平方差公式典型例题
8.3《平方差公式与完全平方公式》典型例题精析
8.3 完全平方公式与平方差公式1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．1．完全平方公式(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(2)完全平方公式的证明：(a±b)2＝(a±b)(a±b)＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．(3)完全平方公式的特点：①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．【例1－1】用完全平方公式计算(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；(5)(2x＋y－3z)2.分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．解：(1)(x ＋2y )2＝x 2＋2·x ·2y ＋(2y )2＝x 2＋4xy ＋4y 2；(2)(2a －5)2＝(2a )2－2·2a ·5＋52＝4a 2－20a ＋25；(3)(－2s ＋t )2＝(t －2s )2＝t 2－2·t ·2s ＋(2s )2＝t 2－4ts ＋4s 2；(4)(－3x －4y )2＝(－3x )2－2·(－3x )·4y ＋(4y )2＝9x 2＋24xy ＋16y 2；(5)(2x ＋y －3z )2＝[2x ＋(y －3z )]2＝(2x )2＋2·2x ·(y －3z )＋(y －3z )2＝4x 2＋4xy －12xz ＋y 2－2·y ·3z ＋(3z )2＝4x 2＋y 2＋9z 2＋4xy －12xz －6yz .(1)千万不要与公式(ab )2＝a 2b 2混淆，发生类似(a ±b )2＝a 2±b 2的错误；(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题，由于(－3x －4y )2与(3x ＋4y )2是相等关系，故可以把(－3x －4y )2转化为(3x ＋4y )2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法．(4)完全平方公式的几何解释．如图是对(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2几何意义的阐释．大正方形的面积可以表示为(a ＋b )2，也可以表示为S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＋S Ⅳ，又S Ⅲ，SⅠ，S Ⅳ，S Ⅱ分别等于a 2，ab ，ab ，b 2，所以S ＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.如图是对(a－b)2＝a2－2ab＋b2几何意义的阐释．正方形Ⅰ的面积可以表示为(a－b)2，也可以表示为SⅠ＝S大－SⅡ－SⅣ＋SⅢ，又S大，SⅡ，SⅢ，SⅣ分别等于a2，ab，b2，ab，所以SⅠ＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2.从而验证了完全平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2.【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a，b的恒等式：__________________.解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a＋b)2－4ab，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b)2，根据面积相等有(a＋b)2－4ab＝(a－b)2.答案：(a＋b)2－4ab＝(a－b)22．平方差公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(2)平方差公式的证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2－b2(合并同类项)．(3)平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式计算．【例2－1】计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；(2)(－m＋n)(－m－n)；(3)(－2x－3)(2x－3)．分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.(3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式．(4)平方差公式的几何解释如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．从而验证了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【例2－2】下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b的正方形得到的，所以它的面积等于a2－b2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于12 (b＋a)(a－b)，所以梯形的面积和是(a＋b)(a－b)，根据阴影部分的面积不变，得(a＋b)(a－b)＝a2－b2.因此验证的一个乘法公式是(a＋b)(a－b)＝a2－b2.答案：(a＋b)(a－b)＝a2－b23．运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式．【例3】计算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982.分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将1032改写为(100＋3)2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将1982改写为(200－2)2，利用两数差的平方公式进行简便运算．解：(1)2 0132－2 014×2 012＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1)＝2 0132－(2 0132－12)＝2 0132－2 0132＋1＝1.(2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32＝10 000＋600＋9＝10 613.(3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204.4．利用乘法公式化简求值求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单．在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性．【例4】先化简，再求值：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2，其中m ＝－2，n ＝15. 解：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2＝5(m 2－n 2)－2(m 2＋2mn ＋n 2)－3(m 2－2mn ＋n 2)＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2＝－10n 2＋2mn .当m ＝－2，n ＝15时，原式＝－10n 2＋2mn ＝－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋2×(－2)×15＝－65. 5．乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了．有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：①位置变化：(b ＋a )(－b ＋a )＝a 2－b 2.②符号变化：(－a ＋b )(－a －b )＝(－a )2－b 2＝a 2－b 2.③系数变化：(0.5a ＋3b )(0.5a －3b )＝(0.5a )2－(3b )2.④指数变化：(a 2＋b 2)(a 2－b 2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.⑤增项变化：(a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2，(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.⑥增因式变化：(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.⑦连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝a8－b8.【例5－1】计算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)；(2)(m－2n＋p)2；(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2.解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.(2)(m－2n＋p)2＝[(m－2n)＋p]2＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2.(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2＝(4x2－9y2)2＝(4x2)2－2×4x2×9y2＋(9y2)2＝16x4－72x2y2＋81y4.在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．【例5－2】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.6．乘法公式的实际应用在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答．【例6】一个正方形的边长增加3 cm，它的面积就增加39 cm2，这个正方形的边长是多少？分析：如果设原正方形的边长为x cm，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x＋3)2＝x2＋39，求解即可．解：设原正方形的边长为x cm，则(x＋3)2＝x2＋39，即x2＋6x＋9＝x2＋39，解得x＝5(cm)．故这个正方形的边长是5 cm.7．完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，注意为使用公式创造条件．(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式：①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ；②a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；③(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ；④(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ；⑤(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)；⑥(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab 等．在公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2中，如果把a ＋b ，ab 和a 2＋b 2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用——a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.【例7－1】已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则a ＋b a －b的值是__________．解析：原等式可化为(a 2＋4a ＋4)＋(b 2－2b ＋1)＝0，即(a ＋2)2＋(b －1)2＝0，根据非负数的特点知a ＋2＝0且b －1＝0，从而可知a ＝－2且b ＝1.然后将其代入求a ＋b a －b的值即可． 答案：13【例7－2】已知a ＋b ＝2，ab ＝1，求a 2＋b 2的值．分析：利用完全平方公式有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，把2ab 移到等式的左边，可得(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2，然后代入求值即可．解：∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2aB ．∵a ＋b ＝2，ab ＝1，∴a 2＋b 2＝22－2×1＝2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发解答，如因为a＋b＝2，所以(a＋b)2＝22，即a2＋2ab＋b2＝4.把ab＝1代入，得a2＋2×1＋b2＝4，于是可得a2＋b2＝4－2＝2.。
