【线性代数】第05章_03
线性代数第五章知识要点
2) 对应于同一个特征值的特征向量的非零线 性组合仍是该特征值的特征向量. 性组合仍是该特征值的特征向量
3. 相似矩阵 (1) 定义 7 设 A、B 都是 n 阶方阵 若有可 阶方阵,若有可 、
逆方阵 P , 使 P-1AP = B , 相似矩阵, 或说矩阵 相似, 则称 B 是 A 的相似矩阵 或说矩阵 A 与 B 相似 记作 A ~ B.
准形(或法式) 准形(或法式).
(3) 化二次型为标准形 1) 任给可逆矩阵 令 B = CTAC,如果 A 为 任给可逆矩阵C, 如果
对称矩阵, 亦为对称矩阵, 对称矩阵 则 B 亦为对称矩阵 且 R(B) = R(A).
2) 任给实二次型 f =
i,j =1
∑a
n
ij
xi x j ( aij = a ji ),
2) 若
λ1 λ2 A~Λ = O λn
个特征值. 则 λ1 , λ2 , … , λn 是 A 的 n 个特征值
3) 若 A = PBP-1 , 则 Ak = PBkP-1 ;
ϕ(A) = Pϕ(B)P-1 .
特别地, 特别地 若有可逆矩阵 P , 使 P-1AP = Λ 为对 角矩阵, 角矩阵 则有 Ak = PΛkP-1 ; ϕ(A) = Pϕ(Λ)P-1 .
> 0.
二、基本要求与重点、难点 基本要求与重点、
这一章的重点是特征值与特征向量的概念 与求法， 与求法，矩阵与对角矩阵相似的条件及把矩阵 化为相似对角矩阵的方法；化二次型为标准形； 化为相似对角矩阵的方法；化二次型为标准形； 正定二次型的判定. 正定二次型的判定
难点是化矩阵为相似对角矩阵的方法；惯 是化矩阵为相似对角矩阵的方法；
《线性代数》电子教程之五
矩阵与线性方程组关系
矩阵表示线性方程组
01
线性方程组可以表示为矩阵形式，方便求解和分析。
矩阵的秩与方程组的解
02
矩阵的秩与线性方程组的解之间存在密切关系，通过矩阵的秩
可以判断方程组的解的情况。
矩阵变换与方程组求解
03
通过矩阵的初等变换，可以将线性方程组化为简化的形式，进
而求解。
矩阵求解方法
高斯消元法
金融学
线性代数在金融学中也有广泛应用，如投资组合优化、风 险管理等。
线性代数在其他领域应用
社会学
线性代数可用于分析社会网络、人口迁移等 社会学问题。
地理学
线性代数在地理学中可用于地理信息系统、 遥感监测等方面。
生物学
在生物学中，线性代数可用于基因表达分析、 生物信息学等领域。
通信工程
线性代数在通信工程中也有重要应用，如信 号处理、编码解码等。
线性代数可用于描述物理现象，如量子力学中的波函数、电磁学中 的场等。
解决物理问题
通过线性代数方法，可以解决许多物理问题，如求解线性方程组、 特征值和特征向量等。
计算机模拟
线性代数在计算机模拟物理现象中发挥着重要作用，如有限元方法、 分子动力学模拟等。
线性代数在计算机科学中应用
图像处理
线性代数在图像处理中广泛应用，如图像压缩、图像增强、图像 识别等。
线性变换定义及性质
1 2
线性变换定义
线性变换是一种保持向量加法和数量乘法不变的 映射。
线性变换性质
线性变换具有保持线性组合不变、保持线性相关 性不变、保持线性无关性不变等性质。
3
线性变换的运算
线性变换可以进行加法、数量乘法、复合和逆运 算。
高等数学线性代数教材目录
高等数学线性代数教材目录第一章行列式1.1 行列式的引入1.2 二阶和三阶行列式的计算1.3 行列式的性质和性质的应用1.4 行列式的性质证明第二章矩阵和向量2.1 矩阵的概念和基本运算2.2 矩阵的转置和逆2.3 向量的线性相关性和线性无关性2.4 向量组的秩和极大线性无关组第三章矩阵的运算3.1 矩阵的加法和减法3.2 矩阵的数乘3.3 矩阵的乘法3.4 矩阵的特殊类型第四章线性方程组4.1 线性方程组的概念和解的分类4.2 齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解 4.3 线性方程组的向量表示第五章向量空间5.1 向量空间的定义和例子5.2 向量子空间和子空间的概念5.3 向量空间的线性组合和生成子空间5.4 基和维数第六章矩阵的特征值和特征向量6.1 特征值和对角化6.2 特征多项式和特征方程6.3 相似矩阵和相似对角矩阵6.4 实对称矩阵的对角化第七章线性变换7.1 线性变换的概念和性质7.2 线性变换的矩阵表示7.3 线性变换的特征值和特征向量7.4 线性变换的相似、迹和行列式第八章内积空间8.1 内积的定义和性质8.2 欧几里得空间和具有内积的实向量空间8.3 向量的正交性和正交子空间8.4 施密特正交化方法第九章广义特征值问题9.1 广义特征值问题的引入9.2 广义特征值的计算9.3 广义特征值与相似变换9.4 对称矩阵的广义特征值问题与对角化第十章特殊矩阵的标准形式10.1 对称矩阵的对角化10.2 正定矩阵和正定二次型10.3 实对称矩阵的正交对角化10.4 复数矩阵的标准型这是《高等数学线性代数》教材的目录, 包含了十个章节，每个章节中有相应的小节来详细介绍相关内容。
这本教材综合了高等数学和线性代数的知识，旨在帮助读者掌握线性代数的基本概念、理论和方法，以及应用于实际问题的能力。
希望读者通过学习这本教材，能够系统地理解和应用线性代数的知识，为今后的学习和研究打下坚实的基础。
线性代数-线性空间与线性变换PPT课件
例1
次数不超过
n
的多项式的全体，记作
P
x
，
n
即
P x n p x anx n a1x a0 an, ,a1,a0 ,
对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成线性空间.
这是因为：通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律，
故只要验证
P
x
对运算封闭.
n
一、线性空间的定义
1
0 ,
E 22
0
1
线性无关，所以 E11, E12 , E21, E22 是 M2
的一个基，向量
A
a11 a21
a12 a22
在这个基下的
坐标就是 a11, a12, a21, a22 T .
二、基变换与坐标变换
设1,2, ,n 与 1, 2, , n 是线性空间Vn 中的两个基，且
第5章 线性空间与线性变换 20
目录/Contents
第5章 线性空间与线性变换 21
5.2 维数、基与坐标
一、线性空间的基、维数与坐标 二、基变换与坐标变换
一、线性空间的基、维数与坐标
第5章 线性空间与线性变换 22
定义 1 在线性空间V 中，如果存在n 个元素1,2, ,n 满足
(i) 1,2, ,n 线性无关； (ii) V 中任一元素 总可由1,2, ,n 线性表示，
x1, x2, , xn ，使
x11 x22 xnn ，
x1, x2, , xn 这组有序数就称为元素 在基1,2, ,n 下的坐标，并记作
x1, x2,
,xn
T
.
一、线性空间的基、维数与坐标
第5章 线性空间与线性变换 25
《线性代数》教学教案—05矩阵的特征值与特征向量
3.设 为n阶实对称矩阵， 是 的特征方程的 重根，则矩阵 的秩 ，从而对应特征值 恰有 个线性无关的特征向量.
1．定理：设A为n阶实对称矩阵，则必存在n阶正交矩阵P，使得 = = ，其中 是 的n个特征值.
2．合同矩阵：给定两个n阶方阵 和 ,若存在可逆矩阵 ，使 = ，则称矩阵 与矩阵 合同，或 ， 是合同矩阵.
