延长线于即//DG AH ∴45H FDG ∴∠=∠=︒AHF ∴∆为等腰直角三角形,AH AF FH ∴=90DAB HAF ∴∠=∠=︒ DAH BAF ∴∠=∠DAH BAF AH AF DAH BAF AD AB DAH BAF DH BF∆∆=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴=在和中BF DF DH DF FH ∴+=+==2、在正方形ABCD 中，点F 是BC 延长线上一点，过点B 作BE ⊥DF 于点E ，交CD 于点G ，连接CE . （1）若正方形ABCD 边长为3，DF =4，求CG 的长； （2）求证：EF+EG =2CE .解答：（1）∵四边形ABCD 是正方形∴∠BCG =∠DCB=∠DCF=90°，BC=DC .∵BE ⊥DF∴∠CBG+∠F=∠CDF+∠F .∴∠CBG=∠CDF . ∴△CBG ≌△CDF .∴BG=DF=4.∴在Rt △BCG 中，222BG BC CG =+∴CG =73422=-. …………………………4分 （2）过点C 作CM ⊥CE 交BE 于点M∵∠BCG=∠MCE =∠DCF =90° ∴∠BCM=∠DCE ，∠MCG=∠ECF ∵BC=DC ，∠CBG=∠CDF∴△CBM ≌△CDE ∴CM=CE∴△CME 是等腰直角三角形∴ME=CE 2 ，即MG+EG=CE 2 又∵△CBG ≌△CDF ∴CG=CF∴△CMG ≌△FCE ∴MG=EF∴EF+EG =2CEGEA B CDFM3、如图1，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点,O H 为CD 边上一点，连接BH 交AC 于K ,E 为BH 上一点，连接AE 交BD 于点.F（1）若AE BH ⊥于E ,且6,CK ==求AF 的长； （2）如图2，若=AE BE ,且,BEO EAO ∠=∠求证：.AEH图1图2解答：4、重庆市南开（融侨）中学初2019级暑假作业数学综合练习如图，正方形ABCD中，CB的延长线上有一点E,连接AC、AE.(1)如图1，若AC=4，∠CAE=75°，求△ACE的面积；(2)如图2，连接BD交AC于点O，在线段AB上取点F，使BE=BF，连接CF，过点B作BG∥CF，交AE于点G，连接OG、BG.求证：.+=BG AG5、重庆市南岸区11中、二外、珊瑚2018-2019学年度上期三校期末联考九年级数学如图1,以正方形ABCD边AD为边作等边三角形ADE,EF⊥AD于点F,连接BE交AD于G.(1)若正方形的边长为2,求AG的长；(2)如图2，∠EAD的平分线交BE于点P，连接CP，求证解法一：解法二：6、在正方形ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O,E 为OB 上一点,连接CE,F 为CE 的中点.(1)如图1,连接AE,OF,若 AB=6,求OF 的长；(2)如图2,连接BF,作BG ⊥BF 交CA 的延长线于点G ，求证：.CG BE =7、已知正方形ABCD 如图所示，连接其对角线AC ，∠BCA 的平分线CF 交AB 于点F ，过点B 作BM⊥C F 于点N ，交AC 于点M ，过点C 作CP⊥CF，交AD 延长线于点P ．（1）若正方形ABCD 的边长为4，求△ACP 的面积；（2）求证：CP=BM+2FN ．解：∵∠1=∠2=22.5°，又CP⊥CF，∴∠3+∠FCD=∠1+∠FCD=90°∴∠3=∠1=22.5°∴∠P=67.5°又∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ACP=45+22.5=67.5°∴∠P=∠ACP∴AP=AC又∵AB=4 ∴AP=42 ∴S △A P C =12AP•CD=82（2）∵在△PDC 和△FBC 中，{ ∠PDC=∠FBCCD=BC∠1=∠3∴△PDC≌△FBC∴CP=CF 在CN 上截取NH=FN ，连接BH∵FN=NH，且BN⊥FH∴BH=BF∴∠4=∠5∴∠4=∠1=∠5=22.5°又∠4+∠BFC=∠1+∠BFC=90°∴∠HBC=∠BAM=45°在△AMB 和△BHC 中，{ ∠1=∠4AB=BC∠HBC=∠BAM，∴△AMB≌△BHC，∴CH=BM∴CF=BM+2FN∴CP=BM+2FN．8、重庆巴蜀中学初2018届九年级下第二次周考如图1,正方形ABCD 中,AE 为过顶点A 的任意一条射线,过C 作CE ⊥AE 于E.(1)己知AB=6.AE=8,求CE 的长；(2)如图2,过D 作DF ⊥AE 于F,求证:DF=EF.图1 图29、重庆一中初2018级初三下期期中如图，在正方形ABCD 中，点M 是边BC 上一点，连接AM ，过点C 作CH ⊥AM 交AM 的延长线于点H ，延长CH 于点M 连接MN 、BN ．（1）若AB =4，AH =528，求线段CH 的长度； （2）若∠MAD =∠BMN ，求证：AM =MN +CN ．。

2019年重庆市中考数学试题(含解析)

2019年重庆市中考数学试题(含解析)

2019年重庆市中考数学试卷（B卷）一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案,其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。

1．（4分）5的绝对值是（）A．5B．﹣5C．D．﹣2．（4分）如图是一个由5个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．3．（4分）下列命题是真命题的是（）A．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为2：3B．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为4：9C．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为2：3D．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为4：94．（4分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C＝40°，则∠B 的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°5．（4分）抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴是（）A．直线x＝2B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝﹣1 6．（4分）某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为（）A．13B．14C．15D．167．（4分）估计的值应在（）A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间8．（4分）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是7，则输出y的值是﹣2，若输入x的值是﹣8，则输出y的值是（）A．5B．10C．19D．219．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A（10，0），sin ∠COA＝．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）经过点C，则k的值等于（）A．10B．24C．48D．5010．（4分）如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B 点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC ＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么建筑物AB的高度约为（）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．65.8米B．71.8米C．73.8米D．119.8米11．（4分）若数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程﹣＝﹣3的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．112．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE＝1．连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF．过点D作DG⊥DE交BE于点G．则四边形DFEG的周长为（）A．8B．4C．2+4D．3+2二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。

重庆市中考数学一轮复习第五章四边形第2节矩形菱形正方形课件

重庆市中考数学一轮复习第五章四边形第2节矩形菱形正方形课件

最后证明
一组邻边相等
矩形
对角线⑯ ____互___相__垂_ 直
一个角是直角 菱形
对角线⑰ ____相__ 等
(a表示正方形边长)
温馨提示有关正方形的计算可以转化为等腰直角三角形 进行
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玩转重庆10年中考真题（2008～2017）
四边形之间的转化关系
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第五章 四边形
第2节 矩形、菱形、正方形
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玩转重庆10年中考真题（2008～2017）
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考点精讲
矩形、 菱形、 正方形
性质 矩形 判定思路
面积
性质
菱形
判定思路
面积
性质
正方形 判定思路 面积
对角线平分 ∠DAC=∠BAC=⑭ 45°
___,∠DCA =∠BCA=45°
45°
一组对角 ∠ADB=∠CDB=⑮ ___,∠ABD=∠CBD返=回45°
考点特训营
重难点突破ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
玩转重庆10年中考真题（2008～2017）
判定 思路
已知条件
先证明
四边形
平行四边 形
面积：S＝⑱ a2
再证明
四边形之间的转化关系
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重难点突破
玩转重庆10年中考真题（2008～2017）
性质
1.边：矩形的对边平行且相等
AB∥CD，AB=CD
AD∥① BC，AD=BC
2.角：四个角都是直角： ∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°

重庆市2019届中考数学一轮复习《1.1实数》讲解(含答案)

重庆市2019届中考数学一轮复习《1.1实数》讲解(含答案)

第一章数与式第一节实数课标呈现指引方向1．有理数(1)理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小．(2)借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道|a|的含义（这里a表示有理数）．(3)理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）．(4)理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算．(5)能运用有理数的运算解决简单的问题．2．实数(1)了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根．(2)了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根．(3)了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值．(4)能用有理数估计一个无理数的大致范围．(5)了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值．(6)会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）．考点梳理夯实基础1．实数(1)实数的定义：有理数和无理数统称窦数(2)实数的分类①按定义分类②按正负性质分类注：无理数的三种常见形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有 的数．2．实数的相关概念(1)数轴是一条规定了_______、________、______单位长度的直线，并且数轴上的点与实数是_____的关系.【答案】原点、正方向、单位长度、一一对应(2)若a和b互为相反数，则a、b满足的关系式为_______,此时a、b在数轴上表示的点位于原点_____,且到原点的_____相等．2-1-c-n-j-y【答案】a+b=0、两侧、距离(3)若ab=______，则a,b 互为倒数；若ab=____,则a,b 互为负倒数：_____没有倒数．【答案】1,-1,0(4)绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到____的距离．【答案】原点(5)绝对值的代数意义(0)||(0)0(0)a a a a a a >⎧⎪=-<⎨⎪=⎩(6)相反数等于本身的数是____，倒数等于本身的数_____;绝对值等于本身的数是____;平方等于本身的数_________；立方等于本身的数_______．【答案】0;1±;所有非负数;0,1;0,1±(7)对于一个绝对值比较大（或绝对值比较小）的数常用科学记数法表示，记为______的形式，其中._________.【答案】10n a ⨯,1|a |10≤<且n 为整数3．数的开方(1)如果一个数的____等于a ，那么这个数就叫做a 的_____,记怍a ±（二次方根）．一个正数有____个平方根，它们互为_____,零的平方根是______,负数____平方根．【答案】平方;平方根;两;相反数;0;没有(2)如果一个正数的平方等于a ，那么这个正数就叫做a 的______，记作____，0的算术平方根是_____．【答案】算术平方根;a ;0(3)如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的_____（或三次方根），符号记作3a ．每个数只有_____个立方根，正数的立方根是_____，负数的立方根是_____，0的立方根是_____．【答案】立方根;1 ;正数负数 0(4)平方根等于本身的数是____；算术平方根等于本身的数是_____；立方根等于本身的数是____.【答案】0 ;0 , 1 ; 0,1±4．实数大小比较的常用方法：(1)在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大．(2)正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小．(3)作差比较法①a-b>0⇔ a>b②a-b= 0⇔a=6③a-b<0⇔a<b(4)作商比较法（若a,b 同为正数） ①1a b>⇔a>b ②a b =1⇔a=b ③a b<l ⇔a<b (5)倒数比较法：11a b>，a>0，b>0，则a<b ． (6)平方法：若a>0，b>0且a 2>b 2，则a>b ．5．非负数的性质(1)几种常见的非负数：①|a|≥0；②a ≥0（a ≥0）；③a 2n ≥0．(2)非负数的性质：①非负数的最小值是0：②几个非负数之和仍为非负数：③若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0．6．零指数幂和负整数指数幂(1)零指数幂：a 0= l(a ≠0)．(2)负整数指数幂：a -p 1p a(a ≠0,p 为整数）． 实数的相关概念【例l 】(1)（2019重庆）4的倒数是 ( D)A.-4B.4C.14-D.14【答案】D(2)（2019重庆）在实数-2，2，0．-1中，最小的数是 ( )A ．-2 B.2 C ．0 D ．-l【答案】A(3)（2019烟台）下列实数中，有理数是 ( )A ．8B ．4 C.2π D.0.101001001【答案】D(4)（2019黑龙江）已知实数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是 ()A ．ab>0B ．a+b<0C ．|a|<|b|D ．a-b>0【答案】D(5) (2019常州)已知a=22，b=33，c=55，则下列大小关系正确的是 ( ) A ．a>b>c B ．c>b>a C ．b>a>c D ．a>c>b【答案】A解题点拨：实数中基本概念较多，常以选择、填空的形式出现，题目较为简单，要注意审清题意． 考点二科学记数法【例2】(1)（2019重庆）据报道，2019年某市城镇非私营单位就业人员年平均丁资超过60500元，将数60500用科学记数法表示为_____.【答案】6.05×104(2)（2019山东）2019年第一季度，我市“蓝天白云、繁星闪烁”天数持续增加，获得山东省环境空气质量生态补偿资金408万元．408万用科学记数法表示正确的是 ( )A ．408×l04B ．4.08×l04C ．4.08× l05D ．4.08× l06觯题点拨：此题考查科学记数法，其中l ≤|a|<10，小数点向左移动x 位，则n=x ；小数点向右移动x 位，则n=-x ，另外需要注意单位的换算．考点三 根式的概念及基本性质【例3】(1)数5的平方根为±5．(2)数81的算术平方根为3．(3)数27的立方根是3．(4)（2019贵州）38的算术平方根是 ( )A ．2B ．±2C ．2D ．±2【答案】C 解题点拨：此题考查了平方根，算术平方根的定义，解题的关键是对定义及a 的理解．考点四 实数运算【例4】（2019东营）计算：11()2016-+(π-3.14)0 -2sin60º-2+| 1-33 | 解题点拨：本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值，特殊角三角函数等考点的运算．解：原式= 2019+1-2×32 - 23+（33-1） = 2019+1-3-23+33-1= 2019课堂训练当堂检测1.（2019无锡）-2的相反数是 () A. 12 B ．±2 C ．2 D ．12- 【答案】C2．（2019资阳）27的运算结果应在哪两个连续整数之间( )A ．2和3B ．3和4C ．4和5D ．5和6【答案】D3．（2019重庆）计算：38-+(13)2+(1π-)0= _____． 【答案】84．计算(1)| -5 |- (-1)2005-(12)-2+|3π-| - 12 【答案】解：原式= 5-(-1)- 4+1- 23 =3 -23(2)-l 2+27+(-1)2-(-13)-2+| -2 | 【答案】解：原式=-1+33+1-9+2 =-7+33中考达标模拟自测A 组基础训练一、选择题1．（2019资阳）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为 ()A ．7.6×10- 9B ．7.6×10- 8C ．7.6×l09D ．7.6× l082【答案】B2．（2019娄底）若| a-1 |=a-l ，则a 的取值范围是 ( )A ．a ≥lB ．a ≤1C ．a<lD ．a>l【答案】A3．（2019通辽）实数tan45º，38，0，-35π，9，13-，sin60º，0.3131131113⋅⋅⋅（相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数的个数是 ()www-2-1-cnjy-A ．4B ．2C ．1D ．3【答案】D4．在数轴上与表示-2的点距离3个单位的点表示的数是( )A ．5B ．-5C ．1D ．-5或-1【答案】D二、填空题5．下列说法正确的有______（填序号） ①一个数的绝对值一定比0大;②一个数的相反数一定比它本身小;③最小的正整数是1;④与15+最接近的整数是3；⑤-(-2)0=l ．【答案】③④6．若3x ++(y-2)2=0,则xy -2=_______． 【答案】34- 7．计算：(1)（2019重庆）4+(-2)0=_____．【答案】3(2)（2019黄冈）| 1-3 | - 12=______．【答案】-1 - 3 (3)（2019十堰）| 38-4 | - 21()2--=_____． 【答案】-2(4)（2019乌鲁木齐）(-2)2+| 21-| - 327=______． 【答案】2三、解答题8.(2019铜仁)定义一种新运算：+2*x y x y x =，如2*1:=2212+⨯=2,求（4*2）*（-1）的值. 【答案】解：∵4+224*2=24⨯=,2+2(-1)2*(-1)==02⨯,∴原式=0. 9．计算： (1)（2019遂宁）-22- | -3| +(13)-2×(2π-)0+(-1)2019-9 【答案】解：原式=-4-3+9×1+1-3=3-3.(2)(2019菏泽)2-2-2cos60º+| -12| +(π-3.14)0【答案】解:原式=14-2×12+23+1=14+23 (3) (2019桂林)–(-4)+| -5 |+(12-3)0-4tan45º.【答案】解：原式=4+5+1-4×1=6．(4)（2019毕节）(π-3.14)0+| 2-1 |-(22)-1-2sin45º+(-1)2019【答案】解：原式：=1+2-1-22-2×22+1=2-2-2+1=1-2(5)（2019百色）9+2sin60º+| 3-3|-(2016-π)0【答案】解：原式=3+2×32+3-3-1=3+3+3-3-1 =5(6) (2019眉山)(2+1)0-3tan30º+(-1)2019-(12)-1【答案】解：原式=l-3×33+l-2=1-3+1-2 =-3(7) (2019南通)(-2)2-364+(-3)0-(13)-2【答案】解：原式= 4-4+1-9=一8．(8) (2019达州)(-1)2019+20190+2-1-| 12-3|【答案】解：原式一1+1+12+12-3=1-3B组提高练习10．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则2(a+b)+a的化简结果为 ( )第10题A．2a+b B．b C．-b D．2a-b（提示：原式=| a+b|+a=-a-b+a=-b．）【答案】C11．对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下a*b=a ba b+-(a+b>0)如:3*2=3232+-=5那么6*（5*4）=_____．2·1·c·n·j·y（提示：根据定义，5*4=9=3，6 * 3=6363+-=1．）【答案】112．（2019黄石）观察下列等式：第1个等式：1121 12a==-+,第2个等式: 213223a ==-+, 第3个等式:312332a ==-+， 第4个等式:415225a ==-+， 按上述规律，回答以下问题：(1)请写出第n 个等式：n a =_________. 【答案】1n n +-(2)求a l +a 2+a 3+g g g +a n 的值，【答案】解：(1)∵第1个等式：112112a ==-+， 第2个等式：213223a ==-+ 第3个等式：312332a ==-+ 第4个等式：415225a ==-+ ∴第n 个等式：111n a n n n n ==+-++ (2)a 1+a 2+a 3+…+a n 。

重庆市2019届中考数学一轮复习《5.4尺规作图》讲解含答案

重庆市2019届中考数学一轮复习《5.4尺规作图》讲解含答案

第四节尺规作图课标呈现——指引方向1．能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线：过一点作已知直线的垂线．2．会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形：已知底边及底边上的高线作等腰三角形：已知一直角边和斜边作直角三角形．3．会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆：作三角形的外接圆、内切圆：作圆的内接正方形和正六边形．4．在尺规作图中，了解作图的原理，保留作图的痕迹，不要求写出作法，考点梳理——夯实基础1．格作图：利用平移、旋转、轴对称、中心对称、位似在格中作图称为格作图2．尺规作图(1)尺规作图的定义：在几何里把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图，称为尺规作图，最基本最常用的尺规作图，称为基本作图．(2)五种基本尺规作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角：③作一个角的角平分线：④作线段的垂直平分线：⑤经过一点作已知直线的垂线．(3)尺规作图的步骤：①已知：写出已知的线段和角，画出图形：②求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化：③作法：应用五种基本作图，叙述时不需要重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹：④证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，根据有关的定义、定理等并结合作法证明所作图形完全符合题设条件，⑤对所作图形下结论．(4)作三角形：①已知三边作三角形；②已知两边及其夹角作三角形：③已知两角及其夹边作三角形：④已知底边及底边上的高作等腰三角形．(5)探究如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆．考点精析——专题突破【例1】（2019四川巴中）如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图，请根据条件画出变换后的三角形．(1)将△ABC向有平移2个单位得到△A1B1C1；(2)与△ABC关于x轴对称的图形△A2B2C2．(3)与△ABC关于原点对称的图形△A3B3C3.【答案】解题点拨：作图平移变换、轴对称、中心对称，图略【例2】（2019四川凉山州）如图，在边长为1的正方形格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A(4，3)、B(4，1)，把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1 B1C．(1)画出△A 1B 1C ，直接写出点A 1、B 1的坐标；(2)求在旋转过程中，△ABC 所扫过的面积．【答案】解题点拨：(1)根据旋转中心方向及角度找出点A 、B 的对应点A 1、B 1的位置，然后顺次连接即可，根据A 、B 的坐标建立坐标系，据此写出点A 1、B 1的坐标；(2)利用勾股定理求出AC 酌长，根据△ABC 扫过的面积等于扇形CAA 1的面积与△ABC 的面积和，然后列式进行计算即可．解：(1)所求作△A 1B 1C 如图所示：由A(4，3)、B(4，1)可建立如图所示坐标系，则点Ai 的坐标为（-1，4），点Bi 的坐标为(1，4)； (2)∵AC=22222313AB BC +=+=，∠ACA 1=90°∴在旋转过程中，△ABC 所扫过的面积为：S 扇形CAA 1+S△ABC 290(13)1323602π⋅=+⨯⨯ 1334π=+【例3】（2019育才）两个城镇A 、B 与两条公路ME ，MF 位置如图所示，其中ME 是东西方向的公路．现电信部门需在C 处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A 、B 的距离必须相等，到两条公路ME ，MF 的距离也必须相等，且在∠FME 的内部，那么点C 应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C ．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）【答案】解题点拨：此题考查了尺规作图，正确的作出图形是解答本题的关键．到A、B距离相等则作线段AB的垂直平分线，到ME、MF距离相等则作∠FME的角平分线，它们的交点即为所求．解：答案如图：1．（2019浙江舟山）数掌活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q”．分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是 ( )【答案】A2．（2019湖北宜昌）任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示，若连接EH、HF、FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是 ( )A．△EGH为等腰三角形 B．△EGF为等边三角形C．四边形EGFH为菱形 D．△EHF为等腰三角形第2题【答案】B3．（2019吉林长春）如图，在△ABC中，AB>AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D;连结CD．若AB=6，AC=4，则△ACD 的周长为．第3题【答案】104．已知：如图，∠α，∠β，线段m.求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=m．第4题【答案】解：如图所示，△ABC即为所求．第4题答案图A组基础训练一、选择题1.（2019河北）如图，已知△ABC（AC<BC）,用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是 ( )第1题【答案】B2．（2019重庆育才）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A'O'B′=∠AOB的依据是( )A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS第2题【答案】C3．（2019西大附中）如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是 ( )A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形第3题【答案】B4．（2019河北）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹，步骤1：以C 为圆心，CA 为半径画弧①；步骤2：以B 为圆心，BA 为半径画弧②，与弧①交于点D ；步骤3：连接AD ，交BC 延长线于点H 。