2020年八年级数学下册因式分解专题02 平方差公式(提升教师版)
专题02 平方差公式（提升版）【典型例题】类型一、公式法——平方差公式 例1、分解因式：（1）； （2）； （3）．【思路点拨】（1）把看做整体，变形为后分解．（2）可写成，可写成，和分别相当于公式里的和．（3）把、看作一个整体进行分解． 【答案与解析】解：（1）． （2）．（3）．【总结升华】注意套用公式时要注意字母的广泛意义，可以是字母，也可以是单项式或多项式. 举一反三：【变式】将下列各式分解因式：（1）； （2）（3）； （4）；【答案】解：（1）原式（2）原式＝2()4x y +-2216()25()a b a b --+22(2)(21)x x +--x y +22()2x y +-216()a b -2[4()]a b -225()a b +2[5()]a b +4()a b -5()a b +a b (2)x +(21)x -222()4()2(2)(2)x y x y x y x y +-=+-=+++-222216()25()[4()][5()]a b a b a b a b --+=--+[4()5()][4()5()]a b a b a b a b =-++--+(9)(9)a b a b =+--(9)(9)a b a b =-++22(2)(21)[(2)(21)][(2)(21)]x x x x x x +--=++-+--(31)(3)x x =+-()()22259a b a b +--()22234x y x --33x y xy -+32436x xy -()()()()5353a b a b a b a b =++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()8228444a b a b a b a b =++=++()()232232x y x x y x -+--＝ （3）原式 （4）原式例2、分解因式： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案与解析】 解：（1）． （2）．（3）． （4）．【总结升华】（1）如果多项式的各项中含有公因式，那么先提取公因式，再运用平方差公式分解．（2）因式分解必须进行到每一个多项式的因式都不能分解为止． 举一反三：【变式】先化简，再求值：（2a +3b ）2﹣（2a ﹣3b ）2，其中a =．【答案】解：原式=（2a +3b +2a ﹣3b ）（2a +3b ﹣2a +3b ） =4a ×6b =24ab ，当a =，即ab =时，原式=24ab =4． 类型二、平方差公式的应用例3、在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如x 4﹣y 4=（x ﹣y ）（x +y ）（x 2+y 2），当x =9，y =9时，x ﹣y =0，x +y =18，x 2+y 2=162，则密码018162．对于多项式4x 3﹣xy 2，取x =10，y =10，用上述方法产生密码是什么？【思路点拨】首先将多项式4x 3﹣xy 2进行因式分解，得到4x 3﹣xy 2=x （2x +y ）（2x ﹣y ），然后把x =10，y =10代入，分别计算出2x +y =及2x ﹣y 的值，从而得出密码． 【答案与解析】解：原式=x （4x 2﹣y 2）=x （2x +y ）（2x ﹣y ）， 当x =10，y =10时，x =10，2x +y =30，2x ﹣y =10，故密码为103010或101030或301010．【总结升华】本题是中考中的新题型，考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力，读懂密码产生的方法是关键．()343y x y --()()()22xy x y xy x y x y =--=-+-()()()2249433x x y x x y x y =-=+-2128x -+33a b ab -516x x -2(1)(1)a b a -+-221112(16)(4)(4)888x x x x -+=--=-+-3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-5422216(16)(4)(4)(4)(2)(2)x x x x x x x x x x x -=-=+-=++-222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a a b a a b a b b -+-=---=--=-+-例4、阅读下面的计算过程：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=（28﹣1）．根据上式的计算方法，请计算：（1）（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣．【思路点拨】（1）原式变形后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果；（2）原式变形后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果．【答案与解析】解：（1）原式=2（1﹣）（1+）（1+）（1+）…（1+）=2（1﹣）（1+）（1+）…（1+）=2（1﹣）（1+）…（1+）=2（1﹣）=；（2）原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣=（32﹣1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣=（364﹣1）﹣=﹣．【总结升华】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．同步练习一.选择题1．分解因式：16﹣x 2=（ ）A ．（4﹣x ）（4+x ）B ．（x ﹣4）（x +4）C ．（8+x ）（8﹣x ）D ．（4﹣x ）22.下列多项式相乘，不能用平方差公式的是（ ） A.（﹣2y ﹣x ）（x +2y ） B.（x ﹣2y ）（﹣x ﹣2y ）C.（x ﹣2y ）（2y +x ）D.（2y ﹣x ）（﹣x ﹣2y ）3. 下列因式分解正确的是( ).A. B.C.D. 4. 下列各式，其中因式分解正确的是（ ） ①；② ③ ④ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5. 若能被60或70之间的两个整数所整除，这两个数应当是（ ） A ．61，63 B ．61，65 C ．63，65 D ．63，676. 乘积应等于（ ） A ．B ．C ．D ．二.填空题 7. ； .8. 若，将分解因式为__________.9. 分解因式：_________.10. 若，则是_________.11.若A =（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，则A 的末位数字是 ． 12.已知|x ﹣y +2|+=0，则x 2﹣y 2的值为 ．三.解答题13. 用简便方法计算下列各式：（1） －1998×2000 （2） （3）()()2292323a b a b a b -+=+-()()5422228199a ab a a bab -=+-()()2112121222a a a -=+-()()22436223x y x y x y x y ---=-+-22933422x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()2933x x x -=-+()()()()2212121m n m n m n +--+=+-()()()()2294252a b a c a b c a b c +-+=+-++4821-22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5121211202311_________m m aa +--=()2211x x x --+=)2|4|50m -+=22mx ny -2121()()=m m p q q p +--+-()()()216422nx xx x -=++-n 219992253566465⨯-⨯222222221009998979695......21-+-+-++-14.已知（2a +2b +3）（2a +2b ﹣3）=72，求a +b 的值．15.设，，……，（为大于0的自然数）.（1）探究是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”.试找出，，……，这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当满足什么条件时，为完全平方数.【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】A ；【解析】16﹣x 2=（4﹣x ）（4+x ）．2. 【答案】A ；【解析】解：A 、两项都是互为相反数，不符合平方差公式．B 、C 、D 中的两项都是一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式．故选：A ．3. 【答案】C ；【解析】；；. 4. 【答案】C ；【解析】①②③正确. . 5. 【答案】C ；【解析】6. 【答案】C ； 【解析】 22131a =-22253a =-()()222121n a n n =+--n n a 1a 2a n a n n a ()()22933a b b a b a -+=+-()()()()()542222228199933a ab a a bab a a b a b a b -=+-=++-()()()()()224362232223x y x y x y x y x y x y x y ---=+--+=+--()()()()229433223322a b a c a b a c a b a c +-+=++++--()()53232a b c a b c =+++-()()()()()482424241212212121212121-=+-=++-()()()()()()24126624122121212121216563=+++-=++⨯⨯22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭二.填空题 7. 【答案】；【解析】.8. 【答案】；【解析】.9. 【答案】；【解析】原式＝. 10.【答案】4； 【解析】.11.【答案】6；【解析】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1， =（24﹣1）（24+1）（28+1）+1， =（28﹣1）（28+1）+1， =216﹣1+1，=216因为216的末位数字是6， 所以原式末位数字是6．12. 【答案】-4；【解析】∵|x ﹣y +2|+=0，∴x ﹣y +2=0，x +y ﹣2=0，∴x ﹣y =﹣2，x +y =2，∴x 2﹣y 2=（x ﹣y ）（x +y ）=﹣4． 三.解答题 13.【解析】解：（1）－1998×2000 ＝（2）111111111111 (11112233991010314253108119) (2233449910101111121020)⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=()()111m aa a -+-()()211x x -+()()()()()()()22222211111111x x x x x x x x x x --+=---=--=-+()()2525x y x y +-4,25,m n ==()()222525mx ny x y x y -=+-21()(1)(1)m p q p q p q ---+--()22121()1()(1)(1)m m p q p q p q p q p q --⎡⎤---=--+--⎣⎦()()()()()22244224416x x x x x x++-=+-=-21999()()222199919991199911999199911--+=-+=()2222535664656535465⨯-⨯=-（3）14.【解析】解：已知等式变形得：[2（a +b ）+3][2（a +b ）﹣3]=72，即4（a +b ）2﹣9=72， 整理得：（a +b ）2=，开方得：a +b =±． 15.【解析】解：（1） 又为非零的自然数， ∴是8的倍数．这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数. （2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．为一个完全平方数的2倍时，为完全平方数.()()65354655354656100070420000=+-=⨯⨯=222222221009998979695......21-+-+-++-()()()()()()100991009998979897......2121100999897 (21)5050=+-++-+++-=++++++=()()222121(2121)(2121)8n a n n n n n n n =+--=++-+-+=n n a n n a学法指导: 怎样学好数学☆人生是一种体验，一种经历，一种探索，一种生活，而人生目标，则是一种自我的设定。
