高等数学自测题
《高等数学》测试题DY(附答案)
《高等数学》测试题DY（附答案）【编号】ZSWD2023B0067一．选择题1.函数y=112x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数2.设f(sin 2x)=cosx+1,则f(x)为（ ）A 2x 2－2B 2－2x 2C 1＋x 2D 1－x 23．下列数列为单调递增数列的有（ ）A ．0.9 ，0.99，0.999，0.9999B ．23，32，45，54C ．{f(n)},其中f(n)= 为偶数，为奇数n nn n n n1,1 D. {n n 212 }4.数列有界是数列收敛的（ ）A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要5．下列命题正确的是（ ）A ．发散数列必无界B ．两无界数列之和必无界C ．两发散数列之和必发散D ．两收敛数列之和必收敛6． 1)1sin(lim 21x x x （ ）A.1B.0C.2D.1/27．设 x x xk1(lim e 6 则k=( )A.1B.2C.6D.1/68.当x 1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ）A.x2-1B. x3-1C.(x-1)2D.sin(x-1)9.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的（）A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件10、当|x|<1时，y= （ ）A、是连续的B、无界函数C、有最大值与最小值D、无最小值11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（ ）A、B、eC、-eD、-e-112、下列有跳跃间断点x=0的函数为（ ）A、 xarctan1/xB、arctan1/xC、tan1/xD、cos1/x13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x不连续，则下列结论成立是（ ）A、f(x)+g(x)在点x必不连续B、f(x)×g(x)在点x必不连续须有C、复合函数f[g(x)]在点x必不连续D、在点x0必不连续在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b满足14、设f(x)=（ ）A、a＞0,b＞0B、a＞0,b＜0C、a＜0,b＞0D、a＜0,b＜015、若函数f(x)在点x0连续，则下列复合函数在x也连续的有（ ）A、 B、C、tan[f(x)]D、f[f(x)]16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（ ）A、[0,л]B、（0,л）C、[-л/4,л/4]D、（-л/4,л/4）17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的（ ）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件18、f(a)f(b) ＜0是在[a,b]上连续的函f(x)数在（a,b）内取零值的（ ）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（ ）A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+120、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为（ ）A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/221、若直线y=x与对数曲线y=logax相切，则（ ）A、eB、1/eC、e xD、e1/e22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是（ ）A、x-y-1=0B、x-y+3e-2=0C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=023、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（ ）A、±1B、±л/2C、±(л/2+1)D、±(л/2-1)24、设f(x)为可导的奇函数，且f`(x0)=a， 则f`(-x)=（ ）A、aB、-aC、|a|D、025、设y=㏑ ，则y’|x=0=（ ）A、-1/2B、1/2C、-1D、026、设y=(cos)sinx，则y’|x=0=（ ）A、-1B、0C、1D、 不存在27、设yf(x)= ㏑(1+X)，y=f[f(x)],则y’|x=0=（ ）A、0B、1/ ㏑2C、1D、 ㏑228、已知y=sinx，则y(10)=（ ）A、sinxB、cosxC、-sinxD、-cosx29、已知y=x㏑x，则y(10)=（ ）A、-1/x9B、1/ x9C、8.1/x9D、 -8.1/x930、若函数f(x)=xsin|x|，则（ ）A、f``(0)不存在B、f``(0)=0C、f``(0) =∞D、 f``(0)= л31、设函数y=yf(x)在[0，л]内由方程x+cos(x+y)=0所确定，则|dy/dx|x=0=（ ）A、-1B、0C、л/2D、 232、圆x2cosθ,y=2sinθ上相应于θ=л/4处的切线斜率，K=（ ）A、-1B、0C、1D、 233、函数f(x)在点x 0连续是函数f(x)在x 0可微的（ ）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件34、函数f(x)在点x 0可导是函数f(x)在x 0可微的（ ）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是（ ）A、0B、-dxC、dxD、 不存在36、极限ln 11(lim 1xx x x 的未定式类型是（ ）A、0/0型B、∞/∞型C、∞ -∞D、∞型37、极限 012sin lim( x x xx 的未定式类型是（ ）A、00型B、0/0型C、1∞型 D、∞0型38、极限 xx x x sin 1sinlim20=（ ）A、0B、1C、2D、不存在39、x x0时，n阶泰勒公式的余项Rn(x)是较x x的（ ）A、（n+1）阶无穷小B、n阶无穷小C、同阶无穷小D、高阶无穷小40、若函数f(x)在[0, +∞]内可导，且f`(x) ＞0，xf(0) ＜0则f(x)在[0,+ ∞]内有（ ）A、唯一的零点B、至少存在有一个零点C、没有零点D、不能确定有无零点41、曲线y=x2-4x+3的顶点处的曲率为（ ）A、2B、1/2C、1D、042、抛物线y=4x-x2在它的顶点处的曲率半径为（ ）A、0B、1/2C、1D、243、若函数f(x)在（a,b）内存在原函数，则原函数有（ ）A、一个B、两个C、无穷多个D、都不对44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=（ ）A、2e x/2B、4 e x/2C、e x/2 +CD、e x/245、∫xe-x dx =（ ）A、xe-x -e-x +CB、-xe-x+e-x +CC、xe-x +e-x +CD、-xe-x -e-x +C46、设P（X）为多项式，为自然数，则∫P(x)(x-1)-n dx（ ）A、不含有对数函数B、含有反三角函数C、一定是初等函数D、一定是有理函数0|3x+1|dx=（ ）47、∫-1A、5/6B、1/2C、-1/2D、148、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于（ ）A、лB、2лC、4лD、6л49、曲线y=x2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（ ）A、лB、6л/15C、16л/15D、32л/1550、点（1，0，-1）与（0，-1，1）之间的距离为（ ）A、 B、2 C、31/2 D、 21/251、设曲面方程（P，Q）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是（ ）A、Z=4B、Z=0C、Z=-2D、x=252、平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为（ ）A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、两相交直线53、方程=0所表示的图形为（ ）A、原点（0，0，0）B、三坐标轴C、三坐标轴D、曲面，但不可能为平面54、方程3x2+3y2-z2=0表示旋转曲面，它的旋转轴是（ ）A、X轴B、Y轴C、Z轴D、任一条直线55、方程3x2-y2-2z2=1所确定的曲面是（ ）A、双叶双曲面B、单叶双曲面C、椭圆抛物面D、圆锥曲面二、填空题1、求极限1lim x (x 2+2x+5)/(x 2+1)=（ ）2、求极限 0lim x [(x 3-3x+1)/(x-4)+1]=（ ）3、求极限2lim x x-2/(x+2)1/2=（ ）4、求极限x lim [x/(x+1)]x=（ ）5、求极限0lim x (1-x)1/x= （ ）6、已知y=sinx-cosx，求y`|x=л/6=（ ）7、已知ρ=ψsinψ+cosψ/2，求dρ/dψ| ψ=л/6=（ ） 8、已知f(x)=3/5x+x 2/5，求f`(0)=（ ）9、设直线y=x+a 与曲线y=2arctanx 相切，则a=（ ） 10、函数y=x 2-2x+3的极值是y(1)=（ ） 11、函数y=2x 3极小值与极大值分别是（ ） 12、函数y=x 2-2x-1的最小值为（ ） 13、函数y=2x-5x 2的最大值为（ ）14、函数f(x)=x 2e -x 在[-1,1]上的最小值为（ ）15、点（0，1）是曲线y=ax 3+bx 2+c 的拐点，则有b=（ ） c=（ ） 16、∫xx 1/2dx= （ ）17、若F`(x)=f(x)，则∫dF(x)= （ ） 18、若∫f(x)dx =x 2e 2x +c ，则f(x)= ( ) 19、d/dx ∫a b arctantdt =（ ）20、已知函数f(x)=0,0,022)1(1x a x x t dt e x在点x=0连续， 则a=（ ） 21、∫02(x 2+1/x 4)dx =（ ）22、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）23、∫031/2a dx/(a2+x2)=（）24、∫01 dx/(4-x2)1/2=（）25、∫л/3лsin(л/3+x)dx=（）26、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=( )27、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）28、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）29、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）30、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）31、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）32、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）33、满足不等式|x-2|＜1的X所在区间为( )34、设f(x) = [x] +1，则f（л+10）=（）35、函数Y=|sinx|的周期是（）36、y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是（）37、y=3-2x-x2与x轴所围成图形的面积是（）38、心形线r=a(1+cosθ)的全长为（）39、三点（1，1，2），（-1，1，2），（0，0，2）构成的三角形为（）40、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，则该点轨迹方程（）41、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）42、求三平面x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=0的交点是( )43、求平行于xoz面且经过（2，-5，3）的平面方程是（）44、通过Z轴和点（-3，1，-2）的平面方程是（）45、平行于X轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）的平面方程是（）三、解答题1、设Y=2X-5X2，问X等于多少时Y最大？并求出其最大值。
高数自测题三套及参考答案
自测题一一、判断题（每小题3分，共30分）1、集合{}1,2A =，集合{}1,3,4B =，则{}1,2,3,4AB =。
（ ）2、函数()cos f x x =是有界函数。
（ ）3、函数(1)(2)()(2)x x f x x -+=+，()1g x x =-表示同一函数。
（ ）4、)(x f 在0x x =处有定义是)(lim 0x f x x →存在的充分条件但非必要条件 。
（ ） 5、1sin lim=∞→xxx 。
（ ）6、)(x f 在0x x =处极限不存在，则)(x f 在0x 处不连续。
（ ）7、()155xx x -'=⋅ 。
（ ）8、集合{}1,2A =，集合{}1,3,4B =，则{}2A B -=。
（ ） 9、当0x →时，sin ~x x ，则330sin limlim 0sin x x x x x xx x →∞→--==。
（ ）10、1lim(1)xx x e →∞+=。
（ ）二、选择题（每小题3分，共15分）1、设集合{}36A x x =<<，集合{}5B x x =>，则A B =（ ）。
.A {}5x x > .B [5,)+∞ .C {}56x x << .D (3,)+∞2、已知2,1()1,1x e x f x x x ⎧<-⎪=⎨-≥-⎪⎩，则(0)f =（ ）。
.A -1 .B 0 .C 1 .D 23、下列数列n x 中，收敛的是（ ）。
A . 1n x n =B . nn x n n 1)1(--=C. 1(1)n n x +=-D.(1)nn x n =-4、332356lim 87n n n n n →∞--=-（ ）。
3.8A .0B 1.2C .D ∞ 5、若32()1f x x x x =-++，则(0)f ''=（ ）。
.0A .1B .2C .2D - 三、填空题（每小题3分，共15分）1、函数()f x =_______________。
自测题(1-7章附参考答案)-高等数学上册.