例2.设矩阵 是3阶实对称阵， 的特征值为 1，2，2， = 与 = 都是矩阵 的属于特征值2的特征向量.求 的属于特征值1的特征向量，并求出矩阵 .
例3.设某城市共有30万人从事农、工、商的工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：
(1)在这30万就业的人员中，目前约有15万从事农业、9万人从事工业、6万人从事商业；
授课序号02
教 学 基 本 指 标
教学课题
第5章第2节相似矩阵
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件
教学难点
矩阵可相似对角化的方法
参考教材
同济版《线性代数》
作业布置
课后习题
大纲要求
理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件。
推论2.若n阶矩阵 与对角矩阵 = 相似，则 是 的全部n个特征值.
二．方阵的相似对角化
1.相似对角化:若方阵 能与一个对角阵 相似，则称 可以相似对角化，简称 可对角化.
2．定理：n阶方阵 可以相似对角化的充要条件是 有n个线性无关的特征向量．
推论1.如果n阶方阵 的n个特征值互不相等，则 与对角阵相似.
线性代数_唐忠明_答案05
第五章 向量组与解空间 p.100~1045. 设 α1, α2, α3线性无关， β1 = 3α1 – α2 + α3， β2 = 2α1 + 3α2 – α3， β3 = 5α1 + 6α2 + 2α3， 证明: β1, β2, β3也线性无关.证 考虑齐次线性方程组 k 1β1 + k 2β2 + k 3β3 = 0，即 k 1(3α1 – α2 + α3) + k 2(2α1 + 3α2 – α3) + k 3(5α1 + 6α2 + 2α3) = 0 也即 ( 3k 1 + 2k 2 + 5k 3)α1 + (–k 1 + 3k 2 + 6k 3)α2 + ( k 1 – k 2 + 2k 3)α3 = 0 (2) 因为α1, α2, α3线性无关，所以(2)式中3个括号都必须为0， 即 3k 1 + 2k 2 + 5k 3 = 0 –k 1 + 3k 2 + 5k 3 = 0 k 1 – k 2 + 2k 3 = 0此齐次线性方程组的系数行列式 | A | = 211631523--= 42 ≠ 0,所以，k 1, k 2, k 3必全为0，故 β1, β2, β3线性无关.证2 记 A = ( α1 α2 α3 ), B = ( β1 β2 β3 ), C = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--211631523由题意 ( β1 β2 β3 ) = ( α1 α2 α3 )C ，因为 | C | = 42 ≠ 0, 所以C 可逆，所以 ( α1 α2 α3 ) = ( β1 β2 β3 )C –1即 α1, α2, α3可以由 β1, β2, β3线性表出，(所以两个向量组等价.) 由p.89命题5.3.2，rank(α1, α2, α3) ≤ rank(β1, β2, β3)因为α1, α2, α3线性无关，所以，rank(α1, α2, α3) = 3, 所以rank(β1, β2, β3) ≥ 3, 而 β1, β2, β3只有3个向量，秩最大为3，所以rank(β1, β2, β3) = 3， 故 β1, β2, β3线性无关.6. 假设 α1, α2, α3线性无关，问λ为何值时， α1 + 2α2，3α1 – λα2，α1 + α2 + λα3， 也线性无关.解 考虑齐次线性方程组k 1(α1 + 2α2) + k 2(3α1 – λα2) + k 3(α1 + α2 + λα) = 0，即 ( k 1 + 3k 2 + k 3)α1 + (2k 1 – λk 2 + k 3)α2 + (λk 3)α3 = 0 (2) 因为α1, α2, α3线性无关，所以(2)式中3个括号都必须为0， 即 k 1 + 3k 2 + k 3 = 0 2k 1 – λk 2 + k 3 = 0 λk 3 = 0此齐次线性方程组的系数行列式 | A | = λλ0012131-= λ(–λ – 6),因为 α1 + 2α2，3α1 – λα2，α1 + α2 + λα3 线性无关 ⇔ | A | ≠ 0， 所以，λ ≠ 0且 λ ≠ –6时α1 + 2α2，3α1 – λα2，α1 + α2 + λα3 线性无关.7. 已知向量组(I) α1 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011, α2 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110, α3=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101; (II) β1 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001, β2 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011, β3=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111; 证明：向量组(I)与(II)等价. 证1 易知 β1 = (α1 – α2 + α3)/2, β2 = α1,β3 = (α1 + α2 + α3)/2; 且 α1 = β2, α2 = –β1 + β3, α3 = β1 – β2 + β3;即向量组(I)与(II)可以相互线性表出，所以向量组(I)与(II)等价. 证2 记 A = ( α1 α2 α3 ), B = ( β1 β2 β3 ),则3个线性方程组 x 1α1 + x 2α2 + x 3α3 = βk , k = 1, 2, 3,的系数行列式都是 | A | =110011101= 2 ≠ 0, 所以方程组都有(唯一)解，即方程组(II)可以由(I)线性表出;而3个线性方程组 x 1β1 + x 2β2 + x 3β3 = αk , k = 1, 2, 3,的系数行列式都是 | B | =100110111= 1 ≠ 0, 所以方程组也都有(唯一)解，即方程组(I)可以由(II)线性表出;综上，向量组(I)与(II)可以相互线性表出，所以向量组(I)与(II)等价. 证3 记 A = ( α1 α2 α3 ), B = ( β1 β2 β3 ),则 | A | =110011101= 2 ≠ 0, 且 | B | =100110111= 1 ≠ 0,所以向量组(I)与(II)都是线性无关的;因为dim(R 3) = 3, 而向量组(I)与(II)中的向量都是3维向量， 所以向量组(I)与(II)都是的R 3基，所以向量组(I)与(II)等价.13. 证明：向量组 α1, α2, , αs 可以由向量组 β1, β2, , βt 线性表出的充要条件是向量组 β1, β2, , βt 的秩与向量组α1, α2, , αs , β1, β2, , βt 的秩相等. 进而证明：向量组 α1, α2, , αs 与向量组 β1, β2, , βt 等价的充要条件是这两个向量组的秩都与向量组α1, α2, , αs , β1, β2, , βt 的秩相等.证 必要性: 向量组 α1, α2, , αs 可以由向量组 β1, β2, , βt 线性表出 ==>向量组 β1, β2, , βt 的秩与向量组α1, α2, , αs , β1, β2, , βt 的秩相等. 若向量组 α1, α2, , αs 可以由向量组 β1, β2, , βt 线性表出，则向量组α1, α2, , αs , β1, β2, , βt 也可以由向量组 β1, β2, , βt 线性表出 由p.89命题5.3.2，rank(α1, α2, , αs , β1, β2, , βt ) ≤ rank(β1, β2, , βt ) 而则向量组β1, β2, , βt 是α1, α2, , αs , β1, β2, , βt 的部分组 所以 rank(β1, β2, , βt ) ≤ rank(α1, α2, , αs , β1, β2, , βt ) 所以 rank(β1, β2, , βt ) = rank(α1, α2, , αs , β1, β2, , βt )充分性: 向量组 β1, β2, , βt 的秩与向量组α1, α2, , αs , β1, β2, , βt 的秩相等 ==> 向量组 α1, α2, , αs 可以由向量组 β1, β2, , βt 线性表出设向量组 β1, β2, , βt 的秩为r ，前r 个向量 β1, β2, , βr 是它的极大线性无关组。
线性代数(王定江)第5章答案
和
-3-
β1 = (3,1, 4)T , β2 = (5, 2,1)T , β3 = (1,1, −6)T . （1）求由基 α1 , α2 , α3 到基 β1 , β2 , β3 的过渡矩阵． （2）若向量 γ 在基 β1 , β2 , β3 下的坐标为 (1,1,1) , 求向量 γ 在基 α1 , α2 , α3 下的坐标. 解: （1）对 (α1 , α 2 , α 3 β1 , β 2 , β 3 ) 做初等行变换