专题复习：乘法公式知识点归纳及典例+练习题及答案(师)
专题复习：乘法公式知识点归纳及典例+练习题一、知识概述 1、平方差公式 由多项式乘法得到 (a＋b)(a－b) ＝a －b . 即两个数的和与这两个数的差的积，等于它们的平方差. 2、平方差公式的特征 ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)； ③公式中的 a 和 b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对于形如两数和与这两数差相乘的形式，就可以运用上述公式来计算． 3、完全平方公式 由多项式乘法得到（a±b） ＝a ±2ab＋b2 2 2 2 2即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的 2 倍. 推广形式：（a＋b＋c） ＝a ＋b ＋c ＋2ab＋2bc＋2ca 4、完全平方公式的特征 (a＋b) ＝a ＋2ab＋b 与(a－b) ＝a －2ab＋b 都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数 和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式． ①两公式的左边：都是一个二项式的完全平方，二者仅有一个符号不同；右边：都是二次三项式，其 中有两项是公式左边两项中每一项的平方，中间是左边二项式中两项乘积的 2 倍，两者也仅有一个符号不 同． ②公式中的 a、b 可以是数，也可以是单项式或多项式． ③对于形如两数和(或差)的平方的乘法，都可以运用上述公式计算． 5、乘法公式的主要变式 （1）a －b ＝(a＋b)(a－b); （2）(a＋b) －(a－b) ＝4ab; （3）(a＋b) ＋(a－b) ＝2(a ＋b )； （4）a ＋b ＝(a＋b) －2ab＝(a－b) ＋2ab （5）a ＋b ＝(a＋b) －3ab(a＋b)． 熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程． 注意：(1)公式中的 a，b 既可以表示单项式，也可以表示多项式. (2)乘法公式既可以单独使用，也可以同时使用. (3)这些公式既可以正用，也可以逆用，因此在解题时应灵活地运用公式，以计算简捷为宜.3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2二、典型例题讲解 例 1、计算： (1)(3a＋2b)(2b－3a)； (2)(x－2y)(－x－2y)；(3) (4)(a＋b＋c)(a－b－c). 解：；(1)原式＝(2b＋3a)(2b－3a) ＝(2b) －(3a) ＝4b －9a2 2 2 2(2)原式＝(－2y＋x)(－2y－x) ＝(－2y) －x ＝4y －x2 2 2 2(3)原式＝＝＝ (4)原式＝[a＋(b＋c)][a－(b＋c)] ＝a －(b＋c)2 2 2 2＝a －(b ＋2bc＋c ) ＝a －b －2bc－c 例 2、计算： (1)2004 －19962 2 2 2 2 22(2)(x－y＋z) －(x＋y－z)2(3)(2x＋y－3)(2x－y－3)． 解：(1)2004 －1996 ＝(2004＋1996)(2004－1996) ＝4000×8＝32000 (2)(x－y＋z) －(x＋y－z)2 2 2 2＝[(x－y＋z)＋(x＋y－z)][ (x－y＋z)－(x＋y－z)]＝2x(－2y＋2z)＝－4xy＋4xz （3）(2x＋y－3)(2x－y－3)＝[(2x－3)＋y][(2x－3)－y] ＝(2x－3) －y ＝4x －12x＋9－y ＝4x －y －12x＋9； 例 3、计算： (1)(3x＋4y) ； (3)(2a－b) ；2 2 2 2 2 2 2 2 2(2)(－3＋2a) ； (4)(－3a－2b)22解：(1)原式＝(3x) ＋2·3x·4y＋(4y) ＝9x ＋24xy＋16y2 2 22(2)原式＝(－3) ＋2·(－3)·2a＋4a ＝4a －12a＋922(3)原式＝(2a) ＋2·2a·(－b)＋(－b) ＝4a －4ab＋b2 222(4)原式＝[－(3a＋2b)] ＝(3a＋2b)2 22＝(3a) ＋2·(3a)·2b＋(2b) ＝9a ＋12ab＋4b2 22例 4、已知 m＋n＝4， mn＝－12，求(1)；（2）；（3）．解：（1）；（2）；（3）2．例 5、多项式 9x ＋1 加上一个单项式后，使它能够成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 ________(填上一个你认为正确的即可)． 分析： 解答时，很多学生只习惯于课本上的完全平方的顺序，认为只有添加中间(两项的乘积的 2 倍)项，即 9x ＋1＋6x＝(3x＋1) 或 9x －6x＋1＝(3x－1) ；但只要从多方面考虑，还会得出2 2 2 2，9x ＋1－1＝9x ＝(3x) ， 9x ＋1－9x ＝12， 所以添加的单项式可以是 6x，22222－6x，，－1，－9x ．2答案：±6x 或 例 6、计算：或－1 或－9x2，并说明结果与 y 的取值是否有关． 解：从上述结果可以看出，结果中不含 y 的项，因此结果与 y 的取值无关． 点评： (1)利用平方差公式计算的关键是弄清具体题目中，哪一项是公式中的 a，哪一项是公式中的 b； (2)通常在各因式中， 相同项在前， 相反项在后， 但有时位置会发生变化， 因此要归纳总结公式的变化， 使之更准确的灵活运用公式． ①位置变化：(b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a －b ； ②符号变化：(－a－b)(a－b)＝(－b－a)(－b＋a)＝(－b) －a ＝b －a ； ③系数变化：(3a＋2b)(3a－2b)＝(3a) －(2b) ＝9a －4b ； ④指数变化：(a ＋b )(a －b )＝(a ) －(b ) ＝a －b ； ⑤连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a ＋b )(a ＋b ) ＝(a －b )(a ＋b )(a ＋b )＝(a －b )(a ＋b ) ＝a －b ； ⑥逆用公式变化：(a－b＋c) －(a－b－c)2 2 8 8 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 2 2 4 4 3 3 3 3 3 2 3 2 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2＝[(a－b＋c)＋(a－b－c)][(a－b＋c)－(a－b－c)] ＝4c(a－b)． 例 7、已知 ．求 分析：的值．若直接代入求解则十分繁杂。
平方差与完全平方公式
）
C.a=2,b=错误!未找
A.2ab
B.-2ab
C.-4ab
D. 4ab
3.若 x2+y2=(x-y)2+p=(x+y)2-Q,则 P，Q 分别为（
）
A.P=2xy,Q=-2xy B. P=-2xy,Q=2xy C. P=2xy,Q=2xy D. P=-2xy,Q=2xy
4.若 m≠n,下列等式中：(m-n)2=(n-m)2, (m+n)(m-n)=(-m-n)(-m+n), (m-n)2=-(n-m)2, (-m-n)2=-(m-n)2,
例 8．解方程： 5x 63x 2 2 3x 54 x 1 x 1 2
3 3
3
【题型六】逆用平方差公式
例 9.已知 x 2 y 2 6, x y 2 0 ，求 x y 5 的值．
【创新题】 例 10．观察下列算式：
32 1 8 8 1,52 32 16 8 2,72 52 24 8 3,92 72 32 8 4,,
A．－15
B．－2
C．－6
D．6
11．已知 x2 2ax 16 是一个完全平方式，则 a 的值等于（ ）
A．8
B．4
C．±4 D．±8
12．乘积 (1 1 )(1 1 ) (1 1 )(1 1 )等于
22
32
92
102
A. 5 12
B. 1 2
C. 11 20
() D. 7 10
13．已知 x, y 满足 x2 y 2 5 2x y,求代数式 xy 的值。
其中错误的有（
）
A.1 个
B. 2 个
C.3 个
D.4 个
5.如果 a+错误!未找到引用源。=3,则 a2+错误!未找到引用源。=(
平方差公式与完全平方公式
Word 文档平差公式与完全平公式（a+b ）2 = a 2+2ab+b 2（a －b ）2=a 2－2ab+b2（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2应用1、平差公式的应用：例1、利用平差公式进行计算： （1）（5+6x ）（5－6x ） （2）（x ＋2y ）（x －2y ） （3）（－m ＋n ）（－m －n ） 解：例2、计算：（1）（y x 41--）（y x 41+-） （2）（－m －n ）（m －n ）（3）（m ＋n ）（n －m ）+3m 2（4）（x+y ）（x －y ）（x 2－y 2）解：例3、计算：（1）103×97 （2）118×122 （3）32203119⨯ 解：应用2、完全平公式的应用： 例4、计算：（1）（2x －3）2（2）（4x+5y ）2（3）（y x 21-）2 （4）（－x －2y ）2（5）（－x+y 21）2解：例5、利用完全平公式计算：（1）1022 （2）1972 （3）199992－19998×20002解：试一试：计算：123456789×123456787－1234567882=_______________Word 文档应用3、乘法公式的综合应用： 例6、计算：（1）（x+5）2－（x+2）（x －2）（2）（a+b+3）（a+b －3） （3）（a －b+1）（b －a+1）（4）（a+b －c ）2解： 例7、（1）若4ax x 412++是完全平式，则：a=________________（2）若4x 2+1加上一个单项式M 使它成为一个完全平式，则M=_______________ 例8、（1）已知：3a1a =+，则：__________a1a 22=+（2）已知：5a 1a =-，则：__________a 1a 22=+（3）已知：a+b=5，ab=6，则：a 2+b 2=_______（4）已知：（a+b ）2=7，（a －b ）2=3，则：a 2+b 2= ，ab=例9、计算：（1）)1011()411)(311)(211(2222----ΛΛ （2）)12()12)(12)(12)(12(32842+++++ΛΛ解：例10、证明：x 2+y 2+2x －2y+3的值总是正的。
《平方差公式》典型例题