第一章函数与极限一、选择题：1．函数的定义域是（）(A； (B； (C；(D.2.函数的定义域是（）(A；(B;(C;(D.3、函数是（）(A偶函数； (B奇函数；(C非奇非偶函数；(D奇偶函数.4、函数的最小正周期是（）(A2； (B； (C 4 ； (D .5、函数在定义域为（）(A有上界无下界； (B有下界无上界；(C有界，且；(D有界，且.6、与等价的函数是（）(A ； (B ； (C ； (D .7、当时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（）（A）；（B）；（C）；（D）.8、设则当（）时有.(A； (B；(C； (D任意取 .9、设,则((A-1 ； (B1 ； (C0 ； (D不存在 .10、（）(A1； (B-1；(C0； (D不存在.二、求下列函数的定义域：2、 .三、设（1）试确定的值使；（2）求的表达式 .四、求的反函数.五、求极限：1、；2、；3、；4、；5、当时，；6、 .六、设有函数试确定的值使在连续 .七、讨论函数的连续性，并判断其间断点的类型 .八、证明奇次多项式：至少存在一个实根 .第二章导数与微分一、选择题：1、函数在点的导数定义为（）（A）；（B）；（C）；（D）；2、若函数在点处的导数，则曲线在点(处的法线（）（A）与轴相平行；（B）与轴垂直；（C）与轴相垂直；（D）与轴即不平行也不垂直：3、若函数在点不连续，则在 (（A）必不可导；（B）必定可导；（C）不一定可导；（D）必无定义.4、如果=（），那么.(A ；(B ；(C ；(D .5、如果处处可导，那末（）（A）；（B）；（C）；（D）.6、已知函数具有任意阶导数，且,则当为大于2的正整数时，的n阶导数是（）（A）；（B）；（C）；（D）.7、若函数,对可导且,又的反函数存在且可导，则=（）（A）；（B）；（C）；（D）.8、若函数为可微函数，则（）（A）与无关；（B）为的线性函数；（C）当时为的高阶无穷小；（D）与为等价无穷小.9、设函数在点处可导，当自变量由增加到时，记为的增量，为的微分，等于（）（A）-1；（B）0；（C）1；（D）.10、设函数在点处可导，且，则等于（）.（A）0；（B）-1；（C）1；（D） .二、求下列函数的导数：1、；2、（）；3、；4、；5、设为的函数是由方程确定的；6、设，，求.三、证明，满足方程.四、已知其中有二阶连续导数，且，1、确定的值，使在点连续；2、求五、设求.六、计算的近似值 .七、一人走过一桥之速率为4公里/小时，同时一船在此人底下以8公里/小时之速率划过，此桥比船高200米，问3分钟后人与船相离之速率为多少？第三章微分中值定理一、选择题：1、一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（）（A）它们都给出了ξ点的求法 .（B）它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。
高等数学测试题及答案1-9章全
高等数学测试题及答案1-9章全第1章自测题一、 选择题1. 若函数()f x 在点0x 处的极限存在，则（ ） Ａ ()f x 在点0x 处的函数值必存在，并且等于极限值； Ｂ ()f x 在点0x 处的函数值必存在，但不一定等于极限值； Ｃ ()f x 在点0x 处的函数值可以不存在； Ｄ 如果0()f x 存在的话，一定等于极限值 . 答案： C ．提示：根据极限的定义．2．下列函数中，在点2x =处连续的是（ ） .Ａ ln(2)x -； Ｂ 22x -； Ｃ 242x y x -=-； Ｄ答案： B ．提示：A 与C 在2x =处无意义，D 在2x =处左连续．3.函数53sin ln x y = 的复合过程是( )A x w w v v u u y sin ,,ln ,35====B x u u y sin ln ,53== ;C x u u y sin ,ln 53== ;D x v v u u y sin ,ln ,5=== . 答案：A ．4.设,0(),0x e x f x a x x ⎧<⎪=⎨+⎪⎩≥ ，要使()f x 在0x =处连续，则a ＝（ ）Ａ 2 ； Ｂ 1 ； Ｃ 0 ； Ｄ -1 .答案： B ．提示：0lim ()lim e e 1x x x f x --→→===，00lim ()lim()x x f x a x a ++→→=+=． 二、填空题5． 函数()34f x x =-的反函数是 . 答案：43x y +=．提示：反表示为43y x +=．6. 函数y 的复合过程是 .答案：2ln ,,cos y u v v t t x ====．7. 若2()f x x =， ()x g x e =，则[()]f g x = ，[()]g f x = .答案： 22[()](e )e x x f g x ==，2[()]x g f x e =． 8. 函数1()ln(2)f x x =-的连续区间为 .答案：(2,3)和(3,)+∞. 提示：20x ->且ln 20x -≠．三、 解答题9．设函数ln ,01()1,122x x f x x x x ⎧<⎪=-<⎨⎪>⎩≤≤ ，(1) 求()f x 的定义域；(2) 作出函数图像；(3) 讨论()f x 在1x =及2x =处的连续性 .解 (1) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞． (2) 函数图像为第1题图(3) 观察图像知，函数()f x 在1x =处连续，在2x =处不连续性．10．指出函数2πsin (3)4y x =-是有哪些简单函数复合而成的．解 2π,sin ,34y u u v v x ===-．11．计算下列各极限：（1） 22125lim 1x x x x →-+++ ； （2）221241lim 232x x x x →-+-； （3） 32lim(2)x x x →- ；（4）224lim 2x x x →--+；（5） 221lim()x x x→∞- ；（6）2241lim 232x x x x →∞-+-.解 （1） 22125125lim2111x x x x →-++-+==++； （2）2211122241(21)(21)214lim lim lim (21)(2)25232x x x x x x x x x x x x →→→--++===-+++-；（3） 33222lim(2)lim 2lim 484x x x x x x x →→→-=-=-=- ；（4）22224(2)(2)lim lim lim (2)422x x x x x x x x x →-→-→---+==-=-++；（5） 222121lim()lim lim 000x x x x x xx →∞→∞→∞-=-==-= ；（6）22221441limlim 2322322x x x x x x x x→∞→∞--==+-+-．12. 利用高级计算器计算下列各极限：（1）2lim sinx x x→∞ ； （2）3x → ；（3）lim x →+∞ （4）21lim()xx x x→∞+.解（1）2lim sin2x x x→∞= ； （2）314x →=； （3）x →∞=0； （4）221lim()e xx x x→∞+=.四、应用题1．若某厂每天生产某种产品60件的成本为300元，生产80件的成本为340元．求这种产品的线性成本函数，并求每天固定成本和生产一件产品的可变成本为多少？解 300602(),,()180234080180a b a C Q aQ b C Q Q a b b =+=⎧⎧=+⇒⇒∴=+⎨⎨=+=⎩⎩； 固定成本为180元，一件产品的变动成本为2元.2．甲向乙购买一套价值300万元的房子，乙提出三种付款方式：（1）全部付现款，可以优惠10万元；（2）先首付100万元，余款每隔一年付40万元，但每次付款必须加还40万元产生的利息（按年利率5%计算），5年后还清；（3）先首付200万元，一年后付余款100万元，但必须加还100万元的利息（按年利率5%计算）；分别计算这三种付款方式实际付款金额． 解 （1）300—10=290（万元）；（2）234510040(15%)40(15%)40(15%)40(15%)40(15%)332.076513++++++++++=万元；（3）（3）200100(15%)305++=万元．第2章 自测题一、 选择题1.过曲线2y x x =-上M 点处切线斜率为1，M 点坐标为（ ）. A.()1,0；B.()1,1；C.()0,0；D.()0,1.答案： A ．提示：切线斜率为211,1k x x =-==，0y =．2.设在0x =处可导，则0(2)(0)lim h f h f h→-=（ ）.A.0；B.2(0)f '-；C.(0)f '；D.2(0)f '.答案： D ．提示：00(2)(0)(02)(0)lim lim 22(0)2h h f h f f h f f h h→→-+-'=⋅=3.函数()f x 在点0x x =取得极大值，则必有（ ）. A.()00f x '=；B.()00f x '<；C ()00f x '=且()00f x =；D.()0f x '等于零或不存在.答案： D ．提示：()0f x '等于零或不存在的点都是可能的极值点． 4.函数sin y x x =-在[]0,π上的最大值是（ ）.； B.0； C.π-； D.π. 答案： C. 提示：因为cos 10y x '=-≤，所以函数单调递减．最大值为()f ππ=-5.函数e arctan x y x =+在区间[]1,1-上（ ）. A.单调减少；B.单调增加；C.无最大值；D.无最小值．答案： B ．提示：因为2101x y e x'=+>+． 6.d d yx=（ ）.C.D.答案： C ．提示：0,y y ''==． 7. 设()211f x x =+ (0)x >，则()f x '=（ ）. A.21(1)x -+； B.21(1)x +；C.；. 答案： C ．提示：()f x，所以y '= 8.设32,2t x te y t t -==+，则1t dydx =-=（ ） A.2e -； B.2e -； C.2e; D.2e答案：C ．提示：因为262ttdy t tdx e te--+=-，所以12t dy dx e =-= 9.设(),()y f u u x ϕ==，则dy =（ ）A.()f u dx '；B.()()f x x dx ϕ''C.()()f u x dx ϕ''；D.()()f u x du ϕ'' 答案： C ．提示：根据复合函数求导法则． 二、填空题10.已知某商品的收益为375)(Q Q Q R -=，则其边际收益=')(Q R 解 2375)(Q Q R -='11.函数1x y e -=在2x =-处的切线斜率为 ． 解 13222xx x k y e e -=-=-'==-=．12.曲线()21f x x =-在区间 上是单调增加函数. 解 ()2f x x '=-，所以在(,0)-∞上是单调增加函数． 13.如果2,0.01x x =∆=，则22()x d x == ．解 2220.01()20.04x x x d x x x==∆==⋅∆=．14.函数x y xe -=在[]1,2-上的最大值为 .解 (1)x y e x -'=-，得驻点1x =，12(1),(1),(2)f f e f e e=-=-=，所以最大值为2(2)f e=．15.如果2sin 2y x =，则y '= ． 解 2sin 2cos222sin 4y x x x '=⋅⋅=．16. 某需求曲线为1003000Q P =-+，则20P =时的需求弹性E = 解 202020()(100)21003000P P P P P E Q P Q P ==='=-=--=-+ ． 17.已知ln 2y x =，则y ''= ．解 211,y y x x'''==-．三、计算题18. 求下列函数的导数（1）(1y =+ （2）cos πy =+解y =解231(1)3y x -'=⋅+。
完整)高等数学练习题附答案
完整)高等数学练习题附答案第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.lim (sinx-tanx)/(3xln(1+2x)) = 1/22.lim (2x^2+ax+b)/(x-1) =3.a = 5.b = 123.lim (sin2x+e^(2ax)-1)/(x+1) = 2a4.若f(x)在(-∞,+∞)上连续，则a=05.曲线f(x) = (x-1)/(2x-4x+3)的水平渐近线是y=1/2，铅直渐近线是x=3/26.曲线y=(2x-1)/(x+1)的斜渐近线方程为y=2x-3二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的ε∈(0,1)，总存在整数N，当n≥N时，恒有|x_n-a|≤2ε”是数列{x_n}收敛于a的充分条件但非必要条件2.设g(x)={x+2,x<1.2-x^2,1≤x<2.-x,x≥2}，f(x)={2-x,x<1.x^2,x≥1}，则g(f(x))=2-x^2，x≥13.下列各式中正确的是 lim (1-cosx)/x = 04.设x→0时，e^(tanx-x-1)与x^n是等价无穷小，则正整数n=35.曲线y=(1+e^(-x))/(1-e^(-x^2))没有渐近线6.下列函数在给定区间上无界的是 sin(1/x)，x∈(0,1]三、求下列极限（每小题5分，共35分）1.lim (x^2-x-2)/(4x+1-3) = 3/42.lim x+e^(-x)/(2x-x^2) = 03.lim (1+2+3+。