设向量组 A 和向量组 B 生成的向量空间分别为 L1 = span (α1 , α 2 , L, α m ) , L2 = span ( β1 , β 2 , L, β n ) . 则对任意向量 x ∈ L1 , 存在系数 λ1 , λ2 , L, λm 使得
x = λ1α1 + λ2α 2 + L + λmα m , 进而有 λ1 λ1 λ2 λ x = (α1 , α 2 , L, α m ) = ( β1 , β 2 , L, β m ) C1 2 . M M λm λm
基下的坐标. 解: 对矩阵 A = (α1 , α 2 , α 3 , α 4 , β ) 做初等行变换, 即
-2-Байду номын сангаас
1 −3 2 −4 −1 1 −3 2 −4 r2 +3r1 −3 9 −1 5 1 r2 − 2 r1 0 0 5 −7 → (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , β ) = 2 −6 4 −3 3 r4 + 4 r1 0 0 0 5 −4 12 2 7 5 0 0 10 −9 1 −3 2 −4 −1 1 −3 1 r2 0 0 1 − 7 5 − 2 5 r1 − 2 r2 0 0 5 → 1 → 0 0 0 r3 1 1 r4 −10 r2 0 0 5 0 0 10 −9 0 0 1 1 −3 0 0 → 0 0 0 0
线性代数知识点总结(第5章)
线性代数知识点总结(第5章) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN线性代数知识点总结（第5章）（一）矩阵的特征值与特征向量1、特征值、特征向量的定义：设A为n阶矩阵，如果存在数λ及非零列向量α，使得Aα=λα，称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。
2、特征多项式、特征方程的定义：|λE-A|称为矩阵A的特征多项式（λ的n次多项式）。
|λE-A |=0称为矩阵A的特征方程（λ的n次方程）。
注:特征方程可以写为|A-λE|=03、重要结论：（1）若α为齐次方程Ax=0的非零解，则Aα=0·α，即α为矩阵A特征值λ=0的特征向量（2）A的各行元素和为k，则(1，1，…，1)T为特征值为k的特征向量。
（3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。
△4、总结：特征值与特征向量的求法（1）A为抽象的：由定义或性质凑（2）A为数字的：由特征方程法求解5、特征方程法：（1）解特征方程|λE-A|=0，得矩阵A的n个特征值λ1，λ2，…，λn注：n次方程必须有n个根(可有多重根，写作λ1=λ2=…=λs=实数，不能省略)（2）解齐次方程（λi E-A）=0，得属于特征值λi的线性无关的特征向量，即其基础解系（共n-r（λi E-A）个解）6、性质：（1）不同特征值的特征向量线性无关（2）k重特征值最多k个线性无关的特征向量1≤n-r（λi E-A）≤k i（3）设A的特征值为λ1，λ2，…，λn，则|A|=Πλi，Σλi=Σa ii（4）当r（A）=1，即A=αβT，其中α，β均为n维非零列向量，则A的特征值为λ1=Σa ii=αTβ=βTα，λ2=…=λn=0（5）设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，则A f（A）A T A-1A* P-1AP（相似）λf（λ）λλ-1|A|λ-1λαα/ ααP-1α（二）相似矩阵7、相似矩阵的定义：设A、B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，称A与B相似，记作A~B8、相似矩阵的性质（1）若A与B相似，则f（A）与f（B）相似（2）若A与B相似，B与C相似，则A与C相似（3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线元素之和）【推广】（4）若A与B相似，则AB与BA相似，A T与B T相似，A-1与B-1相似，A*与B*也相似（三）矩阵的相似对角化9、相似对角化定义：如果A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ= ，称A可相似对角化。
线性代数第五章答案
线性代数第五章答案第五章相似矩阵及二次型1. 试用施密特法把下列向量组正交化:(1)=931421111) , ,(321a a a ;解根据施密特正交化方法,==11111a b ,-=-=101],[],[1112122b b b a b a b ,-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .(2)---=011101110111) , ,(321a a a .解根据施密特正交化方法,-==110111a b ,-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ?-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . 2. 下列矩阵是不是正交阵:(1)---121312112131211;解此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵.(2)------979494949198949891.解该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵.3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明因为H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵.4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明因为A ,B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T ,(AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,故AB 也是正交阵.5. 求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)----201335212;解 3)1(201335212||+-=-------=-λλλλλE A ,故A 的特征值为λ=-1(三重). 对于特征值λ=-1, 由----=+000110101101325213~E A ,得方程(A +E )x =0的基础解系p 1=(1, 1, -1)T , 向量p 1就是对应于特征值λ=-1的特征值向量.(2)633312321;解 )9)(1(633312321||-+-=---=-λλλλλλλE A ,故A 的特征值为λ1=0, λ2=-1, λ3=9. 对于特征值λ1=0, 由=000110321633312321~A ,得方程A x =0的基础解系p 1=(-1, -1, 1)T , 向量p 1是对应于特征值λ1=0的特征值向量. 对于特征值λ2=-1, 由=+000100322733322322~E A ,得方程(A +E )x =0的基础解系p 2=(-1, 1, 0)T , 向量p 2就是对应于特征值λ2=-1的特征值向量. 对于特征值λ3=9, 由--???? ??---=-00021101113333823289~E A ,得方程(A -9E )x =0的基础解系p 3=(1/2, 1/2, 1)T , 向量p 3就是对应于特征值λ3=9的特征值向量.(3)0001001001001000.（和书后答案不同，以书后为主，但解题步骤可以参考）解22)1()1(001010010100||+-=----=-λλλλλλλE A ,故A 的特征值为λ1=λ2=-1, λ3=λ4=1. 对于特征值λ1=λ2=-1,由=+00000000011010011001011001101001~E A , 得方程(A +E )x =0的基础解系p 1=(1, 0, 0, -1)T , p 2=(0, 1, -1, 0)T , 向量p 1和p 2是对应于特征值λ1=λ2=-1的线性无关特征值向量.对于特征值λ3=λ4=1, 由------=-00000000011010011001011001101001~E A , 得方程(A -E )x =0的基础解系p 3=(1, 0, 0, 1)T , p 4=(0, 1, 1, 0)T , 向量p 3和p 4是对应于特征值λ3=λ4=1的线性无关特征值向量.6. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同. 证明因为|A T -λE |=|(A -λE )T |=|A -λE |T =|A -λE |,所以A T 与A 的特征多项式相同, 从而A T 与A 的特征值相同.7.设n阶矩阵A、B满足R(A)+R(B)<n,证明a与b有公共的特征值,有公共的特征向量.< p="">证明设R(A)=r,R(B)=t,则r+t<n.