重庆市2019届中考数学一轮复习《4.3全等三角形》讲解含答案

重庆市2019届中考数学一轮复习《4.3全等三角形》讲解含答案

第三节全等三角形课标呈现指引方向1．理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角．2．掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．3．掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．4．掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等．5．证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，考点梳理夯实基础1．全等图形：能够完全重合的两个图形叫做＿＿全等图形＿＿．注：能够完全重合即形状、大小完全相同．2．全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做＿＿全等＿＿三角形．3．全等三角形的性质：(1)全等三角形的对应边＿＿相等＿＿；全等三角形的对应角＿＿相等＿＿．(2)全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线）＿＿相等＿＿，周长＿＿相等＿＿，面积＿＿相等＿＿．4．一般三角形全等的判定：(1)若两个三角形的三条边分别＿＿对应相等＿＿，那么这两个三角形全等，简记为“SSS”；(2)若两个三角形的两边及其＿＿夹角＿＿分别相等，那么这两个三角形全等，简记为“SAS”：(3)若两个三角形的两角及其＿＿夹边＿＿分别相等，那么这两个三角形全等，简记为“ASA”：(4)若丙个三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为＿＿“AAS"＿＿．5．直角三角形全等的判定：(1)两直角边对应相等的两个直角三角形全等；(2)一边一锐角对应相等的两个直角三角形全等；(3)若两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为＿＿“HL”＿＿．6．寻找对应边、对应角的方法：(1)有公共边的，公共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有对顶角的，对顶角一定是对应角；(4)两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）．7．证明三角形全等的思路：(1)已知两边：①找夹角（SAS）；②找直角（HL）；③找第三边( SSS)．(2)已知一边和一角：①边为角的对边，找任意一角(AAS)；②边为角的邻边，找夹角的另一边（SAS）；③找夹边的另一角（ASA）；④找边的对角（AAS）．(3)已知两角：①找夹边（ASA）；②找角的对边（AAS）．考点精析专项突破考点一三角形全等判定方法的选择【例l】（2019云南）如图，已知∠ABC= ∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是 ( A )2A．AC = BDB．∠CAB=∠DBAC．∠C=∠DD．BC=AD觯题点拨：本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【例2】（2019泰州）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、AB 于点E 、O 、F ，则图中全等三角形的对数是 ( D )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对解题点拨：根据已知条件“AB=AC．D 为BC 中点”，得出△ABD ≌△ACD ，然后再由AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、AB 于点E 、O 、F ，推出△AOE ≌△EOC ，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．考点二 全等三角形的性质与判定综合【例3】如图，在平行四边形ABCD 中，∠B= ∠AFE ，EA 是∠BEF 的角平分线．求证： (1)△ABE ≌△AFE ； (2)∠FAD= ∠CDE ．解题点拨：此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角 形的判定与性质，(2)问关键是正确证明△AFD ≌△DCE ． 证明：(1)∵EA 是∠BEF 的角平分线， ∴∠1=∠2．在△ABE 和△AFE 中，,12,,B AFE AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△AFE(AAS). (2)∵△ABE ≌△AFE ， ∴AB=AF ，∵四边形ABCD 是平行四边形． ∴AB=CD ，AD ∥CB ，AB ∥CD ，∴AF=CD ，∠ADF= ∠DEC ，∠B+∠C=180°， ∴∠B= ∠AFE ，∠AFE+∠AFD=180°， ∴AFD= ∠C ，在△AFD 和△DCE 中，,,,ADF FEC C AFD AF DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFD≌△DCE(AAS) ， ∴∠FAD= ∠CDE.课堂训练 当堂检测1．如图，已知AB=AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是 ( C) A ．CB= CDB ．∠BAC= ∠DAC C ．∠BCA=∠DCAD ．∠B=∠D= 90°2．如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点，如果添加一个条件使△4BE 竺△CDF ．则添加的条件不能是( A )A ．AE=CFB ．BE= FDC ．BF= DED ．∠1= ∠23．（2019成都）如图，△ABC ≌△A'B'C'，其中∠A= 36°， ∠C'＝24°，则∠B= ＿＿120°＿＿．4．已知，如图．AB=AC ，BD=CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，求证：DE=DF ．证明：连接AD ，在△ACD 和△ABD 中，,,,AC AB CD BD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩△ACD ≌△ABD(SSS)，∴∠EAD=∠FAD ，即AD 平分∠EAF ， ∵DE ⊥AE ．DF ⊥AF ． ∴DE=DF ．中考达标 模拟自测A 组 基础训练一、选择题1．如图，△ABC 和△DEF 中，AB= DE ，/B= LDEF ，添加下列哪一个条件无法证明△ABC ≌△DEF ( C )A ．AC ∥DFB ．∠A =∠DC ．AC=DFD ．∠ACB= ∠F2．（2019陕西）如图，在正方形ABCD 中，连接BD ，点O 是BD 的中点，若M 、N 是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M'、N'，则图中的全等三角形共有 ( C )A．2对B．3对C．4对D．5对3．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC= BD，AB= ED，BC= BE，则∠ACB等于 ( C )A．∠EDBB．∠BEDC．12∠AFBD．2∠ABF4．将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°，把△DCE 绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B则∠E1D1B的度数为 ( D )A．10°B．20°C．7.5°D．15°二、填空题5．如图，AC、BD相交于点O，∠A=∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件＿＿AB=CD＿＿（填出一个即可）．6．如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC= 70°，则∠ADC的度数为＿＿130°＿＿．7．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝2cm ，CD ⊥AB ，在AC 上取一点E ，使EC ＝BC ，过点E 作EF ⊥AC 交CD 的延长线于点F ．若EF= 5cm ．则AB=＿＿29＿＿cm ．三、解答题8．（2019重庆）如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，CE ∥DF ，EC ＝BD ，AC ＝FD ．求证：AE ＝FB ．证明：CE ∥DF ， ∴∠ACE= ∠D ，在△ACE 和△FDB 中，,,,AC FD ACE D EC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ACE ≌△FDB ， ∴AE ＝FB ．9．如图，∠ABC= 90°，D 、E 分别在BC 、AC 上，AD ⊥DE ，且AD= DE ．点F 是AE 的中点．FD 与AB 相交于点M ．(1)求证：∠FMC= ∠FCM;(2)AD 与MC 垂直吗？并说明理由．解：(1)证明：∵△ADE 是等腰直角三角形，F 是AE 中点， ∴DF ⊥AE ，DF =AF= EF ，又∵∠ABC=90， ∠DCF ，∠AMF 都与∠MAC 互余，∴∠DCF=∠AMF ．在△DFC 和△AFM 中．,,,DCF AMF MFA CFD DF AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DCF ≌△AMF(AAS)，∴CF ＝MF ，∴∠FMC ＝∠FCM ； (2)AD ⊥MC ，理由：由 (1)知，∠MFC = 90°，FD = EF ，FM = FC ，∴∠FDE =∠FMC=45°， ∴DE//CM ，∴AD ⊥MC ．B 组提高练习10．（2019丹东）如图，在△ABC 中，AD 和BE 是高，∠ABE= 45°，点F 是AB 的中点，AD 与FE 、BE 分别交于点G 、H ，∠CBE= ∠BAD ．有下列结论：①FD=FE ；②AH=2CD ；③BC·AD=2AE 2；④4ABC ADF S S ∆∆=其中正确的有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（提示：∵在△ABC 中，AD 和BE 是高，∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，∵点F 是AB 的中点，∴FD=12AB ，∵∠ABE=45°，∴△ABE 是等腰直角三角形， ∴AE=BE ，∵点F 是AB 的中点，∴FE ＝12AB ，∴FD ＝FE ，①正确；∵∠CBE=∠BAD ，∠CBE+ ∠C= 90°，∠BAD+∠ABC=90°，∴∠ABC= ∠C ，∴AB =AC ，∴AD ⊥BC ，∴BC= 2CD ，∠BAD=∠CAD= ∠CBE ，在△AEH 和△BEC 中，,,,AEH CEB AE BE EAH CBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEH ≌△BEC(ASA)，∴AH=BC=2CD ，②正确；∵∠BAD= ∠CBE ， ∠ADB=∠CEB ，．．，△ABD ∽△BCE ，BC BE AB AD=，即BC·AD=AB·BE，2AE 2＝AB·AE＝AB·BE，∴BC·AD ＝2AE 2；③正确；∵F 是AB 的中点，BD= CD ，∴24ABC ABD ADF S S S ∆∆∆==．④正确；故选：D ．） 11．（2019丹东）如图，在平面直角坐标系中，A 、B 两点分别在x 轴、y 轴上，OA =3，OB=4，连接AB ．点P 在平面内，若以点P\A 、B 为顶点的三角形与△AOB 全等（点P 与点O 不重合），则点P 的坐标为＿＿(3，4)，(9625，7225)，(2125-，2825)＿＿．(提示：如图所示：①∵OA =3，OB =4，∴P 1(3，4)； ②连结OP 2，设AB 的解析式为y=kx+b ，则30,4,k b b +=⎧⎨=⎩解得4,34.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩故AB 解析式为y=43-x ＋4，则OP 2的解析式为y ＝43x ，联立方程组得44,33,4y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得48,253625x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则P 2(9625，7225)；③连结P 2P 3，则四边形AP 2BP 3为平行四边形，则E 为线段AB 和P 2P 3的中点，设P 3(x ，y)，则96032522x ++=，72042522x ++=， ∴x ＝2125-，y ＝2825，∴P 3(2125-，2825)，故点P 的坐标为(3，4)或(9625，7225)或(2125-，2825)．12．如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，过点B 作BM ⊥AC 于点M ，BM 交CD 于点E ，且点E 为CD 的中点，连接MD ，过点D 作ND ⊥MD 于点D ，DN 交BM 于点N ． （1）若BC ＝22，求△BDE 的周长； （2）求证：NE －ME ＝CM ．解：（1）∵∠ABC ＝45°，CD ⊥AB ，∴在Rt △BCD 中，∠DBC ＝∠DCB ＝45°， ∵BC ＝22， ∴BD ＝CD ＝22×22＝2， ∵点E 为CD 的中点，∴DE ＝CE ＝21CD ＝21×2＝1， ∴BE ＝5122222=+=+DE BD ，∴△BDE 的周长＝BD ＋DE ＋BE ＝2＋1＋5＝3＋5；（1） 证明：∵CD ⊥AB ，BM ⊥AC ，∴∠ABN ＋∠A ＝90°，∠ACD ＋∠A ＝90°， ∴∠ABN ＝∠ACD ， ∵CD ⊥AB ，ND ⊥MD ，∴∠BDN ＋∠CDN ＝∠CDM ＋∠CDN ＝90°， ∴∠BDN ＝∠CDM ， 在△BDN 和△CDM 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CDM BDN CD BD ACD ABN ， ∴△BDN ≌△CDM （ASA ）， ∴DN ＝DM ，∴△DMN 是等腰直角三角形，过点D 作DF ⊥BE 于F ，则DF ＝NF ， ∵BM ⊥AC 于点M ，∴∠DFE ＝∠CME ＝90°， 在△DEF 和△CEM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CE DE CEM DEF CME DFE ， ∴△DEF ≌△CEM （AAS ）， ∴DF ＝CM ，EF ＝ME ，∴NE －ME ＝NE －EF ＝NF ＝DF ＝CM ， 即NE －ME ＝CM ．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．一元二次方程x 2﹣x+2=0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根 2．如图，点是矩形的对角线上一点，正方形的顶点、都在边上，，，则的值为( )A.B.C. D.3．下列图形中，的是( )A. B.C. D.4．下列计算正确（ ）A ．222a b a b +=+（） B ．235a a a ⋅=C ．822a a a ÷=D ．325a a a +=5．如图，AB ∥CD ，直线MN 与AB 、CD 分别交于点E 、F ，FG 平分∠EFD ，EG ⊥FG 于点G ，若∠CFN ＝110°，则∠BEG ＝( )A ．20°B ．25°C ．35°D ．40°6．如图，60AOB ∠=，以点O 为圆心，以任意长为半径作弧交OA ，OB 于,C D 两点，分别以,C D 为圆心，以大于12CD 的长为半径作弧，两弧相交于点P ；以O 为端点作射线OP ，在射线OP 上截取线段6OM =，则M 点到OB 的距离为（ ）A.3B.3C.6D.337．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点D是AC的中点，连接BD，按以下步骤作图：①分别以B，D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q；②作直线PQ交AB于点E，交BC于点F，则BF=（）A．56B．1 C．136D．528．一组数据：201、200、199、202、200，分别减去200，得到另一组数据：1、0、﹣1、2、0，其中判断错误的是（）A．前一组数据的中位数是200B．前一组数据的众数是200C．后一组数据的平均数等于前一组数据的平均数减去200D．后一组数据的方差等于前一组数据的方差减去2009．已知：如图，四边形AOBC是矩形，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，点A的坐标为（0，3），∠OAB=60°，以AB为轴对折后，C点落在D点处，则D点的坐标为（）A．（33322-，）B．（33322--，）C．（32，-332）D．（3，-33）10．下列运算正确的是（）A．ab•ab＝2ab B．（3a）3＝9a3C ．4a ﹣3a ＝3（a≥0）D ．a ab b=（a≥0，b≥0） 11．如果a 2+2a ﹣1＝0，那么代数式(a ﹣4a )•22a a -的值是( )A.1B.12C.2D.212．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，折叠△ABC 使得点C 落在AB 边上的E 处，连接DE 、CE ，下列结论：①△DEB 是等腰直角三角形；②AB ＝AC+CD ；③BE BDAC AB= ；④S △CDE ＝S △BDE ．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．把多项式ax 2+2a 2x+a 3分解因式的结果是_____．14．如图所示，四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，对角线AC 、BD 交于点E ，且BD BC =，30ACD ∠=︒，若19AB =，7AC =，则CE 的长为_____．15．如图，直线l 为y=3x ，过点A 1（1，0）作A 1B 1⊥x 轴，与直线l 交于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画圆弧交x 轴于点A 2；再作A 2B 2⊥x 轴，交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画圆弧交x 轴于点A 3；……，按此作法进行下去，则点A n 的坐标为（_______）．16．计算：30＝_____；＝_____．17．截止到2018年5月31日，上海世博园共接待游客约8000000人，将数8000000用科学记数法表示为________. 18．函数15x y x -=+中，自变量x 的取值范围是________. 三、解答题19．先化简，再求值：（a ﹣2b ）（a+2b ）﹣（a ﹣2b ）2+8b 2，其中a ＝﹣6，b ＝1320．大唐芙蓉园是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型皇家园林式文化主题公园，全园标志性建筑一紫云楼为代表，展示了“形神升腾紫云景，天下臣服帝王心”的唐代帝王风范（如图①）．小风和小花等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“紫云楼”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在紫云楼影子的末端C 点处竖立一根标杆CD ，此时，小花测得标杆CD 的影长CE ＝2米，CD ＝2米；然后，小风从C 点沿BC 方向走了5.4米，到达G 处，在G 处竖立标杆FG ，接着沿BG 后退到点M 处时，恰好看见紫云楼顶端A ，标杆顶端F 在一条直线上，此时，小花测得GM ＝0.6米，小风的眼睛到地面的距离HM ＝1.5米，FG ＝2米．如图②，已知AB ⊥BM ，CD ⊥BM ，FG ⊥BM ，HM ⊥BM ，请你根据题中提供的相关信息，求出紫云楼的高AB ．21．如图，为了测量建筑物AD 的高度，小亮从建筑物正前方10米处的点B 出发，沿坡度i ＝1：3的斜坡BC 前进6米到达点C ，在点C 处放置测角仪，测得建筑物顶部D 的仰角为40°，测角仪CE 的高为1.3米，A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，且建筑物和测角仪都与地面垂直求建筑物AD 的高度．（结果精确到0.1米参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，3≈1.73）22．（1）计算：()112cos3020192π-⎛⎫---- ⎪⎝⎭（2）解方程：4501x x -=- 23．为了“天更蓝，水更绿”某市政府加大了对空气污染的治理力度，经过几年的努力，空气质量明显改善，现收集了该市连续30天的空气质量情况作为样本，整理并制作了如下表格和一幅不完整的条形统计图：环境空气质量指数（ ）30 40 70 80 90 110 120 140 天数（t） 1 2 3 5 7 6 4 2说明：环境空气质量指数（AQI）技术规定：ω≤50时，空气质量为优；51≤ω≤100时，空气质量为良；101≤ω≤150时，空气质量为轻度污染；151≤ω≤200时，空气质量为中度污染，…根据上述信息，解答下列问题：（1）请补全空气质量天数条形统计图：（2）根据已完成的条形统计图，制作相应的扇形统计图；（3）健康专家温馨提示：空气污染指数在100以下适合做户外运动，请根据以上信息，估计该市居民一年（以365天计）中有多少天适合做户外运动？24．在2018年梧州市体育中考中，每名学生需考3个项目（包括2个必考项目与1个选考项目）每个项目20分，总分60分．其中必考项目为：跳绳和实心球；选考项目：A篮球、B足球、C排球、D立定跳远、E50米跑，F女生800米跑或男生1000米跑．某兴趣小组随机对同学们的选考项目做了调查，根据调查结果绘制了两幅不完整的条形统计图与扇形统计图．结合图中信息，回答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了名学生，扇形统计图中C对应的圆心角的度数为；（2）在本次调查的必考项目的众数是；（填A、B、C、D、E、F选项）（3）选考项目包括球类与非球类，请用树状图或列表法求甲、乙两名同学都选球类的概率．25．已知抛物线C1：y＝﹣x2+bx+3与x轴的一个交点为（1，0），顶点记为A，抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称．（1）求抛物线C2的函数表达式；（2）若抛物线C2与x轴正半轴的交点记作B，在x轴上是否存在一点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A C B C A C D A D A C 二、填空题13．a（x+a）214．16 515．2n﹣1，016．17．18．5x>-三、解答题19．-8【解析】【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式计算，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【详解】原式＝a2﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2+8b2＝4ab，当a＝﹣6，b＝13时，原式＝﹣8．【点睛】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．紫云楼的高AB为39米．【解析】【分析】根据已知条件得到AB＝BC，过H作HN⊥AB于N，交FG于P，设AB＝BC＝x，则HN＝BM＝x+5.4+0.6＝x+6，AN＝x﹣1.5，FP＝0.5，PH＝GM＝0.6，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵CD⊥BM，FG⊥BM，CE＝2，CD＝2，∴AB＝BC，过H作HN⊥AB于N，交FG于P，设AB＝BC＝x，则HN＝BM＝x+5.4+0.6＝x+6，AN＝x﹣1.5，FP＝0.5，PH＝GM＝0.6，∵∠ANH＝∠FPH＝90°，∠AHN＝∠FHP，∴△ANH∽△FPH，∴AN NH PF PH =，即 1.560.50.6x x -+=， ∴x ＝39，∴紫云楼的高AB 为39米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键． 21．建筑物AD 的高度约为17.1米． 【解析】 【分析】延长EC 交AB 于F ，作EM ⊥AD 于M ，根据坡比的定义求出,BF CF ,根据正切的定义求出DM ,计算即可. 【详解】解：延长EC 交AB 于F ，作EM ⊥AD 于M ，如下图所示：则四边形MAFE 为矩形， ∴MA ＝EF ，ME ＝AF ，∵斜坡BC 的坡度13i ＝：，BC ＝6， ∴CF ＝3，33 5.19BF ≈＝， ∴15.19 4.3ME AF EF ＝＝，＝，在Rt DEM △中，DMtan DEM ME∠＝， ∴•15.190.8412.76DM ME tan DEM ∠≈⨯＝＝ ，∴ 4.312.7617.0617.1AD DM AM ++≈＝＝＝， 答：建筑物AD 的高度约为17.1米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题关键.22．（1）31+；（2）5x =. 【解析】 【分析】（1）根据整数指数幂的运算以及特殊三角函数值计算即可； （2）根据解分式方程的步骤解即可，注意要验根. 【详解】（1）()112cos3020192π-⎛⎫---- ⎪⎝⎭=321+22⨯-， =31+； （2）4501x x-=- ， 去分母得：4x-5(x-1)=0 去括号得，4x-5x+5=0 移项得，4x-5x=-5， 合并，得：-x=-5， 系数化为1，得：x=5.经检验，x=5是原分式方程的解. 【点睛】本题主要考查了实数的运算以及解分式方程，计算时一定要细心，分式方程要检验. 23．（1）见解析；（2）见解析；（3）219天． 【解析】 【分析】（1）由题意，可得轻度污染的天数，即可补全条形统计图.（2）由题意，得优所占的圆心角的度数为：3÷30×360=36°，良所占的圆心角的度数为：15÷30×360=180°，轻度污染所占的圆心角的度数为：12÷30×360=144°. （3）由18÷30得出每天适合做户外运动的概率，再由得出的概率乘以365即可得到答案. 【详解】解：（1）由题意，得轻度污染的天数为：30﹣3﹣15=12天．（2）由题意，得优所占的圆心角的度数为：3÷30×360=36°，良所占的圆心角的度数为：15÷30×360=180°，轻度污染所占的圆心角的度数为：12÷30×360=144°（3）该市居民一年（以365天计）适合做户外运动天数为：18÷30×365=219天．【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图，解题的关键是读懂条形统计图和扇形统计图中包含的信息.24．（1）50，108°；（2）C；（3）1 4【解析】【分析】（1）用足球的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，用360°乘以C所占的百分比得到C的扇形圆心角度数；（2）根据众数的定义求解可得；（3）画树状图展示所有36种等可能的结果数，找出都选球类的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：（1）5÷10%＝50名，答：在这次调查中，一共调查了50名学生，扇形统计图中C对应的圆心角的度数为360×1550＝108°，（2）在本次调查的必考项目的众数是C；（3）画树状图如图所示，共有36种等可能的结果，甲、乙两名同学都选球类的有9种情况，∴则P（甲、乙两名同学都选球类）＝936＝14．【点睛】本题主要考查数据统计里的知识，关键在于根据树状图计算概率.这道题的综合性比较强，是考试的热点问题,应当熟练掌握.25．（1）y＝﹣x2+2x+3；(2) 点P坐标为（﹣5，0）或（3﹣42，0）或（3+42，0）或（﹣1，0）【解析】【分析】（1）把点（1，0）代入y＝﹣x2+bx+3，解得b＝﹣2，所以抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x+3，由抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称．所以抛物线C2的函数表达式y＝﹣（x﹣1）2+4；（2）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，所以B（3，0），OB＝3，A（﹣1，4），AB＝42，①当AP＝AB＝42时，PB＝8，P1（﹣5，0）②当BP＝AB＝42时，P2（3﹣42，0），P3（3+42，0）③当AP＝BP时，点P在AB垂直平分线上，PA＝PB＝4，P4（﹣1，0）．【详解】解：（1）把点（1，0）代入y＝﹣x2+bx+3，﹣1+b+3＝0，解得b＝﹣2∴抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x+3，∴抛物线C1顶点坐标A（﹣1，4），与y轴交点（0，3），∵抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称．∴抛物线C2的函数表达式y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；（2）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴B（3，0），OB＝3，∵A（﹣1，4），∴AB＝42，①当AP＝AB＝42时，PB＝8，∴P1（﹣5，0）②当BP＝AB＝42时，P2（3﹣42，0），P3（3+42，0）③当AP＝BP时，点P在AB垂直平分线上，∴PA＝PB＝4，∴P4（﹣1，0）综上，点P坐标为（﹣5，0）或（3﹣42，0）或（3+42，0）或（﹣1，0）时，△PAB为等腰三角形．【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．三角形 B ．菱形 C ．角 D ．平行四边形 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A．B ．C ．D．3．在直角坐标系中，一个图案上各个点的横坐标和纵坐标分别减去正数a （a ＞1），那么所得的图案与原图案相比（ ）A ．形状不变，大小扩大到原来的a 倍B ．图案向右平移了a 个单位长度C ．图案向左平移了a 个单位长度，并且向下平移了a 个单位长度D ．图案向右平移了a 个单位长度，并且向上平移了a 个单位长度 4．如图所示的几何体的俯视图是( )A. B. C. D.5．若代数式42x -的值与0(1)-互为相反数，则x =（ ） A ．1B ．2C ．2-D ．46．若整数a 使关于x 的不等式组()222233a xx x x +⎧≥-⎪⎪⎨⎪-->⎪⎩的解为2x <，且使关于x 的分手方程15444x a x x -++=---的解为正整数，则满足条件a 的的值之和为（ ） A ．12 B ．11 C ．10 D ．97．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝8，将△ABC 折叠，使B 点与AC 的中点D 重合，折痕为EF ，则线段BF 的长是（ ）A．53B．2 C．166D．73168．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝2，x2＝4，则m+n的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．29．如图，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA交⊙O的切线BC于点C，交AB于点D．已知∠OAB＝20°，则∠OCB 的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°10．计算a2•（a2）3的结果是（）A.a7B.a10C.a8D.a1211．如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα＝34，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，则小山岗的高AB是（）（结果取整数，参考数据：sin26.6°＝0.45，cos26.6°＝0.89，tan26.6°＝0.50）A.300米B.250米C.400米D.100米12．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（）A．b2＞4acB．ax2+bx+c≥﹣6C．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根分别为﹣5和﹣1D ．若点（﹣2，m ），（﹣5，n ）在抛物线上，则m ＞n二、填空题13．问题背景：如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转60°得到ADE ∆，DE 与BC 交于点P ，可推出结论：PA PC PE +=问题解决：如图，在MNG ∆中，6MN =，75M ∠=︒，42MG =．点O 是MNG ∆内一点，则点O 到MNG ∆三个顶点的距离和的最小值是___________14．在实数范围内分解因式4m 4﹣16=_____．15．如图是一组有规律的图案，第个图案由个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n （n 是正整数）个图案中由____个基础图形组成．16．某学校准备购买某种树苗，有A ，B ，C 三家公司出售．查阅有关信息：A ，B ，C 三家公司生产该树苗的成活频率分别稳定在0.902，0.913，0.899，该学校选择成活概率大的树苗，应该选择购买_____公司．17．如图，△ABC 是直角三角形，AB 是斜边，AC ＝3，AB ＝5，AB 的垂直平分线分别交BC ，AB 于D ，E ，则BD 的长为_____．18．如图，正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 为⊙B 上的动点，则PD+12PC 的最小值等于_____．三、解答题19．如图，一次函数y ＝kx+b 的图象与坐标轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数y ＝m x的图象在第一象限的交点为C ，CD ⊥x 轴于D ，若OB ＝3，OD ＝6，△AOB 的面积为3．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）当x ＞0时，比较kx+b 与m x的大小．20．化简：（1）a （a ﹣b ）﹣（a+b ）（a+2b ）；（2）2233222a a a a a a -⎛⎫÷-- ⎪++⎝⎭21．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，O 点在BC 边上，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，连接BD 、CD ，过点D 作BC 的平行线，与AB 的延长线相交于点P ．（1）求证：PD 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝3，AC ＝4，求线段PB 的长．22．在平面直角坐标系xOy 中. 已知抛物线22y ax bx a =++-的对称轴是直线x=1.（1）用含a 的式子表示b ，并求抛物线的顶点坐标；（2）已知点()0,4A -，()2,3B -，若抛物线与线段AB 没有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围；（3）若抛物线与x 轴的一个交点为C （3，0），且当m x n ≤≤时，y 的取值范围是6m y ≤≤，结合函数图象，直接写出满足条件的m ，n 的值.23．如图,在平面直角坐标系中,直线y=34x+6与x 、y 轴分别交于点A,点B,双曲线的解析式为k y x=(1)求出线段AB的长(2)在双曲线第四象限的分支上存在一点C,使得CB⊥AB,且CB=AB,求k的值;(3)在(1)(2)的条件下,连接AC,点D为BC的中点,过D作AC的垂线BF,交AC于B,交直线AB于F,连AD,若点P为射线AD上的一动点,连接PC、PF,当点P在射线AD上运动时,PF2-PC2的值是否发生改变?若改变,请求出其范围;若不变,请证明并求出定值。

