高考达标检测(四十六) 古典概型命题2类型——简单问题、交汇问题

高考达标检测（四十六） 古典概型命题2类型——简单问题、交汇问题一、选择题1．(2017·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A.45 B.35 C.25D.15解析：选C 从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率P ＝410＝25.2．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为( ) A.112 B.16 C.14D.13解析：选C 骰子的点数为1,2,3,4,5,6，先后抛掷两颗质地均匀的骰子， 设基本事件为(x ，y )，共有6×6＝36个， 记两次点数之积为奇数的事件为A ，有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5) 共9个， 所以两次朝上的点数之积为奇数的概率为P (A )＝936＝14.3．高中数学联赛期间，某宾馆随机安排五名男生入住3个标间(每个标间至多住2人)，则A ，B 入住同一标间的概率为( )A.110B.15C.310D.25解析：选B 记A ，B 入住同一标间的概率为P ，某宾馆随机安排五名男生入住3个标间(每个标间至多住2人)共有C 25C 23A 22A 33＝90种不同的方法，A ，B 入住同一标间有C 23A 33＝18种不同的方法，∴P ＝1890＝15.4．(2018·泉州质检)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a ＞b ，b ＜c 时，称该三位自然数为“凹数”(如213,312等)，若a ，b ，c ∈{1,2,3,4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是( )A.16B.524C.13D.724解析：选C 由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个； 同理由1,2,4组成的三位自然数共6个；由1,3,4组成的三位自然数也是6个； 由2,3,4组成的三位自然数也是6个．所以共有4×6＝24个． 当b ＝1时，有214,213,312,314,412,413，共6个“凹数”； 当b ＝2时，有324,423，共2个“凹数”． 所以这个三位数为“凹数”的概率P ＝6＋224＝13.5．高考后，4位考生各自在甲、乙两所大学中任选一所参观，则甲、乙两所大学都有考生参观的概率为( )A.18B.38C.58D.78解析：选D 高考后，4位考生各自在甲、乙两所大学中任选一所参观，基本事件总数n ＝24＝16，甲、乙两所大学都有考生参观的对立事件是4位考生都参观甲大学或4位考生都参观乙大学，所以甲、乙两所大学都有考生参观的概率P ＝1－116－116＝78.6．a ，b ，c ，d ，e 是从集合{1,2,3,4,5}中任取的5个元素(不允许重复)，则abc ＋de 为奇数的概率为( )A.12B.415C.25D.35解析：选C 由题意可得a ，b ，c ，d ，e 是1,2,3,4,5这5个数，将这5个数分组可得(123,45)，(124,35)，(125,34)，(134,25)，(135,24)，(145,23)，(234,15)，(235,14)，(245,13)，(345,12)，共分10组，其中能使abc ＋de 为奇数的有(124,35)，(135,24)，(234,15)，(245,13)，共有4组， 所以abc ＋de 为奇数的概率P ＝410＝25.7．抛掷质地均匀的甲、乙两颗骰子，设出现的点数分别为a ，b ，则a2<|b －a 2|<6－a 成立的概率为( )A.1336B.518C.736D.536解析：选C 由题意知(a ，b )的所有可能情况为(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种，设“a2<|b －a 2|<6－a 成立”为事件A ，则事件A 包括(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,6)，共7种， 故P (A )＝736. 8．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A.79B.13C.59D.23解析：选D 对函数f (x )求导可得f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2， 要满足题意需x 2＋2ax ＋b 2＝0有两个不等实根， 即Δ＝4(a 2－b 2)>0，即a >b . 又(a ，b )的取法共有9种，其中满足a >b 的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种， 故所求的概率P ＝69＝23.二、填空题9．若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是________．解析：由任何三点不共线，则共有C 38＝56个三角形，8个等分点可得4条直径，可构成直角三角形有4×6＝24个，所以构成直角三角形的概率P ＝2456＝37.答案：3710．从－1,0,1,3,4这五个数中任选一个数记为a ，则使曲线y ＝7－3ax 的图象在第一、三象限，且满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3>9，x －a <0无解的概率为________．解析：曲线y ＝7－3a x 的图象在第一、三象限，且满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3>9，x －a <0无解，即7－3a >0且a ≤3，所以a <73，所以a 可取－1,0,1，由古典概型的概率公式，得P ＝35.答案：3511．从x 2m －y 2n ＝1(其中m ，n ∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为________．解析：当方程x 2m －y 2n ＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线时，不能有m ＜0，n ＞0，所以方程x 2m －y 2n ＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的(m ，n )有(2，－1)，(3， －1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(－1，－1)，共7种，其中表示焦点在x 轴上的双曲线时，m ＞0，n ＞0，有(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，共4种，所以所求概率P ＝47.答案：4712．设集合A ＝{0,1,2}，B ＝{0,1,2}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上一个点P (a ，b )，设“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (0≤n ≤4，n ∈N)，若事件C n 的概率最大，则n 的值为________．解析：由题意知，点P 的坐标的所有情况为(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共9种．