2019届高考数学大一轮复习讲义：第十三章 系列4选讲 13.1 第1课时

§13.1　坐标系与参数方程第1课时　坐标系最新考纲考情考向分析1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.会求伸缩变换，求点的极坐标和应用直线、圆的极坐标方程是重点，主要与参数方程相结合进行考查，以解答题的形式考查，难度中档.1．平面直角坐标系设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：Error!的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．(2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：Error!或Error!这就是极坐标与直角坐标的互化公式．3．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆ρ＝r (0≤θ<2π)圆心为(r,0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos θ(－π2≤θ<π2)圆心为，半径为r 的圆(r ，π2)ρ＝2r sin θ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R ) 或θ＝π＋α(ρ∈R )过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos θ＝a (－π2<θ<π2)过点，与极轴平行的直线(a ，π2)ρsin θ＝a (0<θ<π)题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．(　×　)(2)若点P 的直角坐标为(1，－)，则点P 的一个极坐标是.(　√　)3(2，－π3)(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．(　√　)(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．(　×　)题组二　教材改编2．若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝，0≤θ≤1cos θ＋sin θπ2B ．ρ＝，0≤θ≤1cos θ＋sin θπ4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4答案　A解析　∵y ＝1－x (0≤x ≤1)，∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)；∴ρ＝.1sin θ＋cos θ(0≤θ≤π2)3．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )A.B.(1，π2)(1，－π2)C ．(1,0)D ．(1，π)答案　B解析　方法一　由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.(1，－π2)方法二　由ρ＝－2sin θ＝2cos ，知圆心的极坐标为，故选B.(θ＋π2)(1，－π2)题组三　易错自纠4．在极坐标系中，已知点P ，则过点P 且平行于极轴的直线方程是( )(2，π6)A ．ρsin θ＝1 B ．ρsin θ＝3C ．ρcos θ＝1D ．ρcos θ＝3答案　A解析　先将极坐标化成直角坐标表示，P 转化为直角坐标为x ＝ρcosθ＝2cos(2，π6)＝，y ＝ρsin θ＝2sin ＝1，即(，1)，过点(，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1，再化π63π633为极坐标为ρsin θ＝1.5．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为．答案　x 2＋y 2－2y ＝0解析　由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.6．在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．当△AOB 是等边三角形时，求a 的值．解　由ρ＝4sin θ可得圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4.由ρsin θ＝a 可得直线的直角坐标方程为y ＝a (a >0)．设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示．由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a .在Rt △DOB 中，易求DB ＝a ，33∴B 点的坐标为.(33a ，a)又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上，∴2＋a 2－4a ＝0，(33a)即a 2－4a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝3.43题型一　极坐标与直角坐标的互化1．(2016·北京改编)在极坐标系中，已知曲线C 1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，C 2：ρ＝2cos θ.3(1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；(2)若曲线C 1，C 2交于A ，B 两点，求两交点间的距离．解　(1)∵C 1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，3∴x －y －1＝0，表示一条直线．3由C 2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，∴x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1.∴C 2是圆心为(1,0)，半径为1的圆．(2)由(1)知，点(1,0)在直线x －y －1＝0上，3∴直线C 1过圆C 2的圆心．因此两交点A ，B 的连线是圆C 2的直径．∴两交点A ，B 间的距离|AB |＝2r ＝2.2．(1)以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程．(2)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C 1和C 2交点的直角坐标．解　(1)∵Error!∴y ＝1－x 化成极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρ＝.1cos θ＋sin θ∵0≤x ≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤.π2(2)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρsin 2θ＝cos θ，得ρ2sin 2θ＝ρcos θ，∴曲线C 1的直角坐标方程为y 2＝x .由ρsin θ＝1，得曲线C 2的直角坐标方程为y ＝1.由Error!得Error!故曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标为(1,1)．思维升华(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．题型二　求曲线的极坐标方程典例将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C .(1)求曲线C 的标准方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与直线l 垂直的直线的极坐标方程．