2019重庆中考数学试卷(含答案)

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重庆市2019年初中学业水平暨高中招生考试试卷数 学（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项:1．认题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅绪答题卡上的注意事项；3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签牛笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．参考公式：抛物线()02≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b ac a b 44,22，对称轴为a b 2x -= 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为DC B A 、、、的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡．．．上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．下列各数中，比1-小的数是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．-22．如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，△ABO ∽△CDO ，若6=BO ，3=DO ，2=CD ，则AB 的长是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 与⊙O 交于点D ，连结OD ．若︒=∠50C ，则∠AOD 的度数为（ ） A.︒40B ．︒50C ．︒80D ．︒1005．下列命题正确的是（ ）A ．有一个角是直角的平行四边形是矩形B ．四条边相等的四边形是矩形3题图4题图2题图C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形6．估计()123+623⨯的值应在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间7．《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其23的钱给乙．则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则可建立方程组为（）A．15022503x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B．15022503x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C．15022503x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩D．15022503x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩8．按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（）A．11m n==，B．10m n==，C．12m n==，D．21m n==，9．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数(0,0)ky k xx=>>的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（）A．16 B．20 C．32 D．409题图8题图10题图12题图10．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i=1:24的山坡AB上发现有一棵占树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC=26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED=48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（）（参考数据：sin48°≈0.73，cos8°≈0.67，tan48°≈1.11）A．17.0米B．21.9米C．23.3米D．33.3米11．若关于x的一元一次不等式组11(42)42 3122x axx⎧--≤⎪⎪⎨-⎪<+⎪⎩的解集是x≤a，且关于y的分式方程24111y a yy y---=--有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．0 B．1 C．4 D．612．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC′沿BD翻折，得到△BDC'，DC与AB交于点E，连结AC'，若AD=AC=2，BD=3则点D到BC的距离为（）A．233B．7213C．7D．13二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡．．．中对应的横线上．13．计算：=+1-213-）（）（π．14．今年五一节期间，重庆市旅游持续火爆，全市共接待境内外游客超过25600000人次，请把数25600000用科学记数法表示为．15．一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为．16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC=60°，AB=2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）17．某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲的手机落在公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲．乙刚出发2分钟时，甲也发现自己手机落在公司，立刻按原路原速骑车回公司，2分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回公司，甲继续原路原速赶往某小区送物件，甲乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示（乙给甲手机的时间忽略不计）．则乙回到公司时，甲距公司的路程是米．16题图17题图20题图18．在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连增加经济收人，经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比4:3:5，是根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的169种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的4019．为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到3:4，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是 ．三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．计算：（1）)2(2y x y y x +-+）（ （2）292492--÷--+a a a a a ）（20．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上的中点，连结AD ，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E作EF ∥BC 交AB 于点F ．（1）若∠C =36°，求∠BAD 的度数．（2）若点E 在边AB 上，EF //AC 叫AD 的延长线于点F ．求证：FB =FE ．21．每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心秩首．今年某校为确保学生安全，开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x≤85，B．85≤x≤90，C．90≤x≤95，D．95≤x≤100），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：90，80，90，86，99，96，96，100，89，82八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是:94，90，94八年抽取的学生竞赛成绩扇形统计图七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数92 92中位数93 b纵数c100方差52 50．421题图根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述图表中a，b，c的值；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）该校七、八年级共730人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≧90）的学生人数是多少？22．《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数—“纯数”．定义；对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24＋25时，个位产生了进位．（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；（2）求出不大于100的“纯数”的个数．321-=x y 23．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题＂的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义⎩⎨⎧-≥=)0()0(＜a a a a a ．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数b kx y +-=3中，当2=x 时，；4-=y 当0=x 时，.1y -=（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法面出这个函数的图象井写出这个函数的一条性质； （3）已知函321y -=x 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式3213-≤+-x b kx 的解集．24．某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费． （1）该小区每月可收取物管费90 000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次括动．为提离大家的积扱性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加%2a ，每户物管费将会减少%103a ；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加%6a ，每户物管费将会减少%41a ．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少%185a ，求a 的值．25．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，连结AE ，EM ⊥AE ，垂足为E ，交CD 于点M ，AF ⊥BC ，垂足为F ，BH ⊥AE ，垂足为H ，交AF 于点N ，点P 显AD 上一点，连接CP ． （1）若DP =2AP =4，CP =17，CD =5，求△ACD 的面积． （2）若AE =BN ，AN =CE ，求证：AD =2CM +2CE ．四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程成或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解作过程书写在答题卡中对应的位置上．26．如图，在平面在角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴交与点A，B（点A在点B的左侧）交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+13PC的最小值；（2）在（1）中，当MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值时，把点P向上平移个22单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O瓶时针旋转一定的角度α（0°<α<360°），得到△AOQ，其中边AQ交坐标轴于点C在旋转过程中，是否存在一点G使得OGQQ''∠=∠？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2。