+n)/(n^2 ln n) = 04.lim x^2sin(1/x) = 01.设函数$f(x)=ax(a>0,a\neq1)$，求$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\ln\left(\frac{f(1)f(2)\cdotsf(n)}{n^2}\right)}$。
2.求$\lim\limits_{4x\to1}\frac{x^2+e\sin x+6}{1+e^x-\cosx}$。
工科类本科《高等数学》第7-9章自测题参考答案
工科类本科《高等数学》第7,8,9章自测题参考答案一、填空题：1.极限00x y →→12- ；20tan()lim x y xy y →→= 2；0x y →→= -2 .解：利用等价无穷小量替换或根式有理化及重要极限求待定型的极限：00000111lim sin()2x x x y y y xy xy xy →→→→→→-+==-=-或 0000112lim 2x x y y xy xy →→→→-==-；222000tan()limlim lim 2x x x y y y xy xy x y y →→→→→→===；)()))00000111limlim lim 2121xyxyx x x x y y y y xyxyxye xye →→→→→→→→====-----或()000002limlim2112x x x x xy y y y y xy xyxy e →→→→→→→→====---.2.若22(,)22f x y x xy ax y =+++在点)1,1(-处取得极值，则a = -2 . 解：依题意，有(1,1)0,(1,1)0x y f f ''-=-=.而(,)42x f x y x xy a '=++， 于是，有(1,1)420x f a '-=-+=，解得 2.a =-3.函数2sin()z x xy =的全微分dz = 22222sin()cos()2cos()xy xy xy dx x y xy dy ⎡⎤++⎣⎦. 解：z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂，而222222sin()cos()sin()cos(),z xy x xy y xy xy xy x ∂=+⋅=+∂222cos()22cos()z x xy xy x y xy y∂=⋅=∂.故22222sin()cos()2cos()dz xy xy xy dx x y xy dy ⎡⎤=++⎣⎦. 4. 设函数44224z x y x y =+-，则此函数在点(1,1)处的全微分(1,1)dz = ()4dx dy -+ .解：(1,1)(1,1)(1,1)x y dz z dx z dy ''=+，而()3211(1,1)484x x y z x xy=='=-=-，()3211(1,1)484y x y z y x y =='=-=-，故()(1,1)4dz dx dy =-+.5.设22()z f x y =+，且()f u 可导，则z x ∂=∂()222xf x y '+，22z x∂=∂()()2222224f x y x f x y '''+++.解：()()222222zf x y x xf x y x∂''=+⋅=+∂， ()()()()2222222222222224zf x y xf x y x f x y x f x y x∂''''''=+++⋅=+++∂. 6. 设方程1xy xz yz ++=确定隐函数(,)z f x y =, 则z x ∂=∂ y z x y +-+ , z y ∂=∂ x zx y+-+ . 解：令(,,)1F x y z xy xz yz =++-，则(,,)(,,),(,,)(,,)y x z z F x y z F x y z z y z z x zx F x y z x y y F x y z x y''∂+∂+=-=-=-=-''∂+∂+. 二、单项选择题：1.设有直线⎩⎨⎧=+--=+++031020133:z y x z y x L 和平面0224:=-+-∏z y x ,则L 与∏（ D ）A. 垂直B. 平行C.L 在 ∏ 上D. 斜交解：直线L 有方向向量()()33210133271672110i j ks i j k i j k i j k =++⨯--==-+---，平面∏有法向量()4,2,1n =-，因为0,(s n n ks k ⋅≠≠为非零常数）， 所以s n 与既不垂直也不平行，故L 与∏斜交.2.已知k j i b k j i a+-=++=2,32，那么a 与b （ A ）A. 垂直B. 平行C. 夹角为030D. 夹角为060 解：因为()1122310a b ⋅=⨯+⨯-+⨯=，所以a b ⊥. 3. 已知函数22f x+y,x -y =x -y （），则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+=∂∂（ C ）. （A ）22x y - (B) 22x y + (C) x y + (D) x y -解：因为()()22f x+y,x -y =x -y x+y x -y =（），所以(,)f x y xy =， 故(,)(,).f x y f x y y x x y∂∂+=+∂∂ 4. 设yz x =, 则dz =( A ).(注意分清对幂函数还是指数函数求导) (A)1ln y y yxdx x xdy -+ (B)11y y yx dx yx dy --+(C)1ln y y x xdx yxdy -+ (D)ln ln y y x xdx x xdy +5.曲线 t a x cos =，t a y sin =，amt z =，在 4π=t 处的切向量是 （ D ）.A ．)2,1,1( B.)2,1,1(- C.)2,1,1(m D.)2,1,1(m -解：曲线在4π=t 处有切向量()())44,,sin ,cos ,t t t t t s x y z a t a t am a a am ππ==⎛⎫'''==-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭. 6. 函数(,,)f x y z xy z =+在点(1,1,1)-处沿方向(2,1,2)l =-的方向导数为（ C ） A. 1； B.23； C. 13； D. 0. 解：所求的方向导数(1,1,1)(1,1,1)cos (1,1,1)cos (1,1,1)cos x y z l f f f f αβγ''''-=-+-+-. 而11(1,1,1)1,(1,1,1)1,(1,1,1) 1.x y z y x f y f x f =='''-==-==-= 又2213l =+=，从而212cos ,cos ,cos 333αβγ===-.故2121(1,1,1)1113333l f ⎛⎫'-=⨯+⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.7.二元函数ln()z xy =的全微分为（ A ）.A.dx dy x y +； B. dx dy xy +； C. dx dy y x+； D. dxdyxy . 解：全微分z z dz dx dy x y ∂∂=+∂∂，而1111,z z y x x xy x y xy y ∂∂=⋅==⋅=∂∂.故dx dydz x y=+ 三、证明题：1.设()F u z xy x =+，y u x =，()F u 为可导函数. 求证：z zx y z xy x y∂∂+=+∂∂. 证 因为2()()()()z y y y F u xF u y F u F u x x x ∂⎛⎫''=++⋅-=+- ⎪∂⎝⎭；1()()z x xF u x F u y x ∂''=+⋅=+∂. 所以 ()()()()()z z y xy x y F u F u y x F u xy xF u xy z xy x y x ∂∂⎛⎫''+=+-++=++=+ ⎪∂∂⎝⎭. 2. 设22()y f x y z -=， ()f u 为可导函数. 求证：211z z zx x y y y ∂∂+=∂∂. 证 因为2222222222222222()()2()()()()x z y y xyf x y f x y xf x y x f x y f x y f x y '∂-''⎡⎤=-⋅-=-⋅-=-⎣⎦∂---， ()222222222222222()()2()2()()()f x y y f x y y z f x y y f x y y f x y f x y '--⋅-⋅-'∂-+-==∂--.故22222222222222221112()1()2()1()()()z z xyf x y f x y y f x y z x x y y x f x y y f x y yf x y y ''∂∂--+-+=-⋅+⋅==∂∂---. 四、计算题：1.设2(,)x z f x y y =，其中f 具有连续的二阶偏导数，求222,,,z z z z x y x x y∂∂∂∂∂∂∂∂∂. 解：22121211(,)(,)22,z x x f x y f x y xy f xyf x y y y y∂''''=⋅+⋅=+∂2222121222(,)(,),z x x x xf x y f x y x f x f y y y y y ⎛⎫∂''''=⋅-+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭212122211222f f z z f xyf yf xy x x x x y y xx ''⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫'''==+=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 221112221221112222211112222442f xyf yf xy f xyf f xf x y f yf y y y y⎛⎫⎛⎫''''''''''''''''=++++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21212122111222f f z z f xyf f xf xy x y y x y y y y y y ''⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫''''==+=-+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭2211112221222221122x x f f x f xf xy f x f y y y y ⎛⎫⎛⎫''''''''''=-+-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭231211122223122x xf xf f f x yf y y y''''''''=-+--+.注：因为f 具有连续的二阶偏导数，所以1221f f ''''=.2.设22220x y z z ++-=，求22,z zx y∂∂∂∂.解：令222(,,)2F x y z x y z z =++-，则(,,)2(,,)221x z F x y z z x xx F x y z z z '∂=-=-='∂--，(,,)2(,,)221y z F x y z z y y yF x y z z z '∂=-=-='∂--， 2222223(1)(1)(1)11(1)(1)(1)z y z y z y y z z y z y z y y y y z z z z ⎛⎫∂--⋅- ⎪-+⋅∂⎛⎫∂∂∂∂-+⎛⎫⎝⎭-===== ⎪ ⎪∂∂∂∂----⎝⎭⎝⎭. 注意：z 是关于,x y 的二元函数.3.设方程组22222x y uv xy u v ⎧++=⎪⎨--=⎪⎩确定隐函数组(,),(,)u u x y v v x y ==，求 u x ∂∂，v x ∂∂.解法一：分别对两方程两边分别对x 求偏导，得20220u v x v u x x u v y u v x x ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪--=⎪∂∂⎩ 即 222uv v u x x x u v u v yxx ∂∂⎧+=-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪+=⎪∂∂⎩当222()022v uJ u v u v==--≠时，有222114(4)22()x u u xv yuxv yu y v x J J u v -∂+==--=∂- ， 222114(4)22()v x v xu yvyv xu u y x J J u v -∂+==+=-∂- . 解法二：令2222(,,,)0(,,,)20F x y u v x y uvG x y u v xy u v ⎧=-+=⎪⎨=---=⎪⎩，则22(,)2()22(,)uv v u F G J u v u v u v ∂===---∂2(,)42(,)xv x u F G J xv yu y v x v ∂===---∂ ， 2(,)42(,)ux v x F G J yv xu u yu x ∂===+-∂ 故2242()xv uv J u xv yu x J u v ∂+=-=∂- ，2242()ux uv J v xu yvx J u v ∂+=-=-∂-. 4.求函数3322(,)339f x y x y x y y =+-+-的极值.解：解方程组223603690f x x xf y y y∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=+-=∂⎪⎩，得四个驻点1234(0,3),(0,1),(2,3),(2,1)P P P P --. 