< p="">若a1,a2,,a n-r是齐次方程组A x=0的基础解系,显然它们是A的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.类似地,设b1,b2,,b n-t是齐次方程组B x=0的基础解系,则它们是B的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.由于(n-r)+(n-t)=n+(n-r-t)>n,故a1,a2,,a n-r,b1,b2,,b n-t 必线性相关.于是有不全为0的数k1,k2,,k n-r,l1,l2,,l n-t,使k1a1+k2a2++k n-r a n-r+l1b1+l2b2++l n-r b n-r=0.记γ=k1a1+k2a2++k n-r a n-r=-(l1b1+l2b2++l n-r b n-r),则k1,k2,,k n-r不全为0,否则l1,l2,,l n-t不全为0,而l1b1+l2b2++l n-r b n-r=0,与b1,b2,,b n-t线性无关相矛盾.因此,γ≠0,γ是A的也是B的关于λ=0的特征向量,所以A与B有公共的特征值,有公共的特征向量.8.设A2-3A+2E=O,证明A的特征值只能取1或2.证明设λ是A的任意一个特征值,x是A的对应于λ的特征向量,则(A2-3A+2E)x=λ2x-3λx+2x=(λ2-3λ+2)x=0.因为x≠0,所以λ2-3λ+2=0,即λ是方程λ2-3λ+2=0的根,也就是说λ=1或λ=2.9.设A为正交阵,且|A|=-1,证明λ=-1是A的特征值.证明因为A为正交矩阵,所以A的特征值为-1或1.（需要说明）因为|A|等于所有特征值之积,又|A|=-1,所以必有奇数个特征值为-1,即λ=-1是A的特征值.10.设λ≠0是m阶矩阵A m?n B n?m的特征值,证明λ也是n阶矩阵BA的特征值.证明设x是AB的对应于λ≠0的特征向量,则有(AB)x=λx,于是B(AB)x=B(λx),或BA(B x)=λ(B x),从而λ是BA的特征值,且B x是BA的对应于λ的特征向量.11.已知3阶矩阵A的特征值为1, 2, 3,求|A3-5A2+7A|.解令?(λ)=λ3-5λ2+7λ, 则?(1)=3, ?(2)=2, ?(3)=3是?(A )的特征值, 故 |A 3-5A 2+7A |=|?(A )|=?(1)??(2)??(3)=3?2?3=18.12. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求|A *+3A +2E |. 解因为|A |=1?2?(-3)=-6≠0, 所以A 可逆, 故 A *=|A |A -1=-6A -1, A *+3A +2E =-6A -1+3A +2E .令?(λ)=-6λ-1+3λ+2, 则?(1)=-1, ?(2)=5, ?(-3)=-5是?(A )的特征值, 故 |A *+3A +2E |=|-6A -1+3A +2E |=|?(A )|=?(1)??(2)??(-3)=-1?5?(-5)=25.13. 设A 、B 都是n 阶矩阵, 且A 可逆, 证明AB 与BA 相似.证明取P =A , 则P -1ABP =A -1ABA =BA ,即AB 与BA 相似.14. 设矩阵=50413102x A 可相似对角化, 求x .解由)6()1(50413102||2---=---=-λλλλλλx E A ,得A 的特征值为λ1=6, λ2=λ3=1.因为A 可相似对角化, 所以对于λ2=λ3=1, 齐次线性方程组(A -E )x =0有两个线性无关的解, 因此R (A -E )=1. 由-???? ??=-00030010140403101)(~x x E A r知当x =3时R (A -E )=1, 即x =3为所求.15. 已知p =(1, 1, -1)T 是矩阵---=2135212b a A 的一个特征向量.(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值;解设λ是特征向量p 所对应的特征值, 则(A -λE )p =0, 即=???? ??-???? ??------0001112135212λλλb a ,解之得λ=-1, a =-3, b =0.(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由. 解由3)1(201335212||--=-------=-λλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=λ2=λ3=1. 由-???? ??----=-00011010111325211~r b E A知R (A -E )=2, 所以齐次线性方程组(A -E )x =0的基础解系只有一个解向量. 因此A 不能相似对角化.16. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:(1)----020212022;解将所给矩阵记为A . 由λλλλ-------=-20212022E A =(1-λ)(λ-4)(λ+2),得矩阵A 的特征值为λ1=-2, λ2=1, λ3=4. 对于λ1=-2, 解方程(A +2E )x =0, 即0220232024321=----x x x , 得特征向量(1, 2, 2)T , 单位化得T)32 ,32 ,31(1=p .对于λ2=1, 解方程(A -E )x =0, 即0120202021321=-----x x x , 得特征向量(2, 1, -2)T , 单位化得T )32 ,31 ,32(2-=p . 对于λ3=4, 解方程(A -4E )x =0, 即0420232022321=-------x x x , 得特征向量(2, -2, 1)T , 单位化得T )31 ,32 ,32(3-=p . 于是有正交阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(-2, 1, 4).(2)----542452222. （和书后答案不同，以书后答案为准，解题步骤可以参考）解将所给矩阵记为A . 由λλλλ-------=-542452222E A =-(λ-1)2(λ-10),得矩阵A 的特征值为λ1=λ2=1, λ3=10. 对于λ1=λ2=1, 解方程(A -E )x =0, 即=???? ?????? ??----000442442221321x x x , 得线性无关特征向量(-2, 1, 0)T 和(2, 0, 1)T , 将它们正交化、单位化得T 0) 1, ,2(511-=p , T 5) ,4 ,2(5312=p .对于λ3=10, 解方程(A -10E )x =0, 即=???? ?????? ??-------000542452228321x x x ,得特征向量(-1, -2, 2)T , 单位化得T )2 ,2 ,1(313--=p . 于是有正交阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(1, 1, 10).17. 设矩阵------=12422421x A 与-=Λy 45相似, 求x , y ; 并求一个正交阵P , 使P -1AP =Λ.解已知相似矩阵有相同的特征值, 显然λ=5, λ=-4, λ=y 是Λ的特征值, 故它们也是A 的特征值. 因为λ=-4是A 的特征值, 所以0)4(9524242425|4|=-=---+---=+x x E A ,解之得x =4.已知相似矩阵的行列式相同, 因为100124242421||-=-------=A , y y2045||-=-=Λ,所以-20y =-100, y =5.对于λ=5, 解方程(A -5E )x =0, 得两个线性无关的特征向量(1, 0, -1)T , (1, -2, 0)T . 将它们正交化、单位化得T )1 ,0 ,1(211-=p , T )1 ,4 ,1(2312-=p .对于λ=-4, 解方程(A +4E )x =0, 得特征向量(2, 1, 2)T , 单位化得T )2 ,1 ,2(313=p .于是有正交矩阵?--=23132212343102313221P , 使P -1AP =Λ. 18. 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T , p 2=(1, 1, 1)T , p 3=(1,1, 0)T , 求A .解令P =(p 1, p 2, p 3), 则P -1AP =diag(2, -2, 1)=Λ, A =P ΛP -1.因为---=???? ??=--11011101101111111011P ,所以---???? ??-???? ??=Λ=-1101110111000200020111111101P P A------=244354332. 19. 设3阶对称阵A 的特征值为λ1=1, λ2=-1, λ3=0; 对应λ1、λ2的特征向量依次为p 1=(1, 2, 2)T , p 2=(2, 1, -2)T , 求A .