重庆市2019届中考一轮《1.4数的开方与二次根式》讲解含答案

重庆市2019届中考一轮《1.4数的开方与二次根式》讲解含答案

第四节 数的开方与二次根式了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算，1．二次根式定义：形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式．其中a 叫被开方数． 2．二次根式的性质：(1) a （a ≥0）具有双重非负性，一是a ≥0，二是a ≥0．(2)2)()0(a a a =≥(3)2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩3．二次根式的有关概念(1)最简二次根式：满足下列两个“不含”条件的二次根式是最简二次根式．①被开方数中不含分母 ，分母中也不含二次根式：②被开方数中不含能 开得尽方的因数或因式．(2)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同 ，则把这几个二次根式叫做同类二次根式．4．二次根式的运算：(1)加减运算：在二次根式加减运算中，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．二次根式的加减实质是 合并同类二次根式 ． (2)乘除运算：0,0)0)((a aab a ab b a o b b=≥≥=≥>；，b ，(3)运算顺序：先算乘方 ，再算 乘除 ，最后算加减 ，如果有 括号 ，就先算 括号 里的．实数中的运算律及乘法公式在二次根式中同样适用．考点一 根式的性质【例1】(1)（2019滨州）如果式子26x +有意义，那么x 的取值范围在数轴上表示出来，正确的是 ( )2·1·c ·n ·j ·y【答案】C(2)已知2(3)20x y x y -+++=，则x+y 的值为 （ ）A ．0B ．-1C ．1D ．5解题点拨：本题考查的知识点为：二次根式有意义则二次根式的被开方数是非负数． 【答案】C考点二 根式的运算【例2】(1)（2019龙岩）与5-是同类二次根式的是 （ ） A ．10 B ．15 C ．20 D ．25 【答案】C(2)（2019南充）下列计算正确的是 ( ) A ．1223= B ．3322= C ．2x x x -=- D ．2x x = 【答案】Ａ(3)下列运算中，错误的有 ( )个 ①2551114412=，②93=±，③822÷=，④1111916254520+=+=. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C (4)（2019泰州）1112(32)23-+ 解题点拨：先化简成最简根式，再合并，【答案】解：原式=3(32)3322-+=--=- 考点三 根式的化简【例3】(1)当l<x<4时，化简22(4)(1).x x ---(2)a 、b 、c 在数轴上对应点如图，化简22().a a b c -++-解题点拨：利用二次根式的非负性这一性质去进行根式的化简时，注意符号运算． 【答案】解：(1) ∵1<x<4,∴x-4<0，x-1>0, ∴22(4)(1)4125x x x x x ---=--+=-+． (2)由数轴可知，0<a<1，c<b<-1， ∴-a<0，a+b<0，c<0∴22()a a b c a b c b a c =--+=+--++-.A 组 基础训练1．（2019白贡）若代数式1.x x-有意义，则x 的取值范围是 ( ) A ．x ≥l B ．x ≤1且x ≠0 C ．x ≠1 D ．x ≠0 【答案】A2．（2019巴中）下列二次根式中，与 3.是同类二次根式的是 ( )A. 18B. 13C ．24D ．0.3 【答案】B3．若4422x x y -+-=-则()yx y += .【答案】144．计算：(1)，1112327-+． 【答案】解：原式1639=． (2) 22232()()323-- 【答案】解：原式=0．(3) 2(2332)-．【答案】解：原式= 30126-(4)22(77)(77)+--【答案】解：原式=287．一、选择题1．下列运算中错误的是 ( ) A ． 235+= B ． 236⨯= C ． 822÷= D ．2 (3)3-=【答案】A2．化简：341()(1)32a a a a -+---的结果等于 ( ) A ．a-2 B ．a+2 C ．2 3a a -- D ．32a a --【答案】B 3．已知5151,22x y -+==，则22x xy y ++的值为( ) A ．2 B ．4 C ．5 D ．7【答案】B4．（2019孝感）已知23x =-，则代数式2(743)(23)3x x ++++的值是 ( )A ．0B ．石C ．2+再D ．2 -万 【答案】C 二、填空题 5．在函数12x y x -=+中，x 的取值范围是 ． 【答案】x>-26．（2019日照）若2(3) 3x x -=-，则x 的取值范围是 【答案】3x ≤7．已知1232,32x x =+=-，则2212x x += ．【答案】10 三、解答题8．计算：(1)0116-(-)-23603sin π°．【答案】解：原式=341232--⨯= 4-1-3 =0． (2) (321)(321)+--+． 【答案】解：原式=22[3(21)][3(21)](3)(21)3(2221)3222122+---=--=--+=-+-=(3)011231(21)()3--+-- 【答案】解：原式=231133-+-=9．（2019桂林）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式一海伦公式()()()s p p a p b p c =---（其中a ，b ，c 是三角形的三边长，2a b cp ++=，s 为三角形的面积） 例如：在△ABC 中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算： ∵a=3,b=4,c=5. ∴ 2a b cp ++==6 ∴()()()63216s p p a p b p c =---=⨯⨯⨯=．如图，在△ABC 中，BC=5，AC=6，AB=9， (1)用海伦公式求△ABC 的面积； (2)求△ABC 的内切圆半径r ．【答案】解：(1) ∵BC=5，AC=6，AB=9， ∴5691022BC AC AB p ++++===∴()()()10541102s p p a p b p c =---=⨯⨯⨯=故△ABC 的面积102： (2) ∵1()2s r AC BC AB =++,∴()11025692r =++， 解得：2r =，故△ABC 的内切圆半径2r =．B 组提高训练10．(2019乐山)在数轴上表示实数a 的点如图所示，化简2(5)2a a -+-的结果为 ( ) A ．-7 B ．-3 C ．7 D ．3（提示：由圈可知2<a<5，原式=-(n-5)+a-2=3．） 【答案】D11．当a<1时，化简3(1)a a --的结果是 ． （提示：∵a<1, ∴a<0，原式=(1)(1)a a a a a a --=--．）【答案】(1)a a a -- 12．观察下列运算11212=-++，12323=-++，13434=-++，…，12013201420132014=-++利用上面的规律计算 1111()(12014)12233420132014⋯+++++++++.【答案】解∵11212=-++，12323=-++，13434=-++，…，12013201420132014=-++∴原式(122334201320142014-+-+-++2…-）＝（）-1＝20132019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1，3)，将点A 绕原点O 顺时针旋转90°得到点A′，则点A′的坐标是( ) A.(﹣3，1) B.(3，﹣1) C.(﹣1，3)D.(1，﹣3)2．如图，已知平行四边形的对角线交于点.2cm BD =，将AOB 绕其对称中心旋转180︒.则点所转过的路径长为( )km.A ．B ．C ．D ．3．一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，这个多边形的内角和是（ ） A ．360° B ．540°C ．180°或360°D ．540°或360°或180°4．式子﹣3ax -（a ＞0）化简的结果是（ ） A ．x ax -B ．﹣x ax -C ．x axD ．﹣x ax5．在直角坐标系中，一个图案上各个点的横坐标和纵坐标分别减去正数a （a ＞1），那么所得的图案与原图案相比（ ）A ．形状不变，大小扩大到原来的a 倍B ．图案向右平移了a 个单位长度C ．图案向左平移了a 个单位长度，并且向下平移了a 个单位长度D ．图案向右平移了a 个单位长度，并且向上平移了a 个单位长度6．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为x ＝﹣1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a+b ＝0；③a ﹣b+c ＝0；④5a ＜b ．其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个7．点G 为△ABC 的重心（△ABC 三条中线的交点），以点G 为圆心作⊙G 与边AB ，AC 相切，与边BC 相交于点H ，K ，若AB ＝4，BC ＝6，则HK 的长为（ ）A ．353B ．2133C ．352D ．1328．分式方程13125xx -=-+的解是（ ）A ．6x =-B ．6x =C ．65x =-D ．65x =9．下面的统计图表示某体校射击队甲、乙两名队员射击比赛的成绩，根据统计图中的信息，下列结论正确的是（ ）A ．甲队员成绩的平均数比乙队员的大B ．乙队员成绩的平均数比甲队员的大C ．甲队员成绩的中位数比乙队员的大D ．甲队员成绩的方差比乙队员的大10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，若∠BAC ＝20°，则∠ADC 的度数是( )A ．90°B ．100°C ．110°D ．130°11．已知在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 是边BC 的中点，BC 的延长线上的点N 满足AM ⊥AN ．△ABC 的内切圆与边AB 、AC 的切点分别为E 、F ，延长EF 分别与AN 、BC 的延长线交于P 、Q ，则PNQN＝（ ） A ．1 B ．0.5C ．2D ．1.512．分式方程22111x x x -=--，解的情况是（ ） A ．x ＝1 B ．x ＝2C ．x ＝﹣1D ．无解二、填空题13．一组按规律排列的式子：2a ，25a -，310a ，417a -，526a，…，其中第7个式子是_____，第n 个式子是_____(用含的n 式子表示，n 为正整数)．14．已知方程x 2－mx －3m ＝0的两根是x 1、x 2，若x 1＋x 2＝1，则 x 1x 2＝_______．15．计算：2cos60°﹣（3+1）0＝_____．16．如图，点C 在⊙O 上，将圆心角∠AOB 绕点O 按逆时针方向旋转到∠A′OB′，旋转角为α（0°＜α＜180°），若∠AOB=30°，∠BCA′=20°，且⊙O 的半径为6，则AB'的弧长为______．（结果保留π）．17．若关于x 的一元二次方程240x x a ++=有两个相等的实数根，则a 的值是______． 18．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交，若∠BCD ＝24°，则∠ABD 的度数为___度．三、解答题19．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径作O ，交AC 于点D .过点D 作O 的切线DE ，交BC 于点E .（1）求证：EB EC =.（2）填空：①当BAC ∠=_________︒时，CDE ∆为等边三角形； ②连接OD ，当BAC ∠=_________︒时，四边形OBED 是菱形.20．随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次统计共抽查了 名学生，在扇形统计图中“QQ”的扇形圆心角的度数为 ； （2）将条形统计图补充完整；（3）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．21．某校为了了解学生的安全意识，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制成如下两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次调查一共抽取了名学生，将条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中，“较强”层次所占圆心角的大小为°；（3）若该校有1800名学生，现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育，根据调查结果，请你估计全校需要强化安全教育的学生人数．22．为了解八年级学生双休日的课外阅读情况，学校随机调查了该年级25名学生，得到了一组样本数据，其统计表如下：八年级25名学生双休日课外阅读时间统计表阅读时间1小时2小时3小时4小时5小时6小时人数 3 4 6 3 2（1）请求出阅读时间为4小时的人数所占百分比；（2）试确定这个样本的众数和平均数．23．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB=∠DCE．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若tan∠ACB=12，BC=4，求⊙O的半径．24．4cos60°+（﹣1）2019﹣|﹣3+2|25．某企业接到一批帽子生产任务，按要求在20天内完成，约定这批帽子的出厂价为每顶8元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小华第x 天生产的帽子数量为y 顶，y 与x 满足如下关系式：y ＝20(05)10100(520)x x x x ⎧⎨+<⎩剟…（1）小华第几天生产的帽子数量为220顶？（2）如图，设第x 天每顶帽子的成本是P 元，P 与x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若小华第x 天创造的利润为w 元，求w 与x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？ （3）设（2）小题中第m 天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m 天的利润至少多49元，则第（m+1）天每顶帽子至少应提价几元？【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D D A C B A B D C A D二、填空题13．750a 211 (1)n n n a++-⋅ 14．－3 15．0 16．103π 17． 18．66 三、解答题19．（1）详见解析；（2）45BAC ∠=︒ 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质，证1C ∠=∠，得DE CE =，EB EC =.（2）根据等边三角形性质可推出；根据菱形性质进行分析即可.【详解】证明：（1）如图，连接OD .∵BE 是O 的切线，DE 是O 的切线，∴DE BE =，90B ODE ∠=∠=︒，∴90C A ∠+∠=︒，1290∠+∠=︒.∵OA OD =，∴2A ∠=∠，∴190A ∠+∠=︒，∴1C ∠=∠，∴DE CE =，∴EB EC =.（2）①若CDE ∆是等边三角形，∴60C ∠=°，∵90B ∠=︒，∴30BAC ∠=︒.②若四边形OBED 是菱形，∵90ODE B ∠=∠=︒，∴90AOD ∠=︒.∵AO OD =，∴45BAC ∠=︒.【点睛】考核知识点：切线的性质，多边形性质.掌握圆的基本性质是关键.20．（1）100，108°；（2）补图见解析；（3）13 【解析】【分析】（1）由20÷20%可得这次统计共抽查人数，根据圆心角公式可得结果；（2）先求喜欢用短信的人数，再画图；（3）用树状图方法求概率.【详解】解：（1）20÷20%＝100；所以这次统计共抽查了100名学生； 在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数＝360°×30100＝108°； （2）喜欢用短信的人数为：100×5%＝5人，补充图形，如图所示：（3）画树状图为：共有9种等可能的结果数，甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数为3，所以恰好选用“微信”联系的概率＝39＝13．【点睛】考核知识点：从统计图表获取信息，求概率.21．（1）200；（2）108；（3）450.【解析】【分析】（1）由安全意识为“很强”的学生数除以占的百分比得到抽取学生总数，再用总人数分别减去安全意识“淡薄”、“一般”、“很强”的人数，得出安全意识为“较强”的学生数，补全条形统计图即可；（2）用360°乘以安全意识为“较强”的学生占的百分比即可；（3）由安全意识为“淡薄”、“一般”的学生占的百分比的和，乘以1800即可得到结果．【详解】（1）调查的总人数是：90÷45%＝200（人）．安全意识为“很强”的学生数是：200﹣20﹣30﹣90＝60（人）．条形图补充如下：故答案为：200；（2）“较强”层次所占圆心角的大小为：360°×60200＝108°．故答案为108；（3）根据题意得：1800×2030200+＝450（人），则估计全校需要强化安全教育的学生人数为450人【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体．22．（1）28%；（2）众数4小时；平均数3.36小时【解析】【分析】（1）先求得阅读时间为4小时的人数，然后除以被调查的人数即可求得其所占的百分比；（2）利用众数及加权平均数的定义确定答案即可．【详解】（1）阅读量为4小时的有25﹣3﹣4﹣6﹣3﹣2=7，所以阅读时间为4小时的人数所占百分比为725⨯100%=28%；（2）阅读量为4小时的人数最多，所以众数为4小时，平均数为（1×3+2×4+3×6+4×7+5×3+6×2）÷25=3.36（小时）．【点睛】本题考查了确定一组数据的加权平均数和众数的能力，比较简单．23．（1）直线CE与⊙O相切，理由详见解析；（2）35 4【解析】【分析】（1）连接OE，由四边形ABCD是矩形，得到∠3=∠1，∠2+∠5=90°，而OA=OE，∠1=∠2，所以∠3=∠4，∠4=∠2，故∠4+∠5=90°得到∠OEC=90°，根据切线的判定定理即得到CE是⊙O的切线；（2）作OG⊥AE交线段AE于G点，根据tan∠ACB=12先求出AB的长度和DE的长度，然后分别求出AG和OG的长度，利用勾股定理求出OA的长度即可解答. 【详解】（1）直线CE与⊙O相切．证明：如图，连接OE，∵矩形ABCD中，BC∥AD，∴∠1=∠3．又∠1=∠2， ∴ ∠2=∠3．则∠3=∠4．∴ ∠2=∠4．∵ ∠2+∠5=90°， ∴ ∠4+∠5=90°．∴ ∠OEC=90°，即OE ⊥CE ， ∴ 直线CE 与⊙O 相切．（2）解：∵ tan ∠ACB=AB BC =12， BC=4． ∴ AB=BC·tan ∠ACB=2．又 ∠1=∠2．∴ DE=DC·tan ∠DCE= DC·tan ∠ACB= 1．过点O 作OG ⊥AE 于点G ，则 AG=12AE=32． ∵ OG=AG·tan∠DAC= AG·tan∠ACB =32×12=34， ∴ OA=22OG AG +=223342⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=354． 【点睛】本题考查了解直角三角形和圆与直线的位置关系，准确识图是解题的关键.24．0【解析】【分析】本题涉及绝对值、特殊角的三角函数值2个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】 解：原式＝4×12﹣1﹣|﹣1|＝2﹣1﹣1＝0． 【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．（1）小华第12天生产的帽子数量为220顶；（2）当x ＝14时，w 有最大值，最大值为576元；（3）第15天每顶帽子至少应提价0.2元．【解析】【分析】（1）把220y =代入10100y x =+，解方程即可求得；（2）根据图象求得成本p 与x 之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W 与x 的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；（3）根据（2）得出115m +=，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a 与利润w 的关系式，再根据题意列出不等式求解即可【详解】解：（1）若20220x =，则11x =，与05x ≤≤不符，∴10100220x +=，解得:12x =，故第12天生产了220顶帽子；（2）由图象得，当010x ≤≤时， 5.2P =；当1020x ≤＜时，设0p kx b k =+≠（），把105.2206.2（，）,(，）代入上式，得 10 5.220 6.2k b k b +=⎧⎨+=⎩ ， 解得，0.14.2k b =⎧⎨=⎩， ∴0.1 4.2p x =+①05x ≤≤时，(8)20(8 5.2)56w y p x x =-=-=当5x =时，w 有最大值为280w =（元）②510x ≤＜时，(8)1010085.2)28280w y p x x =-=+⨯=+（）（﹣，当10x =时，w 有最大值，最大值为560（元）；③1020x ≤＜时，2(8)1010080.1 4.2[]28380w y p x x x x =-=+=--+++（）（） 当14x =时，w 有最大值，最大值为576（元）．综上，当14x =时，w 有最大值，最大值为576元．（3）由（2）小题可知，14115m m =+=，，设第15天提价a 元，由题意得 (8)1010080.1 4.22502.[]3w y a p x a x a ==+-=++-++（）（）（）∴2502.3)57649a +-≥（ ∴0.2a ≥答：第15天每顶帽子至少应提价0.2元．【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列运算正确的是（ ）A.a 5﹣a 3＝a 2B.6x 3y 2÷（﹣3x ）2＝2xy 2C.2212a 2a -= D.（﹣2a ）3＝﹣8a 3 2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△ABC ，M 是BC 的中点，P 是A’B’的中点，连接PM ．若BC ＝4，∠BAC ＝30°，则线段PM 的最大值是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．53．在一个不透明的袋子中放有a 个球，其中有6个白球，这些球除颜色外完全相同，若每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子.通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则a 的值约为（ ）A.10B.15C.20D.24 4．不等式组20215x x -⎧⎨-⎩＞＜ 的解是（ ） A ．x ＞2 B ．x ＜3 C ．2＜x ＜3 D ．2＜x ＜65．如图，用四个直角边分别是6和8的全等直角三角形拼成“赵爽弦图”，随机往大正方形区域内投针一次，则针扎在小正方形EFGH 内的概率是（）A ．14B ．16C ．124D ．1256．如图，射线BM 与O 相切于点B ，若150MBA =∠，则cos ACB ∠的值为（ ）A ．12B ．22C ．32D ．33 7．若2230x px q -+=的两根分别是3-与5，则多项式2246x px q -+可以分解为（ ）A ．()()35x x +-B ．()()35x x -+C ．()()235x x +-D ．()()235x x -+8．如图，⊙C 经过原点且与两坐标轴分别交于点 A 与点 B ，点 B 的坐标为 (3,0)-，M 是圆上一点，∠BMO=120°．⊙C 的圆心C 的坐标是( )A ．31(,)22B ．31(,)22-C ．31(,)22-D ．31(,)22-- 9．已知坐标平面内一点A(2，1)，O 为原点，B 是x 轴上一个动点，如果以点B ，O ，A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点B 的个数为( )A.2个B.3个C.4个D.5个10．如图，在长方形ABCD 中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC 折叠，则重叠部分△AFC 的面积为（ ）A.12B.10C.8D.611．如图，在矩形ABCD 中，AD=4AB -+4AB -+8，点M 在边AD 上，连接BM ，BD 平分∠MBC ，则AM MD的值为（ ）A.12B.2C.53D.3512．如图，在菱形ABCD 中，M ，N 分别在AB ，CD 上，且AM ＝CN ，MN 与AC 交于点O ，连接BO ．若∠DAC ＝26°，则∠OBC 的度数为( )A．54°B．64°C．74°D．26°二、填空题13．某校校门口有一个底面为等边三角形的三棱柱（如图）．学校计划在三棱柱的侧面上，从顶点A绕三棱柱侧面一周到顶点'A安装灯带，已知此三棱柱的高为5m，底面边长为2m，则灯带的长度至少为____m．14．抛物线y=（2x﹣1）2+t与x轴的两个交点之间的距离为4，则t的值是_____．x 有意义，则字母x的取值范围是．15．若516．如图，在反比例函数图象中，△AOB是等边三角形，点A在双曲线的一支上，将△AOB绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜360° ），使点A仍在双曲线上，则α＝_____．17．如图，四边形ABCD是菱形，AB=2，∠ABC=30°，点E是射线DA上一动点，把△CDE沿CE折叠，其中点D的对应点为点D′，若CD′垂直于菱形ABCD的边时，则DE的长为_____．18．2017年无锡市国内生产总值(GDP)达到10500亿元，成为全国第14个突破万亿元的城市，数据10500亿元用科学记数法可表示为_____亿元．三、解答题19．在一块直角三角形的废料上，要裁下一个半圆形的材料，并且要半圆的直径在斜边AB上，且充分利用原三角形废料．（1）试画出你的设计（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）（2）若AC=4，BC=3，试计算出该半圆形材料的半径．20．某网店经营一种品牌水果，其进价为10元/千克，保鲜期为25天，每天销售量y (千克)与销售单价x (元/千克)之间的函数关系如图所示.(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当该品牌水果定价为多少元时，每天销售所获得的利润最大？(3)若该网店一次性购进该品牌水果3000千克，根据(2)中每天获得最大利润的方式进行销售，发现在保鲜期内不能及时销售完毕，于是决定在保鲜期的最后5天一次性降价销售，求最后5天每千克至少降价多少元才能全部售完？21．如图，正方形ABCD 中，AB ＝25，O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE ＝2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE ，CF（1）如图1，求证：AE ＝CF ；（2）如图2，若A ，E ，O 三点共线，求点F 到直线BC 的距离．22．（1） 解方程: 2（x ﹣3）=3x （x ﹣3）（2）解不等式组475(1)2332x x x x -<-⎧⎪-⎨-⎪⎩… 23．在如图菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点．求证：OE ＝OF ．24．已知等腰ABC ∆中，AB AC =，EDF ∠的顶点D 在线段BC 上，不与,B C 重合.（1）如图①，若,DE AC DF AB ∥∥且点D 在BC 中点时，四边形AEDF 是什么四边形并证明？（2）将EDF ∠绕点D 旋转至如图②所示位置，若,,B C EDF BD m CD n α∠=∠=∠===，设BDE ∆的面积为1S ；CDF ∆的面积为2S ，求12S S ⋅的值（用含有,,m n α的代数式表示）.图① 图②25．如图，一次函数y ＝k 1x+b 的图象经过A （0，﹣2），B （1，0）两点，与反比例函数2k y x=的图象在第一象限内的交点为M ，若△OBM 的面积为2．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在x 轴上是否存在点P ，使AM ⊥MP ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【参考答案】***一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D B D C D C C C C BD B 二、填空题13．6114．-1615．x≥﹣5．16．30°、180°、210°17．233或23或23﹣2或23+2． 18．05×104三、解答题19．（1）答案见解析;(2)127. 【解析】【分析】 （1）作∠ACB 的角平分线交AB 于O ，过O 作OE ⊥AC 于E ，以O 为圆心，OE 为半径作圆交AB 于D 、F ．图中半圆即为所求．（2）作OH ⊥BC 于H ．首先证明OE=OH ，设OE=OH=r ，利用面积法构建方程求出r 即可．【详解】解：（1）作∠ACB 的角平分线交AB 于O ，过O 作OE ⊥AC 于E ，以O 为圆心，OE 为半径作圆交AB 于D 、F ．（2）∵OC 平分∠ACB ，OE ⊥AC ，OH ⊥BC ，∴OE=OH ，设OE=OH=r ，∵S △ABC =12•AC•BC=12•AC•r+12•BC•r， ∴r=127． 【点睛】本题考查作图-应用与设计，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，学会利用面积法构建方程解决问题．20．（1）10300y x =-+；（2）该品牌水果定价为20元时，每天销售所获得的利润最大；（3）最后5天每千克至少降价10元才能全部售完.【解析】【分析】（1）依据题意利用待定系数法可得出每天的销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间函数关系：y=-10x+300，（2）根据销售利润=销售量×（售价-进价），列出平均每天的销售利润w （元）与销售价x （元/千克）之间的函数关系式进行求解即可；（3）根据题意列出不等式[]20100510(20)3003000m ⨯+--+≥进行求解即可.【详解】 （1）设y kx b =+，将10,200（）和15,150（）代入y kx b =+得：20010,15015,k b k b =+⎧⎨=+⎩解得10,300k b =-⎧⎨=⎩，∴10300y x =-+；（2）设每天销售所获得的利润为W ,则(10)(10300)W x x =--+2104003000x x =-+-21020)1000x =--+（，∵10＜x ≤30，∴当20x =时，W 取最大值1000，答：该品牌水果定价为20元时，每天销售所获得的利润最大.（3）将20x =代入10300y x =-+，得100y =，设最后5天每千克一次性降价m 元，依题意得：[]20100510(20)3003000m ⨯+--+≥，解得10m ≥，所以最后5天每千克至少降价10元才能全部售完.【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）21．（1）详见解析；（2）点F 到直线BC 的距离为355． 【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得∠EDF ＝90°，DE ＝DF ，由正方形的性质可得∠ADC ＝90°，DE ＝DF ，可得∠ADE ＝∠CDF ，由“SAS”可证△ADE ≌△CDF ，可得AE ＝CF ；（2）由勾股定理可求AO 的长，可得AE ＝CF ＝3，通过证明△ABO ∽△CPF ，可得CF PF AO BO=，即可求PF 的长，即可求点F 到直线BC 的距离．【详解】证明：（1）∵将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，∴∠EDF ＝90°，DE ＝DF.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADC ＝90°，DE ＝DF ，∴∠ADC ＝∠EDF ，∴∠ADE ＝∠CDF ，且DE ＝DF ，AD ＝CD ，∴△ADE ≌△CDF （SAS ），∴AE ＝CF ，（2）解：如图2，过点F 作FP ⊥BC 交BC 延长线于点P ，则线段FP 的长度就是点F 到直线BC 的距离．∵点O是BC中点，且AB＝BC＝25，∴BO＝5，∴AO＝22AB BO+＝5，∵OE＝2，∴AE＝AO﹣OE＝3.∵△ADE≌△CDF，∴AE＝CF＝3，∠DAO＝∠DCF，∴∠BAO＝∠FCP，且∠ABO＝∠FPC＝90°，∴△ABO∽△CPF，∴CF PF AO BO=，∴355PF =，∴PF＝355，∴点F到直线BC的距离为355.【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明△ABO ∽△CPF是本题的关键．22．（1）x1=3或x2=23;（2）﹣2＜x≤245【解析】【分析】（1）把等号右边的式子移至等号左边，然后分解因式后利用因式分解法求解即可；（2）分别求出两个不等式的解集，然后求出公共部分即可．【详解】（1）解：原方程可化为：2(x-3)-3x(x-3)=0(x-3)(2-3x)=0∴x-3=0或2-3x=0解得：x1=3或x2=23；（2）解：475(1)2332x x x x -<-⎧⎪⎨--⎪⎩①②…， 解不等式①，得x ＞﹣2，解不等式②，得x≤245， 不等式组的解集是﹣2＜x≤245． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和解一元一次不等式组，根据方程的特点选择恰当的方法是解一元二次方程的关键，正确的求出两个不等式的解集是解一元一次不等式组的关键．23．证明见解析【解析】【分析】根据菱形ABCD ，可得AC ⊥BD ，所以可得△AOB 、△BOC 为直角三角形，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明OE ＝OF ．【详解】解：∵AC ⊥BD ，∴△AOB 、△BOC 为直角三角形，∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点，∴OE ＝12AB ，OF ＝12BC ， ∵AB ＝BC ，∴OE ＝OF ．【点睛】本题主要考查菱形的性质，应当熟练掌握，这是重点知识.24．（1）菱形；（2）2221sin 4n m α. 【解析】【分析】（1）根据菱形的判定方法进行证明即可；（2）首先证明△EBD ∽△DCF ，设BE=x ，CF=y ，可得xy=mn ，由S 1=12•mx•sin α，S 2=12nysin α，可得S 1•S 2=14（mn ）2sin 2α;【详解】（1）菱形，∵点D 为BC 的中点，且,DE AC DF AB ∥∥∴,DE DF 为三角形中位线， ∴11,,22DE AC DF AB ==∵,AB AC =∴DE=DF∵,DE AF DF AE ,∴AEDF 是平行四边形，∴AEDF 是菱形.（2）设BE=x ，CF=y ．∵∠EDC=∠EDF+∠FDC=∠B+∠BEF ，∠MDN=∠B ，∴∠BED=∠FDC ，∵∠B=∠C ，∴△BED ∽△CDF ， ∴BE BD CD CF=， ∴x m n y=， ∴xy mn =∵S 1=12•BD•BE•sin α=12mxsin α，S 2=12CD•CF•sin α=12ysin α， ∴1211sin sin 22S S mx ny αα⋅=⋅=2221sin 4n m α 【点睛】 本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积公式．锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.25．（1）12y x =；（2）是，P 的坐标为（11，0）. 【解析】【分析】（1）根据一次函数y= k 1x+b 的图象经过A （0，-2），B （1，0）可得到关于b 、k1的方程组，进而可得到一次函数的解析式，设M （m ，n ）作MD ⊥x 轴于点D ，由△OBM 的面积为2可求出n 的值，将M （m ，4）代入y=2x-2求出m 的值，由M （3，4）在双曲线y=2k x上即可求出k 2的值，进而求出其反比例函数的解析式；（2）过点M （3，4）作MP ⊥AM 交x 轴于点P ，由MD ⊥BP 可求出∠PMD=∠MBD=∠ABO ，再由锐角三角函数的定义可得出OP 的值，进而可得出结论．【详解】解：（1）∵直线y ＝k 1x+b 过A （0，﹣2），B （1，0）两点∴12+0b k b =-⎧⎨=⎩， ∴122b k =-⎧⎨=⎩ ∴一次函数的表达式为y ＝2x ﹣2．∴设M （m ，n ），作MD ⊥x 轴于点D∵S △OBM ＝2， ∴122OB MD ⋅= ， ∴122n =∴n ＝4∴将M （m ，4）代入y ＝2x ﹣2得4＝2m ﹣2，∴m ＝3∵M （3，4）在双曲线2k y x=上， ∴24=3k ， ∴k 2＝12 ∴反比例函数的表达式为12y x= （2）过点M （3，4）作MP ⊥AM 交x 轴于点P ，∵MD ⊥BP ，∴∠PMD ＝∠MBD ＝∠ABO∴tan ∠PMD ＝tan ∠MBD ＝tan ∠ABO ＝221OA OB == ＝2 ∴在Rt △PDM 中，2PD MD = ， ∴PD ＝2MD ＝8，∴OP ＝OD+PD ＝11∴在x 轴上存在点P ，使PM ⊥AM ，此时点P 的坐标为（11，0）【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于将已知点代入解析式。