《平方差公式》典型例题例1 下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？（1）)23)(32(m n n m --； （2）)54)(45(xz y z xy --+-；（3）))((c b a a c b ---+； （4）)831)(318(3223x y x xy x +-． （5）))((z y x z y x ++-+-例2 计算：（1）)32)(32(y x y x -+；（2）)53)(53(b a b a ---；（3）))((2332x y y x ---；（4）)543)(534(z y x z x y +--+．例3 计算)3)(3(y xy xy y +---．例4 利用平方差公式计算 ：（1）1999×2001； （2）31393240⨯． 例5 计算：(a -2b )(2a -b )-(2a -b )(b +2a )例6 计算：（1）)32)(311()32)(23(2)2)(2(y x y x x y y x x y y x -------+-（2）))()(()()(2222y x y x y x y x y x ++---+例7 计算：(x 2+4)(x -2)(x +2)例8 填空(1)(a+d)·( )=d 2-a 2(2)(-xy-1)·( )=x 2y 2-1例9 计算)12()12)(12)(12(242++++n参考答案例1 分析：两个多项式相乘，只有当这两个多项式各分为两部分之后，它们的一部分完全相同，而另一部分只有符号不同，才能够运用平方差公式．解：（1）两个二项式的两项分别是m 2，n 3-和m 2-，.3n 两部分的符号都不相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式．（2）这两个二项式的两项分别是xy 5-，z 4和xz 5-，y 4，所含字母不相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式．（3）b 与b -，a -与a ，c 与c -，没有完全相同的项，不能用平方差公式．（4）两个二项式中，38x 完全相同，但231xy -与y x 231-除去符号不同外，相同字母的指数不同，所以不能用平方差公式．（5）x 与x -，y 与y -，只有符号不同，z 完全相同，所以可以用平方差公式．可用平方差公式．例2 分析：在应用乘法公式进行实际问题的计算时，多项式的系数、指数、符号、相对位置不一定符合公式的标准形式，但只要对题目的结构特征进行认真观察，就可以发现这几个题目都可以应用平方差公式进行计算．解： （1）原式22)3()2(y x -=2294y x -=（2）原式)53)](53([b a b a -+-=222222925)259(])5()3[(a b b a b a -=--=--=或原式)35)(35(a b a b --+-=22)3()5(a b --=22925a b -=（3）原式))((3232y x y x --+-=642322)()(y x y x -=--=（4）原式)]54(3)][54(3[z y x z y x ---+=22222222540169)254016(9)54)(54()3(z yz y x z yz y x z y z y x -+-=+--=---=说明：1）乘法公式中的字母b a ,，可以表示数，也可以表示字母，还可以表示一个单项式或多项式；2）适当添加括号，将有利于应用乘法公式，添加括号的方法不同，一题可用多种解法，得出相同的结果；3）一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目，加以调整，使它变化为符合公式标准的形式．例3 分析：本题有四种思路，①它属于多项式乘法可以直接用法则计算．②若将原式整理为)3)](3([xy y xy y -+-可用平方差公式计算．③观察两因式中，都有xy 3-，又有互为相反数的两项，y 和y -，也可以直接用平方差公式计算，可得22)3(y xy --．④可变形为)]3)[(3(xy y xy y +----，得])3([22xy y ---． 解： )3)(3(y xy xy y +---)3)](3([xy y xy y -+-=])3([22xy y ---=2229y x y +-=或)3)(3(y xy xy y +---])3][()3[(y xy y xy +---=22)3(y xy --= 2229y y x -=说明：根据平方差公式的特征，一般常见的变形有位置变化，如))((a b b a +-+．符号变化，系数变化，还有一些较复杂的变形，如))((d b c a d c b a ++---+-，两因式中都有c b -，并且d a --与d a +互为相反数，因此，可以凑成平方差公式的结构特征，即)]())][(()[(d a c b d a c b ++-+--．例4 分析：运用平方差公式可使与例2类似的计算题变得十分简便．运用平方差公式计算两个有理数的积时，关键是要将其写成平方差法：（1）观察法．如第（1）题适合此法；（2）平均数法．如第（2）题中，.40280231393240==+=a 解：（1）1999×2001=2212000)12000)(12000(-=+-（2）31393240⨯)3240)(3240(-+= .951599941600)32(4022=-=-= 说明：在进行有理数运算时适当运用平方差公式会使运算简便．例5 分析：前两个相乘的多项式不符合平方差公式特征，只能用“多项式乘多项式”；后两个多项式相乘可以用平方差公式，算出的结果一定要打上括号，再进行下面的计算.解：(a -2b )(2a -b )-(2a -b )(b +2a )=2a 2-ab -4ab +2b 2-［(2a )2-b 2］ 打括号=2a 2-5ab +2b 2-(4a 2-b 2)=2a 2-5ab +2b 2-4a 2+b 2=-2a 2-5ab +3b 2说明：当进行计算时，用平方差公式计算出的结果一定要打上括号再与其他项进行加、减、乘、除等运算！例6 分析：（1）中的)32)(23(),2)(2(x y y x x y y x ---+-都可以利用平方差公式计算，)32)(311(y x y x --可以利用多项式乘法法则计算．（2）中的22)()(y x y x -+可以逆用幂的运算法则，写成2)])([(y x y x -+再计算．解：（1）原式)93922()23()23(2)]2)(2[(22y xy x y x y x y x y x +---⋅++-+= xy y y xy x y x y x 39189392281842222222+-=-+--+-=（2）原式))(()])([(22222y x y x y x y x +---+=224444222244422224422222)())(()()(y x y yx y y x y x x y x y x y x y x y x -=+-+--=----=---=说明：（1）平方差公式积适用于))((b a b a -+类型的多项式乘法，其中a 、b 可以是数，也可以是单项式或多项式．（2）逆用幂的运算法则，222)])([()()(y x y x y x y x -+=-+是常用的解题技巧．（3）此题中的第（1）题先利用乘法的交换律及结合律合理变形后，可连续运用平方差公式；第（2）题先利用加法结合律，把两个因式变为“两数的和与这两数的差”的形式，进而利用平方差公式计算．这些都是常用的解题技巧．例7 分析：由于运用平方差公式可简化运算，因此可以利用乘法结合律先将可用平方差公式进行计算的部分先计算，而且平方差公式可以连用.解：(x 2+4)(x -2)(x +2)=(x 2+4)［(x -2)(x +2)］=(x 2+4) (x 2-4) 用公式计算后的结果要打括号=（x 2）2-42=x 4-16例8 分析：根据平方差公式右边a 2-b 2中被减数中的a 代表相同的项，而减数中的b 在等式左边中应是互为相反数的两项.（1）中d 2-a 2中的d 在两个二项式中皆为正，而a 在第一个多项式中为正，则在第二个多项式中应为负.(2)中含xy 的项为a ，即相同的项，而含1的项为b ,即互为相反的项.解：（1）2~2~~~~~)()(a d a d d a -=-⋅+====== （2）~~~~~~~~~~~~1)1()1(-=+-⋅--================xy xy xy 例9 分析：在式子前面添上)12(-，便可反复运用平方差公式，以达到简化运算的目的．解：原式)12()12)(12)(12)(12(242++++-=n.14121)2()12()12)(12)(12(22222422-=-=-=+++-=⨯n n n n说明：添加)12(-极富枝巧性，这是一个典型解法，领会好本题将会在今后解决类似问题时受益．。
5、平方差公式
第8课时 平方差公式一、【重点知识】平方差公式:__________________________________________________________.平方差公式特点:______________________________________________________.二、【知识探究】1、计算下列各式：（1）()()22-+x x （2）()()a a 3131-+ （3）()()y x y x 55-+2、观察以上运算过程，你发现了什么规律？3、猜一猜：()()=-+b a b a ________________.4、用较简单的代数式表示下图纸片的面积．(2)沿虚线裁一刀，将不规则的右图重新拼接成一个矩形，并用代数式表示出你新拼图形的面积．你发现了什么结论：__________________________________________三、【典型例题】例1、运用平方差公式计算：（1）()()22-+x x （2）()()a a 3131-+ （3）()()y x y x 55-+例2、巧妙计算：(1)102×98； (2) 103×97； (3)59.8×60.2；例3、运用平方差公式计算：(1)(x+3)(x-3)(x 2+9)； （2）(y+2)(y-2)(y 2+4)．四、【跟踪训练】1、下列各式中哪些可以运用平方差公式计算A 、()()c a b a -+B 、()()x y y x +-+C 、()()ab x x ab ---33D 、()()n m n m +--2、判断对错：（1）()()22422b a a b b a -=-+（ ） （2）1211211212-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x （ ）（3）()()22933y x y x y x -=+--（ ） （4）()()22422y x y x y x -=+--- （ ） （5）()()6322-=-+a a a （ ） （6）()()933-=-+xy y x （ ） 3、计算下列各式：（1）()()b a b a 7474+- （2）()()n m n m ---22（3）()()x x 2525-+- （4）()()233222-+a a（6）()()33221221--+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x五、【拓展延伸】1、填空：（1）()()=-+y x y x 3232 （2）()()116142-=-a a （3）()949137122-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a ab （4）()()229432y x y x -=-+2、求()()()22y x y x y x +-+的值，其中2,5==y x3、化简并求值：（1）(5a+3b)(3b-5a)-(3a-b)(-b-3a)，其中a= -1 b=12-4、先化简，再求值：()()(2)a b a b b b +-+-，其中1a =-，1b =．5、用平方差公式计算（1）19992－1998×2002. （2）2003×2001－20022（3）22222210099989721-+-+⋅⋅⋅+- （4）(3+2)(32+22)(34+24)(38+28)6、如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），把剩下的部分拼成一个梯形，图1中阴影部分的面积为 ，图2中阴影部分的面积为 ，验证了公式 。
平方差公式的运用
5.1( 1 ab c)(c 1 ab).
2
2
(2)(a+3)(a2+9)(a-3).
【解析】
1.(2012·哈尔滨中考)下列运算中，正确的是( )
(A)a3·a4=a12 (B)(a3)4=a12
(C)a+a4=a5
(D)(a+b)(a-b)=a2+b2
【解析】.
2.(-4a-1)与(4a-1)的积等于( )
(2)(a-2b)(-a-2b)
先对前两个括号内的式子做乘法.
=(-2b+a)(-2b-a)………………………………………………1分
=(-2b)2-a2=4b2-a2.……………………………………………3
分
(3)(a-b)(a+b)(a2+b2)
=(a2-b2)(a2+b2) ……………………………………………1分
2.观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？ 答：上述各式的左边是二项式乘以二项式,即是两个数的___与 它们的___的乘积，结果等于这两数的_______. 【归纳】两数___与这两数___的积,等于它们的_______，即 (a+b)(a-b)=_____. 【点拨】运用平方差公式进行运算时,要分清公式中的a，b分 别代表着什么.