解设=653542321x x x x x x x x x A , 则A p 1=2p 1, A p 2=-2p 2, 即 =++=++=++222222122653542321x x x x x x x x x , ---① =-+-=-+-=-+222122222653542321x x x x x x x x x . ---② 再由特征值的性质, 有x 1+x 4+x 6=λ1+λ2+λ3=0. ---③由①②③解得612131x x --=, 6221x x =, 634132x x -=,642131x x -=, 654132x x +=. 令x 6=0, 得311-=x , x 2=0, 323=x ,314=x , 325=x . 因此-=022********A . 20. 设3阶对称矩阵A 的特征值λ1=6, λ2=3, λ3=3, 与特征值λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 求A .解设=653542321x x x x x x x x x A .因为λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 所以有=???? ??1116111A , 即?=++=++=++666653542321x x x x x x x x x ---①. λ2=λ3=3是A 的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知R (A -3E )=1. 利用①可推出--???? ??---=-331113333653542653542321~x x x x x x x x x x x x x x x E A .因为R (A -3E )=1, 所以x 2=x 4-3=x 5且x 3=x 5=x 6-3, 解之得x 2=x 3=x 5=1, x 1=x 4=x 6=4.因此=411141114A .21. 设a =(a 1, a 2, , a n )T , a 1≠0, A =aa T . (1)证明λ=0是A 的n -1重特征值;证明设λ是A 的任意一个特征值, x 是A 的对应于λ的特征向量, 则有A x =λx ,λ2x =A 2x =aa T aa T x =a T a A x =λa T ax , 于是可得λ2=λa T a , 从而λ=0或λ=a T a .设λ1, λ2, ? ? ?, λn 是A 的所有特征值, 因为A =aa T 的主对角线性上的元素为a 12, a 22, ? ? ?, a n 2, 所以a 12+a 22+ ? ? ? +a n 2=a T a =λ1+λ2+ ? ? ? +λn ,这说明在λ1, λ2, ? ? ?, λn 中有且只有一个等于a T a , 而其余n -1个全为0, 即λ=0是A 的n -1重特征值.(2)求A 的非零特征值及n 个线性无关的特征向量. 解设λ1=a Ta , λ2= ? ? ? =λn =0.因为A a =aa T a =(a T a )a =λ1a , 所以p 1=a 是对应于λ1=a T a 的特征向量.对于λ2= ? ? ? =λn =0, 解方程A x =0, 即aa T x =0. 因为a ≠0, 所以a T x =0, 即a 1x 1+a 2x 2+ ? ? ? +a n x n =0, 其线性无关解为p 2=(-a 2, a 1, 0, , 0)T ,p 3=(-a 3, 0, a 1, , 0)T , ? ? ?,p n =(-a n , 0, 0, , a 1)T .因此n 个线性无关特征向量构成的矩阵为--=112212100), , ,(a a a aa a a nn n p p p . 22. 设-=340430241A , 求A 100. 解由)5)(5)(1(340430241||+---=----=-λλλλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=1, λ2=5, λ3=-5.对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得特征向量p 1=(1, 0, 0)T . 对于λ1=5, 解方程(A -5E )x =0, 得特征向量p 2=(2, 1, 2)T . 对于λ1=-5, 解方程(A +5E )x =0, 得特征向量p 3=(1, -2, 1)T . 令P =(p 1, p 2, p 3), 则P -1AP =diag(1, 5, -5)=Λ, A =P ΛP -1, A 100=P Λ100P -1. 因为Λ100=diag(1, 5100, 5100),--=???? ??-=--1202105055112021012111P ,所以--???? ?????? ??-=12021050555112021012151100100100A-=1001001005000501501.23. 在某国, 每年有比例为p 的农村居民移居城镇, 有比例为q 的城镇居民移居农村, 假设该国总人口数不变, 且上述人口迁移的规律也不变. 把n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为x n 和y n (x n +y n =1).(1)求关系式??=??++n n n n y x A y x 11中的矩阵A ;解由题意知x n +1=x n +qy n -px n =(1-p )x n +qy n , y n +1=y n +px n -qy n = px n +(1-q )y n , 可用矩阵表示为--=??? ??++n n n n y x q p q p y x 1111,因此--=q p q p A 11.(2)设目前农村人口与城镇人口相等, 即??? ??=??? ??5.05.000y x , 求?n n y x .解由??=??++n n n n y x A y x 11可知??=??00y x A y x n n n . 由)1)(1(11||q p q p qp E A ++--=----=-λλλλλ,得A 的特征值为λ1=1, λ2=r , 其中r =1-p -q .对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得特征向量p 1=(q , p )T . 对于λ1=r ,解方程(A -rE )x =0, 得特征向量p 2=(-1, 1)T . 令??-==11) ,(21p q P p p , 则 P -1AP =diag(1, r )=Λ, A =P ΛP -1, A n =P Λn P -1.于是 11100111-??-??? ????? ??-=p q r p q A n n-??? ????? ??-+=q p r p q q p n 11001111+--++=n n n n qr p pr p qr q pr q q p 1,+--++=??? ??5.05.01n n n n n n qr p pr p qr q pr q q p y x ??-+-++=n n r p q p r q p q q p )(2)(2)(21.24. (1)设??--=3223A , 求?(A )=A 10-5A 9; 解由)5)(1(3223||--=----=-λλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=1, λ2=5.对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得单位特征向量T )1 ,1(21. 对于λ1=5, 解方程(A -5E )x =0, 得单位特征向量T )1 ,1(21-.于是有正交矩阵?-=111121P , 使得P -1AP =diag(1, 5)=Λ,从而A =P ΛP -1, A k =P Λk P -1. 因此?(A )=P ?(Λ)P -1=P (Λ10-5Λ9)P -1 =P [diag(1, 510)-5diag(1, 59)]P -1 =P diag(-4, 0)P -1-??? ??-??? ??-=1111210004111121-=??? ??----=111122222.(2)设=122221212A , 求?(A )=A 10-6A 9+5A 8.解求得正交矩阵为---=20223123161P , 使得P -1AP =diag(-1, 1, 5)=Λ, A =P ΛP -1. 于是?(A )=P ?(Λ)P -1=P (Λ10-6Λ9+5Λ8)P -1 =P [Λ8(Λ-E )(Λ-5E )]P -1=P diag(1, 1, 58)diag(-2, 0, 4)diag(-6, -4, 0)P -1 =P diag(12, 0,0)P -1---???? ?---=222033*********223123161----=4222112112. 25. 用矩阵记号表示下列二次型: (1) f =x 2+4xy +4y 2+2xz +z 2+4yz ; 解=z y x z y x f 121242121) , ,(.(2) f =x 2+y 2-7z 2-2xy -4xz -4yz ; 解-------=z y x z y x f 722211211) , ,(.(3) f =x 12+x 22+x 32+x 42-2x 1x 2+4x 1x 3-2x 1x 4+6x 2x 3-4x 2x 4.