初中绝对值知识

一、基础知积：

1、几何绝对值概念----在上，一个数到的距离叫做该数的绝

对值。|a-b|表示数轴上表示a的点和表示的点

的距离

2、代数绝对值概念：---一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零，即：

I a I = {a,(a > 0)0(a=0)

3、绝对值性质：

(1)任何的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性；

(2)绝对值等于0的数只有一个，就是0。

(3)绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数或相等。

(4)互为相反数的两个数的绝对值相等。

(5)正数的绝对值是它本身。

(6)负数的绝对值是它的相反数。

(7)0的绝对值是0。

4、绝对值其它性质：

(1)任何一个数的绝对值都不少于这个数，也不少于这个数的相反数。

即：I a I> a; I a I> -a;

⑵若I a I = I b I 则a=b 或a=-b

(3)I ab I = I a I * I b I ; I a/b I = I a I / I b I (b 工0)

(4) I a I 2= I a2I =a2

(5) I a I - I b I

对于I a+b IvI a I + I b I等号当且仅当a, b同号或a, b中至少有一个0时等号成立。

对于I a I - I b IvI a I + I b I等号当且仅当a, b异号或a, b中至少有一个0时等号成立。

5、绝对值等式、不等式：

(1)|a| x |b|=|ab|

(2)|a| +|b|=|a + b| (b z0)

(3)a2=|a| 2

这个性质一般用在含绝对值的中，

例：X2-3|X|+2=0，可以变成

|X|2-3|X| +2=0 , (|X|-1)(|X|-2)=0, |X|=1或2, X=±1或±2

(4) |x|-|y|<=|x+y|<=|x|+|y|

由此可以得出推论|x|-|y|<=|x-y|v=|x|+|y| ,

因为|x|-|-y|<=|x+(-y)|v=|x|+|-y| ?

二、解含有绝对值不等式的基本思路：是去掉绝对值符号，使不等式变

为不含绝对值符号的一般不等式。而后其解法与一般不等式的解法相

同。去绝对值符号的几种方法：

1、利用定义法去掉绝对值。

根据实数含绝对值的意义：即

{ X(X > 0)

|x|

0(x=0)

-x(x V

0)

2、利用不等式性质去掉绝对值符号：

利用不等式的性质转化|X| V0或|X| >0 (C>0)来解。女口|ax+b| > c(c >

0)可化为：ax+b>c 或ax+b v -C; |ax+b| V C可化为：-C V ax+b v C,再由此求出原不等式的解集。对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“ a

种典型的转化与化归的数学思想方法.

3、利用平方法去掉绝对值符号：

对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用I x I 2=x2可在两边脱去

绝对值符号来解。解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。

4、利用零点分段法去掉绝对值符号。

所谓零点分段法：就是指若数X i, X2,….X n分别使含有

|X-X i|,|X-X 2|…|X-X N|的代数式中相应绝对值为零，称X i, X2….X为相应绝对值的零点，零点X i, X2,…….X n将数轴分为:m+i段，利用绝对值的变化去绝对

值符号, 得到代数式在各段上的简化式, 从而化为不含绝对值符号的一般

不等式来解. 即令每项等于零,得到的值作为讨论的分区点

, 然后再分区讨论绝对值不等式, 最后应求出解集的并集.

三、常见去掉绝对值符号的几种题型：（见附件）