=(a2)2-(b2)2=a4-b4.……………………………………… 3分
【规律总结】 运用平方差公式进行计算的“三步法”
变形 将算式变形为两数和与两数差的积的形式
套公式 套用公式，将结果写成两数平方差的形式
计算
根据积的乘方计算.套用平方差公式时，结果为 (完全相同项)2-(互为相反数的项)2
【跟踪训练】
平方差、完全平方公式
出色教育教学讲义第次课讲义名称：整式的乘除4（平方差、完全平方）教学目标1．经历探索平方差、完全平方公式的过程．2．会推导平方差、完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算．教学重点平方差、完全平方公式的推导和应用教学难点理解平方差、完全平方公式的结构特征，灵活应用平方差公式．知识讲解【知识要点】考点1：平方差平方差公式：两数之和与两数之差的积，等于它们的平方差.推导过程：【典型例题1】求下列多项式的积：（1）（x+1）（x-1）（2）（m+2）（m-2）（3）（2x+1）（2x-1）（4）（x+5y）（x-5y）【典型例题2】运用平方差公式计算：（1）（3x+2）（3x-2）（2）（b+2a）（2a-b）（3）（-x+2y）（-x-2y）【典型例题3】你能用简便方法计算下列各题吗？（1）2001×1999 （2）998×1002考点2：完全平方公式完全平方公式：两个数的平方和，加上这两个数的积的两倍，等于这两数和的平方推导过程：【典型例题1】【典型例题2】【典型例题3】知识运用 【典型例题4】【课堂练习】一、选择题1、下列运算正确的是（ ）A 、223)3)(3(y x y x y x -=-+B 、229)3)(3(y x y x y x -=--C 、229)3)(3(y x y x y x --=-+-D 、229)3)(3(y x y x y x -=--+-2、下列算式可用平方差公式的是（ ）A 、（m+2m ）(m-2m)B 、（-m-n ）(m+n)C 、（-m-n ）(m-n)D 、（m-n ）(-m+n)3、计算2)55)(5151(y y x y x -+-+的结果是( ) A 、x 2 B 、-x 2 C 、2y 2-x 2 D 、x 2-2y 24.（-x 2-y ）2的运算结果正确的是 （ ）A.—x 2-2xy+y 2B.-x 4-2x 2y+y 2C.x 4+2x 2y+y 2D.x 4-2x 2y+y 25.下列各式计算结果是2mn-m 2-n 2的是（ ）A.（m-n ）2B.-（m-n ）2C.-（m+n ）2D.(m+n)26.下列等式：①（a-b ）2=（b-a ）2②（a+b ）2=（-a-b ）2③（a-b ）2=（a+b ）2④a 2-b 2=(b-a)(-b-a)⑤(a+b)(a-b)=(b+a)(b-a).其中一定成立的是（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个7.计算（-x-2y ）2的结果是( )A.x 2-4xy+4y 2B.-x 2-4xy-4y 2C.x 2+4xy+4y 2D.-x 2+4xy-4y 28.若（9+x 2）(x+3)( )=x 4-81,则括号里应填入的因式是( )A.x-3B.3-xC.3+xD.x-99.计算（a m +b n ）(a 2m -b 2n )(a m -b n )正确的是 （ ）A.a 4m -2a 2m b 2n +b 4mB.a 4m -b 4C.a 4m +b 4nD.a 2m +b 2n +2a m b n10.（3x+2y ）2=(3x-2y)2+A,则代数式A 是 （ ）A.-12xyB.12xyC.24xyD.-24xy二、填空题11.（a-b+1）（a+b-1）= .12.已知x 2+4x+y 2-2y+5=0,则x+y= .13.已知0)13(132=+++-x y x ，则x 2+y 2= .14.若x+y=3,x-y=1,则x 2+y 2= xy= .15.22491)(_____)231(y x y x -=+- 16.(1+4m 2) (_____) (______)=1-16m 417.x 2-px+16是完全平方式，则p= .18.(a+b)2= (a-b)2+________.19.若x+2y=3,xy=2,则x 2+4y 2=______.20.已知(x+y)2=9,(x-y)2=5,则xy=三、解答题21.计算：①)2)(2(b a b a --+- ②2009200720082⨯-③))()((22b a b a b a +-+ ④ 22)1()3(--+a a⑤.,12,222的值求若b a b a b a +=-=-22.①已知a2-8a+k是完全平方式，试问k的值.②已知x2+mx+9是完全平方式，求m的值..【课后练习】1．计算：（1）（x﹣y）（x+y）（x2+y2）（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c）2．计算：1232﹣124×122．3．计算：．4．（x﹣2y+z）（﹣x+2y+z）．5．运用公式计算．（1）（x+y）2﹣（x﹣y）2；（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2）；知识归纳两条公式平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2。
平方差公式练习题精选(含答案)
平方差公式1、利用平方差公式计算：（1）(m+2) (m-2)(2)(1+3a) (1-3a)(3) (x+5y)(x-5y)(4)(y+3z) (y-3z)2、利用平方差公式计算（1）(5+6x)(5-6x)(2)(x-2y)(x+2y)(3)(-m+n)(-m-n)3利用平方差公式计算（1）(1)(-41x-y)(-41x+y)(2)(ab+8)(ab-8)(3)(m+n)(m-n)+3n 24、利用平方差公式计算(1)(a+2)(a-2)(2)(3a+2b)(3a-2b)(3)(-x+1)(-x-1)(4)(-4k+3)(-4k-3)5、利用平方差公式计算（1）803×797（2）398×4027．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）A ．（a+b ）（b+a ）B ．（－a+b ）（a －b ）C ．（13a+b ）（b －13a ） D ．（a 2－b ）（b 2+a ） 8．下列计算中，错误的有（ ）①（3a+4）（3a －4）=9a 2－4；②（2a 2－b ）（2a 2+b ）=4a 2－b 2；③（3－x ）（x+3）=x 2－9；④（－x+y ）·（x+y ）=－（x －y ）（x+y ）=－x 2－y 2．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．若x 2－y 2=30，且x －y=－5，则x+y 的值是（ ）A ．5B ．6C ．－6D ．－510．（－2x+y ）（－2x －y ）=______．11．（－3x 2+2y 2）（______）=9x 4－4y 4．12．（a+b －1）（a －b+1）=（_____）2－（_____）2．13．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．14．计算：（a+2）（a 2+4）（a 4+16）（a －2）．完全平方公式1利用完全平方公式计算：（1）（21x+32y)2 (2)(-2m+5n)2(3)（2a+5b)2(4)(4p-2q)2 2利用完全平方公式计算：（1）(21x-32y 2)2 (2)(1.2m-3n)2(3)(-21a+5b)2 (4)(-43x-32y)23 (1)(3x-2y)2+(3x+2y)2 (2)4(x-1)(x+1)-（2x+3)2(a+b)2-(a-b)2 (4)(a+b-c)2(5)(x-y+z)(x+y+z) (6)(mn-1)2—（mn-1)(mn+1)4先化简，再求值：(x+y)2-4xy,其中x=12,y=9。
平方差公式与完全平方公式
文案大全平方差公式与完全平方公式（a+b ）2 = a 2+2ab+b 2（a －b ）2=a 2－2ab+b 2（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2应用1、平方差公式的应用：例1、利用平方差公式进行计算：（1）（5+6x ）（5－6x ） （2）（x ＋2y ）（x －2y ）（3）（－m ＋n ）（－m －n ）解：例2、计算： （1）（y x 41--）（y x 41+-） （2）（－m －n ）（m －n ）（3）（m ＋n ）（n －m ）+3m 2（4）（x+y ）（x －y ）（x 2－y 2）解：例3、计算：（1）103×97 （2）118×122 （3）32203119⨯ 解：应用2、完全平方公式的应用：例4、计算：（1）（2x －3）2 （2）（4x+5y ）2 （3）（y x 21-）2 （4）（－x －2y ）2（5）（－x+y 21）2解：例5、利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972 （3）199992－19998×20002解：试一试：计算：123456789×123456787－1234567882=_______________文案大全应用3、乘法公式的综合应用： 例6、计算：（1）（x+5）2－（x+2）（x －2） （2）（a+b+3）（a+b －3） （3）（a －b+1）（b －a+1）（4）（a+b －c ）2解： 例7、（1）若4ax x 412++是完全平方式，则：a=________________（2）若4x 2+1加上一个单项式M 使它成为一个完全平方式，则M=_______________ 例8、（1）已知：3a1a =+，则：__________a1a 22=+（2）已知：5a 1a =-，则：__________a 1a 22=+（3）已知：a+b=5，ab=6，则：a 2+b 2=_______（4）已知：（a+b ）2=7，（a －b ）2=3，则：a 2+b 2= ，ab=例9、计算：（1）)1011()411)(311)(211(2222---- （2）)12()12)(12)(12)(12(32842+++++解：例10、证明：x 2+y 2+2x －2y+3的值总是正的。
《平方差公式》典型例题