重庆市2019年中考数学一轮复习(含答案)第五章四边形第2节矩形菱形正方形练习_80

重庆市2019年中考数学一轮复习(含答案)第五章四边形第2节矩形菱形正方形练习_80

第 2 节矩形、菱形、正方形( 必考， 1～3 道， 4～20 分)玩转重庆 10 年中考真题 (2008 ～2018 年)命题点 1矩形的性质及有关计算(10年5考)1.(2014 重庆B卷 8 题 4 分) 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD 订交于点 O，∠ ACB＝30°，则∠ AOB的大小为()A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°第1 题图2.(2015 重庆B卷 18 题 4 分) 如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB ＝2，BC＝2 3，点E，F分别是线段AB，AD上的点，连结CE，CF，当∠ BCE＝∠ ACF，且 CE＝CF时， AE＋AF＝________．第2 题图3.(2013 重庆A卷 24 题 10 分) 如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边 AB、CD上的点， AE＝CF，连结 EF、BF，EF与对角线 AC交于点O，且 BE＝BF，∠ BEF＝2∠BAC.(1)求证： OE＝OF；(2)若 BC＝2 3，求 AB的长．第 3 题图命题点 2菱形的性质及有关计算(10年6考，与反比率函数联合考查3 次)4. (2014重庆A卷15题4分)如图，菱形ABCD中，∠ A＝60°，BD ＝7，则菱形ABCD的周长为 ________．第4 题图5.(2012 重庆 24 题 10 分) 已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC 的中点，DF与对角线 AC交于点 M，过 M作 ME⊥CD于点 E，∠1＝∠2.(1)若 CE＝1，求 BC的长；(2)求证： AM＝DF＋ME.第 5 题图命题点 3正方形的性质及有关计算(10 年 11 考，近 2 年均以正方形为背景波及折叠变换 )6.(2010 重庆 10 题 4 分) 已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连结 AE，BE，DE.过点 A作 AE的垂线交 ED于点 P.第6 题图若AE＝AP＝1，PB＝ 5.以下结论：①△ APD≌△ AEB；②点 B 到直线AE的距离为2；③EB⊥ED；④S△APD＋S△APB＝1＋6；⑤S正方形ABCD＝4＋6.此中正确结论的序号是()A.①③④B.①②⑤C.③④⑤D.①③⑤7.(2014 重庆A卷 18 题 4 分) 如图，正方形ABCD的边长为 6，点O是对角线 AC、BD的交点，点 E 在 CD上，且 DE＝2CE，连结 BE.过点C作 CF⊥BE，垂足是 F，连结 OF，则 OF的长为__________．第7 题图8.(2014 重庆B卷 18 题 4 分) 如图，在边长为 6 2的正方形ABCD中，E是 AB边上一点， G是 AD延伸线上一点， BE＝DG，连结 EG，CF⊥EG 交 EG于点 H，交 AD于点 F，连结 CE，BH.若 BH＝8，则 FG＝________．第 8 题图答案1. B 【分析】∵四边形 ABCD是矩形， AC与 BD订交于点 O，∴ OB ＝OC，∵∠ ACB＝30°，∴∠ DBC＝30°，∴∠ AOB＝∠ ACB＋∠ DBC＝60°.43FG⊥AC 于点 G，∴∠ FGC＝∠B.∵EC2.【分析】如解图，作3＝FC，∠ BCE＝∠ ACF，∴△ BCE≌△ GCF(AAS)，∴ CG＝ BC＝2 3，BEBC＝GF.在 Rt△ABC中，AB＝2，BC＝2 3，∴tan ∠BAC＝BA＝3，∴∠BAC＝60°，∠ GAF＝30°， AC＝2AB＝4，∴ AG＝4－23. 在Rt△AFG中， tan 30°＝GF4－2 32（4－2 3），∴ GF＝＝BE，∴ AF＝2GF＝，AG334－2 32（4－23）4－2 3 4 4 3 AE＝2－3，∴AF＋AE＝3＋2－3＝3＝3 .第2 题解图3.(1) 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，(1分)∴∠ OAE＝∠ OCF，∠ OEA＝∠ OFC.(2分)∵A E＝CF，∴△ AEO≌△ CFO(ASA)，(3分)∴O E＝OF；(4分)第 3 题解图(2)解：如解图，连结 BO.∵O E＝OF，BE＝BF，∴B O⊥EF，且∠ EBO＝∠ FBO，∴∠ BOF＝90°.∵四边形 ABCD是矩形，∴∠ BCF＝90°.又∵∠ BEF＝2∠ BAC，∠ BEF＝∠ BAC＋∠ EOA，∴∠ BAC＝∠ EOA，∴A E＝OE.∵AE＝CF，OE＝OF，∴OF＝CF.又∵ BF＝BF，∴R t△BOF≌Rt△BCF(HL)，(6分)∴∠ OBF＝∠ CBF，(7分)∴∠ CBF＝∠ FBO＝∠ OBE.∵∠ ABC＝90°，1∴∠ OBE＝3∠ ABC＝30°，(8分)∴∠ BEO＝60°，∴∠ BAC＝30°.(9分)BC∵tan ∠BAC＝，AB2 3 3 2 3∴tan 30°＝AB，即3＝AB，∴A B＝6.(10分)4.28 【分析】∵菱形的四条边都相等，∴AB＝AD，又∵∠A＝60°，∴△ ABD是等边三角形，∴ AB＝BD＝7，则菱形 ABCD的周长为4×7＝28.5.(1) 解：∵四边形ABCD是菱形，∴A B∥CD，∴∠ ACD＝∠1，∵∠ 1＝∠ 2，∴∠ ACD＝∠2，∴ MC＝MD，∵ME⊥CD，∴C D＝2CE＝2，(4分)∴B C＝CD＝2；(5分)(2)证明：∵ F 为边 BC的中点，1∴B F＝CF＝2BC，∴ CF＝CE，在菱形 ABCD中， AC均分∠ BCD，∴∠ ACB＝∠ ACD，(6分)CE＝CF在△ CEM和△ CFM中，∠ACB＝∠ ACD，CM＝CM∴△ CEM≌△ CFM(SAS)，∴M E＝MF，(7分)如解图，延伸 AB交 DF的延伸线于点 G，∵A B∥CD，∴∠ G＝∠2，∵∠ 1＝∠ 2，∴∠ 1＝∠G，∴AM＝MG，(8分)∠G＝∠2在△ CDF和△ BGF中，∠BFG＝∠ CFD，BF＝CF∴△ CDF≌△ BGF(AAS)，∴G F＝DF，(9分)∴A M＝GM＝GF＋MF＝DF＋ME.(10分)第 5 题解图6. D【分析】序号逐一剖析正误在正方形 ABCD中，AD＝AB，又∠DAB＝∠ PAE＝90°，∴①√∠DAP＝∠ BAE，又∵ AE＝AP，∴△ APD≌△ AEB(SAS)如解图，作 BF⊥AE的延伸线于点 F，易知∠ BEF＝45°，222∴△ BEF是等腰三角形，由勾股定理可求得 EP＝1＋1＝2，在Rt△BEP中( 原因见③中 ) BE⊥ED，BE＝2－2＝36（ 5）3，∴EF＝BF＝＝，∴点 B 到直22②6×线 AE的距离为2第 6 题解图∵△ APD≌△ AEB，∴∠ APD＝∠ AEB，∵ AE＝AP，∠ PAE＝90°，∴∠AEP＝∠APE＝45°，∴∠APD＝∠AEB＝③√135°，∴∠BEP＝∠AEB－∠AEP＝135°－ 45°＝ 90°，∴EB⊥ED1 1S△APD＋S△APB＝S△AEB＋S△APB＝S 四边形AEBP＝S△AEP＋S△BPE＝2＋2×④×1116EP×BE＝2＋2×2×3＝2＋2222＋6262⑤由②知，在 Rt△AFB中，AB＝AF＋BF＝(12 ) ＋( 2 )√＝4＋6＝S正方形ABCD7. 6 5【分析】如解图，过点作⊥ ，交于点，∵与5O OG OF BF G ACBD是正方形 ABCD的对角线，∴∠ BOC＝90°，则∠ BOG＝∠ COF，又∵OB＝OC，∠ BGO＝90°＋∠ OFG，∠ OFC＝90°＋∠ OFG，∴∠ BGO＝∠OFC，∴△ OBG≌△ OCF(AAS)，∴ OG＝OF， BG＝CF，∵ CD＝6， DE＝222CE，∴CE＝2，在Rt△BEC中，由勾股定理得，BE＝BC＋CE＝210，∵∠ ECB＝∠ CFE＝90°，∠OBG＝∠ OCF，∠OBC＝∠ DCO＝45°，∴∠CE EF2EF＝EBC＝∠ FCE，∴△ CEF∽△ BEC，则＝，即 CE＝EF·BE，则BE CE10910225，∴BF＝5，在 Rt△FEC中，利用勾股定理可得， CF＝CE－EF 2102310910310610＝ 2 －（5）＝5，故 GF＝BF－BG＝5－5＝5，610265在等腰 Rt△OGF中， OF＝GF·sin 45°＝ 5 ×2＝5.第 7 题解图8. 5 2【分析】如解图，连结CG，在△CGD与△CEB 中，BE＝DG∠EBC＝∠ GDC＝90°，BC＝DC∴△ CGD≌△ CEB(SAS)，∴ CG＝CE，∠ GCD＝∠ ECB，∴∠ GCE＝90°，即△ GCE是等腰直角三角形．又∵CH⊥GE，∴ CH＝EH＝GH.过点 H 作AB、BC的垂线，垂足分别为点M、N，则∠ MHN＝90°，又∵∠ EHC＝90°，∴ ∠ 1 ＝∠2，∴ ∠HEM＝∠HCN.在△HEM与△HCN中，∠1＝∠2EH＝CH，∴△≌△，∴＝，∴四边形MBNHHEM HCN(ASA)HM HN∠HEM＝∠ HCN为正方形．∵ BH＝8，∴BN＝HN＝42，∴CN＝BC－BN＝6 2－4 2＝2 2 . 在Rt△HCN中，由勾股定理得：CH＝22 CN＋HN ＝（2 2）2＋（ 42）2＝210，∴GH＝CH＝ 210. ∵HM∥AG，∴∠ 1＝∠ 3，∴∠ 2＝∠ 3. 又∵∠HNC＝∠GHF＝90°，∴Rt△HCN∽Rt△GFH，CH HN 2 10＝42∴ ＝，即FG2，∴ FG＝5 2.FG GH10第 8 题解图。

重庆市2019届中考数学一轮复习《4.9相似三角形》讲解含答案

重庆市2019届中考数学一轮复习《4.9相似三角形》讲解含答案

第九节 相似三角形课标呈现 指引方向1．了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割． 2．通过具体实例认识图形的相似．了解相似多边形和相似比．3．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 4．了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似.*了解相似三角形判定定理的证明．5．了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方． 6．了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小． 7．会利用图形的相似解决一些简单的实际问题． 考点梳理 夯实基础1．比例线段：对于四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a b ＝cd ，就称a ，b ，c ，d 四条线段是成比例线段，简称比例线段．2．比例线段的性质： ⑴基本性质： a b ＝c d ⇒ad ＝bc(bd ≠0)；a b ＝b d ⇒b 2＝ad ； ⑵合比性质：a b ＝c d ⇒a ±b b ＝c ±d d；⑶等比性质：若a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…＋n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b3．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 4．相似三角形性质：__________⑴相似三角形的对应边__________，对应角__________．⑵相似三角形的对应高的比，_________________与__________都等于相似比 ⑶相似三角形周长的比等于_______，相似三角形面积的比等于__________．【答案】⑴成比例，相等；⑵对应角平分线的比，对应中线的比；⑶相似比，相似比的平方 5．相似三角形的判定：⑴平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； (2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似：(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应夹角相等，那么这两个三角形相似： (4)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 6．相似三角形的几种典型图形7．位似图形的定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．(1)位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形．(2)两个位似图形的位似中心只有一个．(3)位似三角形的对应边的比、周长比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于位似比，但面积的比等于位似比的平方．考点一：比例线段【例l】下列四条线段中，不能成比例的是 (C)A．a=3，b=6，c=2，d=4B．a=1，b=2，c=6，d=3C．a= 4，b=6，c=5，d= 10D．a=2，b=5，c=15，d= 23解题点拨：本题考查了成比例线段的定义，注意成比例线段的顺序．考点二：平行线分线段成比例定理【例2】（2019杭州）如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若12ABBC=，则DEEF=()答案：B解题点拨：本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．考点三：相似三角形的性质和判定【例3】（2019河北）如图，△ABC中，∠A=78°．AB=4．AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是（）答案：C解题点拨：本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似：有两组角对应相等的两个三角形相似．考点四：似三角形性质的实际运用【例4】（2019陕西）晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞，小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距Ⅳ点5块地砖长）时，其影长AD怡好为1块地砖长：当小军正好站在广场的B点（距Ⅳ点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长，已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，朋ⅣINQ，ACINQ，BEINQ．请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．（结果精确到0.01米）解题点拨：本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形，根据对应边列出方程，建立适当的模型来解决问题．解：由题意得：∠CAD= ∠MND= 90°,∠CDA=∠MDN,∴△CAD ∽△MND, ∴CA ADMN ND =∴1.610.8(51)0.8MN ⨯=+⨯ ∴MN= 9.6,又∵∠EBF=∠MNF=90°，∠EFB=∠MFN, ∴EFB MFN ~△△ ∴EB BFMN NF =∴()20.89.62+90.8EB ⨯=⨯ ∴EB ≈1.75,∴小军身高约为1.75米．考点五：位似图形【例5】（2019十堰）如图，以点O 为位似中心，将△ABC 缩小后得到△A ’B ’C ’，已知OB= 30B ’，则△A'B'C ’与△ABC 的面积比为 （）A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：9 答案：D解题点拨：先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可． 1．（2019新疆）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列说法中不正确的是（）A ．12DE BC =B ．AD AE AB AC= C.△ADE ∽△ABC D.S △ADE :S △ABC = 1:2 答案：D2．（2019盐城）如图，点F 在平行四边形ABCD 的边AB 上，射线CF 交DA 的延长线于点E ．在不添加辅助线的情况下，与△AEF 相似的三角形有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案：C3．（2019乐山）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，若△ADE与△ABC的周长之比为2:3，AD=4，则DB=_________，答案：24．（2019齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AD上BC．BE上AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．解:（1）证明:∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF= ∠ADC=∠BEC=90°，∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠DBF= ∠DAC,∴△ACD∽△BFD(2)∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°。