又66,0,66xx xy yy f x f f y ''''''=-==+.记(),(),()(1,2,3,4)xx i xy i yy i A f P B f PC f P i ''''''====对21(0,3),6(12)00,P AC B --=-⨯-->且60A =-<,则1(0,3)P-是函数的极大值点，极大值(0,3)27f -=；对22(0,1),61200P AC B -=-⨯-<,则2(0,1)P 不是极值点； 对()23(2,3),61200P AC B --=⨯--<,则3(2,3)P -不是极值点；对24(2,1),61200P AC B -=⨯->,且60A =>,则4(2,1)P 是函数的极小值点，极小值(2,1)9f =-. 5.求曲面222327xy z +-=在点(3,1,1)P 处的切平面方程和法线方程.解：令 222(,,)327F x y z x y z =+--，则曲面在点(3,1,1)P 处的法向量为()(3,1,1)(3,1,1)(,,)(6,2,2)(18,2,2)29,1,1x y z n F F F x y z '''==-=-=-于是，所求的切平面方程为 9(3)(1)(1)0x y z -+---=，即 9180x y z +--=.法线方程为311911x y z ---==-. 6.求曲面z=在点(3,4,5)P 处的切平面方程和法线方程.解：曲面在点(3,4,5)P 处的法向量为()(3,4,5)(3,4,5)341(,,1)1),,13,4,5555x y n z z ⎛⎫''=-=-=-=- ⎪⎝⎭. 于是，所求的切平面方程为 3(3)4(4)5(5)0x y z -+---=，即 3450x y z +-=.法线方程为345345x y z ---==-. 7.求函数23(,,)f x y z xy yz =+在点0(1,1,2)P 处沿从0(1,1,2)P 到(3,1,3)P -方向的方向导数0P fl∂∂.解：记()02,2,1l P P ==-，(223l =+=，从而221cos ,cos ,cos 333αβγ==-=.又()23211(1,1,2)2(1,1,2)1,(1,1,2)210,(1,1,2)312.y x y z y z f yf xy z f yz ==='''===+===故所求的方向导数P f l∂∂(1,1,2)cos (1,1,2)cos (1,1,2)cos x y z f f f αβγ'''=++221110122333⎛⎫=⨯+⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭.。
高数下-自测题(含答案)
自测题一参考答案一. 解答下列各题. 1.设2(,)(1)arcsinf x y x y =+-⋅, 求'(1,1)x f .解：2(,1) f x x =，'(,1)2x f x x∴=， '(1,1)2x f ∴=2.已知,, a b c为单位向量,且满足0a b c ++=,计算 a b b c c a ⋅+⋅+⋅.解：0a b c++=，()0a a b c∴⋅++=， 10a b a c ∴+⋅+⋅=； 同理，()0b a b c ⋅++= ， 10a b b c ∴+⋅+⋅=； ()c a b c⋅++= ， 10a cbc ∴+⋅+⋅=故有 ()320a b b c c a+⋅+⋅+⋅=，即32a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-3.设,x z x f xy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 其中f具有二阶连续偏导数, 求2z x y∂∂∂.解：''''12121z x f xf y f f xyf f xy y ∂⎡⎤=+⋅+⋅=++⎢⎥∂⎣⎦，2''''''''''''12111122212222222''2''''1211222322zx x x x x f x f xf xy f x f f f x f x y y y y y y x x xf f xyf f y y∂⎛⎫⎡⎛⎫⎤⎛⎫⎡⎛⎫⎤=⋅+⋅-++⋅+⋅-+-+⋅+⋅-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥∂∂⎝⎭⎣⎝⎭⎦⎝⎭⎣⎝⎭⎦=-+-4. 设函数(,)z z x y =由方程222z x y z y f y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭确定, 其中f具有一阶连续的导数,求z z yxx y∂∂-∂∂.解：'22z x xf z∂=∂-，''22z y f fz y yf z-+∂=∂-，''2xz xf fz z yyxxyf z-∂∂∴-=∂∂-5. 求过点(1,0,1)M -, 且与直线0:20x y Lx y z +=⎧⎨-+-=⎩垂直的平面方程.解：直线L 的方向矢量{}1101,1,2111i j k s ==---，所以平面的法矢量为s，故所求的平面方程为(1)(0)2(1)0x y z ----+=，即230x y z ---=6. 求曲面228x yzz +=在点0(2,2,1)M 处的切平面和法线方程.解：在点0(2,2,1)M 处，法矢量{}4ln 2,4ln 2,16ln 2n=-//{}1,1,4-，所以切平面方程为：(2)(2)4(1)0x y z -+---=，即 40x y z +-=，法线方程为：221114x y z ---==-二. 设''()'()()y p x y q x y f x ++=的三个特解是x , x e , 2x e , 求此微分方程满足条件(0)1y =,'(0)3y =的特解.解：由线性方程解的结构定理知，该方程的通解为()()212x x y C e x C e x x=-+-+ ()()212'1211x x y C e C e ∴=-+-+，将初始条件(0)1y =, '(0)3y =代入得121131C C C =+⎧⎨=+⎩1212C C =-⎧⇒⎨=⎩ 所以原方程的所求特解为2*2x xy e e =-三. 设()f x 是连续函数, 且满足方程20()()()xx f x e x t f t dt =--⎰, 求()f x .解：整理方程200()()()x xx f x e x f t dt tf t dt =-+⎰⎰，两边对x 求导，得 20'()2()xx f x e f t dt=-⎰，再对x 求导，得 2''()4()x f x e f x =-，求解此方程得通解为： 2124()cos sin 5xf x C x C x e =++，由初始条件 (0)1,'(0)f f ==得，1212,55C C ==，所以2124()cos sin 555xf x x x e =++四. +=.解：设0000(,,)M x y z 为曲面上任一点，过0M 切平面的法矢量 n ⎧=⎨⎩，切平面方程为)))0000x x y y z z -+-+-=，即++=该切平面在三个坐标轴的截距为所以2+==五. 在椭球面22221x y z ++=上求距离平面26x y z +-=的最近点和最近距离, 最远点和最远距离. 解：椭球面22221x y z ++=上的点(,,)x y z 到平面26x y z +-=的距离的平方为：()221266d x y z =+--设 ()()22222621F x y z x y z λ=+--+++-由()()()'''222426402262022620210x y z F x y z x F x y z y F x y z z x y z λλλ⎧=+--+=⎪=+--+=⎪⎨=-+--+=⎪⎪++-=⎩得点1111,,222M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2111,,222M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭由问题可知，最大值和最小值必定存在，故所求 最近点为1111,,222M ⎛⎫-⎪⎝⎭，最近距离为()1d M =；最远点为2111,,222M ⎛⎫--⎪⎝⎭，最远距离为()2d M =自测题二参考答案六. 解答下列各题. 7. 若L 为曲线1,02yx x x =--≤≤,计算()Lx y ds+⎰.解：1211()(1(1)22Lx y ds x x dx +=-+-=+⎰⎰⎰8. 计算∑, 其中∑是22z x y =+上1z ≤的部分曲面.解：原式D=()2214Dx y dxdy⎡⎤=++⎣⎦⎰⎰()2120143d d πθρρρπ=+=⎰⎰9. 设()22222()x y t F t fx y dxdy+≤=+⎰⎰, 求'()F t .解：()()2220()2ttF t d fd f d πθρρρπρρρ==⎰⎰⎰，所以 ()2'()2F t t ft π=10. 设L 为椭圆22143x y +=,其周长记为a , 求()22234 Lxyx y ds++⎰.解：原式()212 Lxyds =+⎰212 L Lxyds ds=+⎰⎰01212a a=+=11. 把1()34f x x =+展为形如0(1)nn n a x ∞=-∑的幂级数, 并确定其收敛区间.解：1()34f x x=+174(1)x =+-11471(1)7x =⋅+-014(1)(1)77n nn x ∞=⎡⎤=⋅--⎢⎥⎣⎦∑14(1)(1)7n nn n n x ∞+==--∑由4117x -<得收敛区间为31144x -<<12. 证明()211()()y x dy f x dx e e f x dx =-⎰⎰.证明：交换积分次序，有 左22111100()()y y xxdx e f x dy f x dx e dy ==⎰⎰⎰⎰2110()yx f x e dx =⎰()210()xe ef x dx =-⎰=右，故得证七. 求由曲面22z x y =+及221222z x y =--围成的立体的体积.解：VdV Ω=⎰⎰⎰22221220d d dz πρρθρρ-=⎰⎰⎰()2302123d πρρρ=-⎰24π=八. 计算(s in )(c o s )xx LIey my dx e y m dy =-+-⎰, L 是从点(,0)A a 沿上半圆周22x y ax +=到(0,0)的弧段.解：由格林公式，有sin x Pe y my=-，cos x Q e y m=-，cos x yP e y m=-，cos x xQ e y =，()22(sin )(cos )(sin )(cos )(sin )(cos )0228xx Lx x x x L O AO AxyDDI ey m y dx e y m dy e y m y dx e y m dy e y m y dx e y m dya m a Q P dxdy m dxdym ππ+=-+-=-+---+-⎛⎫=--==⋅⋅=⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰九. 求幂级数12n nn x n ∞=⋅∑的收敛域及其和函数.解： 12nna n =⋅， 111(1)2limlim212n n nn n n a n Ra n +→∞→∞++⋅∴==⋅=⋅，所以收敛区间为(2,2)x ∈-当2x=-时，级数为1(1)n n n∞=-∑收敛，当2x=时，级数为11n n ∞=∑发散，故原级数的收敛域为[2,2)x ∈-设1()2nnn x S X n ∞==⋅∑，[2,2)x ∈-，则有111111'()222212n n x S X x x∞-=⎛⎫==⋅=⎪-⎝⎭-∑，所以 012()'()ln22xxS x S t dt dt tx===--⎰⎰，[2,2)x ∈-十. 计算曲面积分3311 y y Ix dydz f y dzdx f dxdy z z y z ∑⎡⎛⎫⎤⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎝⎭⎦⎝⎭⎰⎰, 其中()f u 有连续导数,∑为曲面221z x y =++与平面2z =围成的立体表面外侧.解：利用高斯公式，3Px =，31y Q f y z z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1y Rf y z ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()xy z I P Q R dv Ω=++⎰⎰⎰()2233x y dv Ω=+⎰⎰⎰221230132d d dz πρπθρρ+==⎰⎰⎰。
高等数学自我测试题