《平方差公式》典型例题例1 下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能（1）)23)(32(m n n m --； （2）)54)(45(xz y z xy --+-；（3）))((c b a a c b ---+； （4）)831)(318(3223x y x xy x +-． （5）))((z y x z y x ++-+-例2 计算：（1）)32)(32(y x y x -+；（2）)53)(53(b a b a ---；（3）))((2332x y y x ---；（4）)543)(534(z y x z x y +--+．例3 计算)3)(3(y xy xy y +---．】例4 利用平方差公式计算 ：（1）1999×2001； （2）31393240⨯． 例5 计算：(a -2b )(2a -b )-(2a -b )(b +2a )例6 计算：（1）)32)(311()32)(23(2)2)(2(y x y x x y y x x y y x -------+-（2）))()(()()(2222y x y x y x y x y x ++---+例7 计算：(x 2+4)(x -2)(x +2)例8 填空(1)(a+d )·( )=d 2-a 2(2)(-xy-1)·( )=x 2y 2-1$例9 计算)12()12)(12)(12(242++++n参考答案例1 分析：两个多项式相乘，只有当这两个多项式各分为两部分之后，它们的一部分完全相同，而另一部分只有符号不同，才能够运用平方差公式．解：（1）两个二项式的两项分别是m 2，n 3-和m 2-，.3n 两部分的符号都不相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式．（2）这两个二项式的两项分别是xy 5-，z 4和xz 5-，y 4，所含字母不相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式．（3）b 与b -，a -与a ，c 与c -，没有完全相同的项，不能用平方差公式．（4）两个二项式中，38x 完全相同，但231xy -与y x 231-除去符号不同外，相同字母的指数不同，所以不能用平方差公式．（5）x 与x -，y 与y -，只有符号不同，z 完全相同，所以可以用平方差公式．可用平方差公式．例2 分析：在应用乘法公式进行实际问题的计算时，多项式的系数、指数、符号、相对位置不一定符合公式的标准形式，但只要对题目的结构特征进行认真观察，就可以发现这几个题目都可以应用平方差公式进行计算．解： （1）原式22)3()2(y x -=2294y x -= …（2）原式)53)](53([b a b a -+-=222222925)259(])5()3[(a b b a b a -=--=--=或原式)35)(35(a b a b --+-=22)3()5(a b --=22925a b -=（3）原式))((3232y x y x --+-=642322)()(y x y x -=--=（4）原式)]54(3)][54(3[z y x z y x ---+=22222222540169)254016(9)54)(54()3(z yz y x z yz y x z y z y x -+-=+--=---=说明：1）乘法公式中的字母b a ,，可以表示数，也可以表示字母，还可以表示一个单项式或多项式；2）适当添加括号，将有利于应用乘法公式，添加括号的方法不同，一题可用多种解法，得出相同的结果；3）一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目，加以调整，使它变化为符合公式标准的形式．例3 分析：本题有四种思路，①它属于多项式乘法可以直接用法则计算．②若将原式整理为)3)](3([xy y xy y -+-可用平方差公式计算．③观察两因式中，都有xy 3-，又有互为相反数的两项，y 和y -，也可以直接用平方差公式计算，可得22)3(y xy --．④可变形为)]3)[(3(xy y xy y +----，得])3([22xy y ---． |解： )3)(3(y xy xy y +---)3)](3([xy y xy y -+-=])3([22xy y ---=2229y x y +-=或)3)(3(y xy xy y +---])3][()3[(y xy y xy +---=22)3(y xy --= 2229y y x -=说明：根据平方差公式的特征，一般常见的变形有位置变化，如))((a b b a +-+．符号变化，系数变化，还有一些较复杂的变形，如))((d b c a d c b a ++---+-，两因式中都有c b -，并且d a --与d a +互为相反数，因此，可以凑成平方差公式的结构特征，即)]())][(()[(d a c b d a c b ++-+--．例4 分析：运用平方差公式可使与例2类似的计算题变得十分简便．运用平方差公式计算两个有理数的积时，关键是要将其写成平方差法：（1）观察法．如第（1）题适合此法；（2）平均数法．如第（2）题中，.40280231393240==+=a 解：（1）1999×2001=2212000)12000)(12000(-=+-（2）31393240⨯)3240)(3240(-+= >.951599941600)32(4022=-=-= 说明：在进行有理数运算时适当运用平方差公式会使运算简便．例5 分析：前两个相乘的多项式不符合平方差公式特征，只能用“多项式乘多项式”；后两个多项式相乘可以用平方差公式，算出的结果一定要打上括号，再进行下面的计算.解：(a -2b )(2a -b )-(2a -b )(b +2a )=2a 2-ab -4ab +2b 2-［(2a )2-b 2］ 打括号=2a 2-5ab +2b 2-(4a 2-b 2)=2a 2-5ab +2b 2-4a 2+b 2=-2a 2-5ab +3b 2说明：当进行计算时，用平方差公式计算出的结果一定要打上括号再与其他项进行加、减、乘、除等运算！例6 分析：（1）中的)32)(23(),2)(2(x y y x x y y x ---+-都可以利用平方差公式计算，)32)(311(y x y x --可以利用多项式乘法法则计算．（2）中的22)()(y x y x -+可以逆用幂的运算法则，写成2)])([(y x y x -+再计算．：解：（1）原式)93922()23()23(2)]2)(2[(22y xy x y x y x y x y x +---⋅++-+=xy y y xy x y x y x 39189392281842222222+-=-+--+-=（2）原式))(()])([(22222y x y x y x y x +---+=224444222244422224422222)())(()()(y x y yx y y x y x x y x y x y x y x y x -=+-+--=----=---=说明：（1）平方差公式积适用于))((b a b a -+类型的多项式乘法，其中a 、b 可以是数，也可以是单项式或多项式．（2）逆用幂的运算法则，222)])([()()(y x y x y x y x -+=-+是常用的解题技巧．（3）此题中的第（1）题先利用乘法的交换律及结合律合理变形后，可连续运用平方差公式；第（2）题先利用加法结合律，把两个因式变为“两数的和与这两数的差”的形式，进而利用平方差公式计算．这些都是常用的解题技巧．例7 分析：由于运用平方差公式可简化运算，因此可以利用乘法结合律先将可用平方差公式进行计算的部分先计算，而且平方差公式可以连用.解：(x 2+4)(x -2)(x +2)=(x 2+4)［(x -2)(x +2)］=(x 2+4) (x 2-4) 用公式计算后的结果要打括号%=（x 2）2-42=x 4-16例8 分析：根据平方差公式右边a 2-b 2中被减数中的a 代表相同的项，而减数中的b 在等式左边中应是互为相反数的两项.（1）中d 2-a 2中的d 在两个二项式中皆为正，而a 在第一个多项式中为正，则在第二个多项式中应为负.(2)中含xy 的项为a ，即相同的项，而含1的项为b ,即互为相反的项.解：（1）2~2~~~~~)()(a d a d d a -=-⋅+====== （2）~~~~~~~~~~~~1)1()1(-=+-⋅--================xy xy xy例9 分析：在式子前面添上)12(-，便可反复运用平方差公式，以达到简化运算的目的．解：原式)12()12)(12)(12)(12(242++++-=n .14121)2()12()12)(12)(12(22222422-=-=-=+++-=⨯n n n n说明：添加)12(-极富枝巧性，这是一个典型解法，领会好本题将会在今后解决类似问题时受益．。
平方差公式
• 1定义 • 两个数的和与这两个数的差的积等于 这两个数的平方差，用字母表示为。 • 2平方差公式的口诀 • 求同存平方差，全靠符号分两家。 • 同平方、异平方，再把同方减异方。
• 平方差公式中常见错误有： • ①学生难于跳出原有的定式思维，如典型错误;(错因： 在公式的基础上类推，随意“创造”) • ②混淆公式; • ③运算结果中符号错误; • ④变式应用难以掌握。 。 •
• 9例题 • 利用公式计算 • (1) 103×97 • 解：(100+3)×(100-3) 2 2 • =100 -3 • =100×100-3×3 • =10000-9 • =9991
2
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• •
(2) (5+6x)(5-6x) 2 2 解：5 -(6x) 2 =25-36x
2
• （3）(X+Y)(X-Y) 2）（3x-2） • （5）（b+2a）（2a-b） • （6）（-x+2y）（-x-2y） • 解（4）中可以把3x看作a，2看作b． 即：（3x+2） 2 2 2 2 （3x-2）=（3x） - 2 （a + b）（a - b） = a - b 同 样的方法可以完成 • （5）、（6）如果形式上不符合公式特征，可以 做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特 征。比如（5）应先作如下转化： （b+2a）（2ab）=（2a+b）（2a-b）。 如果转化后还不能符合 公式特征，则应考虑多项式的乘法法则。
• 目 录 • 1定义 • 2平方差公式的口诀 • 3公式运用 • 4说明 • 5变化形式 • 6常见错误 • 7公式 • 8注意事项 • 9例题
10道平方差公式的计算题
10道平方差公式的计算题一、10道平方差公式计算题。
1. 计算(3x + 2)(3x - 2)- 解析：根据平方差公式(a + b)(a - b)=a^2-b^2，这里a = 3x，b=2。
- 计算过程：(3x + 2)(3x - 2)=(3x)^2-2^2=9x^2-4。
2. 计算(5y-1)(5y + 1)- 解析：根据平方差公式(a + b)(a - b)=a^2-b^2，这里a = 5y，b = 1。
- 计算过程：(5y-1)(5y + 1)=(5y)^2-1^2=25y^2-1。
3. 计算(2m+3n)(2m - 3n)- 解析：根据平方差公式(a + b)(a - b)=a^2-b^2，这里a = 2m，b = 3n。
- 计算过程：(2m + 3n)(2m-3n)=(2m)^2-(3n)^2=4m^2-9n^2。
4. 计算(x + 5)(x - 5)- 解析：根据平方差公式(a + b)(a - b)=a^2-b^2，这里a=x，b = 5。
- 计算过程：(x + 5)(x - 5)=x^2-5^2=x^2-25。
5. 计算(4a - 3b)(4a+3b)- 解析：根据平方差公式(a + b)(a - b)=a^2-b^2，这里a = 4a，b = 3b。
- 计算过程：(4a - 3b)(4a + 3b)=(4a)^2-(3b)^2=16a^2-9b^2。
6. 计算(-x+2y)(-x - 2y)- 解析：根据平方差公式(a + b)(a - b)=a^2-b^2，这里a=-x，b = 2y。