解------=432143211021013223111211) , , ,(x x x x x x x x f .26. 写出下列二次型的矩阵: (1)x x x ?=1312)(T f ;解二次型的矩阵为=1222A .(2)x x x=987654321)(T f .解二次型的矩阵为=975753531A .27. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形: (1) f =2x 12+3x 22+3x 33+4x 2x 3;解二次型的矩阵为=320230002A . 由)1)(5)(2(320230002λλλλλλλ---=---=-E A ,得A 的特征值为λ1=2, λ2=5, λ3=1. 当λ1=2时, 解方程(A -2E )x =0, 由=-0001002101202100002~E A ,得特征向量(1, 0, 0)T . 取p 1=(1, 0, 0)T . 当λ2=5时, 解方程(A -5E )x =0, 由-???? ??---=-0001100012202200035~E A ,得特征向量(0, 1, 1)T . 取T )21 ,21,0(2=p .当λ3=1时, 解方程(A -E )x =0, 由=-000110001220220001~E A ,得特征向量(0, -1, 1)T . 取T )21 ,21 ,0(3-=p .于是有正交矩阵T =(p 1, p 2, p 3)和正交变换x =T y , 使f =2y 12+5y 22+y 32.(2) f =x 12+x 22+x 32+x 42+2x 1x 2-2x 1x 4-2x 2x 3+2x 3x 4.解二次型矩阵为----=1101111001111011A . 由2)1)(3)(1(1101111001111011--+=--------=-λλλλλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=-1, λ2=3, λ3=λ4=1.当λ1=-1时, 可得单位特征向量T )21 ,21 ,21 ,21(1--=p .当λ2=3时, 可得单位特征向量T )21 ,21 ,21 ,21(2--=p . 当λ3=λ4=1时, 可得线性无关的单位特征向量T )0 ,21 ,0 ,21(3=p , T )21 ,0 ,21 ,0(4=p .于是有正交矩阵T =( p 1, p 2, p 3, p 4)和正交变换x =T y , 使f =-y 12+3y 22+y 32+y 42.28. 求一个正交变换把二次曲面的方程3x 2+5y 2+5z 2+4xy -4xz -10yz =1化成标准方程.解二次型的矩阵为----=552552223A .由)11)(2(552552223||---=-------=-λλλλλλλE A , 得A 的特征值为λ1=2,λ2=11, λ3=0, .对于λ1=2, 解方程(A -2E )x =0, 得特征向量(4, -1, 1)T , 单位化得)231 ,231 ,234(1-=p .对于λ2=11, 解方程(A -11E )x =0, 得特征向量(1, 2, -2)T , 单位化得)32 ,32 ,31(2-=p . 对于λ3=0, 解方程A x =0, 得特征向量(0, 1, 1)T , 单位化得)21 ,21,0(3=p .于是有正交矩阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(2, 11, 0), 从而有正交变换--=???? ??w v u z y x 21322312132231031234,使原二次方程变为标准方程2u 2+11v 2=1.29. 明: 二次型f =x T A x 在||x ||=1时的最大值为矩阵A 的最大特征值. 证明 A 为实对称矩阵, 则有一正交矩阵T , 使得TAT -1=diag(λ1, λ2, ? ? ?, λn )=Λ成立, 其中λ1, λ2, ? ? ?, λn 为A 的特征值, 不妨设λ1最大. 作正交变换y =T x , 即x =T T y , 注意到T -1=T T , 有 f =x T A x =y T TAT T y =y T Λy =λ1y 12+λ2y 22+ ? ? ? +λn y n 2. 因为y =T x 正交变换, 所以当||x ||=1时, 有||y ||=||x ||=1, 即y 12+y 22+ ? ? ? +y n 2=1.因此f =λ1y 12+λ2y 22+ ? ? ? +λn y n 2≤λ1,又当y 1=1, y 2=y 3=? ? ?=y n =0时f =λ1, 所以f max =λ1.30. 用配方法化下列二次形成规范形, 并写出所用变换的矩阵. (1) f (x 1, x 2, x 3)=x 12+3x 22+5x 32+2x 1x 2-4x 1x 3;解 f (x 1, x 2, x 3)=x 12+3x 22+5x 32+2x 1x 2-4x 1x 3 =(x 1+x 2-2x 3)2+4x 2x 3+2x 22+x 32 =(x 1+x 2-2x 3)2-2x 22+(2x 2+x 3)2.令 ??+==-+=323223211222x x y x y x x x y , 即+-==+-=323223211221225y y x y x y y y x , 二次型化为规范形f =y 12-y 22+y 32,所用的变换矩阵为--=12002102251C .(2) f (x 1, x 2, x 3)=x 12+2x 32+2x 1x 3+2x 2x 3; 解 f (x 1, x 2, x 3)=x 12+2x 32+2x 1x 3+2x 2x 3 =(x 1+x 3)2+x 32+2x 2x 3; =(x 1+x 3)2-x 22+(x 2+x 3)2.令 +==+=32322311x x y x y x x y , 即+-==-+=3 23223211y y x y x y y y x ,二次型化为规范形f =y 12-y 22+y 32,所用的变换矩阵为--=110010111C .(3) f (x 1, x 2, x 3)=2x 12+x 22+4x 32+2x 1x 2-2x 2x 3. 解 f (x 1, x 2, x 3)=2x 12+x 22+4x 32+2x 1x 2-2x 2x 3.</n.<></n,证明a与b有公共的特征值,有公共的特征向量.<>。
线性代数第五章
综上所述: 对于给定的 n 阶实方阵 A (aij )nn ，求它的特征值就是求它的特征方程的 n 个根． 对于任意取定一个特征值 0 ，其对应特征向量就是相应齐次线性方程组 (0En A)x 0 的所有非零解． 注意：虽然零向量也是 (0En A)x 0 的解，但 0 不是 A 的特征向量．
证明：先用归纳法证明，对于任何自然数 k ，都有 Ak p k p ． 当 k 1时，显然有 Ap p ．假设 Ak p k p 成立，则必有
Ak1 p A(Ak p) A(k p) k Ap k1 p ． 因此，对于任何自然数 k ，都有 Ak p k p ．
5.1.2 特征值与特征向量的若干结论
Ap A(k1 p1 k2 p2 ) k1Ap1 k2 Ap2 0 (k1 p1 k2 p2 ) 0 p ． 由此可见， A 的属于同一个特征值 0 的若干个特征向量的任意非零线性组合必是 A 的 属于特征值 0 的特征向量．
5.1.1 特征值与特征向量的定义
例题
例3
设
A
1 2
2 4
0 1
1
0 1
．
这说明 A 和 A 属于同一个特征值的特征向量可以是不相同的．
5.1.2 特征值与特征向量的若干结论
定理 2 设 1 ，2 ，L ，n 是 n 阶方阵 A (aij )nn 的全体特征值，则必有
n
n
n
i aii tr(A) ， i | A | ．
i 1
i 1
i 1
例6
求
A
0 1
1
0
的特征值和特征向量．
解：特征方程
| E2 A |
1
1 2 1 0
的两个根为 1 i ，2 i ，这里， i 1 是纯虚数．
《线性代数》第五章相似矩阵及二次型精选习题及解答
故， β 3 = ( −
1 3
1 3
1 3
1) T ⇒ γ 3 =
β3 3 = (− 6 β3
3 6
3 3
3 T ) 2
⎛ 3 2 4⎞ ⎜ ⎟ 例 5.3 计算 3 阶矩阵 A＝ 2 0 2 的全部特征值和特征向量. ⎜ ⎟ ⎜ 4 2 3⎟ ⎝ ⎠
n n
f ( x) = xT Ax ，其中 A T = A .
6．熟悉矩阵 A 合同（或相合）于 B 的定义，理解合同关系是等价关系. 7．熟练掌握化二次型 xT Ax 为平方和（标准形）或求实对称矩阵 A 的相合标准形的 3 种方法：正交变换法；配方法；和同型初等行、列变换法. 8．了解惯性定理，会求矩阵 A 的正、负惯性指数和符号差，会求二次型的规范形. 9．熟练掌握正定二次型（正定矩阵）的定义和判别方法. 10．熟悉实对称矩阵 A 正定（二次型正定）的各种等价命题（正定的充要条件）. 11．理解 A 正定的必要条件： a ii > 0( i = 1, 2, L , n ); det( A ) > 0 . 12． 会利用正交变换化二次型为标准型和极坐标平移方法判别一般二次曲线和曲面的类 型.
