《高等数学微积分》

例 2．下列各函数中，互为反函数的是（
a t t o c （1） y n, x y ． x
）
1 x 1 1 （2） y 2 , y ( ) x ． 2
知识点：反函数 求反函数的步骤是：先从函数 y f ( x ) 中解出 x f 1 ( y ) ，再置换 x 与
y ，就得反函数 y f 1 ( x ) 。
（2） lim 、
x
x o x s c x sin x
（05 年 10 月）
解： （1） lim
5 4 n 5n+1 3 n 2
n
n 1
1 1 4 n 1 2( ) lim 5 5 5 n 3 1 3( )n1 5
1 1 4 2 lim( )n1 1 n 5 5 5 3 5 1 3lim( )n1 n 5
x x x 2sin 2 sin sin 2 1 cos x 2 lim 2 2 1 lim (3) lim lim x 2 2 x0 x0 x0 x 2 2 x0 x x 2( ) 2 2
1 2
2
n lim( n sin ) (4) lim( n sin ) lim n n n n n n
故函数的定义域为：{( x , y ) | x 0 且 x y 0} （2）要使函数有意义必须满足
x2 x 2 0 x 1 或 x 2 ，即 ， x 2 x20 D ( 2, 1) (2, ) ．
故
二、 极限
1．概念回顾
）
若对于任何 x ，恒有 f ( x ) f ( x ) 成立，则称 f ( x ) 是奇函数。若 对于任何 x ，恒有 f ( x ) f ( x ) 成立，则称 f ( x ) 是偶函数． 奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于 y 轴对称． 解：(1) f ( x ) 2( x )2 1 2 x 2 1 f ( x ) ， 故 y 2 x 2 1为偶函数． (2)
lim( n 3 n n n ) lim
n n
( n 3 n n n )( n 3 n n n ) n 3 n n n
4 1 3 n n 1 n n
n
lim
n
4 n n 3 n n n
lim
2
（2）
lim( n 3 n ) n 1 lim
例 4：求下列函数的定义域。 （1） z
1 x ln( x y );
（2） f ( x ) ln( x 2 x 2)
sin x x2
知识点：定义域 多元函数定义域的求法和一元函数定义域的求法类似，使表达式有意 义的点的集合。 解： （1）由函数的表达式可知：
x0
且
x y 0．
5. 复合函数 给定函数链 则复合函数为 6. 初等函数 由基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的由一个表达式表示的函
数。
f g : D f [ g ( D) ]
例 1.下列函数中，函数的图象关于原点对称的是（ (1) y 2 x 2 1； (3) y x 1 ． 知识点： 函数的奇偶性 (2) y x 3 2sin x ；
高数一串讲
教材所讲主要内容如下：
一元函数微分学 ( 第三章、第四章)
第一章 函数及 其图形
第二章 极限和 连续
高等数学 (一)微积分
多元函数 微积分 （第六章）
一元函数积分学 （第五章）
第一部分 函数极限与连续
串 讲 内 容
第二部分 导数微分及其应用
一 元 和 多 元
第三部分 积分计算及应用
第一部分 函数极限与连续
2
x 2 (3 x ) 3 lim 所以 lim x 0 (1 cos 2 x )ln(1 x ) x 0 (2 x 2 ) x 2
e
x2
1 sin 3 x
源自文库