- 计算过程：(-x + 2y)(-x-2y)=(-x)^2-(2y)^2=x^2-4y^2。
7. 计算((1)/(2)m+(1)/(3)n)((1)/(2)m-(1)/(3)n)- 解析：根据平方差公式(a + b)(a - b)=a^2-b^2，这里a=(1)/(2)m，b=(1)/(3)n。
(附答案)《平方差公式》典型例题
《平方差公式》典型例题例1 下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？（1）)23)(32(m n n m --； （2）)54)(45(xz y z xy --+-；（3）))((c b a a c b ---+； （4）)831)(318(3223x y x xy x +-． （5）))((z y x z y x ++-+-例2 计算：（1）)32)(32(y x y x -+；（2）)53)(53(b a b a ---；（3）))((2332x y y x ---；（4）)543)(534(z y x z x y +--+．例3 计算)3)(3(y xy xy y +---．例4 利用平方差公式计算 ：（1）1999×2001； （2）31393240⨯． 例5 计算：(a -2b )(2a -b )-(2a -b )(b +2a )例6 计算：（1）)32)(311()32)(23(2)2)(2(y x y x x y y x x y y x -------+-（2）))()(()()(2222y x y x y x y x y x ++---+例7 计算：(x 2+4)(x -2)(x +2)例8 填空(1)(a+d)·( )=d 2-a 2(2)(-xy-1)·( )=x 2y 2-1例9 计算)12()12)(12)(12(242++++n参考答案例1 分析：两个多项式相乘，只有当这两个多项式各分为两部分之后，它们的一部分完全相同，而另一部分只有符号不同，才能够运用平方差公式．解：（1）两个二项式的两项分别是m 2，n 3-和m 2-，.3n 两部分的符号都不相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式．（2）这两个二项式的两项分别是xy 5-，z 4和xz 5-，y 4，所含字母不相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式．（3）b 与b -，a -与a ，c 与c -，没有完全相同的项，不能用平方差公式．（4）两个二项式中，38x 完全相同，但231xy -与y x 231-除去符号不同外，相同字母的指数不同，所以不能用平方差公式．（5）x 与x -，y 与y -，只有符号不同，z 完全相同，所以可以用平方差公式．可用平方差公式．例2 分析：在应用乘法公式进行实际问题的计算时，多项式的系数、指数、符号、相对位置不一定符合公式的标准形式，但只要对题目的结构特征进行认真观察，就可以发现这几个题目都可以应用平方差公式进行计算．解： （1）原式22)3()2(y x -=2294y x -=（2）原式)53)](53([b a b a -+-=222222925)259(])5()3[(a b b a b a -=--=--=或原式)35)(35(a b a b --+-=22)3()5(a b --=22925a b -=（3）原式))((3232y x y x --+-=642322)()(y x y x -=--=（4）原式)]54(3)][54(3[z y x z y x ---+=22222222540169)254016(9)54)(54()3(z yz y x z yz y x z y z y x -+-=+--=---=说明：1）乘法公式中的字母b a ,，可以表示数，也可以表示字母，还可以表示一个单项式或多项式；2）适当添加括号，将有利于应用乘法公式，添加括号的方法不同，一题可用多种解法，得出相同的结果；3）一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目，加以调整，使它变化为符合公式标准的形式．例3 分析：本题有四种思路，①它属于多项式乘法可以直接用法则计算．②若将原式整理为)3)](3([xy y xy y -+-可用平方差公式计算．③观察两因式中，都有xy 3-，又有互为相反数的两项，y 和y -，也可以直接用平方差公式计算，可得22)3(y xy --．④可变形为)]3)[(3(xy y xy y +----，得])3([22xy y --．解： )3)(3(y xy xy y +---)3)](3([xy y xy y -+-=])3([22xy y --=2229y x y +-=或)3)(3(y xy xy y +---])3][()3[(y xy y xy +---=22)3(y xy --=2229y y x -=说明：根据平方差公式的特征，一般常见的变形有位置变化，如))((a b b a +-+．符号变化，系数变化，还有一些较复杂的变形，如))((d b c a d c b a ++---+-，两因式中都有c b -，并且d a --与d a +互为相反数，因此，可以凑成平方差公式的结构特征，即)]())][(()[(d a c b d a c b ++-+--．例4 分析：运用平方差公式可使与例2类似的计算题变得十分简便．运用平方差公式计算两个有理数的积时，关键是要将其写成平方差法：（1）观察法．如第（1）题适合此法；（2）平均数法．如第（2）题中，.40280231393240==+=a 解：（1）1999×2001=2212000)12000)(12000(-=+-（2）31393240⨯)3240)(3240(-+= .951599941600)32(4022=-=-= 说明：在进行有理数运算时适当运用平方差公式会使运算简便．例5 分析：前两个相乘的多项式不符合平方差公式特征，只能用“多项式乘多项式”；后两个多项式相乘可以用平方差公式，算出的结果一定要打上括号，再进行下面的计算.解：(a -2b )(2a -b )-(2a -b )(b +2a )=2a 2-ab -4ab +2b 2-［(2a )2-b 2］ 打括号=2a 2-5ab +2b 2-(4a 2-b 2)=2a 2-5ab +2b 2-4a 2+b 2=-2a 2-5ab +3b 2说明：当进行计算时，用平方差公式计算出的结果一定要打上括号再与其他项进行加、减、乘、除等运算！例6 分析：（1）中的)32)(23(),2)(2(x y y x x y y x ---+-都可以利用平方差公式计算，)32)(311(y x y x --可以利用多项式乘法法则计算．（2）中的22)()(y x y x -+可以逆用幂的运算法则，写成2)])([(y x y x -+再计算．解：（1）原式)93922()23()23(2)]2)(2[(22y xy x y x y x y x y x +---⋅++-+=xy y y xy x y x y x 39189392281842222222+-=-+--+-=（2）原式))(()])([(22222y x y x y x y x +---+=224444222244422224422222)())(()()(y x y yx y y x y x x y x y x y x y x y x -=+-+--=----=---=说明：（1）平方差公式积适用于))((b a b a -+类型的多项式乘法，其中a 、b可以是数，也可以是单项式或多项式．（2）逆用幂的运算法则，222)])([()()(y x y x y x y x -+=-+是常用的解题技巧．（3）此题中的第（1）题先利用乘法的交换律及结合律合理变形后，可连续运用平方差公式；第（2）题先利用加法结合律，把两个因式变为“两数的和与这两数的差”的形式，进而利用平方差公式计算．这些都是常用的解题技巧．例7 分析：由于运用平方差公式可简化运算，因此可以利用乘法结合律先将可用平方差公式进行计算的部分先计算，而且平方差公式可以连用.解：(x 2+4)(x -2)(x +2)=(x 2+4)［(x -2)(x +2)］=(x 2+4) (x 2-4) 用公式计算后的结果要打括号=（x 2）2-42=x 4-16例8 分析：根据平方差公式右边a 2-b 2中被减数中的a 代表相同的项，而减数中的b 在等式左边中应是互为相反数的两项.（1）中d 2-a 2中的d 在两个二项式中皆为正，而a 在第一个多项式中为正，则在第二个多项式中应为负.(2)中含xy 的项为a ，即相同的项，而含1的项为b ,即互为相反的项.解：（1）2~2~~~~~)()(a d a d d a -=-⋅+====== （2）~~22~~~~~~~~~~1)1()1(-=+-⋅--================y x xy xy 例9 分析：在式子前面添上)12(-，便可反复运用平方差公式，以达到简化运算的目的．解：原式242(21)(21)(21)(21)(21)n=-++++L224222222(21)(21)(21)(21)(2)12141.n n n n ⨯=-+++=-=-=-L说明：添加)12(-极富技巧性，这是一个典型解法，领会好本题将会在今后解决类似问题时受益．学习这件事，不是缺乏时间，而是缺乏努力。
16平方差公式(基础)知识讲解及其练习 含答案
平方差公式（基础） 知识讲解【学习目标】1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】要点一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b -=+-要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】类型一、公式法——平方差公式1、（•富顺县校级模拟）下列各式能用平方差公式分解因式的有（ ） ①x 2+y 2；②x 2﹣y 2；③﹣x 2﹣y 2；④﹣x 2+y 2；⑤﹣x 2+2xy ﹣y 2． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【思路点拨】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，进而可得答案．【答案与解析】解：下列各式能用平方差公式分解因式的有；②x 2﹣y 2；④﹣x 2+y 2；，共2个，故选：B ．【总结升华】能否运用平方差公式分解因式，应紧紧抓住平方差公式的特点进行判断．分别从项数、符号、平方项等方面来判断．2、分解因式：（1）229a b -； （2）22251x y -； （3）22168194a b -+； （4）214m -+． 【思路点拨】本题都符合平方差公式的特点，可以分别写成两数（式）平方差的形式，然后运用平方差公式进行因式分解. 【答案与解析】解：（1）22229(3)(3)(3)a b a b a b a b -=-=+-．（2）2222251(5)1(51)(51)x y xy xy xy -=-=+-．（3）2222168194949494232323a b b a b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（4）22214(2)1(21)(21)m m m m -+=-=+-．【总结升华】（1）可以利用加法的交换律把负平方项交换放在后面．