当n ＝0时，落在直线x ＋y ＝0上的点的坐标为(0,0)，共1种； 当n ＝1时，落在直线x ＋y ＝1上的点的坐标为(0,1)和(1,0)，共2种； 当n ＝2时，落在直线x ＋y ＝2上的点的坐标为(1,1)，(2,0)，(0,2)，共3种；当n ＝3时，落在直线x ＋y ＝3上的点的坐标为(1,2)，(2,1)，共2种； 当n ＝4时，落在直线x ＋y ＝4上的点的坐标为(2,2)，共1种． 因此，当C n 的概率最大时，n ＝2. 答案：2 三、解答题13．有一枚正方体骰子，六个面分别写有数字1,2,3,4,5,6，规定抛掷该枚骰子得到的数字是抛掷后面向上的那一个数字．已知b 和c 是先后抛掷该枚骰子得到的数字，函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (x ∈R)．(1)若先抛掷骰子得到的数字是3，求再次抛掷骰子时，函数y ＝f (x )有零点的概率； (2)求函数y ＝f (x )在区间(－3，＋∞)上是增函数的概率． 解：(1)记“函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (x ∈R)有零点”为事件A ， 由题意知，b ＝3，c ＝1,2,3,4,5,6，∴所有的基本事件为(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共6个． 当函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (x ∈R)有零点时，方程x 2＋bx ＋c ＝0有实数根， 即Δ＝b 2－4c ≥0，∴c ≤94，∴c ＝1或2，即事件A 包含2个基本事件，∴函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (x ∈R)有零点的概率P (A )＝26＝13.(2)由题意可知，所有的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．记“函数y ＝f (x )在区间(－3，＋∞)上是增函数”为事件B . ∵y ＝f (x )的图象开口向上，∴要想使函数y ＝f (x )在区间(－3，＋∞)上是增函数， 只需－b2≤－3即可，解得b ≥6，∴b ＝6.∴事件B 包含的基本事件有6个．∴函数y ＝f (x )在区间(－3，＋∞)上是增函数的概率P (B )＝636＝16. 14．学校组织学生参加某项比赛，参赛选手必须有很好的语言表达能力和文字组织能力．学校对10位已入围的学生进行语言表达能力和文字组织能力的测试，测试成绩分为A ，B ，C 三个等级，其统计结果如下表：由于部分数据丢失，只知道从这10位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到语言表达能力或文字组织能力为C 的学生的概率为310.(1)求a ，b 的值；(2)从测试成绩均为A 或B 的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位语言表达能力或文字组织能力为A 的学生的概率．解：(1)依题意可知，语言表达能力或文字组织能力为C 的学生共有(b ＋2)人， 所以b ＋210＝310，a ＋b ＝3，解得b ＝1，a ＝2.(2)测试成绩均为A 或B 的学生共有7人，其中语言表达能力和文字组织能力均为B 的有2人，设为b 1，b 2，其余5人设为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5.则基本事件空间Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，a 5)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)， (a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，a 5)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，a 4)，(a 3，a 5)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 4，a 5)，(a 4，b 1)，(a 4，b 2)，(a 5，b 1)，(a 5，b 2)，(b 1，b 2)}． 所以基本事件空间总数为21.选出的2人语言表达能力和文字组织能力均为B 的有(b 1，b 2)．所以至少有一位语言表达能力或文字组织能力为A 的学生的概率P ＝1－121＝2021.1．若x ∈A 的同时，还有1x ∈A ，则称A 是“好搭档集合”，在集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，12，1，2，3 的所有非空子集中任选一集合，则该集合是“好搭档集合”的概率为( )A.731B.732C.14D.831解析：选A 由题意可得，集合B 的非空子集有25－1＝31个，其中是“好搭档集合”的有：{1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，3，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，1，3，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，12，2，3，⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，12，1，2，3 ，共7个，所以该集合是“好搭档集合”的概率为P ＝731. 2．“累积净化量(CCM)”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示．根据GB/T18801-2015《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累积净化量(CCM)有如下等级划分：为了了解一批空气净化器(共2 000台)的质量，随机抽取n 台机器作为样本进行估计，已知这n 台机器的累积净化量都分布在区间(4,14]中，按照(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，(12,14]均匀分组，其中累积净化量在(4,6]的所有数据有：4.5,4.6,5.1,5.2,5.7和5.9，并绘制了如下频率分布直方图．(1)求n 的值及频率分布直方图中的x 值；(2)以样本估计总体，试估计这批空气净化器(共2 000台)中等级为P2的空气净化器有多少台？(3)从累积净化量在(4,6]的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为P2的概率． 解：(1)∵在(4,6]之间的数据一共有6个，再由频布直方图得，落在(4,6]之间的频率为0.03×2＝0.06， ∴n ＝60.06＝100.由频率分布直方图的性质得： (0.03＋x ＋0.12＋0.14＋0.15)×2＝1， 解得x ＝0.06.(2)由频率分布直方图可知，落在(6,8]之间共0.12×2×100＝24台，又∵在(5,6]之间共4台，∴落在(5,8]之间共28台，∴估计这批空气净化器(共2 000台)中等级为P2的空气净化器有28100×2 000＝560台．(3)设“恰好有1台等级为P2”为事件B，依题意落在(4,6]之间共6台，属于国标P2级的有4台，则从(4,6]中随机抽取2台，基本事件总数n＝C26＝15，事件B包含的基本事件个数m＝C12·C14＝8，∴恰好有1台等级为P2的概率P(B)＝mn＝815.。