（3） lim x[ln( x 2) ln x ] lim x ln(1
x x
（1．概念回顾
2、极限的求法， ）
1）数列极限 lim an A , 函数极限 lim f ( x ) A ．
n x
2）函数极限与单侧极限之间的关系
f ( x0 ) lim f ( x ) A x x0 lim f ( x ) A. x x0 f ( x0 ) xlim f ( x ) A x0
n n
( n 3 n )( n 3 n ) n 3 n
n1
1 3 n1 n 3 lim lim n 2 n 3 n n 3 1 1 n 3 1
例 8.（1） lim (e x )
x x
1 x
（06 年 1 月)
（2） lim x 1 2 x
x2 6.1 cos x ~ ， 2
导出 u( x ) 0 时， tan u( x ) ~ u( x ) 导出 u( x ) 0 时， arcsin u( x ) ~ u( x ) 导出 u( x ) 0 时， e u( x ) 1 ~ u( x ) 导出 u( x ) 0 时， ln 1 u( x ) ~ u( x )
x0
知识点：重要极限
1 n lim(1 ) e n n
1 u( x )
， lim(1 t ) e ， lim(1
t 0
x
1 t
1 x ) e x
u( x ) 0, lim(1 u( x ))
x
1 x
e
1 x
适用特点1
ex 1 x ex
解： （1） lim ( e x x ) lim e(1
1 x
lim(1 2 x )
x 0
lim[(1 2 x )
x 0
1 2 x ( 2)
]
[lim(1 2 x )
x 0
1 2 x ( 2)
]
e 2
例 9.
tan x (1)lim x 0 x
sin kx (2)lim x 0 x
sin x 1 x 0 x 知识点：重要极限 tan x sin x 1 sin x 1 解： (1) lim lim lim 1 1 1 x 0 x 0 x 0 x x cos x x limcos x lim
1 x 例 3 .设函数 f ( ) ， 求 f (2 x ) x x 1
知识点：复合函数 解：令
t 1 , x 1 x ， t
因为
x 1 x 1 1 1 t 1 t
1 t
故：
f (t )
1 1 1 即 f ( x) ， f (2 x ) 1 x 1 t 1 2x
mn mn mn
知识点：设 a0 0, b0 0, m, n N ，
am b m n a x a1 x a0 0 则 lim m n x b x b x b n 1 0
5n 4 n 1 例 6.（1） lim n+1 n 5 3n 2
3）特殊极限：无穷大和无穷小 若当 lim u 0 ，则称变量 u 为无穷小量(或无穷小)．
lim u , lim u , lim u ，则称变量 u 为无穷大量(或无穷大)
4）极限与无穷小得关系定理 u A u A ， 其中 是该极限过程中的无穷小
2、 极限的求法
利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等 例 5： 求 lim
x
x5 ． 2 x 9
解：
1 5 1 5 2 lim( 2 ) x5 x x x 0 0． lim 2 lim x x x x 9 x 9 9 1 1 2 lim(1 2 ) x x x

e x 1 sin 3 x
2

（3） lim x[ln( x 2) ln x ] （05 年.10 月）
x
知识点：
用等价无穷小代换求极限
设 , ', , ' 都是无穷小， 如果 ~ ', ~ ' ，则 lim
' lim ． '
1 2 解： （1）因为 e 1 ~ x , cos x 1 ~ x 2

sin


注意：等价无穷小
x 0 时，
x ~ sin x , x ~ tan x , x ~ arcsin x
x2 ， 1 cos x ~ 2
an 0 时， sin an ~ an
x
u( x ) 0 时， sin u( x ) ~ u( x )
x(e 1) 例 10.（1） lim （06 年 1 月） （2） lim x 0 cos x 1 x 0 (1 cos 2 x )ln(1 x )
x x
x x ) lim e(1 x ) x ex e
x
x ex lim e (1 x ) x e
ex 0 ee e
1 ( 2) 2 x

1
（2） lim x 1 2 x lim(1 2 x )
x 0 x 0
f ( x ) ( x )3 2sin( x ) x 3 2sin x f ( x )
s 为奇函数，图形关于原点对称。 i xn
，
故
y
3
x2
(3) f ( x ) x 1 ，它既不等于 f ( x ) ，也不等于 f ( x ) ，故
y x 1 是非奇非偶函数．
2 2 ) lim x 2 x x x
注：在使用等价无穷小代换时，应注意只能对乘除法代换，不能对加 减法代换，即只对极限中的各个因式进行代换． 记住下列几个常用的等价无穷小以及由此导出其它的等价无穷小 1. sin x ~ x , 导出 u( x ) 0 时， sin u( x ) ~ u( x ) 2. tan x ~ x , 3. arcsin x ~ x ， 4. e x 1 ~ x ， 5. ln(1 x ) ~ x ，
cos x x cos x x 1 （2） lim lim x x sin x x sin x 1 x 1
例 7 . （1） lim( n 3 n n n ) （06 年）
n
（2） lim( n 3 n ) n 1.
n
（05 年）
解： （1）
x
x(e x 1) xx 所以 lim lim 2 x 0 cos x 1 x 0 1 2 x 2
（ 2 ） 因 为 e x 1 ~ x 2 ， sin 3 x ~ 3 x ， 1 cos 2 x ~ 1 (2 x )2 2 x 2 ， 2 ln(1 x ) ~ x
x 0
1 cos x (3)lim x 0 x2 sin u( x ) lim 1 u ( x ) 0 u( x )
(4)lim( n sin ) n n sin an lim 1 an 0 a n

(2) 令u kx ，x 0等价于u 0,
lim sin kx sin kx sin u lim k lim k 1 k k x 0 x 0 u 0 x kx u
一、 函数 二、极限 三、连续 一、 函数 概念回顾
1. 一元函数的概念 函数为特殊的映射: 值域
定义域 其中 2. 二元函数的概念
函数为特殊的映射:
定义域 其中
值域
3. 函数的特性 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性
4. 反函数 设函数 为单射, 反函数为其逆映射
f 1 : f ( D) D