（2）“1”是平方项，可以写成“21”．（3）一定要把两项写成22a b -的形式，再套用平方差公式．举一反三：【变式1】分解因式：（1）212516m -；（2）22(2)16(1)x x -++-． 【答案】解：（1）212516m -22111555444m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（2）22(2)16(1)x x -++-2216(1)(2)x x =--+[4(1)(2)][4(1)(2)]x x x x =-++--+(36)(52)3(2)(52)x x x x =--=--．【变式2】（2015春•泗阳县期末）下列各式能用平方差公式计算的是（ ） A.（2a+b ）（2b ﹣a ） B.（﹣x+1）（﹣x ﹣1）C.（a+b ）（a ﹣2b ）D.（2x ﹣1）（﹣2x+1）【答案】B ．类型二、平方差公式的应用3、（春•开江县期末）计算20152﹣2014×2016的结果是（ ） A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1【思路点拨】原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果． 【答案】D ；【解析】解：原式=20152﹣（2015﹣1）×（2015+1）=20152﹣（20152﹣1）=20152﹣20152+1=1， 故选D.【总结升华】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 举一反三：【变式1】如图，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形)(b a >，把余下的部分剪成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是（）A.()()22a b a b a b-=+- B. ()2222a b a ab b+=++C. ()2222a b a ab b-=-+ D. ()()2222a b a b a ab b+-=+-【答案】A；【变式2】用简便方法计算：（1）2199919982000-⨯；（2）2253566465⨯-⨯.【答案】解：（1）原式()()219991999119991=--+221999199911=-+=（2）原式()226535456=⨯-()()65354655354656100070420000=⨯+-=⨯⨯=4、已知大正方形的周长比小正方形的周长长96厘米，它们的面积相差960平方厘米．求两个正方形的边长．【答案与解析】解：设大正方形的边长为a，则小正方形的边长为(a－24)．依题可列22(24)960a a--=．运用平方差公式：[a＋(a－24)][ a－(a－24)]＝960．24(2a－24)＝960．解得a＝32．a－24＝32－24＝8．答：它们的边长分别为32厘米，8厘米．【总结升华】无论在哪一方面应用因式分解，都须仔细观察，是有公因式还是符合公式，切忌不能盲目乱用，这样应用起来才能达到真正意义上的化简，不然反而走向误区，就是说不要为用因式分解而用，要因题用，能用则用，不能用千万别用，千万别硬套.【巩固练习】 一.选择题1. （春•乐业县期末）下列各式中，哪项可以使用平方差公式分解因式（ ）A ．﹣a 2﹣b 2B ．﹣a 2+9C ．p 2﹣（﹣q 2）D ．a 2﹣b 3 一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（）．A ．46-bB ．64b -C ．46+bD ．46--b3. ()22a b c --有一个因式是a b c +-,则另一个因式为( )A.a b c --B.a b c ++C. a b c +-D.a b c -+4． 在一个边长为12.75cm 的正方形内挖去一个边长为7.25cm 的正方形，则剩下的面积应当是（ ） A ．220cm B ．2200cm C ．2110cm D ．211cm 5. （•赤峰模拟）已知a+b=4，a ﹣b=3，则a 2﹣b 2=（ ） A.4 B. 3 C.12 D.1 6. 下列分解因式结果正确的是（ ）A.()223633x y xy xy x y +=+B.()()()()222233x y x y x y x y +-+=++ C.()()422111x x x -=+- D.()()3312322x x x x x -=+-二.填空题7. （•济南）分解因式：a 2﹣4b 2= ．8. 利用因式分解计算：22401599-=__________，2211387-=____________. 9. 分解因式：42x x -=___________，()()244ba a -+-=______________.10.（•杭州模拟）若a+2b=﹣3，a 2﹣4b 2=24，则a ﹣2b+1= ． 11. 若多项式24a M +能用平方差公式分解因式，那么单项式M ＝________.（写出一个即可）12. 用公式简算：22200820082009+-＝________________. 三. 解答题13. 把下列各式因式分解（1）2249a b - （2）4481m n -（3）622123a a b - （4）()2231a b b b -+-.14. 已知23x y +=，22415x y -=-. (1)求2x y -的值; (2)求x 和y 的值.15.（春•牟定县校级期末）新实验中学校园正在进行绿地改造，原有一正方形绿地，现将它每边都增加3米，面积则增加了63平方米，问原绿地的边长为多少？原绿地的面积又为多少？【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】B ；【解析】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，据此判断即可． 2. 【答案】B ；【解析】33336(2)(2)(2)(2)4b b b b b +-=+-=-. 3. 【答案】D ；【解析】()()()22a b c a b c a b c --=+--+. 4. 【答案】C ；【解析】()()2212.757.2512.757.2512.757.2520 5.5110-=+-=⨯=.5. 【答案】C ；【解析】解：∵a+b=4，a ﹣b=3，∴原式=（a+b ）（a ﹣b ）=12， 故选C.6. 【答案】D ；【解析】()()()()()()2222333x y x y x y x y x y x y +-+=+-=+-； ()()()()()4222111111x x x x x x -=+-=++-. 二.填空题7. 【答案】（a +2b ）（a ﹣2b ）. 8. 【答案】－198000；5200；【解析】()()()224015994015994015991000198198000-=+-=⨯-=-；()()22113871138711387200265200-=+-=⨯=.9. 【答案】()()211xx x +-；()()()411a b b -+-【解析】()()()42222111x x x x x x x -=-=+-； ()()()()224444ba ab a a -+-=---()()()()()241411a b a b b =--=-+-.10.【答案】-7；【解析】解：∵a+2b=﹣3，a 2﹣4b 2=（a+2b ）（a ﹣2b ）=24，∴a ﹣2b=﹣8，则原式=﹣8+1=﹣7． 故答案为：﹣7. 11.【答案】2x -；12.【答案】－2009；【解析】()()2220082008200920082008200920082009+-=++- 200840172009=-=-. 三.解答题 13.【解析】解：（1）()()22492323a b a b a b -=+-； （2）()()()()()442222228199933m n m n mn m n m n m n -=+-=++-；（3）()()()62224222212334322a a b a a b a a b a b -=-=+-；（4）()()()()()()223221111a b b b a b b b b a b a b -+-=---=-+-.14.【解析】解：()()()224223215x y x y x y x y -=+-=-=-∴25x y -=-解方程组2325x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得12x y =-⎧⎨=⎩.15.【解析】解：设原绿地的边长为x 米，则新绿地的边长为x+3米，根据题意得，（x+3）2﹣x 2=63， 由平方差公式得，（x+3+x ）（x+3﹣x ）=63， 解得，x=9；∴原绿地的面积为：9×9=81（平方米）；答：原绿地的边长为9米，原绿地的面积为81平方米．。
数学公式-平方差公式
平方差公式表达式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2，两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式公式运用可用于某些分母含有根号的分式：1/（3-4倍根号2）化简：1（3+4倍根号2）/（3-4倍根号2)^2;=(3+4倍根号2)/(9-32)=(3+4倍根号2）/-23[解方程]x^2-y^2=1991[思路分析]利用平方差公式求解[解题过程]x^2-y^2=1991(x+y)(x-y)=1991因为1991可以分成11991，11181所以如果x+y=1991，x-y=1，解得x=996，y=995如果x+y=181，x-y=11，x=96，y=85同时也可以是负数所以解有x=996，y=995，或x=996，y=-995，或x=-996，y=995或x=-996，y=-995或x=96，y=85，或x=96，y=-85或x=-96，y=85或x=-96，y=-85有时应注意加减的过程。
常见错误平方差公式中常见错误有：①学生难于跳出原有的定式思维，如典型错误；（错因：在公式的基础上类推，随意创造）②混淆公式；③运算结果中符号错误；④变式应用难以掌握。
三角平方差公式三角函数公式中，有一组公式被称为三角平方差公式：(sinA)^2-(sinB)^2=(cosB)^2-(cosA)^2=sin(A+B)sin(A-B)(cosA)^2-(sinB)^2=(cosB)^2-(sinA)^2=cos(A+B)sin(A-B)这组公式是化积公式的一种，由于酷似平方差公式而得名，主要用于解三角形。
注意事项1、公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。
2、右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。
3、公式中的a.b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。
例题一，利用公式计算(1) 10397解：(100+3)(100-3)=（100）^2-（3）^2=100100-33=10000-9=9991(2) (5+6x)(5-6x) 解：5^2-（6x)^2 =25-36x^2。