解　(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，由题意，得Error!由x 21＋y ＝1，得x 2＋2＝1，21(y2)即曲线C 的标准方程为x 2＋＝1.y 24(2)由Error!解得Error!或Error!不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为，所求直线的斜率为k ＝，(12，1)12于是所求直线方程为y －1＝，12(x －12)化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，故所求直线的极坐标方程为ρ＝.34sin θ－2cos θ思维升华求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点．(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式．(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．跟踪训练已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＝0，直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，射线OM 的极坐标方程为θ＝.3π4(1)求圆C 和直线l 的极坐标方程；(2)已知射线OM 与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解　(1)∵ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＝0，∴ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0，∴圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin.2(θ－π4)又直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，消去t 后得y ＝x ＋1，∴直线l 的极坐标方程为sin θ－cos θ＝.1ρ(2)当θ＝时，|OP |＝2sin ＝2，3π42(3π4－π4)2∴点P 的极坐标为，|OQ |＝＝，(22，3π4)122＋2222∴点Q 的极坐标为，故线段PQ 的长为.(22，3π4)322题型三　极坐标方程的应用典例 (2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．(2，π3)解　(1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题意知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝.4cos θ由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)．(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝|OA |·ρB ·sin ∠AOB12＝4cos α·|s in (α－π3)|＝2≤2＋.|s in (2α－π3)－32|3当α＝－时，S 取得最大值2＋.π123所以△OAB 面积的最大值为2＋.3思维升华极坐标应用中的注意事项(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴正半轴重合；③取相同的长度单位．(2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系．跟踪训练(2017·广州调研)在极坐标系中，求直线ρsin＝2被圆ρ＝4截得的弦长．(θ＋π4)解　由ρsin＝2，得(ρsinθ＋ρcosθ)＝2，可化为x ＋y －2＝0.圆ρ＝4可化为(θ＋π4)222x 2＋y 2＝16，圆心(0,0)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝＝2，2|22|2由圆中的弦长公式，得弦长l ＝2＝2＝4.r 2－d 242－223故所求弦长为4.31．(2018·武汉模拟)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ＝.(θ－π4)22(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．解　(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin＝，(θ－π4)22即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由Error!得Error!故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为.(1，π2)2．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标．解　曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1化为直角坐标方程为x ＋y ＝1，ρ(sin θ－cos θ)＝1化为直角坐标方程为y －x ＝1.联立方程组Error!得Error!则交点为(0,1)，对应的极坐标为.(1，π2)3．在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程．π4解　以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，且圆心为(1,0)．直线θ＝的直角坐标方程为y ＝x ，π4因为圆心(1,0)关于y ＝x 的对称点为(0,1)，所以圆(x －1)2＋y 2＝1关于y ＝x 的对称曲线为x 2＋(y －1)2＝1.所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ.π44．(2017·贵阳调研)在以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝.21－sin θ(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程．解　(1)∵ρ＝，ρsin θ＝y ，x 2＋y 2∴ρ＝化为ρ－ρsin θ＝2，21－sin θ∴曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4.(2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )，根据题意＝3·，21－sin θ021－sin (θ0＋π)解得θ0＝或θ0＝，π65π6∴直线l 的极坐标方程为θ＝(ρ∈R )或θ＝(ρ∈R )．π65π65．已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C 的半径．2(θ－π4)解　以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，2(22sin θ－22cos θ)化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为.66．在极坐标系中，P 是曲线C 1：ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线C 2：ρ＝12cos上的(θ－π6)动点，求|PQ |的最大值．解　对曲线C 1的极坐标方程进行转化，∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36.