重庆市2019年中考数学一轮复习(含答案)第五章四边形第2节矩形菱形正方形练习册_81

重庆市2019年中考数学一轮复习(含答案)第五章四边形第2节矩形菱形正方形练习册_81

第 2 节矩形、菱形、正方形( 建议答题时间： 60 分钟 )基础过关1. (2018益阳)以下性质中，菱形不必定拥有的性质是()A. 对角线相互均分B.对角线相互垂直C. 对角线相等D.既是轴对称图形又是中心对称图形2.(2018 广安 ) 以下说法：①四边相等的四边形必定是菱形；②按序连结矩形各边中点形成的四边形必定是正方形；③对角线相等的四边形必定是矩形；④经过平行四边形对角线交点的直线，必定能把平行四边形分红面积相等的两部分，此中正确的有() 个A. 4B. 3C. 2D. 13.(2018 上海 ) 已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么以下条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是()A. ∠BAC＝∠DCAB.∠BAC＝∠ DACC. ∠BAC＝∠ABDD.∠BAC＝∠ ADB4．(2018 重庆八中一模 ) 在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，则菱形的高为 ()482412A. 5B. 5C.5D.55.(2018 重庆南岸区期末模拟 ) 矩形的两条对角线的一个夹角为60°，对角线长为 10，则这个矩形的面积为 ()A. 25B. 253C. 503D. 10036.(2018 兰州 ) 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD订交于点O，∠ADB ＝30°，AB＝4，则OC＝()A. 5B. 4C. 3.5D. 3第 6 题图第7题图7．(2018 海南) 如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则△ABC的周长()A. 14B. 16C. 18D. 208.(2018 山西 ) 如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，获得△BC′D，C′D 与AB交于点E.若∠ 1＝35°，则∠2的度数为()A. 20°B. 30°C. 35°D. 55°第 8 题图第9题图9.(2018 淮安 ) 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ ABE沿直线 AE折叠，点 B恰巧落在对角线 AC上的点 F 处，若∠ EAC ＝∠ ECA，则 AC的长是()A. 3 3B. 6C. 4D. 510.着重论述依照 (2018 河北 ) 求证：菱形的两条对角线相互垂直．已知：如图，四边形 ABCD是菱形，对角线 AC，BD交于点O.求证： AC⊥BD.以下是排乱的证明过程：①又BO＝DO，②∴ AO⊥BD，即 AC⊥BD.③∵四边形 ABCD是菱形，④∴ AB＝AD.证明步骤正确的次序是 ()A.③→②→①→④B.③→④→①→②C.①→②→④→③D.①→④→③→②第10 题图11.(2018 陕西 ) 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3. 若点E是边CD的中点，连结 AE，过点 B 作 BF⊥AE交 AE于点 F，则 BF的长为()310310C.1035A.2B.55 D.5第 11 题图第12题图12.(2018 攀枝花 ) 如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC、CD 上，△AEF是等边三角形，连结AC交 EF于点 G，过点 G作 GH⊥CE于点 H，若S△EGH＝3，则S△ADF＝()A. 6B. 4C. 3D. 213．(2018兰州 ) 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD订交于点O，要使四边形 ABCD是正方形，还需增添一组条件．下边给出了四组条件：①AB⊥AD，且 AB＝AD；②AB＝BD，且 AB⊥BD；③OB＝OC，且 OB⊥OC；④A B＝AD，且 AC＝BD.此中正确的序号是：________________(写出全部正确的序号 ) ．14.(2018 六盘水 ) 如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的极点E、F 分别在 BC和 CD上，则∠ AEB＝________度．第 14 题图第15题图第16题图15.(2018 徐州 ) 如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且 AQ＝AD，连结 DQ并延伸，与边 BC交于点 P，则线段 AP＝________．16.(2018 重庆巴蜀一模 ) 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC、CD上，且∠ EAF＝∠ CEF＝45°.若 AD＝9，CD＝8，则 EF的长为________．17.(2018 陕西 ) 如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD和CD 上的点，且 AE＝CF，连结 AF、CE交于点 G.求证： AG＝CG.第17 题图18.(2018 邵阳 ) 以下图，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD订交于点 O，∠ OBC＝∠ OCB.(1) 求证：平行四边形ABCD是矩形；(2) 请增添一个条件使矩形ABCD为正方形．第18 题图19.(2018 张家界 ) 如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直均分线交 AD于点 E，交 CB的延伸线于点 F，连结 AF，BE.(1) 求证：△AGE≌△BGF；(2)试判断四边形 AFBE的形状，并说明原因．第19 题图20.(2018 原创 ) 在△ABC中，点D在BC边上，点E是线段AD的中点，过点 A 作 BC的平行线交 BE的延伸线于点 F，连结 CF，若 AF＝DC.(1) 求证：BD＝CD；(2)当四边形 ADCF为正方形时，线段 AB与 BC有何数目关系？请说明原因．第20 题图21.(2018 盐城 ) 如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的均分线BE、DF分别交边 AD、BC于点 E、F.(1)求证：四边形 BEDF为平行四边形；(2)当∠ ABE为多少度时，四边形 BEDF是菱形？请说明原因．第21 题图22.(2018 原创 ) 如图，在菱形ABCD中，延伸BD到E使得BD＝DE，连结 AE，延伸 CD交 AE于点 F.(1) 求证：AD＝2DF；(2)假如 FD＝2，∠ C＝60°，求菱形 ABCD的面积．第22 题图23.(2018 北京 ) 如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ ABD＝90°， E 为 AD的中点，连结 BE.(1)求证：四边形 BCDE为菱形；(2)连结 AC，若 AC均分∠ BAD，BC＝1，求 AC的长．第23 题图满分冲关1．(2018广东 ) 如图，已知正方形ABCD，点E 是BC边的中点，DE与AC订交于点F，连结BF，以下结论：①S△ABF＝S△ADF；② S△CDF＝4S△CEF；③S△ADF＝2S△CEF；④ S△ADF＝2S△CDF，此中正确的选项是(A.①③B.②③C.①④)D.②④第 1 题图第2题图第3题图2.如图，在菱形 ABCD中，AB＝5，AC＝8，点 P 是 AC上的一个动点，过点 P 作 EF垂直于 AC交 AD于点 E，交 AB于点 F，将△ AEF沿 EF折叠，使点 A 落在点 A′处，当△ A′CD 是直角三角形时， AP 的长为________．3.(2018 重庆八中二模 ) 如图，正方形ABCD中，E，F分别在AB，BC 边上，且 DE⊥AF于点 G，H 为线段 DG上一点，连结 AH，BH，BH 交AF于点 I ，若∠ GAH＝45°， GI＝1，正方形 ABCD边长为4，则△ AHD 面积为 ________．第 4 题图第5题图4．(2018 潍坊 ) 如图，将一张矩形纸片ABCD的边 BC斜着向 AD边对折，使点 B 落在 AD上，记为 B′，折痕为 CE，再将 CD边斜向下对折，1使点 D落在 B′C上，记为 D′，折痕为 CG，B′D′＝2，BE＝3BC.则矩形纸片 ABCD的面积为______．5．(2018 重庆西大附中月考 ) 如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E为边 BC的中点，连结 AE，将△ ABE沿 AE翻折，点 B落在点 F 处，点O 为对角线BD的中点，连结OF交CD于点G，连结BF、BG，则△BFG 的面积是 ________．6.(2018 杭州 ) 如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上( 不与点 B，D重合)，GE⊥DC于点 E，GF⊥BC于点 F，连结 AG.(1)写出线段 AG，GE，GF长度之间的等量关系，并说明原因；(2)若正方形 ABCD的边长为1，∠ AGF＝105°，求线段 BG的长．第 6 题图7．(2018 重庆沙坪坝区校级一模 ) 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，M为对角线 BD延伸线上一点，连结AM和 CM，E 为 CM上一点，且满足CB＝CE，连结 BE，交 CD于点 F.(1)若∠ AMB＝30°，且 DM＝3，求 BE的长；(2)证明： AM＝CF＋DM.第 7 题图答案基础过关1.C 【分析】菱形所拥有的性质包含：对角线相互均分，对角线相互垂直，既是中心对称图形又是轴对称图形，而对角线相等是矩形拥有的性质，菱形不必定拥有．2.C 【分析】依据菱形的判断定理，四边相等的四边形必定是菱形，故①正确；因为矩形的对角线相等，依据三角形的中位线定理，可得按序连结矩形各边中点所得四边形的四边都相等，由此可判断所得四边形是菱形，故②错误；对角线相等的平行四边形是矩形，应选项③错误；平行四边形是中心对称图形，依据中心对称图形的性质，经过对称中心的随意一条直线都把它分红两个全等图形，面积必定相等，因此经过平行四边形对角线交点的直线，必定能把平行四边形分红面积相等的两部分，故④正确；综上所述正确的说法有 2 个．3.C 【分析】要使平行四边形变为矩形，可证两对角线相等．四个选项中只有∠ BAC＝∠ ABD切合．4.C 【分析】此题考察了菱形的相关性质和菱形的面积计算，因为1122四边形 ABCD为菱形，因此 AC⊥BD，AO＝2AC，BO＝2BD，∴ AB＝AO 21＋BO，∵AC＝8，BD＝6，∴AB＝5，由公式 S 菱形ABCD＝2AC·BD＝AB·DE，124得∶2×8×6＝5·DE，∴DE＝5，第4 题解图5.B 【分析】如解图，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，AO＝BO＝CO＝DO，∵∠BOC＝60°，∴∠ ACB＝∠ BOC＝60°，∵AC＝10，1∴BC＝2AC＝5，AB＝5 3，∴ S 矩形ABCD＝AB·CB＝5 3×5＝25 3.第5 题解图6. B 【分析】∵矩形ABCD中，AB＝4，∠ADB＝30°，∠BAD＝90°，11∴BD＝8，∵矩形对角线相等且相互均分，∴OC＝2AC＝2BD＝4.7. C 【分析】∵在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，∴AB＝BC，∠ AOB＝90°， AO＝4，BO＝3，∴ BC＝AB＝42＋32＝5，∴△ ABC的周长＝ AB＋BC＋AC＝5＋5＋8＝18.8.A 【分析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，CD∥AB，∴∠DBA＝∠1＝35°，∴∠ CBD＝55°，由折叠性质可知∠C′BD＝∠ CBD ＝55°，∴∠ 2＝∠C′BD－∠DBA＝20°.9. B 【分析】由折叠可知，∠BAE＝∠EAC，∵∠EAC＝∠ECA，∴∠BAC＝2∠BCA，∵四边形 ABCD是矩形，∴∠ B＝90°，∴3∠ACB＝90°，∴∠ ACB＝30°，∵ AB＝3∴ AC＝2AB＝6.【一题多解】由折叠性质得AF＝AB＝3，∠AFE＝∠ ABE＝90°，∵∠EAC＝∠ ECA，EF＝EF，∠AFE＝∠ CFE＝90°，∴△ EFA≌△ EFC，∴FC＝A F＝3，∴ AC＝6.10. B 【分析】要证明 AC⊥BD，因此②是第四步；由 AB＝ AD可知△ABD是等腰三角形，又由 BO＝DO联合等腰三角形三线合一的性质可获得结论，故④是第二步，①是第三步；而 AB＝AD是依据四边形ABCD是菱形获得的，故③是第一步，因此证明步骤正确的次序是③→④→①→②.11. B 【分析】在矩形 ABCD中， CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠ BAD＝1∠D＝90°，∵点 E 是边 CD的中点，∴ DE＝2CD＝1，在 Rt△ADE中，222AE＝AD＋DE＝ 3 ＋1＝10，∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°，∴∠FAB＋∠ ABF＝90°，∵∠ FAB＋∠ EAD＝90°，∴∠ ABF＝∠ EAD，∴△ABF∽△ EAD，∴AB BF2BF 3 10＝，则＝3，解得 BF＝5. AE AD1012. A 【分析】如解图，由题易知，∠ EAF＝60°， EF＝AF＝ AE，△ABE≌△ ADF，∴ BE＝DF，∠ BAE＝∠ DAF，∴ CE＝CF，∴ AC 垂直平11分 EF，∴CG＝2EF，即△EGH是等腰直角三角形，∵ GH⊥BC，∴EH＝211EC ，∴S △ EGH ＝2S △ EGC ＝4S △ ECF ，即 S △ ECF ＝4S △EGH ，将△ ADF 旋转至△ ABF ′，11作 F ′K ⊥AE 于点 K ，易知∠ F ′AE ＝30°，∴ F ′K ＝2F ′A ＝2EF ，∴ADF1AEF11 2ECF112ADFS △ ＝2S △ ′ ＝4AE ·F ′K ＝8EF ，又 S △ ＝2EF ·GC ＝4EF ，∴S △ ＝ 12S△ECF，S △ ADF ＝ 2S △EGH ＝2×3＝ 6.第 12 题解图13. ①③④ 【分析】∵四边形 ABCD 是平行四边形， AB ⊥ AD ，∴平行四边形 ABCD 是矩形，又∵ AB ＝AD ，∴矩形 ABCD 是正方形，故①正确；∵ AB ⊥BD ，∴∠ ABD ＝90°，∵正方形对角线将一组内角均分为两个 45°的角，∴四边形 ABCD 不是正方形，故②不正确；∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ AO ＝CO ，BO ＝DO ，又∵ OB ＝OC ，∴ AO ＝ CO ＝BO ＝DO ，∴四边形 ABCD 是矩形，又∵ OB ⊥OC ，即对角线相互垂直，∴矩形 ABCD 是正方形，故③正确；∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，若 AB ＝AD ，则 AB ＝CD ＝AD ＝BC ，∴四边形 ABCD 为菱形，又∵ AC ＝BD ，∴菱形 ABCD 是正方形，故④正确．综上所述，此中正确的序号是①③④.14. 75 【分析】四边形 ABCD 是正方形，∴ AB ＝AD ，∠ B ＝∠ D ＝∠ BAD ＝90°，在 Rt △ABE 和 Rt △ADF 中，AB ＝AD，∴△ ABE ≌△ ADF ，∴∠ BAE ＝∠ DAF ＝(90 °－ 60°)÷2＝AE ＝AF15°，∴∠AEB＝75°.15.17 【分析】∵AC＝ 42＋32＝5，AQ＝AD＝3，∴CQ＝2. 又∵AD ＝AQ，∴∠ ADQ＝∠ AQD.∵∠ CQP＝∠ AQD，∴∠ ADQ＝∠ CQP.∵AD∥BC，∴∠ ADQ＝∠ CPQ，∴∠ CQP＝∠ CPQ，∴ CP＝CQ＝2，∴ BP＝3－2＝1，∴AP＝2222AB＋BP＝4＋1 ＝ 17.16. 5 2 【分析】如解图，将△ABE绕点A逆时针方向旋转 90°，获得△AE′B′，∵∠ EAF＝∠ CEF＝45°，∠ BAD＝90°，∴∠ E′AF＝45°，∴△AEF≌△AE′F( SAS)，∴EF＝E′F，过点E′作E′G⊥CF，交 CF的延伸线于 G，则 E′G＝B′D＝9－8＝1，设 CE＝x，则 CF＝x，DG＝E′B′＝ BE＝9－x，DF＝8－x，∴GF＝9－x＋8－x＝17－2x，又22222222222＝(17 EF＝CE＋CF，E′F ＝E′G＋GF∴CE＋CF＝E′G＋GF，即2x－2x) 2＋1，整理得x2－34x＋145＝0，解得x1＝29( 舍 ) ，x2＝5，∴CE222＝CF＝5，∴ EF＝5＋5＝50，∴EF＝5 2.第16 题解图17.证明：∵四边形 ABCD是正方形，∴∠ ADF＝∠ CDE＝90°， AD＝CD.∵AE＝CF，∴DE＝DF，∴△ ADF≌△ CDE(SAS)，∴∠ DAF＝∠ DCE，又∵∠ AGE＝∠ CGF，AE＝CF，∴△ AGE≌△ CGF(AAS)，∴A G＝CG.18.(1) 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ DAO＝∠ OCB，∠ ADO＝∠ OBC，又∵∠ OBC＝∠ OCB，∴∠ DAO＝∠ ADO，OB＝OC，∴OA＝OD.∴O B＋OD＝OA＋OC，即 AC＝BD，∴平行四边形 ABCD是矩形．(2)解：使矩形 ABCD为正方形的条件为： AB＝BC.(答案不独一)19. (1) 证明：在平行四边形ABCD中，AD∥CF，则∠ AEG＝∠ BFG，∵AB的垂直均分线交 AD于点 E，∴AG＝BG，又∵∠ AGE＝∠ BGF，∴△ AGE≌△ BGF(AAS)；(2)解：四边形 AFBE为菱形．原因以下：由 (1) 得AE＝BF，AE∥BF,则四边形 AFBE为平行四边形，∵E F垂直均分 AB，∴AE＝BE，∴四边形 AFBE为菱形．20.(1) 证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE.∵AF∥BC，∴∠ FAE＝∠ BDE，∠ AFE＝∠ DBE.∠FAE＝∠ BDE 在△ AFE和△ DBE中，∠AFE＝∠ DBE，AE＝DE∴△ AFE≌△ DBE(AAS)．∴A F＝BD.∵A F＝DC，∴ BD＝DC.2(2)解： AB＝2 BC，原因以下：∵四边形ADCF为正方形，∴A D＝DC且 AD⊥DC，由(1) 知BD＝CD，∴A D＝BD，∴ AB＝2BD，12∵B D＝2BC，∴ AB＝2 BC.21.(1) 证明：∵四边形ABCD是矩形∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠ ABD＝∠ CDB，∵BE均分∠ ABD，DF均分∠ CDB，1∴∠ EBD＝2∠ ABD，1∠F DB＝2∠CDB，∴∠ EBD＝∠ FDB，∴D F∥EB，又∵ AD∥BC，∴四边形 BEDF是平行四边形；(2)解：当∠ABE＝30°时，四边形BEDF是菱形，原因以下：∵ BE均分∠ ABD，∴∠ ABD＝2∠ ABE＝60°，∠ EBD＝∠ ABE＝30°，∵四边形 ABCD是矩形，∴∠ A＝90°，∴∠ EDB＝∠ EBD＝30°，∴EB＝ED，又∵四边形BEDF是平行四边形，∴四边形 BEDF是菱形．22.(1) 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，CD∥AB，∵BD＝DE，∴EF＝FA，∴DF是△EAB的中位线，∴AB＝2DF，∴AD＝2DF；(2)解：如解图，过点D作DM⊥AB，∵FD＝2，∴AB＝4，∵∠C＝60°，∴∠ DAB＝60°，△ DAB为等边三角形，∴∠ ADM＝30°， AM＝2，AM∴DM＝tan30°，可得 DM＝2 3，∴S菱形ABCD＝AB·DM＝4×23＝8 3.第22 题解图23.(1) 证明：∵在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，点E为AD的中点，1∴A E＝DE＝BE＝2AD，又∵ AD＝2BC，∴D E＝BC，又∵ AD∥BC，∴四边形 BCDE为平行四边形，又∵ BE＝DE,∴四边形 BCDE为菱形；(2)解：如解图，连结 AC.第 23 题解图∵A C均分∠ BAD，∴∠1＝∠2，又∵ AD∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠ 2＝∠ 3，∴AB＝BC，又∵ AE＝BE＝BC，∴A B＝AE＝BE，∴△ ABE为等边三角形，∴∠ BAE＝60°，∴在 Rt△ABD中，∠ ADB＝90°－∠ BAE＝30°，∴∠ 1＝∠ 2＝∠ADB＝30°，∴在菱形 BCDE中，∠ ADC＝2∠ADB＝60°，∴∠ ACD＝180°－∠1－∠ ADC＝90°，又∵ BC＝1，∴在菱形 BCDE中， CD＝BC＝1，∴在 Rt△ACD中， AC＝ CD·tan ∠ADC＝3.满分冲关1. C 【分析】正序号逐一剖析误如解图，过点 F 分别作 FM⊥AB，FP⊥AD，延伸 MF、PF，分别交 CD、BC于点 N、Q，∵四边形 ABCD是正方形，∴ AB＝BC＝CD＝AD，AC分别均分∠ BAD、∠BCD，∴FM＝FP，FN11①＝FQ.∵S△ABF＝2AB·FM，S△ADF＝2AD·FP，∴S△ABF＝S△ADF√第 1 题解图②△CDF 1△ CEF11 1 1 1×∵S ＝2CD·FN，S ＝2CE·FQ＝2×2BC·FQ＝2×2CD·FN1＝2S△CDF，∴ S△CDF＝2S△CEF≠4S△CEF∵AD∥BC，∴S△ADF∽S△CEF,∴S△ADF∶S△CEF＝( AD∶CE)2＝4∶1，③∴S ＝4S ≠2S×△ADF△CEF△ CEF④∵S ＝2S，S＝4S,∴S ＝2S√△CDF △CEF△ADF△△ADF△CDFCEF综上所述，结论①④正确，应选C.72.2 或8【分析】如解图，连结BD交AC于O；∵四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC＝CD＝AD＝5，∠DAC＝∠ BAC，AC⊥BD，OA＝OC＝4，OB2 2＝OD，∴ OB＝OD＝AB－OA＝3，∵ EF⊥AA′，∴∠ EPA＝∠ FPA＝90°，∴∠EAP＋∠AEP＝90°，∠FAP＋∠AFP＝90°，∴∠AEP＝∠AFP，∴AE＝AF，∵△ A′EF是由△ AEF翻折，∴AE＝EA′，AF＝FA′，∴AE＝EA′＝ A′F＝FA，∴四边形 AEA′F 是菱形，∴ AP＝ PA′，分两种状况：①当∠DA′C＝90°时， A′与 O重合，此时 AA′＝4，∴AP＝2；②当∠ A′DC＝90°时，设 AP＝PA′＝ x，则 OA′＝4－2x，∵AC⊥BD，∴∠ A′OD＝∠ DOC＝90°，由角的互余关系得：∠A′DO＝∠ DCO，∴△ A′OD∽△ DOC，∴OA′＝OD4－2x37 OD，即3＝，解得 x＝，OC487即AP＝8.第2 题解图3.7－1 【分析】如解图，延伸DE到M，使GM＝GH，连结AM，BM，∵DE⊥AF，∠GAH＝45°，∴∠ AHG＝45°，AM＝AH，∴∠ AMH＝45°，∴∠ MAH＝90°，∴∠ MAB＝∠ HAD，可证△ MAB≌△ HAD(SAS)，则 HD ＝BM，∠AMB＝∠ AHD＝135°，∴∠ DMB＝90°，∴ GI∥MB，∴DH＝MB ＝2GI＝2，设AG＝x，则DG＝2＋x，∵AG2＋DG2＝AD2，∴x2＋( 2＋x)22，解得x＝－1－ 7( 舍) ，＝－ 1＋7，∴S＝11＝4· ＝×12△ADH2×(7－1)＝7－1.第 3 题解图x＋2 4.15 【分析】设CD＝x，则CD′＝x，BC＝x＋2，则BE＝3，AE＝AB－BE＝2x－23，在 Rt△B′AE和 Rt△B′DC中，由勾股定理得x＋222x－2222AB′＝（3）－（3），B′D＝（x＋2）－x，又 AB′＋B′D＝BC＝ x＋2，即x＋2 22x－2222（3）－（3）＋（x＋2）－x24＝x＋2，化简得9x －3x＝0，解得 x＝3或 x＝0(舍)，则 CD＝3，BC ＝5，故面积为 15.45. 2.4【分析】如解图，延伸GO交AB于点H，过点F作PQ⊥BCAP PF于点Q，交AD于点P，交BD于点M，易证△ APF∽△ FQE，∴＝＝FQ EQAFEF＝2，设PF＝x，则1EQ＝2x，FQ＝6－x，又222x 2EQ＋QF＝EF，即( 2)＋(6 －x) 2＝32，解得∶x＝6( 舍)或 x＝3.6，∴PF＝3.6,FQ＝2.4,EQ6 2＝1.8, BQ ＝4.8, PD ＝ CQ ＝1.2 ，∴ DM ＝ 5 ，∴ OM ＝OD －DM ＝3 2－9 26 29 2OM MF 5 ＝ 2.4＝，又 FM ＝ PF －PM ＝3.6 －1.2 ＝2.4 ，且＝ ，∴ ，5 5OD DG 3 2 DG∴DG ＝4，∵ HG 过点 O 易得 BH ＝DG ＝4，又S△BFGFG PDS △ BFG＝ ＝ ，∴1S △ BHGHG AD2×4×61.2＝ 6 ，即 S △BFG ＝2.4.第 5 题解图2 2 26. 解： (1) AG ＝GE ＋GF ；原因以下：如解图，连结 CG ，∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ ADG ＝∠ CDG ＝45°， AD ＝CD ，DG ＝DG ，∴△ ADG ≌△ CDG ，∴ A G ＝CG ，又∵ GE ⊥DC ，GF ⊥BC ，∠ ECF ＝90°，∴四边形 CEGF 是矩形，∴ C F ＝GE ，在 Rt △GFC 中，由勾股定理得，222CG ＝GF ＋CF ，222∴AG ＝GE ＋GF ；(2) 过点 A 作 AM ⊥BD 于点 M ，∵ GF ⊥BC ，∠ ABG ＝∠ GBC ＝45°， ∴∠ BAM ＝∠ BGF ＝45°，∴△ ABM，△ BGF都是等腰直角三角形，2∵AB＝1，∴ AM＝BM＝2，∵∠ AGF＝105°，∴∠ AGM＝60°，AM6，∴tan 60°＝，∴ GM＝GM62632＋ 6∴BG＝BM＋GM＝2＋6＝6.第6 题解图7.(1) 解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ ABD，△ BCD是等边三角形，∴∠ ABD＝∠ CBD＝∠ ADB＝∠ BAD＝60°， BA＝BC，∵∠ AMB＝30°，∠ ADB＝∠ AMB＋∠ DAM，∴∠ DAM＝∠ DMA＝30°，∴∠ BAM＝90°， DA＝DM＝AB＝BC＝CE＝3，BM＝BM在△ BMA和△ BMC中，∠MBA＝∠ MBC，BA＝BC∴△ BMA≌△ BMC(SAS)，∴∠ BCM＝∠ BAM＝90°，2 2在Rt△BCE中， BE＝BC＋CE＝3 2；(2)证明：如解图，在 BD上取一点 G，使得 BG＝DF，连结 CG交 BE于O，第 7 题解图∵BG＝DF，∠ CBG＝∠ BDF，BD＝BC，∴△ GBC≌△ FDB，∴∠ BGC＝∠ BFD，∠ DBF＝∠BCG，∴∠ MGC＝∠ BFC，∵∠ COF＝∠ CBO＋∠ OCB＝∠ CBO＋∠ DBF＝60°，在△ COE中，∠ ECO＋∠ EOC＋∠CEO＝180°，在△BCF中，∠ BFC＋∠ CBF＋∠BCF＝180°，∵C B＝CE，∴∠ CBE＝∠ CEO，∵∠ BCF＝∠ COE＝60°，∴∠ ECO＝∠ BFC＝∠ MGC，∴M C＝MG.由(1) 可知△BMA≌△BMC，∴AM＝MC＝MG，∵M G＝DG＋DM，∵BD＝CD，BG＝DF，∴DG＝CF，∴AM＝CF＋DM.。