高等数学自我测试题(41)一、选择题1、函数)4ln()(2x x f -=的定义域是 （ ）（A ）；);22(，- （B ）),2()2,(+∞--∞ ； （C ）),2[]2,(+∞--∞ ； （D ）]2,2[-.2、设x e x f =)(，则))0((f f 的值为 （ ）（A ）-1； （B ）0； （C ）1； （D ）e .3、如果已知k x x e x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→211lim ，则k 的值为 （ ） （A ）21； （B ）1； （C ）2； （D ）无法确定. 4、函数)2)(2()2)(1()(-++-=x x x x x f 在下列那个点上是无穷大量 （ ） （A ）2-=x ； （B ）2=x ；（C ）1=x ； （D ）1=x 或 -2 .5、函数)4sin(x y -=的导数是 （ ）（A ）)4cos(x y -=； （B ）)4cos(x y =；（C ）)4cos(4x y -=； （D ）)4cos(4x y =.6、函数102)(2-+=x x x f 在区间[-2，0]上满足罗尔定理条件的ξ是 （ ）（A ）-2； （B ）-1； （C ）0； （D ）不存在.7、如果⎰+-=⋅C x e dx x f x cos )(2，那么)(x f 为 （ ）（A ）x ex sin 22-⋅ （B ）x e x sin 2+⋅； （C ）x ex sin 2-⋅； （D ）x e x sin 22+⋅. 8、⎰-dx x 2)32(1为 （ ）（A ）C x +-⋅-)32(131； （B ）C x +-⋅-)32(121； （C ）C x +-⋅)32(131； （D ）C x +-⋅)32(121. 9、下列式子中不正确的一个是 （ ）（A ）0sin 112=⋅⎰-xdx x ； （B ）0sin 112=⋅⎰-xdx x （C ）0cos 112=⋅⎰-xdx x ； （D ）0cos 112=⋅⎰-xdx x . 10、如果已知2)12(412=-⎰k dx x ，且，则k 的值为 （ ） （A ）41； （B ）21； （C ）41-； （D ）21-.11、方程23x y =表示的曲面是 （） （A ）球面； （B ）旋转面；（C ）柱面； （D ）平面.12、已知二元函数2332y x y x y +=，则=∂∂∂y x z2（）（A ）26xy （B ）y x 26（C ）y x xy 2266+ （D ）2266y x xy +二、计算题13、求1)1tan(lim 21-+-→x x x .14、求函数313y x x =-在)2,2(-的单调区间和极值.15、设函数)(x f y =由方程e xy e y =+所确定，求在点（0，1）处的导数。
高等数学》专升本自测试题1(含答案)
高等数学》专升本自测试题1(含答案)1、若 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上有 $F'(x)=f(x)$，则 $F(x)$ 为$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的原函数。
2、下列函数中，是 $f(x)=e^{-x}$ 的原函数的是 $B$，即$e^{-x}+1$。
3、$\int e^{-2x}dx=-\frac{1}{2}e^{-2x}+C$。
4、设 $f(x)=\int e^xdx$，则 $f'(0)=e^0=1$。
5、设 $f(x)=\int \sin^2xdx=\frac{1}{2}\int (1-\cos2x)dx=\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2}\sin2x)+C$，所以$f'(\frac{\pi}{2})=0$。
6、若 $\int f(x)dx=2x^2+x+C$，则 $f(x)=4x+1$。
7、若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，且 $a\neq 0$，$b$ 是常数，则 $\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$。
8、$\int \frac{2x-3}{x^2-3x-10}dx=\int \frac{2x-3}{(x-5)(x+2)}dx=\int (\frac{3}{x-5}-\frac{1}{x+2})dx=\ln|x-5|-\ln|x+2|+C$。
9、$\int \frac{\sin x}{2-\cos x}dx=-\int \frac{d(2-\cos x)}{2-\cos x}=-\ln|2-\cos x|+C$。
10、$\int \frac{x-3}{x-2}dx=\int (1-\frac{1}{x-2})dx=x-\ln|x-2|+C$。
11、若 $f(x)$ 的原函数为 $F(x)$，则 $\intf[\phi(x)]\phi'(x)dx=F[\phi(x)]+C$。
高等数学单元自测题
《高等数学》单元自测题第七章 空间解析几何自测题专业 班级 姓名 学号一、填空题：1. 已知a与b垂直，且a=5，b=12，则=+b a，b a-= 。
2．若两平面0=-++k z y kx 与02=-+z y kx 互相垂直，则k = 。
3．若直线531123-=++=-z k y k x 与22531-+=+=-k z y x 垂直，则k= 。
4．已知)1,3,2(A ，)1,4,5(-B ，)3,2,6(-C ，)1,2,5(-D ，则通过点A 且垂直于B 、C 、D 所确定的平面的直线方程是 。
5．母线平行于oz 轴且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==++22222214zy x z y x 的柱面方程是 。
二、选择题：1．下列命题，正确的是 。
（A ）、k j i++是单位向量。
（B ）、j -非单位向量（C ）、2= （D ）、b b a a⋅=⋅2)(1．设},,{},,{z y x z y x b b b b a a a a ==、。
则b a ⊥的充分必要条件是 。
（A ）、z z y y x x b a b a b a ===,, （B ）、0=++z z y y x x b a b a b a （C ）、zz yy xx b a b a b a == （D ）、z y x z y x b b b a a a ++=++2．设三向量c b a ,,的模分别为3，6，7；且满足a c c b b a c b a ⋅+⋅+⋅=++则,0= 。
（Ａ）、45 （Ｂ）、－47 （Ｃ）、42 （Ｄ）、－433．设平面方程为Ｂx + Cz +D = 0,且ＢＣＤ≠０，则平面 。
（Ａ）、平行于ＯＸ轴 （Ｂ）、平行于ＯＹ轴 （Ｃ）、经过ＯＹ轴 （Ｄ）、垂直于ＯＹ轴 4．曲线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 在ＸＯＹ面上的投影曲线是 。
（Ａ）{222ay x z =+=（Ｂ）{cos 0bz a x z ==（Ｃ）{cosbz a y z ==（Ｄ）{cossin b z a x bza y ==三、设单位向量,,满足0=++，试证：23-=⋅+⋅+⋅a c c b b a。
高等数学1-6章单元自测题
《高等数学》单元自测题第一章 函数与极限专业 班级 姓名 学号一、 填空题：1．设，则=_________________。
2. =+-∞→nn nn n 3232lim _________________。
3. =-∞→x x x 2)11(lim _________________。
4． ___________________。
5． 已知时与是等价无穷小，则__________。
6． 函数的连续区间是_____ _____。
二、 选择题：1．函数)12arcsin(412-+-=x x y 的定义域是（ ）。
（A ）)2,0[； （B ）)2,2(-； （C ）]4,0[； (D) ]4,2(-。
2．已知极限，则常数（ ）。
(A) ； (B) 0 ；(C) 1； (D) 2 。
3．若，则下面选项中不正确的是（ ）。
(A) ，其中为无穷小； (B)在点可以无意义；(C) ； (D) 若，则在的某一去心邻域内。
()xx x f +-=11()[]x f f =++∞→xx x x 1sin 2332lim 20→x ()11312-+ax1cos -x =a ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=0,1sin ,0, 0 ,0, e 1x x x x x x f x 0)2(lim 2=++∞→kn nn n =k 1-()A x f x x =→0lim α+=A x f )(α)(x f 0x )(0x f A =0>A 0x 0)(>x f4． 当时，下列哪一个函数不是其他函数的等价无穷小（ ）。
(A) ； (B) ； (C) ； (D) 。
5．设函数在点处连续，则常数的值为（ ）。
(A) ； (B) ；(C) ； (D) 。
6． 已知函数在上单调增加，则方程必有一个根的区间是（ ）。
(A) )0,1(-； (B) )1,0(； (C) ； (D) 。
三、 计算下列各题：1．求函数的反函数，并求反函数的定义域。
工科类本科《高等数学》第11,12章自测题参考答案
工科类本科《高等数学》第11,12章自测题参考答案1. 若L 是抛物线 x y =2上从点A )1,1(-到点B )1,1(的一段弧，则()Lx y dx +=⎰43；(3)Lx y dy -=⎰ 2 . 解：L 的方程为2,x y y =从-1变到1，而2dx ydy =，于是()1111232211104()222043Lx y dx yy ydy y dy y dy y dy ---+=+⋅=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰.()1111222111(3)33602Lx y dy y y dy y dy ydy y dy ----=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰.注意：定积分的积分区间关于原点对称，考虑被积函数的奇偶性可以简化计算. 2.已知L 为圆周 122=+y x 沿逆时针方向，则曲线积分()(sin )xLey dx y x dy -++⎰=2π.解：计算封闭曲线积分，一般考虑用格林公式，这里(),sin ,112x Q P P e y Q y x x y ∂∂=-=+-=--=∂∂.于是()222211(sin )222xLx y x y ey dx y x dy dxdy dxdy π+≤+≤-++===⎰⎰⎰⎰⎰.注意：221x y dxdy +≤⎰⎰等于圆域221x y+≤的面积.3.若曲线积分()3222(cos )1sin 30Laxy y x dx ay x x y dy -+-+=⎰，则a =__2___.解：依题意，有Q P x y∂∂=∂∂，这里3222cos ,1sin 3,P axy y x Q ay x x y =-=-+2232cos ,cos 6.P Q axy y x ay x xy y x ∂∂=-=-+∂∂比较可得2a =. 4.若22xdy aydxx y-+在右半平面0x >内是某个函数的全微分，则a =__1__. 解：依题意，有Q P x y∂∂=∂∂，这里2222,,ay xP Q x y x y -==++ ()()()()()()2222222222222222222222,.a x y ay y x y x x P ax ay Q x y y x x y x y x y x y -++⋅+-⋅∂-+∂-+====∂∂++++ 比较可得1a =. 5.将()1x f x x +＝展开为x 的幂级数1xx=+()1231, 1.n n x x x x x --+-+-+<或1xx=+()111,1n n n x x ∞-=-<∑.解：当1x <时，()()11x x f x x x =+--＝为首项是x 公比为x -的等比级数，所以()()1123111, 1.1n n nn n xx x x x x x x∞--==-+-+-+=-<+∑6. 幂级数∑∞=1n 3n n x n的收敛半径R= 13，收敛域是11-33⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.解：n n 113311,lim lim 33n n n n n n a n a R n a n +→∞→∞++===⋅=收敛半径，收敛区间是11-33⎛⎫⎪⎝⎭，，而当13x =-时，级数n 1131(1)n n n n x n n ∞∞===-∑∑是条件收敛的交错级数；当13x =时，级数n 1131n n n x n n∞∞===∑∑是发散的调和级数.故收敛域是11-33⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.7.下列级数发散的是（ A ）.A.11ln 1n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑; B. 211n n∞=∑； C. 115n n ∞=∑； D. 111(1)2n nn ∞-=-∑. 解：A.1ln 1n u n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，取1n v n =，由lim 1n n nu v →∞=，而调和级数11n n ∞=∑发散，故11ln 1n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑发散.B 选项是p 级数，21p =>，故211n n∞=∑收敛.C 选项是公比为15q =的等比级数，由115q =<知115n n ∞=∑收敛.D选项是交错级数，而正项级数11111(1)22n n n n n ∞∞-==-=∑∑115q ⎛⎫=< ⎪⎝⎭是收敛的等比级数，故111(1)2n n n ∞-=-∑绝对收敛.8.下列级数收敛的是（ C ）. A.11sin n n ∞=∑; B. 1n ∞= C. 115n n ∞=∑；D. n ∞=解：A 选项1sin n u n =，取1n v n =，由lim 1n n nu v →∞=，而调和级数11n n ∞=∑发散，故11sin n n ∞=∑发散.B选项15nn u -==，由0lim 510n n u →∞==≠知级数n ∞=. C 选项是公比为15q =的等比级数，由115q =<知115n n ∞=∑收敛. D选项1151n n n∞∞===∑是p 级数，115p =<，故n ∞=. 9.