故 A 是正交矩阵. 例 5.2 已知向量 α 1 = (1,1, 0, 0 ) , α 2 = (1, 01, 0 ) , α 3 = ( − 1, 0, 0,1) 是线性无关向
T T T
量组，求与之等价的正交单位向量组. 解法一 先正交化，再单位化 (1) 取 β 1 =
α1
(2) 令 β 2 = k β 1 + α 2 ，使得 β2 与 β 1 正交
T −1 ∗
5.3 例题分析
例 5.1 设 a 是 n 阶列向量， E 是 n 阶单位矩阵，证明 A = E −
线性代数第五章课后习题与解答
第五章课后习题及解答1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：2 3(1);3 12 3 2解：I A3 7 0,313373 37 ,12221I A 37 2 3 1 1 3 372 1 0 1 37 6, T所以， ( 1I A)x 0 的基础解系为： (6,1 37) .T因此， A 的属于 1 的所有特征向量为： k 1( 6,1 37) (k 1 0).2I A1 337 211 3731 6372,T所以， ( 2 I A)x 0 的基础解系为： (6,1 37) .T A的属于 2 的所有特征向量为：k2 (6,1 37) (k2 0).因此，3 1 1(2) 2 0 1 ;1 1 23 1 1解：I A 2 1 ( 1)( 22)1 1 2所以，特征值为： 1 1(单根)， 2 2 (二重根)2 1 1 1 0 01I A 2 1 1 0 1 11 1 1 0 0 0T 所以，( 1I A)x 0 的基础解系为：( 0,1,1) .TA的属于 1 的所有特征向量为：k1( 0,1,1) (k1 0).因此，1 1 1 1 1 02 I A 2 2 1 0 0 11 1 0 0 0 0T 所以，( ) 02 I A x 的基础解系为：(1,1,0 ).T 因此，A的属于 2 的所有特征向量为：k2(1,1,0) (k2 0).20 0 (3) 111 ;1 1 320 0 解： IA 1 1 1 (32)113所以，特征值为：12 (三重根 )0 0 1 1 11I A 1 1 1 0 0 0 1 11T T所以， ( 1I A)x 0 的基础解系为： (1,1, 0) ,( 1,0 ,1) .因此， A 的属于 1 的所有特征向量为：Tk Tk 1(1,1, 0 )2( 1,0,1) ( k 1, k 2 为不全为零的任 意常数 )。
1 2 3 4 0 1 2 3 (4);0 0 1 2 0 0 0 112 3 4解： I A0 0 0 1 2 1 3 2 ( 1)40 0 0 1所以，特征值为：11(四重根 )0 2 3 41I A 02320 0 0 0T所以，( 1I A) x 0的基础解系为：(1, 0, 0,0) .因此，A的属于1的所有特征向量为：Tk1(1, 0, 0,0 )( k1 0 ) 4 5 2(5) 2 2 1 ;1 1 14 5 2解：I A 2 2 1 ( 31)1 1 1所以，特征值为： 1 1(三重根)3 5 2 1 0 11I A 2 3 1 0 1 11 1 0 0 0 0T 所以，( 1I A)x 0 的基础解系为：( 1,1,1) .因此，A的属于 1 的所有特征向量为：Tk1( 1,1,1) ( k1 0 )2 2 0 (6) 2 1 2 ;0 2 02 2 0解：( 1)( 4)( 2)I A 2 1 20 2所以，特征值为： 1 1(单根), 2 4 (单根), 3 2(单根),1 2 0 1 0 11I A 20 2 0 2 10 2 1 0 0 0T所以，( 1I A)x 0 的基础解系为：( 2, 1,2 ).因此，A的属于 1 的所有特征向量为：Tk1( 2, 1,2) ( k1 0 )2 2 0 1 0 22I A 2 3 2 0 1 20 2 4 0 0 0T 所以，( 2 I A)x 0的基础解系为：(2, 2 ,1) .因此，A的属于 2 的所有特征向量为：Tk2(2, 2,1) ( k2 0 )4 2 0 2 0 12 3 2 0 1 13 I A0 2 2 0 0 0T 所以，( 3I A) x 0的基础解系为：(1,2,2) .因此，A的属于 3 的所有特征向量为：Tk3(1,2,2) ( k3 0 )7 4 12. 已知矩阵A 4 7 1的特征值 1 3 (二重)， 2 12 , 求x的值，并求其特征4 4 x向量。
线性代数第五章
１．内积 ２．向量旳范数 ３．许瓦兹不等式
x x1 , x2 , , xn T , y y1 , y2 , , yn T
称 xT y x1 y1 x2 y2 xn yn
为向量 x与 y 旳内积，记为 x , y．
2
内积满足下列运算规律：
⑴ x, y y, x
⑵ kx , y kx ,y
15
三．正交矩阵与正交变化
1. 正交矩阵
1.正交矩阵 2.正交变换
定义５．２ 假如 n阶方阵 A 满足AT A I
则称 A 为正交矩阵．
定理５．３ 假如 A , B均为 n 阶正交矩阵，
那么：⑴ A1 AT
⑵ AT 即 A1 为正交矩阵
⑶
1 2
A A
A A
为
2n
阶正交矩阵
⑷ AB，BA 都是正交矩阵
8
定理5．２ 若 1 , 2 , , r为 n 维正交向
量组，且 r n ，则必有非零 n 维向量 x ， 使 x 与 1 , 2 , , r 两两正交．
推论：对 rr n个两两正交旳 n 维非零向量，总
能够添上 n r个 n 维非零向量，使 n 个向
量两两正交，从而这 n 个向量就构成了向量空
第五章 特征值 特征向量 二次型
第一讲 正交向量组与正交矩阵 第二讲 方阵旳特征值与特征向量 第三讲 相同矩阵与实对称矩阵旳对角化 第四讲 二次型及其原则形 第五讲 惯性定理和正定二次型 第六讲 习题课
1
第一讲 正交向量组与正交矩阵
一．向量旳内积与许瓦兹
（Schwarz）不等式
１．内积
内积定义：对 n维列向量
19
第二讲 方阵旳特征值和特征向量
1.定义
线性代数第五章 课后习题及解答
第五章课后习题及解答1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：(1) ;1332⎪⎪⎭⎫⎝⎛-- 解：,07313322=--=--=-λλλλλA I2373,237321-=+=λλ ,001336371237121371⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T-因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T,001336371237123712⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T+因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T(2) ;211102113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--解：2)2)(1(21112113--==------=-λλλλλλ A I所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-0001100011111121121 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-0001000110111221112 A I λ所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T(3) ;311111002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-解：3)2(31111102-==------=-λλλλλ A I所以，特征值为：21=λ(三重根)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0000001111111110001 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,0,1(,)0,1,1(TT -因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：TT k k )1,0,1()0,1,1(21-+(21,k k 为不全为零的任 意常数)。
线性代数(同济五版)第五章第三节
04
消元法是通过对方程进行初等变换，将系数矩阵化为 阶梯形矩阵或行最简形矩阵，从而求解方程的方法。
04
矩阵的特征值与特征向量
特征值与特征向量的概念
01
02
03
特征值
设A是n阶方阵，如果存在 数λ和非零n维列向量x， 使得Ax=λx成立，则称λ 是A的一个特征值。
特征向量
对应于特征值λ的非零n维 列向量x称为A的对应于特 征值λ的特征向量。
向量组的线性相关性
线性相关
如果向量组A中存在不全为零的实数k1, k2, ··· , km，使得k1a1 + k2a2 + ··· + kmam = 0，则称向量组A是线性相关的。
线性无关
如果向量组A中不存在不全为零的实数k1, k2, ··· , km，使得k1a1 + k2a2 + ··· + kmam = 0，则称向量组A是线性无关的。
注意事项
在化阶梯形矩阵的过程中，只能实施 行初等变换，不能实施列初等变换。 同时，要确保每一步变换都是可逆的 ，以便在需要时可以恢复出原矩阵。
02
向量组的线性相关性
向量组及其线性组合
向量组
由若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合叫做向量组。
线性组合
给定向量组A: a1, a2, ··· , am，对于任何一组实数k1, k2, ··· , km，表达式k1a1 + k2a2 + ··· + kmam称为向量组A的一个线性组合。
对于齐次线性方程组，可以通过求解对应齐次方程的 基础解系，再线性组合得到通解。
输标02入题
对于非齐次线性方程组，首先判断其是否有解，若有 解则可通过消元法、克拉默法则等方法求解特解，再 结合对应齐次方程的基础解系得到数个数与方程个数相等的非齐 次线性方程组，通过计算系数矩阵和增广矩阵的行列
线性代数第05章 相似矩阵
1
0
0
1
0
1 0 0 0 0 0
得同解方程组
x1 x2
0 0
故得通解
x3 x3
x1 0
x2
c2
0
x3 1
对应于特征值 3 2 的全部特征向量为
0
c2 2
0
(c2
0)
1
(c2 R)
5.1.2 特征值的性质
n 性质1 若 阶方阵 A (ai j ) 的全部特征值为 1, 2, , n （ k 重特征值算作 k 个特征值）则：
5
2
0．
7
5.2.2相似矩阵的性质
性质1 A A（; 因为 A E1AE)
性质2 若 A B, 则 B A;
性质3 若A B, B C, 则 A C;
性质4 相似矩阵有相同的特征多项式,从而所有的特征 值都相同；
(1)1 2 n a11 a22 ann ,
(2)12 n A ;
性质2 设 是可逆方阵A 的一个特征值，x 为对应的特征
向量, 且 0 则
1
是 A1
的一个特征值，x 为对应
特征向量;
性质3 设 是方阵 A 的一个特征值，x 为对应的特征
n 向量, 是一个正整数, 则 n 是 An 的一个特征值，
1 1 1 1
A
3E
1
1
0
0
得同解方程组 一基础解系为
x1 x2
x2 x2
通解为
x1 x2
c2
1
1
2
1
1
(c2 R)
所以对应于 1 1 的全部特征向量为
c22 (c2 0)
1 1 0
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性质5.3.1： （1）相似概念具有如下性质：
①反身：A A ②对称：若 A B ，则 B A ③传递：若A B,B C ，则 A C （2）若A与B相似，则A与B有相同的特征多项式、 特征值、秩及相等的行列式。 （3若）P1AP B，则 P1AmP Bm（m为正整数） 证明：
P1 AP
5 0
0 1
（2）、由（1）得
P 1 AnP
5 0
0 n 1
5n
0
0
(1)n
An
Байду номын сангаас
5n
P
0
0 (1)n
P
1
由于 P
1 2
1 1 ,
P 1
1 3
1 2
1
1
1 3
1 2
3 2
A E k 1
4
2
2 k
3
c1 c3 1
0
1
2
1
2
2 k
1
c1 (1 )
1
(1 ) 0
1
2
1
2
2
k 3A
3 k
2 1
2
k
4 2 3
1
(1 ) 0
1
2
1
2
2 r3 r1
1
k
(1 ) 0
3
0
2
1
0
2 k
1
(1 )(1 )2 特征值为 1 1,2 3 1
（1）相应于二重特征值 2 3 1 ，要由方程组
(A E)x 0
求其相应的特征向量。因为
定理5.3.1. n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件 是A具有n个线性无关的特征向量。并且当
1 0 ... 0
P
1 AP
0
2
...