重庆市2019届中考一轮复习《4.5直角三角形与勾股定理》讲解

重庆市2019届中考一轮复习《4.5直角三角形与勾股定理》讲解

第五节直角三角形与勾股定理课标呈现指引方向1．了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。

2．探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。

考点梳理夯实基础1．直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角；【答案】互余（2）勾股定理：若直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么；【答案】a2＋b2＝c2（3）直角三角形斜边上的中线等于；【答案】斜边的一半（4）直角三角形中，30°角所对的直角边等于．【答案】斜边的一半2．直角三角形的判定：（1）勾股定理逆定理：如果三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；（2）如果三角形一边上的中线等于这边的，那么这个三角形是直角三角形．【答案】一半3．勾股数：可以构成直角三角形三边的一组正整数．常见的勾股数有：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（8，15，17）…以及（3n，4n，5n）、（5n，12n，13n）、（7n，24n，25n）、（8n，15n，17n）…（n为正整数）考点精析专项突破考点一勾股定理和勾股定理的逆定理【例1】（1）（2019临沂）如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG．若AB ＝4，BC＝8，则△ABF的面积为_____________．【答案】6解题点拨：本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，根据勾股定理列出方程是解题的关键．①先利用矩形的性质和折叠的性质得出∠B＝90°，AF＝FC；②然后利用勾股定理列方程求出BF的长；③再用三角形面积公式求出三角形的面积．（2）（2019武汉）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝55，则BD 的长为___________【答案】241解题点拨：连接AC ，过点D 作BC 边上的高，交BC 延长线于点H ．在Rt△ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，∴AC ＝5，又CD ＝10，DA ＝55，可知△ACD 为直角三角形，且∠ACD＝90°，易证△ABC ∽△CHD ．则CH ＝6，DH ＝8，从而在Rt △BHD 中易求BD ．考点二 性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的运用【例3】如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ⊥BC ，垂足为点E ．连接AC 交DE 于点F ，点G 为AF 的中点．∠ACD ＝2∠ACB ．若DG ＝3，EC ＝1．求DE 的长．解题点拨：综合考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD ＝DG ＝3．鼹：∵AD ∥BC ，DE ⊥BC ，∴DE ⊥AD ，∠CAD ＝∠ACB∵点G 为AF 的中点，∴DG ＝AG ，∴∠GAD ＝∠GDA ，∴∠CGD ＝2∠CAD ，∵∠ACD ＝2∠ACB ，∴∠ACD ＝∠CGD ，∴CD ＝DG ＝3，在Rt △CED 中，DE ＝22CD CE -＝22．考点三 性质“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”的运用【例4】(2019西宁)如图，OP 平分∠AOB ，∠AOP ＝15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA 于点D ，PC ＝4，则PD ＝ ．【答案】2解题点拨：作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质可得PE＝PD．根据平行线的性质可得∠BCP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．课堂训练当堂检测1．(2019南京)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( )A．3，4，4 B．3，4，5C．3，4，6 D．3，4，7【答案】B2．(2019滨州)如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A Bⅱ处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是( )A．直线的一部分 B．圆的一部分C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分第2题【答案】B3．(2019黄冈)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DC＝3DE＝3a，将矩形沿直线EF 折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP＝．【答案】23a第3题4．(2019重庆A)如图1，在△ABC中，∠ACB＝ 90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC角平分线上一点，过点E 作AE 的垂线，过点A 作AB 的垂线，两垂线交于点D ，连接DB ，点F 是BD 的中点，DH ⊥AC ，垂足为H ，连接EF ，HF ．(1)如图1，若点H 是AC 的中点，AC ＝23，求AB ，BD 的长：(2)如图1，求证：HF ＝EF ；(3)如图2，连接CF ，CE ，猜想：△CEF 是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由，图1 图2第4题【答案】解：(1)∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，AC ＝23，∴AB ＝cos AC BACÐ＝2312＝43． ∵AD ⊥AB ．∴∠DAH ＝30°．∵点H 是AC 的中点，∴AH ＝12AC ＝3． ∴在△ADH 中．AD ＝cos AH CAH Ð＝332＝2． ∴在△ADB 中，根据勾股定理，得BD ＝22AB AD +＝22(43)2+＝213．(2)如答图1，连接AF ，易证：△DAE ≌△ADH(AAS)，∴DH ＝AE ．∵∠FDH ＝∠FDA －∠HDA ＝∠FDA －60°＝(90°－∠FBA)－60°＝30°－∠FBA ，∴∠EAF ＝∠FDH ．又∵点F 是BD 的中点，即AF 是Rt △ABD 斜边上的中线，∴AF ＝DF ．∴△DHF ≌△AEF(SAS)．∴HF ＝EF ．(3)△CEF 为等边三角形，证明如下：如答图2，取AB 的中点M ，连接CM 、FM ，在Rt △ADE 中，AD ＝2AE ，∵FM 是△ABD 的中位线．∴AD ＝2FM．∴FM ＝AE．易证△ACM为等边三角形，∴AC＝CM，∠ACM＝60°．∵∠CAE＝12∠CAB＝30°，∠CMF＝∠AMF－∠AMC＝30°，∴∠CAE＝∠CMF．∴△ACE≌△MCF(SAS)．∴CE＝ CF，∠ACE＝∠MCF．∴∠ECF＝∠ECM＋∠MCF＝∠ECM＋∠ACE ＝60°．∴△CEF为等边三角形．图1 图2第4题答案图中考达标模拟自测A组基础训练一、选择题1．(2019连云港)如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6．其中S1＝16，S2＝45 ，S5＝11，S6＝14，则S3＋S4＝ ( )A．8 B．64 C．54 D．48图1 图2第1题【答案】C2．(2019海南)如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果BC＝6，那么线段BE的长度为 ( )A．6 B．62 C．23 D．32第2题【答案】D3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是 ( )A．125B．4 C．245D．5第3题【答案】C4．(2019泰安)如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE．延长BG交CD 于点F．若AB＝6，BC＝46，则FD的长为 ( )A．2 B．4 C．B D．2 3第4题【答案】B二、填空题5．(2019随州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD ＝13BD，连接DM、DN、MN．若AB＝6，则DN＝．第5题【答案】36．(2019温州)七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板(如图1所示)中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形(如图2所示)，则该凸六边形的周长是 cm．图1 图2第6题【答案】(322＋16)7．(2019连云港)如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M．EM交AB于N．若AD＝2．则MN＝图1 图2第7题【答案】1 3三、解答题8．已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点，连接CD．点E为边AC上一点，过点E作EF∥AB，交CD于点F，连接EB，取EB的中点G，连接DG、FG．．(1)求证：EF＝CF；(2)求证：FG⊥DG．第8题【答案】证明：(1)∵在R△ACB中，D为AB中点∴DA＝DC＝DB∴∠A＝∠1∵EF∥AB∴∠2＝∠A∴∠1＝∠2∴CF＝ EF．(2)延长FG，交AB于点H∵EF∥AB∴∠FEG＝∠GBH∵G为EB中点∴EG＝GB又∵∠FGE＝∠HGB∴△EFG≌△BHG∴FG＝GH，EF＝HB＝CF∴DC－CF＝DB－HB即DF＝DH∴DG⊥FG．第8题答案图9．(2019黄石)在△ABC中，AB＝ AC，∠BAC＝2∠DAE＝ 90°．(1)如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：DE2＝BD2＋CE2：(2)如图2，点E在BC的延长线上，则等式DE2＝BD2＋CE2还能成立吗？请说明理由．图1 图2第9题【答案】解：(1)∵点D关于直线AE的对称点为F，∴EF＝DE，AF＝AD，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝90°－∠CAD，∠CAF＝∠DAE＋∠EAF－∠CAD＝45°＋45°－∠CAD＝90°－∠CAD，∴∠BAD＝∠CAF，在△ABD和△ACF中，AB ACBAD CAFAD AF ì=ïï??íï=ïî∴△ABD≌△ACF(SAS)，∴CF＝BD，∠ACF＝∠B，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ECF＝∠ACB＋∠ACF＝45°＋45°＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2＝CF2＋CE2，所以，DE2＝BD2＋CE2；(2) DE2＝BD2＋CE2还能成立．理由如下：作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF，由轴对称的性质得，EF＝DE，AF＝AD，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝90°－∠CAD，∠CAF＝∠DAE＋∠EAF－∠CAD＝45°＋45°－∠CAD＝90°－∠CAD，∴∠BAD＝∠CAF，在△ABD和△ACF中，AB ACBAD CAFAD AF ì=ïï??íï=ïî∴△ABD≌△ACF(SAS)，∴CF ＝BD ，∠ACF ＝∠B ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B ＝∠ACB ＝45°，∴∠ECF ＝∠ACB ＋∠ACF ＝45°＋45°＝90°，在Rt △CEF 中，由勾股定理得，EF 2＝ CF 2＋CE 2，所以，DE 2＝BD 2＋CE 2．第9题答案图B 组 提高练习10．(2019东营)在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝210，BC 边上的高AD ＝6，则另一边BC 等于 ( )21cnjyA ．10B ．8C ．6或10D ．8或10【答案】C(提示：在图①中，由勾股定理，得BD ＝22AB AD -＝22106-＝8；CD ＝22AC AD -＝22(210)6-＝2；∴BC ＝BD ＋CD ＝8＋2＝10．在图②中，由勾股定理，得BD ＝22AB AD -＝22106-＝8；CD ＝22AC AD -＝22(210)6-＝2；∴BC ＝BD －CD ＝8－2＝6．)2·1·c ·n ·j ·y图① 图② 11．(2019资阳)如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，CO ⊥AB 于点O ，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且AD ＝ CE ，连结DE 交CO 于点P ，给出以下结论：①△DOE 是等腰直角三角形：②∠CDE ＝∠COE;③若AC ＝1，则四边形CEOD 的面积为14，其中所有正确结论的序号是 ．【答案】①②③(提示：①如图，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CO⊥AB，∴AO＝OB＝OC，∠A＝∠B＝∠ACO＝∠BCO＝45°，∴△ADO≌△CEO，∴DO＝ OE，∠AOD＝∠COE，∴∠AOC＝∠DOE＝90°，∴△DOE是等腰直角三角形．故①正确．②∵∠DCE＋∠DOE＝180°，∴D、C、E、O四点共圆，∴∠CDE＝∠COE，故②正确．③∵AC＝BC＝1，∴S△ABC＝12×1×1＝12，S四边形DCEO ＝S△DOC＋S△CEO＝ S△CDO＋S△ADO＝S△AOC＝12S△ABC＝14，故③正确．)12．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD 右侧作正方形ADEF．连接CF．(1)观察猜想如图1．当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：．②BC，CD，CF之间的数量关系为：；(将结论直接写在横线上)(2)数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．(3)拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB＝22，CD＝14 BC，请求出GE的长．图1 图2 图3 第12题【答案】解：(1)垂直，BC＝CD＋CF．(2)不成立，BC＝CD－CF．∵正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ，∵AD ＝AF ，AB ＝AC ，∴△DA B ≌△FAC ，∴∠ABD ＝∠ACF ，CF ＝BD∴∠ACF －∠ACB ＝90°，即CF ⊥BD;∵BC ＝CD －BD ，∴BC ＝CD －CF ．(3)过A 作AH ⊥BC 于H ，过E 作EM ⊥BD 于M ，EN ⊥CF 于N ，∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴BC ＝2AB ＝4，AH ＝12BC ＝2，∴CD ＝14BC ＝1，CH ＝12BC ＝2，∴DH ＝3． 由(2)证得BC ⊥CF ，CF ＝BD ＝5，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD ＝DE ，∠ADE ＝90°，∵BC ⊥CF ，EM ⊥BD ，EN ⊥CF ，∴四边形CMEN 是矩形，∴NE ＝CM ，EM ＝CN ，∵∠AHD ＝∠ADE ＝∠EMD ＝90°，∴∠ADH ＋∠EDM ＝∠EDM ＋∠DEM ＝90°，∴∠ADH ＝∠DEM ，∴△ADH ≌△DEM ，∴EM ＝DH ＝3，DM ＝AH ＝2，∴CN ＝EM ＝3，EN ＝CM ＝3，∵∠ABC ＝ 45°，∴∠BGC ＝45°，∴△BCG 是等腰直角三角形，∴CG ＝BC ＝4，∴GN ＝1，∴EG ＝22GN EN +＝10．第12题答案图2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列计算正确的是（ ） A.2×3=6 B.2+3=5 C.8=42 D.4﹣2=2 2．方程1235x x =+的解为( ). A ．1x =- B ．0x =C ．3x =-D ．1x = 3．直线y=2x 关于x 轴对称的直线是（ ） A ．1y x 2= B ．1y x 2=- C ．y 2x = D ．y 2x =-4．若反比例函数2k y x -=的图象经过点(1,2)，则k 的值为（ ） A.2-B.0C.2D.4 5．如图，P 的半径为5，A B 、是圆上任意两点，且6AB =，以AB 为边作正方形ABCD （点、D P 在直线AB 两侧）．若AB 边绕点P 旋转一周，则CD 边扫过的面积为（ ）A ．5πB ．6πC ．8πD ．9π6．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD ，若测得A ，C 之间的距离为12cm ，点B ，D 之间的距离为16m ，则线段AB 的长为( )A.9.6cmB.10cmC.20cmD.12cm7．下列命题中是真命题的是（ ）A ．相等的圆心角所对的弧相等B ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C ．旋转对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角D ．圆的任意一条直径都是它的对称轴8．如图，矩形ABCD 中，AB=2, AD=1, 分别以AB 、CD 为直径做半圆，两弧交于点E 、F,则线段EF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．32D ．2539．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．若不等式组2120x x x m ->-⎧⎨+≤⎩有解，则m 的取值范围是（ ） A.1m >- B.1m ≥- C.1m ≤- D.1m <-11．人的大脑每天能记录大约8 600万条信息，数据8 600用科学记数法表示为（ ）A ．0.86×104B ．8.6×102C ．8.6×103D ．86×10212．下列计算正确的是（ ）A ．233356+=B ．(21)(12)1+-=C ．﹣（﹣a ）4÷a 2＝a 2D ．2111(xy)xy xy 24-⎛⎫= ⎪⎝⎭ 二、填空题 13．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90°，若点D 是AB 的中点，分别以点A 、B 为圆心，12AB 长为半径画弧，交AC 于点E ，交BC 于点F ，则图中阴影部分的周长是_____．14．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝AB ＝4，E 为边AC 上一点，连接BE ，过A 作AF ⊥BE 于点F ，D 是BC 边上的中点，连接DF ，点H 是边AB 上一点，将△AFH 沿HF 翻折．点A 落在M 点，若MH ∥AF ，DF ＝2，则MH 2＝_____．15．把6x 2y ﹣8xy 2分解因式时应该提取公因式是____．16．若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+m ＝0有实数根，则实数m 满足_____．17．计算12763-的结果是_____． 18．当a ，b 互为相反数，则代数式a 2+ab ﹣2的值为_____．三、解答题19．（1）计算：()10012cos3020192π-⎛⎫---- ⎪⎝⎭ （2）解方程：4501x x -=- 20．如图，已知⊙O 经过△ABC 的顶点A 、B ，交边BC 于点D ，点A 恰为BD 的中点，且BD ＝8，AC ＝9，sinC ＝13，求⊙O 的半径．21．如图，已知OA 是⊙O 的半径，AB 为⊙O 的弦，过点O 作OP ⊥OA ，交AB 的延长线上一点P ，OP 交⊙O 于点D ，连接AD ，BD ，过点B 作⊙O 的切线BC 交OP 于点C(1)求证：∠CBP ＝∠ADB ；(2)若O4＝4，AB ＝2，求线段BP 的长．22．我市楚水商城销售一种进价为10元/件的饰品，经调查发现，该饰品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）满足函数y ＝﹣2x+100，设销售这种饰品每天的利润为W （元）．（1）求W 与x 之间的函数关系式；（2）在确保顾客得到优惠的前提下，该商城还要通过销售这种饰品每天获利750元，应将销售单价定为多少元？23．某书店购进甲、乙两种图书共100本，甲、乙两种图书的进价分别为每本15元、35元，甲、乙两种图书的售价分别为每本20元、45元．（1）若书店购书恰好用了2300元，求购进的甲、乙图书各多少本？（2）销售时，甲图书打8.5折，乙图书不打折．若甲、乙两种图书全部销售完后共获利15，求购进的甲、乙图书各多少本？24．计算：．25．已知抛物线y ＝ax 2+bx+2经过A （﹣1，0），B （2，0），C 三点．直线y ＝mx+12交抛物线于A ，Q 两点，点P 是抛物线上直线AQ 上方的一个动点，作PF ⊥x 轴，垂足为F ，交AQ 于点N ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，当点P 运动到什么位置时，线段PN ＝2NF ，求出此时点P 的坐标；（3）如图②，线段AC 的垂直平分线交x 轴于点E ，垂足为D ，点M 为抛物线的顶点，在直线DE 上是否存在一点G ，使△CMG 的周长最小？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】***一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A D D D D B C B D DC D二、填空题13．8422π-+14．8-2715．2xy16．4m ≤17．3．18．﹣2．三、解答题19．（1）31+；（2）5x =.【解析】【分析】（1）根据整数指数幂的运算以及特殊三角函数值计算即可；（2）根据解分式方程的步骤解即可，注意要验根.【详解】（1）()10012cos3020192π-⎛⎫---- ⎪⎝⎭ =321+22⨯-， =31+；（2）4501x x-=- ， 去分母得：4x-5(x-1)=0去括号得，4x-5x+5=0移项得，4x-5x=-5，合并，得：-x=-5，系数化为1，得：x=5.经检验，x=5是原分式方程的解.【点睛】本题主要考查了实数的运算以及解分式方程，计算时一定要细心，分式方程要检验.20．⊙O 的半径为256． 【解析】【分析】如图，连接OA ．交BC 于H ．首先证明OA ⊥BC ，在Rt △ACH 中，求出AH ，设⊙O 的半径为r ，在Rt △BOH 中，根据BH 2+OH 2＝OB 2，构建方程即可解决问题。

重庆市2019届中考一轮《4.6多边形与平行四边形》讲解含答案

重庆市2019届中考一轮《4.6多边形与平行四边形》讲解含答案

第六节多边形与平行四边形课标呈现'指引方向1．了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念：探索并掌握多边形内角和与外角和公式．2．理解平行四边形的概念，理解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系，了解四边形的不稳定性．3．探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分：探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形：对角线互相平分的四边形是平行四边形．考点梳理夯实基础1．多边形的性质：n边形的内角和等于 (n－2)·180°；外角和为360°；对角线的条数(n3)2n-．2．正多边形的定义：每条边都相等、每个角都相等的多边形是正多边形．3．平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，是中心对称图形．4．平行四边形的判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)－组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形，考点精析专项突破考点一多边形的内角和与外角和【例1】(1)(2019临沂)一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于 ( ) A．108° B．90° C．72° D．60°【答案】C解题点拨：首先设此多边形为n边形，根据题意得：180°(n－2)＝540°，即可求得n＝5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．(2)(2019十堰)如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°再沿直线前进10米，又问左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是 ( )A．140米 B．150米 C．160米 D．240米【答案】B解题点拨：多边形的外角和为360°，每一个外角都为24°，依此可求边数，再求多边形的周长．考点二平行四边形的性质【例2】(2019巴中)已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE＋CD＝AD．连结CE，求证：CE平分∠BCD．【答案】解题点拨：由平行四边形的性质得出AB∥CD、AB＝CD、AD＝BC、由平行线的性质得出∠E＝∠DCE．由已知条件得出BE＝BC，由等腰三角形的性质得出∠E＝∠BCE，得出∠DCE＝∠BCE即可．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∴∠E＝∠DCE．∵AE＋CD＝AD．∴BE＝BC．∴∠E＝∠BCE．∴∠DCE＝∠BCE．即CE平分∠BCD．考点三平行四边形的判定【例3】(2019菏泽)如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G 依次连结，得到四边形DEFG．(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；(2)若M为EF的中点，OM ＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．解题点拨：(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF＝12BC，DG∥BC且DG＝12BC，以而得到DG＝EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；(2)先判断出∠BOC＝ 90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可．【答案】解：(1)∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG∥BC，DG＝12 BC，∵E、F分别是OB、OC的中点，∴EF∥BC，EF＝12 BC，∴DG＝EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形：(2)∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC＋∠OCB＝90°，∴∠BOC＝90°．∵M为EF的中点，OM＝3，∴EF＝2OM＝6，由(1)有四边形DEFG是平行四边形，∴DG＝EF＝6．课堂训练当堂检测1．(2019广安)若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是 ( ) A．7 B．10 C．35 D．70【答案】C2．(2019丹东)如图，在□ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC长为 ( )2A．8 B．10 C．12 D．14第2题【答案】B3．(2019十堰)如图，在□ABCD中，AB＝213cm，AD＝4cm．AC⊥BC．则△DBC比△ABC的周长长 cm．第3题【答案】44．(2019黄冈)如图，在□ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H．求证：AG＝ CH．第4题证明：∵E，F分别是AD，BC的中点，∴AE＝DE＝12AD，CF＝BF＝12BC，又∵AD∥BC，且AD＝BC，∴DE∥BF，且DE＝BF，∴四边形BEDF是平行四边形．∴∠BED＝∠DFB．∴∠AEG＝∠DFC．又∵AD∥BC，∴∠EAG＝∠FCH，在△AGE和△CHF中AEG DFCAE CFEAG FCH ì??ïï=íï??ïî∴△AGE≌△CHF(ASA)，∴AG＝CH．中考达标/模拟自测A组基础训练一、选择题1．（2019凉山）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9【答案】D2．（2019绍兴）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是( )A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③【答案】D3．（2019泸州）如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是( )A．10 B．14 C．20 D．22【答案】B4．（2019泰安）如图，在□ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于( )A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C二、填空题5．（2019镇江）如图，□ABCD中，E为AD的中点，BE，CD的延长线相交于点F．若△DEF的面积为l，则□ABCD的面积等于______．【答案】46．（2019武汉）如图，在□ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD'E处，AD’与CE交于点F．若∠B =52°．∠DAE= 20°，则∠FED'的大小为______．【答案】36°7．（2019东营）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC>AB．点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE 中．DE 的最小值是_______．【答案】4三、解答题8．（2019鄂州）如图，□ABCD 中，BD 是它的一条对角线，过A 、C 两点作AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ，延长AE 、CF 分别交CD 、AB 于M 、N ．(1)求证：四边形CMAN 是平行四边形．(2)已知DE =4，FN=3，求BN 的长. 【答案】解：(1)证明：∵AE ⊥BD ，CF ⊥ BD ，∴AE ∥CF ，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴四边形CMAN 是平行四边形；(2)由(1)知四边形CMAN 是平行四边形，∴CM=AN ．又∵四边形ABCD 是平行四边形．∴AB=CD ，∠MDE=∠NBF ，∴AB-AN= CD-CM ，即DM= BN,在△MDE 和△NBF 中90MDE NBF DEM BFN DM BN ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△MDE ≌△NBF ．∴DE=BF=4．∴BN=22FN BF +=2234+=5.9．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为AB 边上一点，连接DE ，点F 为DE 的中点，且CF ⊥DE ．点M 为线段CF 上一点，使DM=BE ，CM=BC.(1)若AB=13，CF=12，求DE 的长度；(2)求证：∠DCM=13∠DMF ．【答案】解：(1)∵平行四边形ABCD ，AB=13．∴CD=AB=13，又∵CF ⊥DE ，CF=12，∴DF=221312-=5．又∵F 为DE 中点，∴DE=2DF=10．(2)连接CE ，∵CF ⊥DE ，F 为DE 中点，∴CD=CE ．∴∠1=∠2．在△CDM 和△CEB 中CD CE CM CB DM BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△CDM ≌△CEB,∴∠3=∠4,∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD,∴∠4=∠1+∠2=2∠2,∴∠DMF=∠3+∠1=3∠2,∴∠2=13∠DMF,即∠DCM =13∠DMF.B组提高练习10．如图，在□ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：①∠DCF=12∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2 S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C（提示：①∵F是AD的中点，∴AF= FD,∵在□ABCD中,AD=2AB，∴AF=FD=CD,∴∠DFC=∠DCF, ∵ AD∥BC，∴∠DFC= ∠FCB, ∴∠DCF=∠BCF, ∴∠DCF=12∠BCD，故此选项正确；②延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF= FD，∴△AEF≌△DMF (ASA)，∴FE =MF, ∠AEF=∠M，∵CE⊥AB,∴∠AEC= 90°，∴∠AEC=∠ECD=90°,∵FM=EF,∴ FC= FM，故②正确；③∵EF=FM,∴S△EFC=S△CFM，∵MC>BE，∴S△BEC<2 S△EFC，故S△BEC=2S△CEF错误；④设∠FEC=x,则∠FCE=x,∴∠DCF=∠DFC=90°-x,∴∠EFC=180°-2x,∴∠EFD= 90° -x+180°-2x= 270°-3x,∴∠AEF= 90°-x,∴∠DFE=3∠AEF,故此选项正确．）11.（2019无锡）如图，已知□OABC的顶点A、C分别在直线x=l和x=4上,O是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为______．【答案】5（提示：当B在x轴上时，对角线OB长的最小，如图所示：直线x=l与x轴交于点D，直线x=4与x轴交于点E，根据题意得：∠ADO=∠CEB=90°,OD =1,OE =4，∵四边形ABCO是平行四边形，∴OA∥BC，OA= BC，∴∠AOD=∠CBE，∴△AOD≌△CBE(AAS)，∴OD=BE=1，∴OB=OE+BE=5．）12．在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．(1)在图1中证明CE =CF；(2)若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；(3)若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数.【答案】证明：(1)如图1，∵AF平分∠BAD,∴∠BAF= ∠DAF,∵四边形ABCD是平行四边形．∴AD∥BC,AB∥CD,∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠F,∴∠CEF=∠F,∴CE =CF；(2)解：如答案图1，连接GC.BG,∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°,∴四边形ABCD为矩形，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=45°,∵∠DCB=90°,DF∥AB,∴∠DFA=45°,∠ECF=90°.∴△ECF为等腰直角三角形，∵G为EF中点，∴EG=CG=FG,CG⊥ EF,∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC,∴BE=DC,∵∠CEF=∠GCF =45°,∴∠BEG=∠DC G= 135°,∴△BEG≌△DCG，∴BG=DG,∵CG⊥EF,∴∠DGC+∠DGA=90°,又∵∠DGC=∠BGA，∴∠BGE+∠DGE=90°,∴△DGB为等腰直角三角形，∴∠BDG= 45°；(3)解：如答案图2，延长AB、FG交于H，连接HD, ∵AD∥GF,AB∥DF,∴四边形AHFD为平行四边形，．∵∠ABC=120°,AF平分∠BAD,∴∠DAF=30°,∠ADC=120°,∠DFA =30°,∴△DAF为等腰三角形，∴AD=DF，∴平行四边形AHFD为菱形，∴△ADH,△DHF为全等的等边三角形，∴DH=DF,∠BHD=∠GFD=60°,∵FG=CE,CE=CF,CF=BH,∴BH=GF,∴△BHD≌△GFD,∴∠BDH=∠GDF,∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，AB 是☉O 的直径，点C 在☉O 上，过点C 的切线与AB 的延长线交于点P ，连接AC ，过点O 作OD ⊥AC 交☉O 于点D ，连接CD.若∠A=30°，PC=6,则CD 的长为 ( )A ．32B ．3C ．3D ．232．下列运算正确的是（ ）A ．3a 2﹣a 2＝3B ．a 8÷a 4＝a 2C ．（a+3）2＝a 2+9D ．（﹣3a 3）2＝9a 6 3．关于x 的方程2334ax a x +=-的解为1x =，则a =( ) A.1 B.3 C.-1 D.-34．下列计算正确的是( )A.a³+a²＝a 5,B.a³a²＝a 5,C.(-2a²)³＝-6a 6,D.a 3÷a -2＝a. 5．若二次函数22y x x m =-+的图像与x 轴有两个交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m 1≥B ．1m £C ．1m >D ．1m <6．如图所示，是两木杆在同一时刻的影子，请问它们是太阳光线还是灯光下的投影？请问这一时刻是上午还是下午？（ ）北东 西南A ．太阳光线，上午B ．太阳光线，下午C ．灯光，上午D ．灯光，下午7．下列运算正确的是( )A ．3x 2•4x 2＝12x 2B ．x 3+x 5＝x 8C ．x 4÷x＝x 3D ．(x 5)2＝x 7 8．在“纪念抗日战争胜利暨世界反法西斯战争胜利70周年”歌咏比赛中，10位评委给小红的评分情况如表所示： 成绩（分） 6 7 8 9 10人数 3 2 3 1 1则下列说法正确的是（）A．中位数是7.5分B．中位数是8分C．众数是8分D．平均数是8分9．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(-1，0)，对称轴为直线x=2，下列结论：(1)2a+b=0；(2)9a+c＞3b；(3)5a+7b+2c＞0；(4)若点A(-3，y1)、点B(12，y2)、点C(72，y3)在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；(5)若方程a(x+1)(x-5)=c的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜-1＜5＜x2，其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，经过直线l外一点A作l的垂线，能画出（）A.4条B.3条C.2条D.1条11．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝30°，BC＝2，则⊙O的直径长为（）A．2 B．23C．4 D．812．已知点A（5，﹣2）与点B（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且B到y轴的距离等于4，那么点B是坐标是（）A．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）B．（4，2）或（﹣4，2）C．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2）D．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2）二、填空题13．已知菱形在平面直角坐标系的位置如图所示，，，，点是对角线上的一个动点，，当周长最小时，点的坐标为_____．14．二次函数223y x =的图象如图所示，自原点开始依次向上作内角为60度、120度的菱形(其中两个顶点在抛物线上另两个顶点在y 轴上，相邻的菱形在y 轴上有一个公共点)，则第2017个菱形的周长=______．15．已知一次函数y=ax+b （a 、b 为常数），x 与y 的部分对应值如下表： x –2 –1 0 1 2 3 y642–2–4那么方程ax+b=0的解是________，不等式ax+b>0的解集是_______.16．如图，地面上铺满了正方形的地砖（40cm×40cm），现在向这一地面上抛掷半径为5cm 的圆碟，圆碟与地砖间的间隙相交的概率是_____．17．已知 x ＝﹣1 是一元二次方程 ax 2﹣bx+6＝0 的一个根，则 a+b 的值为_____ 18．抛物线22(5)3y x =-+-的顶点坐标是__________. 三、解答题19．某校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．（1）这次被调查的同学共有人；（2）补全条形统计图，并在图上标明相应的数据；（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供50人食用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐．20．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE 的长．21．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的一角∠MON（∠MON=135°）的两边为边，用总长为120m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块区域，其中区域①为直角三角形，区域②③为矩形，而且四边形OBDG为直角梯形．（1）若①②③这块区域的面积相等，则OB的长为 m；（2）设OB=xm，四边形OBDG的面积为ym2，①求y与x之的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；②x为何值时，y有最大值？最大值是多少？22．（1）计算：18 +（﹣1）2﹣20190（2）化简：（a+2）2﹣a（a﹣3）23．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），与y轴交于点C（0，﹣x2），且x1＜0＜x2，13OAOC，△ABC的面积为6.（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴下方的抛物线上是否存在一点M，使四边形ABMC的面积最大？若存在，请求出点M的坐标和四边形ABMC的面积最大值；若不存在，请说明理由；（3）E为抛物线的对称轴上一点，抛物线上是否存在一点D，使以B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．24．已知抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣1）．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．（2）写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和二次函数的最值．25．丁老师为了解所任教的两个班的学生数学学习情况，对数学进行了一次测试，获得了两个班的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．①A、B两班学生（两个班的人数相同）数学成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）：②A、B两班学生测试成绩在80≤x<90这一组的数据如下：A班：80 80 82 83 85 85 86 87 87 87 88 89 89B班：80 80 81 81 82 82 83 84 84 85 85 86 86 86 87 87 87 87 87 88 88 89 ③A、B两班学生测试成绩的平均数、中位数、方差如下：平均数中位数方差A班80.6 m 96.9B班80.8 n 153.3 根据以上信息，回答下列问题：（1）补全数学成绩频数分布直方图；（2）写出表中m、n的值；（3）请你对比分析A、B两班学生的数学学习情况（至少从两个不同的角度分析）．【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D D D B D A C A B D C A二、填空题13．(3，2)14．806815．x=1 x<116．7 1617．﹣6．18．(-5，-3)三、解答题19．(1)1000,(2)答案见解析；（3）900.【解析】【分析】（1）结合不剩同学的个数和比例，计算总体个数，即可。