计算曲线积分22(3)(3),Lx y dx y x dy +++⎰其中L 是从O(0, 0)沿上半圆224(0)x y x y +=≥到A(4,0)的曲线段.解：已知22(,)3,(,)3P x y x y Q x y y x =+=+，则3,3P Qy x∂∂==∂∂.因为P Qy x∂∂=∂∂，所以曲线积分与路径无关.选取x 轴上直线段OA 路径，此时0,y x =从0 到4，0dy =，于是44222300164(3)(3)33Lx y dx y x dy x dx x +++===⎰⎰. 10.计算曲线积分3(2)(2)Ly x dy x y dx +-+⎰其中L 是从A(2, 0)沿上半圆222(0)x y x y +=≥到O(0,0)的曲线段.解： 已知3(,)(2),(,)2P x y x y Q x y y x =-+=+，则2,2,4P Q Q P y x x y∂∂∂∂=-=-=∂∂∂∂. 为了使用格林公式，添加辅助直线段OA ,记它与L 所围成的区域为D,D 是上半圆域222,0x y x y +≤≥，且边界封闭曲线方向是规定的正向. 而直线段OA 方程为：0,y x =从0到2，此时0dy =.则 3(2)(2)Ly x dy x y dx +-+⎰33(2)(2)(2)(2)L OAOAy x dy x y dx y x dy x y dx +=+-+-+-+⎰⎰()2342001444D Ddxdy x dx dxdy x =--=+⎰⎰⎰⎰⎰1442 4.2ππ=⋅+=+（注Ddxdy ⎰⎰等于上半圆域D 的面积）11.设dy y xy x dx y xy x du )32()23(2222+--+-=，求原函数),(y x u . 解法一：已知2222(,)32,(,)(23)P x y x xy y Q x y x xy y =-+=--+， 而22,22P Q x y x y y x ∂∂=-+=-+∂∂.因为P Qy x∂∂=∂∂，所以曲线积分L Pdx Qdy +⎰与路径无关.取折线路线0AB ：(0,0)(,0)(,)O A x B x y →→.其中直线段OA 方程为：0,y x =从0到x ，此时0dy =；直线段AB 方程为：,x x y =从0到y ，此时0dx =.则原函数 (,)OAB OAABu x y Pdx Qdy C Pdx Qdy Pdx Qdy C =++=++++⎰⎰⎰22203(23)xy x dx x xy y dy C =+--++⎰⎰3223x x y xy y C =-+-+解法二：已知2222(32),(23)u ux xy y x xy y x y∂∂=-+=--+∂∂，两式子分别对,x y 两边积分，有 22322(,)(32)()u x y x xy y dx x x y xy y ϕ=-+=-++⎰，22223(,)(23)()u x y x xy y dy x y xy y x ψ=--+=-+-+⎰.从而，有 322223()()x x y xy y x y xy y x ϕψ-++=-+-+， 比较上式两边，有 33(),()y y C x x C ϕψ=-+=+.故 3223(,)u x y x x y xy y C =-+-+. 解法三：依题意，知2232u x xy y x ∂=-+∂（1）， 22(23)ux xy y y∂=--+∂（2）.（1）式两边对x 积分，得 22322(,)(32)()u x y x xy y dx x x y xy y ϕ=-+=-++⎰（3）（3）式两边对y 求偏导，得22()ux xy y yϕ∂'=-++∂ （4）. 比较（2）、（4）式，得 2()3y y ϕ'=-，两边对y 积分，得 3()y y C ϕ=-+. 故 3223(,)u x y x x y xy y C =-+-+. 12.判别下列正项级数的敛散性：（1）12sin 3nn n π∞=∑；（2）2121n n n n ∞=+-∑；（3）13!n nn n n ∞=⋅∑；（4）121nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑. 解：（1）()22sin2333nnn n nn u n πππ⎛⎫=⋅=→∞ ⎪⎝⎭，取23nn v ⎛⎫= ⎪⎝⎭.由23lim lim 23nn n n n nu v ππ→∞→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭，又已知等比级数122133n n q ∞=⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑收敛. 因此根据正项级数的比较判别法知 级数2sin3n nπ∑收敛.（2）221n n u n n =+-，取1n v n =. 由22lim lim 121n n n nu n v n n →∞→∞==+-，又已知调和级数1n ∑发散.因此根据正项级数的比较判别法知 级数221nn n +-∑发散.（3）13!n nn n n∞=⋅∑ 解：3!n n n n u n ⋅=，因为 ()()11131!13lim lim 3lim 3lim 13!1111nn n n n n n n n n n nn u n n u n n e n n +++→∞→∞→∞→∞⋅+⎛⎫=⋅===> ⎪⋅+⎝⎭+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以根据正项级数的比值判别法知 级数3!n nn n ⋅∑发散.（4）21n n n ⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑ 解：21nn n u n ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，因为1lim 1212n n n n →∞==<+， 所以根据正项级数的根值判别法知 级数21nn n ⎛⎫⎪+⎝⎭∑收敛.13.求下列幂级数的和函数：（1）111n n x n -∞=+∑；（2）11n n nx ∞-=∑. 解：（1）此幂级数的收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-.设幂级数的和函数为()s x ，则11()1n n x s x n -∞==+∑ （1x <）， 1(0)2s =对121()1n n x x s x n +∞==+∑逐项求导，得()1211()11n n n n x x x s x x n x +∞∞=='⎛⎫'=== ⎪+-⎝⎭∑∑ ()11x -<< 对上式从0到x 积分，得 ()[]2000111()1ln(1).111xx x t t x s x dt dt dt x x t t t --⎛⎫⎛⎫==-=--=-+- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ 于是当0x ≠时，有 2ln(1)()x x s x x +-=-.从而 和函数2ln(1),01;()1,0.2x x x xs x x +-⎧-<<⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩.特殊的，当1x =-时，级数()()112111n nn n n n-∞∞==--=+∑∑收敛.所以2ln(1)()x x s x x +-=-在1x =-也成立.（2）此幂级数的收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-.设和函数为()s x ，则11()n n s x nx∞-==∑ （1x <）.对上式从0到x 逐项积分，得111()1x xn n n n xs t dt nt dt x x∞∞-=====-∑∑⎰⎰ 对上式求导，得22(1)(1)1()1(1)(1)x x x s x x x x '--⋅-⎛⎫=== ⎪---⎝⎭，1x <.。
河北省石家庄市(新版)2024高考数学统编版能力评测(自测卷)完整试卷
河北省石家庄市（新版）2024高考数学统编版能力评测(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题在不等式组所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均大于1的概率是（）A．B．C．D．第(2)题如图是一个由正四棱锥和正四棱柱构成的组合体，正四棱锥的侧棱长为6，为正四棱锥高的4倍.当该组合体的体积最大时，点到正四棱柱外接球表面的最小距离是A．B．C．D．第(3)题已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(4)题函数y=x2㏑x的单调递减区间为A．（1,1]B．（0,1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）第(5)题设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；②；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为（）A．①②B．①③C．①③④D．①②③④第(6)题对于全集的子集定义函数为的特征函数,设为全集的子集,下列结论中错误的是( )A．若则B．C．D．第(7)题设x，y满足约束条件，则z=x-y的取值范围是A．[–3,0]B．[–3,2]C．[0,2]D．[0,3]第(8)题已知向量，，，则（）A．－3B．－1C．1D．3二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知正方体的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱上运动，N在底面ABCD内（N可以在正方形ABCD边上）运动，线段MN中点的轨迹为Ω，Ω与平面ABCD、平面和平面围成的区域内有一个小球，球心为O，则（）A．球O半径的最大值为B．Ω被正方体侧面截得曲线的总长为C．Ω的面积为D．Ω与正方体的表面所围成的较小的几何体的体积为第(2)题下列命题正确的是（）A．数据4，6，7，7，8，9，11，14，15，19的分位数为11B．已知变量x，y的线性回归方程，且，则C．已知随机变量，最大，则的取值为3或4D．已知随机变量，，则第(3)题如图，已知长方体中，，，为线段上一点，则下列结论正确的是（）A．若平面，则为的中点B．若为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为C．三棱锥的外接球截平面所得截面面积为D．若三棱锥的体积为，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是________ .第(2)题若的展开式中常数项为，则自然数__________．第(3)题2022年11月，第五届中国国际进口博览会即将在上海举行，组委员会准备安排5名工作人员去A，B，C，D这4所场馆，其中A场馆安排2人，其余场馆各1人，则不同的安排方法种数为____．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在三棱锥A-BCD中，ABD与BCD都为等边三角形，平面ABD^平面BCD，M，O分别为AB，BD的中点，AO∩DM=G，N在棱CD上且满足2CN=ND，连接MC，GN.（1）证明：GN平面ABC；（2）求直线AC和平面GND所成角的正弦值.第(2)题已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若不等式有解，求的取值范围.第(3)题如图，在七面体中，四边形是菱形，其中，，，是等边三角形，且.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.第(4)题如图所示，椭圆的左､右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，右焦点为，，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作不与轴重合的直线与椭圆交于点、，直线与直线交于点，试讨论点是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由.第(5)题已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）若以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，试求曲线的极坐标方程；（2）求直线被曲线截得线段的长.。
高等数学练习题附答案