0
... ... ... ...
0
0
...
n
时，对角阵的对角元素 1,2 ,...,n 就是A的全部特征值， P的列向量组 p1, p2 ,..., pn 就是与特征值 1,2 ,...,n 相对应 的A的线性无关特征向量。
已求出A的特征值为 1 1,2 3 1。要求的对角矩
阵为
1 0 0
0 1
0
0 0 1
1 1时，解方程组 ( A E)x 0 :
2 2 2
A E 0 2
0
4 2 4
r3
2r1
2 0
2 2
2
证明：
推论5.3.1. 若n阶矩阵A有n个互不相等的特征值，则A相 似于对角阵。
证明：由§2的定理，A的与n个互不相等的特征值 相对应的n个特征向量线性无关。故A相似于对角阵。 （证毕）
定理给出了一般n阶矩阵可对角化的判别条件。要使 A有个线性无关的特征向量，关键是对于有重根的特征 值，能求出与其重数相同个数的线性无关特征向量。即
（证毕）
证明：存在可逆阵P，使
1 0 ... 0
1 0 ... 0
P1 AP
0
2
...
0
AP
P
0
2
...
0
... ... ... ...
... ... ... ...
0
0
...
n
0
0
...
n
其中P ( p1, p2,..., pn )可逆。 因此上述结论
2 1时，解方程组 ( A E)x 0 :
A
E
2 4
2 r2 2r1 1 4 r1 2 0
1 0
同解方程组为 x1 x2 0 ，取基础解系为 p2 (1,1)T , 取
则有
1 1 P ( p1, p2 ) 2 1
A为二阶矩阵，有两个不同特征值
故A可对角化。
1 5,2 1
1 5 时，解方程组( A 5E)x 0 :
A 5E
4
4
2 r2 r1 2 2 r1 (2) 0
1
0
同解方程组为 2x1 x2 0 ，即基础解系为 p1 (1, 2)T
3 2 2
A k
1
k
4 2 3
（1）k取何值时，A可对角化？，k取何值时，A不可
对角化？
（2）当A可对角化时，求出相似变换矩阵P和相应的 对角矩阵。
解：
例5.3.2. 设
A
1 4
2 3
（1）求P，使 P1AP为对角矩阵。
（2）求 An
解：
证明：（1）、① E1AE A ②若 P1 AP B，则 PBP1 A，即( P 1 )1 BP 1 A ③若P 1 AP B, Q1BQ C ，则( PQ)1 A( PQ) C （2）若 P1AP B，则
若特征值 0 是特征方程的k重根，就要使 R( A 0E) n k
这时方程组
( A 0E)x 0 的基础解系就含有n (n k) k个向量，因而得到与 0 相应的k个线性无关的特征向量。若 R( A 0E) n k, 则相应于 0 的线性无关特征向量将小于k个，A就不可对 角化。例如，§2例1的两个3阶矩阵，矩阵A的二重特征 值 2 3 2 ，相应地有两个线性无关的特征向量，对 单根 1 1 ，求出1个特征向量，因为相应于不同特征 值的特征向量线性无关，因此，有3个线性无关特征向
1 1
，故得
An
1 2
1 5n
1
0
0 1 1
(
1)n
3
2
1 1
1 5n 2(1)n 5n (1)n1
3
2
5n
2(1)n1
2
5n
(1)n
2
1
相似变换矩阵为
1 1 0 P ( p1, p2 , p3 ) 0 0 1
1 2 1
31 02 02
它使得P1APA 0 1
0
40 02 13
解：（1）求A的特征值及相应的线性无关特征向量。
A E 1 2 2 4 5 ( 5)( 1) 4 3
1 0 ... 0
A(
p1 ,
p2 ,...,
pn )
(
p1 ,
p2 , ...,
pn )
0
...
2
...
... ...
0
...
0
0
...
n
其中 p1, p2 ,..., pn 线性无关。因此
( Ap1, Ap2 ,..., Apn ) (1 p1,1 p2 ,..., 1 pn ) ( p1, p2,..., pn 线性无关)
B E P1AP E P1( A E)P
P1 A E P A E
故B与A有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。 又因为P为可逆矩阵，由矩阵秩的性质可知A与B有相同 的秩。又
B P1AP P1 A P A
（3）若 P1AP B ，则 Bm ( P 1 AP )m ( P 1 AP )( P 1 AP )...(P 1 AP ) P 1 A( PP 1 ) A( PP 1 )...( PP 1 ) AP P1AEAE...EAP P1 Am P
量，故A可对角化。 对于矩阵B，它的三重特征值 1 2 3 3，只求
出1个线性无关特征向量，故B不可对角化。
若A可对角化，定理还给出求对角阵及相似变换矩 P的方法。即
（1）求出A的全部特征值 1,2 ,...,n ，得到对角阵的 主对角线上的元素。
（2）求出A的与1,2 ,...,n相应的线性无关特征向量 p1, p2 ,..., pn ，则 P ( p1, p2 ,..., pn ) 就是相似变换矩阵。
4 2 2
4 2 32 2 2
A E k
0
k
r3 r1
kA
0kk
1
k
4 2 2
0 0 40 2 3
4 2 2
k
0
k
0 0 0
若 k 0，则 R( A E) 2, ( A E)x 0的基础解系只含 3－2=1个向量，因而A不存在3个线性无关的特征向量， A不可对角化。
线性代数
昆明理工大学 2011.1
2
第三节 相似矩阵
矩阵的相似和对角化 相关示例
一. 矩阵的相似和对角化
定义5.3.1. 设A，B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使
P1AP B
（1）
则称A与B相似，记作 A B，（1）式称为由A到B的相
似变换，P称为相似变换矩阵。
若A相似于对角矩阵，则称A可对角化。
Ap1 1 p1,Ap2 2 p2 ,...,Apn n pn ( p1, p2,..., pn 线性无关)
1,2 ,...,m 是A的特征值， p1, p2 ,..., pn是与其 是与其相应的A的n个线性无关特征向量。