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第八节正方形课标呈现指引方向1．理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系．2．探索并证明正方形的性质定理：正方形具有矩形和菱形的一切性质，考点梳理夯实基础1．正方形：⑴正方形的性质：正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形，它具有四边形、平行四边形、矩形、菱形所有的性质，即：①边：它的四条边___________；②角：它的四个角___________；③对角线：它的对角线______________________，并且每一条对角线平分___________；④面积：它的面积等于______________________或___________；⑤对称性：它的对称轴是_________________________________.⑵正方形的判定判定1：先证矩形，再证菱形，则证得正方形．判定2：先证菱形，再证矩形，则证得正方形．【答案】⑴①相等；②为直角；③互相垂直平分且相等，每一组对角；④两对角线乘积的一半，边长的平方；⑤对边中点所在的直线和对角线所在的直线2．中点四边形：⑴顺次连接四边形各边中点，所得的图形是___________；⑵顺次连接矩形四边中点所得四边形是___________；⑶顺次连接菱形四边中点所得四边形是___________；⑷由此猜想：顺次连接___________的四边形四边中点所得四边形是矩形，顺次连接_______的四边形四边中点所得四边形是菱形．即新四边形的形状与原四边形的___________有关。

【答案】⑴平行四边形；⑵菱形；⑶矩形；⑷对角线垂直，对角线相等，对角线.考点精析专项突破考点一中点四边形【例1】(2019德州)⑴如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形：⑵如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想：⑶若改变⑵中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．(不必证明)解题点拨：⑴如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH＝FG即可．⑵四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC＝BD，再证明EF＝FG即可．⑶四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG＝90°，利用△APC≌△BPD．得∠ACP＝∠BDP．即可证明∠COD ＝∠CPD＝90°，再根据平行线的性质即可证明．【答案】解：⑴证明：如图1中，连接BD．∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD ， ∵点F ，G 分别为边BC ，CD 的中点，∴FG ∥BD ，FG ＝12BD ， ∴EH ∥FG ，EH ＝GF ，∴中点四边形EFGH 是平行四边形．⑵四边形EFGH 是菱形．证明：如图2中，连接AC ，BD ．∵∠APB ＝∠CPD ．∴∠APB ＋∠APD ＝∠CPD ＋∠APD即∠APC ＝∠BPD ．在△APC 和△BPD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝PB∠APC ＝∠BPD PC ＝PD∴△APC ≌△BPD ．∴AC ＝BD∵点E ，F ，G 分别为边AB ，BC ，CD 的中点，∴EF ＝12AC,FG ＝12BD,∴EF ＝FG, ∵四边形EFGH 是平行四边形，∴四边形EFGH 是菱形．⑶四边形EFGH 是正方形．证明：如图2中，设AC 与BD 交于点O.AC 与PD 交于点M ，AC 与EH 交于点N ．∵△APC ≌△BPD ．∴∠ACP ＝∠BDP,∵∠DMO ＝∠CMP ，∴∠COD ＝∠CPD ＝90°,∵EH ∥BD,AC ∥HG,∴∠EHG ＝∠ENO ＝∠BOC ＝∠DOC ＝90°，∵四边形EFGH 是菱形，∴四边形EFGH 是正方形．考点二 正方形的性质与判定【例2】(2019呼和浩特)如图，面积为24的正方形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中E 、F 、G 分别在AB 、BC 、FD 上，若BF ＝62，则小正方形的周长为( )A.568B.566C.562D.1063【答案】C解题点拨：先利用勾股定理求出DF ，再根据△BEF ∽△CFD ，得EF DF ＝BF DC求出EF 即可解决问题。

【例3】(2019攀枝花)如图，正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G ，连结GF ，给出下列结论：①∠ADG ＝22.5°；③tan ∠AED ＝2；③S △AGD ＝S △OGD ；④四边形AEFG 是菱形；⑤BE ＝2OG ；⑥若S △OGF ＝1．则正方形ABCD 的面积是6＋42，其中正确的结论个数为( )A ．2B ．3C ．4 D.5【答案】B解题点拨：①由四边形ABCD 是正方形，可得∠GAD ＝∠ADO ＝45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG 的度数： ②由AE ＝EF ＜BE ，可得AD ＞2AE ；③由AG ＝GF ＞OG ，可得△AGD 的面积＞△OGD 的面积：④由折叠的性质与平行线的性质及计算角的度数，易得△AEG 是等腰三角形，即可证得AE ＝AG ＝EF ＝FG ； ⑤易证得四边形AEFG 是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得BE ＝2OG ；⑥根据四边形AEFG 是菱形可知AB ∥GF ，AE ＝GF ，再由∠BAO ＝45°,∠GOF ＝90°可得出△OGF 是等腰直角三角形，由S △OGF ＝1求出GF 的长，进而可得出BE 及AE 的长，利用正方形的面积公式可得出结论．【例4】(2019庆阳)如图，在正方形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，直线EF 交正方形外角的平分线于点F ，交DC 于点G ．且AE ⊥EF ．⑴当AB ＝2时，求△GEC 的面积；⑵求证：AE ＝EF ．解题点拨：⑴首先根据△ABE ∽△ECG 得到AB:EC ＝BE:GC ，从而求得GC ＝12即可求得S △GEC ； ⑵取AB 的中点H ，连接EH ，根据已知及正方形的性质利用ASA 判定△AHE ≌△ECF ．从而得到AE ＝EF ；【答案】解：⑴∵AB ＝BC ＝2，点E 为BC 的中点，∴BE ＝EC ＝1，∵AE ⊥EF ，∴△ABE ∽△ECG ，∴AB:EC ＝BE:GC,即：2：1＝1：GC ，解得：GC ＝12， ∴S △GEC ＝12EC ·CG ＝12×1×12＝14； ⑵证明：取AB 的中点H ，连接EH ；∵ABCD 是正方形，AE ⊥EF ；∴∠1＋∠AEB ＝90°，∠2＋∠AEB ＝90°∴∠1＝∠2．∵BH ＝BE,∠BHE ＝45°,且∠FCG ＝45°,∴∠AHE ＝∠ECF ＝135°,AH ＝CE,∴△AHE ≌△ECF,∴AE ＝EF.课堂训练当堂检测1．若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是( )A ．矩形B ．等腰梯形C ．对角线相等的四边形D ．对角线互相垂直【答案】C2．已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )A ．选①②B ．选②③C ．选①③D ．选②④【答案】B3．(2019齐齐哈尔)有一面积为53的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为_____．【答案】203和204．如图，在正方形ABCD 中，点E 是对角线AC 上一点，且CE ＝CD ，过点E 作EF ⊥AC 交AD 于点F ，连接BE ． ⑴求证：DF ＝AE ；⑵当AB ＝2时，求BE 2的值．【答案】解：⑴证明：如图，连接CF ，在Rt △CDF 和Rt △CEF 中．⎩⎨⎧CF ＝CF CE ＝CD∴Rt △CDF ≌Rt △CEF(HL),∴DF ＝EF ．∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴∠EAF ＝45°．∴△AEF 是等腰直角三角形．∴AE ＝EF ．∴DF ＝AE ；⑵∵AB ＝2，∴AC ＝2AB ＝22．∵CE ＝CD ，∴AE ＝22－2．过点E 作EH ⊥AB 于H ，则△AEH 是等腰直角三角形，∴AH＝22AE＝22×(22－2)＝2－2，∴BH＝2－(2－2)＝2，在Rt△BEH中．BE2＝BH2＋EH2＝(2)2＋(2－2)2＝8－4 2.中考达标模拟自测A组基础训练一、选择题1．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是( )A．8 B．4 2 C．8 2 D．16【答案】A2．正方形ABCD在直角坐标系中的位置如下图表示，将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，C点的坐标是( )A.(2,0)B.(3,0)C.(2，－1)D.(2,1)【答案】B3．(2019崇左)下列命题是假命题的是( )A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直的矩形是正方形C．对角线相等的菱形是正方形D．对角线互相垂直的四边形是正方形【答案】D4．(2019广东)如图，正方形ABCD的面积为l，则以相邻两边中点连接EF为边的正方形EFGH的周长为( )A． 2 B．2 2 C．2＋1 D．22＋1【答案】B二、填空题5．如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，FE，则∠EBF 的度数是_________．【答案】45°6．学校的一块菱形花园两对角线的长分别是6m和8m，则这个花园的面积为________．【答案】24m27．如图，在正方形ABCD中,AC为对角线，点E在AB边上,EF⊥AC于点F．连接EC，AF＝3，△EFC的周长为12．则EC的长为__________.2【答案】5三、解答题8．(2019无锡)已知，如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE＝AF．连接DE、DF．求证：DE＝DF．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD,∠DAB＝∠C＝90°,∴∠FAD＝180°－∠DAB＝90°.在△DCE和△DAF中，⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝AD∠C ＝∠DAF CE ＝AF∴△DCE ≌△DAF(SAS),∴DE ＝DF ．9．(2019哈尔滨)已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，AQ ⊥BE 于点Q ，DP ⊥AQ 于点P ． ⑴求证：AP ＝BQ ；⑵在不添加任何辅助线的情况下，诸直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ 的长．【答案】解：⑴∵正方形ABCD,∴AD ＝BA,∠BAD ＝90°，即∠BAQ ＋∠DAP ＝90°,∵DP ⊥AQ,∴∠ADP ＋∠DAP ＝90°,∴∠BAQ ＝∠ADP,∵AQ ⊥BE 于点Q,DP ⊥AQ 于点P ，∴∠AQB ＝∠DPA ＝90°,∴△AQB ≌△DPA(AAS)，∴AP ＝BQ.⑵①AQ －AP ＝PQ ，②AQ －BQ ＝PQ ，③DP －AP ＝PQ ，④DP －BQ ＝PQ.B 组 提高练习10．(2019年深圳)如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE ＝EC ．将正方形边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB于G ，连接DG ，BF ，现在有如下4个结论：①△ADG ≌△FDG ；②GB ＝2AG ；③△GDE ∽△BEF ；④S △BEF ＝725．在以上4个结论中，正确的有( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C(提示：由折叠和正方形的性质可知，DF ＝DC ＝DA ，∠DFE ＝∠C ＝90°，∴∠DFG ＝∠A ＝90°．又∵DG ＝DG ，∴△ADG ≌△FDG(HL)．故结论①正确．∵正方形ABCD 的边长为12，BE ＝EC ．∴BE ＝EC ＝EF ＝6．设AG＝FG ＝x ，则EG ＝x ＋6，BG ＝12－x ，在Rt △BEG 中，由勾股定理，得EG 2＝BE 2＋BG 2，即(x ＋6)2＝62＋(12－x)2，解得，x ＝4，∴AG ＝GF ＝4，BG ＝8，∴GB ＝2AG ．故结论②正确．∵BE ＝EF ＝6，∴△BEF 是等腰三角形．易知△GDE 不是等腰三角形，∴△GDE 和△BEF 不相似.故结论③错误．∵S △BEG ＝12BE ·BG ＝12·6·8＝24，∴S △BEF ＝EF EG ·S △BEG ＝610·24＝725.故结论④正确．综上所述，4个结论中，正确的有①②④三个．故选C ．) 11．(2019河南)如图，正方形ABCD 的边长是l6，点E 在边AB 上，AE ＝3，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B ’处，若△CDB’恰为等腰三角形，则DB’的长为________．【答案】16或4 5(提示：⑴如答图1，若DB’＝DC ，是等腰三角形，则DB’＝DC ＝16；⑵如答图2，若DB’＝CB’，过点B ’作MN ⊥CD 于点M ，交AB 于点N ，则CM ＝DM ＝8＝BN ，又∵AE ＝3，∴BE ＝13．∴EN ＝5．由翻折可知EB ’＝13，在Rt △EB’N 中，由勾股定理可求B ’N ＝12，∴B ’M＝4，在Rt △DB’M中，B ’D＝B ’M 2＋DM 2＝42＋82＝4 5.⑶如答图3，若CB’＝CD ，此时，点F 与点C 重合，与已知不符．综上所述，若△CDB’恰为等腰三角形，则DB ’的长为16或45．)12．(2019广东)如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，BC ＝2，边BC 在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ ，连接PA 、QD ，并过点Q 作QO ⊥BD ，垂足为O ，连接OA 、OP.⑴请直接写出线段BC 在平移过程中，四边形APQD 是什么四边形？⑵请判断OA 、OP 之间的数量关系和位置关系，并加以证明；⑶在平移变换过程中，设y ＝S △OPB ，BP ＝x(0≤x ≤2)，求y 与x 之间的函数关系式，并求出y 的最大值.【答案】解：⑴四边形APQD 为平行四边形；⑵OA ＝OP ，OA ⊥OP ，理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝PQ,∠ABO ＝∠OBQ ＝45°,∵OQ ⊥BD ，∴∠PQO ＝45°，∴∠ABO ＝∠OBQ ＝∠PQO ＝45°,∴OB ＝OQ ，∴△AOB ≌△OPQ ，∴OA ＝OP ，∠AOB ＝∠POQ ，∴∠AOP ＝∠BOQ ＝90°，∴OA ⊥OP ；⑶如图，过D 作OE ⊥BC 于E ．①如图1，当点P 在点B 右侧时，则BQ ＝x ＋2，OE ＝x ＋22, ∴y ＝12·x ＋22·x ．即y ＝14(x ＋1)2－14， 又∵0≤x ≤2．∴当x ＝2时，y 有最大值为2；②如图2，当点P 在B 点左侧时，则BQ ＝2－x ，OE ＝2－x 2， ∴y ＝12·2－x 2·x ，即y ＝－14(x －1)2＋14， 又∵0≤x ≤2．∴当x ＝1时，y 有最大值为14； 综上所述，∴当x ＝2时，y 有最大值为2．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为()A．4 B．8 C．16 D．642．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A．直角三角形B．正五边形C．正方形D．平行四边形3．如图，已知点A是以MN为直径的半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的点．若⊙O的半径为l，则AP+BP的最小值为（）A．2 B．3C．2D．14．如图，数轴上表示某不等式组的解集，则这个不等式组可能是（）A．2010xx+>⎧⎨->⎩B．2010xx+>⎧⎨-<⎩C．2010xx+<⎧⎨->⎩D．2010xx+<⎧⎨-<⎩5．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）A ．2B ．75C ．53D ．546．不等式组21331563x x x +≥-⎧⎪-⎨--⎪⎩＞的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B ． C ．D． 7．近似数1.23×103精确到（ ）A ．百分位B ．十分位C ．个位D ．十位8．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以点A ，点C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 、点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点D ，连接CD ．若AE ＝3，BC ＝8，则CD 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79．如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，DC CB =．若110C ∠=︒，则ABC ∠的度数等于（ ）A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒ 10．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，其对称轴为1x =.下列结论：①0abc >；②20a b +=；③930a b c ++<；④若12310,,,23y y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是抛物线上两点，则12y y >.其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，一个铁环上挂着6个分别编有号码1，2，3，4，5，6的铁片．如果把其中编号为2，4的铁片取下来，再先后把它们穿回到铁环上的仼意位置，则铁环上的铁片（无论沿铁环如何滑动）不可能排成的情形是（）A．B．C．D．12．如果关于x的不等式﹣3x+2a≥0的解能中仅含有两个正整数解，且关于x的分式方程212x ax-=-有非负数解，则整数a的值( )A．2或3或4 B．3 C．3或4 D．2或3二、填空题13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，AB=5，AC=4，线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90o得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D，BD交AE于H，则AH=________.14．若二次根式3xx+有意义，则自变量x的取值范围是_____．15．如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，点O为对角线AC的中点，⊙O半径为1，点P为CD 边上一动点，PE与⊙O相切于点E，则PE的最小值是____．16．﹣2019的倒数是_____．17．不等式组210{34xx x-<-≤，的解集是______．18．如图，菱形ABCD的对角线BD与x轴平行，点B、C的坐标分别为(0，2)、(3，0)，点A、D在函数kyx =(x＞0)的图象上，则k的值为_____．三、解答题19．计算31(3)|12|2π-⎛⎫-+-+-⎪⎝⎭+tan45°﹣2sin30°．20．观察下面的变形规律：11=1122-⨯；111=2323-⨯；111=3434-⨯；…．解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想1(1)n n+＝；（2）证明你猜想的结论；（3）求和：112⨯+123⨯+134⨯+…+120092010⨯.21．今年“五一”假期，某数学活动小组组织一次登山活动.他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点，再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示.斜坡AB的长为1000米，斜坡BC的长为2002米，在C点测得B点的俯角为45°，已知A点海拔21米，C点海拔721米.(1)求B点的海拔；(2)求斜坡AB的坡角.22．小丽家在装修，虽然房间比较小，但是小丽总想睡1.8米宽的大床，那样抱着她的大娃娃睡多好啊，妈妈说：“你已经八年级了，自己设计一下，怎样可以把1.8米宽的床放好，并且还比较美观？”下面是小丽的第一次设计图：1.8米宽的床一般长2.2米，床头柜一般需要50cm，门宽80cm，只能往房里开。

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