第一章 自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1. ()3limsin tan ln 12x x xx →=-+ .2. 21lim2x x x →=+- . 3.已知212lim31x x ax bx →-++=+，其中为b a ,常数，则a = ，b = . 4. 若()2sin 2e 1,0,0ax x x f x xa x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在()+∞∞-,上连续，则a = . 5. 曲线21()43x f x x x -=-+的水平渐近线是 ，铅直渐近线是 . 6. 曲线()121e x y x =-的斜渐近线方程为 .二、单项选择题（每小题3分，共18分）1. “对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的 .A. 充分条件但非必要条件B. 必要条件但非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件2. 设()2,02,0x x g x x x -≤⎧=⎨+>⎩，()2,0,x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩则()g f x =⎡⎤⎣⎦ .A. 22,02,0x x x x ⎧+<⎨-≥⎩B. 22,02,0x x x x ⎧-<⎨+≥⎩ C. 22,02,0x x x x ⎧-<⎨-≥⎩ D. 22,02,0x x x x ⎧+<⎨+≥⎩3. 下列各式中正确的是 .A ．01lim 1e x x x +→⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B.01lim 1e xx x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭C.1lim 1e x x x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D. -11lim 1e xx x -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭4. 设0→x 时，tan e1x-与n x 是等价无穷小，则正整数n = .A. 1B. 2C. 3D. 45. 曲线221e 1ex x y --+=- .A. 没有渐近线B. 仅有水平渐近线C. 仅有铅直渐近线D. 既有水平渐近线又有铅直渐近线 6．下列函数在给定区间上无界的是 . A.1sin ,(0,1]x x x ∈ B. 1sin ,(0,)x x x ∈+∞ C. 11sin ,(0,1]x x x ∈ D. 1sin ,(0,)x x x∈+∞三、求下列极限（每小题5分，共35分）1.22x →2．()120lim ex xx x -→+3.()1lim 123n nnn →∞++4．21sinlimx x →+∞5. 设函数()()1,0≠>=a a a x f x ，求()()()21lim ln 12n f f f n n →∞⎡⎤⎣⎦ .6．142e sin lim1exxxxx→⎛⎫+⎪+⎪⎪+⎝⎭7．limx+→四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）1.2212lim22xax x bx x→-+=-+-2．(lim1 xx→-∞+=五、讨论函数,0()(0,0,1,1)0,0x xa bxf x a b a bxx⎧-≠⎪=>>≠≠⎨⎪=⎩在0x=处的连续性，若不连续，指出该间断点的类型.（本题6分）六、设sin sin sin ()lim sin x t xt x t f x x -→⎛⎫= ⎪⎝⎭，求()f x 的间断点并判定类型. （本题7分）七、设()f x 在[0,1]上连续，且(0)(1)f f =.证明：一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得1()2f f ξξ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（本题6分）第二章 自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.设()f x 在0x 可导，且00()0,()1f x f x '==，则01lim h hf x h →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 2.设21cos f x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则()f x '=. 3.d x = . 4.设sin (e )x y f =，其中()f x 可导，则d y = . 5.设y =12y ⎛⎫'=⎪⎝⎭. 6.曲线1sin xy x y =+在点1,ππ⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程为 . 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1.下列函数中，在0x =处可导的是 .A.||y x =B.|sin |y x =C.ln y x =D.|cos |y x =2.设()y f x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则000(2)()limx f x x f x x x→+--= .A.6B.6-C.16D.16-3.设函数()f x 在区间(,)δδ-内有定义，若当(,)x δδ∈-时恒有2|()|f x x ≤，则0x =是()f x 的 .A.间断点B.连续而不可导的点C.可导的点，且(0)0f '=D.可导的点，且(0)0f '≠4.设2sin ,0(),x x f x x x <⎧=⎨≥⎩，则在0x =处()f x 的导数 .A.0B.1C.2D.不存在5.设函数()f u 可导，2()y f x =当自变量x 在1x =-处取得增量0.1x =- 时，相应的函数增量y 的线性主部为0.1，则(1)f '= .A.1-B.0.1C.1D.0.5三、解答题（共67分）1.求下列函数的导数（每小题4分，共16分）(1)(ln e x y =+(2))11y⎫=⎪⎭(3)aaxa x a y x a a =++(4)cos (sin )x y x =2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分） (1)2ln sin y x x x =+ (2)21cot e xy =(3)y x =3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分） （1）2cos ln y x x = （2）11xy x-=+4.设e ,1(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =可导，试求a 与b .（本题6分）5.设sin ,0()ln(1),0x x f x x x <⎧=⎨+≥⎩，求'()f x .（本题6分）6.设函数()y y x =由方程22ln 1x xy y-=所确定，求d y .（本题6分）7.设()y y x =由参数方程ln tan cos 2sin t x a t y a t⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，求22d d ,d d y y x x .（本题6分）8.求曲线3213122t x t y t t +⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩在1t =处的切线方程和法线方程.（本题5分）第三章 自测题一、填空题（每小题3分，共15分）1.若0,0a b >>均为常数，则30lim 2x xxx a b →⎛+⎫=⎪⎝⎭. 2.2011lim tan x x x x →⎛⎫-=⎪⎝⎭. 3.3arctan limln(12)x x xx →-=+ . 4.曲线2e x y -=的凹区间 ，凸区间为 . 5.若()e xf x x =，则()()n f x 在点x = 处取得极小值.二、单项选择题（每小题3分，共12分）1.设,a b 为方程()0f x =的两根，()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，则()f x '0=在(,)a b 内 .A.只有一个实根B.至少有一个实根C.没有实根D.至少有两个实根2.设()f x 在0x 处连续，在0x 的某去心邻域内可导，且0x x ≠时，0()()0x x f x '->，则0()f x 是 .A.极小值B.极大值C.0x 为()f x 的驻点D.0x 不是()f x 的极值点 3.设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0()lim1||x f x x →''=，则 . A.(0)f 是()f x 的极大值 B.(0)f 是()f x 的极小值C ．(0,(0))f 是曲线的拐点D ．(0)f 不是()f x 的极值，(0,(0))f 不是曲线的拐点 4.设()f x 连续，且(0)0f '>，则0δ∃>，使 .A.()f x 在(0,)δ内单调增加.B.()f x 在(,0)δ-内单调减少.C.(0,)x δ∀∈，有()(0)f x f >D.(,0)x δ∀∈-，有()(0)f x f >.三、解答题(共73分)1.已知函数()f x 在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且(1)0f =，证明在(0,1)内至少存在一点ξ使得()()tan f f ξξξ'=-.（本题6分）2.证明下列不等式（每小题9分，共18分） （1）当0a b <<时，ln b a b b ab a a--<<.（2）当02x π<<时，2sin x x x π<<.3.求下列函数的极限（每小题8分，共24分）（1）0e e 2lim sin x x x xx x-→---（2）21sin 0lim(cos )xx x →（3）10(1)elimxx x x→+-4.求下列函数的极值（每小题6分，共12分） （1）1233()(1)f x x x =-（2）2,0()1,0x x x f x x x ⎧>=⎨+<⎩5.求2ln xy x=的极值点、单调区间、凹凸区间和拐点.（本题6分）6.证明方程1ln0ex x+=只有一个实根.（本题7分）第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1. 2. 3. ， 4.5. 水平渐近线是，铅直渐近线是6.二、单项选择题（每小题3分，共18分）1. C2. D3. D4. A5. D 6．C三、求下列极限（每小题5分，共35分）解：1.. 2．.3.，又.4．. 5.. 6．，，所以，原式.7．.四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）解：1.据题意设，则，令得，令得，故．2．左边，右边故，则．五、解：，故在处不连续，所以为得第一类（可去）间断点．六、解：，而，故，都是的间断点，，故为的第一类（可去）间断点，均为的第二类间断点．七、证明：设，显然在上连续，而，，，故由零点定理知：一定存在一点，使，即．第二章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1. 2. 3. 4.5. 6.或二、单项选择题（每小题3分，共15分）1. D2. A3. C4. D5. D三、解答题（共67分）解：1.(1).(2).(3).(4) 两边取对数得，两边求导数得，.2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分）(1) .(2).(3) .3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分）（1），.（2），.4.首先在处连续，故，故，其次，，，由于在处可导，故，故，.5.，，故，由于在，时均可导，故.6.方程可变形为，两边求微分得，故.7.，.8.，故.当时，. 故曲线在处的切线方程为，即，法线方程为，即.第三章自测题一、填空题（每小题3分，共15分）1．2．3． 4.， 5.二、单项选择题（每小题3分，共12分）1．B 2．A3．B，提示：由题意得，，当时，；即当时，，当时，，从而在取得极小值4. C，提示：由定义，由极限的保号性得，当时，，即三、解答题(共73分)证明：1.令，则在上连续，内可导，且；由罗尔定理知，至少存在一点，使得，故，即．2.（1）令，则在区间上满足拉格朗日中值定理的条件．由拉格朗日中值定理得，至少存在一点，使得即，又，得到，从而．（2）令，则，从而当时单调递增，即，故；令，则，即当时单调递减，即，故；从而当时，．解：3.（1）.（2）.（3）.4.⑴函数的定义域为；，令得驻点，不可导点；当时，；当时，；当时，；当时，；故为极大值点，极大值为；为极小值点，极小值为.⑵，令得驻点，为不可导点.当时，；当时，；当时，；故为极大值点，极大值为；为极小值点，极小值为.5.定义域为；，，令得驻点，令得；列表得：拐点6．证明：令，显然，；令得唯一驻点，且；故在上当时取得极小值；当时，，所以方程只有一个实根．。
高等数学函数与极限自测题及答案