对曲线C 2的极坐标方程进行转化，∵ρ＝12cos，(θ－π6)∴ρ2＝12ρ，(cos θcos π6＋sin θsinπ6)∴x 2＋y 2－6x －6y ＝0，∴(x －3)2＋(y －3)2＝36，33∴|PQ |max ＝6＋6＋＝18.(33)2＋327．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的方程为ρsin＝－，⊙C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ.(θ－2π3)3(1)求直线l 和⊙C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦AB 的长．解　(1)直线l ：ρsin ＝－，(θ－2π3)3∴ρ＝－，(sin θcos 2π3－cos θsin2π3)3∴y ·－x ·＝－，即y ＝－x ＋2.(－12)32333⊙C ：ρ＝4cos θ＋2sin θ，ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ，∴x 2＋y 2＝4x ＋2y ，即x 2＋y 2－4x －2y ＝0.(2)⊙C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝5.∴圆心C (2,1)，半径R ＝，5∴⊙C 的圆心C 到直线l 的距离d ＝＝，|1＋23－23|(3)2＋1212∴|AB |＝2＝2 ＝.R 2－d 25－(12)219∴弦AB 的长为.198．(2016·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为Error!(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解　(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsinθ代入C 1的直角坐标方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组Error!若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1.9．在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ，半径r ＝3.(3，π3)(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若点Q 在圆C 上运动，点P 在OQ 的延长线上，且＝2，求动点P 的轨迹方程．OQ → QP→ 解　(1)设M (ρ，θ)是圆C 上除极点外的任意一点．在△OCM 中，∠COM ＝，由余弦定理，得|θ－π3||CM |2＝|OM |2＋|OC |2－2|OM |·|OC |cos，(θ－π3)化简得ρ＝6cos.(θ－π3)∵极点也适合上式，∴圆C 的极坐标方程为ρ＝6cos .(θ－π3)(2)设点Q (ρ1，θ1)，P (ρ，θ)，由＝2，得＝，OQ → QP → OQ → 23OP → ∴ρ1＝ρ，θ1＝θ，23代入圆C 的方程，得ρ＝6cos，即ρ＝9cos .23(θ－π3)(θ－π3)10．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面π4积．解　(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，π4得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.222故ρ1－ρ2＝，即|MN |＝.22由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 为等腰直角三角形，所以△C 2MN 的面积为.1211．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1：ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0,2π]，曲线C 2：ρ＝，θ∈[0,2π]．34sin (π6－θ)(1)求曲线C 1的一个参数方程；(2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ，B 两点，求|AB |的值．解　(1)由ρ2－4ρcos θ＋3＝0，可得x 2＋y 2－4x ＋3＝0.∴(x －2)2＋y 2＝1.令x －2＝cos α，y ＝sin α，∴C 1的一个参数方程为Error!(α为参数，α∈R )．(2)C 2：4ρ＝3，(sin π6cos θ－cos π6sin θ)∴4＝3，即2x －2y －3＝0.(12x －32y)3∵直线2x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且圆心到直线的距离3d ＝，14∴|AB |＝2×＝2×＝.1－(14)215415212．已知曲线C 的参数方程为Error!(α为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ＋cos θ)＝1，求直线l 被曲线C 截得的弦长．解　(1)曲线C 的参数方程为Error!(α为参数)，∴曲线C 的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.将Error!代入并化简得ρ＝4cos θ＋2sin θ，即曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ.(2)∵l 的直角坐标方程为x ＋y －1＝0，∴圆心C (2,1)到直线l 的距离d ＝＝，222∴弦长为2＝2.5－2313．在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2a cos θ(a >0)，l ：ρcos ＝，C 与l 有且仅有一个公(θ－π3)32共点．(1)求a ；(2)O 为极点，A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝，求|OA |＋|OB |的最大值．π3解　(1)曲线C ：ρ＝2a cos θ(a >0)，变形为ρ2＝2aρcos θ，化为x 2＋y 2＝2ax ，即(x －a )2＋y 2＝a 2，∴曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆．由l ：ρcos＝，(θ－π3)32展开为ρcos θ＋ρsin θ＝，123232∴l 的直角坐标方程为x ＋y －3＝0.3由题意可知直线l 与圆C 相切，即＝a ，解得a ＝1.|a －3|2(2)由(1)知，曲线C ：ρ＝2cos θ.不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋，π3则|OA |＋|OB |＝2cosθ＋2cos＝3cosθ－sin θ＝2cos，当θ＝时，(θ＋π3)33(θ＋π6)11π6|OA |＋|OB |取得最大值2.314．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(θ－π3)(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解　(1)由ρcos＝1，(θ－π3)得ρ＝1.(12cos θ＋32sin θ)从而C 的直角坐标方程为x ＋y ＝1，1232即x ＋y －2＝0.3当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝时，ρ＝，π2233所以N.(233，π2)(2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为，(0，233)所以P 点的直角坐标为，(1，33)则P 点的极坐标为，(233，π6)所以直线OP 的极坐标方程为θ＝(ρ∈R )．π6。