第一章 函数与极限 自测题 A 卷一、单项选择题(3分⨯5=15分).)(x f 的定义域为)0,1(-，则下列函数中，( )的定义域为)1,0(. (A))1(x f - (B))1(-x f (C))1(+x f (D))1(2-x fx x x y sin cos +=是( )(A)偶函数 (B)奇函数 (C)非奇非偶函数 (D)奇偶函数 )]([x f ϕ的是( )(A)u u f y ln )(==, 2sin )(-==x x u ϕ(B)21)(uu u f y -==, 1cos sin )(22-+==x x x u ϕ (C)u u f y ==)(, x x u -==)(ϕ(D)u u f y arccos )(==, 25x u += 0→x 时，与x 等价的无穷小是( )(A)x x sin (B)x x sin 2+ (C)3tan x (D)x 25.=→xxx 0lim ( ) (A)1 (B)-1 (C)0 (D)不存在二、填空(3分⨯5=15分).x x f +=11)(，则=)]1([x f f .2.x xf cos 1)2(cos -=，则=)(x f . 3.212lim 221=--+→x ax x x ，则=a .1. 已知xe xf 1)(=，则=+)00(f ，=-)00(f .2. 已知)1(sin )1()(2--=x x xx x f 在0=x 处是第类间断点.三、(6分) 设132)(2--=x x x g ，(1)试确定c b a ,,的值，使c x b x a x g +-+-=-)1()1()1(2. (2)求)1(+x g 的表达式.四、(6分)设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=010001)(x x x x f ，x x g 1)(=，求)]([x g f 及)]([x f g . 五、求下列极限(5分⨯6=30分).(1)x x x x x sin sin lim 20+-→ (2)xx x x )11(lim +-∞→ (3)a x e e a x a x --→lim(4)nn n n 1)321(lim ++∞→ (5)x x e x x cos lim 0-→ (6))12arcsin()11ln(lim 3231--+→x x x六、(10分) 给定∞→n 时的无穷小如下：n 1cos 1-，11-+n a ，n n 1tan 12，)11ln(4n+，11-na(1,0≠>a a ),按高阶向低阶的次序，将它们排列起来.七、(10分) 讨论xx xee ee xf 111)(--=-的间断点类型.八、(8分)设)(x f 在]1,0[上为非负连续函数，且0)1()0(==f f .试证：对于任一个小于1的正数)10(≤≤L L ，存在)1,0(∈ξ，使得)()(L f f +=ξξ.第一章 自测题 A 卷答案一、 1 ( B ) 2 ( B ) 3 ( C ) 4 ( B ) 5 ( D )二、 1.121++x x 2.222x - 3.3 4.∞+ 三、 (1)0,1,2===c b a (2)352)1(2++=+x x x g四、 ⎩⎨⎧<->=0101)]([x x x g f ⎩⎨⎧<->=0101)]([x x x f g五、 1.21- 2.2-e 3.ae4.35.16.3221六、 )11ln(4n+，n n 1tan 12，n 1cos 1-，11-+n a ，11-na七、 0=x 为跳跃间断点，1-=x 为可去间断点.第一章 函数与极限 自测题 B 卷一、单项选择题(3分⨯5=15分) 1.xex x x f cos sin )(= )(+∞<<-∞x 是( )(A)有界函数 (B)单调函数 (C)周期函数 (D)偶函数 )(lim 0x f x x →和)(lim 0x g x x →都不存在，则( )(A))]()([lim 0x g x f x x +→和)]()([lim 0x g x f x x -→也都不存在(B))]()([lim 0x g x f x x +→和)]()([lim 0x g x f x x -→中至少有一个不存在 (C))]()([lim 0x g x f x x +→和)]()([lim 0x g x f x x -→可能都存在 (D))]()([lim 0x g x f x x +→和)]()([lim 0x g x f x x -→一定都存在0→x 时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小( )(A)2x (B)x cos 1- (C)x x tan - (D))1ln(x +4.⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00)(1x ax e x f x ，则( ) (A)当0=a 时，)(x f 在0=x 点左连续； (B)当1=a 时，)(x f 在0=x 点左连续； (C)当0=a 时，)(x f 在0=x 点右连续； (D)当1=a 时，)(x f 在0=x 点右连续。
陕西省西安市(新版)2024高考数学部编版能力评测(自测卷)完整试卷
陕西省西安市（新版）2024高考数学部编版能力评测(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题排成一排的8个座位，甲、乙、丙3人随机就座，要求甲乙必须在相邻两座位就座，但都与丙不相邻（即之间有空座位），则不同坐法种数为（）A．30B．60C．120D．336第(2)题设的共轭复数是，若，，则等于A．B．C．D．第(3)题为虚数单位，的共轭复数为A．B．C．1D．第(4)题阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为( )A．2B．3C．4D．5第(5)题有6个大小相同的小球，其中1个黑色，2个蓝色，3个红色．采用放回方式从中随机取2次球，每次取1个球，甲表示事件“第一次取红球”，乙表示事件“第二次取蓝球”，丙表示事件“两次取出不同颜色的球”，丁表示事件“与两次取出相同颜色的球”，则（）A．甲与乙相互独立B．甲与丙相互独立C．乙与丙相互独立D．乙与丁相互独立第(6)题在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（）A．B．C．D．第(7)题若向量，，则（）A．B．C．D．第(8)题的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，，的面积为，则b=（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题若函数的最小值为，则（）A ．当时，的图象关于点对称B．当时，C．存在实数与，使得D．当时，将曲线向左平移个单位长度，得到曲线第(2)题已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（）A．C的准线为B．直线AB与C相切C．D．第(3)题下列说法中，正确的是（）A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1B．一组数据的第60百分位数为14C．若样本数据的方差为8，则数据的方差为2D．将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，若，则总体方差三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若函数为偶函数，则_____．第(2)题已知抛物线：的顶点为O，焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于点A､B，且，过抛物线上一点P（非原点）作抛物线的切线，与x轴､y轴分别交于点M､N，.垂足为H.下列命题：①抛物线的标准方程为②的面积为定值③M为PN的中点④四边形PFNH为菱形其中所有正确结论的编号为___________.第(3)题已知数列满足，且，为数列的前项和，则___________，___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（I）若为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线的参数方程为（为参数，，且直线与曲线相交于，两点，求面积的最大值.第(2)题已知平面直角坐标系中，曲线经过伸缩变换得到曲线.(1)求曲线的方程；(2)若直线不过点且不平行于坐标轴，直线交曲线于，两点，且以为直径的圆经过点，求面积的取值范围.第(3)题如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m和20m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD＝60°．（1）求BC的长度；（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB＝α，∠DPC＝β，问点P在何处时，α+β最小？第(4)题已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)当时，证明：为单调递增函数．第(5)题设等差数列的公差，数列的前项和为，满足，且，.若实数，则称具有性质.（1）请判断、是否具有性质，并说明理由；（2）设为数列的前项和，，且恒成立.求证：对任意的，实数都不具有性质；（3）设是数列的前项和，若对任意的，都具有性质，求所有满足条件的的值.。
陕西省西安市(新版)2024高考数学苏教版能力评测(自测卷)完整试卷
陕西省西安市（新版）2024高考数学苏教版能力评测(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数，则的零点所在的区间是（ ）A ．B ．C ．D ．第(2)题已知为锐角，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．第(3)题已知向量，则（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5第(4)题转子发动机采用三角转子旋转运动来控制压缩和排放．如图1，三角转子的外形是有三条侧棱的曲面棱柱，且侧棱垂直于底面，底面是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆构成的曲面三角形（如图2），正三角形的顶点称为曲面三角形的顶点，侧棱长为曲面棱柱的高，记该曲面棱柱的底面积为S ，高为h ．已知曲面棱柱的体积V =Sh ，如图1所示的曲面棱柱的体积为，，则（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6第(5)题从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为、，白球标记为，则它的一个样本空间可以是（ ）A ．B ．C ．D ．第(6)题已知函数和的定义域为，且为偶函数，，且为奇函数，对于，均有，则（ ）A ．1B ．66C ．72D ．2022第(7)题函数和的定义域均为R ，“，都是奇函数”是“与的积是偶函数”的（ ）A ．必要条件但非充分条件B ．充分条件但非必要条件C ．充分必要条件D ．非充分条件也非必要条件第(8)题设，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知点，点是双曲线左支上的动点，是圆上的动点，则（ ）A ．的实轴长为6B ．的渐近线为C．的最小值为D ．的最小值为第(2)题设函数，则下列说法正确的有（）A．当，时，为奇函数B．当，时，的一个对称中心为C．若关于的方程的正实根从小到大依次构成一个等差数列，则这个等差数列的公差为D．当，时，在区间上恰有个零点第(3)题已知函数分别与直线交于点A，B，则下列说法正确的（ ）A．的最小值为B．，使得曲线在点A处的切线与曲线在点B处的切线平行C．函数的最小值小于2D．若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数．直线与曲线的两个交点如图所示，若，且在区间上单调递减，则_______；_______．第(2)题已知数列满足，则数列满足对任意的，都有，则数列的前项和__________．第(3)题已知函数，则不等式的解集为______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数．(1)当时，判断的单调性；(2)若时，恒成立，求实数的取值范围．第(2)题肝脏疾病是各种原因引起的肝脏损伤，是一种常见的危害性极大的疾病，研究表明有八成以上的肝病，是由乙肝发展而来，身体感染乙肝病毒后，病毒会在体内持续复制，肝细胞修复过程中形成纤维化，最后发展成肝病.因感染乙肝病毒后身体初期没有任何症状，因此忽视治疗，等到病情十分严重时，患者才会出现痛感，但已经错过了最佳治疗时机，对乙肝病毒应以积极预防为主，通过接种乙肝疫苗可以预防感染乙肝病毒､体检是筛查乙肝病毒携带者最好的方法，国家在《中小学生健康体检管理办法》中规定：中小学校每年组织一次在校学生健康体检，现某学校有4000名学生，假设携带乙肝病毒的学生占m%，某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验次数4000次.为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验方法：随机按照k个人进行分组，将各组k个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人血样再分别化验一次.假设每人血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立.(1)若，记每人血样化验次数为X，当k取何值时，X的数学期望最小，并求化验总次数；(2)若，设每人血样单独化验一次费用5元，k个人混合化验一次费用k+4元.求当k取何值时，每人血样化验费用的数学期望最小，并求化验总费用.参考数据及公式：.第(3)题函数的表达式为.(1)若，直线与曲线相切于点，求直线的方程；(2)函数的最小正周期是，令，将函数的零点由小到大依次记为，证明：数列是严格减数列；(3)已知定义在上的奇函数满足，对任意，当时，都有且.记，.当时，是否存在，使得成立？若存在，求出符合题意的；若不存在，请说明理由.第(4)题在正四棱柱中，，，E为中点，直线与平面交于点F．(1)证明：F为的中点；(2)求直线AC与平面所成角的余弦值．第(5)题在锐角中，角的对边分别是，且__________.在下列两个条件中选择一个补充在横线上：①；②(1)求出角的大小；(2)若角的平分线交边于点，且，求的取值范围.。